turunan

Kompetensi Dasar:
 Menggunakan konsep dan aturan turunan dalam perhitungan
turunan fungsi.
 Menggunakan turunan untuk menentukan karekteristik suatu
fungsi dan memecahkan masalah.
 Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan
dengan ekstrim fungsi.
 Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan
dengan ekstrim fungsi dan penafsirannya.
Standar Kompetensi:
 Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi
dalam pemecahan masalah

1. Laju Perubahan Nilai Fungsi
2. Definisi Turunan Fungsi
3. Rumus Umum Turunan Fungsi
8.1 PENGERTIAN TURUNAN FUNGSI

1. Laju Perubahan Nilai Fungsi
a. Laju perubahan rata-rata
Definisi:
Misalkan diketahui fungsi y = f(x) . Laju perubahan rata-rata fungsi y = f(x) dalam
interval x  x  x ditentukan oleh21
∆y
∆x x  x2 1
f (x )  f (x )12
=
b. Laju perubahan sesaat
Definisi:
Misalkan diketahui fungsi y = f(x) yang terdeteksi untuk setiap nilai x di sekitar x = a.
Laju perubahan sesaat nilai fungsi f(x) pada x = a ditentukan
dengan catatan jika limit itu ada.
f(a + h)  f(a)
h
lim
h  0

2. Definisi Turunan Fungsi
Definisi:
Misalkan diketahui fungsi y = f(x) terdeteksi untuk setiap nilai x
di sekitar x = a.
Jika lim ada maka bentuk limit lim dinamakan
f(a + h)  f(a)
h
h  0
f(a + h)  f(a)
h
h  0
turunan dari fungsi f(x) pada x = a.

1. Jika limit itu ada atau mempunyai nilai, dikatakan fungsi f(x)
diferensiabel (dapat didiferensialkan) pada x = a. Bentuk limit itu
selanjutnya dilambangkan dengan f (a). Jadi,
2. Lambang f (a) (dibaca: f aksen a) disebut turunan atau derivatif dari
fungsi f(x) terhadap x pada x = a.
3. Misalkan fungsi f(x) mempunyai turunan f (x) . Jika f (a) tidak
terdefinisi maka dikatakan f(x) tidak diferensiabel pada x = a.
f(a + h)  f(a)
h
lim
h  0
f (a) =
Catatan:

Contoh
Carilah turunan fungsi f(x) = 3  2x pada x = 1
Jawab:
Turunan f(x) = 3  2x pada x = 1 adalah f (1).
f (1) = lim
h  0
f(1 + h)  f(1)
h
= lim
h  0
{3  2(1 + h)}  {3  2(1)}
h
= lim
h  0
 2h
h
lim
h  0
 2= =  2
Jadi, turunan fungsi f (x) = 3  2x pada x = 1 adalah f (1) =  2

3. Rumus Umum Turunan Fungsi
Definisi:
Misalkan diketahui fungsi y = f(x) yang terdefinisi dalam daerah asal D = {x l x  R}.
Turunan fungsi f(x) terhadap x ditentukan oleh
dengan catatan jika nilai limit itu ada.
f(x + h)  f(x)
h
lim
h  0
f (x) =
Catatan:
1. f (x) dibaca: f aksen x disebut fungsi turunan atau fungsi derivatif dari
fungsi f(x) terhadap x dan f (a) dapat diperoleh dari f (x) dengan cara
substitusi variabel x dengan nilai x.
2. Proses menemukan f (x) dari fungsi f(x) disebut operasi penurunan atau
pendiferensialan fungsi f(x).

Bentuk lain notasi turunan
dy
dx
df
dx
Turunan fungsi y = f(x) dilambangkan dengan atau , yang dikenal
sebagai notasi Leibniz.
Notasi Leibniz atau dapat diperoleh dari hubungan
dy
dx
df
dx
f(x + ∆x)  f(x)
∆x
lim
∆x  0
f (x) =
f(x + h)  f(x)
h
lim
h  0
f (x) =
Misalkan nilai h pada hubungan di atas diganti dengan ∆x , maka

Perubahan pada variabel x sebesar ∆x mengakibatkan perubahan
nilai fungsi f(x) sebesar ∆y = ∆f = f(x + ∆x)  f(x). Dengan demikian,
hubungan tersebut dapat ditulis sebagai

Jadi, untuk menyatakan turunan dari fungsi y = f(x) dapat digunakan satu di
antara notasi-notasi berikut
Bentuk-bentuk lim dan lim masing-masing ditulis dengan lambang
dan , sehingga
∆x
∆y
∆x  0 ∆x  0 ∆x
∆f
df
dx
dy
dx
= .f (x) =
dy
dx
df
dx

8.2 RUMUS-RUMUS TURUNAN
ALJABAR
Turunan Fungsi Konstan
Turunan Fungsi Identitas
Turunan Fungsi PangkatTurunan Hasil Kali Konstanta dengan Fungsi
Turunan Jumlah dan Selisih Fungsi-Fungsi
Turunan Hasil Kali Fungsi-Fungsi
Turunan Hasil Bagi Fungsi-Fungsi
Turunan Fungsi f(x) = {u(x)} Turunan ke-n suatu Fungsi

1. Turunan Fungsi Konstan
Jika f(x) = k dengan k konstanta real maka turunan f(x) adalah
f (x) = 0.
Contoh
Turunan dari fungsi f(x) = 8 adalah f (x) = 0.
2. Turunan Fungsi Identitas
Jika f(x) sebuah fungsi identitas atau f(x) = x maka
f (x) = 1.

3. Turunan Fungsi Pangkat
Jika f(x) = axn dengan a konstanta real tidak nol dan n bilangan bulat
positif, maka
f (x) = anxn  1.
Contoh
f(x) = 3x9, maka f (x) = (3)(9)x 9  1 = 27x8
4. Turunan Hasil Kali Konstanta dengan Fungsi
Jika f(x) = ku(x) dengan k konstanta real dan u(x) fungsi dari x yang
mempunyai turunan u (x), maka
f (x) = ku (x).

5. Turunan Jumlah dan Selisih Fungsi-Fungsi
Jika f(x) = u(x)  v(x), dengan u(x) dan v(x) masing-masing adalah fungsi
yang mempunyai turunan u (x) dan v (x), maka
f (x) = u (x)  v (x).
Contoh
f(x) = x4  2x3 + 6x2  x + 10
f (x) = (1)(4)x4  1  (2)(3)x3  1 + (6)(2) x2  1 = 4x3  6x2 + 12x  1
6. Turunan Hasil Kali Fungsi-Fungsi
Jika f(x) = u(x)  v(x), dengan u(x) dan v(x) adalah fungsi-fungsi yang
mempunyai turunan u (x) dan v (x), maka
f (x) = u (x)  v (x) + u (x)  v (x).

Contoh Turunan Hasil Kali Fungsi-Fungsi
Carilah turunan dari fungsi f(x) = (x2  x)(x3 + 2).
Jawab:
f(x) = (x2  x)(x3 + 2), u(x) = x2  x , v(x) = x3 + 2
u(x) = x2  x, maka u (x) = 2x  1
v(x) = x3 + x, maka v (x) = 3x2
f (x) = u (x)  v(x) + u(x)  v (x) = (2x  1)(x3 + 2) + (x2  x)(3x2)
= 2x4 + 4x  x3  2 + 3x4  3x3 = 5x4  4x3 + 4x  2.
Jika f(x) = u(x)  v(x)  w(x) dengan u(x) ,v(x) dan w(x) adalah fungsi-fungsi
yang mempunyai turunan u (x), v(x) dan w(x) maka
f (x) = u (x)  v(x)  w(x) + u(x)  v (x)  w(x) + u(x)  v(x)  w (x).
Rumus turunan hasil kali tiga fungsi

7. Turunan Hasil Bagi Fungsi-Fungsi
Contoh
f(x) = x  2
x2 + 3
Jawab:
u(x) = x  2, maka u (x) = 1 v(x) = x2 + 3, maka v (x) = 2x
f (x) =
u(x)  v(x)  u(x)  v(x)
{v(x)}2
=
(1)(x2 + 3)  (x  2)(2x)
(x2 + 3)2
=
x2 + 4x + 3
(x2 + 3)2

8. Turunan Fungsi f (x) = {u(x)}
Jika f(x) = {u(x)}, dengan u(x) adalah fungsi dari x yang mempunyai
turunan u (x) dan n adalah bilangan real , maka
f (x) = n{u( x)}n  1  u (x)
Rumus di atas dikenal sebagi dalil rantai atau aturan rantai.

Contoh Turunan Fungsi f (x) = {u(x)}
Dengan menggunakan antara rantai, diperoleh:

9. Turunan ke-n suatu Fungsi
Notasi-notasi untuk turutan pertama, turunan kedua, turunan ketiga, sampai
turunan ke- n dari fungsi y = f(x) disajikan dalam daftar pada tabel berikut.

Jika f(x) = sin x maka f (x) = cos x Jika f(x) = cos x maka f (x) = sin x
Jika f(x) = tan x maka f (x) = sec2 x
1. Jika f(x) = cot x maka f (x) = cosec2 x
2. Jika f(x) = sec x maka f (x) = sec x  tan x
3. Jika f(x) = cosec x maka f (x) = cosec x  cot x
Turunan
Fungsi Sinus
Turunan Fungsi
Cosinus
Turunan
Fungsi Tangen
Fungsi-Fungsi Cotangen,
Secan. Dan Cosecan
8.3 RUMUS-RUMUS TURUNAN
FUNGSI TRIGONOMETRI

8.4 TURUNAN FUNGSI KOMPOSISI
DENGAN ATURAN RANTAI
1. Teorema Turunan Fungsi
Komposisi
2. Perluasan aturan rantai

1.Teorema Turunan Fungsi Komposisi
Jika fungsi y = (f ◦ g)(x) = f(g(x)) = f(u), dengan u = g(x) maka turunan fungsi
komposisi (f ◦ g)(x) ditrntukan oleh
dy
dx
dy
du
du
dx
=
Rumus di atas dikenal sebagi dalil rantai atau aturan rantai.
Contoh
y = 3 (x2 + 3x  1)2 = (x2 + 3x  1) = u , dengan u = x2 + 3x  1
2
3
2
3
dy
du
= 2
3
u
 1
3
=
2
3 3 u
 =
(x2 + 3x  1)3 3
2

du
dx
= 2x + 3
y  =
dy
du
du
dx
 =
(x2 + 3x  1)3 3
2
(2x + 3) =
4x + 6
(x2 + 3x  1)3 3
(f ◦ g)  (x) = f (g(x))  g (x) atau

2. Perluasan aturan rantai
Teorema:
Misalkan y = f(u), u = g(v), dan v = h(x) membentuk fungsi komposisi y = (f ◦ g ◦ h)(x)
= f(g(h(x))).
Jika h mempunyai turutan terhadap x, g mempunyai turutan terhadap v ,dan f
mempunyai turutan terhadap u, maka turutan (f ◦ g ◦ h)(x) terhadapx ditentukan
oleh:
(f ◦ g ◦ h)  (x) = f (g(h(x)))  g  (h(x)  h(x)
atau
dy
dx
dy
du
du
dv
= 
dv
dx


8.5 PERSAMAAN GARIS SINGGUNG
PADA KURVA
1. Gradien Garis Singgung pada Kurva
2. Persamaan Garis Singgung Kurva
3. Beberapa Konsep Tambahan

1. Gradien Garis Singgung pada Kurva
Definisi:
Misalkan fungsi y = f(x) mempunyai turunan pada x = a.
Turunan fungsi f(x) pada x = a atau f  (a) ditafsirkan secara geometri sebagai
gardien garis singgung kurva di tiitk (a, f(a)).
dy
dx
x = a
Catatan:
Turunan fungsi y = f(x) pada x = a , yaitu f  (a), yang ditafsirkan secara geometri
sebagi gradien garis singgung kurva y = f(x) di titik (a, f(a)). sering kali dituliskan
dengan menggunakan notasi
Leibniz sebagai .

2. Persamaan Garis Singgung Kurva
Jika titik P(a, f(a)) terletak pada kurva y = f(x) maka persamaan garis singgung
kurva y = f(x) yang melalui titik P(a, f(a dirumuskan dengan persamaan berikut.

3. Beberapa Konsep Tambahan
a. Dua Garis Sejajar dan Dua Garis Tegak Lurus
m = m1 2 m  m = 11 2

b. Garis Normal
Garisn yang ditarik melalui titik P(a, f(a)) dan tegak lurus terhadap garis singgung
kurva di titik itu disebut garis normal
Persamaan garis normal di titik P(a, f(a)) pada kurva y = f(x) dapat ditentukan
dengan rumus:
y  f(a) =  (x  a)1
m
dengan m = f (a) atau m =
dy
dx
x = a

8.6 FUNGSI NAIK DAN
FUNGSI TURUN
1. Pengertian Fungsi
Naik dan Fungsi Turun
2. Kondisi untuk Fungsi
Naik dan Fungsi Turun

1. Pengertian Fungsi Naik dan Fungsi Turun
Definisi:
x  x  f(x )  f(x )1 2 1 2
x  x  f(x )  f(x )1 2 1 2

Y
X
O a
f(x) naik
f(x) turun
Misalkan fungsi f(x) terdefinisi dalam interval I.
1. Fungsi f(x) dikatakan fungsi naik dalam interval I, jika untuk setiap bilangan x
dan x dalam I dan x  x maka berlaku hubungan f(x )  f(x ), ditulis:
2. Fungsi f(x) dikatakan turun dalam interval I, jika untuk setiap bilangan x dan x
dalam I dan x  x maka berlaku hubungan f(x )  f(x ), ditulis:
1
2 1 2 1 2
1 2
1 2 1 2

2. Kondisi untuk Fungsi Naik dan Fungsi Turun






Y
X
Q
O
f (x)  0 f (x)  0
+
+ 

Teorema:
Misalkan fungsi f dirumuskan oleh y = f(x) dalam interval I dan f(x) diferensiabel
pada setiap x dalam interval itu.
1. Jika f (x)  0 untuk x  I maka fungsi f(x) naik pada I.
2. Jika f (x)  0 untuk x  I maka fungsi f(x) turun pada I.
3. Jika f (x) = 0 untuk x  I maka fungsi f(x) stasioner pada I.

8.7 TITIK STASIONER SUATU
FUNGSI DAN JENIS-JENIS EKSTRIM

1. Pengertian Nilai Stasioner dan Titik Stasioner
Teorema: Nilai Stasioner
Jika fungsi y = f(x) dideferensiabel di x = a dengan f (a) = 0 maka f(a) adalah nilai
stasioner dari fungsi f(x) di x = a .
Titik (a,f(a)), dengan f (a) = 0, yang terletak pada garfik fungsi y = f(x) disebut
sebagai titik satsioner
Titik stasioner termasuk dalam kelompok titik kritis, yaitu titik yang merupakan
bakal calon titik ekstrim.

Y
XO


y = f(x)
titik satsioner (a,f(a))
f(a) nilai stasioner
x = a

2. Jenis-jenis Ekstrim, Nilai Balik Maksimum, dan
Nilai Balik Minimum
a. Uji turunan pertama
(1) Tiap nilai stasioner belum tentu nilai ekstrim, tetapi fungsi yang
mencapai nilai ekstrim pada x = a dan diferensiabel di titik itu, maka
dapat dapat dipastikan bahwa x = a adalah titik satsioner.
(2) Jenis-jenis nilai stasioner, yaiyu nilai ekstrim (nilai balik
maksimum atau nilai balik minimum) atau bukan nilai ekstrim, dapat
ditentukan dengan cara mengamati tanda-tanda dari turutan
pertama f(x) fungsi di sekitar x = a . Memeriksa jenis-jenis nilai
stasioner dengan cara seperti itulah yang disebut Uji Turunan
Pertama.

Teorema: Syarat Perlu Adanya Nilai Ekstrim
Jika fungsi f (x) mencapai nilai ekstrim di x = a dan diferensiabel pada titik
itu, maka titik x = a adalah stasioner.
Uji urutan pertama untuk menetukan jenis ekstrim
Misalkan f (x) merupakan fungsi yang diferensiabel pada x = a dan
mencapai niali stasioner pada titik itu dengan nilai stasioner f (a).

1. Jika
Jika f (x)  0 untuk x  a  fungsi f(x) naik
Jika f (x) = 0 untuk x = a  fungsi f(x) stasioner pada x = a
Jika f (x)  0 untuk x  a  fungsi f(x) turun
maka f(x) mencapai nilai balik maksimum pada x = a.
Nilai balik maksimum itu sam dengan f(a) . Perhatikan Gambar tampak bahwa
f (x) berubah tanda dari positif menjadi negatif melalui nol.
Uji Turunan Pertama Untuk Menentukan Jenis Ekstrim
2. Jika
Jika f (x)  0 untuk x  a  fungsi f(x) turun
Jika f (x)  0 untuk x  a  fungsi f(x) naik
maka f(x) mencapai nilai balik minimum pada x = a.
Nilai balik minimum itu sama dengan f(a). Perhatikan Gambar tampak bahwa f
(x) berubah tanda dari negatif menjadi positif melalui nol.

3. Jika
Jika f (x)  0 untuk x  a  fungsi f(x) naik
atau
Jika f (x)  0 untuk x  a  fungsi f(x) turun
maka f(a) bukan nilai ekstrim.

b. Uji turunan kedua
Misalkan fungsi f(x) kontinu dalam interval I yang memuat x = a.
Turunan pertama f (x) dan turunan kedua f (x) ada pada interval I serta f
(a) = 0
(ini berarti f(a) adalah nilai stasioner).
Uji urutan kedua untuk menetukan jenis ekstrim
1. Jika f (a)  0 maka f(a) adalah nilai balik maksimum fungsi f .
2. Jika f (a)  0 maka f(a) adalah nilai balik minimum fungsi f .
3. Jika f (a) = 0, maka nilai stasioner f(a) belum dapat ditetapkan.
Dalam kasus f (a) = 0 penentuan jenis-jenis nilai stasioner kembali
menggunkan Uji Turunan Pertama.

3. Nilai Maksimum dan Nilai Minimum suatu
Fungsi dalaminterval Tertutup
Definisi:

1. Nilai maksimum suatu fungsi dalam interval tertutup
disebut sebagai nilai maksimum mutlak atau nilai
maksimum global.
2. Nilai minimum suatu fungsi dalam interval tertutup disebut
nilai minimum mutlak atau nilai minimum global.
3. Jika dalam interval tertutup nilai balik maksimum suatu
fungsi bukan nilai maksimum fungsi itu maka nilai balik
maksimum ini disebut nilai maksimum relatif atau nilai
maksimum lokal.
4. Jika dalam interval tertutup nilai balik minimum suatu fungsi
bukan nilai minimum fungsi itu maka nilai balik minimum
itu disebut nilai minimum relatif atau nilai minimum
lokal.

Menentukan Nilai Maksimum dan Nilai Minimum
suatu Fungsi dalam Interval Tertutup
Teorema: Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi dalam Intrval
Tertutup

Langkah 1
Jika ada, tentukan nilai balik maksimum dan nilai balik minimum fungsi f(x)
yang terletak dalm interval a  x  b.
Langkah 2
Tentukan niali-nilai fungsi f(x) pada ujung-ujung interval, yaitu nilai f(a) dan
nilai f(x).
Langkah 3
Nilai-nilai yang diperoleh pada Langkah 1 dan Langkah 2 dibandingkan,
kemudian ditetapkan sebagi berikut
Catatan : Nilai terbesar yang dihasilkan adalah nilai maksimum fungsi f(x)
dan nilai terkecil yang dihasilkan adalah nilai minimum fungsi f(x) dalam
interval tertutup a  x  b.
Algoritma untuk menentukan nilai maksimum dan nilai minimum
suatu fungsi f(x) dalam interval tertutupa  x  b adalah sebagai
berikut.

Contoh
Tentukan nilai maksimum dan nilai minimum fungsi f(x) = x2  4x dalam
interval 2  x  0
Jawab:
Turutan pertama dari f(x) = x2  4x adalah f (x) = 2x  4
Nilai stasioner f(x) diperoleh dari f (x) = 0
2x  4 = 0  x = 2
Nilai stasionernya adalah f(2) = (2)2  4(2) = 4

Langkah 1
Dalam interval 2  x  0 tidak ada nilai balik minimum, sebab nilai balik
minimum terjadi pada x = 2.
Langkah 2
Nilai-nilai fungsi pada ujung-ujung interval
f(2) = (2)2  4(2) = 12 f(0) = 02  4(0) = 0
Langkah 3
Berdasarkan hasil-hasil pada Langkah 1 dan Langkah 2, dapat
ditetapkan:
• nilai fungsi f(x) terbesar sam dengan 12
• nilai fungsi f(x) terkecil sam dengan 0
Jadi, fungsi f(x) = x2  4x dalam interval tertutup 2  x  0 mencapai nilai
maksimum 12 dan nilai minimum 0.

1. Kecekungan Fungsi
2.Titik Belok
8.8 KECEKUNGAN FUNGSI DAN TITIK
BELOK FUNGSI

1. Kecekungan Fungsi
Definisi:
Misalkan fungsi f(x) kontinu dan diferensiabel dalam interval I .
1. Jika f (x) naik dalam interval I maka grafik fungsi f(x) dikatakan
cekung ke atas dalam interval I.
2. Jika f (x) naik dalam interval I maka grafik fungsi f(x) dikatakan
cekung ke bawah dalam interval I.
Teorema: Uji Turunan Kedua untuk Menetukan Kecekungan Fungsi
Misalkan fungsi f(x) kontinu dan diferensiabel dua kali dalam interval I .
1. Jika f (x)  0 dalam interval I maka grafik fungsi f(x) cekung ke atas.
2. Jika f (x)  0 dalam interval I maka grafik fungsi f(x) cekung ke
bawah.

2. Titik Belok
Definisi:
Jika pada titik (a,f(a)) terjadi perubahan kecekungan garfik fungsi y = f(x)
(dari cekungan ke bawah menjadi cekungan ke atas atau sebaliknya)
maka titik (a,f(a)) dinamakan titik belok fungsi y = f(x).
Teorema: Syarat Perlu Bagi Titik Belok
Jika f(x) diferensiabel dua kali pada x = a atau f (a) ada dan (a,f(a)) titik
belok garfik fungsi y = f(x) maka f (a) = 0.
Untuk memastikan bahwa (a,f(a)) adalah titik belok fungsi f(x) atau bukan,
dapat dilakukan dengan cara mengamti tanda-tanda dari f (x) di sekitar x
= a dengan menggunakan uji turunan kedua.

Misalkan f(x) adalah fungsi yang diferensiabel dua kali pada x = a dan f
(a) = 0 Jika
f (x)  0 untuk x  a  fungsi f(x) cekung ke bawah
f (x) = 0 untuk x = a
f (x)  0 untuk x  a  fungsi f(x) cekung ke atas
atau
f (x)  0 untuk x  a  fungsi f(x) cekung ke atas
f (x) = 0 untuk x = a
f (x)  0 untuk x  a  fungsi f(x) cekung ke bawah
maka titik (a,f(a)) merupakan titik belok fungsi f(x). Dalam hal f (x)
tidak memenuhi aturan seperti di atas, maka (a,f(a)) bukan titik belok
fungsi f(x).

1. Tentukan koordinat-koordinat titik potong dengan sumbu-sumbu
koordinat.
2. Tentukan turunan pertama dan turunan kedua dari fungsi f(x)
Dari turunan pertama f (x), dapat ditentukan:
• interval-interval di mana f(x) naik dan f(x) turun.
• titik ekstrim fungsi f(x) serta jenis-jenisnya.
Dari turunan kedua f (x), dapat ditentukan:
• interval-interval di mana f(x) cekung ke atas dan f(x) cekung ke
bawah.
• titik belok fungsi f(x).
3. Jika fungsi f(x) didefinisikan dalam interval tertutup, tentukan nilai
fungsi f(x) pada ujung-ujung interval.
4. Jika diperlukan, tentukan beberapa titik tertentu untuk memperhalus
sketsa kurva.
Langkah 1

Titik-titik yang diperoleh pada Langkah 1 digambarkan
pada bidang Cartesius.
Selanjutnya titik-titik yang telah disajikan dalam bidang
Cartesius pada Langkah 2 dihubungkan dengan
mempertimbangkan naik atau turunnya fungsi dan
kecekungan fungsi pada interval-interval yang telah
ditentukan.
Langkah 3
Langkah 2

8.10 APLIKASI TURUNAN FUNGSI
DALAM PEMECAHAN MASALAH
1. Menggunkan Turunan
Fungsi dalam Perhitungan
Bentuk Tak-Tentu Limit
Fungsi
2. Menggunkan Turunan
Fungsi dalam Menyelasikan
Masalah yang Berkaitan
dengan Nilai Ekstrem
3. Menggunakan Turunan
Fungsi dalam Perhitungan
Kecepatan dan Percepatan

1.Menggunakan Turunan Fungsi dalam
PerhitunganKecepatan dan Percepatan
a. Kecepatan

Hubungan tingkah laku s dengan v(t)

Hubungkan tingkah laku V dengan a(t)

2. Menggunakan Turunan Fungsi dalam Perhitungan Bentuk Tak-
Tentu Limit Fungsi
a. Bentuk-Bentuk Tak Tentu dan0
0


Definisi: Bentuk-Bentuk Tak Tentu (Ideterminate Forms)
Catatan:
Definisi di atas tetap berlaku apabila x   atau x  − 

3. Menggunakan Turunan Fungsi dalam Menyelasikan Masalah
yang Berkaitan dengan Nilai Ekstrim
Langkah-langkah pemecahan masalah yang berkaitan dengan problem nilai ekstrim
1. Tetapkan besaran yang ada dalam masalah sebagai variabel (dilambangkan
dengan huruf-huruf) untuk memperoleh hubungan atau ekspresi
matematikanya.
2. Tetapkan rumus fungsi satu variabel yang meupakan model matematika dari
masalah.
3. Tentukan penyelesaian optimum (maksimum atau minimum) dari model
matematika yang diperoleh pada Langkah 2.
4. Berikanlah tafsiran terhadap hasil yang diperoleh pada Langkah 3 disesuaikan
dengan masalah semula.

Contoh :
Sebuah besi ton dengan panjang 10 cm dirancang berbentuk
menyerupai huruf U dengan cara membengkokkan bagian
ujung-ujungnya.
Jika L menyatakan luas penampang dari bentuk rancangan
itu (diperlihatkan daerah yang diwarna), tentukan luas
penampang maksimum.

Jawab:
Luas penampang bentuk rancangan (bagian yang diraster) L sebagi
fungsi x ditentukan sebagai berikut
L (x) = (10  2x)(x) = 10x  2x2
10 m
x m
(10 − 2x)
x m
x x
Sebelum dibengkokkan
Setelah dibengkokkan

turunan

More Related Content

What's hot (20)

Viewers also liked (20)

Similar to turunan (20)

More from mfebri26 (20)

Recently uploaded (20)

turunan