04 integral trigonometri
Download as PPT, PDF•4 likes•9,788 views
Dokumen ini membincangkan integrasi trigonometri, khususnya cara mengintegrasi fungsi seperti ∫ sin n x dx dan ∫ cos n x dx berdasarkan sama ada n adalah ganjil atau genap. Ia menerangkan penggunaan identiti trigonometri untuk menyederhanakan fungsi dan memberikan pelbagai contoh pengiraan. Terdapat juga perbincangan mengenai bentuk yang melibatkan tan dan cot dalam integrasi.
04 integral trigonometri
- 2. Bentuk ∫ sin n x dx dan ∫ cos n x dx • Jika n adalah bilangan bulat positif ganjil, maka: sin n x = sin x sin n −1 x dan cos n x = cos x cos n −1 x dan gunakan sin 2 x + cos2 x = 1 • Jika n adalah bilangan bulat positif genap, maka: 1 − cos 2 x sin x = 2 2 1 + cos 2 x cos x = 2 2
- 3. 1. ∫ 2 1 + cos 2 x cos x dx = dx 2 4 ∫ 1 + 2 cos 2 x + cos 2 2 x dx = 4 1 = 1 + 2 cos 2 x + cos 2 2 x dx 4 1 = dx + 2 cos 2 x dx + cos 2 2 x dx 4 1 1 + cos 4 x = dx + 2 cos 2 xdx + dx 4 2 ∫ ∫( (∫ ∫ ) ∫ ) ∫ ∫ ∫ 1 1 = dx + 2 cos 2 xdx + (1 + cos 4 x ) dx 4 2 ∫ ∫ ∫ (∫ ) 1 1 = dx + 2 cos 2 xdx + dx + cos 4 xdx 4 2 3 1 1 = x + sin 2 x + sin 4 x + c 8 4 32 ∫ ∫ ∫
- 4. ∫ ∫ = ∫ (1 − cos x ) sin x dx = ∫ (1 − u ) ( − du ) = ∫ (u − 1) du = ∫ u du − ∫ du sin 3 x dx = sin 2 x sin x dx 2 2 2 2 1 2+1 = u −u +c 2 +1 1 = u3 − u + c 3 1 3 = ( cos x ) − cos x + c 3 1 = cos 3 x − cos x + c 3 misal : u = cos x du = − sin x dx − du = sin x dx
- 5. ∫ sin 4 x dx = ∫ (sin x ) dx 2 2 2 1 − cos 2 x = dx 2 1 − 2 cos 2 x + cos 2 2 x dx = 4 1 = 1 − 2 cos 2 x + cos 2 2 x dx 4 1 = dx − 2 cos 2 x dx + cos 2 2 x dx 4 1 1 + cos 4 x = dx − 2 cos 2 x dx + dx 4 2 ∫ ∫ ∫( (∫ ∫ ) ∫ ) ∫ ∫ ∫ 1 1 (1 + cos 4 x ) dx = dx − 2 cos 2 x dx + 4 2 1 1 1 = dx − 2 cos 2 x dx + dx + cos 4 x dx 4 2 2 3 1 1 = x − sin 2 x + sin 4 x + c 8 4 32 ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
- 6. ∫ Bentuk sin m x cos n x dx • Untuk n atau m ganjil, keluarkan sin x atau cos x kemudian gunakan identitas: sin 2 x + cos2 x = 1 • Untuk n dan m genap, tuliskan sinmx dan cosnx menjadi jumlah suku-suku dalam cosinus, gunakan identitas: 1 − cos 2 x sin x = 2 1 + cos 2 x cos x = 2 2 2 cos2 x = 2cos 2 x − 1 atau cos 2 x = 1 − 2sin 2 x
- 7. ∫ ∫ sin 3 xcos 2 xdx = sin 2 x sin x cos 2 x dx ) ∫( = ∫ (1 − cos x ) cos x sin x dx = ∫ (1 − u ) u ( − du ) = ∫ (u − u ) du = ∫ u du − ∫ u du = 1 − cos 2 x sin x cos 2 x dx 2 2 4 4 2 2 2 2 1 1 = u5 − u3 + c 5 3 1 1 5 = cos x − cos 3 x + c 5 3 misal : u = cos x du = − sin x dx − du = sin x dx
- 8. ∫ 2 1 − cos 2 x 1 + cos 2 x sin 2 x cos 4 xdx = dx 2 2 1 (1 − cos 2 x ) 1 + 2 cos 2 x + cos 2 2 x dx = 8 1 = 1 + cos 2 x − cos 2 2 x − cos 3 2 x dx 8 1 1 2 = 1 + cos 2 x − (1 + cos 4 x ) − cos 2 x cos 2 x dx 8 2 ∫ ( ∫ ) ∫( ) ∫ ( ) 1 1 1 + cos 2 x − (1 + cos 4 x ) − 1 − sin 2 2 x cos 2 x dx 8 2 1 1 1 2 = − cos 4 x + sin 2 x cos 2 x dx 8 2 2 = ∫ ∫ 1 1 1 = dx − cos 4 x dx + sin 2 2 x cos 2 x dx 8 2 8 11 1 1 = x − ⋅ 4 sin 4 x + sin 2 2 x + C 8 2 8 6 ∫ ∫ ∫ misal : u = sin 2 x du = 2 cos 2 x dx 1 du = cos 2 x dx 2
- 9. Bentuk ∫ tan n x dx dan • Gunakan identitas tan 2 x = sec 2 x −1 cot 2 x = csc 2 x − 1 ∫ cot n x dx
- 10. ∫ ∫ = ∫ tan x (sec x − 1) dx = ∫ ( tan x sec x − tan x ) dx = ∫ tan x sec x dx − ∫ tan x dx = ∫ tan x sec x dx − ∫ (sec x − 1) dx = ∫ tan x sec x dx − ∫ sec x dx + ∫ dx = ∫ u du − ∫ du + ∫ dx tan 4 x dx = tan 2 x tan 2 x dx 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3 = u −u + x +c 3 1 = tan 3 x − tan x + x + c 3 2 2 2 misal : u = tan x du = sec 2 x dx
- 11. Bentuk ∫ tan m x sec n x dx dan ∫ cot m x csc n x dx • Jika n genap dan m sembarang, maka keluarkan faktor sec2x atau cosec2x • jika n sembarang dan m ganjil, maka keluarkan faktor tan x . sec x
- 12. ∫ ∫( )( ) tan −3 2 x sec 4 x dx = tan −3 2 x sec 2 x sec 2 x dx ∫ ( tan = ∫ ( tan = ∫ ( tan = −3 2 −3 2 −3 2 )( ) x ) sec x dx + ∫ ( tan x ) sec x dx x ) d ( tan x ) + ∫ ( tan x ) d ( tan x ) x 1 + tan 2 x sec 2 x dx = −2 tan −1 2 x + 2 12 12 2 tan 3 2 x + C 3 2
- 13. ∫ )( ) ∫( = ∫ (sec x − 1) (sec x ) d ( sec x ) = ∫ sec x d ( sec x ) − ∫ sec x d ( sec x ) tan 3 x sec −1 2 x dx = tan 2 x sec −3 2 x ( sec x tan x ) dx 2 12 −3 2 −3 2 2 = sec 3 2 x + 2 sec −1 2 x + C 3