多智能体序贯问题与状态不确定性研究

# 多智能体序贯问题与状态不确定性研究 ## 1. 序贯问题中的多智能体学习 在多智能体系统中，序贯问题是一个重要的研究领域。其中，Nash Q - learning 算法是一种将传统 Q - learning 方法扩展到多智能体场景的有效途径。 ### 1.1 Nash Q - learning 算法原理 采用 Nash Q - learning 的智能体维护一个联合动作价值函数 $Q(s, a)$ 的估计。在每次状态转移后，该动作价值函数会使用从这个价值函数构建的简单博弈中计算出的纳什均衡进行更新。具体步骤如下： 1. **构建简单博弈**：在从状态 $s$ 转移到状态 $s'$ 并执行联合动作 $a$ 之后，构建一个具有相同数量智能体和相同联合动作空间的简单博弈。该博弈的奖励函数等于状态 $s'$ 的估计值，即 $R(a') = Q(s', a')$。 2. **计算纳什均衡策略**：智能体计算下一个动作 $a'$ 上的纳什均衡策略 $\pi'$。在导出的策略下，后继状态的期望效用为： $U(s') = \sum_{a'}Q(s', a') \prod_{j\in I}\pi_j'(a_j')$ 3. **更新价值函数**：智能体然后更新其价值函数： $Q(s, a) \leftarrow Q(s, a) + \alpha [R(s, a) + \gamma U(s') - Q(s, a)]$ 其中，学习率 $\alpha$ 通常是状态 - 动作计数的函数，即 $\alpha = 1/\sqrt{N(s, a)}$。 ### 1.2 探索策略 与常规的 Q - learning 一样，为了确保所有状态和动作都有足够的尝试次数，需要采用探索策略。在算法 25.9 中，智能体遵循 $\epsilon$ - 贪心策略。以概率 $\epsilon = 1/ \sum_{a}(N(s, a))$ 均匀随机选择一个动作；否则，将使用纳什均衡的结果。 ### 1.3 代码实现 ```julia mutable struct NashQLearning 𝒫 # Markov game i # agent index Q # state - action value estimates N # history of actions performed end function NashQLearning(𝒫::MG, i) ℐ, 𝒮, 𝒜 = 𝒫.ℐ, 𝒫.𝒮, 𝒫.𝒜 Q = Dict((j, s, a) => 0.0 for j in ℐ, s in 𝒮, a in joint(𝒜)) N = Dict((s, a) => 1.0 for s in 𝒮, a in joint(𝒜)) return NashQLearning(𝒫, i, Q, N) end function (πi::NashQLearning)(s) 𝒫, i, Q, N = πi.𝒫, πi.i, πi.Q, πi.N ℐ, 𝒮, 𝒜, 𝒜i, γ = 𝒫.ℐ, 𝒫.𝒮, 𝒫.𝒜, 𝒫.𝒜[πi.i], 𝒫.γ M = NashEquilibrium() 𝒢 = SimpleGame(γ, ℐ, 𝒜, a -> [Q[j, s, a] for j in ℐ]) π = solve(M, 𝒢) ϵ = 1 / sum(N[s, a] for a in joint(𝒜)) πi′(ai) = ϵ/length(𝒜i) + (1 - ϵ)*π[i](ai) return SimpleGamePolicy(ai => πi′(ai) for ai in 𝒜i) end function update!(πi::NashQLearning, s, a, s′) 𝒫, ℐ, 𝒮, 𝒜, R, γ = πi.𝒫, πi.𝒫.ℐ, πi.𝒫.𝒮, πi.𝒫.𝒜, πi.𝒫.R, πi.𝒫.γ i, Q, N = πi.i, πi.Q, πi.N M = NashEquilibrium() 𝒢 = SimpleGame(γ, ℐ, 𝒜, a′ -> [Q[j, s′, a′] for j in ℐ]) π = solve(M, 𝒢) πi.N[s, a] += 1 α = 1 / sqrt(N[s, a]) for j in ℐ πi.Q[j,s,a] += α*(R(s,a)[j] + γ*utility(𝒢,π,j) - Q[j,s,a]) end end ``` 该算法为马尔可夫博弈（MG）中的智能体 $i$ 执行联合动作 Q - 学习，以学习所有智能体的状态 - 动作价值函数。通过构建简单博弈并计算纳什均衡来更新价值函数。同时，使用与状态 - 联合动作对访问次数成比例的可变学习率，并采用 $\epsilon$ - 贪心探索策略确保所有状态和动作都能被探索。 ### 1.4 相关问题解答 #### 1.4.1 MGs 与 MDPs 和简单博弈的关系 - **MGs 推广简单博弈**：对于任何具有智能体集合 $I$、动作集合 $A$ 和奖励函数 $R$ 的简单博弈，可以通过创建一个自循环的单一状态来构建一个 MG。即该 MG 有 $S = \{s_1\}$，$T(s_1 | s_1, a) = 1$，且 $R(s_1, a) = R(a)$。 - **MGs 推广 MDPs**：对于任何具有状态集合 $S$、动作集合 $A$、转移函数 $T$ 和奖励函数 $R$ 的 MDP，可以通过将智能体指定为单个智能体来构建一个 MG。即该 MG 有 $I = \{1\}$，$A_1 = A$，$T(s' | s, a) = T(s' | s', a)$，且 $R(s, a) = R(s, a)$。 #### 1.4.2 随机最佳响应与确定性最佳响应 给定其他智能体的固定策略 $\pi_{-i}$，确定性最佳响应足以获得最高效用。因为最佳响应可以被表述为求解一个 MDP，并且已经证明确定性策略足以提供最优的效用最大化。在纳什均衡中，虽然确定性最佳响应在效用上可能与随机最佳响应相等，但为了防止其他智能体想要偏离，均衡可能需要随机响应。 #### 1.4.3 策略类别 除了平稳马尔可夫策略外，还有以下两类策略： - **行为策略**：$\pi_i(h_t)$ 是一种依赖于完整