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动态规划解石子合并问题算法详解

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在分析王晓东版的石子合并问题时,我们需要深入探讨几个关键概念:动态规划、算法设计以及问题的数学模型。以下是对石子合并问题的动态规划解法的知识点展开。 ### 石子合并问题背景 石子合并问题是计算机算法领域中的一类典型问题,主要涉及优化合并策略以达到特定目标。在本题中,目标是找出合并石子堆以得到最小和最大得分的策略。 ### 动态规划概述 动态规划是一种算法设计方法,主要解决具有重叠子问题和最优子结构特性的问题。该方法通过将问题分解为子问题,并存储子问题的解(通常在数组或表格中),来避免重复计算。其核心思想是通过“记忆化”(即存储子问题解)来达到降低计算复杂度的目的。 ### 石子合并问题的数学模型 石子合并问题可以抽象为图论中的环形路径问题,每堆石子代表图中的一个节点,节点之间的路径代表合并石子的可能方式。在动态规划的框架下,我们可以通过定义状态来表示子问题的解。 ### 动态规划状态定义 1. **最小合并得分**:定义一个二维数组`A`,其中`A[i][j]`表示合并第`i`堆到第`j`堆石子时的最小得分。 2. **最大合并得分**:定义一个类似的二维数组`B`,其中`B[i][j]`表示合并第`i`堆到第`j`堆石子时的最大得分。 ### 状态转移方程 对于最小合并得分,状态转移方程如下: - 当`i == j`时,`A[i][j] = stones[i]`,因为只有一堆石子。 - 当`i != j`时,`A[i][j] = min(A[i][k] + A[k+1][j] + sum(i, j))`,其中`k`是`i`到`j`范围内的任意整数,`sum(i, j)`表示从第`i`堆到第`j`堆石子的总数。 对于最大合并得分,状态转移方程类似,只不过此处应该是最大值。 ### 边界条件与初始值 - 数组`A`和`B`的对角线(即`A[i][i]`和`B[i][i]`)应该初始化为对应堆石子的数目,因为一粒石子的堆合并得分就是石子数。 - 每个石子堆的合并得分(即数组的对角线元素)也需预先存入到对应的文件中,供动态规划求解时使用。 ### 实现步骤 1. **数据读取**:从`input.txt`文件中读取石子堆的总数`n`以及每堆石子的数目。 2. **初始化数组**:创建数组`A`和`B`并根据上述方法初始化。 3. **状态填充**:通过嵌套循环,根据状态转移方程填充数组`A`和`B`。 4. **结果输出**:将计算得到的最小得分与最大得分输出到`output.txt`文件的相应位置。 ### 时间复杂度分析 通过动态规划的实现,我们可以将原本的`O(n^3)`时间复杂度降低到`O(n^2)`,因为我们避免了重复计算子问题的得分。 ### 注意事项 在实际编码中需要注意数组索引的边界条件,以及在输出结果时避免写入多余的换行符或空格,确保输出的准确性和文件的格式符合要求。 ### 结语 石子合并问题的动态规划解法是算法与数据结构课程中的经典案例,它不仅考察了问题建模和动态规划算法的理解与运用,而且也强化了对数据文件读写操作的掌握。通过该问题的学习,可以加深对动态规划在解决实际问题中应用的广度与深度的理解。

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做如下两个模型的石子合并,如下模型石子都不能移动出列,且合并都仅发生在相邻两堆石子中: (1)第一个模型:一行排列且相邻合并 有n堆石子形成一行(a1,a2,…,an,ai为第i堆石子个数),相邻两堆可合并,合并的分值为新堆的石子数。求合并为一堆的最低得分和最高得分。 (2)第二个模型:一圈排列且相邻合并 有n堆石子形成首位相连的一个环形(a1,a2,…,an,ai为第i堆石子个数,an和a1相邻),相邻两堆可合并,合并的分值为新堆的石子数。求合并为一堆的最低得分和最高得分。 例如4堆石子,每堆石子个数:9 4 4 5 若排成一行,最小分值:(4+4)+(8+5)+(9+13)=43,最大分值:(9+4)+(13+4)+(17+5)=52。 若排成圈状,最小分值:(4+4)+(8+5)+(9+13)=43,最大分值:(9+5)+(14+4)+(18+4)=54。 此题以第一模型的最低得分为例,很多同学想着采用总是从最小的相邻两堆下手的思想,最后获得的也就是最低得分。但这个贪心策略是不对的。 如下反例: 石子:9 4 6 1 5 贪心策略: 9 4 6 6 6 9 10 6 10 9 16 16 25 25 得分共计:6+10+16+25=57 但9 4 6 1 5 若如下方式合并: 13 6 1 5 13 13 6 6 6 13 12 12 25 25 13+6+12+25=56 或 9 4 6 6 6 9 4 12 12 13 12 13 25 25 6+12+13+25=56 后两种方式合并出的56都比贪心策略的57来的更低,因为总选择最小的相邻两堆去合并,并不能保证后续每步都可以最小,也许这轮最小导致后续几轮分值较大。 Input 两行。第一行n,第二行a1 a2 … an,每个ai(1<=i<=n)表示第i堆石子的个数,n<=100 Output 两行。第一行是第一个模型的最低得分和最高得分,中间空格相连,第二行是第二个模型的最低得分和最高得分,中间空格相连。 Sample Input 4 9 4 4 5 Sample Output 43 52 43 54 Hint 第一个石子合并模型,和书上3.1节的矩阵连乘问题类似. 假设m[i,j]为合并石子ai…aj, 1≤i≤j≤n,所得到的最小得分,若没有“合并”这个动作,则为0。原问题所求的合并最小值即为m[1,n]。 递推公式如下,其中min表示求最小,sum表示求和. (1) m[i,j]=0, if i=j (2) m[i,j]=min{m[i,k]+m[k+1][j] | for i<=k<j} + sum{a(t) | for i<=t<=j}, if i<j 至于求最大值完全同理. 至于第二个石子合并的环行模型,完全可以转化为第一个模型来求解.
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