难问题的实例复杂度与模拟双模拟研究

### 难问题的实例复杂度与模拟双模拟研究 在计算复杂度理论和并发理论中，实例复杂度和模拟双模拟是两个重要的研究方向。下面将详细探讨这两个领域的相关内容。 #### 实例复杂度相关研究 在计算复杂度的研究里，对于程序在解释器上的运行情况以及实例复杂度有着明确的定义和分析。 ##### 程序运行状态与实例复杂度定义 当程序 $\pi$ 在解释器 $M$ 上运行时，会出现不同的配置情况，如接受配置、拒绝配置、未决配置、输出配置，也可能不停止。若 $M$ 在接受配置下停止，称 $\pi$ 在 $M$ 上接受 $x$，记为 $M(\pi, x) = 1$；若在拒绝配置下停止，称 $\pi$ 在 $M$ 上拒绝 $x$，记为 $M(\pi, x) = 0$；这两种情况都表示 $\pi$ 在 $M$ 上决定了 $x$。若 $M$ 在未决配置下停止或不停止，称 $\pi$ 在 $M$ 上未能决定 $x$，记为 $M(\pi, x) = \perp$；若 $M$ 在输出配置下停止且输出 $y \in \{0, 1\}^*$，则记为 $M(\pi, x) = y$。 程序 $\pi$ 相对于解释器 $M$ 与语言 $A \subseteq \{0, 1\}^*$ 一致，意味着对于所有 $x \in \{0, 1\}^*$，$M(\pi, x) \in \{[[x \in A]], \perp\}$，即 $\pi$ 要么正确决定 $x$ 对于 $A$ 的归属，要么未能决定 $x$。 $t$ - 时间有界实例复杂度 $ic_t^M(x : A)$ 的定义为： $ic_t^M(x : A) = \min\{|\pi| | \pi$ 相对于 $M$ 与 $A$ 一致且 $time_M(\pi, x) \leq t(|x|)\}$，其中 $\min \varnothing = \infty$。这表示在满足一定约束条件下，程序 $\pi$ 在 $M$ 上正确决定 $x$ 对于 $A$ 的归属所需的最小位数。 ##### 硬实例相关定理 在复杂度类 $E$ 和 $E2$ 中，有关于硬实例的重要定理： - **定理 4.1**：对于所有 $c \in Z^+$ 和 $\epsilon > 0$，集合 $X(c, \epsilon) = \{A|(\forall^{\infty}x)ic_{2^{cn}}(x : A) > (1 - \epsilon)C_{2^{(c + 2)n}}(x)\}$ 具有 $p$ - 测度 1，因此在 $E$ 中测度为 1。 - **定理 4.2**：对于所有 $c \in Z^+$ 和 $\epsilon > 0$，集合 $X_2(c, \epsilon) = \{A|(\forall^{\infty}x)ic_{2^{n^c}}(x : A) > C_{2^{n(c + 1)}}(x) - C_{2^{n(c + 1)}}(x)\epsilon\}$ 具有 $p2$ - 测度 1，因此在 $E2$ 中测度为 1。 这两个定理还引出了一个已知事实： - **推论 4.3**： 1. 几乎每个 $E$ 中的语言都以 $\{0, 1\}^*$ 作为 $DTIME(2^{cn})$ - 复杂度核心。 2. 几乎每个 $E2$ 中的语言都以 $\{0, 1\}^*$ 作为 $DTIME(2^{n^c})$ - 复杂度核心。 通过一系列引理和定理，还证明了每个对指数时间弱 $\leq_P^m$ - 难的语言都有密集的非常难的实例： - **定理 4.8**：若 $H$ 对 $E2$ 是弱 $\leq_P^m$ - 难的，则对于每个 $\epsilon > 0$，存在 $\delta > 0$ 使得集合 $HI_{\epsilon, \delta}(H) = \{x|ic_{2^{n^{\delta}}}(x : H) > (1 - \epsilon)C_{2^{4n}}(x)\}$ 是密集的。 - **定理 4.9**：若 $H$ 对 $E2$ 是弱 $\leq_P^m$ - 难的，则对于每个 $\epsilon > 0$，存在 $\delta > 0$ 使得集合 $HI_{\epsilon, \delta}^2(H) = \{x|ic_{2^{n^{\delta}}}(x : H) > C_{2^{2n^2}}(x) - C_{2^{2n^2}}(x)\epsilon\}$ 是密集的。 这两个定理还有相应的推论，如推论 4.11 表明，若 $H$ 对 $E$ 或 $E2$ 是弱 $\leq_P^m$ - 难的，则对于每个 $\epsilon > 0$，存在 $\delta > 0$ 使得集合 $HI_{\epsilon, \delta}^0(H) = \{x|ic_{2^{n^{\delta}}}(x : H) > C(x) - C(x)\epsilon\}$ 是密集的。 ##### NP 完全问题的实例复杂度 对于 NP 完全问题，以 SAT 为例，有以下相关定理： - **定理 4.12**：若 $P \neq NP$，则对于每个多项式 $t$ 和常数 $c \in N$，集合 $\{x|ic_t(x : SAT) > c \log |x|\}$ 是无限的。 - **定理 4.13**：若存在非一致安全的单向函数，则对于每个多项式 $t$ 和常数 $c \