APG Pertemuan 1-2 (1)
0 likes1,028 views
Dokumen ini membahas analisis peubah ganda dan teknik untuk menganalisis data dengan lebih dari satu variabel, termasuk konsep pengelompokan, reduksi data, serta hubungan antar variabel. Selain itu, dijelaskan juga mengenai matriks, vektor, dan statistik deskriptif yang digunakan untuk mengolah dan memahami data tersebut. Teknik statistik ini penting untuk prediksi, pengujian hipotesis, dan memahami hubungan antar variabel dalam berbagai aplikasi yang kompleks.
![3
5
Klasifikasi ini dibuat berdasarkantiga karakteristik data yang diamati:
Apakah variabel dapat dibagi ke
dalam kelompok variabel tak
bebas dan variabel bebas
[menurut teori]?
• Teknik Interdepensi
• Teknik Dependensi
Jika ya, berapa banyak variabel
yang digunakan sebagai var. tak
bebas?
• Satu
• Lebih dari satu
Bagaimana variabel - variabel
tsb diukur?
• Metric
• Non Metric](https://image.slidesharecdn.com/apgpert1-2-withwatermark-200113015234/85/APG-Pertemuan-1-2-1-5-320.jpg)
![3
• X’ = [X1 , X2 ,..., XP] merupakan random vector ukuran p×1, dimana masing-masing
elemen dari X merupakan variabelacak.
• Rata-rata dan kovariansdari vektor acak X ukuran p×1 dapat dinyatakan dalam
matriks sebagai berikut.
E(X) =
𝐸(𝑋1)
𝐸(𝑋2)
⋮
𝐸(𝑋 𝑝)
=
𝜇1
𝜇2
⋮
𝜇 𝑝
= µ
= E (X-µ)(X-µ)’
= Cov (X) =
𝜎11
𝜎21
⋮
𝜎 𝑝1
𝜎12
𝜎22
⋮
𝜎 𝑝2
⋯
⋯
⋱
⋯
𝜎1𝑝
𝜎2𝑝
⋮
𝜎 𝑝𝑝
28](https://image.slidesharecdn.com/apgpert1-2-withwatermark-200113015234/85/APG-Pertemuan-1-2-1-28-320.jpg)
More Related Content
Similar to APG Pertemuan 1-2 (1) (20)
![[01] Pertemuan 1 - Matriks dan Operasinya 2018.ppt](https://cdn.slidesharecdn.com/ss_thumbnails/01pertemuan1-matriksdanoperasinya2018-250619225212-c8770d6b-thumbnail.jpg?width=560&fit=bounds)
APG Pertemuan 1-2 (1)
- 2. Pengertian APG dan alasan penggunaan APG 3 2OUTLINE Kegunaan APG Klasifikasi APG
- 3. Analisis peubah ganda (multivariate) adalah analisis statistik dari sekumpulan data pada lebih dari satu variabel. • Menggambarkan suatu objek tidak cukup menggunakan satu peubah saja • Kasus pengamatanpeubah ganda dijumpaidi seluruh bidang terapan • Perlu analisis lebih canggih jika antar peubah tidak saling bebas & 3 3 Pengertian APG Alasan Penggunaannya
- 4. 3 4 • Reduksi data. Mereduksi variabelyang banyak menjadi sedikit tanpa merubahinformasi yang dibutuhkan. • Pengelompokan/klasifikasi,mengelompokkanatau mengklasifikasikanobjek dalam kelompok–kelompok. • Menyelidikihubungan/keterkaitanantar variabel • Prediksi • Membentuk dan menguji hipotesis
- 5. 3 5 Klasifikasi ini dibuat berdasarkantiga karakteristik data yang diamati: Apakah variabel dapat dibagi ke dalam kelompok variabel tak bebas dan variabel bebas [menurut teori]? • Teknik Interdepensi • Teknik Dependensi Jika ya, berapa banyak variabel yang digunakan sebagai var. tak bebas? • Satu • Lebih dari satu Bagaimana variabel - variabel tsb diukur? • Metric • Non Metric
- 6. 3 6 • Teknik dependensidapat didefinisikansebagai variabelmana saja yang merupakan penjelas dan yang mana yang dijelaskan • Sedangkan teknik interdependensi tidak ada satu variabelatau sekelompok variabelyang didefniskansbg variabelbebas atau tak bebas (hnaya var X atau Y saja),variabeldi dalam gugus data dilibatkan secara simultan
- 8. 3 8 Ilustrasi pengukurankarakteristik atau variabel(biasadisebut data)dapat ditampilkan dalam berbagai cara: • Tabel • Matirks • Grafik, plot data • Verbal
- 9. 3 9 Suatu kumpulan data dapat disusun menjadi sebuah matriks. X = 𝑥11 ⋯ 𝑥1𝑝 ⋮ ⋱ ⋮ 𝑥 𝑛1 ⋯ 𝑥 𝑛𝑝 , dimana n = banyaknya observasi p = banyaknyavariabel Contoh : Diketahui : Variabel 1 (penjualan (dollar)) : 42 52 48 58 Variabel 2 (jumlah buku) : 4 5 4 3 Maka data array tersebut dapat disusun menjadi matriks berikut. X = 42 52 48 4 5 4 58 3
- 10. 3 10 Statistik deskriptifmeliputipenghitungan: • Sample Mean: 𝑥 𝑘 = 1 𝑛 𝑗=1 𝑛 𝑥𝑗𝑘 • Sample Variance: 𝑠 𝑘 2 = 𝑠 𝑘𝑘 = 1 𝑛 𝑗=1 𝑛 (𝑥𝑗𝑘 − 𝑥 𝑘)2 • Sample Covariance: 𝑠𝑖𝑘 = 1 𝑛 𝑗=1 𝑛 (𝑥𝑗𝑖 − 𝑥𝑖)(𝑥𝑗𝑘 − 𝑥 𝑘) • Sample Variance-CovariansMatrix: 𝐒 𝑛 = 𝑠11 𝑠12 𝑠21 𝑠22 ⋯ 𝑠1𝑝 ⋯ 𝑠2𝑝 ⋮ ⋮ 𝑠 𝑝1 𝑠 𝑝2 ⋱ ⋮ ⋯ 𝑠 𝑝𝑝 • Sample Correlation: 𝑟𝑖𝑘 = 𝑠 𝑖𝑘 𝑠 𝑖𝑖 𝑠 𝑘𝑘 = 𝑗=1 𝑛 (𝑥 𝑗𝑖− 𝑥𝑖)(𝑥 𝑗𝑘− 𝑥 𝑘) 𝑗=1 𝑛 (𝑥 𝑗𝑘− 𝑥 𝑘)2 𝑗=1 𝑛 (𝑥 𝑗𝑘− 𝑥 𝑘)2 • Sample CorrelationMatrix: 𝐑 = 1 𝑟12 𝑟21 1 ⋯ 𝑟1𝑝 ⋯ 𝑟2𝑝 ⋮ ⋮ 𝑟𝑝1 𝑟𝑝2 ⋱ ⋮ ⋯ 1
- 11. 3 11 Scatter Plot Box Plot Stem and Leaf
- 12. 3 Stars Plot Chernoff Faces 12
- 13. 3 Ukuran jarak harus memenuhisyarat berikut: d(P,Q) = d(Q, P) d(P,Q) > 0 if P ≠ Q d(P,Q) = 0 if P = Q d(P,Q) ≤ d(P,O) + d(O,Q) (ketidaksamaansegitiga) P OQ 𝑥2 𝑥1 𝑑 𝑂, 𝑃 = 𝑥1 2 + 𝑥2 2 13 Klik disiniMau latihan soal bab ini?
- 16. 3 • Vektor adalah suatu susunan bilanganriil 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥 𝑛, dan dituliskan dalam bentuk berikut: 𝐱 = 𝑥1 𝑥2 ⋮ 𝑥 𝑛 • Nama vector dituliskan dengan huruf kecil tebal. • Vektor dapat dikalikan dengan bilangansaklar 𝑐𝐱 = 𝑐𝑥1 𝑐𝑥2 ⋮ 𝑐𝑥 𝑛 • Dua vektor dapat dijumlahkan. Penjumlahan 𝐱 dan 𝐲 didefinisikan: 𝐱 + 𝐲 = 𝑥1 𝑥2 ⋮ 𝑥 𝑛 + 𝑦1 𝑦2 ⋮ 𝑦 𝑛 = 𝑥1 + 𝑦1 𝑥2 + 𝑦2 ⋮ 𝑥 𝑛 + 𝑦 𝑛 16
- 17. 3 • Vektor memiliki panjang dan arah. Panjang vektor berdimensi n didefinisikan sebagai: 𝐿 𝐱 = 𝑥1 2 + 𝑥2 2 + ⋯ + 𝑥 𝑛 2 • Perkalian dengan bilangan skalar c akan mengubah panjang vektor 𝐱 𝐿 𝐱 = 𝑐2 𝑥1 2 + 𝑐2 𝑥2 2 + ⋯ + 𝑐2 𝑥 𝑛 2 = 𝑐 𝑥1 2 + 𝑥2 2 + ⋯ + 𝑥 𝑛 2 = 𝑐 𝐿 𝐱 • Vektor x akan diperpanjangjika 𝑐 > 1 dan diperpendek jika 0 < 𝑐 < 1, akan berubah arah jika nilai c negatif. • Jika 𝒆 = 𝒙 𝐿 𝒙 Maka, 𝒆 disebut sebagai vector normal dari x, dan panjang vector 𝒆 selalu bernilai 1. • Dua buah vector x dan y dikatakan ortogonal satu sama lain jika x’y = 0 17
- 18. 3 Misalkan terdapat dua vektor pada bidang datar dan 𝜃 adalah sudut di antara kedua vektor tersebut. Maka sudut 𝜃 di antara vektor 𝐱′= 𝑥1, 𝑥2 dan 𝐲′ = 𝑦1, 𝑦2 ialah cos 𝜃 = 𝑥1 𝑦1 + 𝑥2 𝑦2 𝐿 𝐱 𝐿 𝒚 Untuk 𝑛 = 2 dimensi, perkalian 𝐱 dan 𝐲: 𝐱′ 𝐲 = 𝑥1 𝑦1 + 𝑥2 𝑦2 Maka: 𝐿 𝐱 = 𝐱′ 𝐱 cos 𝜃 = 𝐱′ 𝐲 𝐿 𝐱 𝐿 𝒚 = 𝐱′ 𝐲 𝐱′ 𝐱 𝐲′ 𝐲 x y 18
- 19. 3 • Vektor y = a1x1 + a2x2 + ... + akxk merupakan kombinasi linier darivektor-vektor x1, x2, ..., xk . • Himpunan kombinasi linier dari x1, x2, ..., xk, disebut dengan rentanglinier. • Himpunan vektor 𝐱1, 𝐱2, … , 𝐱 𝑘 dikatakan tidakbebaslinier(linearlydependent) jika terdapat bilanganskalar 𝑎1, 𝑎2, … 𝑐 𝑘 yang tidak semuanya bernilai nol 𝑎1 𝐱1 + 𝑎2 𝐱2 + ⋯ + 𝑎 𝑘 𝐱 𝑘 = 𝟎 Jika tidak, maka vektor dikatakan bebas linier(linearlyindependent). 19
- 20. 3 Proyeksi vektor 𝐱 pada 𝐲 adalah: 𝐱′ 𝐲 𝐲′ 𝐲 𝐲 = (𝐱′ 𝐲) 𝐿 𝒚 1 𝐿 𝒚 𝐲 Panjang proyeksi vektor 𝐱 pada 𝐲: 𝐱′ 𝐲 𝐿 𝒚 = 𝐿 𝒙 𝐱′ 𝐲 𝐿 𝒙 𝐿 𝒚 = 𝐿 𝒙 cos(𝜃) dengan 𝜃 adalahsudut antara 𝐱 dan 𝐲 x y 𝐱′ 𝐲 𝐲′ 𝐲 𝐲 20
- 21. 3 • Matriks adalah susunanbilanganyang dinyatakandalam baris dan kolom. Bentuk matriks berukuran n × p adalah sebagai berikut 𝐀(𝑛×𝑝) = 𝑎11 𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑝 𝑎21 𝑎22 ⋮ ⋮ ⋯ ⋱ 𝑎2𝑝 ⋮ 𝑎 𝑛1 𝑎 𝑛2 ⋯ 𝑎 𝑛𝑝 • Nama matriks dituliskan dengan huruf kapital tebal. • Operasi transpos pada matriks mengubah kolom menjadi baris dan baris menjadi kolom • Dua matriks A dan B dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika memiliki dimensi yang sama. • Matriks dapat dikali dengan bilangan skalar c 𝑐𝐀(𝑛×𝑝) = 𝑐𝑎11 𝑐𝑎12 ⋯ 𝑐𝑎1𝑝 𝑐𝑎21 𝑐𝑎22 ⋮ ⋮ ⋯ ⋱ 𝑐𝑎2𝑝 ⋮ 𝑐𝑎 𝑛1 𝑐𝑎 𝑛2 ⋯ 𝑐𝑎 𝑛𝑝 • Dua matriks A (n × k) dan B (k × p) dapat dikalikan jika jumlah baris matriks A sama dengan jumlah kolom matriks B sehingga terbentuk matriks AB (n × p) • Matriks persegi dikatakan simetris jika 𝐀 = 𝐀′ atau 𝑎𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖 untuk semua i dan j • Jika matriks I (k × k) adalah matriks identitas, yaitu matriks yang diagonal utamanya bernilai 1 dan elemen lainnya bernilai 0, maka 𝐈𝐀 = 𝐀𝐈 = 𝐈 untuk setiap matriks A (k × k) • Matriks B (k × k) dikatakan invers dari matriks A (k × k) jika: 𝐁𝐀 = 𝐀𝐁 = 𝐈 21
- 22. 3 Untuk semua matriks A, B, dan C (dengan dimensi yang sama) dan skalar c dan d, berikut merupakan sifat-sifat matriks: • (A + B) + C = A + (B + C) • A + B = B + A • c(A + B) = cA + cB • (c + d)A = cA + dA • (A + B)’ = A’ + B’ • (cd)A = c(dA) • (cA)’ = c A’ • c(AB) = (cA)B • A(BC) = (AB)C • A (B+C) = AB+AC • (B+C)A = BA+CA • (AB)’ = B’ A’ • AB ≠ BA 𝑗=1 𝑛 𝐀𝐱𝒋 = 𝐀 𝑗=1 𝑛 𝐱𝒋 𝑗=1 𝑛 (𝐀𝐱𝒋)(𝐀𝐱𝒋)′ = 𝐀 𝒋=𝟏 𝒏 𝐱𝒋 𝐱 𝒋 ′ 𝐀′ Determinan dari matriks A k x k = {aij}, dilambangkan dengan |A|, merupakan skalar. Jika matriks k x k adalah matriks identitas (I), maka |I| = 1. 22
- 23. 3 • Matriks A memiliki invers jika kolom 𝐚1, 𝐚2, … , 𝐚 𝑘 bebas linier.Sehingga 𝐀−1 sama dengan: 𝑐1 𝐚1 + 𝑐2 𝐚2 + ⋯ + 𝑐 𝑘 𝐚 𝑘 = 0 hanya jika 𝑐1 = ⋯ = 𝑐 𝑘 = 0 • Matriks orthogonalditunjukkan dengan: 𝐐𝐐′ = 𝐐′ 𝐐 = 𝐈 atau 𝐐′ = 𝐐−𝟏 • Matriks persegi 𝐀 dikatakan memiliki nilai eigen 𝜆, dengan vektor eigen 𝐱 ≠ 0 yang bersesuaian,jika: 𝐀𝐱 = λ𝐱 • Umumnya, vektor eigen x dinormalisasisehingga1 = 𝐱′ 𝐱. Vektor eigen yang dinormalisasi dinotasikandengan 𝒆. 23
- 24. 3 • Matriks simetris 𝐀 berukurank × k dikatakan definit positif jika: 0 < 𝐱′ 𝐀𝐱 untuk semua vektor 𝐱 ≠ 𝟎 • Ekspansi dari matriks simetris disebut dekomposisi spektral. Dekomposisi spektral dari 𝐀: 𝐀 = 𝜆1 𝐞1 𝐞′1 + 𝝀2 𝐞2 𝐞′2 + ⋯ + 𝜆 𝑘 𝐞 𝑘 𝐞′ 𝑘 Menggunakan dekomposisi spektral, dapat ditunjukkan bahwa matriks simetris 𝐀 berukuran k × k merupakan matriks definit positif jika dan hanya jika semua nilai eigen 𝐀 positif. 24 Klik disiniMau tahu lebih banyak tentang matiks definit positif?
- 25. 3 • Dekomposisispectral dimanfaatkan untuk menghitunginvers matriks persegi 𝐀 = 𝒊=𝟏 𝒌 𝜆𝒊 𝐞𝒊 𝐞′𝒊 = 𝐏𝚲𝐏′ dengan 𝐏𝐏′ = 𝐏′ 𝐏 = 𝐈 dan 𝚲 adalahmatriks diagonal 𝚲(𝑘×𝑘) = 𝜆1 0 ⋯ 0 0 𝜆2 ⋮ ⋮ ⋯ ⋱ 0 ⋮ 0 0 ⋯ 𝜆 𝑘 Sehingga: 𝐀−1 = 𝐏𝚲−1 𝐏′ = 𝒊=𝟏 𝒌 𝟏 𝝀𝒊 𝐞𝒊 𝐞′𝒊 • Selanjutnya, 𝚲−𝟏 menunjukkanmatriks diagonaldengan 𝜆𝑖 sebagai elemen diagonalke-i. Matriks 𝑖=1 𝑘 𝜆𝑖 𝐞𝑖 𝐞′𝑖 = 𝐏𝚲1/2 𝐏′ disebut akar kuadrat dari 𝐀 dan dilambangkandengan 𝐀1/2. 25
- 26. 3 Matriks akar kuadrat dari matriks definit positif 𝐀, 𝐀1/2 = 𝑖=1 𝑘 𝜆𝑖 𝐞𝑖 𝐞′𝑖 = 𝐏𝚲1/2 𝐏′ memiliki sifat: 1. 𝐀1/2 ′ = 𝐀1/2 (sehingga 𝐀1/2 simetris) 2. 𝐀1/2 𝐀1/2 = 𝐀 3. 𝐀1/2 −1 = 𝒊=𝟏 𝒌 𝟏 𝝀 𝒊 𝐞𝒊 𝐞′𝒊 = 𝐏𝚲−1/2 𝐏′ , dimana 𝚲−1/2 adalah diagonalmatriks dengan 1/ 𝜆𝑖 sebagai elemen diagonal ke-i 4. 𝐀1/2 𝐀−1/2 = 𝐀−1/2 𝐀1/2 = 𝐈 dan 𝐀−1/2 𝐀−1/2 = 𝐀−1, dimana 𝐀−1/2 = 𝐀−1/2 −1 26
- 27. 3 • Randomvector adalahvektor yang elemennya berupa random variable, sedangkanrandom matrix adalah matriks yang elemennya berupa random variabel. • Misalkan X dan Y merupakan random matriks yang mempunyai dimensisama, kemudian A dan B merupakan konstanta matriks maka : E(X+Y)= E(X) + E(Y) E(AXB)=A E(X) B 27
- 28. 3 • X’ = [X1 , X2 ,..., XP] merupakan random vector ukuran p×1, dimana masing-masing elemen dari X merupakan variabelacak. • Rata-rata dan kovariansdari vektor acak X ukuran p×1 dapat dinyatakan dalam matriks sebagai berikut. E(X) = 𝐸(𝑋1) 𝐸(𝑋2) ⋮ 𝐸(𝑋 𝑝) = 𝜇1 𝜇2 ⋮ 𝜇 𝑝 = µ = E (X-µ)(X-µ)’ = Cov (X) = 𝜎11 𝜎21 ⋮ 𝜎 𝑝1 𝜎12 𝜎22 ⋮ 𝜎 𝑝2 ⋯ ⋯ ⋱ ⋯ 𝜎1𝑝 𝜎2𝑝 ⋮ 𝜎 𝑝𝑝 28
- 29. 3 Koefisien korelasi populasi (𝜌𝑖𝑘) digunakan untuk menghitunghubungan atau asosiasilinier diantara variabelacak 𝑋𝑖 dan 𝑋 𝑘 𝜌𝑖𝑘 = 𝜎𝑖𝑘 𝜎 𝑖𝑖 𝜎 𝑘𝑘 𝜌 = 𝜎11 𝜎11 𝜎11 𝜎12 𝜎11 𝜎22 ⋮ 𝜎1𝑝 𝜎11 𝜎 𝑝𝑝 𝜎12 𝜎11 𝜎22 𝜎22 𝜎22 𝜎22 ⋮ 𝜎2𝑝 𝜎22 𝜎 𝑝𝑝 ⋯ ⋯ ⋱ ⋯ 𝜎1𝑝 𝜎11 𝜎 𝑝𝑝 𝜎2𝑝 𝜎22 𝜎 𝑝𝑝 ⋮ 𝜎 𝑝𝑝 𝜎 𝑝𝑝 𝜎 𝑝𝑝 = 1 𝜌12 ⋮ 𝜌1𝑝 𝜌12 1 ⋮ 𝜌2𝑝 ⋯ ⋯ ⋱ ⋯ 𝜌1𝑝 𝜌2𝑝 ⋮ 1 Sedangkan standar deviasi dari matriks p×p sebagai berikut. 𝑽1/2 = 𝜎11 0 ⋮ 0 0 𝜎22 ⋮ 0 ⋯ ⋯ ⋱ ⋯ 0 0 ⋮ 𝜎 𝑝𝑝 = 𝑽1/2 𝜌 𝑽1/2 𝜌 = (𝑽 1 2)−1 (𝑽 1 2)−1 29
- 30. 3 X = 𝑋1 ⋮ 𝑋 𝑞 ⋯ 𝑋 𝑞+1 ⋮ 𝑋 𝑝 = 𝐗(1) ⋯ 𝐗(2) , dan µ = E(X) = µ1 ⋮ µ 𝑞 ⋯ µ 𝑞+1 ⋮ µ 𝑝 = µ(𝟏) ⋯ µ(𝟐) 12 = E(𝐗(1) − µ 𝟏 )(𝐗 2 − µ 𝟐 )′ = 𝜎1,𝑞+1 𝜎2,𝑞+1 ⋮ 𝜎 𝑞,𝑞+1 𝜎1,𝑞+2 𝜎2,𝑞+2 ⋮ 𝜎 𝑞,𝑞+2 ⋯ ⋯ ⋱ ⋯ 𝜎1𝑝 𝜎2𝑝 ⋮ 𝜎 𝑞𝑝 (𝑝×𝑝) = 𝚺 𝟏𝟏 𝚺 𝟏𝟐 𝚺 𝟐𝟏 𝚺 𝟐𝟐 Catatan : 𝚺 𝟏𝟐 =𝚺′ 𝟐𝟏 Kovarians dari 𝐗(1) = 𝚺 𝟏𝟏 , kovarians 𝐗(2)= 𝚺 𝟐𝟐 , sedangkan kovarians untuk 𝐗(1) dan 𝐗(2) adalah 𝚺 𝟏𝟐 (atau 𝚺 𝟐𝟏) 30
- 31. 3 E (𝑎𝑿 𝟏+𝑏𝑿2) = 𝑎 𝐸(𝑿1) + 𝑏 𝐸(𝑿2) = 𝑎𝜇1+𝑏𝜇2 Var (𝑎𝑿 𝟏+𝑏𝑿2) = 𝑎2 𝜎11+ 𝑏2 𝜎22+2𝑎𝑏𝜎12 Apabila c’ = 𝑎, 𝑏 , µ=E(X) dan = 𝐶𝑜𝑣 𝑿 , maka E (c’X) = c’µ Var (𝑎𝑿 𝟏+𝑏𝑿2) = Var (c’X) = c’ 𝒄 Umumnya, terdapat q kombinasi linier dari p variabel acak X1, ..., Xp Z = 𝑍1 𝑍2 ⋮ 𝑍 𝑝 = 𝑐11 𝑐21 ⋮ 𝑐 𝑞1 𝑐12 𝑐22 ⋮ 𝑐 𝑞2 ⋯ ⋯ ⋱ ⋯ 𝑐1𝑝 𝑐2𝑝 ⋮ 𝑐 𝑞𝑝 𝑋1 𝑋2 ⋮ 𝑋 𝑝 = CX 𝜇 𝑍 = E (Z) = E(CX) = C𝝁 𝑿 𝒁 = Cov (Z) = Cov (Cx) = C 𝑿 𝑪′ 31
- 32. 3 Apabila 𝐱′ = 𝒙 𝟏, 𝒙 𝟐, … , 𝒙 𝒑 merupakan vektor sampel rata-rata dari n-observasi dari p-variabel X1, ..., Xp maka: 𝐱 = 𝒙1 ⋮ 𝒙 𝑞 ⋯ 𝒙 𝑞+1 ⋮ 𝒙 𝑝 = 𝐱(1) ⋯ 𝐱(2) S21 = 𝑆 𝑞+1,1 ⋯ 𝑆 𝑞+1,𝑞 ⋮ ⋱ ⋮ 𝑆 𝑝,1 ⋯ 𝑆 𝑝,𝑞 𝑆(𝑝×𝑝) = 𝐒 𝟏𝟏 𝐒 𝟏𝟐 𝐒 𝟐𝟏 𝐒 𝟐𝟐 Sampel kovarians dari 𝐱 (1) = 𝐒 𝟏𝟏 , kovarians 𝐱 (2) = 𝐒 𝟐𝟐 , sedangkan kovarians untuk 𝐱 (1) dan 𝐱 (2) adalah 𝐒 𝟏𝟐 (atau 𝐒 𝟐𝟏). 32
- 33. 3 Apabila 𝐱′ = 𝒙 𝟏, 𝒙 𝟐, … , 𝒙 𝒑 merupakan vektor sampel rata-rata dari n-observasi dari p-variabel X1, ..., Xp maka: 𝐱 = 𝒙1 ⋮ 𝒙 𝑞 ⋯ 𝒙 𝑞+1 ⋮ 𝒙 𝑝 = 𝐱(1) ⋯ 𝐱(2) S21 = 𝑆 𝑞+1,1 ⋯ 𝑆 𝑞+1,𝑞 ⋮ ⋱ ⋮ 𝑆 𝑝,1 ⋯ 𝑆 𝑝,𝑞 𝑆(𝑝×𝑝) = 𝐒 𝟏𝟏 𝐒 𝟏𝟐 𝐒 𝟐𝟏 𝐒 𝟐𝟐 Sampel kovarians dari 𝐱 (1) = 𝐒 𝟏𝟏 , kovarians 𝐱 (2) = 𝐒 𝟐𝟐 , sedangkan kovarians untuk 𝐱 (1) dan 𝐱 (2) adalah 𝐒 𝟏𝟐 (atau 𝐒 𝟐𝟏). 33 Klik disiniMau tahu lebih banyak tentang Vektor Rata-rata dan Matriks Kovarians?
- 34. 3 A. Cauchy-Schwarz Inequality Misalkan b dan d merupakan dua vektor yang berukuran p×1, maka : (b’d)2 ≤ (b’b) (d’d) Jika dan hanya jika b = cd ( atau d = cb) untuk c konstan. B. Entended Cauchy-Schwarz Inequality Misalkan b dan d merupakandua vektor yang berukuran p×1, dan B(p×p) merupakan matriks definit positif maka : (b’d)2 ≤ (b’B b) (d’ B-1 d) Jika dan hanya jika b = c B-1 d ( atau d = c B b) untuk c konstan. 34
- 35. 3 C. MaximizationLemma Misal B adalah definit positif, d merupakan vektor berukuran p×1, dan x merupakan sembarangvektor bukan nol, maka : max 𝑥≠0 (𝐱′ 𝐝)2 𝐱′𝐁𝐱 = d’ B-1 d Dengan mencapai maksimum ketika x = c B-1 d untuk konstan c ≠0 D. Maximizationof Quadratic Forms for Points on the Unit Sphere Misal B adalah definit positif dengan nilai eigen 𝜆1 ≥ 𝜆2 ≥ ... ≥ 𝜆 𝑝 ≥ 0 dan berasosiasi denganvektor eigen e1, e2, ..., ep , maka : max 𝑥≠0 𝐱′𝐁𝐱 𝐱′𝐱 = 𝜆1 (dicapai ketika x = e1 ) max 𝑥≠0 𝐱′𝐁𝐱 𝐱′𝐱 = 𝜆 𝑝 (dicapai ketika x = ep ) max x ⊥𝐞 𝟏 ,𝐞 𝟐 ,...,𝐞 𝐩 𝐱′𝐁𝐱 𝐱′𝐱 = 𝜆 𝑘+1 (dicapai ketika x = ek+1 , k = 1,2,...,p-1 ) 35 Klik disini Mau tahu lebih banyak tentang pertidaksamaan matriks dan maksimisasi?
- 36. 3 36CONTOH SOAL Cari nilai dan vektor eigen dari matriks A = 2,2 0,4 0,4 2,8 Penyelesaian: 𝐀 − 𝜆𝐈= 2,2 0,4 0,4 2,8 − 𝜆 1 0 0 1 = 2,2 − 𝜆 0,4 0,4 2,8 − 𝜆 𝜆𝐈 − 𝐀 = 𝜆 𝟐 − 5𝜆 + 6 Didapat 𝜆 = 3 dan 𝜆 = 2 NILAI DAN VEKTOR EIGEN
- 37. 3 37CONTOH SOAL Untuk 𝜆 = 3, maka 𝐀𝐱 = 𝜆𝐱 2,2 0,4 0,4 2,8 𝑥1 𝑥2 = 3 𝑥1 𝑥2 setelah ini dapat dijabarkan seperti persamaan linier biasa, didapat bahwa 𝑥2 = 2𝑥1 misalkan 𝑥1 = 𝑡 maka 𝑥2 = 2𝑡 sehingga vektor yang bersesuaian adalah 𝑡 1 2 , jadi vektor eigen dari 𝜆 = 3 adalah 1 2 Untuk 𝜆 = 2, maka 𝐀𝐱 = 𝜆𝐱 2,2 0,4 0,4 2,8 𝑥1 𝑥2 = 2 𝑥1 𝑥2 setelah ini dapat dijabarkan seperti persamaan linier biasa, didapat bahwa 2𝑥2 = −𝑥1 misalkan 𝑥1 = 2𝑡 maka 𝑥2 = −𝑡 sehingga vektor yang bersesuaian adalah 𝑡 2 −1 , jadi vektor eigen dari 𝜆 = 2 adalah 2 −1 NILAI DAN VEKTOR EIGEN Klik disiniMau latihan soal lebih banyak?
- 38. 3