快速幂取模算法实现-高次幂取模

"这篇资源主要介绍了高次幂取模，也称为快速幂取模，是一种在计算机科学中高效计算大整数次幂模运算的方法。它适用于处理形如`ab mod m`的数学问题，其中`a`、`b`和`m`都是long型整数，且`b`通常较大。这种方法利用了分治策略，通过递归地将大问题分解为更小的相似子问题来求解。 快速幂取模的基本思想是将大指数`b`分解为若干个较小的平方，直到指数变成1或者0。例如，要计算`2^100 mod 3`，可以先计算`2^50 mod 3`，然后将结果平方再模3，以此类推。如果遇到奇数指数，还需要额外乘以基数`a`。主要代码展示了如何用递归实现这个算法： ```java long mod(long a, long b, long m) { if (!b) return 1; // 边界处理：指数为0时，结果为1 if (b == 1) return a % m; // 边界处理：指数为1时，结果为a mod m long ans = mod(a, b / 2, m); // 进入下一层，计算a^(b/2) mod m ans = ans * ans % m; // 将ans自乘并模m，得到a^b/2 mod m if (b & 1) ans = ans * a % m; // 如果b是奇数，还需要乘以a并模m return ans; // 返回最终结果a^b mod m } ``` 调用这个函数时，只需要传入基数`a`、指数`b`和模数`m`即可。例如，要计算`2^100 mod 3`，可以编写`ans = mod(2, 100, 3)`，`ans`将包含计算结果。 除了递归方法，还可以使用递推法（基于二进制表示）来实现快速幂取模。首先将指数`b`转换为二进制表示，然后根据二进制位上的0和1进行计算。二进制中的0对应偶数次幂，1对应奇数次幂。在递推过程中，对于每个1的二进制位，需要将当前的`ans`自乘并乘以`a`，然后模`m`。 参考代码如下： ```java // 转换b为二进制数组 long[] t = new long[64]; int s = 0; while (b > 0) { t[++s] = b % 2; b /= 2; } // 递推计算 long ans = 1; for (int i = 1; i <= s; i++) { if (t[i]) { ans = ans * ans * a % m; } } ``` 快速幂取模算法大大减少了计算大指数所需的时间复杂度，比朴素的指数运算方法更高效，特别适合处理大规模的计算任务。"