利用量子计算对有限半域进行分类的方法

### 利用量子计算对有限半域进行分类的方法 #### 1. 引言 在计算领域，一些量子算法的性能优于经典算法。例如，Deutsch - Jozsa 算法是首个性能优于最佳经典算法的量子算法；Shor 算法能在多项式时间内解决整数分解问题，而经典算法尚未达到这样的复杂度；Grover 算法能在无序列表中以 $O(\sqrt{N})$ 的期望时间找到标记元素，相比经典算法有二次加速优势，且已证明它在该类搜索问题上是最优的。 在代数结构的计算研究中，Grover 算法已成功用于测试有限维代数的交换性。由于当前经典计算技术难以对所有 128 阶的有限半域进行分类，而 Grover 算法在长列表中查找标记项有二次加速，因此将量子计算应用于有限半域的分类具有很大的潜力。本文将基于 Grover 量子搜索算法，介绍对 8 阶和 16 阶有限半域进行分类的量子程序，并提供相应的模拟，同时讨论该方法扩展到更高阶的可能性。 #### 2. 有限半域的基本概念 - **有限半域的定义**： - 有限非结合环 $D$，若其非零元素集合 $D^*$ 在乘法下封闭，则称 $D$ 为预半域；若 $D$ 还有单位元，则称其为（有限）半域。 - 若 $D$ 是有限半域，那么 $D^*$ 是一个乘法圈，即存在单位元 $e \in D^*$，使得对所有 $x \in D$ 有 $ex = xe = x$，并且对所有 $a, b \in D^*$，方程 $ax = b$（或 $xa = b$）有唯一解。 - 有限域是结合的有限半域，非结合的有限半域称为真有限半域，有限半域也被称为有限非结合除环。 - **有限半域的性质**： - 有限半域 $D$ 的特征是素数 $p$，其结合 - 交换中心 $Z(D)$ 是阶为 $q = p^c$（$c \in N$）的有限域 $F_q$，$D$ 是 $Z(D)$ 上的有限维代数，维数为 $d$，且 $|D| = q^d$。 - Knuth 证明了最小阶的真半域是 16 阶，因为 8 阶（$2^3$）的有限半域只有有限域 $F_8$。 - **有限半域与矩阵的关系**： 设 $S$ 是域 $K$ 上的非结合有限维代数，固定 $S$ 的一个 $K$ - 基 $\beta = \{x_1, \ldots, x_d\}$，存在唯一的常数集 $\{M_{ijk}\}_{i,j,k = 1}^d \subseteq K$，使得 $x_i \cdot x_j = \sum_{k = 1}^d M_{ijk}x_k$。 线性映射 $L_x : S \to S$，$L_x(a) = x \cdot a$ 是 $K$ - 线性同态，$L_{x_i}$ 关于基 $\beta$ 的列坐标矩阵为： $A_i = \begin{bmatrix} M_{i11} & M_{i21} & M_{i31} & \cdots & M_{id1} \\ M_{i12} & M_{i22} & M_{i32} & \cdots & M_{id2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ M_{i1d} & M_{i2d} & M_{i3d} & \cdots & M_{idd} \end{bmatrix}$ 设 $M = \{A_1, \ldots, A_d\}$，若 $x = \sum_{i = 1}^d \alpha_ix_i$（$\alpha_i \in K$），则 $L_x = \sum_{i = 1}^d \alpha_iL_{x_i}$，$A_x = \sum_{i = 1}^d \alpha_iA_i$。 $x \neq 0$ 不是零因子当且仅当 $L_x$ 是 $K$ - 线性同构，当且仅当 $A_x$ 可逆。$S$ 是除环（特别是有限半域）当且仅当 $M$ 的任何非零线性组合都可逆。 任何阶为 $q^d$ 的有限半域 $D$ 可以由一组 $d$ 个矩阵 $\{A_1, \ldots, A_d\}$（标准基）描述，满足： 1. $A_1$ 是单位矩阵。 2. 对所有非零元组 $(\alpha_1, \ldots, \alpha_d) \in F_q^d$，$\sum_{i = 1}^d \alpha_iA_i$ 可逆。 3. 矩阵 $A_i$ 的第一列是第 $i$ 个位置为 1，其余位置为 0 的列向量 $e_i$。 半域 $D$ 可以与代数 $(F_q^d, +, \cdot)$ 等同，其中乘法定义为 $x \cdot y = \sum_{i = 1}^d x_iA_iy$。 由此可得推论：标准基的任何非纯量线性组合的特征多项式没有一次因式。 #### 3. 量子计算基础与 Grover 量子搜索算法 - **量子电路模型**： 量子电路模型是最流行的量子计算模型之一。在该模型中，量子比特（qubit）存储数据，通过量子门进行操作，最后通过测量获得结果，这些操作都遵循量子力学定律。 - **量子比特**：与只能处于 0 或 1 状态的经典比特不同，量子比特可以处于 $|0\rangle = \begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix}$ 或 $|1\rangle = \begin{bmatrix}0 \\ 1\end{bmatrix}$ 状态，也可以处于 $\alpha |0\rangle + \beta |1\rangle$（$\alpha, \beta \in C$ 且 $|\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1$）的叠加态，$\alpha$ 和 $\beta$ 称为状态的振幅。$\{|0\rangle, |1\rangle\}$ 是 $C^2$ 的正交归一基，称为计算基。$C^{2^n}$ 的计算基为 $\{|0\rangle, |1\rangle, \ldots, |2^n - 1\rangle\}$，多量子比特系统的一般状态为 $|\psi\rangle = \sum_{i = 0}^{2^n - 1} \alpha_i |i\rangle$，其中 $\sum_{i = 0}^{2^n - 1} |\alpha_i|^2 = 1$ 且 $\alpha_i \in C$。 - **量子门**：量子门是作用在量子比特状态向量上的特殊线性变换，由酉矩阵表示。重要的单量子比特门有