Math11. diferensial-fungsi-sederhana-lanjutan
Download as PPTX, PDF0 likes3,069 views
Dokumen ini membahas konsep diferensial dan derivatif, termasuk pengertian lereng kurva serta bagaimana menghitung turunan pertama dan kedua dari fungsi-fungsi matematika untuk menentukan titik ekstrim dan sifat kurva. Selain itu, juga dibahas hubungan antara biaya marginal dan biaya rata-rata dalam konteks fungsi biaya. Uji tanda digunakan untuk mengidentifikasi titik maksimum dan minimum dari fungsi yang bersangkutan.
Math11. diferensial-fungsi-sederhana-lanjutan
- 1. DIFERENSIAL (FUNGSI SEDERHANA) http://rosihan.web.id Lanjutan……
- 2. Hakekat Derivatif dan Diferensial dy dx y x y x y f (x) x 0 lim lereng dari kurva dy/dx terdiri dari 2 suku, dy dinamakan diferensial y, dx merupakan diferensial dari x. Diferensial dari x : dx = Δx Diferensial dari y : dy=(dy/dx) Δx Variabel terikat http://rosihan.web.id
- 3. dy/dx lereng taksiran (approximated slope) dari kurva y = f(x) pada kedudukan x tertentu. Δy/Δx lereng yang sesungguhnya (the true slope) Lereng taksiran ini dapat lebih besar (over estimated), atau lebih kecil (under estimated), atau sama dengan lereng sesungguhnya (teragantung pada jenis fungsinya dan besar kecilnya perubahan pada variabel bebas) http://rosihan.web.id
- 4. Fungsi y = f(x) yang linier, lereng taksiran = lereng sesungguhnya, berapapun Δx dy/dx = Δy/ Δx Δx = dx P y = f(x) Perubahan x = Δx Q R Δy = dy Perubahan y = Δy Diferensial x = dx Diferensial y = dy Kuosien diferensi = Δy/ Δx Derivatif = dy/dx dy/dx = Δy/ Δx http://rosihan.web.id
- 5. Fungsi y = f(x) yang non-linier y y Δx = dx P S R Q QR=Δy QS=dx R S P Q Δx = dx QR=dy QS=Δx 0 x 0 x (a) (b) dy > Δy Over-estimated dy < Δy Under-estimated http://rosihan.web.id
- 6. Derivatif dari derifatif Setiap fungsi bisa diturunkan lebih dari 1 kali (tergantung derajatnya). Turunan pertama (turunan dari fungsi awal), turunan kedua (turunan dari fungsi pertama, dst. 3 2 contoh y f x x x x ( ) 4 5 7 y dy dx x x ' / 3 8 5 2 2 y d y dx x ' ' / 6 8 3 3 y d y dx ' ' ' / 6 y d y dx / 0 : ' 4 4 2 v http://rosihan.web.id
- 7. Hubungan antara fungsi dan Derivatifnya Dengan mengetahui hub. antara fungsi dan derivatifnya besarnya turunan pertama dan turunan kedua akan bisa dikenali bentuk gambar dari fungsi tersebut Kita akan mengetahui kurva menaik atau menurun, titik ekstrim dan juga titik beloknya. http://rosihan.web.id
- 8. 3 2 contoh y f x x x x 4 12 5 fungsi kubik 3 : ( ) 1 2 y dy dx x x ' / 8 5 fungsi kuadrat 2 2 y d y dx x ' ' / 2 8 fungsi linear 3 3 y d y dx ' ' ' / 2 konstanta Perhatikan pengurangan derajat fungsi pada masing-masing turunannya http://rosihan.web.id
- 9. Fungsi Menaik dan Menurun Turunan pertama dari sebuah fungsi non-linear dapat digunakan untuk menentukan apakah kurva dari fungsi yang bersangkutan menaik atau menurun pada kedudukan tertentu. Lereng positif fungsi menaik Lereng negatif fungsi menurun Lereng nol Lereng nol y = f(x) f ’(a) > 0, y = f(x) menaik f ’(a) < 0, y = f(x)menurun http://rosihan.web.id
- 10. Uji Tanda Apabila turunan pertama f’(x) = 0, berarti y = f(x) berada di titik ekstrim Untuk menentukan apakah titik ekstrim tersebut merupakan titik maksimum ataukah minimum, maka perlu dilakukan uji tanda terhadap f’(a) = 0. Jika f’(x) > 0 untuk x < a dan f’(x) < 0 untuk x > a, maka titik ekstrimnya adalah titik maksimum. Jika f’(x) < 0 untuk x < a dan f’(x) > 0 untuk x > a, maka titik ekstrimnya adalah titik minimum. http://rosihan.web.id
- 11. Titik ekstrim fungsi parabolik Turunan pertama dari fungsi parabolik y = f(x) berguna untuk menentukan letak titik ekstrimnya. Sedangkan turunan kedua berguna untuk mengetahui jenis titik ekstrim yang bersangkutan. Perhatikan fungsi parabolik berikut dan turunan-turunannya, serta hubungan secara grafik. y = f(x) = x2 - 8x + 12 ………….fungsi parabolik y’ = f’(x) = dy/dx = 2x – 8 …….fungsi linear y” = f”(x) = d2y/dx2 = 2 ……….konstanta Parabola y = f(x) = x2 - 8x + 12 , mencapai titik ekstrim – dalam hal ini titik minimum yaitu (4, -4) y’ = 0, nilai variabel bebas x = 4. x = 4 dimasukkan ke dalam persamaan Parabola didapat nilai y = -4 http://rosihan.web.id
- 12. 2 4 6 12 2 -4 -8 (4,-4) y = x2 – 8x + 12 y” = 2 x y y’= 2x - 8 0 http://rosihan.web.id
- 13. Parabola y = f(x) mencapai titik ekstrim pada y’ = 0 Jika y” < 0 : bentuk parabolanya terbuka ke bawah, titik ekstrimnya adalah titik maksimum. Jika y” > 0 : bentuk parabolanya terbuka ke atas, titik ekstrimnya adalah titik minimum. http://rosihan.web.id
- 14. Titik Ekstrim dan Titik Belok Fungsi Kubik Titik maksimum atau minimum fungsi kubik, serta titik beloknya dapat dicari melalui turunan pertama dan kedua dari fungsi tersebut. Perhatikan fungsi kubik dan turunannya berikut : y = 1/3x3 – 3x2 + 8x – 3 ………….fungsi kubik y’ = x2 – 6x + 8 ……………………fungsi kuadratik y” = 2x – 6 ………………………..fungsi linear http://rosihan.web.id
- 15. Jika y’ = 0, x2 – 6x + 8 = 0 (x – 2)(x – 4) = 0 x1 = 2, x2 = 4 Untuk x1 = 2 dimasukkan pada persamaan kubik maka y = 3.67 (2, 3.67) titik ekstrim maksimum Untuk x1 = 2 apabila dimasukkan dalam turunan ke dua, maka y” = -2 < 0 (turunan kedua negatif) Untuk x2 = 4 dimasukkan pada persamaan kubik maka y = 2.33 (4, 2.33) titik ekstrim minimum Untuk x2 = 4 apabila dimasukkan dalam turunan ke dua, maka y” = 2 > 0 (turunan kedua positif) http://rosihan.web.id Jika y” = 0 2x – 6 = 0 x = 3, nilai x = 3
- 16. 3.67 y = 1/3x3 – 3x2 + 8x + 3 2 3 4 2 8 -4 -6 (3,-1) y’ = x2 – 6x + 8 y” = 2 x y y’’= 2x – 6 0 -2 (3,3) (2,3.67) (4,2.33) http://rosihan.web.id
- 17. Fungsi Kubik y = f(x) mencapai titik ekstrim pada y’ = 0 Jika y” < 0 pada y’ = 0, maka titik ekstrimnya adalah titik maksimum Jika y” > 0 pada y’ = 0, maka titik ekstrimnya adalah titik minimum Fungsi kubik y = f(x) berada di titik belok pada y” = 0 http://rosihan.web.id
- 18. Relationship between marginal-cost and average-cost functions TC = C(Q) total cost MC = C'(Q) marginal cost AC = C(Q)/Q average cost d C Q Q C Q 2 1 Q C Q Q dQ 1 C Q Q C Q Q 0 1 MC AC Q C MC AC Q http://rosihan.web.id
- 19. Penerapan lain : Elastisitas dengan rumus umum : x y dy dx y / y x x Ey Ex x / 0 lim http://rosihan.web.id