C++实现迪杰斯塔拉最短路径算法

最短路径问题是在图论中非常常见的问题，其目标是找出在一个图（可以是有向或无向）中，两点之间的最短路径。解决这一问题的算法有多种，其中迪杰斯特拉（Dijkstra）算法是最经典和广泛应用的算法之一。 迪杰斯特拉算法由荷兰计算机科学家艾兹赫尔·迪杰斯特拉于1959年提出，旨在在一个加权图中找到从单一源点到其他所有节点的最短路径。它适用于带非负权重的图，并且可以扩展为找到源点到图中所有其他节点的最短路径树。 该算法的基本思路是：设置起点的最短路径已知且为零，而其他所有节点的最短路径未知。接着，算法迭代地选择与已知最短路径距离最近的未处理节点，更新其邻居节点的最短路径估计值。该过程一直持续到所有节点的最短路径被确定为止。 迪杰斯特拉算法的实现步骤如下： 1. 初始化：将所有节点分为两个集合：已找到最短路径的节点集合S和未找到的节点集合Q。初始时，源点的最短路径设置为0，其他所有节点的最短路径设置为无穷大，并将所有节点放入Q集合中。 2. 循环：若集合Q非空，则执行以下步骤： a. 从未处理的节点集合Q中选出距离源点最近的节点u（即最短路径最小的节点）。 b. 将节点u从集合Q中移除，并加入到已处理集合S中。 c. 更新节点u的所有未处理邻居节点v的最短路径估计值。如果通过节点u到节点v的路径比目前已知的到节点v的最短路径更短，则更新节点v的最短路径。 3. 结束条件：当所有节点都被加入到集合S中，即所有节点的最短路径都被确定时，算法结束。 在C++中实现迪杰斯特拉算法，可能需要以下几个数据结构和算法： - 图的表示：可以用邻接矩阵或邻接表来表示图。邻接矩阵适合稀疏图，而邻接表适合稠密图。 - 优先队列：为了高效地从未处理节点集合Q中选出最短路径最小的节点，通常使用优先队列数据结构，其中通常包含节点标识和从源点到该节点的当前最短路径估计。 - 松弛操作（Relaxation）：这是算法中更新节点最短路径估计值的过程。 - 路径记录：通常需要一个额外的数据结构来记录最短路径。 一个典型的C++实现可能如下： ```cpp #include <vector> #include <queue> #include <climits> using namespace std; vector<int> dijkstra(const vector<vector<pair<int, int>>>& graph, int source) { int n = graph.size(); vector<int> dist(n, INT_MAX); // 存储最短路径值 vector<int> prev(n, -1); // 用于记录路径 priority_queue<pair<int, int>, vector<pair<int, int>>, greater<pair<int, int>>> pq; // 最小堆优先队列 dist[source] = 0; pq.push({0, source}); // 将源点加入队列 while (!pq.empty()) { int u = pq.top().second; int d = pq.top().first; pq.pop(); if (d > dist[u]) continue; // 确保是最短路径 for (auto& edge : graph[u]) { int v = edge.first; int weight = edge.second; if (dist[u] + weight < dist[v]) { dist[v] = dist[u] + weight; prev[v] = u; // 更新路径 pq.push({dist[v], v}); // 将更新后的节点加入优先队列 } } } return dist; } ``` 上述代码中，`graph`是图的邻接表表示，`source`是源点。函数返回一个包含所有节点到源点最短路径值的向量。 迪杰斯特拉算法的时间复杂度取决于优先队列的实现。在使用二叉堆的情况下，算法的时间复杂度为O((V+E)logV)，其中V是顶点数量，E是边的数量。在一些特殊情况下，如使用斐波那契堆，算法的时间复杂度可以降低至O(VlogV + E)。 需要注意的是，当图中存在负权边时，迪杰斯特拉算法不再适用，此时可以使用贝尔曼-福特（Bellman-Ford）算法来找到最短路径，尽管它的时间复杂度较高。 除了迪杰斯特拉算法，还有其他算法可以解决最短路径问题，如弗洛伊德（Floyd-Warshall）算法可以解决所有点对之间的最短路径问题，而A*搜索算法则特别适用于启发式搜索。每种算法都有其特定的适用场景和优缺点。 迪杰斯特拉算法因其原理相对简单，且在非负权重图中的高效性，成为了图论与算法设计课程中的一个重点内容，同时也是实际应用中的常见算法之一。对于网络路由选择、地图导航系统、社交网络分析等领域有着广泛的应用。