![Universidad Nacional de Huancavelica
SOLUTION.
▪ Datos: α = (20e-0.6t)rad/s2,Wo = 0, r = 1.75pies, t = 3s
▪ Como la aceleración angular no es constante, la velocidad angular del
ventilador(w) se determina a partir de: 𝛼 =
𝑑𝑤
𝑑𝑡
luego de integra.
▪
𝒅𝒘
𝒅𝒕
= 𝜶 → dw = αdt, integrando: 𝑑𝑤 = 0
𝑡
𝛼𝑑𝑡 → w = 0
𝑡
(20e−0.6t)𝑑𝑡
▪ W = −
20
0.6
(e-0.6t - e-0.6t )/0-t → W = −
𝟐𝟎
𝟎.𝟔
(e-0.6t - 1), esta el ecuación para
cualquier tiempo t, luego para t = 3s
▪ W = 27.82rad/s
▪ Luego hallando θ
▪ Sabemos que: 𝒘 =
𝒅𝜽
𝒅𝒕
→ dθ = wdt, integrando se tiene.
▪ dθ = 𝟎
𝒕
[−
𝟐𝟎
𝟎.𝟔
(e−0.6t − 1)]dt → θ = 8.54rev
13/09/2021 20](https://image.slidesharecdn.com/tema1cinemticadeuncuerporgido-210917150153/85/Tema-1-cinematica-de-un-cuerpo-rigido-20-320.jpg)
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Tema 1 cinemática de un cuerpo rígido
- 1. Universidad Nacional de Huancavelica SUBJECT: Dynamic. *THEME: Cinemática de un Cuerpo Rígido. Mg. Demetrio Soto Carbajal. [email protected] 13/09/2021 1 Faculty of civil environmental minig engineering Professional School of civil engineering-Lircay
- 2. Universidad Nacional de Huancavelica En esta unidad analizaremos la cinemática plana de un cuerpo rígido ➢El estudio es muy importante para el diseño de engranes, levas y mecanismos, muchas veces en operaciones mecánicas, EL MOVIMIENTO PLANO. Es cuando todas las partículas de un cuerpo rígido se mueven a lo largo de trayectorias que son equidistantes de un plano fijo, se dice que el cuerpo experimenta movimiento plano fijo. ➢Existen tres tipos de movimiento plano de un cuerpo rígido, en orden de complejidad creciente. ➢ Traslación ➢ Rotación con respecto a un eje fijo. ➢ Movimiento plano general 13/09/2021 2 CINEMÁTICA DE UN CUERPO RÍGIDO
- 3. Universidad Nacional de Huancavelica (1) TRASLACIÓN ▪ Este tipo de movimiento ocurre si cada segmento de línea sobre el cuerpo permanece paralelo a su dirección original durante el movimiento. ▪ Entonces cuando las trayectorias de movimiento para dos partículas cualesquiera del cuerpo son a lo largo de líneas rectas equidistantes, el movimiento se llama traslación rectilínea, pero si las trayectorias de movimiento pasan por líneas curvas que son equidistantes, el movimiento se llama traslación curvilínea.Veamos las graficas. ▪ fig(a) A2 ▪ B2 ▪ A1 trayectoria de traslación rectilínea B1 13/09/2021 3
- 4. Universidad Nacional de Huancavelica CONTINUOUS… ▪ A2 ▪ B2 ▪ A1 ▪ B1 ▪ Trayectoria de traslación curvilínea Para tener mayor comprensión de este fenómeno de traslación rectilínea o curvilínea, consideremos un cuerpo rígido que esta sometido a traslación rectilínea o curvilínea en el plano x-y. Veamos la grafica. 13/09/2021 4
- 5. Universidad Nacional de Huancavelica CONTINUOUS… ▪ y y´ ▪ B ▪ rB/A ▪ A x´ (S2) ▪ rB Sistema coordenado en traslación ▪ rA ▪ x ▪ 0 Sistema coordenado fijo (S1) ▪ Posición. La ubicación de los puntos A y B en el cuerpo de define desde el marco referencial fijo x,y, usando vectores de posición rA y rB 13/09/2021 5
- 6. Universidad Nacional de Huancavelica CONTINUOUS… ▪ El sistema de traslación x´, y´ esta fijo en el cuerpo y tiene su origen localizado en el punto A, al que lo llamaremos punto base. La posición de B con respecto a A es denotada mediante el vector de posición relativa rB/A (r de B con respecto a A), por adición vectorial se tiene: rB = rA + rB/A……………………………………………….(1) Velocidad. Una relación entre las velocidades instantáneas se obtiene tomando las derivadas con respecto al tiempo de la ecuación(1), lo cual resulta: 𝒅𝒓𝑩 𝒅𝒕 = 𝒅𝒓𝑨 𝒅𝒕 + 𝒅𝒓𝑩/𝑨 𝒅𝒕 , entonces se tiene: VB = VA + 𝒅𝒓𝑩/𝑨 𝒅𝒕 ………….…(2) Aquí, VA y VB denotan velocidades absolutas ya que son medidos desde los ejes x,y; donde el termino 𝒅𝒓𝑩/𝑨 𝒅𝒕 = 𝟎, por que la magnitud de rB/A es constante por definición de un cuerpo rígido, entonces el resultado es: VB = VA + 0 → VB =VA…………………………………………………………………………….(3) 13/09/2021 6
- 7. Universidad Nacional de Huancavelica CONTINUOUS… Aceleración. Tomando la derivada con respecto al tiempo de la ecuación (3) de la velocidad se obtiene una relación similar entre las aceleraciones instantáneas de A y B. 𝑑𝑉𝐵 𝑑𝑡 = 𝑑𝑉𝐴 𝑑𝑡 → aB = aA…………………………………………………(4) (2) ROTACIÓN CON RESPECTO A UN EJE FIJO. Cuando un cuerpo rígido gira con respecto a un eje fijo, todas las partículas del cuerpo excepto aquellas que se encuentran sobre el eje de rotación, se mueven por trayectorias circulares. El trompo es un ejemplo fijo. Aquí la velocidad y aceleración es cero 13/09/2021 7
- 8. Universidad Nacional de Huancavelica CONTINUOUS… Cuando un cuerpo esta girando alrededor de un eje fijo, cualquier punto P ubicado en el cuerpo viaja por una trayectoria circular. Para estudiar este movimiento es necesario analizar primero el movimiento angular del cuerpo alrededor del eje.Veamos: dθ regla de la mano derecha. α w figura (a) θ p dθ 13/09/2021 8 0 r
- 9. Universidad Nacional de Huancavelica CONTINUOUS… (1) Movimiento Angular. ❖ Como un punto no tiene dimensiones, por lo que carece de movimiento angular. ❖ Solamente las líneas o cuerpos experimentan movimiento angular. ❖Example. El movimiento angular de una línea radial r localizado dentro del plano sombreado y dirigido desde el punto O sobre el eje de rotación hasta el punto P. figura (a) (2) Posición Angular. ❖En el instante mostrado, la posición angular de r esta definida por el ángulo θ medido entre una línea de referencia fija y r. (3) Desplazamiento angular. Es el cambio en la posición angular que puede ser medido como 13/09/2021 9
- 10. Universidad Nacional de Huancavelica CONTINUOUS… un diferencial dθ, denominado desplazamiento angular: se mide en grados, radianes o revoluciones. ▪ Donde : 1rev = 2πrad, también θ y dθ están dirigidos en sentido contrario a las manecillas del reloj. (4) Velocidad Angular.(w) ❖Es la razón de cambio con respecto al tiempo de la posición angular, denotado por w, como dθ ocurre durante un instante dt, entonces se tiene: 𝑤 = 𝑑𝜃 𝑑𝑡 ………………………………………………………..…….(5) (5) Aceleración Angular.(α) ❖Mide la razón de cambio respecto al tiempo de la velocidad angular, denotado por α. ❖Donde: 𝛼 = 𝑑𝑤 𝑑𝑡 , donde: 𝑤 = 𝑑𝜃 𝑑𝑡 entonces: 𝛼 = 𝑑(𝑑𝜃) 𝑑𝑡(𝑑𝑡) → 𝛼 = 𝑑2𝜃 𝑑𝑡2 …….(6) 13/09/2021 10
- 11. Universidad Nacional de Huancavelica CONTINUOS… ▪ De (5) y (6) podemos obtener otra relación, así: ▪ 𝑤 = 𝑑𝜃 𝑑𝑡 𝑦 𝛼 = 𝑑𝑤 𝑑𝑡 , donde: dt = 𝑑𝜃 𝑤 luego en: 𝛼 = 𝑑𝑤 𝑑θ/𝑤 → 𝛼 = 𝑤𝑑𝑤 𝑑θ ▪ Entonces se tiene la relación: 𝜶𝒅𝜽 = 𝒘𝒅𝒘………………………(7) (6) Aceleración Angular Constante. Cuando la aceleración es constante: 𝛼 = 𝛼𝑐, se tiene un conjunto de relaciones con respecto a su velocidad angular del cuerpo, posición y tiempo. ❑ W = Wo + αct También tenemos: 𝜽 = s/r ❑luego: S = 𝜃𝑟……………* ❑ W2 = W2o +𝜽 = 𝜽𝒐 + Wot + 𝟏 𝟐 𝜶𝒄t2 2αc(θ – θo) ▪ Se sabe que: 𝒗 = 𝒅𝒔 𝒅𝒕 → de * se tiene: 𝒗 = 𝒅(𝜽𝒓) 𝒅𝒕 → 𝒗 = 𝒓𝒅𝜽 𝒅𝒕 → V = rw 13/09/2021 11
- 12. Universidad Nacional de Huancavelica CONTINUOUS… ▪ Cuando el cuerpo rígido gira, el punto P viaja por una trayectoria circular de radio r y centro en el punto 0, es decir: ▪ w ▪ v = rw ▪ 0 ▪ θ r ▪ p ▪ La posición de P. Esta definida por el vector de posición de r, el cual se extiende desde 0 hasta P. ▪ La velocidad de P. Tiene una magnitud que puede encontrarse a partir de sus componentes de coordenadas polares. 13/09/2021 12
- 13. Universidad Nacional de Huancavelica CONTINUOUS… (1) Radial:Vr = ṙ (2) Transversal:Vθ = r ሶ 𝜃 La velocidad es V = rw………………………………………(8) Donde V es tangente a la trayectoria circular. La aceleración de P. Puede ser expresada en términos de sus componentes Normal y Tangencial, como: 𝒂𝑻 = 𝒅𝒗 𝒅𝒕 , 𝒂𝒏 = 𝒗𝟐 𝒓 → 𝑎𝑇 = 𝑑(𝑟𝑤) 𝑑𝑡 → 𝑎𝑇 = 𝑟𝑑𝑤 𝑑𝑡 → 𝒂𝑻 = 𝜶𝒓…………………… .(9) 𝒂𝒏 = (𝒓𝒘)𝟐 𝒓 → 𝒂𝒏 = r2w2 𝑟 → 𝒂𝒏 = rw2 ….………………….(10) Luego el modulo ІaІ = 𝑎𝑇 2 + 𝑎𝑛 2………………………………………..(11) 13/09/2021 13
- 14. Universidad Nacional de Huancavelica EXAMPLE - 01. La velocidad angular del disco esta definida por: W = (5t2 + 2) rad/s, donde t esta en segundos. Determine las magnitudes de la velocidad y la aceleración del punto A sobre el disco, cuando t = 0.5s, ver figura. A Solution. Datos:W = (5t2 + 2) rad/s, t = 0.5s, hallamos, VA , aA (aT, an) 13/09/2021 14 0.8m
- 15. Universidad Nacional de Huancavelica CONTINUOUS… Hallando la velocidad en el punto A. VA = wr → para t = 0.5s VA = (5t2 + 2)(0.8) → VA = {5(0.5)2 + 2}(0.8) → VA = (1.25 + 2)(0.8), luego: VA = 2.6m/s Hallando la aceleración aA, pero primero hallamos la aceleración angular (α) luego la aceleración tangencial (aT) α = 𝑑𝑤 𝑑𝑡 → α = 𝑑 𝑑𝑡 (5t2 + 2) → α = (10t)rad/s2, para: t= 0.5s, tenemos: α = 10(0.5)rad/s2 → α = 5rad/s2 Entonces: aT = αr → aT = (5)(0.8) → aT = 4m/s2 También, hallamos la aceleración normal(an) an = V2 𝑟 → an = (wr)2 𝑟 → an = w2r → an = (5t2 + 2)2 (0.8), para: t=0.5s 13/09/2021 15
- 16. Universidad Nacional de Huancavelica CONTINUOUS… an = (5(0.5)2 + 2)2 (0.8) → an = (10.5625)(0.8), operando tenemos: an = 8.45m/s2 Finalmente la magnitud o módulo de la aceleración en el punto A, se tiene: ІaAІ = 𝑎𝑇 2 + 𝑎𝑛 2 → │ aA│= 4 2 + 8.45 2 │ aA│= 16 + 71.4025 │ aA│= 87.4025 │ aA│= 𝟗. 𝟑𝟓𝐦/𝐬𝟐 13/09/2021 16
- 17. Universidad Nacional de Huancavelica EXAMPLE – 02. Una rueda tiene velocidad angular inicial en sentido de las manecillas del reloj de 10rad/s y aceleración angular constante de 3rad/s2. Determine el número de revoluciones que debe experimentar para adquirir una velocidad angular en el mismo sentido de 15rad/s ¿Qué tiempo se requiere? SOLUTION. Datos: Wo = 10rad/s, αc = 3rad/s2,W = 15rad/s , θo = 0 El tiempo en variar la velocidad angular de la rueda se determina usando al siguiente expresión. W = Wo + αct → 15 = 10 +3t → t = 5/3 → t = 1.667s Usando este resultado, el número de revoluciones (posición angular θ ) se determina, a través de la de la siguiente relación. θ = θo + Wot + 1 2 𝛼𝑐t2 → θ = 0 +10(1.667) + 1 2 (3)(1.667)2 luego se tiene: 13/09/2021 17
- 18. Universidad Nacional de Huancavelica CONTINUOUS… ▪ θ = 16.67 + 1 2 (3)(2.77889). Donde: θ = 𝟐𝟎. 𝟖𝟒𝐫𝐚𝐝. ▪ También usando la expresión ( otro proceso) ▪ W2 = W2o + 2αc(θ-θo) → W2 = W2o + 2αcθ → 152 =102 + 2(3)θ, luego: ▪ 152 -102 = 6θ → 225 – 100 = 6θ → θ = 20.83rad ▪ Finalmente llevando a revoluciones. ▪ θ = 20.83rad 1rev ▪ 2𝝅rad ▪ 𝜽 = 𝟐𝟎.𝟖𝟑 𝟔.𝟐𝟖𝟑𝟏𝟗 ▪ θ = 3.315rev 13/09/2021 18
- 19. Universidad Nacional de Huancavelica EXAMPLE-03. ▪ Justo después que el ventilador es encendido el motor da al aspa una aceleración angular de α = (20e-0.6t)rad/s2, donde t esta en segundos. Determine la velocidad del punto P de una de las aspas cuando t = 3s.¿Cuántas revoluciones ha efectuado el aspa en 3s? Cuando t = 0, el aspa esta en reposo.Ver figura. ▪ ▪ 1.75pies 13/09/2021 19
- 20. Universidad Nacional de Huancavelica SOLUTION. ▪ Datos: α = (20e-0.6t)rad/s2,Wo = 0, r = 1.75pies, t = 3s ▪ Como la aceleración angular no es constante, la velocidad angular del ventilador(w) se determina a partir de: 𝛼 = 𝑑𝑤 𝑑𝑡 luego de integra. ▪ 𝒅𝒘 𝒅𝒕 = 𝜶 → dw = αdt, integrando: 𝑑𝑤 = 0 𝑡 𝛼𝑑𝑡 → w = 0 𝑡 (20e−0.6t)𝑑𝑡 ▪ W = − 20 0.6 (e-0.6t - e-0.6t )/0-t → W = − 𝟐𝟎 𝟎.𝟔 (e-0.6t - 1), esta el ecuación para cualquier tiempo t, luego para t = 3s ▪ W = 27.82rad/s ▪ Luego hallando θ ▪ Sabemos que: 𝒘 = 𝒅𝜽 𝒅𝒕 → dθ = wdt, integrando se tiene. ▪ dθ = 𝟎 𝒕 [− 𝟐𝟎 𝟎.𝟔 (e−0.6t − 1)]dt → θ = 8.54rev 13/09/2021 20
- 21. Universidad Nacional de Huancavelica FOR HAUSE. ▪ El rotor de una turbina de gas gira a una velocidad de 7200rpm, cuando la turbina deja de operar, se observa que se requieren 5min para que el rotor se detenga. Suponiendo movimiento uniformemente acelerado; determine: ▪ (1) La aceleración angular. ▪ (2) El número de revoluciones. ▪ Wo = 7200rpm, llevar a rad/s ▪ Solution. ▪ W = Wo + α t, despejar: α = ??? ▪ 𝜽 = 𝜽𝒐 + Wot + 𝟏 𝟐 𝜶t2 ▪ Δθ ▪ N° de revoluciones = ∆𝜽 𝟐𝝅𝒓𝒂𝒅 13/09/2021 21
- 22. Universidad Nacional de Huancavelica ´´ Tayta DIOSMAN KUTIRIKUY…Payqa kuyasunkim…´´ Gracias… thanks you very much. 13/09/2021 22