Elad's Sparse & Redundant Representations: Theory to Image Processing Applications

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《稀疏与冗余表示：从理论到信号与图像处理应用》是Michael Elad在The Technion – Israel Institute of Technology撰写的一部作品，它深入探讨了稀疏表示和冗余表示在信号与图像处理领域的理论基础及其实际应用。本书分为两个主要部分，首先是理论探讨，包括数学原理、算法设计以及它们在信号处理中的基本概念，如线性代数中的稀疏矩阵和压缩感知理论。在理论部分，作者强调了稀疏性在表示中的核心作用，即信号或图像数据可以被有效地用少数非零元素来近似，这种特性使得数据在高维空间中具有显著的结构。这在数学上通常归结为压缩感知理论，它指出即使在采样不足的情况下，通过寻找最优的稀疏解也能重构信号。而冗余表示则是关注信号中存在的重复信息或多个不同但等效的表示方式，这对于图像压缩和编码技术至关重要。接着，书中的应用部分深入探讨了这些理论如何应用于实际问题。例如，图像降噪是其中的重要应用之一。通过稀疏表示，可以通过寻找图像中噪声最少的稀疏系数来去除噪声，这种方法在诸如小波变换、稀疏编码等方法中得到广泛应用。而去模糊则是另一个关键领域，通过对模糊图像进行稀疏优化，可以恢复出清晰度，这是基于反卷积和迭代算法实现的。此外，书中的内容还涵盖了图像压缩，通过构建冗余表示，如通过离散余弦变换（DCT）或小波变换将图像转换为系数空间，然后通过阈值或熵编码去除冗余，从而实现高效的数据存储和传输。这些方法在JPEG和JPEG2000等图像编码标准中占据核心地位。《稀疏与冗余表示》是一本将深度理论与实际案例相结合的著作，对于理解和实践信号与图像处理的工程师、研究人员以及对数据科学有兴趣的读者来说，提供了宝贵的理论指导和实践经验。它展示了稀疏和冗余表示在提升信号处理性能、提高图像质量和压缩效率方面的巨大潜力，以及它们在未来信息技术发展中的重要作用。

Contents

Part I Sparse and Redundant Representations – Theoretical and Numerical

Foundations

1 Prologue ...................................................... 3

1.1 Underdetermined Linear Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Regularization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 The Temptation of Convexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 A Closer Look at `

Minimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.5 Conversion of (P

) to Linear Programming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.6 Promoting Sparse Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.7 The `

-Norm and Implications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.8 The (P

) Problem – Our Main Interest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.9 The Signal Processing Perspective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Further Reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 Uniqueness and Uncertainty .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1 Treating the Two-Ortho Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1.1 An Uncertainty Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.1.2 Uncertainty of Redundant Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.1.3 From Uncertainty to Uniqueness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2 Uniqueness Analysis for the General Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2.1 Uniqueness via the Spark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2.2 Uniqueness via the Mutual-Coherence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2.3 Uniqueness via the Babel Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2.4 Upper-Bounding the Spark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.3 Constructing Grassmannian Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.4 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Further Reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

xvi Contents

3 Pursuit Algorithms – Practice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.1 Greedy Algorithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.1.1 The Core Idea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.1.2 The Orthogonal-Matching-Pursuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.1.3 Other Greedy Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.1.4 Normalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.1.5 Rate of Decay of the Residual in Greedy Methods . . . . . . . . . 43

3.1.6 Thresholding Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.1.7 Numerical Demonstration of Greedy Algorithms . . . . . . . . . . 46

3.2 Convex Relaxation Techniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.2.1 Relaxation of the `

-Norm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.2.2 Numerical Algorithms for Solving (P

).................. 51

3.2.3 Numerical Demonstration of Relaxation Methods . . . . . . . . . 51

3.3 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Further Reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4 Pursuit Algorithms – Guarantees .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.1 Back to the Two-Ortho Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.1.1 OMP Performance Guarantee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.1.2 BP Performance Guarantee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.2 The General Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.2.1 OMP Performance Guarantee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.2.2 Thresholding Performance Guarantee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.2.3 BP Performance Guarantee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.2.4 Performance of Pursuit Algorithms – Summary . . . . . . . . . . . 71

4.3 The Role of the Sign-Pattern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.4 Tropp’s Exact Recovery Condition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.5 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

Further Reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5 From Exact to Approximate Solutions .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.1 General Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.2 Stability of the Sparsest Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5.2.1 Uniqueness versus Stability – Gaining Intuition . . . . . . . . . . . 80

5.2.2 Theoretical Study of the Stability of (P

✏

)................ 82

5.2.3 The RIP and Its Use for Stability Analysis . . . . . . . . . . . . . . . 86

5.3 Pursuit Algorithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

5.3.1 OMP and BP Extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

5.3.2 Iteratively-Reweighed-Least-Squares (IRLS) . . . . . . . . . . . . . 91

5.3.3 The LARS Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.3.4 Quality of Approximations Obtained . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5.4 The Unitary Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

5.5 Performance of Pursuit Algorithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

5.5.1 BPDN Stability Guarantee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

5.5.2 Thresholding Stability Guarantee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

Contents xvii

5.6 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

Further Reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

6 Iterative-Shrinkage Algorithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

6.1 Background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

6.2 The Unitary Case - A Source of Inspiration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

6.2.1 Shrinkage For the Unitary case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

6.2.2 The BCR Algorithm and Variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

6.3 Developing Iterative-Shrinkage Algorithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

6.3.1 Surrogate Functions and the Prox Method . . . . . . . . . . . . . . . . 115

6.3.2 EM and Bound-Optimization Approaches . . . . . . . . . . . . . . . . 117

6.3.3 An IRLS-Based Shrinkage Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

6.3.4 The Parallel-Coordinate-Descent (PCD) Algorithm . . . . . . . . 120

6.3.5 StOMP: A Variation on Greedy Methods . . . . . . . . . . . . . . . . 123

6.3.6 Bottom Line – Iterative-Shrinkage Algorithms . . . . . . . . . . . . 125

6.4 Acceleration Using Line-Search and SESOP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

6.5 Iterative-Shrinkage Algorithms: Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

6.6 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

Further Reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

7 Towards Average PerformanceAnalysis .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

7.1 Empirical Evidence Revisited . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

7.2 A Glimpse into Probabilistic Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

7.2.1 The Analysis Goals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

7.2.2 Two-Ortho Analysis by Candes & Romberg . . . . . . . . . . . . . . 141

7.2.3 Probabilistic Uniqueness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

7.2.4 Donoho’s Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

7.2.5 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

7.3 Average Performance of Thresholding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

7.3.1 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

7.3.2 The Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

7.3.3 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

7.4 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

Further Reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

8 The Dantzig-Selector Algorithm .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

8.1 Dantzig-Selector versus Basis-Pursuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

8.2 The Unitary Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

8.3 Revisiting the Restricted Isometry Machinery . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

8.4 Dantzig-Selector Performance Guaranty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

8.5 Dantzig-Selector in Practice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

8.6 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

Further Reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

xviii Contents

Part II From Theory to Practice – Signal and Image Processing Applications

9 Sparsity-Seeking Methods in Signal Processing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

9.1 Priors and Transforms for Signals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

9.2 The Sparse-Land Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

9.3 Geometric Interpretation of Sparse-Land . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

9.4 Processing of Sparsely-Generated Signals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

9.5 Analysis Versus Synthesis Signal Modeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

9.6 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

Further Reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

10 Image Deblurring – A Case Study .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

10.1 Problem Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

10.2 The Dictionary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

10.3 Numerical Considerations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

10.4 Experiment Details and Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

10.5 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

Further Reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

11 MAP versus MMSE Estimation .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

11.1 A Stochastic Model and Estimation Goals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

11.2 Background on MAP and MMSE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

11.3 The Oracle Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

11.3.1 Developing the Oracle Estimator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

11.3.2 The Oracle Error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

11.4 The MAP Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

11.4.1 Developing the MAP Estimator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

11.4.2 Approximating the MAP Estimator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

11.5 The MMSE Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

11.5.1 Developing the MMSE Estimator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

11.5.2 Approximating the MMSE Estimator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

11.6 MMSE and MAP Errors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

11.7 More Experimental Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

11.8 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

Further Reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

12 The Quest for a Dictionary .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

12.1 Choosing versus Learning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

12.2 Dictionary-Learning Algorithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

12.2.1 Core Questions in Dictionary-Learning . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

12.2.2 The MOD Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

12.2.3 The K-SVD Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

12.3 Training Structured Dictionaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

12.3.1 The Double-Sparsity Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

12.3.2 Union of Unitary Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

12.3.3 The Signature Dictionary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

Contents xix

12.4 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

Further Reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

13 Image Compression – Facial Images . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

13.1 Compression of Facial Images . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

13.2 Previous Work . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

13.3 Sparse-Representation-Based Coding Scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

13.3.1 The General Scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

13.3.2 VQ Versus Sparse Representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

13.4 More Details and Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

13.4.1 K-SVD Dictionaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

13.4.2 Reconstructed Images . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

13.4.3 Run-Time and Memory Usage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

13.4.4 Comparing to Other Techniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

13.4.5 Dictionary Redundancy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

13.5 Post-Processing for Deblocking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

13.5.1 The Blockiness Artifacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

13.5.2 Possible Approaches For Deblocking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

13.5.3 Learning-Based Deblocking Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

13.6 Deblocking Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

13.7 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

Further Reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

14 Image Denoising .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

14.1 General Introduction – Image Denoising . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

14.2 The Beginning: Global Modeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

14.2.1 The Core Image-Denoising Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

14.2.2 Various Improvements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

14.3 From Global to Local Modeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

14.3.1 The General Methodology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

14.3.2 Learning the Shrinkage Curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

14.3.3 Learned Dictionary and Globalizing the Prior . . . . . . . . . . . . . 286

14.3.4 The Non-Local-Means Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

14.3.5 3D-DCT Shrinkage: BM3D Denoising . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296

14.4 SURE for Automatic Parameter Setting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

14.4.1 Development of the SURE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

14.4.2 Demonstrating SURE to Global-Threhsolding . . . . . . . . . . . . 300

14.5 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302

Further Reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

15 Other Applications .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309

15.1 General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309

15.2 Image Separation via MCA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

15.2.1 Image = Cartoon + T

exture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

15.2.2 Global MCA for Image Separation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312

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