从数据到模型：曲线拟合与机器学习的探索

### 从数据到模型：曲线拟合与机器学习的探索 #### 1. 数据、模型与分子科学的动机 科学旨在理解和描述现实世界，以改善和丰富人类生活。然而，现实世界的结构和动态极为复杂，如实验室中的化学反应，涉及大量分子、光子、磁场和温度梯度等诸多因素，其粒子动力学由相对论量子力学和量子电动力学决定，原则上还需考虑引力和强核力。因此，为描述自然，必须建立简化和理想化的模型。 实验与理论的辩证互动是现代科学的关键驱动力。实验数据需在特定模型或理论背景下才有意义，而理论思考若无实验证据则只是思维练习。数据分析是连接实验与理论的桥梁，它能从实验数据中提取和测试模型。 模型函数相较于单纯列举的数据具有诸多优势： - 它是感兴趣量之间关系的综合表示，可紧凑地存储在数据库中，节省内存。 - 好的模型允许进行插值或外推计算，生成新数据，减少昂贵的实验室工作。 - 合适的模型可用于探索最优性质，避免遗漏重要信息。在市场经济中，好的模型是竞争优势。 科学的最终目标是建立能准确描述自然的定量模型，即“计算自然”，其形式为 `answer = f(question)` 或 `output = f(input)`。但目前，仅少数有趣的量可通过基于自然定律的理论从头计算方法直接计算，大多数情况下模型函数未知或难以评估。根据对自然的了解，当前科学可分为三种情况： |情况|描述|示例| | ---- | ---- | ---- | |情况 1|模型函数 f 理论或经验已知，可直接计算输出量| - | |情况 2|函数 f 的结构形式已知，但参数值未知，可通过曲线拟合方法根据实验数据统计估计参数值|若输入和输出关系为线性，\(y = f(x) = a1 + a2x\)，\(a1\) 和 \(a2\) 为未知参数，可通过曲线拟合估计| |情况 3|函数 f 的结构形式未知，可通过机器学习技术基于实验数据构建近似模型函数| - | 当代分子科学广泛面临这三种情况。自 20 世纪初科学革命以来，分子科学有了现代物理学的理论基础，但实际应用中，精确应用物理定律会导致方程过于复杂而难以求解。只有像氢原子这样的最小量子力学系统才能通过纯解析方法得到精确解。随着数字计算机的出现和计算速度的提升，迭代方法使对分子和分子集合的近似量子力学处理成为可能，但从头计算方法的适用性仍有限。若将这些方法与实验数据结合形成半经验方法，适用范围可扩展到数千个原子的分子系统。 分子科学主要面临情况 2 和情况 3。理论驱动的研究领域如物理化学或生物物理学常偏好情况 2，例如化学动力学中，现象学速率方程描述化学反应的时间进程，但速率常数的值未知，需通过实验测量得到数据三元组 \((xi,yi,σi)\)，再用曲线拟合方法统计推导未知参数的最优估计值。在实践中，成功的模型函数可能最初是经验构建的，后来得到理论支持，或者曲线拟合用于验证理论模型参数的值，还可用于构建平滑函数进行插值，节省时间并提高实用性。 随着自然系统复杂性的增加，定量理论处理变得愈发困难。情况 3 更为常见，此时模型函数未知或过于复杂，机器学习可尝试仅用现有数据构建模型函数。定量结构 - 活性关系（QSAR）和定量结构 - 性质关系（QSPR）研究是生