图论算法详解：Dijkstra、Bellman-Ford与A*，掌握最短路径求解

图论是一门数学学科，主要研究图形结构及其在各种实际问题中的应用，特别是通过顶点和边来表示事物之间关系的抽象模型。本课程着重介绍图论中的关键算法，这些算法对于理解网络优化和数据通信至关重要。 1. **图论基础**: - 图论定义：图由顶点和边组成，用于表示不同对象间的连接，可以是无向或有向的，以及有限或无限的。常见的图类型包括无向图、有向图和混合图。 - 相关概念：如顶点的度（表示与之相连的边的数量）、入度和出度，以及图的连通性（是否任意两点间有路径可达）。 2. **图的存储方式**: - 直接存储边：直观表示图的结构，但空间效率不高。 - 邻接矩阵：二维数组，存储每对顶点间的边关系，适合稠密图。 - 邻接表：链表形式，适合稀疏图，节省空间。 - 链式前向星：针对无向图的一种特殊存储，用于快速查找邻居。 3. **遍历算法**: - DFS（深度优先搜索）：用于遍历图中的所有节点，常用于寻找路径或连通分量。 - BFS（广度优先搜索）：用于找到两点间最短路径，也可用于拓扑排序。 - 拓扑排序：按顺序排列图中节点，确保依赖关系得到满足。 4. **最短路径算法**: - Dijkstra算法：单源最短路径算法，按距离递增顺序寻找最短路径，适用于非负权重图。 - Bellman-Ford算法：支持负权重边，可以检测负权环，但效率较低。 - Floyd-Warshall算法：动态规划方法，求解所有点对之间的最短路径，适用于小型图。 - A*算法：启发式搜索，结合Dijkstra原理，通过估价函数加速搜索。 5. **算法应用与实践**: - 判环和字典序最小的判定：例如通过拓扑排序实现。 - 实战题目：提供了几个具体的编程练习题，如路径排序、车站分级问题、先序排列和文化之旅问题，有助于巩固理论知识。 总结来说，这门课程涵盖了图论的基础概念、图的存储结构、遍历策略、以及关键的最短路径算法。学习者将能够运用这些理论和技巧解决实际问题，特别是在计算机科学、网络设计和优化等领域。