探索计算几何：点、线、面的算法精粹

计算几何算法源码涉及到一系列复杂的数学概念和计算方法，主要是在计算机科学中用于解决几何问题的算法。以下是对标题和描述中提到的知识点的详细解释： 一、点的基本运算 1. 平面上两点之间距离：通过欧几里得距离公式计算两点间的直线距离，即勾股定理。 2. 判断两点是否重合：通过比较两点的坐标值，如果横纵坐标都相同则两点重合。 3. 矢量叉乘：在二维平面上，叉乘结果是标量，表示两个向量构成的平行四边形的有向面积；在三维空间中是向量。 4. 矢量点乘：通过点乘得到的标量值可以表示两个向量的夹角的余弦值。 5. 判断点是否在线段上：通过向量法判断点是否在线段的延长线上，以及是否在两条线段所构成的线段区间内。 6. 求一点饶某点旋转后的坐标：根据旋转矩阵或旋转向量可以计算出旋转后的坐标。 7. 求矢量夹角：利用点积公式求得夹角的余弦值，进而求得夹角。 二、线段及直线的基本运算 1. 点与线段的关系：判断点是在线段上方、下方、在线段上还是在线段延长线上。 2. 求点到线段所在直线垂线的垂足：通过线性代数的知识，找到垂足的坐标。 3. 点到线段的最近点：若点不在线上，则最近点可能是线段的端点，如果在直线上则最近点即为该点本身。 4. 点到线段所在直线的距离：根据点到直线的距离公式计算。 5. 点到折线集的最近距离：通过遍历每条线段找到最近距离。 6. 判断圆是否在多边形内：通过射线法等几何算法判断。 7. 求矢量夹角余弦：通过向量点积与模长的比值得到。 8. 求线段之间的夹角：利用矢量夹角余弦计算。 9. 判断线段是否相交：通过分析线段端点关系判断是否相交。 10. 判断线段是否相交但不交在端点处：排除端点重合情况下的线段相交判断。 11. 求线段所在直线的方程：应用点斜式或两点式直线方程求解。 12. 求直线的斜率：直线的斜率反映其倾斜程度。 13. 求直线的倾斜角：斜率的反正切值即为直线的倾斜角。 14. 求点关于某直线的对称点：通过几何变换找到对称点。 15. 判断两条直线是否相交及求直线交点：如果两直线斜率存在且不相等，则可以求得交点。 16. 判断线段是否相交，如果相交返回交点：先判断是否相交，然后计算出具体交点坐标。 三、多边形常用算法模块 1. 判断多边形是否简单多边形：简单多边形是指不自相交的多边形。 2. 检查多边形顶点的凸凹性：通过比较相邻边的内角来判断凸凹性。 3. 判断多边形是否凸多边形：所有内角都小于180度的多边形是凸多边形。 4. 求多边形面积：可以利用多边形顶点坐标通过梯形法则或分割成多个三角形来求解。 5. 判断多边形顶点的排列方向：方法一通常是指按照顺序遍历顶点，方法二可能涉及到更复杂的数学方法，如面积法。 6. 射线法判断点是否在多边形内：通过计算点与多边形各边形成的交点数来判断。 7. 判断点是否在凸多边形内：凸多边形内部任意一点都不会使射线与边相交超过两次。 8. 寻找点集的graham算法：是一种用于寻找点集凸包的著名算法。 9. 寻找点集凸包的卷包裹法：同样是用于寻找点集凸包的算法，与graham算法不同。 10. 判断线段是否在多边形内：通过射线法等手段判断线段与多边形边的交点关系。 11. 求简单多边形的重心：通过顶点坐标的平均值来计算重心。 12. 求凸多边形的重心：凸多边形的重心可以通过积分或特殊公式计算得到。 13. 求肯定在给定多边形内的一个点：利用多边形的几何属性找到这样一个点。 14. 求从多边形外一点出发到该多边形的切线：通过解析几何的方法求解。 15. 判断多边形的核是否存在：多边形核是指多边形内部的一个点，使得从该点出发到多边形任意边的垂线都落在该边上。 四、圆的基本运算 1. 点是否在圆内：利用圆的方程，将点的坐标代入判断其是否满足圆内坐标的要求。 2. 求不共线的三点所确定的圆：根据已知的三个不共线的点，可以求出它们确定的圆的方程。 五、矩形的基本运算 1. 已知矩形三点坐标，求第4点坐标：通过几何关系，找到第四个点的坐标。 六、常用算法的描述：这部分可能涉及上述所有算法的实现细节和步骤，是具体编程实现的描述。 七、补充 1. 两圆关系：包括两圆的相离、相切、相交等情况。 2. 判断圆是否在矩形内：通过分析圆心和半径与矩形边的位置关系判断。 3. 点到平面的距离：在三维空间中，点到平面的距离可以通过点与平面方程的应用求得。 4. 点是否在直线同侧：根据点和直线的位置关系判断。 5. 镜面反射线：通过几何原理计算反射光线。 6. 矩形包含：判断一个矩形是否包含在另一个矩形内。 7. 两圆交点：根据两圆的方程求得交点坐标。 8. 两圆公共面积：求两个相交圆的公共部分面积。 9. 圆和直线关系：包括相离、相切、相交等。 10. 内切圆：在多边形内部的圆，每条边都是圆的切线。 11. 求切点：求直线与圆或两圆之间的切点。 12. 线段的左右旋：通过旋转矩阵或旋转向量可以实现线段的左右旋转。 13. 公式：可能包括上述所有几何运算中使用的公式和方程。 压缩包子文件的文件名称列表中的Geometry.cpp可能指代包含上述所有算法实现的源代码文件。该文件中应该包含了用于计算几何问题的多种算法函数的C++实现，且函数可能被设计成能解决上述问题的模块化代码。