10 f z_u

3
СЛОВО ДО УЧНІВ
Ó ñòàðø³é øêîë³ âè ïðîäîâæóâàòèìåòå âèâ÷åííÿ ô³çèêè, ðîçïî÷àòå ùå
ó 7-ìó êëàñ³. Ô³çèêà º çàãàëüíîîñâ³òí³ì íàâ÷àëüíèì ïðåäìåòîì ³ òîìó íå âè-
ïàäêîâî âîíà âèâ÷àºòüñÿ ó çàãàëüíîîñâ³òí³õ øêîëàõ óñ³õ êðà¿í ñâ³òó. Ðàçîì ç
³íøèìè íàóêàìè âèâ÷åííÿ ô³çèêè ìàº íà ìåò³ ãîòóâàòè äî âèáîðó ïðîôåñ³¿ ó
âàøîìó äîðîñëîìó æèòò³.
Ñó÷àñíà ëþäèíà æèâå ó ñâ³ò³ òåõí³êè ³ âèñîêèõ òåõíîëîã³é. Âàì óæå â³äî-
ìî, ùî ô³çèêà º òåîðåòè÷íîþ îñíîâîþ òåõí³êè. Ò³ëüêè çíàþ÷è ô³çèêó, ìîæ-
íà ïðîåêòóâàòè òà áóäóâàòè ìàøèíè, áóäèíêè, çàâîäè, åëåêòðîñòàíö³¿, çàñîáè
òåëå- ³ ðàä³îçâ’ÿçêó òîùî. Ñó÷àñíà ô³çèêà º îñíîâîþ êîìï’þòåðíèõ òåõíîëîã³é.
Ç îãëÿäó íà öå ô³çèêà íåîáõ³äíà ìàéáóòíüîìó ³íæåíåðó.
Çíîâó-òàêè ³ òîìó, ùî ìè æèâåìî ó ñâ³ò³ òåõí³êè, íàøå æèòëî, ïîáóò çàïî-
âíåí³ ô³çèêî-òåõí³÷íèìè óñòàíîâêàìè. Âîíè îñâ³òëþþòü ³ îïàëþþòü æèòëî,
äîïîìàãàþòü ãîòóâàòè ³ çáåð³ãàòè ¿æó, ïðèáèðàòè êâàðòèðó, à ÷îãî âàðò³ òåëå-
ôîíè, ðàä³î- ³ òåëåïðèéìà÷³, â³äåîìàãí³òîôîíè ³ â³äåîêàìåðè, êîìï’þòåðè…
Äëÿ ïðàâèëüíîãî ³ áåçïå÷íîãî êîðèñòóâàííÿ öèìè ïðèêëàäàìè òàêîæ íåîáõ³ä-
íî çíàòè îñíîâè ô³çèêè.
Ðàçîì ³ç òèì ô³çèêà – öå íå ïðîñòî ðåçóëüòàò êîï³òêî¿ ³ äîïèòëèâî¿ ïðàö³
â÷åíèõ, à é âåëèêå íàäáàííÿ ëþäñüêî¿ öèâ³ë³çàö³¿, âàæëèâà ñêëàäîâà êóëüòó-
ðè ëþäñòâà. Íàñàìïåðåä ô³çèêà äàº ñèñòåìàòèçîâàíó ³íôîðìàö³þ ïðî íàâêî-
ëèøí³é ñâ³ò ðàçîì ç óì³ííÿì çäîáóâàòè òàêó ³íôîðìàö³þ. Ô³çèêà º íàéãëèá-
øîþ, íàéôóíäàìåíòàëüí³øîþ íàóêîþ ïðî ïðèðîäó. Òîìó ¿¿ ìåòîäè ³ òåîð³¿
øèðîêî âèêîðèñòîâóþòüñÿ â ³íøèõ ïðèðîäíè÷èõ íàóêàõ ³ ô³ëîñîô³¿ ïðèðîäî-
çíàâñòâà. Âèâ÷åííÿ ô³çèêè ìàº âàæëèâå çíà÷åííÿ äëÿ ðîçâèòêó íàóêîâîãî ñâ³-
òîðîçóì³ííÿ òà çàáåçïå÷åííÿ ìàéáóòíüîãî ôàõ³âöÿ, íàóêîâöÿ â ãàëóç³ òåõí³êè
³ ïðèðîäíè÷èõ íàóê ìåòîäàìè íàóêîâîãî ï³çíàííÿ ïðèðîäíèõ ÿâèù, âèâ÷åííÿ
îñíîâ òåõí³êè ³ òåõíîëîã³é.
Àâòîðè ïðàãíóëè ïðåäñòàâèòè ô³çèêó ÿê îäíó ç ïðîâ³äíèõ íàóê ïðî ïðè-
ðîäó, ùî àêòèâíî ðîçâèâàºòüñÿ ³ º îñíîâîþ ñó÷àñíî¿ òåõí³êè ³ òåõíîëîã³é. Ó
ï³äðó÷íèêó ïîäàíî äåòàëüíå îá´ðóíòóâàííÿ íàéâàæëèâ³øèõ ô³çè÷íèõ ÿâèù,
çàêîíîì³ðíîñòåé ³ çàêîí³â, ùî ñòàíå â ïðèãîä³ ïðè ïîäàëüøîìó îïàíóâàíí³
ô³çèêè òà ³íøèõ íàóê ó âèùèõ íàâ÷àëüíèõ çàêëàäàõ. Òàêîæ íàâåäåíî áàãàòî
ïðèêëàä³â âèÿâó ³ çàñòîñóâàííÿ ô³çè÷íèõ çàêîí³â ó íàâêîëèøíüîìó æèòò³,
â³äîìîñòåé ç ³ñòîð³¿ ô³çè÷íèõ â³äêðèòò³â. Ïðè öüîìó ìè ïðàãíóëè âèñâ³òëèòè
ïîãëÿä íà ô³çèêó ÿê æèâó íàóêó, ùî º ÷àñòèíîþ çàãàëüíîëþäñüêî¿ êóëüòóðè ³
íàäáàííÿì ñó÷àñíî¿ öèâ³ë³çàö³¿.
Ó÷èòåëü ³ ï³äðó÷íèê äîïîìîæóòü âàì ó íàáóòò³ çíàíü. Äëÿ öüîãî íàâ÷àëü-
íèé ìàòåð³àë ó ï³äðó÷íèêó âèä³ëåíî ñïåö³àëüíèìè ïîçíà÷êàìè:
– óâàãà, çàïàì’ÿòàòè!!!
– äàéòå â³äïîâ³ä³ íà çàïèòàííÿ
– âïðàâà, ïðèêëàä ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàäà÷
– çàãàëüí³ ðåêîìåíäàö³¿ ùîäî ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàäà÷

4
СЛОВО ДО ВЧИТЕЛЯ
Ï³äðó÷íèê ðîçðàõîâàíèé íà ó÷í³â 10-õ êëàñ³â, ÿê³ âèâ÷àþòü ô³çèêó íà ïðî-
ô³ëüíîìó ð³âí³. Â³í º ñòðèæíåâèì åëåìåíòîì íàâ÷àëüíî-ìåòîäè÷íîãî çàáåçïå-
÷åííÿ øê³ëüíîãî êóðñó ô³çèêè, îð³ºíòèðîì äëÿ â÷èòåëÿ òà ó÷íÿ â äîñÿãíåíí³
ê³íöåâî¿ ìåòè íàâ÷àííÿ, ôîðìóâàííÿ æèòòºâî¿ êîìïåòåíòíîñò³ îñîáèñòîñò³,
îâîëîä³ííÿ ìåòîäîëîã³÷íèìè çíàííÿìè, çàëó÷åííÿ äî àêòèâíî¿ ï³çíàâàëüíî¿
ä³ÿëüíîñò³ òà ðîçâèòêó ³íòåðåñó äî íàâ÷àííÿ ô³çèêè. ²íòåðåñ ó÷í³â äî âèâ÷åííÿ
ô³çèêè º ä³àëåêòè÷íèì ÿâèùåì: ç îäíîãî áîêó, â³í ôîðìóºòüñÿ â ïðîöåñ³ âè-
â÷åííÿ ô³çèêè; ç äðóãîãî – âèâ÷åííÿ ô³çèêè íåìîæëèâå áåç ñò³éêîãî ³íòåðåñó.
Àâòîðè ïðàãíóëè ïðåäñòàâèòè ô³çèêó ÿê æèâó íàóêó, ùî º ÷àñòèíîþ çà-
ãàëüíî¿ ëþäñüêî¿ êóëüòóðè, ç îäíîãî áîêó, ³ ÿê ôóíäàìåíòàëüíó íàóêó ïðî ïðè-
ðîäó, îäíó ç âàæëèâèõ ïðèðîäíè÷èõ íàóê, ç ³íøîãî. Ó òåêñò³ íàâîäèòüñÿ áàãàòî
ïðèêëàä³â âèÿâó ³ çàñòîñóâàííÿ ô³çè÷íèõ çàêîí³â ó æèòò³ òà ïðàêòèö³, ñó÷àñí³é
íàóö³ ³ òåõí³ö³, â³äîìîñòåé ç ³ñòîð³¿ ô³çèêè, ïîäàºòüñÿ îïèñ ô³çè÷íèõ äîñë³ä³â.
Â³äîìî, ùî ÷³òêà ñòðóêòóðà ï³äðó÷íèêà ïîëåãøóº ñïðèéíÿòòÿ, óñâ³äîì-
ëåííÿ òà ðîçóì³ííÿ íàâ÷àëüíîãî ìàòåð³àëó, òîìó â òåêñò³ âèä³ëåíî ãîëîâíå
(îçíà÷åííÿ, íàéâàãîì³ø³ ôàêòè, òâåðäæåííÿ, ôîðìóëè); öåé òåêñò âèä³ëåíî
êîëüîðîì. Ó ê³íö³ ïàðàãðàô³â ï³ä³áðàí³ çàïèòàííÿ íà óçàãàëüíåííÿ ³ çàêð³-
ïëåííÿ âèâ÷åíîãî ìàòåð³àëó.
Ó ï³äðó÷íèêó ãëèáîêî òà äåòàëüíî âèêîðèñòàíî ìàòåìàòè÷íèé àïàðàò îïè-
ñó ÿâèù, çàêîíîì³ðíîñòåé ³ ô³çè÷íèõ çàêîí³â. Îäíèì ç íàéá³ëüø âàæëèâèõ âè-
ä³â íàâ÷àëüíî¿ ðîáîòè â ïðîô³ëüí³é øêîë³ º ðîçâ’ÿçóâàííÿ ô³çè÷íèõ çàäà÷. Çà-
äà÷³ ð³çíèõ òèï³â ìîæíà åôåêòèâíî âèêîðèñòîâóâàòè íà âñ³õ åòàïàõ çàñâîºííÿ
ô³çè÷íîãî çíàííÿ: äëÿ ðîçâèòêó ³íòåðåñó, òâîð÷èõ çä³áíîñòåé i ìîòèâàö³¿ ó÷í³â
äî íàâ÷àííÿ ô³çèêè, ï³ä ÷àñ ïîñòàíîâêè ïðîáëåìè, ùî ïîòðåáóº ðîçâ’ÿçàííÿ, ó
ïðîöåñ³ ôîðìóâàííÿ íîâèõ çíàíü ó÷í³â, âèðîáëåííÿ ïðàêòè÷íèõ óì³íü ó÷í³â,
ç ìåòîþ ïîâòîðåííÿ, çàêð³ïëåííÿ, ñèñòåìàòèçàö³¿ òà óçàãàëüíåííÿ çàñâîºíîãî
ìàòåð³àëó, ç ìåòîþ êîíòðîëþ ÿêîñò³ çàñâîºííÿ íàâ÷àëüíîãî ìàòåð³àëó ÷è ä³à-
ãíîñòóâàííÿ íàâ÷àëüíèõ äîñÿãíåíü ó÷í³â òîùî. Òîìó äî ï³äðó÷íèêà âêëþ÷åí³
ðîçðàõóíêîâ³, ãðàô³÷í³, ÿê³ñí³, äîñë³äíèöüê³, åêñïåðèìåíòàëüí³, òâîð÷³ çàäà-
÷³. Àâòîðè ââàæàëè çà äîö³ëüíå ïîäàòè òàêîæ ìåòîäè÷í³ ðåêîìåíäàö³¿ ùîäî
ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàäà÷ òà ïðèêëàäè ðîçâ’ÿçóâàííÿ òèïîâèõ çàäà÷. Ïðèêëàäè
ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàäà÷ ï³ä³áðàíî òàê, ùîá ó÷åíü ì³ã ñàìîñò³éíî ðîç³áðàòèñü ó ô³-
çè÷í³é ñóò³ çàäà÷³, îïàíóâàòè çíàííÿ é íàáóòè íàâè÷îê âèêîðèñòàííÿ íàéçà-
ãàëüí³øèõ ³ íàéäîö³ëüí³øèõ ìåòîä³â ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàäà÷.
Àâòîðè

5
ЗМІСТ
ÂÑÒÓÏ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
§ 1. Ðîëü ô³çè÷íîãî çíàííÿ â æèòò³ ëþäèíè ³ ñóñï³ëüíîìó ðîçâèòêó . . . . 9
§ 2. Âèì³ðþâàííÿ ô³çè÷íèõ âåëè÷èí. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
§ 3. Ñêàëÿðí³ ³ âåêòîðí³ âåëè÷èíè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Âïðàâà 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
§ 4. Ãðàô³êè ôóíêö³é òà ïðàâèëà ¿õ ïîáóäîâè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
§ 5. Ìåõàí³êà – ïåðøà ô³çè÷íà òåîð³ÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Ðîçä³ë 1
Ê³íåìàòèêà ïîñòóïàëüíîãî òà îáåðòàëüíîãî ðóõ³â ìàòåð³àëüíî¿ òî÷êè . . . . . . . . 29
§ 6. Ñïîñîáè îïèñó ðóõó . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Âïðàâà 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
§ 7. Ïðÿìîë³í³éíèé ð³âíîì³ðíèé ðóõ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Çàãàëüí³ ðåêîìåíäàö³¿ ùîäî ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàäà÷ ç ê³íåìàòèêè
ìàòåð³àëüíî¿ òî÷êè. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Ïðèêëàäè ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàäà÷ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Âïðàâà 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
§ 8. Â³äíîñí³ñòü ìåõàí³÷íîãî ðóõó . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Âïðàâà 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
§ 9. Ð³âíîì³ðíèé òà íåð³âíîì³ðíèé ðóõ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Âïðàâà 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
§ 10. Ïðÿìîë³í³éíèé ð³âíîïðèñêîðåíèé ðóõ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Âïðàâà 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
§ 11. Ãðàô³÷íå çîáðàæåííÿ ð³âíîïðèñêîðåíîãî ðóõó . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Âïðàâà 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
§ 12. Â³ëüíå ïàä³ííÿ ò³ë – ïðèêëàä ð³âíîïðèñêîðåíîãî ðóõó. . . . . . . . . . . 61
Âïðàâà 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
§ 13. Ðóõ ò³ëà ó ïîë³ çåìíîãî òÿæ³ííÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Âïðàâà 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
§ 14. Êðèâîë³í³éíèé ðóõ. Ð³âíîì³ðíèé ðóõ ïî êîëó . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Âïðàâà 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
§ 15. Ð³âíîì³ðíèé òà íåð³âíîì³ðíèé îáåðòàëüí³ ðóõè ìàòåð³àëüíî¿ òî÷êè . . 78
Âïðàâà 11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Íàéãîëîâí³øå â ðîçä³ë³ 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Ðîçä³ë 2
Äèíàì³êà ïîñòóïàëüíîãî òà îáåðòàëüíîãî ðóõ³â ìàòåð³àëüíî¿ òî÷êè . . . . . . . . . . 85
§ 16. Ìåõàí³÷íà âçàºìîä³ÿ ò³ë. Ñèëà. Ìàñà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Âïðàâà 12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

6
§ 17. Ïåðøèé çàêîí Íüþòîíà. ²íåðö³àëüí³ ñèñòåìè â³äë³êó. . . . . . . . . . . . 89
§ 18. Äðóãèé çàêîí Íüþòîíà. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
Âïðàâà 13. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
§ 19. Òðåò³é çàêîí Íüþòîíà. Ìåæ³ çàñòîñóâàííÿ çàêîí³â Íüþòîíà . . . . . . 98
Âïðàâà 14. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
§ 20. Çàêîí âñåñâ³òíüîãî òÿæ³ííÿ. Ãðàâ³òàö³éíà âçàºìîä³ÿ . . . . . . . . . . . 102
Ïðèêëàäè ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàäà÷ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Âïðàâà 15. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
§ 21. Ðóõ øòó÷íèõ ñóïóòíèê³â Çåìë³. Ïåðøà òà äðóãà êîñì³÷íà øâèäê³ñòü 108
Âïðàâà 16. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
§ 22. Ñèëà ïðóæíîñò³. Çàêîí Ãóêà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
Âïðàâà 17. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
§ 23. Âàãà ò³ëà. Íåâàãîì³ñòü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
Âïðàâà 18. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
§ 24. Ñèëè òåðòÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
Âïðàâà 19. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
Çàãàëüí³ ðåêîìåíäàö³¿ ùîäî ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàäà÷ ç äèíàì³êè
ìàòåð³àëüíî¿ òî÷êè. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
Ïðèêëàäè ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàäà÷ íà ïðÿìîë³í³éíèé ðóõ ï³ä ä³ºþ
äåê³ëüêîõ ñèë ó ãîðèçîíòàëüíîìó òà âåðòèêàëüíîìó íàïðÿì³ . . . 131
Âïðàâà 20. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
Ïðèêëàäè ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàäà÷ íà ðóõ ò³ëà ïî ïîõèë³é ïëîùèí³. . 133
Âïðàâà 21. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
Ïðèêëàäè ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàäà÷ íà ðóõ ò³ëà ïî êîëó . . . . . . . . . . . . 134
Âïðàâà 22. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
Ïðèêëàäè ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàäà÷ íà ðóõ ñèñòåìè çâ’ÿçàíèõ ò³ë . . . 137
Âïðàâà 23. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
Äèíàì³êà îáåðòàëüíîãî ðóõó òâåðäîãî ò³ëà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
§ 25. Îáåðòàëüíèé ðóõ òâåðäîãî ò³ëà íàâêîëî íåðóõîìî¿ îñ³ . . . . . . . . . . 141
§ 26. Îñíîâíå ð³âíÿííÿ äèíàì³êè îáåðòàëüíîãî ðóõó òâåðäîãî ò³ëà . . . . 144
Âïðàâà 24. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
Ñòàòèêà. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
§ 27. Ð³âíîâàãà ò³ë. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
§ 28. Âèäè ð³âíîâàãè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
Çàãàëüí³ ðåêîìåíäàö³¿ ùîäî ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàäà÷ ³ç ñòàòèêè . . . . 156
Âïðàâà 25. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
Ðóõ ó íå³íåðö³àëüíèõ ñèñòåìàõ â³äë³êó . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
§ 29. Îïèñ ðóõó â íå³íåðö³àëüíèõ ñèñòåìàõ â³äë³êó . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
Âïðàâà 26. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
Íàéãîëîâí³øå â ðîçä³ë³ 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

7
Ðîçä³ë 3
Çàêîíè çáåðåæåííÿ â ìåõàí³ö³ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
§ 30. ²ìïóëüñ. Çàêîí çáåðåæåííÿ ³ìïóëüñó . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
Âïðàâà 27. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
§ 31. Ðåàêòèâíèé ðóõ. Ðîçâèòîê êîñìîíàâòèêè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
Âïðàâà 28. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
§ 32. Ìîìåíò ³ìïóëüñó. Çàêîí çáåðåæåííÿ ìîìåíòó ³ìïóëüñó. . . . . . . . . 180
Âïðàâà 29. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
§ 33. Ìåõàí³÷íà ðîáîòà. Ïîòóæí³ñòü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
Çàãàëüí³ ðåêîìåíäàö³¿ ùîäî ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàäà÷ íà ìåõàí³÷íó ðîáîòó 186
Âïðàâà 30. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
§ 34. Åíåðã³ÿ. Ê³íåòè÷íà åíåðã³ÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
Âïðàâà 31. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
§ 35. Ïîòåíö³àëüíà åíåðã³ÿ ò³ëà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
Âïðàâà 32. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
§ 36. Çàêîí çáåðåæåííÿ åíåðã³¿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
Âïðàâà 33. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
Çàãàëüí³ ðåêîìåíäàö³¿ ùîäî ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàäà÷ íà ñï³ëüíå
çàñòîñóâàííÿ çàêîí³â çáåðåæåííÿ ³ìïóëüñó òà åíåðã³¿. . . . . . . . . . 201
Âïðàâà 34. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
§ 37. Ðóõ ð³äèí ³ ãàç³â. Çàêîí Áåðíóëë³ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
Âïðàâà 35. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
Ðîçä³ë 4
Ìåõàí³÷í³ êîëèâàííÿ òà õâèë³ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
§ 38. Êîëèâàëüíèé ðóõ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
§ 39. Ãàðìîí³÷í³ êîëèâàííÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
Çàãàëüí³ ðåêîìåíäàö³¿ ùîäî ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàäà÷ íà ãàðìîí³÷í³
êîëèâàííÿ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
Âïðàâà 36. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
§ 40. Ïåðåòâîðåííÿ åíåðã³¿ ó ãàðìîí³÷íèõ êîëèâàííÿõ . . . . . . . . . . . . . . 221
Âïðàâà 37. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
§ 41. Äîäàâàííÿ ãàðìîí³÷íèõ êîëèâàíü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
§ 42. Ìàÿòíèêè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
Âïðàâà 38. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
§ 43. Âèìóøåí³ êîëèâàííÿ. Ðåçîíàíñ. Àâòîêîëèâàííÿ . . . . . . . . . . . . . . 230
§ 44. Ìåõàí³÷í³ õâèë³ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

8
§ 45. Çâóê. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
Âïðàâà 39 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
§ 46. ²íôðàçâóêîâ³ òà óëüòðàçâóêîâ³ õâèë³ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
Ðîçä³ë 5
Ðåëÿòèâ³ñòñüêà ìåõàí³êà. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
§ 47. Ïîñòóëàòè ñïåö³àëüíî¿ òåîð³¿ â³äíîñíîñò³. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
§ 48. Â³äíîñí³ñòü ÷àñó . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
§ 49. Â³äíîñí³ñòü äîâæèíè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
§ 50. Ðåëÿòèâ³ñòñüê³ ñï³ââ³äíîøåííÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
Âïðàâà 40. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
§ 51. Çàêîí âçàºìîçâ’ÿçêó ìàñè òà åíåðã³¿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
Âïðàâà 41. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
§ 52. Ñó÷àñí³ óÿâëåííÿ ïðî ïðîñò³ð òà ÷àñ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
§ 53. Ñó÷àñí³ ïðîáëåìè ìåõàí³êè. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
§ 54. Âíåñîê óêðà¿íñüêèõ ó÷åíèõ ó ðîçâèòîê ìåõàí³êè . . . . . . . . . . . . . . 266
Ëàáîðàòîðí³ ðîáîòè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
1. Âèì³ðþâàííÿ ñåðåäíüî¿ øâèäêîñò³ ðóõó ò³ëà . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
2. Äîñë³äæåííÿ ð³âíîïðèñêîðåíîãî ðóõó . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
3. Äîñë³äæåííÿ ðóõó ò³ëà ïî êîëó . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
4. Âèì³ðþâàííÿ ñèë. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
5. Äîñë³äæåííÿ ðóõó ò³ëà, êèíóòîãî ãîðèçîíòàëüíî . . . . . . . . . . . . . 277
6. Âèì³ðþâàííÿ æîðñòêîñò³. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
7. Âèì³ðþâàííÿ êîåô³ö³ºíòà òåðòÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
8. Äîñë³äæåííÿ ð³âíîâàãè ò³ë ï³ä ä³ºþ ê³ëüêîõ ñèë . . . . . . . . . . . . . . . 282
9. Âèçíà÷åííÿ öåíòðà ìàñ ïëîñêèõ ô³ãóð . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
10. Äîñë³äæåííÿ ïðóæíîãî óäàðó äâîõ ò³ë. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
11. Âèâ÷åííÿ çàêîíó çáåðåæåííÿ ìåõàí³÷íî¿ åíåðã³¿ . . . . . . . . . . . . . . . 287
12. Äîñë³äæåííÿ êîëèâàíü íèòÿíîãî ìàÿòíèêà . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
13. Äîñë³äæåííÿ êîëèâàíü ò³ëà íà ïðóæèí³ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
Â³äïîâ³ä³ äî âïðàâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
Äîäàòêè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
Ïðåäìåòíèé ïîêàæ÷èê . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302

§ 1 Роль фізичного знання
в житті людини і суспільному розвитку
Çàðîäæåííÿ ³ ðîçâèòîê ô³çèêè ÿê íàóêè.
Ìåòîäè íàóêîâîãî ï³çíàííÿ.
Çàðîäæåííÿ ³ ðîçâèòîê ô³çèêè ÿê íàóêè. Ô³çèêà – îäíà ç íàéäàâí³øèõ
íàóê ïðî ïðèðîäó. Ïåðøèìè ô³çèêàìè áóëè ãðåöüê³ ìèñëèòåë³, ÿê³ çðîáèëè
ñïðîáó ïîÿñíèòè ñïîñòåðåæóâàí³ ÿâèùà ïðèðîäè. Íàéâèäàòí³øèì ³ç ñòàðîäàâ-
í³õ ìèñëèòåë³â áóâ Àð³ñòîòåëü (384–322 ðð. äî í. å.), ÿêèé ³ çàïðîâàäèâ ñëîâî
«φνσιξ» («ôþç³ñ»), ùî ó ïåðåêëàä³ ç ãðåöüêî¿ îçíà÷àº ïðèðîäà. Àëå íå ïîäóìàé-
òå, ùî «Ô³çèêà» Àð³ñòîòåëÿ õî÷ ÿêîñü ñõîæà íà ñó÷àñí³ ï³äðó÷íèêè ç ô³çèêè.
Í³! Ó í³é âè íå çíàéäåòå æîäíîãî îïèñó äîñë³äó ÷è ïðèëàäó, æîäíîãî ìàëþíêà
÷è êðåñëåííÿ, æîäíî¿ ôîðìóëè. Ó í³é – ô³ëîñîôñüê³ ì³ðêóâàííÿ ïðî ðå÷³, ïðî
÷àñ, ïðî ðóõ âçàãàë³. Òàêèìè æ áóëè âñ³ ïðàö³ ó÷åíèõ-ìèñëèòåë³â àíòè÷íîãî
ïåð³îäó. Îñü ÿê ðèìñüêèé ïîåò Ëóêðåö³é (áë. 99–55 ðð. äî í. å.) îïèñóº ó ô³ëî-
ñîôñüê³é ïîåì³ «Ïðî ïðèðîäó ðå÷åé» ðóõ ïîðîøèíîê ó ñîíÿ÷íîìó ïðîìåí³:
Ïåâíå, òè áà÷èâ íå ðàç, ÿê ó òåìðÿâ³ íàøèõ ïîêî¿â
Ñîíöÿ ÿñêðàâîãî ïðîì³íü çíàäâîðó íàðàç ïðîñìèêíåòüñÿ, –
Áåçë³÷ òîä³ ïîðîøèíîê äð³áíèõ, íàéäð³áí³øèõ òè áà÷èâ,
ßê âîíè â ïàðóñêó ñîíöÿ òàíöþþòü ³ âñ³ ìåòóøàòüñÿ.
………………………………………………………………….
Çâ³äñè òè ìîæåø ñîá³ óÿâèòè, ÿê ïåðâ³ñí³ ò³ëüöÿ
Ñåðåä áåçêðà¿õ ïðîñòîð³â,ó ñâ³ò³ øèðîê³ì áëóêàþòü.
Ñïðàâä³ – áî: ðå÷³ ìàë³ º ÷àñòî ìîäåëü äëÿ âåëèêèõ,
Øëÿõ äî ï³çíàííÿ, âêàç³âêà äî ïîâíîãî ¿õ ðîçóì³ííÿ.
Îò ÷îìó ìàþòü âîíè íà óâàãó òâîþ çàñëóæèòè,
Ò³ ïîðîøèíêè äð³áí³, ùî ó ñîíÿ÷í³ì ñâ³òë³ òàíöþþòü.
¯õ ìåòóøíÿ, ¿õí³ êóïè – òî ïåâíà ïîäîáà, òî îáðàç
Íàì íåïðèñòóïíîãî ðóõó ìàòåð³¿. Ç ïðèêëàäó òîãî
Òè çàóâàæèòè ìîæåø, ÿê ò³ëüöÿ, çàçíàâøè óäàðó,
Ëåäâå ïîì³òíî îêîâ³, íàïðÿìîê ðóõó çì³íþþòü,
Êèäàòèñü âë³âî ³ âïðàâî, âïåðåä ³ íàçàä ïî÷èíàþòü…
ßê âèäíî ç íàâåäåíîãî ïðèêëàäó, óæå â àíòè÷í³ ÷àñè ïî÷àëè ðîçâèâàòèñü
ìåòîäè íàóêîâîãî ï³çíàííÿ ïðèðîäè (ñïîñòåðåæåííÿ, ïðèïóùåííÿ (ã³ïîòåçà),
ìîäåëþâàííÿ, ìèñëåííºâèé åêñïåðèìåíò òîùî). Ç ïðàöü ó÷åíèõ-ô³ëîñîô³â àí-
òè÷íîãî ïåð³îäó ïî÷àëè ñâ³é ðîçâèòîê óñ³ ïðèðîäíè÷î-ìàòåìàòè÷í³ íàóêè – ô³-
çèêà, àñòðîíîì³ÿ, õ³ì³ÿ, ãåîãðàô³ÿ, á³îëîã³ÿ, ìàòåìàòèêà.
Вступ

10
Â Ñ Ò Ó Ï
Â³ä ñòàðîãðåöüêîãî ô³ëîñîôà Ôàëåñà (624–547 ðð. äî í. å.) áåðóòü ïî÷àòîê
íàø³ çíàííÿ ç åëåêòðèêè ³ ìàãíåòèçìó, Äåìîêð³ò (460–370 ðð. äî í. å.) º îñíî-
âîïîëîæíèêîì â÷åííÿ ïðî áóäîâó ðå÷îâèíè, ñàìå â³í ïðèïóñòèâ, ùî âñ³ ò³ëà
ñêëàäàþòüñÿ ç íàéäð³áí³øèõ ÷àñòîê – àòîì³â, Åâêë³äó (²²² ñò. äî í. å.) íàëåæàòü
âàæëèâ³ äîñë³äæåííÿ â ãàëóç³ îïòèêè – â³í âïåðøå ñôîðìóëþâàâ îñíîâí³ çàêî-
íè ãåîìåòðè÷íî¿ îïòèêè (çàêîí ïðÿìîë³í³éíîãî ïîøèðåííÿ ñâ³òëà ³ çàêîí â³ä-
áèâàííÿ), îïèñàâ ä³þ ïëîñêèõ ³ ñôåðè÷íèõ äçåðêàë.
Ñåðåä âèäàòíèõ ó÷åíèõ òà âèíàõ³äíèê³â öüîãî ïåð³îäó ïåðøå ì³ñöå ïîñ³-
äàº Àðõ³ìåä (287–212 ðð. äî í. å.). Ç éîãî ðîá³ò «Ïðî ð³âíîâàãó ïëîùèí», «Ïðî
ïëàâàþ÷³ ò³ëà», «Ïðî âàæåë³» ïî÷èíàþòü ñâ³é ðîçâèòîê òàê³ ðîçä³ëè ô³çèêè,
ÿê ìåõàí³êà, ã³äðîñòàòèêà. ßñêðàâèé ³íæåíåðíèé òàëàíò Àðõ³ìåäà âèÿâèâñÿ ó
ñêîíñòðóéîâàíèõ íèì ìåõàí³÷íèõ ïðèñòðîÿõ.
²ç ñåðåäèíè ÕV² ñò. íàñòàº ÿê³ñíî íîâèé åòàï ðîçâèòêó ô³çèêè – ó ô³çèö³
ïî÷èíàþòü çàñòîñîâóâàòè åêñïåðèìåíòè ³ äîñë³äè. Îäíèì ³ç ïåðøèõ º äîñë³ä
Ãàë³ëåî Ãàë³ëåÿ ³ç êèäàííÿ ÿäðà òà êóë³ ç Ï³çàíñüêî¿ âåæ³. Öåé äîñë³ä ñòàâ çíà-
ìåíèòèì, îñê³ëüêè éîãî ââàæàþòü «äíåì íàðîäæåííÿ» ô³çèêè ÿê åêñïåðèìåí-
òàëüíî¿ íàóêè.
Ïîòóæíèì ïîøòîâõîì äî ôîðìóâàííÿ ô³çèêè ÿê íàóêè ñòàëè íàóêîâ³ ïðà-
ö³ ²ñààêà Íüþòîíà. Ó ïðàö³ «Ìàòåìàòè÷í³ íà÷àëà íàòóðàëüíî¿ ô³ëîñîô³¿» (1684
ð.) â³í ðîçðîáëÿº ìàòåìàòè÷íèé àïàðàò äëÿ ïîÿñíåííÿ ³ îïèñó ô³çè÷íèõ ÿâèù.
Íà ñôîðìóëüîâàíèõ íèì çàêîíàõ áóëî ïîáóäîâàíî òàê çâàíó êëàñè÷íó (íüþòî-
í³âñüêó) ìåõàí³êó.
Øâèäêèé ïðîãðåñ ó âèâ÷åíí³ ïðèðîäè, â³äêðèòòÿ íîâèõ ÿâèù ³ çàêîí³â
ïðèðîäè ñïðèÿëè ðîçâèòêó ñóñï³ëüñòâà. Ïî÷èíàþ÷è ç ê³íöÿ ÕV²²² ñò., ðîçâè-
òîê ô³çèêè ñïðè÷èíÿº áóðõëèâèé ðîçâèòîê òåõí³êè. Ó öåé ÷àñ ç’ÿâëÿþòüñÿ ³
âäîñêîíàëþþòüñÿ ïàðîâ³ ìàøèíè. Ó çâ’ÿçêó ç øèðîêèì ¿õ âèêîðèñòàííÿì ó
âèðîáíèöòâ³ òà íà òðàíñïîðò³ öåé ïåð³îä ÷àñó íàçèâàþòü «â³êîì ïàðè». Îäíî-
÷àñíî ïîãëèáëåíî âèâ÷àþòüñÿ òåïëîâ³ ïðîöåñè, ó ô³çèö³ âèîêðåìëþºòüñÿ íî-
âèé ðîçä³ë – òåðìîäèíàì³êà. Íàéá³ëüøèé âíåñîê ó äîñë³äæåíí³ òåïëîâèõ ÿâèù
íàëåæèòü Ñ. Êàðíî, Ð. Êëàóç³óñó, Ä. Äæîóëþ, Ä. Ìåíäåëººâó, Ä. Êåëüâ³íó òà
áàãàòüîì ³íøèì.
Áåçë³÷ íîâèõ â³äêðèòò³â â³äáóâàþòüñÿ ³ ó ãàëóç³ åëåêòðèêè òà ìàãíåòèç-
ìó (çàêîí Êóëîíà, çàêîí Àìïåðà, çàêîí Îìà, çàêîí åëåêòðîìàãí³òíî¿ ³íäóêö³¿
òîùî).Âèçíà÷àëüíèìèäëÿöüîãîïåð³îäóºäîñë³äæåííÿÌ.Ôàðàäåÿ,Å.Õ.Ëåíöà
òà Ä. Ìàêñâåëëà, ÿê³ ñïðèÿëè ðîçðîáö³ òàê çâàíî¿ êëàñè÷íî¿ åëåêòðîäèíàì³-
êè, ùî ïîÿñíþâàëà âëàñòèâîñò³ åëåêòðîìàãí³òíèõ ïîë³â, åëåêòðîìàãí³òíó ïðè-
ðîäó ñâ³òëà. Ó ê³íö³ Õ²Õ ³ íà ïî÷àòêó ÕÕ ñò. ç’ÿâëÿþòüñÿ ³ âäîñêîíàëþþòüñÿ
åëåêòðè÷í³ ìàøèíè. Çàâäÿêè øèðîêîìó âèêîðèñòàííþ åëåêòðè÷íî¿ åíåðã³¿
öåé ÷àñ íàçèâàþòü «â³êîì åëåêòðèêè». Ó ô³çèö³ âèîêðåìëþþòüñÿ íîâ³ ðîçä³ëè
– åëåêòðîäèíàì³êà, åëåêòðîòåõí³êà, ðàä³îòåõí³êà òà ³íø³.
Íà ïî÷àòêó ÕÕ ñò. ô³çèêè îòðèìàëè ÷èñëåíí³ åêñïåðèìåíòàëüí³ ðåçóëü-
òàòè, ÿê³ íå ìîæíà áóëî óçãîäèòè ç ïîëîæåííÿìè êëàñè÷íî¿ ìåõàí³êè òà åëåê-
òðîäèíàì³êè. Ó ô³çèö³ ïî÷èíàºòüñÿ íîâèé åòàï ðîçâèòêó – ñòâîðåííÿ êâàíòî-
âî¿ òà ðåëÿòèâ³ñòñüêî¿ òåîð³é. Âèçíà÷àëüíèìè äëÿ ¿õ ñòâîðåííÿ áóëè ïðàö³

11
Ô ² Ç È Ê À 1 0 Ê Ë À Ñ
Ì. Ïëàíêà, Í. Áîðà, À. Åéíøòåéíà. Êâàíòîâî-ðåëÿòèâ³ñòñüêà ô³çèêà º íàé-
á³ëüø çàãàëüíîþ é óí³âåðñàëüíîþ ôîðìîþ ïîäàííÿ ñó÷àñíîãî òëóìà÷åííÿ
çàêîíîì³ðíîñòåé íàâêîëèøíüîãî ñâ³òó. Àëå ç ¿¿ ïîÿâîþ êëàñè÷íà ô³çèêà íå
çíèêëà. Âèçíà÷èëèñü ëèøå ìåæ³, â ÿêèõ âîíà ä³º: êëàñè÷íà ô³çèêà äîñë³äæóº
ìàêðîñêîï³÷í³ ò³ëà (òîáòî ò³ëà, ÿê³ ñêëàäàþòüñÿ ç âåëè÷åçíî¿ ê³ëüêîñò³ àòîì³â
³ ìîëåêóë), ÿê³ ðóõàþòüñÿ ïîð³âíÿíî ïîâ³ëüíî (ç³ øâèäê³ñòþ íàáàãàòî ìåíøîþ
çà 300 000 êì/ñ).
Îñîáëèâî áóðõëèâèé ðîçâèòîê ñóñï³ëüñòâà ïî÷èíàºòüñÿ ç äðóãî¿ ïîëîâè-
íè ÕÕ ñò. Ëþäè íàâ÷èëèñü äîáóâàòè ³ øèðîêî çàñòîñîâóâàòè ÿäåðíó åíåðã³þ,
îñâîþâàòè êîñì³÷íèé ïðîñò³ð, êîíñòðóþâàòè íîâ³ àâòîìàòèçîâàí³ ïðèñòðî¿ ³
ìåõàí³çìè. ÕÕ ñò. íàçèâàþòü «àòîìíèì â³êîì», «â³êîì êîñì³÷íî¿ åðè». Ó ô³-
çèö³ ³íòåíñèâíî ïðîâîäÿòüñÿ äîñë³äæåííÿ àòîìíîãî ÿäðà, ïëàçìè, êåðîâàíèõ
òåðìîÿäåðíèõ ðåàêö³é, íàï³âïðîâ³äíèê³â òîùî. Âèîêðåìëþþòüñÿ íîâ³ ãàëó-
ç³ ô³çèêè, òàê³ ÿê ô³çèêà íèçüêèõ òåìïåðàòóð, ô³çèêà ð³äêîãî ñòàíó, ô³çèêà
ïëàçìè, ô³çèêà òâåðäîãî ò³ëà òà ³íø³.
Ïî÷àòîê ÕÕ² ñò. ñóïðîâîäæóºòüñÿ âåëè÷åçíèì ïðîðèâîì ó ãàëóç³ ³íôîðìà-
ö³éíèõ òåõíîëîã³é, ñóïóòíèêîâîãî çâ’ÿçêó, íàíîòåõíîëîã³é. Àëå ÿêó á ãàëóçü
òåõí³êè ³ òåõíîëîã³é ìè íå âçÿëè, â ¿¿ îñíîâ³ ëåæàòü çàêîíè ô³çèêè.
Ìåòîäè íàóêîâîãî ï³çíàííÿ. Íàóêè ïðî ïðèðîäó, çîêðåìà é ô³çèêà, ìà-
þòü ñïîð³äíåí³ çàêîíè ðîçâèòêó. Çà äîïîìîãîþ åìï³ðè÷íèõ ìåòîä³â ï³çíàí-
íÿ (ñïîñòåðåæåííÿ, åêñïåðèìåíòè) íàêîïè÷óºòüñÿ çíà÷íèé ôàêòè÷íèé
ìàòåð³àë ïðî ïåâíó ãðóïó ÿâèù ïðèðîäè. Íà îñíîâ³ öüîãî ôîðìóëþºòüñÿ
ã³ïîòåçà (íàóêîâå ïðèïóùåííÿ) òà ñòâîðþºòüñÿ ìîäåëü, ÿêà ïîÿñíþº ïðî-
ò³êàííÿ öèõ ÿâèù. Ã³ïîòåçà äàº íàì ëèøå á³ëüø-ìåíø ³ìîâ³ðíå ïîÿñíåííÿ
ÿâèùà àáî ðÿäó ÿâèù. Ïåðåâ³ðêà ã³ïîòåçè íà ïðàêòèö³, à òàêîæ çàñòîñó-
âàííÿ ã³ïîòåçè äëÿ ðîçâ’ÿçóâàííÿ íîâèõ çàâäàíü íàóêè ðîáèòü ã³ïîòåçó àáî
äîñòîâ³ðíîþ, àáî ³íîä³ ïðèìóøóº â³äìîâèòèñü â³ä íå¿ ÿê õèáíî¿ ³ çàì³íèòè
¿¿ ³íøîþ.
ßêùî ïðàâèëüí³ñòü ã³ïîòåçè ï³äòâåðäæóºòüñÿ, òî íà ¿¿ îñíîâ³ ôîðìóëþ-
þòüñÿ çàêîíè ³ ñòâîðþºòüñÿ òåîð³ÿ, ÿêà ìàº äîñòàòíüî âè÷åðïíî ïîÿñíþâàòè
ÿâèùà, ùî â³äáóâàþòüñÿ, íå ò³ëüêè ç ÿê³ñíîãî, à é ç ê³ëüê³ñíîãî áîêó, à òàêîæ
ïåðåäáà÷àòè íîâ³ ÿâèùà, ç äîñòàòíüîþ äëÿ ïðàêòè÷íèõ ö³ëåé òî÷í³ñòþ.
Åêñïåðèìåíòàëüíèé ³ òåîðåòè÷íèé ìåòîäè
ï³çíàííÿ º îñíîâîþ ô³çèêè.
Åêñïåðèìåíòîì ó ô³çèö³ íàçèâàþòü ñïåö³àëüíî ïîñòàâëåíèé äîñë³ä ÷è
ñïîñòåðåæåííÿ, ÿê³ çàäîâîëüíÿþòü òàêèì âèìîãàì:
1) â³äòâîðþâàí³ñòü åêñïåðèìåíòàëüíèõ ðåçóëüòàò³â ó ðàç³ âèêîíàííÿ áóäü-
ÿêî¿ ê³ëüêîñò³ íåçàëåæíèõ âèì³ðþâàíü (çîêðåìà é òàêèõ, ùî ïðîâîäÿòüñÿ íà
ð³çíèõ óñòàíîâêàõ, ð³çíèìè åêñïåðèìåíòàòîðàìè, ó ð³çíèõ ì³ñöÿõ òîùî);
2) ìàêñèìàëüíà òî÷í³ñòü âèì³ðþâàííÿ;
3) ïîâíèé êîíòðîëü çà âñ³ìà ÷èííèêàìè, ÿê³ âèçíà÷àþòü ïåðåá³ã äîñë³äæó-
âàíîãî ÿâèùà.

12
Â Ñ Ò Ó Ï
Ó òåîðåòè÷íèõ äîñë³äæåííÿõ çíà÷íà ðîëü â³äâîäèòüñÿ ìèñëåííºâèì åêñïå-
ðèìåíòàì, ìîäåëþâàííþ, ³äåàë³çàö³¿ òà ôîðìàë³çàö³¿ ô³çè÷íèõ ÿâèù. Òàê, çî-
êðåìà,âèâ÷åííÿô³çè÷íèõÿâèùíàì³êðî-òàíàíîð³âíÿõñïåðøóìîäåëþºòüñÿ,äî-
ñë³äæóºòüñÿ ìåòîäàìè ìàòåìàòèêè, ³ ëèøå ïîò³ì ïåðåâ³ðÿºòüñÿ åêñïåðèìåíòîì.
Ìåòîä ìîäåëþâàííÿ ïîëÿãàº â ñòâîðåíí³ ìîäåë³, ÿêà â³äîáðàæàº íàéá³ëüø
ñóòòºâ³ âëàñòèâîñò³ îðèã³íàëó ³ äàº çìîãó çíà÷íî ñïðîñòèòè ïðîöåñ äîñë³äæåííÿ.
Íàïðèêëàä, ìåõàí³÷í³ ðóõè ò³ë, ùî òðàïëÿþòüñÿ ó ïðèðîä³, äóæå ð³çíîìà-
í³òí³. Âîíè â³äð³çíÿþòüñÿ îäèí â³ä îäíîãî òðàºêòîð³ÿìè, øâèäêîñòÿìè, íàïðÿ-
ìàìè òîùî. Àëå ç óñüîãî ð³çíîìàí³òòÿ ðóõîìèõ ò³ë ìîæíà ìèñëåíî âèîêðåìèòè
ò³, ùî ðóõàþòüñÿ ïî ïðÿì³é ë³í³¿, ³ ò³, øâèäê³ñòü ðóõó ÿêèõ çàëèøàºòüñÿ íå-
çì³ííîþ. Öå ³ áóäå ìîäåëü ð³âíîì³ðíîãî ïðÿìîë³í³éíîãî ðóõó, çà äîïîìîãîþ
ÿêî¿ ìîæíà âñòàíîâèòè çàêîíè ðóõó.
Îêð³ì ô³çè÷íèõ ìîäåëåé ó ô³çèö³ âèêîðèñòîâóþòüñÿ ìàòåìàòè÷í³ ìîäåë³.
Ìàòåìàòè÷íà ìîäåëü – öå îïèñ ÿêîãîñü ðåàëüíîãî îá’ºêòà àáî ïðîöåñó ìîâîþ
ìàòåìàòè÷íèõ ïîíÿòü, â³äíîøåíü, ôîðìóë, ð³âíÿíü òîùî.
²ñòîð³ÿ íàóêè çíàº ÷èìàëî ïðèêëàä³â, êîëè â ìåæàõ âäàëî ïîáóäîâàíî¿ ìàòå-
ìàòè÷íî¿ ìîäåë³ çà äîïîìîãîþ îá÷èñëåíü, ÿê êàæóòü, «íà ê³í÷èêó ïåðà», âäàâà-
ëîñÿ ïåðåäáà÷èòè ³ñíóâàííÿ íîâèõ ô³çè÷íèõ ÿâèù òà îá’ºêò³â. Òàê, ñïèðàþ÷èñü
íà ìàòåìàòè÷í³ ìîäåë³, àñòðîíîìè Äæ. Àäàìñ (Àíãë³ÿ) ó 1845 ð. ³ Ó. Ëåâåð’º
(Ôðàíö³ÿ) ó 1846 ð. íåçàëåæíî îäèí â³ä îäíîãî ä³éøëè âèñíîâêó ïðî ³ñíóâàí-
íÿ íåâ³äîìî¿ òîä³ ùå ïëàíåòè ³ âêàçàëè ¿¿ ðîçì³ùåííÿ. Çà ðîçðàõóíêàìè Ëåâåð’º
àñòðîíîì Ã. Ãàëëå (Í³ìå÷÷èíà) çíàéøîâ öþ ïëàíåòó. ¯¿ íàçâàëè Íåïòóíîì.
Àíãë³éñüêèé ô³çèê Ì. Ä³ðàê ó 1928 ð. îòðèìàâ ð³âíÿííÿ ðóõó åëåêòðîíà.
Ç ðîçâ’ÿçêó öüîãî ð³âíÿííÿ âèïëèâàëî ³ñíóâàííÿ åëåìåíòàðíî¿ ÷àñòèíêè, ÿêà
â³äð³çíÿºòüñÿ â³ä åëåêòðîíà ëèøå çíàêîì åëåêòðè÷íîãî çàðÿäó. Òàêó ÷àñòèíêó
ó 1932 ð. â³äêðèâ ô³çèê Ê. Ä. Àíäåðñåí (ÑØÀ) ³ íàçâàâ ¿¿ ïîçèòðîíîì.
Ìåòîä ìàòåìàòè÷íîãî ìîäåëþâàííÿ â³ä³ãðàº âàæëèâó ðîëü ó êîðàáëå- òà
àâ³àáóäóâàíí³, åêîíîì³ö³ òîùî.
Ðåçóëüòàòè åêñïåðèìåíòàëüíèõ ³ òåîðåòè÷íèõ äîñë³äæåíü ôîðìóëþþòüñÿ
ó âèãëÿä³ ïåâíèõ çàêîíîì³ðíîñòåé – ô³çè÷íèõ çàêîí³â.
Íå âñ³ çàêîíè ô³çèêè º ð³âíîñèëüíèìè çà íàóêîâèì çíà÷åííÿì. Ó ô³çèö³
ðîçð³çíÿþòü ôóíäàìåíòàëüí³, ÷àñòêîâ³ òà çàêîíè ôóíäàìåíòàëüíîãî ïîõî-
äæåííÿ.
Ôóíäàìåíòàëüíèìè º çàêîíè çáåðåæåííÿ (åíåðã³¿, åëåêòðè÷íîãî çàðÿäó
òà ³í.), çàêîí âñåñâ³òíüîãî òÿæ³ííÿ òîùî. Çàêîíè, ÿê³ âèêîíóþòüñÿ ëèøå ó
ïåâíèõ îáìåæåíèõ óìîâàõ, íàçèâàþòüñÿ ÷àñòêîâèìè. Öå, íàïðèêëàä, çàêîí
Ãóêà, çàêîí Îìà. Çàêîíè, ÿê³ ìîæíà ìàòåìàòè÷íî âèâåñòè ç ôóíäàìåíòàëüíèõ,
íàçèâàþòü çàêîíàìè ôóíäàìåíòàëüíîãî ïîõîäæåííÿ.
Ñóêóïí³ñòü çàêîí³â, ùî îïèñóþòü øèðîêå êîëî
ÿâèù, íàçèâàþòü íàóêîâîþ òåîð³ºþ.
Íàïðèêëàä, çàêîíè Íüþòîíà ñêëàäàþòü çì³ñò îäí³º¿ ç ïåðøèõ ô³çè÷íèõ òå-
îð³é – êëàñè÷íî¿ ìåõàí³êè. Çì³ñò êëàñè÷íî¿ òåîð³¿ åëåêòðîìàãíåòèçìó óòâîðþ-
þòü çàêîíè, ñôîðìóëüîâàí³ àíãë³éñüêèì ô³çèêîì Ä. Ìàêñâåëëîì.

13
Ô ² Ç È Ê À 1 0 Ê Ë À Ñ
Óñ³ ô³çè÷í³ çàêîíè ³ òåîð³¿ º äåÿêèì íàáëèæåííÿì äî ä³éñíîñò³, îáóìîâëå-
íèì ïåâíîþ óìîâí³ñòþ ìîäåë³ ÿâèù ³ ïðîöåñ³â. Òîìó ô³çè÷í³ çàêîíè ³ òåîð³¿ ìà-
þòü ïåâí³ ìåæ³ çàñòîñóâàííÿ. Íàïðèêëàä, êëàñè÷íà ìåõàí³êà º ñïðàâåäëèâîþ
ò³ëüêè ïðè ðîçãëÿä³ ðóõó ò³ë ç³ øâèäêîñòÿìè, íàáàãàòî ìåíøèìè, í³æ øâèä-
ê³ñòü ïîøèðåííÿ ñâ³òëà.
Ï³äáèâàþ÷è ï³äñóìîê çàçíà÷èìî: ô³çèêà – öå íå ïðîñòî ðåçóëüòàò êîï³òêî¿
³ äîïèòëèâî¿ ïðàö³ â÷åíèõ, à é âåëèêå íàäáàííÿ ëþäñüêî¿ öèâ³ë³çàö³¿, âàæëèâà
ñêëàäîâà êóëüòóðè ëþäñòâà. Íàñàìïåðåä ô³çèêà äàº ñèñòåìàòèçîâàíó ³íôîð-
ìàö³þ ïðî íàâêîëèøí³é ñâ³ò ðàçîì ç óì³ííÿì çäîáóâàòè òàêó ³íôîðìàö³þ.
Ô³çèêà º íàéãëèáøîþ, íàéôóíäàìåíòàëüí³øîþ íàóêîþ ïðî ïðèðîäó. Òîìó ¿¿
ìåòîäè ³ òåîð³¿ øèðîêî âèêîðèñòîâóþòüñÿ â ³íøèõ ïðèðîäíè÷èõ íàóêàõ ³ ô³ëî-
ñîô³¿ ïðèðîäîçíàâñòâà. Âèâ÷åííÿ ô³çèêè ìàº âàæëèâå çíà÷åííÿ äëÿ ðîçâèòêó
íàóêîâîãî ñâ³òîðîçóì³ííÿ òà çàáåçïå÷åííÿ ìàéáóòíüîãî ôàõ³âöÿ â ãàëóç³ òåõí³-
êè ³ ïðèðîäíè÷èõ íàóê ìåòîäàìè íàóêîâîãî ï³çíàííÿ.
Дайте відповіді на запитання
Âêàæ³òü îñíîâí³ åòàïè ó ðîçâèòêó ô³çèêè.1.
Íàçâ³òü îñíîâí³ ìåòîäè íàóêîâîãî ï³çíàííÿ.2.
Ùî òàêå ô³çè÷íèé åêñïåðèìåíò, çàêîí, òåîð³ÿ?3.
Ó ÷îìó ïîëÿãàº ñóòü ìîäåëþâàííÿ? Íàâåä³òü ïðèêëàäè â³äîìèõ âàì ô³-4.
çè÷íèõ ìîäåëåé.
§ 2 Вимірювання фізичних величин
Îäèíèö³ ô³çè÷íèõ âåëè÷èí.
Âèì³ðþâàííÿ. Ïîõèáêè âèì³ðþâàííÿ.
Íàáëèæåí³ îá÷èñëåííÿ.
Îäèíèö³ ô³çè÷íèõ âåëè÷èí. Ô³çè÷í³ çàêîíè ³ çàêîíîì³ðíîñò³ ïëèíó ô³çè÷-
íèõ ÿâèù ³ ïðîöåñ³â ìàþòü áóòè âèðàæåí³ ê³ëüê³ñíî, òîìó ô³çèêè øóêàþòü
ê³ëüê³ñí³ õàðàêòåðèñòèêè òèõ âëàñòèâîñòåé ò³ë ÷è ÿâèù, ÿê³ âîíè âèâ÷àþòü. Ó
ô³çèö³ òàê³ õàðàêòåðèñòèêè íàçèâàþòü ô³çè÷íèìè âåëè÷èíàìè.
Ô³çè÷íà âåëè÷èíà – ê³ëüê³ñíà õàðàêòåðèñòèêà
ïåâíî¿ âëàñòèâîñò³ ò³ëà ÷è ÿâèùà.
Ô³çè÷íó âåëè÷èíó çàâæäè ìîæíà âèì³ðÿòè, òîáòî ïîð³âíÿòè ¿¿ ç îäíîð³ä-
íîþ âåëè÷èíîþ, ÿêó âçÿòî çà îäèíèöþ ö³º¿ âåëè÷èíè. Òàê, âèì³ðÿòè äîâæèíó
ñòîëà – îçíà÷àº ïîð³âíÿòè ¿¿ ç ³íøîþ äîâæèíîþ, ÿêó âçÿòî çà îäèíèöþ äîâæè-

14
Â Ñ Ò Ó Ï
íè, íàïðèêëàä, ç ìåòðîì. Ó ðåçóëüòàò³ âèì³ðþâàííÿ âåëè÷èíè âèçíà÷àþòü ¿¿
÷èñëîâå çíà÷åííÿ, âèðàæåíå â ïåâíèõ îäèíèöÿõ.
Äëÿ êîæíî¿ ô³çè÷íî¿ âåëè÷èíè âñòàíîâëåíî ñâî¿ îäèíèö³. Äëÿ çðó÷íîñò³
âñ³ êðà¿íè ñâ³òó ïðàãíóòü êîðèñòóâàòèñü îäíàêîâèìè îäèíèöÿìè ô³çè÷íèõ âå-
ëè÷èí. Òîæ ó 1960 ð. áóëî ïðèéíÿòî Ì³æíàðîäíó ñèñòåìó îäèíèöü (â óêðà-
¿íñüê³é òðàíñêðèïö³¿ ñêîðî÷åíî – Ñ² «ñèñòåìà ³íòåðíàö³îíàëüíà»). Äî íå¿
âõîäèòü ñ³ì îñíîâíèõ îäèíèöü òà äâ³ äîäàòêîâ³ íà îñíîâ³ ÿêèõ âèçíà÷àþòüñÿ
³íø³ (ïîõ³äí³) îäèíèö³.
Îñíîâíà ô³çè÷íà âåëè÷èíà – ô³çè÷íà âåëè÷èíà, ÿêà âõîäèòü äî ñèñòåìè ³
óìîâíî ïðèéíÿòà ÿê íåçàëåæíà â³ä ³íøèõ âåëè÷èí ö³º¿ ñèñòåìè.
Äî îñíîâíèõ îäèíèöü Ñ² íàëåæàòü:
Äîâæèíà – 1 ì (ìåòð). Ñèëà ñâ³òëà – 1 êä (êàíäåëà).
×àñ – 1 ñ (ñåêóíäà). Ñèëà ñòðóìó – 1 À (àìïåð).
Ìàñà – 1 êã (ê³ëîãðàì). Ê³ëüê³ñòü ðå÷îâèíè – 1 ìîëü.
Òåìïåðàòóðà – 1 Ê (êåëüâ³í).
Äîäàòêîâèìè º îäèíèöÿ ïëîñêîãî êóòà – 1 ðàä (ðàä³àí)
³ ò³ëåñíîãî êóòà – 1 ñð (ñòåðàä³àí).
Ïîõ³äíà ô³çè÷íà âåëè÷èíà – ô³çè÷íà âåëè÷èíà, ÿêà âõîäèòü äî ñèñòåìè ³
âèçíà÷àºòüñÿ ÷åðåç îñíîâí³ âåëè÷èíè ö³º¿ ñèñòåìè.
Íàïðèêëàä,çíàþ÷è,ùîãóñòèíóðå÷îâèíèâèçíà÷àþòüçàôîðìóëîþρ=m/V,
ìîæíà ç îñíîâíèõ îäèíèöü ñêëàñòè îäèíèöþ ãóñòèíè [ ]ρ = 3
êã
1
ì
.
Äëÿ ñêîðî÷åííÿ çàïèñó âåëèêèõ ³ ìàëèõ çíà÷åíü ð³çíèõ âåëè÷èí êîðèñòó-
þòüñÿ êðàòíèìè é ÷àñòèííèìè îäèíèöÿìè. Êðàòí³ îäèíèö³ – öå îäèíèö³, á³ëü-
ø³ â³ä îñíîâíèõ îäèíèöü ó 10, 100, 1000 ³ á³ëüøå ðàç³â. ×àñòèíí³ îäèíèö³ – öå
îäèíèö³, ìåíø³ â³ä îñíîâíèõ ó 10, 100, 1000 ³ á³ëüøå ðàç³â.
Íà ôîðçàö³ ï³äðó÷íèêà ðîçì³ùåíà òàáë. 1 ó ÿê³é âêàçàí³ íàéâàæëèâ³ø³
îäèíèö³ Ì³æíàðîäíî¿ ñèñòåìè, ÿê³ ìè áóäåìî âèêîðèñòîâóâàòè ïðè âèâ÷åíí³
ìåõàí³êè, òà òàáë. 2 ç íàéìåíóâàííÿì ³ ïîçíà÷åííÿì ïðåô³êñà äëÿ çàïèñóâàí-
íÿ êðàòíèõ ³ ÷àñòèííèõ îäèíèöü.
Âèì³ðþâàííÿ. Ïîõèáêè âèì³ðþâàííÿ. Áàãàòî ãàëóçåé ä³ÿëüíîñò³ ëþäèíè
òà ñóñï³ëüñòâà ò³ñíî ïîâ’ÿçàí³ ç âèì³ðþâàííÿì ô³çè÷íèõ âåëè÷èí.
Âèì³ðþâàííÿì íàçèâàþòü âèçíà÷åííÿ ô³çè÷íî¿
âåëè÷èíè äîñë³äíèì øëÿõîì çà äîïîìîãîþ çàñîá³â
âèì³ðþâàííÿ.
Òî÷í³ âèì³ðþâàííÿ – ñïðàâà äîñèòü ãðîì³çäêà, òîìó äëÿ âèð³øåííÿ ïðî-
áëåì âèì³ðþâàííÿ ³ñíóº íàóêà – ìåòðîëîã³ÿ. Öÿ íàçâà ïîõîäèòü â³ä ãðåöüêèõ
ñë³â: «ìåòðîí» – ì³ðà òà «ëîãîñ» – ó÷åííÿ.
Ìåòðîëîã³ÿ – íàóêà ïðî âèì³ðþâàííÿ, ÿêà âêëþ÷àº ÿê òåîðåòè÷í³, òàê ³
ïðàêòè÷í³ àñïåêòè âèì³ðþâàíü ó âñ³õ ãàëóçÿõ íàóêè ³ òåõí³êè.
Ìè ðîçãëÿíåìî ëèøå ò³ ïèòàííÿ òåîð³¿ âèì³ðþâàíü, ÿê³ íàé÷àñò³øå âèêî-
ðèñòîâóþòüñÿ ó øê³ëüí³é ïðàêòèö³ ïðè âèêîíàíí³ ëàáîðàòîðíèõ ðîá³ò, åêñïå-
ðèìåíòàëüíèõ äîñë³äæåíü.

15
Ô ² Ç È Ê À 1 0 Ê Ë À Ñ
Ñåðåä ô³çè÷íèõ âåëè÷èí º òàê³, ÿê³ ìîæíà âèì³ðÿòè áåçïîñåðåäíüî çà äîïî-
ìîãîþ âèì³ðþâàëüíèõ ïðèëàä³â, íàïðèêëàä, äîâæèíà, ÷àñ, ìàñà, òåìïåðàòóðà,
ñèëà ñòðóìó. Âèì³ðþâàííÿ, çä³éñíåí³ áåçïîñåðåäíüî, íàçèâàþòüñÿ ïðÿìèìè.
Îäíàê ÷àñò³øå äîâîäèòüñÿ âèçíà÷àòè âåëè÷èíè, ÿê³ âèì³ðÿòè áåçïîñåðåä-
íüî íåìîæëèâî (êîåô³ö³ºíò òåðòÿ, ïèòîìà òåïëîºìí³ñòü ðå÷îâèíè, âíóòð³øí³é
îï³ð äæåðåëà ñòðóìó òîùî). Äëÿ òàêèõ ô³çè÷íèõ âåëè÷èí ïîòð³áíî â³äøóêàòè
ôóíêö³îíàëüíó çàëåæí³ñòü â³ä âåëè÷èí, âèì³ðþâàíèõ áåçïîñåðåäíüî. Òàê³ âè-
ì³ðþâàííÿ íàçèâàþòüñÿ íåïðÿìuìu.
Íåäîñêîíàë³ñòü âèì³ðþâàëüíèõ ïðèëàä³â ³ ìåòîä³â âèì³ðþâàííÿ, à òàêîæ
ëþäñüêèõ îðãàí³â ÷óòòÿ, âïëèâ ñåðåäîâèùà âíîñÿòü ïåâíó íåòî÷í³ñòü (ïîõèá-
êó) ó ïðîöåñ âèì³ðþâàííÿ.
Íàïðèêëàä, òðüîì ó÷íÿì äàëè çàâäàííÿ âèì³ðÿòè äîâæèíó áðóñêà ë³í³éêîþ
ç ñàíòèìåòðîâèìè ïîä³ëêàìè (áåç ìì), à äåñÿò³ ÷àñòêè ñàíòèìåòðà âèçíà÷èòè «íà
îêî». Ðåçóëüòàòè âèì³ðþâàíü âèÿâèëèñü òàêèìè: 15,3; 15,8 ³ 15,4 ñì.
ßêå æ âèì³ðþâàííÿ ââàæàòè íàéòî÷í³øèì? Ó íàñ íåìàº ï³äñòàâ â³ääàòè
ïåðåâàãó áóäü-ÿêîìó âèì³ðþâàííþ, ÿêùî âñ³ âîíè ïðîâîäèëèñü àêóðàòíî, ç äî-
äåðæàííÿì ïðàâèë êîðèñòóâàííÿ âèì³ðþâàëüíèìè ïðèëàäàìè. Ó òàêîìó âè-
ïàäêó íàáëèæåíèì ðåçóëüòàòîì áóäå ñåðåäíº àðèôìåòè÷íå ç óñ³õ ðåçóëüòàò³â
âèì³ðþâàííÿ:
+ +
= =
15,3 15,8 15,4
3
cl
Â³äõèëåííÿ íàáëèæåíîãî çíà÷åííÿ âåëè÷èíè â³ä
éîãî òî÷íîãî çíà÷åííÿ íàçèâàºòüñÿ àáñîëþòíîþ
ïîõèáêîþ.
ßêùî ³ñòèííå çíà÷åííÿ âèì³ðþâàëüíî¿ âåëè÷èíè ïîçíà÷èòè Õ, à çíà÷åííÿ
îòðèìàíå ó ðåçóëüòàò³ ïðÿìîãî âèì³ðþâàííÿ õ, òî àáñîëþòíà ïîõèáêà ∆Õ º ð³ç-
íèöåþ ì³æ íèìè: ∆X = X − x.
Çâåðí³ìîñü äî íàøîãî ïðèêëàäó. Îñê³ëüêè ³ñòèííå çíà÷åííÿ l íàì íåâ³äîìå,
çà àáñîëþòíó ïîõèáêó ∆l ïðèéìàºòüñÿ â³äõèëåííÿ éîãî ðåçóëüòàòó â³ä ñåðåä-
íüîãî çíà÷åííÿ, çíàéäåíîãî ç ê³ëüêîõ âèì³ðþâàíü: ∆ = − = −1 15,3 15,5 0,2 ñìl ;
∆ = − =2 15,8 15,5 0,3 ñìl ; ∆ = − = −3 15,4 15,5 0,1 ñìl .
Äàë³ ñë³ä îá÷èñëèòè ñåðåäíþ àáñîëþòíó ïîõèáêó ÿê ñåðåäíº àðèôìåòè÷íå:
+ +
∆ = =
0,2 0,3 0,1
3
cl
Çâåðí³òü óâàãó, ùî ï³ä ÷àñ îá÷èñëåííÿ ñåðåäíüî¿ àáñîëþòíî¿ ïîõèáêè çíà-
÷åííÿ âñ³õ ïîõèáîê îêðåìèõ âèì³ðþâàíü âçÿòî ç³ çíàêîì «+». ßêáè ìè âçÿëè
á óñ³ â³äõèëåííÿ â³ä ñåðåäíüîãî ç âêàçàíèìè âèùå çíàêàìè «+» ³ «−», òî â ñóì³
ä³ñòàëè á íóëü ³ ä³éøëè á íåïðàâèëüíîãî âèñíîâêó, ùî çíà÷åííÿ 15,5 ñì º òî÷-
íèì çíà÷åííÿì äîâæèíè áðóñêà.
Çíàòè àáñîëþòíó ïîõèáêó âèì³ðþâàíü – ùå íå îçíà÷àº ìàòè ïîâíó õàðàê-
òåðèñòèêó ÿêîñò³ âèì³ðþâàíü. Òàê, ïîõèáêà â 1 ñì ïðè âèì³ðþâàíí³ ðåéêè äî-
âæèíîþ 12 ì º íåçíà÷íîþ, àëå òàêà ñàìà ïîõèáêà ïðè âèì³ðþâàíí³ áðóñêà äî-

16
Â Ñ Ò Ó Ï
âæèíîþ 12 ñì óæå áóäå ãðóáîþ. Äëÿ îö³íêè òî÷íîñò³ âèì³ðþâàííÿ âèçíà÷àþòü
â³äíîñíó ïîõèáêó.
Â³äíîñíà ïîõèáêà ε – öå â³äíîøåííÿ àáñîëþòíî¿
ïîõèáêè ∆Õ âèì³ðþâàííÿ äî ³ñòèííîãî çíà÷åííÿ
âèì³ðþâàëüíî¿ âåëè÷èíè Õ.
Â³äíîñíó ïîõèáêó íàé÷àñò³øå âèðàæàþòü ó â³äñîòêàõ.
∆
ε = ⋅100 %.
Ó íàâåäåíîìó ïðèêëàä³, îñê³ëüêè íàì íåâ³äîìå ³ñòèííå çíà÷åííÿ âåëè÷è-
íè, ñë³ä âèçíà÷èòè ñåðåäíþ â³äíîñíó ïîõèáêó:
∆
ε = ⋅ = ⋅ =
0,2
100 % 100 % 1,3 %.
15,5
c
c
c
l
l
Îñòàòî÷íèé ðåçóëüòàò çàïèñóºìî ó âèãëÿä³: l = lc
± ∆lc
= (15,5 ± 0,2) ì ïðè
εc
= 1,3 %.
Ïîõèáêè íåïðÿìèõ âèì³ðþâàíü ô³çè÷íèõ âåëè÷èí âèçíà÷àþòü çà ïîõèáêà-
ìè áåçïîñåðåäíüî âèì³ðÿíèõ âåëè÷èí ç âèêîðèñòàííÿì òàáëè÷íèõ ôîðìóë äëÿ
îá÷èñëåííÿ ïîõèáîê, ÿê³ íàâåäåíî ó òàáë. 3 íà ôîðçàö³.
Ï³ä ÷àñ ìàòåìàòè÷íî¿ îáðîáêè ðåçóëüòàò³â åêñïåðèìåíò³â ïîòð³áíî òàêîæ
âðàõóâàòè ïîõèáêè çàñîá³â âèì³ðþâàííÿ – ³íñòðóìåíòàëüí³ ïîõèáêè ∆õ³í
.
²íñòðóìåíòàëüíèìè íàçèâàþòüñÿ ïîõèáêè, ïðè÷èíà ÿêèõ ïîëÿãàº ó âëàñ-
òèâîñòÿõ çàñîá³â âèì³ðþâàííÿ. Äæåðåëàìè öèõ ïîõèáîê º äåÿêà íåäîñêîíà-
ë³ñòü âèì³ðþâàëüíèõ ïðèëàä³â: íåòî÷í³ñòü íàíåñåííÿ â³äì³òîê øêàëè, òåðòÿ
ïðè ïåðåì³ùåíí³ ðóõîìèõ äåòàëåé ïðèëàäó òîùî.
Ïîõèáêó ïðèëàäó (¿¿ íàçèâàþòü ãðàíè÷íîþ àáñîëþòíîþ ïîõèáêîþ âèì³ðþ-
âàëüíîãî ïðèëàäó ∆õ³í
) âêàçóþòü ó éîãî ïàñïîðò³ àáî íà øêàë³, ³ âîíà õàðàê-
òåðèçóº òî÷í³ñòü çàñîáó âèì³ðþâàííÿ çà íîðìàëüíèõ óìîâ ðîáîòè. Ó òàáë. 4
ôîðçàöó âêàçàí³ ∆õ³í
ïðèëàä³â, ÿê³ íàé÷àñò³øå âèêîðèñòîâóþòüñÿ ó øê³ëüíîìó
ô³çè÷íîìó åêñïåðèìåíò³.
ßêùî äëÿ ïåâíîãî ïðèëàäó íå âêàçàíî ∆õ³í
, òî ââàæàþòü, ùî ãðàíè÷íà ïî-
õèáêà äîð³âíþº ïîëîâèí³ ö³íè ïîä³ëêè øêàëè.
Íàáëèæåí³ îá÷èñëåííÿ. Ïðè âèì³ðþâàíí³ ô³çè÷íèõ âåëè÷èí ¿õ çíà÷åííÿ
çàâæäè º íàáëèæåíèìè.
Íà ïðàêòèö³ íàáëèæåí³ çíà÷åííÿ çàïèñóþòü òàê, ùîá çà öèì çàïèñîì ìîæ-
íà áóëî ä³éòè âèñíîâêó ïðî òî÷í³ñòü íàáëèæåííÿ. ßêùî íàáëèæåíå çíà÷åííÿ
çàïèñàíî òàê, ùî éîãî àáñîëþòíà ïîõèáêà íå ïåðåâèùóº îäèíèö³ îñòàííüîãî
ðîçðÿäó, òî êàæóòü, ùî ÷èñëî çàïèñàíî ïðàâèëüíèìè öèôðàìè.
Ïðàâèëüíîþ öèôðîþ íàáëèæåíîãî çíà÷åííÿ íà-
çèâàþòü öèôðó áóäü-ÿêîãî ðîçðÿäó, ÿêùî àáñîëþò-
íà ïîõèáêà íå ïåðåâèùóº îäèíèö³ öüîãî ðîçðÿäó.
Íàáëèæåí³ çíà÷åííÿ çàâæäè çàïèñóþòü òàê, ùî óñ³ éîãî öèôðè º ïðàâèëü-
íèìè. Íàïðèêëàä, ó òàáëèö³ òåìïåðàòóð ïëàâëåííÿ çàçíà÷åíî, ùî òåìïåðàòóðà

17
Ô ² Ç È Ê À 1 0 Ê Ë À Ñ
ïëàâëåííÿ ì³ä³ 1084,5 °Ñ. Ó çàïèñ³ öüîãî íàáëèæåíîãî çíà÷åííÿ òåìïåðàòóðè
âñ³ öèôðè ïðàâèëüí³. Îñòàííÿ öèôðà çàïèñàíà ó ðîçðÿä³ äåñÿòèõ, òîìó àáñî-
ëþòíà ïîõèáêà íàáëèæåíîãî çíà÷åííÿ íå ïåðåâèùóº 0,1°Ñ.
Ó äîâ³äíèêàõ, òåõí³÷í³é ë³òåðàòóð³ ïðè ðîçâ’ÿçóâàíí³ ô³çè÷íèõ çàäà÷ çà-
ïèñè íàáëèæåíèõ çíà÷åíü ìîæóòü ïîäàâàòèñü ó ñòàíäàðòíîìó âèãëÿä³.
Ñòàíäàðòíèé âèãëÿä ÷èñëà – öå çàïèñ ÷èñëà ó
âèãëÿä³ a •10n
, äå , n – ö³ëå ÷èñëî.
Ïðè òàêîìó çàïèñ³ ìíîæíèê a ì³ñòèòü ëèøå ïðàâèëüí³ öèôðè, òîæ ìîæíà
ëåãêî çíàéòè òî÷í³ñòü íàáëèæåíîãî çíà÷åííÿ.
Íàïðèêëàä, ó äîâ³äíèêó çàçíà÷åíî, ùî ìàñà Çåìë³ äîð³âíþº ⋅ 24
5,976 10 êã.
Âèçíà÷èìî òî÷í³ñòü íàáëèæåíîãî çíà÷åííÿ. Îñê³ëüêè ó ìíîæíèêó 5,976 óñ³
öèôðè ïðàâèëüí³, à îñòàííüîþ º öèôðà ðîçðÿäó òèñÿ÷íèõ, òî ìàñà Çåìë³ (ó êã)
äîð³âíþº:
24 24 24 24 21
(5,976 0,001) 10 êã 5,976 10 êã 0,001 10 êã (5,976 10 10 ) êã.m = ± ⋅ = ⋅ ± ⋅ = ⋅ ±
Îòæå, òî÷í³ñòü íàáëèæåíîãî çíà÷åííÿ 1021
êã.
Ïðè âèêîíàíí³ ä³é íàä íàáëèæåíèìè çíà÷åííÿìè âèêîðèñòîâóþòü òàêîæ
ïîíÿòòÿ çíà÷óùî¿ öèôðè.
Çíà÷óùèìè öèôðàìè íàáëèæåíîãî çíà÷åííÿ
íàçèâàþòü óñ³ éîãî öèôðè, êð³ì íóë³â ë³âîðó÷, à
òàêîæ òèõ íóë³â ïðàâîðó÷, ÿê³ ñòîÿòü íà ì³ñöÿõ
öèôð, çàì³íåíèõ ïðè îêðóãëåíí³.
Íàïðèêëàä, ó íàáëèæåíîìó çíà÷åíí³ 0,003 09 òðè çíà÷óù³ öèôðè: 3; 0; 9.
Ó ÷èñë³ 9,001 óñ³ ÷îòèðè öèôðè çíà÷óù³. ×èñëî 0,060 ìàº äâ³ çíà÷óù³ öèôðè:
6 ³ 0, à äâà íóë³, ÿê³ ïåðåäóþòü öèôð³ 6, íå º çíà÷óùèìè,
Âèêîíóþ÷è ä³¿ ç íàáëèæåíèìè çíà÷åííÿìè âèêîðèñòîâóþòü ïåâí³ ïðàâèëà.
Ïðàâèëà íàáëèæåíèõ îá÷èñëåíü:
Ï³ä ÷àñ äîäàâàííÿ ³ â³äí³ìàííÿ ðåçóëüòàò îêðóãëþþòü òàê, ùîá â³í íå ìàâ
çíà÷óùèõ öèôð ó ðîçðÿäàõ, ÿêèõ íåìàº õî÷à á â îäíîìó ç äàíèõ.
Íàïðèêëàä, çíàéäåìî ñóìó íàáëèæåíèõ çíà÷åíü 1,2 ³ 0,423. Ïåðøå ç íèõ
ìàº îäèí äåñÿòêîâèé çíàê, ³íøå – òðè. Îòæå, ñóìó ñë³ä îêðóãëèòè äî îäíîãî
äåñÿòêîâîãî çíàêà (äî äåñÿòèõ): 1,2 + 0,423 = 1,623 ≈ 1,6.
Ïðè ìíîæåíí³ òà ä³ëåíí³ íàáëèæåíèõ çíà÷åíü ðåçóëüòàò ñë³ä îêðóãëþâàòè
äî ñò³ëüêîõ çíà÷óùèõ öèôð, ñê³ëüêè ¿õ ìàº êîìïîíåíò ä³¿ ç íàéìåíøèì ÷èñëîì
çíà÷óùèõ öèôð.
Íàïðèêëàä, ïåðåìíîæèìî íàáëèæåí³ çíà÷åííÿ 5,21 ³ 0,08. Ïåðøå ç íèõ
ìàº òðè çíà÷óù³ öèôðè, à ³íøå – îäíó. Îòæå, ó äîáóòêó ñë³ä çàëèøàòè îäíó
çíà÷óùó öèôðó: 5,21 · 0,08 = 0,4168 ≈ 0,4.
Ó âèïàäêó ï³äíåñåííÿ äî êâàäðàòà (÷è êóáà) â ðåçóëüòàò³ áåðóòü ñò³ëüêè çíà-
÷óùèõ öèôð, ñê³ëüêè ¿õ ìàº îñíîâà ñòåïåíÿ. Íàïðèêëàä: 1,262
= 3,276 ≈ 3,28.
Ïðè äîáóâàíí³ êâàäðàòíîãî (÷è êóá³÷íîãî) êîðåíÿ ó ðåçóëüòàò³ áåðóòü
ñò³ëüêè çíà÷óùèõ öèôð, ñê³ëüêè ¿õ ìàº ï³äêîðåíåâèé âèðàç. Íàïðèêëàä:

18
Â Ñ Ò Ó Ï
≈ ≈2,29 1,513 1,51 .
Êîðèñíî ïàì’ÿòàòè òàê³ íàáëèæåí³ ð³âíîñò³:
ßêùî <<1à , òî ± ≈ ±2
(1 ) 1 2a a ; ± ≈ +1 1
2
a
a .
Ïðè ìàëèõ êóòàõ (äî 5°) sinα ≈ tgα = α (ðàä).
Ùî òàêå âèì³ðþâàííÿ?1.
Íàçâ³òü îñíîâí³ îäèíèö³ ô³çè÷íèõ âåëè÷èí Ñ².2.
×èì çóìîâëåí³ ïîõèáêè âèì³ðþâàííÿ? ßêèìè âîíè áóâàþòü?3.
ßê³ öèôðè íàçèâàþòü ïðàâèëüíèìè, à ÿê³ çíà÷óùèìè?4.
Ñôîðìóëþéòå ïðàâèëà íàáëèæåíèõ îá÷èñëåíü.5.
Âèçíà÷òå ñåðåäíþ àáñîëþòíó ³ â³äíîñíó ïîõèáêè âèì³ðþâàííÿ ä³àìåòðà6.
áîëòà, ÿêùî òðè ïîñë³äîâí³ âèì³ðþâàííÿ äàëè òàê³ ðåçóëüòàòè: 12,52; 12,48 ³
12,51 ìì.
Âèêîíóþ÷è ëàáîðàòîðíó ðîáîòó ç âèçíà÷åííÿ ãóñòèíè ò³ëà, ó÷åíü âè-7.
ì³ðÿâ îá’ºì òà ìàñó ò³ëà ç òî÷í³ñòþ äî 1 %. Îòðèìàíå çíà÷åííÿ ãóñòèíè â³í
çàïèñàâ ó âèãëÿä³ ρ = 2,7348 ã/ñì3
. ßêî¿ ïîìèëêè ïðèïóñòèâñÿ ó÷åíü? ßê òðåáà
çàïèñàòè öåé ðåçóëüòàò?
§ 3 Скалярні і векторні величини
Ñêàëÿðí³ ³ âåêòîðí³ âåëè÷èíè.
Ä³¿ íàä âåêòîðàìè.
Ïðîåêö³ÿ âåêòîðà íà â³ñü.
Ñêàëÿðí³ ³ âåêòîðí³ âåëè÷èíè. Ó ô³çèö³ âèêîðèñòîâóþòüñÿ ÿê ñêàëÿðí³ âå-
ëè÷èíè òàê ³ âåêòîðí³.
Ñêàëÿðíà âåëè÷èíà (ñêàëÿð) – âåëè÷èíà, çíà÷åí-
íÿ ÿêî¿ çàäàºòüñÿ ä³éñíèì ÷èñëîì.
Ó ìåõàí³ö³ öå: ìàñà m, ðîáîòà A, ïîòóæí³ñòü N, åíåðã³ÿ E òà ³íø³.
Ñêàëÿðí³ âåëè÷èíè ìîæóòü áóòè äîäàòíèìè àáî â³ä’ºìíèìè. Ñóìà ñêàëÿð-
íèõ âåëè÷èí îá÷èñëþºòüñÿ àëãåáðà¿÷íîþ ñóìîþ ¿õ ÷èñëîâèõ çíà÷åíü.
Âåêòîðíà âåëè÷èíà (âåêòîð) – âåëè÷èíà, çíà÷åí-
íÿ ÿêî¿ çàäàºòüñÿ ä³éñíèì ÷èñëîì ³ íàïðÿìêîì.

19
Ô ² Ç È Ê À 1 0 Ê Ë À Ñ
Ó ìåõàí³ö³ öå: øâèäê³ñòü υ
r
, ïðèñêî-
ðåííÿ
r
a, ñèëà
r
F, ³ìïóëüñ
r
p òà ³íø³.
Ãðàô³÷íî âåêòîð çîáðàæàºòüñÿ ÿê íà-
ïðÿìëåíèé â³äð³çîê (ìàë. 1).
×èñëîâå çíà÷åííÿ âåêòîðà íàçèâàþòü ìîäóëåì
âåêòîðà ³ ïîçíà÷àþòü àáî ïðîñòî a.
Ìîäóëü âåêòîðà – çàâæäè äîäàòíèé ñêàëÿð.
Ä³¿ íàä âåêòîðàìè. Íàä âåêòîðíèìè âåëè÷èíàìè ìîæíà âèêîíóâàòè ìàòå-
ìàòè÷í³ ä³¿ äîäàâàííÿ, â³äí³ìàííÿ, ìíîæåííÿ.
Ñóìà âåêòîðíèõ âåëè÷èí îá÷èñëþºòüñÿ ãåîìå-
òðè÷íîþ ñóìîþ âåêòîð³â, ðåçóëüòóþ÷à ÿêî¿ º òà-
êîæ âåêòîðîì.
Äîäàþòü âåêòîðè, çàñòîñîâóþ÷è ïðàâèëî òðèêóòíèêà àáî ïðàâèëî ïàðàëå-
ëîãðàìà.
Ïðàâèëî òðèêóòíèêà: ïðè äîäàâàíí³ âåêòîð³â
r
a ³
r
b âåêòîðè ïàðàëåëüíèì
ïåðåì³ùåííÿì ðîçòàøîâóþòü òàê, ùîá ïî÷àòîê âåêòîðà
r
b âèõîäèâ ³ç ê³íöÿ âåê-
òîðà
r
a, òîä³ âåêòîð
r
c, ÿêèé âèõîäèòü ³ç ïî÷àòêó âåêòîðà
r
a ³ ê³íåöü ÿêîãî çá³ãà-
ºòüñÿ ç ê³íöåì âåêòîðà
r
b ³ º ñóìàðíèì âåêòîðîì (ìàë. 2).
Çà ïðàâèëîì òðèêóòíèêà çðó÷íî äîäàâàòè âåëèêó ê³ëüê³ñòü âåêòîð³â (ìàë. 3).
Ïðàâèëî ïàðàëåëîãðàìà: äâà âåê-
òîðè
r
a ³
r
b ïàðàëåëüíèì ïåðåíåñåííÿì
ðîçì³ùóþòü òàê, ùî ¿õ ïî÷àòêè çá³ãà-
ëèñÿ. Ââàæàþ÷è, ùî îáèäâà âåêòîðè
º äâîìà ñòîðîíàìè ïàðàëåëîãðàìà,
íåîáõ³äíî äîáóäóâàòè ïàðàëåëîãðàì.
Òîä³ ä³àãîíàëü ïàðàëåëîãðàìà, ÿêà âè-
õîäèòü ³ç òî÷êè, äå ïî÷èíàþòüñÿ âåêòî-
ðè, ³ º ñóìàðíèì âåêòîðîì
r
c (ìàë. 4).
×èñëîâå çíà÷åííÿ ñóìàðíîãî âåê-
òîðà âèçíà÷àþòü çà ôîðìóëîþ
= + + α2 2
2 cosc a b ab ,
äå α – êóò ì³æ âåêòîðàìè
r
a ³
r
b, ùî âè-
õîäÿòü ç îäí³º¿ òî÷êè (ìàë. 4).
Ùîá âèçíà÷èòè ð³çíèöþ âåêòîð³â
r
a
³
r
b, âåêòîðè ïàðàëåëüíèì ïåðåíåñåííÿì
ðîçì³ùóþòü òàê, ùîá ¿õ ïî÷àòêè çá³ãà-
ëèñÿ. Òîä³ âåêòîð
r
c, ïðîâåäåíèé ³ç ê³íöÿ
â³ä’ºìíèêà
r
b äî ê³íöÿ çìåíøóâàíîãî
r
a ³
º ¿õ ð³çíèöåþ (ìàë. 5).
Ìàë. 1.
Ãðàô³÷íå
çîáðàæåííÿ
âåêòîðà
Ìàë. 2. Äîäàâàííÿ âåêòîð³â
çà ïðàâèëîì òðèêóòíèêà
Ìàë. 3. Äîäàâàííÿ äåê³ëüêîõ âåêòîð³â
= + + + = + + +
uuur r r r rr r r r
(( ) )AB a b c d a b c d

20
Â Ñ Ò Ó Ï
×èñëîâå çíà÷åííÿ ð³çíèö³ âåêòî-
ð³â âèçíà÷àþòü çà ôîðìóëîþ
= + − α2 2
2 cosc a b ab ,
r
a ³
r
b, ùî âè-
õîäÿòü ç îäí³º¿ òî÷êè (ìàë. 5).
Òàê, ÿê ³ ó âèïàäêó ä³éñíèõ ÷è-
ñåë, â³äí³ìàííÿ âåêòîð³â ìîæíà çâåñ-
òè äî ¿õ äîäàâàííÿ. Ð³çíèöþ âåêòîð³â
r
a ³
r
b ìîæíà âèçíà-
÷èòè ÷åðåç ñóìó
âåêòîðà
r
a ç âåêòî-
ðîì (−
r
b) (ÿêèé çà
ìîäóëåì äîð³âíþº
âåêòîðó
r
b, àëå ïðî-
òèëåæíèé éîìó çà
íàïðÿìîì), òîáòî
r
c =
r
a −
r
b =
r
a + (−
r
b)
(ìàë. 6).
Ó âèïàäêó âçàºì-
íîïåðïåíäèêóëÿð-
íèõ âåêòîð³â
r
a ³
r
b
÷èñëîâ³çíà÷åííÿñó-
ìè òà ð³çíèö³ îäíàêîâ³. Ñóìàðíèé âåêòîð ³ âåêòîð ð³çíèö³ â³äð³çíÿþòüñÿ íà-
ïðÿìêàìè.
Ïðè ìíîæåíí³ âåêòîðà
r
a íà äîäàòíèé ñêàëÿð k îòðèìóºìî íîâèé âåêòîð
k
r
a, íàïðÿì ÿêîãî çá³ãàºòüñÿ ç íàïðÿìîì âåêòîðà
r
a, à ÷èñëîâå çíà÷åííÿ â k ðàç³â
á³ëüøå.
Ïðè ìíîæåíí³ âåêòîðà
r
a íà â³ä’ºìíèé ñêàëÿð k îòðèìóºìî íîâèé âåêòîð
k
r
a, íàïðÿì ÿêîãî ïðîòèëåæíèé íàïðÿìó âåêòîðà
r
a, à ÷èñëîâå çíà÷åííÿ â k ðàç³â
á³ëüøå.
Ñêàëÿðíèì äîáóòêîì âåêòîð³â
r
a ³
r
b º ñêàëÿð c, ùî äîð³âíþº äîáóòêó ìîäóë³â
âåêòîð³â a ³ b, ïîìíîæåíèé íà êîñèíóñ êóòà ì³æ íèìè: c = (
r
a ·
r
b) = a · b · cosα.
Âåêòîðíèì äîáóòêîì âåêòîð³â
r
a ³
r
b º âåê-
òîð
r
c, ùî äîð³âíþº äîáóòêó ìîäóë³â âåêòîð³â
a ³ b, ïîìíîæåíèé íà ñèíóñ êóòà ì³æ íèìè:
r
c = [
r
a ×
r
b] = a · b · sinα.
Âåêòîð
r
c çà ìîäóëåì äîð³âíþº ïëîù³ ïàðàëåëî-
ãðàìà, ïîáóäîâàíîãî íà âåêòîðàõ
r
a ³
r
b, òà íàïðàâëå-
íèé ïåðïåíäèêóëÿðíî äî ïëîùèíè, ó ÿê³é ëåæàòü
âåêòîðè
r
a ³
r
b. Äî òîãî æ, ÿêùî ñïîñòåð³ãàòè ç ê³í-
öÿ âåêòîðà
r
c çà îáåðòàííÿì âåêòîðà
r
a äî âåêòîðà
r
b
(ó íàïðÿìêó ìåíøîãî êóòà), òî âîíî â³äáóâàºòüñÿ
ïðîòè ãîäèííèêîâî¿ ñòð³ëêè (ìàë. 7).
Ïðîåêö³ÿ âåêòîðà íà â³ñü. Áóäü-ÿêèé âåêòîð ìîæíà ðîçêëàñòè íà ñêëàäîâ³,
çîêðåìà, çà îñÿìè äåêàðòîâî¿ ñèñòåìè êîîðäèíàò.
Ìàë. 7. Âåêòîðíèé äîáóòîê
âåêòîð³â
Ìàë. 4. Äîäàâàííÿ âåêòîð³â
çà ïðàâèëîì ïàðàëåëîãðàìà
Ìàë. 5.
Ð³çíèöÿ âåêòîð³â
Ìàë. 6. Ð³çíèöþ âåêòîð³â
r
a
³
r
b ìîæíà âèçíà÷èòè ÷åðåç
ñóìó âåêòîðà
r
a ç âåêòîðîì (−
r
b)

21
Ô ² Ç È Ê À 1 0 Ê Ë À Ñ
Ïðîåêö³ÿ âåêòîðà – â³äð³çîê, ÿêèé îòðèìóþòü øëÿ-
õîì ïðîåêòóâàííÿ âåêòîðà íà â³äïîâ³äíó ÷èñëîâó â³ñü.
Ïðîåêö³ºþ âåêòîðà
r
a íà â³ñü Õ íàçèâàºòüñÿ âåëè÷èíà ax
, ÿêà âèçíà÷àºòüñÿ
ax
= a · cosϕ, äå a – ìîäóëü âåêòîðà, ϕ – êóò ì³æ íàïðÿìîì âåêòîðà òà â³ññþ Õ
(ìàë. 8).
Ïðîåêö³¿ âåêòîðà – âåëè÷èíè ñêàëÿðí³.
Ïðîåêö³ÿ âåêòîðà íà â³ñü áóäå äîäàòíîþ, ÿêùî êóò ϕ ãîñòðèé, ³ â³ä’ºìíîþ,
ÿêùî êóò ϕ òóïèé, ³ íóëüîâîþ, ÿêùî ϕ ïðÿìèé (âåêòîð ïåðïåíäèêóëÿðíèé äî
îñ³).
Ïðîåêö³ÿ ñóìè âåêòîð³â íà êîîð-
äèíàòíó â³ñü äîð³âíþº àëãåáðà¿÷í³é
ñóì³ ïðîåêö³é âåêòîð³â, ùî äîäàþòü-
ñÿ (ìàë. 9).
Îòæå, âåêòîðí³ âåëè÷èíè äî-
äàþòüñÿ ãåîìåòðè÷íî, à ñêàëÿðí³ –
àëãåáðà¿÷íî.
ßêùî (ìàë. 10) ïî÷àòêîì âåê-
òîðà
r
a íà êîîðäèíàòí³é ïëîùèí³ º
òî÷êà A, êîîðäèíàòè ÿêî¿ (x1
; y1
), à
ê³íöåì âåêòîðà º òî÷êà B ç êîîðäèíàòàìè (x2
; y2
), òî
êîîðäèíàòàìè (a1
; a2
) âåêòîðà
r
a º ÷èñëà a1
= (x2
− x1
)
òà a2
= (y2
− y1
).
Ç ôîðìóëè â³äñòàí³ ì³æ äâîìà òî÷êàìè âèïëèâàº, ùî ìîäóëü âåêòîðà âè-
çíà÷àºòüñÿ:
( ) ( )= + = − + −
2 22 2
1 2 2 1 2 1a a a x x y y = ∆ + ∆2 2
x y .
Ìàë. 8. Ïðîåêö³ÿ âåêòîðà íà â³ñü
Ìàë. 9. Ïðîåêö³ÿ ñóìè âåêòîð³â:
à) cx
= ax
+ bx
; á) cx
= ax
− bx
Ìàë. 10.
Âèçíà÷åííÿ êîîðäèíàò ³ íàïðÿìó âåêòîðà

22
Â Ñ Ò Ó Ï
Íàïðÿì âåêòîðà
r
a â³äíîñíî êîîðäèíàòíî¿ îñ³ Õ âèçíà÷àºòüñÿ òàíãåíñîì
êóòà íàõèëó âåêòîðà:
∆
ϕ =
∆
tg
y
x
.
ßê³ âåëè÷èíè íàçèâàþòü âåêòîðíèìè, à ÿê³ ñêàëÿðíèìè?1.
ßê âèçíà÷èòè ñóìó ³ ð³çíèöþ äâîõ âåêòîð³â?2.
Ùî íàçèâàþòü ñêàëÿðíèì äîáóòêîì âåêòîð³â?3.
Ùî òàêå âåêòîðíèé äîáóòîê âåêòîð³â?4.
Вправа 1
1. Âèçíà÷òå ïîáóäîâîþ ñóìó ³ ð³çíèöþ äâîõ îäíàêîâèõ çà ìîäóëåì âçàºìíî-
ïåðïåíäèêóëÿðíèõ âåêòîð³â.
2. Ó ïî÷àòêîâèé ìîìåíò ÷àñó ò³ëî ïåðåáóâàëî ó òî÷ö³ ç êîîðäèíàòàìè
x1
= −2 ì òà y1
= 4 ì. Ò³ëî ïåðåì³ñòèëîñü ó òî÷êó ç êîîðäèíàòàìè x2
= 2 ì òà
y2
= 1 ì. Íà ñê³ëüêè ìåòð³â ïåðåì³ñòèëîñü ò³ëî?
3. Çàäàíî êîîðäèíàòè òî÷îê (10; 2) òà (5; 1). Âèçíà÷èòè êîîðäèíàòè òî÷êè,
ÿêà ðîçòàøîâàíà íà â³äñòàí³ 1/3 äîâæèíè â³äð³çêà, ùî ñïîëó÷àº ö³ òî÷êè, â³ä
ïåðøî¿ òî÷êè.
4. Âåêòîð
r
a ëåæèòü ó ïëîùèí³ X0Y òà óòâîðþº ç â³ññþ àáñöèñ êóò 30°. Âè-
çíà÷èòè ïðîåêö³¿ âåêòîðà íà îñ³ êîîðäèíàò.
5. Ïî÷àòîê âåêòîðà ìàº êîîðäèíàòè (2; 1), à ê³íåöü – (9; 5). Âèçíà÷èòè: à) ïðî-
åêö³¿ âåêòîðà íà îñ³ êîîðäèíàò; á) ìîäóëü âåêòîðà; â) íàïðÿì âåêòîðà ó ïðîñòîð³.
6. Äàíî äâà âåêòîðà a ³ b, ðîçòàøîâàíèõ ï³ä êóòîì α îäèí äî îäíîãî. Ïî-
áóäóéòå âåêòîðè ð³çíèö³ (a − b) òà (b − a). Ïðîñë³äêóéòå, ÿê çì³íþºòüñÿ ìîäóëü
âåêòîðà ð³çíèö³, ÿêùî êóò α ì³æ âåêòîðàìè a ³ b çì³íþâàòè â³ä 0° äî 180°.
§ 4 Графіки функцій та правила їх побудови
Ôóíêö³îíàëüí³ çàëåæíîñò³ âåëè÷èí.
Ãðàô³êè ôóíêö³é òà ïðàâèëà ¿õ ïîáóäîâè.
Ôóíêö³îíàëüí³ çàëåæíîñò³ âåëè÷èí. Ñïîñòåð³ãàþ÷è çà áóäü-ÿêèì ïðîöå-
ñîì, ìîæíà ïîì³òèòè, ùî îäí³ âåëè÷èíè çì³íþþòü ñâîº çíà÷åííÿ, ³íø³ – í³.
Âåëè÷èíè, ÿê³ ó ïåâíîìó ïðîöåñ³ âåñü ÷àñ çáåð³ãàþòü ñâîº çíà÷åííÿ íåçì³ííèì,
íàçèâàþòüñÿ ïîñò³éíèìè. Çì³ííèìè º âåëè÷èíè, çíà÷åííÿ ÿêèõ ó ïåâíîìó
ïðîöåñ³ çì³íþºòüñÿ.
Íàïðèêëàä, ï³ä ÷àñ çëüîòó ë³òàêà â³äñòàíü â³ä ïîâåðõí³ çåìë³ çá³ëüøóºòü-
ñÿ, ê³ëüê³ñòü áåíçèíó ó áàêàõ çìåíøóºòüñÿ, ðîçì³ðè ë³òàêà çàëèøàþòüñÿ ïî-
ñò³éíèìè.

23
Ô ² Ç È Ê À 1 0 Ê Ë À Ñ
Îäíà ³ òà ñàìà âåëè÷èíà â îäíîìó ïðîöåñ³ ìîæå áóòè ïîñò³éíîþ, â ³íøîìó
– çì³ííîþ. Ïðîòå º òàê³ âåëè÷èíè, ÿê³ âåñü ÷àñ çáåð³ãàþòü ñâîº çíà÷åííÿ – êîí-
ñòàíòè (¿õ ïðèéíÿòî çàïèñóâàòè: const). Íàïðèêëàä, â³äíîøåííÿ äîâæèíè
êîëà äî éîãî ðàä³óñà; ñóìà êóò³â òðèêóòíèêà; ïèòîìà òåïëîºìí³ñòü ðå÷îâèíè;
âåëè÷èíà åëåìåíòàðíîãî åëåêòðè÷íîãî çàðÿäó òîùî.
×àñòî îäíà çì³ííà âåëè÷èíà çàëåæèòü â³ä ³íøî¿. ßêùî äâ³ çì³íí³ âåëè÷èíè
ïîâ’ÿçàí³ ì³æ ñîáîþ òàê, ùî êîæíîìó çíà÷åííþ îäí³º¿ ç íèõ â³äïîâ³äàº ïåâíå
çíà÷åííÿ ³íøî¿, òî êàæóòü, ùî ì³æ öèìè çì³ííèìè º ôóíêö³îíàëüíà çàëåæ-
í³ñòü. Ïðèêëàäè ôóíêö³îíàëüíèõ çàëåæíîñòåé: l = 2πR – äîâæèíà êîëà ³ éîãî
ðàä³óñ, R = R0
(1 + αt) åëåêòðè÷íèé îï³ð ïðîâ³äíèêà òà éîãî òåìïåðàòóðà.
ßêùî äâ³ çì³íí³ çíàõîäÿòüñÿ ó ôóíêö³îíàëüí³é çàëåæíîñò³, òî òà ç íèõ, ÿêà
íàáóâàº äîâ³ëüí³ äîïóñòèì³ çíà÷åííÿ íàçèâàºòüñÿ àðãóìåíòîì (íåçàëåæíîþ
çì³ííîþ), ³íøà, çíà÷åííÿ ÿêî¿ çàëåæèòü â³ä çíà÷åíü àðãóìåíòó, – ôóíêö³ºþ
(çàëåæíîþ çì³ííîþ). Íàïðèêëàä, â³äîìî, ÷èì âèùà òåìïåðàòóðà, òèì á³ëü-
øîþ ñòàº äîâæèíà ñòàëüíîãî ñòåðæíÿ, òîáòî äîâæèíà ñòåðæíÿ çàëåæèòü â³ä
òåìïåðàòóðè. Ó öüîìó âèïàäêó òåìïåðàòóðà – àðãóìåíò, äîâæèíà ñòåðæíÿ –
ôóíêö³ÿ.
ßêùî âåëè÷èíà y º ôóíêö³ºþ âåëè÷èíè õ, òî ìàòåìàòè÷íî öå çàïèñóþòü
òàê: y = f(x). Íàïðèêëàä, øëÿõ, ùî ïðîõîäèòü ò³ëî º ôóíêö³ºþ ÷àñó ðóõó ò³ëà:
s = f(t).
Ôóíêö³ºþ íàçèâàþòü ³ ñàì çàêîí (ïðàâèëî) f âçàºìîçâ’ÿçêó âåëè÷èí.
Ôóíêö³þ ìîæíà çàäàòè ôîðìóëîþ, çà ÿêîþ çà ïåâíèì çíà÷åííÿì àðãóìåí-
òó ìîæíà îá÷èñëèòè â³äïîâ³äíå çíà÷åííÿ ôóíêö³¿. Òàêèé ñïîñ³á âèçíà÷åííÿ
ôóíêö³¿ íàçèâàºòüñÿ àíàë³òè÷íèì. Ôóíêö³þ òàêîæ ìîæíà çàäàòè òàáëè÷-
íèì, ãðàô³÷íèì, îïèñîâèì òà ³íøèìè ñïîñîáàìè.
Ãðàô³êè ôóíêö³é òà ïðàâèëà ¿õ ïîáóäîâè. Ïðè ðîçâ’ÿçóâàíí³ ô³çè÷íèõ çà-
äà÷ íàé÷àñò³øå êîðèñòóþòüñÿ àíàë³òè÷íèì àáî ãðàô³÷íèì ñïîñîáàìè âèçíà-
÷åííÿ ôóíêö³é.
Çâåðíåìî óâàãó íà ãðàô³÷íèé ìåòîä çîáðàæåííÿ ôóíêö³îíàëüíî¿ çàëåæíîñ-
ò³ – ïîáóäîâó ãðàô³ê³â. Çà äîïîìîãîþ ãðàô³êà ìîæíà íàî÷íî ïîäàòè ôóíêö³î-
íàëüíó çàëåæí³ñòü ô³çè÷íèõ âåëè÷èí, ç’ÿñóâàòè, ó ÷îìó ñóòü ïðÿìî¿ òà îáåðíå-
íî¿ ïðîïîðö³éíîñò³ ì³æ íèìè, âêàçàòè, ÿê øâèäêî çðîñòàº ÷è ñïàäàº ÷èñëîâå
çíà÷åííÿ îäí³º¿ ô³çè÷íî¿ âåëè÷èíè çàëåæíî â³ä çì³íè ³íøî¿, êîëè âîíà äîñÿãàº
ìàêñèìàëüíîãî ÷è ì³í³ìàëüíîãî çíà÷åííÿ, ³ ò. ³í.
Ó êóðñ³ ìàòåìàòèêè âè óæå âèâ÷àëè äåÿê³ ãðàô³êè ôóíêö³é òà ïðàâèëà ¿õ
ïîáóäîâè. Ïðèãàäàºìî ò³, ÿê³ íàé÷àñò³øå âèêîðèñòîâóþòüñÿ ïðè ðîçâ’ÿçóâàíí³
ô³çè÷íèõ çàäà÷.
Ãðàô³ê ë³í³éíî¿ ôóíêö³¿. Ë³í³éíîþ ôóíêö³ºþ íàçèâàþòü ôóíêö³þ, ÿêó
ìîæíà âèðàçèòè ôîðìóëîþ y = ax + b, äå õ – àðãóìåíò, à i b – çàäàí³ ÷èñëà.
Ãðàô³êîì ë³í³éíî¿ ôóíêö³¿ º ïðÿìà. Çàëåæíî â³ä çíàêà ³ çíà÷åííÿ êóòîâîãî
êîåô³ö³ºíòà à òà ñòàëî¿ b ãðàô³ê ôóíêö³¿ áóäå ìàòè â³äïîâ³äíèé âèãëÿä (ìàë. 11).
ßêùî à = 0, ãðàô³ê ë³í³éíî¿ ôóíêö³¿ º ïðÿìîþ, ïàðàëåëüíîþ îñ³ àáñöèñ, ùî
ïðîõîäèòü ÷åðåç òî÷êó b íà îñ³ îðäèíàò.
Ïðèêëàäàìè â³äîìèõ âàì ë³í³éíèõ çàëåæíîñòåé ô³çè÷íèõ âåëè÷èí º: çà-
ëåæí³ñòü ïðîéäåíîãî øëÿõó â³ä ÷àñó ïðè ð³âíîì³ðíîìó ðóñ³ ò³ëà l = υ · t, äå

24
Â Ñ Ò Ó Ï
υ = const; çàëåæí³ñòü ñèëè ñòðóìó â ïðîâ³ä-
íèêó â³ä íàïðóãè íà éîãî ê³íöÿõ I = U · R, äå
R = const; ðîáîòà, ÿêó âèêîíóº ñèëà, ùî ïî-
ñò³éíî ä³º íà ò³ëî, ïðè éîãî ïðÿìîë³í³éíîìó
ð³âíîì³ðíîìó ðóñ³ A = F · s, òà áàãàòî ³íøèõ.
Ãðàô³ê îáåðíåíî ïðîïîðö³éíî¿ çàëåæ-
íîñò³. Çàëåæí³ñòü ì³æ âåëè÷èíàìè x i y,
ÿêó ìîæíà âèðàçèòè ôîðìóëîþ y = a/x, äå
õ – àðãóìåíò, à – çàäàíå ÷èñëî, íàçèâàþòü
îáåðíåíî ïðîïîðö³éíîþ çàëåæí³ñòþ.
Ãðàô³êîì îáåðíåíî ïðîïîðö³éíî¿ çà-
ëåæíîñò³ º êðèâà, ùî ñêëàäàºòüñÿ ç äâîõ
îêðåìèõ â³òîê, ðîçòàøîâàíèõ ó ïåðø³é òà
òðåò³é ÷âåðòÿõ êîîðäèíàòíî¿ ïëîùèíè ïðè a > 0 (ìàë. 12, à), àáî ó äðóã³é òà
÷åòâåðò³é – ïðè a < 0 (ìàë. 12, á). Öÿ ë³í³ÿ íàçèâàºòüñÿ ã³ïåðáîëîþ.
Â³äîìèìè âàì îáåðíåíèìè ïðîïîðö³ÿìè º: çàëåæí³ñòü ïåð³îäó îáåðòàííÿ
â³ä ÷àñòîòè îáåðòàííÿ T = 1/ν, çàëåæí³ñòü ñèëè ñòðóìó â ïðîâ³äíèêó â³ä âåëè-
÷èíè éîãî îïîðó ïðè ïîñò³éí³é íàïðóç³ I = U/R, äå U = const, òà ³íø³.
Ãðàô³ê êâàäðàòè÷íî¿ ôóíêö³¿. Êâàäðàòè÷íîþ íàçèâàþòü ôóíêö³þ, ÿêó
ìîæíà âèðàçèòè ôîðìóëîþ y = ax2
+ bx + c, äå õ – àðãóìåíò; à, b, c – çàäàí³ ÷èñ-
ëà. ¯¿ ãðàô³êîì º êðèâà, ÿêó íàçèâàþòü ïàðàáîëîþ.
Êîîðäèíàòè âåðøèíè ïàðàáîëè (m; n) âèçíà÷àþòüñÿ çà ôîðìóëàìè:
= −
2
b
m
a
,
−
= − = −
2
4
4 4
b ac D
n
a a
,
äå D – äèñêðèì³íàíò.
¯¿ â³ññþ ñèìåòð³¿ º ïðÿìà x = m. Ïðè a > 0 â³òêè ïàðàáîëè íàïðàâëåí³ âãîðó, à
ïðè a < 0 – âíèç. Ó òàáëèö³ ïîêàçàíî ïîëîæåííÿ ãðàô³êà ôóíêö³¿ y = ax2
+ bx + c
çàëåæíî â³ä çíàê³â êîåô³ö³ºíòà a òà äèñêðèì³íàíòà D.
Ìàë. 12. Ãðàô³êè îáåðíåíî ïðîïîðö³éíî¿ ôóíêö³¿
Ìàë. 11. Ãðàô³ê ë³í³éíî¿ ôóíêö³¿

25
Ô ² Ç È Ê À 1 0 Ê Ë À Ñ
Ç ïðèêëàäàìè ïîáóäîâè òàêèõ ãðàô³ê³â ìè çãîäîì îçíàéîìèìîñü ïðè âè-
â÷åíí³ ïðèñêîðåíîãî ðóõó (§ 10).
Òàáëèöÿ ïîëîæåííÿ ãðàô³êà ôóíêö³¿ y = ax2
+ bx + c
çàëåæíî â³ä çíàê³â êîåô³ö³ºíòà a
Ùî íàçèâàþòü ôóíêö³îíàëüíîþ çàëåæí³ñòþ? Íàâåä³òü ïðèêëàäè ôóíê-1.
ö³îíàëüíèõ çàëåæíîñòåé ô³çè÷íèõ âåëè÷èí.
Îõàðàêòåðèçóéòå îñîáëèâîñò³ ïîáóäîâè ãðàô³êà ôóíêö³¿2. y = ax + b.
Îõàðàêòåðèçóéòå îñîáëèâîñò³ ïîáóäîâè ãðàô³êà ôóíêö³¿3. y = ax2
+ bx + c.
Çîáðàç³òü ãðàô³÷íî ðîáîòó òðàêòîðà ñèëîþ òÿãè4. F = 500 êÍ íà øëÿõó
s = 300 ì.
×èì â³äð³çíÿþòüñÿ ì³æ ñîáîþ ãðàô³êè5. s = υt ³ s = s0
+ υt, ïðè υ = const?

26
Â Ñ Ò Ó Ï
§ 5 Класична механіка – перша фізична теорія
²ñòîð³ÿ ðîçâèòêó â÷åííÿ ïðî ìåõàí³÷íèé ðóõ.
Çàãàëüí³ â³äîìîñò³ ïðî ìåõàí³÷íèé ðóõ.
Îñíîâíà çàäà÷à ìåõàí³êè.
²ñòîð³ÿ ðîçâèòêó â÷åííÿ ïðî ìåõàí³÷íèé ðóõ. Âèâ÷åííÿ íàâêîëèøíüîãî
ñâ³òó ïîêàçàëî, ùî ìàòåð³ÿ ïîñò³éíî ðóõàºòüñÿ. Áóäü-ÿêà çì³íà, ùî â³äáóâà-
ºòüñÿ â ïðèðîä³, º ðóõîì ìàòåð³¿.
Ðóõ ìàòåð³¿ äîñèòü ñêëàäíèé. Â³í ìîæå âèÿâëÿòèñü ó ð³çíèõ ôîðìàõ, çì³-
íþâàòè ñâîþ ôîðìó, àëå ñàì ðóõ ìàòåð³¿ íå ñòâîðþºòüñÿ ³ íå çíèùóºòüñÿ.
Ùîá çðîçóì³òè íàâêîëèøí³é ñâ³ò, òðåáà ïåðåäóñ³ì äîñë³äèòè ðóõ. Íàéóï³ç-
íàâàí³øèì, íàî÷íèì ³ äîñòóïíèì äëÿ äîñë³äæåííÿ º ìåõàí³÷íèé ðóõ.
Íàóêà, ÿêà âèâ÷àº ìåõàí³÷íèé ðóõ ìàòåð³àëüíèõ
ò³ë ³ âçàºìîä³¿, ÿê³ ïðè öüîìó â³äáóâàþòüñÿ, íàçè-
âàºòüñÿ ìåõàí³êîþ.
Íàçâà «ìåõàí³êà» ïîõîäèòü â³ä ãðåöüêîãî ñëîâà mēchan³kē, ùî îçíà÷àº «íà-
óêà ïðî ìàøèíè, ìèñòåöòâî êîíñòðóþâàííÿ ìàøèí».
Ïåðø³ òðàêòàòè ç ìåõàí³êè, äå îïèñàí³ ïðîñò³ ìåõàí³çìè (âàæ³ëü, êëèí,
êîëåñî, ïîõèëà ïëîùèíà), íàëåæàòü ó÷åíèì Ñòàðîäàâíüî¿ Ãðåö³¿, ïåðåäóñ³ì
Àðèñòîòåëþ é Àðõ³ìåäó.
Àðõ³ìåä óâ³éøîâ â ³ñòîð³þ íàóêè ÿê àâòîð çàêîíó ã³äðîñòàòèêè, íàçâàíîãî
éîãî ³ì’ÿì, ÿê âèíàõ³äíèê âàæåëÿ. Â÷åíèé óïåðøå çàñòîñóâàâ ìàòåìàòèêó äëÿ
àíàë³çó ³ îïèñó ìåõàí³÷íèõ ðóõ³â.
Íîâèé åòàï ðîçâèòêó ìåõàí³êè â³äêðèâàþòü ïðàö³ Ãàë³ëåî Ãàë³ëåÿ (1564–
1642) – âåëèêîãî ³òàë³éñüêîãî ô³çèêà é àñòðîíîìà, ÿêèé óïåðøå çàñòîñóâàâ
åêñïåðèìåíòàëüíèé ìåòîä ó íàóö³, ñôîðìóëþâàâ çàêîí ³íåðö³¿, âñòàíîâèâ çà-
êîíè ïàä³ííÿ ò³ë ³ êîëèâàíü ìàÿòíèêà.
×åðåç ð³ê ï³ñëÿ ñìåðò³ Ãàë³ëåÿ íàðîäèâñÿ ²ñààê Íüþòîí (1643–1727) – âè-
äàòíèé àíãë³éñüêèé ô³çèê, àñòðîíîì, ìàòåìàòèê. Éîãî íàçèâàþòü çàñíîâíèêîì
êëàñè÷íî¿ ìåõàí³êè, àáî, ÿê êàæóòü, ìåõàí³êè Íüþòîíà. Â³í ñôîðìóëþâàâ
îñíîâí³ çàêîíè ìåõàí³÷íîãî ðóõó, â³äêðèâ çàêîí âñåñâ³òíüîãî òÿæ³ííÿ, ïîÿñ-
íèâ îñîáëèâîñò³ ðóõó Ì³ñÿöÿ, ðîçãëÿíóâ òåîð³þ ïðèïëèâ³â ³ â³äïëèâ³â.
Çàãàëüí³ â³äîìîñò³ ïðî ìåõàí³÷íèé ðóõ. Ìåõàí³÷íèé ðóõ íàéïîøèðåí³øèé
ó ïðèðîä³. Â³í º ñêëàäîâîþ á³ëüø ñêëàäíèõ íåìåõàí³÷íèõ ïðîöåñ³â.
Ìåõàí³÷íèé ðóõ – öå çì³íà ç ÷àñîì âçàºìíîãî ïî-
ëîæåííÿ ò³ë ÷è ¿õ ÷àñòèí ó ïðîñòîð³.

27
Ô ² Ç È Ê À 1 0 Ê Ë À Ñ
Ðîçóì³ííÿ ³ ï³çíàííÿ íàâêîëèøíüî-
ãî ñâ³òó áóëè á íåìîæëèâ³ áåç ðîçóì³ííÿ
ñàìå çàêîí³â ìåõàí³÷íîãî ðóõó.
Íàïðèêëàä, êîëèâàííÿ ³ õâèë³ ð³ç-
íî¿ ô³çè÷íî¿ ïðèðîäè ìàþòü çàãàëüí³ çà-
êîíîì³ðíîñò³ ³ îïèñóþòüñÿ îäíàêîâèìè
ìàòåìàòè÷íèìè ð³âíÿííÿìè. Çâóê – öå
ìåõàí³÷íà õâèëÿ, ñâ³òëî – åëåêòðîìàã-
í³òíà, àëå ïîøèðåííÿ ¿õ ó ïðîñòîð³ ìàº
ñï³ëüí³ îçíàêè õâèëüîâîãî ðóõó.
Çàâäÿêè äîñë³äæåííþ ðóõó ð³äèí
³ ãàç³â ñòàëî ìîæëèâèì îñâîºííÿ ïîâ³-
òðÿíîãî ³ âîäíîãî ïðîñòîð³â, à çàâäÿêè
äîñë³äæåííþ ðåàêòèâíîãî ðóõó – êîñ-
ì³÷íîãî ïðîñòîðó.
Ðîçóì³ííÿ ³ çíàííÿ çàêîí³â ìåõà-
í³÷íîãî ðóõó íåîáõ³äíå äëÿ ïîÿñíåííÿ
ÿê ðóõó ïðîñòîãî êîëåñà, òàê ³ ðóõó äå-
òàëåé ñêëàäíèõ óñòàíîâîê.
Ìåõàí³÷í³ ðóõè ò³ë òàêîæ ìîæóòü
áóòè äîñèòü ñêëàäíèìè ³ ð³çíîìàí³òíè-
ìè, òîìó âèâ÷åííÿ ¿õ óòðóäíþºòüñÿ. Òîæ
ïðè äîñë³äæåíí³ ìåõàí³÷íîãî ðóõó íàìà-
ãàþòüñÿ âèîêðåìèòè ïðîñò³ø³ ôîðìè, ³
òîä³ áóäü-ÿêèé ñêëàäíèé ðóõ ìîæíà ðîçãëÿäàòè ÿê êîìá³íàö³þ ïðîñòèõ ðóõ³â.
Ïðîñòèìè ôîðìàìè ðóõó ââàæàþòü ïîñòóïàëü-
íèé, îáåðòàëüíèé ³ êîëèâàëüíèé, ÿê³ õàðàêòåðè-
çóþòüñÿ ïåâíèìè ô³çè÷íèìè âåëè÷èíàìè.
Ó âîñüìîìó êëàñ³ âè îçíàéîìèëèñÿ ç äåÿêèìè îçíàêàìè ïîñòóïàëüíîãî
ðóõó. Âè çíàºòå, ùî ðóõîìå ò³ëî çä³éñíþº ïåðåì³ùåííÿ ó ïðîñòîð³ çà ïåâíîþ òðà-
ºêòîð³ºþ. Çà ôîðìîþ òðàºêòîð³¿ ðóõè ïîä³ëÿþòü íà ïðÿìîë³í³éí³ ³ êðèâîë³í³éí³.
Äîâæèíó òðàºêòîð³¿ ìîæíà âèì³ðÿòè ³ òàêèì ÷èíîì ä³çíàòèñÿ ïðîéäåíèé ò³ëîì
øëÿõ. À çíàþ÷è äîâæèíó øëÿõó ³ ÷àñ, çà ÿêèé ò³ëî éîãî ïðîõîäèòü, ìîæíà âèçíà-
÷èòè øëÿõîâó øâèäê³ñòü (ìè ãîâîðèëè òîä³ ïðîñòî øâèäê³ñòü ðóõó). Äîñë³äæóþ-
÷è á³ëüø ñêëàäí³ ôîðìè ðóõó, ìè ç’ÿñóºìî, ùî øâèäê³ñòü ðóõó ò³ëà äóæå âàæëèâà
éîãî âëàñòèâ³ñòü ³ â³ä íå¿ áàãàòî â ÷îìó çàëåæèòü õàðàêòåð ðóõó. Ïîêè ùî âè çíà-
ºòå, ÿêùî øâèäê³ñòü ðóõó íå çì³íþºòüñÿ – ò³ëî ðóõàºòüñÿ ð³âíîì³ðíî, ðóõ ç³ çì³í-
íîþ øâèäê³ñòþ áóäå íåð³âíîì³ðíèì. Ñåðåä íåð³âíîì³ðíèõ ðóõ³â ìè íàâ÷èìîñÿ ç
âàìè äîñë³äæóâàòè ð³âíîïðèñêîðåíèé ðóõ, îáåðòàëüíèé ðóõ òâåðäîãî ò³ëà.
Ïðîòå ó ÷èñòîìó âèãëÿä³ â ïðèðîä³ íå ³ñíóº ÿê âèêëþ÷íî ð³âíîì³ðíîãî, òàê
³ ð³âíîïðèñêîðåíîãî ïðÿìîë³í³éíîãî ðóõó. Öå ³äåàë³çàö³¿, ùî äàþòü çìîãó çðî-
çóì³òè ñêëàäí³øå íà îñíîâ³ ïðîñò³øîãî. Êð³ì òîãî, äëÿ äîñë³äæåííÿ ìåõàí³÷-
íîãî ðóõó çàñòîñîâóþòü ³íø³ ³äåàë³çàö³¿ – ô³çè÷í³ ìîäåë³, çà äîïîìîãîþ ÿêèõ
äåùî ñïðîùóºòüñÿ âèâ÷åííÿ ìåõàí³÷íîãî ðóõó. Íàïðèêëàä, ÿêùî ìè ðîçãëÿ-
äàòèìåìî ðóõ ïîòÿãà ì³æ Êèºâîì ³ Ëüâîâîì, òî, âèçíà÷àþ÷è éîãî ïîëîæåííÿ
Àðèñòîòåëü Àðõ³ìåä
Ãàë³ëåî Ãàë³ëåé ²ñààê Íüþòîí

28
Â Ñ Ò Ó Ï
â ïðîñòîð³, ìè ìîæåìî çíåõòóâàòè éîãî ðîçì³ðàìè ³ ïðèéíÿòè éîãî çà ìàòåð³-
àëüíó òî÷êó.
Ìàòåð³àëüíà òî÷êà – öå àáñòðàêòíà ìîäåëü, ÿêà ââîäèòüñÿ äëÿ ñïðîùåí-
íÿ âèâ÷åííÿ ìåõàí³÷íîãî ðóõó.
Îáåðòàëüíèé ðóõ ò³ë âèâ÷àþòü çà äîïîìîãîþ ìîäåë³ àáñîëþòíî òâåðäîãî
ò³ëà.
Êîëèâàëüí³ ðóõè âèâ÷àþòü çà äîïîìîãîþ ìîäåëåé ìàÿòíèê³â (ìàòåìàòè÷-
íîãî, ïðóæèííîãî òà ô³çè÷íîãî).
Îñíîâíà çàäà÷à ìåõàí³êè. Îñíîâíîþ çàäà÷åþ ìåõàí³êè º îïèñ ìåõàí³÷íîãî
ðóõó ò³ë, òîáòî âñòàíîâëåííÿ çàêîíó (ð³âíÿííÿ) ðóõó ò³ëà íà îñíîâ³ õàðàêòåðèñ-
òèê, ùî éîãî îïèñóþòü (êîîðäèíàòè, ïåðåì³ùåííÿ, äîâæèíà ïðîéäåíîãî øëÿõó,
êóò ïîâîðîòó, øâèäê³ñòü, ïðèñêîðåííÿ òîùî). ²íøèìè ñëîâàìè, ÿêùî çà äîïîìî-
ãîþ ñêëàäåíîãî çàêîíó (ð³âíÿííÿ) ðóõó ìîæíà âèçíà÷èòè ïîëîæåííÿ ò³ëà ó
áóäü-ÿêèé ìîìåíò ÷àñó, òî îñíîâíà çàäà÷à ìåõàí³êè ââàæàºòüñÿ ðîçâ’ÿçàíîþ.
Îñíîâíà çàäà÷à ìåõàí³êè – âèçíà÷åííÿ ïîëî-
æåííÿ ò³ëà ó ïðîñòîð³ â áóäü-ÿêèé ìîìåíò ÷àñó.
Çàëåæíî â³ä îáðàíèõ ô³çè÷íèõ âåëè÷èí ³ ìåòîä³â ðîçâ’ÿçàííÿ îñíîâíî¿ çà-
äà÷³ ìåõàí³êè ¿¿ ïîä³ëÿþòü íà ê³íåìàòèêó, äèíàì³êó òà ñòàòèêó.
Ê³íåìàòèêà – ðîçä³ë ìåõàí³êè, â ÿêîìó âèâ÷àºòüñÿ ìåõàí³÷íèé ðóõ áåç
ðîçãëÿäàííÿ éîãî ïðè÷èí. Ê³íåìàòèêà äàº â³äïîâ³äü íà ïèòàííÿ, äå áóäå ò³ëî
ó ïðîñòîð³ ç ïëèíîì ÷àñó, ÿêùî â³äîì³ éîãî ïî÷àòêîâ³ õàðàêòåðèñòèêè.
Äèíàì³êà – ðîçä³ë ìåõàí³êè, â ÿêîìó âèâ÷àþòü çàêîíîì³ðíîñò³ ìåõàí³÷íî-
ãî ðóõó ò³ë ï³ä ä³ºþ ïðèêëàäåíèõ äî íèõ ñèë. Äèíàì³êà äàº â³äïîâ³äü íà ïèòàí-
íÿ, ÷îìó ñàìå òàê ðóõàºòüñÿ ò³ëî.
Ñòàòèêà – ðîçä³ë ìåõàí³êè, ÿêèé âèâ÷àº óìîâè ð³âíîâàãè ìàòåð³àëüíèõ
ò³ë ï³ä ä³ºþ ïðèêëàäåíèõ äî íèõ ñèë.
Ñë³ä òàêîæ çàóâàæèòè, ùî çàêîíè êëàñè÷íî¿ ìåõàí³êè íå çàâæäè ìîæóòü
áóòè çàñòîñîâíèìè. Íàïðèêëàä, ðóõ îäí³º¿ ìîëåêóëè ìîæíà îïèñàòè çàêîíàìè
ìåõàí³÷íîãî ðóõó, à ðóõ ¿õ ñóêóïíîñò³ â ò³ë³ îïèñóºòüñÿ óæå ³íøèìè – ñòà-
òèñòè÷íèìè çàêîíàìè. Ðóõ ò³ëà ç³ øâèäê³ñòþ, áëèçüêîþ äî øâèäêîñò³ ñâ³òëà
(øâèäê³ñòü ñâ³òëà ïîçíà÷àþòü ë³òåðîþ ñ, ñ = 300 000 êì/ñ), îïèñóºòüñÿ ðåëÿ-
òèâ³ñòñüêèìè çàêîíàìè. Ðóõ ³ âçàºìîä³þ åëåìåíòàðíèõ ÷àñòèíîê ì³êðîñâ³òó
îïèñóþòü ó êâàíòîâ³é ìåõàí³ö³.
Ãîâîðÿ÷è «ìåõàí³êà», ìè ðîçóì³òèìåìî ñàìå êëàñè÷íó ìåõàí³êó, ÿêà áà-
çóºòüñÿ íà çàêîíàõ ìåõàí³÷íîãî ðóõó, ñôîðìóëüîâàíèõ Íüþòîíîì, ³ ÿêà ñòàëà
ïîøòîâõîì äî ñòâîðåííÿ ñó÷àñíî¿ êâàíòîâî¿ ô³çèêè.
Âèâ÷åííÿ ìåõàí³êè ìè ïî÷èíàºìî ç ¿¿ ïåðøîãî ðîçä³ëó – ê³íåìàòèêè.
Дайте відповідь на запитання
Ùî òàêå ìåõàí³÷íèé ðóõ? Íàâåä³òü ïðèêëàäè ð³çíèõ âèä³â ìåõàí³÷íîãî1.
ðóõó.
Âíåñîê ÿêèõ â÷åíèõ ó ðîçâèòîê ìåõàí³êè º âàãîìèì?2.
Ùî º îñíîâíîþ çàäà÷åþ ìåõàí³êè?3.
Íàçâ³òü ðîçä³ëè ìåõàí³êè.4.
×è ìàº ìåõàí³êà Íüþòîíà ìåæ³ çàñòîñóâàííÿ?5.

Розділ 1
КІНЕМАТИКА
поступального та обертального рухів
матеріальної точки
Îñê³ëüêè ó ê³íåìàòèö³ äîñë³äæóºòüñÿ ìåõàí³÷íèé ðóõ ò³ë áåç óðàõóâàí-
íÿ ñèë, ùî ä³þòü íà íüîãî, ê³íåìàòè÷í³ ð³âíÿííÿ ñêëàäàþòü íà ï³äñòàâ³ ëèøå
ïðîñòîðîâèõ õàðàêòåðèñòèê ìåõàí³÷íîãî ðóõó – éîãî òðàºêòîð³¿, êîîðäèíàò,
øâèäêîñò³ òîùî. Òîìó ê³íåìàòèêó ùå íàçèâàþòü ãåîìåòð³ºþ ðóõó.
§ 6 Способи опису руху
Ïîñòóïàëüíèé ðóõ. Ìàòåð³àëüíà òî÷êà.
Â³äíîñí³ñòü ðóõó. Ñèñòåìà â³äë³êó.
Ê³íåìàòè÷í³ ñïîñîáè âèçíà÷åííÿ ïîëîæåííÿ ò³ëà.
Ïîñòóïàëüíèé ðóõ. Ìàòåð³àëüíà òî÷êà. Ò³ëî ìîæå ðóõàòèñü òàê, ùî ï³ä ÷àñ
ðóõó âñ³ éîãî òî÷êè îïèñóþòü îäíàêîâ³ òðàºêòîð³¿. Òàêèé ðóõ íàçèâàºòüñÿ ïî-
ñòóïàëüíèì.
Ïîñòóïàëüíèé ðóõ – öå ðóõ ò³ëà, ïðè ÿêîìó ïðÿ-
ìà, ÿêà ñïîëó÷àº äâ³ áóäü-ÿê³ éîãî òî÷êè, ïðè ïåðå-
ì³ùåíí³ ò³ëà áóäå ïàðàëåëüíîþ ñàìà ñîá³ (ìàë. 13).
Îñê³ëüêè ïðè ïîñòóïàëüíîìó ðóñ³ âñ³ òî÷êè ò³ëà îïèñóþòü îäíàêîâ³ òðà-
ºêòîð³¿, çä³éñíþþòü îäíàêîâ³ ïåðåì³ùåííÿ, ðóõàþòüñÿ ç îäíàêîâèìè øâèäêî-
ñòÿìè, òî, îïèñóþ÷è ðóõ ò³ëà, ìè ìîæåìî ðîçãëÿäàòè éîãî ÿê òî÷êó. Ó ô³çèö³
ïðèéíÿòî ãîâîðèòè ìàòåð³àëüíó òî÷êó.
Ìàòåð³àëüíà òî÷êà – öå ò³ëî, ðîçì³ðàìè ³ ôîð-
ìîþ ÿêîãî ó ïåâí³é çàäà÷³ ìîæíà çíåõòóâàòè, à âñþ
ìàñó ò³ëà ìîæíà ââàæàòè çîñåðåäæåíîþ ó òî÷ö³.
Ìàë. 13. Ïîñòóïàëüíèé ðóõ ò³ëà

30
Ð Î Ç Ä ² Ë 1
Ñë³ä çàçíà÷èòè, ùî îäíå é òå ñàìå ò³ëî íå çàâæäè ìîæíà ââàæàòè ìàòåð³-
àëüíîþ òî÷êîþ. Íàïðèêëàä, âåëîñèïåäèñòà, ÿêèé ðóõàºòüñÿ ïî äîðîç³ ³ äîëàº
â³äñòàíü 1 êì, ìîæíà ââàæàòè ìàòåð³àëüíîþ òî÷êîþ, àëå íå ìîæíà – ÿêùî òðå-
áà âèçíà÷èòè, íà ÿêèé êóò â³í íàõèëÿºòüñÿ ïðè ïîâîðîò³.
Ìîæíà ÷è íå ìîæíà ââàæàòè ò³ëî ìàòåð³àëüíîþ òî÷êîþ – çàëåæèòü íå â³ä
ðîçì³ð³â ò³ëà, à â³ä ïîñòàâëåíî¿ çàäà÷³.
Íàäàë³, ÿêùî ìè ðîçãëÿäàòèìåìî ïîñòóïàëüíèé ðóõ ò³ëà àáî ðóõ ò³ëà, ðîç-
ì³ðè ÿêîãî ìàë³, ïîð³âíÿíî ç äîâæèíîþ ïðîéäåíîãî øëÿõó, òî ââàæàòèìåìî
ò³ëî ìàòåð³àëüíîþ òî÷êîþ.
Â³äíîñí³ñòü ðóõó. Ñèñòåìà â³äë³êó. Îñíîâíîþ îçíàêîþ ìåõàí³÷íîãî ðóõó ò³ëà
º òå, ùî âîíî çì³íþº ñâîº ïîëîæåííÿ. Ùîá ô³êñóâàòè çì³íó ïîëîæåííÿ ò³ëà ó
ïðîñòîð³, íåîáõ³äíî âñòàíîâèòè, â³äíîñíî ÷îãî â³äáóâàºòüñÿ ñàìå öÿ çì³íà.
ßê âè, íàïåâíî, áà÷èëè, êð³ì ðóõîìèõ ò³ë º íåðóõîì³. Íå ðóõàþòüñÿ áóäèí-
êè, ìîñòè, äåðåâà. Àëå íå ðóõàþòüñÿ â³äíîñíî ÷îãî? Â³äíîñíî Çåìë³, òàê – âîíè
íåðóõîì³, à â³äíîñíî Ñîíöÿ – âîíè îáåðòàþòüñÿ íàâêîëî íüîãî ðàçîì ³ç Çåìëåþ.
Îòæå, â³äíîñí³ñòü – âàæëèâà îçíàêà ìåõàí³÷íîãî ðóõó.
Ïîíÿòòÿ «ðóõ» ³ «ñïîê³é» – â³äíîñí³ ³ çàëåæàòü â³ä îáðàíî¿ ñèñòåìè â³äë³êó.
Äëÿ ðîçâ’ÿçàííÿ áóäü-ÿêî¿ çàäà÷³ ïðî ðóõ íåîáõ³äíî ïåðåäóñ³ì âèáðàòè ñèñ-
òåìó â³äë³êó, â ÿê³é äîñë³äæóâàòèìåòüñÿ ðóõ ò³ëà.
Íàïðèêëàä, àâòîìîá³ëü ¿äå ïî äîðîç³. Ïîëîæåííÿ àâòîìîá³ëÿ çì³íþºòüñÿ
â³äíîñíî äåðåâ, áóäèíê³â, ùî ñòîÿòü íà óçá³÷÷³. Ó öüîìó âèïàäêó äåðåâî ÷è áó-
äèíîê ìîæíà ââàæàòè çà ò³ëî â³äë³êó, â³äíîñíî ÿêîãî ðîçãëÿäàºòüñÿ ðóõ àâòî-
ìîá³ëÿ. Ò³ëîì â³äë³êó ìîæå áóòè é ³íøèé àâòîìîá³ëü, ùî ¿äå ïî äîðîç³. Ò³ëî
â³äë³êó ìîæíà îáèðàòè äîâ³ëüíî.
Àëå äëÿ îïèñó ìåõàí³÷íîãî ðóõó ò³ëà îáðàòè ò³ëüêè ò³ëî â³äë³êó íåäîñòàò-
íüî. Ùå íåîáõ³äíî ô³êñóâàòè, ÿê ñàìå çì³íþºòüñÿ éîãî ïîëîæåííÿ â³äíîñíî
îáðàíîãî ò³ëà â³äë³êó. Äëÿ öüîãî âèáèðàþòü ñèñòåìó êîîðäèíàò ³ ïðèëàä äëÿ
âèì³ðþâàííÿ ÷àñó (íàé÷àñò³øå ãîäèííèê).
ßê ïðàâèëî, ïî÷àòîê êîîðäèíàò ñóì³ùàþòü ç ò³ëîì â³äë³êó. Ó öüîìó ðàç³
çì³íà ïîëîæåííÿ ðóõîìîãî ò³ëà â³äíîñíî ò³ëà â³äë³êó âèçíà÷àòèìåòüñÿ çì³íîþ
éîãî êîîðäèíàò ó ÷àñ³.
Ñóêóïí³ñòü ò³ëà â³äë³êó, ïîâ’ÿçàíî¿ ç íèì ñèñòå-
ìè êîîðäèíàò ³ ïðèëàäó äëÿ â³äë³êó ÷àñó óòâîðþº
ñèñòåìó â³äë³êó.
Ê³íåìàòè÷í³ ñïîñîáè âèçíà÷åííÿ ïîëîæåííÿ ò³ëà. Ñèñòåìó â³äë³êó â ê³íå-
ìàòèö³ âèáèðàþòü, êåðóþ÷èñü ëèøå ì³ðêóâàííÿìè çðó÷íîñò³ äëÿ ìàòåìàòè÷-
íîãî îïèñó ðóõó.
Íàïðèêëàä, íàì íåîáõ³äíî äîñë³äèòè ðóõ ò³ëà, êèíóòîãî âåðòèêàëüíî âãîðó.
Ó òàêîìó âèïàäêó çà ò³ëî â³äë³êó çðó÷íî îáðàòè çåìëþ ³ ðîçãëÿäàòè ðóõ ò³ëà â³ä-
íîñíî îäí³º¿ âåðòèêàëüíî íàïðàâëåíî¿ êîîðäèíàòíî¿ îñ³ (ðóõ óçäîâæ ïðÿìî¿). À
ÿêùî, íàïðèêëàä, ò³ëî êèíóëè ï³ä êóòîì äî ãîðèçîíòó, òî éîãî ðóõ îïèñóâàòè-
ìåòüñÿ äâîìà êîîðäèíàòàìè (ðóõ ó ïëîùèí³). Ðóõ ò³ëà ó ïðîñòîð³ çàçâè÷àé îïè-
ñóºòüñÿ òðüîìà éîãî êîîðäèíàòàìè.
Ð³âíÿííÿ, ÿêå âñòàíîâëþº çàëåæí³ñòü êîîðäèíàò
ò³ëà (ìàòåð³àëüíî¿ òî÷êè) â³ä ÷àñó íàçèâàºòüñÿ ê³-
íåìàòè÷íèì ð³âíÿííÿì (çàêîíîì) ðóõó.

31
Ê³íåìàòèêà ïîñòóïàëüíîãî òà îáåðòàëüíîãî ðóõ³â ìàòåð³àëüíî¿ òî÷êè
Ìàòåìàòè÷íî öå çàïèñóþòü òàê: x = x(t); y = y(t); z = z(t).
Äîñë³äèòè ðóõ ò³ëà (çì³íó éîãî ïîëîæåííÿ ó ïðîñòîð³ ç ïëèíîì ÷àñó) ìîæ-
íà ³ çà éîãî òðàºêòîð³ºþ.
Òðàºêòîð³ÿ – íåïåðåðâíà óÿâíà ë³í³ÿ, ÿêó îïèñóº
ò³ëî ï³ä ÷àñ ñâîãî ðóõó â îáðàí³é ñèñòåì³ â³äë³êó.
Òðàºêòîð³ÿ ðóõó äåÿêèõ ò³ë ìîæå áóòè çàçäàëåã³äü â³äîìîþ, òàê ñàìî, ÿê
òðàºêòîð³ÿ ðóõó ïîòÿãà, ùî âèçíà÷åíà çàë³çíè÷íîþ êîë³ºþ, àáî òðàºêòîð³ÿ
ðóõó ïëîòà òå÷³ºþ ð³÷êè. Äîñèòü ÷àñòî òðàºêòîð³þ ðóõó ò³ëà íåîáõ³äíî ðîç-
ðàõóâàòè, âèõîäÿ÷è ç ³íøèõ õàðàêòåðèñòèê ðóõó. Íàïðèêëàä, ùîá çàïóñòèòè
ñóïóòíèê, ÿêèé îáåðòàòèìåòüñÿ íàâêîëî Çåìë³, éîìó íåîáõ³äíî íàäàòè ïåâíî¿
ïî÷àòêîâî¿ øâèäêîñò³.
Òðàºêòîð³ÿ ðóõó ìîæå
áóòè âèäèìîþ (ñë³ä ëèæ-
íèêà, ñë³ä â³ä ïåíçëèêà íà
ïàïåð³ (ìàë. 14)) ³ íåâèäè-
ìîþ (ïîë³ò ïòàõà).
Çàëåæíî â³ä ôîðìè
òðàºêòîð³¿ ðîçð³çíÿþòü
ïðÿìîë³í³éíèé ³ êðèâî-
ë³í³éíèé ðóõ. Çðîçóì³ëî,
ùî òðàºêòîð³ºþ ïðÿìîë³-
í³éíîãî ðóõó ò³ëà º ïðÿìà
ë³í³ÿ. Òðàºêòîð³¿ êðèâîë³-
í³éíîãî ðóõó ìîæóòü áóòè
äóæå ñêëàäíèìè ³ ð³çíî-
ìàí³òíèìè. Àëå, ÿê çàçíà-
÷àëîñÿ, áóäü-ÿêèé ñêëàäíèé ðóõ
ìîæíà âèâ÷èòè çà äîïîìîãîþ
ïðîñò³øîãî. Òàê, áóäü-ÿêèé êðè-
âîë³í³éíèé ðóõ ìîæíà ïîäàòè ÿê
ïîñë³äîâí³ñòü ä³ëÿíîê, ùî ñêëà-
äàþòüñÿ ç äóã ê³ë ð³çíèõ ðàä³óñ³â
(ìàë. 15).
Îñê³ëüêè ò³ëî â³äë³êó ìîæíà
âèáðàòè äîâ³ëüíî, òî òðàºêòîð³ÿ
ðóõó îäíîãî ³ òîãî ñàìîãî ò³ëà
â³äíîñíî ð³çíèõ ñèñòåì â³äë³êó
áóäå ð³çíîþ. Íàïðèêëàä, óñ³ òî÷-
êè êîëåñà âåëîñèïåäà â³äíîñíî
éîãî îñ³ îïèñóþòü êîëà. Ïðîòå
â ñèñòåì³ â³äë³êó, ïîâ’ÿçàí³é ³ç
çåìëåþ, öÿ ë³í³ÿ ñêëàäí³øà – ¿¿
íàçèâàþòü öèêëî¿äîþ (ìàë. 16).
Ìàë. 14. Òðàºêòîð³¿ ðóõó ò³ë
Ìàë. 15. Ìîäåëþâàííÿ òðàºêòîð³¿
êðèâîë³í³éíîãî ðóõó

32
Ð Î Ç Ä ² Ë 1
Çà òðàºêòîð³ºþ ðóõó ëåã-
êî âèçíà÷èòè øëÿõ, ïðîéäå-
íèé ò³ëîì. Äëÿ öüîãî íåîáõ³ä-
íî âèì³ðÿòè äîâæèíó òðàºê-
òîð³¿ ì³æ ïî÷àòêîâèì ³ íà-
ñòóïíèì ïîëîæåííÿìè ò³ëà.
Øëÿõ äîð³âíþº äîâæèí³ òðàºêòîð³¿, ÿêó îïèñóº
ò³ëî çà ÷àñ ðóõó.
Äîâæèíà ïðîéäåíîãî øëÿõó ïîçíà÷àºòüñÿ ëàòèíñüêîþ ë³òåðîþ l. Îäèíè-
öåþ øëÿõó º ìåòð, [l] = 1 ì.
Øëÿõ – âåëè÷èíà ñêàëÿðíà, òîáòî íå âèçíà÷àº íàïðÿì ³ õàðàêòåðèçóºòüñÿ
ò³ëüêè ÷èñëîâèì çíà÷åííÿì äîâæèíè ïðî-
éäåíîãî øëÿõó.
ßêùî â³äîìî, äå ðîçòàøîâàíî ò³ëî íà
ïî÷àòêó ðóõó, éîãî òðàºêòîð³ÿ ³ ïðîéäåíèé
øëÿõ, òî ìîæíà âèçíà÷èòè, äå áóäå ò³ëî ó
ê³íö³ ðóõó.
ßêùî òðàºêòîð³ÿ ðóõó íåâ³äîìà ³ ÿêùî
íå ìàº çíà÷åííÿ, ÿêîþ ñàìå òðàºêòîð³ºþ ðó-
õàºòüñÿ ò³ëî, à âàæëèâî âèçíà÷èòè çì³íó ïî-
ëîæåííÿ ò³ëà ó ïðîñòîð³ ç ïëèíîì ÷àñó, òîä³
êîðèñòóþòüñÿ ïîíÿòòÿìè «ðàä³óñ-âåêòîð» ³
«ïåðåì³ùåííÿ» (ìàë. 17).
Ðàä³óñîì-âåêòîðîì òî÷êè íàçèâàºòüñÿ âåê-
òîð, ùî ñïîëó÷àº ïî÷àòîê â³äë³êó ç ö³ºþ òî÷-
êîþ.
Íàïðèêëàä, ó ïî÷àòêîâèé ìîìåíò ÷àñó ò³ëî ïåðåáóâàº ó òî÷ö³ 1, ïîëîæåííÿ
ÿêî¿ âèçíà÷àºòüñÿ ðàä³óñîì-âåêòîðîì
r
0r . Ïðîòÿãîì ³íòåðâàëó ÷àñó ∆t ò³ëî ïåðå-
ì³ñòèëîñü ó òî÷êó 2, ïîëîæåííÿ ÿêî¿ âèçíà÷àºòüñÿ ðàä³óñîì-âåêòîðîì
r
r . Çì³íó
ïîëîæåííÿ ò³ëà ìîæíà âèçíà÷èòè çà ïðîéäåíèì øëÿõîì àáî çà ïåðåì³ùåííÿì.
Ïåðåì³ùåííÿ – âåêòîð, ùî ñïîëó÷àº ïî÷àòêîâå
ïîëîæåííÿ ò³ëà ç éîãî ïîëîæåííÿì ó âèáðàíèé ìî-
ìåíò ÷àñó.
ßê âèäíî ç ìàë. 17 âåêòîð ïåðåì³ùåííÿ
r
s, ïðîâåäåíèé ³ç ïî÷àòêîâî¿ òî÷êè 1
äî ê³íöåâî¿ òî÷êè, çá³ãàºòüñÿ ç ïðèðîñòîì ðàä³óñà-âåêòîðà: = ∆ = −
r r r r
0s r r r .
Ìîäóëü âåêòîðà ïåðåì³ùåííÿ ïîçíà÷àþòü
r
s , àáî ïðîñòî s.
Îäèíèöåþ ïåðåì³ùåííÿ º ìåòð, [s] = 1 ì.
Øëÿõ ³ ïåðåì³ùåííÿ õàðàêòåðèçóþòü çì³íó ïîëîæåííÿ ò³ëà, àëå öå ð³çí³
âåëè÷èíè. Íàïðèêëàä, ùîá ä³ñòàòèñÿ ç îäíîãî íàñåëåíîãî ïóíêòó â ³íøèé, âî-
ä³þ äîâîäèòüñÿ ¿õàòè çâèâèñòîþ äîðîãîþ (ìàë. 18). Ïðîéäåíèé øëÿõ – öå äî-
Ìàë. 16.
Òðàºêòîð³ÿ
òî÷êè êîëåñà
â³äíîñíî
çåìë³
Ìàë. 17. Âèçíà÷åííÿ
ïîëîæåííÿ ò³ëà ó ïðîñòîð³

33
âæèíà äîðîãè l (òðàºêòîð³¿). Ðàçîì ç òèì âîä³é
çä³éñíèâ ïåðåì³ùåííÿ ç òî÷êè à â òî÷êó b, ÿêå
ìîæíà îö³íèòè, ç’ºäíàâøè ïî÷àòêîâå ³ ê³íöå-
âå ïîëîæåííÿ ò³ëà ó ïðîñòîð³ ïðÿìîþ ë³í³ºþ ³
âêàçàâøè íàïðÿì ðóõó. Òîáòî, ùîá âèçíà÷èòè
ê³íöåâå ïîëîæåííÿ ò³ëà â áóäü-ÿêèé ìîìåíò
÷àñó, ïîòð³áíî çíàòè éîãî ïîëîæåííÿ ó ïî÷àò-
êîâèé ìîìåíò ³ âåêòîð ïåðåì³ùåííÿ.
ßêùî òðàºêòîð³ÿ êðèâîë³í³éíà, ìîäóëü
ïåðåì³ùåííÿ ìåíøèé â³ä øëÿõó, áî â³äð³-
çîê ïðÿìî¿ êîðîòøèé çà áóäü-ÿêó êðèâó, ùî
ç’ºäíóº ê³íö³ â³äð³çêà.
Ó âèïàäêó ïðÿìîë³í³éíîãî ðóõó çà óìîâè,
ùî ò³ëî íå çì³íþâàëî íàïðÿì ðóõó, ìîäóëü ïå-
ðåì³ùåííÿ ³ øëÿõ çá³ãàþòüñÿ.
Ó âèïàäêó, êîëè ò³ëî ïîâåðòàºòüñÿ ó ïî-
÷àòêîâå ïîëîæåííÿ (íàïðèêëàä, ÿêùî ò³ëî,
ðóõàþ÷èñü ïî êîëó, çä³éñíþº ïîâíèé îáåðò),
ìîäóëü ïåðåì³ùåííÿ äîð³âíþº 0. Òîáòî ïåðå-
ì³ùåííÿ ìîæå äîð³âíþâàòè íóëþ íàâ³òü òîä³,
êîëè ò³ëî ðóõàëîñÿ.
Âåêòîð ïåðåì³ùåííÿ ò³ëà ïî ïëîùèí³ ìîæ-
íà âèçíà÷èòè ³ çà éîãî êîîðäèíàòàìè. Íåõàé
ò³ëî çíàõîäèòüñÿ â òî÷ö³ 1, êîîðäèíàòè ÿêî¿ x1
³
y1
. Çà ïåâíèé ³íòåðâàë ÷àñó ò³ëî ïåðåì³ñòèëîñü
ó òî÷êó 2, êîîðäèíàòè ÿêî¿ x2
òà y2
(ìàë. 19). Íà
ìàëþíêó âèäíî, ùî ìîäóëü ³ íàïðÿì âåêòîðà
ïåðåì³ùåííÿ
r
s ìîæå áóòè âèçíà÷åíèé ÷åðåç
ð³çíèö³ êîîðäèíàò ∆x = x2
− x1
òà ∆y = y2
− y1
.
Ìîäóëü âåêòîðà ïåðåì³ùåííÿ
( ) ( )= ∆ + ∆
r 2 22
s x y àáî ( ) ( )= ∆ + ∆
2 2
s x y .
Íàïðÿì âåêòîðà ïåðåì³ùåííÿ â³äíîñíî êîîðäèíàòíî¿ îñ³ Õ âèçíà÷àºòüñÿ
òàíãåíñîì êóòà íàõèëó âåêòîðà:
∆
ϕ =
∆
tg
y
x
.
² íàâïàêè, ð³çíèöÿ êîîðäèíàò ìîæå áóòè âèðàæåíà ÷åðåç ìîäóëü âåêòîðà
ïåðåì³ùåííÿ: ∆ = ϕ
r
cosx s , ∆ = ϕ
r
siny s .
Òàêèì ÷èíîì, âèçíà÷èòè ïîëîæåííÿ ðóõîìîãî ò³ëà â³äíîñíî âèáðàíî¿ ñèñ-
òåìè â³äë³êó ìîæíà òðüîìà ñïîñîáàìè: êîîðäèíàòíèì, âåêòîðíèì ³ òðàºêòîð-
íèì (ïðèðîäíèì).
Ïðè êîîðäèíàòíîìó ñïîñîá³ ïîëîæåííÿ ðóõîìîãî ò³ëà ó ïðîñòîð³ ìîæíà âè-
çíà÷èòè, ÿêùî â³äîìî çàêîí çì³íè êîîðäèíàò â³ä ÷àñó x = x(t); y = y(t); z = z(t).
Ìàë. 18. Øëÿõ ³ ïåðåì³ùåííÿ
Ìàë. 19. Âèçíà÷åííÿ ìîäóëÿ ³
íàïðÿìó âåêòîðà ïåðåì³ùåííÿ
çà éîãî êîîðäèíàòàìè

34
Ð Î Ç Ä ² Ë 1
Ïðè âåêòîðíîìó ñïîñîá³ ïîëîæåííÿ ðóõîìîãî ò³ëà ó ïðîñòîð³ ìîæíà âè-
çíà÷èòè çà éîãî ðàä³óñîì-âåêòîðîì
r
r .
Ïðè òðàºêòîðíîìó (ïðèðîäíîìó) ñïîñîá³ ïîëîæåííÿ ò³ëà âèçíà÷àºòüñÿ
çà ïðîéäåíèì øëÿõîì óçäîâæ òðàºêòîð³¿. Öåé ñïîñ³á çðó÷íèé, êîëè òðàºêòîð³ÿ
ðóõó ò³ëà â³äîìà.
Ð³âíÿííÿ ë³í³¿ ó ïðîñòîð³, òîáòî ôîðìóëà, ÿêà çâ’ÿçóº êîîðäèíàòè òî÷êè
ï³ä ÷àñ ðóõó, íàçèâàºòüñÿ ð³âíÿííÿì òðàºêòîð³¿. Íàïðèêëàä, íà ïëîùèí³ öå
çàëåæí³ñòü x = f(y).
Çàçíà÷èìî, ùî ìîæíà ðîçãëÿäàòè ðóõ íå ëèøå ì³æ ïî÷àòêîâèì ³ ê³íöåâèì
ïîëîæåííÿìè ò³ëà, à é ó áóäü-ÿêèé ìîìåíò ÷àñó éîãî ðóõó.
Ùî âèâ÷àº ê³íåìàòèêà?1.
Ùî íàçèâàþòü ñèñòåìîþ â³äë³êó?2.
Ùî òàêå òðàºêòîð³ÿ? Âêàæ³òü âèäè ìåõàí³÷íîãî ðóõó, ÿê³ â³äð³çíÿþòü-3.
ñÿ ôîðìîþ òðàºêòîð³¿.
Ùî òàêå ïðîéäåíèé øëÿõ ³ ïåðåì³ùåííÿ?4.
ßê³ º ñïîñîáè îïèñó ìåõàí³÷íîãî ðóõó?5.
Вправа 2
1. Ó ñïîðòèâíîìó çàë³ ì’ÿ÷ óïàâ ç âèñîòè
3 ì, â³äáèâñÿ â³ä ï³äëîãè ³ áóâ çëîâëåíèé íà âè-
ñîò³ 1 ì. Âèçíà÷èòè øëÿõ ³ ïåðåì³ùåííÿ ì’ÿ÷à.
2. Íà ìàë. 20 çîáðàæåíî òðàºêòîð³þ ðóõó
ò³ëà ç À ó Â. Âèçíà÷èòè êîîðäèíàòè ò³ëà íà ïî-
÷àòêó ³ â ê³íö³ ðóõó, ïðîåêö³¿ ïåðåì³ùåííÿ íà
îñ³ êîîðäèíàò, ïåðåì³ùåííÿ.
3. Ò³ëî ïåðåì³ñòèëîñÿ ç òî÷êè, êîîðäèíàòè
ÿêî¿ õ1
= 0 ì, ó1
= 2 ì, ó òî÷êó ç êîîðäèíàòàìè
õ2
= 4 ì, ó2
= −1 ì. Çðîáèòè ìàëþíîê ³ âèçíà-
÷èòè âåêòîð ïåðåì³ùåííÿ ³ éîãî ïðîåêö³¿ íà îñ³
êîîðäèíàò.
4. Âåðòîë³ò, ïðîëåò³âøè ïî ïðÿì³é 400 êì, ïîâåðíóâ ï³ä êóòîì 90° ³ ïðîëå-
ò³â ó öüîìó íàïðÿì³ ùå 300 êì. Âèçíà÷èòè øëÿõ ³ ïåðåì³ùåííÿ âåðòîëüîòà.
5. Ò³ëî ïî÷àëî ðóõ ç òî÷êè À ïåðïåíäèêóëÿðíî ðàä³óñó-âåêòîðó
→
ö³º¿ òî÷-
êè. Ðàä³óñ-âåêòîð
→
ê³íöåâî¿ òî÷êè Â äîð³âíþº 10 ì ³ ñêëàäàº êóò 30° ç ðàä³ó-
ñîì âåêòîðîì
→
. Âèçíà÷èòè ìîäóëü âåêòîðà ïåðåì³ùåííÿ ò³ëà.
6. Âåêòîð ïåðåì³ùåííÿ ìàº ìîäóëü
→
ÀÂ = 10 ñì ³ ñêëàäàº êóò 30° ç â³ññþ Õ.
Êîîðäèíàòè òî÷êè À: õ = 2 ñì, y = 2 ñì. Âèçíà÷èòè êîîðäèíàòè òî÷êè Â.
7. Ñõîäèíêà åñêàëàòîðà ï³äíÿëàñü âãîðó íà 10 ì. Ëþäèíà ïî åñêàëàòîðó çà
öåé ÷àñ ñïóñòèëàñü âíèç íà 5 ì. Âèçíà÷èòè ³ íàêðåñëèòè âåêòîð ïåðåì³ùåííÿ
ëþäèíè â³äíîñíî çåìë³. Íàêðåñëèòè âåêòîðè ïåðåì³ùåííÿ åñêàëàòîðà â³äíîñ-
íî çåìë³ òà ëþäèíè â³äíîñíî åñêàëàòîðà.
Ìàë. 20. Äî çàäà÷³ 2.

35
8. Âàãîí ð³âíîì³ðíî ðóõàºòüñÿ ó ãîðèçîíòàëüíîìó íàïðÿì³. Ó âàãîí³ äî
ñòåë³ ïðèêð³ïëåíî ïðóæèíêó, íà ê³íö³ ÿêî¿ çàêð³ïëåíî òÿãàðåöü. Òÿãàðåöü êî-
ëèâàºòüñÿ ó âåðòèêàëüíîìó íàïðÿì³. Íàêðåñë³òü òðàºêòîð³þ ðóõó òÿãàðöÿ â³ä-
íîñíî âàãîíà òà â³äíîñíî çåìë³.
9. Çàïèñàòè ð³âíÿííÿ òðàºêòîð³é y = f(x) òî÷îê, ÿêùî â³äîìî, çàëåæíîñò³
êîîðäèíàò â³ä ÷àñó: à) x = 2t, y = t − 1; á) x = 2t, y = 8t2
; â) x = 2t, y = 0.
§ 7 Прямолінійний рівномірний рух
Ð³âíÿííÿ ð³âíîì³ðíîãî ïðÿìîë³í³éíîãî ðóõó.
Ãðàô³÷íå çîáðàæåííÿ ïðÿìîë³í³éíîãî ð³âíîì³ðíîãî ðóõó.
Ð³âíÿííÿ ð³âíîì³ðíîãî ïðÿìîë³í³éíîãî ðóõó. Ïðèãàäàºìî îçíà÷åííÿ ïðÿ-
ìîë³í³éíîãî ð³âíîì³ðíîãî ðóõó â³äîìå âàì ³ç 8-ãî êëàñó:
Ïðÿìîë³í³éíèé ð³âíîì³ðíèé ðóõ – öå ðóõ, ïðè
ÿêîìó ò³ëî (ìàòåð³àëüíà òî÷êà) çà áóäü-ÿê³ ð³âí³ ³í-
òåðâàëè ÷àñó çä³éñíþº îäíàêîâ³ ïåðåì³ùåííÿ.
Øâèäê³ñòü ðóõó ò³ëà ïðè ð³âíîì³ðíîìó ðóñ³ çàëèøàºòüñÿ ïîñò³éíîþ íà
âñüîìó øëÿõó. Òðàºêòîð³ÿ òàêîãî ðóõó – ïðÿìà ë³í³ÿ.
Ïðÿìîë³í³éíèé ð³âíîì³ðíèé ðóõ ò³ëà ìîæíà îïèñàòè çì³íîþ îäí³º¿ ç êîîð-
äèíàò, ÿêùî ñèñòåìó â³äë³êó îáðàòè òàê, ùîá êîîðäè-
íàòíà â³ñü çá³ãàëàñÿ ç íàïðÿìîì ðóõó.
Íåõàé ò³ëî â ìîìåíò ïî÷àòêó ðóõó çíàõîäèòüñÿ ó òî÷-
ö³ ç êîîðäèíàòîþ x0
(ìàë. 21); ÷åðåç äåÿêèé ÷àñ t, çä³é-
ñíèâøè ïåðåì³ùåííÿ
r
s , âîíî ìàòèìå êîîðäèíàòó x.
Ô³çè÷íà âåëè÷èíà, ÿêà õàðàêòåðèçóº ñòð³ìê³ñòü
çì³íè ïîëîæåííÿ ò³ëà ó ïðîñòîð³, íàçèâàºòüñÿ øâèä-
ê³ñòþ ðóõó ò³ëà.
Øâèäê³ñòü ð³âíîì³ðíîãî ðóõó ò³ëà υ
r
âèçíà÷à-
ºòüñÿ â³äíîøåííÿì ïåðåì³ùåííÿ
r
s (àáî ïðèðîñòó ðà-
ä³óñà âåêòîðà ∆r
r
) äî ³íòåðâàëó ÷àñó t, ïðîòÿãîì ÿêîãî
â³äáóëîñÿ öå ïåðåì³ùåííÿ: υ
r
=
r
s/∆t = ∆r
r
/∆t.
²íòåðâàë ÷àñó íàé÷àñò³øå îáèðàþòü â³ä ïî÷àòêîâîãî ìîìåíòó t0
= 0, òàê ùî
∆t = t − t0
= t − 0 = t, à âåêòîðí³ âåëè÷èíè, ùî õàðàêòåðèçóþòü ðóõ ò³ëà, çàïèñó-
þòü ó ïðîåêö³ÿõ íà â³äïîâ³äíó â³ñü (ìàë. 22), îòæå, υx
= sx
/t.
Çíàþ÷è ïðîåêö³þ øâèäêîñò³ ðóõó ò³ëà, ìîæíà âèçíà÷èòè ïðîåêö³þ éîãî
ïåðåì³ùåííÿ çà áóäü-ÿêèé ³íòåðâàë ÷àñó: sx
= υx
∆t.
Ìàë. 21. Çì³íà êîîðäè-
íàò ò³ëà ï³ä ÷àñ ðóõó

36
Ð Î Ç Ä ² Ë 1
Íà ìàë. 22 âèäíî, ùî ÷èñëîâå çíà÷åííÿ ïðîåêö³¿
âåêòîðà ïåðåì³ùåííÿ íà êîîðäèíàòíó â³ñü Õ äîð³â-
íþº çì³í³ êîîðäèíàò ò³ëà x − x0
, òîáòî sx
= x − x0
.
Çàñòîñîâóþ÷èîñòàíí³ôîðìóëè,îòðèìàºìîê³íåìà-
òè÷íå ð³âíÿííÿ ð³âíîì³ðíîãî ïðÿìîë³í³éíîãî ðóõó:
x − x0
= υx
t àáî x = x0
+ υx
t.
ßêùî íàïðÿì ðóõó çá³ãàºòüñÿ ç íàïðÿìîì êîîð-
äèíàòíî¿ îñ³ (ìàë. 23), òî υx
> 0, υx
= υ ³ êîîðäèíàòà
ç ïëèíîì ÷àñó çá³ëüøóâàòèìåòüñÿ: x = x0
+ υt, äå υ –
ìîäóëü øâèäêîñò³.
ßêùî íàïðÿì ðóõó ò³ëà ïðîòè-
ëåæíèé íàïðÿìó êîîðäèíàòíî¿ îñ³
(ìàë. 23), òî υx
< 0, υx
= −υ ³ êîîðäèíà-
òà ç ïëèíîì ÷àñó çìåíøóâàòèìåòüñÿ:
x = x0
− υt.
Îòæå çà ð³âíÿííÿì ðóõó ìè ìîæå-
ìî âèçíà÷èòè ïîëîæåííÿ (êîîðäèíà-
òè) ò³ëà ó áóäü-ÿêèé ìîìåíò ÷àñó.
Ó ïðîñòîð³ ïîëîæåííÿ ðóõîìî¿
òî÷êè, òîáòî ¿¿ ðàä³óñ-âåêòîð (àáî òðè êîîðäèíàòè), ó áóäü-ÿêèé ìîìåíò ÷àñó
ìîæíà âèçíà÷èòè, ÿêùî â³äîìî øâèäê³ñòü ð³âíîì³ðíîãî ïðÿìîë³í³éíîãî ðóõó
³ ïî÷àòêîâå ïîëîæåííÿ òî÷êè ( ¿¿ ðàä³óñ âåêòîð
r
0r ) ó ïî÷àòêîâèé ìîìåíò ÷àñó t0
:
= + υ −
r r r
0 0( )r r t t .
Äîñë³äèòè õàðàêòåð ðóõó ìîæíà ³ ãðàô³÷íèì ñïîñîáîì, çîáðàæóþ÷è çà-
ëåæíîñò³ ïàðàìåòð³â ðóõó (øâèäêîñò³, ïðîéäåíîãî øëÿõó, ïåðåì³ùåííÿ, êî-
îðäèíàòè) â³ä ÷àñó çà äîïîìîãîþ â³äïîâ³äíèõ ãðà-
ô³ê³â.
Ãðàô³÷íå çîáðàæåííÿ ïðÿìîë³í³éíîãî ð³âíî-
ì³ðíîãî ðóõó. ßê â³äîìî, øâèäê³ñòü ò³ëà ï³ä ÷àñ
ð³âíîì³ðíîãî ïðÿìîë³í³éíîãî ðóõó ç ÷àñîì íå çì³-
íþºòüñÿ, òîáòî υ
r
= const. Òîìó ãðàô³ê ïðîåêö³¿
øâèäêîñò³ – öå ïðÿìà, ïàðàëåëüíà îñ³ ÷àñó t.
Ë³í³ÿ υx
= υx
(t) ìîæå áóòè ÿê íàä â³ññþ t (υx
> 0),
òàê ³ ï³ä íåþ (υx
< 0) (ìàë. 24).
Ïëîù³ çàøòðèõîâàíèõ ïðÿìîêóòíèê³â â³äïî-
â³äàþòü çíà÷åííÿì ïðîåêö³é ïåðåì³ùåíü çà ïåâ-
íèé ÷àñ sx1
> 0, sx2
< 0.
Ãðàô³ê ïðîåêö³¿ ïåðåì³ùåííÿ sx
= sx
(t). Çàëåæí³ñòü ïðîåêö³¿ ïåðåì³ùåííÿ
â³ä ÷àñó âèçíà÷àºòüñÿ ð³âíÿííÿì sx
= υx
t, ãðàô³êîì ÿêîãî º ïðÿìà (ïîð³âíÿéòå ç
â³äîìèì âàì ãðàô³êîì ë³í³éíî¿ ôóíêö³¿ y = ax: äèâ. §4).
Îñê³ëüêè ïðîåêö³ÿ ïåðåì³ùåííÿ ìîæå íàáóâàòè ÿê äîäàòíèõ, òàê ³
â³ä’ºìíèõ çíà÷åíü, òî ãðàô³ê ïðîåêö³¿ ïåðåì³ùåííÿ (ìàë. 25) ìîæå áóòè íà-
ïðÿìëåíèé âãîðó (sx
> 0, â³äïîâ³äíî ³ υx
> 0) àáî âíèç (sx
< 0, υx
< 0).
Êóò íàõèëó ãðàô³êà ïðîåêö³¿ ïåðåì³ùåííÿ çàëåæèòü â³ä çíà÷åííÿ øâèäêî-
ñò³: ÷èì á³ëüøà øâèäê³ñòü, òèì øâèäøå çì³íþºòüñÿ ïðîåêö³ÿ ïåðåì³ùåííÿ.
Ìàë. 22. Ïðîåêö³¿
øâèäêîñò³ ³ ïåðåì³ùåííÿ
íà â³ñü Õ
Ìàë. 23. Ïðîåêö³¿ âåêòîð³â øâèäêîñò³,
êîëè ð³çí³ íàïðÿìè ðóõó ò³ë
Ìàë. 24. Ãðàô³êè ïðîåêö³¿
øâèäêîñò³

37
²ç ãðàô³êà âèäíî, ùî
υ = = α1
1 1
1
tgxs
t
³ υ = = α2
2 2
1
tgxs
t
.
Ãðàô³ê ïðîåêö³¿ ïåðåì³ùåííÿ çàâæäè ïðîõî-
äèòü ÷åðåç ïî÷àòîê êîîðäèíàò.
Ãðàô³ê øëÿõó l = l (t). Îñê³ëüêè ïðè ð³âíîì³ð-
íîìó ïðÿìîë³í³éíîìó ðóñ³ ìîäóëü ïåðåì³ùåííÿ
äîð³âíþº äîâæèí³ ïðîéäåíîãî øëÿõó, òî l = υt, äå
υ – ìîäóëü øâèäêîñò³.
Ìîäóëü ïåðåì³ùåííÿ çàâæäè âåëè÷èíà äî-
äàòíà, ³ ãðàô³ê øëÿõó çàâæäè íàïðÿìëåíèé âãî-
ðó (ìàë. 26).
Ãðàô³ê ðóõó ò³ëà x = x(t). Öåé ãðàô³ê õàðàêòåðè-
çóº çì³íó êîîðäèíàò ò³ëà ç ÷àñîì. Ç ð³âíÿííÿ ðóõó
x = x0
+ υx
t ñòàº î÷åâèäíî, ùî â³í ïðåäñòàâ-
ëÿº ë³í³éíó ôóíêö³þ ³ çîáðàæàºòüñÿ ïðÿ-
ìîþ. Öÿ ïðÿìà ïðîõîäèòü ÷åðåç ïî÷àòîê
êîîðäèíàò, êîëè x0
= 0 àáî çì³ùåíà ïî îñ³
x íà âåëè÷èíó x0
, êîëè x0
≠ 0. Îñê³ëüêè
ïðîåêö³ÿ øâèäêîñò³ ìîæå ìàòè äîäàòí³
òà â³ä’ºìí³ çíà÷åííÿ (íàïðÿì âåêòîðà
øâèäêîñò³ ìîæå çá³ãàòèñÿ ç îáðàíèì íà-
ïðÿìîì êîîðäèíàòíî¿ îñ³ àáî áóòè ïðîòè-
ëåæíèì éîìó), òî ãðàô³ê ìîæå çä³éìà-
òèñü âãîðó ïðè (υx
> 0) àáî ñïàäàòè âíèç
ïðè (υx
< 0).
Íà ìàë. 27 ïîêàçàíî ðîçòàøó-
âàííÿ ï’ÿòè ò³ë íà ïî÷àòêó ðóõó
³ âåêòîðè ¿õ øâèäêîñòåé. Äîâæè-
íà ñòð³ëêè íà ìàëþíêó õàðàêòå-
ðèçóº ìîäóëü øâèäêîñò³ (÷èì äî-
âøà ñòð³ëêà, òèì á³ëüøå çíà÷åííÿ
øâèäêîñò³ ðóõó ò³ëà).
Íà ìàë. 28 ñõåìàòè÷íî â³äòâî-
ðåíî ãðàô³êè ðóõó öèõ ò³ë.
Ãðàô³êè ð³âíîì³ðíîãî ïðÿìîë³-
í³éíîãî ðóõó â³äîáðàæàþòü çàëåæ-
Ìàë. 25. Ãðàô³ê ïðîåêö³¿
ïåðåì³ùåííÿ
Ìàë. 26. Ãðàô³ê øëÿõó
Ìàë. 27. Ñõåìàòè÷íå çîáðàæåííÿ
ïî÷àòêîâîãî ïîëîæåííÿ
³ øâèäêîñò³ ðóõó ò³ë
Ìàë. 28. Ãðàô³êè ðóõó ò³ë

38
Ð Î Ç Ä ² Ë 1
íîñò³ â³äïîâ³äíèõ ïàðàìåòð³â ðóõó (êîîðäèíàò, ïðîéäåíîãî øëÿõó, ïåðåì³ùåí-
íÿ ³ øâèäêîñò³) â³ä ÷àñó. Çà ¿õ äîïîìîãîþ ìîæíà ç’ÿñóâàòè õàðàêòåð ðóõó ò³ëà ³
çì³íè â³äïîâ³äíèõ âåëè÷èí ç ïëèíîì ÷àñó.
×è ìîæíà âèçíà÷èòè ê³íöåâå ïîëîæåííÿ ò³ëà, ÿêùî â³äîìî éîãî ïî÷àò-1.
êîâå ïîëîæåííÿ ³ äîâæèíà ïðîéäåíîãî øëÿõó?
×èì â³äð³çíÿºòüñÿ ãðàô³ê øëÿõó â³ä ãðàô³êà ïðîåêö³¿ ïåðåì³ùåííÿ?2.
Ãðàô³ê ðóõó ïåðåòèíàº â³ñü ÷àñó: ùî öå îçíà÷àº?3.
4. ×è ìîæóòü çìåíøóâàòèñü ³ç ÷àñîì êîîðäèíàòà ðóõîìî¿ òî÷êè ³ ïðîéäå-
íèé øëÿõ?
5. Øâèäê³ñòü ò³ëà ï³ä ÷àñ ðóõó ïî ïðÿì³é ç ïóíêòó À â ïóíêò Â ó äâà ðàçè
á³ëüøà â³ä øâèäêîñò³ ðóõó öüîãî ò³ëà ó çâîðîòíîìó íàïðÿì³. Ïîáóäóéòå ãðàô³-
êè çàëåæíîñò³ â³ä ÷àñó: à) êîîðäèíàòè; á) øâèäêîñò³; â) øëÿõó.
Загальні рекомендації щодо розв’язування задач
з кінематики матеріальної точки
Ï³ä ÷àñ ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàäà÷ ñë³ä âèêîíóâàòè ïåâíó ïîñë³äîâí³ñòü ä³é.
1. Ïåðåäóñ³ì ñë³ä âèáðàòè ñèñòåìó â³äë³êó, ÿêà ñêëàäàºòüñÿ ç ò³ëà â³äë³êó,
ïîâ’ÿçàíî¿ ç íèì ñèñòåìè êîîðäèíàò ³ ïî÷àòêó â³äë³êó ÷àñó. Âèçíà÷èòè ïîëî-
æåííÿì ò³ëà ó ïî÷àòêîâèé ìîìåíò ÷àñó.
2. Âèêîíóþ÷è ñõåìàòè÷íèé ìàëþíîê äî çàäà÷³, ïîòð³áíî çîáðàçèòè ñèñòå-
ìó â³äë³êó, íàïðÿì âåêòîðíèõ âåëè÷èí (ïåðåì³ùåííÿ, øâèäêîñò³ òîùî).
3. Âñòàíîâèòè õàðàêòåð ðóõó (ð³âíîì³ðíèé ÷è íåð³âíîì³ðíèé). Çàïèñàòè
ê³íåìàòè÷í³ ð³âíÿííÿ (çàêîíè) ðóõó äëÿ êîæíîãî ò³ëà ó âåêòîðí³é ôîðì³ òà â
ïðîåêö³ÿõ íà âèáðàí³ îñ³ êîîðäèíàò. Âðàõóâàòè çíàê ïðîåêö³¿ âåêòîðà íà âè-
áðàíó êîîðäèíàòíó â³ñü!
4. Çà ïîòðåáè, ÿêùî ê³ëüê³ñòü íåâ³äîìèõ á³ëüøà, í³æ ê³ëüê³ñòü ð³âíÿíü,
âñòàíîâèòè äîäàòêîâ³ ð³âíÿííÿ, ÿê³ ìîæóòü âèðàæàòè êîíêðåòí³ ìàòåìàòè÷í³
çâ’ÿçêè, ùî âèïëèâàþòü ç óìîâè çàäà÷³.
5. Îòðèìàíó ñèñòåìó ð³âíÿíü ðîçâ’ÿçàòè â³äíîñíî øóêàíèõ âåëè÷èí.
Äëÿ ãðàô³÷íîãî ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàäà÷³ âèêîðèñòîâóþòü ãðàô³êè çàëåæíîñò³
â³ä ÷àñó êîîðäèíàò àáî øâèäêîñò³ (ïåðåì³ùåííÿ àáî øëÿõó). Öå äàñòü çìîãó
âèçíà÷àòè íåâ³äîì³ âåëè÷èíè íà îñíîâ³ ãðàô³ê³â. Ñë³ä ïàì’ÿòàòè, ùî ãðàô³÷-
í³ çàëåæíîñò³ ê³íåìàòè÷íèõ âåëè÷èí ìîæóòü âèÿâèòèñÿ êîðèñíèìè ÿê ï³ä ÷àñ
àíàë³çó óìîâè çàäà÷³, òàê ³ äëÿ ïåðåâ³ðêè ðåçóëüòàò³â ¿¿ ðîçâ’ÿçàííÿ. Íà ãðàô³-
êàõ â óìîâàõ çàäà÷ (ÿêùî íåìàº â³äïîâ³äíîãî ïîÿñíåííÿ) íà âåðòèêàëüí³é îñ³
â³äêëàäåíî ïðîåêö³þ âåêòîðà íà â³ñü êîîðäèíàò.
Â óìîâàõ äåÿêèõ çàäà÷ íå îáóìîâëåíî, éäåòüñÿ ïðî âåêòîð, éîãî ìîäóëü ÷è
ïðî ïðîåêö³þ. Àíàë³çóþ÷è óìîâó çàäà÷³ (àáî â³äïîâ³äü), òðåáà â êîæíîìó êîí-
êðåòíîìó âèïàäêó óòî÷íþâàòè, ùî ñàìå äàíî â çàäà÷³: âåêòîð, éîãî ìîäóëü ÷è
ïðîåêö³þ. Çâåðí³òü óâàãó, ùî ìîäóëü âåêòîðíî¿ âåëè÷èíè ïîçíà÷àþòü ïðî-
ñòî áóêâîþ, íå ñòàâëÿ÷è çíà÷êà âåêòîðà ³ ìîäóëÿ: çàì³ñòü υ
rrr
, ,s F çàïè-
ñóþòü ïðîñòî s, υ, F.

39
Ââàæàºòüñÿ, ùî ðóõ â³äáóâàºòüñÿ âçäîâæ îñ³, äîäàòíèé íàïðÿì ÿêî¿ çá³ãà-
ºòüñÿ ç íàïðÿìîì ðóõó ó ïî÷àòêîâèé ìîìåíò ÷àñó. Ó äåÿêèõ çàäà÷àõ, äå â óìî-
â³ ÷è ó â³äïîâ³ä³ çíà÷åííÿ ÿêî¿-íåáóäü âåêòîðíî¿ âåëè÷èíè íàâåäåíî ç³ çíàêîì
«ì³íóñ», ³äåòüñÿ ïðî ïðîåêö³þ â³äïîâ³äíîãî âåêòîðà íà â³ñü êîîðäèíàò.
Приклад розв’язування задач
Çàäà÷à. Êîðèñòóþ÷èñü ãðàô³êàìè ðóõó äâîõ ò³ë (ìàë. 29):
1) âèçíà÷èòè:
à) øâèäêîñò³ ò³ë;
á) ð³âíÿííÿ ðóõó äëÿ öèõ ò³ë;
â) ìîäóëü ïåðåì³ùåííÿ ò³ë çà ÷àñ t = 4 c;
ã) ÷àñ òà ì³ñöå çóñòð³÷³;
ä) â³äñòàíü ì³æ ò³ëàìè ÷åðåç 2 ñ ¿õ ðóõó.
2) ïîáóäóâàòè ãðàô³êè ïðîåêö³¿ øâèäêîñò³, ïðî-
åêö³¿ ïåðåì³ùåííÿ ³ øëÿõó çà 4 ñ ðóõó.
Ðîçâ’ÿçàííÿ:
à) Øâèäê³ñòü âèçíà÷àºìî çà ôîðìóëîþ
υx
= (x − x0
)/t.
²íòåðâàë ÷àñó çì³íè êîîðäèíàòè âèáèðàºìî äî-
â³ëüíî, êåðóþ÷èñü çðó÷í³ñòþ ðîçðàõóíê³â. Íàïðè-
êëàä, â³çüìåìî t = 2 ñ. Ïåðøå ò³ëî ÷åðåç 2 ñ ðóõó ìàëî
êîîðäèíàòó x = 6 ïðè x0
= 0, òîìó ïðîåêö³ÿ øâèäêîñò³ υx1
= (6 ì − 0)/(2 ñ) = 3 ì/ñ;
υ1
= 3 ì/ñ.
Äëÿ äðóãîãî ò³ëà x0
= 4 ì, à ÷åðåç t = 2 c, x = 2 ì, òîáòî υx2
= (2 ì − 4 ì)/(2 ñ) =
= −1 ì/ñ; υ2
= 1 ì/ñ.
á) Çàïèñóºìî ð³âíÿííÿ ðóõó äëÿ öèõ ò³ë, âèõîäÿ÷è ç éîãî çàãàëüíîãî âèãëÿ-
äó x = x0
+ υx
t. Äëÿ ïåðøîãî ò³ëà x1
= 3t. Äëÿ äðóãîãî ò³ëà x2
= 4 − t.
â) Âèçíà÷àºìî ìîäóëü ïåðåì³ùåííÿ çà t = 4 ñ, êî-
ðèñòóþ÷èñü ôîðìóëîþ sx
= υx
t.
sx1
= 3t = 3 ì/ñ · 4 ñ = 12 ì, s1
= 12 ì.
sx2
= −t = −1 ì/ñ · 4 ñ = −4 ì, s2
= 4 ì.
ã) Âèçíà÷àºìî ÷àñ ³ ì³ñöå çóñòð³÷³. Äëÿ öüîãî ç òî÷êè
ïåðåòèíó ãðàô³ê³â ðóõó äâîõ ò³ë îïóñêàºìî ïåðïåíäèêó-
ëÿð íà â³ñü t ³ îäåðæóºìî ÷àñ çóñòð³÷³ 1 ñ. Ïåðïåíäèêóëÿð,
îïóùåíèé íà â³ñü õ, óêàæå êîîðäèíàòó çóñòð³÷³ 3 ì.
ä) ×åðåç 2 ñ ïåðøå ò³ëî ìàòèìå êîîðäèíàòó 6 ì, à
äðóãå – 2 ì. Â³äñòàíü ì³æ ò³ëàìè l = x1
− x2
= 4 ì.
Âèêîðèñòîâóþ÷è îòðèìàí³ ðåçóëüòàòè, âèêîíàºìî
â³äïîâ³äí³ ïîáóäîâè (ìàë. 30, 31, 32):
Вправа 3
1. ²ç äâîõ òî÷îê À ³ Â, ÿê³ çíàõîäÿòüñÿ íà â³äñòàí³ 90 ì îäíà â³ä îäíî¿, îäíî-
÷àñíî â îäíîìó íàïðÿì³ ïî÷àëè ðóõàòèñÿ äâà ò³ëà. Ò³ëî, ùî ðóõàºòüñÿ ç òî÷êè
À, ìàº øâèäê³ñòü 5 ì/ñ. Ò³ëî, ùî ðóõàºòüñÿ ç òî÷êè Â, ìàº øâèäê³ñòü 2 ì/ñ.
Ìàë. 29. Ãðàô³êè ðóõó ò³ë
Ìàë. 30. Ãðàô³êè ïðî-
åêö³é øâèäêîñòåé

40
Ð Î Ç Ä ² Ë 1
×åðåç ÿêèé ÷àñ ïåðøå ò³ëî íàçäîæåíå äðóãå? ßêå ïå-
ðåì³ùåííÿ çä³éñíèòü êîæíå ò³ëî? Ðîçâ’ÿçàòè çàäà÷ó
àíàë³òè÷íèì ³ ãðàô³÷íèì ñïîñîáàìè.
2. Íà ìàë. 33 íàâåäåíî ãðàô³êè ðóõó ÷îòèðüîõ
ò³ë óçäîâæ îñ³ Õ. Ùî ñï³ëüíîãî â óñ³õ öèõ ðóõ³â?
×èì âîíè â³äð³çíÿþòüñÿ? Íàêðåñëèòè ñõåìàòè÷í³
ãðàô³êè υx
(t) äëÿ êîæíîãî ç ðóõ³â.
3. Çà íàâåäåíèìè íà ìàë. 34 ãðàô³êàìè îïèø³òü
ðóõ. Äëÿ êîæíîãî ç íèõ âèçíà÷òå ìîäóëü ³ íàïðÿì
øâèäêîñò³, çàïèø³òü ôîðìóëó õ(t) ³ ïîáóäóéòå â³ä-
ïîâ³äí³ ãðàô³êè.
4. Ð³âíÿííÿ ðóõó âàíòàæíîãî àâòîìîá³ëÿ ìàº âè-
ãëÿä x1
= −270 + 12t, à ð³âíÿííÿ ðóõó ï³øîõîäà, ÿêèé
³äå óçá³÷÷ÿì òîãî ñàìîãî øîñå, ìàº âèãëÿä x2
= −1,5t.
(Âñ³ âåëè÷èíè çàäàíî â Ñ²). Íàêðåñëèòè ãðàô³êè ðóõó
Ìàë. 31. Ãðàô³êè ïðîåêö³é ïåðåì³ùåíü Ìàë. 32. Ãðàô³êè øëÿõó
Ìàë. 33. Äî çàäà÷³ 2
Ìàë. 34. Äî çàäà÷³ 3 Ìàë. 35. Äî çàäà÷³ 5

41
³ âèçíà÷èòè: à) ïîëîæåííÿ àâòîìîá³ëÿ
³ ï³øîõîäà ó ìîìåíò ïî÷àòêó ñïîñòåðå-
æåííÿ; á) ç ÿêèìè øâèäêîñòÿìè ³ â ÿêî-
ìó íàïðÿì³ âîíè ðóõàëèñÿ; â) êîëè ³ äå
âîíè çóñòð³ëèñÿ.
5. Çà ãðàô³êîì çàëåæíîñò³ êîîðäè-
íàòè â³ä ÷àñó (ìàë. 35) ïîáóäóâàòè ãðà-
ô³ê çàëåæíîñò³ øâèäêîñò³ â³ä ÷àñó.
6. Íà ìàë. 36 (à ³ á) ïîäàíî ãðàô³êè,
ÿê³ õàðàêòåðèçóþòü ðóõ ï³øîõîäà. Ïî-
áóäóéòå íà ¿õ îñíîâ³ ãðàô³ê çàëåæíîñò³
υx
(t).
§ 8 Відносність механічного руху
Â³äíîñí³ñòü ðóõó.
Ïåðåòâîðåííÿ Ãàë³ëåÿ.
Çàêîí äîäàâàííÿ øâèäêîñòåé.
Â³äíîñí³ñòü ðóõó. ßê ìè óæå ç’ÿñóâàëè, ùîá îïèñàòè ìåõàí³÷íèé ðóõ ³ âè-
çíà÷èòè éîãî ïàðàìåòðè – òðàºêòîð³þ, ïåðåì³ùåííÿ, ïðîéäåíèé øëÿõ, øâèä-
ê³ñòü òîùî, òðåáà íàñàìïåðåä îáðàòè ñèñòåìó â³äë³êó é îïèñóâàòè ðóõ ò³ëà
(ìàòåð³àëüíî¿ òî÷êè) â³äíîñíî ïåâíîãî ò³ëà â³äë³êó. Ïðè ðîçâ’ÿçóâàíí³ çàäà÷
ê³íåìàòèêè ñèñòåìó â³äë³êó âèáèðàþòü òàê, ùîá ðóõ â³äíîñíî ö³º¿ ñèñòåìè îïè-
ñóâàâñÿ íàéïðîñò³øèìè âèðàçàìè. Îñê³ëüêè ò³ëî â³äë³êó ìîæíà îáèðàòè äî-
â³ëüíî ³ òàêèõ ò³ë ìîæå áóòè áåçë³÷, òî é ðóõ ò³ëà ìîæíà îäíî÷àñíî ðîçãëÿäàòè
ó ê³ëüêîõ ñèñòåìàõ â³äë³êó.
Íàé÷àñò³øå ñèñòåìó â³äë³êó ïîâ’ÿçóþòü ³ç ò³ëîì â³äë³êó, ÿêå â ö³é ñèòóàö³¿
ââàæàºòüñÿ íåðóõîìèì: ³ç çåìëåþ, ³ç äåðåâàìè íà óçá³÷÷³, íàñåëåíèì ïóíêòîì
òîùî. Òàêó ñèñòåìó â³äë³êó óìîâíî íàçèâàþòü íåðóõîìîþ ³ ïîçíà÷àþòü ë³òå-
ðîþ K. Ç ³íøèìè ò³ëàìè, ùî ðóõàþòüñÿ â íåðóõîì³é ñèñòåì³ â³äë³êó ð³âíîì³ð-
íî ³ ïðÿìîë³í³éíî, ïîâ’ÿçóþòü ðóõîì³ ñèñòåìè â³äë³êó ′K , ðîçãëÿäàþ÷è ðóõ âè-
áðàíîãî ò³ëà â³äíîñíî îáîõ ñèñòåì â³äë³êó.
Â³äíîñíèé ìåõàí³÷íèé ðóõ – ðóõ ìàòåð³àëüíî¿
òî÷êè (÷è ò³ëà) â³äíîñíî ðóõîìî¿ ñèñòåìè â³äë³êó,
ÿêà ïåâíèì ÷èíîì ïåðåì³ùàºòüñÿ â³äíîñíî ³íøî¿,
óìîâíî ïðèéíÿòî¿ çà íåðóõîìó.

42
Ð Î Ç Ä ² Ë 1
Ïåðåòâîðåííÿ Ãàë³ëåÿ. Ðîçãëÿ-
íåìîðóõò³ëà,íàïðèêëàä,êàòåðàïî
ð³÷ö³, â³äíîñíî ð³çíèõ ñèñòåì â³äë³-
êó – íåðóõîìî¿ (K), ïîâ’ÿçàíîþ ³ç
çåìëåþ, ³ ðóõîìî¿ ( ′K ), ïîâ’ÿçàíîþ
ç òå÷³ºþ ð³÷êè (ìàë. 37).
Ââàæàºìî, ùî ð³÷êà íå çì³íþº
øâèäê³ñòü ñâîº¿ òå÷³¿, òîáòî øâèä-
ê³ñòü òå÷³¿ (ðóõîìî¿ ñèñòåìè â³äë³-
êó) υ
r
1
ïîñò³éíà.
Ñèñòåìè êîîðäèíàò âèáèðàþòü
òàê, ùîá îñ³ X òà ′X çá³ãàëèñÿ, à ó
ìîìåíò ÷àñó t0
= 0 çá³ãàëèñÿ ³ îñ³ Y
òà ′Y . Ââàæàºìî, ùî ãîäèííèêè â
îáîõ ñèñòåìàõ â³äë³êó éäóòü îäíà-
êîâî.
Çà ÷àñ t êàòåð çì³ñòèâñÿ â³äíîñ-
íî çåìë³ (íåðóõîìî¿ ñèñòåìè â³äë³êó) íà â³äñòàíü l, çà òîé ñàìèé ÷àñ òå÷³ÿ ð³÷êè
(ðóõîìà ñèñòåìà â³äë³êó) – íà l0
. Òîä³, çì³ùåííÿ ′l êàòåðà â³äíîñíî ðóõîìî¿ ñèñ-
òåìè â³äë³êó âèçíà÷àºòüñÿ çà ñï³ââ³äíîøåííÿì: = −′ 0l l l . Àáî = + ′0l l l .
Òàêèì ÷èíîì, ó áóäü-ÿêèé ìîìåíò ÷àñó êîîðäèíàòè ò³ëà (ó íàøîìó âèïàä-
êó êàòåðà) ó ñèñòåì³ K òà ′K ïîâ’ÿçàí³ ñï³ââ³äíîøåííÿìè: = ′y y , = + ′0x x x , äå
x0
– êîîðäèíàòà òî÷êè ′O â ñèñòåì³ êîîðäèíàò K ó ïåâíèé ìîìåíò ÷àñó t.
Îñê³ëüêè øâèäê³ñòü òå÷³¿ (ðóõîìî¿ ñèñòåìè êîîðäèíàò) υ
r
1
³ ïåðåì³ùåííÿ,
ÿêå âîíà çä³éñíþº çà ÷àñ t, âèçíà÷àºòüñÿ çà ôîðìóëîþ = υ0l t , òî ö³ ñï³ââ³äíî-
øåííÿ íàáóâàþòü âèãëÿäó: = υ + ′x t x ; = ′y y ; = ′t t .
Ñï³ââ³äíîøåííÿ = υ + ′x t x , = ′y y , = ′t t íàçèâàþòü
ïåðåòâîðåííÿìè Ãàë³ëåÿ.
Êîîðäèíàòè ò³ëà çàëåæàòü â³ä ñèñòåìè â³äë³êó,
òîáòî º âåëè÷èíàìè â³äíîñíèìè.
Ð³âí³ñòü = ′t t âèðàæàº àáñîëþòíèé õàðàêòåð
÷àñó, òîáòî ÷àñ º âåëè÷èíîþ ³íâàð³àíòíîþ (íå-
çì³ííîþ).
Çâåðí³òü óâàãó! Âêàæåìî íà äåÿêå ïðèïóùåííÿ, ÿêå ìè çàñòîñóâàëè ïðè
âèâåäåíí³ ñï³ââ³äíîøåíü Ãàë³ëåÿ. ßê â³äîìî, äî ñèñòåìè â³äë³êó, îêð³ì ñèñòå-
ìè êîîðäèíàò, âõîäèòü ïðèëàä äëÿ âèì³ðþâàííÿ ÷àñó – ãîäèííèê. Ìè ðîçãëÿ-
äàºìî äâ³ ñèñòåìè â³äë³êó. Îòæå, ïîâèíí³ âèêîðèñòîâóâàòè äâ³ ñèñòåìè êîîð-
äèíàò ³ äâà ãîäèííèêè. Ó íàøèõ ðîçðàõóíêàõ ìè êîðèñòóâàëèñü îäíèì ÷àñîì ³
âñ³ â³äñòàí³ âèì³ðþâàëè îäíèì ³ òèì ñàìèì ìàñøòàáîì. Òîáòî ìè ââàæàëè, ùî
ó íåðóõîì³é ³ ðóõîì³é ñèñòåìàõ â³äë³êó ãîäèííèêè â³äðàõîâóþòü îäèí ³ òîé ñà-
ìèé ÷àñ, à â³äñòàí³ âèì³ðþþòüñÿ ç îäíàêîâèì ìàñøòàáîì. Öå ïðèïóùåííÿ âè-
êîíóºòüñÿ ïðè ðîçãëÿä³ ðóõó ò³ë, øâèäêîñò³ ÿêèõ ìàë³ ïîð³âíÿíî ç³ øâèäê³ñòþ
ñâ³òëà (υ << c, äå ñ = 3 · 108
ì/ñ – øâèäê³ñòü ñâ³òëà). Ïðè ðóñ³ ò³ë ³ç øâèäêîñòÿ-
ìè, áëèçüêèìè äî øâèäêîñò³ ñâ³òëà, ïåðåòâîðåííÿ Ãàë³ëåÿ íàáóâàþòü ³íøîãî
Ìàë. 37. Ðóõ ò³ëà â³äíîñíî ðóõîìî¿
òà íåðóõîìî¿ ñèñòåì â³äë³êó

43
âèãëÿäó. Ïðî öå âè äåòàëüíî äîâ³äàºòåñÿ ïðè âèâ÷åíí³ ñïåö³àëüíî¿ òåîð³¿ â³ä-
íîñíîñò³ (ðîçä. 5).
Çàêîí äîäàâàííÿ øâèäêîñòåé. Ðîçãëÿíåìî òåïåð ðóõ ïëàâöÿ â³äíîñíî
ð³çíèõ ñèñòåì â³äë³êó (ìàë. 38).
Éîãî ïåðåì³ùåííÿ â³äíîñíî âîäè çà äå-
ÿêèé ÷àñ t ñòàíîâèòèìå 1s
r
. Öå íåðóõîìà
ñèñòåìà â³äë³êó, ïîâ’ÿçàíà ç áåðåãîì. Ïåðå-
ì³ùåííÿ âîäè â³äíîñíî áåðåãà (òå÷³ÿ) çà òîé
ñàìèé ÷àñ ñòàíîâèòü 2s
r
. Íà â³ääàëü 2s âîäà
ïåðåíåñëà ³ ïëàâöÿ. Öå ðóõîìà ñèñòåìà
â³äë³êó.Ðåçóëüòóþ÷åïåðåì³ùåííÿâ³äíîñíî
íåðóõîìî¿ ñèñòåìè â³äë³êó, ïîâ’ÿçàíå ç
Çåìëåþ, ñòàíîâèòèìå s
r
, àáî s
r
= 1s
r
+ 2s
r
.
Îòæå: ïåðåì³ùåííÿ
r
s ò³ëà â íåðóõîì³é ñèñòåì³
â³äë³êó äîð³âíþº âåêòîðí³é ñóì³ ïåðåì³ùåííÿ
r
s1
ò³ëà â ðóõîì³é ñèñòåì³ â³äë³êó ³ ïåðåì³ùåííÿ
r
s2
ðó-
õîìî¿ ñèñòåìè â³äë³êó â³äíîñíî íåðóõîìî¿.
Öå ïðàâèëî ïîâ’ÿçóº øâèäêîñò³ òîãî ñàìîãî ò³ëà ó äâîõ ñèñòåìàõ â³äë³êó. Ðîç-
ä³ëèâøè ñï³ââ³äíîøåííÿ 1 2s s s= +
r r r
íà ÷àñ ðóõó t ä³ñòàíåìî: 1 2υ = υ + υ
r r r
(ìàë. 39).
Öå îçíà÷àº, ùî øâèäê³ñòü ò³ëà υ
r
ó íåðóõîì³é ñèñ-
òåì³ â³äë³êó äîð³âíþº âåêòîðí³é ñóì³ øâèäêîñò³ υ
r
1
ò³ëà â ðóõîì³é ñèñòåì³ â³äë³êó ³ øâèäêîñò³ υ
r
2
ðóõî-
ìî¿ ñèñòåìè â³äë³êó â³äíîñíî íåðóõîìî¿ – êëàñè÷-
íèé çàêîí äîäàâàííÿ øâèäêîñòåé.
Òàêèì ÷èíîì, øâèäê³ñòü ðóõó ò³ëà òà-
êîæ º âåëè÷èíîþ â³äíîñíîþ, ùî çàëåæèòü
â³ä âèáîðó ñèñòåìè â³äë³êó.
Áóäü-ÿêèé ñêëàäíèé ðóõ ìîæíà ïîäàòè
ÿê ñóìó ïðîñòèõ íåçàëåæíèõ ðóõ³â. Ó öüîìó
ïîëÿãàº ñóòü ïðèíöèïó íåçàëåæíèõ ðóõ³â:
ÿêùî ò³ëî îäíî÷àñíî áåðå ó÷àñòü ó äåê³ëüêîõ ðóõàõ,
òî êîæåí ³ç ðóõ³â â³äáóâàºòüñÿ íåçàëåæíî â³ä ³íøèõ.
Ñàìå çàâäÿêè öüîìó ïðèíöèïó âåêòîðí³ âåëè÷èíè ìîæíà ðîçêëàäàòè íà
ñêëàäîâ³, íà ïðîåêö³¿ íà êîîðäèíàòí³ îñ³.
Ó ÷îìó ñóòü â³äíîñíîñò³ ðóõó?1.
Ùî îçíà÷àþòü ðóõîìà ³ íåðóõîìà ñèñòåìè â³äë³êó?2.
Ñôîðìóëþéòå çàêîí äîäàâàííÿ øâèäêîñòåé ³ íàâåä³òü ïðèêëàä çàñòîñó-3.
âàííÿ öüîãî ïðàâèëà.
Ìàë. 38. Ðóõ ïëàâöÿ
Ìàë. 39. Äîäàâàííÿ øâèäêîñòåé

44
Ð Î Ç Ä ² Ë 1
Приклади розв’язування задач
Çàäà÷à 1. Äâà ò³ëà ðóõàþòüñÿ ç³ øâèäêîñòÿìè υ1
³ υ2
â³äïîâ³äíî. Âèçíà÷èòè
øâèäê³ñòü ðóõó äðóãîãî ò³ëà â³äíîñíî ïåðøîãî ó âèïàäêó, êîëè ò³ëà ðóõàþòüñÿ
â îäíîìó íàïðÿì³ ³ íàçóñòð³÷ îäíå îäíîìó.
Â óìîâ³ çàäà÷³ âêàçàí³ øâèäêîñò³ ò³ë â³ä-
íîñíî Çåìë³ (íåðóõîìî¿ ñèñòåìè â³äë³êó K).
Ïðèéìåìî äðóãå ò³ëî çà ðóõîìó ñèñòåìó â³äë³-
êó ( ′K ), ùî ðóõàºòüñÿ â³äíîñíî Çåìë³ ç³ øâèä-
ê³ñòþ υ
r
2 (ìàë. 40).
Òîä³ êëàñè÷íèé çàêîí äîäàâàííÿ øâèä-
êîñòåé íàáóâàº âèãëÿäó: υ = υ + υ′
r r r
1 2 , äå υ1 –
øâèäê³ñòü ïåðøîãî ò³ëà â³äíîñíî Çåìë³, υ′ –
øâèäê³ñòü äðóãîãî ò³ëà â³äíîñíî ïåðøîãî.
ßêùî ò³ëà ðóõàþòüñÿ â îäíîìó íàïðÿì³, òî
ó ïðîåêö³ÿõ íà â³ñü Õ çàêîí çàïèñóºòüñÿ ó âè-
ãëÿä³ υ = υ + υ′1 2 . Çâ³äñè υ = υ − υ′ 1 2 .
Ó âèïàäêó, êîëè ò³ëà ðóõàþòüñÿ íàçóñòð³÷
îäíå îäíîìó, òî ïðîåêö³ÿ øâèäêîñò³ ðóõó äðóãî-
ãî ò³ëà áóäå â³ä’ºìíîþ: υ = −υ + υ′1 2 , çâ³äñè υ = υ − −υ = υ + υ′ 1 2 1 2( ) .
Â³äïîâ³äü: υ1
− υ2
; υ1
+ υ2
.
Çàäà÷à 2. Ïë³ò ïðîïëèâàº á³ëÿ ïóíêòó À ó òîé ìîìåíò, êîëè â³ä íüîãî â³ä-
ïðàâëÿºòüñÿ óíèç çà òå÷³ºþ ð³÷êè äî ïóíêòó Â ìîòîðíèé ÷îâåí. Â³äñòàíü ì³æ
ïóíêòàìè 15 êì ÷îâåí ïðîïëèâ çà 0,75 ãîä ³ ïîâåðíóâ íàçàä. Ïîâåðòàþ÷èñü ó
ïóíêò À ÷îâåí çóñòð³â ïë³ò íà â³äñòàí³ 9 êì â³ä ïóíêòó Â. Âèçíà÷èòè øâèäê³ñòü
òå÷³¿ u òà øâèäê³ñòü ÷îâíà â³äíîñíî âîäè υ.
Äàíî:
s1
= 15 êì;
s2
= 9 êì;
t = 0,75 ãîä
Ðîçâ’ÿçàííÿ ö³º¿ çàäà÷³ íàáàãàòî ñïðîùóºòüñÿ, ÿêùî ñèñ-
òåìó â³äë³êó ïîâ’ÿçàòè ç ïëîòîì. Ó òàê³é ñèñòåì³ ïë³ò òà ð³÷êà
íåðóõîì³. Öå îçíà÷àº, ùî â³äíîñíî ïëîòà ìîòîðíèé ÷îâåí ðó-
õàºòüñÿ äî ïóíêòó Â ³ ó çâîðîòíîìó íàïðÿì³ ç îäíàêîâîþ øâèä-
ê³ñòþ. ×àñ ðóõó ÷îâíà ó ïðÿìîìó òà çâîðîòíîìó íàïðÿìàõ 2t,
u – ?
υ – ?
â³äñòàíü, ÿêó â³í ïðè öüîìó ïðîõîäèòü, s = s1
+ s2
. Øâèäê³ñòü ÷îâíà â³äíîñíî âîäè:
υ = = .=
⋅
16
s
t
Çà öåé ÷àñ ïë³ò ïðîéøîâ â³äñòàíü s1
− s2
.
Òàêèì ÷èíîì, øâèäê³ñòü òå÷³¿
−
= = =
⋅ ⋅
1 2
6 êì êì
4
2 2 0,75 ãîä ãîä
s s
u
t
.
Â³äïîâ³äü: υ =
êì
16
ãîä
, =
êì
4
ãîä
u .

45
Вправа 4
1. Øâèäê³ñòü âåëîñèïåäèñòà – 36 êì/ãîä, à øâèäê³ñòü çóñòð³÷íîãî â³òðó
4 ì/ñ. ßêà øâèäê³ñòü â³òðó â ñèñòåì³ â³äë³êó, ïîâ’ÿçàí³é ç âåëîñèïåäèñòîì?
2. Åñêàëàòîð ìåòðî ðóõàºòüñÿ ç³ øâèäê³ñòþ 0,8 ì/ñ. Çà ÿêèé ÷àñ ïàñàæèð
ïåðåì³ñòèòüñÿ íà 40 ì â³äíîñíî çåìë³, êîëè â³í ñàì ³äå ó íàïðÿì³ ðóõó ç³ øâèä-
ê³ñòþ 0,2 ì/ñ ó ñèñòåì³ â³äë³êó, ïîâ’ÿçàíèé ç åñêàëàòîðîì?
3. Øâèäê³ñòü ðóõó ÷îâíà â³äíîñíî âîäè â n ðàç³â á³ëüøà, í³æ øâèäê³ñòü òå-
÷³¿ ð³÷êè. Ó ñê³ëüêè ðàç³â äîâøå ÷îâåí ïëèâå ì³æ äâîìà ïóíêòàìè ïðîòè òå÷³¿,
í³æ çà òå÷³ºþ? Ðîçâ’ÿçàòè çàäà÷ó äëÿ çíà÷åíü n = 2 ³ n = 11.
4. Ìîòîðíèé ÷îâåí, ùî ìàº â ñèñòåì³ â³äë³êó, ïîâ’ÿçàí³é ç âîäîþ, øâèä-
ê³ñòü 6 ì/ñ, ìàº ïåðåïðàâèòèñü ÷åðåç ð³÷êó íàéêîðîòøèì øëÿõîì. ßêèé êóðñ
â³äíîñíî áåðåãà òðåáà òðèìàòè ï³ä ÷àñ ïåðåïðàâè, ÿêùî øâèäê³ñòü òå÷³¿ ð³÷êè
ñòàíîâèòü 2 ì/ñ.
5. Ïàñàæèð ïîòÿãà, ùî ðóõàºòüñÿ ç³ øâèäê³ñòþ 36 êì/ãîä, áà÷èòü ïðîòÿãîì
60 ñ ñóñ³äí³é ïî¿çä çàâäîâæêè 600 ì, ÿêèé ³äå ïàðàëåëüíî ïåðøîìó â îäíîìó
íàïðÿì³. Âèçíà÷èòè: à) ç ÿêîþ øâèäê³ñòþ éäå äðóãèé ïî¿çä ³ ñê³ëüêè ÷àñó ïà-
ñàæèð äðóãîãî ïîòÿãà áà÷èòü ïåðøèé çàâäîâæêè 900 ì; á) ÷àñ, ïðîòÿãîì ÿêîãî
ïàñàæèðè êîæíîãî ç ïî¿çä³â áà÷àòü ïðîõîäæåííÿ ñóñ³äíüîãî ïîòÿãà, çà óìîâè
êîëè âîíè ðóõàþòüñÿ íàçóñòð³÷ îäèí îäíîìó.
6. Ì³æ äâîìà ïóíêòàìè, ðîçòàøîâàíèìè íà ð³÷ö³ íà â³äñòàí³ 100 êì îäèí
â³ä îäíîãî, êóðñóº êàòåð. Êàòåð ïðîõîäèòü öþ â³äñòàíü çà òå÷³ºþ çà 4 ãîä, à ïðî-
òè òå÷³¿ – çà 10 ãîä. Âèçíà÷èòè øâèäê³ñòü òå÷³¿ ð³÷êè ³ øâèäê³ñòü êàòåðà â³ä-
íîñíî âîäè.
7. Ðèáàëêà ïëèâå ÷îâíîì óãîðó ïî ð³÷ö³. Ïðîïëèâàþ÷è ï³ä ìîñòîì, â³í
óïóñòèâ ðÿò³âíèé êðóã. ×åðåç ãîäèíó ðèáàëêà ïîì³òèâ âòðàòó ³, ïîâåðíóâøè
íàçàä, äîãíàâ êðóã çà 6 êì íèæ÷å â³ä ìîñòà. ßêà øâèäê³ñòü òå÷³¿ ð³÷êè, ÿêùî
ðèáàëêà, ðóõàþ÷èñü óãîðó ³ âíèç ïî ð³÷ö³, ãð³á îäíàêîâî?
8. Âàãîí çàâøèðøêè 2,4 ì, ùî ðóõàâñÿ ç³ øâèäê³ñòþ 15 ì/ñ, ïðîáèëà êóëÿ,
ÿêà ëåò³ëà ïåðïåíäèêóëÿðíî äî ðóõó âàãîíà. Çì³ùåííÿ îòâîð³â ó ñò³íêàõ âàãî-
íà îäèí â³äíîñíî ³íøîãî äîð³âíþº 6 ñì. ßêà øâèäê³ñòü êóë³?
9. Â³äíîñíî ñèñòåìè ′K ð³âíÿííÿ ðóõó ìàòåð³àëüíî¿ òî÷êè ìàº âèãëÿä:
= +′ 4 5x t ; =′ 0y ; =′ 0z . ßêèé âèãëÿä ìàº ð³âíÿííÿ ðóõó ìàòåð³àëüíî¿ òî÷êè
â³äíîñíî ñèñòåìè K, ÿêùî: à) ñèñòåìà ′K íåðóõîìà â³äíîñíî ñèñòåìè K, à ¿¿ ïî-
÷àòîê ìàº êîîðäèíàòè (3; 0; 0); á) ñèñòåìà ′K ðóõàºòüñÿ â³äíîñíî ñèñòåìè K ð³â-
íîì³ðíî ³ ïðÿìîë³í³éíî âçäîâæ îñ³ Õ ç³ øâèäê³ñòþ 5 ì/ñ ³ ó ïî÷àòêîâèé ìîìåíò
ðóõó ïî÷àòêè êîîðäèíàò òà îñ³ ñèñòåì ′K ³ K çá³ãàëè-
ñÿ; â) ñèñòåìà ′K ðóõàºòüñÿ â³äíîñíî ñèñòåìè K ð³â-
íîì³ðíî ³ ïðÿìîë³í³éíî âçäîâæ â³ñ³ Y ç³ øâèäê³ñòþ
3 ì/ñ ³ ó ïî÷àòêîâèé ìîìåíò ðóõó ïî÷àòêè êîîðäè-
íàò òà â³ñ³ ñèñòåì ′K ³ K çá³ãàëèñÿ.
10. Äâà ñòåðæí³ ïåðåòèíàþòüñÿ ï³ä êóòîì 2α ³
ðóõàþòüñÿ ç îäíàêîâèìè øâèäêîñòÿìè υ ïåðïåí-
äèêóëÿðíî ñàìèì ñîá³ (ìàë. 41). ßêîþ º øâèäê³ñòü
ðóõó òî÷êè ïåðåòèíó ñòåðæí³â?

46
Ð Î Ç Ä ² Ë 1
§ 9 Рівномірний та нерівномірний рух
Ð³âíîì³ðíèé òà íåð³âíîì³ðíèé ðóõè.
Ñåðåäíÿ òà ìèòòºâà øâèäê³ñòü.
Ô³çè÷íèé çì³ñò ïîõ³äíî¿.
Ð³âíîì³ðíèé òà íåð³âíîì³ðíèé ðóõè. Ïðè ð³âíîì³ðíîìó ðóñ³ ò³ëî (ìàòåð³-
àëüíà òî÷êà) çà áóäü-ÿê³ ð³âí³ ³íòåðâàëè ÷àñó çä³éñíþº îäíàêîâ³ ïåðåì³ùåííÿ.
Ð³âíîì³ðíèì,ÿêìèç’ÿñóâàëè,ìîæåáóòèïðÿìîë³í³éíèéðóõ,³,ÿêç’ÿñóºìî
çãîäîì, – ð³âíîì³ðíèé ðóõ ïî êîëó.
Ð³âíîì³ðíèé ðóõ òðàïëÿºòüñÿ â ïðèðîä³ äóæå ð³äêî. Ð³âíîì³ðíî ðóõàþòü-
ñÿ ê³íåöü ñòð³ëêè ãîäèííèêà, ìîëåêóëà ãàçó â³ä îäíîãî ñï³âóäàðó äî ³íøîãî. Ó
ðåàëüíîìó æèòò³ íàé÷àñò³øå ìè ìàºìî ñïðàâó ç íåð³âíîì³ðíèì ðóõîì, êîëè
ò³ëî çà ð³âí³ ³íòåðâàëè ÷àñó çä³éñíþº ð³çí³ ïåðåì³ùåííÿ.
Ñåðåäíÿ òà ìèòòºâà øâèäê³ñòü. Äëÿ îïèñó íåð³âíîì³ðíîãî ðóõó êîðèñòó-
þòüñÿ ïîíÿòòÿìè ñåðåäíüî¿ òà ìèòòºâî¿ øâèäêîñò³. Ïðè÷îìó ñåðåäíÿ øâèä-
ê³ñòü íåð³âíîì³ðíîãî ðóõó ìàº ïîäâ³éíå òëóìà÷åííÿ: ÿê ñåðåäíÿ øâèäê³ñòü ïå-
ðåì³ùåííÿ ³ ÿê ñåðåäíÿ øâèäê³ñòü ïðîõîäæåííÿ øëÿõó.
1) ñåðåäíÿ øâèäê³ñòü ïåðåì³ùåííÿ – âåêòîðíà âåëè÷èíà, ùî âèçíà÷àºòü-
ñÿ â³äíîøåííÿì ïåðåì³ùåííÿ äî ³íòåðâàëó ÷àñó, ïðîòÿãîì ÿêîãî â³äáóëîñÿ öå
ïåðåì³ùåííÿ:
+ +
υ = =
+ +
r r rr
r K
K
1 2
1 2
,n
c
n
s s ss
t t t t
äå
r
1,s
r
2,s … – ïåðåì³ùåííÿ ò³ëà çà â³äïîâ³äí³ ³íòåðâàëè ÷àñó t1
, t2
… .
2) ñåðåäíÿ øâèäê³ñòü ïðîõîäæåííÿ øëÿõó – ñêàëÿðíà âåëè÷èíà, ùî âè-
çíà÷àºòüñÿ â³äíîøåííÿì ïðîéäåíîãî øëÿõó äî ³íòåðâàëó ÷àñó ðóõó ò³ëà:
+ +
υ = =
+ +
r K
K
1 2
1 2
,n
c
n
l l ll
t t t t
äå l1
, l2
… – ä³ëÿíêè øëÿõó, ïðîéäåí³ çà â³äïîâ³äí³ ³íòåðâàëè ÷àñó t1
, t2
.
Çíà÷åííÿ öèõ øâèäêîñòåé ìîæå íå çá³ãàòèñÿ. Íàïðèêëàä, ÿêùî òðàºêòî-
ð³ÿ ðóõó êðèâîë³í³éíà. Ïðîéäåíèé øëÿõ çàâæäè á³ëüøèé çà ïåðåì³ùåííÿ.
Ùî âèçíà÷àº ñåðåäíÿ øâèäê³ñòü ïðÿìîë³í³éíîãî íåð³âíîì³ðíîãî ðóõó?
Íàïðèêëàä, ðóõàþ÷èñü ïðÿìîë³í³éíî, àâòîìîá³ëü çà 1 ãîä ïðî¿õàâ 60 êì. Îòæå,
ñåðåäíÿ øâèäê³ñòü éîãî ðóõó – 60 êì/ãîä. Àëå àâòîìîá³ëü ïðîòÿãîì ö³º¿ ãîäèíè
ì³ã ãàëüìóâàòè ïåðåä ñâ³òëîôîðàìè, çóïèíÿòèñü ³ çíîâó íàáèðàòè øâèäê³ñòü.
Òîìó ìè íå ìîæåìî çíàòè, ÿêîþ áóëà éîãî øâèäê³ñòü, íàïðèêëàä, ÷åðåç 10 õâ
â³ä ïî÷àòêó ðóõó, ³ ÿêå ïåðåì³ùåííÿ çä³éñíèâ àâòîìîá³ëü çà ö³ 10 õâ.

47
Òàêèì ÷èíîì, ñåðåäíÿ øâèäê³ñòü õàðàêòåðèçóº
ðóõ ò³ëà íà ïåâí³é ä³ëÿíö³ òðàºêòîð³¿ çà âåñü ÷àñ
ðóõó, àëå íå äàº ³íôîðìàö³¿ ïðî ðóõ ò³ëà ó ïåâí³é
òî÷ö³ òðàºêòîð³¿ (ó ïåâíèé ìîìåíò ÷àñó).
Îñîáëèâ³ñòþ ìåõàí³÷íîãî ðóõó º éîãî íåïåðåðâí³ñòü: í³ êîîðäèíàòè ò³ëà, í³
éîãî øâèäê³ñòü íå ìîæóòü çì³íþâàòèñü ñòðèáêàìè. Òîìó äëÿ õàðàêòåðèñòèêè íå-
ð³âíîì³ðíîãî ðóõó çàñòîñîâóþòü ïîíÿòòÿ ìèòòºâî¿ øâèäêîñò³.
Ùîá âèçíà÷èòè ìèòòºâó øâèäê³ñòü òðåáà çìåíøóâàòè ³íòåðâàë ÷àñó, çà ÿêèé
çä³éñíþºòüñÿ ïåðåì³ùåííÿ. ×èì ìåíøèì áóäå öåé ³íòåðâàë, òèì ìåíøå ïåðåì³-
ùåííÿçä³éñíþâàòèìåò³ëî(ìàë.45).
Êîëè øâèäê³ñòü âèçíà÷àòèìåòüñÿ
çà äîñèòü êîðîòêèé ³íòåðâàë ÷àñó
∆t → 0 ³ ïåðåì³ùåííÿ áóäå ìàëèì
(íàáëèæàºòüñÿ äî òî÷êè
r
s → 0),
òî äð³á
r
s/∆t ïðÿìóº äî äåÿêîãî ãðà-
íè÷íîãî çíà÷åííÿ, òîáòî øâèäê³ñòü
ïðàêòè÷íî íå çì³íþâàòèìåòüñÿ í³
çà çíà÷åííÿì, í³ çà íàïðÿìîì.
Ãðàíè÷íå çíà÷åííÿ (ìåæà, ãðàíèöÿ), äî ÿêîãî ïðÿ-
ìóº äð³á ∆
r
s / ∆ t ïðè ∆t → 0 íàçèâàþòü ìèòòºâîþ
øâèäê³ñòþ ó ïåâí³é òî÷ö³ àáî ó ïåâíèé ìîìåíò ÷àñó.
Ìàòåìàòè÷íî öå çàïèñóºòüñÿ òàê:
0
lim( / )
t
s t
∆ →
υ = ∆ ∆
rv
.
Âèðàç lim îçíà÷àº «ãðàíèöÿ», à âèðàç ∆t→0, çîáðàæåíèé ï³ä íèì, ïîêàçóº,
çà ÿêî¿ óìîâè öÿ ãðàíèöÿ îòðèìàíà.
Ìèòòºâà øâèäê³ñòü çá³ãàºòüñÿ ç íàïðÿìîì òîãî ìàëîãî ïåðåì³ùåííÿ, ÿêå
çä³éñíþº ò³ëî çà äîñèòü êîðîòêèé ³íòåðâàë ÷àñó.
Ñàìå ìèòòºâó øâèäê³ñòü ô³êñóº ñï³äîìåòð àâòîìîá³ëÿ.
Íàäàë³, ãîâîðÿ÷è ïðî øâèäê³ñòü íåð³âíîì³ðíîãî ðóõó, ìè ìàòèìåìî íà
óâàç³ ñàìå ìèòòºâó øâèäê³ñòü.
Ïðî ìèòòºâó øâèäê³ñòü ìîæíà ãîâîðèòè é ó âèïàäêó ð³âíîì³ðíîãî ðóõó.
Ìèòòºâà øâèäê³ñòü ð³âíîì³ðíîãî ðóõó â áóäü-ÿê³é òî÷ö³ ³ ó áóäü-ÿêèé ÷àñ º îä-
íàêîâîþ.
Ìèòòºâà øâèäê³ñòü íåð³âíîì³ðíîãî ðóõó â ð³çíèõ òî÷êàõ òðàºêòîð³¿ ³ ó ð³ç-
í³ ìîìåíòè ÷àñó – ð³çíà.
Ô³çè÷íèé çì³ñò ïîõ³äíî¿. Ìèòòºâà øâèäê³ñòü âèçíà÷àº ìåõàí³÷íèé (ô³çè÷-
íèé) çì³ñò ïîõ³äíî¿.
Âèõîäÿ÷è ç îçíà÷åííÿ ìèòòºâî¿ øâèäêîñò³ â³äíîøåííÿ ∆
r
s / ∆ t íàçèâàþòü
ïîõ³äíîþ âåêòîðà ïåðåì³ùåííÿ
r
s â³ä ÷àñó t.
Ô³çè÷íèé (ìåõàí³÷íèé) çì³ñò ïîõ³äíî¿: âåëè-
÷èíà ìèòòºâî¿ øâèäêîñò³ ó ìîìåíò ÷àñó t0
äîð³âíþº
çíà÷åííþ ïîõ³äíî¿ â³ä ïåðåì³ùåííÿ ′s ó òî÷ö³ t0
:
0
lim( / )
t
s t s
∆ →
′υ = ∆ ∆ = .
r r r
Òðàºêòîð³ÿ
Ìàë. 42. Äî âèçíà÷åííÿ ìèòòºâî¿ øâèäêîñò³

48
Ð Î Ç Ä ² Ë 1
Îñê³ëüêè ïåðåì³ùåííÿ òî÷êè ó ïðîñòîð³ ìîæíà ðîçãëÿäàòè ÿê îäíî÷àñíó
çì³íó âñ³õ ¿¿ êîîðäèíàò, òî ìîæíà âèçíà÷èòè ìèòòºâó øâèäê³ñòü òî÷êè ó íà-
ïðÿì³ â³äïîâ³äíî¿ îñ³:
∆ →
∆
′υ = =
∆0
limx
t
x
x
t
;
∆ →
∆
′υ = =
∆0
limy
t
y
y
t
;
∆ →
∆
′υ = =
∆0
limz
t
z
z
t
.
Íèæ÷å ïîäàíî òàáëè÷í³ çíà÷åííÿ ïîõ³äíèõ äåÿêèõ ôóíêö³é, ÿê³ ìè âèêî-
ðèñòîâóâàòèìåìî ï³ä ÷àñ âèâ÷åííÿ ìåõàí³êè:
′ =( ) 1t ;
−
′ = 1
( )n n
t nt ;
′α = α(sin ) cos ;
′α = − α(cos ) sin .
′ = 0ñ – ïîõ³äíà â³ä ñòàëî¿ âåëè÷èíè äîð³âíþº íóëþ.
Íàâåäåìî ïðèêëàäè âèçíà÷åííÿ ïîõ³äíî¿:
à) = + +2
2x t t ; ′ ′= + + = +2
( 2) 2 1x t t t ;
á) = 2
3y x ; ′ ′= = ⋅ =2
(3 ) 3 2 6y x x x ;
â)
π
= α +2sin
4
x ;
π
′ ′= α + = α(2sin ) 2cos
4
x ;
ã)
π
= α +2sin( )
4
x ;
π π
′ ′= α + = α +(2sin( )) 2cos( )
4 2
x ;
ä) = π10cos2x t – öå âèïàäîê ñêëàäåíî¿ ôóíêö³¿. Ó öüîìó âèïàäêó ñïåðøó
âèçíà÷àþòü ïîõ³äíó ′π = − π(10cos2 ) 10sin2t t , à ïîò³ì ïîõ³äíó ′π = π(2 ) 2t , à ðå-
çóëüòàò çàïèñóþòü: ′ = − ⋅ π π = − π π10 2 sin2 20 sin2x t t .
Íàâ³ùî ââîäÿòü ïîíÿòòÿ ñåðåäíüî¿ òà ìèòòºâî¿ øâèäêîñò³? Êîëè çàñòî-1.
ñîâóþòü êîæíå ç íèõ äëÿ îïèñó ðóõó?
×èì â³äð³çíÿºòüñÿ ñåðåäíÿ øâèäê³ñòü ïåðåì³ùåííÿ â³ä ñåðåäíüî¿ øâèä-2.
êîñò³ ïðîõîäæåííÿ øëÿõó?
Ùî îçíà÷àº âèðàç3.
0
lim
t
s
t∆ →
∆
∆
r
? Ó ÷îìó ïîëÿãàº ô³çè÷íèé çì³ñò ïîõ³äíî¿?
Çàäà÷à. Âåëîñèïåäèñò ïåðøó ïîëîâèíó ÷àñó ï³ä ÷àñ ïåðå¿çäó ç îäíîãî ïóíê-
òó â ³íøèé ¿õàâ ç³ øâèäê³ñòþ 12 êì/ãîä, à äðóãó ïîëîâèíó ÷àñó (÷åðåç ïðîêîë
øèíè) éøîâ ï³øêè ç³ øâèäê³ñòþ 4 êì/ãîä. ßêà ñåðåäíÿ øâèäê³ñòü ðóõó âåëî-
ñèïåäèñòà?

49
Äàíî:
υ =1
êì
12
ãîä
;
υ =2
êì
4
ãîä
;
= =1 2
2
t
t t
Ðîçãëÿäàòèìåìî ðóõ âåëîñèïåäèñòà â³äíîñíî äîðîãè (ìàë. 43).
υ −?c
Ðóõ âåëîñèïåäèñòà â ö³ëîìó íåð³âíîì³ðíèé, àëå íà ïåðø³é ³ äðóã³é ÷àñòè-
íàõ øëÿõó â³í ðóõàâñÿ ð³âíîì³ðíî ç â³äïîâ³äíèìè øâèäêîñòÿìè.
Òîä³ ìîäóë³ ïåðåì³ùåííÿ = υ1 1 1s t ³ = υ2 2 2s t .
Ñåðåäíÿ øâèäê³ñòü ðóõó
+
υ =
+
1 2
1 2
c
s s
t t
. Ï³äñòàâëÿþ÷è â³äïîâ³äí³ âèðàçè äëÿ ïå-
ðåì³ùåííÿ ³ âðàõîâóþ÷è, ùî çà óìîâîþ = =1 2
2
t
t t , îòðèìóºìî:
( )υ + υ
υ + υ υ + υ
υ = = =
+
1 2
1 1 2 2 1 2
1 2
2
2
c
t
t t
t t t
.
Îá÷èñëåííÿ:
+
υ = =
êì êì
12 4
êìãîä ãîä
8
2 ãîä
c .
Â³äïîâ³äü: υc
= 8 êì/ãîä.
Ïðîàíàë³çóºìî â³äïîâ³äü. Ñåðåäíÿ øâèäê³ñòü ðóõó âèçíà÷àºòüñÿ ÿê ñåðåäíº
àðèôìåòè÷íå ¿¿ çíà÷åíü. Àëå ïîä³áíèì ÷èíîì âîíà âèçíà÷àºòüñÿ ëèøå ó âèïàä-
êó, êîëè ³íòåðâàëè ÷àñó îäíàêîâ³. Ìîæåòå ïåðåêîíàòèñü ó öüîìó, ðîçâ’ÿçàâøè
ïåðøó çàäà÷ó âïðàâè 5.
Вправа 5
1. Ïåðøó ïîëîâèíó øëÿõó âåëîñèïåäèñò ðóõàâñÿ ç³ øâèäê³ñòþ 12 êì/ãîä,
à äðóãó ïîëîâèíó – (÷åðåç ïðîêîë øèíè) éøîâ ï³øêè ç³ øâèäê³ñòþ 4 êì/ãîä.
ßêîþ áóäå ñåðåäíÿ øâèäê³ñòü ðóõó âåëîñèïåäèñòà ó öüîìó âèïàäêó?
2. Âåëîñèïåäèñò çà ïåðø³ 5 ñ ïðî¿õàâ 40 ì, çà íàñòóïí³ 10 ñ – 100 ì, à çà
îñòàíí³ 5 ñ – 20 ì. Âèçíà÷èòè ñåðåäí³ øâèäêîñò³ íà êîæí³é ç ä³ëÿíîê ³ íà âñüî-
ìó øëÿõó.
3. Àâòîìîá³ëü ïðîõîäèòü ïåðøó òðåòèíó øëÿõó ç³ øâèäê³ñòþ υ1
, à òó ÷àñ-
òèíó øëÿõó, ùî çàëèøèëàñÿ, ç³ øâèäê³ñòþ υ2
= 50 êì/ãîä. Âèçíà÷èòè øâèä-
ê³ñòü ðóõó àâòîìîá³ëÿ íà ïåðø³é ä³ëÿíö³ øëÿõó, ÿêùî ñåðåäíÿ øâèäê³ñòü ðóõó
υñ
= 37,5 êì/ãîä.
Ìàë. 43. Äî çàäà÷³

50
Ð Î Ç Ä ² Ë 1
4. Àâòîìîá³ëü ïðî¿õàâ â³äñòàíü â³ä À äî Â ç³ øâèäê³ñòþ 60 êì/ãîä, à íàçàä
ïîâåðòàâñÿ ç³ øâèäê³ñòþ 20 êì/ãîä. ßêà ñåðåäíÿ øâèäê³ñòü ðóõó àâòîìîá³ëÿ?
5. Âåëîñèïåäèñò ¿õàâ ç îäíîãî ì³ñòà äî ³íøîãî. Îäíó ÷àñòèíó øëÿõó â³í
ïðî¿õàâ ç³ øâèäê³ñòþ 12 êì/ãîä, ³íøó – ç³ øâèäê³ñòþ 6 êì/ãîä. Ïîò³ì (äî ê³í-
öÿ øëÿõó) éøîâ ï³øêè ç³ øâèäê³ñòþ 4 êì/ãîä. Âèçíà÷èòè ñåðåäíþ øâèäê³ñòü
ðóõó âåëîñèïåäèñòà íà âñüîìó øëÿõó.
6. Ïîòÿã ïåðøó ïîëîâèíó øëÿõó ðóõàâñÿ ç³ øâèäê³ñòþ â n = 1,5 ðàçà á³ëü-
øîþ, í³æ ï³ä ÷àñ äîëàííÿ äðóãî¿ ïîëîâèíè øëÿõó. Ñåðåäíÿ øâèäê³ñòü ïî¿çäà
íà âñüîìó øëÿõó ñòàíîâèëà 43,5 êì/ãîä. ßê³ øâèäêîñò³ ðóõó ïîòÿãà íà ïåðø³é
³ äðóã³é ïîëîâèíàõ øëÿõó?
7. Ðóõ ìàòåð³àëüíî¿ òî÷êè çàäàíî ð³âíÿííÿì x = at + bt2
+ ct3
, äå a = 5 ì/ñ,
b = 0,2 ì/ñ2
, ñ = 0,1 ì/ñ3
. Âèçíà÷èòè øâèäê³ñòü òî÷êè ó ìîìåíòè ÷àñó t1
= 2 c òà
t2
= 4 c, à òàêîæ ñåðåäíþ øâèäê³ñòü ïðîòÿãîì ³íòåðâàëó ÷àñó â³ä t1
äî t2
. Ïðè ðîç-
â’ÿçóâàíí³ çàäà÷³ ñêîðèñòàòèñü ïîíÿòòÿì ïîõ³äíî¿.
§ 10 Прямолінійний рівноприскорений рух
Ïðèñêîðåííÿ.
Ð³âíîïðèñêîðåíèé ïðÿìîë³í³éíèé ðóõ.
Øâèäê³ñòü ³ ïåðåì³ùåííÿ ð³âíîïðèñêîðåíîãî ðóõó.
Ïðèñêîðåííÿ. Ïðè íåð³âíîì³ðíîìó ðóñ³ øâèäê³ñòü (ïàì’ÿòàéòå, ùî ìè
ìàºìî íà óâàç³ ìèòòºâó øâèäê³ñòü, àëå ñëîâî «ìèòòºâà» äëÿ ñïðîùåííÿ íå
âæèâàòèìåìî) ó ð³çíèõ òî÷êàõ òðàºêòîð³¿ ³ ó ð³çí³ ìîìåíòè ÷àñó – ð³çíà. Òîáòî
øâèäê³ñòü ïîñò³éíî çì³íþºòüñÿ â³ä òî÷êè äî òî÷êè, â³ä îäíîãî ìîìåíòó ÷àñó äî
íàñòóïíîãî.
Ï³ä ÷àñ ðóõó øâèäê³ñòü ìîæå çì³íþâàòèñÿ ïî-ð³çíîìó – äóæå ñòð³ìêî (ðóõ
êóë³ â ðóøíèö³, ñòàðò ðàêåòè, ðîçá³ã ë³òàêà) ³ ïîð³âíÿíî ïîâ³ëüíî (ïî÷àòîê ðóõó
ïîòÿãà, ãàëüìóâàííÿ àâòîìîá³ëÿ). Î÷åâèäíî, äëÿ õàðàêòåðèñòèêè ñòð³ìêîñò³
çì³íè øâèäêîñò³ ìàº ³ñíóâàòè ïåâíà ô³çè÷íà âåëè÷èíà. Ó ô³çèö³ öþ âåëè÷èíó
íàçèâàþòü ïðèñêîðåííÿì.
Ïðèñêîðåííÿ (
r
a) – âåêòîðíà âåëè÷èíà, ùî âèçíà-
÷àºòüñÿ â³äíîøåííÿì çì³íè øâèäêîñò³ ò³ëà äî ³íòåð-
âàëó ÷àñó, ïðîòÿãîì ÿêîãî â³äáóëàñÿ òàêà çì³íà:
υ− υ ∆υ= =
∆ ∆
r r r
r 0
a ,
t t
äå υ
r
0
– ïî÷àòêîâà øâèäê³ñòü ò³ëà, υ
r
– éîãî ê³íöåâà
øâèäê³ñòü, ∆t – ³íòåðâàë ÷àñó, ïðîòÿãîì ÿêîãî â³ä-
áóëàñÿ çì³íà øâèäêîñò³.

51
Îäèíèöÿ ïðèñêîðåííÿ – ìåòð çà ñåêóíäó â êâàäðàò³, [a] = 1 ì/ñ2
.
Îñê³ëüêè ïðèñêîðåííÿ õàðàêòåðèçóº ñòð³ìê³ñòü çì³íè øâèäêîñò³ ò³ëà ï³ä
÷àñ éîãî íåð³âíîì³ðíîãî ðóõó, à ñàìà øâèäê³ñòü õàðàêòåðèçóº ñòð³ìê³ñòü çì³íè
ïîëîæåííÿ (êîîðäèíàòè) ò³ëà, òî ö³ âåëè÷èíè ïåâíèì ÷èíîì ïîâ’ÿçàí³ îäíà ç
îäíîþ.
Âèðàç
∆υ
∆
r
t õàðàêòåðèçóº ñåðåäíþ çà ÷àñ ∆t ñòð³ìê³ñòü çì³íè øâèäêîñò³
ðóõó ìàòåð³àëüíî¿ òî÷êè. Öå íàçèâàþòü ñåðåäí³ì ïðèñêîðåííÿì.
ßêùî çìåíøóâàòè ³íòåðâàë ÷àñó, çà ÿêèé çì³íþºòüñÿ øâèäê³ñòü, òî, ÷èì
ìåíøèì áóäå öåé ³íòåðâàë ∆ → 0t , òèì ìåíøîþ áóäå çì³íà øâèäêîñò³ ∆υ →
r
0 ,
à äð³á
∆υ
∆
r
t
ïðÿìóº äî äåÿêîãî ãðàíè÷íîãî çíà÷åííÿ. Öþ ãðàíèöþ íàçèâàþòü
ìèòòºâèì ïðèñêîðåííÿì òî÷êè ó ïåâíèé ìîìåíò ÷àñó:
∆ →
∆υ
′= = υ
∆
r
rv
0
lim
t
a
t
.
Ðóõ ò³ëà, ïðè ÿêîìó çà áóäü-ÿê³ îäíàêîâ³ ³íòåðâà-
ëè ÷àñó øâèäê³ñòü ðóõó ò³ëà çì³íþºòüñÿ îäíàêîâî,
òîáòî ïðèñêîðåííÿ ï³ä ÷àñ ðóõó ò³ëà çàëèøàºòüñÿ
âåñü ÷àñ ñòàëèì çà íàïðÿìîì ³ ÷èñëîâèì çíà÷åí-
íÿì:
r
a = const, íàçèâàºòüñÿ ð³âíîïðèñêîðåíèì.
Ð³âíîïðèñêîðåíèé ïðÿìîë³í³éíèé ðóõ. Ð³âíîïðèñêîðåíèé ïðÿìîë³í³é-
íèé ðóõ ìîæå áóòè âëàñíå ïðèñêîðåíèì, ÿêùî øâèäê³ñòü ò³ëà ç ÷àñîì çðîñòàº
(ìàë. 44) ³ âåêòîðè υ υ
r r r
0, ,a íàïðàâëåí³ â îäèí á³ê, ³ ñïîâ³ëüíåíèì, ÿêùî øâèä-
ê³ñòü ñïàäàº (ìàë. 45) ³ âåêòîð
r
a íàïðàâëåíèé ïðîòèëåæíî äî âåêòîð³â υ υ
r r
0, .
Çâåðí³òü óâàãó! Ó ïîñ³áíèêàõ ç ô³çèêè ³ â çàäà÷àõ âæèâàþòü ò³ëüêè òåðì³í
«ð³âíîïðèñêîðåíèé ðóõ», çâàæàþ÷è íà òå, ùî ð³âíîñïîâ³ëüíåíèé ðóõ â³äð³çíÿ-
ºòüñÿ çíàêîì ïðîåêö³¿ âåêòîðà ïðèñêîðåííÿ.
Çíà÷åííÿ ïðèñêîðåííÿ ðóõó âèçíà÷àºòüñÿ, âèõîäÿ÷è ç âåêòîðíèõ âëàñòè-
âîñòåé ö³º¿ ô³çè÷íî¿ âåëè÷èíè. Çîêðåìà, ó ïðîåêö³ÿõ íà â³ñü Õ ìàòèìåìî âèðàç
äëÿ ïðèñêîðåííÿ:
υ − υ
= 0x x
xa
t
.
Ìàë. 44. Ïðèñêîðåíèé ðóõ Ìàë. 45. Ñïîâ³ëüíåíèé ðóõ

52
Ð Î Ç Ä ² Ë 1
Ó âèïàäêó ïðèñêîðåíîãî ðóõó ax
> 0, îñê³ëüêè øâèäê³ñòü ðóõó çá³ëüøóºòü-
ñÿ, îòæå, υx
− υ0x
> 0 ³ âåêòîð ïðèñêîðåííÿ çá³ãàºòüñÿ ç íàïðÿìîì ðóõó.
ßêùî ðóõ ñïîâ³ëüíåíèé ³ øâèäê³ñòü ç ÷àñîì çìåíøóºòüñÿ (υx
− υ0x
< 0, ax
< 0),
òî é âåêòîð ïðèñêîðåííÿ íàïðàâëåíèé ïðîòèëåæíî äî íàïðÿìó ðóõó.
Ïðîòå ñë³ä ïàì’ÿòà-
òè, ùî çíàê ïðîåêö³¿ ïðè-
ñêîðåííÿùåçàëåæèòüâ³ä
âèáîðó ñèñòåìè â³äë³êó.
Ó öüîìó ëåãêî ïåðåêî-
íàòèñü, ÿêùî ðîçãëÿíóòè
âèïàäîê, êîëè îáèäâà ò³ëà
ðóõàþòüñÿ, íàïðèêëàä,
ð³âíîïðèñêîðåíî, àëå ó
ïðîòèëåæíèõ íàïðÿìàõ
(ìàë. 46).
Øâèäê³ñòü ³ ïåðåì³ùåííÿ ð³âíîïðèñêîðåíîãî ðóõó. ²ç ôîðìóë äëÿ ïðèñêî-
ðåííÿ ëåãêî îòðèìàòè ê³íåìàòè÷íå ð³âíÿííÿ øâèäêîñò³ äëÿ ð³âíîïðèñêîðå-
íîãî ðóõó: υ = υ +
r r r
0 at àáî â ïðîåêö³ÿõ íà îáðàíó â³ñü Õ: υ = υ +x ox xa t .
Ïîáóäóºìî ãðàô³ê ð³âíîïðèñêî-
ðåíîãî ðóõó (ìàë. 47), ð³âíÿííÿ ÿêîãî
υ = υ +x ox xa t .
Ãðàô³ê øâèäêîñò³ ðóõó – ïðÿìà ÀÂ,
â³äð³çêè êîîðäèíàò ÎÀ ³ ÎÑ ðàçîì ç îð-
äèíàòîþ ê³íöåâî¿ øâèäêîñò³ óòâîðþþòü
òðàïåö³þ ÎÀÂÑ. Ïðîâåäåìî â ö³é òðà-
ïåö³¿ ñåðåäíþ ë³í³þ DÅ. ×åðåç òî÷êó Å
ïðîâåäåìî â³äð³çîê ÊÍ, ïàðàëåëüíèé îñ³
÷àñó. Ç ìàëþíêà âèäíî, ùî øâèäê³ñòü ó
òî÷ö³ Å á³ëüøà â³ä ïî÷àòêîâî¿ øâèäêîñò³
υ0x íà ∆υx ³ íà ∆υx ìåíøà â³ä ê³íöåâî¿
øâèäêîñò³ υx .
Îòæå, ó òî÷ö³ Å ñåðåäíÿ øâèäê³ñòü υc
çà ÷àñ ðóõó t.
Ç êóðñó ãåîìåòð³¿ â³äîìî, ùî ñåðåäíÿ
ë³í³ÿ òðàïåö³¿ äîð³âíþº ï³âñóì³ îñíîâ:
+
=
2
OA BC
ED , àáî
υ + υ
υ = 0
2
x x
c .
Òîáòî äëÿ ð³âíîïðèñêîðåíîãî ðóõó ñåðåäíÿ øâèäê³ñòü âèçíà÷àºòüñÿ ÿê
ñåðåäíº àðèôìåòè÷íå.
Ï³äêðåñëèìî, öÿ ôîðìóëà ñïðàâåäëèâà ò³ëüêè äëÿ âèïàäêó ð³âíîïðèñêî-
ðåíîãî ðóõó, ó âèïàäêó äîâ³ëüíîãî íåð³âíîì³ðíîãî ðóõó ñåðåäíÿ øâèäê³ñòü âè-
çíà÷àºòüñÿ çà ôîðìóëîþ υ =
r
r
c
s
t
.
Ìàë. 46. Ð³âíîïðèñêîðåíèé ðóõ ò³ë,
ùî ðóõàþòüñÿ íàçóñòð³÷ îäèí îäíîìó
Ìàë. 47. Ãðàô³ê ïðîåêö³¿ øâèäêîñò³
ð³âíîïðèñêîðåíîãî ðóõó

53
Ìîæíà ïåðåêîíàòèñü ó òîìó, ùî ïåðåì³ùåííÿ ïðè ð³âíîïðèñêîðåíîìó ðóñ³
âèðàæàºòüñÿ ïëîùåþ òðàïåö³¿ ÎÀÂÑ (ìàë. 47). Ç êóðñó ãåîìåòð³¿ â³äîìî, ùî
ïëîùà òðàïåö³¿ äîð³âíþº äîáóòêó ï³âñóìè îñíîâ íà âèñîòó. Ó íàøîìó âèïàäêó
äîâæèíà îäí³º¿ îñíîâè υ0x , ³íøî¿ υx , âèñîòà òðàïåö³¿ – t . Ï³âñóìà îñíîâ – öå
ñåðåäíÿ ë³í³ÿ òðàïåö³¿, òîáòî, ÿê ìè äîâåëè, ñåðåäíÿ øâèäê³ñòü ð³âíîïðèñêîðå-
íîãî ðóõó.
Ê³íåìàòè÷íå ð³âíÿííÿ ïåðåì³ùåííÿ ïðè ð³âíîïðèñêîðåíîìó ðóñ³ â ïðîåê-
ö³ÿõ íà âèáðàíó â³ñü:
= υ +
2
0
2
x
x x
a t
s t .
ßêùî ïî÷àòêîâà øâèäê³ñòü äîð³âíþº íóëþ, òî υ0õ
= 0, òî sx
= ax
t2
/2.
Äëÿ ïðÿìîë³í³éíîãî ðóõó ïðîåêö³ÿ âåêòîðà ïåðåì³ùåííÿ âèçíà÷àºòüñÿ ÿê
= − 0xs x x , òîä³
= + υ +
2
0
2
x
o x
a t
x x t .
Ìîæíà âèâåñòè é ³íøó ôîðìóëó äëÿ ïåðåì³ùåííÿ.
²ç υ = υ +x ox xa t âèðàçèìî ÷àñ
υ − υ
= 0x x
x
t
a
³ ï³äñòàâèìî éîãî ó ê³íåìàòè÷íå
ð³âíÿííÿ ïåðåì³ùåííÿ
⎛ ⎞υ − υ υ − υ
= υ + ⎜ ⎟⎝ ⎠
2
0 0
0
2
x x x x x
x x
x x
a
s
a a
.
Ï³ñëÿ ñïðîùåíü:
υ − υ
=
2 2
0
2
x x
x
x
s
a
, àáî
υ − υ =2 2
0 2x x x xa s .
Ö³ ôîðìóëè äàþòü çìîãó çíàéòè ïåðåì³ùåííÿ ò³ëà, ÿêùî â³äîìèìè º ïðè-
ñêîðåííÿ, ïî÷àòêîâà ³ ê³íöåâà øâèäêîñò³ ðóõó ò³ëà.
Ó âåêòîðí³é ôîðì³ ê³íåìàòè÷í³ ð³âíÿííÿ ð³âíîïðèñêîðåíîãî ðóõó ìàþòü
âèãëÿä:
= υ +
2
0
2
ats t
rr r
; 2 2
0 2 .asυ − υ =
r r rr
Çà áóäü-ÿêîãî íåð³âíîì³ðíîãî ðóõó çì³íþºòüñÿ øâèäê³ñòü. ßê ïðèñêî-1.
ðåííÿ õàðàêòåðèçóº öþ çì³íó?
ßê ñïðÿìîâàíî âåêòîð ïðèñêîðåííÿ ïðè ïðÿìîë³í³éíîìó ð³âíîïðèñêî-2.
ðåíîìó ðóñ³? Â ÿêîìó âèïàäêó ïðîåêö³ÿ ïðèñêîðåííÿ ìàº äîäàòíå, à â ÿêîìó
â³ä’ºìíå çíà÷åííÿ?
3. Øâèäê³ñòü ïðÿìîë³í³éíîãî ðóõó ò³ëà ùîñåêóíäè çá³ëüøóºòüñÿ íà 2 %:
à) â³ä ïî÷àòêîâîãî çíà÷åííÿ; á) â³ä çíà÷åííÿ øâèäêîñò³ íà ïî÷àòêó êîæíî¿ ñå-
êóíäè. ×è ñòàëå ïðèñêîðåííÿ ò³ëà â îáîõ âèïàäêàõ?

54
Ð Î Ç Ä ² Ë 1
4. Ò³ëî ïî÷èíàº ðóõàòèñü ³ç ñòàíó ñïîêîþ ïðÿìîë³í³éíî, ïðîõîäÿ÷è ùîñå-
êóíäè øëÿõ, íà 1 ì á³ëüøèé, í³æ çà ïîïåðåäíþ ñåêóíäó. ×è ñòàëå ïðèñêîðåííÿ
ò³ëà?
5. ×è ìîæóòü äâà ò³ëà, ÿê³ ðóõàþòüñÿ ïî îäí³é ïðÿì³é â ïðîòèëåæíèõ íà-
ïðÿìàõ, ìàòè îäíàêîâ³ âåêòîðè ïðèñêîðåíü?
Óðàõîâóþ÷è, ùî âñ³ òðè âåêòîðè υ
r
, υ
r
0
,
r
a ñïðÿìîâàí³ âçäîâæ îäí³º¿ ïðÿìî¿,
òî ìîäóë³ ¿õ ïðîåêö³é äîð³âíþþòü ìîäóëþ ñàìèõ âåêòîð³â, à çíàêè ïðîåêö³é
âèçíà÷àþòüñÿ òèì, ÿê íàïðàâëåí³ âåêòîðè â³äíîñíî âèáðàíî¿ êîîðäèíàò-
íî¿ îñ³. ßêùî çíàêè ïðîåêö³é âåêòîð³â υ
r
0
³
r
a ñï³âïàäàþòü, òî ìîäóëü øâèäêîñò³
υ çðîñòàº ç ÷àñîì – ò³ëî ðîçãàíÿºòüñÿ ³ âñ³ âåêòîðè υ
r
, υ
r
0
,
r
a íàïðàâëåí³ â îäèí
á³ê. ßêùî υ
r
0 ³
r
a ïðîòèëåæí³, òî ò³ëî – ãàëüìóº, ³ âåêòîð
r
a íàïðàâëåíèé ïðî-
òèëåæíî äî âåêòîð³â υ υ
r r
0, .
Çàäà÷à. Ð³âíÿííÿ ðóõó ò³ëà çàäàíî ó âèãëÿä³ = + 2
15 0,4x t t , äå âñ³ âåëè÷èíè
çàäàíî â Ñ². Âèçíà÷èòè ïî÷àòêîâó øâèäê³ñòü ³ ïðèñêîðåííÿ ðóõó ò³ëà, à òàêîæ
êîîðäèíàòó ³ øâèäê³ñòü ðóõó ò³ëà ÷åðåç 5 ñ.
Äàíî:
= + 2
15 0,4x t t ;
= 5ct
Ïîð³âíÿºìî öå ð³âíÿííÿ ðóõó = + 2
15 0,4x t t ³ç çàãàëüíèì:
= + υ +
2
0
2
x
o x
a t
x x t .
Î÷åâèäíî, ùî x0
= 0, êîåô³ö³ºíò ïðè t äîð³âíþº υ0
= 15 ì/ñ,
à ïðè t2
â³äïîâ³äíî a/2 = 0,4, çâ³äêè a = 0,8 ì/ñ2
.
υ −0 ?
−?a
−?x
υ −?
Êîîðäèíàòó ÷åðåç 5 ñ âèçíà÷èìî ç ð³âíÿííÿ ïðè t = 5 c:
2
2 2
ì
0,8
ì ñ15 5 c 5 c 85 ì
ñ 2
x = ⋅ + ⋅ = .
Øâèäê³ñòü ðóõó ò³ëà âèçíà÷èìî çà ôîðìóëîþ υ = υ0
+ at ïðè t = 5 c:
2
ì ì
15 0,8 5 ñ 19 ì ñ
ñ ñ
υ = + ⋅ = .
Âèçíà÷èòè çíà÷åííÿ øâèäêîñò³ ³ ïðèñêîðåííÿ ìîæíà, ñêîðèñòàâøèñü òà-
êîæ âèçíà÷åííÿì ïîõ³äíî¿.
υ = = + = +′ ′2
(15 0,4 ) 15 0,8x t t t , ïðè t = 5 c: 2
ì ì
15 0,8 5 ñ 19 ì ñ
ñ ñ
υ = + ⋅ = .
= υ = + =′ ′ 2
(15 0,8 ) 0,8ì ña t .
Â³äïîâ³äü: υ =0 15ì ñ ; = 2
0,8ì ña ; = 85ìx ; υ =19ì ñ .

55
Вправа 6
1. Ðóõ ìàòåð³àëüíî¿ òî÷êè çàäàíî ð³âíÿííÿìè: x = 8t2
+ 4; y = 6t2
− 3; z = 0.
Âñ³ âåëè÷èíè çàïèñàíî â Ñ². Âèçíà÷èòè ìîäóë³ øâèäêîñò³ òà ïðèñêîðåííÿ ó ìî-
ìåíò ÷àñó t = 10 c.
2. ßêèé øëÿõ ïðîéäå ò³ëî çà ÷àñ t = 10 c â³ä ïî÷àòêó ðóõó, ÿêùî ð³âíÿííÿ
éîãî ðóõó x = 2t2
+ 3t + 4, y = 3t2
+ 4t − 2, z = 0? (Âñ³ âåëè÷èíè çàïèñàíî â Ñ²).
3. Ïî ñõèëó çàâäîâæêè 100 ì ëèæíèê ç’¿õàâ çà 20 ñ, ðóõàþ÷èñü ³ç ïðèñêî-
ðåííÿì 0,3 ì/ñ2
. ßêó øâèäê³ñòü ìàâ ëèæíèê íà ïî÷àòêó ³ â ê³íö³ ñõèëó?
4. Êóëüêà, ùî êîòèòüñÿ ïîõèëèì æîëîáîì ç³ ñòàíó ñïîêîþ, çà ïåðøó ñåêóí-
äó ïðîéøëà 10 ñì. ßêèé øëÿõ êóëüêà ïðîéäå çà òðè ñåêóíäè?
5. Ó ñê³ëüêè ðàç³â øâèäê³ñòü ðóõó êóë³ óñåðåäèí³ ñòâîëà ðóøíèö³ ìåíøà,
í³æ ï³ä ÷àñ ïîñòð³ëó?
6. Ò³ëî, ðóõàþ÷èñü ð³âíîïðèñêîðåíî, ïðîòÿãîì ÷åòâåðòî¿ ñåêóíäè ïðîéøëî
35ì.Çÿêèìïðèñêîðåííÿìðóõàëîñüò³ëî?ßêàéîãîøâèäê³ñòüíàïðèê³íö³÷åòâåð-
òî¿, à òàêîæ äåñÿòî¿ ñåêóíäè ðóõó? ßêèé øëÿõ ïðîéøëî ò³ëî çà äðóãó, à òàêîæ çà
ï’ÿòó ñåêóíäó? ßêèé øëÿõ ïðîéøëî ò³ëî çà äðóãó ³ òðåòþ ñåêóíäè, ðàçîì óçÿò³?
7. Çà ÷àñ t = 10 c ò³ëî ïðîéøëî s = 18 ì, ïðè öüîìó éîãî øâèäê³ñòü çá³ëüøèëàñü
ó n = 5 ðàç³â. Ââàæàþ÷è ðóõ ð³âíîïðèñêîðåíèì, âèçíà÷èòè ïðèñêîðåííÿ ò³ëà.
8. Ò³ëî, ÿêå ðóõàëîñü ð³âíîì³ðíî ç øâèäê³ñòþ 2 ì/ñ, ç äåÿêî¿ òî÷êè À ïî÷è-
íàº ðóõàòèñü ç ïðèñêîðåííÿì 0,5 ì/ñ2
. ×åðåç 30 ñ ³ç ö³º¿ ñàìî¿ òî÷êè ñë³äîì çà
ïåðøèìò³ëîìïî÷èíàºðóõàòèñü³çïî÷àòêîâîþøâèäê³ñòþ5ì/ñ³ïðèñêîðåííÿì
2 ì/ñ2
äðóãå ò³ëî. ×åðåç ñê³ëüêè ÷àñó äðóãå ò³ëî íàçäîæåíå ïåðøå?
9. Ò³ëî ïî÷èíàº ðóõ ç òî÷êè À ³ ðóõàºòüñÿ ñïåðøó ð³âíîïðèñêîðåíî ïðîòÿ-
ãîì ÷àñó t0
, à ïîò³ì ç òèì ñàìèì çà ìîäóëåì ïðèñêîðåííÿì – ñïîâ³ëüíåíî. ×åðåç
ÿêèé ÷àñ â³ä ïî÷àòêó ðóõó ò³ëî ïîâåðíåòüñÿ ó òî÷êó À?
10. Äîâåä³òü, ùî ï³ä ÷àñ ïðÿìîë³í³éíîãî ð³âíîïðèñêîðåíîãî ðóõó áåç ïî-
÷àòêîâî¿ øâèäêîñò³ ñïðàâäæóºòüñÿ ð³âí³ñòü s1
: s2
: ... sn
= 1 : 3 : ...(2n − 1) – â³ä-
ñòàí³, ÿê³ ïðîõîäèòü ò³ëî çà ïîñë³äîâí³ îäíàêîâ³ ³íòåðâàëè ÷àñó, â³äíîñÿòüñÿ ÿê
ïîñë³äîâí³ íåïàðí³ ÷èñëà.
§ 11 Графічне зображення рівноприскореного руху
Ãðàô³ê ïðîåêö³¿ ïðèñêîðåííÿ ax
= ax
(t).
Ãðàô³ê ïðîåêö³¿ øâèäêîñò³ υx
= υx
(t).
= sx
(t) ³ êîîðäèíàòè x = x (t).
Ãðàô³ê ïðîåêö³¿ ïðèñêîðåííÿ ax
= ax
(t). Îñê³ëüêè ï³ä ÷àñ ð³âíîïðèñêîðå-
íîãî ðóõó ïðèñêîðåííÿ º âåëè÷èíîþ ñòàëîþ, òî ãðàô³êîì çàëåæíîñò³ ïðîåêö³¿
ïðèñêîðåííÿ â³ä ÷àñó º ïðÿìà, ïàðàëåëüíà îñ³ ÷àñó (ìàë. 48).
Çà ïëîùåþ ô³ãóðè, îáìåæåíî¿ ãðàô³êîì òà ïåðïåíäèêóëÿðîì, îïóùåíèì
íà â³ñü ÷àñó, ìîæíà âèçíà÷èòè øâèäê³ñòü ðóõó ò³ëà ó ïåâíèé ìîìåíò ÷àñó t1
.

56
Ð Î Ç Ä ² Ë 1
Ãðàô³ê ïðîåêö³¿ øâèäêîñò³ υx
= υx
(t). ßê âèäíî ç ð³â-
íÿííÿ υ = υ +x ox xa t , çàëåæí³ñòü ïðîåêö³¿ øâèäêîñò³ â³ä
÷àñó ë³í³éíà, òîìó ãðàô³êîì º ïðÿìà (ìàë. 49) (ïîð³âíÿé-
òå ç â³äîìèì âàì ãðàô³êîì ôóíêö³¿ y = ax + b, §4).
Êóò íàõèëó ãðàô³êó çàëåæíîñò³ ïðîåêö³¿ øâèäêî-
ñò³ â³ä ÷àñó âèçíà÷àºòüñÿ ÷èñëîâèì çíà÷åííÿì ïðèñêî-
ðåííÿ, ÿêå ãðàô³÷íî ìîæíà âèçíà÷èòè òàê:
1 0
1
tga
t
υ − υ
= = β .
Çà ïëîùåþ ô³ãóðè îáìåæåíî¿ ãðàô³êîì øâèäêîñò³
òà ïåðïåíäèêóëÿðîì, îïóùåíèì íà â³ñü ÷àñó ìîæíà âèç-
íà÷èòèäîâæèíóïðîéäåíîãîøëÿõóíàäàíèéìîìåíò÷àñó
t1
. Òàêîæ çà öèì ãðàô³êîì ìîæíà çàïèñàòè çàêîí ðóõó.
Çàëåæíî â³ä ïðîåêö³¿ ïðèñêîðåííÿ ³ ïî÷àòêîâî¿
øâèäêîñò³ ðóõó ò³ëà ãðàô³ê ìàòèìå ð³çíèé âèãëÿä.
Òàê, äëÿ çîáðàæåíèõ íà ìàë. 50 ãðàô³êàõ âèêîíóþòüñÿ
òàê³ óìîâè:
1) υx0
> 0, ax
> 0;
2) υx0
> 0, ax
< 0;
3) υx0
< 0, ax
> 0;
4) υx0
< 0, ax
< 0.
ßêùî υx0
= 0, òî ïðÿìà âèõîäèòèìå ç ïî-
÷àòêó êîîðäèíàò ³, çàëåæíî â³ä çíà÷åííÿ ïðî-
åêö³¿ ïðèñêîðåííÿ, áóäå íàïðàâëåíà âãîðó àáî
âíèç. Íàïðÿì ïðÿìèõ çàëåæèòü â³ä çíà÷åííÿ
ïðèñêîðåííÿ: ÷èì á³ëüøå éîãî çíà÷åííÿ, òèì
êðóò³øå çä³éìàºòüñÿ ÷è ñïàäàº ãðàô³ê. Çâåð-
í³òü óâàãó íà òå, ùî ãðàô³êè 2 ³ 3 ïåðåòèíàþòü
â³ñü ÷àñó. Öå îçíà÷àº, ùî ó äåÿêèé ìîìåíò
÷àñó ¿õ øâèäê³ñòü äîð³âíþâàëà íóëþ (ò³ëî çó-
ïèíÿëîñü) ³ ïðîäîâæóâàëî ðóõ ó çâîðîòíîìó
íàïðÿì³.
= sx
(t) ³ êîîðäèíàòè x = x (t). Ê³íåìàòè÷í³
ð³âíÿííÿ ïðîåêö³¿ ïåðåì³ùåííÿ = υ +
2
0
2
x
x x
a t
s t ³ êîîðäèíàòè = + υ +
2
0
2
x
o x
a t
x x t
º êâàäðàòíèìè ð³âíÿííÿìè âèãëÿäó y = c + bx + ax2
, òîìó ãðàô³êàìè çàëåæ-
íîñò³ ïðîåêö³¿ ïåðåì³ùåííÿ ³ êîîðäèíàòè â³ä ÷àñó º ïàðàáîëè (äèâ. §4).
Ã³ëêè öèõ ïàðàáîë çã³äíî ç ïàðàìåòðàìè ðóõó ìàþòü ð³çíèé âèãëÿä.
ßêùî υ0x
= 0 ³ ax
> 0, òî ãðàô³êè ìàþòü âèãëÿä, ÿê íà ìàë. 51.
ßêùî υ0x
= 0 ³ ax
< 0, òî ã³ëêè ïàðàáîëè çîð³ºíòîâàí³ âíèç (ìàë. 52).
ßêùî υ ≠0 0x ³ ≠0 0x , òî âåðøèíà ïàðàáîëè çì³ùóºòüñÿ â òî÷êó, êîîðäèíà-
òè ÿêî¿ âèçíà÷àþòüñÿ ñï³ââ³äíîøåííÿìè:
υ
= −
2
0
0
2
x x
a
,
υ
= − 0
t
a
(ìàë. 53).
Ìàë. 48. Ãðàô³ê
ïðîåêö³¿ ïðèñêîðåííÿ
ïðîåêö³¿ øâèäêîñò³
Ìàë. 50. Âèãëÿä ãðàô³êà υx
= υx
(t)
ïðè â³äïîâ³äíèõ çíà÷åííÿõ
υx0
³ ax

57
Çà ô³çè÷íèì çì³ñòîì øâèäê³ñòü
º ïîõ³äíîþ â³ä ïåðåì³ùåííÿ, âîä-
íî÷àñ çà ãåîìåòðè÷íèì çì³ñòîì ïî-
õ³äíà âèçíà÷àºòüñÿ êóòîì íàõèëó
äîòè÷íî¿ äî êðèâî¿, òîìó øâèäê³ñòü
ðóõó ò³ëà ó ïåâíèé ìîìåíò ÷àñó t1
âèçíà÷àºòüñÿ òàíãåíñîì êóòà íà-
õèëó äîòè÷íî¿ äî ãðàô³êà ïðîåêö³¿
ïåðåì³ùåííÿ ³ â³ññþ ÷àñó (ìàë. 54)
υ = tgα.
Çà çì³íîþ êóòà íàõèëó äîòè÷íèõ
äî ãðàô³êà ìîæíà ïðîñë³äêóâàòè çà
çì³íîþ øâèäêîñò³ ðóõó ò³ëà.
Îñîáëèâîñò³ ïîáóäîâè ãðàô³êà øëÿ-
õó ð³âíîïðèñêîðåíîãî ðóõó l = l(t) ïîëÿ-
ãàþòü ó òîìó, ùî â³í ðîçòàøîâàíèé âè-
êëþ÷íî íàä â³ññþ ÷àñó, îñê³ëüêè øëÿõ
íå ìîæå íàáóâàòè â³ä’ºìíèõ çíà÷åíü.
Ó ÿêèõ âèïàäêàõ ãðàô³ê ïðî-1.
åêö³¿ øâèäêîñò³ ð³âíîïðèñêîðåíîãî ðóõó íàïðÿìëåíèé âãîðó, à â ÿêèõ – âíèç?
Ùî îçíà÷àº ïåðåòèí ãðàô³êîì ïðîåêö³¿ øâèäêîñò³ îñ³ ÷àñó?
ßêó ôîðìó ìàº ãðàô³ê ïðîåêö³¿ ïåðåì³ùåííÿ? ×èì â³äð³çíÿþòüñÿ ãðà-2.
ô³êè ïðîåêö³¿ ïåðåì³ùåííÿ ³ êîîðäèíàòè?
Ðîçêàæ³òü, ÿê çà ãðàô³êàìè ïðèñêîðåííÿ, øâèäêîñò³ òà ïåðåì³ùåííÿ3.
âèçíà÷èòè:
à) øâèäêîñò³ äëÿ áóäü-ÿêîãî ìîìåíòó ÷àñó çà ãðàô³êîì ïðèñêîðåííÿ;
á) çàêîí ðóõó çà ãðàô³êîì øâèäêîñò³;
â) çì³íó øâèäêîñò³ çà ãðàô³êîì ïåðåì³ùåííÿ;
ã) ïðèñêîðåííÿ çà ãðàô³êîì øâèäêîñò³.
Ìàë. 51. Ãðàô³ê ïðîåêö³¿ ïåðåì³ùåííÿ
³ êîîðäèíàòè ïðè υ0x
= 0 ³ ax
> 0
Ìàë. 52. Ãðàô³ê ïðîåêö³¿ ïåðåì³ùåííÿ
³ êîîðäèíàòè ïðè υ0x
= 0 ³ ax
> 0
Ìàë. 53. Ãðàô³ê ðóõó ïðè:
1. υ0x
> 0, ax
< 0; 2. υ0x
< 0, ax
> 0
Ìàë. 54.
Çà òàíãåíñîì êóòà
íàõèëó äîòè÷íî¿ äî
ãðàô³êà ïðîåêö³¿
ïåðåì³ùåííÿ ìîæíà
âèçíà÷èòè øâèäê³ñòü
ó ïåâíèé ìîìåíò
÷àñó

58
Ð Î Ç Ä ² Ë 1
Çàäà÷à 1. Çà ãðàô³êîì, ùî ìàº çëàìè (ìàë. 55), íàêðåñëèòè ãðàô³ê çàëåæ-
íîñò³ øâèäêîñò³ ðóõó ò³ëà â³ä ÷àñó òà îõàðàêòåðèçóâàòè éîãî.
Ðîçãëÿíåìî ãðàô³ê çàëåæíîñò³ êîîðäèíàòè â³ä ÷àñó: ïðîòÿãîì ÷àñó t1
ò³ëî ðóõà-
ëîñÿ ð³âíîì³ðíî ³ ïðÿìîë³í³éíî (tgα = υ).
Ïðîòÿãîì ÷àñó â³ä t1
äî t2
– ð³âíîñïîâ³ëüíåíî, ïðè÷îìó, îñê³ëüêè â òî÷êàõ
Â ³ À ñïîñòåð³ãàþòüñÿ çëàìè, òî öå îçíà÷àº, ùî øâèäê³ñòü ðóõó ò³ëà ð³çêî çì³íè-
ëàñÿ: ó òî÷ö³ Â â³ä υ = tgα äî υ1
= tgα1
, ó òî÷ö³ À â³ä υ2
= 0, îñê³ëüêè α2
= 0 äî υ =
tgα.
Ïðîòÿãîì ÷àñó â³ä t2
äî t3
ò³ëî ðóõàëîñü ð³âíîì³ðíî ç òàêîþ ñàìîþ øâèäê³ñ-
òþ, ùî áóëà ³ íà ïî÷àòêó ðóõó.
Îñê³ëüêè ãðàô³ê çàëåæíîñò³ êîîð-
äèíàòè â³ä ÷àñó ìàº çëàìè, òî ãðàô³ê
çàëåæíîñò³ øâèäêîñò³ ðóõó â³ä ÷àñó
ìàòèìå ðîçðèâè ó ìîìåíòè ÷àñó t1
òà
t2
(ìàë. 56).
Çàäà÷à 2. Çà ãðàô³êîì ïðîåêö³¿ ïå-
ðåì³ùåííÿ (ìàë. 57) ïîáóäóâàòè ãðà-
ô³ê øâèäêîñò³ òà ïðèñêîðåííÿ.
Çà ãðàô³êîì çàëåæíîñò³ ïðîåêö³¿
ïåðåì³ùåííÿ â³ä ÷àñó ïðîàíàë³çóºìî
õàðàêòåð ðóõó ò³ëà.
Íà ïî÷àòêó ðóõó äî ìîìåíòó t1
ò³-
ëî ðóõàºòüñÿ ó íàïðÿì³ ïðîòèëåæíî-
ìó äî â³ñ³ Õ, ïðîåêö³ÿ øâèäêîñò³ ðóõó
â³ä’ºìíà.
Ç ìîìåíòó ÷àñó t1
ò³ëî çì³íþº íà-
ïðÿì ðóõó ³ äî ìîìåíòó t2
ðóõàºòüñÿ
ó íàïðÿì³ îñ³ Õ. Ïðîåêö³ÿ øâèäêîñò³
ïðè öüîìó äîäàòíà.
Îñê³ëüêè íà ³íòåðâàë³ â³ä 0 äî t2
ã³ëêè ïàðàáîëè ñïðÿìîâàí³ âãîðó, òî
ïðîòÿãîì öüîãî ïåð³îäó ïðèñêîðåííÿ
ò³ëà çàëèøàºòüñÿ äîäàòíèì.
Äî ìîìåíòó ÷àñó t3
ò³ëî ïðîäîâæóº
ðóõàòèñü ó òîìó ñàìîìó íàïðÿì³, ïðî-
åêö³ÿ øâèäêîñò³ äîäàòíà, àëå çìåíøó-
ºòüñÿ çà ìîäóëåì, òîìó ïðèñêîðåííÿ –
â³ä’ºìíå.
Ç ìîìåíòó t3
ò³ëî çì³íþº íàïðÿì
ðóõó ³ äî ìîìåíòó t4
çíîâó ðóõàºòüñÿ
ó íàïðÿì³, ïðîòèëåæíîìó â³ñ³ Õ, òîìó
ïðîåêö³ÿ øâèäêîñò³ â³ä’ºìíà ³ çðîñòàº
Ìàë. 56.
Ãðàô³ê çàëåæíîñò³ øâèäêîñò³ â³ä ÷àñó
Ìàë. 57.
Ãðàô³ê ïðîåêö³¿ ïåðåì³ùåííÿ
Ìàë. 55.
Ãðàô³ê ðóõó ò³ëà

59
çà ìîäóëåì, îñê³ëüêè ïðîòÿãîì óñüîãî ³íòåðâà-
ëó â³ä t3
äî t4
ïðèñêîðåííÿ â³ä’ºìíå (ã³ëêè ïà-
ðàáîëè íàïðàâëåí³ âíèç).
Ãðàô³êè ïðîåêö³¿ øâèäêîñò³ òà ïðîåêö³¿
ïðèñêîðåííÿ óêàçàíî íà ìàë. 58.
Вправа 7
1. Ðóõè ìàòåð³àëüíèõ òî÷îê çàäà-
íî òàêèìè ð³âíÿííÿìè: à) = + 2
1 10 0,4x t t ;
á) = − 2
2 2x t t ; â) = − + 2
3 4 2x t t ; ã) = − − 2
4 6x t t .
Âñ³ âåëè÷èíè çàïèñàíî â Ñ². Íàïèñàòè çàëåæ-
í³ñòü υ = υ(t) äëÿ êîæíîãî âèïàäêó; ïîáóäóâàòè
ãðàô³êè öèõ çàëåæíîñòåé; âèçíà÷èòè âèä ðóõó
ó êîæíîìó âèïàäêó.
2. Õëîï÷èê ç’¿õàâ íà ñàí÷àòàõ ç ãîðè, ùî
ìàº ñõèë 40 ì, çà 10 ñ, à ïîò³ì ïðî¿õàâ ïî ãî-
ðèçîíòàëüí³é ä³ëÿíö³ ùå 20 ì ³ çóïèíèâñÿ.
Îá÷èñëèòè øâèäê³ñòü ó ê³íö³ ñõèëó, ïðèñêî-
ðåííÿ íà êîæí³é ä³ëÿíö³, çàãàëüíèé ÷àñ ðóõó ³ ñåðåäíþ øâèäê³ñòü íà âñüîìó
øëÿõó. Íàêðåñëèòè ãðàô³ê øâèäêîñò³.
3. Âåëîñèïåäèñò ïåðø³ 4 ñ ðóõàâñÿ ç³ ñòàíó ñïîêîþ ç ïðèñêîðåííÿì 1 ì/ñ2
, à
ïîò³ì 0,1 õâ ¿õàâ ð³âíîì³ðíî, à îñòàíí³ 20 ì, ïîêè íå çóïèíèâñÿ, ð³âíîñïîâ³ëü-
íåíî. Îá÷èñëèòè ñåðåäíþ øâèäê³ñòü çà âåñü ÷àñ ðóõó. Ïîáóäóâàòè ãðàô³ê υõ
(t).
4. Íà ìàë. 59 ïîäàíî ãðàô³ê çàëåæíîñò³ êîîðäèíàòè ò³ëà â³ä ÷àñó. Ï³ñëÿ
ìîìåíòó ÷àñó t1
êðèâà ãðàô³êà – ïàðàáîëà. ßêèé ðóõ çîáðàæåíî íà öüîìó ãðà-
ô³êó? Ïîáóäóâàòè ãðàô³ê çàëåæíîñò³ øâèäêîñò³ ò³ëà â³ä ÷àñó.
5. Çà íàâåäåíèìè íà ìàë. 60 ãðàô³êàìè íàïèñàòè ð³âíÿííÿ çàëåæíîñò³ υx
(t) ³
ð³âíÿííÿ õ = õ(t). Ââàæàòè, ùî ó ïî÷àòêîâèé ìîìåíò (t = 0) ò³ëî ïåðåáóâàº ó ïî÷àò-
êó êîîðäèíàò (x = 0). Ïîáóäóâàòè ãðàô³êè çàëåæíîñò³ õ = õ(t) äëÿ êîæíîãî ç ò³ë.
6. Çà ãðàô³êàìè çàëåæíîñò³ ax
(t), íàâåäåíèìè íà ìàë. 61, à ³ 61, á, ïîáóäó-
âàòè ãðàô³êè υx
(t), ââàæàþ÷è, ùî ó ïî÷àòêîâèé ìîìåíò ÷àñó (t = 0) øâèäê³ñòü
ðóõó ìàòåð³àëüíî¿ òî÷êè äîð³âíþº íóëþ.
7. Ðóõè äâîõ àâòîìîá³ë³â ïî øîñå îïèñóþòüñÿ ð³âíÿííÿìè: x1
= 2t + 0,2t2
i
Ìàë. 58. Ãðàô³êè ïðîåêö³¿
øâèäêîñò³ òà ïðèñêîðåííÿ

60
Ð Î Ç Ä ² Ë 1
x2
= 80 − 4t. Âñ³ âåëè÷èíè çàïèñàíî â Ñ².
Îïèñàòè êàðòèíó ðóõó; âèçíà÷èòè ÷àñ
³ ì³ñöå çóñòð³÷³ àâòîìîá³ë³â; â³äñòàíü
ì³æ íèìè ÷åðåç 5 ñ; êîîðäèíàòó ïåðøî-
ãî àâòîìîá³ëÿ ó òîé ìîìåíò ÷àñó, êîëè
äðóãèé ïåðåáóâàâ íà ïî÷àòêó â³äë³êó.
Ðîçâ’ÿçàòè çàäà÷ó àíàë³òè÷íî ³ ãðàô³÷íî.
8. Ìàòåð³àëüíà òî÷êà
ðóõàºòüñÿ âçäîâæ â³ñ³ Õ ç³
øâèäê³ñòþ υ
r
(ìàë. 62). Îäèí
ï³ä îäíèì íàêðåñëèòè ãðà-
ô³êè ïðîåêö³é ïðèñêîðåííÿ
ax
(t), ïåðåì³ùåííÿ sõ
(t)òà ïðî-
éäåíîãî øëÿõó l(t). Âèçíà÷è-
òè ñåðåäíº çíà÷åííÿ ìîäóëÿ
øâèäêîñò³ çà ÷àñ ðóõó â³ä t =
0 äî t = 2τ.
9. Íà ìàë. 63 íàâåäåíî
ãðàô³ê øâèäêîñò³ ò³ëà, ÿêå
ðóõàºòüñÿ ïðÿìîë³í³éíî. Íà
ÿêó ìàêñèìàëüíó â³äñòàíü â³ä
ïî÷àòêîâîãî ïîëîæåííÿ â³ä-
õîäèòü ò³ëî çà ÷àñ ðóõó?
10. Íàêðåñë³òü ãðàô³ê çàëåæíîñò³ êîîðäèíàòè â³ä ÷àñó äëÿ ïðÿìîë³í³éíîãî
ðóõó, ùî îäíî÷àñíî çàäîâîëüíÿº äâ³ âèìîãè: à) ïðîòÿãîì ³íòåðâàëó ÷àñó â³ä 2
äî 6 ñ ñåðåäíÿ øâèäê³ñòü ðóõó äîð³âíþº 5 ì/c; á) ìàêñèìàëüíà øâèäê³ñòü ïðî-
òÿãîì òîãî ñàìîãî ³íòåðâàëó ÷àñó äîð³âíþº 15 ì/c.

61
§ 12 Вільне падіння тіл –
приклад рівноприскореного руху
Ïðèñêîðåííÿ â³ëüíîãî ïàä³ííÿ.
Ð³âíÿííÿ ðóõó ò³ëà ó âåðòèêàëüíîìó íàïðÿì³.
Ïðèñêîðåííÿ â³ëüíîãî ïàä³ííÿ. ×óäîâèì ïðèêëàäîì ïðÿìîë³í³éíîãî ð³â-
íîïðèñêîðåíîãî ðóõó, ùî ñïîñòåð³ãàºòüñÿ ó ïðèðîä³, º â³ëüíå ïàä³ííÿ ò³ë.
Òðèâàëèé ÷àñ ââàæàëè, ùî ò³ëàì ð³çíî¿ ìàñè Çåìëÿ íàäàº ð³çíîãî ïðèñêî-
ðåííÿ ³ òîìó âîíè ïàäàþòü íà íå¿ íåîäíàêîâî çà ÷àñîì: âàæ÷³ – øâèäøå, ëåãø³
– ïîâ³ëüí³øå. Ó öüîìó ïåðåêîíóâàâ æèòòºâ³é äîñâ³ä: ëåãêà ï³ð’¿íà, ùî ïàäàº â
ïîâ³òð³ ç îäíàêîâî¿ âèñîòè ðàçîì ç³ ñâèíöåâîþ êóëüêîþ, äîñÿãàëà çåìë³ ï³çí³-
øå, í³æ êóëüêà. Öåé, íà ïåðøèé ïîãëÿä, î÷åâèäíèé ôàêò çìóøóâàâ áàãàòüîõ
ëþäåé ñïîòâîðåíî óÿâëÿòè ñïðàâæí³é ïåðåá³ã ÿâèùà â³ëüíîãî ïàä³ííÿ ò³ë.
Âèäàòíèé ³òàë³éñüêèé ô³çèê Ãàë³ëåî Ãàë³ëåé, âèâ÷àþ÷è ðóõ ò³ë ïî ïîõè-
ëîìó æîëîáó, âñòàíîâèâ, ùî êóë³ îäíàêîâîãî ä³àìåòðà, âèãîòîâëåí³ ç äåðåâà,
çàë³çà, ñëîíîâî¿ ê³ñòêè òîùî, ìàþòü îäíàêîâå ïðèñêîðåííÿ, òîáòî âîíî íå çàëå-
æèòü â³ä ìàñè êóëü. Çá³ëüøóþ÷è êóò íàõèëó æîëîáà, â³í ä³éøîâ âèñíîâêó, ùî
çíà÷åííÿ ïðèñêîðåííÿ ïðè öüîìó çá³ëüøóºòüñÿ, àëå çàëèøàºòüñÿ îäíàêîâèì
äëÿ âñ³õ ò³ë íåçàëåæíî â³ä ¿õ ìàñè. Äàë³ â³í çàçíà÷èâ: ÿêùî çá³ëüøóâàòè êóò
íàõèëó æîëîáà äî 90°, òîáòî äî âåðòèêàëüíîãî ïîëîæåííÿ, âèñíîâêè ùîäî ïðè-
ñêîðåííÿ ò³ë íå çì³íÿòüñÿ, à â³äì³íí³ñòü ó ïàä³íí³ ò³ë ñïðè÷èíåíà ëèøå îïîðîì
ïîâ³òðÿ. Äëÿ ïåðåâ³ðêè öüîãî â³í ïðîâ³â ñâ³é â³äîìèé äîñë³ä: êèíóâøè ç âåëè-
êî¿ âèñîòè ìóøêåòíó êóëþ ³ ãàðìàòíå ÿäðî (ìàñè ÿêèõ â³äð³çíÿëèñü ìàéæå ó
400 ðàç³â, ïðîòå îï³ð ïîâ³òðÿ äëÿ íèõ áóâ ïîð³âíÿíî îäíàêîâèì). Äëÿ ïðîâåäåí-
íÿ òàêîãî äîñë³äó Ãàë³ëåé âèêîðèñòàâ âåæó, ÿêà çíàõîäèëàñü â ³òàë³éñüêîìó
ì³ñò³ Ï³çà.
Äîñë³ä ï³äòâåðäèâ ïðèïóùåííÿ (ã³ïîòåçó) Ãàë³ëåÿ: êèíóò³ îäíî÷àñíî êóëÿ
òà ÿäðî âïàëè òåæ ïðàêòè÷íî îäíî÷àñíî, õî÷à ÿäðî â 400 ðàç³â âàæ÷å â³ä êóë³!
Öåé äîñë³ä ñòàâ çíàìåíèòèì, îñê³ëüêè éîãî ââàæàþòü «äíåì íàðîäæåííÿ» ô³-
çèêè ÿê äîñë³äíî¿ íàóêè. À ïîõèëà Ï³çàíñüêà âåæà, ùî ñòî¿òü ³ äîñ³, ñòàëà ñèì-
âîëîì äîñë³äó ÿê ãîëîâíîãî ì³ðèëà ³ñòèíè: ïðèïóùåííÿ ñòàº ³ñòèíîþ ò³ëüêè
òîä³, êîëè éîãî ï³äòâåðäæóº äîñë³ä.
Òàêèì ÷èíîì, Ã. Ãàë³ëåé åêñïåðèìåíòàëüíî âñòàíîâèâ, ùî ïðèñêîðåííÿ
â³ëüíîãî ïàä³ííÿ ò³ë íå çàëåæèòü â³ä ìàñè ò³ë ³ º ñòàëîþ âåëè÷èíîþ.
Ïîäàëüøå âèâ÷åííÿ â³ëüíîãî ïàä³ííÿ çä³éñíþâàëîñÿ ð³çíèìè ñïîñîáàìè ³
çà äîïîìîãîþ ð³çíèõ åêñïåðèìåíòàëüíèõ óñòàíîâîê. Òàê, ². Íüþòîí âèêîðèñ-
òîâóâàâ âåëèêó ñêëÿíó òðóáêó, ç ÿêî¿ ìîæíà áóëî âèêà÷àòè ïîâ³òðÿ, ³ ñïîñòåð³-
ãàâ, ùî ï³ð’¿íà ³ ñòàëåâà êóëüêà ó âàêóóì³ ïàäàþòü îäíî÷àñíî.

62
Ð Î Ç Ä ² Ë 1
Â³ëüíå ïàä³ííÿ – ðóõ, ÿêèé âèêîíóâàëî á ò³ëî ï³ä
ä³ºþ ëèøå ñèëè òÿæ³ííÿ áåç óðàõóâàííÿ îïîðó ïî-
â³òðÿ.
Öå ðóõ ç³ ñòàëèì ïðèñêîðåííÿì
r
g , ÿêå íàçèâàþòü ïðèñêîðåííÿì â³ëüíîãî
ïàä³ííÿ.
Ï³ñëÿ ÷èñëåííèõ âèì³ðþâàíü áóëî âñòàíîâëåíî éîãî ñåðåäíº çíà÷åííÿ:
g = 9,81 ì/c2
. Âåêòîð ïðèñêîðåííÿ â³ëüíîãî ïàä³ííÿ çàâæäè íàïðàâëåíèé âåð-
òèêàëüíî âíèç.
Ð³âíÿííÿ ðóõó ò³ëà ó âåðòèêàëüíîìó íàïðÿì³. Ðóõ ò³ëà ó âåðòèêàëüíîìó
íàïðÿì³ îïèñóºòüñÿ ð³âíÿííÿìè ð³âíîïðèñêîðåíîãî ðóõó: = υ +
r
r r 2
2
o
gt
h t ;
υ = υ +
rr r
0 gt ; = υ − υ
rr r r2 2
02gh , äå
r
h – ïåðåì³ùåííÿ ïðè âåðòèêàëüíîìó ðóñ³ (âèñî-
òà); υ υ
r r
0, – øâèäê³ñòü íà ïî÷àòêó òà â ê³íö³ ðóõó;
r
g – ïðèñêîðåííÿ â³ëüíîãî
ïàä³ííÿ.
Ðóõ ò³ëà, êèíóòîãî âåðòèêàëüíî âãîðó äî ìàêñèìàëüíî¿ âèñîòè ï³äéîìó, º
ñïîâ³ëüíåíèì, ïîò³ì âíèç – ïðèñêîðåíèì, áåç ïî÷àòêîâî¿ øâèäêîñò³. ×àñ ï³ä-
éîìó äîð³âíþº ÷àñó ïàä³ííÿ.
Ç ïåâíî¿ âèñîòè ò³ëî ìîæóòü êèäàòè âíèç, íàäàþ÷è éîìó äåÿêî¿ ïî÷àòêî-
âî¿ øâèäêîñò³, à ìîæóòü â³äïóñêàòè – òîä³ ò³ëî ïàäàº áåç ïî÷àòêîâî¿ øâèäêîñò³
(υ0
= 0) (ò³ëî, ùî â³ëüíî ïàäàº).
Ùî òàêå â³ëüíå ïàä³ííÿ ò³ë? ßêèé öå ðóõ? ×îìó?1.
Ó ÷îìó ïîëÿãàº ñóòü äîñë³äó Ã. Ãàë³ëåÿ?2.
Äîâåä³òü, ùî ÷àñ ï³äéîìó ò³ëà, êèíóòîãî âåðòèêàëüíî âãîðó, äîð³âíþº3.
÷àñó éîãî ïàä³ííÿ.
Äîâåä³òü, ùî ò³ëî, ÿêå êèäàþòü âåðòèêàëüíî âãîðó, ³ ÿêå çãîäîì ïàäà-4.
òèìå âíèç, ìàòèìå ó áóäü-ÿê³é òî÷ö³ òðàºêòîð³¿ øâèäêîñò³ ð³âí³ çà ìîäóëåì ³
ïðîòèëåæí³ çà íàïðÿìîì.
Çâåðí³òü óâàãó! Ï³ä ÷àñ ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàäà÷ îï³ð ïîâ³òðÿ íå âðàõîâóâàòè,
ïðèñêîðåííÿ â³ëüíîãî ïàä³ííÿ íàáëèæåíî ìîæíà ïðèéíÿòè ÿê ≈ 2
ì
10
ñ
g .
Çàäà÷à 1. Ò³ëî êèäàþòü âåðòèêàëüíî âãîðó ç ïî÷àòêîâîþ øâèäê³ñòþ 30 ì/c.
Âèçíà÷èòè:
1) ÷åðåç ÿêèé ÷àñ âîíî áóäå íà âèñîò³ 40 ì;
2) ÿêó øâèäê³ñòü ìàòèìå ò³ëî íà ö³é âèñîò³;
3) íà ÿêó ìàêñèìàëüíó âèñîòó ìîæå ï³äíÿòèñü ò³ëî.

63
Äàíî:
υ =0
ì
30
ñ
;
≈ 2
ì
10
ñ
g ;
= 40ìh
Â³ñü Y ñïðÿìóºìî âåðòèêàëüíî âãîðó (ìàë. 64).
t – ?
υ – ?
hmax
– ?
Ðóõ ó âåðòèêàëüíîìó íàïðÿì³ îïèñóºòüñÿ ð³âíÿííÿìè: = υ +
r
r r 2
2
o
gt
h t (1);
υ = υ +
rr r
0 gt (2); = υ − υ
rr r r2 2
02gh (3).
Çà óìîâîþ ïî÷àòêîâà øâèäê³ñòü ò³ëà ñïðÿìîâàíà âåðòèêàëüíî âãîðó, òîìó
¿¿ ïðîåêö³ÿ º äîäàòíîþ. Ïðîåêö³ÿ âåêòîðà gy
– â³ä’ºìíà.
Ç óðàõóâàííÿì çíàê³â ïðîåêö³¿ âåêòîð³â íà â³ñü Y: = υ −
2
0
2
gt
h t .
1) Ùîá âèçíà÷èòè, ÷åðåç ÿêèé ÷àñ ò³ëî áóäå íà âèñîò³ 40 ì, ñêëàäåìî ð³â-
íÿííÿ çã³äíî ç çàäàíèìè ÷èñëîâèìè çíà÷åííÿìè âåëè÷èí: = −
2
10
40 30
2
t
t .
Ðîçâ’ÿçàâøè êâàäðàòíå ð³âíÿííÿ, îòðèìóºìî äâà êîðåí³ t1
= 2 c, t2
= 4 c. Öå
îçíà÷àº, ùî ò³ëî íà âèñîò³ 40 ì áóëî äâ³÷³: ÷åðåç 2 ñ, ðóõàþ÷èñü âãîðó, ³ ÷åðåç
4 ñ – ïàäàþ÷è âíèç.
2) Ùîá âèçíà÷èòè, ÿêó øâèäê³ñòü ìàòèìå ò³ëî íà âèñîò³ 40 ì, ðîçâ’ÿæåìî
ð³âíÿííÿ (2) ç óðàõóâàííÿì çíàê³â ïðîåêö³¿: υ = υ0
− gt.
Ïðè t1
= 2 ñ: υ = − ⋅ =1 2
.
Ïðè t2
= 4 ñ: υ = − ⋅ −2 2
.
Íà îäí³é ³ ò³é ñàì³é âèñîò³ øâèäê³ñòü ò³ëà çà ìîäóëåì îäíàêîâà, à çà íàïðÿ-
ìîì – ïðîòèëåæíà.
3) Ùîá âèçíà÷èòè ìàêñèìàëüíó âèñîòó ï³äéîìó ò³ëà, âðàõîâóºìî, ùî ó
âåðõí³é òî÷ö³ øâèäê³ñòü ò³ëà äîð³âíþº íóëþ.
Òîä³, çàïèñàâøè ð³âíÿííÿ (3) ç óðàõóâàííÿì çíàê³â ïðîåêö³¿, îòðèìàºìî:
− = υ − υ2 2
02gh . Âðàõîâóþ÷è, ùî υ = 0 ì/ñ, ìàºìî:
= υ2
02gh ;
υ
=
2
0
2
h
g
;
2
2
2
2
ì
30
ñ 45 ì
ì
2 10
ñ
h = =
⋅
.
Â³äïîâ³äü: t1
= 2 c, t2
= 4 c; 10 ì/ñ; −10 ì/ñ; 45 ì.
Ìàë. 64. Íàïðÿìè âåêòîð³â
ïî÷àòêîâî¿ øâèäêîñò³
³ ïðèñêîðåííÿ
â³ëüíîãî ïàä³ííÿ

64
Ð Î Ç Ä ² Ë 1
Çàäà÷à 2. Ò³ëî, ùî â³ëüíî ïàäàº, ïðîéøëî îñòàíí³ 10 ì çà 0,25 ñ. Âèçíà÷è-
òè, ç ÿêî¿ âèñîòè ïàäàëî ò³ëî, ³ øâèäê³ñòü ó ìîìåíò éîãî ïðèçåìëåííÿ.
Äàíî:
∆h = 10 ì;
∆t = 0,25 c
Çðîáèìî ñõåìàòè÷íèé ìàëþíîê äî çàäà÷³ (ìàë. 65). Â³ñü Y
ñïðÿìîâóºòüñÿ ó íàïðÿì³ ðóõó ò³ëà.
Îñê³ëüêè ò³ëî â³ëüíî ïàäàº, òî υ0
= 0 ì/ñ, îòæå, ð³âíÿííÿ
ðóõó ìàº âèãëÿä h = gt2
/2 (1).
h – ?
υ – ?
h – âñÿ âèñîòà, ç ÿêî¿ ïàäàº ò³ëî, ∆h – îñòàíí³
10 ì; òîä³ h1
= h − ∆h (2).
Â³äïîâ³äíî t – óâåñü ÷àñ ïàä³ííÿ, ∆t = 0,25 c,
òîä³ t1
= t − ∆t (3).
Çàïèøåìî ð³âíÿííÿ ðóõó äëÿ ò³ëà, ùî â³ëüíî
ïàäàº, íà ä³ëÿíö³ h1
: =
2
1
1
2
gt
h (4).
Ï³äñòàâèìî ð³âíÿííÿ (1) òà (4) ó âèðàç (2):
= − ∆
2 2
1
2 2
gt gt
h (5).
Âðàõîâóþ÷è âèðàç (3), ìàºìî:
( )− ∆
= − ∆
2 2
2 2
g t t gt
h .
Âèçíà÷èìî âåñü ÷àñ ðóõó.
2 2 2
( 2 )
2 2
g t t t t gt
h
− ∆ + ∆
= − ∆ ;
∆
− ∆ + = − ∆
2 2 2
2 2 2
gt g t gt
gt t h ;
∆
− ∆ + = −∆
2
2
g t
gt t h ;
∆
∆ = + ∆
2
2
g t
gt t h ;
∆ ∆
= +
∆2
t h
t
g t
.
Ï³äñòàâëÿºìî ÷èñëîâ³ çíà÷åííÿ:
2
0,25 c 10 ì
4,2 ñ
ì2 9,8 0,25 ñ
ñ
t = + =
⋅
.
Ï³äñòàâëÿþ÷è ÷àñ ïàä³ííÿ ó ôîðìóëó (1), âèçíà÷èìî âèñîòó, ç ÿêî¿ ïàäàº
ò³ëî:
( )
2 2
2
ì
9,8 4,2 ñ
ñ 86 ì
2
h
⋅
= = .
Øâèäê³ñòü ó ìîìåíò ïðèçåìëåííÿ ìîæíà âèçíà÷èòè çà ôîðìóëàìè:
υ = υ +0 gt àáî = υ − υ2 2
02gh , âðàõîâóþ÷è, ùî υ0
= 0 ì/ñ. Òîä³ υ = 41 ì/ñ.
Â³äïîâ³äü: h = 86 ì, υ = 41 ì/c.
Ìàë. 65. Â³ëüíå ïàä³ííÿ ò³ëà

65
Вправа 8
1. Ò³ëî â³ëüíî ïàäàº ç âèñîòè 39,2 ì. Çà ÿêèé ÷àñ ò³ëî ïðîéäå: à) ïåðøèé
ìåòð ñâîãî øëÿõó; á) îñòàíí³é ìåòð ñâîãî øëÿõó? ×îìó äîð³âíþº ñåðåäíÿ øâèä-
ê³ñòü íà äðóã³é ïîëîâèí³ øëÿõó?
2. Ò³ëî, ÿêå â³ëüíî ïàäàº áåç ïî÷àòêîâî¿ øâèäêîñò³, çà îñòàííþ ñåêóíäó
ðóõó ïðîõîäèòü 2/3 óñüîãî øëÿõó. Âèçíà÷èòè øëÿõ, ïðîéäåíèé ò³ëîì çà ÷àñ
ïàä³ííÿ.
3. Ò³ëî â³ëüíî ïàäàº ç âèñîòè 80 ì. ßêå éîãî ïåðåì³ùåííÿ çà îñòàííþ ñåêóí-
äó ïàä³ííÿ?
4. Ò³ëî, ùî â³ëüíî ïàäàº ïðîëåò³ëî íàâïðîòè òî÷êè À ç³ øâèäê³ñòþ υA
. Ç
ÿêîþ øâèäê³ñòþ âîíî ïðîëåòèòü íàâïðîòè òî÷êè Â, ÿêà çíàõîäèòüñÿ íà â³äñòà-
í³ h íèæ÷å òî÷êè À.
5. Ç âåæ³, ùî ìàº âèñîòó h, êèäàþòü îäíî÷àñíî äâà ò³ëà: ïåðøå – ç³ øâèäê³ñ-
òþ υ1
âåðòèêàëüíî âãîðó; äðóãå – ç³ øâèäê³ñòþ υ2
âåðòèêàëüíî âíèç. Âèçíà÷èòè
ð³çíèöþ ∆t ì³æ ÷àñîì ïàä³ííÿ êîæíîãî ç ò³ë íà çåìëþ.
6. Äâà ò³ëà êèíóòî âåðòèêàëüíî âãîðó ç îäíàêîâèìè ïî÷àòêîâèìè øâèäêî-
ñòÿìè ç ³íòåðâàëîì ó ÷àñ³ ∆t. Ç ÿêîþ øâèäê³ñòþ áóäå ðóõàòèñü äðóãå ò³ëî â³ä-
íîñíî ïåðøîãî?
7. Ì’ÿ÷èê â³ëüíî ïàäàº ç âèñîòè 120 ì íà ãîðèçîíòàëüíó ïîâåðõíþ. Ïðè
êîæíîìó â³äáèâàíí³ â³ä ïîâåðõí³ øâèäê³ñòü ì’ÿ÷èêà çìåíøóºòüñÿ ó n = 2 ðàçè.
Ïîáóäóâàòè ãðàô³ê øâèäêîñò³ òà âèçíà÷èòè â³äñòàíü, ïðîéäåíó ì’ÿ÷èêîì çà
÷àñ ðóõó.
§ 13 Рух тіла у полі земного тяжіння
Ðóõ ò³ëà, êèíóòîãî ï³ä êóòîì äî ãîðèçîíòó.
Ðóõ ò³ëà, êèíóòîãî ãîðèçîíòàëüíî ç âèñîòè H.
Ï³ä ä³ºþ ñèëè çåìíîãî òÿæ³ííÿ ñïîñòåð³ãàþòü òàê³ ðóõè: â³ëüíå ïàä³ííÿ,
ðóõ ò³ëà, êèíóòîãî âåðòèêàëüíî âãîðó, ï³ä êóòîì äî ãîðèçîíòó ³ ãîðèçîíòàëüíî
ç ïåâíî¿ âèñîòè.
Ðîçä³ë ìåõàí³êè, ùî äîñë³äæóº ðóõ ò³ë ó ïîë³ òÿ-
æ³ííÿ Çåìë³, íàçèâàºòüñÿ áàë³ñòèêîþ, à ñàì ðóõ
– áàë³ñòè÷íèì.
Ðóõ ò³ëà, êèíóòîãî ï³ä êóòîì äî ãîðèçîíòó. Íàäàìî ò³ëó ïî÷àòêîâî¿ øâèä-
ê³ñòü υ
r
0
, íàïðàâëåíî¿ ï³ä êóòîì äî ãîðèçîíòó (ìàë. 66). Öå áóäå íåð³âíîì³ðíèé
êðèâîë³í³éíèé ðóõ. Ñêîðèñòàâøèñü ïðèíöèïîì íåçàëåæíîñò³ ðóõ³â, ðîçãëÿíå-
ìî éîãî ÿê äâà íåçàëåæí³ ïðÿìîë³éí³éí³ ðóõè: ïî ãîðèçîíòàë³ ³ ïî âåðòèêàë³.

66
Ð Î Ç Ä ² Ë 1
Ðóõ ò³ëà, êèíóòîãî ï³ä êóòîì äî ãîðèçîíòó, º ðå-
çóëüòàòîì ñêëàäàííÿ äâîõ íåçàëåæíèõ ðóõ³â: ð³â-
íîì³ðíîãî ïðÿìîë³í³éíîãî ïî îñ³ Õ ³ ð³âíîïðèñêî-
ðåíîãî ïî îñ³ Y.
Öå îçíà÷àº, ùî ïðîåêö³ÿ øâèäêîñò³ υx
çàëèøàºòüñÿ ïîñò³éíîþ ïðîòÿãîì
ðóõó: υ0x
= υx
= const.
Çàêîí ð³âíîì³ðíîãî ðóõó ïî îñ³ Õ ìàº âèãëÿä: = + υ0 0xx x t .
Ïî â³ñ³ Y ðóõ º ð³âíîïðèñêîðåíèì, îñê³ëüêè âåê-
òîð ïðèñêîðåííÿ â³ëüíîãî ïàä³ííÿ
r
g íà íåâåëèêèõ
âèñîòàõ º âåëè÷èíîþ ñòàëîþ.
Çàêîí ð³âíîïðèñêîðåíîãî ðóõó ïî îñ³ Y ìàº âèãëÿä:
= + υ −
2
0 0
2
y
gt
y y t .
Ó âèáðàí³é íàìè ñèñòåì³ êîîðäèíàò:
=0 0x ; =0 0y ; υ = υ α0 0 siny ; υ = υ α0 0 cosx .
Òàêèì ÷èíîì çàêîí áàë³ñòè÷íîãî ðóõó ìàº âèãëÿä:
0
2
0
( cos ) ,
( sin ) .
2
x t
gt
y t
= υ α⎧
⎪
⎨
= υ α −⎪
⎩
Ðîçâ’ÿçóþ÷è öþ ñèñòåìó ð³âíÿíü, ìîæíà îòðèìàòè ð³âíÿííÿ òðàºêòîð³¿ òà-
êîãî ðóõó. Äëÿ öüîãî ç ïåðøîãî ð³âíÿííÿ âèðàçèìî ÷àñ 0 cost x= υ α ³ ï³äñòàâè-
ìî éîãî ó äðóãå ð³âíÿííÿ. Ï³ñëÿ ñïðîùåíü, ³ âðàõîâóþ÷è, ùî sinα/cosα = tgα,
îòðèìóºìî ð³âíÿííÿ òðàºêòîð³¿: y = xtgα − gx2
/2υ2
0
cos2
α.
Ïîáóäóºìîòðàºêòîð³þðóõó.Çð³âíÿííÿâèäíî,ùîçàëåæí³ñòüy(x)ºêâàäðà-
òè÷íîþ, ãðàô³êîì ÿêî¿ º ïàðàáîëà. Â³òêè ïàðàáîëè ñïðÿìîâàí³ âíèç, îñê³ëüêè
êîåô³ö³ºíò 2 2
02 cos
g⎛ ⎞−
⎜ ⎟υ α⎝ ⎠
ïðè x2
ìåíøå íóëÿ ³ ïàðàáîëà ïðîõîäèòü ÷åðåç
ïî÷àòîê êîîðäèíàò, òî-
ìó ùî y = 0 ïðè x = 0
(ìàë. 67).
Âèçíà÷èìî îñíîâí³
ïàðàìåòðè áàë³ñòè÷íîãî
ðóõó: ÷àñ ³ äàëüí³ñòü ïî-
ëüîòó; ìàêñèìàëüíó âè-
ñîòó ï³äéîìó òîùî.
Âíàñë³äîê íåçà-
ëåæíîñò³ ðóõ³â ïî êîîð-
äèíàòíèì îñÿì ï³äéîì
ò³ëà ïî âåðòèêàë³ âè-
çíà÷àºòüñÿ ëèøå ïðî-
Ìàë. 66.
Ïëîùèíà ïîëüîòó ò³ëà,
êèíóòîãî ï³ä êóòîì
äî ãîðèçîíòó
Ìàë. 67. Ðóõ ò³ëà, êèíóòîãî ï³ä êóòîì äî ãîðèçîíòó

67
åêö³ºþ ïî÷àòêîâî¿ øâèäêîñò³ υ0y
íà â³ñü Y. Öå îçíà÷àº, ùî ÿêùî âåðòèêàëüíà
ïðîåêö³ÿ øâèäêîñò³ ò³ëà, êèíóòîãî ï³ä êóòîì äî ãîðèçîíòó òàêà ñàìà, ÿê ³ ïî-
÷àòêîâà øâèäê³ñòü ò³ëà êèíóòîãî âåðòèêàëüíî âãîðó, òî ö³ ò³ëà áóäóòü ðóõàòèñü
ñèíõðîííî. Òîìó ìàêñèìàëüíó âèñîòó ï³äéîìó ³ ÷àñ ï³äéîìó ìîæíà âèçíà÷èòè
ç â³äîìèõ âàì ôîðìóë, ùî îïèñóþòü ðóõ ò³ëà, êèíóòîãî âåðòèêàëüíî âãîðó.
Äëÿ ò³ëà, êèíóòîãî âåðòèêàëüíî âãîðó: υy
= υ0y
− gt, âðàõîâóþ÷è, ùî íà ìàê-
ñèìàëüí³é âèñîò³ ï³äéîìó υy
= 0 âèçíà÷èìî ÷àñ ï³äéîìó tn
= υ0y
/g, àáî ç óðàõó-
âàííÿì, ùî äëÿ ò³ëà, êèíóòîãî ï³ä êóòîì äî ãîðèçîíòó υ0y
= υ0
sinα ÷àñ ï³äéîìó
âèçíà÷àºòüñÿ tn
= υ0
sinα/g.
Îñê³ëüêè ïàðàáîëà ñèìåòðè÷íà, òî ÷àñ ï³äéîìó äîð³âíþº ÷àñó ïàä³ííÿ, ³ çà-
ãàëüíèé ÷àñ ïîëüîòó
υ α
= = 02 sin
2 nt t
g
.
Ìàêñèìàëüíà âèñîòà ï³äéîìó: .
Äàëüí³ñòü ïîëüîòó ó ãîðèçîíòàëüíîìó íàïðÿì³
υ α
= υ α ⋅ =
2
0
0
sin2
( cos )L t
g
.
ßê âèäíî ç ôîðìóëè, äàëüí³ñòü ïîëüîòó L áóäå íàéá³ëüøîþ çà óìîâè, ÿêùî
α =sin 1 , òîáòî êîëè α = 45°. Çà íàÿâíîñò³ îïîðó ïîâ³òðÿ òðàºêòîð³ÿ ïîëüîòó
ò³ëà, êèíóòîãî ï³ä êóòîì äî ãîðèçîíòó, íå áóäå ïàðàáîëîþ. Äàëüí³ñòü ïîëüîòó
ïðè öüîìó áóäå ìåíøîþ â³ä ðîçðàõîâàíî¿ çà ö³ºþ ôîðìóëîþ.
Ôîðìó òðàºêòîð³¿ ðóõó ò³ëà, êèíóòîãî ï³ä êóòîì äî ãîðèçîíòó â³äòâîðþº
ñòðóì³íü âîäè, ñïðÿìîâàíèé ï³ä êóòîì äî ãîðèçîíòó. Ñïî÷àòêó, ç³ çá³ëüøåí-
íÿì êóòà α, ñòðóìèíà á’º âñå äàë³ ³ äàë³. Ïðè êóò³ 45° äî ãîðèçîíòó äàëüí³ñòü
íàéá³ëüøà (ÿêùî íå âðàõîâóâàòè îï³ð ïîâ³òðÿ). Ç³ çá³ëüøåííÿì êóòà äàëüí³ñòü
çìåíøóºòüñÿ.
Äëÿ ðîçðàõóíêó øâèäêîñò³ ðóõó ò³ëà ó äîâ³ëüí³é òî÷ö³ òðàºêòîð³¿ òà âè-
çíà÷åííÿ êóòà β, ÿêèé óòâîðþº âåêòîð øâèäêîñò³ ç ãîðèçîíòàëëþ, äîñòàòíüî
çíàòè ïðîåêö³¿ øâèäêîñò³ íà îñ³ Õ òà Y. Ïðè öüîìó ñë³ä âðàõîâóâàòè, ùî ãî-
ðèçîíòàëüíà ïðîåêö³ÿ øâèäêîñò³ çàëèøàºòüñÿ ïîñò³éíîþ, ³ äîð³âíþº ïðîåêö³¿
ïî÷àòêîâî¿ øâèäêîñò³ υx
= υ0x
= const, âåðòèêàëüíà ïðîåêö³ÿ çì³íþºòüñÿ: ïðè
ï³äéîì³ âãîðó âîíà çìåíøóºòüñÿ çà ë³í³éíèì çàêîíîì υ = υ α −0 siny gt , íà ìàê-
ñèìàëüí³é âèñîò³ ï³äéîìó υy
= 0, äàë³ ò³ëî ïàäàº âíèç.
Ìîäóëü ðåçóëüòóþ÷î¿ øâèäêîñò³: υ = υ + υ = υ α + υ α −2 2 2 2 2
0 0cos ( sin )x y gt .
Âåêòîð ðåçóëüòóþ÷î¿ øâèäêîñò³ óòâîðþº ç ãîðèçîíòîì êóò β, ùî çì³íþºòü-
ñÿ ç ÷àñîì:
0
0
sin
tg
cos
y
x
gtυ υ α −
β = =
υ υ α
.
Âèñîòà, íà ÿêó ï³äí³ìåòüñÿ ò³ëî çà äîâ³ëüíèé ³íòåðâàë ÷àñó ïîëüîòó,
= υ α −
2
0 sin
2
gt
h t .

68
Ð Î Ç Ä ² Ë 1
Ðóõ ò³ëà, êèíóòîãî ãîðèçîí-
òàëüíî ç âèñîòè H. Öå îêðåìèé
âèïàäîê ðóõó ò³ëà, êèíóòîãî ï³ä
êóòîì äî ãîðèçîíòó (α = 0) ç äå-
ÿêî¿ âèñîòè Í. Öå êðèâîë³í³é-
íèé ðóõ óçäîâæ ã³ëêè ïàðàáî-
ëè ï³ä ä³ºþ çåìíîãî òÿæ³ííÿ. Ó
âåðòèêàëüíîìó íàïðÿì³ âçäîâæ
îñ³ Y â³äáóâàºòüñÿ â³ëüíå ïàä³í-
íÿ, ó ãîðèçîíòàëüíîìó íàïðÿì³
âçäîâæ îñ³ Õ – ð³âíîì³ðíèé ðóõ
(ìàë. 68).
Ó áóäü-ÿêèé ìîìåíò ÷àñó
øâèäê³ñòü υ
r
íàïðÿìëåíà ïî
äîòè÷í³é äî òðàºêòîð³¿. Ãîðè-
çîíòàëüíà ïðîåêö³ÿ øâèäêîñò³ ó áóäü-ÿêèé ìîìåíò ÷àñó çàëèøàºòüñÿ ñòàëîþ:
υx
= υ0
, à âåðòèêàëüíà ïðîåêö³ÿ ë³í³éíî çðîñòàº ç ÷àñîì: υy
= gt.
Ð³âíÿííÿ ðóõó â ãîðèçîíòàëüíîìó íàïðÿì³: x = υx
t; ó âåðòèêàëüíîìó íà-
ïðÿì³: y = gt2
/2 .
Îñê³ëüêè υ ⊥ υx y , òî ìîäóëü øâèäêîñò³ υ
r
ó áóäü-ÿêèé ìîìåíò ÷àñó ïîëüîòó
äîð³âíþº: υ = υ + υ = υ +2 2 2 2 2
0x y g t .
×àñ ïàä³ííÿ äî ïîâåðõí³ Çåìë³: 2t H g= . Äàëüí³ñòü ïîëüîòó: 0 2L H g= υ .
Ìîäóëü øâèäêîñò³ ïàä³ííÿ ïîáëèçó ïîâåðõí³ Çåìë³: υ = υ +2
0 2gh .
Óñ³ âñòàíîâëåí³ ó öüîìó ïàðàãðàô³ ôîðìóëè ñïðàâåäëèâ³ çà óìîâè, ùî ðóõ
â³äáóâàºòüñÿ íà ìàëèõ âèñîòàõ.
Ðåçóëüòàòîì ÿêèõ íåçàëåæíèõ âèä³â ðóõ³â º ðóõ ò³ëà, êèíóòîãî ï³ä êó-1.
òîì äî ãîðèçîíòó?
Çàïèø³òü ôîðìóëè, ùî îïèñóþòü ðóõ ò³ëà, êèíóòîãî ï³ä êóòîì äî ãîðèçîíòó.2.
Ðåçóëüòàòîì ÿêèõ äâîõ íåçàëåæíèõ ðóõ³â º ðóõ ò³ëà, êèíóòîãî ãîðèçîí-3.
òàëüíî ç äåÿêî¿ âèñîòè?
Çàïèø³òü ôîðìóëè, ùî îïèñóþòü ðóõ ò³ëà, êèíóòîãî ãîðèçîíòàëüíî ç4.
äåÿêî¿ âèñîòè.
Çâåðí³òü óâàãó! Ðîçãëÿíóò³ íèæ÷å òèïè çàäà÷ ðîçâ’ÿçóþòüñÿ çà äîïîìîãîþ
ê³íåìàòè÷íèõ ôîðìóë ðóõó ò³ë ó ïîë³ òÿæ³ííÿ Çåìë³ (áåç óðàõóâàííÿ îïî-
ðó ïîâ³òðÿ). Ïðè ðîçâ’ÿçóâàíí³ çàäà÷ âèêîðèñòîâóéòå ôîðìóëè òîòîæíèõ ïåðå-
òâîðåíü (äèâ. äîäàòîê).
Ìàë. 68. Ðóõ ò³ëà,
êèíóòîãî ãîðèçîíòàëüíî ç ïåâíî¿ âèñîòè

69
Çàäà÷à 1. Ë³òàê ëåòèòü ãîðèçîíòàëüíî ç³ øâèäê³ñòþ 720 êì/ãîä íà âèñîò³
245 ì. Êîëè â³í ïðîë³òàº íàä äåÿêîþ òî÷êîþ ïîâåðõí³ Çåìë³, ç íüîãî ñêèäàþòü
âàíòàæ. Íà ÿê³é â³äñòàí³ â³ä ì³ñöÿ êèäàííÿ âàíòàæ óïàäå íà Çåìëþ? Îï³ð ïî-
â³òðÿ íå âðàõîâóâàòè.
Äàíî:
υ0
= 720 êì/ñ = 200 ì/ñ;
H = 245 ì;
g = 9,81 ì/ñ2
Âàíòàæ â³ëüíî ïàäàº ³ îäíî÷àñíî ðóõàºòüñÿ çà
³íåðö³ºþ ç ãîðèçîíòàëüíîþ ïî÷àòêîâîþ øâèäê³ñòþ
υ0
(ìàë. 68, §13).
L – ?
Ê³íåìàòè÷í³ ð³âíÿííÿ ðóõó â³äíîñíî êîîðäèíàòíèõ îñåé ìàþòü âèãëÿä:
ïî îñ³ Õ ðóõ ð³âíîì³ðíèé: L = υ0
t; ïî îñ³ Y – ð³âíîñïîâ³ëüíåíèé áåç ïî÷àòêîâî¿
øâèäêîñò³: = −
2
2
gt
y H .Óìîìåíòïàä³ííÿâàíòàæóíàçåìëþy=0,òîìó =
2
2
gt
H .
Âèçíà÷èìî ÷àñ ïàä³ííÿ: =
2H
t
g
. Òîä³ äàëüí³ñòü ïîëüîòó = υ0
2H
L
g
.
Îá÷èñëåííÿ: 2
2 245 ì
200 ì/ñ 1414,2 ì 1,4 êì.
9,81 ì/ñ
L
⋅
= = ≈
Â³äïîâ³äü: L ≈ 1,4 êì.
Çàäà÷à 2. Íà ïîõèëó ïëîùèíó, êóò íàõèëó ÿêî¿ α ç âèñîòè h â³ëüíî ïàäàº
ò³ëî ³ ïðóæíî â³äáèâàºòüñÿ ç òàêîþ ñàìîþ øâèäê³ñòþ. Âèçíà÷èòè: à) ÷åðåç ÿêèé
÷àñ ï³ñëÿ â³äáèâàííÿ ò³ëî çíîâó âïàäå íà ïîõèëó ïëîùèíó; á) â³äñòàíü â³ä ì³ñöÿ
ïåðøîãî óäàðó äî äðóãîãî, ïîò³ì â³ä äðóãîãî äî òðåòüîãî.
Äàíî:
α; h
Âèáåðåìî ñèñòåìó êîîðäèíàò òàê, ùî ¿¿ ïî÷àòîê çíàõîäèòüñÿ ó
òî÷ö³ ïåðøîãî äîòèêàííÿ ò³ëà äî ïîõèëî¿ ïëîùèíè, â³ñü Õ íàïðÿì-
ëåíà âçäîâæ ïîõèëî¿ ïëîùèíè, à â³ñü Y – ïåðïåíäèêóëÿðíî äî íå¿
(ìàë. 69).
t – ?
l1
– ?
l2
– ?
Ó òàêîìó âèïàäêó ð³âíÿííÿ
ðóõó ò³ëà ìàþòü âèãëÿä:
= υ +
2
2
y
oy
a t
y t (1), = υ +
2
2
x
ox
a t
x t (2),
äå υ = υ αcosoy o , υ = υ αsinox o ,
= − αcosya g , = αsinxa g . Îñê³ëüêè
ï³ñëÿ óäàðó øâèäê³ñòü ò³ëà íå çì³-
íþºòüñÿ, òî υ =0 2gh .
Ó ìîìåíò óäàðó îá ïîõèëó ïëî-
ùèíó y = 0. Òîä³ ç ïåðøîãî ð³âíÿí-
íÿ âèçíà÷èìî ÷àñ:
υ υ
= = =0
2 2 2 2oy
y
gh
t
a g g
.

70
Ð Î Ç Ä ² Ë 1
Öåé ÷àñ çàëèøàºòüñÿ íåçì³ííèì ³ äëÿ íàñòóïíèõ, ï³ñëÿ ïåðøîãî â³äáèâàí-
íÿ, ïàä³íü ò³ëà íà ïîõèëó ïëîùèíó. Ï³äñòàâëÿþ÷è ó äðóãå ð³âíÿííÿ ÷àñ ïîëüî-
òó, âèçíà÷èìî â³äñòàíü ì³æ ì³ñöÿìè ïåðøîãî òà äðóãîãî â³äáèâàíü.
2 2
0 0
1 0 2
2 sin 4 4sin
sin 8 sin .
2
o g
l h
g g g
υ α υ αυ
= υ α + = = α
Â³äñòàíü ì³æ äðóãèì ³ òðåò³ì óäàðàìè:
= υ +
2
2 2
2
x
x
a t
l t , äå υ = υ +2 0x x xa t .
Ï³äñòàâëÿþ÷è âèðàç äëÿ t, îòðèìóºìî l2
= 16hsinα.
Äîâåä³òü ñàìîñò³éíî, ùî â³äñòàíü â³ä ì³ñöÿ òðåòüîãî óäàðó äî ÷åòâåðòîãî
áóäå l3
= 24hsinα. Çðîá³òü âèñíîâîê.
Â³äïîâ³äü: =
2 2gh
t
g
, l1
= 8hsinα, l2
= 16hsinα.
Вправа 9
1. Äàëüí³ñòü ïîëüîòó ò³ëà, êèíóòîãî â ãîðèçîíòàëüíîìó íàïðÿì³ ç³ øâèä-
ê³ñòþ υ = 10 ì/c, äîð³âíþº âèñîò³ êèäàííÿ. Ç ÿêî¿ âèñîòè êèíóòî ò³ëî?
2. Ó âèáðàí³é ñèñòåì³ â³äë³êó (ìàë. 70) íàâåäåíî ïî-
ëîæåííÿ ìàòåð³àëüíî¿ òî÷êè À òà ¿¿ øâèäê³ñòü υ = 10 ì/ñ
ïðè t = 0. Íà òî÷êó ä³º ò³ëüêè ñèëà òÿæ³ííÿ, íàïðÿìëåíà
âçäîâæ â³ñ³ Y. Íàïèñàòè ð³âíÿííÿ çàëåæíîñòåé x(t) i y(t),
à òàêîæ ð³âíÿííÿ òðàºêòîð³¿ y(x), ÿêùî = 6ìOA . Âèçíà-
÷òå ïîëîæåííÿ ðóõîìî¿ òî÷êè ÷åðåç 1 ñ.
3. Ò³ëî êèíóëè ï³ä êóòîì α äî ãîðèçîíòó ç ïî÷àòêîâîþ
øâèäê³ñòþ υ0
. Íàêðåñëèòè ãðàô³êè çàëåæíîñò³: à) âåðòè-
êàëüíî¿ ïðîåêö³¿ øâèäêîñò³ â³ä ÷àñó υy
(t); á) âåðòèêàëüíî¿
ïðîåêö³¿ øâèäêîñò³ â³ä âèñîòè ï³äéîìó υy
(h); â) âåðòèêàëü-
íî¿ ïðîåêö³¿ øâèäêîñò³ â³ä äàëüíîñò³ ïîëüîòó υy
(L).
4. Äâà ò³ëà êèíóòî ç îäíàêîâèìè øâèäêîñòÿìè ï³ä êó-
òàìè α ³
2
π
− α äî ãîðèçîíòó. Âèçíà÷èòè â³äíîøåííÿ
ìàêñèìàëüíèõ âèñîò ï³äéîìó öèõ ò³ë.
5. Ï³ä êóòîì 60° äî ãîðèçîíòó êèäàþòü ò³ëî ç ïî÷àòêîâîþ øâèäê³ñòþ
50 ì/ñ. Âèçíà÷èòè ïåðåì³ùåííÿ ò³ëà â³ä òî÷êè êèäàííÿ ÷åðåç 5 ñ.
6. Íà ÿêó â³äñòàíü âèêèäàºòüñÿ ñòðóìèíà âîäè ç áðàíäñïîéòà, âñòàíîâëåíîãî
ï³ä êóòîì 30°äî ãîðèçîíòó, ÿêùî ïî÷àòêîâà øâèäê³ñòü ñòðóìèíè âîäè – 12 ì/ñ?
Âðàõóâàòè, ùî îï³ð ïîâ³òðÿ çìåíøóº äàëåê³ñòü âèêèäàííÿ ñòðóìèíè ïîð³âíÿíî
ç ðîçðàõîâàíîþ íà 20 %.

71
§ 14 Криволінійний рух.
Рівномірний рух по колу
Ïåðåì³ùåííÿ ³ øâèäê³ñòü ïðè êðèâîë³í³éíîìó ðóñ³.
Îñíîâí³ õàðàêòåðèñòèêè ð³âíîì³ðíîãî ðóõó ïî êîëó.
Ïåðåì³ùåííÿ ³ øâèäê³ñòü ïðè êðèâîë³í³éíîìó ðóñ³. Äîñ³ ìè ðîçãëÿäàëè
ïðÿìîë³í³éí³ ðóõè: ð³âíîì³ðíèé ïðÿìîë³í³éíèé ðóõ, çà ÿêîãî âåêòîð øâèäêî-
ñò³ íå çì³íþºòüñÿ í³ çà ìîäóëåì, í³ çà íàïðÿìîì υ
r
= const òà ð³âíîïðèñêîðåíèé
ïðÿìîë³í³éíèé ðóõ, çà ÿêîãî âåêòîð øâèäêîñò³ çì³íþºòüñÿ çà ìîäóëåì. Âåê-
òîðè øâèäêîñò³ υ
r
³ ïåðåì³ùåííÿ
r
s ï³ä ÷àñ ïðÿìîë³í³éíîãî ðóõó íàïðàâëåí³
â îäèí á³ê.
ßê íàïðàâëåí³ âåêòîðè øâèäêîñò³ υ
r
³ ïåðåì³ùåííÿ
r
s ïðè êðèâîë³í³éíîìó ðóñ³?
Íåõàé ïðîòÿãîì ïåâíîãî ³íòåðâàëó ÷àñó ò³ëî ðóõàºòüñÿ êðèâîë³í³éíîþ òðà-
ºêòîð³ºþ â³ä òî÷êè À äî òî÷êè Â (ìàë. 71). Ïðîéäåíèé ò³ëîì øëÿõ – öå äîâæèíà
äóãè , à ïåðåì³ùåííÿ – öå âåêòîð, íàïðàâëåíèé óçäîâæ õîðäè
uuur
AB .
ßêùî ðîçãëÿäàòè ðóõ çà êîðîòø³ ³íòåðâàëè ÷àñó, òî ìîæíà ñòâåðäæóâàòè,
ùî ìèòòºâà øâèäê³ñòü ò³ëà ó òî÷ö³ òðàºêòîð³¿ íàïðàâëåíà ïî äîòè÷í³é äî äóãè
â ö³é òî÷ö³.
Ó òîìó, ùî øâèäê³ñòü íàïðàâëåíà ïî äîòè÷í³é, ìîæíà ïåðåêîíàòèñÿ, ïðè-
êëàâøè äî òî÷èëüíîãî äèñêà ñòàëåâèé í³æ: ³ñêðè â³ä íüîãî âèë³òàòèìóòü ïî äî-
òè÷í³é äî ì³ñöÿ ïðèêëàäàííÿ íîæà (ìàë. 72, à). Ïî äîòè÷í³é â³äë³òàþòü ÷àñòêè
áàãíþêè â³ä êîë³ñ àâòîìîá³ëÿ, ùî çàáóêñóâàâ (ìàë. 72, á).
Òàêèì ÷èíîì, ìèòòºâà øâèäê³ñòü ò³ëà ó ð³çíèõ òî÷êàõ êðèâîë³í³éíî¿ òðà-
ºêòîð³¿ ìàº ð³çíèé íàïðÿì. Çà ìîäóëåì öÿ øâèäê³ñòü ìîæå áóòè îäíàêîâîþ â
óñ³õ òî÷êàõ, à ìîæå ³ çì³íþâàòèñü.
Ìàë. 71. Íàïðÿì ìèòòºâî¿ øâèäêîñò³ ò³ëà
ï³ä ÷àñ éîãî êðèâîë³í³éíîãî ðóõó

72
Ð Î Ç Ä ² Ë 1
Íàâ³òü êîëè çà ìîäóëåì øâèäê³ñòü íå çì³íþºòüñÿ, ¿¿ íå ìîæíà ââàæàòè ïî-
ñò³éíîþ, àäæå øâèäê³ñòü – âåëè÷èíà âåêòîðíà. À äëÿ âåêòîðíî¿ âåëè÷èíè ìî-
äóëü ³ íàïðÿì îäíàêîâî âàæëèâ³.
Òîìó êðèâîë³í³éíèé ðóõ – öå çàâæäè ðóõ ç ïðèñêîðåííÿì. Ïðèñêîðåííÿ
êðèâîë³í³éíîãî ðóõó ïîâ’ÿçàíå ç³ çì³íîþ íàïðÿìó øâèäêîñò³.
Îñíîâí³ õàðàêòåðèñòèêè ð³âíîì³ðíîãî ðóõó ïî êîëó. ßê ìè óæå ç’ÿñóâàëè,
ðóõ êðèâîë³í³éíîþ òðàºêòîð³ºþ â³äáóâàºòüñÿ ïî äóãàõ ê³ë (äèâ. § 6). Ùîá äî-
ñë³äèòè ïðèñêîðåííÿ ïðè êðèâîë³í³éíîìó ðóñ³, ðîçãëÿíåìî âèïàäîê ð³âíîì³ð-
íîãî ðóõó ìàòåð³àëüíî¿ òî÷êè ïî êîëó.
Ð³âíîì³ðíèé ðóõ ïî êîëó – öå ðóõ ç³ ñòàëîþ çà ìîäóëåì øâèäê³ñòþ ³ ç ïðè-
ñêîðåííÿì, çóìîâëåíèì çì³íîþ íàïðÿìó øâèäêîñò³. Öþ øâèäê³ñòü ïðèéíÿòî
íàçèâàòè ë³í³éíîþ.
ßê â³äîìî, ïðèñêîðåííÿ âèçíà÷à-
ºòüñÿ
υ − υ
=
r r
r 0
a
t
àáî
∆υ
=
r
r
a
t
.
Çðîçóì³ëî, ùî âåêòîð
r
a íàïðàâëå-
íèé òàê ñàìî, ÿê ∆υ
r
, áî ÷àñ t º ñêàëÿð-
íîþ âåëè÷èíîþ.
Íåõàé ò³ëî ðóõàºòüñÿ ïî êîëó ðà-
ä³óñîì r ³ â äåÿêèé ìîìåíò ÷àñó, ÿêèé
ìè ïðèéìåìî çà ïî÷àòêîâèé (t0
= 0),
âîíî ïåðåáóâàòèìå ó òî÷ö³ À (ìàë. 73).
Ë³í³éíà øâèäê³ñòü υ
r
0 ó ö³é òî÷ö³
íàïðàâëåíà ïî äîòè÷í³é. ×åðåç äåÿêèé
ìàëèé ³íòåðâàë ÷àñó t ò³ëî áóäå â òî÷ö³
Â. Ââàæàòèìåìî, ùî ³íòåðâàë ÷àñó íà-
ñò³ëüêè ìàëèé, ùî äóãà çá³ãàºòüñÿ
ç õîðäîþ ÀÂ (íà ìàëþíêó äëÿ íàî÷íîñ-
ò³ òî÷êè â³ääàëåí³). Ó òî÷ö³ Â ò³ëî ìà-
òèìå ë³í³éíó øâèäê³ñòü υ
r
(ÿêà çà ìîäóëåì íå çì³íèëàñü υ = υ0 , çì³íèâñÿ ëèøå
¿¿ íàïðÿì). Çíàéäåìî ð³çíèöþ âåêòîð³â υ
r
0 ³ υ
r
çà ïðàâèëîì â³äí³ìàííÿ âåêòîð³â:
ïåðåíåñåìî âåêòîð υ
r
ïàðàëåëüíî ñàìîìó ñîá³ òàê, ùîá â³í ³ âåêòîð υ
r
0 âèõîäèëè
Ìàë. 73. Âåêòîð ïðèñêîðåííÿ
íàïðàâëåíèé òàê ñàìî, ÿê ∆υ
r
Ìàë. 72. Íàïðÿì ðóõó: à – ³ñêîð; á – ÷àñòîê áàãíþêè

73
ç òî÷êè À. Òîä³ âåêòîð ∆υ
r
, ïðîâåäåíèé â³ä ê³íöÿ âåêòîðà υ
r
0 äî ê³íöÿ âåêòîðà, υ
r
º ¿õ ð³çíèöåþ.
Ç ìàëþíêó âèäíî, ùî âåêòîð ∆υ
r
íàïðàâëåíî ìàéæå äî öåíòðà êîëà. ² ÿêùî
òî÷êè À ³ Â äóæå áëèçüê³, òî âåêòîð ∆υ
r
íàïðàâëåíî òî÷íî äî öåíòðà êîëà. Òàêèé
íàïðÿì ìàº ³ ïðèñêîðåííÿ
r
a .
Îòæå, ïðè ð³âíîì³ðíîìó ðóñ³ ò³ëà ïî êîëó
éîãî ïðèñêîðåííÿ â óñ³õ òî÷êàõ êîëà ñïðÿìîâàíî
ïî ðàä³óñó äî öåíòðà êîëà, éîãî òàê ³ íàçèâàþòü –
äîöåíòðîâå ïðèñêîðåííÿ.
ßê â³äîìî ç êóðñó ãåîìåòð³¿, äîòè÷íà, ïðîâå-
äåíà äî ïåâíî¿ òî÷êè êîëà, º ïåðïåíäèêóëÿðíîþ
äî ðàä³óñà, ïðîâåäåíîãî ó öþ òî÷êó. Îòæå, âåêòîð
äîöåíòðîâîãî ïðèñêîðåííÿ
r
a ó êîæí³é òî÷ö³ êîëà
ïåðïåíäèêóëÿðíèé äî âåêòîðà ë³í³éíî¿ øâèäêî-
ñò³ υ
r
(ìàë. 74).
Ç’ÿñóºìî, â³ä ÷îãî çàëåæèòü ìîäóëü äîöåí-
òðîâîãî ïðèñêîðåííÿ. Ðîçãëÿíåìî òðèêóòíèê,
óòâîðåíèé âåêòîðàìè υ
r
0 , υ
r
òà ∆υ
r
(äèâ. ìàë. 73).
Â³í ð³âíîáåäðåíèé, îñê³ëüêè ð³âí³ ìîäóë³ υ = υ0 .
Òðèêóòíèê ÎÀÂ – òàêîæ ð³âíîáåäðåíèé. Ö³ òðè-
êóòíèêè ïîä³áí³, ÿê ð³âíîáåäðåí³ ç ð³âíèìè êóòà-
ìè ïðè âåðøèí³.
Ç ïîä³áíîñò³ òðèêóòíèê³â:
∆υ υ
=
AB r
.
Îñê³ëüêè, ÿê çãàäóâàëîñü âèùå, õîðäà ÀÂ çá³ãàºòüñÿ ç äóãîþ , äîâæè-
íà ÿêî¿ º ïðîéäåíèé ò³ëîì øëÿõ ³ç ïîñò³éíîþ çà ìîäóëåì ë³í³éíîþ øâèäê³ñòþ
ïðîòÿãîì ÷àñó t. Â³í äîð³âíþº υt.
Òîìó
∆υ υ
=
υt r
, àáî
∆υ υ
=
2
t r
. Îñê³ëüêè
∆υ
t
º ìîäóëü ïðèñêîðåííÿ, òî äîöåí-
òðîâå ïðèñêîðåííÿ âè-
çíà÷àºòüñÿ çà ôîðìóëîþ
a = υ2
/r.
Îòæå, ìîæíà ñòâåð-
äæóâàòè, ùî ó áóäü-ÿê³é
òî÷ö³ êðèâîë³í³éíî¿ òðà-
ºêòîð³¿ (ìàë. 75) ò³ëî ðó-
õàºòüñÿ ç ïðèñêîðåííÿì,
íàïðàâëåíèì äî öåíòðà
òîãî êîëà, ÷àñòèíîþ ÿêî-
ãî º ä³ëÿíêà, ùî ì³ñòèòü
öþ òî÷êó. Ìîäóëü ïðè-
ñêîðåííÿ çàëåæèòü â³ä
øâèäêîñò³ ò³ëà ³ ðàä³óñà
â³äïîâ³äíîãî êîëà.
Ìàë. 74. Íàïðÿìè âåêòîð³â
ë³í³éíî¿ øâèäêîñò³
òà äîöåíòðîâîãî ïðèñêîðåííÿ
Ìàë. 75. Äîöåíòðîâå ïðèñêîðåííÿ êðèâîë³í³éíîãî ðóõó

74
Ð Î Ç Ä ² Ë 1
Ð³âíîì³ðíèé ðóõ ïî êîëó õàðàêòåðèçóºòüñÿ òàêîæ ñïåöèô³÷íèìè ê³íåìà-
òè÷íèìè âåëè÷èíàìè: êóòîâèì ïåðåì³ùåííÿì, êóòîâîþ øâèäê³ñòþ, ïåð³îäîì
³ ÷àñòîòîþ.
Ïåð³îä îáåðòàííÿ ( Ò ) – ÷àñ îäíîãî ïîâíîãî îáåð-
òó òî÷êè, ùî ðóõàºòüñÿ ïî êîëó.
Îäèíèöÿ ïåð³îäó – ñåêóíäà, [Ò] = 1 ñ.
ßêùî ò³ëî ðîáèòü N îáåðò³â, òî =
t
T
N
, t – ÷àñ îáåðòàííÿ; N – ê³ëüê³ñòü
çðîáëåíèõ îáåðò³â.
Îáåðòîâà ÷àñòîòà (n) – ê³ëüê³ñòü îáåðò³â çà
îäèíèöþ ÷àñó: n = N/t.
Îäèíèöÿ îáåðòîâî¿ ÷àñòîòè – îáåðòè çà ñåêóíäó,
[n] = 1 11
ñ
ñ
−
= .
Ëåãêî ïîì³òèòè, ùî ì³æ ÷àñòîòîþ ³ ïåð³îäîì îáåð-
òàííÿ ³ñíóº âçàºìíî îáåðíåíà çàëåæí³ñòü:
n =
1
T
òà
n
=
1
T .
Íåõàé ò³ëî ð³âíîì³ðíî ðóõàºòüñÿ ïî êîëó ðàä³óñà
r ³ çà ïåâíèé ÷àñ t ïåðåì³ùàºòüñÿ ç òî÷êè À â òî÷êó Â
(ìàë. 76). Êóò ϕ, ÿêèé ïðè öüîìó îïèñóº ðàä³óñ, íàçèâà-
ºòüñÿ êóòîì ïîâîðîòó, àáî êóòîâèì ïåðåì³ùåííÿì.
Îäèíèöåþ êóòîâîãî ïåðåì³ùåííÿ º ðàä³àí, [ϕ] = 1 ðàä.
1 ðàä äîð³âíþº öåíòðàëüíîìó êóòó ì³æ äâîìà ðà-
ä³óñàìè, äîâæèíà äóãè ÿêîãî äîð³âíþº ðàä³óñó.
Çà îäèí îáåðò ò³ëî çä³éñíþº êóòîâå ïåðåì³ùåííÿ
2π ðàä.
Êóò ó ðàä³àíàõ ³ öåé ñàìèé êóò ó ãðàäóñàõ ϕ° ïîâ’ÿçàí³ ñï³ââ³äíîøåííÿì:
180
ϕ°π
ϕ =
°
.
Êóòîâå ïåðåì³ùåííÿ – àêñ³àëüíèé âåêòîð ∆ϕ
r
. Àêñ³àëüí³ âåêòîðè âèêî-
ðèñòîâóþòüñÿ ïðè ðîçãëÿä³ îáåðòàëüíîãî ðóõó. Âîíè íàïðàâëåí³ âçäîâæ îñ³
îáåðòàííÿ.
Òàêèì ÷èíîì, çà àíàëîã³ºþ ç ê³íåìàòèêîþ ïîñòóïàëüíîãî ðóõó, ìîæíà ïî-
áóäóâàòè ê³íåìàòèêó îáåðòàëüíîãî ðóõó.
Ìàë. 76.
Êóòîâå ïåðåì³ùåííÿ

75
Ð³âíÿííÿ îáåðòàëüíîãî ðóõó – öå çàëåæí³ñòü
âåêòîðà êóòîâîãî ïåðåì³ùåííÿ â³ä ÷àñó: ( )tϕ = ϕ
r r
.
Êóòîâà øâèäê³ñòüω
r
òî÷êè, ùî ð³âíîì³ðíî ðóõà-
ºòüñÿ ïî êîëó, âèçíà÷àºòüñÿ â³äíîøåííÿì êóòîâîãî
ïåðåì³ùåííÿ äî ³íòåðâàëó ÷àñó, ïðîòÿãîì ÿêîãî öå
ïåðåì³ùåííÿ â³äáóëîñÿ:
t
∆ϕ
ω =
∆
r
r
.
Îäèíèöÿ êóòîâî¿ øâèäêîñò³ – ðàä³àí çà ñåêóíäó, [ω] = 1 ðàä/ñ.
Êóòîâà øâèäê³ñòü – âåêòîðíà âåëè÷èíà. Íàïðàâëåíèé âåêòîð ω
r
óçäîâæ îñ³
îáåðòàííÿ, ïðè÷îìó òàê, ùî íàïðÿì îáåðòàííÿ ³ íàïðÿì ω
r
óòâîðþþòü ïðàâî-
ãâèíòîâó ñèñòåìó (ìàë. 77): ÿêùî äèâèòèñü óñë³ä âåêòîðó ω
r
, òî îáåðòàííÿ â³ä-
áóâàºòüñÿ çà ãîäèííèêîâîþ ñòð³ëêîþ.
Îñê³ëüêè êóòîâå ïåðåì³ùåííÿ çà
÷àñ, ùî äîð³âíþº ïåð³îäó, ñòàíîâèòü 2π
ðàä, òî êóòîâî¿ øâèäêîñò³ ìîæå áóòè
âèçíà÷åíèé ÷åðåç ïåð³îä ³ îáåðòîâó
÷àñòîòó:
ω = 2πn àáî
π
ω =
2
T
.
Ïðè ð³âíîì³ðíîìó ðóñ³ ïî êîëó
êóòîâà øâèäê³ñòü ïîñò³éíà: ω
r
= const.
Ïðè íåð³âíîì³ðíîìó ðóñ³ ïî êîëó
êóòîâà øâèäê³ñòü çì³íþºòüñÿ (âàð³à-
òèâíà) ω
r
= var. Òîìó ïðè íåð³âíîì³ð-
íîìó ðóñ³ ïî êîëó çàñòîñîâóþòü ìèò-
òºâó êóòîâó øâèäê³ñòü
0
lim
t t∆ →
∆ϕ
ω =
∆
r
r
.
Ë³í³éíà øâèäê³ñòü. ßê ìè óæå ç’ÿñóâàëè, ë³í³éíà øâèäê³ñòü ðóõó ò³ëà çà-
ëèøàºòüñÿ ñòàëîþ çà ìîäóëåì, âåñü ÷àñ çì³íþºòüñÿ çà íàïðÿìîì ³ â áóäü-ÿê³é
òî÷ö³ òðàºêòîð³¿ ðóõó ò³ëà íàïðàâëåíà ïî äîòè÷í³é, ïðîâåäåí³é äî êîëà ÷åðåç
öþ òî÷êó.
Çà ïåð³îä T ò³ëî ïðîõîäèòü øëÿõ, ùî äîð³âíþº äîâæèí³ êîëà l = 2πr, òîä³
ìîäóëü ë³í³éíî¿ øâèäêîñò³ âèçíà÷àºòüñÿ: υ = 2πr/T àáî υ = 2πr · n.
Îäèíèöÿ ë³í³éíî¿ øâèäêîñò³ – ìåòð çà ñåêóíäó, [υ] = 1 ì/ñ.
Ëåãêî ïîáà÷èòè çâ’ÿçîê ë³í³éíî¿ ³ êóòîâî¿ øâèä-
êîñòåé: υ = ωr.
ßê ìè ðàí³øå âñòàíîâèëè, äîöåíòðîâå ïðèñêîðåííÿ a = υ2
/r, âðàõîâóþ÷è
çâ’ÿçîê ë³í³éíî¿ ³ êóòîâî¿ øâèäêîñò³, ìîæíà âèðàçèòè ³ òàê: a = ω2
r.
Ìàë. 77. Íàïðÿì âåêòîðà
êóòîâî¿ øâèäêîñò³

76
Ð Î Ç Ä ² Ë 1
Çâåðí³òü óâàãó! ßê âèäíî ç ôîðìóë, äîöåíòðîâå ïðèñêîðåííÿ â îäíîìó
âèïàäêó çàëåæèòü â³ä ðàä³óñà ïðÿìî ïðîïîðö³éíî, à â ³íøîìó – îáåðíåíî ïðî-
ïîðö³éíî. Öåé ïàðàäîêñàëüíèé, íà ïåðøèé ïîãëÿä, âèñíîâîê â³äîáðàæàº òîé
ôàêò, ùî, ÿêùî ó ò³ë, ÿê³ ðóõàþòüñÿ ïî êîëó, îäíàêîâ³ ë³í³éí³ øâèäêîñò³, òî
äîöåíòðîâå ïðèñêîðåííÿ á³ëüøå ó òîãî ç íèõ, ÿêå ðóõàºòüñÿ ïî êîëó ìåíøîãî
ðàä³óñà; ÿêùî îäíàêîâ³ ¿õ êóòîâ³ øâèäêîñò³, òî äîöåíòðîâå ïðèñêîðåííÿ á³ëü-
øå òàì, äå á³ëüøèé ðàä³óñ.
Ãîëîâíîþ îñîáëèâ³ñòþ ð³âíîì³ðíîãî ðóõó ïî êîëó º òå, ùî â³äáóâàºòüñÿ ïå-
ð³îäè÷íå ïîâòîðåííÿ ïîëîæåííÿ ò³ëà ³ â³äïîâ³äíà ïåð³îäè÷íà çì³íà âåëè÷èí,
ùî õàðàêòåðèçóþòü ðóõ. Ç ïîä³áíèìè ïåð³îäè÷íèìè çì³íàìè âåëè÷èí ìè çó-
ñòð³íåìîñü ïðè âèâ÷åíí³ êîëèâàíü.
×èì â³äð³çíÿþòüñÿ çì³íè øâèäêîñò³ ïðè ïðÿìîë³í³éíîìó ³ êðèâîë³í³é-1.
íîìó ðóõàõ?
×è ìîæíà ââàæàòè ð³âíîì³ðíèé ðóõ ïî êîëó ð³âíîïðèñêîðåíèì?2.
ßêùî ïðè ðóñ³ ïî êîëó çì³íþâàòèìåòüñÿ ³ ìîäóëü øâèäêîñò³, òî ÿê öå3.
âïëèâàòèìå íà ïðèñêîðåííÿ?
ßêèìè ñïåöèô³÷íèìè ê³íåìàòè÷íèìè âåëè÷èíàìè õàðàêòåðèçóºòüñÿ4.
ðóõ ïî êîëó?
Çàäà÷à 1. ßê â³äîìî, äîáîâå îáåðòàííÿ Çåìë³ ñòàíîâèòü 24 ãîä. Ç ÿêîþ êó-
òîâîþ òà ë³í³éíîþ øâèäê³ñòþ ðóõàþòüñÿ òî÷êè ïîâåðõí³ Çåìë³, ðîçòàøîâàí³
íà åêâàòîð³? Ðàä³óñ Çåìë³ – 6400 êì. Ââàæàòè, ùî â³ñü îáåðòàííÿ ïðîõîäèòü
êð³çü ïîëþñè.
Äàíî:
T = 24 ãîä = 86 400 ñ;
= ⋅ 6
6,4 10 ìR
Ââàæàòèìåìî îáåðòàííÿ Çåìë³ ð³âíîì³ðíèì.
Êóòîâó øâèäê³ñòü âèçíà÷àºìî çà ôîðìóëîþ
π
ω =
2
T
,
.ω – ?
υ – ?
Ë³í³éíà øâèäê³ñòü â³äïîâ³äíî: υ = ωr , −
υ = ⋅ ⋅ ⋅ =5 6ðàä ì
7,3 10 6,4 10 ì 47
ñ ñ
.
Â³äïîâ³äü: −
ω = ⋅ 5 ðàä
7,3 10
ñ
; υ =
ì
47
ñ
.
Çàäà÷à 2. Âåëîñèïåäèñò ¿äå ïî äîðîç³ ç³ øâèäê³ñòþ 10 ì/ñ. Ñê³ëüêè îáåðò³â
çà ñåêóíäó ðîáëÿòü êîëåñà âåëîñèïåäà, ÿêùî âîíè íå êîâçàþòü? ßêå äîöåíòðî-
âå ïðèñêîðåííÿ ìàþòü òî÷êè íà îáîä³ êîëåñà, ÿêùî éîãî ðàä³óñ 35 ñì?
Äàíî:
υ = 10 ì/ñ;
r = 0,35 ì
Êîëåñî âåëîñèïåäà áåðå ó÷àñòü îäíî÷àñíî ó äâîõ ðóõàõ:
ïîñòóïàëüíîìó ç³ øâèäê³ñòþ υ′
r
òà îáåðòàëüíîìó ç ë³í³éíîþ
øâèäê³ñòþ υ
r
. Íàïðÿìè âåêòîð³â öèõ øâèäêîñòåé ïîêàçàí³
íà ìàë. 78. Âåêòîð øâèäêîñò³ ïîñòóïàëüíîãî ðóõó çá³ãàºòüñÿ
ν – ?
a – ?

77
ç íàïðÿìîì ðóõó âåëîñèïåäà,
òîìó â óñ³õ òî÷êàõ êîëåñà â³í
ìàº îäíàêîâèé íàïðÿì (÷åðâî-
íà ñòð³ëêà íà ìàëþíêó), âåêòîð
ë³í³éíî¿ øâèäêîñò³ ó ð³çíèõ
òî÷êàõ êîëåñà ñïðÿìîâàíèé ïî
äîòè÷í³é, ïðîâåäåí³é ÷åðåç öþ
òî÷êó.
Îñê³ëüêè êîëåñî ðóõàºòüñÿ
áåç ïðîêîâçóâàííÿ, òî òî÷êà À,
ùî ñòèêàºòüñÿ â öåé ìîìåíò ç
äîðîãîþ, ìàº øâèäê³ñòü, ÿêà äî-
ð³âíþº íóëþ. Çâ³äñè âèïëèâàº,
ùî øâèäê³ñòü ïîñòóïàëüíîãî
ðóõó äîð³âíþº çà ìîäóëåì ë³í³é-
í³é øâèäêîñò³.
Òàêèì ÷èíîì, äàíå â óìîâ³
çíà÷åííÿ øâèäêîñò³ ìè ìîæåìî
âèêîðèñòîâóâàòè äëÿ âèçíà÷åí-
íÿ äîöåíòðîâîãî ïðèñêîðåííÿ:
υ
=
2
a
r
,
2
2
2
ì
100
ìñ =285
0,35 ì ñ
a = .
Ê³ëüê³ñòü îáåðò³â, ùî ðîáèòü çà ñåêóíäó êîëåñî (òîáòî îáåðòîâó ÷àñòîòó),
âèçíà÷àºìî çà ôîðìóëîþ:
υ = 2πnr,
2 r
υ
n =
π
, n =
10
1
4,55=
⋅
.
Â³äïîâ³äü: = 2
ì
285
ñ
a ; n = 4,55 c−1
.
Вправа 10
1. Çà ÿêèé ÷àñ êîëåñî, ùî ìàº êóòîâó øâèäê³ñòü 4π ðàä/ñ, çðîáèòü 100 îáåð-
ò³â?
2. ßêùî ðàä³óñ êîëîâî¿ îðá³òè øòó÷íîãî ñóïóòíèêà Çåìë³ çá³ëüøèòè â
4 ðàçè, òî éîãî ïåð³îä îáåðòàííÿ çá³ëüøèòüñÿ ó 8 ðàç³â. Ó ñê³ëüêè ðàç³â çì³-
íèòüñÿ øâèäê³ñòü ðóõó ñóïóòíèêà ïî îðá³ò³?
3. Õâèëèííà ñòð³ëêà ãîäèííèêà ó òðè ðàçè äîâøà â³ä ñåêóíäíî¿. Îá÷èñëèòè
ñï³ââ³äíîøåííÿ ë³í³éíèõ øâèäêîñòåé ê³íö³â ñòð³ëîê.
4. Îá÷èñëèòè äîöåíòðîâå ïðèñêîðåííÿ òî÷îê êîëåñà àâòîìîá³ëÿ, ÿê³ äîòè-
êàþòüñÿ äî äîðîãè, ÿêùî àâòîìîá³ëü ðóõàºòüñÿ ç³ øâèäê³ñòþ 72 êì/ãîä ³ ïðè
öüîìó îáåðòîâà ÷àñòîòà êîëåñà ñòàíîâèòü 8 ñ−1
.
Ìàë. 78. Ïîñòóïàëüíèé
òà îáåðòàëüíèé ðóõ êîëåñà

78
Ð Î Ç Ä ² Ë 1
5. Äâ³ ìàòåð³àëüí³ òî÷êè ðóõàþòüñÿ ïî êîëàõ ðàä³óñàìè R1
³ R2
, ïðè÷îìó
R1
= 2R2
. Ïîð³âíÿòè ¿õ äîöåíòðîâ³ ïðèñêîðåííÿ ó âèïàäêàõ: à) êîëè ¿õ ë³í³éí³
øâèäêîñò³ îäíàêîâ³; á) êîëè ¿õ ïåð³îäè îäíàêîâ³.
6. ßêà ë³í³éíà øâèäê³ñòü òî÷îê çåìíî¿ ïîâåðõí³ íà øèðîò³ 60° ï³ä ÷àñ äî-
áîâîãî îáåðòàííÿ Çåìë³? Ââàæàòè, ùî ðàä³óñ Çåìë³ – 6400 êì.
7. Ðàä³óñ ðóêîÿòêè êîëîâîðîòà êðèíèö³ â 3 ðàçè á³ëüøèé â³ä ðàä³óñà âàëà,
íà ÿêèé íàìîòóºòüñÿ òðîñ. ßêà ë³í³éíà øâèäê³ñòü ê³íöÿ ðóêîÿòêè ï³ä ÷àñ ï³ä-
í³ìàííÿ â³äðà ç ãëèáèíè 10 ì çà 20 ñ?
8. Äèòÿ÷èé çàâîäíèé àâòîìîá³ëü, ðóõàþ÷èñü ð³âíîì³ðíî, ïðîéøîâ øëÿõ
s çà ÷àñ t. Âèçíà÷èòè îáåðòîâó ÷àñòîòó, êóòîâó øâèäê³ñòü êîë³ñ ³ äîöåíòðîâå
ïðèñêîðåííÿ òî÷îê íà îáîä³ êîëåñà, ÿêùî éîãî ä³àìåòð d. ßêùî º ìîæëèâ³ñòü,
âèçíà÷èòè âêàçàí³ ó çàäà÷³ ïàðàìåòðè íà äîñë³ä³.
9. Âèçíà÷èòè ðàä³óñ äèñêà, ùî îáåðòàºòüñÿ, ÿêùî ë³í³éíà øâèäê³ñòü òî-
÷îê, ùî çíàõîäÿòüñÿ íà éîãî êðàþ 6 ì/ñ, à òî÷îê, ùî çíàõîäÿòüñÿ áëèæ÷å íà
15 ñì äî éîãî öåíòðà, – 5,5 ì/ñ.
10. Íà ãîðèçîíòàëüí³é îñ³ îáåðòàþòüñÿ ç ÷àñòîòîþ 3000 îáåðò³â çà õâèëè-
íó äâà òîíêèõ äèñêè, çàêð³ïëåí³ íà â³äñòàí³ 100 ñì îäèí â³ä îäíîãî. Ïóùåíà
ïàðàëåëüíî îñ³ êóëÿ ïðîáèâàº îáèäâà äèñêè, ïðè÷îìó äðóãà ïðîáî¿íà çì³ùåíà
â³äíîñíî ïåðøî¿ íà êóò 45°. Ïðîáèâøè äèñêè, êóëÿ çàãëèáëþºòüñÿ ó ñò³íó íà
60 ñì. Âèçíà÷èòè: à) øâèäê³ñòü êóë³ ï³ä ÷àñ ðóõó ¿¿ ì³æ äèñêàìè; á) ÷àñ ðóõó â
ñò³í³; â) ñåðåäíº çíà÷åííÿ ïðèñêîðåííÿ êóë³ ï³ä ÷àñ ðóõó ó ñò³í³.
§ 15 Рівномірний та нерівномірний обертальні рухи
Õàðàêòåðèñòèêè íåð³âíîì³ðíîãî îáåðòàëüíîãî ðóõó.
Ê³íåìàòè÷í³ ð³âíÿííÿ îáåðòàëüíîãî ðóõó ìàòåð³àëüíî¿ òî÷êè.
Ñï³ââ³äíîøåííÿ ð³âíÿíü ê³íåìàòèêè ïîñòóïàëüíîãî ³ îáåð-
òàëüíîãî ðóõ³â.
Õàðàêòåðèñòèêè íåð³âíîì³ðíîãî îáåðòàëüíîãî ðóõó. Ðóõ ïî êîëó (îáåðòàëü-
íèé ðóõ) ìîæå áóòè ÿê ð³âíîì³ðíèì, òàê ³ íåð³âíîì³ðíèì. Ïðè ð³âíîì³ðíîìó ðóñ³
ïî êîëó ë³í³éíà øâèäê³ñòü çì³íþºòüñÿ ò³ëüêè çà íàïðÿìîì. Ïðè íåð³âíîì³ðíîìó
ðóñ³ – ³ çà íàïðÿìîì, ³ çà ÷èñëîâèì çíà÷åííÿì.
Îñê³ëüêè ë³í³éíå ïðèñêîðåííÿ õàðàêòåðèçóº çì³íó ë³í³éíî¿ øâèäêîñò³ ³ çà
÷èñëîâèì çíà÷åííÿì, ³ çà íàïðÿìêîì, òî éîãî ìîæíà ïîäàòè ó âèãëÿä³ ñóìè
äâîõ ñêëàäîâèõ: τ= +
r r r
nà à à , äå íîðìàëüíå (äîöåíòðîâå) ïðèñêîðåííÿ
r
na õà-
ðàêòåðèçóº çì³íó øâèäêîñò³ çà íàïðÿìîì ³ ñïðÿìîâàíå äî öåíòðà êîëà
2
;na
r
υ
=
òàíãåíö³àëüíå (àáî äîòè÷íå) ïðèñêîðåííÿ τ
r
a õàðàêòåðèçóº çì³íó ìîäóëÿ
øâèäêîñò³ ³ íàïðÿìëåíå ïî äîòè÷í³é äî òðàºêòîð³¿ aτ
= ∆υ/∆t (ìàë. 79).

79
Ìîäóëü ë³í³éíîãî àáî ïîâíîãî
ïðèñêîðåííÿ: τ= +2 2
na a a .
Êóò α, ÿêèé óòâîðþº âåêòîð ë³-
í³éíîãî ïðèñêîðåííÿ
r
a ç ðàä³óñîì-
âåêòîðîì ðóõîìî¿ òî÷êè, âèçíà÷à-
ºòüñÿ ÿê çàëåæí³ñòü tgα = aτ
/an
.
Ïðè ð³âíîì³ðíîìó îáåðòàíí³
ò³ëà ïî êîëó òàíãåíö³àëüíå ïðèñêî-
ðåííÿ â³äñóòíº.
Ïðèíåð³âíîì³ðíîìóðóñ³ïîêîëó
êóòîâà øâèäê³ñòü ω
r
çì³íþºòüñÿ, ùî
âèêëèêàº êóòîâå ïðèñêîðåííÿ.
Êóòîâå ïðèñêîðåííÿ (ε
r
) âèçíà÷àºòüñÿ â³äíîøåí-
íÿì çì³íè êóòîâî¿ øâèäêîñò³ îáåðòàííÿ äî ³íòåðâà-
ëó ÷àñó, çà ÿêèé öÿ çì³íà â³äáóëàñü:
ω − ω∆ω
ε = =
∆ ∆
r rr
r 0
t t
.
Îäèíèöÿ êóòîâîãî ïðèñêîðåííÿ – ðàä³àí çà ñåêóíäó â êâàäðàò³, [ε] = 1 ðàä/ñ2
.
Âåêòîð ε
r
ñï³âïàäàº ç âåêòîðîì ω
r
, ÿêùî îáåðòàííÿ ïðèñêîðåíå, ³ íàïðàâëå-
íèé ó ïðîòèëåæíèé á³ê, ÿêùî îáåðòàííÿ ñïîâ³ëüíåíå.
Âèðàç ∆ω
r
/∆t õàðàêòåðèçóº ñåðåäíþ çà ÷àñ ∆t ñòð³ìê³ñòü çì³íè êóòîâî¿ øâèä-
êîñò³ ðóõó ìàòåð³àëüíî¿ òî÷êè. Éîãî íàçèâàþòü ñåðåäí³ì êóòîâèì ïðèñêîðåí-
íÿì.
ßêùî çìåíøóâàòè ³íòåðâàë ÷àñó, çà ÿêèé çì³íþºòüñÿ êóòîâà øâèäê³ñòü, òî
öèì ìåíøèì áóäå öåé ³íòåðâàë ∆t→ 0, òèì ìåíøîþ áóäå çì³íà êóòîâî¿ øâèäêî-
ñò³ ∆ω
r
→ 0, à äð³á ∆ω
r
/∆t ïðÿìóº äî äåÿêîãî ãðàíè÷íîãî çíà÷åííÿ. Öþ ãðàíèöþ
íàçèâàþòü ìèòòºâèì êóòîâèì ïðèñêîðåííÿì òî÷êè ó ïåâíèé ìîìåíò ÷àñó:
∆ →
∆ω
ε = = ω′
∆
r
r r
0
lim
t t
.
Íåð³âíîì³ðíèé îáåðòàëüíèé ðóõ º äîñèòü ñêëàäíèì, òîìó íàäàë³ áóäåìî
äîñë³äæóâàòè ðóõ ç³ ñòàëèì êóòîâèì ïðèñêîðåííÿì ε
r
= const, òîáòî ð³âíîïðèñ-
êîðåíèé îáåðòàëüíèé ðóõ. Êóòîâà øâèäê³ñòü ð³âíîïðèñêîðåíîãî îáåðòàëüíîãî
ðóõó ìàòåð³àëüíî¿ òî÷êè ó áóäü-ÿêèé ìîìåíò ÷àñó âèçíà÷àºòüñÿ çà ôîðìóëîþ:
ω = ω + ε
r r r
0 t .
Ùîá âñòàíîâèòè çâ’ÿçîê ì³æ êóòîâèì ³ ë³í³éíèì ïðèñêîðåííÿìè, ñêîðè-
ñòàºìîñÿ ñï³ââ³äíîøåííÿì
∆υ
∆ω =
r
, òîä³
∆ω ∆υ
ε = =
∆ ∆t r t
. Îñê³ëüêè çà îçíà÷åííÿì
τ
∆υ
=
∆
a
t
– òàíãåíö³àëüíå ïðèñêîðåííÿ, òî τ
ε =
a
r
.
Ìàë. 79.
Ñêëàäîâ³
ë³í³éíîãî
ïðèñêîðåííÿ

80
Ð Î Ç Ä ² Ë 1
Îòæå, ïðè ð³âíîì³ðíîìó ðóñ³ ïî êîëó º ëèøå äîöåíòðîâå (íîðìàëüíå ïðè-
ñêîðåííÿ), ÿêå çóìîâëåíå çì³íîþ íàïðÿìó ë³í³éíî¿ øâèäêîñò³:
υ π
= = ω = π n = = ωυ
2 2
2 2 2
2
4
4n
r
a r r
r T
.
Ïðè íåð³âíîì³ðíîìó ðóñ³ ïî êîëó âèíèêàº òàíãåíö³àëüíå (äîòè÷íå) òà êóòî-
âå ïðèñêîðåííÿ, ÿê³ ïîâ’ÿçàí³ ì³æ ñîáîþ çàëåæí³ñòþ: τ = εa r .
Ê³íåìàòè÷í³ ð³âíÿííÿ îáåðòàëüíîãî ðóõó ìàòåð³àëüíî¿ òî÷êè.
Ïðè ð³âíîì³ðíîìó îáåðòàíí³, òîáòî ðóñ³ ç ïîñò³éíîþ êóòîâîþ øâèäê³ñòþ,
êóòîâå ïåðåì³ùåííÿ âèçíà÷àºòüñÿ ïëîùåþ ïðÿìîêóòíèêà, îäíà ç³ ñòîð³í ÿêîãî
t, à äðóãà ω (ìàë. 80, à): ϕ = ωt. Ó âèïàäêó íåð³âíîì³ðíîãî ðóõó ïî êîëó ç³ ñòàëèì
êóòîâèì ïðèñêîðåííÿì ãðàô³ê êóòîâî¿ øâèäêîñò³ ìàº âèãëÿä, çîáðàæåíèé íà
ìàë. 80, á.
ßêùî íà ãðàô³êó (ìàë. 80, á) âèä³ëèòè âóçüêó ñìóæêó ′abc d , øèðèíà ÿêî¿
â³äïîâ³äàº ìàëîìó ³íòåðâàëó ÷àñó ∆t, òî âîíà ìàëî â³äð³çíÿºòüñÿ â³ä ïðÿìî-
êóòíèêà abcd. Ïðè äîñèòü
ìàëîìó ∆t ìîæíà ââàæàòè,
ùî ðóõ â³äáóâàºòüñÿ ç ïî-
ñò³éíîþ êóòîâîþ øâèäê³ñòþ,
òîìó ïëîùà ïðÿìîêóòíè-
êà abcd ÷èñåëüíî äîð³âíþº
êóòîâîìó ïåðåì³ùåííþ çà
ìàëèé ³íòåðâàë ÷àñó ∆t. Íà
òàê³ ñìóæêè ìîæíà ðîçáèòè
âñþ ïëîùó ô³ãóðè, ðîçòàøî-
âàíî¿ ï³ä ãðàô³êîì êóòîâî¿
øâèäêîñò³. Îòæå, êóòîâå ïå-
ðåì³ùåííÿ ïðè ð³âíîïðèñêî-
ðåíîìó ðóñ³ ïî êîëó âèçíà÷à-
ºòüñÿ ïëîùåþ òðàïåö³¿ ABCO,
îñíîâàìè ÿêî¿ º â³äð³çêè
CB = ω, OA = ω0
³ âèñîòà ÿêî¿
OC = t. Âðàõîâóþ÷è, ùî ïðè ð³âíîïðèñêîðåíîìó îáåðòàíí³ ω = ω + ε0 t ,
îòðèìóºìî:
2
0
2
t
t
ε
ϕ = ω + . Ó âåêòîðí³é ôîðì³
2
0 .
2
t
t
ε
ϕ = ω +
r
r r
Äëÿ ð³âíîïðèñêîðåíîãî îáåðòàííÿ âèêîíóºòüñÿ òàêîæ ôîðìóëà:
2 2
0 2ω − ω = εϕ.
Ñï³ââ³äíîøåííÿ ð³âíÿíü ê³íåìàòèêè ïîñòóïàëüíîãî ³ îáåðòàëüíîãî ðóõ³â.
Äëÿ ïîñòóïàëüíîãî ðóõó îñíîâíèìè õàðàêòåðèñòèêàìè º ïåðåì³ùåííÿ ³ øâèä-
ê³ñòü, äëÿ îáåðòàëüíîãî – êóò ïîâîðîòó (êóòîâå ïåðåì³ùåííÿ) ³ êóòîâà øâèä-
ê³ñòü.
Ó òàáëèö³ ïîäàíî ñï³ââ³äíîøåííÿ ì³æ ð³âíÿííÿìè ïîñòóïàëüíîãî òà îáåð-
òàëüíîãî ðóõ³â ìàòåð³àëüíî¿ òî÷êè.
Ìàë. 80. Ãðàô³÷íå âèçíà÷åííÿ
êóòîâîãî ïåðåì³ùåííÿ:
à – ð³âíîì³ðíîãî;
á – ð³âíîïðèñêîðåíîãî îáåðòàëüíîãî ðóõ³â

81
Ïîñòóïàëüíèé
ïðÿìîë³í³éíèé
ð³âíîïðèñêîðåíèé ðóõ
Îáåðòàëüíèé ðóõ
ç ïîñò³éíèì êóòîâèì
ïðèñêîðåííÿì
Êîîðäèíàòà
x
x
Êóò ïîâîðîòó:
Øâèäê³ñòü:
r rr Êóòîâà øâèäê³ñòü:
r r r
Ë³í³éíà øâèäê³ñòü: r
Ïðèñêîðåííÿ:
r
r Êóòîâå ïðèñêîðåííÿ:
Äîöåíòðîâå (íîðìàëüíå)
ïðèñêîðåííÿ:
Òàíãåíö³àëüíå (äîòè÷íå)
ïðèñêîðåííÿ:
ßêèé õàðàêòåð çì³íè øâèäêîñò³ ðóõó ò³ëà ïðè íåð³âíîì³ðíîìó éîãî1.
ðóñ³ ïî êîëó?
Ùî òàêå ïîâíå ïðèñêîðåííÿ ðóõó ò³ëà? Ç ÿêèõ êîìïîíåíò³â âîíî ñêëà-2.
äàºòüñÿ?
ßêå ïðèñêîðåííÿ íàçèâàºòüñÿ òàíãåíö³àëüíèì? Íîðìàëüíèì? Çà ÿêè-3.
ìè ôîðìóëàìè âîíè âèçíà÷àþòüñÿ? Íàâåä³òü ïðèêëàäè, êîëè òàíãåíö³àëüíå
ïðèñêîðåííÿ äîð³âíþº íóëþ. À êîëè äîð³âíþº íóëþ íîðìàëüíå ïðèñêîðåííÿ?
Ùî òàêå êóòîâå ïðèñêîðåííÿ? ßêå îáåðòàííÿ íàçèâàþòü ð³âíîïðèñêî-4.
ðåíèì?
Çàäà÷à 1. Êîëåñî ðàä³óñîì 10 ñì îáåðòàºòüñÿ ç êóòîâèì ïðèñêîðåííÿì
3,14 ðàä/ñ2
. Âèçíà÷èòè äëÿ òî÷îê îáîäó íà ê³íåöü ïåðøî¿ ñåêóíäè ðóõó: à) êóòî-
âó øâèäê³ñòü; á) ë³í³éíó øâèäê³ñòü; â) òàíãåíö³àëüíå ïðèñêîðåííÿ; ã) íîðìàëüíå
ïðèñêîðåííÿ; ´) ïîâíå ïðèñêîðåííÿ; ä) êóò, ÿêèé óòâîðþº âåêòîð ïîâíîãî ïðèñêî-
ðåííÿ ç ðàä³óñîì-âåêòîðîì îáîäó. Ïî÷àòêîâà êóòîâà øâèäê³ñòü äîð³âíþº íóëþ.
Äàíî:
r = 10 ñì = 0,01 ì;
ε = 3,14 ðàä/ñ2
;
ω0
= 0;
t = 1 c
Çà ê³íåìàòè÷íèìè ôîðìóëàìè îáåðòàëüíîãî ðóõó âè-
çíà÷àºìî:
à) ω = ω + ε0 t , ω = ε = 3,14ðàä ñt ;
á) υ = ω = ⋅ =3,14ðàä ñ 0,1ì 0,314ì ñr ;
â) τ = εa r = ⋅ =
22
3,14ðàä ñ 0,1ì 0,314ì ñ ;
ã)
υ
=
2
na
r
=
2
2(0,314 ì ñ)
0,986 ì ñ
0,1 ì
= ;
ω – ?; υ – ?
at
– ?; an
– ?
a – ?; α – ?

82
Ð Î Ç Ä ² Ë 1
´) τ= +2 2
na a a = + =2 2 2 2 2
(0,314ì ñ ) (0,986ì ñ ) 1,03ì ñ ;
ä) tg
n
a
a
τ
α = = =
2
2
0,314ì ñ
0,318
0,986ì ñ
, α ≈ 18°.
Â³äïîâ³äü: ω = 3,14ðàä ñ ; υ = 0,314ì ñ ; τ = 2
0,314ì ña ; = 2
0,986ì ñna ;
= 2
1,03ì ñà ; α ≈ 18°.
Çàäà÷à 2. Êîëåñî ïî÷èíàº îáåðòàòèñÿ ð³âíîïðèñêîðåíî. ×åðåç 2 ñ â³ä ïî-
÷àòêó ðóõó âåêòîð ïîâíîãî ïðèñêîðåííÿ òî÷êè, ùî ì³ñòèòüñÿ íà îáîä³ êîëåñà,
óòâîðþº êóò 60° ç âåêòîðîì ¿¿ ë³í³éíî¿ øâèäêîñò³. Âèçíà÷èòè êóòîâå ïðèñêî-
ðåííÿ ó öåé ÷àñ.
Äàíî:
ω0
= 0;
t = 2 c;
α = 60°
Âèêîíàºìî ìàëþíîê äî çàäà÷³ (ìàë. 81).
Ç ìàëþíêà âèäíî, ùî τ = αcosa a .
Ïîâíå ïðèñêîðåííÿ τ= +2 2
na a a .
ε – ?
Âðàõîâóþ÷è, ùî = ω2
na r ³ ω = εt, ìàºìî:
= ε2 2
na t r .
Îñê³ëüêè òàíãåíö³àëüíå ïðèñêîðåííÿ aτ
= εr,
òî íîðìàëüíå ïðèñêîðåííÿ ìîæíà âèðàçèòè
òàê: τ= ε 2
na a t .
Ï³äñòàâèìî öåé âèðàç ó ôîðìóëó:
τ τ τ τ= + = ε + = ε +2 2 2 2 4 2 2 4
1na a a a t a a t .
Âðàõîâóþ÷è, ùî τ = αcosa a , îòðèìóºìî:
τ τ= ε + ⋅ α2 4
1 cosa a t , çâ³äêè:
+ ε =
α
2 4 1
1
cos
t .
Ï³ñëÿ ïåðåòâîðåíü, îòðèìóºìî: ε = tgα/t2
.
Ï³äñòàâëÿºìî ÷èñëîâ³ çíà÷åííÿ: 2
2
3
0,43 ðàä/c
4 c
ε = ≈ .
Â³äïîâ³äü: ε ≈ 0,43 ðàä/ñ2
.
Вправа 11
1. Êîëåñî ïðè îáåðòàíí³ ìàº ïî÷àòêîâó ÷àñòîòó 5 ñ−1
, ï³ñëÿ ãàëüìóâàííÿ
ïðîòÿãîì 1 õâ éîãî ÷àñòîòà çìåíøèëàñÿ äî 3 ñ−1
. Âèçíà÷èòè êóòîâå ïðèñêîðåí-
íÿ êîëåñà òà ê³ëüê³ñòü îáåðò³â, ÿê³ êîëåñî çä³éñíèëî çà öåé ÷àñ. Ââàæàòè ðóõ
ð³âíîñïîâ³ëüíåíèé.
2. Êóòîâà øâèäê³ñòü ò³ëà, ùî ðóõàºòüñÿ ïî êîëó, çì³íþºòüñÿ çà çàêîíîì
ω = 5 + 2t. Âñ³ âåëè÷èíè çàäàíî â Ñ². Ïîáóäóâàòè ãðàô³ê çì³íè øâèäêîñò³. Âè-

83
çíà÷èòè êóòîâå ïðèñêîðåííÿ ³ ïî÷àòêîâó øâèäê³ñòü. ßêîþ áóäå êóòîâà øâèä-
ê³ñòü ÷åðåç 10 ñ ï³ñëÿ ïî÷àòêó îáåðòàííÿ?
3. Ò³ëî ðóõàºòüñÿ ïî êîëó ç ïîñò³éíèì êóòîâèì ïðèñêîðåííÿì 2 ðàä/ñ2
.
Ñê³ëüêè ïîâíèõ îáåðò³â çðîáèòü ò³ëî çà 10 ñ, ÿêùî ïî÷àòêîâà êóòîâà øâèäê³ñòü
äîð³âíþº íóëþ? ßêîþ áóäå êóòîâà øâèäê³ñòü ðóõó ò³ëà ó öåé ìîìåíò ÷àñó?
4. Ò³ëî, ùî îáåðòàºòüñÿ ç ÷àñòîòîþ 120 îá/õâ, çóïèíÿºòüñÿ ïðîòÿãîì
1,5 õâ. Ââàæàþ÷è ðóõ ð³âíîñïîâ³ëüíåíèì, âèçíà÷èòè ê³ëüê³ñòü îáåðò³â äî ïî-
âíî¿ çóïèíêè. Ç ÿêèì êóòîâèì ïðèñêîðåííÿì çóïèíÿºòüñÿ ò³ëî?
5. Òî÷êà ðóõàºòüñÿ ïî êîëó ðàä³óñîì 20 ñì ç ïîñò³éíèì òàíãåíö³àëüíèì
ïðèñêîðåííÿì 5 ñì/ñ2
. Çà ÿêèé ÷àñ â³ä ïî÷àòêó ðóõó íîðìàëüíå ïðèñêîðåííÿ
òî÷êè áóäå: à) äîð³âíþâàòè òàíãåíö³àëüíîìó; á) âäâîº á³ëüøèì çà òàíãåíö³àëü-
íå?
6. Êîëåñî îáåðòàºòüñÿ ç êóòîâèì ïðèñêîðåííÿì 2 ðàä/ñ2
. ×åðåç ³íòåðâàë
÷àñó 0,5 ñ â³ä ïî÷àòêó ðóõó ïîâíå ïðèñêîðåííÿ êîëåñà äîð³âíþº 13,6 ñì/ñ2
. Âè-
çíà÷èòè ðàä³óñ êîëåñà.
Найголовніше в розділі 1
Ìåõàí³÷íèé ðóõ º â³äíîñíèì. Öå îçíà÷àº, ùî òàê³ éîãî ïàðàìåòðè, ÿê òðà-
ºêòîð³ÿ, ïåðåì³ùåííÿ, ïðîéäåíèé øëÿõ, øâèäê³ñòü, çàëåæàòü â³ä âèáîðó ñèñ-
òåìè â³äë³êó ³ º â³äíîñíèìè âåëè÷èíàìè. Ïåðåõ³ä â³ä îäí³º¿ ñèñòåìè â³äë³êó
äî ³íøî¿ çä³éñíþºòüñÿ çà äîïîìîãîþ ïåðåòâîðåíü Ãàë³ëåÿ: = υ + ′x t x , = ′y y ,
= ′z z = ′t t , çã³äíî ç ÿêèìè êîîðäèíàòà ò³ëà çàëåæèòü â³ä ñèñòåìè â³äë³êó, òîá-
òî º ïîíÿòòÿì â³äíîñíèì. Ð³âí³ñòü = ′t t âèðàæàº àáñîëþòíèé (íåçì³ííèé, ³íâà-
ð³àíòíèé) õàðàêòåð ÷àñó.
²ç ïåðåòâîðåíü Ãàë³ëåÿ âèïëèâàº ïðàâèëî âèçíà÷åííÿ øâèäêîñò³ ðóõó ò³ëà
ïðè ïåðåõîä³ â³ä îäí³º¿ ñèñòåìè êîîðäèíàò äî ³íøî¿, à òàêîæ îäèí âàæëèâèé âè-
ñíîâîê: ó âñ³õ ñèñòåìàõ â³äë³êó, ÿê³ ðóõàþòüñÿ ð³âíîì³ðíî ³ ïðÿìîë³í³éíî îäíà
â³äíîñíî ³íøî¿, ïðèñêîðåííÿ ò³ëà çàëèøàºòüñÿ íåçì³ííèì (³íâàð³àíòíèì). Öåé
âèñíîâîê ìè âèêîðèñòîâóâàòèìåìî ó äèíàì³ö³ ïðè ðîçãëÿä³ ïðèíöèïó â³äíîñ-
íîñò³ Ãàë³ëåÿ.
Îñíîâíà çàäà÷à ìåõàí³êè (âèçíà÷åííÿ ïîëîæåííÿ (êîîðäèíàòè) ò³ëà â
áóäü-ÿêèé ìîìåíò ÷àñó) ó ê³íåìàòèö³ ðîçâ’ÿçóºòüñÿ øëÿõîì ñêëàäàííÿ ê³íåìà-
òè÷íèõ ð³âíÿíü, çã³äíî ç ÿêèìè ìîæíà âèçíà÷èòè êîîðäèíàòè ò³ëà çà â³äîìè-
ìè ïðèñêîðåííÿì ³ øâèäê³ñòþ, ³ íàâïàêè, âèçíà÷èòè øâèäê³ñòü ³ ïðèñêîðåííÿ
ò³ëà çà çì³íàìè éîãî êîîðäèíàò.
Ìåõàí³÷íèé ðóõ çà ôîðìîþ òðàºêòîð³¿ ìîæå áóòè ïðÿìîë³í³éíèì ÷è êðèâî-
ë³í³éíèì, çà õàðàêòåðîì ðóõó – ð³âíîì³ðíèì ÷è íåð³âíîì³ðíèì (çîêðåìà ð³â-
íîïðèñêîðåíèé).
Ïðÿìîë³í³éíèé ðóõ:
à) ð³âíîì³ðíèé ïðÿìîë³í³éíèé ðóõ: υ
r
= const. Ê³íåìàòè÷í³ ð³âíÿííÿ ðóõó
x = x0
+ υx
t,
r
s = υ
r
t;
á) íåð³âíîì³ðíèé ïðÿìîë³í³éíèé ðóõ: υ
r
≠ const.

84
Ð Î Ç Ä ² Ë 1
Õàðàêòåðèçóºòüñÿ ñåðåäíüîþ øâèäê³ñòþ: υ =
r
r
c
s
t
(àáî ñåðåäíüîþ øëÿõîâîþ
øâèäê³ñòþ υc
= l / t) òà ìèòòºâîþ øâèäê³ñòþ
0
lim
t
s
s
t∆ →
∆
′υ = =
∆
r
r r
;
â) Ð³âíîïðèñêîðåíèé ïðÿìîë³í³éíèé ðóõ õàðàêòåðèçóºòüñÿ ñòàëèì ïðè-
ñêîðåííÿì: =
r
a const .
Ê³íåìàòè÷í³ ð³âíÿííÿ ðóõó = + υ +
2
0 0
2
x
x
a t
x x t ,
r
s = υ
r
0
t +
2
2
at
r
, υ
r2
− υ2
0
r
= 2
r
a
r
s.
ã) â³ëüíå ïàä³ííÿ – ðóõ ò³ëà, ÿêèé â³äáóâàºòüñÿ ëèøå ï³ä ä³ºþ òÿæ³ííÿ,
áåç ³íøèõ ñòîðîíí³õ âïëèâ³â íà íüîãî. Îêðåìèé âèïàäîê ð³âíîïðèñêîðåíîãî
ðóõó. Ïðèñêîðåííÿ â³ëüíîãî ïàä³ííÿ á³ëÿ ïîâåðõí³ Çåìë³ íå çàëåæèòü â³ä ìàñè
ò³ë ³ º ñòàëîþ âåëè÷èíîþ ñåðåäíº çíà÷åííÿ ÿêîãî ñòàíîâèòü = 2
ì
9,81
ñ
g . Çàâæäè
íàïðàâëåíå âåðòèêàëüíî âíèç.
Ê³íåìàòè÷í³ ð³âíÿííÿ ðóõó = + υ +
2
0 0
2
y
y
g t
y y t ,
2
0
2
gt
h t= υ +
r
r r
, 2 2
0 2ghυ − υ =
rrr r
.
Êðèâîë³í³éíèé ðóõ:
à) ð³âíîì³ðíèé ðóõ ïî êîëó. Õàðàêòåðèçóºòüñÿ ë³í³éíîþ
π
υ = = π n
2
2
r
r
T
òà
êóòîâîþ
ϕ
ω = = πn2
t
øâèäê³ñòþ. Ë³í³éíà øâèäê³ñòü çà ìîäóëåì çàëèøàºòüñÿ
íåçì³ííîþ υ = const. Çì³íà íàïðÿìó âåêòîðà ë³í³éíî¿ øâèäêîñò³ çóìîâëþº
ïîÿâó äîöåíòðîâîãî ïðèñêîðåííÿ:
υ
= = ω
2
2
a r
r
;
r
aäîö
= const. Êóòîâà øâèäê³ñòü
çàëèøàºòüñÿ ñòàëîþ ω
r
= const.
Ê³íåìàòè÷íå ð³âíÿííÿ ð³âíîì³ðíîãî ðóõó ïî êîëó: 0 tϕ = ϕ + ω
r r r
;
á) íåð³âíîì³ðíèé ðóõ ïî êîëó. Õàðàêòåðèçóºòüñÿ çì³ííîþ ë³í³éíîþ ³ êó-
òîâîþ øâèäêîñòÿìè. Çì³íà íàïðÿìó âåêòîðà ë³í³éíî¿ øâèäêîñò³ çóìîâëþº
ïîÿâó äîöåíòðîâîãî (íîðìàëüíîãî) ïðèñêîðåííÿ:
υ
=
2
na
r
, à çì³íà ìîäóëÿ ë³-
í³éíî¿ øâèäêîñò³ çóìîâëþº ïîÿâó äîòè÷íîãî (òàíãåíö³àëüíîãî) ïðèñêîðåííÿ:
τ
∆υ
=
∆
a
t
, çì³íà êóòîâî¿ øâèäêîñò³ çóìîâëþº ïîÿâó êóòîâîãî ïðèñêîðåííÿ:
t
∆ω
ε =
∆
r
r
.
Ê³íåìàòè÷í³ ð³âíÿííÿ ð³âíîïðèñêîðåíîãî ðóõó ïî êîëó: ω = ω + ε
r v v
0 t ,
2
0 0
2
t
t
ε
ϕ = ϕ + ω +
r
r r v
, 2 2
0 2ω − ω = εϕ
r r rv
.

Розділ 2
ДИНАМІКА
поступального та обертального рухів
матеріальної точки
Äèíàì³êà (â³ä ãðåö. dynamis – ñèëà) – ðîçä³ë ìåõàí³êè, â ÿêîìó âèâ÷àºòüñÿ
ðóõ ò³ë ó çâ’ÿçêó ç ¿õ âçàºìîä³ºþ ç ³íøèìè ò³ëàìè.
Äèíàì³êà ïîÿñíþº, çà ÿêèõ óìîâ ò³ëî ðóõàºòüñÿ ñàìå òàê, à íå ³íàêøå, êîëè
ò³ëî ðóõàºòüñÿ ð³âíîì³ðíî, à êîëè – ð³âíîïðèñêîðåíî, êîëè ò³ëî ðóõàºòüñÿ ïðÿ-
ìîë³í³éíî, à êîëè – êðèâîë³í³éíî.
Îñíîâîþ äèíàì³êè º çàêîíè ðóõó, ñôîðìóëüîâàí³ àíãë³éñüêèì ô³çèêîì
²ñààêîì Íüþòîíîì. Òîìó çàêîíè äèíàì³êè ùå íàçèâàþòü çàêîíàìè Íüþòî-
íà. Âèâ÷èâøè ðîáîòè ñâî¿õ ïîïåðåäíèê³â ó ãàëóç³ ìåõàí³êè ³ ïðîâ³âøè âëàñí³
äîñë³äæåííÿ, â³í ãåí³àëüíî óçàãàëüíèâ óñå, ùî áóëî â³äîìî ç ìåõàí³êè íà òîé
÷àñ, ³ çàñíóâàâ ìåõàí³êó ÿê íàóêó. Â³í óâ³â îñíîâí³ ïîíÿòòÿ ìåõàí³êè (ìàñà,
ñèëà, ³ìïóëüñ (ê³ëüê³ñòü ðóõó) òîùî) òà ç ¿õ äîïîìîãîþ ñôîðìóëþâàâ òðè çàêî-
íè ðóõó. Çàêîíè ðóõó íå áóëè âèâåäåí³ òåîðåòè÷íî ÷è åêñïåðèìåíòàëüíî. Âîíè
º óçàãàëüíåííÿì äîñë³äíèõ ôàêò³â. Íàâåäåí³ ó ïàðàãðàôàõ äîñë³äè íå äîâîäÿòü
çàêîíè, à ëèøå äîïîìàãàþòü çðîçóì³òè ¿õ ñóòü.
Ó ðîçä³ë³ «Äèíàì³êà» âèêîðèñòîâóºòüñÿ ïîòóæíèé ìàòåìàòè÷íèé àïàðàò ³
öå âèêëèêàº ïåâí³ òðóäíîù³ ó çàñâîºíí³ íàâ÷àëüíîãî ìàòåð³àëó. Àëå õòî ïðî-
ÿâèòü íàïîëåãëèâ³ñòü, òîé çìîæå ñêîðèñòàòèñÿ ïëîäàìè ñâîº¿ ïðàö³. Àäæå â
öüîìó ðîçä³ë³ âèêîðèñòîâóþòüñÿ óæå â³äîì³ ïîíÿòòÿ «ïðèñêîðåííÿ», «ñèñòåìà
â³äë³êó». Ðóõè ï³ä ä³ºþ ð³çíèõ ñèë çàâæäè ìîæíà çâåñòè äî â³äîìèõ ðóõ³â: ð³â-
íîì³ðíîãî ïðÿìîë³í³éíîãî, ð³âíîïðèñêîðåíîãî ïðÿìîë³í³éíîãî ³ îáåðòàëüíîãî
(ð³âíîì³ðíîãî ÷è íåð³âíîì³ðíîãî ðóõó ïî êîëó).
Òîìó ó öüîìó ðîçä³ë³ ìè ðîçãëÿíåìî ïðàêòè÷íå çàñòîñóâàííÿ çàêîí³â äè-
íàì³êè äëÿ îïèñó ÿê ïîñòóïàëüíîãî ðóõó ìàòåð³àëüíî¿ òî÷êè, òàê ³ îáåðòàííÿ
òâåðäîãî ò³ëà. ßê äëÿ îïèñó ïðè÷èí ðóõó ò³ëà (÷è ÷àñòèí ò³ëà), òàê ³ äëÿ îïèñó
ïðè÷èí ¿õ íåðóõîìîñò³ ÷è ð³âíîâàãè. À òàêîæ äîñë³äèìî ïðèðîäó ñèë, ÿê³ âè-
â÷àþòüñÿ ó ìåõàí³ö³, îñîáëèâîñò³ ðóõó ò³ë ï³ä ä³ºþ öèõ ñèë, âñòàíîâèìî ìåæ³
çàñòîñóâàííÿ çàêîí³â Íüþòîíà ³ ç’ÿñóºìî, ÿê³ çì³íè ñë³ä âíîñèòè â çàêîíè, ùîá
âîíè ä³ÿëè ³ â íå³íåðö³àëüíèõ ñèñòåìàõ â³äë³êó.
§ 16 Механічна взаємодія тіл. Сила. Маса
Âçàºìîä³ÿ ò³ë. Ñèëè ó ìåõàí³ö³.
²íåðòí³ñòü ò³ë. Ìàñà.
Âçàºìîä³ÿ ò³ë. Ñèëè ó ìåõàí³ö³. Äëÿ òîãî ùîá äîñêîíàëî çðîçóì³òè çàêî-
íè ðóõó, íåîáõ³äíî âèâ÷èòè âçàºìîä³þ ò³ë, îñê³ëüêè âçàºìîä³ÿ, òàê ñàìî ÿê ³
ðóõ, º íåâ³ä’ºìíîþ âëàñòèâ³ñòþ ìàòåð³¿.

86
Ð Î Ç Ä ² Ë 2
Áóäü-ÿê³ çì³íè ó ïðèðîä³ â³äáóâàþòüñÿ âíàñë³äîê âçàºìîä³¿ ì³æ ò³ëàìè. Óñ³
ò³ëà òàê ÷è ³íàêøå ïîâ’ÿçàí³ ì³æ ñîáîþ ³ ä³þòü îäíå íà îäíå àáî áåçïîñåðåäíüî
(ï³ä ÷àñ êîíòàêòó îäíå ç îäíèì), àáî ÷åðåç ð³çí³ ïîëÿ.
Ï³ä âçàºìîä³ÿìè ó ìåõàí³ö³ ðîçóì³þòü ò³ ä³¿ ò³ë
îäíå íà îäíå, ðåçóëüòàòîì ÿêèõ º çì³íà ðóõó öèõ
ò³ë àáî ¿õ äåôîðìàö³¿.
Ó ô³çèö³ ÷àñòî íå çàçíà÷àþòü, ÿêå ò³ëî ³ ÿê ä³º íà ïåâíå ò³ëî, à ãîâîðÿòü, ùî
íà ò³ëî ä³º ñèëà àáî äî ò³ëà ïðèêëàäåíà ñèëà. Ïðè÷îìó ³íòåíñèâí³ñòü âçàºìîä³¿
ì³æ ò³ëàìè ìîæå áóòè ð³çíîþ, òîìó ³ ñèëà, ÿêà õàðàêòåðèçóº öþ âçàºìîä³þ,
ìîæå ìàòè ð³çí³ çíà÷åííÿ.
Ñèëà – ô³çè÷íà âåëè÷èíà, ÿêà ê³ëüê³ñíî õàðàêòå-
ðèçóº âçàºìîä³þ.
Ïîçíà÷àºòüñÿ
r
F . Îäèíè-
öåþ ñèëè º íüþòîí, [
r
F ] = 1 Í.
Ñèëà – âåêòîðíà âåëè-
÷èíà ³ ó êîæåí ìîìåíò ÷àñó
ñèëà, ùî ä³º íà ò³ëî, õàðàê-
òåðèçóºòüñÿ ìîäóëåì, íà-
ïðÿìîì ó ïðîñòîð³ ³ òî÷êîþ
ïðèêëàäàííÿ.
Ïðÿìà, âçäîâæ ÿêî¿ íà-
ïðÿìëåíà ñèëà, íàçèâàºòüñÿ
ë³í³ºþ ä³¿ ñèëè (ìàë. 82).
Ñèëà ÿê ê³ëüê³ñíà õà-
ðàêòåðèñòèêà äàº çìîãó îö³-
íèòè ëèøå ãðàâ³òàö³éí³ é
åëåêòðîìàãí³òí³ âçàºìîä³¿,
ÿêèì ïðèòàìàííà âëàñòèâ³ñòü äàëüíüî¿ ä³¿ (äàëåêîä³¿): ¿õ ä³ÿ âèÿâëÿºòüñÿ íà
äóæå âåëèêèõ â³äñòàíÿõ.
Óñ³ ìåõàí³÷í³ ÿâèùà â ìàêðîñêîï³÷íîìó ñâ³ò³ âèçíà÷àþòüñÿ âèêëþ÷íî ãðàâ³-
òàö³éíèìè é åëåêòðîìàãí³òíèìè ñèëàìè. Ó òèõ äóæå ìàëèõ çîíàõ ïðîñòîðó ³ â òèõ
ïðîöåñàõ, â ÿêèõ âèÿâëÿþòüñÿ ñèëüí³ òà ñëàáê³ âçàºìîä³¿, òàê³ ïîíÿòòÿ, ÿê òî÷êà
ïðèêëàäàííÿ, ë³í³ÿ ä³¿, à ðàçîì ³ç íèìè ³ ïîíÿòòÿ ñèëè âòðà÷àþòü çì³ñò.
Ó ìåõàí³ö³ ðîçãëÿäàþòü ãðàâ³òàö³éí³ ñèëè, à òàêîæ äâà ð³çíîâèäè åëåê-
òðîìàãí³òíèõ ñèë – ñèëè ïðóæíîñò³ ³ ñèëè òåðòÿ.
Ä³þ÷è íà ò³ëî, ðîçãëÿíóò³ ñèëè çì³íþþòü øâèäê³ñòü éîãî ðóõó (òîáòî
íàäàþòü ò³ëó ïðèñêîðåííÿ) ³ (àáî) äåôîðìóþòü éîãî.
ßêùî íà ò³ëî ä³º ò³ëüêè îäíà ñèëà, âîíà îáîâ’ÿçêîâî âèêëèêàº ³ ïðèñêîðåí-
íÿ, ³ äåôîðìàö³þ öüîãî ò³ëà. ßêùî íà ò³ëî îäíî÷àñíî ä³º ê³ëüêà ñèë, òî ìîæëè-
âà ¿õ êîìïåíñàö³ÿ (çð³âíîâàæåííÿ) ³ ò³ëî ìîæå íå íàáóâàòè ïðèñêîðåííÿ.
Îäíî÷àñíà ä³ÿ íà ò³ëî ê³ëüêîõ ñèë ìîæå áóòè çàì³íåíà ä³ºþ îäí³º¿ ñèëè (ð³â-
íîä³éíî¿). Öå ìîæëèâå òîìó, ùî ³ñíóº ïðèíöèï ñóïåðïîçèö³¿ (íåçàëåæíîñò³
Ìàë. 82. Ñèëà ÿê âåêòîðíà âåëè÷èíà
õàðàêòåðèçóºòüñÿ òàêîæ òî÷êîþ ïðèêëàäàííÿ ñèëè
òà ë³í³ºþ ä³¿ ñèëè

87
Äèíàì³êà ïîñòóïàëüíîãî òà îáåðòàëüíîãî ðóõ³â ìàòåð³àëüíî¿ òî÷êè
ä³¿ ñèë): ÿêùî íà ò³ëî ä³þòü îäíî÷àñíî ê³ëüêà ñèë, ä³þ êîæíî¿ ç íèõ ìîæíà
ðîçãëÿäàòè íåçàëåæíî â³ä ä³¿ ³íøèõ.
Ñèëà, ÿêîþ ìîæíà çàì³íèòè ä³þ ê³ëüêîõ ñèë,
ïðèêëàäåíèõ äî ò³ëà â îäí³é òî÷ö³, íàçèâàºòüñÿ ð³â-
íîä³éíîþ.
Ð³âíîä³éíà äîð³âíþº ãåîìåòðè÷í³é ñóì³ âñ³õ ñèë, ùî ä³þòü íà ò³ëî.
Ó 8-ìó êëàñ³ âè íàâ÷èëèñÿ âèçíà÷àòè ð³âíîä³éíó ñèë, ùî ä³ÿëè âçäîâæ îä-
í³º¿ ïðÿìî¿ â îäíîìó àáî ïðîòèëåæíèõ íàïðÿìàõ.
ßêùî äâ³ ñèëè
r
1F ³
v
2F ä³þòü íà ò³ëî ï³ä êóòîì îäíà äî
îäíî¿ (ìàë. 83), íàïðÿì ¿õ ð³âíîä³éíî¿ çá³ãàºòüñÿ ç ä³àãîíàë-
ëþ ïàðàëåëîãðàìà, ïîáóäîâàíîãî íà âåêòîðàõ ñèë ÿê íà ñòî-
ðîíàõ, à ìîäóëü ð³âíîä³éíî¿ âèçíà÷àºòüñÿ çà ôîðìóëîþ
= + + α2 2
1 2 1 22 cosF F F F F .
Îñê³ëüêè ñèëà çäàòíà íàäàòè ò³ëó ïðèñêîðåííÿ ³
äåôîðìóâàòè éîãî, òî îáèäâ³ ö³ ä³¿ ìîæíà âèêîðèñòîâóâàòè äëÿ âèì³ðþâàííÿ
ñèëè. Âèíèêíåííÿ äåôîðìàö³¿, íàïðèêëàä, ïðóæèí, çàñòîñîâóþòü ó äèíàìî-
ìåòðàõ – ïðèëàäàõ äëÿ âèì³ðþâàííÿ ñèë.
²íåðòí³ñòü ò³ë. Ìàñà. Ìèòòºâî çì³íèòè øâèäê³ñòü ò³ëà íåìîæëèâî – ä³ÿ íà
íüîãî ³íøîãî ò³ëà ìàº òðèâàòè ïåâíèé ÷àñ.
Âëàñòèâ³ñòü ò³ë çáåð³ãàòè øâèäê³ñòü çà â³äñóòíîñ-
ò³ çîâí³øí³õ ä³é íà íüîãî ç áîêó ³íøèõ ò³ë, íàçèâà-
þòü ³íåðòí³ñòþ.
×èì ³íåðòí³øå ò³ëî, òèì ìåíøå çì³íþºòüñÿ éîãî øâèäê³ñòü çà ïåâíèé ÷àñ.
Ê³ëüê³ñíó ì³ðó ³íåðòíîñò³ ò³ëà íàçèâàþòü éîãî ìàñîþ. ×èì á³ëüøó ³íåðòí³ñòü
ìàº ò³ëî, òèì á³ëüøà éîãî ìàñà.
Ó 8-ìó êëàñ³ âè òàêîæ âñòàíîâèëè, ùî ìàñà õàðàêòåðèçóº ³ ãðàâ³òàö³éíó âçà-
ºìîä³þ. ×èì á³ëüøà ìàñà ò³ëà, òèì ñèëüí³øå âîíî ïðèòÿãóº äî ñåáå ³íø³ ò³ëà.
Îòæå, ìàñà – öå ñêàëÿðíà ô³çè÷íà âåëè÷èíà, ùî
õàðàêòåðèçóº ³íåðòí³ òà ãðàâ³òàö³éí³ âëàñòèâîñò³
ò³ë.
Ó ñó÷àñí³é ô³çèö³ äîñòåìåííî äîâåäåíî òîòîæí³ñòü çíà÷åíü ãðàâ³òàö³éíî¿
òà ³íåðòíî¿ ìàñ ò³ëà (mò
= mi
), òîìó ¿õ íå ðîçä³ëÿþòü ³ êàæóòü ïðîñòî ïðî ìàñó
ò³ëà m.
ßê³ âèäè âçàºìîä³¿ âèîêðåìëþþòü ó ô³çèö³? ßê³ ç íèõ ðîçãëÿäàþòüñÿ ó1.
ìåõàí³ö³?
Ùî º íàñë³äêîì ìåõàí³÷íî¿ âçàºìîä³¿ ò³ë? Ùî õàðàêòåðèçóº ìåõàí³÷íó2.
âçàºìîä³þ ò³ë?
Ìàë. 83. Âèçíà÷åííÿ
ð³âíîä³éíî¿ ñèë

88
Ð Î Ç Ä ² Ë 2
Ùî òàêå ñèëà? ßê³ ¿¿ îñíîâí³ õàðàêòåðèñòèêè? ßê³ âèäè ñèë ðîçãëÿäà-3.
þòüñÿ ó ìåõàí³ö³?
Ùî òàêå ìàñà? ßêó âëàñòèâ³ñòü ò³ë âîíà õàðàêòåðèçóº?4.
Çâåðí³òü óâàãó! Ñèëà ÿê âåêòîðíà âåëè÷èíà, êð³ì ÷èñëîâîãî çíà÷åííÿ ³ íà-
ïðÿìó, õàðàêòåðèçóºòüñÿ òàêîæ òî÷êîþ ïðèêëàäàííÿ, ÿêó ìîæíà ïåðåì³ùóâà-
òè ëèøå âçäîâæ ë³í³¿ ä³¿ ñèëè, ÿêùî ò³ëî àáñîëþòíî òâåðäå (íå äåôîðìóºòüñÿ).
Ñèëè ïðóæíîñò³ (ðåàêö³¿ îïîðè, âàãà), ñèëè òåðòÿ, ñèëà òÿæ³ííÿ ìàþòü â³ä-
ïîâ³äí³ òî÷êè ïðèêëàäàííÿ, ÷îìó ìè ïðèä³ëåìî óâàãó ï³ä ÷àñ äåòàëüíîãî ¿õ âè-
â÷åííÿ.
Ï³ä ÷àñ ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàäà÷ ³ç äèíàì³êè ó á³ëüøîñò³ ç íèõ âçàºìîä³þ÷³ ò³ëà
ââàæàþòüñÿ ìàòåð³àëüíèìè òî÷êàìè. Íàãàäóºìî, ìàòåð³àëüíà òî÷êà – öå ò³ëî,
ðîçì³ðàìè ³ ôîðìîþ ÿêîãî â ïåâí³é çàäà÷³ ìîæíà çíåõòóâàòè. Âñþ ìàñó ò³ëà ìîæ-
íà ââàæàòè çîñåðåäæåíîþ â òî÷ö³, ÿêó íàçèâàþòü öåíòðîì ìàñ. Âèêîíóþ÷è ìà-
ëþíîê äî çàäà÷³, âåêòîðè ñèë, ùî ä³þòü íà ò³ëî, ïàðàëåëüíèì ïåðåíåñåííÿì ðîç-
òàøîâóâàòèìåìî òàê, ùî ïî÷àòêè âåêòîð³â áóäóòü ïðèêëàäåí³ äî ö³º¿ òî÷êè.
Äóæå âàæëèâî íàâ÷èòèñÿ ïðàâèëüíî çîáðàæàòè íà ìàëþíêó íàïðÿìêè
ñèë, ÿê³ ä³þòü íà ò³ëî; ðîçêëàäàòè ¿õ íà ñêëàäîâ³ (ïðîåêö³¿ íà êîîðäèíàòí³ îñ³);
çíàõîäèòè ð³âíîä³éíó ñèë.
Çàäà÷à. Ñòð³ëåöü íàòÿãóº òÿòèâó ëóêà, ä³þ÷è ç ñèëîþ 150 Í. Êóò ì³æ íà-
òÿãíóòèìè ÷àñòèíàìè – òÿòèâè 120°. ßêà ñèëà ïðóæíîñò³ âèíèêàº ó êîæí³é ³ç
÷àñòèí òÿòèâè?
Äàíî:
F1
= 150 Í;
α = 120°
Çðîáèìî ñõåìàòè÷íèé ìàëþíîê äî çàäà÷³. Ñèëà, ç ÿêîþ ñòð³-
ëåöü íàòÿãóº òÿòèâó ëóêà –
r
1F . Ñèëè ïðóæíîñò³
r
Fïð
, ùî âèíèêà-
þòü ó ÷àñòèíàõ òÿòèâè, ð³âí³ çà ìîäóëåì ³ ñïðÿìîâàí³ ï³ä êóòîì
120° îäíà äî îäíî¿ (ìàë. 84, à).
Fïð
– ?
Âèçíà÷àºìî çà ïðàâèëîì äîäàâàííÿ âåêòîð³â ð³âíîä³éíó äâîõ ñèë ïðóæíîñ-
ò³
r
2F (ìàë. 84, á), ìîäóëü ÿêî¿ ìîæíà âèçíà÷èòè çà ôîðìóëîþ
= + + α = + =2 2 2 2
2 2 cos 2 2 cos120°ïp ïp ïp ïp ïp ïp ïpF F F F F F F F .
Ìàë. 84. Âèçíà÷åííÿ ð³âíîä³éíî¿ ñèë

89
Àáî ç óðàõóâàííÿ òîãî, ùî êóò ì³æ âåêòîðàìè
r
Fïð
ñòàíîâèòü 120°, òîä³ óòâî-
ðåíèé òðèêóòíèê âåêòîð³â º ð³âíîñòîðîíí³ì, òîáòî F2
= Fïp
.
Îñê³ëüêè ó äàíèé ìîìåíò ñòð³ëà ùå íåðóõîìà, òî ð³âíîä³éíà âñ³õ ïðèêëàäå-
íèõ äî íå¿ ñèë äîð³âíþº íóëþ, îòæå, ñèëè
r
1F ³
r
2F º ð³âíèìè çà ìîäóëåì.
Òàêèì ÷èíîì, Fïp
= F1
= 150 Í.
Â³äïîâ³äü: Fïp
= 150 Í.
Вправа 12
1. Äâà äèíàìîìåòðè ç’ºäíàëè íèòêîþ, äî ÿêî¿ ï³äâ³ñèëè òÿãàðåöü âàãîþ
1 Í (ìàë. 85). Çì³íþþ÷è êóò ì³æ íèòêàìè â³ä 30° äî 150°, âèçíà÷èòè ñèëó íà-
òÿãó íèòîê. ßêùî º çìîãà, ïåðåâ³ðòå îòðèìàí³ ðåçóëüòàòè åêñïåðèìåíòàëüíî.
2. ßêå çíà÷åííÿ ìàòèìóòü ñèëè, íàïðÿìëåí³ ïåðïåíäèêóëÿðíî îäíà äî îäíî¿,
ÿêùî ¿õ ìîæíà çàì³íèòè ð³âíîä³éíîþ 250 Í, ÿêà óòâîðþº êóò 30° ç îäí³ºþ ç öèõ ñèë?
3. Âèçíà÷èòè ð³âíîä³éíó äâîõ ñèë F1
³ F2
ïðèêëàäåíèõ äî îäí³º¿ òî÷êè ó âè-
ïàäêàõ, êîëè êóò ì³æ ¿õ íàïðÿìàìè 60° òà 120°. Ìîäóë³ ñèë F1
= 6 Í òà F2
= 8 Í.
4. Ðîçêëàñòè ñèëó F = 10 Í íà äâ³ ñêëàäîâ³ F1
òà F2
, íàïðàâëåí³ ï³ä êóòàìè
α1
= 30° òà α2
= 45° äî íàïðÿìó âåêòîðà F.
5. ßêèé ìàêñèìàëüíèé ³ ÿêèé ì³í³ìàëüíèé ðåçóëüòàòè ìîæíà ä³ñòàòè â³ä
äîäàâàííÿ òðüîõ ñèë ç ìîäóëÿìè: F, kF, 2kF?
§ 17 Перший закон Ньютона.
Інерціальні системи відліку
Ïî÷àòêîâ³ óÿâëåííÿ ïðî ïðè÷èíè ðóõó ò³ë.
Çàêîí ³íåðö³¿.
²íåðö³àëüíà ñèñòåìà â³äë³êó.
Ïðèíöèï â³äíîñíîñò³ Ãàë³ëåÿ.
Ïî÷àòêîâ³ óÿâëåííÿ ïðî ïðè÷èíè ðóõó ò³ë. Ñïèðàþ÷èñü íà ñïîñòåðåæåííÿ
ÿâèù ðóõó, ãðåöüê³ ô³ëîñîôè ïîíàä äâ³ òèñÿ÷³ ðîê³â òîìó ä³éøëè âèñíîâêó, ùî
ïðèðîäíèì ñòàíîì ò³ëà º ñïîê³é, îñê³ëüêè âñ³ ò³ëà â³ä ïðèðîäè «ë³íèâ³», àáî
³íåðòí³ (â³ä ëàò. iners – áåçä³ÿëüíèé, íåðóõîìèé). Âèíèêíåííÿ ðóõ³â ò³ë ìîæ-
Ìàë. 85.
Äî çàäà÷³ 1

90
Ð Î Ç Ä ² Ë 2
ëèâå ëèøå â ðåçóëüòàò³ ä³¿ àêòèâíî¿ ñèëè, à ïðèïèíåííÿ ä³¿ ö³º¿ ñèëè ïðèçâî-
äèòü äî çóïèíêè ò³ëà. Òîä³, êîëè ñïîñòåð³ãàëè ðóõ, àëå íå ðîçóì³ëè éîãî ïðè-
÷èí (ðóõ Ñîíöÿ, Ì³ñÿöÿ, ç³ðîê òà ³íøèõ íåáåñíèõ ò³ë), äàâàëè òàêå ïîÿñíåííÿ:
ö³ ïðåäìåòè ðóõàþòü áîãè. Òàêà ìåõàí³êà íà òîé ÷àñ áóëà äî âïîäîáè öåðêâ³.
Ïîìèëêè äàâíüîãðåöüêèõ ó÷åíèõ â ðîçóì³íí³ ìåõàí³÷íèõ ðóõ³â âèïðàâèâ
³òàë³éñüêèé ó÷åíèé Ã. Ãàë³ëåé, äîñë³äæóþ÷è ðóõ êóëüêè ïî ïîõèëîìó æîëîáó.
Â³í ïîì³òèâ, ùî êîëè êóëÿ êîòèòüñÿ ïî ïîõèëîìó æîëîáó âíèç, ¿¿ øâèäê³ñòü –
çá³ëüøóºòüñÿ, êîëè êóëÿ êîòèòüñÿ íàãîðó – ¿¿ øâèäê³ñòü çìåíøóºòüñÿ. Ãàë³ëåé
ïðèïóñòèâ, ùî êîëè êóëÿ êîòèòèìåòüñÿ ïî ãîðèçîíòàëüí³é ïëîùèí³ çà ïîâíî¿
â³äñóòíîñò³ ñèëè òåðòÿ àáî îïîðó, øâèäê³ñòü ò³ëà çàëèøàºòüñÿ ïîñò³éíîþ, ³ äëÿ
ï³äòðèìàííÿ ðóõó íå ïîòð³áíî ïðèêëàäàòè æîäíî¿ ñèëè!
Öå îçíà÷àëî, ùî çäàòí³ñòü ò³ë äî «çáåðåæåííÿ ðóõó» âëàñòèâà ñàìèì ò³ëàì,
à âïëèâ ³íøèõ ò³ë âèÿâëÿºòüñÿ â òîìó, ùî øâèäê³ñòü ïåâíîãî ò³ëà çì³íþºòüñÿ.
ßâèùå çáåðåæåííÿ ò³ëîì øâèäêîñò³ çà â³äñóòíîñò³ çîâí³øí³õ ä³é íà íüîãî
ç áîêó ³íøèõ ò³ë, íàçèâàþòü ³íåðö³ºþ, à öþ âëàñòèâ³ñòü ò³ëà – ³íåðòí³ñòþ.
Âëàñòèâ³ñòü ³íåðòíîñò³, ÿêà ïðèòàìàííà âñ³ì ò³ëàì, ïîëÿãàº â òîìó, ùî äëÿ
çì³íè øâèäêîñò³ ò³ëà ïîòð³áåí ÷àñ. Ç äâîõ ò³ë, ùî âçàºìîä³þòü, ³íåðòí³øå òå,
ÿêå ïîâ³ëüí³øå çì³íþº ñâîþ øâèäê³ñòü.
Çàêîí ³íåðö³¿. Ôóíäàìåíòàëüíèé âèñíîâîê Ã. Ãàë³ëåÿ âèêîðèñòàâ ². Íüþ-
òîí ³ ñôîðìóëþâàâ éîãî ó âèãëÿä³ ïåðøîãî çàêîíó äèíàì³êè (çàêîíó ³íåðö³¿).
Áóäü-ÿêå ò³ëî çáåð³ãàº ñòàí ñïîêîþ àáî ð³âíî-
ì³ðíîãî ïðÿìîë³í³éíîãî ðóõó, ÿêùî âîíî íå çìó-
øåíå çì³íèòè éîãî ï³ä âïëèâîì ñèë, ùî ä³þòü.
Ïåðøà ÷àñòèíà çàêîíó ³íåðö³¿ ï³äòâåðäæóºòüñÿ ïðàêòè÷íî íà êîæíîìó
êðîö³: â³äíîñíèé ñïîê³é ò³ë ìîæíà ïîðóøèòè ëèøå ï³ä ä³ºþ ³íøèõ ò³ë. Çðîáè-
òè ïðàâèëüíèé âèñíîâîê ïðî òå, ùî ò³ëî çáåð³ãàº ñòàí ïðÿìîë³í³éíîãî ³ ð³âíî-
ì³ðíîãî ðóõó, ëþäÿì çàâàæàëî òå, ùî â çåìíèõ óìîâàõ ìåõàí³÷íèé ðóõ ñóïðî-
âîäæóºòüñÿ òåðòÿì, îïîðîì âîäè àáî ïîâ³òðÿ òîùî.
Ïðî òå, ùî ò³ëó âëàñòèâî çáåð³ãàòè íå áóäü-ÿêèé ðóõ, à ñàìå ïðÿìîë³í³é-
íèé, ñâ³ä÷èòü òàêèé äîñë³ä (ìàë. 86). Êóëüêà, ùî ðóõàºòüñÿ ïðÿìîë³í³éíî ïî
ïëîñê³é ãîðèçîíòàëüí³é ïîâåðõí³, ñòèêàþ-
÷èñü ³ç ïåðåøêîäîþ, ÿêà ìàº êðèâîë³í³éíó
ôîðìó, ï³ä ä³ºþ ö³º¿ ïåðåøêîäè çìóøåíà
ðóõàòèñÿ ïî äóç³. Îäíàê, êîëè êóëüêà äî-
õîäèòü äî ê³íöÿ ïåðåøêîäè, âîíà ïåðåñòàº
ðóõàòèñÿ êðèâîë³í³éíî ³ çíîâó ïî÷èíàº ðó-
õàòèñÿ ïî ïðÿì³é.
Ðóõ êóëüêè ïî ïîõèë³é ïëîùèí³, çà ì³ð-
êóâàííÿìè Ãàë³ëåÿ, ðîçãëÿäàëè â³äíîñíî
ïîâåðõí³ Çåìë³, ÿêà ââàæàºòüñÿ íåðóõîìîþ.
Âèâ÷àþ÷è ê³íåìàòèêó, ìè ìîãëè äîâ³ëüíî
âèáèðàòè ñèñòåìó â³äë³êó, îñê³ëüêè ó ê³-
íåìàòèö³ âñ³ ñèñòåìè â³äë³êó ð³âíîïðàâí³.
Ç’ÿñóºìî, ÿê âïëèâàº äîâ³ëüíèé âèá³ð ñèñ-
Ìàë. 86. Çáåðåæåííÿ
ïðÿìîë³í³éíîãî ðóõó

91
òåì â³äë³êó íà âèêîíàííÿ çàêîíó ³íåðö³¿
â äèíàì³ö³.
²íåðö³àëüíà ñèñòåìà â³äë³êó. Íåõàé
ìè ìàºìî ñèñòåìó â³äë³êó ÕÎY, â³äíîñ-
íî ÿêî¿ ò³ëî À ïåðåáóâàº ó ñòàí³ ñïîêîþ,
à ò³ëî Â ðóõàºòüñÿ ïðÿìîë³í³éíî ³ ð³âíî-
ì³ðíî (ìàë. 94).
Âèáåðåìî ³íøó ñèñòåìó â³äë³êó
′ ′ ′X O Y , ÿêà ðóõàºòüñÿ â³äíîñíî ïåðøî¿ ç
ïðèñêîðåííÿì
r
a . Òîä³ â³äíîñíî ö³º¿ ñèñ-
òåìè â³äë³êó ′ ′ ′X O Y ³ ò³ëî À, ³ ò³ëî Â ðóõà-
þòüñÿ ïðèñêîðåíî, õî÷ íà íèõ ³ íå ä³þòü
³íø³ ò³ëà.
Òàêèì ÷èíîì, ó ñèñòåì³ â³äë³êó, ÿêà ðóõàºòüñÿ ç ïðèñêîðåííÿì, çàêîí
³íåðö³¿ íå âèêîíóºòüñÿ.
²íåðö³àëüíèìè íàçèâàþòüñÿ òàê³ ñèñòåìè, â ÿêèõ ³çîëüîâàíå ò³ëî ðó-
õàºòüñÿ çà ³íåðö³ºþ. Â ³íåðö³àëüíèõ ñèñòåìàõ â³äë³êó (²ÑÂ) çì³íà øâèäêîñò³
ðóõó ò³ëà ìîæå áóòè ñïðè÷èíåíà ëèøå ïðè âçàºìîä³¿ ç ³íøèìè ò³ëàìè.
Ñèñòåìè â³äë³êó, ÿê³ ðóõàþòüñÿ â³äíîñíî ³íåðö³àëüíèõ ñèñòåì ³ç ïðèñêî-
ðåííÿì (ïîñòóïàëüíî ÷è îáåðòàëüíî), – íå³íåðö³àëüí³.
². Íüþòîí, ðîçãëÿäàþ÷è ³íåðö³àëüíó ñèñòåìó â³äë³êó, òàê ³ íå çì³ã âêàçàòè
ò³ëî, ÿêå áóëî á äëÿ íå¿ ò³ëîì â³äë³êó. Íàâêîëèøí³ ò³ëà ðóõàþòüñÿ ïðèñêîðåíî:
ä³ì îáåðòàºòüñÿ íàâêîëî îñ³ Çåìë³, à ðàçîì ç ¿¿ ïîâåðõíåþ íàâêîëî Ñîíöÿ. Ñèñ-
òåìè â³äë³êó, ÿê³ ïîâ’ÿçàí³ ç íàâêîëèøí³ìè ò³ëàìè, íå³íåðö³àëüí³, àëå ¿õ ïðè-
ñêîðåííÿ çäåá³ëüøîãî º äóæå ìàëèìè. Ïðèñêîðåííÿ àâòîáóñà ñòàíîâèòü áëèçü-
êî 1 ì/ñ2
, âåëèêîãî êîðàáëÿ – ê³ëüêà ñì/ñ2
, Çåìë³ – 6 ìì/ñ2
, Ñîíöÿ – áëèçüêî
10−8
ñì/ñ2
. Â³äïîâ³äíî, ÷èì á³ëüøà ìàñà ò³ëà â³äë³êó, òèì ìåíøå éîãî ïðèñêî-
ðåííÿ. Òîìó ²ÑÂ – öå àáñòðàêòíå ïîíÿòòÿ, ÿêáè âîíà ³ñíóâàëà, òî ìàëà á íå-
ñê³í÷åííî âåëèêó ìàñó. Î÷åâèäíî, ùî íàéá³ëüøó ìàñó ç ò³ë, ùî îòî÷óþòü íàñ
ìàº Ñîíöå, òîìó ïîâ’ÿçàíà ç íèì ñèñòåìà â³äë³êó º ìàéæå ³íåðö³àëüíîþ. Ó ö³é
²ÑÂ ïî÷àòîê â³äë³êó êîîðäèíàò ñóì³ùàþòü ç öåíòðîì Ñîíöÿ, à êîîðäèíàòè îñåé
ïðîâîäÿòü ó íàïðÿì³ äî ç³ðîê, ÿê³ ìîæíà ââàæàòè íåðóõîìèìè.
Äëÿ îïèñó áàãàòüîõ ìåõàí³÷íèõ ÿâèù ó çåìíèõ óìîâàõ ²ÑÂ ïîâ’ÿçóþòü ³ç
Çåìëåþ, ïðè öüîìó íåõòóþòü îáåðòàëüíèìè ðóõàìè Çåìë³ íàâêîëî ñâîº¿ îñ³ ³ íà-
âêîëî Ñîíöÿ. Íàïðèêëàä, âèâ÷àþ÷è â³ëüíå ïàä³ííÿ ç Ï³çàíñüêî¿ âåæ³, ïîòð³á-
íî áóëî á âðàõîâóâàòè ¿¿ äîöåíòðîâå ïðèñêîðåííÿ (2–3 ñì/ñ2
), îñê³ëüêè Çåìëÿ
îáåðòàºòüñÿ íàâêîëî ñâîº¿ îñ³. Àëå äîöåíòðîâå ïðèñêîðåííÿ â äåê³ëüêà ñîò ðà-
ç³â ìåíøå â³ä ïðèñêîðåííÿ â³ëüíîãî ïàä³ííÿ
r
g , òîìó íèì çàçâè÷àé íåõòóþòü.
Ó á³ëüøîñò³ çàäà÷ Çåìëþ ââàæàþòü ³äåàëüíèì ò³ëîì â³äë³êó, à ïîâ’ÿçàí³ ç íåþ
ñèñòåìè – ³íåðö³àëüíèìè. ²íåðö³àëüíèìè º ³ ñèñòåìè â³äë³êó, ÿê³ ðóõàþòüñÿ
â³äíîñíî Çåìë³ ïðÿìîë³í³éíî ³ ð³âíîì³ðíî.
Âèçíà÷èâøè ðîëü ñèñòåìè â³äë³êó, ñôîðìóëþºìî ïåðøèé çàêîí Íüþòîíà òàê:
Â ³íåðö³àëüí³é ñèñòåì³ â³äë³êó ìàòåð³àëüíà òî÷-
êà (ò³ëî) çáåð³ãàº ñòàí ñïîêîþ àáî ð³âíîì³ðíîãî
ïðÿìîë³í³éíîãî ðóõó, ÿêùî íà íå¿ (íüîãî) íå ä³þòü
³íø³ ò³ëà àáî ä³ÿ çîâí³øí³õ ò³ë ñêîìïåíñîâàíà.
Ìàë. 87. ²íåðö³àëüí³ òà íå³íåðö³àëüí³
ñèñòåìè â³äë³êó

92
Ð Î Ç Ä ² Ë 2
Ñóòòºâèì º òå, ùî â ²ÑÂ (íàïðèêëàä, àâòîáóñ íà çóïèíö³) äëÿ çáåðåæåííÿ
ñïîêîþ íå ïîòð³áíî ïðèêëàäàòè æîäíèõ çóñèëü, à â íå³íåðö³àëüí³é ñèñòåì³ â³ä-
ë³êó (íàïðèêëàä, àâòîáóñ ó ìîìåíò ð³çêîãî ãàëüìóâàííÿ) ïàñàæèðàì äëÿ öüîãî
äîâîäèòüñÿ íàïðóæóâàòè ì’ÿçè, òðèìàþ÷èñü çà ïîðó÷åíü.
Ïðèíöèï â³äíîñíîñò³ Ãàë³ëåÿ. ×è ï³äí³ìàëèñÿ àáî îïóñêàëèñÿ âè â ñó÷àñ-
íîìó øâèäê³ñíîìó ë³ôò³ òîðãîâåëüíîãî öåíòðó? ßêùî òàê, òî, ìàáóòü, íàñòà-
âàâ òàêèé ìîìåíò, êîëè ï³ñëÿ ïðèñêîðåííÿ ë³ôò ïî÷èíàâ ðóõàòèñÿ ð³âíîì³ðíî
³ âàì çäàâàëîñÿ, ùî âè ñòî¿òå íà ì³ñö³. Ïåðåáóâàþ÷è â êàá³í³ ë³ôòà, ùî ðóõà-
ºòüñÿ ð³âíîì³ðíî, íå ìîæíà ç âïåâíåí³ñòþ ñêàçàòè, ðóõàºòüñÿ â³í ÷è ñòî¿òü.
Ïîä³áíèé åêñïåðèìåíò, ùîïðàâäà, ï³ä ïàëóáîþ êîðàáëÿ, ïðîïîíóâàâ ïðîâåñòè
Ã. Ãàë³ëåé ó êíèç³ «Ä³àëîã ïðî äâ³ íàéâàæëèâ³ø³ ñèñòåìè ñâ³òó – Ïòîëåìåºâó
òà Êîïåðíèêîâó» (1632):
«Çáåð³òüñÿ ç ïðèÿòåëåì ï³ä ïàëóáîþ êîðàáëÿ. Â³çüì³òü ³ç ñîáîþ ë³òàþ÷èõ
êîìàõ, ïîñóäèíó ç âîäîþ, â ÿê³é ïëàâàþòü ðèáêè. Ï³äâ³ñüòå âãîð³ â³äåðöå, ç
ÿêîãî êðàïëÿ çà êðàïëåþ âèò³êàº âîäà â ³íøó ïîñóäèíó ç âóçüêîþ øèéêîþ, ùî
ñòî¿òü âíèçó. Äîòè, äîêè êîðàáåëü ñòî¿òü íåðóõîìî, ñïîñòåð³ãàéòå óâàæíî çà
ðóõîì êîìàõ òà ðèáîê. Çâåðí³òü óâàãó, ùî âñ³ ïàäàþ÷³ êðàïë³ ïîòðàïëÿþòü ó
ï³äñòàâëåíó ïîñóäèíó… Ñòðèáàþ÷è äâîìà íîãàìè, âè çðîáèòå ñòðèáîê íà îäíó
é òó ñàìó â³äñòàíü, íåçàëåæíî â³ä éîãî íàïðÿìó. Ñïîñòåð³ãàéòå äîáðå çà âñ³ì
öèì, õî÷à ó íàñ íå âèíèêàº ñóìí³âó â òîìó, ùî ïîêè êîðàáåëü çàëèøàºòüñÿ íå-
ðóõîìèì, âñå ìàº â³äáóâàòèñÿ ñàìå òàê. Ïðèâåä³òü òåïåð êîðàáåëü ó ðóõ ç ÿêîþ
çàâãîäíî øâèäê³ñòþ. ßêùî ðóõ áóäå ð³âíîì³ðíèì ³ áåç ãîéäàííÿ â òîé ÷è ³íøèé
á³ê, òî ó âñ³õ âêàçàíèõ ÿâèùàõ âè íå âèÿâèòå æîäíî¿ çì³íè ³ çà æîäíèì ³ç íèõ
íå çìîæåòå âñòàíîâèòè, ðóõàºòüñÿ êîðàáåëü ÷è ñòî¿òü íà ì³ñö³».
Ñàìå Ãàë³ëåé óïåðøå âèñëîâèâ äóìêó ïðî åêâ³âàëåíòí³ñòü ³íåðö³àëüíèõ
ñèñòåì â³äë³êó òà ìåõàí³÷íèõ ÿâèù, ùî ïðîò³êàþòü ó íèõ, ñôîðìóëþâàâøè
ïðèíöèï â³äíîñíîñò³:
Æîäíèìè ìåõàí³÷íèìè äîñë³äàìè, ùî ïðîâî-
äÿòüñÿ âñåðåäèí³ ³íåðö³àëüíî¿ ñèñòåìè â³äë³êó
(äëÿ ïàñàæèðà íåþ º êàþòà êîðàáëÿ), íåìîæëè-
âî âñòàíîâèòè, ïåðåáóâàº öÿ ñèñòåìà â ñïîêî¿ ÷è
ðóõàºòüñÿ ð³âíîì³ðíî ³ ïðÿìîë³í³éíî.
Ëþäèíà â êàþò³ êîðàáëÿ ìîæå âñòàíîâèòè ôàêò ðóõó ò³ëüêè òîä³, êîëè ñïî-
ñòåð³ãàòèìå çîâí³øí³ ò³ëà: îñòð³â, áåðåã ìîðÿ òîùî.
Óñ³ ³íåðö³àëüí³ ñèñòåìè â³äë³êó ö³ëêîì ð³âíîïðàâí³: ÷àñ ó âñ³õ ²ÑÂ âèì³-
ðþþòü îäíàêîâî, ìàñà ò³ëà íå çì³íþºòüñÿ (m = const), éîãî ïðèñêîðåííÿ ³ ñèëè
âçàºìîä³¿ íå çàëåæàòü â³ä øâèäêîñò³ ²ÑÂ.
Ó áóäü-ÿêèõ ²ÑÂ óñ³ ìåõàí³÷í³ ÿâèùà â³äáóâà-
þòüñÿ îäíàêîâî çà îäíèõ ³ òèõ ñàìèõ ïî÷àòêî-
âèõ óìîâ (³íøå ôîðìóëþâàííÿ ïðèíöèïó â³äíîñ-
íîñò³ Ãàë³ëåÿ).

93
Àíàë³çóâàòè ìåõàí³÷íèé ðóõ ³ âçàºìîä³þ ò³ë íàéëåãøå â ²ÑÂ, òîìó íàäàë³
âèêîðèñòîâóâàòèìåìî ñàìå òàê³ ñèñòåìè â³äë³êó.
Ó ÷îìó ñóòí³ñòü ÿâèùà ³íåðö³¿? Ó ÿêèõ âèïàäêàõ ðóõ ò³ëà ìîæíà íàçè-1.
âàòè ðóõîì çà ³íåðö³ºþ?
ßê³ ñèñòåìè â³äë³êó íàçèâàþòüñÿ ³íåðö³àëüíèìè? Íå³íåðö³àëüíèìè?2.
ßêèì ÷èíîì ìîæíà äîâåñòè, ùî ñèñòåìà â³äë³êó º ³íåðö³àëüíîþ?3.
Ïîÿñí³òü, ÷îìó ñèñòåìó â³äë³êó ïîâ’ÿçàíó ³ç çåìëåþ ââàæàþòü ³íåðö³-4.
àëüíîþ?
ßê ôîðìóëþºòüñÿ ïåðøèé çàêîí Íüþòîíà? Íàâåä³òü ïðèêëàäè, ÿê³ ï³ä-5.
òâåðäæóþòü öåé çàêîí.
Ó ÷îìó ïîëÿãàº ïðèíöèï â³äíîñíîñò³ Ãàë³ëåÿ?6.
§ 18 Другий закон Ньютона
Äîñë³äè, ùî äîïîìàãàþòü çðîçóì³òè äðóãèé çàêîí Íüþòîíà.
Äðóãèé çàêîí Íüþòîíà.
Âèì³ðþâàííÿ ìàñè ò³ëà.
Çàêîíè Íüþòîíà óòâîðþþòü ºäèíó ñèñòåìó, ùî ïîÿñíþº çàêîíîì³ðíîñò³
ìåõàí³÷íîãî ðóõó. Ïåðøèé çàêîí ïîÿñíþº, ùî â ³íåðö³àëüíèõ ñèñòåìàõ â³äë³-
êó ò³ëî çáåð³ãàº ñòàí ñïîêîþ àáî ð³âíîì³ðíîãî ïðÿìîë³í³éíîãî ðóõó, ÿêùî íà
íüîãî íå ä³þòü ³íø³ ò³ëà àáî ä³ÿ çîâí³øí³õ ò³ë ñêîìïåíñîâàíà. Äðóãèé çàêîí
Íüþòîíà ïîÿñíþº, ùî â³äáóäåòüñÿ ç ò³ëîì ó ðåçóëüòàò³ âçàºìîä³¿ ç ³íøèìè ò³-
ëàìè.
ßê ïåðøèé, òàê ³ äðóãèé çàêîí Íüþòîíà íå ìîæíà âèâåñòè í³ ëîã³÷íî, í³ ç
îêðåìèõ åêñïåðèìåíò³â. Öåé çàêîí áóâ ñôîðìóëüîâàíèé ó ðåçóëüòàò³ àíàë³çó é
óçàãàëüíåííÿ ôàêò³â, îòðèìàíèõ ëþäñòâîì ï³ä ÷àñ ïðàêòè÷íî¿ ä³ÿëüíîñò³.
Äîñë³äè, ùî äîïîìàãàþòü çðîçóì³òè äðóãèé çàêîí Íüþòîíà. Ðîçãëÿíåìî
îäèí ³ç íèõ.
Íà ðóõîìèé â³çîê âñòàíîâëþþòü ÷óòëèâèé äèíàìîìåòð, çà äîïîìîãîþ
ÿêîãî âèçíà÷àþòü ïðèêëàäåíó äî â³çêà ñèëó F, òà àêñåëåðîìåòð – ïðèëàä äëÿ
âèì³ðþâàííÿ ïðèñêîðåííÿ â³çêà à. Ï³äâ³øåíèé äî ïåðåêèíóòî¿ ÷åðåç áëîê
íèòêè òÿãàðåöü, ä³º ³ç ñèëîþ
r
F1
³ çìóøóº â³çîê ðóõàòèñÿ ç ïðèñêîðåííÿì
r
a1
(ìàë. 88, à).
Ïîâåðíåìî â³çîê ó ïî÷àòêîâå ïîëîæåííÿ ³ ï³äâ³ñèìî äî íèòêè äâà òÿãàðö³.
Îòæå, ïðèêëàäåíà äî â³çêà ñèëà çðîñòàº óäâ³÷³:
r
F2
= 2
r
F1
. Äîñë³ä ïîêàçóº, ùî
óäâ³÷³ çðîñëî é ïðèñêîðåííÿ â³çêà
r
a2
= 2
r
a1
(ìàë. 88, á).

94
Ð Î Ç Ä ² Ë 2
ßêùî ìè çá³ëüøóâàòèìåìî ê³ëü-
ê³ñòü òÿãàðö³â ³ òèì ñàìèì çá³ëüøó-
âàòèìåìî ñèëó, òî äîñë³ä ïîêàçóº: ó
ñê³ëüêè ðàç³â çá³ëüøóºòüñÿ ïðèêëàäå-
íà äî â³çêà ñèëà, – ó ñò³ëüêè ñàìî ðàç³â
çá³ëüøóºòüñÿ ³ ïðèñêîðåííÿ â³çêà
r
a ∼
r
F
ïðè íåçì³íí³é ìàñ³ â³çêà m = const.
Çì³íèìî óìîâè äîñë³äó. Çàëèøè-
ìî ïðèêëàäåíó ñèëó
r
F1
íåçì³ííîþ, à
çì³íþâàòèìåìî ìàñó â³çêà. ßêùî ìàñó
â³çêà çá³ëüøèòè ó 2 ðàçè, òî éîãî
ïðèñêîðåííÿ çìåíøóºòüñÿ óäâ³÷³
(ìàë. 88, â). Çá³ëüøèâøè ìàñó â³çêà
ó 3 ðàçè – ïðèñêîðåííÿ çìåíøóºòüñÿ
óòðè÷³. Äîñë³ä ïîêàçóº, ùî ó ñê³ëüêè
ðàç³â çá³ëüøóºòüñÿ ìàñà â³çêà, ó ñò³ëü-
êè ñàìî ðàç³â çìåíøóºòüñÿ éîãî ïðèñêîðåííÿ. Òîáòî ïðèñêîðåííÿ îáåðíåíî
ïðîïîðö³éíå äî ìàñè â³çêà a ~ 1/m ïðè ïîñò³éí³é ñèë³
r
F = const.
Îá’ºäíóþ÷è ðåçóëüòàòè äîñë³ä³â, ìîæíà ñòâåðäæóâàòè, ùî =
r
r F
a .
m
Äðóãèé çàêîí Íüþòîíà. Îñê³ëüêè ìàñà – âåëè÷èíà ñêàëÿðíà, òî íàïðÿì
ïðèñêîðåííÿ âèçíà÷àºòüñÿ íàïðÿìîì ä³þ÷î¿ ñèëè. Îòðèìàíå ñï³ââ³äíîøåííÿ
çàïèñóþòü ó âåêòîðí³é ôîðì³ ³ äðóãèé çàêîí Íüþòîíà ôîðìóëþþòü òàê:
Â ³íåðö³àëüí³é ñèñòåì³ â³äë³êó ïðèñêîðåííÿ, ÿêî-
ãî íàáóâàº ò³ëî ï³ä ä³ºþ ñèëè, ïðÿìî ïðîïîðö³é-
íå ñèë³, îáåðíåíî ïðîïîðö³éíå ìàñ³ ò³ëà ³ ìàº
òîé ñàìèé íàïðÿì, ùî é ïðèêëàäåíà ñèëà: =
r
r F
a .
m
Ìàë. 88, à. Ïðèñêîðåíèé ðóõ â³çêà
ï³ä ä³ºþ îäíîãî òÿãàðöÿ
Ìàë. 88, á. Ó ñê³ëüêè ðàç³â çá³ëüøóºòüñÿ
ñèëà, ó ñò³ëüêè ñàìî ðàç³â çá³ëüøóºòüñÿ
Ìàë. 88, â. Ó ñê³ëüêè ðàç³â çá³ëüøóºòüñÿ
ìàñà â³çêà, ó ñò³ëüêè ñàìî ðàç³â
çìåíøóºòüñÿ éîãî ïðèñêîðåííÿ

95
ßêùî íà ò³ëî îäíî÷àñíî ä³º ê³ëüêà ñèë, òî ðåçóëüòóþ÷å ïðèñêîðåííÿ âèçíà-
÷àºòüñÿ ð³âíîä³éíîþ ñèë:
=
=
∑
r
r 1
n
i
i
F
a
m
.
ßêùî ð³âíîä³éíà ñèë äîð³âíþº íóëþ, òî ³ ïðèñêîðåííÿ äîð³âíþº íóëþ. Ùî
³ ï³äòâåðäæóºòüñÿ ïåðøèì çàêîíîì Íüþòîíà: ÿêùî ä³ÿ ïðèêëàäåíèõ äî ò³ëà
ñèë ñêîìïåíñîâàíà, òî âîíî çáåð³ãàº ñòàí ñïîêîþ àáî ð³âíîì³ðíîãî ïðÿìîë³í³é-
íîãî ðóõó.
Äëÿ áàãàòüîõ ïðàêòè÷íèõ çàâäàíü çðó÷íèì äëÿ âèêîðèñòàííÿ º çàïèñ äðó-
ãîãî çàêîíó Íüþòîíà ó òàê³é ìàòåìàòè÷í³é ôîðì³:
=
r r
F ma
²ç ö³º¿ ôîðìóëè âñòàíîâëþþòü îäèíèöþ ñèëè. Çà îäèíèöþ ñèëè â Ñ² âçÿòî
òàêó ñèëó, ÿêà ò³ëó ìàñîþ 1 êã íàäàº ïðèñêîðåííÿ 1 ì/ñ2
. Òàêèì ÷èíîì, 1 Í
ìîæíà âèçíà÷èòè ÷åðåç îñíîâí³ îäèíèö³ Ñ²:
1 Í = 1 êã · 1 ì / ñ2
= 1 êã · ì · ñ-2
.
Äðóãèé çàêîí Íüþòîíà, òàê ñàìî ÿê ³ ïåðøèé, âèêîíóºòüñÿ â ³íåðö³àëüíèõ
ñèñòåìàõ â³äë³êó.
Çàçíà÷èìî, ùî ìàòåìàòè÷íà ôîðìà çàïèñó äðóãîãî çàêîíó Íüþòîíà ó âè-
ãëÿä³ =
r r
F ma º äåùî â³äì³ííîþ â³ä ò³º¿, ÿê ¿¿ çàïèñàâ ñàì Íüþòîí, àëå öå íå
çì³íþº ñóò³ çàêîíó. Äðóãèé çàêîí Íüþòîíà óçàãàëüíþº âèíÿòêîâî âàæëèâèé
ôàêò:
ä³ÿ ñèë íå ñïðè÷èíÿº ñàìîãî ðóõó, à ëèøå çì³íþº
éîãî, àäæå ñèëà âèêëèêàº çì³íó øâèäêîñò³, òîá-
òî ïðèñêîðåííÿ, à íå ñàìó øâèäê³ñòü.
Äðóãèé çàêîí äèíàì³êè â ³íø³é ôîðì³ çàïèñó («íüþòîí³âñüê³é») ìè ðîç-
ãëÿíåìî ó § 30.
Âèì³ðþâàííÿ ìàñè ò³ëà. ×èì á³ëüøà ìàñà ò³ëà, òèì ìåíøîãî ïðèñêîðåí-
íÿ íàáóâàº öå ò³ëî ï³ä ÷àñ âçàºìîä³¿ ç ³íøèì ò³ëîì. Òîìó â³äíîøåííÿ ìîäóë³â
ïðèñêîðåíü, ùî íàáóâàþòüñÿ ò³ëàìè ï³ä ÷àñ âçàºìîä³¿ ì³æ ñîáîþ, äîð³âíþº
âåëè÷èí³, îáåðíåí³é â³äíîøåííþ ìàñ öèõ ò³ë, òîáòî =1 2
2 1
a m
a m
.
Çâ³äñè âèïëèâàº, ùî = 1
2 1
2
a
m m
a
. Îñòàííÿ ôîðìóëà âêàçóº íà ñïîñ³á âèì³ðþ-
âàííÿ ìàñ ò³ë. Ç íå¿ âèäíî, ùî äëÿ òîãî, ùîá âèçíà÷èòè ìàñó áóäü-ÿêîãî
ò³ëà, íàñàìïåðåä íåîáõ³äíî âèáðàòè ò³ëî, ìàñó ÿêîãî me
ìîæíà ââàæàòè îäè-
íèöåþ ìàñè. Òàêå ò³ëî íàçèâàþòü åòàëîíîì. Òîä³ ìàñà äîâ³ëüíîãî ò³ëà
= e
e
a
m m
a
, äå àe
– ïðèñêîðåííÿ åòàëîíà; à – ïðèñêîðåííÿ öüîãî ò³ëà.

96
Ð Î Ç Ä ² Ë 2
Çà îäèíèöþ ìàñè ó 1899 ð. áóëî âçÿòî 1 êã (ê³ëîãðàì). Öå – îäíà ç îñíîâíèõ
îäèíèöü Ñ². Ê³ëîãðàì º ìàñîþ åòàëîíà, ùî äîð³âíþº ìàñ³ ì³æíàðîäíîãî ïðîòî-
òèïó ê³ëîãðàìà. Åòàëîí – öå â³äëèòå ç³ ñïëàâó ïëàòèíè òà ³ðèä³þ öèë³íäðè÷íå
ò³ëî ç òâ³ðíîþ, ùî äîð³âíþº éîãî ä³àìåòðîâ³ – 39 ìì. Â³í çáåð³ãàºòüñÿ ó ì³ñò³
Ñåâð ïîáëèçó Ïàðèæà (Ôðàíö³ÿ), ó Ì³æíàðîäíîìó áþðî ì³ð ³ âàã. Ó âñ³õ êðà-
¿íàõ º êîï³¿ öüîãî åòàëîíà, âèãîòîâëåí³ ç âèñîêîþ òî÷í³ñòþ. Â Óêðà¿í³ åòàëîí
ê³ëîãðàìà çáåð³ãàºòüñÿ â ²íñòèòóò³ ìåòðîëîã³¿ (ì. Õàðê³â).
Äëÿ çâè÷àéíèõ ðîçðàõóíê³â ìîæíà ç äîñòàòíüîþ òî÷í³ñòþ ââàæàòè, ùî
ìàñó 1 êã ìàº 1 ë³òð (òîáòî 1 äì3
) õ³ì³÷íî ÷èñòî¿ âîäè çà òåìïåðàòóðè +15 °Ñ.
Óñòàíîâëåííÿ îäèíèö³ ìàñè – ê³ëîãðàìà – äàëî çìîãó âïîðÿäêóâàòè âèãî-
òîâëåííÿ ãèð, òîáòî ò³ë ç â³äîìîþ ìàñîþ, ùî âèêîðèñòîâóþòüñÿ äëÿ âèì³ðþ-
âàííÿ ìàñè ³íøèõ ò³ë. Ìàñó ãèð ñòàëè âñòàíîâëþâàòè, çâ³ðÿþ÷è ¿õ ç ìàñîþ åòà-
ëîíà. Ìàñà áóäü-ÿêî¿ ãèð³ äîð³âíþº àáî ìàñ³ åòàëîíà (òîáòî 1 êã), àáî ñòàíîâèòü
êðàòíó ÷è ÷àñòêîâó âåëè÷èíó â³ä ìàñè åòàëîíà.
ßê ìè áà÷èìî, äëÿ âèì³ðþâàííÿ ìàñè áóäü-ÿêîãî ò³ëà, êð³ì ìàñè åòàëîíà,
òðåáà çíàòè â³äíîøåííÿ ïðèñêîðåíü ò³ë, ùî âçàºìîä³þòü, òîáòî âåëè÷èíó ae
/a.
Î÷åâèäíî, äëÿ âèì³ðþâàííÿ ìàñè ò³ëà çîâñ³ì íå îáîâ’ÿçêîâî çìóøóâàòè öå ò³ëî
ðóõàòèñÿ ³ ç³øòîâõóâàòè éîãî ç åòàëîíîì ìàñè, âèçíà÷àþ÷è ïîò³ì ïðèñêîðåííÿ
ò³ëà é åòàëîíà. ª ³íøèé, çðó÷í³øèé ñïîñ³á âèçíà÷åííÿ ìàñè – çâàæóâàííÿ ò³ë
íà âàãîâèõ òåðåçàõ.
Íåõàé äâà ò³ëà ëåæàòü íà øàëüêàõ ð³âíîïëå÷èõ òåðåç³â ³ êîæíå ç íèõ, ïðè-
òÿãóþ÷èñü äî Çåìë³, ïðàãíå ïîâåðíóòè êîðîìèñëî òåðåç³â íàâêîëî îñ³ îáåðòàí-
íÿ. Â³äîìî, ùî ïðèñêîðåííÿ â³ëüíîãî ïàä³ííÿ ò³ë áóäü-ÿêî¿ ìàñè îäíàêîâå ó
áóäü-ÿêîìó ì³ñö³ Çåìë³. Òîìó ae
= a, òîáòî ae
/a =1. Îòæå, ÿêùî òåðåçè ïåðåáó-
âàþòü ó ð³âíîâàç³, ìàñà ò³ëà äîð³âíþº ìàñ³ åòàëîíà.
ßê ïîâ’ÿçàí³ ì³æ ñîáîþ òàê³ ô³çè÷í³ âåëè÷èíè, ÿê ïðèñêîðåííÿ, ñèëà ³1.
ìàñà ò³ëà? ×è ìîæíà çà ôîðìóëîþ =
r r
F ma ñòâåðäæóâàòè, ùî ñèëà, ÿêà ä³º íà
ò³ëî, çàëåæèòü â³ä éîãî ìàñè ³ ïðèñêîðåííÿ?
ßêèé âàæëèâèé âèñíîâîê ìîæíà çðîáèòè ç äðóãîãî çàêîíó Íüþòîíà?2.
Ïîÿñí³òü ñïîñîáè âèçíà÷åííÿ ìàñè ò³ëà.3.
Íàãàäàºìî, ùî ï³ä ÷àñ ïîñòóïàëüíîãî ðóõó ò³ëî ìîæíà ââàæàòè ìàòåð³-
àëüíîþ òî÷êîþ, ìàñà ÿêîãî çîñåðåäæåíà ó öåíòð³ ìàñ (öåíòð³ òÿæ³ííÿ).
Ó äèíàì³ö³ ðîçãëÿäàþòü äâà òèïè çàäà÷, ðîçâ’ÿçàííÿ ÿêèõ ´ðóíòóºòüñÿ íà
çàêîíàõ Íüþòîíà äëÿ ìàòåð³àëüíî¿ òî÷êè.
Ðîçâ’ÿçàííÿ çàäà÷ ïåðøîãî òèïó ìîæíà ðîçä³ëèòè íà òàê³ åòàïè:
Çíàþ÷è ñèëó F ³ ìàñó ò³ëà m, çà äðóãèì çàêîíîì Íüþòîíà âèçíà÷èòè ïðè-
ñêîðåííÿ, à ïîò³ì, çà ôîðìóëàìè ê³íåìàòèêè, – ìèòòºâó øâèäê³ñòü ò³ëà.
Çíàþ÷è øâèäê³ñòü, âèçíà÷èòè ïåðåì³ùåííÿ ³ êîîðäèíàòè ò³ëà çà ôîðìóëà-
ìè ð³âíîïðèñêîðåíîãî ðóõó.
Çàäà÷³ äðóãîãî òèïó ðîçâ’ÿçóþòü àíàëîã³÷íèì ÷èíîì, ò³ëüêè ó çâîðîòí³é
ïîñë³äîâíîñò³.

97
Çàäà÷à. Íà ìàë. 89 ïîäàíî ãðàô³ê çàëåæíîñò³
ïðîåêö³¿ øâèäêîñò³ ðóõó ïîòÿãà, ìàñà ÿêîãî 300 ò,
â³ä ÷àñó. Âèçíà÷èòè ñèëó, ï³ä ä³ºþ ÿêî¿ â³í ðóõà-
ºòüñÿ, ÿêùî ñèëà îïîðó 300 êÍ.
Äàíî:
Ãðàô³ê υx
= υx
(t);
m = 3 · 105
êã;
Fîïð
= 3 · 105
H
Çðîáèìî ñõåìàòè÷íèé
ìàëþíîê äî çàäà÷³ (ìàë. 90).
Çâåðí³òü óâàãó, ðåçóëüòóþ÷ó
ñèëó íà ìàëþíêó íå âêàçóþòü.F – ?
Àíàë³çóþ÷è ãðàô³ê çàëåæíîñò³ ïðîåêö³¿
øâèäêîñò³ â³ä ÷àñó, áà÷èìî, ùî øâèäê³ñòü ïîòÿãà
çì³íèëàñÿ â³ä υ =0
ì
0
ñ
äî υ =
ì
5
ñ
ïðîòÿãîì = 5ct .
Òàêèì ÷èíîì, ïîòÿã ðóõàºòüñÿ ç ïðèñêîðåííÿì
= 2
ì
1
ñ
a .
Äðóãèé çàêîí Íüþòîíà ó âåêòîðí³é ôîðì³ ó
öüîìó âèïàäêó ìàº âèãëÿä: + + + =
r r r r r
TF N F F maîïð .
Ó ïðîåêö³ÿõ íà â³ñü Õ: F − Fîïð
= ma, òîä³
F = ma + Fîïð
.
= ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅5 5 5
2
ì
3 10 êã 1 3 10 Í 6 10 Í
ñ
F .
Â³äïîâ³äü: F = 6 · 105
H.
Вправа 13
1. Ñèëà F áóëà ïðèêëàäåíà äî ñàíîê ìàñîþ m. ²íøà ñèëà íàäàëà òàêó ñàìó
øâèäê³ñòü ñàíêàì, ùî é ñèëà F, àëå íà øëÿõó, á³ëüøîìó â k ðàç³â. ßêà ç öèõ
ñèë á³ëüøà ³ íàñê³ëüêè?
2. Ò³ëî ç³ ñòàíó ñïîêîþ ïðèñêîðþº ñòàëà ñèëà. Íàêðåñë³òü ãðàô³ê çàëåæ-
íîñò³ øâèäêîñò³ ðóõó ò³ëà â³ä ïðîéäåíîãî øëÿõó.
3. Íà ìàë. 91 ïîäàíî ãðàô³êè ðóõó ò³ëà. ßêîþ áóëà ïðèñêîðþþ÷à ñèëà ó
êîæíîìó ³ç âèïàäê³â?
4. Äâ³ ìåòàëåâ³ êóëüêè – âåëèêà òà ìàëà – ðóõàþòüñÿ ç îäíàêîâèìè øâèä-
êîñòÿìè ïî ñêëó (ìàë. 92, âèãëÿä çãîðè). Íåïîäàë³ê â³ä òðàºêòîð³¿ ¿õ ðóõó ðîçòà-
Ìàë. 89. Ãðàô³ê çàëåæíîñò³
ïðîåêö³¿ øâèäêîñò³ â³ä ÷àñó
Ìàë. 90. Ñèëè,
ùî ä³þòü íà ïîòÿã
Ìàë. 91.
Äî çàäà÷³ 3

98
Ð Î Ç Ä ² Ë 2
øîâàíî ìàãí³ò. ßê áóäóòü çì³íþâàòèñü òðàºêòîð³¿
ðóõó öèõ êóëüîê ïîáëèçó ìàãí³òó? ßêà ç êóëüîê
â³äõèëèòüñÿ ñèëüí³øå ³ ÷îìó?
5. Àâòîìîá³ëü ìàñîþ 4 ò, ðóøàþ÷è ç³ ñòà-
íó ñïîêîþ, íà â³äñòàí³ 240 ì íàáóâàº øâèäêîñò³
43,2 êì/ãîä. Âèçíà÷èòè ñèëó òÿãè äâèãóí³â àâòî-
ìîá³ëÿ, ÿêùî ñèëà îïîðó ðóõîâ³ äîð³âíþº 2 êÍ.
6.Ïîð³âíÿòèïðèñêîðåííÿäâîõñòàëåâèõêóëü
ï³ä ÷àñ ç³òêíåííÿ, ÿêùî ðàä³óñ ïåðøî¿ êóë³ ó 2
ðàçè á³ëüøèé â³ä ðàä³óñà äðóãî¿. ×è çàëåæèòü â³ä-
ïîâ³äü çàäà÷³ â³ä ïî÷àòêîâèõ øâèäêîñòåé êóëü?
7. Ï³ä ÷àñ ç³òêíåííÿ äâîõ â³çê³â, ÿê³ ðóõàþòü-
ñÿ ïî ãîðèçîíòàëüí³é ïëîùèí³, ïðîåêö³ÿ âåêòîðà
øâèäêîñò³ íà â³ñü Õ ïåðøîãî â³çêà çì³íèëàñÿ â³ä
3 äî 1 ì/ñ, à ïðîåêö³ÿ âåêòîðà øâèäêîñò³ äðóãîãî â³çêà íà òó ñàìó â³ñü çì³íèëà-
ñÿ â³ä −1 äî +1 ì/ñ. Â³ñü Õ ïîâ’ÿçàíà ³ç çåìëåþ, ðîçòàøîâàíà ãîðèçîíòàëüíî, ³ ¿¿
äîäàòíèé íàïðÿì çá³ãàºòüñÿ ç íàïðÿìîì âåêòîðà ïî÷àòêîâî¿ øâèäêîñò³ ïåðøî-
ãî â³çêà. Îïèñàòè ðóõè â³çê³â äî ³ ï³ñëÿ âçàºìîä³¿. Ïîð³âíÿòè ìàñè â³çê³â.
8. Ìîòîðíèé ÷îâåí ðóõàºòüñÿ ç ïðèñêîðåííÿì 2 ì/ñ2
ï³ä ä³ºþ òðüîõ ñèë:
ñèëè òÿãè äâèãóíà F1
= 1 êÍ, ñèëè â³òðó F2
=1 êÍ òà ñèëè îïîðó âîäè F3
= 414 Í.
Ó ÿêîìó íàïðÿì³ ðóõàºòüñÿ ÷îâåí òà ÿêà éîãî ìàñà, ÿêùî ñèëà F1
íàïðÿìëåíà
íà ï³âäåíü, ñèëà F2
– íà çàõ³ä, à ñèëà F3
– íàïðÿìëåíà ïðîòè ðóõó ÷îâíà.
§ 19 Третій закон Ньютона.
Межі застосування законів Ньютона
Äîñë³äè, ùî äîïîìàãàþòü ïîÿñíèòè òðåò³é çàêîí Íüþòîíà.
Òðåò³é çàêîí Íüþòîíà.
Ìåæ³ çàñòîñóâàííÿ çàêîí³â Íüþòîíà.
Í³ ïåðøèé, í³ äðóãèé çàêîíè íå ïîÿñíþþòü òîãî, ùî â³äáóâàºòüñÿ ç äðóãèì
ò³ëîì, ùî âçàºìîä³º. Ïðî öå éäåòüñÿ ó òðåòüîìó çàêîí³ Íüþòîíà.
Äîñë³äè, ùî äîïîìàãàþòü ïîÿñíèòè òðåò³é çàêîí Íüþòîíà. Äâà îäíàêîâèõ
çà ìàñîþ â³çêè (m1
= m2
) ïîñòàâèìî íà ãîðèçîíòàëüíèé ñò³ë ³ äî îäíîãî ç íèõ
ïðèêð³ïèìî ïëîñêó ïðóæèíó, ùî ñòèñíåíà íèòêîþ (ìàë. 93, à). Äðóãèé â³çîê
ïîñòàâèìî òàê, ùîá â³í òàêîæ òîðêàâñÿ ñòèñíåíî¿ ïðóæèíè.
ßêùî òåïåð íèòêó, ÿêà ñòèñêóº ïðóæèíó, ïåðåð³çàòè, òî ïðóæèíà âèïðÿìèòü-
ñÿ, îáèäâà â³çêè ïî÷íóòü ðóõàòèñÿ. Öå îçíà÷àº, ùî âîíè íàáóëè ïðèñêîðåíü.
Îñê³ëüêèìàñàâ³çê³â îäíàêîâà, òî îäíàêîâå é ïðèñêîðåííÿ, ³ â³äñòàí³, ùî âîíè
ïðîõîäÿòü çà ïåâíèé ÷àñ.

99
Êîëè íà îäèí ³ç
â³çê³â ïîêëàñòè ÿêèé-
íåáóäü âàíòàæ (çá³ëü-
øèòè éîãî ìàñó) ³
ïîâòîðèòè äîñë³ä, òî
â³çîê, ùî ìàº á³ëüøó
ìàñó, ïðîéäå ìåíøó
â³äñòàíü (ìàë. 93, á).
Ó ðàç³ âçàºìîä³¿
äâîõ ò³ë â³äíîøåííÿ
ìîäóë³â ¿õ ïðèñêî-
ðåíü äîð³âíþº îáåð-
íåíîìó â³äíîøåííþ
¿õ ìàñ:
1 2
2 1
a m
a m
=
àáî =1 1 2 2m a m a .
Ïðèñêîðåííÿ ò³ë,
ùî âçàºìîä³þòü, ìà-
þòü ïðîòèëåæí³ íà-
ïðÿìè, òîìó ó âåêòîðí³é ôîðì³ ìîæíà çàïèñàòè:
= −
r r
1 1 2 2m a m a àáî = −
r r
1 2F F .
Òðåò³é çàêîí Íüþòîíà. Îòðèìàíà ð³âí³ñòü ³ º ìàòåìàòè÷íèì âèðàçîì òðå-
òüîãî çàêîíó Íüþòîíà, ÿêèé ìîæíà ñôîðìóëþâàòè òàê:
Â ³íåðö³àëüí³é ñèñòåì³ â³äë³êó ñèëè, ç ÿêèìè
ò³ëà, ùî âçàºìîä³þòü, ä³þòü îäíå íà îäíå, íà-
ïðàâëåí³ âçäîâæ îäí³º¿ ïðÿìî¿, ð³âí³ çà ìîäóëåì
òà ïðîòèëåæí³ çà íàïðÿìîì.
Öåé çàêîí â³äîáðàæàº òîé ôàêò, ùî ó ïðèðîä³ íåìàº ³ íå ìîæå áóòè îäíî-
ñòîðîííüî¿ ä³¿ îäíîãî ò³ëà íà ³íøå, à ³ñíóº ëèøå âçàºìîä³ÿ.
Òðåò³é çàêîí Íüþòîíà ôîðìóëþþòü, ùå é òàê:
Ó ä³¿ çàâæäè º ïðîòèä³ÿ.
Ñèëè ä³¿ òà ïðîòèä³¿ çàâæäè ³ñíóþòü ðàçîì, ïàðàìè.
Äîñë³äè ïîêàçóþòü, ùî ñèëè áóäü-ÿêî¿ ïðèðîäè (ãðàâ³òàö³éí³, åëåêòðîìàã-
í³òí³) ï³ä ÷àñ âçàºìîä³¿ ò³ë âèíèêàþòü ïîïàðíî, ìàþòü ïðîòèëåæí³ íàïðÿìè,
îäíàêîâ³ çà ìîäóëåì. Ïðèðîäà îáîõ ñèë ï³ä ÷àñ âçàºìîä³¿ îäíàêîâà.
Âàæëèâî íàãîëîñèòè, ùî ñèëè âçàºìîä³¿ õî÷ ³ ð³âí³ òà ïðîòèëåæíî íà-
ïðàâëåí³, àëå íå âð³âíîâàæóþòü îäíà îäíó, îñê³ëüêè ïðèêëàäåí³ äî ð³çíèõ ò³ë.
Ìàë. 93, á. Âçàºìîä³ÿ â³çê³â ð³çíî¿ ìàñè
Ìàë. 93, à. Âçàºìîä³ÿ îäíàêîâèõ çà ìàñîþ â³çê³â

100
Ð Î Ç Ä ² Ë 2
Íàïðèêëàä, ÿêùî äâà ñêåéòáîðäèñòè ñòàíóòü îäèí íàâïðîòè îäíîãî ³ òðè-
ìàòèìóòüñÿ çà ìîòóçêó, òî äîñòàòíüî îäíîìó ç íèõ ïîòÿãíóòè çà íå¿, ùîá îáèäâà
ïî÷àëè ðóõàòèñÿ íàçóñòð³÷: òÿãíó÷è ìîòóçêó, ïåðøèé ñêåéòáîðäèñò ä³º íà íå¿
òà íà íåðóõîìîãî òîâàðèøà ç ñèëîþ . Çã³äíî ç òðåò³ì çàêîíîì Íüþòîíà äðóãèé
ñêåéòáîðäèñò ä³º íà ìîòóçêó ³ íà ïåðøîãî ñêåéòáîðäèñòà ç ñèëîþ , ïðè÷îìó
= − . Ï³ä ä³ºþ öèõ ñèë îáèäâà ñêåéòáîðäèñòè ðóõàþòüñÿ íàçóñòð³÷ îäèí îä-
íîìó.
×è ìîæíà ââàæàòè, ùî òðåò³é çàêîí Íüþòîíà íå âèêîíóºòüñÿ ó âèïàäêàõ,
êîëè ï³ä ÷àñ âçàºìîä³¿ äâîõ ò³ë ïîì³òíî çì³íþºòüñÿ ðóõ ëèøå îäíîãî ò³ëà? Ðîç-
ãëÿíåìî âçàºìîä³þ ëåãêîàòëåòà ³ç Çåìëåþ. Ï³ä ÷àñ ñòàðòó ñïîðòñìåí ä³º íà Çåì-
ëþ ç ñèëîþ , ÿêà îòðèìóº ïðèñêîðåííÿ . Çã³äíî ç òðåò³ì çàêîíîì Íüþòîíà
íà ñïîðòñìåíà ç áîêó Çåìë³ ä³º òàêà ñàìà ñèëà − ó ïðîòèëåæíîìó íàïðÿì³ ³
íàäàº éîìó ïðèñêîðåííÿ – â³í ïî÷èíàº ðóõàòèñÿ ç äåÿêîþ øâèäê³ñòþ. Î÷åâèä-
íî, ùî ïðèñêîðåííÿ äîñèòü ìàëå (ï³ä ä³ºþ ëåãêîàòëåòà ìàñîþ 60 êã Çåìëÿ
îòðèìóº ïðèñêîðåííÿ ïðèáëèçíî 5 ⋅ 10−23
ì/ñ2
). Ðîçãëÿäàþ÷è òàêó âçàºìîä³þ,
ïîòð³áíî âðàõóâàòè, ùî ìàñà Çåìë³ çíà÷íî ïåðåâèùóº ìàñó ëåãêîàòëåòà, òîìó é
ïðèñêîðåííÿ, ÿêîãî íàáóâàº Çåìëÿ, çíà÷íî ìåíøå (â³äíîøåííÿ ïðèñêîðåíü ò³ë
îáåðíåíî ïðîïîðö³éíå ¿õ ìàñàì). Îòæå, òðåò³é çàêîí Íüþòîíà âèêîíóºòüñÿ ï³ä
÷àñ âçàºìîä³¿ ò³ë áóäü-ÿêî¿ ìàñè. Ùîïðàâäà, âèÿâ éîãî âíàñë³äîê íàáóòòÿ îáî-
ìà ò³ëàìè, ÿê³ áåðóòü ó÷àñòü ó âçàºìîä³¿, ïðèñêîðåíü ñïîñòåð³ãàºòüñÿ çà óìîâè,
ùî ò³ëà ìàþòü ïîð³âíþâàí³ ìàñè.
Ìåæ³ çàñòîñóâàííÿ çàêîí³â Íüþòîíà. Çàêîíè ìåõàí³êè Íüþòîíà (¿¿ ùå íà-
çèâàþòü êëàñè÷íîþ ìåõàí³êîþ) âñòàíîâëåí³ äëÿ ò³ë, ùî íàñ îòî÷óþòü, òîáòî
äëÿ ò³ë, ùî ñêëàäàþòüñÿ ç âåëè÷åçíî¿ ê³ëüêîñò³ ìîëåêóë ³ àòîì³â (ìàêðîñêî-
ï³÷íèõ ò³ë). Äëÿ ðóõó ÷àñòèíîê ì³êðîñâ³òó çàêîíè Íüþòîíà ìîæíà çàñòîñîâó-
âàòè ëèøå ó äåÿêèõ âèïàäêàõ.
Çàêîíè ìåõàí³êè Íüþòîíà ñïðàâåäëèâ³ äëÿ ò³ë, ÿê³ ìîæíà ââàæàòè ìàòå-
ð³àëüíèìè òî÷êàìè, à òàêîæ äëÿ ïîñòóïàëüíîãî ðóõó ò³ë.
Çàêîíè ìåõàí³êè Íüþòîíà âñòàíîâëåí³ äëÿ ò³ë, ùî ðóõàþòüñÿ ïîð³âíÿíî ç
íåâåëèêèìè øâèäêîñòÿìè, ÿê³ íàáàãàòî ìåíø³ çà øâèäê³ñòü ñâ³òëà.
Ðóõ, ùî â³äáóâàºòüñÿ ç³ øâèäê³ñòþ υ , íàáàãàòî ìåíøîþ â³ä øâèäêîñò³
ñâ³òëà ñ ó âàêóóì³ ( υ << c , äå ñ = 3·108
ì/ñ), íàçèâàþòü íåðåëÿòèâ³ñòñüêèì.
Ðóõ, ùî â³äáóâàºòüñÿ ç³ øâèäê³ñòþ, áëèçüêîþ äî øâèäêîñò³ ñâ³òëà ó âàêóó-
ì³ ( υ ≈ c ), íàçèâàþòü ðåëÿòèâ³ñòñüêèì.
Ó ìåõàí³ö³ Íüþòîíà íåçì³ííèìè º ÷àñ, ìàñà ò³ëà, ïðèñêîðåííÿ ³ ñèëà. Òðà-
ºêòîð³ÿ, øâèäê³ñòü òà ïåðåì³ùåííÿ ð³çí³ ó ð³çíèõ ³íåðö³àëüíèõ ñèñòåìàõ â³ä-
ë³êó. Çàêîíè ìåõàí³êè, ñôîðìóëüîâàí³ Íüþòîíîì, – íåçì³íí³ â óñ³õ ³íåðö³àëü-
íèõ ñèñòåìàõ â³äë³êó.
Âàæëèâî ùå ðàç íàãîëîñèòè, ùî ñèëà çã³äíî ³ç çàêîíàìè Íüþòîíà âèçíà÷àº
ïðèñêîðåííÿ ò³ëà, à íå øâèäê³ñòü. Öå îçíà÷àº, ùî ñèëà íå º ïðè÷èíîþ ðóõó.
Ñèëà – öå ïðè÷èíà çì³íè ðóõó, òîáòî çì³íè øâèäêîñò³ ðóõó ò³ëà. Ñàì ðóõ íå ïî-
òðåáóº ïðè÷èíè. Ðóõàòèñü ïðÿìîë³í³éíî ³ ð³âíîì³ðíî ò³ëî ìîæå ³ áåç ä³¿ ñèëè.
Òîìó, íàïðèêëàä, êðèâîë³í³éíèé ðóõ, ïðè ÿêîìó øâèäê³ñòü çì³íþºòüñÿ çà íà-
ïðÿìîì, áåç ä³¿ ñèëè íåìîæëèâèé.

101
Íàïðÿì ïðèñêîðåííÿ çàâæäè çá³ãàºòüñÿ ç íàïðÿìîì ñèëè. Øâèäê³ñòü ìîæå
çá³ãàòèñÿ ç íàïðÿìîì ñèëè (íàïðèêëàä, ïðè â³ëüíîìó ïàä³íí³), ìîæå áóòè íà-
ïðàâëåíà ïðîòèëåæíî (íàïðèêëàä, ïðè ðóñ³ ò³ëà, êèíóòîãî âåðòèêàëüíî âãîðó),
à ìîæå áóòè íàïðàâëåíà ³ ïåðïåíäèêóëÿðíî äî ñèëè (íàïðèêëàä, ïðè ðóñ³ ïî
êîëó).
Çàêîíè Íüþòîíà äàþòü çìîãó ðîçâ’ÿçàòè îñíîâíó çàäà÷ó ìåõàí³êè: ÿêùî
â³äîì³ ñèëè, ïðèêëàäåí³ äî ò³ëà, òî ìîæíà âèçíà÷èòè ïðèñêîðåííÿ ò³ëà ó áóäü-
ÿêèé ìîìåíò ÷àñó, ó áóäü-ÿê³é òî÷ö³ òðàºêòîð³¿. ² íàâïàêè, ÿêùî â³äîìî ïîëî-
æåííÿ ò³ëà ó áóäü-ÿêèé ìîìåíò ÷àñó, òî çàêîíè Íüþòîíà äàþòü çìîãó ç’ÿñóâàòè,
ÿê³ ñèëè ä³þòü íà ò³ëî.
Êð³ì íàäàííÿ ò³ëàì ïðèñêîðåííÿ â ïðÿìîë³í³éíîìó ïîñòóïàëüíîìó ðóñ³,
ïðèñêîðåííÿ â³ëüíîãî ïàä³ííÿ ï³ä ÷àñ ðóõ³â ï³ä ä³ºþ ñèëè òÿæ³ííÿ, äîöåíòðî-
âîãî ïðèñêîðåííÿ ï³ä ÷àñ ðóõó ò³ë ïî êîëó ñèëà ìàº òàêîæ îáåðòàëüíó ä³þ. Ùå
îäíèì ïîíÿòòÿì, ùî õàðàêòåðèçóº ä³þ ñèëè, º ³ìïóëüñ ñèëè. Ç íèì, à òàêîæ ³ç
ââåäåíèì Íüþòîíîì ïîíÿòòÿì ³ìïóëüñ ò³ëà (àáî ê³ëüê³ñòü ðóõó) ìè îçíàéîìè-
ìîñü çãîäîì. À íàñòóïí³ ïàðàãðàôè áóäóòü ïðèñâÿ÷åí³ ñèëàì, ÿê³ õàðàêòåðèçó-
þòü ìåõàí³÷íó âçàºìîä³þ, òà îñîáëèâîñòÿì ðóõó ï³ä ä³ºþ öèõ ñèë.
×è º â³äì³íí³ñòü ì³æ ä³ºþ ³ ïðîòèä³ºþ?1.
×è çð³âíîâàæóþòü îäíà îäíó ñèëè, ùî âèíèêàþòü âíàñë³äîê âçàºìîä³¿ ò³ë?2.
Íàâåä³òü ïðèêëàäè, ùî ï³äòâåðäæóþòü òðåò³é çàêîí Íüþòîíà.3.
×èì îáóìîâëåí³ ìåæ³ çàñòîñóâàííÿ çàêîí³â Íüþòîíà?4.
Вправа 14
1. Çàñòîñîâóþ÷è äðóãèé òà òðåò³é çàêîíè Íüþòîíà, ïîÿñíèòè, ÷îìó ê³íü
âåçå âîçà, à íå íàâïàêè.
2. Äâà õëîï÷èêè, ìàñè ÿêèõ 40
³ 50 êã, ñòîÿòü íà êîâçàíàõ íà ëüî-
äó. Ïåðøèé õëîï÷èê â³äøòîâõó-
ºòüñÿ â³ä äðóãîãî ç ñèëîþ 10 Í. ßêå
ïðèñêîðåííÿ ä³ñòàþòü õëîï÷èêè?
3. Ïîêëàä³òü ïîðîæíþ ïëÿø-
êó íà ñò³ë (ìàë. 94). Ç êðàþ ïëÿø-
êè ðîçì³ñò³òü íåâåëèêèé øìàòîê
ïðîáêè. Ñïðîáóéòå çàäóòè ïðîáêó
âñåðåäèíó ïëÿøêè. Ïîÿñí³òü, ÷îìó
ïðîáêà ïîëåòèòü íå âñåðåäèíó, à íà-
âïàêè – â³ä ïëÿøêè.
4. Â³çüì³òü äâà øìàòêè ïëàñ-
òèë³íó. Âäàðòå îäíèì øìàòêîì ïî
³íøîìó. Ïîÿñí³òü, ÷îìó øìàòêè
ïëàñòèë³íó ïðè öüîìó çëèïàþòüñÿ.

102
Ð Î Ç Ä ² Ë 2
§ 20 Закон всесвітнього тяжіння.
Гравітаційна взаємодія
Çàêîí âñåñâ³òíüîãî òÿæ³ííÿ.
Ãðàâ³òàö³éíå ïîëå.
Ãðàâ³òàö³éíà ñèëà òà ñèëà çåìíîãî òÿæ³ííÿ.
Çàêîí âñåñâ³òíüîãî òÿæ³ííÿ. Àíàë³çóþ÷è çàêîíè Êåïëåðà (çàêîíè ðóõó
ïëàíåò) ³ çàêîíè â³ëüíîãî ïàä³ííÿ ò³ë íà Çåìë³, Íüþòîí ä³éøîâ âèñíîâêó, ùî
ñèëè ïðèòÿãàííÿ ìàþòü ³ñíóâàòè íå ëèøå íà Çåìë³, à é ó êîñìîñ³, ùî ïðèòÿãàí-
íÿ ò³ë º âëàñòèâ³ñòþ ìàòåð³¿.
Íà æàëü, Íüþòîí íå çàëèøèâ ïèñüìîâèõ ï³äòâåðäæåíü òîãî, ÿêèì ÷èíîì
â³í âñòàíîâèâ çàêîí âñåñâ³òíüîãî òÿæ³ííÿ. Â³äîìî ëèøå (ç³ ñë³â ñàìîãî Íüþ-
òîíà), ùî âàæëèâó ðîëü ó öüîìó â³ä³ãðàëè ôàêò ïàä³ííÿ ÿáëóêà òà ðóõ Ì³ñÿöÿ
íàâêîëî Çåìë³.
Â àðñåíàë³ Íüþòîíà áóëè òàê³ ôàêòè: 1) óñ³ ò³ëà ïàäàþòü íà çåìëþ; 2) ïðè-
ñêîðåííÿ, ç ÿêèì ò³ëà ïàäàþòü íà çåìëþ, îäíàêîâå äëÿ âñ³õ ò³ë; 3) Ì³ñÿöü
îáåðòàºòüñÿ íàâêîëî Çåìë³ ìàéæå ïî êîëîâ³é îðá³ò³ ç ïåð³îäîì îáåðòàííÿ
27,3 äîáè; 4) ðàä³óñ îðá³òè Ì³ñÿöÿ ïðèáëèçíî äîð³âíþº 60 ðàä³óñàì Çåìë³.
Àíàë³çóþ÷è ö³ ôàêòè, Íüþòîí çàñòîñóâàâ ñôîðìóëüîâàí³ íèì çàêîíè äèíàì³êè
äî ðóõó Ì³ñÿöÿ íàâêîëî Çåìë³ ³ ó 1667 ð. âñòàíîâèâ çàêîí âñåñâ³òíüîãî òÿæ³ííÿ.
Ñïðîáóºìî ³ ìè.
1. Ò³ëà ïàäàþòü íà Çåìëþ âíàñë³äîê òîãî, ùî âîíà ïðèòÿãóº ¿õ äî ñåáå.
2. Îñê³ëüêè âñ³ ò³ëà ïàäàþòü íà Çåìëþ ç îäíàêîâèì ïðèñêîðåííÿì, òî çà
äðóãèì çàêîíîì äèíàì³êè ñèëà ïðèòÿãàííÿ ïðîïîðö³éíà ìàñ³ ò³ëà: F ~ m àáî
=F gm .
3. Îñê³ëüêè Ì³ñÿöü îáåðòàºòüñÿ íàâêîëî Çåìë³ ïî êîëîâ³é îðá³ò³, òî íà íüî-
ãî ìàº ä³ÿòè ñèëà, ùî íàäàº äîöåíòðîâîãî ïðèñêîðåííÿ. ßêáè òàêî¿ ñèëè íå
áóëî, òî Ì³ñÿöü, çà ïåðøèì çàêîíîì äèíàì³êè, ðóõàâñÿ áè ïðÿìîë³í³éíî ³ ð³â-
íîì³ðíî. Îòæå, Ì³ñÿöü ïðèòÿãóºòüñÿ äî Çåìë³, ÿê ³ âñ³ ³íø³ ò³ëà, ³ ñèëà, ç ÿêîþ
â³í ïðèòÿãóºòüñÿ äî Çåìë³, ïðîïîðö³éíà ìàñ³ Ì³ñÿöÿ: ÌF ∼ Ìm .
4. Çà òðåò³ì çàêîíîì äèíàì³êè ç áîêó Ì³ñÿöÿ ä³º ñèëà ïðèòÿãàííÿ Çåìë³ äî
Ì³ñÿöÿ, ïðîïîðö³éíà ìàñ³ Çåìë³: ÇF ~ Çm . Îñê³ëüêè ÌF = ÇF , òî ÌF ~ Çm .
5. Äîöåíòðîâå ïðèñêîðåííÿ, ç ÿêèì Ì³ñÿöü îáåðòàºòüñÿ íàâêîëî Çåìë³, îá-
÷èñëþºòüñÿ òàê:
υ
=
2
a
R
,
äå υ – ë³í³éíà øâèäê³ñòü ðóõó Ì³ñÿöÿ ïî îðá³ò³; R – ðàä³óñ îðá³òè.

103
Ë³í³éíà øâèäê³ñòü ðóõó Ì³ñÿöÿ ïî îðá³ò³:
π
υ =
2 R
T
,
äå T – ïåð³îä îáåðòàííÿ Ì³ñÿöÿ.
Òîä³
π
=
2
4 R
a
T
. Ï³äñòàâëÿþ÷è ÷èñëîâ³ çíà÷åííÿ, îòðèìóºìî:
⋅ ⋅ ⋅
= =
⋅ ⋅
5
2 2
9,8 ì4 9,86 64 10 ì
(27,3 24 3600 ñ) 3600 ñ
a àáî =
1
3600
a g .
Öå îçíà÷àº, ùî áóäó÷è íà îðá³ò³, Ì³ñÿöü ïðèòÿãàºòüñÿ ó 3600 ðàç³â ñëàáøå
äî Çåìë³, í³æ àáè â³í çíàõîäèâñÿ íà ¿¿ ïîâåðõí³.
6.Îñê³ëüêèâ³äíîøåííÿêâàäðàòàðàä³óñàîðá³òèÌ³ñÿöÿäîêâàäðàòàðàä³óñà
Çåìë³ òàêîæ ñòàíîâèòü 3600: = =
22
3
2 2
3 3
(60 )
3600
RR
R R
, òî öå îçíà÷àº, ùî ñèëà
ïðèòÿãàííÿ Ì³ñÿöÿ äî Çåìë³ îáåðíåíî ïðîïîðö³éíà êâàäðàòó â³äñòàí³ ì³æ
íèìè: ÌF ~ 2
1
R
.
7. Òàêèì ÷èíîì, âðàõîâóþ÷è îòðèìàí³ âèñíîâêè, ùî: ÌF ~ Ìm , ÌF ~ Çm ,
ÌF ~ 2
1
R
, ìîæíà ñòâåðäæóâàòè, ùî ÌF ∼ 3
2
Ìm m
R
.
Ïåðåõîäÿ÷è äî ð³âíîñò³, çàïèñàíî¿ ó çàãàëüíîìó âèïàäêó, çàêîí âñåñâ³ò-
íüîãî òÿæ³ííÿ ôîðìóëþºòüñÿ òàê:
Áóäü-ÿê³ äâ³ ìàòåð³àëüí³ òî÷êè ïðèòÿãóþòüñÿ
îäíà äî îäíî¿ ³ç ñèëîþ, ïðÿìî ïðîïîðö³éíîþ äî-
áóòêó ¿õ ìàñ ³ îáåðíåíî ïðîïîðö³éíîþ êâàäðàòó
â³äñòàí³ ì³æ íèìè:
= 1 2
2
m m
F G
r
,
äå m1
³ m2
– ìàñè ìàòåð³àëüíèõ òî÷îê; r – â³äñòàíü ì³æ íèìè; G – ãðàâ³òàö³éíà
ñòàëà.
Öåé çàêîí º îñíîâîþ êëàñè÷íî¿ íåðåëÿòèâ³ñòñüêî¿ òåîð³¿ ãðàâ³òàö³¿.
Çàêîí âñåñâ³òíüîãî òÿæ³ííÿ âèêîíóºòüñÿ:
• äëÿ òî÷êîâèõ ò³ë, êîëè ¿õ ë³í³éí³ ðîçì³ðè íàáàãàòî ìåíø³ â³ä â³äñòàí³
ì³æ íèìè (ìàòåð³àëüíèõ òî÷îê);
• äëÿ îäíîð³äíèõ êóëü, íàïðèêëàä, ñèñòåìà «Çåìëÿ–Ì³ñÿöü», àáî îäíîð³äíà
êóëÿ ³ òî÷êîâå ò³ëî, íàïðèêëàä, îáåðòàííÿ øòó÷íîãî ñóïóòíèêà íàâêîëî Çåìë³.
Äëÿ âèçíà÷åííÿ ñèëè ïðèòÿãàííÿ ì³æ ïðîòÿæíèìè ò³ëàìè, íåîáõ³äíî
ñïåðøó óìîâíî ðîçáèòè ò³ëà íà åëåìåíòàðí³ ÷àñòèíè, ÿê³ ìîæíà ââàæàòè ìàòå-

104
Ð Î Ç Ä ² Ë 2
ð³àëüíèìè òî÷êàìè, âèçíà÷èòè ñèëè âçàºìîä³¿ ì³æ öèìè òî÷êàìè ³ ïîäîäàâàòè
¿õ. Öÿ îïåðàö³ÿ ãðîì³çäêà ³ âèìàãàº çíàíü ç ³íòåãðàëüíîãî òà äèôåðåíö³àëüíîãî
÷èñëåííÿ.
Ãðàâ³òàö³éíó ñòàëó âèçíà÷åíî åêñïåðèìåíòàëüíèì øëÿõîì. Óïåðøå öå
çðîáèâ àíãë³éñüêèé ó÷åíèé Ã. Êàâåíä³ø çà äîïîìîãîþ êðóòèëüíîãî äèíàìîìå-
òðà (êðóòèëüíèõ òåðåç³â).
Ó Ñ² ãðàâ³òàö³éíà ñòàëà ìàº çíà÷åííÿ G = 6,67 · 10−11
Í · ì2
/êã2
.
Îòæå, äâà ò³ëà ìàñîþ 1 êã êîæíå, öåíòðè ÿêèõ çíàõîäÿòüñÿ íà â³äñòàí³
1 ì îäèí â³ä îäíîãî, âçàºìíî ïðèòÿãóþòüñÿ ãðàâ³òàö³éíîþ ñèëîþ, ùî äîð³âíþº
6,67 · 10−11
Í.
Ãðàâ³òàö³éíå ïîëå. ßê ìè ç’ÿñóâàëè, îäí³ºþ ç ìåõàí³÷íèõ âëàñòèâîñòåé ìà-
òåð³àëüíèõ ò³ë º âëàñòèâ³ñòü âçàºìíîãî ïðèòÿãàííÿ. Àëå ÿê â³äáóâàºòüñÿ âçà-
ºìíå ïðèòÿãàííÿ ò³ë, àáî, ÿê êàæóòü, ãðàâ³òàö³éíà âçàºìîä³ÿ?
Ãðàâ³òàö³éíà âçàºìîä³ÿ ì³æ ò³ëàìè íå çàëåæèòü â³ä ñåðåäîâèùà, â ÿêîìó
ïåðåáóâàþòü ò³ëà, à çä³éñíþºòüñÿ ÷åðåç ãðàâ³òàö³éíå ïîëå (ïîëå òÿæ³ííÿ).
Êîæíå ò³ëî º äæåðåëîì ãðàâ³òàö³éíîãî ïîëÿ. ×èì á³ëüøà ìàñà ò³ëà, òèì
ñèëüí³øå éîãî ãðàâ³òàö³éíå ïîëå. Ãðàâ³òàö³éíå ïîëå íåîäíîð³äíå – âîíî ñèëü-
í³øå á³ëÿ ïîâåðõí³ ò³ëà ³ ñëàáøàº, êîëè â³ä íüîãî â³ääàëÿòèñÿ.
Ãðàâ³òàö³éíå ïîëå, íà â³äì³íó â³ä åëåêòðè÷íîãî, ÿêå ³ñíóº ò³ëüêè íàâêîëî
åëåêòðè÷íî çàðÿäæåíèõ ò³ë, ÷è ìàãí³òíîãî, ÿêå ³ñíóº íàâêîëî ðóõîìèõ åëåê-
òðè÷íîçàðÿäæåíèõ ò³ë, ³ñíóº íàâêîëî âñ³õ áåç âèíÿòêó ò³ë.
Ó êîæí³é òî÷ö³ ãðàâ³òàö³éíîãî
ïîëÿ íà âì³ùåíå òóäè ò³ëî ä³º ñèëà
ïðèòÿãàííÿ, ïðîïîðö³éíà ìàñ³ öüî-
ãî ò³ëà.
Äâ³ ãðàâ³òàö³éí³ ñèëè âçàºìî-
ä³¿, ÿê³ ä³þòü íà êîæíå ³ç ò³ë, ùî
âçàºìîä³þòü, îäíàêîâ³ çà âåëè÷è-
íîþ ³ ïðîòèëåæí³ çà íàïðÿìîì ö³ë-
êîì â³äïîâ³äíî äî òðåòüîãî çàêîíó
Íüþòîíà (ìàë. 95). Âîíè íàïðÿì-
ëåí³ âçäîâæ ïðÿìî¿, ÿêà ç’ºäíóº
öåíòðè ìàñ ò³ë, òîìó ¿õ íàçèâàþòü
öåíòðàëüíèìè ñèëàìè.
Ãðàâ³òàö³éíà ñèëà òà ñèëà çåìíîãî òÿæ³ííÿ. Íàâêîëî Çåìë³ ³ñíóº ¿¿ ãðàâ³-
òàö³éíå ïîëå, ÿêå íàçèâàþòü ïîëåì òÿæ³ííÿ Çåìë³.
Âèçíà÷èìî ãðàâ³òàö³éíó ñèëó, ùî ä³º íà ò³ëî ç áîêó Çåìë³, çã³äíî ç çàêîíîì
âñåñâ³òíüîãî òÿæ³ííÿ. Ïîçíà÷èìî ìàñó Çåìë³ ÷åðåç çM , à ìàñó ò³ëà – ÷åðåç m .
ßêùî ò³ëî ðîçòàøîâàíå íà ïîâåðõí³ Çåìë³ àáî áëèçüêî á³ëÿ ¿¿ ïîâåðõí³, òî â³ä-
ñòàíü r äîð³âíþº ðàä³óñó Çåìë³ Rç
.
Ãðàâ³òàö³éíà ñèëà = 2
ç
ç
M m
F G
R
, ïðèêëàäåíà äî öåíòðà ìàñè ò³ëà ³ ñïðÿìîâàíà
ïî ðàä³óñó äî öåíòðà ìàñè Çåìë³.
Óíàñë³äîê äîáîâîãî îáåðòàííÿ Çåìë³ âñ³ ò³ëà íà ¿¿ ïîâåðõí³ áåðóòü ó÷àñòü
ó öüîìó ðóñ³. Äëÿ íåçåìíîãî ñïîñòåð³ãà÷à, ùî ïåðåáóâàº â ³íåðö³àëüí³é ñèñ-
Ìàë. 95. Ãðàâ³òàö³éíà âçàºìîä³ÿ

105
òåì³ â³äë³êó, ò³ëî íà ïîâåðõí³ Çåìë³ îáåðòà-
ºòüñÿ ðàçîì ç íåþ ³ ìàº ïðèñêîðåííÿ ω2
r, ÿêå
íàäàº éîìó â³äöåíòðîâà ñèëà ³íåðö³¿ (äåòàëü-
í³øå îñîáëèâîñò³ â³äöåíòðîâî¿ ñèëè ³íåðö³¿ ìè
ç’ÿñóºìî, êîëè âèâ÷àòèìåìî ðóõ ó íå³íåðö³-
àëüíèõ ñèñòåìà â³äë³êó § 29).
Îòæå, íà ò³ëî ä³þòü ñèëè: ñèëà ãðàâ³òà-
ö³¿
r
F , â³äöåíòðîâà ñèëà ³íåðö³¿
r
F , ñèëà òåð-
òÿ ñïîêîþ
r
òepF òà ñèëà ðåàêö³¿ îïîðè
r
N (ìàë.
96). Ð³âíîä³éíà ñèë ãðàâ³òàö³¿ òà â³äöåíòðîâî¿
ñèëè ³íåðö³¿ íàçèâàºòüñÿ ñèëîþ òÿæ³ííÿ
r
F .
Âåêòîð ñèëè òÿæ³ííÿ íàïðÿìëåíèé âçäîâæ âè-
ñêà (íàïðÿì âèñêà ìîæíà âèçíà÷èòè, ÿêùî
ò³ëî ï³äâ³øåíå íà íèòö³, òî âåêòîð ñèëè òÿæ³í-
íÿ íàïðÿìëåíèé âçäîâæ íèòêè).
Îòæå, ñèëà òÿæ³ííÿ – öå ð³âíîä³éíà ñèëè ãðàâ³-
òàö³¿ òà â³äöåíòðîâî¿ ñèëè ³íåðö³¿, ùî ñïðÿìîâàíà
âçäîâæ âèñêà.
Îñê³ëüêè çíà÷åííÿ â³äöåíòðîâî¿ ñèëè ³íåðö³¿ Fâ³ä
= mω2
r çàëåæèòü â³ä
ðàä³óñà îáåðòàííÿ r, òî ³ ñèëà òÿæ³ííÿ çàëåæèòü â³ä ãåîãðàô³÷íî¿ øèðî-
òè: ìàêñèìàëüíå çíà÷åííÿ ñèëà òÿæ³ííÿ ìàº íà ïîëþñàõ Çåìë³, îñê³ëüêè
òàì r = 0 ³ äîð³âíþº ñèë³ ïðèòÿãàííÿ; ì³í³ìàëüíå çíà÷åííÿ ñèëè òÿæ³ííÿ íà
åêâàòîð³.
Âðàõîâóþ÷è òå, ùî êóòîâà øâèäê³ñòü îáåðòàííÿ Çåìë³ ω ìàëà, ³ Fâ³ä
<< F,
òî ó á³ëüøîñò³ âèïàäê³â ââàæàþòü, ùî ñèëà òÿæ³ííÿ äîð³âíþº ñèë³ ãðàâ³òàö³¿
³ çà çíà÷åííÿì, ³ çà íàïðÿìîì:
r
Fòÿæ
=
r
F. Ìè òàêîæ íàäàë³ ââàæàòèìåìî ö³ ñèëè
ð³âíèìè ³ ðîçãëÿäàòèìåìî ðóõ ò³ë ó ïîë³ òÿæ³ííÿ Çåìë³ ÿê ðåçóëüòàò ä³¿ ñèëè
òÿæ³ííÿ.
Îòæå, ñèëà òÿæ³ííÿ, ïðèêëàäåíà äî ò³ëà (éîãî
öåíòðà òÿæ³ííÿ), ñïðÿìîâàíà âåðòèêàëüíî âíèç
(óçäîâæ âèñêà), ïåðïåíäèêóëÿðíî äî ãîðèçîíòàëü-
íî¿ ïîâåðõí³ ³ âèçíà÷àºòüñÿ çà ôîðìóëîþ:r
Fòÿæ
= mg
r
.
Ïðèñêîðåííÿ, ÿêå íàáóâàº ò³ëî ï³ä ä³ºþ ñèëè òÿæ³ííÿ, ³ º ïðèñêîðåííÿì
â³ëüíîãî ïàä³ííÿ: = = 2
ç
ç
MF
g G
m R
.
Îñê³ëüêè çåìíà êóëÿ äåùî ñïëþñíóòà: ¿¿ ïîëÿðíèé ðàä³óñ ìåíøèé â³ä åêâà-
òîð³àëüíîãî ïðèáëèçíî íà 21,5 êì, òî ³ çíà÷åííÿ ïðèñêîðåííÿ â³ëüíîãî ïàä³ííÿ
â³äð³çíÿºòüñÿ íà ïîëþñàõ òà åêâàòîð³: òàê, íà ïîëþñ³ = 2
9,83ì ñg , à íà åêâàòî-
ð³ = 2
g 9,78ì ñ . Îäíàê öÿ çàëåæí³ñòü ìåíø ñóòòºâà ïîð³âíÿíî ç äîáîâèì îáåð-
òàííÿì Çåìë³. Îáåðòàííÿ Çåìë³ âåäå äî ïîÿâè â³äöåíòðîâî¿ ñèëè, ñïðÿìîâàíî¿
Ìàë. 96. Ñèëè, ùî ä³þòü
íà ò³ëî, ÿêå îáåðòàºòüñÿ ðàçîì
³ç Çåìëåþ íàâêîëî îñ³

106
Ð Î Ç Ä ² Ë 2
ïåðïåíäèêóëÿðíî îñ³ îáåðòàííÿ (íå ïîâåðõí³!) (ìàë. 96). Òîáòî â ñåðåäí³õ øèðî-
òàõ â³äöåíòðîâà ñèëà ìåíøà çà âåëè÷èíîþ (îñê³ëüêè â³äñòàíü äî îñ³ îáåðòàííÿ
ìåíøà) ³ ñïðÿìîâàíà ï³ä êóòîì äî îáð³þ, à íà åêâàòîð³ âîíà äîñÿãàº íàéá³ëüøî¿
âåëè÷èíè, ùî ³ ïðèçâîäèòü äî çìåíøåííÿ g íà åêâàòîð³.
Ðîçðàõóíêè ïîêàçóþòü, ùî ÷åðåç ñïëþñíóò³ñòü Çåìë³ çíà÷åííÿ ïðèñêîðåí-
íÿ â³ëüíîãî ïàä³ííÿ íà åêâàòîð³ ìåíøå çà éîãî çíà÷åííÿ íà ïîëþñ³ íà 0,18 %, à
÷åðåç äîáîâå îáåðòàííÿ – íà 0,34 %.
ßê â³äîìî, ñèëà ãðàâ³òàö³¿ çàëåæèòü ³ â³ä â³äñòàí³. ßêùî ò³ëî ï³äíÿòè íà
âèñîòó h íàä ïîâåðõíåþ Çåìë³, òî
( )
=
+
2
ç
ç
M m
F G
R h
, òî ³ ïðèñêîðåííÿ â³ëüíîãî
ïàä³ííÿ çì³íþºòüñÿ ç âèñîòîþ: =
+
3
2
3( )
GM
g
R h
.
Íà ìàë. 97 ïîêàçàíî çàëåæí³ñòü çíà÷åííÿ ïðèñêîðåííÿ â³ëüíîãî ïàä³ííÿ
â³ä â³äñòàí³, âèðàæåíî¿ ó çåìíèõ ðàä³óñàõ. Ç ìàëþíêà òà ç ôîðìóëè âèäíî, ùî
ïðè â³äñòàí³ h = 4Rç
ó 25 ðàç³â çìåíøóºòüñÿ g.
ßêùî ðóõ ó ïîë³ òÿæ³ííÿ Çåìë³ â³äáóâàºòüñÿ íà âèñîò³ ó äåê³ëüêà ñîò ìå-
òð³â, òî çíà÷åííÿ g ìîæíà ââàæàòè ïîñò³éíèì.
Òàêèì ÷èíîì, íà çíà÷åííÿ ïðè-
ñêîðåííÿ â³ëüíîãî ïàä³ííÿ âïëèâà-
þòü:
1) îáåðòàííÿ Çåìë³ íàâêîëî âëàñ-
íî¿ îñ³ (äîáîâå îáåðòàííÿ);
2) äåôîðìàö³ÿ Çåìë³;
3) â³äñòàíü â³ä ïîâåðõí³ Çåìë³.
Çíà÷åííÿ ïðèñêîðåííÿ â³ëüíîãî
ïàä³ííÿ òàêîæ çàëåæèòü â³ä ðîäîâèù,
ùî ì³ñòÿòüñÿ â íàäðàõ Çåìë³: á³ëüøå
éîãî çíà÷åííÿ íà äîâ³ëüí³é øèðîò³,
òàì, äå ì³ñòÿòüñÿ ðîäîâèùà çàë³çíî¿ òà
³íøèõ âàæêèõ ðóä, ìåíøå – íàä ðîäî-
âèùàìè ãàçó.
ßê ôîðìóëþþòü çàêîí âñåñâ³ò-1.
íüîãî òÿæ³ííÿ? ßêèé ô³çè÷íèé çì³ñò
ãðàâ³òàö³éíî¿ ñòàëî¿?
ßêèé âèä âçàºìîä³¿ ò³ë îïèñó-2.
ºòüñÿ çàêîíîì âñåñâ³òíüîãî òÿæ³ííÿ?
ßê â³äáóâàºòüñÿ öÿ âçàºìîä³ÿ?
Ùî òàêå ñèëà òÿæ³ííÿ? Çà ÿêîþ3.
ôîðìóëîþ âèçíà÷àþòü ìîäóëü ñèëè òÿ-
æ³ííÿ? Êóäè ïðèêëàäåíà ³ ÿê íàïðÿìëåíà ñèëà òÿæ³ííÿ, ùî ä³º íà äîâ³ëüíå ò³ëî?
Ìàë. 97. Çàëåæí³ñòü çíà÷åííÿ
ïðèñêîðåííÿ â³ëüíîãî ïàä³ííÿ
â³ä â³äñòàí³ íàä ïîâåðõíåþ Çåìë³

107
Â³ä ÷îãî çàëåæèòü ïðèñêîðåííÿ â³ëüíîãî ïàä³ííÿ? ×è çàëåæèòü ïðèñêî-4.
ðåííÿ â³ëüíîãî ïàä³ííÿ ò³ë â³ä ¿õ ìàñè?
Çàäà÷à. Îá÷èñëèòè ìàñó Çåìë³, ÿêùî â³äîìî, ùî ¿¿ ðàä³óñ äîð³âíþº
= ⋅ 6
6,37 10 ìR .
Äàíî:
R = 6,37 · 106
ì;
g = 9,81 ì/ñ2
;
2
11
2
Í ì
6,67 10
êã
G − ⋅
= ⋅
Óñ³ ò³ëà ïðèòÿãóþòüñÿ äî Çåìë³ ç ñèëîþ = 2
ç
ç
mM
F G
R
³ íàáóâàþòü ïðèñêîðåííÿ =F mg , òîìó, ïðèð³âíþþ÷è
ö³ ôîðìóëè, îòðèìóºìî:
Ìç
– ?
= 2
ç
ç
mM
mg G
R
àáî = 2
ç
ç
M
g G
R
, çâ³äêè =
2
ç
ç
gR
Ì
G
.
Îá÷èñëåííÿ: −
⋅ ⋅
= ≈ ⋅
⋅ ⋅
2 2 12 2
24
11 2 2
9,81ì/ñ 6,37 10 ì
5,98 10 êã
6,67 10 Í ì /êã
çÌ .
Â³äïîâ³äü: Mç
≈ 5,98 · 1024
êã.
Вправа 15
1. ßêå ïðèñêîðåííÿ â³ëüíîãî ïàä³ííÿ íà âèñîò³, ùî äîð³âíþº ïîëîâèí³ ðà-
ä³óñà Çåìë³?
2. Ðàä³óñ ïëàíåòè Ìàðñ ñòàíîâèòü 0,53 ðàä³óñà Çåìë³, à ìàñà – 0,11 ìàñè
Çåìë³. Âèçíà÷èòè ïðèñêîðåííÿ â³ëüíîãî ïàä³ííÿ íà Ìàðñ³.
3. Ñåðåäíÿ â³äñòàíü ì³æ öåíòðàìè Çåìë³ ³ Ì³ñÿöÿ äîð³âíþº 60 çåìíèì ðàä³-
óñàì, à ìàñà Ì³ñÿöÿ ó 81 ðàç ìåíøà â³ä ìàñè Çåìë³. Ó ÿê³é òî÷ö³ íà ïðÿì³é, ùî
ç’ºäíóº ¿õ öåíòðè, ò³ëî ïðèòÿãóâàòèìåòüñÿ äî Çåìë³ ³ äî Ì³ñÿöÿ ç îäíàêîâèìè
ñèëàìè?
4. Ñåðåäíÿ ãóñòèíà Âåíåðè ρ = 4900 êã/ì3
, à ðàä³óñ ïëàíåòè R = 6200 êì.
Âèçíà÷èòè ïðèñêîðåííÿ â³ëüíîãî ïàä³ííÿ íà ïîâåðõíþ Âåíåðè.
5. Çíàþ÷è ðàä³óñ Çåìë³ òà ïðèñêîðåííÿ â³ëüíîãî ïàä³ííÿ, âèçíà÷òå ñåðåä-
íþ ãóñòèíó Çåìë³. Ïîð³âíÿòè îòðèìàíå çíà÷åííÿ ç ãóñòèíîþ ïîâåðõíåâèõ øà-
ð³â Çåìë³ (2,5 · 103
êã/ì3
), çðîáèòè âèñíîâîê ïðî ãóñòèíó íàäð ïëàíåòè.
6. Íà ÿê³é âèñîò³ íàä ïîâåðõíåþ Çåìë³ ñèëà òÿæ³ííÿ çìåíøóºòüñÿ íà 10 %?
Ðàä³óñ Çåìë³ R = 6,37 · 106
ì.

108
Ð Î Ç Ä ² Ë 2
§ 21 Рух штучних супутників Землі.
Перша та друга космічна швидкість
Ïåðøà ³ äðóãà êîñì³÷íà øâèäê³ñòü.
Øòó÷í³ ñóïóòíèêè Çåìë³.
Ïåðøà ³ äðóãà êîñì³÷íà øâèäê³ñòü. Ó § 13 ìè ðîçãëÿäàëè ðóõ ò³ëà, ÿêîìó
íà âèñîò³ h íàä Çåìëåþ íàäàíî ïî÷àòêîâî¿ øâèäêîñò³ ó ãîðèçîíòàëüíîìó íàïðÿ-
ì³. Ò³ëî ðóõàºòüñÿ ïî ã³ëö³ ïàðàáîëè ³ ïàäàº íà çåìëþ. Ïðè öüîìó ìè ââàæàëè
ïîâåðõíþ çåìë³ ïëîñêîþ. Òàêå ñïðîùåííÿ äîïóñòèìå ïðè íåâåëèêèõ øâèäêîñ-
òÿõ, êîëè äàëüí³ñòü ïîëüîòó íåçíà÷íà.
Íàñïðàâä³ Çåìëÿ – öå ìàéæå êóëÿ. Òîìó
îäíî÷àñíî ç ïîëüîòîì ò³ëà âçäîâæ éîãî òðàºê-
òîð³¿ ïîâåðõíÿ Çåìë³ äåùî â³ääàëÿºòüñÿ â³ä ò³ëà
(ìàë. 98).
Ìîæíà âèçíà÷èòè òàêå çíà÷åííÿ øâèäêîñò³
ò³ëà, ïðè ÿêîìó ïîâåðõíÿ Çåìë³, âíàñë³äîê êðè-
âèçíè, â³ääàëÿòèìåòüñÿ â³ä ò³ëà íà ñò³ëüêè, íà
ñê³ëüêè ò³ëî íàáëèæàòèìåòüñÿ äî íå¿ âíàñë³äîê
ïðèòÿãàííÿ. Òîä³ ò³ëî ðóõàòèìåòüñÿ íà ïîñò³é-
í³é âèñîò³ h íàä ïîâåðõíåþ Çåìë³, òîáòî ïî êîëó
ðàä³óñîì +çR h , ïåðåòâîðèâøèñü íà øòó÷íèé
ñóïóòíèê Çåìë³ (ØÑÇ) (ìàë. 99).
Îñê³ëüêè ò³ëî ðóõàºòüñÿ ð³âíî-
ì³ðíî ïî êîëó ðàä³óñîì +çR h , òî éîãî
äîöåíòðîâå ïðèñêîðåííÿ
υ
=
+
2
ç
a
R h
.
Öå ïðèñêîðåííÿ ò³ëó íàäàº ñèëà ïðè-
òÿãàííÿ äî Çåìë³, ¿¿ ìîäóëü:
( )
=
+
2
ç
ç
M m
F G
R h
,
äå Ìç
– ìàñà Çåìë³; m – ìàñà ò³ëà.
Ìàë. 98. Â³ääàëåííÿ
ïîâåðõí³ Çåìë³
Ìàë. 99. Ðóõ øòó÷íîãî ñóïóòíèêà Çåìë³

109
Çà äðóãèì çàêîíîì Íüþòîíà =
F
a
m
, à îòæå,
υ
=
+ +
2
2
( )
ç
ç ç
M
G
R h R h
, çâ³äêè
υ =
+
ç
ç
GM
R h
.
Òîæ, ÿêùî íàäàòè ò³ëó äîâ³ëüíî¿ ìàñè íà âèñîò³ h íàä Çåìëåþ øâèäêîñò³,
ùî âèçíà÷àºòüñÿ ö³ºþ ôîðìóëîþ, òî âîíî ñòàíå øòó÷íèì ñóïóòíèêîì Çåìë³.
Øâèäê³ñòü, ÿêó ïîòð³áíî íàäàòè ò³ëó äëÿ òîãî,
ùîá âîíî ñòàëî øòó÷íèì ñóïóòíèêîì Çåìë³, íàçè-
âàþòü ïåðøîþ êîñì³÷íîþ øâèäê³ñòþ.
Ïåðøà – òîìó, ùî ³ñíóþòü äðóãà ³ òðåòÿ êîñì³÷í³ øâèäêîñò³.
Îá÷èñëèìî ïåðøó êîñì³÷íó øâèäê³ñòü äëÿ ØÑÇ, ÿêèé çàïóñêàºòüñÿ ìàé-
æå ç ïîâåðõí³ Çåìë³ (h ≈ 0). Ó òàêîìó âèïàäêó υ =1
ç
ç
M
G
R
, ³ îñê³ëüêè = 2
ç
ç
M
g G
R
,
òî υ =1 çgR .
Ï³äñòàâèâøè ó ôîðìóëó çíà÷åííÿ = 2
9,81ì/ñg ³ = ⋅ 6
6,4 10 ìçR , îòðèìóºìî
υ = ⋅ ⋅ ≈2 6
1 9,81 ì/ñ 6,4 10 ì 7,9 êì/ñ .
Òàêèì ÷èíîì, ò³ëî, ÿêîìó íàäàºòüñÿ øâèäê³ñòü ≈ 7,9 êì/ñ, ÿêà íàïðÿìëåíà
ãîðèçîíòàëüíî â³äíîñíî ïîâåðõí³ Çåìë³, ñòàº øòó÷íèì ñóïóòíèêîì, ùî ðóõàºòü-
ñÿ ïî êîëîâ³é îðá³ò³.
Øâèäê³ñòü, ÿêó ïîòð³áíî íàäàòè ò³ëó, ùîá âîíî, ïîäîëàâøè ïðèòÿãàííÿ
ïëàíåòè, ñòàëî ñóïóòíèêîì Ñîíöÿ, íàçèâàþòü äðóãîþ êîñì³÷íîþ øâèäê³ñòþ.
Äëÿ Çåìë³ äðóãà êîñì³÷íà øâèäê³ñòü υ = = υ2 12 2ÇgR ; υ2 = 11,2 êì/ñ.
ßêùî çíà÷åííÿ øâèäêîñò³ á³ëüøå 7,9 êì/ñ, àëå ìåíøå 11,2 êì/ñ, îðá³òà ñóïóò-
íèêà Çåìë³ º åë³ïòè÷íîþ. Ðîçâèíóâøè øâèäê³ñòü 11,2 êì/ñ, ò³ëî ïî÷íå ðóõàòè-
ñÿ ïî ïàðàáîë³ ³ á³ëüøå íå ïîâåðíåòüñÿ äî Çåìë³ (ìàë. 100).
Øòó÷í³ ñóïóòíèêè Çåìë³. ØÑÇ âèâîäÿòüñÿ íà îðá³òè çà äîïîìîãîþ áàãàòî-
ñòóïåíåâèõ ðàêåò-íîñ³¿â (ìàë. 101), ÿê³ ï³äí³ìàþòü ¿õ íà â³äïîâ³äíó âèñîòó íàä
ïîâåðõíåþ Çåìë³ ³ ðîçãàíÿþòü äî øâèäêîñò³, ùî äîð³âíþº, àáî òàêî¿, ùî ïåðå-
âèùóº (àëå íå á³ëüøå í³æ ó 1,4 ðàçà) ïåðøó êîñì³÷íó øâèäê³ñòü. Öåé øëÿõ,
ÿêèé íàçèâàºòüñÿ òðàºêòîð³ºþ âèâåäåííÿ ØÑÇ íà îðá³òó, ñòàíîâèòü çàçâè÷àé
â³ä äåê³ëüêîõ ñîòåíü äî äâîõ-òðüîõ òèñÿ÷ ê³ëîìåòð³â. Ðàêåòà ñòàðòóº, ðóõàþ-
÷èñü âåðòèêàëüíî âãîðó, ðîçâåðòàºòüñÿ ïðèáëèçíî ãîðèçîíòàëüíî ³ ðîçãàíÿ-
ºòüñÿ äî òàê çâàíî¿ ðîçðàõóíêîâî¿ øâèäêîñò³. Êîñì³÷íèé àïàðàò, ùî º ìåòîþ
çàïóñêó, íåñå îñòàííÿ ñòóï³íü ðàêåòè; â³í àâòîìàòè÷íî â³ää³ëÿºòüñÿ â³ä íå¿ ³
ïî÷èíàº ñâ³é ðóõ ïî ïåâí³é îðá³ò³ â³äíîñíî Çåìë³, ñòàþ÷è øòó÷íèì íåáåñíèì
ò³ëîì.
Íèí³ ó íàâêîëîçåìíîìó ïðîñòîð³ ïåðåáóâàþòü ñîòí³ øòó÷íèõ ñóïóòíèê³â,
ÿê³ º ñêëàäíèìè àïàðàòàìè, ùî âèêîíóþòü ð³çíîìàí³òí³ ôóíêö³¿: ðåòðàíñëþ-
þòü òåëåâ³ç³éí³ ïðîãðàìè, îõîïëþþ÷è çíà÷í³ çà ïëîùåþ ðàéîíè Çåìë³; çàáåç-

110
Ð Î Ç Ä ² Ë 2
ïå÷óþòü âñåñâ³òí³é òåëåôîííèé ³ êîìï’þòåðíèé çâ’ÿçîê, âèêîðèñòîâóþòüñÿ
ÿê ìàÿêè äëÿ ìîðñüêèõ ³ ïîâ³òðÿíèõ ñóäåí, òî÷íî âèçíà÷àþ÷è ¿õ êîîðäèíàòè;
çä³éñíþþòü íàóêîâ³ ïðîãðàìè äîñë³äæåííÿ Çåìë³; âèêîðèñòîâóþòüñÿ ó ñèñòåì³
íàö³îíàëüíî¿ áåçïåêè âåëèêèõ äåðæàâ. ª íàâ³òü ñóïóòíèêè äëÿ ï³äòðèìàííÿ
àìàòîðñüêîãî ðàä³îçâ’ÿçêó.
ßê ìàº áóòè íàïðÿìëåíà øâèäê³ñòü ò³ëà ó ìîìåíò éîãî âèõîäó íà êîëî-1.
âó îðá³òó, ùîá âîíî ñòàëî øòó÷íèì ñóïóòíèêîì Çåìë³?
ßê ñïðÿìîâàíå ïðèñêîðåííÿ øòó÷íîãî ñóïóòíèêà Çåìë³? ×è ìîæíà2.
ââàæàòè ðóõ øòó÷íîãî ñóïóòíèêà Çåìë³ ð³âíîïðèñêîðåíèì?
Ùî òàêå ïåðøà êîñì³÷íà øâèäê³ñòü? ×îìó äîð³âíþº ïåðøà êîñì³÷íà3.
øâèäê³ñòü äëÿ Çåìë³?
Ùî òàêå äðóãà êîñì³÷íà øâèäê³ñòü? ×îìó äîð³âíþº äðóãà êîñì³÷íà4.
øâèäê³ñòü äëÿ Çåìë³?
Ìàë. 100. Òðàºêòîð³¿ ðóõó
øòó÷íèõ ñóïóòíèê³â Çåìë³
Ìàë. 101. Çàïóñê óêðà¿íñüêî¿
ðàêåòè-íîñ³ÿ òèïó «Äí³ïðî»

111
Ó çàäà÷àõ íà ðóõ ñóïóòíèê³â íàâêîëî íåáåñíèõ ò³ë, ïëàíåò, íàâêîëî Ñîíöÿ
òîùî íà íåáåñí³ ò³ëà ³ ñóïóòíèêè ä³º ëèøå ñèëà ïðèòÿãàííÿ, ÿêà ³ íàäàº ò³ëàì
äîöåíòðîâîãî ïðèñêîðåííÿ. Òîìó äðóãèé çàêîí Íüþòîíà äëÿ òàêèõ âèïàäê³â
ìàòèìå âèãëÿä:
= 2
Mm
ma G
r
,
äå m – ìàñà ò³ëà, ùî º ñóïóòíèêîì ò³ëà ìàñîþ Ì; à – äîöåíòðîâå ïðèñêîðåííÿ
ñóïóòíèêà r – â³äñòàíü ì³æ ò³ëàìè.
Çàäà÷à. Âèçíà÷èòè ìàñó Ì³ñÿöÿ, ÿêùî â³äîìî, ùî éîãî øòó÷íèé ñóïóòíèê
îáåðòàºòüñÿ ìàéæå ïî êîëîâ³é îðá³ò³, ðàä³óñ ÿêî¿ 1890 êì, ³ ìàº ïåð³îä îáåðòàí-
íÿ 2 ãîä 3 õâ 30 ñ.
Äàíî:
R = 1890 · 103
ì;
T = 7410 c;
G = 6,67 · 10−11
H · ì2
/êã2
Çà äðóãèì çàêîíîì Íüþòîíà ñèëà âñåñâ³òíüî-
ãî òÿæ³ííÿ = 2
Mm
F G
R
íàäàº øòó÷íîìó ñóïóòíèêó
M – ?
Ì³ñÿöÿ äîöåíòðîâîãî ïðèñêîðåííÿ =
F
a
m
, òîìó = 2
GM
a
R
.
Ç ³íøîãî áîêó, äîöåíòðîâå ïðèñêîðåííÿ ìîæíà âèçíà÷èòè çà ôîðìóëàìè
ê³íåìàòèêè:
υ
=
2
a
R
,
äå υ – ë³í³éíà øâèäê³ñòü ðóõó ñóïóòíèêà. Ïðèð³âíþþ÷è
υ
=
2
2
GM
R R
, çâ³äòè îòðè-
ìàºìî
υ
=
2
R
M
G
.
Ë³í³éíà øâèäê³ñòü ðóõó ñóïóòíèêà âèçíà÷àºòüñÿ â³äíîøåííÿì äîâæèíè
êîëîâî¿ îðá³òè äî ³íòåðâàëó ÷àñó íà ïðîõîäæåííÿ îäíîãî îáåðòó:
π
υ =
2 R
T
. Òîä³
π
=
2 3
2
4 R
M
GT
.
( )
−
⋅ ⋅
= ≈ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
32 3 3
22
11 2 2 2 2
4 3,14 1890 10 ì
7,35 10 êã
6,67 10 Í ì /êã 7410 ñ
Ì .
Â³äïîâ³äü: ≈ ⋅ 22
7,35 10 êãÌ .

112
Ð Î Ç Ä ² Ë 2
Вправа 16
1.Îá÷èñëèòèïåðøóêîñì³÷íóøâèäê³ñòüäëÿÌ³ñÿöÿ,ÿêùîðàä³óñÌ³ñÿöÿñòà-
íîâèòü 1700 êì, à ïðèñêîðåííÿ â³ëüíîãî ïàä³ííÿ ò³ë íà Ì³ñÿö³ äîð³âíþº 1,6 ì/ñ2
.
2. Ì³ñÿöü ðóõàºòüñÿ íàâêîëî Çåìë³ ç³ øâèäê³ñòþ áëèçüêî 1 êì/ñ. Â³äñòàíü
â³ä Çåìë³ äî Ì³ñÿöÿ äîð³âíþº 3,8 · 105
êì. Âèçíà÷èòè ìàñó Çåìë³.
3. ßêó øâèäê³ñòü ïîâèíåí ìàòè øòó÷íèé ñóïóòíèê, ùîá îáåðòàòèñü ïî êî-
ëîâ³é îðá³ò³ íà âèñîò³ 600 êì íàä ïîâåðõíåþ Çåìë³? ßêèé áóäå ïåð³îä éîãî îáåð-
òàííÿ? Ðàä³óñ Çåìë³ ñòàíîâèòü 6400 êì.
4. Äîâåñòè, ùî ïåð³îä îáåðòàííÿ øòó÷íîãî ñóïóòíèêà ïî êîëîâ³é îðá³ò³
âèçíà÷àºòüñÿ çà ôîðìóëîþ = π2
r
T r
GM
(äå M – ìàñà ïëàíåòè; r – â³äñòàíü
ñóïóòíèêà â³ä ¿¿ öåíòðà).
5. Ó ñê³ëüêè ðàç³â ïåð³îä îáåðòàííÿ ñóïóòíèêà, ÿêèé ðóõàºòüñÿ íà â³äñòàí³
21 600 êì â³ä ïîâåðõí³ Çåìë³, á³ëüøèé, í³æ ó ñóïóòíèêà, ùî ðóõàºòüñÿ íà âè-
ñîò³ 600 êì â³ä ïîâåðõí³ Çåìë³?
6. Ñåðåäíÿ â³äñòàíü â³ä ñóïóòíèêà äî ïîâåðõí³ Çåìë³ ñòàíîâèòü 1700 êì.
Âèçíà÷èòè éîãî ë³í³éíó øâèäê³ñòü ³ ïåð³îä îáåðòàííÿ.
7. Ñóïóòíèê ðóõàºòüñÿ íàâêîëî äåÿêî¿ ïëàíåòè êîëîâîþ îðá³òîþ, ðàä³óñ
ÿêî¿ 4,7 · 109
ì ç³ øâèäê³ñòþ 104
ì/ñ. ßêà ñåðåäíÿ ãóñòèíà ïëàíåòè, ÿêùî ¿¿
ðàä³óñ 1,5 · 108
ì?
8. Íà ÿêó âèñîòó íàä ïîâåðõíåþ Çåìë³ ñë³ä çàïóñòèòè ñóïóòíèê, ùîá â³í
çàëèøàâñÿ íåðóõîìèì â³äíîñíî íå¿?
§ 22 Сила пружності. Закон Гука
Ïðèðîäà ñèë ïðóæíîñò³.
Ïðóæí³ äåôîðìàö³¿. Çàêîí Ãóêà.
Ìåõàí³÷í³ âëàñòèâîñò³ ìàòåð³àë³â.
Ñèëè ðåàêö³¿ îïîðè.
Ïðèðîäà ñèë ïðóæíîñò³. ßê â³äîìî, âçàºìîä³ÿ ò³ë ìîæå çóìîâëþâàòè íå
ò³ëüêè çì³íó ¿õ øâèäêîñòåé (äèíàì³÷íó ä³þ), à é äåôîðìàö³¿ (ñòàòè÷íó ä³þ).
Äåôîðìàö³ÿ – çì³íà ôîðìè ÷è ðîçì³ð³â ò³ëà (àáî
÷àñòèí ò³ëà) ï³ä ä³ºþ çîâí³øí³õ ìåõàí³÷íèõ ñèë òà
³íøèõ âïëèâ³â, ÿê³ çóìîâëþþòü çì³íó â³äíîñíîãî
ðîçì³ùåííÿ ÷àñòèíîê ò³ëà.
Óíàñë³äîê äåôîðìàö³¿ çì³íþþòüñÿ ì³æàòîìí³ â³äñòàí³ ³ â³äáóâàºòüñÿ ïåðå-
ãðóïóâàííÿ áëîê³â àòîì³â.

113
Íàïðèêëàä, îäèí ê³íåöü ñòåðæíÿ äîâæèíîþ l çàêð³ïèìî, à äî äðóãîãî ê³í-
öÿ ïðèêëàäàòèìåìî çîâí³øíþ ñèëó
r
F (ìàë. 102).
Ï³ä ä³ºþ ö³º¿ ñèëè ÷àñòèíêè
ñòåðæíÿ íàáóâàþòü ïðèñêîðåííÿ,
ïî÷èíàþòü ðóõàòèñü ³ çì³ùóþòüñÿ
â³äíîñíî ¿õ ïî÷àòêîâîãî ïîëîæåí-
íÿ. Ïðè öüîìó íà êîæíó ç íèõ ïî-
÷íóòü ä³ÿòè ñèëè ç áîêó ñóñ³äí³õ
÷àñòèíîê, ÿê³ íàìàãàþòüñÿ ïîâåð-
íóòè ÷àñòèíêè â ïîïåðåäíº ïîëî-
æåííÿ. Ó ñâîþ ÷åðãó ÷àñòèíêè, ùî
çì³ñòèëèñÿ, ä³þòü íà ùå íå çì³ùåí³
÷àñòèíêè, íàäàþ÷è ¿ì ïðèñêîðåí-
íÿ, óíàñë³äîê ÷îãî çì³ùóþòüñÿ ³ âîíè. Ñòåðæåíü äåôîðìóºòüñÿ, éîãî äîâæèíà
çá³ëüøóºòüñÿ íà õ ³ â íüîìó âèíèêàþòü ñèëè ïðóæíîñò³
r
Fïð
. ßêáè ñòåðæåíü íå
áóâ çàêð³ïëåíèé, òî ïî÷àâ áè ðóõàòèñÿ (áóäó÷è äåôîðìîâàíèì) ç ïðèñêîðåí-
íÿì, ÿêå çàëåæèòü â³ä éîãî ìàñè. Îñê³ëüêè ñòåðæåíü çàêð³ïëåíî, òî éîãî äå-
ôîðìàö³ÿ ïðîäîâæóºòüñÿ äîòè, äîêè ñèëà ïðóæíîñò³
r
Fïð
íå ñòàíå ð³âíîþ çà ìî-
äóëåì çîâí³øí³é ñèë³
r
F.
Ñèëè ïðóæíîñò³ – ñèëè, ùî âèíèêàþòü ïðè äå-
ôîðìàö³ÿõ ò³ë ³ íàïðÿìëåí³ ó á³ê, ïðîòèëåæíèé
çì³ùåííþ ÷àñòèíîê, ìàþòü åëåêòðîìàãí³òíó ïðè-
ðîäó (îñê³ëüêè çóìîâëåí³ çì³íîþ â³äñòàíåé ì³æ
àòîìàìè, éîíàìè, ìîëåêóëàìè).
Ñèëè âçàºìîä³¿ ì³æ ìîëåêóëàìè òà àòîìàìè ìàþòü òàêó îñîáëèâ³ñòü: ç³
çá³ëüøåííÿì â³äñòàí³ ì³æ íèìè âîíè º ñèëàìè ïðèòÿãàííÿ, à ç³ çìåíøåííÿì –
ñèëàìè â³äøòîâõóâàííÿ. Öèì ³ çóìîâëåíèé íàïðÿì ñèë ïðóæíîñò³.
Ñèëè ïðóæíîñò³ íàéïîøèðåí³ø³ ³ âèíèêàþòü ó ðàç³ äîòèêàííÿ âñ³õ ò³ë ì³æ
ñîáîþ, êîëè ¿õ ìîëåêóëè íàáëèæàþòüñÿ íà â³äñòàíü 10−9
– 10−10
ì, ùîá ìîãëè
âçàºìîä³ÿòè ¿õ åëåêòðîíí³ îáîëîíêè.
Ò³ë, ÿê³ á íå äåôîðìóâàëèñÿ, ó ïðèðîä³ íå ³ñíóº. Âîäíî÷àñ ÷àñòî äîâîäèòü-
ñÿ ìàòè ñïðàâó ç òàêèìè ìàëèìè äåôîðìàö³ÿìè, ùî ¿õ âàæêî âèÿâèòè. Íà-
ïðèêëàä, ÿêùî íàñòóïèòè íà öåãëèíó, òî ¿¿ âèñîòà çìåíøèòüñÿ ïðèáëèçíî íà
0,000 05 ñì. Çà òàêî¿ äåôîðìàö³¿ ñóñ³äí³ àòîìè íàáëèæàþòüñÿ îäèí äî îäíîãî
ïðèáëèçíî íà −
⋅ 14
2 10 ñì .
Ðîçãëÿäàþ÷è á³ëüø³ñòü çàäà÷, ìè íåõòóâàëè äåôîðìàö³ÿìè ³ ñèëàìè ïðóæ-
íîñò³, ÿê³ âèíèêàëè ï³ä ÷àñ âçàºìîä³¿ ò³ë. Òåïåð äîñë³äèìî âëàñòèâîñò³ ñèë
ïðóæíîñò³ ó ò³ëàõ, ÿê³ çàçíàþòü çíà÷íèõ äåôîðìàö³é ï³ä ÷àñ ä³¿ íà íèõ çîâí³ø-
í³õ ñèë (ïðóæèíè, ãóìîâ³ äæãóòè òîùî).
Ïðóæí³ äåôîðìàö³¿. Çàêîí Ãóêà. Ñåðåä äåôîðìàö³é, ÿê³ âèíèêàþòü ó òâåð-
äèõ ò³ëàõ, ìîæíà âèîêðåìèòè ï’ÿòü îñíîâíèõ âèä³â: ðîçòÿã, ñòèñêàííÿ, çñóâ,
ñêðó÷óâàííÿ ³ çãèíàííÿ. Íà ìàë. 103 ïîêàçàíî ð³çí³ âèäè äåôîðìàö³¿ ò³ë.
Ìè íàäàë³ ðîçãëÿäàòèìåìî äåôîðìàö³¿ ðîçòÿãó (ñòèñêàííÿ).
Ìàë. 102. Çîâí³øíÿ ñèëà çóìîâëþº
äåôîðìàö³þ, à äåôîðìàö³ÿ çóìîâëþº
ñèëó ïðóæíîñò³, ÿêà íàïðàâëåíà
ïðîòèëåæíî äî çîâí³øíüî¿ ñèëè

114
Ð Î Ç Ä ² Ë 2
Äåôîðìàö³¿ ïîä³ëÿþòü òàêîæ íà ïðóæí³, ÿê³ çíèêàþòü ï³ñëÿ ïðèïèíåííÿ
ä³¿ çîâí³øí³õ ñèë (îñê³ëüêè ìîëåêóëè ò³ëà ïîâåðòàþòüñÿ ó ïî÷àòêîâå ïîëîæåí-
íÿ), ³ ïëàñòè÷í³, êîëè â³äíîâëåííÿ ôîðìè ò³ëà íå â³äáóâàºòüñÿ.
Äëÿ ïðóæíèõ äåôîðìàö³é àíãë³éñüêèé ó÷åíèé Ð. Ãóê ó 1660 ð. åêñïåðè-
ìåíòàëüíî âñòàíîâèâ çàêîí, ÿêèé íàçâàíî éîãî ³ì’ÿì.
Íà ìàë. 104 ïîäàíî ðåçóëüòàòè äîñë³äó ùîäî âèâ÷åííÿ çàëåæíîñò³ âèäî-
âæåííÿ ïðóæèíè â³ä âåëè÷èíè ïðèêëàäåíî¿ ñèëè.
Êîëè äî ïðóæèíè ï³äâ³ñèòè îäèí òÿãàðåöü, òî âíàñë³äîê ä³¿ çåìíîãî òÿæ³í-
íÿ â³í ðóõàºòüñÿ âíèç ³ ðîçòÿãóº ïðóæèíó äîòè, äîêè ñèëà òÿæ³ííÿ íå âð³â-
íîâàæèòüñÿ ñèëîþ ïðóæíîñò³, ùî âèíèêàº ó ïðóæèí³. Çá³ëüøóþ÷è ê³ëüê³ñòü
òÿãàðö³â, ñïîñòåð³ãàºìî, ùî ó ñê³ëüêè ðàç³â çá³ëüøóºòüñÿ ïðèêëàäåíà ñèëà, ó
ñò³ëüêè ñàìî ðàç³â çá³ëüøóºòüñÿ ³ âèäîâæåííÿ ïðóæèíè.
Îòæå, ÷èì á³ëüøà ñèëà ïðèêëàäåíà äî ò³ëà, òèì á³ëüøå âîíî äåôîðìóºòüñÿ.
Ðàçîì ³ç òèì, ÷èì á³ëüøà äåôîðìàö³ÿ, òèì á³ëüøà ñèëà ïðóæíîñò³ âèíèêàº â
ò³ë³, òîáòî, ñèëà ïðóæíîñò³ ïðîïîðö³éíà äåôîðìàö³¿.
Çàêîí Ãóêà: ñèëà ïðóæíîñò³, ÿêà âèíèêàº ï³ä ÷àñ
ïðóæíî¿ äåôîðìàö³¿ ò³ëà, ïðÿìî ïðîïîðö³éíà âèäî-
âæåííþ ò³ëà ³ íàïðÿìëåíà ó á³ê, ïðîòèëåæíèé äî íà-
ïðÿìó ïåðåì³ùåíü ÷àñòèíîê ò³ëà ï³ä ÷àñ äåôîðìàö³¿:
= −F kx,
äå k – êîåô³ö³ºíò ïðóæíîñò³, àáî æîðñòê³ñòü, éîãî çíà÷åííÿ çàëåæèòü â³ä ðîç-
ì³ð³â òà ìàòåð³àëó ò³ëà, âèì³ðþºòüñÿ â íüþòîíàõ íà ìåòð [k] = 1 H/ì; õ – àáñî-
ëþòíà äåôîðìàö³ÿ (ë³í³éíå âèäîâæåííÿ ÷è ñòèñíåííÿ ò³ëà).
Çíàê «−» ïîêàçóº, ùî íàïðÿì ñèëè ïðóæíîñò³ ïðîòèëåæíèé íàïðÿìó çì³-
ùåííÿ êðàþ äåôîðìîâàíîãî ò³ëà.
Æîðñòê³ñòü – çäàòí³ñòü ò³ëà àáî êîíñòðóêö³¿ ïðî-
òèä³ÿòè âèíèêíåííþ äåôîðìàö³é ïðè çàäàíîìó òèï³
íàâàíòàæåííÿ: ÷èì á³ëüøà æîðñòê³ñòü, òèì ìåíøà
äåôîðìàö³ÿ.
Ìàë. 103. Âèäè äåôîðìàö³¿:
à – ðîçòÿã ³ ñòèñêàííÿ; á – çãèíàííÿ; â – ñêðó÷óâàííÿ; ã – çñóâ

115
Ï³ä æîðñòê³ñòþ ðîçóì³þòü òàêîæ êîåô³ö³-
ºíò ïðîïîðö³éíîñò³ k ó ôîðìóë³ çàêîíó Ãóêà.
ßâèùå ïðóæíî¿ äåôîðìàö³¿ âèêîðèñòîâó-
þòü ó ïðèëàäàõ äëÿ âèì³ðþâàííÿ ñèëè – äèíà-
ìîìåòðàõ (àáî ñèëîì³ðàõ). Êîíñòðóêö³¿ äèíà-
ìîìåòð³â íàéð³çíîìàí³òí³ø³, àëå ïðèíöèï ¿õ
ðîáîòè îäíàêîâèé: ó íèõ âèêîðèñòàíî âëàñòè-
â³ñòü ò³ë ïîäîâæóâàòèñÿ, çãèíàòèñÿ ÷è ñòèñêó-
âàòèñÿ ïðè ïðóæí³é äåôîðìàö³¿ ïðÿìî ïðîïî-
ðö³éíî äî âåëè÷èíè ïðèêëàäåíî¿ ñèëè.
Ãîëîâíîþ â³äì³íí³ñòþ ñèë ïðóæíîñò³ â³ä
óñ³õ ³íøèõ ñèë º òå, ùî âîíè çàëåæàòü ëèøå
â³ä äåôîðìàö³é ³ íå çàëåæàòü â³ä ò³ëà, äî ÿêîãî ïðèêëàäåí³.
Ìåõàí³÷í³ âëàñòèâîñò³ ìàòåð³àë³â. Ìåõàí³÷í³ âëàñòèâîñò³ ìàòåð³àë³â –
öå çäàòí³ñòü ìàòåð³àë³â ïðîòèñòîÿòè äåôîðìóâàííþ ³ ðóéíóâàííþ, ïðóæíî é
ïëàñòè÷íî äåôîðìóâàòèñÿ ï³ä ä³ºþ çîâí³øí³õ ìåõàí³÷íèõ ñèë.
Ô³çè÷íîþ âåëè÷èíîþ, ùî õàðàêòåðèçóº ä³þ âíó-
òð³øí³õ ñèë, ÿê³ âèíèêàþòü ó äåôîðìîâàíîìó ò³ë³,
º ìåõàí³÷íà íàïðóãà σ, ÿêà âèçíà÷àºòüñÿ â³äíî-
øåííÿì ìîäóëÿ ñèëè ïðóæíîñò³ Fïð
äî ïëîù³ ïîïå-
ðå÷íîãî ïåðåð³çó S ò³ëà:
σ = Fïð
/S.
Âèì³ðþºòüñÿ â íüþòîíàõ íà ìåòð ó êâàäðàò³ àáî ïàñêàëÿõ [σ] = 1 Í/ì2
= 1 Ïà.
Âåëè÷èíà, ÿêà õàðàêòåðèçóº çäàòí³ñòü ìàòåð³àë³â
ïðîòèä³ÿòè äåôîðìàö³¿ îäíîñòîðîííüîãî ðîçòÿãó
(ñòèñêàííÿ), íàçèâàºòüñÿ ìîäóëü Þíãà (ìîäóëü
ïðóæíîñò³) (Å) ³ äîð³âíþº â³äíîøåííþ ìåõàí³÷íî¿
íàïðóãè äî â³äíîñíîãî âèäîâæåííÿ, ñïðè÷èíåíîãî
ö³ºþ íàïðóãîþ ó íàïðÿì³ ¿¿ ä³¿:
E = σ ε.
Â³äíîñíå âèäîâæåííÿ âèçíà÷àºòüñÿ:
∆ −
ε = = 0
0 0
l l l
l l
,
äå l0
– ïî÷àòêîâà äîâæèíà ñòåðæíÿ; l – äîâæè-
íà äåôîðìîâàíîãî ñòåðæíÿ.
Íà ìàë. 105 ïîêàçàíî çàëåæí³ñòü ìåõàí³÷-
íî¿ íàïðóãè â³ä â³äíîñíîãî âèäîâæåííÿ ïðè
ðîçòÿãóâàíí³.
Ä³ëÿíêà ÎÀ – äåôîðìàö³ÿ ïðóæíà – ò³ëî
ïîâí³ñòþ â³äíîâëþº ñâî¿ ðîçì³ðè ï³ñëÿ çíÿòòÿ
Ìàë. 104. Çàëåæí³ñòü
ñèë ïðóæíîñò³ â³ä äåôîðìàö³¿
Ìàë. 105. Ä³àãðàìà ðîçòÿãó

116
Ð Î Ç Ä ² Ë 2
çîâí³øíüîãî íàâàíòàæåííÿ. σïð
– ìåæà ïðîïîðö³éíîñò³, äå âèêîíóºòüñÿ çàêîí
Ãóêà.
Çàêîí Ãóêà äëÿ äåôîðìàö³¿ ðîçòÿãó: â ìåæàõ ïðî-
ïîðö³éíîñò³ ìåõàí³÷íà íàïðóãà ïðÿìî ïðîïîðö³é-
íà â³äíîñíîìó âèäîâæåííþ: σ = εE .
Ä³ëÿíêà ÀÂ. Çàêîí Ãóêà íå âèêîíóºòüñÿ, àëå äåôîðìàö³ÿ ïðóæíà. Ìàêñè-
ìàëüíà íàïðóãà, çà ÿêî¿ ùå íå âèíèêàº ïîì³òíà çàëèøêîâà äåôîðìàö³ÿ, íàçè-
âàºòüñÿ ìåæåþ ïðóæíîñò³ σïðóæ
.
ßêùî ïðîäîâæóâàòè ðîçòÿãóâàòè ò³ëî, òî âèíèêàº çàëèøêîâà äåôîðìàö³ÿ
(ä³ëÿíêà ÂÑ) – äåôîðìàö³ÿ, â ðåçóëüòàò³ ÿêî¿ ò³ëî çàëèøàºòüñÿ äåôîðìîâàíèì
ï³ñëÿ ïðèïèíåííÿ ä³¿ çîâí³øíüî¿ ñèëè. Òàêó äåôîðìàö³þ ùå íàçèâàþòü ïëàñ-
òè÷íîþ.
Ïîò³ì âèäîâæåííÿ ò³ëà â³äáóâàºòüñÿ ìàéæå áåç çì³íè íàïðóãè â íüîìó,
òîìó êàæóòü, ùî «ìàòåð³àë òå÷å». Ä³ëÿíêà ÑD – òåêó÷³ñòü ìàòåð³àëó.
Ç³ çá³ëüøåííÿì äåôîðìàö³¿ êðèâà íàïðóã ïî÷èíàº òðîõè ï³äí³ìàòèñÿ ³ äî-
ñÿãàº ìàêñèìóìó â òî÷ö³ Å. Ïîò³ì íàïðóãà øâèäêî ñïàäàº ³ ò³ëî ðóéíóºòüñÿ
(òî÷êà K). Îòæå, ðîçðèâ íàñòàº ï³ñëÿ òîãî, ÿê íàïðóãà äîñÿãíå ìàêñèìàëüíîãî
çíà÷åííÿ σì.ì
, ùî íàçèâàºòüñÿ ìåæåþ ì³öíîñò³.
Äîñë³äæåííÿ ïîâåä³íêè ò³ëà ïðè çîâí³øí³õ ìåõàí³÷íèõ íàâàíòàæåííÿõ ³
¿õ ä³àãðàìè ðîçòÿãó äîñèòü âàæëèâ³ ó ïðàêòè÷íîìó âèêîðèñòàíí³ ìàòåð³àë³â
äëÿ ð³çíèõ ö³ëåé.
Âñòàíîâèìî çâ’ÿçîê ì³æ âåëè÷èíàìè, ùî âõîäÿòü äî çàêîíó Ãóêà, çàïèñà-
íîãî ó âèãëÿä³ =F k x òà σ = εE .
Ïðèð³âíÿºìî σ =
F
S
òà
∆
σ =
0
l
E
l
. Îòðèìóºìî
∆
=
0
ïpF l
E
S l
àáî = ∆
0
ïp
ES
F l
l
.
Âðàõîâóþ÷è, ùî = ∆x l ëåãêî áà÷èòè, ùî =
0
ES
k
l
.
Ìîäóëü Þíãà Å íà â³äì³ííó â³ä æîðñòêîñò³ ò³ëà k íå çàëåæèòü â³ä ðîçì³ð³â
ò³ëà ³ éîãî çíà÷åííÿ íàâåäåíî â òàáëèöÿõ (äèâ. òàáë. 4 â äîäàòêàõ).
Ñèëà ðåàêö³¿ îïîðè. ßê ìè óæå çíàºìî, ò³ëî âíàñë³äîê ïðèêëàäåíèõ äî íüî-
ãî ñèë ìîæå ðóõàòèñü ó áóäü-ÿêîìó íàïðÿì³. Ó ðåàëüíèõ óìîâàõ â³ëüíîìó ðó-
õîâ³ ò³ë ïåðåøêîäæàþòü ³íø³ ò³ëà, ÿê³ ïåðåáóâàþòü ³ç öèì ò³ëîì ó êîíòàêò³.
Òàê, ò³ëî âíàñë³äîê ä³¿ ñèëè òÿæ³ííÿ òèñíå íà îïîðó ÷è ðîçòÿãóº ï³äâ³ñ – äåôîð-
ìóº ¿õ. Çà òðåò³ì çàêîíîì Íüþòîíà îïîðà ÷è ï³äâ³ñ ä³þòü íà ò³ëî ç òàêîþ ñàìîþ
çà ìîäóëåì ³ ïðîòèëåæíî íàïðàâëåíîþ ñèëîþ. Ïðèðîäà öèõ ñèë îäíàêîâà, àëå
âîíè íå êîìïåíñóþòü îäíà îäíó, áî ïðèêëàäåí³ äî ð³çíèõ ò³ë.
Ñèëó ïðóæíîñò³, ùî ä³º íà ò³ëî ç áîêó îïîðè àáî
ï³äâ³ñó, íàçèâàþòü ñèëîþ ðåàêö³¿ îïîðè
r
N.
Âàæëèâîþ îñîáëèâ³ñòþ ñèë ðåàêö³¿ îïîðè º òå, ùî âîíè íàïðàâëåí³ ïåðïåí-
äèêóëÿðíî äî ïîâåðõí³ äîòèêó ò³ë (ìàë. 106).

117
Óíàñë³äîê ÷îãî ç’ÿâëÿºòüñÿ ñèëà ïðóæíîñò³? ßêà ïðèðîäà ö³º¿ ñèëè?1.
Ùî òàêå äåôîðìàö³ÿ? Çà ÿêèõ óìîâ âèíèêàþòü äåôîðìàö³¿ ò³ë?2.
ßêó äåôîðìàö³þ íàçèâàþòü ïðóæíîþ, à ÿêó ïëàñòè÷íîþ? Íàçâ³òü âèäè3.
äåôîðìàö³¿.
ßê ôîðìóëþºòüñÿ ³ çàïèñóºòüñÿ çàêîí Ãóêà? Ùî îçíà÷àº çíàê «ì³íóñ» ó4.
ôîðìóë³ çàêîíó Ãóêà?
ßêèé çàêîí îïèñóº ïîçäîâæíþ ïðóæíó äåôîðìàö³þ ðîçòÿãó (ñòèñêàííÿ)?5.
Ùî òàêå ðåàêö³ÿ îïîðè àáî ï³äâ³ñó?6.
Ï³ä ÷àñ ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàäà÷ íà ðóõ ò³ë ï³ä ä³ºþ ñèëè ïðóæíîñò³ ìè ðîçãëÿ-
äàòèìåìî ò³ âèïàäêè, êîëè ñèëà ïðóæíîñò³ íå çì³íþºòüñÿ.
Çâåðí³òü óâàãó! Â óìîâ³ á³ëüøîñò³ çàäà÷ ³äåòüñÿ íå ïðî ñèëó ïðóæíîñò³
r
Fïð
,
à ïðî ïðèêëàäåíó ñèëó
r
F. ßêùî âðàõîâóâàòè òðåò³é çàêîí Íüþòîíà, òî ôîðìó-
ëó Fïð
= −kx ìîæíà çàñòîñîâóâàòè ó âèãëÿä³ F = kx.
Çàäà÷à 1. Ïðóæèíè, æîðñòêîñò³ ÿêèõ k1
òà k2
â³äïîâ³äíî, ç’ºäíàí³ ïàðàëåëüíî. ×îìó äîð³âíþº
æîðñòê³ñòü òàêî¿ ñèñòåìè? ßêèì áóäå ðåçóëüòàò,
ÿêùî ïðóæèíè ç’ºäíàòè ïîñë³äîâíî?
Äàíî:
k1
;
k2
Çàêîí Ãóêà äëÿ ñèñòåìè ïðóæèí F = kx,
äå F – ïðèêëàäåíà ñèëà äî ïðóæèí; k –
æîðñòê³ñòü ñèñòåìè ïðóæèí; x – çàãàëüíåk – ?
âèäîâæåííÿ ñèñòåìè ïðóæèí. Çâ³äêè k = F/x (1).
Ðîçãëÿíåìî âèïàäîê ïàðàëåëüíîãî ç’ºäíàííÿ
ïðóæèí (ìàë. 107).
Ó öüîìó âèïàäêó ê³íö³ ïðóæèí ç’ºäíàí³ ì³æ ñî-
áîþ (íàïðèêëàä, òîíêîþ ïëàñòèíêîþ).
Ìàë. 106. Íàïðÿì ñèë ðåàêö³¿ îïîðè (ï³äâ³ñó)
Ìàë. 107. Ïàðàëåëüíå
ç’ºäíàííÿ ïðóæèí

118
Ð Î Ç Ä ² Ë 2
Ñèëà
r
F, ùî ä³º íà ñèñòåìó, äîð³âíþº ñóì³ ñèë, ÿê³ ä³þòü
íà êîæíó ïðóæèíó: = +1 2F F F . Îñê³ëüêè ñèëà ïðèêëàäåíà äî
ñï³ëüíî¿ ïëàñòèíêè, òî îáèäâ³ ïðóæèíè çàçíàþòü îäíàêîâîãî
âèäîâæåííÿ = =1 2x x x . Â³äïîâ³äíî =1 1F k x , =2 2F k x .
Òîä³ = + = +1 2 1 2( )F F F k k x . Ï³äñòàâëÿþ÷è ó ôîðìóëó (1), ìà-
ºìî: = +1 2k k k .
Ó âèïàäêó ïîñë³äîâíîãî ç’ºäíàííÿ ïðóæèí (ìàë. 108), íà
êîæíó ïðóæèíó ä³º îäíàêîâà ñèëà: = =1 2F F F .
Àëå êîæíà ïðóæèíà çàçíàº â³äïîâ³äíîãî âèäîâæåííÿ x1
³ x2
,
ÿê³ â ñóì³ ñòàíîâëÿòü çàãàëüíå âèäîâæåííÿ: x = x1
+ x2
. Òîä³
= +
1 2
F F F
k k k
àáî = +
1 2
1 1 1
k k k
.
Â³äïîâ³äü: ó âèïàäêó ïàðàëåëüíîãî ç’ºäíàííÿ ïðóæèí, æîð-
ñòêîñò³ ÿêèõ k1
òà k2
, çàãàëüíà æîðñòê³ñòü ñèñòåìè k = k1
+ k2
;
ïðè ïîñë³äîâíîìó ç’ºäíàíí³ – = +
1 2
1 1 1
k k k
.
Çàäà÷à 2. Äîâæèíà ñòàëåâîãî äðîòó ïëîùåþ ïîïåðå÷íîãî
ïåðåð³çó 3 ìì2
ï³ä ä³ºþ ñèëè 4 · 104
Í ñòàíîâèòü 2 ì. Âèçíà÷èòè
àáñîëþòíå âèäîâæåííÿ äðîòó ïðè çá³ëüøåíí³ ñèëè ðîçòÿãóâàí-
íÿ íà 104
Í.
Äàíî:
−
= ⋅ 6 2
3 10 ì ;S
=1 2 ì;l
= ⋅ 4
4 10 H;F
∆ = 4
10 HF
Ìîäóëü Þíãà äëÿ ñòàë³ âèçíà÷àºìî çà òàáë. 4 (äèâ. äîäàòîê):
E = 2 · 1011
Ïà.
Âèçíà÷èìî ïî÷àòêîâó äîâæèíó äðîòó 0l .
Ïðèð³âíþþ÷è ôîðìóëè σ =
F
S
,
−
σ = 1 0
0
l l
E
l
, âèçíà÷àºìî:
=
+
1
0
SEl
l
F SE
.
∆ −2 ?l
Ïðè çá³ëüøåíí³ ñèëè ðîçòÿãóâàííÿ íà ∆F , ìàºìî:
∆+ ∆
= 2
0
lF F
E
S l
.
Çâ³äêè
+ ∆
∆ = 0
2
( )F F l
l
SE
.
Ï³äñòàâëÿþ÷è âèðàç äëÿ l0
, îòðèìóºìî:
+ ∆
∆ =
+
1
2
( )F F l
l
F SE
.
Îá÷èñëåííÿ
4 4
2 4 6 2 11
(4 10 H 10 H) 2 ì
0,16 ì.
4 10 H 3 10 ì 2 10 Ïà
l −
⋅ + ⋅
∆ = ≈
⋅ + ⋅ ⋅ ⋅
Â³äïîâ³äü: ∆l2
≈ 0,16 ì.
Ìàë. 108.
Ïîñë³äîâíå
ç’ºäíàííÿ
ïðóæèí

119
Вправа 17
1. ßêå âèäîâæåííÿ ãîðèçîíòàëüíî¿ ïðóæèíè æîðñòê³ñòþ 60 Í/ì, ÿêùî ïðó-
æèíà íàäàº â³çêó ìàñîþ 600 ã ïðèñêîðåííÿ 1,5 ì/ñ2
? Òåðòÿ íå âðàõîâóâàòè.
2. Ìàºìî ò³ëî ìàñîþ 250 ã òà äâ³ îäíàêîâ³ ïðóæèíè. Êîëè ò³ëî ï³äâ³ñèëè äî
ïðóæèí, ç’ºäíàíèõ ïîñë³äîâíî, âîíî âèäîâæèëî ¿õ íà 96 ìì, à êîëè äî ïðóæèí
ç’ºäíàíèõ ïàðàëåëüíî, – íà 22 ìì. ßêà æîðñòê³ñòü ïðóæèí?
3. Íà äâ³ äðîòèíè, ä³àìåòðè ÿêèõ â³äð³çíÿþòüñÿ â òðè ðàçè, ä³þòü îäíàêîâ³
ñèëè ðîçòÿãóâàííÿ. Ïîð³âíÿòè íàïðóãè, ÿê³ âèíèêàþòü ó äðîòèíàõ.
4. Áàëêà çàâäîâæêè 5 ì, ÿêà ìàº ïëîùó ïîïåðå÷íîãî ïåðåð³çó 100 ñì2
, ï³ä
ä³ºþ ñèë ïî 10 êÍ, ïðèêëàäåíèõ äî ¿¿ ê³íö³â, ñòèñíóëàñÿ íà 1 ñì. Âèçíà÷èòè
â³äíîñíå ñòèñêàííÿ ³ ìåõàí³÷íó íàïðóãó.
5. Âèçíà÷èòè íàïðóãó, ÿêà âèíèêàº ó ñòàëåâîìó òðîñ³, ïðè éîãî â³äíîñíîìó
âèäîâæåíí³ 0,001.
6. Ó ñê³ëüêè ðàç³â àáñîëþòíå âèäîâæåííÿ ì³äíî¿ äðîòèíè á³ëüøå, í³æ ñòà-
ëåâî¿ (òàêî¿ ñàìî¿ äîâæèíè ³ òàêîãî ñàìîãî ïîïåðå÷íîãî ïåðåð³çó), êîëè íà íèõ
ä³þòü îäíàêîâ³ ñèëè ðîçòÿãóâàííÿ?
7. ßê³ ñèëè òðåáà äîêëàñòè äî ê³íö³â ñòàëåâî¿ äðîòèíè çàâäîâæêè 4 ì ³ ç
ïåðåð³çîì 0,5 ìì2
, ùîá âèäîâæèòè ¿¿ íà 2 ìì?
8. Ó ñê³ëüêè ðàç³â â³äíîñíå âèäîâæåííÿ ðèáîëîâíî¿ æèëêè ä³àìåòðîì 0,2 ìì
á³ëüøå, í³æ æèëêè ä³àìåòðîì 0,4 ìì, ÿêùî äî ¿õ ê³íö³â ïðèêëàñòè îäíàêîâó ñèëó?
9. Äî äðîòèíè áóëî ïðè÷åïëåíî âàíòàæ. Ïîò³ì äðîòèíó ç³ãíóëè ïîïîëàì
³ ïðè÷åïèëè òîé ñàìèé âàíòàæ. Ïîð³âíÿòè àáñîëþòíå ³ â³äíîñíå âèäîâæåííÿ
äðîòèíè â îáîõ âèïàäêàõ.
10. Ç ãóìîâîãî øíóðà çàâäîâæêè l = 42 ñì ³ ðàä³óñîì R = 3 ìì âèãîòîâëåíî
ðîãàòêó. Õëîï÷èê, ñòð³ëÿþ÷è ç íå¿, ðîçòÿãíóâ øíóð íà ∆l = 20 ñì. Âèçíà÷èòè
ìîäóëü Þíãà Å äëÿ ö³º¿ ãóìè, ÿêùî â³äîìî, ùî êàì³íü ìàñîþ m = 20 ã, âèïó-
ùåíèé ç ðîãàòêè, ïîëåò³â ç³ øâèäê³ñòþ υ = 20 ì/ñ. Çì³íîþ ïåðåð³çó øíóðà ïðè
ðîçòÿãóâàíí³ çíåõòóâàòè.
§ 23 Вага тіла. Невагомість
Âàãà ò³ëà.
Âàãà ò³ëà, ùî ðóõàºòüñÿ ç ïðèñêîðåííÿì ó âåðòèêàëüíîìó
íàïðÿì³.
Âàãà ò³ëà, ùî ðóõàºòüñÿ ïî êîëîâ³é òðàºêòîð³¿.
Âàãà ò³ëà. ßêùî ò³ëî â³ëüíå, òî âîíî ï³ä ä³ºþ çåìíîãî òÿæ³ííÿ ïàäàº íà ¿¿ ïî-
âåðõíþ ç ïðèñêîðåííÿì g (ìàë. 109, à).

120
Ð Î Ç Ä ² Ë 2
ßêùî ò³ëî çíàõîäèòüñÿ íà ãîðèçîí-
òàëüí³é îïîð³, òî âîíà ïåðåøêîäæàº
éîãî ïàä³ííþ. Ó öüîìó âèïàäêó ñèëà
òÿæ³ííÿ =
r r
F mg âð³âíîâàæóºòüñÿ ñèëîþ
íîðìàëüíî¿ ðåàêö³¿ îïîðè
r
N (ìàë. 109,
á).
Íà ï³äñòàâ³ äðóãîãî çàêîíó Íüþòî-
íà ìàºìî: + =
r r r
N mg ma . À îñê³ëüêè ò³ëî
ïåðåáóâàº â ñòàí³ ñïîêîþ, òî + =
r r
0N mg ,
îòæå, ìîäóë³ öèõ ñèë ð³âí³: =N mg . Êð³ì
òîãî, çà òðåò³ì çàêîíîì Íüþòîíà, ñèëà
ðåàêö³¿ îïîðè ð³âíà çà ìîäóëåì ³ ïðîòè-
ëåæíà çà íàïðÿìîì ñèë³, ç ÿêèìè ò³ëî ä³º
íà îïîðó, òîáòî – âàç³ ò³ëà (
r
P ).
= −
r r
N P
=P mg .
Âàãà ò³ëà – öå ñèëà, ç ÿêîþ ò³ëî ä³º íà ãîðèçîí-
òàëüíó îïîðó ÷è ðîçòÿãóº ï³äâ³ñ, íà ÿêèé âîíî ï³ä-
â³øåíå, ó ðåçóëüòàò³ ïðèòÿãàííÿ äî Çåìë³.
Âàãà ò³ëà ÷èñåëüíî äîð³âíþº ñèë³ òÿæ³ííÿ, ÿêùî ò³ëî ïåðåáóâàº â ñòàí³ ñïî-
êîþàáîð³âíîì³ðíî³ïðÿìîë³í³éíîðóõàºòüñÿ³â³äð³çíÿºòüñÿâ³äíå¿ëèøåòî÷êîþ
ïðèêëàäàííÿ(âåêòîðâàãèò³ëà,íàâ³äì³íóâ³äñèëèòÿæ³ííÿ,ùîìàºãðàâ³òàö³éíó
ïðèðîäó,äîêëàäåíîäîîïîðè÷èï³äâ³ñó,àñèëóòÿæ³ííÿ–äîöåíòðàòÿæ³ííÿò³ëà
(ìàë. 109, á).
Îñê³ëüêè =
r r
P mg , òî âàãà ò³ëà òàêîæ çàëåæèòü â³ä øèðîòè ì³ñöåâîñò³: ìàê-
ñèìàëüíà – íà ïîëþñàõ ³ ì³í³ìàëüíà – íà åêâàòîð³.
Âàãà ò³ëà, ùî ðóõàºòüñÿ ç ïðèñêîðåííÿì ó âåðòèêàëüíîìó
íàïðÿì³. Ðîçãëÿíåìî öå íà ïðèêëàäàõ ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàäà÷.
Çàäà÷à 1. Ç ÿêîþ ñèëîþ ëþäèíà òèñíå íà ï³äëîãó ë³ôòà ó
äâîõ âèïàäêàõ: à) ë³ôò îïóñêàºòüñÿ ð³âíîïðèñêîðåíî; á) ë³ôò
ðàïòîâî çóïèíÿºòüñÿ ï³ñëÿ ñïóñêó âíèç. Ìàñà ëþäèíè 75 êã,
ìîäóëü ïðèñêîðåííÿ â îáîõ âèïàäêàõ 1 ì/ñ2
.
Äàíî:
m = 75 êã;
a = 1 ì/ñ2
Ó êîæíîìó âèïàäêó íà ëþäèíó ä³º ñèëà òÿ-
æ³ííÿ ³ ñèëà ðåàêö³¿ îïîðè, òîìó îñíîâíå ð³â-
íÿííÿ äèíàì³êè îäíàêîâå äëÿ îáîõ âèïàäê³â:
+ =
r r r
N mg ma .
Ð – ?
Çðîáèìî ìàëþíêè äî îáîõ âèïàäê³â, â³ñü Y ñïðÿìóºìî
âíèç.
Ó ïåðøîìó âèïàäêó (ìàë. 110, à), êîëè ë³ôò îïóñêàºòüñÿ
ð³âíîïðèñêîðåíî, éîãî øâèäê³ñòü çðîñòàº, òîìó âåêòîð ïðè-
ñêîðåííÿ
r
a íàïðàâëåíèé ó íàïðÿì³ ðóõó (âíèç).
Ìàë. 109.
Ò³ëî: à – òàêå,
ùî ïàäàº â³ëüíî;
á – ò³ëî íà îïîð³
Ìàë. 110, à.
Ðóõ ë³ôòà
ç ïðèñêîðåííÿì,
íàïðàâëåíèì
óíèç

121
Çàêîí ðóõó â ïðîåêö³¿ íà â³ñü Y: − + =N mg ma .
N = mg − ma = m(g − a).
Îñê³ëüêè =P N , îòæå, P = m(g − a).
P = 75 êã · (9,8 ì/ñ2
− 1 ì/ñ2
) = 660 H.
Òàêèé ñàìèé ðåçóëüòàò îòðèìóºìî é ó òîìó âèïàäêó,
êîëè ë³ôò ï³äí³ìàºòüñÿ âãîðó ³ ðàïòîâî çóïèíÿºòüñÿ. Ïðè-
ñêîðåííÿ ë³ôòà íàïðàâëåíå òàêîæ óíèç.
Ó äðóãîìó âèïàäêó (ìàë. 110, á) ï³ä ÷àñ ðàïòîâî¿ çóïèíêè
øâèäê³ñòü ë³ôòà çìåíøóºòüñÿ, òîìó âåêòîð ïðèñêîðåííÿ
r
a
íàïðàâëåíèé ïðîòè íàïðÿìó ðóõó (âãîðó).
Çàêîí ðóõó â ïðîåêö³¿ íà â³ñü Y, ó öüîìó âèïàäêó
− + = −N mg ma .
= + = +( )N mg ma m g a àáî = +( )P m g a .
= ⋅ 2 2
75êã (9,8ì/ñ +1ì/ñ )=810 ÍP .
Òàêèé ñàìèé ðåçóëüòàò áóäå é ó òîìó âèïàäêó, êîëè ë³ôò ï³äí³ìàºòüñÿ
âãîðó ð³âíîïðèñêîðåíî. Ïðèñêîðåííÿ ë³ôòà íàïðàâëåíå âãîðó.
Âèñíîâîê. Âàãà ò³ëà çàëåæèòü íå â³ä íàïðÿìó ðóõó ë³ôòà, à ëèøå â³ä íà-
ïðÿìó ïðèñêîðåííÿ
r
a . ßêùî ò³ëî ñïèðàºòüñÿ íà îïîðó, ÿêà ðóõàºòüñÿ ç ïðè-
ñêîðåííÿì
r
a , íàïðÿìëåíèì óãîðó, âàãà ò³ëà çðîñòàº ³ äîð³âíþº = +( )P m g a
. Âèíèêàº ïåðåâàíòàæåííÿ – çá³ëüøåííÿ âàãè ò³ëà, ñïðè÷èíåíå ïðèñêîðåíèì
ðóõîì îïîðè âåðòèêàëüíî âãîðó.
ßêùî ò³ëî ðàçîì ç îïîðîþ ðóõàºòüñÿ ç ïðèñêîðåííÿì
r
a , íàïðàâëåíèì âåð-
òèêàëüíî âíèç, âàãà ò³ëà çìåíøóºòüñÿ ³ äîð³âíþº: = −( )P m g a .
ßêùî ò³ëî ðàçîì ç îïîðîþ â³ëüíî ïàäàº, òî =a g ³ = 0P . Âèíèêàº ñòàí íå-
âàãîìîñò³.
Ï³ä ÷àñ ð³âíîì³ðíîãî ï³äí³ìàííÿ àáî îïóñêàííÿ îïîðè âàãà ò³ëà íå çì³íþºòüñÿ.
Ïåðåâàíòàæåííÿ çàçíàþòü òàêîæ êîñìîíàâòè ï³ä ÷àñ âåðòèêàëüíîãî çàïóñ-
êó êîñì³÷íîãî êîðàáëÿ. Ó ñòàí³ íåâàãîìîñò³ âîíè ïåðåáóâàþòü íà îðá³ò³.
Âàãà ò³ëà, ùî ðóõàºòüñÿ ïî êîëîâ³é òðàºêòîð³¿.
Çàäà÷à 2. Ç ÿêîþ ñèëîþ òèñíå ï³ëîò íà ñèä³ííÿ êð³ñëà ë³òàêà ó âåðõí³é ³
íèæí³é òî÷êàõ «ïåòë³ Íåñòåðîâà», ÿêà º êîëîâîþ òðàºêòîð³ºþ ðàä³óñîì 200 ì
ó âåðòèêàëüí³é ïëîùèí³, ÿêùî øâèäê³ñòü ë³òàêà ñòàëà ³ äîð³âíþº 360 êì/ãîä?
Ìàñà ï³ëîòà – 75 êã.
Äàíî:
R = 200 ì;
m = 75 êã;
υ = 360 êì/ãîä = 100 ì/ñ
Íà ï³ëîòà ó âåðõí³é ³ íèæí³é òî÷êàõ òðàºêòîð³¿
ä³þòü ñèëè òÿæ³ííÿ ³ ñèëè ðåàêö³¿ îïîðè (êð³ñëà):
+ =
r r r
N mg ma . Ð³âíîä³éíà öèõ ñèë íàäàº ðóõó ë³òàêà
äîöåíòðîâîãî ïðèñêîðåííÿ
r
a, ÿêå â îáîõ âèïàäêàõ
íàïðàâëåíå äî öåíòðà êîëà.
Ð – ?
Çðîáèìî ìàëþíîê äî çàäà÷³, â³ñü Y ñïðÿìóºìî âãîðó (ìàë. 111).
Ìàë. 110, á.
Ðóõ ë³ôòà
ç ïðèñêîðåííÿì,
íàïðàâëåíèì
óãîðó

122
Ð Î Ç Ä ² Ë 2
Ó íèæí³é òî÷ö³
òðàºêòîð³¿ ñèëà ðåàêö³¿
îïîðè
r
N ³ äîöåíòðîâå
r
a íàïðàâ-
ëåí³ ó íàïðÿìêó âèáðà-
íî¿ â³ñ³ Y âãîðó:
− =N mg ma ;
υ
= + = +
2
( )N mg ma m g
R
.
Îñê³ëüêè =P N ,òî
υ
= +
2
( )P m g
R
.
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= =⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
2
2
2
2
ì
100
ì ñ75 êã 9,81 + 4485 Í
ñ 200 ì
Ð .
Ó âåðõí³é òî÷ö³ òðàºêòîð³¿ ñèëà ðåàêö³¿ îïîðè
r
N , äîöåíòðîâå ïðèñêîðåííÿ
r
a ³ ïðèñêîðåííÿ â³ëüíîãî ïàä³ííÿ íàïðàâëåí³ ïðîòèëåæíî äî íàïðÿìêó âèáðà-
íî¿ îñ³ Y (óíèç):
− − = −N mg ma ;
υ
= − = −
2
( )N ma mg m g
R
.
Îñê³ëüêè =P N , òî
υ
= −
2
( )Ð m g
R
.
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= − =⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
2
2
2
2
ì
100
ìñ75 êã 9,81 3015 Í
200 ì ñ
Ð .
Âèñíîâîê. Âàãà ï³ëîòà ó çâè÷àéíîìó ñòàí³ = = ⋅ ≈0 2
ì
75 êã 9,81 734 Í
ñ
P mg .
ßê âèäíî ç ðåçóëüòàòó ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàäà÷³, ï³ëîò çàçíàº ïåðåâàíòàæåííÿ ó
âåðõí³é òà íèæí³é ÷àñòèí³ òðàºêòîð³¿. Ïðè÷îìó á³ëüøå ïåðåâàíòàæåííÿ ó
íèæí³é ÷àñòèí³ òðàºêòîð³¿.
Ó âåðõí³é ÷àñòèí³ òðàºêòîð³¿ ïðè
υ
=
2
g
R
ìîæëèâèé ñòàí íåâàãîìîñò³.
Ï³ä ÷àñ ïåðåâàíòàæåííÿ çá³ëüøóþòü âàãó ³ âíóòð³øí³ îðãàíè îðãàí³çìó ï³-
ëîòà, çá³ëüøóºòüñÿ ñèëà, ç ÿêîþ âîíè ä³þòü îäíå íà îäíîãî ³ íà éîãî ñêåëåò. Öå
Ìàë. 111. Ïåòëÿ Íåñòåðîâà

123
âèêëèêàº áîëüîâ³ â³ä÷óòòÿ, à íàäì³ðí³ ïåðåâàíòàæåííÿ ìîæóòü ñòàòè íåáåçïå÷-
íèìè äëÿ çäîðîâ’ÿ. Òðåíîâàí³ ï³ëîòè âèòðèìóþòü ïåðåâàíòàæåííÿ äî 10 mg (çà-
çâè÷àé ïåðåâàíòàæåííÿ âèðàæàþòü íå ÷åðåç âåëè÷èíó mg, à ÷åðåç âåëè÷èíó g, ³
êàæóòü, ùî ïåðåâàíòàæåííÿ äîð³âíþº, íàïðèêëàä, 10g).
Çì³íà âàãè ò³ëà íàñòàº é ó òàêèõ âèïàäêàõ:
– ï³ä ÷àñ ð³âíîì³ðíîãî ðóõó ò³ëà ïî âèïóêëîìó ìîñòó (ìàë. 112, à) äîöåíòðî-
âå ïðèñêîðåííÿ
áóäå íàïðÿìëå-
íå âíèç, â³äïî-
â³äíî âàãà ò³ëà
äîð³âíþâàòèìå:
2
( )P m g
R
υ
= − ,
– ï³ä ÷àñ ðó-
õó ò³ëà ïî ââ³ã-
íóòîìó ìîñòó
(ìàë. 112, á):
2
( )P m g
R
υ
= + .
Ùî òàêå âàãà ò³ëà? Ó ÷îìó â³äì³íí³ñòü âàãè ò³ëà â³ä ñèëè òÿæ³ííÿ, ùî1.
ä³º íà ò³ëî?
Ùî òàêå ïåðåâàíòàæåííÿ?2.
Êîëè íàñòàº íåâàãîì³ñòü? ßê âîíà âèÿâëÿºòüñÿ?3.
ßê çì³íèòüñÿ âàãà êîñìîíàâòà ï³ä ÷àñ ñòàðòó ðàêåòè ³ ï³ä ÷àñ ¿¿ ïðèçåì-4.
ëåííÿ?
Ëþäèíà ñòî¿òü ó ë³ôò³. Âèçíà÷èòè é ïîð³âíÿòè ñèëè, ÿê³ ä³þòü íà íå¿ ó5.
òàêèõ âèïàäêàõ: à) ë³ôò íå ðóõàºòüñÿ; á) ïî÷èíàº ðóõàòèñü óãîðó; â) ðóõàºòüñÿ
ð³âíîì³ðíî; ã) ñïîâ³ëüíþº ðóõ äî çóïèíêè.
Вправа 18
1. Âàíòàæ ìàñîþ 50 êã ð³âíîïðèñêîðåíî ï³äí³ìàþòü çà äîïîìîãîþ êàíàòà
âåðòèêàëüíî âãîðó ïðîòÿãîì 2 ñ íà âèñîòó 10 ì. Âèçíà÷èòè ñèëó íàòÿãó êàíàòà.
2. Ï³ëîò ä³º íà ñèä³ííÿ êð³ñëà ë³òàêà ó íèæí³é òî÷ö³ ïåòë³ Íåñòåðîâà ç ñèëîþ
7,1 êÍ. Ìàñà ï³ëîòà 80 êã, ðàä³óñ ïåòë³ 250 ì. Âèçíà÷èòè øâèäê³ñòü ë³òàêà.
3. Êîñì³÷íà ðàêåòà ï³ä ÷àñ ñòàðòó ç ïîâåðõí³ Çåìë³ ðóõàºòüñÿ âåðòèêàëüíî
ç ïðèñêîðåííÿì 20 ì/ñ2
. Âèçíà÷èòè âàãó ëüîò÷èêà-êîñìîíàâòà â êàá³í³, ÿêùî
éîãî ìàñà 80 êã. ßêîãî ïåðåâàíòàæåííÿ â³í çàçíàº?
4. Ó ë³ôò³ ñòî¿òü ïàñàæèð, ìàñà ÿêîãî 60 êã. Âèçíà÷èòè éîãî âàãó íà ïî÷àò-
êó ³ íàïðèê³íö³ ï³äí³ìàííÿ, à òàêîæ íà ïî÷àòêó ³ íàïðèê³íö³ îïóñêàííÿ. Ïðè-
ñêîðåííÿ (çà ìîäóëåì) ë³ôòà â óñ³õ âèïàäêàõ äîð³âíþº 2 ì/ñ2
.
Ìàë. 112. Çì³íà âàãè ò³ëà ïðè ðóñ³ ïî ìîñòó îêðóãëî¿ ôîðìè

124
Ð Î Ç Ä ² Ë 2
5. Êîñì³÷íèé êîðàáåëü ðîáèòü ì’ÿêó ïîñàäêó íà Ì³ñÿöü (gì
= 1,6 ì/ñ2
), ðó-
õàþ÷èñü ñïîâ³ëüíåíî ó âåðòèêàëüíîìó íàïðÿì³ (â³äíîñíî Ì³ñÿöÿ) ç³ ñòàëèì
ïðèñêîðåííÿì à = 8,4 ì/ñ2
. Ñê³ëüêè âàæèòü êîñìîíàâò ìàñîþ 70 êã, ÿêèé ïåðå-
áóâàº ó öüîìó êîðàáë³?
6. Ç ÿêîþ øâèäê³ñòþ àâòîìîá³ëü ìàº ïðî¿æäæàòè ñåðåäèíó îïóêëîãî ìîñòà
ðàä³óñîì 40 ì, ùîá ïàñàæèð íà ìèòü îïèíèâñÿ ó ñòàí³ íåâàãîìîñò³?
7. Âèçíà÷èòè, ó ñê³ëüêè ðàç³â çìåíøóºòüñÿ âàãà ò³ëà íà åêâàòîð³ âíàñë³äîê
äîáîâîãî îáåðòàííÿ Çåìë³ òà ÿêî¿ òðèâàëîñò³ ìàº áóòè äîáà íà Çåìë³, ùîá ò³ëà
íà åêâàòîð³ áóëè íåâàãîìèìè.
§ 24 Сили тертя
Çîâí³øíº òåðòÿ.
Âíóòð³øíº òåðòÿ. Ñèëà îïîðó ïðè ðóñ³ ò³ëà â ð³äèí³ ÷è ãàç³.
Çîâí³øíº òåðòÿ. Òåðòÿ – îäèí ³ç âèä³â âçàºìîä³¿ ò³ë. Òåðòÿ, êîëè ò³ëà âçà-
ºìîä³þòü ñâî¿ìè ïîâåðõíÿìè, íàçèâàþòü çîâí³øí³ì òåðòÿì (âíóòð³øí³ì
ââàæàþòü òåðòÿ, ùî âèíèêàº ï³ä ÷àñ ðóõó ð³äèí ³ ãàç³â).
Òåðòÿ ì³æ ïîâåðõíÿìè äâîõ òâåðäèõ ò³ë, ÿê³ òîðêàþòüñÿ îäíå îäíîãî, çà â³ä-
ñóòíîñò³ ì³æ íèìè ð³äêîãî ÷è ãàçîïîä³áíîãî øàðó, íàçèâàþòü ñóõèì òåðòÿì.
Ñóõå òåðòÿ ïîä³ëÿºòüñÿ íà: òåðòÿ ñïîêîþ (òåðòÿ çà â³äñóòíîñò³ â³äíîñíîãî
ïåðåì³ùåííÿ êîíòàêòóþ÷èõ ò³ë), òåðòÿ êîâçàííÿ, òåðòÿ êî÷åííÿ, ÿê³ õà-
ðàêòåðèçóþòüñÿ â³äïîâ³äíèìè ñèëàìè òåðòÿ.
Ñèëè òåðòÿ ìàþòü åëåêòðîìàãí³òíó ïðèðîäó, âè-
íèêàþòüóïëîùèí³äîòèêóïîâåðõîíü³ïåðåøêîäæà-
þòü ¿õ âçàºìíîìó ïåðåì³ùåííþ, çàâæäè íàïðÿìëåí³
ó á³ê, ïðîòèëåæíèé ìèòòºâ³é øâèäêîñò³ ò³ëà.
Ñèëó òåðòÿ Fòåð
, ÿêà ïåðåøêî-
äæàº âèíèêíåííþ ðóõó îäíîãî ò³ëà
â³äíîñíî ïîâåðõí³ ³íøîãî, íàçèâà-
þòü ñèëîþ òåðòÿ ñïîêîþ.
Ñèëà òåðòÿ ñïîêîþ – öå òà ñèëà,
ÿêà çàâàæàº íàì çðóøèòè ç ì³ñöÿ
ñò³ë, øàôó, ë³æêî òîùî.
Íà ìàë. 113 ñõåìàòè÷íî ïîêàçà-
í³ ñèëè, ùî ä³þòü íà ò³ëî: ñèëà òÿ-
æ³ííÿ
r
mg âð³âíîâàæóºòüñÿ ñèëîþ
ðåàêö³¿ îïîðè
r
N . Ñèëà òåðòÿ ñïî-
Ìàë. 113. Ñèëè, ùî ä³þòü íà ò³ëî

125
êîþ
r
Fòåð
çàâæäè íàïðÿìëåíà ïðîòè-
ëåæíî çîâí³øí³é ñèë³
r
F, ùî ä³º íà
ò³ëî, ÿêà íàìàãàºòüñÿ ïðèâåñòè öå
ò³ëî â ðóõ.
Ñèëà òåðòÿ ñïîêîþ çá³ëüøó-
ºòüñÿ
r
Fòåð
ç³ çðîñòàííÿì çîâí³øíüî¿
ñèëè
r
F, çð³âíîâàæóþ÷è ¿¿. ² ïðè
äåÿêîìó çíà÷åíí³ çîâí³øíüî¿ ñèëè
ò³ëî çðóøóºòüñÿ ç ì³ñöÿ. Îòæå, º
ïåâíå ìàêñèìàëüíå çíà÷åííÿ ñèëè
òåðòÿ ñïîêîþ
r
Fòåð
³ ò³ëüêè ó ðàç³,
êîëè çîâí³øíÿ ñèëà éîãî ïåðåâè-
ùóº ò³ëî, ïî÷èíàº ðóõàòèñÿ ç ïðè-
ñêîðåííÿì (ìàë. 114).
Âñòàíîâëåíî, ùî ìàêñèìàëüíå
çíà÷åííÿ ñèëè òåðòÿ ñïîêîþ ïðîïîðö³éíå ìîäóëþ ñèëè íîðìàëüíîãî òèñêó, ùî
÷èíèòü ò³ëî íà îïîðó:
Fòåð.ñï
= µN,
äå N – ñèëà íîðìàëüíîãî òèñêó (àáî ð³âíà ¿é çà ìîäóëåì ñèëà ðåàêö³¿ îïîðè);
µ – êîåô³ö³ºíò òåðòÿ, ÿêèé çàëåæèòü â³ä ñòàíó ïîâåðõîíü ò³ë ³ â³ä âëàñòèâîñòåé
ðå÷îâèíè, ç ÿêî¿ âîíè âèãîòîâëåí³.
Ñàìå çàâäÿêè ñèë³ òåðòÿ ñïîêîþ ìè ìîæåìî õîäèòè: îñê³ëüêè ï³äîøâà íå
êîâçàº ïî ïîâåðõí³ äîðîãè, òî ñèëà òåðòÿ ì³æ íåþ ³ äîðîãîþ – öå ñèëà òåðòÿ ñïî-
êîþ, ÿêà íàäàº íàì ïðèñêîðåííÿ.
Çðóøèâøè ç ì³ñöÿ, ò³ëî ïî÷èíàº êîâçàòè ïî ïîâåðõí³ ³íøîãî ò³ëà ³ ì³æ
íèìè óæå ³ñíóº ñèëà òåðòÿ êîâçàííÿ, ÿêà äåùî ìåíøà çà ìàêñèìàëüíó ñèëó
òåðòÿ ñïîêîþ (ìàë. 114), õî÷à òàêîæ ïðîïîðö³éíà ñèë³ íîðìàëüíîãî òèñêó (ñèë³
ðåàêö³¿ îïîðè) ³ çàëåæèòü â³ä ìàòåð³àëó êîíòàêòóþ÷èõ ïîâåðõîíü:
r
Fòåð.êîâ
= µN.
Ó öüîìó âèïàäêó ìåíøèé êîåô³ö³ºíò òåðòÿ µ .
Êîåô³ö³ºíò µ çàëåæèòü â³ä òîãî, ç ÿêîãî ìàòåð³àëó âèãîòîâëåíî ïîâåðõí³
òåðòÿ ³ â³ä ÿêîñò³ ¿õ îáðîáêè. ßêùî çðîáèòè ïîâåðõí³ á³ëüø ãëàäåíüêèìè, çíà-
÷åííÿ µ çìåíøèòüñÿ. Îäíàê, çìåíøóâàòè øåðøàâ³ñòü ïîâåðõîíü ìîæíà ëèøå
äî ïåâíî¿ ìåæ³, îñê³ëüêè ó ðàç³ äóæå ãëàäêèõ (íàïðèêëàä, ïîë³ðîâàíèõ) ïîâåð-
õîíü çíà÷åííÿ µ çíîâó çá³ëüøóºòüñÿ. Â³äáóâàºòüñÿ öå òîìó, ùî ìîëåêóëè ò³ë
ç ãëàäêèìè ïîâåðõíÿìè çáëèæàþòüñÿ ³ ñèëè ìîëåêóëÿðíîãî ïðèòÿãàííÿ ïåðå-
øêîäæàþòü ¿õ êîâçàííþ.
Ñèëà òåðòÿ êî÷åííÿ ìåíøà çà ñèëó òåðòÿ êîâçàííÿ. Ó öüîìó ìîæíà ïåðåêî-
íàòèñÿ íà ïðàêòèö³: àäæå ïåðåêî÷óâàòè òÿæêó êîëîäó çíà÷íî ëåãøå, í³æ òÿãòè.
Ñèëà òåðòÿ êî÷åííÿ òàêîæ çàëåæèòü â³ä ñèëè òèñêó, ùî ÷èíèòü ò³ëî íà ïîâåðõ-
íþ, ñòàíó ñàìèõ ïîâåðõîíü (êîåô³ö³ºíòà òåðòÿ µ ) ³ ðàä³óñà ò³ëà, ùî êîòèòüñÿ.
Ñèëà òåðòÿ â³äð³çíÿºòüñÿ â³ä ³íøèõ ñèë òèì, ùî çàâæäè íàïðàâëåíà ïðîòè
íàïðÿìó ðóõó ò³ëà. Îòæå, ³ ïðèñêîðåííÿ, ÿêå âîíà íàäàº, íàïðàâëåíå ïðîòè íà-
ïðÿìó ðóõó ò³ëà, òîáòî ïðîòè éîãî øâèäêîñò³, ó ðåçóëüòàò³ ÷îãî ò³ëî çóïèíÿ-
ºòüñÿ.
Ìàë. 114. Çàëåæí³ñòü ñèëè òåðòÿ
â³ä ïðèêëàäåíî¿ ñèëè

126
Ð Î Ç Ä ² Ë 2
Âíóòð³øíº òåðòÿ. Ñèëà îïîðó ïðè ðóñ³ ò³ëà â ð³äèí³ ÷è ãàç³. Ïðè ðóñ³ øàð³â
ð³äèíè ÷è ãàçó âèíèêàþòü ñèëè âíóòð³øíüîãî òåðòÿ. Òàê³ ñàì³ ñèëè ìîæóòü âè-
íèêàòè é ó âèïàäêó ðóõó òâåðäîãî ò³ëà â ð³äèí³ ÷è ãàç³.
Âàì, ìàáóòü, äîâîäèëîñÿ ñïîñòåð³ãàòè òàê³ ÿâèùà: âè ñòî¿òå íà ïëàòôîðì³
çàë³çíèö³, ³ êîëè ïîâç âàñ ïðîõîäèòü ïîòÿã, âè â³ä÷óâàºòå â³òåð, ùî éîãî ñóïðî-
âîäæóº, àáî, íàïðèêëàä, âè ä³ñòàºòå ëîæêó ç áàíêè ç ãóñòèì âàðåííÿì ³ áà÷èòå,
ÿê ðàçîì ç ëîæêîþ ï³äí³ìàþòüñÿ øàðè âàðåííÿ, ³ ÷èì øâèäøå âè ï³äí³ìàºòå
ëîæêó, òèì á³ëüøå âàðåííÿ ï³äí³ìàºòüñÿ ç íåþ.
Ïðè ðóñ³ ò³ëà øàðè ð³äèíè (÷è ãàçó) í³áè ïðèëèïàþòü äî ïîâåðõí³ ò³ëà ³ ðó-
õàþòüñÿ ðàçîì ³ç íèì, òîìó ñèëè îïîðó, ÿê³ âèíèêàþòü ïðè ðóñ³ ò³ëà, òàê³ ñàì³
ÿê ³ ïðè â³äíîñíîìó ðóñ³ ñàìèõ øàð³â óñåðåäèí³ ð³äèíè.
Ñèëè, ÿê³ âèíèêàþòü ïðè ðóñ³ ò³ë ó ð³äèí³ ÷è ãàç³
³ ÿê³ çàëåæàòü â³ä øâèäêîñò³ ¿õ â³äíîñíîãî ðóõó,
íàçèâàþòüñÿ ñèëàìè ð³äêîãî òåðòÿ, àáî ñèëàìè
îïîðó ñåðåäîâèùà.
Ó çàãàëüíîìó âèïàäêó çàêîí, ùî âñòàíîâëþº çâ’ÿçîê ì³æ ñèëîþ ð³äêîãî
òåðòÿ ³ øâèäê³ñòþ ðóõó ò³ëà â³äíîñíî ð³äèíè ÷è ãàçó äîñèòü ñêëàäíèé.
Ó òèõ âèïàäêàõ, ÿê³ ðîçãëÿäàòèìåìî ìè, ìîæíà ââàæàòè,
ùî ñèëà ð³äêîãî òåðòÿ ïðÿìî ïðîïîðö³éíà øâèä-
êîñò³ â³äíîñíîãî ðóõó ò³ëà:
r
Fòåð
= −αυ
r
.
Çíàê «–» âêàçóº íà òå, ùî ñèëà ð³äêîãî òåðòÿ íàïðàâëåíà ïðîòè íàïðÿìó
øâèäêîñò³ ðóõó.
Êîåô³ö³ºíò α íàçèâàºòüñÿ êîåô³ö³ºíòîì ð³äêîãî òåðòÿ àáî êîåô³ö³ºí-
òîì îïîðó ñåðåäîâèùà. Éîãî çíà÷åííÿ çàëåæèòü â³ä ôîðìè ³ ðîçì³ð³â ðóõîìî-
ãî ò³ëà, à òàêîæ â³ä âëàñòèâîñòåé ð³äèíè (÷è ãàçó).
Ðîçãëÿíåìî äåòàëüí³øå ðóõ ò³ëà ç óðàõóâàííÿì ñèë îïîðó
ñåðåäîâèùà íà ïðèêëàä³ ðóõó ïàðàøóòèñòà.
Íåõàé ïàðàøóòèñò çä³éñíþº çàòÿæíèé ñòðèáîê, òîáòî ïåâ-
íèé ÷àñ â³í ðóõàºòüñÿ ç íåðîçêðèòèì ïàðàøóòîì (ïðè öüîìó
êîåô³ö³ºíò îïîðó α1 ) ³ äàë³ ç â³äêðèòèì ïàðàøóòîì (ïðè öüîìó
êîåô³ö³ºíò îïîðó çì³íþºòüñÿ íà α2 >> α1 . Ïî÷àòêîâà øâèäê³ñòü
äîð³âíþº íóëþ.
Çàïèøåìî ð³âíÿííÿ äðóãîãî çàêîíó Íüþòîíà: + =
s r r
F mg ma .
Ó ïðîåêö³ÿõ íà â³ñü Y (ìàë. 115): − =mg F ma .
Ñèëà îïîðó ïîâ³òðÿ ó öüîìó âèïàäêó: = α υ1F . Òîä³
− α υ =1mg ma .
Ó ïî÷àòêîâèé ìîìåíò ÷àñó υ = 0, îòæå, a = g. Àëå øâèäê³ñòü
ðóõó ïàðàøóòèñòà øâèäêî çá³ëüøóºòüñÿ, âîäíî÷àñ çá³ëüøóºòü-
ñÿ ³ ñèëà îïîðó. Òîä³ ð³çíèöÿ − α υ1mg íàáóâàº ìåíøèõ çíà÷åíü,
à îòæå, ïðèñêîðåííÿ ðóõó ïàðàøóòèñòà çìåíøóºòüñÿ. Òîìó
Ìàë. 115.
Ðóõ
ïàðàøóòèñòà
íà ïî÷àòêó
ñòðèáêà

127
ïðîòÿãîì äåÿêîãî ³íòåðâàëó ÷àñó íàðîñòàííÿ øâèäêîñò³ òà çì³íà ñèëè îïîðó
ñïîâ³ëüíþþòüñÿ ³ ðóõ ïàðàøóòèñòà ñòàº ð³âíîì³ðíèì:
− α υ =1 0mg , çâ³äêè υ =
α1
mg
.
Òàêèì ÷èíîì, íà ïî÷àòêó ñòðèáêà ðóõ ïàðàøóòèñòà áóâ ïðèñêîðå-
íèì, ç ïðèñêîðåííÿì a = g, äàë³ ïðèñêîðåííÿ ðóõó çìåíøóâàëîñü äî íóëÿ.
Øâèäê³ñòü ðóõó ïàðàøóòèñòà çá³ëüøóâàëàñü â³ä íóëÿ äî ñòàëîãî çíà÷åííÿ
υ = mg/α1
(ðîçðàõóíêè ïîêàçóþòü, ùî çíà÷åííÿ ö³º¿ øâèäêîñò³ ñòàíîâèòü ïðè-
áëèçíî 50 – 70 ì/c).
Îòæå, ä³ÿ ñèë îïîðó ïîâ³òðÿ êàðäèíàëüíî çì³íþº ïðîöåñ â³ëüíîãî ïàä³ííÿ:
ïðè ïàä³íí³ â ïîâ³òð³ âñ³ ò³ëà ðóõàþòüñÿ ïðèñêîðåíî ëèøå íà ïî÷àòêó ðóõó,
äàë³ ¿õ ðóõ ñòàº ð³âíîì³ðíèì.
Ïîä³áíå ÿâèùå ìîæíà ïîáà-
÷èòè, ñïîñòåð³ãàþ÷è çà ïàä³ííÿì
êóëüêè ó ïîñóäèí³ ç â’ÿçêîþ ð³äè-
íîþ.
Ùî æ â³äáóâàºòüñÿ ó ìîìåíò,
êîëè ïàðàøóòèñò â³äêðèâàº ïàðà-
øóò? Ñèëà îïîðó ïîâ³òðÿ ïðè öüîìó
çíà÷íî çá³ëüøóºòüñÿ ³ ñòàº á³ëüøîþ
çà ñèëó òÿæ³ííÿ: >F mg . Âèíèêàº
r
a, íàïðàâëåíå âãîðó.
Ç ÷àñîì ïðîöåñ ïîâòîðþºòüñÿ:
ïðèñêîðåííÿ ïî÷èíàº çìåíøóâà-
òèñü äî íóëÿ, à øâèäê³ñòü íàáóâàòè
íîâîãî, ñòàëîãî çíà÷åííÿ:
′υ =
α2
mg
.
Ïîâíèéãðàô³êçì³íèïðèñêîðåí-
íÿ ³ øâèäêîñò³ ðóõó ï³ä ÷àñ çàòÿæíî-
ãî ñòðèáêà ïîäàíî íà ìàë. 116.
Íàâåä³òü êëàñèô³êàö³þ îñíîâíèõ âèä³â òåðòÿ.1.
Çà ÿêèõ óìîâ âèíèêàº ñèëà òåðòÿ ñïîêîþ? Ñèëà òåðòÿ êîâçàííÿ? Â³ä2.
÷îãî âîíè çàëåæàòü?
Ùî òàêå ñèëà íîðìàëüíîãî òèñêó?3.
ßê³ ñèëè íàçèâàþòüñÿ ñèëàìè ð³äêîãî òåðòÿ? Â³ä ÷îãî âîíè çàëåæàòü?4.
Çâåðí³òü óâàãó! Ó á³ëüøîñò³ çàäà÷ ââàæàºòüñÿ, ùî ãðàíè÷íèé êîåô³ö³ºíò
òåðòÿ ñïîêîþ òàêèé ñàìèé, ÿê êîåô³ö³ºíò òåðòÿ êîâçàííÿ.
Ìàë. 116. Ãðàô³êè çàëåæíîñò³ a(t) òà υ(t)
ïðè çàòÿæíîìó ñòðèáêó ç ïàðàøóòîì

128
Ð Î Ç Ä ² Ë 2
Êîëè â çàäà÷³ éäåòüñÿ ïðî êîåô³ö³ºíò îïîðó, òî ââàæàºòüñÿ, ùî â³í âðà-
õîâóº âñ³ âèäè òåðòÿ ³ ïîêàçóº, ÿêó ÷àñòèíó â³ä ñèëè íîðìàëüíîãî òèñêó ñòàíî-
âèòü ñèëà òåðòÿ.
Çàäà÷à 1. Âåëîñèïåäèñò, ÿêèé ðóõàºòüñÿ ç³ øâèäê³ñòþ 36 êì/ãîä, ïîáà÷èâ
ïîïåðåäó, ïðèáëèçíî çà 10 ì â³ä ñåáå, ïåðåøêîäó ³ ð³çêî çàãàëüìóâàâ. ×è âñòèã-
íå â³í çóïèíèòèñü, ÿêùî: à) äîðîãà ñóõà ³ êîåô³ö³ºíò òåðòÿ 0,7; á) äîðîãà ñëèçü-
êà ³ êîåô³ö³ºíò òåðòÿ 0,4; â) ÿêáè éîãî øâèäê³ñòü ðóõó áóëà âäâ³÷³ á³ëüøîþ?
Äàíî:
υ0
= 10 ì/ñ;
s = 10 ì;
à) µ = 0,7;
á) µ = 0,4;
â) υ0
= 20 ì/ñ
Ðîçãëÿäàòèìåìî ðóõ âå-
ëîñèïåäèñòà ç ìîìåíòó ãàëü-
ìóâàííÿ (ìàë. 117).
Â³ñü Õ ñïðÿìîâóºìî ó
íàïðÿìêó ðóõó. Ñèëà òåðòÿ
êîâçàííÿ òà çóìîâëåíå íåþs – ?
ïðèñêîðåííÿ íàïðàâëåí³ ó ïðîòèëåæíîìó
íàïðÿì³.
Çà äðóãèì çàêîíîì Íüþòîíàr
òepF .
Ó ïðîåêö³ÿõ íà êîîðäèíàòí³ îñ³:
íà â³ñü Õ: −Fòåð
= −ma; àáî Fòåð
= ma (1);
íà â³ñü Y: − = 0N mg àáî =N mg (2).
Ñèëà òåðòÿ êîâçàííÿ âèçíà÷àºòüñÿ çà ôîðìóëîþ Fòåð
= µN, âðàõîâóþ÷è ôîð-
ìóëó (2), ìîæåìî çàïèñàòè, ùî Fòåð
= µmg. Ï³äñòàâëÿþ÷è öþ ôîðìóëó ó ð³âí³ñòü
(1), îòðèìóºìî: µmg = ma (3).
Çã³äíî ç ôîðìóëàìè ê³íåìàòèêè = υ − υ
rr r r2 2
02as . Îñê³ëüêè ðóõ ð³âíîñïîâ³ëü-
íåíèé ³ ó ìîìåíò çóïèíêè ê³íöåâà øâèäê³ñòü υ = 0 , òî ó ïðîåêö³ÿõ: − = −υ2
02as ,
çâ³äêè
υ
=
2
0
2
a
s
. Ï³äñòàâëÿºìî öåé âèðàç ó ôîðìóëó (3):
υ
µ =
2
0
2
mg m
s
, çâ³äêè
υ
=
µ
2
0
2
s
g
.
ßê áà÷èìî, äîâæèíà ãàëüì³âíîãî øëÿõó íå çàëåæèòü â³ä ìàñè ðóõîìîãî
ò³ëà, à âèçíà÷àºòüñÿ éîãî ïî÷àòêîâîþ øâèäê³ñòþ ³ êîåô³ö³ºíòîì òåðòÿ.
Ïðè µ = 0,7: = ≈
⋅ ⋅
2
2
ì
100
ñ 7 ì
ì
2 0,7 9,8
ñ
s – âåëîñèïåäèñò âñòèãàº çóïèíèòèñü äî
ïåðåøêîäè.
Ïðè µ = 0,7: = ≈
⋅ ⋅
2
2
ì
100
ñ 13 ì
ì
2 0,4 9,8
ñ
s – ãàëüì³âíèé øëÿõ á³ëüøèé çà â³äñòàíü
äî ïåðåøêîäè.
Ìàë. 117. Ðóõ ò³ëà
ï³ä ä³ºþ ñèëè òåðòÿ

129
Ïðè υ0
= 20 ì/ñ òà µ = 0,7 = ≈
⋅ ⋅
2
2
ì
400
ñ 29 ì
ì
2 0,7 9,8
ñ
s – ãàëüì³âíèé øëÿõ çá³ëüøó-
ºòüñÿ ó 4 ðàçè.
Â³äïîâ³äü: 7ì; 13 ì; 29 ì.
Çàäà÷à 2. Â³çîê ìàñîþ Ì = 20 êã, íà ÿêîìó ëåæèòü âàíòàæ ìàñîþ m = 10 êã,
òÿãíóòü ³ç ãîðèçîíòàëüíîþ ñèëîþ
r
F . Êîåô³ö³ºíò òåðòÿ ì³æ âàíòàæåì ³ â³çêîì
µ = 0,1. Íåõòóþ÷è òåðòÿì ì³æ â³çêîì ³ îïîðîþ, âèçíà÷èòè ïðèñêîðåííÿ â³çêà
à1
³ âàíòàæó à2
, à òàêîæ ñèëó òåðòÿ ì³æ âàíòàæåì ³ â³çêîì ó äâîõ âèïàäêàõ:
1) F = 20 H i 2) F = 60 H.
Äàíî:
Ì = 20 êã;
m = 10 êã;
µ = 0,1;
1) F = 20 H;
2) F = 60 H
Îñê³ëüêè ïðèñêîðåííÿ íàïðàâëå-
íî ó ãîðèçîíòàëüíîìó íàïðÿì³, ðîç-
ãëÿäàòèìåìî ò³ëüêè ñèëè, ùî ä³þòü ó
ãîðèçîíòàëüíîìó íàïðÿì³, áî âåðòè-
êàëüí³ ñèëè óð³âíîâàæóþòüñÿ.
Íà â³çîê ä³º ñèëà
r
F ³ ñèëà ç áîêó
âàíòàæó
r
Fòåð1
, à íà âàíòàæ ä³º ñèëà ç
áîêó â³çêà
r
Fòåð2
(ìàë. 118), ïðè÷îìó, çà
à1
– ?
à2
– ?
FT
– ?
òðåò³ì çàêîíîì Íüþòîíà, çà ìîäóëåì: Fòåð1
= Fòåð2
= Fòåð
.
Ð³âíÿííÿ ðóõó ó ïðîåêö³¿ íà ãîðèçîíòàëüíó â³ñü: F − Fòåð
= Ma1
(1), Fòåð
= Ma2
(2)
Äëÿ ðîçâ’ÿçàííÿ ö³º¿ ñèñòåìè ð³âíÿíü íåîáõ³äíî ç’ÿñóâàòè õàðàêòåð ñèë
òåðòÿ, ùî ä³þòü ì³æ ò³ëàìè.
À) ßêùî â³çîê âèñêîâçóº ç-ï³ä âàíòàæó, òî ì³æ íèìè ä³º ñèëà òåðòÿ êîâçàí-
íÿ Fòåð
= µmg = 9,8 H.
Á) ßêùî â³çîê ³ âàíòàæ ðóõàþòüñÿ ÿê îäíå ö³ëå, òî à1
= à2
= à ³ ì³æ âàíòà-
æåì ³ â³çêîì ä³º ñèëà òåðòÿ ñïîêîþ, ÿêó âèçíà÷àºìî ³ç ñèñòåìè:
F − Fñï
= Ma;
Fñï
= ma.
Çâ³äñè =
+
m
F F
M m
.
Ó âèïàäêó ÿêùî (1) F = 20 H, òî ì³æ ò³ëàìè ä³º ñèëà òåðòÿ ñïîêîþ Fñï
= 6,6 Í.
Îòæå, ò³ëà ðóõàþòüñÿ ÿê îäíå ö³ëå. Òîä³ = =
+
2
0,66 ì/ñ
F
a
m M
.
Ó âèïàäêó, ÿêùî (2) F = 60 H, òî Fñï
= 20 Í, ùî íåìîæëèâî, áî ãðàíè÷íà
ñèëà òåðòÿ ñïîêîþ äîð³âíþº 9,8 Í. Îòæå, ì³æ ò³ëàìè ä³º ñèëà òåðòÿ êîâçàííÿ
Fòåð
= µmg = 9,8 H. ²ç ð³âíÿíü (1) ³ (2) âèçíà÷àºìî: à1
= 2,5 ì/ñ2
; à2
= 0,98 ì/ñ2
.
Â³äïîâ³äü: 1) à1
= à2
= à = 0,66 ì/ñ2
; Fñï
= 6,6 Í; 2) Fòåð
= 9,8 H; à1
= 2,5 ì/ñ2
;
à2
= 0,98 ì/ñ2
.

130
Ð Î Ç Ä ² Ë 2
Вправа 19
1. Õëîï÷èê, ìàñà ÿêîãî 50 êã, ñïóñòèâøèñü íà ñàíêàõ ç ã³ðêè, ïðî¿õàâ ïî
ãîðèçîíòàëüí³é äîðîç³ (ïîêè íå çóïèíèâñÿ) øëÿõ 20 ì çà 10 ñ. Âèçíà÷èòè ñèëó
òåðòÿ ³ êîåô³ö³ºíò òåðòÿ.
2. ×åðåç ÿêèé ÷àñ ï³ñëÿ àâàð³éíîãî ãàëüìóâàííÿ çóïèíèòüñÿ àâòîáóñ, ùî
ðóõàºòüñÿ ç³ øâèäê³ñòþ 12 ì/ñ, ÿêùî êîåô³ö³ºíò òåðòÿ äîð³âíþº 0,4?
3. Íà äåðåâ’ÿí³é ïîõèë³é ïëîùèí³ çíàõîäèòüñÿ äåðåâ’ÿíèé áðóñîê. Êóò íà-
õèëó ïëîùèíè – 28°. ßêèì ìàº áóòè êîåô³ö³ºíò òåðòÿ ñïîêîþ, ùîá áðóñîê íå
ñêîâçàâ óíèç?
4. Âèçíà÷èòè íàéìåíøèé ðàä³óñ äóãè äëÿ ïîâîðîòó àâòîìàøèíè, ùî ðóõà-
ºòüñÿ ïî ãîðèçîíòàëüí³é äîðîç³ ç³ øâèäê³ñòþ 36 êì/ãîä, ÿêùî êîåô³ö³ºíò òåðòÿ
êîâçàííÿ êîë³ñ îá äîðîãó ñòàíîâèòü 0,25.
5. Ïàðàøóòèñò ç ïàðàøóòîì ìàº ìàñó 120 êã. Ï³ñëÿ ðîçêðèòòÿ ïàðàøóòà
â³í îïóñêàºòüñÿ ç³ øâèäê³ñòþ 6 ì/ñ. Âèçíà÷èòè êîåô³ö³ºíò îïîðó ïîâ³òðÿ.
6. ßêîþ º ñèëà îïîðó ïîâ³òðÿ, ùî ä³º íà ïàðàøóòèñòà, ÿêèé ðóõàºòüñÿ ç ïî-
ñò³éíîþ øâèäê³ñòþ? Ìàñà ïàðàøóòèñòà 80 êã.
7. Äâ³ îäíàêîâ³ ñòàëåâ³ êóëüêè îäíî÷àñíî ïî÷èíàþòü ïàäàòè áåç ïî÷àòêîâî¿
øâèäêîñò³: îäíà – ó â’ÿçê³é ð³äèí³, ³íøà – ó ïîâ³òð³. Ó ÷îìó â³äì³íí³ñòü ðóõ³â
êóëüîê? Ïîáóäóâàòè ãðàô³ê çàëåæíîñò³ øâèäêîñò³ ðóõó êóëüîê â³ä ÷àñó.
8. Äâà äåðåâ’ÿí³ áðóñêè, êîæåí ç ÿêèõ ìàº
ìàñó 1 êã, ëåæàòü íà äîøö³ (ìàë. 119). ßêó
ñèëó ïîòð³áíî ïðèêëàñòè íà ïî÷àòêó ð³âíî-
ì³ðíîãî ðóõó, ùîá âèòÿãíóòè íèæí³é áðóñîê
³ç-ï³ä âåðõíüîãî? Êîåô³ö³ºíò òåðòÿ íà îáîõ ïî-
âåðõíÿõ íèæíüîãî áðóñêà äîð³âíþº 0,3.
9. Íà àðêóø ïàïåðó, ùî ëåæèòü íà ñòîë³,
ïîñòàâèëè ñêëÿíêó ç âîäîþ. Ç ÿêèì ïðèñêî-
ðåííÿì òðåáà ðóõàòè àðêóø, ùîá ñêëÿíêà ïî-
÷àëà êîâçàòè íàçàä â³äíîñíî ïàïåðó? Êîåô³ö³-
ºíò òåðòÿ ì³æ ñêëÿíêîþ ³ ïàïåðîì äîð³âíþº
0,3. ×è çì³íèòüñÿ ðåçóëüòàò äîñë³äó, ÿêùî
ñêëÿíêà áóäå ïîðîæíüîþ? Ïåðåâ³ðèòè öå íà äîñë³ä³.
з динаміки матеріальної точки
1. Ðîçâ’ÿçàííÿ çàäà÷ äèíàì³êè ïî÷èíàþòü ç äåòàëüíîãî îïèñó ÿâèù, ïðî
ÿê³ éäåòüñÿ â óìîâ³: ç ÿêèìè ò³ëàìè âçàºìîä³º äîñë³äæóâàíå ò³ëî ³ ÿêà ñèëà õà-
ðàêòåðèçóº öþ âçàºìîä³þ; ÿê ðóõàºòüñÿ ò³ëî (ïðÿìîë³í³éíî ÷è êðèâîë³í³éíî,
ïðèñêîðåíî ÷è ð³âíîì³ðíî); ÿê³ ïî÷àòêîâ³ ÷è ê³íöåâ³ óìîâè ðóõó ò³ëà òîùî.
2. Âèêîíóþòü ìàëþíîê äî çàäà÷³. Äëÿ ñïðîùåíîãî âèêîíàííÿ ìàëþíêà
ñèëè, ùî ä³þòü íà ò³ëî, çîáðàæàþòü ñòð³ëêàìè, ïðèêëàäåíèìè â îäíó òî÷êó
– öåíòð ò³ëà. Ñèëè, ç ÿêèìè ò³ëî ä³º íà ò³ëà, ÿê³ âçàºìîä³þòü ç íèì (çà òðå-
ò³ì çàêîíîì Íüþòîíà), íà ìàëþíêó íå âêàçóþòü. Òàêîæ íå âêàçóþòü ð³âíî-
ä³éíó ïðèêëàäåíèõ äî ò³ëà ñèë. Çâåðòàéòå óâàãó íà òå, ùî ñèëà ðåàêö³¿ îïîðèr
N íàïðàâëåíà ïåðïåíäèêóëÿðíî äî ïîâåðõí³, íà ÿê³é çíàõîäèòüñÿ ò³ëî, ñèëà

131
òÿæ³ííÿ
r
mg çàâæäè íàïðàâëåíà âåðòèêàëüíî âíèç, ñèëà òåðòÿ ñïîêîþ ÷è êîâ-
çàííÿ
r
Fòåð
íàïðàâëåíà ïðîòè íàïðÿìó ðóõó ò³ëà âçäîâæ ïîâåðõí³. Íà ìàëþíêó
âêàçóþòü íàïðÿì øâèäêîñò³ òà íàïðÿì ïðèñêîðåííÿ.
3. Âèáèðàþòü ³íåðö³àëüíó ñèñòåìó â³äë³êó, â ÿê³é çðó÷íî äîñë³äæóâàòè
ðóõ, ùî º â êîíêðåòí³é çàäà÷³. Íàïðÿì êîîðäèíàòíèõ îñåé îáèðàþòü çàëåæ-
íî â³ä õàðàêòåðó ðóõó, íàïðèêëàä, ÿêùî ò³ëî ðóõàºòüñÿ ïî ïîõèë³é ïëîùèí³,
òî â³ñü Õ ñïðÿìîâóþòü óçäîâæ ïîõèëî¿ ïëîùèíè â íàïðÿì³ ðóõó ³, â³äïîâ³äíî,
ïåðïåíäèêóëÿðíî äî íå¿ â³ñü Y; ÿêùî ðóõ â³äáóâàºòüñÿ âçäîâæ îäí³º¿ ïðÿìî¿ –
äîñòàòíüî îáðàòè îäíó â³ñü ³ ñïðÿìóâàòè ¿¿ çà íàïðÿìîì ðóõó ò³ëà.
4. Âèêîðèñòîâóþ÷è äðóãèé çàêîí Íüþòîíà, éîãî ñïî÷àòêó çàïèñóþòü ó âåê-
òîðí³é ôîðì³
=
=∑
r r
1
n
i
i
F ma – ÿêùî ðóõ ò³ëà ð³âíîïðèñêîðåíèé ³
=
=∑
r
1
0
n
i
i
F – ÿêùî ò³ëî
ïåðåáóâàº ó ñòàí³ ñïîêîþ àáî ð³âíîì³ðíî ³ ïðÿìîë³í³éíî ðóõàºòüñÿ, äå
=
∑
r
1
n
i
i
F –
âåêòîðíà ñóìà âñ³õ ïðèêëàäåíèõ äî ò³ëà ñèë.
5. Âåêòîðíó ñóìó ñèë çàì³íþþòü àëãåáðà¿÷íîþ ñóìîþ ¿õ ïðîåêö³é íà êîîð-
äèíàòí³ îñ³. Òîìó äàë³ íåîáõ³äíî çàïèñàòè ð³âíÿííÿ äðóãîãî çàêîíó Íüþòîíà
äëÿ ïðîåêö³é íà êîæíó â³ñü, âðàõîâóþ÷è çíàêè ïðîåêö³é.
6. Ñë³ä ïîð³âíÿòè ÷èñëî íåâ³äîìèõ ó çàäà÷³ âåëè÷èí ³ç ÷èñëîì ð³âíÿíü
îòðèìàíî¿ ñèñòåìè. ßêùî ÷èñëî íåâ³äîìèõ äîð³âíþº àáî ìåíøå ÷èñëà ð³âíÿíü,
òî çàäà÷ó ìàòåìàòè÷íî ñôîðìóëüîâàíî ïðàâèëüíî ³ âîíà ìàº ðîçâ’ÿçàííÿ. Â ³í-
øîìó âèïàäêó íåîáõ³äíî äîïèñàòè äîäàòêîâ³ ð³âíÿííÿ, íàïðèêëàä, ê³íåìàòè÷-
í³, ³ ðîçâ’ÿçàòè óòâîðåíó ñèñòåìó ð³âíÿíü.
7. Îòðèìàòè ê³íöåâó ôîðìóëó, ïåðåâ³ðèòè çà íåþ îäèíèö³ øóêàíî¿ âåëè÷è-
íè, âèçíà÷èòè ¿¿ çíà÷åííÿ, ïðîàíàë³çóâàòè îòðèìàíó â³äïîâ³äü.
8. Äîñë³äèòè ³íø³ ìîæëèâ³ øëÿõè ðîçâ’ÿçàííÿ ïåâíî¿ çàäà÷³.
Приклади розв’язування задач на прямолінійний рух
під дією кількох сил у горизонтальному та вертикальному напрямах
Çàäà÷à 1. Àâòîìîá³ëü ìàñîþ 1 ò ðóøàº ç ì³ñöÿ ³ äîñÿãàº øâèäêîñò³ 30 ì/ñ çà
20 ñ. Âèçíà÷èòè ñèëó òÿãè, ÿêùî êîåô³ö³ºíò òåðòÿ – 0,05.
Äàíî:
m = 103
êã;
υ = 20 ì/ñ;
t = 20 c;
µ = 0,05
Âêàæåìî íàïðÿì ñèë, ùî ä³þòü íà àâòîìîá³ëü (ìàë. 120): ñèëó
ðåàêö³¿ îïîðè
r
N – âåðòèêàëüíî âãîðó; ñèëó òÿæ³ííÿ
r
mg – âåðòè-
êàëüíî âíèç; ñèëó òåðòÿ êîâçàííÿ
r
Fòåð
– ïðîòè ðóõó; ñèëó òÿãè
r
FÒ
– ó
íàïðÿì³ ðóõó.
FT
– ?
Çà óìîâîþ çàäà÷³ àâòîìîá³ëü ðóøàº ç ì³ñöÿ, òîìó υ =0 0 , ³ íàáóâàº øâèä-
êîñò³, îòæå, ðóõ ð³âíîïðèñêîðåíèé, íàïðÿì âåêòîðà ïðèñêîðåííÿ çá³ãàºòüñÿ ç
íàïðÿìîì øâèäêîñò³ ðóõó.
Çà äðóãèì çàêîíîì Íüþòîíà: + + + =
r r rr r
òep TN mg F F ma

132
Ð Î Ç Ä ² Ë 2
íà â³ñü Õ: FT
− Fòåð
= ma (1);
íà â³ñü Y: N − mg = 0 àáî N = mg (2).
Îñê³ëüêè Fòåð
= µN, òî Fòåð
= µmg.
Òîä³ ð³âíÿííÿ ðóõó íàáóäå âèãëÿäó:
FT
− µmg = ma, çâ³äêè FT
= µmg + ma.
Ïðèñêîðåííÿ âèçíà÷èìî ç ôîð-
ìóë ê³íåìàòèêè:
υ− υ υ
= =0
a
t t
. Îòæå,
υ
= µ +( )TF m g
t
.
Ï³äñòàâëÿºìî ÷èñëîâ³ çíà÷åííÿ:
= ⋅ ⋅ + = =3 2
TF
Â³äïîâ³äü: FT
= 2 êÍ.
Çàäà÷à 2. Ò³ëî ìàñîþ 3 êã ïàäàº â ïîâ³òð³ ç ïðèñêîðåííÿì 8 ì/ñ2
. Âèçíà÷è-
òè ñèëó îïîðó ïîâ³òðÿ.
Äàíî:
m = 3 êã;
a = 8 ì/ñ2
;
g = 9,8 ì/ñ2
Ó çàäà÷àõ íà â³ëüíå ïàä³ííÿ ìè çàâæäè íåõòóâàëè îïîðîì ïî-
â³òðÿ, òîìó ò³ëà ïàäàëè ç ïðèñêîðåííÿì g = 9,8 ì/ñ2
. Ó ö³é çàäà-
÷³ íà ò³ëî, ùî ïàäàº, ä³þòü ñèëà òÿæ³ííÿ òà ñèëà îïîðó ïîâ³òðÿ
(ìàë. 121), ð³âíîä³éíà ÿêèõ íàäàº ò³ëó ïðèñêîðåííÿ
r
à .Fîï
– ?
Çà äðóãèì çàêîíîì Íüþòîíà: + =
rr r
oïmg F ma.
Ó ïðîåêö³¿ íà â³ñü Y:
mg − Fîï
= ma, çâ³äêè Fîï
= m(g − a).
Ï³äñòàâëÿºìî ÷èñëîâ³ äàí³
Fîï
= 3 êã · (9,8 ì/ñ2
− 8 ì/ñ2
) = 5,4 Í.
Â³äïîâ³äü: Fîï
= 5,4 Í.
Вправа 20
1. Äåðåâ’ÿíèé áðóñîê ìàñîþ 2 êã òÿãíóòü ð³âíîì³ðíî ïî
äîøö³ çà äîïîìîãîþ ïðóæèíè, æîðñòê³ñòü ÿêî¿ 100 Í/ì.
Êîåô³ö³ºíò òåðòÿ 0,3. Âèçíà÷èòè âèäîâæåííÿ ïðóæèíè.
2. ßêó ìàñó áàëàñòó òðåáà âèêèíóòè ç àåðîñòàòà, ùî ð³âíîì³ðíî îïóñêàºòü-
ñÿ, àáè â³í ïî÷àâ ð³âíîì³ðíî ï³äí³ìàòèñÿ ç òàêîþ ñàìîþ øâèäê³ñòþ? Ìàñà àå-
ðîñòàòà ç áàëàñòîì 1200 êã, ï³äí³ìàëüíà ñèëà àåðîñòàòà ñòàëà ³ äîð³âíþº 8000 Í.
Ñèëó îïîðó ïîâ³òðÿ ââàæàòè îäíàêîâîþ ï³ä ÷àñ ï³äí³ìàííÿ òà îïóñêàííÿ.
3. Âàíòàæ ìàñîþ 45 êã ïåðåì³ùóºòüñÿ ãîðèçîíòàëüíîþ ïëîùèíîþ ï³ä ä³ºþ
ñèëè 294 Í, ÿêà íàïðàâëåíà ï³ä êóòîì 30° äî ãîðèçîíòó. Êîåô³ö³ºíò òåðòÿ âàí-
òàæó ïî ïëîùèí³ – 0,1. Âèçíà÷èòè ïðèñêîðåííÿ ðóõó âàíòàæó.
Ìàë. 120. Ñõåìàòè÷íèé ìàëþíîê
äî çàäà÷³ 1
Ìàë. 121. Ïàä³ííÿ
ò³ëà ç óðàõóâàííÿì
îïîðó ïîâ³òðÿ

133
4. Çà ÿêîãî ïðèñêîðåííÿ ðîç³ðâåòüñÿ òðîñ (ðîçðèâíà ì³öí³ñòü òðîñà ñòàíî-
âèòü 15 êÍ), ÿêùî íèì ï³äí³ìàòè âàíòàæ ìàñîþ 500 êã?
5. Ñòàëåâèé âèëèâîê, ìàñà ÿêîãî m, ï³äí³ìàþòü ç âîäè çà äîïîìîãîþ òðîñà,
ùî ìàº æîðñòê³ñòü k, ç ïðèñêîðåííÿì a. Ãóñòèíà ñòàë³ ρ1
, ãóñòèíà âîäè ρ2
. Âè-
çíà÷èòè âèäîâæåííÿ òðîñà x. Îïîðîì âîäè çíåõòóâàòè.
6. Ïàðàøóòèñò, ùî ëåòèòü äî â³äêðèâàííÿ ïàðàøóòà ç øâèäê³ñòþ 50 ì/ñ,
â³äêðèâàº ïàðàøóò, ³ éîãî øâèäê³ñòü ñòàº ð³âíîþ 5 ì/ñ. Îö³í³òü, ÿêîþ áóëà
ìàêñèìàëüíà ñèëà íàòÿãó ñòðîï ïàðàøóòà ïðè éîãî â³äêðèâàíí³. Ìàñà ïàðàøó-
òèñòà ç ïàðàøóòîì – 80 êã, g = 10 ì/ñ2
. Îï³ð ïîâ³òðÿ ïðîïîðö³éíèé øâèäêîñò³.
7. Ó ë³ôò³ çíàõîäèòüñÿ â³äðî ç âîäîþ, â ÿêîìó ïëàâàº ì’ÿ÷. ßê çì³íèòüñÿ
ãëèáèíà çàíóðåííÿ ì’ÿ÷à, ÿêùî ë³ôò ðóõàòèìåòüñÿ ç ïîñò³éíèì ïðèñêîðåí-
íÿì: à) âãîðó; á) âíèç?
8. ßê ðóõàºòüñÿ ò³ëî ï³ä ä³ºþ ñèëè,
ÿêà ïåð³îäè÷íî çì³íþº ñâ³é íàïðÿìîê íà
ïðîòèëåæíèé (ìàë. 122). Íàêðåñëèòè ãðà-
ô³êè çàëåæíîñò³ ïðîåêö³¿ øâèäêîñò³ υx
(t)
òà êîîðäèíàòè x(t). Ââàæàòè, ùî ïî÷àòêî-
â³ øâèäê³ñòü òà êîîðäèíàòà äîð³âíþþòü
íóëþ.
Приклад розв’язування задач на рух тіла по похилій площині
Çàäà÷à. Ïî ïîõèë³é ïëîùèí³ ð³âíîì³ðíî âèòÿãóþòü ÿùèê ìàñîþ 100 êã.
ßêó ñèëó ñë³ä ïðèêëàñòè, ùîá âèòÿãòè ÿùèê, ÿêùî âèñîòà ïîõèëî¿ ïëîùèíè
– 1,5 ì, à äîâæèíà – 4,5 ì. Çàäà÷ó ðîçâ’ÿçàòè: à) ç óðàõóâàííÿì ñèëè òåðòÿ
(µ = 0,3); á) íåõòóþ÷è ñèëîþ òåðòÿ.
Äàíî:
m = 100 êã;
h = 1,5 ì;
l = 4,5 ì;
µ = 0,3
Ðîçâ’ÿæåìî çàäà÷ó ç óðàõóâàííÿì ñèëè òåðòÿ.
Çîáðàçèìî ïîõèëó ïëîùèíó (ìàë. 123) ³ ïîêàæåìî ñèëè, ùî
ä³þòü íà ÿùèê.
Â³ñü Õ ñïðÿìóºìî ó íàïðÿì³ ðóõó.
FT
-?
Çà äðóãèì çàêîíîì Íüþòîíà:
+ + + =
r r vr
0F F mg N ,áîðóõð³âíîì³ðíèé.
Ç óðàõóâàííÿì çíàê³â ïðîåêö³¿ âåêòîð³â
íà îñ³ Õ òà Y, ð³âíÿííÿ ìàº âèãëÿä:
íà â³ñü Õ: FT
− Fòåð
− mg sinα = 0 (1);
íà â³ñü Y: N − mg cosα = 0 (2).
Îñê³ëüêè Fòåð
= µN, òî â óìîâàõ íà-
øî¿ çàäà÷³ Fòåð
= µmg cosα (3). Ï³äñòàâëÿ-
þ÷è (3) â (1), ìàºìî:
= α +µ α(sin cos )TF mg (4).
²ç ñï³ââ³äíîøåíü:
α = = ≈
1,5 ì
sin 0,33
4,5 ì
h
l
,
Ìàë. 123. Ñõåìàòè÷íèé ìàëþíîê
äî çàäà÷³

134
Ð Î Ç Ä ² Ë 2
− −
α = = ≈
2 2 2 2 2 2
4,5 ì 1,5 ì
cos 0,94
4,5ì
l h
h
.
Ï³äñòàâëÿþ÷è ÷èñëîâ³ çíà÷åííÿ, îòðèìóºìî FT
= 600 Í.
Ç ôîðìóëè (4) ó âèïàäêó, êîëè µ = 0, îòðèìóºìî FT
= mg sinα ≈ 323 Í.
= 600 Í; 323 Í.
Вправа 21
1. Íà ïîõèë³é ïëîùèí³ çàâäîâæêè 13 ì ³ çàââèøêè 5 ì ëåæèòü âàíòàæ,
ìàñà ÿêîãî 26 êã. Êîåô³ö³ºíò òåðòÿ äîð³âíþº 0,5. ßêó ñèëó òðåáà ïðèêëàñòè äî
âàíòàæó âçäîâæ ïëîùèíè, ùîá âèòÿãíóòè éîãî? Ùîá ñòÿãíóòè? Ðóõ ââàæàòè
ð³âíîì³ðíèì.
2. Ç ÿêèì ïðèñêîðåííÿì ðóõàºòüñÿ áðóñîê ïî ïîõèë³é ïëîùèí³ ç êóòîì íà-
õèëó 30°, ÿêùî êîåô³ö³ºíò òåðòÿ – 0,2?
3. Ò³ëî ñêîâçàº ð³âíîì³ðíî ïîõèëîþ ïëîùèíîþ ç êóòîì íàõèëó â 40°. Âè-
çíà÷èòè êîåô³ö³ºíò òåðòÿ ïî ïëîùèí³.
4. Àâòîìîá³ëü ìàñîþ 1 ò ï³ä³éìàºòüñÿ ïî øîñå ç íàõèëîì 30° ï³ä ä³ºþ ñèëè
òÿãè 7 êÍ. Êîåô³ö³ºíò òåðòÿ ì³æ øèíàìè àâòîìîá³ëÿ òà ïîâåðõíåþ øîñå 0,1.
Âèçíà÷èòè ïðèñêîðåííÿ àâòîìîá³ëÿ.
5. Ò³ëî â³ëüíî êîâçàº ç âåðøèíè íåðóõîìî¿ ïîõèëî¿ ïëîùèíè ï³ä êóòîì
α = 30° äî ãîðèçîíòó. Âèçíà÷èòè éîãî øâèäê³ñòü ó ê³íö³ ïîõèëî¿ ïëîùèíè ³ ÷àñ
ðóõó, ÿêùî âèñîòà ïîõèëî¿ ïëîùèíè – 10 ì, à êîåô³ö³ºíò òåðòÿ – 0,05.
6. Äëÿ ð³âíîì³ðíîãî ï³äí³ìàííÿ âàíòàæó âàãîþ 1000 Í ïî ïîõèë³é ïëîùè-
í³, ÿêà óòâîðþº êóò 60° ç âåðòèêàëëþ, òðåáà ïðèêëàñòè ñèëó 600 Í. Ç ÿêèì ïðè-
ñêîðåííÿì ðóõàòèìåòüñÿ âàíòàæ óíèç, ÿêùî éîãî â³äïóñòèòè?
7. Íà ïîõèë³é ïëîùèí³ âèñîòîþ h = 3 ì ³ äîâæèíîþ l = 5 ì çíàõîäèòüñÿ ò³ëî
ìàñîþ m = 10 êã. ßêó ãîðèçîíòàëüíó ñèëó F íåîáõ³äíî ïðèêëàñòè äî ò³ëà, ùîá
âîíî ð³âíîì³ðíî ðóõàëîñü ïî ïëîùèí³?
8. Çà ÿêèé ÷àñ ò³ëî ç³ñêîâçíå ç âåðøèíè ïîõèëî¿ ïëîùèíè âèñîòîþ h = 2 ì ³
êóòîì ïðè îñíîâ³ α = 45°, ÿêùî ãðàíè÷íèé êóò, ïðè ÿêîìó ò³ëî ìîæå íå ç³ñêîâ-
çóâàòè ç ïëîùèíè, β = 30°.
9. Ïî ïîõèë³é ïëîùèí³, ùî óòâîðþº ç ãîðèçîíòîì êóò α = 30°, ïóñêàþòü
çíèçó âãîðó ò³ëî. Âîíî ïðîòÿãîì t1
= 2 ñ ïðîõîäèòü â³äñòàíü l = 16 ì, ï³ñëÿ ÷îãî
ïî÷èíàº ç³ñêîâçóâàòè âíèç. Çà ÿêèé ÷àñ ò³ëî ç³ñêîâçíå äîíèçó? ßêèé êîåô³ö³ºíò
òåðòÿ ì³æ ò³ëîì ³ ïîâåðõíåþ ïëîùèíè?
10. Ò³ëî ìàñîþ m çíàõîäèòüñÿ íà ïëîùèí³, êóò íàõèëó ÿêî¿ ìîæíà çì³íþ-
âàòè â³ä 0 äî 90°. Íàêðåñëèòè ãðàô³ê çàëåæíîñò³ ñèëè òåðòÿ ì³æ ò³ëîì ³ ïëîùè-
íîþ â³ä êóòà íàõèëó ïëîùèíè äî ãîðèçîíòó. Êîåô³ö³ºíò òåðòÿ µ.
Приклади розв’язування задач на рух тіла по колу
Çàäà÷à 1. Êóëüêà, ùî âèñèòü íà íèòö³, îáåðòàºòüñÿ â ãîðèçîíòàëüí³é ïëî-
ùèí³. Âèçíà÷èòè êóò â³äõèëåííÿ íèòêè â³ä âåðòèêàë³. Øâèäê³ñòü ðóõó êóëüêè
1,5 ì/ñ, ðàä³óñ êîëà, ÿêå îïèñóº êóëüêà, – 30 ñì.

135
Äàíî:
υ = 1,5 ì/ñ;
R = 0,3 ì
Êóëüêà ç íèòêîþ îïèñóþòü ó ïðîñòîð³ êîí³÷íó ïîâåðõíþ, òîìó
òàêó ìîäåëü íàçèâàþòü «êîí³÷íèì ìàÿòíèêîì» (ìàë. 124).
α – ?
Íà êóëüêó ä³º ñèëà òÿæ³ííÿ
r
mg , íà-
ïðàâëåíà âåðòèêàëüíî âíèç, ³ ñèëà íàòÿãó
íèòêè (¿¿ ïðèéíÿòî ïîçíà÷àòè
r
T ), íàïðàâëå-
íà âçäîâæ íèòêè. Íèòêà ââàæàºòüñÿ íåðîç-
òÿæíîþ, ùîá íå âðàõîâóâàòè äîäàòêîâ³ ñèëè
ïðóæíîñò³, ÿê³ âèíèêàþòü ïðè ðîçòÿãóâàíí³
(çã³äíî ç çàêîíîì Ãóêà). Îñê³ëüêè êóëüêà ðó-
õàºòüñÿ ïî êîëó, òî ïðèñêîðåííÿ
r
a, ÿêå íàäàº
¿é ð³âíîä³éíà öèõ ñèë, – äîöåíòðîâå.
Çà äðóãèì çàêîíîì Íüþòîíà: + =
rr r
mg T ma .
íà â³ñü Õ: T sinα = ma;
íàâ³ñüY: α − =cos 0T mg àáî α =cosT mg .
Ïîä³ëèìî ïåðøå ð³âíÿííÿ íà äðóãå:
α
=
α
sin
cos
T ma
T mg
, îòðèìàºìî a = g · tgα.
Äîöåíòðîâå ïðèñêîðåííÿ âèçíà÷àºìî çà ôîðìóëîþ
υ
=
2
a
R
. Òîä³
2
tgg
R
υ
= ⋅ α ,
çâ³äêè
2
tg
Rg
υ
α = . Ï³äñòàâëÿºìî ÷èñëîâ³ äàí³
2 2 2
2
1,5 ì ñ
tg 0,75;
0,3 ì 9,8 ì ñ
α = ≈
⋅
α = 37°.
Â³äïîâ³äü: α = 37°.
Çàäà÷à 2. Ç ÿêîþ ìàêñèìàëüíîþ øâèäê³ñòþ ìîæå ¿õàòè ìîòîöèêë³ñò ïî ãî-
ðèçîíòàëüí³é ïëîùèí³, îïèñóþ÷è äóãó ðàä³óñîì 90 ì, ÿêùî êîåô³ö³ºíò òåðòÿ
êîë³ñ îá äîðîãó – 0,4? Íà ÿêèé êóò â³ä âåðòèêàë³ ïîâèíåí â³äõèëÿòèñü ìîòîöè-
êë³ñò ïðè øâèäêîñò³ ðóõó 15 ì/ñ?
Äàíî:
R = 90 ì;
µ = 0,4;
υ = 15 ì/ñ
Íà ìîòîöèêë³ñòà ä³þòü òðè ñèëè: ñèëà íîðìàëüíî¿ ðåàêö³¿ äî-
ðîãè
r
N , ÿêà çà ìîäóëåì äîð³âíþº mg, ñèëà òåðòÿ
r
Fòåð
, íàïðÿìëåíà
äî öåíòðà êîëà, ïî ÿêîìó ðóõàºòüñÿ ìîòîöèêë³ñò ³ ñèëà òÿæ³ííÿr
mg , ïðèêëàäåíà äî öåíòðó òÿæ³ííÿ ìîòîöèêë³ñòà (òî÷êà ′O íà
ìàë. 125).
υm
– ?
α – ?
Ïðè ðóñ³ ïî êîëó ìîòîöèêë³ñò ìàº íàõèëÿòèñü íà òàêèé êóò α, ùîá ð³âíî-
ä³éíà Q ñèëè òåðòÿ Fòåð
³ ñèëè íîðìàëüíî¿ ðåàêö³¿ îïîðè N áóëà íàïðÿìëåíà
âçäîâæ ïðÿìî¿, ùî ïðîõîäèòü ÷åðåç öåíòð òÿæ³ííÿ ìîòîöèêë³ñòà ′O (³íàêøå
âèíèêàâ áè îáåðòàþ÷èé ìîìåíò ñèëè, â ðåçóëüòàò³ ä³¿ ÿêîãî ìîòîöèêë³ñò ïåðå-
êèíóâñÿ á).
Ìàë. 124. Êîí³÷íèé ìàÿòíèê

136
Ð Î Ç Ä ² Ë 2
Òàêèì ÷èíîì, îñê³ëüêè òî÷êè Î ³ ′O ëå-
æàòü íà îäí³é ïðÿì³é, òî òî÷êó ïðèêëàäàí-
íÿ ñèëè Q ìîæíà ïåðåíåñòè â òî÷êó ′O . Â
ðåçóëüòàò³ äî öåíòðà òÿæ³ííÿ ìîòîöèêë³ñòà
âèÿâëÿþòüñÿ ïðèêëàäåíèìè äâ³ ñèëè: ñèëà
òÿæ³ííÿ
r
mg ³
r
Q , ð³âíîä³éíà ÿêèõ
r
F íà-
ïðÿìëåíà ïî ãîðèçîíòàë³ ³ â³ä³ãðàº ðîëü äî-
öåíòðîâî¿ ñèëè, äî òîãî æ çà ìîäóëåì ñèëà F
äîð³âíþº ñèë³ Fòåð
.
Çà äðóãèì çàêîíîì Íüþòîíà + =
rr r
mg Q ma.
íà â³ñü Õ: Q sinα = ma;
íà â³ñü Y:
α − =cos 0Q mg àáî α =cosQ mg .
Ïîä³ëèìî ïåðøå ð³âíÿííÿ íà äðóãå:
α
=
α
sin
cos
maQ
Q mg
, îòðèìàºìî a = g · tgα, àáî
2
tg
m
g
R
υ
= ⋅ α .
Çâ³äêè
2
tg
gR
υ
α = .
Ùîá âèçíà÷èòè ìàêñèìàëüíó øâèäê³ñòü ðóõó ìîòîöèêë³ñòà íà ïîâîðîò³,
âðàõîâóºìî, ùî = ≤ µòepF F mg àáî
υ
≤ µ
2
mm
mg
R
, çâ³äêè υ = µm gR .
Ï³ñëÿ ï³äñòàíîâêè ÷èñëîâèõ äàíèõ:
α = ≈
⋅
2
2
2
2
15
0,2551tg , α ≈ î
14 ; υ = ⋅ ⋅ ≈2
ì ì
0,4 90 ì 9,8 18,8
ñ ñ
m .
Â³äïîâ³äü: α ≈ î
14 ; υ ≈
ì
18,8
ñ
m .
Вправа 22
1. Àâòîìîá³ëü, ìàñà ÿêîãî 2 ò, ïðî¿æäæàº ïî îïóêëîìó ìîñòó, ùî ìàº ðàä³-
óñ êðèâèçíè 40 ì, ç³ øâèäê³ñòþ 36 êì/ãîä. Ç ÿêîþ ñèëîþ òèñíå àâòîìîá³ëü íà
ñåðåäèíó ìîñòà?
2. Âèçíà÷èòè ñèëó íàòÿãó íèòêè êîí³÷íîãî ìàÿòíèêà ó ìîìåíò, êîëè íèòêà
óòâîðþº êóò 60° ç âåðòèêàëëþ. Ìàñà êóëüêè 100 ã, øâèäê³ñòü ¿¿ ðóõó 2 ì/ñ, äî-
âæèíà íèòêè 40 ñì.
3. Â³äåðöå ç âîäîþ îáåðòàþòü ó âåðòèêàëüí³é ïëîùèí³ íà ìîòóçö³ çàâäîâæ-
êè 0,5 ì. Ç ÿêîþ íàéìåíøîþ øâèäê³ñòþ íåîáõ³äíî éîãî îáåðòàòè, ùîá ïðè ïðî-
õîäæåíí³ ÷åðåç âåðõíþ òî÷êó óòðèìàòè âîäó ó â³äåðö³?
íà ìîòîöèêë³ñòà ïðè ïîâîðîò³

137
4. Êóëüêà ìàñîþ 200 ã, ùî ïðèâ’ÿçàíà íèòêîþ äî ï³äâ³ñó, ðóõàþ÷èñü ç ïî-
ñò³éíîþ øâèäê³ñòþ, îïèñóº â ãîðèçîíòàëüí³é ïëîùèí³ êîëî. Âèçíà÷èòè øâèä-
ê³ñòü êóëüêè ³ ïåð³îä ¿¿ îáåðòàííÿ ïî êîëó, ÿêùî äîâæèíà íèòêè 1 ì, à ¿¿ êóò ç
âåðòèêàëëþ ñòàíîâèòü 60°.
5. Êóëüêà ìàñîþ 500 ã, ï³äâ³øåíà íà íåðîçòÿæí³é íèòö³ çàâäîâæêè 1 ì,
çä³éñíþº êîëèâàííÿ â âåðòèêàëüí³é ïëîùèí³. Âèçíà÷èòè ñèëó íàòÿãó íèòêè
ó ìîìåíò, êîëè âîíà óòâîðþº ç âåðòèêàëëþ êóò 60°. Øâèäê³ñòü êóëüêè â öþ
ìèòü – 1,5 ì/ñ.
6. ßêèé íàéìåíøèé ðàä³óñ êîëà, ïî ÿêîìó ìîæå ïðî¿õàòè êîâçàíÿð, ùî
ðóõàºòüñÿ ç³ øâèäê³ñòþ 20 êì/ãîä, ÿêùî êîåô³ö³ºíò êîâçàííÿ ì³æ êîâçàíàìè
³ ïîâåðõíåþ ëüîäó 0,2? ßêèé íàéá³ëüøèé êóò íàõèëó êîâçàíÿðà â³ä âåðòèêàë³,
ïðè ÿêîìó â³í ùå íå áóäå ïàäàòè íà çàîêðóãëåíí³?
7. Ïîñóäèíà, ùî ìàº ôîðìó çð³çàíîãî êîíóñà ç ä³àìåòðîì äíà 20 ñì ³ êóòîì
íàõèëó ñò³íîê äî ãîðèçîíòó 60°, ìîæå îáåðòàòèñü íàâêîëî âåðòèêàëüíî¿ îñ³. Íà
äí³ ïîñóäèí³ çíàõîäèòüñÿ êóëüêà. Ïðè ÿê³é êóòîâ³é øâèäêîñò³ îáåðòàííÿ ïîñó-
äèíè êóëüêà ï³äí³ìåòüñÿ ³ áóäå âèêèíóòà ç ïîñóäèíè? Òåðòÿ íå âðàõîâóâàòè.
Приклади розв’язування задач на рух системи зв’язаних тіл
Çâåðí³òü óâàãó! Ñèñòåìè çâ’ÿçàíèõ ò³ë – öå äâà àáî á³ëüøå ò³ë, çâ’ÿçàíèõ
ì³æ ñîáîþ íåâàãîìèìè ³ íåðîçòÿæíèìè íèòêàìè (ìîòóçêàìè ÷è òðîñàìè).
Ðóõè çâ’ÿçàíèõ ò³ë ïî÷èíàþòüñÿ, ÿêùî íà îäíå àáî ê³ëüêà ò³ë ñèñòåìè ä³þòü çî-
âí³øí³ ñèëè, òîáòî ñèëè, âèêëèêàí³ ä³ºþ ò³ë, ÿê³ íå âõîäÿòü äî ñêëàäó ñèñòåìè.
Îñîáëèâ³ñòþ ðóõó ñèñòåìè çâ’ÿçàíèõ ò³ë º òå, ùî âñ³ âîíè ìàþòü îäíàêî-
â³ çà ìîäóëåì ïðèñêîðåííÿ. Öå çóìîâëåíî òèì, ùî íà íèòêè, ÿêèìè çâ’ÿçàí³
ò³ëà, íàêëàäàºòüñÿ óìîâà íåðîçòÿæíîñò³ ³ íåâàãîìîñò³. Íåðîçòÿæí³ñòü íèòêè
îçíà÷àº, ùî äîâæèíà íèòêè íå çì³íþºòüñÿ ³ âíàñë³äîê äåôîðìàö³¿ ó í³é íå âè-
íèêàº äîäàòêîâà ñèëà ïðóæíîñò³. Ñèëà íàòÿãó íèòêè çàëèøàºòüñÿ íåçì³ííîþ
³ íàäàº ò³ëàì îäíàêîâîãî çà ìîäóëåì ïðèñêîðåííÿ = =
r r
1 2à à à . Íåâàãîì³ñòü
íèòêè âêàçóº íà òå, ùî ñèëè íàòÿãó íèòêè ð³âí³ ì³æ ñîáîþ = =
r r
1 2Ò Ò Ò .
Óìîâà íåâàãîìîñò³ áëîêà, ùî ïåðåäáà÷åíà óìîâîþ çàäà÷³, äàº çìîãó ââàæà-
òè ñèëó íàòÿãó íèòêè (ïðè ïåðåõîä³ ÷åðåç áëîê) íåçì³ííîþ çà ìîäóëåì.
Çàäà÷à 1. Íà ãîðèçîíòàëüí³é ïëîùèí³ ëåæèòü áðóñîê ìàñîþ =1 2 êãm . Äî
ê³íöÿ íèòêè, ïðèêð³ïëåíî¿ äî áðóñêà ³ ïåðåêèíóòî¿ ÷åðåç íåðóõîìèé áëîê, ï³ä-
â³øåíî òÿãàð ìàñîþ =2 0,5 êãm . Âèçíà÷èòè ñèëó íàòÿãó íèòêè, ÿêùî êîåô³-
ö³ºíò òåðòÿ ì³æ ïëîùèíîþ ³ áðóñêîì µ = 0,1 . Ìàñîþ íèòêè ³ áëîêà, à òàêîæ
òåðòÿì ó áëîö³ çíåõòóâàòè.
Äàíî:
m1
= 2 êã;
m2
= 0,5 êã;
µ = 0,1
Ðîçãëÿíåìî ñèëè, ùî ä³þòü íà ñèñòåìó «áðóñîê – òÿãàð» (ìàë. 126).
Íà òÿãàð ä³º ñèëà òÿæ³ííÿ
r
2m g ³ ñèëà íàòÿãó íèòêè
r
2T ; íà áðó-
ñîê – ñèëà òÿæ³ííÿ
r
1m g , ñèëà ðåàêö³¿ îïîðè
r
N , ñèëà òåðòÿ
r
Fòåð
òà
ñèëà íàòÿãó íèòêè
r
1T .Ò – ?
Ç’ÿñóºìî, ðóõàºòüñÿ öÿ ñèñòåìà ò³ë ÷è ïåðåáóâàº ó ñòàí³ ñïîêîþ.

138
Ð Î Ç Ä ² Ë 2
ßêùî ñèñòåìà ò³ë ïåðåáóâàº ó ñòà-
í³ ñïîêîþ, òî øóêàíà ñèëà íàòÿãó âè-
çíà÷àºòüñÿ âàãîþ òÿãàðÿ =2 4,9 Ím g ,
à ÿêùî ñèñòåìà ðóõàºòüñÿ, òî ñèëà íà-
òÿãó íèòêè áóäå ìåíøîþ. Ñèñòåìà ðó-
õàòèìåòüñÿ, ÿêùî m2
g > Fòåð
.
Îñê³ëüêè áðóñîê çíàõîäèòüñÿ íà
ãîðèçîíòàëüí³é ïîâåðõí³, òî ñèëà òåð-
òÿ âèçíà÷àºòüñÿ: Fòåð
= µm1
g = 1,96 Í.
Òîæ ñèñòåìà ðóõàºòüñÿ.
Çàïèøåìî ñèñòåìó âåêòîðíèõ
ð³âíÿíü äðóãîãî çàêîíó Íüþòîíà äëÿ
áðóñêà: + + + =
r rv r r
1 1 1 1òepN m g F T m a òà äëÿ òÿãàðöÿ: + =
rr r
2 2 2 2m g T m a .
Çàïèøåìî äàí³ ð³âíÿííÿ ó ïðîåêö³ÿõ íà êîîðäèíàòí³ îñ³, âðàõîâóþ÷è, ùî
= =
r r
1 2à à à ³ = =
r r
1 2Ò Ò Ò .
Äëÿ áðóñêà: Ò − Fòåð
= m1
a; = 1N m g àáî −µ =1 1T m g m a .
Äëÿ òÿãàðöÿ: − =2 2m g T m a .
Âèçíà÷èìî, íàïðèêëàä, ³ç ïåðøîãî ð³âíÿííÿ ïðèñêîðåííÿ ³ ï³äñòàâèìî
éîãî ó äðóãå.
−µ
= = −µ1
1 1
T m g T
a g
m m
;
− = −µ2 2
1
( )
T
m g T m g
m
, çâ³äêè
µ +
= ≈
+
1 2
1 2
( 1)
4,3 H
m m g
T
m m
.
Â³äïîâ³äü: ≈ 4,3 HT .
Çàäà÷à 2. Âàíòàæíèé àâòîìîá³ëü ìàñîþ =1 2500 êãm òÿãíå íà áóêñèðíîìó
òðîñ³ äâà ïðè÷åïè, ðîçâèâàþ÷è ï³ä ÷àñ ðóõó ïðèñêîðåííÿ 2
0,6 ì ñ . Ìàñà ïåð-
øîãî ïðè÷åïà =2 1000 êãm , äðóãîãî =3 500 êãm . Âèçíà÷èòè ñèëó òÿãè àâòîìî-
á³ëÿ ³ ñèëè íàòÿãó òðîñ³â, ùî ç’ºäíóþòü àâòîìîá³ëü ³ ïðè÷åïè. Êîåô³ö³ºíò òåðòÿ
– µ = 0,1 .
Äàíî:
m1
= 2500 êã;
m2
= 1000 êã;
m3
= 500 êã;
a = 0,6 ì/ñ2
;
µ = 0,1
Çðîáèìî ìàëþíîê äî çàäà÷³ (ìàë. 127). Ñèëó òåðòÿ íà ìà-
ëþíêó ïîêàçóºìî ì³æ êîëåñàìè ³ äîðîãîþ.
FT
– ?
T1
– ?
T2
– ?
Íà àâòîìîá³ëü ä³þòü: ñèëà òÿãè
r
TF , ñèëà òÿæ³ííÿ
r
1m g , ñèëà òåðòÿ
r
Fòåð1
,
ñèëà íàòÿãó òðîñà
r
1T , ñèëà ðåàêö³¿ îïîðè
r
1N .
Ìàë. 126. Ðóõ ñèñòåìè çâ’ÿçíèõ ò³ë
Ìàë. 127. Ñõåìàòè÷íèé ìàëþíîê äî çàäà÷³ 2

139
Äðóãèé çàêîí Íüþòîíà äëÿ àâòîìîá³ëÿ: + + + + =
r r r rr r
1 1 1 1 1T òepF N m g F T m a.
Îñê³ëüêè ñèñòåìà çâ’ÿçàíèõ ò³ë ðóõàºòüñÿ ç îäíàêîâèì ïðèñêîðåííÿì, òî
äëÿ ïåðøîãî ³ äðóãîãî ïðè÷åï³â äðóãèé çàêîí Íüþòîíà â³äïîâ³äíî ìàº âèãëÿä:
′+ + + + =
r r r rr r
2 2 2 1 2 2òepN m g F T T m a; ′+ + + =
r r rr r
3 3 3 2 3òepN m g F T m a.
Îñê³ëüêè ó âåðòèêàëüíîìó íàïðÿì³ ïðèñêîðåííÿ íåìàº, òî äðóãèé çàêîí
Íüþòîíà ó ïðîåêö³¿ íà â³ñü Y äëÿ ò³ë: =1 1N m g ; =2 2N m g ; =3 3N m g .
Â³äïîâ³äíî ñèëà òåðòÿ äëÿ êîæíîãî ç ò³ë âèçíà÷àòèìåòüñÿ:
Fòåð1
= µN1
= µm1
g; Fòåð2
= µN2
= µm2
g; Fòåð3
= µN3
= µm3
g.
Âðàõîâóþ÷è òå, ùî çà òðåò³ì çàêîíîì Íüþòîíà ′= −
r r
1 1T T , ′ = −
r r
2 2T T , òî ìîæ-
íà çàïèñàòè ′ = =
r r
1 1 1T T T ; ′ = =
r r
2 2 2T T T . Âðàõîâóþ÷è ïîïåðåäí³ ñï³ââ³äíîøåííÿ,
äðóãèé çàêîí Íüþòîíà ó ïðîåêö³ÿõ íà â³ñü Õ äëÿ êîæíîãî ç ò³ë ìàº âèãëÿä:
FT
− T1
− µm1
g = m1
a; T1
− T2
− µm2
g = m2
a; T2
− µm3
g = m3
a.
Ùîá âèçíà÷èòè ñèëó òÿãè, çðó÷íî äîäàòè âñ³ òðè ð³âíÿííÿ îäíå äî îäíîãî,
òîä³ îòðèìàºìî:
FT
− µg (m1
+ m2
+ m3
) = a(m1
+ m2
+ m3
);
FT
= (µg + a) (m1
+ m2
+ m3
) = 6,4 êÍ.
Ñèëà íàòÿãó òðîñà ì³æ àâòîìîá³ëåì ³ ïåðøèì ïðè÷åïîì:
T1
= FT
− µm1
g − m1
a = 2,4 êÍ
òà ì³æ ïðè÷åïàìè:
= µ + =2 3 3 0,8 êÍT m g m a .
= 6,4 êÍ; =1 2,4 êÍT ; =2 0,8 êÍT .
Вправа 23
1. Áðóñîê, ìàñà ÿêîãî 400 ã, ï³ä ä³ºþ âàíòàæó, ùî ìàº ìàñó 100 ã (ìàë. 128),
ðóõàþ÷èñü ³ç ñòàíó ñïîêîþ, ïðîõîäèòü çà 2 ñ øëÿõ
80 ñì. Âèçíà÷èòè êîåô³ö³ºíò òåðòÿ.
2. Íà øíóð³, ïåðåêèíóòîìó ÷åðåç íåðóõîìèé
áëîê, ï³äâ³ñèëè âàíòàæ³, ìàñè ÿêèõ 0,3 ³ 0,2 êã. Ç
ÿêèì ïðèñêîðåííÿì ðóõàºòüñÿ ñèñòåìà? ßêà ñèëà
íàòÿãó øíóðà ï³ä ÷àñ ðóõó?
3. Ìàíåâðîâèé òåïëîâîç, ìàñà ÿêîãî 100 ò, òÿã-
íå äâà âàãîíè, êîæíèé ç ÿêèõ ìàº ìàñó 50 ò, ç ïðè-
ñêîðåííÿì 0,1 ì/ñ2
. Âèçíà÷èòè ñèëó òÿãè òåïëîâîçà
³ ñèëó íàòÿãó ç÷åï³â, ÿêùî êîåô³ö³ºíò îïîðó ðóõîâ³
äîð³âíþº 0,006.
4. Íà íèòö³, ïåðåêèíóò³é ÷åðåç íåðóõîìèé áëîê,
ï³äâ³ñèëè âàíòàæ³, ìàñà ÿêèõ 0,3 ³ 0,34 êã. Çà 2 ñ â³ä
ïî÷àòêó ðóõó êîæíèé âàíòàæ ïðîéøîâ øëÿõ 1,2 ì.
Âèçíà÷èòè ïðèñêîðåííÿ â³ëüíîãî ïàä³ííÿ íà ï³äñòà-
â³ äàíèõ äîñë³äó.

140
Ð Î Ç Ä ² Ë 2
5. Íà ê³íöÿõ íèòêè, ïåðåêèíóòî¿ ÷åðåç íåðóõîìèé áëîê, ï³äâ³ñèëè ò³ëà,
ìàñà êîæíîãî – 240 ã. ßêèé äîäàòêîâèé âàíòàæ òðåáà ïîêëàñòè íà îäíå ç ò³ë,
ùîá êîæíå ç íèõ çà 4 ñ ïðîéøëî 160 ñì?
6. ×åðåç íåâàãîìèé áëîê, çàêð³ïëåíèé íà ðåáð³ ïðèçìè, ãðàí³ ÿêî¿ óòâîðþ-
þòü êóòè α ³ β ç ãîðèçîíòîì, ïåðåêèíóòî íèòêó (ìàë. 129). Äî ê³íö³â íèòêè
ïðèêð³ïëåíî âàíòàæ³ ìàñàìè 1m ³ 2m . Ââàæàòè, ùî âàíòàæ 1m îïóñêàºòüñÿ.
Âèçíà÷èòè ïðèñêîðåííÿ âàíòàæ³â ³ ñèëó íàòÿãó íèòêè. Òåðòÿì çíåõòóâàòè.
7. Âèçíà÷èòè ïðèñêîðåííÿ 1a ³ 2a ò³ë ìàñàìè 1m ³ 2m , à òàêîæ ñèëó íàòÿãó
íèòêè ó ñèñòåì³, çîáðàæåí³é íà ìàë. 130. Ìàñîþ áëî-
êó ³ òåðòÿì çíåõòóâàòè. Âêàç³âêà: îñê³ëüêè ò³ëî 2m
çàêð³ïëåíî äî ðóõîìîãî áëîêà, òî âîíî ïðîõîäèòü
óäâ³÷³ ìåíøó â³äñòàíü ïîð³âíÿíî ç â³äñòàííþ, ùî
ïðîõîäèòü ò³ëî 1m , â³äïîâ³äíî =1 22a a .
8. Äâà ò³ëà ìàñàìè =1 4 êãm òà =2 8 êãm , ÿê³
çâ’ÿçàí³ íèòêîþ, êîâçàþòü îäíå çà îäíèì ïî ïîâåð-
õí³ ïîõèëî¿ ïëîùèíè, êóò íàõèëó ÿêî¿ ç ãîðèçîíòîì
α = 30°. Êîåô³ö³ºíò òåðòÿ ì³æ ïåðøèì ò³ëîì ³ ïëîùè-
íîþ µ =1 0,1,àì³æäðóãèìò³ëîì³ïëîùèíîþ µ =2 0,2.
ßêà ñèëà íàòÿãó íèòêè ì³æ ò³ëàìè? Ìàë. 130. Äî çàäà÷³ 7.

141
Äèíàì³êà îáåðòàëüíîãî ðóõó òâåðäîãî ò³ëà
ДИНАМІКА
обертального руху твердого тіла
§ 25 Обертальний рух твердого тіла
навколо нерухомої осі
Òâåðäå ò³ëî. Òî÷êà ïðèêëàäàííÿ ñèëè.
Îáåðòàëüíèé ðóõ òâåðäîãî ò³ëà.
Òâåðäå ò³ëî. Òî÷êà ïðèêëàäàííÿ ñèëè. Ìè äåòàëüíî ðîçãëÿíóëè çàêîíè
ê³íåìàòèêè ³ äèíàì³êè ïîñòóïàëüíîãî ðóõó ìàòåð³àëüíî¿ òî÷êè. Àëå çíàííÿ
çàêîí³â ïîñòóïàëüíîãî ðóõó îäí³º¿ ìàòåð³àëüíî¿ òî÷êè íåäîñòàòíüî äëÿ îïèñó
ðóõó âñüîãî ò³ëà. Ó òàêîìó âèïàäêó äîñë³äæåííÿ çàêîí³â ðóõó çä³éñíþºòüñÿ çà
äîïîìîãîþ ìîäåë³ – àáñîëþòíî òâåðäîãî ò³ëà.
Àáñîëþòíî òâåðäå ò³ëî ìîæíà ðîçãëÿäàòè ÿê
ñèñòåìó æîðñòêî çâ’ÿçàíèõ ìàòåð³àëüíèõ òî÷îê,
ùî ì³ñòÿòüñÿ íà íåçì³ííèõ â³äñòàíÿõ îäíà â³ä îä-
íî¿.
Çàì³ñòü òåðì³íà «àáñîëþòíî òâåðäå ò³ëî» ÷àñòî âæèâàþòü òåðì³í «òâåðäå
ò³ëî». Ö³ºþ ìîäåëëþ çðó÷íî êîðèñòóâàòèñü, êîëè äåôîðìàö³ÿìè ô³çè÷íèõ ò³ë
ìîæíà çíåõòóâàòè.
Âåëèêîãî çíà÷åííÿ äëÿ õàðàêòåðó ä³¿ ñèëè ìàº òî÷êà ò³ëà, äî ÿêî¿ âîíà ïðè-
êëàäåíà. Ó âèïàäêó òâåðäîãî ò³ëà ïåðåíåñåííÿ òî÷êè ïðèêëàäàííÿ ñèëè çì³-
íþº ðåçóëüòàò ä³¿ ñèëè íà ò³ëî. Íàïðèêëàä, ñèëà F, ÿêà ïðèêëàäåíà äî ñåðåäè-
íè áîêîâîãî êðàþ êíèæêè (òî÷êà À) ³ ïàðàëåëüíà ïîâåðõí³ ñòîëó, äå ëåæèòü
êíèæêà, âèêëèêàº êîâçàííÿ êíèãè ïî ñòîëó ó íàïðÿì³ ä³¿ ñèëè (ìàë. 132).
ßêùî òî÷êó ïðèêëà-
äàííÿ ñèëè F ïåðåíåñòè ç
òî÷êè À ó òî÷êó Ñ, ùî ëå-
æèòü íà ïðîäîâæåíí³ ïðÿ-
ìî¿, óçäîâæ ÿêî¿ ä³º ñèëà
(ë³í³¿ ä³¿ ñèëè), òî ðåçóëü-
òàò ä³¿ ñèëè íå çì³íèòüñÿ.
À ÿêùî öþ ñàìó ñèëó ïðè-
êëàñòè äî òî÷êè Â ñêðàþ
êíèæêè, òî âîíà âæå âèêëè-
÷å ¿¿ îáåðòàííÿ (ìàë. 132, â).
à á â
Ìàë. 132. Òî÷êè ïðèêëàäàííÿ ñèëè

142
Ð Î Ç Ä ² Ë 2
Îòæå, ä³ÿ ñèëè íå çì³íþºòüñÿ, ÿêùî òî÷êó ïðèêëàäàííÿ ïåðåíîñèòè âçäîâæ
ë³í³¿ ä³¿ ñèëè.
Íåõàé íà ò³ëî ä³º äâ³ ñèëè
r
1F ³
r
2F ,
ÿê³ ëåæàòü â îäí³é ïëîùèí³, àëå ïðè-
êëàäåí³ äî ð³çíèõ òî÷îê ò³ëà (ìàë. 133).
Âèçíà÷èìî ð³âíîä³éíó öèõ ñèë. Äëÿ
öüîãî ïðîäîâæèìî ë³í³¿ ä³¿ ñèë ³ âèçíà-
÷èìî òî÷êó ¿õ ïåðåòèíó (òî÷êà O).
Ïåðåíåñåìî ó òî÷êó ïåðåòèíó ïî-
÷àòêè âåêòîð³â ñèë
r
1F ³
r
2F òà ïîáóäóºìî
ïàðàëåëîãðàì ñèë. Îòðèìàºìî ð³âíî-
ä³éíó
r
R , ÿêà çíàõîäèòüñÿ çà ìåæàìè
ò³ëà ³ ÿêó ìîæíà ïåðåíåñòè âçäîâæ ë³-
í³¿ ä³¿ ó äîâ³ëüíó òî÷êó ò³ëà.
Îáåðòàëüíèé ðóõ òâåðäîãî ò³ëà.
Áóäü-ÿêèé ðóõ òâåðäîãî ò³ëà ìîæíà ïîäàòè ÿê ñóêóïí³ñòü ïîñòóïàëüíîãî òà
îáåðòàëüíîãî ðóõ³â.
Îáåðòàëüíèé ðóõ òâåðäîãî ò³ëà íàâêîëî íåðóõî-
ìî¿ îñ³ – öå ðóõ, ï³ä ÷àñ ÿêîãî âñ³ òî÷êè ò³ëà îïè-
ñóþòü êîëà â ïàðàëåëüíèõ ïëîùèíàõ, íàâêîëî ïðÿ-
ìî¿, ÿêó íàçèâàþòü â³ññþ îáåðòàííÿ.
ßê óæå íàãîëîøóâàëîñÿ, òâåðäå ò³ëî
ìîæå îäíî÷àñíî çä³éñíþâàòè ïîñòóïàëüíèé
³ îáåðòàëüíèé ðóõè. Íàïðèêëàä, ðóõ öèë³í-
äðà, ùî êîòèòüñÿ ïî ãîðèçîíòàëüí³é ïîâåðõ-
í³, ìîæíà ðîçãëÿäàòè â³äíîñíî íåðóõîìî¿
ñèñòåìè â³äë³êó K ÿê ïîñòóïàëüíèé ðóõ, à
â³äíîñíî ñèñòåìè ′K , çâ’ÿçàíî¿ ç â³ññþ öè-
ë³íäðà, – ÿê îáåðòàëüíèé (ìàë. 134).
×èñëî íåçàëåæíèõ ðóõ³â, ç ÿêèõ ñêëàäà-
ºòüñÿ ðóõ òâåðäîãî ò³ëà, íàçèâàþòü ñòóïå-
íåì ñâîáîäè. Â³ëüíå ò³ëî ìàº ø³ñòü ñòóïåí³â
ñâîáîäè: òðè ïîñòóïàëüí³ – â³äíîñíî êîîðäè-
íàòíèõ îñåé; òðè îáåðòàëüí³ – íàâêîëî öèõ
ñàìèõ îñåé. Ò³ëî, ÿêå îáåðòàºòüñÿ íàâêîëî
íåðóõîìî¿ (çàêð³ïëåíî¿) îñ³, ìàº îäèí ñòóï³íü ñâîáîäè; öèë³íäð, ùî êîòèòüñÿ
ðåéêàìè, ìàº äâà ñòóïåí³ ñâîáîäè (îäèí – ïîñòóïàëüíèé, îäèí – îáåðòàëüíèé).
Íàäàë³ ðîçãëÿäàòèìåìî ìåõàí³êó òâåðäîãî ò³ëà, ùî ìîæå îáåðòàòèñü
íàâêîëî íåðóõîìî¿ îñ³
Ìåõàí³êà òâåðäîãî ò³ëà, ÿê ³ ìåõàí³êà ìàòåð³àëüíî¿ òî÷êè, ïîä³ëÿºòüñÿ
íà ê³íåìàòèêó, äèíàì³êó ³ ñòàòèêó.
Ïðè îáåðòàëüíîìó ðóñ³ íàâêîëî íåðóõîìî¿ îñ³ âñ³ òî÷êè ò³ëà ðóõàþòüñÿ ïî
êîíöåíòðè÷íèõ êîëàõ, öåíòðè ÿêèõ çíàõîäèòüñÿ íà îñ³ îáåðòàííÿ (ìàë. 135).
Ìàë. 133. Âåêòîðè ñèë ìîæíà
ïåðåíîñèòè âçäîâæ ¿õ ë³í³é ä³¿
Ìàë. 134. Ïîñòóïàëüíèé òà îáåð-
òàëüíèé ðóõ öèë³íäðà

143
Îáåðòàííÿ ò³ëà, ùî ìàº íåðóõîìó â³ñü, ìîæå
âèêëèêàòè ëèøå ñèëà, ùî íå º ïàðàëåëüíîþ
îñ³ ³ íå ïåðåòèíàº ¿¿.
Äëÿäîñë³äæåííÿîáåðòàëüíîãîðóõóòâåðäî-
ãî ò³ëà ðîçãëÿäàòèìåìî ëèøå òî÷êè, ùî ëåæàòü
â îäí³é ïëîùèí³, ïåðïåíäèêóëÿðí³é äî îñ³ îáåð-
òàííÿ. Ïîëîæåííÿ êîæíî¿ òî÷êè ò³ëà ó áóäü-
ÿêèé ìîìåíò ÷àñó âèçíà÷àºòüñÿ ¿¿ ðàä³óñîì-
âåêòîðîì r. Ïî÷àòêîì ðàä³óñà-âåêòîðà º òî÷êà
ïåðåòèíó îñ³ îáåðòàííÿ ç ïëîùèíîþ, ó ÿê³é ëå-
æèòü äîñë³äæóâàíà òî÷êà. Öþ òî÷êó íàçèâàþòü
öåíòðîì îáåðòàííÿ O.
Ê³íåìàòèêà ðóõó òâåðäîãî ò³ëà õàðàêòåðè-
çóºòüñÿ óæå çíàéîìèìè äëÿ âàñ âåëè÷èíàìè:
êóòîì ïîâîðîòó ∆ϕ, êóòîâîþ øâèäê³ñòþ ω òà
êóòîâèì ïðèñêîðåííÿì ε.
Ê³íåìàòè÷í³ ð³âíÿííÿ îáåðòàííÿ òâåðäîãî ò³ëà íàâêîëî íåðóõîìî¿ îñ³
ìàþòü òàêèé ñàìèé âèãëÿä, ÿê ³ äëÿ ìàòåð³àëüíî¿ òî÷êè:
ω
r
= ω
r
0
+ ε
r
t;
r
r r 2
0
2
t
t
ε
ϕ = ω + ; ω
r2
− ω
r2
0
= 2 ε
r r
.
Äèíàì³êà ïîñòóïàëüíîãî ðóõó ò³ëà (ìàòåð³àëüíî¿ òî÷êè) âèâ÷àº ïðè÷è-
íè âèíèêíåííÿ ïðèñêîðåííÿ ò³ëà ³ äàº çìîãó âèçíà÷èòè éîãî çíà÷åííÿ òà íà-
ïðÿì.
Äèíàì³êà îáåðòàëüíîãî ðóõó ò³ëà âèâ÷àº ïðè÷èíè âèíèêíåííÿ êóòîâîãî
ïðèñêîðåííÿ ò³ëà, ùî ìîæå îáåðòàòèñü íàâêîëî îñ³, ³ óìîæëèâëþº âèçíà÷åííÿ
çíà÷åííÿ ³ íàïðÿìó öüîãî ïðèñêîðåííÿ.
Ó ñòàòèö³ ðîçãëÿäàþòüñÿ óìîâè ð³âíîâàãè ò³ëà, ùî ìàº â³ñü îáåðòàííÿ.
Ùî íàçèâàþòü àáñîëþòíî òâåðäèì ò³ëîì?1.
×è çàëåæèòü ðåçóëüòàò ä³¿ ñèëè íà òâåðäå ò³ëî â³ä ïåðåíåñåííÿ òî÷êè ¿¿2.
ïðèêëàäåííÿ?
Ùî íàçèâàþòü ñòóïåíåì ñâîáîäè?3.
Ìàë. 135. Îáåðòàííÿ òâåðäîãî
ò³ëà íàâêîëî íåðóõîìî¿ îñ³

144
Ð Î Ç Ä ² Ë 2
§ 26 Основне рівняння динаміки обертального руху
твердого тіла
Äîñë³äè, ùî ïîÿñíþþòü çàêîíè äèíàì³êè îáåðòàëüíîãî ðóõó
òâåðäîãî ò³ëà.
Âåëè÷èíè, ùî õàðàêòåðèçóþòü îáåðòàëüíèé ðóõ òâåðäîãî
ò³ëà.
Îñíîâíå ð³âíÿííÿ äèíàì³êè îáåðòàëüíîãî ðóõó òâåðäîãî
ò³ëà íàâêîëî íåðóõîìî¿ îñ³.
Äîñë³äè, ùî ïîÿñíþþòü çàêîíè äèíàì³êè îáåðòàëüíîãî ðóõó òâåðäîãî ò³ëà.
Äëÿ äîñë³äæåííÿ äèíàì³êè îáåðòàëüíîãî ðóõó òâåðäîãî ò³ëà íàâêîëî íåðóõî-
ìî¿ îñ³ ðîçãëÿíåìî òàê³ äîñë³äè.
Â³çüìåìîóñòàíîâêó(ìàë.136),ùîñêëàäàºòüñÿçäâîõ
áëîê³â ç ð³çíèìè ðàä³óñàìè. Äî öèõ áëîê³â ïðèêð³ïëåíî
÷îòèðè ëåãê³ ñòåðæí³. Íà êîæåí ç íèõ ðîçì³ùóºìî òÿãàð-
ö³ ìàñîþ m (íà îäíàêîâ³é â³äñòàí³ â³ä îñ³ îáåðòàííÿ). Íà
îäèí ³ç áëîê³â íàìîòóºìî íèòêó. Äî â³ëüíîãî ê³íöÿ íèò-
êè ï³äâ³øóâàòèìåìî òÿãàðåöü ìàñîþ M. Ï³ä ä³ºþ ñèëè
òÿæ³ííÿ òÿãàðåöü M îïóñêàòèìåòüñÿ, ïðè öüîìó íèòêà
ðîçêðó÷óâàòèìå áëîê ³ âñÿ óñòàíîâêà ïî÷íå îáåðòàòèñÿ.
Óñòàíîâêó íàçèâàþòü ìàÿòíèêîì Îáåðáåêà.
Äîñë³äèìî, ÿê îáåðòàòèìåòüñÿ ìàÿòíèê çà ð³çíèõ
çíà÷åíü ìàñ òÿãàðö³â m òà M, à òàêîæ ïðè ¿õ ð³çíîìó
ðîçòàøóâàíí³ â³äíîñíî îñ³.
Íå çì³íþþ÷è ïîëîæåííÿ ³ ìàñó òÿãàðö³â m, çá³ëü-
øóâàòèìåìî ìàñó òÿãàðöÿ M, òèì ñàìèì çá³ëüøóþ÷è
ñèëó, ùî ä³º íà ìàÿòíèê (ìàë. 137, à). Ñïîñòåð³ãàþ÷è çà
ðóõîì òÿãàðöÿ M òà îáåðòàííÿì ìàÿòíèêà, ìîæíà çðî-
áèòè âèñíîâîê, ùî ÷èì á³ëüøà ìàñà M, à îòæå, ³ ä³þ÷à
ñèëà F, òèì øâèäøå îáåðòàºòüñÿ ìàÿòíèê. Öå îçíà-
÷àº, ùî êóòîâå ïðèñêîðåííÿ ò³ëà ïðîïîðö³éíå ä³þ÷³é
ñèë³.
Íå çì³íþþ÷è ìàñè òÿãàðö³â m ³ M òà ðîçòàøóâàííÿ
ìàëèõ òÿãàðö³â íà ñòåðæíÿõ, íàìîòóâàòèìåìî íèòêó ç òÿãàðöåì M íà áëîêè
ð³çíèõ ðàä³óñ³â (ìàë. 137, á). Ïðè öüîìó çì³íþâàòèìåòüñÿ â³äñòàíü d â³ä ë³í³¿
ä³¿ ñèëè äî îñ³ îáåðòàííÿ.
Äîñë³ä ïîêàæå, ùî ÷èì á³ëüøèé ðàä³óñ áëîêà, òèì øâèäøå îáåðòàòèìåòü-
ñÿ ìàÿòíèê. Öå îçíà÷àº, ùî êóòîâå ïðèñêîðåííÿ çàëåæèòü íå ëèøå â³ä çíà÷åí-
Ìàë. 136.
Ìàÿòíèê Îáåðáåêà

145
íÿ ïðèêëàäåíî¿ ñèëè, à é
â³ä òîãî, ÿê ðîçòàøîâà-
íà ë³í³ÿ ä³¿ ñèëè â³äíîñ-
íî îñ³ îáåðòàííÿ.
Íå çì³íþþ÷è ìàñó
òÿãàðöÿ M ³ â³äñòàíü d,
çì³íþâàòèìåìî ìàñè
ìàëèõ òÿãàðö³â m.
Çá³ëüøóþ÷è ìàñó òÿ-
ãàðö³â, ïîì³÷àºìî, ùî
ìàÿòíèê îáåðòàºòüñÿ
ïîâ³ëüí³øå, òîáòî êóòî-
âå ïðèñêîðåííÿ ò³ëà çà-
ëåæèòü â³ä ìàñè öüîãî
ò³ëà.
Íå çì³íþþ÷è ìàñè âñ³õ òÿãàðö³â, çì³íþâàòèìåìî ðîçòàøóâàííÿ ìàëèõ òÿ-
ãàðö³â íà ñòåðæíÿõ. ×èì ìåíøà â³äñòàíü r, òîáòî, ÷èì áëèæ÷å çíàõîäÿòüñÿ
òÿãàðö³ äî îñ³ îáåðòàííÿ, òèì á³ëüøå êóòîâå ïðèñêîðåííÿ çà ô³êñîâàíî¿ (ñòà-
ëî¿) ñèëè F îáåðòàºòüñÿ ò³ëî.
ßêùî ïðîâîäèòè äîñë³ä ³ç ñåêóíäîì³ðîì, òî ìîæíà ïîì³òèòè, ùî çà çìåí-
øåííÿ â³äñòàí³ r ó äâà ðàçè, òÿãàðåöü M îïóñêà-
òèìåòüñÿ ó 4 ðàçè øâèäøå ïðîõîäÿ÷è òó ñàìó â³ä-
ñòàíü. Öå îçíà÷àº, ùî êóòîâå ïðèñêîðåííÿ ò³ëà,
ùî îáåðòàºòüñÿ, îáåðíåíî ïðîïîðö³éíå êâàäðàòó
â³äñòàí³ â³ä îñ³ îáåðòàííÿ äî öüîãî ò³ëà.
Íà îñíîâ³ öèõ äîñë³ä³â âèíèêàº íåîáõ³äí³ñòü
ââåäåííÿ íîâèõ âåëè÷èí, ùî õàðàêòåðèçóþòü
îáåðòàëüíèé ðóõ òâåðäîãî ò³ëà: ìîìåíòó ñèëè òà
ìîìåíòó ³íåðö³¿ ò³ëà.
Âåëè÷èíè, ùî õàðàêòåðèçóþòü îáåðòàëüíèé
ðóõ òâåðäîãî ò³ëà. Ìîìåíò ñèëè (
r
M ) – âåëè÷è-
íà, ÿêà õàðàêòåðèçóº îáåðòàëüíèé åôåêò ñèëè ï³ä
÷àñ ¿¿ ä³¿ íà òâåðäå ò³ëî. Íåõàé ñèëó
r
F ïðèêëàäåíî
äî òî÷êè À òâåðäîãî ò³ëà (ìàë. 138).
Ìîìåíò ñèëè
r
M â³äíîñíî íåðóõîìî¿ òî÷êè Î âè-
çíà÷àºòüñÿ âåêòîðíèì äîáóòêîì ðàä³óñà-âåêòîðà
r
r ,
ïðîâåäåíîãî ç òî÷êè Î ó òî÷êó ïðèêëàäàííÿ ñèëè
À, òà âåêòîðîì ñèëè
r
F:
= ×
r rr
[ ],M r F àáî M = Fr sinα,
r
r ³
r
F (ìàë. 138).
Ìàë. 137. Äîñë³äè ç äîñë³äæåííÿ
îáåðòàííÿ òâåðäîãî ò³ëà
Ìàë. 138. Íàïðÿì ä³¿ ñèëè
òà ïëå÷å ñèëè

146
Ð Î Ç Ä ² Ë 2
Ïëå÷å ñèëè (d) – íàéêîðîòøà â³äñòàíü â³ä îñ³
îáåðòàííÿ äî ë³í³¿ ä³¿ ñèëè: = αsind r .
Òîä³ ìîäóëü ìîìåíòà ñèëè ìîæíà âèðàçèòè ÿê äîáóòîê ìîäóëÿ ñèëè òà ¿¿
ïëå÷à:
=M Fd .
Îäèíèöÿ ìîìåíòó ñèëè â Ñ² – íüþòîí íà ìåòð, [M] = 1 Í · ì.
Ìîìåíò ñèëè íàçèâàþòü ùå îáåðòàëüíèì ìîìåíòîì. Ïðèéíÿòî ââàæàòè
ìîìåíò ñèëè â³ä’ºìíèì, ÿêùî ò³ëî îáåðòàºòüñÿ ï³ä ä³ºþ ö³º¿ ñèëè ïðîòè ãîäèí-
íèêîâî¿ ñòð³ëêè, ³ äîäàòíèì, ÿêùî ò³ëî îáåð-
òàºòüñÿ çà ãîäèííèêîâîþ ñòð³ëêîþ (ç ïîãëÿäó
÷èòà÷à).
Âåêòîð ìîìåíòó ñèëè íàïðàâëåíèé âçäîâæ
îñ³ îáåðòàííÿ (ìàë. 139).
Âèõîäÿ÷è ç îçíà÷åííÿ ìîìåíòó ñèëè, ñòàº
çðîçóì³ëèì, ÷îìó îáåðòàííÿ ò³ëà, ùî ìàº íå-
ðóõîìó â³ñü, ìîæå âèêëèêàòè ëèøå ñèëà, íå
ïàðàëåëüíà ö³é îñ³ ³ òàêà, ÿêà ¿¿ íå ïåðåòèíàº.
Íàñòóïíîþ âåëè÷èíîþ, ùî õàðàêòåðèçóº
îáåðòàëüíèé ðóõ òâåðäîãî ò³ëà íàâêîëî íåðó-
õîìî¿ îñ³, º ìîìåíò ³íåðö³¿.
Ìîìåíò ³íåðö³¿ (J) ò³ëà â³äíîñíî îñ³ – ñêàëÿðíà
âåëè÷èíà, ÿêà º ì³ðîþ ³íåðòíîñò³ ò³ëà â îáåðòàëü-
íîìó ðóñ³ íàâêîëî ö³º¿ îñ³. Â³ä³ãðàº òàêó ñàìó ðîëü,
ÿê ³ ìàñà ó ïîñòóïàëüíîìó ðóñ³. Ìîìåíò ³íåðö³¿ ìà-
òåð³àëüíî¿ òî÷êè (àáî åëåìåíòà ìàñè), ùî ðóõàºòüñÿ
ïî êîëó ðàä³óñîì r âèçíà÷àºòüñÿ çà ôîðìóëîþ
J = mr 2
.
Îäèíèöÿ ìîìåíòó ³íåðö³¿ ê³ëîãðàì-ìåòð ó
êâàäðàò³, [J] = 1 ⋅ 2
êã ì .
Îñíîâíå ð³âíÿííÿ äèíàì³êè îáåðòàëüíî-
ãî ðóõó òâåðäîãî ò³ëà íàâêîëî íåðóõîìî¿ îñ³.
Äëÿ âèâåäåííÿ îñíîâíîãî ð³âíÿííÿ äèíàì³êè
îáåðòàëüíîãî ðóõó òâåðäîãî ò³ëà íàâêîëî íåðó-
õîìî¿ îñ³ âèîêðåìèìî íåâåëèêèé åëåìåíò ìàñè
öüîãî ò³ëà – òî÷êó ìàñîþ m. Íåõàé íà öþ òî÷êó
ìàñîþ m, ùî ðîçòàøîâàíà íà â³äñòàí³ r â³ä îñ³
îáåðòàííÿ, ä³º ó ïëîùèí³ îáåðòàííÿ ïîñò³éíà
ñèëà F, íàïðàâëåíà ïåðïåíäèêóëÿðíî äî ðàä³-
óñà (ìàë. 140).
Çà äðóãèì çàêîíîì Íüþòîíà τ=F ma .
Ìàë. 139. Íàïðÿì âåêòîðà
ìîìåíòó ñèëè
Ìàë. 140. Îáåðòàííÿ
òî÷êè òâåðäîãî ò³ëà

147
Îñê³ëüêè äëÿ îáåðòàëüíîãî ðóõó ñóòòºâèì º ìîìåíò ñèëè, òî ïîìíîæèìî
îáèäâ³ ÷àñòèíè ð³âíÿííÿ íà r – â³äñòàíü â³ä îñ³ îáåðòàííÿ äî ë³í³¿ ä³¿ ñèëè (ó
íàøîìó âèïàäêó r = d): Fr = maτ
r.
Îñê³ëüêè Fd = M, òî, âðàõîâóþ÷è öå ³ òå, ùî aτ
= εr, îòðèìóºìî: M = mεr2
.
Âåëè÷èíà mr2
º ïîñò³éíîþ ïðè çàäàíîìó çíà÷åíí³
m òà r ³ º ìîìåíòîì ³íåðö³¿ òî÷êè J, ùî îáåðòà-
ºòüñÿ.
Äëÿ òâåðäîãî ò³ëà, ùî ñêëàäàºòüñÿ ç n ìàëèõ åëå-
ìåíò³â ìàñè, ìîìåíò ³íåðö³¿ ìîæíà âèçíà÷èòè, äî-
äàâøè ìîìåíòè ³íåðö³¿ åëåìåíò³â.
=
= ∑ 2
1
n
i i
i
J m r .
Òàêèì ÷èíîì, îñíîâíå ð³âíÿííÿ äèíàì³êè îáåð-
òàëüíîãî ðóõó òâåðäîãî ò³ëà íàâêîëî íåðóõîìî¿
îñ³ ìàº âèãëÿä
r
M = J ε
r
.
Öåé âèðàç òîòîæíèé ôîðìóë³ F = ma, äå ñèëà F çàì³íåíà ìîìåíòîì ñèëè M,
çàì³ñòü ïðèñêîðåííÿ a – êóòîâå ïðèñêîðåííÿ ε, à ðîëü ìàñè m âèêîíóº âåëè÷è-
íà J – ìîìåíò ³íåðö³¿ ò³ëà.
Çâ³äñè âèïëèâàº, ùî êóòîâå ïðèñêîðåííÿ, ÿêå îòðèìóº òâåðäå ò³ëî âíà-
ñë³äîê ä³¿ ìîìåíòó ñèëè, ïðÿìî ïðîïîðö³éíå çíà÷åííþ öüîãî ìîìåíòó ñèëè òà
îáåðíåíî ïðîïîðö³éíå ìîìåíòó ³íåðö³¿ ò³ëà: ε
r
=
r
M/J.
Ìîìåíò ³íåðö³¿ ò³ëà (J) îäíî÷àñíî âðàõîâóº
âïëèâ íà êóòîâå ïðèñêîðåííÿ ìàñè ò³ëà, éîãî ôîð-
ìè, ãåîìåòðè÷íèõ ðîçì³ð³â, ðîçòàøóâàííÿ îñ³ îáåð-
òàííÿ òà ðîçïîä³ë ìàñè ïî îá’ºìó ò³ëà.
Ó òàáëèö³ íà ñ. 148 ïîäàíî ìîìåíòè ³íåðö³¿ äåÿêèõ îäíîð³äíèõ ò³ë.
Ùî òàêå ìîìåíò ñèëè? Çà ÿêîþ ôîðìóëîþ â³í âèçíà÷àºòüñÿ? ßêèé íà-1.
ïðÿì ìàº âåêòîð ìîìåíòó ñèëè?
Ùî òàêå ïëå÷å ñèëè?2.
Ùî òàêå ìîìåíò ³íåðö³¿ ò³ëà? Â³ä ÷îãî çàëåæèòü ìîìåíò ³íåðö³¿ ïåâíîãî3.
ò³ëà?
Ïîÿñí³òü äîñë³äè ç îáåðòàííÿ òâåðäîãî ò³ëà. ßê³ âèñíîâêè ìîæíà çðîáè-4.
òè ç òàêèõ äîñë³ä³â?
Çàïèø³òü îñíîâíå ð³âíÿííÿ äèíàì³êè îáåðòàëüíîãî ðóõó òâåðäîãî ò³ëà.5.

148
Ð Î Ç Ä ² Ë 2
Ìîìåíòè ³íåðö³¿ ò³ë
Ò³ëî
ßê ïðîõîäèòü
â³ñü îáåðòàííÿ
J
Òîíêèé ñòåðæåíü
ìàñîþ m ³ äîâæè-
íîþ l
Ïåðïåíäèêóëÿð-
íî äî ñòåðæíÿ,
÷åðåç éîãî ñåðå-
äèíó
2
12
ml
Òîíêèé ñòåðæåíü
ìàñîþ m ³ äîâæè-
íîþ l
Ïåðïåíäèêó-
ëÿðíî äî ñòåðæ-
íÿ, ÷åðåç éîãî
ê³íåöü
2
3
ml
Òîíêà òðóáêà àáî
ê³ëüöå ðàä³óñîì r
Çá³ãàºòüñÿ ç â³-
ññþ òðóáè
2
mr
Êðóãëèé äèñê àáî
öèë³íäð ìàñîþ m ³
ðàä³óñîì r
íî äî ïëîùèíè
äèñêà, ÷åðåç
éîãî öåíòð
2
2
mr
Êóëÿ ìàñîþ m ³
ðàä³óñîì r
Çá³ãàºòüñÿ ç ä³à-
ìåòðîì
2
2
5
mr
Êðóãëèé öèë³íäð
ìàñîþ m, äîâæè-
íîþ l ³ ðàä³óñîì r
íî äî îñ³ öèë³í-
äðà, ÷åðåç éîãî
ñåðåäèíó
⎛ ⎞
+⎜ ⎟
⎝ ⎠
2 2
12 4
l r
m

149
Ïðè ðîçâ’ÿçóâàíí³ çàäà÷ ñë³ä çàñòîñîâóâàòè îñíîâíå ð³âíÿííÿ äèíàì³êè
òà ê³íåìàòè÷í³ ð³âíÿííÿ îáåðòàëüíîãî ðóõó, à òàêîæ ôîðìóëè, ùî îïèñóþòü
âëàñòèâîñò³ ñèë, ÿê³ ä³þòü ì³æ ò³ëàìè.
Çàäà÷à 1. Îäíîð³äíèé äèñê ìàñîþ 2500 êã òà ðàä³óñîì 1 ì îáåðòàºòüñÿ íà-
âêîëî îñ³, ùî ïðîõîäèòü ÷åðåç éîãî öåíòð, çä³éñíþþ÷è 600 îá/õâ. Äî äèñêà
ïðèòèñêàþòü ïëàñòèíó. ßêîþ ìàº áóòè ñèëà, ùî ä³º ïî äîòè÷í³é äî äèñêà, ùîá
÷åðåç 5 õâ ê³ëüê³ñòü îáåðò³â ñòàëà óäâ³÷³ ìåíøîþ?
Äàíî:
m = 2500 êã;
r = 1 ì;
1 600 10n = = ;
t = 5 õâ = 300 ñ;
n2
/n1
= 2
Çà îñíîâíèì ð³âíÿííÿì äè-
íàì³êè îáåðòàëüíîãî ðóõó òâåð-
äîãî ò³ëà íàâêîëî íåðóõîìî¿ îñ³
M = εJ.
Ó íàøîìó âèïàäêó (ìàë. 141):
=M Fr , =
2
2
mr
J ,F – ?
πn − πn∆ω
ε = = 2 12 2
t t
.
Ï³äñòàâëÿþ÷è ö³ âèðàçè â îñíîâíå ð³âíÿííÿ, îòðèìóºìî:
π n −n
= 2 1( )rm
F
t
.
Ï³ñëÿ ï³äñòàíîâêè ÷èñëîâèõ çíà÷åíü: F = −131 Í.
Çíàê ì³íóñ «–» âêàçóº íà ãàëüì³âíó ä³þ ñèëè.
Â³äïîâ³äü: F = −131 Í.
Çàäà÷à 2. ×åðåç áëîê, ùî ìàº ôîðìó äèñêà, ìàñîþ 0,1 êã òà ðàä³óñîì 0,025 ì
ïåðåêèíóòî íèòêó, äî ê³íö³â ÿêî¿ ï³äâ³øåí³ âàíòàæ³ ìàñîþ 1,2 òà 0,8 êã. Âèçíà-
÷èòè ð³çíèöþ ñèë íàòÿãó íèòêè ç îáîõ áîê³â áëîêà òà ïðèñêîðåííÿ âàíòàæ³â.
Ââàæàòè, ùî íèòêà íåðîçòÿæíà ³ íå ìîæå êîâçàòè ïî áëîêó.
Äàíî:
m = 0,1 êã;
r = 0,025 ì;
m1
= 1,2 êã;
m2
= 0,8 êã
Çðîáèìî ñõåìàòè÷íèé ìàëþíîê äî çàäà÷³ (ìàë. 142).
Îñê³ëüêè íèòêà íåðîçòÿæíà, òî ïðèñêîðåííÿ âàíòàæ³â îäíàêî-
â³: = =
r r
1 2à à à .
Âðàõîâóþ÷è òå, ùî çà òðåò³ì çàêîíîì Íüþòîíà ′= −
r r
1 1T T ,
′ = −
r r
2 2T T , òî ìîæíà çàïèñàòè ′ = =
r r
1 1 1T T T ; ′ = =
r r
2 2 2T T T .
∆T – ?
a – ?
Çàïèøåìî ð³âíÿííÿ ðóõó âàíòàæ³â ó ïðîåêö³ÿõ íà âèáðàíó â³ñü Y (ìàë. 142):
− =1 1 1T m g m a (1);
− = −2 2 2T m g m a (2).
Ìîìåíòè, ùî ñòâîðþþòüñÿ ñèëàìè 1T ³ 2T , íàïðàâëåí³ ó ïðîòèëåæí³ ñòîðî-
íè, îòæå, îñíîâíå ð³âíÿííÿ äèíàì³êè îáåðòàëüíîãî ðóõó áëîêó íàáóâàº âèãëÿ-
äó: (T1
− T2
)r = Jε.
Ìàë. 141.
Ãàëüì³âíà ä³ÿ ñèëè

150
Ð Î Ç Ä ² Ë 2
Îñê³ëüêè íèòêà íå êîâçàº, òî áëîê ï³ä ä³ºþ âàíòàæ³â
îáåðòàºòüñÿ ç êóòîâèì ïðèñêîðåííÿì ε =
a
r
. Ìîìåíò ³íåð-
ö³¿ áëîêà (äèñêà) =
2
2
mr
J .
Ï³äñòàâëÿþ÷è ö³ âèðàçè â îñíîâíå ð³âíÿííÿ äèíàì³êè
îáåðòàëüíîãî ðóõó, ìàºìî:
− = ⋅
2
1 2( )
2
mr a
T T r
r
(3).
Ðîçâ’ÿçóþ÷è ñèñòåìó ð³âíÿíü (1 – 3) îòðèìóºìî:
−
=
+ +
2 1
2 1
( )
2
m m g
a
m
m m
;
−
− =
+ +
2 1
1 2
2 1
( )
2( )
m m mg
T T
m m m
.
Ï³äñòàâëÿþ÷è ÷èñëîâ³ çíà÷åííÿ, îòðèìóºìî:
T1
− T2
≈ 0,1 Í, ≈ 2
1,9 ì ña .
Â³äïîâ³äü: T1
− T2
≈ 0,1 Í, ≈ 2
1,9 ì ña .
Вправа 24
1. Íà áàðàáàí ðàä³óñîì 0,5 ì íàìîòàíî íèòêó, äî ê³íöÿ ÿêî¿ ïðèâ’ÿçàíî
âàíòàæ ìàñîþ 10 êã. Âèçíà÷èòè ìîìåíò ³íåðö³¿ áàðàáàíà, ÿêùî âàíòàæ îïóñ-
êàºòüñÿ ç³ ñòàëèì ïðèñêîðåííÿì 2 ì/ñ2
.
2. Ê³ëüöå ìàñîþ 1 êã ³ ðàä³óñîì 0,2 ì îáåðòàºòüñÿ ç êóòîâîþ øâèäê³ñòþ
100 ðàä/ñ. Ê³ëüöå êëàäóòü íà ãîðèçîíòàëüíó ïîâåðõíþ. Âíàñë³äîê òåðòÿ ê³ëüöå
çóïèíÿºòüñÿ ÷åðåç 10 ñ. Âèçíà÷èòè êîåô³ö³ºíò òåðòÿ.
3. Äèñê ìàñîþ 10 êã ³ ðàä³óñîì 10 ñì â³ëüíî îáåðòàºòüñÿ íàâêîëî îñ³, ùî
ïðîõîäèòü ÷åðåç öåíòð ç êóòîâîþ ÷àñòîòîþ 6 ðàä/ñ. Ïðè ãàëüìóâàíí³ äèñê çó-
ïèíÿºòüñÿ çà 5 ñ. Âèçíà÷èòè ãàëüì³âíèé ìîìåíò.
4. Âèçíà÷èòè ãàëüì³âíèé ìîìåíò, ÿêèì ìîæíà çóïèíèòè çà 20 ñ ìàõîâå êî-
ëåñî ìàñîþ 50 êã, ðîçïîä³ëåíîþ ïî îáîäó êîëåñà, ³ ðàä³óñîì 30 ñì. Êóòîâà ÷àñ-
òîòà îáåðòàííÿ êîëåñà – 20 ðàä/ñ.
5. Äî îáîäà îäíîð³äíîãî äèñêà ðàä³óñîì 0,2 ì ïðèêëàäåíà ïî äîòè÷í³é ñèëà
98,1 Í. Ïðè îáåðòàíí³ íà äèñê ä³º ìîìåíò ñèëè òåðòÿ 4,9 Í · ì. Âèçíà÷èòè ìàñó
äèñêà, ÿêùî â³í îáåðòàºòüñÿ ç³ ñòàëèì êóòîâèì ïðèñêîðåííÿì 100 ðàä/ñ2
.
6. Îäíîð³äíèé ñòåðæåíü çàâäîâæêè 1 ì ³ ìàñîþ 0,5 êã îáåðòàºòüñÿ ó âåð-
òèêàëüí³é ïëîùèí³ íàâêîëî ãîðèçîíòàëüíî¿ îñ³, ùî ïðîõîäèòü ÷åðåç ñåðåäèíó
ñòåðæíÿ. Ç ÿêèì êóòîâèì ïðèñêîðåííÿì îáåðòàºòüñÿ ñòåðæåíü, ÿêùî íà íüîãî
ä³º ìîìåíò ñèëè 98,1 ìÍ · ì.
7. Ìàõîâèê, ìîìåíò ³íåðö³¿ ÿêîãî 63,6 êã · ì2
, îáåðòàºòüñÿ ç êóòîâîþ øâèä-
ê³ñòþ 31,4 ðàä/ñ. Âèçíà÷èòè ìîìåíò ñèëè ãàëüìóâàííÿ, ï³ä ä³ºþ ÿêîãî ìàõî-
âèê çóïèíèòüñÿ çà 20 ñ. Ìàõîâèê ââàæàòè îäíîð³äíèì äèñêîì.
Ìàë. 142.
Ñõåìàòè÷íèé
ìàëþíîê äî çàäà÷³ 2

151
Ñòàòèêà
СТАТИКА
§ 27 Рівновага тіл
Óìîâè ð³âíîâàãè ò³ë.
Ïàðà ñèë.
Öåíòð òÿæ³ííÿ ³ öåíòð ìàñ
Óìîâè ð³âíîâàãè ò³ë. Ðîçä³ë ìåõàí³êè, â ÿêîìó âèâ÷àþòüñÿ óìîâè ð³âíî-
âàãè ò³ë, íàçèâàºòüñÿ ñòàòèêîþ.
Ð³âíîâàãîþ ò³ëà íàçèâàþòü òàêèé ñòàí ìåõàí³÷-
íî¿ ñèñòåìè, â ÿêîìó ò³ëà çàëèøàþòüñÿ íåðóõîìè-
ìè â³äíîñíî îáðàíî¿ ³íåðö³àëüíî¿ ñèñòåìè â³äë³êó.
(Ïðè öüîìó â³äíîñíî áóäü-ÿêî¿ ³íøî¿ ³íåðö³àëüíî¿
ñèñòåìè â³äë³êó ò³ëî ðóõàòèìåòüñÿ ïîñòóïàëüíî ç
ïîñò³éíîþ øâèäê³ñòþ.)
Çã³äíî ç äðóãèì çàêîíîì Íüþòîíà, äëÿ òîãî ùîá ò³ëî çàëèøàëîñü â ñïîêî¿
(â³äíîñíî îáðàíî¿ ñèñòåìè â³äë³êó), íåîáõ³äíî, ùîá âåêòîðíà ñóìà âñ³õ ïðèêëà-
äåíèõ äî ò³ëà ñèë äîð³âíþâàëà íóëþ.
Òîìó ïåðøà óìîâà ð³âíîâàãè äëÿ ò³ë, ùî íå îáåðòàþòüñÿ, ôîðìóëþºòüñÿ òàê:
Ò³ëî ïåðåáóâàòèìå â ð³âíîâàç³, ÿêùî ð³âíîä³éíà
ïðèêëàäåíèõ ñèë äîð³âíþº íóëþ:
=
=∑
r
1
0
n
i
i
F .
Ó êîîðäèíàòí³é ôîðì³: àëãåáðà¿÷íà
ñóìà ïðîåêö³é ñèë, ïðèêëàäåíèõ äî ò³ëà, íà
äîâ³ëüíó â³ñü äîð³âíþº íóëþ.
Íà ìàë. 143 ïîêàçàíî ïðèêëàä ð³âíîâà-
ãè òâåðäîãî ò³ëà ï³ä ä³ºþ òðüîõ ñèë. Òî÷êà
ïåðåòèíó Î ë³í³é ä³¿ ñèë
r
1F ³
r
2F íå çá³ãà-
ºòüñÿ ç òî÷êîþ ïðèêëàäàííÿ ñèëè òÿæ³ííÿ
(öåíòðîì ìàñ Ñ), àëå ïðè ð³âíîâàç³ ö³ òî÷êè
îáîâ’ÿçêîâî ïîâèíí³ çíàõîäèòèñü íà îäí³é
âåðòèêàë³.
Äëÿ îá÷èñëåííÿ ð³âíîä³éíî¿ ñèë, ÿê âàì
óæå â³äîìî, âñ³ ñèëè çâîäÿòüñÿ äî îäí³º¿ òî÷êè.
Ìàë. 143. Ïðèêëàä âèêîíàííÿ
ïåðøî¿ óìîâè ð³âíîâàãè

152
Ð Î Ç Ä ² Ë 2
ßêùî ó êîíêðåòí³é çàäà÷³ ò³ëî ìîæå ðîç-
ãëÿäàòèñü ÿê ìàòåð³àëüíà òî÷êà, âèêîíàííÿ
ïåðøî¿ óìîâè ð³âíîâàãè äîñòàòíüî äëÿ òîãî,
ùîá ò³ëî çàëèøàëîñü ó ñïîêî¿. Âèêîðèñòîâóþ-
÷è ïåðøó óìîâó ð³âíîâàãè, ìîæíà ðîçðàõîâó-
âàòè ñèëè, ÿê³ ä³þòü ç áîêó ò³ëà (ÿêå ïåðåáóâàº
â ñïîêî¿) íà ê³ëüêà îïîð àáî ï³äâ³ñ³â.
ßêùî â çàäà÷³ ò³ëî íå ìîæå ðîçãëÿäàòèñü ÿê
ìàòåð³àëüíà òî÷êà, ³ ñèëè, ùî ä³þòü íà ò³ëî, ïðè-
êëàäåí³ íå â îäí³é òî÷ö³, òî ò³ëî ìîæå îáåðòàòèñÿ.
Îáåðòàëüíà ä³ÿ õàðàêòåðèçóºòüñÿ ìîìåí-
òîì ñèëè. Ùîá ò³ëî, çàêð³ïëåíå íà íåðóõîì³é
îñ³, ïåðåáóâàëî â ð³âíîâàç³ (ìàë. 144), íåîáõ³ä-
íå âèêîíàííÿ äðóãî¿ óìîâè ð³âíîâàãè:
Ò³ëî ïåðåáóâàòèìå ó ð³âíîâàç³, ÿêùî àëãåáðà¿÷íà
ñóìà ìîìåíò³â íà áóäü-ÿêèé íàïðÿì íåðóõîìî¿ îñ³
äîð³âíþº íóëþ:
Íàãàäóºìî: ùî ïðèéíÿòî ââàæàòè ìîìåíò ñèëè â³ä’ºìíèì, ÿêùî ò³ëî îáåð-
òàºòüñÿ ï³ä ä³ºþ ö³º¿ ñèëè ïðîòè ãîäèííèêîâî¿
ñòð³ëêè, ³ äîäàòíèì, ÿêùî ò³ëî îáåðòàºòüñÿ
çà ãîäèííèêîâîþ ñòð³ëêîþ.
Òàêó óìîâó ùå íàçèâàþòü ïðàâèëîì
ìîìåíò³â. Òàê äëÿ ò³ëà, çîáðàæåíîãî íà
ìàë. 155. äðóãà óìîâà ð³âíîâàãè ìàº âèãëÿä:
+ − − =1 1 3 3 2 2 4 4 0Fd F d F d F d .
Çâåðí³òü óâàãó! Íà ïî÷àòêó âèâ÷åííÿ
äèíàì³êè ïîñòóïàëüíîãî ðóõó ò³ëà (§ 16) ìè
äîìîâèëèñÿ òàê çîáðàæàòè âåêòîðè ñèë, ùî
ä³þòü íà ò³ëî, í³áè âîíè ïðèêëàäåí³ äî îäí³-
º¿ òî÷êè ò³ëà. Òåïåð çðîçóì³ëî, ùîá ò³ëî ðóõà-
ëîñÿ ïîñòóïàëüíî, íåîáõ³äíî, àáè ë³í³¿ ä³¿ ñèë
(÷åðâîí³ âåêòîðè íà ìàë. 145) ïåðåòèíàëèñÿ â
îäí³é òî÷ö³ Ñ – öåíòð³ òÿæ³ííÿ (öåíòð³ ìàñ).
Áóäü-ÿêà ñèëà, ë³í³ÿ ä³¿ ÿêî¿ íå ïðîõîäèòü
÷åðåç öåíòð òÿæ³ííÿ (÷îðí³ âåêòîðè íà ìàëþí-
êó), âèêëèêàº îáåðòàííÿ.
Çàãàëîì, êîëè ò³ëî ìîæå îäíî÷àñíî ðóõàòèñÿ ïîñòóïàëüíî òà îáåðòàòèñÿ,
äëÿ ð³âíîâàãè íåîáõ³äíå âèêîíàííÿ îáîõ óìîâ ð³âíîâàãè.
Ðîçãëÿíåìî êîëåñî, ùî êîòèòüñÿ ïî ãîðèçîíòàëüí³é ïîâåðõí³ (ìàë. 146).
Ó áóäü-ÿêèé ìîìåíò ÷àñó äëÿ íüîãî âèêîíóþòüñÿ óìîâè ð³âíîâàãè: ð³âíîä³éíà
ñèë ³ ìîìåíò ñèë, ùî ä³þòü íà êîëåñî, äîð³âíþþòü íóëþ.
Óìîâè ð³âíîâàãè íå º óìîâàìè ñòàíó ñïîêîþ ò³ëà.
Ìàë. 144. Ñèëè, ùî ä³þòü íà ò³ëî,
çàêð³ïëåíå íà íåðóõîì³é îñ³ Î
Ìàë. 145. Ñóìàðíà ä³ÿ ñèë
(âåêòîðè ÿêèõ çîáðàæåí³
÷åðâîíèì êîëüîðîì) çóìîâëþº
ïîñòóïàëüíèé ðóõ ò³ëà, à ñóìàðíà
ä³ÿ ñèë (âåêòîðè ÿêèõ çîáðàæåí³
÷îðíèì êîëüîðîì) –
îáåðòàííÿ ò³ëà

153
Ñòàòèêà
Ïàðà ñèë. Ïàðà ñèë íå ìàº ð³âíîä³éíî¿ ³ îáåðòàº ò³ëî, íà ÿêå âîíà ä³º.
Ïàðîþ ñèë íàçèâàþòü äâ³ ð³âí³ çà ìîäóëåì ïàðà-
ëåëüí³ ñèëè, ÿê³ íàïðàâëåí³ â ïðîòèëåæí³ ñòîðîíè.
Íàéêîðîòøà â³äñòàíü ì³æ íàïðÿìêàìè ä³¿ ñèë íà-
çèâàºòüñÿ ïëå÷åì ïàðè.
Ðîçãëÿíåìî âèïàäîê, çîáðàæåíèé íà ìàë. 147, à.
Îáèäâ³ ñèëè îáåðòàþòü ò³ëî çà ãîäèííèêîâîþ ñòð³ëêîþ
³ ¿õ ìîìåíòè =1 1M Fd òà =2 2M Fd . Òîä³ ìîìåíò ïàðè
ñèë âèçíà÷àºòüñÿ àëãåáðà¿÷íîþ ñóìîþ ìîìåíò³â
= + = + =1 2 1 2( )M Fd Fd F d d Fl ,
äå l – ïëå÷å ïàðè ñèë. Òàêèé ñàìèé ðåçóëüòàò îòðèìóº-
ìî ³ ó âèïàäêó, çîáðàæåíîìó íà ìàë. 147, á. Òóò ìîìåíò
=1 1M Fd â³ä’ºìíèé, à ìîìåíò =2 2M Fd äîäàòíèé. Ìî-
ìåíò ïàðè ñèë:
= − + = − =1 2 2 1( )M Fd Fd F d d Fl .
Òàêèì ÷èíîì, ìîìåíò ïàðè ñèë â³äíîñíî áóäü-
ÿêî¿ îñ³ îáåðòàííÿ äîð³âíþº äîáóòêó îäí³º¿ ³ç
ñèë íà ïëå÷å ïàðè.
Ïðèêëàäàìè îáåðòàííÿ ò³ëà ï³ä ä³ºþ ïàðè ñèë º îáåðòàííÿ ãàéêè, ÿêó çà-
êðó÷óþòü; îáåðòàííÿ çâàðåíîãî ÿéöÿ íà ïîâåðõí³ ñòîëà, ÿêùî éîãî ðîçêðóòè-
òè âåëèêèì òà âêàç³âíèì ïàëüöÿìè; îáåðòàííÿ ñòð³ëêè êîìïàñà ó ìàãí³òíîìó
ïîë³ Çåìë³ òîùî.
Öåíòð òÿæ³ííÿ. Öåíòð ìàñ. Ìè íåîäíîðàçîâî ãîâîðèëè ïðî öåíòð òÿæ³ííÿ
÷è öåíòð ìàñ. Ç’ÿñóºìî ñóòü öèõ ïîíÿòü.
Öåíòðîì òÿæ³ííÿ ò³ëà íàçèâàþòü òî÷êó Ñ âñå-
ðåäèí³ ò³ëà (àáî ïîçà íèì), â³äíîñíî ÿêî¿ ñóìà ìî-
ìåíò³â ñèë òÿæ³ííÿ, ÿê³ ä³þòü íà îêðåì³ ÷àñòèíè
ò³ëà, äîð³âíþº íóëþ.
Ìàë. 147. Ïàðà ñèë
Ìàë. 146. Ð³âíîä³éíà ñèë ³ ìîìåíò ñèë,
ùî ä³þòü íà êîëåñî, äîð³âíþþòü íóëþ

154
Ð Î Ç Ä ² Ë 2
Ïîëîæåííÿ öåíòðà òÿæ³ííÿ áóäü-
ÿêîãîò³ëàìîæíàâèçíà÷èòè,ðîçáèâàþ÷è
ò³ëî íà ÷àñòèíè ïðîñò³øî¿ ôîðìè ³ âèçíà-
÷àþ÷è öåíòð ïðèêëàäàííÿ ð³âíîä³éíî¿
ñèë òÿæ³ííÿ, ÿê³ ä³þòü íà ö³ ÷àñòèíè.
Íàïðèêëàä, º òîíêà îäíîð³äíà ïëàñ-
òèíêà (ìàë. 148, à).
Ðîç³á’ºìî ïëàñòèíêó íà áàãàòî ìà-
ëèõ, ð³âíèõ ì³æ ñîáîþ ÷àñòèí. Íà êîæíó
ç íèõ ä³º ñèëà òÿæ³ííÿ – âñ³ ö³ ñèëè ïàðà-
ëåëüí³ ³ ð³âí³ ì³æ ñîáîþ.
Ð³âíîä³éíà äâîõ ïàðàëåëüíèõ ñèë, íàïðàâëåíèõ
â îäíó ñòîðîíó, äîð³âíþº ¿õ ñóì³ é íàïðàâëåíà â òó
ñàìó ñòîðîíó. Òî÷êà ïðèêëàäàííÿ ð³âíîä³éíî¿ ä³-
ëèòü ïðÿìó, ùî ñïîëó÷àº òî÷êè ïðèêëàäàííÿ
ñêëàäîâèõ ñèë, íà â³äð³çêè, îáåðíåíî ïðîïîðö³éí³
ìîäóëÿì öèõ ñèë.
Îñê³ëüêè ó íàøîìó âèïàäêó ìîäóë³ ñèë îäíàêîâ³, òî ð³âíîä³éíó öèõ ñèë âè-
çíà÷àºìî ïîñë³äîâíèì äîäàâàííÿì ñïî÷àòêó äâîõ ñèë, ïîò³ì – ¿õ ð³âíîä³éíî¿ ³
òðåòüî¿ ñèëè, ð³âíîä³éíî¿ òðüîõ ñèë ç ÷åòâåðòîþ ³ ò. ä. Òàêèì ÷èíîì, òî÷êà ïðè-
êëàäàííÿ ð³âíîä³éíî¿ ñèë òÿæ³ííÿ çíàõîäèòüñÿ â öåíòð³ ïëàñòèíè – ó òî÷ö³ Ñ.
Íà ìàë. 148, á, â ïîêàçàíî ð³çí³ ïîëîæåííÿ ïëàñòèíêè ó ïðîñòîð³. Ïðè ïåðåì³-
ùåíí³ òà îáåðòàíí³ òâåðäîãî ò³ëà ïîëîæåííÿ éîãî öåíòðà òÿæ³ííÿ íå çì³íþºòüñÿ.
Öåíòð òÿæ³ííÿ îäíîð³äíîãî ïðÿìîêóòíîãî ñòåðæíÿ çíàõîäèòüñÿ ó éîãî ñå-
ðåäèí³, òðèêóòíèêà – ó òî÷ö³ ïåðåòèíó éîãî ìåä³àí, ïàðàëåëîãðàìà – ó òî÷ö³
ïåðåòèíó éîãî ä³àãîíàëåé, îäíîð³äíîãî ê³ëüöÿ – ó éîãî ãåîìåòðè÷íîìó öåíòð³.
Íàâåäåí³ ïðèêëàäè äîâîäÿòü:
ÿêùî ò³ëî ìàº öåíòð ñèìåòð³¿, òî öåíòð òÿæ³ííÿ çá³ãàºòüñÿ ç öåíòðîì ñè-
ìåòð³¿. ßêùî ò³ëî ìàº â³ñü ñèìåòð³¿, òî éîãî öåíòð òÿæ³ííÿ ëåæèòü íà ö³é
îñ³. ßêùî ò³ëî ìàº ïëîùèíó ñèìåòð³¿, òî éîãî öåíòð òÿæ³ííÿ ëåæèòü ó ö³é
ïëîùèí³.
Öåíòð òÿæ³ííÿ ìîæå ì³ñòèòèñü ³ ïîçà ò³ëîì, íàïðèêëàä, ê³ëüöÿ, ì’ÿ÷à ÷è
ñ³ðíèêîâî¿ êîðîáî÷êè.
Öåíòð ìàñ (éîãî ùå íàçèâàþòü öåíòðîì ³íåðö³¿)
– òî÷êà, ùî õàðàêòåðèçóº ðîçïîä³ë ìàñ ó ò³ë³ àáî
ñèñòåì³ ò³ë. Ðóõàºòüñÿ â³í ÿê ìàòåð³àëüíà òî÷êà,
äå çîñåðåäæåíà âñÿ ìàñà ñèñòåìè ³ íà ÿêó ä³þòü óñ³
ïðèêëàäåí³ äî ñèñòåìè çîâí³øí³ ñèëè.
Ïîëîæåííÿ öåíòðà ìàñ ò³ëà â îäíîð³äíîìó ïîë³ òÿæ³ííÿ çá³ãàºòüñÿ ç
ïîëîæåííÿì öåíòðà òÿæ³ííÿ.
Äåòàëüí³øå ïîíÿòòÿ öåíòðà ìàñ áóäå ðîçãëÿíóòî ó § 30.
Ìàë. 148. Ïîëîæåííÿ öåíòðà òÿæ³ííÿ
ïðè ð³çíèõ ïîëîæåííÿ ò³ëà
íå çì³íþºòüñÿ

155
Ñòàòèêà
Ñôîðìóëþéòå óìîâè ð³âíîâàãè ò³ëà.1.
Ùî òàêå ïàðà ñèë? ßê âèçíà÷àþòü ïëå÷å ïàðè ñèë?2.
Ùî òàêå öåíòð òÿæ³ííÿ ò³ëà? ßê âèçíà÷èòè éîãî ïîëîæåííÿ?3.
Ùî òàêå öåíòð ìàñ?4.
§ 28 Види рівноваги
Ð³âíîâàãà ò³ë, ùî ìàþòü òî÷êó îïîðè
Ð³âíîâàãà ò³ë, ùî ìàþòü â³ñü îáåðòàííÿ.
Ð³âíîâàãà ò³ë íà îïîð³.
Ð³âíîâàãà ò³ë, ùî ìàþòü òî÷êó îïîðè. Äëÿ ò³ë, ùî ìàþòü òî÷êó îïîðè ìîæ-
ëèâ³ òðè âèäè ð³âíîâàãè: áàéäóæà, ñò³éêà ³ íåñò³éêà.
Áàéäóæà ð³âíîâàãà – öå êîëè çà áóäü-ÿêîãî â³äõèëåííÿ ò³ëî ïåðåáóâàº ó
ñòàí³ ð³âíîâàãè.
Ð³âíîâàãà íàçèâàºòüñÿ ñò³éêîþ, ÿêùî çà ìàëîãî â³äõèëåííÿ ò³ëà â³ä öüîãî
ïîëîæåííÿ ð³âíîâàãè âèíèêàþòü ñèëè ÷è ìîìåíòè ñèë, ÿê³ ïîâåðòàþòü éîãî ó
ñòàí ð³âíîâàãè.
Ð³âíîâàãà íàçèâàºòüñÿ íåñò³é-
êîþ, ÿêùî çà ìàëîãî â³äõèëåííÿ
ò³ëà â³ä ïîëîæåííÿ ð³âíîâàãè âè-
íèêàþòü ñèëè ÷è ìîìåíòè ñèë, ÿê³
â³ääàëÿþòü ò³ëî â³ä ïîëîæåííÿ ð³â-
íîâàãè.
Íàïðèêëàä, êóëÿ, ùî ëåæèòü
íà ãîðèçîíòàëüí³é ïîâåðõí³, ïåðå-
áóâàº ó ñòàí³ áàéäóæî¿ ð³âíîâàãè
(ìàë. 149, à), êóëÿ íà ïîâåðõí³ ñôå-
ðè – ïðèêëàä íåñò³éêî¿ ð³âíîâàãè
(ìàë. 149, á), à êóëÿ ó ââ³ãíóò³é ïî-
âåðõí³ (ìàë. 149, â) – ïðèêëàä ñò³éêî¿ ð³âíîâàãè.
Ð³âíîâàãà ò³ë, ùî ìàþòü â³ñü îáåðòàííÿ. Äëÿ ò³ë, ùî ìàþòü â³ñü îáåðòàííÿ,
òàêîæ ìîæëèâ³ âñ³ òðè âèäè ð³âíîâàãè.
Ð³âíîâàãà ò³ëà ³ç çàêð³ïëåíîþ â³ññþ îáåðòàí-
íÿ âèçíà÷àòèìåòüñÿ âçàºìíèì ïîëîæåííÿì öåíòðà
òÿæ³ííÿ ò³ëà ³ â³ññþ îáåðòàííÿ (çà óìîâè, ùî âîíè
çíàõîäÿòüñÿ íà îäí³é âåðòèêàëüí³é ïðÿì³é):
Ìàë. 149. Âèäè ð³âíîâàãè:
à – áàéäóæà; á – íåñò³éêà; â – ñò³éêà

156
Ð Î Ç Ä ² Ë 2
•áàéäóæà, ÿêùî â³ñü îáåðòàí-
íÿ O ïðîõîäèòü ÷åðåç öåíòð òÿæ³í-
íÿ ò³ëà Ñ (ìàë. 150, à);
•ñò³éêà, ÿêùî â³ñü îáåðòàííÿ
O çíàõîäèòüñÿ íàä öåíòðîì òÿæ³í-
íÿ Ñ (ìàë. 150, á);
•íåñò³éêà, ÿêùî â³ñü îáåðòàí-
íÿ O çíàõîäèòüñÿ íèæ÷å çà öåíòð
òÿæ³ííÿ Ñ (ìàë. 150, â).
Ð³âíîâàãà ò³ë íà îïîð³. Îñîáëèâèì âèïàäêîì º ð³âíîâàãà ò³ëà íà îïîð³. Ó
öüîìó âèïàäêó ñèëà ðåàêö³¿ îïîðè ïðèêëàäåíà íå äî îäí³º¿ òî÷êè, à ðîçïîä³-
ëåíà ïî îñíîâ³ îïîðè.
Ò³ëî, ùî ìàº îïîðó, ïåðåáóâàþòü ó ð³âíîâàç³,
ÿêùî âåðòèêàëü, ïðîâåäåíà ç éîãî öåíòðà òÿæ³ííÿ,
ïðîõîäèòü ÷åðåç ïëîùèíó îïîðè, òîáòî âñåðåäèí³
ô³ãóðè, ÿêó óòâîðþþòü íà ïëîùèí³ îïîðè ò³ëà.
Íàïðèêëàä, â³äîìà âåæà ó ì. Ï³çà (ìàë. 151). Âåð-
òèêàëüíà ë³í³ÿ ÑÑ′, ùî ïðîõîäèòü ÷åðåç öåíòð òÿæ³ííÿ
Ñ, â³äõèëåíà â³ä öåíòðà îñíîâè O íà 2,3 ì. Âåæà ïåðå-
êèíåòüñÿ, ÿêùî ë³í³ÿ ÑÑ′ âèõîäèòèìå çà ìåæ³ ïëîùè-
íè îñíîâè.
Íàçâ³òü âèäè ð³âíîâàãè ò³ë ³ óìîâè çà ÿêèõ âîíè1.
ìîæëèâ³.
Âèêîíàâøè ïîÿñíþâàëüí³ ðèñóíêè, îõàðàêòå-2.
ðèçóéòå âèäè ð³âíîâàãè ò³ë, ùî ìàþòü: òî÷êó îïîðè,
íåðóõîìó â³ñü îáåðòàííÿ, ïëîùó îïîðè. ßê³ âèäè ð³â-
íîâàãè ìîæëèâ³ äëÿ öèõ ò³ë?
Ïîÿñí³òü óìîâè ð³âíîâàãè êàìåíÿ, çîáðàæåíîãî3.
íà ìàë. 152.
Загальні рекомендації щодо
розв’язування задач із статики
Ó ñòàòèö³ âèêîðèñòîâóþòü äâà òèïè ð³âíÿíü, ÿê³
âèðàæàþòü óìîâó ð³âíîâàãè ò³ë:
1)
=
=∑1
0
n
i
i
F – ñóìà ïðîåêö³é ñèë, ùî ä³þòü íà ò³ëî,
íà áóäü-ÿêèé íàïðÿì äîð³âíþº íóëþ;
2)
=
=∑1
0
n
i
i
M – àëãåáðà¿÷íà ñóìà ìîìåíò³â ñèë íà
áóäü-ÿêèé íàïðÿì íåðóõîìî¿ îñ³ äîð³âíþº íóëþ.
Ìàë. 150. Áàéäóæà, ñò³éêà ³ íåñò³éêà
ð³âíîâàãà ò³ëà, ùî ìàº â³ñü îáåðòàííÿ
Ìàë. 151. Óìîâà
ð³âíîâàãè âåæ³
Ìàë. 152.
Ð³âíîâàãà êàìåíÿ

157
Ñòàòèêà
ßêùîò³ëîíåîáåðòàºòüñÿ,àìîæåðóõàòèñüò³ëüêèïîñòóïàëüíî³ïðèöüîìóïå-
ðåáóâàº â ð³âíîâàç³, òî ðåêîìåíäóºòüñÿ òàêà ïîñë³äîâí³ñòü ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàäà÷:
1. Âèêîíàòè ìàëþíîê, âêàçàâøè íà íüîìó âñ³ ñèëè, ùî ä³þòü íà ò³ëî.
2. Îáðàòè ñèñòåìó â³äë³êó. Íàïðÿìè îñåé êîîðäèíàò îáèðàòè òàê, ùîá áóëî
çðó÷íî âèçíà÷àòè ïðîåêö³¿ ñèë, ÿê³ ä³þòü íà ò³ëî.
3. Çàïèñàòè ð³âíÿííÿ ð³âíîâàãè. ßêùî ñèë íå á³ëüøå òðüîõ, òî çðó÷íî ïî-
áóäóâàòè òðèêóòíèê ñèë, ³, âèêîðèñòîâóþ÷è òåîðåìè Ï³ôàãîðà, ñèíóñ³â àáî êî-
ñèíóñ³â òà ³íø³ âëàñòèâîñò³ òðèêóòíèêà, âèçíà÷èòè íåâ³äîìó âåëè÷èíó.
ßêùî ò³ëî ìàº â³ñü îáåðòàííÿ, òî ï³ä ÷àñ ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàäà÷ äîòðèìóþòü-
ñÿ òàêî¿ ïîñë³äîâíîñò³:
1. Âèêîíàòè ìàëþíîê, âêàçàâøè ä³þ÷³ ñèëè, ïîçíà÷èòè ë³í³¿ ä³¿ ñèë ³ ïëå÷³ ñèë.
2. Ñêëàñòè ð³âíÿííÿ ìîìåíò³â ñèë â³äíîñíî îñ³ îáåðòàííÿ ç óðàõóâàííÿì
çíàê³â ìîìåíò³â. ßêùî â³ñü îáåðòàííÿ çà óìîâîþ çàäà÷³ íå çàäàíî, òðåáà âèáðà-
òè òàêó òî÷êó ò³ëà, ÿêó ìîæíà ââàæàòè íåðóõîìîþ. ×åðåç öþ òî÷êó ïðîâåñòè
â³ñü, â³äíîñíî ÿêî¿ âèçíà÷àòè îáåðòàëüí³ ìîìåíòè.
3. Çàïèñàòè îáèäâ³ óìîâè ð³âíîâàãè ò³ë: ð³âíîâàãó ñèë ³ ð³âíîâàãó ìîìåí-
ò³â. Ðîçâ’ÿçàòè ñêëàäåíó ñèñòåìó â³äíîñíî íåâ³äîìî¿ âåëè÷èíè.
Çàäà÷à 1. Âàíòàæ ìàñîþ 50 êã ï³äâ³øåíèé íà êðîí-
øòåéí³, ÿêèé ñêëàäàºòüñÿ ç ïîïåðå÷íî¿ áàëêè ÀÂ ³ óêîñè-
íè ÂÑ (ìàë. 153). Âèçíà÷èòè ñèëè ïðóæíîñò³, ùî âèíèêà-
þòü ó áàëö³ òà óêîñèí³, ÿêùî ∠ ABC = 45°.
Äàíî:
m = 50 êã;
∠ ABC = 45°
Âêàæåìî ñèëè (ìàë. 154), ùî ïðèêëà-
äåí³ ó òî÷ö³ Â: ñèëà ïðóæíîñò³
r
1F ñòèñíóòî¿
óêîñèíè ÂÑ, ñèëà ïðóæíîñò³
r
2F ðîçòÿãíó-
òî¿ áàëêè ÀÂ, ñèëà òÿæ³ííÿ: mg
r
.
F1
– ?
F2
– ?
Ð³âíîä³éíà ñèë
r
1F ³
r
2F âð³âíîâàæóº ñèëó mg
r
.
Óìîâà ð³âíîâàãè 1 2 0F F mg+ + =
r r r
.
Ó ïðîåêö³ÿõ íà êîîðäèíàòí³ îñ³ öÿ óìîâà ð³â-
íîâàãè çàïèñóºòüñÿ:
íà â³ñü Õ: F1
cosα − F2
= 0;
íà â³ñü Y: F1
sinα − P = 0.
Ðîçâ’ÿçóþ÷è ñèñòåìó ð³âíÿíü, îòðèìóºìî:
=
α
1
sin
mg
F ,
α
=
α
2
cos
sin
mg
F .
Ï³ñëÿ îá÷èñëåííÿ: =1 343 HF , =2 240 HF .
Â³äïîâ³äü: =1 343 HF , =2 240 HF .
Çàäà÷à 2. Äðàáèíà çàâäîâæêè 4 ì ïðèñòàâëå-
íà äî ãëàäåíüêî¿ ñò³íè ï³ä êóòîì 60° äî ï³äëîãè.
Êîåô³ö³ºíò òåðòÿ ì³æ äðàáèíîþ ³ ï³äëîãîþ – 0,33.
Íà ÿêó âèñîòó ìîæå ï³äíÿòèñü ëþäèíà äî òîãî, ÿê
äðàáèíà ïî÷íå ñêîâçàòè? Ìàñîþ äðàáèíè çíåõòóâàòè.
Ìàë. 154. Âåêòîðè ñèë,
ùî ïðèêëàäåí³ äî òî÷êè Â
Ìàë. 153.
Äî çàäà÷³ 1

158
Ð Î Ç Ä ² Ë 2
Äàíî:
l = 4 ì;
α = 60°;
µ = 0,3
Íà äðàáèíó ä³þòü ñèëè (ìàë. 155):
r
F – ñèëà òèñêó ëþäèíè íà äðà-
áèíó;
r
1N òà
r
2N – ñèëè ðåàêö³¿ îïîðè ñò³íè òà ï³äëîãè;
r
F òåð
– ñèëà òåð-
òÿ ì³æ äðàáèíîþ òà ï³äëîãîþ (çà óìîâîþ çàäà÷³ òåðòÿ ì³æ äðàáèíîþ
òà ñò³íîþ íåìàº).h – ?
Êîâçàííÿ äðàáèíè ìîæíà ðîçãëÿäàòè ÿê ñóêóï-
í³ñòü äâîõ ðóõ³â: îáåðòàëüíîãî â³äíîñíî îñ³, ùî ïðî-
õîäèòü ÷åðåç òî÷êó Î, òà ïîñòóïàëüíîãî (ó íàïðÿì³,
ïðîòèëåæíîìó îñ³ Õ).
Çàïèøåìî ïåðøó óìîâó ð³âíîâàãè
1 2 0òepN N F F+ + + =
r r r r
³ â³äïîâ³äíî â³äíîñíî îñåé:
îñ³ Õ: Fòåð
− N1
= 0 (1);
îñ³ Y: N2
− F = 0 (2).
Çàïèøåìî äðóãó óìîâó ð³âíîâàãè â³äíîñíî òî÷-
êè Î:
=1 1 2N d Fd àáî α = α1 sin cosN l Fh .
Çâ³äêè 1 1sin
tg
cos
N l N l
h
F F
α
= = α
α
.
Ç ð³âíÿííÿ (1) N1
= Fòåð
.
Ó ñâîþ ÷åðãó Fòåð
= µN2
= µF. Îòæå: h = µltgα; = ⋅ ⋅ ≈
1
0,33 4 0,8 ì
3
h ì .
Â³äïîâ³äü: h ≈ 0,8 ì.
Çàäà÷à 3. Îäíîð³äíà òîíêà ïëàñòèíêà ìàº ôîðìó êðóãà ðàä³óñîì R, â ÿêîìó
âèð³çàíî êðóãëèé îòâ³ð óäâîº ìåíøîãî ðàä³óñà, ùî äîòèêàºòüñÿ äî êðàþ ïëàñ-
òèíêè. Äå áóäå öåíòð òÿæ³ííÿ?
Äàíî:
R
Î÷åâèäíî, öåíòð òÿæ³ííÿ ïëàñòèíêè çíà-
õîäèòèìåòüñÿ íà ¿¿ ä³àìåòð³, ÿêèé ïðîõîäèòüx – ?
÷åðåç öåíòð îòâîðó (ìàë. 156) íà â³äñòàí³ x â³ä öåíòðà
ïëàñòèíêè O. Ñèëà òÿæ³ííÿ ïëàñòèíêè ç âèð³çàíèì
îòâîðîì m1
g ïðèêëàäåíà äî öüîãî öåíòðó. ßêùî âñòà-
âèòè âèð³çàíó ÷àñòèíó ïëàñòèíêè íà ïîïåðåäíº ì³ñöå,
òî ¿¿ ñèëà òÿæ³ííÿ: m2
g.
Ç óìîâè ð³âíîâàãè ïëàñòèíêè: =1 2
2
R
m gx m g .
Çâ³äêè = 2
12
m R
x
m
.
Âèðàçèìî ìàñó îäíîð³äíî¿ ïëàñòèíêè ÷åðåç ¿¿ ãóñòèíó ³ îá’ºì: = ρπ 2
m R h .
ùî ä³þòü íà äðàáèíó

159
Ñòàòèêà
Â³äïîâ³äíî ìàñà âèð³çàíî¿ ÷àñòèíè: = ρπ
2
2
4
R
m h .
Òîä³ ìàñà ïëàñòèíêè ç îòâîðîì
ρπ
= − =
2
1 2
3
4
R h
m m m .
Ï³äñòàâëÿþ÷è âèðàçè äëÿ ìàñ, îòðèìóºìî x = R/6.
Â³äïîâ³äü: x = R/6.
Вправа 25
1. Äî ê³íöÿ ñòåðæíÿ ÀÑ (ìàë. 157) çàâäîâæêè 2 ì, îäèí
ê³íåöüÿêîãîøàðí³ðíîïðèêð³ïëåíîäîñò³íè,à³íøèéï³äòðè-
ìóºòüñÿ òðîñîì ÂÑ çàâäîâæêè 2,5 ì, ï³äâ³ñèëè âàíòàæ ìàñîþ
120 êã. Âèçíà÷èòè ñèëè, ùî ä³þòü íà òðîñ ³ ñòåðæåíü.
2. Íà ïëîùèí³, ùî ìàº êóò íàõèëó äî ãîðèçîíòó α ,
ñòî¿òü öèë³íäð ðàä³óñîì r. ßêîþ ìàº áóòè íàéá³ëüøà âèñî-
òà, çà ÿêî¿ öèë³íäð ùå íå ïåðåêèäàºòüñÿ, ÿêùî â³í çðîáëå-
íèé ç îäíîð³äíîãî ìàòåð³àëó?
3. ×è ìîæå ëþäèíà ìàñîþ 60 êã ï³äí³ìàòèñü ïî òðè-
ìåòðîâ³é äðàáèí³ ìàñîþ 10 êã, ÿêà ñòî¿òü ï³ä êóòîì 30î
äî
ñò³íè. Êîåô³ö³ºíò òåðòÿ êîâçàííÿ ì³æ ñò³íîþ ³ äðàáèíîþ
– 0,3, à ì³æ ï³äëîãîþ ³ äðàáèíîþ – 0,5.
4. Êîëåñî ðàä³óñà R ³ ìàñîþ m ñòî¿òü ïåðåä ñõîäèíêîþ, âèñîòà ÿêî¿ h. ßêó
íàéìåíøó ãîðèçîíòàëüíó ñèëó F òðåáà äîêëàñòè äî îñ³ êîëåñà, ùîá âîíî ìîãëî
âèêîòèòèñü íà ñõîäèíêó?
5. Íà äîøö³ äîâæèíîþ 4 ì ³ ìàñîþ 30 êã ãîéäàþòüñÿ äâîº ä³òåé: ä³â÷èíêà,
ìàñîþ 30 êã ³ õëîï÷èê ìàñîþ 40 êã. Äå ìàº áóòè ó äîøêè òî÷êà îïîðè, ÿêùî
ä³òè ñèäÿòü íà ê³íöÿõ äîøêè?
6. Ç îäíîð³äíîãî êðóãà ðàä³óñîì R = 6 ì âèð³çàëè êðóæîê ðàä³óñîì r = R/3
òàê, ùî öåíòð öüîãî êðóæêà ðîçòàøîâàíèé íà â³äñòàí³ 2R/3 â³ä öåíòðà êðóãà.
Âèçíà÷èòè ïîëîæåííÿ öåíòðà òÿæ³ííÿ êðóãà ç âèð³çîì.
7. Ï’ÿòü êóëü, ìàñè ÿêèõ â³äïîâ³äíî m, 2m, 3m, 4m ³ 5m, óêð³ïëåíî íà
ñòåðæí³, òàê, ùî ¿õ öåíòðè ïåðåáóâàþòü íà â³äñòàí³ l îäèí â³ä îäíîãî. Íåõòóþ-
÷è ìàñîþ ñòåðæíÿ, âèçíà÷èòè ïîëîæåííÿ öåíòðà òÿæ³ííÿ ñèñòåìè.
8. Äâîº ÷îëîâ³ê³â íåñóòü íà ïëå÷àõ òðóáó ìàñîþ 80 êã òà äîâæèíîþ 5 ì.
Ïåðøèé ÷îëîâ³ê ï³äòðèìóº òðóáó íà â³äñòàí³ 1 ì â³ä ¿¿ êðàþ, à äðóãèé ÷îëîâ³ê
– ¿¿ ïðîòèëåæíèé êðàé. Âèçíà÷èòè ñèëó òèñêó, ÿêèé ÷èíèòü òðóáà íà êîæíîãî
ç ÷îëîâ³ê³â.
9. Äâ³ ñòîðîíè äðîòÿíî¿ ðàìêè ó ôîðì³ ð³âíîñòîðîííüîãî òðèêóòíèêà âè-
ãîòîâëåíî ç àëþì³í³ºâîãî äðîòó, à îäíó – ç ì³äíîãî. Âèçíà÷èòè ïîëîæåííÿ
öåíòðà òÿæ³ííÿ ðàìêè, ÿêùî äð³ò ìàº îäíàêîâèé ïåðåð³ç, à ñòîðîíà òðèêóòíè-
êà äîð³âíþº 1 ì.
10. ßêèì ÷èíîì ìîæíà âèçíà÷èòè ìîäóëü ñèëè òÿæ³ííÿ íåîäíîð³äíîãî
ñòåðæíÿ, ÿêùî ó âàøîìó ðîçïîðÿäæåíí³ º: øòàòèâ ç ìóôòîþ ³ çàòèñêà÷åì,
íèòêà, ì³äíèé äð³ò, ë³í³éêà, îë³âåöü, òàáëèöÿ ãóñòèíè ðå÷îâèíè ³ ñàì íåîäíî-
ð³äíèé ñòåðæåíü.

160
РУХ У НЕІНЕРЦІАЛЬНИХ
СИСТЕМАХ ВІДЛІКУ
§ 29 Опис руху в неінерціальних системах відліку
Ä³ÿ çàêîí³â Íüþòîíà â íå³íåðö³àëüíèõ ñèñòåìàõ â³äë³êó, ùî
ðóõàþòüñÿ ïðÿìîë³í³éíî.
Ñèëè ³íåðö³¿ â ñèñòåì³ â³äë³êó, ùî îáåðòàºòüñÿ ç ïîñò³éíîþ
êóòîâîþ øâèäê³ñòþ.
Ä³ÿ çàêîí³â Íüþòîíà â íå³íåðö³àëüíèõ ñèñòåìàõ â³äë³êó, ùî ðóõàþòüñÿ
ïðÿìîë³í³éíî. Çàêîíè Íüþòîíà ó òîìó âèãëÿä³, ÿê ìè ¿õ âèâ÷èëè, âèêîíóþòü-
ñÿ ëèøå â ³íåðö³àëüíèõ ñèñòåìàõ â³äë³êó. Ó § 17 ìè íàâîäèëè ïðèêëàä, ÿêèé
äîâîäèòü, ùî ðóõ ò³ëà â³äíîñíî ³íåðö³àëüíî¿ òà íå³íåðö³àëüíî¿ ñèñòåì â³äë³êó
îïèñóºòüñÿ ïî-ð³çíîìó.
Íå³íåðö³àëüíà ñèñòåìà â³äë³êó – öå ñèñòåìà
â³äë³êó, ùî ðóõàºòüñÿ ç ïðèñêîðåííÿì (ïîñòóïàëü-
íî ÷è îáåðòàþ÷èñü) â³äíîñíî ³íåðö³àëüíî¿ ñèñòåìè
â³äë³êó.
Íà ïðàêòèö³ ÷àñòî äîâîäèòüñÿ ðîçâ’ÿçóâàòè çàäà÷³, êîëè íåîáõ³äíî óì³òè
îïèñàòè ðóõ ç ïîãëÿäó ñïîñòåð³ãà÷à, ÿêèé çíàõîäèòüñÿ â íå³íåðö³àëüí³é ñèñòåì³
â³äë³êó, îñîáëèâî ó òèõ âè-
ïàäêàõ, êîëè â³äíîñíî ö³º¿
ñèñòåìè â³äë³êó ò³ëî ïåðå-
áóâàòèìå ó ñòàí³ ñïîêîþ.
Ðîçãëÿíåìî ñïåðøó âè-
ïàäîê îïèñó ðóõó ò³ëà â íå-
³íåðö³àëüí³éñèñòåì³â³äë³êó,
ùî ðóõàºòüñÿ ïðÿìîë³í³éíî.
Íåõàé ó âàãîí³ ïîòÿãà,
ùî íàáèðàº øâèäê³ñòü, à îò-
æå, ðóõàºòüñÿ ç ïðèñêîðåí-
íÿì
r
a ,âèñèòüíàíèòö³êóëü-
êà (ìàë. 158, à). Â³äíîñíî
çåìë³ (³íåðö³àëüíî¿ ñèñòåìè
â³äë³êó K) êóëüêà ìàº òàêå
ñàìå ïðèñêîðåííÿ, ÿê ³ âàãîí ïî¿çäà, ³ âîíî ñïðè÷èíåíå ð³âíîä³éíîþ
v
F ñèë òÿæ³ííÿr
mg ³ íàòÿãó íèòêè T
r
. Äðóãèé çàêîí Íüþòîíà ó öüîìó âèïàäêó ìàº âèãëÿä: =
v r
F ma.
Ìàë. 158, à. Ñèëè,
ùî ä³þòü íà êóëüêó â ³íåð-
ö³àëüí³é ñèñòåì³ â³äë³êó
Ìàë. 158, á. Ñèëè, ùî
ä³þòü íà êóëüêó â íå³íåðö³-
àëüí³é ñèñòåì³ â³äë³êó

161
Ðóõ ó íå³íåðö³àëüíèõ ñèñòåìàõ â³äë³êó
Â³äíîñíî âàãîíà (íå³íåðö³àëüíî¿ ñèñòåìè â³äë³êó ′K ) êóëüêà ïåðåáóâàº ó
ñòàí³ ñïîêîþ (ìàë. 158, á). Ó öüîìó âèïàäêó ñèëà
r
F ìàº áóòè ñêîìïåíñîâàíà.
Òàêîþ ñèëîþ º ñèëà ³íåðö³¿
r
F³í
. ² äðóãèé çàêîí Íüþòîíà ó öüîìó âèïàäêó çà-
ïèñóºòüñÿ ó âèãëÿä³:
r
F +
r
F³í
= 0.
Ñèëà ³íåðö³¿ çóìîâëåíà íå âçàºìîä³ºþ ò³ë, à ïðè-
ñêîðåíèì ðóõîì ñàìî¿ ñèñòåìè â³äë³êó. Ñèëà ³íåð-
ö³¿ ïðèêëàäåíà äî ò³ëà, àëå íå ìîæëèâî âêàçàòè
ò³ëî, ç ÿêèì â³äáóâàºòüñÿ âçàºìîä³ÿ, òîìó äëÿ íå¿
òðåò³é çàêîí Íüþòîíà íå ìîæå áóòè çàñòîñîâàíèé.
Îñíîâíå ð³âíÿííÿ äèíàì³êè â íå³íåðö³àëüíèõ ñèñòåìàõ â³äë³êó çà ôîðìîþ
àíàëîã³÷íå ð³âíÿííþ äðóãîãî çàêîíó Íüþòîíà, àëå â ð³âíÿííÿ, êð³ì «ñèë, ùî
ðåàëüíî ä³þòü», ââîäÿòüñÿ ñèëè ³íåðö³¿.
Ä³þ ñèëè ³íåðö³¿ â³ä÷óâàâ ìàéæå êîæåí ç âàñ, êîëè çà ð³çêîãî ãàëüìóâàííÿ,
íàïðèêëàä, àâòîáóñà ÷è òðàìâàÿ, ñèëà ³íåðö³¿ øòîâõàº âïåðåä.
Âëàñòèâ³ñòü ñèë ³íåðö³¿ äåùî ñõîæà íà ñèëó çåìíîãî òÿæ³ííÿ. Ï³ä ä³ºþ ñèëè
òÿæ³ííÿ âñ³ ò³ëà ðóõàþòüñÿ ç îäíàêîâèì ïðèñêîðåííÿì, òîáòî Fòÿæ
∼ m.Ñèëè
³íåðö³¿ íàäàþòü ò³ëó òàêîæ â³äïîâ³äíîãî ïðèñêîðåííÿ, ç ÿêèì ðóõàºòüñÿ íå-
³íåðö³àëüíà ñèñòåìà â³äë³êó, òîáòî – F³í
∼ m. (Åêâ³âàëåíòí³ñòü ñèë ³íåðö³¿ ³ ãðà-
â³òàö³éíèõ ñèë çàêëàäåíà À. Åéíøòåéíîì ó çàãàëüíó òåîð³þ â³äíîñíîñò³. Ïðî
öå ìè ïîãîâîðèìî ç ÷àñîì.)
Òàêèì ÷èíîì, âëàñòèâîñò³ ñèë ³íåðö³¿ ïîëÿãàþòü ó òîìó, ùî:
à) âîíè íå³íâàð³àíòí³ â³äíîñíî ïåðåõîäó ç îäí³º¿ íå³íåðö³àëüíî¿ ñèñòåìè
â³äë³êó â ³íøó;
á) âîíè íå ï³äïîðÿäêîâóþòüñÿ òðåòüîìó çàêîíó Íüþòîíà;
â) âîíè º çîâí³øí³ìè ñèëàìè â³äíîñíî ðóõîìîãî ò³ëà;
ã) âîíè ïðîïîðö³éí³ ìàñ³ ò³ëà;
´) ðóõ ò³ëà ï³ä ä³ºþ ñèë ³íåðö³¿ àíàëîã³÷íèé ðóõîâ³ ó ãðàâ³òàö³éíîìó ïîë³.
Ñèëè ³íåðö³¿ â ñèñòåì³ â³äë³êó, ùî îáåðòàºòüñÿ ç ïîñò³éíîþ êóòîâîþ
øâèäê³ñòþ. Ðîçãëÿíåìî ðóõ ò³ëà â íå³íåðö³àëüí³é ñèñòåì³ â³äë³êó ( ′K ), ùî
îáåðòàºòüñÿ â³äíîñíî ³íåðö³àëüíî¿
ç ïîñò³éíîþ êóòîâîþ øâèäê³ñòþ. Ïðè-
êëàäîì òàêîãî ðóõó ìîæå áóòè ðóõ êóëü-
êè, ùî çíàõîäèòüñÿ íà îäíîìó ç ê³íö³â
ïðóæèíè, ÿêà äðóãèì ê³íöåì çàêð³ïëåíà
äî îñ³ äèñêà, ÿêèé ìîæå îáåðòàòèñü (ìàë.
159). ßêùî äèñê íå îáåðòàºòüñÿ – ïðóæè-
íà íå äåôîðìîâàíà. Ïðè ðîçêðó÷óâàíí³
äèñêà, êóëüêà ðîçòÿãóº ïðóæèíó äîòè,
äîêè ñèëà ïðóæíîñò³ íå íàáóâàº çíà÷åí-
íÿ: Fïð
= mω2
R. Â³äíîñíî ³íåðö³àëüíî¿
ñèñòåìè â³äë³êó (Çåìë³) êóëüêà ðóõàºòü-
ñÿ ïî êîëó ç äîöåíòðîâèì ïðèñêîðåííÿì,
ÿêå íàäàº éîìó ñèëà ïðóæíîñò³.
Ìàë. 159. Ðóõ ò³ëà â íå³íåðö³àëüí³é
ñèñòåì³ â³äë³êó, ùî îáåðòàºòüñÿ

162
Ð Î Ç Ä ² Ë 2
Â³äíîñíî íå³íåðö³àëüíî¿ ñèñòåìè â³äë³êó ′K (äèñêà) êóëüêà íåðóõîìà. Òîá-
òî ñèëà ïðóæíîñò³ âð³âíîâàæóºòüñÿ ñèëîþ ³íåðö³¿ (ó öüîìó âèïàäêó ¿¿ íàçèâà-
þòü â³äöåíòðîâîþ ñèëîþ ³íåðö³¿
r
Fâö
), ùî íàïðàâëåíà âçäîâæ ðàä³óñà äèñêà â³ä
éîãî îñ³ îáåðòàííÿ. Â³äöåíòðîâà ñèëà ³íåðö³¿, ÿê ³ áóäü-ÿêà ñèëà ³íåðö³¿, ³ñíóº
ëèøå â íå³íåðö³àëüí³é ñèñòåì³ â³äë³êó ³ çíèêàº ïðè ïåðåõîä³ â ³íåðö³àëüíó (òîá-
òî º íå³íâàð³àíòíîþ âåëè÷èíîþ).
Ùå îäíèì ïðèêëàäîì º ðîçêðó÷óâàííÿ «ìîëîòà», çàêð³ïëåíîãî íà òðîñ³
(ìàë. 160). Â³äíîñíî ³íåðö³àëüíî¿ ñèñòåìè â³äë³êó (Çåìë³) ìîëîò ðóõàºòüñÿ ïî
êîëó, îòæå, ìàº äîöåíòðîâå ïðèñêîðåííÿ, ÿêå íàäàº éîìó ñèëà ïðóæíîñò³ (ñèëà
íàòÿãó òðîñà). Â³äíîñíî ñïîðòñìåíà, ÿêèé
îáåðòàºòüñÿ, êóëüêà íåðóõîìà, îòæå, íà íå¿,
êð³ì ñèëè íàòÿãó òðîñà, ä³º â³äöåíòðîâà ñèëà
³íåðö³¿.
Ìàéæå â óñ³õ ðîçâ’ÿçàíèõ íàìè çàäà÷àõ íå
âðàõîâóâàëîñÿ îáåðòàííÿ Çåìë³, áî ¿¿ ââàæàëè
³íåðö³àëüíîþ ñèñòåìîþ â³äë³êó. Ïðè òî÷íèõ ðîç-
ðàõóíêàõ íåîáõ³äíî âðàõîâóâàòè â³äöåíòðîâó
ñèëó ³íåðö³¿, ùî ä³º íà ò³ëà, ÿê³ îáåðòàþòüñÿ ðà-
çîì ³ç Çåìëåþ. Òàê ó § 20 ìè âæå äîñë³äèëè âïëèâ
äîáîâîãî îáåðòàííÿ Çåìë³ íà â³äì³ííîñò³ çíà÷åí-
íÿ
r
g çàëåæíî â³ä øèðîòè ì³ñöåçíàõîäæåííÿ.
Îêð³ì â³äöåíòðîâî¿ ñèëè ³íåðö³¿ ó íå³íåðö³àëüí³é ñèñòåì³ â³äë³êó, ùî îáåð-
òàºòüñÿ, ³ñíóº òàêîæ ñèëà ³íåðö³¿ Êîð³îë³ñà.
ÑèëàÊîð³îë³ñà–ñèëà³íåðö³¿,ùîä³ºâíå³íåðö³àëü-
í³é ñèñòåì³ â³äë³êó, ÿêà îáåðòàºòüñÿ ç êóòîâîþ øâèä-
ê³ñòþ ω, íà ò³ëî, ÿêå ðóõàºòüñÿ ç³ øâèäê³ñòþ υ
r
.
Ñèëà Êîð³îë³ñà ïåðïåíäèêóëÿðíà
äî âåêòîðà ω
r
³ ä³º ó ïëîùèí³, ïåðïåí-
äèêóëÿðí³é äî îñ³ îáåðòàííÿ ñèñòåìè.
Âîíà ïåðïåíäèêóëÿðíà äî âåêòîðà
øâèäêîñò³ ðóõó ò³ëà, à îòæå, çì³íþº
ò³ëüêè ¿¿ íàïðÿì, íå çì³íþþ÷è ìîäó-
ëÿ øâèäêîñò³.
Ïðè â³ëüíîìó ïàä³íí³ ñèëà Êîð³-
îë³ñà â³äõèëÿº ò³ëà íà ñõ³ä. Öå â³äõè-
ëåííÿ ïðîïîðö³éíå ñèíóñó øèðîòè ì³ñ-
öåçíàõîäæåííÿ, îòæå, ìàêñèìàëüíå íà
åêâàòîð³ ³ äîð³âíþº íóëþ íà ïîëþñàõ.
Òàê, ïðè ïàä³íí³ ò³ëà íà åêâàòîð³ ç âè-
ñîòè 30 ì â³äõèëåííÿ ñòàíîâèòü 3,6 ìì.
Ñèëó Êîð³îë³ñà íåîáõ³äíî âðàõîâóâàòè
ïðè òî÷íîìó íàâåäåíí³ íà ö³ëü ï³ä ÷àñ
ñòð³ëüáè íà äàëåê³ â³äñòàí³ (ìàë. 161).
Ìàë. 160. Ðóõ ìîëîòà
ï³ä ä³ºþ ñèëè íàòÿãó òðîñà
Ìàë. 161. Ä³ÿ ñèëè Êîð³îë³ñà

163
Ó Ï³âí³÷í³é ï³âêóë³ ï³äìèâàííÿ ïðàâèõ áåðåã³â ð³ê, ùî òå÷óòü íà ï³âäåíü,
çóìîâëåíå òàêîæ ä³ºþ ñèë ³íåðö³¿ Êîð³îë³ñà.
Ùå îäíèì ïðèêëàäîì âèÿâó ä³¿ ñèëè Êîð³îë³ñà º ïîâîðîò ïëîùèíè êîëè-
âàíü ìàÿòíèêà (ïðî öå éòèìåòüñÿ äåòàëüí³øå ó § 42).
ßêà ñèñòåìà â³äë³êó íàçèâàºòüñÿ íå³íåðö³àëüíîþ?1.
Ùî òàêå ñèëè ³íåðö³¿? Ó ÷îìó ¿õ îñîáëèâ³ñòü?2.
Ùî òàêå ñèëà Êîð³îë³ñà? ßê³ âèÿâè ö³º¿ ñèëè?3.
Çàäà÷à 1. Ïî ïîõèë³é ïëîùèí³ çàâäîâæêè 2,5 ì îäíî÷àñíî ïî÷àëè ðóõ äâà
ò³ëà: ïåðøå – âãîðó ç ïî÷àòêîâîþ øâèäê³ñòþ 50 ñì/ñ, äðóãå – âíèç áåç ïî÷àòêî-
âî¿ øâèäêîñò³. Âèçíà÷èòè ÷àñ çóñòð³÷³ ò³ë. Òåðòÿ íå âðàõîâóâàòè.
Äàíî:
L = 2,5 ì;
υ0
= 50 ñì/ñ = 0,5 ì/ñ
1. Ðîçâ’ÿæåìî çàäà÷ó â ñèñòåì³ â³äë³êó, ïîâ’ÿçàí³é ³ç
Çåìëåþ, òîáòî â ³íåðö³àëüí³é ñèñòåì³.
Âèáåðåìî êîîðäèíàòí³ îñ³ òàê, ÿê ïîêàçàíî íà ìàë. 162.t – ?
Çàïèøåìî ð³âíÿííÿ ðóõó ò³ë â³ä-
íîñíî îáðàíî¿ ñèñòåìè êîîðäèíàò.
Äëÿ ïåðøîãî ò³ëà:
= υ −
2
1 0
2
at
x t ,
äëÿ äðóãîãî: = −
2
2
2
at
x L .
Ïðèñêîðåííÿ ðóõó ò³ë âèçíà÷àºòüñÿ ëèøå êóòîì íàõèëó ïëîùèíè ³ áóäå
îäíàêîâèì çà ìîäóëåì äëÿ îáîõ ò³ë. Ó ìîìåíò çóñòð³÷³ êîîðäèíàòè ò³ë äîð³âíþ-
âàòèìóòü îäíà îäí³é: =1 2x x .
υ − = −
2 2
0
2 2
at at
t L , çâ³äêè =
υ0
L
t .
Ï³äñòàâëÿþ÷è ÷èñëîâ³ äàí³, îòðè-
ìóºìî: t = 5 c.
2. Ðîçâ’ÿæåìî çàäà÷ó ó íå³íåð-
ö³àëüí³é ñèñòåì³ â³äë³êó, ïîâ’ÿçàí³é ç
ò³ëîì 2 (ìàë. 163).
Òîä³ â³äíîñíî òàêî¿ ñèñòåìè â³äë³-
êó ò³ëî 2 íåðóõîìå, à ïåðøå ðóõàºòüñÿ
ð³âíîì³ðíî ³ ïðÿìîë³í³éíî ç³ øâèäê³ñ-
òþ υ0
. ×àñ ðóõó ò³ëà: = =
υ0
5 c
L
t .
Â³äïîâ³äü: t = 5 c.
Ìàë. 162. Ðóõ ò³ë
â ³íåðö³àëüí³é ñèñòåì³ â³äë³êó
Ìàë. 163. Ðóõ ïåðøîãî ò³ëà
â³äíîñíî äðóãîãî

164
Ð Î Ç Ä ² Ë 2
Çâåðí³òü óâàãó! Ðîçâ’ÿçóâàííÿ ö³º¿ çàäà÷³ ï³äòâåðäæóº ð³âí³ñòü ³íåðö³àëü-
íèõ ³ íå³íåðö³àëüíèõ ñèñòåì â³äë³êó â ê³íåìàòèö³. Êð³ì òîãî, ðîçâ’ÿçàííÿ çàäà-
÷³ â íå³íåðö³àëüí³é ñèñòåì³ â³äë³êó á³ëüø ñïðîùåíå.
Çàäà÷à 2. Êëèí, íà ïîâåðõí³ ÿêîãî çíàõîäèòüñÿ áðóñîê, ðóõàºòüñÿ âåðòè-
êàëüíî âãîðó ç ïðèñêîðåííÿì
r
a . Áðóñîê ç³ñêîâçóº âíèç. Êóò íàõèëó êëèíà α.
Âèçíà÷èòè ïðèñêîðåííÿ áðóñêà ï³ä ÷àñ ðóõó ïî ïîâåðõí³ êëèíà çà óìîâè, ùî
ïîâåðõíÿ êëèíà ãëàäåíüêà (µ = 0 ).
Äàíî:
a;
α;
µ = 0
Ðîçâ’ÿæåìî çàäà÷ó â íå³íåðö³àëüí³é ñèñòåì³ â³äë³êó (ðóõîìèé
êëèí), ÿêà ðóõàºòüñÿ ç ïðèñêîðåííÿì
r
a âåðòèêàëüíî âãîðó â³äíîñíî
³íåðö³àëüíî¿ ñèñòåìè â³äë³êó (Çåìë³).
Ó íå³íåðö³àëüí³é ñèñòåì³ â³äë³êó íà áðóñîê ä³þòü ñèëè (ìàë. 164):b – ?
−
r
mg ñèëà òÿæ³ííÿ,
r
N – ñèëà ðåàêö³¿ îïîðè;r
F³í
– ñèëà ³íåðö³¿, ÿêà ïðèêëàäåíà äî ò³ëà ³ íà-
ïðÿì âåêòîðà ÿêî¿ ïðîòèëåæíèé íàïðÿìó âåê-
òîðà ïðèñêîðåííÿ ðóõîìî¿ ñèñòåìè (êëèíó).
Ð³âíîä³éíà öèõ ñèë íàäàº áðóñêó ïðèñêîðåííÿr
b , ç ÿêèì â³í ç³ñêîâçóº âíèç â³äíîñíî íå³íåð-
ö³àëüíî¿ ñèñòåìè â³äë³êó. Çàïèøåìî äðóãå ð³â-
íÿííÿ Íüþòîíà: N mg F mb+ + =
rr rr
.
Ñïðîåêòóºìî âêàçàí³ ñèëè íà êîîðäèíàòí³ îñ³:
íà îñü Õ: α + α =sin sinmg ma mb ;
íà îñü Y: − α − α =cos cos 0N mg ma .
= + α( )sinb g a .
Â³äïîâ³äü: b = (g + a)sinα.
Çàäà÷à 3. Â³äðî ç âîäîþ îáåðòàþòü ó âåð-
òèêàëüí³é ïëîùèí³ íà ìîòóçö³ çàâäîâæêè l. Ç
ÿêîþ íàéìåíøîþ øâèäê³ñòþ íåîáõ³äíî îáåð-
òàòè â³äðî, ùîá âîäà íå âèëèâàëàñÿ ïðè ïðîõî-
äæåíí³ â³äðà ÷åðåç êðàéíº âåðõíº ïîëîæåííÿ?
Ðîçâ’ÿçàòè çàäà÷ó â ³íåðö³àëüí³é ³ íå³íåðö³àëüí³é ñèñòåìàõ.
Äàíî:
l
Ðîçâ’ÿæåìî çàäà÷ó â ³íåðö³àëüí³é ñèñòåì³ â³äë³êó (ìàë. 165) – â³ä-
íîñíî Çåìë³.υmin
– ?
Ó ö³é ñèñòåì³ íà âîäó ä³þòü äâ³ ñèëè:
r
mg – ñèëà òÿæ³ííÿ òà
r
N – ñèëà òèñêó
äíà â³äðà. Ð³âíîä³éíà öèõ ñèë íàäàº âîä³ äîöåíòðîâîãî ïðèñêîðåííÿ a = υ2
/l:
N mg ma+ =
r r r
.
Ó ïðîåêö³ÿõ íà â³ñü Õ:
υ
+ =
2
m
mg N
l
.
Ì³í³ìàëüíà øâèäê³ñòü îáåðòàííÿ â³äðà âèçíà÷àºòüñÿ ç óìîâè, ùî N = 0.
Îòæå, υ =min gl .

165
Ðîçâ’ÿæåìî çàäà÷ó â íå³íåðö³àëüí³é ñèñòåì³ â³äë³-
êó (ìàë. 166). Îáåðåìî çà ò³ëî â³äë³êó âîäó ³ ïîâ’ÿæåìî
ç íåþ ñèñòåìó êîîðäèíàò. Ó öüîìó âèïàäêó ñàìà ñèñòå-
ìà â³äë³êó îáåðòàòèìåòüñÿ íàâêîëî íåðóõîìî¿ Çåìë³.
Â³äíîñíî íå³íåðö³àëüíî¿ ñèñòåìè â³äë³êó âîäà
íåðóõîìà, îòæå, ð³âíîä³éíà ñèë äîð³âíþº 0:
N mg F 0.+ + =
r rr
Ó ïðîåêö³ÿõ íà â³ñü Õ: mg + N − Fâ³äö
= 0, äå â³ä-
öåíòðîâà ñèëà ³íåðö³¿ Fâ³äö
=
υ2
m
l
.
Ì³í³ìàëüíà øâèäê³ñòü îáåðòàííÿ â³äðà âèçíà÷à-
ºòüñÿ ç óìîâè, ùî = 0N .
Îòæå, υ =min gl .
Â³äïîâ³äü: υ =min gl .
Вправа 26
1. ßêèì ìàº áóòè ãîðèçîíòàëüíå ïðèñêîðåííÿ
àâòîìîá³ëÿ, ùîá ñò³éêå ïîëîæåííÿ ïàñàæèðà â³äïî-
â³äàëî êóòó éîãî íàõèëó 45°?
2. Ó ë³ôò³, ÿêèé ï³ä ÷àñ ðóõó âíèç ìàº ïðèñêîðåí-
íÿ 1 ì/ñ2
, ëþäèíà âèïóñòèëà ç ðóê ïîðòôåëü. ßêå ïðè-
ñêîðåííÿ ìàòèìå ïîðòôåëü â³äíîñíî ë³ôòà ³ Çåìë³?
3. Íà ãîðèçîíòàëüí³é äîøö³ ëåæèòü âàíòàæ.
Êîåô³ö³ºíò òåðòÿ ì³æ äîøêîþ ³ âàíòàæåì 0,1. ßêå
ïðèñêîðåííÿ â ãîðèçîíòàëüíîìó íàïðÿì³ ñë³ä íàäà-
òè äîøö³, ùîá âàíòàæ ì³ã ç íå¿ ç³ñêîâçíóòè?
4. Ò³ëî ìàñîþ m ðóõàºòüñÿ âíèç ïî ïîõèë³é ïëî-
ùèí³. Âèçíà÷èòè ïðèñêîðåííÿ, ç ÿêèì ç³ñêîâçóº ò³ëî
ç ïîõèëî¿ ïëîùèíè, òà ñèëó ðåàêö³¿ îïîðè, ÿêùî êóò
íàõèëó ïëîùèíè α, à êîåô³ö³ºíò òåðòÿ ì³æ ò³ëîì ³
ïëîùèíîþ – µ. Ðîçâ’ÿçàòè çàäà÷ó â íå³íåðö³àëüí³é òà
³íåðö³àëüí³é ñèñòåìàõ â³äë³êó.
5. Êëèí, íà ïîâåðõí³ ÿêîãî çíàõîäèòüñÿ áðóñîê, ðóõàºòüñÿ âåðòèêàëüíî âãî-
ðó ç ïðèñêîðåííÿì
r
a . Áðóñîê ç³ñêîâçóº âíèç. Êóò íàõèëó êëèíà α. Âèçíà÷èòè
ïðèñêîðåííÿ áðóñêà ï³ä ÷àñ ðóõó ïî ïîâåðõí³ êëèíà çà íàÿâíîñò³ òåðòÿ (µ ≠ 0).
6. Ãëàäåíüêèé êëèí (µ = 0), íà ïîâåðõí³ ÿêîãî çíàõîäèòüñÿ áðóñîê, ðóõà-
ºòüñÿ ë³âîðó÷ ç ïðèñêîðåííÿì
r
a . Áðóñîê ç³ñêîâçóº âíèç. Êóò íàõèëó êëèíà α .
Âèçíà÷èòè ïðèñêîðåííÿ áðóñêà ï³ä ÷àñ ðóõó ïî ïîâåðõí³ êëèíà.
7. Êëèí, íà ïîâåðõí³ ÿêîãî çíàõîäèòüñÿ áðóñîê, ðóõàºòüñÿ ë³âîðó÷. ßêèì
ìàº áóòè ïðèñêîðåííÿ êëèíà, ùîá áðóñîê íå êîâçàâ ïî éîãî ïîâåðõí³? Êóò íà-
õèëó êëèíà α = 45°, êîåô³ö³ºíò òåðòÿ ì³æ áðóñêîì òà ïîâåðõíåþ êëèíà µ = 0,2.
8. Íåâåëèêå ò³ëî ìàñîþ m ç³ñêîâçóº áåç òåðòÿ ç ïîâåðõí³ ñôåðè, ðàä³óñ ÿêî¿
R. Íà ÿê³é âèñîò³ ò³ëî â³ä³ðâåòüñÿ â³ä ïîâåðõí³ ñôåðè?
íà âîäó â ³íåðö³àëüí³é
ñèñòåì³ â³äë³êó
íà âîäó â íå³íåðö³àëüí³é
ñèñòåì³ â³äë³êó

166
Ð Î Ç Ä ² Ë 2
1. Çàêîíè Íüþòîíà âèêîíóþòüñÿ â ³íåðö³àëüíèõ ñèñòåìàõ â³äë³êó ³ äàþòü
çìîãó íàáëèæåíî ðîçâ’ÿçóâàòè áóäü-ÿê³ çàäà÷³ ìåõàí³êè. ßêùî â³äîì³ ñèëè,
ïðèêëàäåí³ äî ò³ëà, ìîæíà âèçíà÷èòè éîãî ïðèñêîðåííÿ ó áóäü-ÿêèé ìîìåíò
÷àñó, ó áóäü-ÿê³é òî÷ö³ òðàºêòîð³¿.
2. Äèíàì³êà ïîñòóïàëüíîãî ðóõó ò³ëà (ìàòåð³àëüíî¿ òî÷êè) âèâ÷àº ïðè÷è-
íè âèíèêíåííÿ ïðèñêîðåííÿ ò³ëà òà äàº çìîãó âèçíà÷èòè éîãî çíà÷åííÿ ³ íà-
ïðÿì.
3. Äèíàì³êà îáåðòàëüíîãî ðóõó ò³ëà (òâåðäîãî) âèâ÷àº ïðè÷èíè âèíèêíåí-
íÿ êóòîâîãî ïðèñêîðåííÿ ò³ëà, ùî ìîæå îáåðòàòèñÿ íàâêîëî íåðóõîìî¿ îñ³ ³ äàº
çìîãó âèçíà÷èòè çíà÷åííÿ ³ íàïðÿì öüîãî ïðèñêîðåííÿ.
4. Ó ìåõàí³ö³ ðîçð³çíÿþòü ³ äîñë³äæóþòü ñèëè ïðóæíîñò³, òåðòÿ ³ âñåñâ³ò-
íüîãî òÿæ³ííÿ. Ñèëè ïðóæíîñò³ ³ ñèëè òåðòÿ ìàþòü åëåêòðîìàãí³òíó ïðèðîäó
³ º âèÿâîì âçàºìîä³¿ ÷àñòèíîê, ç ÿêèõ ñêëàäàþòüñÿ ò³ëà. Ñèëà âñåñâ³òíüîãî òÿ-
æ³ííÿ ìàº ãðàâ³òàö³éíó ïðèðîäó ³ ä³º ì³æ óñ³ìà áåç âèíÿòêó ò³ëàìè.
5. ßêùî ñóìà ïðèêëàäåíèõ äî ò³ëà ñèë äîð³âíþº íóëþ, òî ò³ëî ïåðåáóâàº ó
ñòàí³ ñïîêîþ àáî ïðÿìîë³í³éíîãî ð³âíîì³ðíîãî ðóõó (àëå ïðè öüîìó ò³ëî ìîæå
îáåðòàòèñü).
6. Ùîá ò³ëî ïåðåáóâàëî ó ñòàí³ ð³âíîâàãè – ñòàí³, çà ÿêîãî â ñèñòåì³ â³äë³êó,
ùî ðîçãëÿäàºòüñÿ, íåìàº ïåðåì³ùåííÿ áóäü-ÿêèõ éîãî òî÷îê ï³ä ä³ºþ ïðèêëà-
äåíèõ äî íüîãî ñèë, íåîáõ³äíå âèêîíàííÿ äâîõ óìîâ: âåêòîðíà ñóìà ïðèêëàäå-
íèõ äî ò³ëà ñèë ìàº äîð³âíþâàòè íóëþ ³ àëãåáðà¿÷íà ñóìà ìîìåíò³â ïðèêëàäå-
íèõ äî ò³ëà ñèë (â³äíîñíî áóäü-ÿêî¿ íåðóõîìî¿ îñ³) – òàêîæ íóëþ.
7. Çã³äíî ç ïðèíöèïîì â³äíîñíîñò³ Ãàë³ëåÿ êîîðäèíàòè òà øâèäê³ñòü ðóõó º
âåëè÷èíàìè â³äíîñíèìè. Ïðèñêîðåííÿ íå çàëåæèòü â³ä ñèñòåìè â³äë³êó ëèøå
ó òîìó âèïàäêó, ÿêùî ñèñòåìè ðóõàþòüñÿ îäíà â³äíîñíî îäíî¿ ïðÿìîë³í³éíî
³ ð³âíîì³ðíî. ßêùî ñèñòåìà â³äë³êó ðóõàºòüñÿ ç ïðèñêîðåííÿì â³äíîñíî ³íåð-
ö³àëüíî¿ ñèñòåìè â³äë³êó, òî âîíà íàçèâàºòüñÿ íå³íåðö³àëüíîþ ñèñòåìîþ â³ä-
ë³êó.
8. Îñíîâíå ð³âíÿííÿ äèíàì³êè â íå³íåðö³àëüíèõ ñèñòåìàõ â³äë³êó çà ôîðìîþ
àíàëîã³÷íå ð³âíÿííþ äðóãîãî çàêîíó Íüþòîíà, àëå â ð³âíÿííÿ, êð³ì «ñèë, ùî
ðåàëüíî ä³þòü», ââîäÿòüñÿ ñèëè ³íåðö³¿. Âëàñòèâ³ñòü ñèë ³íåðö³¿ äåùî ñõîæà íà
ñèëó çåìíîãî òÿæ³ííÿ. Ï³ä ä³ºþ ñèëè òÿæ³ííÿ âñ³ ò³ëà ðóõàþòüñÿ ç îäíàêîâèì
ïðèñêîðåííÿì, òîáòî Fòÿæ
~ m. Ñèëè ³íåðö³¿ íàäàþòü ò³ëó òàêîãî ñàìîãî ïðèñêî-
ðåííÿ, ç ÿêèì ðóõàºòüñÿ íå³íåðö³àëüíà ñèñòåìà â³äë³êó, òîáòî, – F³í
~ m.

ЗАКОНИ
ЗБЕРЕЖЕННЯ В МЕХАНІЦІ
ßê ìè ïåðåêîíàëèñÿ, çàêîíè Íüþòîíà, çàïèñàí³ ÷åðåç ïîíÿòòÿ ñèëè ³ ïðè-
ñêîðåííÿ, äàþòü çìîãó ðîçâ’ÿçàòè ìåõàí³÷íó çàäà÷ó, îïèñàòè ðóõ ò³ëà â óñ³õ
äåòàëÿõ. Ïðîòå º ³ òàê³ ïðè÷èíè, ÿê³ çìóøóþòü øóêàòè ³íø³ ôîðìè çàïèñó öèõ
çàêîí³â, à òàêîæ ³íø³ ôîðìè ï³äõîäó äî âèâ÷åííÿ ðóõó ìàòåð³¿.
Äîñèòü ÷àñòî íåîáõ³äíî çíàòè ê³íöåâèé ñòàí ðóõó ò³ëà, âèõîäÿ÷è ³ç çàäàíèõ
ïî÷àòêîâèõ óìîâ, íå äîñë³äæóþ÷è îñîáëèâîñò³ ïîâåä³íêè ò³ë ï³ä ÷àñ âçàºìîä³¿.
Òîáòî ðîçðàõîâóâàòè ê³íöåâèé ðåçóëüòàò ä³¿ ñèëè. Íàïðèêëàä, ï³ä ÷àñ çàáè-
âàííÿ ìîëîòîì ñòîâï÷èêà â çåìëþ, íåîáõ³äíî çíàòè ê³íöåâèé ðåçóëüòàò óäàðó:
ãëèáèíó çàíóðåííÿ ñòîâï÷èêà â çåìëþ. Ï³ä ÷àñ ãðè ó á³ëüÿðä íåîáõ³äíî çíàòè,
ÿê ðóõàòèìóòüñÿ êóë³ ï³ñëÿ óäàðó, ÿêùî â³äîìî ¿õ ïî÷àòêîâå ðîçòàøóâàííÿ.
ßê âèäíî ç öèõ ïðèêëàä³â, ðîçâ’ÿçóâàòè ìåõàí³÷íó çàäà÷ó ïîòð³áíî óæå íå äëÿ
ðóõó îäíîãî ò³ëà, à ñèñòåìè ò³ë.
Çàêîíè Íüþòîíà çàñòîñîâóâàëèñÿ äî ò³ë, ìàñà ÿêèõ çàëèøàëàñü íåçì³ííîþ
m = const. À ÿê áóòè, ÿêùî ìàñà ò³ëà çì³íþºòüñÿ?
Ìè ðîçãëÿäàëè âèïàäêè, êîëè ò³ëà çì³íþâàëè øâèäê³ñòü ïðîòÿãîì äåÿêîãî
÷àñó ïîñòóïîâî – â³ä îäíîãî çíà÷åííÿ äî ³íøîãî, êîðèñòóþ÷èñü ïîíÿòòÿì ïðè-
ñêîðåííÿ. Àëå ó ïðèðîä³ òðàïëÿþòüñÿ âèïàäêè, êîëè öÿ óìîâà íå âèêîíóºòüñÿ.
Íàïðèêëàä, åëåêòðîíè â àòîì³ ìîæóòü çì³íþâàòè ñòàí ðóõó äèñêðåòíî (ñòðèá-
êàìè).
Ó ðîçä³ë³ «Çàêîíè çáåðåæåííÿ â ìåõàí³ö³» ìåõàí³÷íèé ðóõ ðîçãëÿäàºòü-
ñÿ ç ïîãëÿäó ïåðåòâîðåííÿ ³ çáåðåæåííÿ åíåðã³¿. Åíåðãåòè÷íèé ï³äõ³ä äî âè-
â÷åííÿ ìåõàí³÷íîãî ðóõó á³ëüø çàãàëüíèé, í³æ ê³íåìàòè÷íèé ³ äèíàì³÷íèé, ³
´ðóíòóºòüñÿ íà çàêîíàõ çáåðåæåííÿ.
Îñíîâí³ çàêîíè çáåðåæåííÿ â ìåõàí³ö³ – öå çàêîí çáåðåæåííÿ ³ìïóëüñó,
ìîìåíòó ³ìïóëüñó, åíåðã³¿. Çàêîíè çáåðåæåííÿ, ÿê ³ çàêîíè Íüþòîíà, – ðåçóëü-
òàò òåîðåòè÷íîãî óçàãàëüíåííÿ äîñë³äíèõ ôàêò³â.
Çàêîíè çáåðåæåííÿ º ôóíäàìåíòàëüíèìè çàêîíàìè ïðèðîäè, îñê³ëüêè
íå çàëåæàòü â³ä ïðèðîäè ³ õàðàêòåðó ñèë, ùî âçàºìîä³þòü. Çà ¿õ äîïîìîãîþ
ìîæíà äîñë³äæóâàòè ïîâåä³íêó ò³ë íàâ³òü ó òèõ âèïàäêàõ, êîëè ñèëè çàëèøà-
þòüñÿ íåâ³äîìèìè.
Îêð³ì íàçâàíèõ, º ³íø³ çàêîíè çáåðåæåííÿ (íàïðèêëàä, çàêîí çáåðåæåííÿ
åëåêòðè÷íîãî çàðÿäó), ïðî ÿê³ ìè ä³çíàºìîñÿ, âèâ÷àþ÷è íàñòóïí³ ðîçä³ëè ô³-
çèêè.
Розділ 3

168
Ð Î Ç Ä ² Ë 3
§ 30 Імпульс. Закон збереження імпульсу
²ìïóëüñ ò³ëà òà ³ìïóëüñ ñèëè.
Ñèñòåìè ò³ë. Çàêîí çáåðåæåííÿ ³ìïóëüñó.
²ìïóëüñ ò³ëà òà ³ìïóëüñ ñèëè. Òåðì³í «³ìïóëüñ» ïîõîäèòü â³ä ëàò. impulsus,
ùî îçíà÷àº «ïîøòîâõ». Ó ìåõàí³ö³ öèì òåðì³íîì ïîçíà÷àþòüñÿ äâ³ âåëè÷èíè:
³ìïóëüñ ò³ëà òà ³ìïóëüñ ñèëè.
Âðàõîâóþ÷è,ùî
υ− υ
=
r r
r 0
a
t
,ôîðìóëóäðóãîãîçàêîíóÍüþòîíà =
r r
F ma ìîæíà
çàïèñàòè â òàêîìó âèãëÿä³:
υ− υ
=
r rr 0
F m
t
,
äå υ− υ
r r
0 – çì³íà øâèäêîñò³, t – ÷àñ, çà ÿêèé öÿ çì³íà â³äáóâàºòüñÿ, à îòæå, ³ ÷àñ
ä³¿ ñèëè.
Ïåðåïèøåìî öþ ôîðìóëó ó òàêîìó âèãëÿä³: = υ− υ
r r r
0Ft m m . Äîáóòîê υ
r
m íà-
çèâàºòüñÿ ³ìïóëüñîì ò³ëà, à äîáóòîê
r
Ft – ³ìïóëüñîì ñèëè.
²ìïóëüñ ò³ëà (àáî ê³ëüê³ñòü ðóõó – òàê íàçèâàâ
öþ âåëè÷èíó ². Íüþòîí) – ô³çè÷íà âåëè÷èíà, ùî
õàðàêòåðèçóº ìåõàí³÷íèé ðóõ:
= υ
r v
p m .
Îäèíèöÿ ³ìïóëüñó ò³ëà – ê³ëîãðàì íà ìåòð çà ñåêóíäó, [ð] = 1 êã · ì/ñ.
²ìïóëüñ ñèëè âèçíà÷àºòüñÿ äîáóòêîì ñåðåäíüîãî
çíà÷åííÿ ñèëè çà ïåâíèé ³íòåðâàë ÷àñó òà òðèâàë³ñ-
òþ öüîãî ³íòåðâàëó:
r
Ft.
Îäèíèöÿ ³ìïóëüñó ñèëè – íüþòîí-ñåêóíäà, [Ft] = 1 Í · ñ.
²ìïóëüñ ñèëè – öå ô³çè÷íà âåëè÷èíà, ÿêà îäíî÷àñíî âðàõîâóº âïëèâ ìîäó-
ëÿ, íàïðÿìó ³ ÷àñó ä³¿ ñèëè íà çì³íó ñòàíó ðóõó ò³ëà.
Öå îçíà÷àº, ùî:
•îäíà ³ òà ñàìà ñèëà ïðîòÿãîì îäíîãî ³ òîãî ñàìîãî ³íòåðâàëó ÷àñó âèêëèêàº
ó áóäü-ÿêîãî ò³ëà îäíàêîâó çì³íó ³ìïóëüñó;
•îäíà ³ òà ñàìà ñèëà, ùî ä³º ïðîòÿãîì îäíîãî ³ òîãî ñàìîãî ³íòåðâàëó ÷àñó,
âèêëèêàº ó ò³ë ð³çíî¿ ìàñè ð³çíó çì³íó øâèäêîñò³.

169
Çàêîíè çáåðåæåííÿ â ìåõàí³ö³
Òîæ äðóãèé çàêîí Íüþòîíà ìîæíà ñôîðìóëþ-
âàòè é òàê:
ó ðåçóëüòàò³ ä³¿ ñèëè çì³íþºòüñÿ ³ìïóëüñ
ò³ëà; àáî – çì³íà ê³ëüêîñò³ ðóõó ò³ëà äîð³âíþº
³ìïóëüñó âñ³õ ñèë, ùî íà íüîãî ä³þòü:
∆ = υ− υ =
rr r r
0p m m Ft .
Ñàìå ó òàêîìó âèãëÿä³ äðóãèé çàêîí äèíàì³-
êè áóâ ñôîðìóëüîâàíèé ñàìèì ². Íüþòîíîì.
²ìïóëüñ ò³ëà òà ³ìïóëüñ ñèëè º âåêòîðíèìè
âåëè÷èíàìè. Âåêòîð ³ìïóëüñó íàïðàâëåíî òàê
ñàìî, ÿê ³ âåêòîð øâèäêîñò³ ðóõó ò³ëà, à âåêòîð
³ìïóëüñó ñèëè – òàê, ÿê âåêòîð ñèëè.
ßê âèäíî ç íàâåäåíî¿ ôîðìóëè, ³ìïóëüñ ñèëè
õàðàêòåðèçóºòüñÿ äîáóòêîì ñèëè íà ÷àñ ¿¿ ä³¿. Öå
îçíà÷àº, ùî îäíàêîâ³ íàñë³äêè âçàºìîä³¿ ìîæóòü
áóòè îòðèìàí³, êîëè íà ò³ëî ä³º íåçíà÷íà ñèëà, àëå
ïðîòÿãîì òðèâàëîãî ÷àñó, ³ ó ðàç³, ÿêùî âåëèêà
ñèëà ä³º êîðîòêî÷àñíî. ßêùî â³äïîâ³äíî â êîîðäè-
íàòàõ F ³ t â³äîáðàçèòè ìîäóëü ñèëè F1
³ ¿¿ ÷àñ ä³¿ t1
òà ìîäóëü ñèëè F2
ç ¿¿ ÷àñîì ä³¿ t2
(ïðè÷îìó F1
t1
=F2
t2
), òî ïëîù³ çàøòðèõîâàíèõ ïðÿìîêóòíèê³â áóäóòü ð³âíèìè (ìàë. 167).
Öåé âèñíîâîê øèðîêî âèêîðèñòîâóºòüñÿ ³ âðàõîâóºòüñÿ â òåõí³ö³ òà ïîáóò³.
Òàê, ïðàâèëà ðîáîòè íà áàøòîâèõ êðàíàõ çàáîðîíÿþòü ï³äí³ìàòè âåëèê³ âàíòàæ³
ðèâêîì, îñê³ëüêè äëÿ çì³íè ³ìïóëüñó âàíòàæó çà äóæå êîðîòêèé ÷àñ ñë³ä ïðè-
êëàñòè äóæå âåëèêó ñèëó, ÿêà ìîæå ïåðåâèùèòè ì³öí³ñòü òðîñ³â. Òàê ñàìî ïîÿñ-
íþºòüñÿ îáðèâàííÿ ãè÷êè áóðÿêà ÷è ìîðêâè ïðè ð³çêîìó ¿õ âèðèâàíí³ ³ç çåìë³.
Äëÿ «ïîì’ÿêøåííÿ óäàðó» ïðè ãàëüìóâàíí³
íà ð³çíèõ âèäàõ òðàíñïîðòó çàñòîñîâóþòü ðåñîðè
òà àìîðòèçàòîðè: ïðèñòðî¿, çà äîïîìîãîþ ÿêèõ
çá³ëüøóºòüñÿ ÷àñ ãàëüìóâàííÿ ³ òèì ñàìèì çìåí-
øóºòüñÿ ñèëà óäàðó.
ßêùî ñèëà ä³º ï³ä ïåâíèì êóòîì äî íàïðÿìó
ðóõó ò³ëà, òî çì³íà ³ìïóëüñó âèçíà÷àºòüñÿ ïðîåêö³-
ºþ ö³º¿ ñèëè íà â³ñü, ñïðÿìîâàíó âçäîâæ íàïðÿìó
ðóõó (ìàë. 168).
ßêùî ò³ëî çì³íþº íàïðÿì ðóõó, òî çì³íó ³ì-
ïóëüñó âèçíà÷àþòü çà ä³àãðàìîþ ³ìïóëüñ³â. Íàïðè-
êëàä, ì’ÿ÷ ìàñîþ m âäàðÿ-
ºòüñÿ îá ñò³íó ç³ øâèäê³ñòþ
υ
r
1 ï³ä êóòîì α òà â³äë³òàº â³ä
íå¿ç³øâèäê³ñòþ υ
r
2 ï³äêóòîì
β (êóòè âèðàõîâóþòüñÿ ì³æ
íàïðÿìîì ðóõó ³ íîðìàëëþ
Õ äî ñò³íè) (ìàë. 169, à).
Ìàë. 167.
Ð³âí³ ³ìïóëüñè ñèë
Ìàë. 168. Çì³íó ³ìïóëüñó ò³ëà
âèçíà÷àº ïðîåêö³ÿ ñèëè
r
F íà
â³ñü Õ, íàïðÿì ÿêî¿ çá³ãàºòüñÿ
ç íàïðÿìîì ðóõó
Ìàë. 169: à – óäàð ì’ÿ÷à îá ñò³íó; á – ä³àãðàìà ³ìïóëüñ³â

170
Ð Î Ç Ä ² Ë 3
Íà ìàë. 169, á ïîêàçàíî ä³àãðàìó ³ìïóëüñ³â, äå âåêòîð çì³íè ³ìïóëüñó ∆
r
p
âèçíà÷àºòüñÿ çà ïðàâèëîì ïàðàëåëîãðàìà. Ï³ä ÷àñ óäàðó íà ñò³íó ä³º ñèëà
r
F ,
íàïðÿì ÿêî¿ çá³ãàºòüñÿ ç íàïðÿìîì âåêòîðà çì³íè ³ìïóëüñó ∆
r
p .
Ñèñòåìè ò³ë. Çàêîí çáåðåæåííÿ ³ìïóëüñó. Íà ïðàêòèö³ äîâîäèòüñÿ ðîçãëÿ-
äàòè ðóõ íå îäíîãî ò³ëà, à ñï³ëüíèé ðóõ äåê³ëüêîõ âçàºìîä³þ÷èõ ò³ë. Íàïðè-
êëàä, ðóõ ïëàíåò Ñîíÿ÷íî¿ ñèñòåìè. Äëÿ îïèñó ïîâåä³íêè ðóõó ñèñòåìè ò³ë âè-
êîðèñòîâóþòü ïåâí³ âåëè÷èíè, ùî õàðàêòåðèçóþòü ñèñòåìó â ö³ëîìó.
Òàêèìè ïîíÿòòÿìè, íàïðèêëàä, º ìàñà, ³ìïóëüñ ³ öåíòð ìàñ ñèñòåìè.
Ìàñà ñèñòåìè – öå ñóìà âñ³õ ìàñ ò³ë, ùî âõîäÿòü äî ö³º¿ ñèñòåìè
=
= ∑1
N
c i
i
m m .
Öåíòð ìàñ ñèñòåìè ðóõàºòüñÿ ÿê ìàòåð³àëüíà òî÷êà, ìàñà ÿêî¿ äîð³âíþº
ñóìàðí³é ìàñ³ ò³ë ñèñòåìè, à ñèëà, ùî ä³º, – ãåîìåòðè÷í³é ñóì³ çîâí³øí³õ ñèë,
ùî âïëèâàþòü íà ñèñòåìó.
Êîîðäèíàòó öåíòðà ìàñ ñèñòåìè ò³ë ìàñàìè m1
, m2
, ..., mn
, ðîçì³ùåíèõ
íà îäí³é ïðÿì³é, âèçíà÷àþòü çà ôîðìóëîþ:
+ + +
=
+ + +
1 1 2 2
1 2
...
...
n n
n
m x m x m x
x
m m m
,
äå x1
, x2
, ... xn
– êîîðäèíàòè ò³ë.
Íàïðèêëàä, íåîáõ³äíî âèçíà÷èòè ïîëîæåííÿ öåíòðó ìàñ ñèñòåìè «Çåìëÿ –
Ì³ñÿöü». Ââàæàòèìåìî, ùî ïî÷àòîê â³äë³êó â³ñ³ Õ çíàõîäèòüñÿ â öåíòð³ Çåìë³
( =1 0)x , òîä³
⋅ + ⋅
=
+
0 Mm m l
x
m m
= 4660 êì,
äå mÇ
= 5,98 · 1024
êã; mÌ
= 7,35 · 1022
êã; l = 3,84 · 105
êì – ñåðåäíÿ â³äñòàíü ì³æ
öåíòðàìè ò³ë.
Îñê³ëüêè ñåðåäí³é ðàä³óñ Çåìë³ äîð³âíþº 6370 êì, òî öå îçíà÷àº, ùî öåíòð
ìàñ ïëàíåòíî¿ ñèñòåìè «Çåìëÿ – Ì³ñÿöü» ì³ñòèòüñÿ íà ãëèáèí³ 1710 êì â³ä ïî-
âåðõí³ Çåìë³. Çåìëÿ ³ Ì³ñÿöü îáåðòàþòüñÿ êîëîâèìè îðá³òàìè íàâêîëî öåíòðó
ìàñ, à öåíòð ìàñ, ó ñâîþ ÷åðãó, ðóõàºòüñÿ êîëîâîþ îðá³òîþ íàâêîëî Ñîíöÿ.
Ó ïðèðîä³ âñ³ ò³ëà âçàºìîä³þòü ì³æ ñîáîþ. Ïðîòå âçàºìîä³ÿ ç äåÿêèìè ò³-
ëàìè íàñò³ëüêè íåçíà÷íà, ùî ¿¿ ìîæíà íå âðàõîâóâàòè. Äëÿ öüîãî ó ô³çèö³ âè-
êîðèñòîâóþòü ïîíÿòòÿ ³çîëüîâàíî¿, àáî çàìêíåíî¿, ñèñòåìè ò³ë.
²ìïóëüñ ñèñòåìè – öå âåêòîðíà ñóìà ³ìïóëüñ³â ò³ë ñèñòåìè:
=
= ∑
r v
1
N
c i
i
p p àáî
= υ
r r
c c cp m – ³ìïóëüñ ñèñòåìè ò³ë äîð³âíþº äîáóòêó ìàñè ñèñòåìè cm ò³ë íà øâèä-
ê³ñòü ðóõó öåíòðó ìàñ ñèñòåìè υc .
Çàìêíåíà (³çîëüîâàíà) ñèñòåìà – ñèñòåìà ò³ë,
ÿê³ âçàºìîä³þòü ëèøå ì³æ ñîáîþ ³ íå âçàºìîä³þòü ç
ò³ëàìè, ùî íå âõîäÿòü äî ö³º¿ ñèñòåìè.
Ñèëè, ç ÿêèìè âçàºìîä³þòü ò³ëà, ùî âõîäÿòü äî çàìêíåíî¿ ñèñòåìè, íàçè-
âàþòü âíóòð³øí³ìè. Òîæ ìîæíà ñòâåðäæóâàòè, ùî íà çàìêíåíó ñèñòåìó íå
ä³þòü çîâí³øí³ ñèëè.

171
Íåõàé çàìêíåíà ñèñòåìà ì³ñòèòü äâà ò³ëà ìàñàìè m1
òà m2
, ÿê³ ó ïî÷àòêî-
âèé ìîìåíò ó âèáðàí³é ³íåðö³àëüí³é ñèñòåì³ â³äë³êó ìàëè øâèäêîñò³ υ
r
1 òà υ
r
2 .
×åðåç äåÿêèé ÷àñ ¿õ øâèäêîñò³ âíàñë³äîê âçàºìîä³¿ çì³íèëèñÿ äî ′υ
r
1 òà ′υ
r
2 . Çà
òðåò³ì çàêîíîì Íüþòîíà ò³ëà âçàºìîä³þòü ç ñèëàìè ð³âíèìè çà ìîäóëåì ³ ïðî-
òèëåæíèìè çà íàïðÿìîì: = −
r r
1 2F F . Âèðàçèìî ö³ ñèëè çà äðóãèì çàêîíîì Íüþ-
òîíà, çàïèñàâøè éîãî â ³ìïóëüñí³é ôîðì³:
′υ − υ
=
r rr 1 1
1 1F m
t
,
′υ − υ
=
r rr 2 2
2 2F m
t
. Òîä³
′ ′υ − υ υ − υ
= −
r r r r
1 1 1 1 2 2 2 2m m m m
t t
.
ßêùî ïåðåíåñòè ³ìïóëüñè ò³ë äî âçàºìîä³¿ ïî îäèí á³ê ð³âíîñò³, à ï³ñëÿ âçà-
ºìîä³¿ – ïî ³íøèé, òî îòðèìàºìî:
′ ′υ + υ = υ + υ
rr rr
1 1 2 2 1 1 2 2m m m m – çàêîí çáåðåæåííÿ ³ìïóëüñó.
Ñïðàâåäëèâ³ñòü çàêîíó çáåðåæåííÿ ³ìïóëüñó ìè ïîêàçàëè íà ïðèêëàä³ ñèñ-
òåìè, ùî ñêëàäàºòüñÿ ç äâîõ ò³ë, ÿê³ âçàºìîä³þòü. Çàêîí âèêîíóºòüñÿ ³ äëÿ ³çî-
ëüîâàíî¿ ñèñòåìè ç äîâ³ëüíîþ ê³ëüê³ñòþ ò³ë, ùî âçàºìîä³þòü.
Âåêòîðíà ñóìà ³ìïóëüñ³â ò³ë, ÿê³ óòâîðþþòü çà-
ìêíåíó ñèñòåìó, º âåëè÷èíîþ ñòàëîþ ï³ä ÷àñ áóäü-
ÿêèõ ðóõ³â ³ âçàºìîä³é ò³ë ñèñòåìè:
m1
υ
r
1
+ m2
υ
r
2
+ ... + mn
υ
r
n
= const
Çàçíà÷èìî,ùîçàêîíçáåðåæåííÿ³ìïóëüñóìîæíàçàñòîñîâóâàòè³äëÿíå³çî-
ëüîâàíèõ ñèñòåì çà óìîâè, ùî ñóìà ³ìïóëüñ³â çîâí³øí³õ ñèë äîð³âíþº íóëþ.
Ìè îòðèìàëè çàêîí çáåðåæåííÿ ³ìïóëüñó, âèõîäÿ÷è ç çàêîí³â Íüþòîíà,
àëå ñë³ä íàãîëîñèòè, ùî çàêîí çáåðåæåííÿ ³ìïóëüñó íå º íàñë³äêîì çàêîí³â
Íüþòîíà. Öå – ñàìîñò³éíèé ôóíäàìåíòàëüíèé çàêîí ïðèðîäè. À öå îçíà-
÷àº, ùî â³í âèêîíóºòüñÿ äëÿ ò³ë ìàêðî- ³ ì³êðîñâ³òó. Çã³äíî ç öèì çàêîíîì, ùî
á íå â³äáóëîñü ó çàìêíåí³é ñèñòåì³ (ñï³âóäàðè, âèáóõè, õ³ì³÷í³ ðåàêö³¿ òîùî),
³ìïóëüñ ñèñòåìè ò³ë çàëèøàºòüñÿ íåçì³ííèì. Öå óìîæëèâëþº àíàë³ç ðóõó ò³ë
ñèñòåìè íàâ³òü ó òèõ âèïàäêàõ, êîëè âíóòð³øí³ ñèëè íåâ³äîì³.
Îäíèì ³ç ïðèêëàä³â ä³¿ çàêîíó çáåðåæåííÿ ³ìïóëüñó º óäàð. Ï³ä óäàðîì ðîçó-
ì³þòü òàêó âçàºìîä³þ ò³ë, ÿêà çä³éñíþºòüñÿ ìèòòºâî. ßê ïðàâèëî, ï³ä ÷àñ óäàðó
âçàºìîä³ÿ â³äáóâàºòüñÿ ÷åðåç ñèëè ïðóæíîñò³, ÿê³ âèíèêàþòü ó ò³ëàõ óíàñë³äîê ¿õ
äåôîðìàö³¿ ï³ä ÷àñ ñòèñêàííÿ. ßêùî ï³ñëÿ óäàðó ðîçì³ðè ³ ôîðìà âçàºìîä³þ÷èõ
ò³ë ïîâí³ñòþ â³äíîâëþºòüñÿ, òî òàêèé óäàð íàçèâàþòü àáñîëþòíî ïðóæíèì.
Ó ïðèðîä³ ñïîñòåð³ãàþòüñÿ òàêîæ âçàºìîä³¿, ÿê³ íàçèâàþòüñÿ íåïðóæíè-
ìè. Ó òàêèõ âèïàäêàõ ò³ëà, ùî âçàºìîä³þòü, óòâîðþþòü íîâå ò³ëî, ìàñà ÿêîãî
äîð³âíþº ñóì³ ìàñ ò³ë, ÿê³ âçàºìîä³ÿëè.
Ùî òàêå ³ìïóëüñ ò³ëà òà ³ìïóëüñ ñèëè? ßêèé ì³æ íèìè çâ’ÿçîê?1.
ßê çàëåæèòü çì³íà ³ìïóëüñó ò³ëà â³ä çíà÷åííÿ ñèëè ³ ÷àñó ¿¿ ä³¿?2.
ßê ðîçðàõóâàòè çì³íó ³ìïóëüñó ò³ëà, ÿêùî ñèëà ä³º ï³ä êóòîì äî éîãî3.
ïåðåì³ùåííÿ?

172
Ð Î Ç Ä ² Ë 3
ßê ðîçðàõóâàòè çì³íó ³ìïóëüñó ò³ëà, ÿêùî âîíî çì³íþº íàïðÿì ðóõó?4.
ßêó ñèñòåìó ò³ë íàçèâàþòü çàìêíåíîþ? ßê³ ñèëè íàçèâàþòü âíóòð³ø-5.
í³ìè?
Çàäà÷à 1. Ìîëåêóëà ìàñîþ 4,7 · 10−26
êã ïðóæíî âäàðÿºòüñÿ îá ñò³íêó ïî-
ñóäèíè ³ â³äáèâàºòüñÿ â³ä íå¿ áåç âòðàòè øâèäêîñò³. Âèçíà÷èòè ³ìïóëüñ ñèëè,
îòðèìàíèé ñò³íêîþ, ÿêùî ìîëåêóëà ëåòèòü ³ â³äáèâàºòüñÿ: à) ïåðïåíäèêóëÿð-
íî; á) ï³ä êóòîì 30° äî ñò³íêè.
Äàíî:
m = 4,65 · 10−26
êã;
υ0
= 600 ì/ñ
à) Íàïðàâèìî â³ñü Õ ïåðïåí-
äèêóëÿðíîäîñò³íêè(ìàë.170).
Ft – ?
Ï³ä ÷àñ óäàðó ³ìïóëüñ ñèëè, ùî ä³º íà ìîëåêó-
ëó, âèçíà÷àºòüñÿ çà ôîðìóëîþ: = υ − υ
r r r
0Ft m m .
Îñê³ëüêè υ = −υ
r r
0 , òî = − υ
r r
02Ft m . Çíàê «ì³íóñ»
âêàçóº íà òå, ùî ñèëà, ç ÿêîþ ñò³íêà ä³º íà ìîëå-
êóëó, ïðîòèëåæíî íàïðàâëåíà äî âåêòîðà øâèäêî-
ñò³ υ
r
0 . Çà òðåò³ì çàêîíîì Íüþòîíà ìîëåêóëà ä³º íà
ñò³íêó ç òàêîþ ñàìîþ çà ìîäóëåì ñèëîþ, àëå ïðîòè-
ëåæíî íàïðàâëåíîþ.
−
= υ ≈ ⋅ ⋅23
02 5,6 10 H cFt m .
á) Êóò, ï³ä ÿêèì ìîëåêóëà â³äáèâàºòüñÿ â³ä
ñò³íêè, äîð³âíþº êóòó ïàä³ííÿ, áî ìîëåêóëà â³äáè-
âàºòüñÿ â³ä ñò³íêè ïðóæíî. Îñê³ëüêè â³äáèâàºòüñÿ
áåç âòðàòè øâèäêîñò³, òî υ = υ0 . Çà óìîâîþ çàäà÷³,
êóò ì³æ íàïðÿìîì ðóõó ìîëåêóëè ³ ñò³íêîþ äîð³â-
íþº 30°, òîä³ êóò α = 60° (ìàë. 171).
Ï³ä ÷àñ óäàðó ³ìïóëüñ ñèëè, ùî ä³º íà ìîëåêó-
ëó, âèçíà÷àºòüñÿ çà ôîðìóëîþ: = υ − υ
r r r
0Ft m m .
Îñê³ëüêè υ = −υ
r r
0 ó ïðîåêö³ÿõ íà â³ñü Õ, òî:
= υ − − υ = υ α + υ α = υ α0 0 0( ) cos cos 2 cosx xFt m m m m m .
Ñò³íêà îòðèìóº òàêèé ñàìèé çà ìîäóëåì ³ìïóëüñ ñèëè:
26 23
0Ft m −−
= υ ° = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
Â³äïîâ³äü: à) 23
5,6 10 H cFt −
= ⋅ ⋅ ; á) 23
2,8 10 H cFt −
= ⋅ ⋅ .
Çàäà÷à 2. Ëþäèíà ìàñîþ 70 êã ñòî¿òü íà êîðì³ ÷îâíà, ùî çíàõîäèòüñÿ íà îçå-
ð³. Äîâæèíà ÷îâíà – 5 ì, à éîãî ìàñà – 280 êã. Ëþäèíà ïåðåõîäèòü íà í³ñ ÷îâíà.
Íà ÿêó â³äñòàíü â³äíîñíî äíà ïåðåì³ñòèòüñÿ ëþäèíà? Îïîðîì âîäè çíåõòóâàòè.
Äàíî:
m1
= 70 êã;
m2
= 280 êã; l = 5 ì
Ðîçâ’ÿçàííÿ
1-é ñïîñ³á. ²ìïóëüñ ³çîëüîâàíî¿ ñèñòåìè ñòàëèé, à ¿¿ öåíòð
çàëèøàºòüñÿ ó ñòàí³ ñïîêîþ àáî çáåð³ãàº ñâîþ øâèäê³ñòü
íåçì³ííîþ. Òîìó ïîëîæåííÿ öåíòðà ìàñ ñèñòåìè «÷îâåí∆x – ?
Ìàë. 170. Ïðóæíèé
óäàð ìîëåêóëè
ïåðïåíäèêóëÿðíî äî ñò³íêè
Ìàë. 171. Ïðóæíèé óäàð
ìîëåêóëè ï³ä êóòîì
äî ñò³íêè

173
– ëþäèíà» ó ñèñòåì³ êîîðäèíàò, ÿêà ïîâ’ÿçàíà ç âîäîþ, ï³ä ÷àñ ðóõó ëþäèíè íå
çì³íþâàòèìåòüñÿ (ìàë. 172):
+ + +
= =
+ +
2 0 1 2 0 1
2 1 2 1
( )m x m l m x x m x
x
m m m m
,
äå x0
– êîîðäèíàòà öåíòðà òÿæ³ííÿ ÷îâíà äî
ïåðåì³ùåííÿ; x – êîîðäèíàòà íîñà ÷îâíà,
ï³ñëÿ ïåðåì³ùåííÿ òóäè ëþäèíè; l – äîâæè-
íà ÷îâíà – ïî÷àòêîâà êîîðäèíàòà ëþäèíè.
Îòæå, ÷îâåí ïåðåì³ñòèâñÿ íà â³äñòàíü
=
+
1
2 1
m l
x
m m
â³äíîñíî äíà, à ëþäèíà – íà â³äñòàíü
∆ = − =
+
2
2 1
m l
x l x
m m
â³äíîñíî äíà.
280 êã 5 ì
4 ì.
350 êã
x
⋅
∆ = =
2-é ñïîñ³á. Ïîçíà÷èìî ÷åðåç υ øâèäê³ñòü ëþäèíè â³äíîñíî ÷îâíà, u –
øâèäê³ñòü ÷îâíà â³äíîñíî äíà. Äîäàòíèé íàïðÿì îñ³ Õ âèáåðåìî ó íàïðÿì³
ðóõó ëþäèíè. Òîä³ υ−u – øâèäê³ñòü ëþäèíè â³äíîñíî äíà.
Çà çàêîíîì çáåðåæåííÿ ³ìïóëüñó: υ− =1 2( )m u m u . Çâ³äêè
=
υ +
1
1 2
mu
m m
.
Âðàõîâóþ÷è, ùî øëÿõè, ÿê³ ïðîõîäÿòü ëþäèíà ³ ÷îâåí, ïðîïîðö³éí³ ¿õ
øâèäêîñòÿì, òî
= =
υ +
1
1 2
mx u
l m m
. Çâ³äêè =
+
1
2 1
m l
x
m m
– â³äñòàíü, íà ÿêó ïåðåì³ñòèâñÿ ÷îâåí â³äíîñíî äíà. Òîä³ ∆ = − =
+
2
2 1
m l
x l x
m m
â³äñòàíü, íà ÿêó ïåðåì³ñòèëàñü ëþäèíà â³äíîñíî äíà. Îá÷èñëåííÿ:
280 êã 5 ì
4 ì.
350 êã
x
⋅
∆ = =
Â³äïîâ³äü: ∆x = 4 ì.
Вправа 27
1. Êîîðäèíàòà ìàòåð³àëüíî¿ òî÷êè (â ì) âèçíà÷àºòüñÿ ð³âíÿííÿì
= − + 2
5 8 4x t t . Ââàæàþ÷è, ùî ìàñà òî÷êè äîð³âíþº 2 êã, âèçíà÷èòè ³ìïóëüñ ÷å-
ðåç 2 ñ ³ ÷åðåç 4 ñ ï³ñëÿ ïî÷àòêó â³äë³êó ÷àñó.

174
Ð Î Ç Ä ² Ë 3
2. Ì’ÿ÷ ìàñîþ 100 ã, ùî ëåò³â ç³ øâèäê³ñòþ 20 ì/ñ, óäàðèâñÿ îá ãîðèçîí-
òàëüíó ïëîùèíó. Êóò ïàä³ííÿ (êóò ì³æ íàïðÿìîì øâèäêîñò³ ³ ïåðïåíäèêóëÿ-
ðîì äî ïëîùèíè) äîð³âíþº 60°. Âèçíà÷èòè çì³íó ³ìïóëüñó, ÿêùî óäàð àáñîëþò-
íî ïðóæíèé, à êóò â³äáèâàííÿ äîð³âíþº êóòîâ³ ïàä³ííÿ.
3. Ç ÷îâíà ìàñîþ 200 êã, ÿêèé ðóõàºòüñÿ ç³ øâèäê³ñòþ 1 ì/ñ, ñòðèáàº õëîï-
÷èê, ùî ìàº ìàñó 50 êã, ó ãîðèçîíòàëüíîìó íàïðÿì³ ç³ øâèäê³ñòþ 7 ì/ñ. ßêà
øâèäê³ñòü ÷îâíà ï³ñëÿ ñòðèáêà õëîï÷èêà, ÿêùî â³í ñòðèáàº: à) ç êîðìè â á³ê,
ïðîòèëåæíèé ðóõîâ³ ÷îâíà; á) ç íîñà ÷îâíà ó íàïðÿì³ éîãî ðóõó?
4. Êóëüêà ìàñîþ 20 ã ïàäàº íà ãîðèçîíòàëüíó ïîâåðõíþ ç âèñîòè 2,5 ì ³
ïîò³ì ï³äñòðèáóº íà âèñîòó 60 ñì. ßêà çà âåëè÷èíîþ çì³íà âåêòîðà ³ìïóëüñó
êóëüêè ïðè óäàð³?
5. Ì’ÿ÷ ðóõàºòüñÿ ç³ øâèäê³ñòþ υ íàçóñòð³÷ ñò³íö³, ÿêà ðóõàºòüñÿ ç³ øâèä-
ê³ñòþ u. ßêîþ áóäå øâèäê³ñòü ì’ÿ÷à ï³ñëÿ ïðóæíîãî óäàðó?
6. Ñíàðÿä, ùî âèëåò³â ³ç ãàðìàòè, ðîç³ðâàâñÿ ó âåðõí³é òî÷ö³ òðàºêòîð³¿ íà
âèñîò³ 1960 ì íà äâà îäíàêîâèõ óëàìêè. Øâèäê³ñòü ñíàðÿäó ïåðåä âèáóõîì
– 100 ì/ñ. Îäèí ç óëàìê³â ïîëåò³â ãîðèçîíòàëüíî ó çâîðîòíîìó íàïðÿì³, ç á³ëü-
øîþ ó äâà ðàçè øâèäê³ñòþ. Íà ÿê³é â³äñòàí³ áóäóòü óëàìêè îäèí â³ä îäíîãî ïðè
ïàä³íí³ íà çåìëþ?
7. Äâà ÷îâíè ðóõàþòüñÿ ïî ³íåðö³¿ â ñòîÿ÷³é âîä³ íàçóñòð³÷ îäèí îäíîìó ç
îäíàêîâèìè øâèäêîñòÿìè 0,6 ì/ñ. Êîëè ÷îâíè ïîð³âíÿëèñü, òî ç ïåðøîãî íà
äðóãèé ïåðåêëàëè âàíòàæ ìàñîþ 60 êã. Ï³ñëÿ öüîãî äðóãèé ÷îâåí ïðîäîâæóâàâ
ðóõàòèñü â òîìó æ íàïðÿì³, àëå ç øâèäê³ñòþ 0,4 ì/ñ. Âèçíà÷èòè ìàñó äðóãîãî
÷îâíà. Îïîðîì âîäè çíåõòóâàòè.
§ 31 Реактивний рух. Розвиток космонавтики
Âçàºìîä³¿ ó çàìêíåí³é ñèñòåì³.
Áóäîâà ðàêåòè.
Ðîçâèòîê êîñìîíàâòèêè.
Âçàºìîä³¿ ó çàìêíåí³é ñèñòåì³. Ìè âæå çíàºìî, ùî øâèäê³ñòü ò³ëà (â³äíîñ-
íî ³íåðö³àëüíî¿ ñèñòåìè â³äë³êó) ìîæå çì³íþâàòèñÿ ò³ëüêè â ðåçóëüòàò³ ä³¿ íà
öå ò³ëî ³íøèõ ò³ë. Íàïðèêëàä, àâòîìîá³ëü ðîçãàíÿºòüñÿ çàâäÿêè òîìó, ùî éîãî
êîëåñà, îáåðòàþ÷èñü, «â³äøòîâõóþòüñÿ» â³ä äîðîãè. Â³ä ÷îãî ñàìå ìîæíà â³ä-
øòîâõíóòèñü, ÿêùî íàâêîëî í³÷îãî íåìàº – ÿê äëÿ ðàêåòè ó â³äêðèòîìó êîñìî-
ñ³? Ùî çóìîâëþº ðóõ ãàðìàòè ïðè ïîñòð³ë³? Î÷åâèäíî, ó òàêèõ çàìêíåíèõ ñèñ-
òåìàõ ìàþòü â³äáóâàòèñÿ ïåâí³ âçàºìîä³¿, ùî çóìîâëþþòü çì³íó ìåõàí³÷íîãî
ñòàíó ò³ë, ÿê³ ¿¿ óòâîðþþòü.
Íàïðèêëàä, ðîçãëÿíåìî ãóìîâó êóëüêó ç ãàçîì, ùî ëåæèòü íà ñòîë³. ¯¿ ìîæ-
íà ââàæàòè çàìêíåíîþ ñèñòåìîþ, îñê³ëüêè ñèëè, ùî íà íå¿ ä³þòü, âçàºìíî êîì-

175
ïåíñóþòüñÿ. Ãàç ³ ãóìîâà îáîëîíêà âçàºìîä³þòü ì³æ ñîáîþ, àëå öÿ âçàºìîä³ÿ íå
çóìîâëþº çì³íè ìåõàí³÷íîãî ñòàíó ñèñòåìè.
ßêùî ó êóëüö³ çðîáèòè îòâ³ð, ÷åðåç ÿêèé ãàç âèõîäèòèìå íàçîâí³, âîíà ïî-
÷íå ðóõàòèñü ó íàïðÿì³, ïðîòèëåæíîìó íàïðÿìó âèò³êàííÿ ãàçó (ìàë. 173, à).
Ãàç ³ ãóìîâà îáîëîíêà â³äøòîâõóþòüñÿ îäíà â³ä îäíî¿, ùî ³ çóìîâëþº ðóõ. Ïî-
ä³áíå ñïîñòåð³ãàºòüñÿ ³ ïðè ïîñòð³ë³ ç ãàðìàòè: øòîâõàþ÷è ÿäðî, ãàðìàòà ³ ñàìà
â³äøòîâõóºòüñÿ (ìàë. 173, á).
Íàâåäåí³ ïðèêëàäè ðóõó íàçèâàþòü ðåàêòèâíèìè.
Ðåàêòèâíèé ðóõ âèíèêàº ó çâ’ÿçêó ç âèêèäàííÿì ÷àñòèíè ìàñè ò³ëà ç äå-
ÿêîþ øâèäê³ñòþ, ó ðåçóëüòàò³ ÷îãî ÷àñòèíà, ùî çàëè-
øèëàñü, íàáóâàº øâèäêîñò³ ó ïðîòèëåæíîìó íàïðÿì³.
Áóäîâà ðàêåòè. Ïðèêëàäè ðåàêòèâíîãî ðóõó òðàï-
ëÿþòüñÿ ³ â òåõí³ö³, ³ â æèâ³é ïðèðîä³. Ïðàêòè÷íå çà-
ñòîñóâàííÿ ðåàêòèâíîãî ðóõó çíàéøëî ó ðåàêòèâíèõ
âèäàõ òðàíñïîðòó (êîñì³÷í³ ðàêåòè, ðåàêòèâí³ ë³òàêè).
Çàãàëîì ðàêåòà (ìàë. 174) ñêëàäàºòüñÿ ç äâîõ îñíî-
âíèõ ò³ë, ùî óòâîðþþòü çàìêíåíó ñèñòåìó, â ÿê³é âè-
êîíóºòüñÿ çàêîí çáåðåæåííÿ ³ìïóëüñó, – ðîáî÷î¿ ÷àñòè-
íè òà ïàëüíîãî.
Ó ãîëîâí³é ÷àñòèí³ ðàêåòè (1) ðîçòàøîâàí³ êàá³-
íà êîñìîíàâò³â ³ ïðèëàäè. Íà ïî÷àòêó ïîëüîòó íà öþ
÷àñòèíó ïðèïàäàº ëèøå ê³ëüêà â³äñîòê³â â³ä çàãàëüíî¿
ìàñè ðàêåòè. Îñíîâíà ìàñà òà îá’ºì ðàêåòè íà ïî÷àòêó
ïîëüîòó ïðèïàäàþòü íà çàïàñ ïàëüíîãî. Ó áàêàõ ì³ñ-
òÿòüñÿ ïàëüíå (2) òà îêèñëþâà÷ (3), ÿê³ ÷åðåç ôîðñóíêè
ïîòðàïëÿþòü ó êàìåðó çãîðÿííÿ (4). Ïðè âèñîê³é òåì-
ïåðàòóð³ ³ âåëèêîìó òèñêó â êàìåð³ çãîðÿííÿ ïàëüíå
ïåðåòâîðþºòüñÿ íà ãàç (ïðîäóêò çãîðÿííÿ). Ïðîäóêòè
çãîðÿííÿ âèêèäàþòüñÿ ÷åðåç ñîïëî 5. Çà äîïîìîãîþ òà-
êîãî äâèãóíà ï³ä ÷àñ âèêèäàííÿ ïðîäóêò³â çãîðàííÿ é
óòâîðþºòüñÿ ðåàêòèâíà òÿãà, ùî ðóõàº òðàíñïîðòíèé
çàñ³á.
Ïîçíà÷èìî ìàñó îáîëîíêè ðàêåòè (òîáòî ðàêåòè áåç
çàïàñ³â ïàëüíîãî) mîá
, ìàñó ãàçó mã
, à øâèäêîñò³ ðóõó
îáîëîíêè ³ ãàçó â³äïîâ³äíî υ
r
îá
òà υ
r
ã
. Íà ñòàðò³ ðàêåòè
Ìàë. 173. Ðóõ: à – êóëüêè ïðè âèò³êàíí³ ãàçó ç íå¿; á – ãàðìàòè ïðè âèëüîò³ ÿäðà
Ìàë. 174. Áóäîâà
êîñì³÷íî¿ ðàêåòè

176
Ð Î Ç Ä ² Ë 3
ñóìà ³ìïóëüñ³â îáîëîíêè ³ ãàçó äîð³âíþþòü íóëþ ³ çà çàêîíîì çáåðåæåííÿ ³ì-
ïóëüñó öÿ ñóìà ìàº äîð³âíþº íóëþ ³ ï³ñëÿ âçàºìîä³¿: 0 = mîá
υ
r
îá
+ mã
υ
r
ã
.
Ïðîåêòóþ÷èíàâ³ñüêîîðäèíàò,íàïðÿìëåíóóçäîâæøâèäêîñò³ðóõóðàêåòè,
³ âðàõîâóþ÷è, ùî ïðîåêö³¿ øâèäêîñò³ ðàêåòè ³ ãàçó ìàþòü ïðîòèëåæí³ çíàêè,
îäåðæóºìî:
υ
υ =
m
m
.
ßê áà÷èìî, øâèäê³ñòü ðóõó ðàêåòè çá³ëüøóºòüñÿ ç³ çá³ëüøåííÿì øâèäêî-
ñò³ âèëüîòó ãàçó ³ç ñîïëà, à òàêîæ ç³ çá³ëüøåííÿì â³äíîøåííÿ ìàñè ãàçó äî ìàñè
îáîëîíêè.
Íà â³äì³íó â³ä ³íøèõ òðàíñïîðòíèõ çàñîá³â ïðèñòð³é ç ðåàêòèâíèì äâèãó-
íîì ìîæå ðóõàòèñü ó áåçïîâ³òðÿíîìó ïðîñòîð³. Çä³éñíåííÿ ðåàêòèâíîãî ðóõó
íå ïîòðåáóº âçàºìîä³¿ ò³ëà ç íàâêîëèøí³ì ñåðåäîâèùåì.
Ðîçâèòîê êîñìîíàâòèêè. Ñâ³òîâèé ïðîñò³ð, ÿêèé îòî÷óº Çåìëþ, íàçèâàþòü
ãðåöüêèì ñëîâîì êîñìîñ. Ó ïîâñÿêäåííîìó æèòò³ ï³ä öèì ïîíÿòòÿì ðîçóì³-
þòü ïðîñò³ð ïîçà ìåæàìè çåìíî¿ àòìîñôåðè. Êîñìîñ ç äàâí³õ-äàâåí ïðèâåðòàâ
äî ñåáå óâàãó ëþäåé, ÿê³ ñïî÷àòêó ïðàãíóëè ëèøå ï³äíÿòèñÿ ó ïîâ³òðÿ, ùîá
îãëÿíóòè Çåìëþ ç âèñîòè ïòàøèíîãî ïîëüîòó. Êîëè ëþäè íàâ÷èëèñÿ ë³òàòè ³
öÿ ìð³ÿ çáóëàñÿ, ïîñòàëà ïðîáëåìà ïîëüîòó çà ìåæ³ àòìîñôåðè, ó êîñìîñ. Â³í
ïðèâàáëþâàâ íå ò³ëüêè ñâîºþ çàãàäêîâ³ñòþ, à é íîâèìè ìîæëèâîñòÿìè äëÿ ä³-
ÿëüíîñò³ ëþäèíè. Â óìîâàõ êîñì³÷íîãî âàêóóìó ìîæíà çàáåçïå÷èòè òðèâàëèé
÷àñ ðóõó êîñì³÷íîãî àïàðàòà áåç âèòðà÷àííÿ ïàëüíîãî.
Ïåðø³ ó ñâ³ò³ ðàêåòè, ùî áóëè âèêîðèñòàí³ äëÿ ïîäîëàííÿ ñèëè çåìíîãî
òÿæ³ííÿ ³ âèâåäåííÿ íà îðá³òó Çåìë³ ïåðøîãî øòó÷íîãî ñóïóòíèêà òà ïîëüîòó
ïåðøîãî êîñìîíàâòà, ðîçðîáëÿëèñÿ ï³ä êåð³âíèöòâîì íàøîãî ñï³ââ³ò÷èçíèêà
Ñ. Ï. Êîðîëüîâà (ìàë. 175, à). Îäí³ ç ïåðøèõ ð³äèííèõ ðåàêòèâíèõ äâèãóí³â
áóëè ðîçðîáëåí³ ï³ä êåð³âíèöòâîì óêðà¿íñüêîãî ðàäÿíñüêîãî â÷åíîãî, àêàäåì³-
Ìàë. 175. à – Ñ.Ï. Êîðîëüîâ; á – Â.Ï. Ãëóøêî; â – ðåàêòèâíèé äâèãóí
à á â

177
êà Â. Ï. Ãëóøêà (ìàë. 175, á). Ðåàêòèâí³ äâèãóíè éîãî êîíñòðóêö³¿ (ìàë. 175, â)
çàáåçïå÷óâàëè íàä³éíó ðîáîòó êîñì³÷íèõ àïàðàò³â.
Âåëèêó ðîëü ó äîñë³äæåíí³ ðóõó ðàêåò â³ä³ãðàâ òàëàíîâèòèé ðîñ³éñüêèé
ó÷åíèé Ê. Å. Ö³îëêîâñüêèé (ìàë. 176, à), ÿêèé ïåðøèì çàïðîïîíóâàâ óçàãàëü-
íåíó ôîðìóëó äëÿ âèçíà÷åííÿ øâèäêîñò³ ðóõó ðàêåòè («ôîðìóëà ðàêåòè»),
³äåþ áàãàòîñòóï³í÷àñòèõ ðàêåò (ìàë. 176, á) òîùî.
Íàø ñï³ââ³ò÷èçíèê Þ. Â. Êîíäðàòþê (Î. Ã. Øàðãåé) (ìàë. 177, à) íåçàëåæíî
â³ä Ê. Å. Ö³îëêîâñüêîãî, ³íøèìè ìåòîäàìè îòðèìàâ ð³âíÿííÿ ðóõó ðàêåòè, ùî
Ìàë. 176. à – Ê.Å. Ö³îëêîâñüêèé; á – ìîäåëü áàãàòîñòóï³í÷àòî¿ ðàêåòè
à á
Ìàë. 177. à – Þ.Â. Êîíäðàòþê (Î.Ã.Øàðãåé); á – «çîðÿíà òðàñà»
áà

178
Ð Î Ç Ä ² Ë 3
ñòàëî ï³äòâåðäæåííÿì îá’ºêòèâíîãî
õàðàêòåðó ðîçâèòêó â÷åííÿ ïðî ðå-
àêòèâí³ ïðèñòðî¿, çàïðîïîíóâàâ ñâîþ
ìîäåëü áàãàòîñòóï³í÷àñòî¿ ðàêåòè.
Â ³ñòîð³þ ñâ³òîâî¿ àñòðîíàâòèêè óâ³-
éøëà ³ «çîðÿíà òðàñà» (ìàë. 177, á) Þ.
Â. Êîíäðàòþêà – ñõåìà ãðàâ³òàö³éíîãî
ìàíåâðó äëÿ ïîëüîòó íà ³íø³ ò³ëà íà-
øî¿ ïëàíåòíî¿ ñèñòåìè. Öþ ñõåìó âäà-
ëî âèêîðèñòàëè àìåðèêàíñüê³ àñòðî-
íàâòè ï³ä ÷àñ ïîëüîòó íà ïðèðîäíèé
ñóïóòíèê Çåìë³ – Ì³ñÿöü.
Ó 1997 ð. çä³éñíèâ ïîäîðîæ ó êîñ-
ìîñ ³ ãðîìàäÿíèí íåçàëåæíî¿ Óêðà¿íè
Ëåîí³ä Êàäåíþê, ÿêèé ïðîâ³â ñåð³þ
íàóêîâèõ åêñïåðèìåíò³â íà êîñì³÷íî-
ìó êîðàáë³ «Øàòòë».
Ó ö³ëîìó ç 25 íàéâèäàòí³øèõ ó÷å-
íèõ ó ãàëóç³ êîñìîíàâòèêè 23 ìàþòü óêðà¿íñüêå ïîõîäæåííÿ. Íèí³ íàøà êðà¿-
íà º êîñì³÷íîþ äåðæàâîþ, îäí³ºþ ç íåáàãàòüîõ, ùî ïðîåêòóþòü ³ âèãîòîâëÿþòü
ðàêåòè-íîñ³¿ äëÿ âèâåäåííÿ íà îðá³òó øòó÷íèõ ñóïóòíèê³â, êîñì³÷íèõ êîðàáë³â
íà ñòàíö³¿. Â³ò÷èçíÿí³ ðåàêòèâí³ íîñ³¿ «Çåí³ò» ùîðîêó çä³éñíþþòü ïîëüîòè ç
íàçåìíèõ òà ìîðñüêèõ êîñìîäðîì³â (ìàë. 178).
ßêèé ðóõ íàçèâàþòü ðåàêòèâíèì? Íà ÿêîìó çàêîí³ ´ðóíòóºòüñÿ ðåàê-1.
òèâíèé ðóõ?
Äëÿ ïðèñêîðåííÿ ïîòð³áíà ä³ÿ ñèëè, à ñèëà – öå ä³ÿ îäíîãî ò³ëà íà ³íøå.2.
×îìó ïðèñêîðþºòüñÿ ðàêåòà, êîëè â êîñì³÷íîìó ïðîñòîð³ íàâêîëî íåìàº ³íøèõ
ò³ë?
×îìó äëÿ ïîëüîò³â ó êîñìîñ âèêîðèñòîâóþòü ëèøå àïàðàòè ç ðåàêòèâ-3.
íèìè äâèãóíàìè?
ßê³ óêðà¿íñüê³ â÷åí³ çðîáèëè ñóòòºâèé âíåñîê ó äîñë³äæåííÿ òà îñâîºí-4.
íÿ êîñìîñó?
Çàäà÷à. Ãàðìàòà, ùî ñòî¿òü íà ãîðèçîíòàëüí³é ïîâåðõí³, ñòð³ëÿº ï³ä êóòîì
30° äî ãîðèçîíòó. Ìàñà ñíàðÿäà – 20 êã, éîãî ïî÷àòêîâà øâèäê³ñòü – 200 ì/ñ.
ßêà øâèäê³ñòü ãàðìàòè ï³ñëÿ ïîñòð³ëó, ÿêùî ¿¿ ìàñà 500 êã?
Ìàë. 178. Ðàêåòà-íîñ³é íà ñòàðò³

179
Äàíî:
α = 30°;
m1
= 20 êã;
υ1
= 200 ì/ñ;
m2
= 500 êã
Ñïðÿìóºìî â³ñü Õ ó ãîðèçîíòàëüíîìó íàïðÿì³ (ìàë. 179).
Çà çàêîíîì çáåðåæåííÿ ³ìïóëüñó: = υ + υ
r r
1 1 2 20 m m .
Ó ïðîåêö³ÿõ íà â³ñü Õ çàêîí çáåðåæåííÿ ³ìïóëüñó ìàº âèãëÿä:
= υ α − υ1 1 2 20 cosm m .
υ2
– ?
Çâ³äêè
υ α
υ = 1 1
2
2
cosm
m
.
⋅ ⋅
υ = ≈2
20 êã 200ì ñ 0,866
7ì ñ
500 êã
.
Â³äïîâ³äü: υ2
≈ 7 ì/ñ.
Вправа 28
1. ßêó øâèäê³ñòü â³äíîñíî ðàêåò-
íèö³ ìàòèìå ðàêåòà ìàñîþ 600 ã, êîëè
ãàçè ìàñîþ 15 ã âèë³òàþòü ç íå¿ ç³ øâèäê³ñòþ 800 ì/ñ?
2. Ñèãíàëüíà ðàêåòà ìàñîþ 0,25 êã (ðàçîì ç ïîðîõîì) çë³òàº íà âèñîòó
125 ì. Ââàæàþ÷è, ùî ïîðîõ ìàñîþ 50 ã çãîðÿº ìèòòºâî, îá÷èñë³òü øâèäê³ñòü
âèò³êàííÿ ãàç³â.
3. Äî ïîâ³òðÿíî-ðåàêòèâíîãî äâèãóíà ë³òàêà âõîäèòü ùîñåêóíäè ó ñåðåä-
íüîìó 25 êã ïîâ³òðÿ ³ ïàëüíîãî. Øâèäê³ñòü ãàç³â íà âõîä³ äâèãóíà – 250 ì/ñ, à
íà âèõîä³ – 500 ì/ñ. Âèçíà÷òå ñèëó òÿãè äâèãóíà.
4. Ó ðàêåò³, çàãàëüíà ìàñà ÿêî¿ 600 ã, º 350 ã âèáóõîâî¿ ðå÷îâèíè. Íà ÿêó
âèñîòó âîíà ï³äí³ìàºòüñÿ, ÿêùî âñÿ âèáóõîâà ðå÷îâèíà çãîðÿº ìèòòºâî ³ âèë³-
òàº ç³ øâèäê³ñòþ 300 ì/ñ? Îï³ð ïîâ³òðÿ â ø³ñòü ðàç³â çìåíøóº òåîðåòè÷íî ðîç-
ðàõîâàíó âèñîòó ï³äéîìó.
5. Â³ä äâîñòóï³í÷àñòî¿ ðàêåòè çàãàëüíîþ ìàñîþ 1000 êã ó ìîìåíò äîñÿãíåí-
íÿ øâèäêîñò³ 171 ì/ñ â³äîêðåìèâñÿ ¿¿ äðóãèé ñòóï³íü ìàñîþ 400 êã, øâèäê³ñòü
ÿêîãî ïðè öüîìó çá³ëüøèëàñü äî 185 ì/ñ. Âèçíà÷èòè, ç ÿêîþ øâèäê³ñòþ ïî÷àâ
ðóõàòèñÿ ïåðøèé ñòóï³íü ðàêåòè. Øâèäêîñò³ âêàçàíî â³äíîñíî ñïîñòåð³ãà÷à,
ùî çíàõîäèòüñÿ íà Çåìë³.
6. Ïðîäóêòè çãîðàííÿ âèêèäàþòüñÿ ç ñîïëà ðàêåòíîãî äâèãóíà ïîðö³ÿìè ïî
200 ã êîæíà ç ïî÷àòêîâîþ øâèäê³ñòþ 1000 ì/ñ. ßêó øâèäê³ñòü ìàòèìå ðàêåòà
ï³ñëÿ âèêèäàííÿ òðåòüî¿ ïîðö³¿, ÿêùî â ïî÷àòêîâèé ìîìåíò ¿¿ ìàñà áóëà 300 êã,
à ïî÷àòêîâà øâèäê³ñòü äîð³âíþº íóëþ. Ä³þ ñèëè òÿæ³ííÿ íå âðàõîâóâàòè.
7. Ðàêåòà-íîñ³é ëåòèòü ç³ øâèäê³ñòþ υ. Ï³ñëÿ â³äîêðåìëåííÿ ãîëîâíî¿ ÷àñ-
òèíè øâèäê³ñòü ðàêåòè-íîñ³ÿ çìåíøèëàñü âäâîº, à íàïðÿì ¿õ ðóõó çàëèøèâñÿ
ïîïåðåäí³ì. Ó ñê³ëüêè ðàç³â çðîñëà øâèäê³ñòü ðóõó ãîëîâíî¿ ÷àñòèíè, ÿêùî ¿¿
ìàñà ìåíøà ìàñè ðàêåòè-íîñ³ÿ â 6 ðàç³â?
Ìàë. 179. Íàïðÿì ðóõó ò³ë ï³ñëÿ âçàºìîä³¿

180
Ð Î Ç Ä ² Ë 3
§ 32 Момент імпульсу.
Закон збереження моменту імпульсу
Ìîìåíò ³ìïóëüñó.
Çàêîí çáåðåæåííÿ ìîìåíòó ³ìïóëüñó.
Ìîìåíò ³ìïóëüñó. Äëÿ âèâ÷åííÿ ìàòåð³àëó öüîãî ïàðàãðàôà ñë³ä ïîâòîðèòè
âåëè÷èíè ³ çàêîíè, ùî îïèñóþòü îáåðòàëüíèé ðóõ ò³ëà (ìàòåð³àëüíî¿ òî÷êè).
Àíàëîã³÷íî, ÿê ³ ó âèïàäêó ïîñòóïàëüíîãî ðóõó (§ 30), âíåñåìî â îñíîâíå ð³â-
íÿííÿ äèíàì³êè îáåðòàëüíîãî ðóõó ìàòåð³àëüíî¿ òî÷êè ε= JM
rr
âèðàç äëÿ êóòî-
âîãî ïðèñêîðåííÿ:
ω−ω
ε =
∆
0
t
r
r r
. Ìàºìî:
ω− ω
=
∆
0J J
M
t
r rr
(1), àáî ∆ = ω− ω0M t J J
r rr
.
Âðàõîâóþ÷è, ùî äëÿ ìàòåð³àëüíî¿ òî÷êè ìîìåíò ³íåðö³¿ = 2
J mr , à êóòîâà
øâèäê³ñòü
υ
ω =
r
r
r
, ìàºìî: ∆ = υ − υ0M t m r m r
rrr
.
Âåëè÷èíó
r rr
= ω = υL J m r íàçèâàþòü ìîìåíòîì ³ì-
ïóëüñó ìàòåð³àëüíî¿ òî÷êè.
Ìîìåíò ³ìïóëüñó (L
r
) – õàðàêòåðèñòèêà îáåð-
òàëüíîãî ðóõó ìàòåð³àëüíî¿ òî÷êè (÷è ñèñòåìè ìà-
òåð³àëüíèõ òî÷îê), ùî âèçíà÷àºòüñÿ â³äñòàííþ òî-
÷îê â³ä îñ³ îáåðòàííÿ, âåëè÷èíàìè ¿õ ³ìïóëüñ³â ³
íàïðÿìàìè ³ìïóëüñ³â â³äíîñíî îñ³ îáåðòàííÿ.
Íàïðÿì âåêòîðà ìîìåíòó ³ìïóëüñó çá³ãàºòüñÿ ç íàïðÿìîì âåêòîðà êóòîâî¿
øâèäêîñò³.
Òàêèì ÷èíîì, ôîðìóëó (1) ìîæíà çàïèñàòè: M
r
= ∆L
r
/∆t – ìîìåíò ñèëè äî-
ð³âíþº çì³í³ ìîìåíòó ³ìïóëüñó ò³ëà çà îäèíèöþ ÷àñó.
Çàêîí çáåðåæåííÿ ìîìåíòó ³ìïóëüñó. Çì³íà ìîìåíòó ³ìïóëüñó ò³ëà â³äáó-
âàºòüñÿ ëèøå ó ðåçóëüòàò³ ä³¿ çîâí³øí³õ ñèë ³ çàëåæèòü â³ä ìîìåíòó çîâí³øí³õ
ñèë (îáåðòàëüíîãî ìîìåíòó). ßêùî íà ò³ëî íå ä³þòü çîâí³øí³ ñèëè, àáî ¿õ ð³â-
íîä³éíà íå ñòâîðþº ìîìåíòó â³äíîñíî îñ³ îáåðòàííÿ, òî çì³íà ìîìåíòó ³ìïóëü-
ñó òàêîæ äîð³âíþº íóëþ: ∆Jω
r
= M
r
∆t = 0. ßêùî çì³íà âåëè÷èíè ∆ ωJ äîð³âíþº
íóëþ, òî ñàìà âåëè÷èíà çàëèøàºòüñÿ íåçì³ííîþ: Jω
r
= const. Îòæå, ìè îçíà-
éîìèëèñÿ ùå ç îäíèì çàêîíîì çáåðåæåííÿ – çàêîíîì çáåðåæåííÿ ìîìåíòó
³ìïóëüñó:

181
ßêùî íà ñèñòåìó íå ä³þòü ìîìåíòè çîâí³øí³õ
ñèë (çàìêíåíà ñèñòåìà), òî ïîâíèé ìîìåíò ³ì-
ïóëüñó ñèñòåìè ò³ë çàëèøàºòüñÿ ïîñò³éíèì çà
âåëè÷èíîþ ³ íàïðÿìîì:
=
=∑
r
1
n
i
i
L const.
Çá³ëüøåííÿ ìîìåíòó ³ìïóëüñó
îäíîãî ç ò³ë ìàº áóòè ñêîìïåíñîâàíå
â³äïîâ³äíèì çìåíøåííÿì ìîìåíòó
³ìïóëüñó ³íøèõ ò³ë ñèñòåìè.
ßêùî ðîçãëÿäàòè îêðåìî âçÿ-
òå ò³ëî, ÿêå íå çàçíàº ä³¿ çîâí³øí³õ
ñèë ³ íå º òâåðäèì, òîáòî ìîæå çì³-
íþâàòèñü éîãî ìîìåíò ³íåðö³¿, òî
äëÿ òàêîãî ò³ëà òàêîæ âèêîíóºòüñÿ
óìîâà Jω
r
= const. Ïðè öüîìó çì³íà
ìîìåíòó ³íåðö³¿ (íàïðèêëàä, çá³ëü-
øåííÿ) ñóïðîâîäæóºòüñÿ â³äïî-
â³äíîþ çì³íîþ êóòîâî¿ øâèäêîñò³
(çìåíøåííÿ). Ïðîäåìîíñòðóºìî öå
íà ïðèêëàä³.
Õëîï÷èê ñòî¿òü íà êðóãë³é
ïëàòôîðì³, ÿêà ìîæå îáåðòàòèñÿ
íàâêîëî íåðóõîìî¿ îñ³ ìàéæå áåç
òåðòÿ (ìàë. 180). Óíàñë³äîê çì³íè ïîëîæåííÿ ðóê (êðàùå ç ãàíòåëÿìè ó ðóêàõ)
çì³íþºòüñÿ ìîìåíò ³íåðö³¿ ò³ëà, â ðåçóëüòàò³ ÷îãî çì³íþºòüñÿ êóòîâà øâèäê³ñòü
îáåðòàííÿ (ìàë. 180, á).
Òàêó âëàñòèâ³ñòü íà ïðàêòèö³ âèêîðèñòîâóþòü áàëåðèíè, àêðîáàòè, òàíöþ-
ðèñòè, ô³ãóðèñòè ï³ä ÷àñ âèêîíàííÿ ñòðèáê³â, ïåðåâîðîò³â òîùî.
Дайте відповіді на питання
Ùî íàçèâàþòü ìîìåíòîì ³ìïóëüñó?1.
Ñôîðìóëþéòå çàêîí çáåðåæåííÿ ìîìåíòó ³ìïóëüñó.2.
Çà ÿêî¿ óìîâè çì³íà ìîìåíòó ³íåðö³¿ çóìîâëþº çì³íó êóòîâî¿ øâèäêî-3.
ñò³? ßê ïðàêòè÷íî âèêîðèñòîâóºòüñÿ ïðèéîì çì³íè ìîìåíòó ³íåðö³¿?
Çàäà÷à 1. Ãîðèçîíòàëüíà ïëàòôîðìà ìàñîþ M ³ ðàä³óñîì R îáåðòàºòüñÿ ç
êóòîâîþ øâèäê³ñòþ ω. Íà êðàþ ïëàòôîðìè ñòî¿òü ëþäèíà ìàñîþ m. Ç ÿêîþ êó-
òîâîþ øâèäê³ñòþ ω1
îáåðòàòèìåòüñÿ ïëàòôîðìà, ÿêùî ëþäèíà ïåðåéäå ç êðàþ
ïëàòôîðìè äî ¿¿ öåíòðà? Ëþäèíó ìîæíà ââàæàòè ìàòåð³àëüíîþ òî÷êîþ, ïëàò-
ôîðìó – îäíîð³äíèì äèñêîì.
Ìàë. 180. Çì³íà êóòîâî¿ øâèäêîñò³ îáåðòàííÿ
ó ðåçóëüòàò³ çì³íè ìîìåíòó ³íåðö³¿

182
Ð Î Ç Ä ² Ë 3
Çà çàêîíîì çáåðåæåííÿ ìîìåíòó ³ìïóëüñó: Jω
r
= const.
Äàíî:
M;
R;
ω;
m
Ïî÷àòêîâîþ ñóìà ìîìåíò³â ³ìïóëüñ³â ëþäèíè òà ïëàòôîðìè áóëà:
ω+ ω
2
2
2
MR
mR .
ßêùî ëþäèíà ïåðåéäå äî öåíòðà ïëàòôîðìè, òî ìîìåíò ³ìïóëüñó
ñòàíîâèòèìå:
ω1
– ?
ω
2
1
2
MR
.
Çà çàêîíîì çáåðåæåííÿ ìîìåíòó ³ìïóëüñó:
ω+ ω
2
2
2
MR
mR = ω
2
1
2
MR
, çâ³äêè
+
ω = ω1
2M m
M
.
Â³äïîâ³äü:
+
ω = ω1
2M m
M
.
Çàäà÷à 2. Ãîðèçîíòàëüíà ïëàòôîðìà ìàñîþ 80 êã ³ ðàä³óñîì 1 ì îáåðòàºòüñÿ
íàâêîëî âåðòèêàëüíî¿ îñ³, ùî ïðîõîäèòü ÷åðåç ¿¿ öåíòð. Ó öåíòð³ ïëàòôîðìè
ñòî¿òü ëþäèíà ³ òðèìàº â ðîçñòàâëåíèõ ðóêàõ ãàíòåë³. Ïëàòôîðìà îáåðòàºòüñÿ
ç êóòîâîþ øâèäê³ñòþ 2 ðàä/ñ. Ç ÿêîþ êóòîâîþ øâèäê³ñòþ ïî÷íå îáåðòàòèñÿ
ïëàòôîðìà, ÿêùî ëþäèíà îïóñòèòü ðóêè ³ çìåíøèòü ïðè öüîìó ñâ³é ìîìåíò
³íåðö³¿ â³ä 3 äî 1 êã · ì2
? Ïëàòôîðìó ââàæàòè êðóãëèì îäíîð³äíèì äèñêîì.
Äàíî:
M = 80 êã;
R = 1 ì;
ω1
= 2 ðàä/ñ;
J1
= 3 êã · ì2
;
J2
= 1 êã · ì2
Îòæå:
ω + ω = ω + ω
2 2
1 1 1 2 2 2
2 2
MR MR
J J .
Çâ³äêè:
+
ω = ω
+
2
1
2 12
2
2
2
MR J
MR J
.
ω2
– ?
⋅ + ⋅ ⋅
ω = ⋅ =
⋅ + ⋅ ⋅
2 2
2 2 2
80êã 1ì 2 3êã ì
2ðàä ñ 2,1ðàä ñ
80êã 1ì 2 1êã ì
.
Â³äïîâ³äü: ω2
= 2,1 ðàä/ñ.
Вправа 29
1. Ñïîðòñìåí çíàõîäèòüñÿ ó öåíòð³ ïëàòôîðìè, ùî îáåðòàºòüñÿ ç³ øâèäê³ñòþ
1 îá/ñ. Ñïî÷àòêó ñïîðòñìåí òðèìàâ ãàíòåë³ íà âèòÿãíóòèõ ðóêàõ (íà â³äñòàí³ 60 ñì
â³ä îñ³ îáåðòàííÿ). ßê çì³íèòüñÿ øâèäê³ñòü îáåðòàííÿ ïëàòôîðìè, ÿêùî ñïîðòñ-
ìåí ç³ãíå ðóêè (ãàíòåë³ çíàõîäèòèìóòüñÿ íà â³äñòàí³ 10 ñì â³ä îñ³ îáåðòàííÿ).
2. Ëþäèíà, ùî ñòî¿òü ó öåíòð³ ïëàòôîðìè, òðèìàº ó ðóêàõ ñòåðæåíü äîâæè-
íîþ 2,4 ì ³ ìàñîþ 8 êã ó âåðòèêàëüíîìó ïîëîæåíí³ (âçäîâæ îñ³ îáåðòàííÿ ïëàò-
ôîðìè). Ïëàòôîðìà ç ëþäèíîþ îáåðòàºòüñÿ ç ÷àñòîòîþ 1 ñ−1
. Ç ÿêîþ ÷àñòîòîþ
áóäå îáåðòàòèñü ïëàòôîðìà, ÿêùî ëþäèíà ïîâåðíå ñòåðæåíü ó ãîðèçîíòàëüíå
ïîëîæåííÿ? Ñóìàðíèé ìîìåíò ³íåðö³¿ ëþäèíè ³ ïëàòôîðìè – 6 êã · ì2
.

183
3. Íà êðàþ ãîðèçîíòàëüíî¿ ïëàòôîðìè, ùî ìàº ôîðìó äèñêà ðàä³óñîì
R = 2 ì, ñòî¿òü ëþäèíà ìàñîþ m1
= 80 êã. Ìàñà ïëàòôîðìè m2
= 240 êã. Ïëàòôîð-
ìà ìîæå îáåðòàòèñü íàâêîëî âåðòèêàëüíî¿ îñ³, ùî ïðîõîäèòü ÷åðåç ¿¿ öåíòð. Ç
ÿêîþ êóòîâîþ øâèäê³ñòþ áóäå îáåðòàòèñü ïëàòôîðìà, ÿêùî ëþäèíà áóäå éòè
âçäîâæ ¿¿ êðàþ ç³ øâèäê³ñòü υ = 2 ì/ñ â³äíîñíî ïëàòôîðìè?
4. Ïëàòôîðìà ó ôîðì³ äèñêà ìîæå îáåðòàòèñü íàâêîëî âåðòèêàëüíî¿ îñ³.
Íà êðàþ ïëàòôîðìè ñòî¿òü ëþäèíà ìàñîþ m1
= 60 êã. Íà ÿêèé êóò ïîâåðíåòüñÿ
ïëàòôîðìà, ÿêùî ëþäèíà ï³äå êðàºì ïëàòôîðìè, ³ îá³éøîâøè ¿¿ ïî êîëó ïîâåð-
íåòüñÿ ó ïî÷àòêîâå ïîëîæåííÿ? Ìàñà ïëàòôîðìè m2
= 240 êã. Ìîìåíò ³íåðö³¿
ëþäèíè ðîçðàõîâóâàòè ÿê äëÿ ìàòåð³àëüíî¿ òî÷êè.
5. Äîâåñòè, ùî ëþäèíà, ÿêà ñòî¿òü íà ³äåàëüíî ãëàäê³é ãîðèçîíòàëüí³é ïî-
âåðõí³, çìîæå ïðîâåðíóòèñü íàâêîëî âåðòèêàëüíî¿ îñ³, ÿêùî ïî÷íå îáåðòàòè
ðóêó íàä ãîëîâîþ.
§ 33 Механічна робота. Потужність
Ðîáîòà ñèëè.
Ïîòóæí³ñòü.
Êîåô³ö³ºíò êîðèñíî¿ ä³¿.
Ðîáîòà ñèëè. Äðóãèé çàêîí Íüþòîíà ó ôîðì³ p F t∆ = ∆
rr
äîçâîëÿº âèçíà÷èòè,
ÿê çì³íþºòüñÿ øâèäê³ñòü ðóõó ò³ëà çà ìîäóëåì òà íàïðÿìîì, ÿêùî íà íüîãî
ïðîòÿãîì ³íòåðâàëó ÷àñó ∆t ä³º ñèëà F
r
.
Ó áàãàòüîõ âèïàäêàõ íåîáõ³äíî âì³òè âèçíà÷àòè çì³íó ëèøå ìîäóëÿ øâèä-
êîñò³, ÿêùî ò³ëî çä³éñíþº ïåðåì³ùåííÿ s
r
ï³ä ä³ºþ ñèëè F
r
. Ó öüîìó âèïàäêó
êîðèñòóþòüñÿ ïîíÿòòÿì ðîáîòè ñèëè.
Ðîáîòà ñèëè (À) – ô³çè÷íà âåëè÷èíà, ùî õàðàêòå-
ðèçóº ä³þ ñèëè íà ò³ëî. Âèçíà÷àºòüñÿ ñêàëÿðíèì
äîáóòêîì ñèëè íà ïåðåì³ùåííÿ, ÿêå çä³éñíþº òî÷-
êà ïðèêëàäàííÿ ñèëè: ( ) cosA F s Fs= ⋅ = α
r r
, äå α – êóò
ì³æ âåêòîðàìè ñèëè ³ ïåðåì³ùåííÿ.
Ðîáîòà – âåëè÷èíà ñêàëÿðíà.
Îäèíèöÿ ðîáîòè – äæîóëü, [À] = 1Äæ = 1Í · ì.
×àñòî âèêîðèñòîâóþòü ÿê îäèíèöþ ðîáîòè êÂò · ãîä: 1 êÂò · ãîä = 3,6 · 106
Äæ.
Ç ôîðìóëè = αcosA Fs âèïëèâàº, ùî ðîáîòà ìîæå áóòè äîäàòíîþ, â³ä’ºìíîþ
àáî äîð³âíþâàòè íóëþ, çàëåæíî â³ä òîãî, ÿêèé êóò óòâîðþº íàïðÿì ñèëè ç íàïðÿ-
ìîì ïåðåì³ùåííÿ: A >0, ÿêùî α < 0; A = 0, ÿêùî α = 90°; A < 0, ÿêùî α > 90°.

184
Ð Î Ç Ä ² Ë 3
Íàïðèêëàä, ï³ä ÷àñ ð³âíîì³ðíîãî ï³äíÿòòÿ âàíòàæó çà äîïîìîãîþ ï³äéîì-
íîãî êðàíà, íà âàíòàæ ä³º ñèëà íàòÿãó òðîñó, íàïðàâëåíà âãîðó (ó íàïðÿì³ ðóõó
âàíòàæó), ³ ñèëà òÿæ³ííÿ – íàïðàâëåíà âíèç (ïðîòè ðóõó âàíòàæó). Ó òàêîìó
âèïàäêó ðîáîòà ñèëè íàòÿãó äîäàòíà, à ðîáîòà ñèëè òÿæ³ííÿ – â³ä’ºìíà. Îñê³ëü-
êè ðóõ âàíòàæó ð³âíîì³ðíèé, òî ñèëè ð³âí³ çà ìîäóëåì. Ðîáîòè ñèë ð³âí³ çà ìî-
äóëåì ³ ïðîòèëåæí³ çà çíàêîì (à íå çà íàïðÿìîì, îñê³ëüêè ðîáîòà – âåëè÷èíà
ñêàëÿðíà).
Ó âèïàäêó ð³âíîì³ðíîãî ðóõó ò³ëà ïî êîëó, ðîáîòà ñèëè, ùî çóìîâëþº òà-
êèé ðóõ, äîð³âíþº íóëþ, îñê³ëüêè âåêòîð øâèäêîñò³ (à îòæå, ³ ïåðåì³ùåííÿ)
íàïðÿìëåíèé ïåðïåíäèêóëÿðíî äî íàïðÿìó ä³¿ ñèëè. Íàïðèêëàä, ïðè îáåðòàí-
í³ ò³ëà, çàêð³ïëåíîãî íà ìîòóçö³, ñèëà íàòÿãó ìîòóçêè íå âèêîíóº ðîáîòè, õî÷à
ñàìå âîíà çìóøóº ò³ëî òàê ðóõàòèñÿ. Íå âèêîíóº ðîáîòè ³ ñèëà âñåñâ³òíüîãî òÿ-
æ³ííÿ, ï³ä ä³ºþ ÿêî¿ îáåðòàþòüñÿ øòó÷í³ ñóïóòíèêè Çåìë³.
Â³ä’ºìíó ðîáîòó âèêîíóþòü, íàïðèêëàä, ñèëè òåðòÿ. ßêùî ò³ëà çì³ùó-
þòüñÿ îäíå â³äíîñíî ³íøîãî, òî ñèëà òåðòÿ çàâæäè ñïðÿìîâàíà ïðîòèëåæíî
íàïðÿìó ïåðåì³ùåííÿ êîæíîãî ò³ëà. Îòæå, êóò ì³æ ñèëîþ ³ ïåðåì³ùåííÿì
α = 180°, à cosα = −1. Âðàõîâóþ÷è öå, ðîáîòó ñèëè òåðòÿ ìîæíà îá÷èñëèòè òàê:
A = Fòåð
s cosα = −µNs.
Ðîáîòà ñèë òåðòÿ çàâæäè ñóïðîâîäæóºòüñÿ íàãð³âàííÿì ò³ë, ùî âçàºìîä³-
þòü, òîáòî äî çá³ëüøåííÿ ¿õ âíóòð³øíüî¿ åíåðã³¿.
ßêùî íà ò³ëî îäíî÷àñíî ä³º ê³ëüêà ñèë, âîíè âèêîíóþòü ðîáîòó òàêîæ îä-
íî÷àñíî. Ó òàêîìó âèïàäêó F ó ôîðìóë³ äëÿ ðîáîòè îçíà÷àº ìîäóëü ð³âíîä³é-
íî¿ âñ³õ ñèë.
Òîä³, êîëè òðàºêòîð³ÿ ðóõó ñêëàäíà ³ ñèëà çì³íþº ñâ³é
íàïðÿì, ïîòð³áíî îá÷èñëèòè ðîáîòó íà îêðåìèõ ïîñë³äîâ-
íèõ ä³ëÿíêàõ òðàºêòîð³¿, â ìåæàõ ÿêèõ çíà÷åííÿ ñèëè F ³
êóòà α º ñòàëèìè.
ßêùî íà ò³ëî ä³º çì³ííà ñèëà, òî âèêîðèñòîâóþòü êðà-
ô³÷íèé ìåòîä îá÷èñëåííÿ ðîáîòè.
Íåõàé íà ò³ëî ä³º ïîñò³éíà çà âåëè÷èíîþ ³ íàïðÿìîì
ñèëà F1
, ï³ä ä³ºþ ÿêî¿ âîíî ïåðåì³ùàºòüñÿ íà â³äñòàíü s.
Òîä³, â³äêëàâøè ó âèáðàíîìó ìàñøòàá³ ïî îñ³ îðäèíàò
çíà÷åííÿ ñèëè, à ïî îñ³ àáñöèñ – äîâæèíó ïåðåì³ùåííÿ,
ç’ÿñîâóºìî, ùî ðîáîòà ó âèáðàíîìó ìàñøòàá³ äîð³âíþº
ïëîù³ ïðÿìîêóòíèêà 1OF BC (ìàë. 181, à).
ßêùî ñèëà, ùî ä³º íà ò³ëî, çì³íþºòüñÿ, òî äëÿ îá÷èñ-
ëåííÿ ðîáîòè ö³º¿ ñèëè ïåðåì³ùåííÿ ðîçáèâàþòü íà åëå-
ìåíòàðí³ ä³ëÿíêè, ó ìåæàõ ÿêèõ ñèëó ìîæíà ââàæàòè
ïîñò³éíîþ âåëè÷èíîþ. Âèçíà÷èâøè ðîáîòó íà êîæíîìó
åëåìåíòàðíîìó ïåðåì³ùåíí³ (ìàë. 181, á) ³ îá÷èñëèâøè
àëãåáðà¿÷íó ñóìó öèõ ðîá³ò, îòðèìóºìî çíà÷åííÿ ïîâíî¿ ðîáîòè çì³ííî¿ ñèëè,
ÿêà äîð³âíþº ïëîù³ ô³ãóðè 1OF BC , îáìåæåíî¿ â³ññþ àáñöèñ ³ ãðàô³êîì ñèëè
(ìàë. 181, á).
Ó âèïàäêó, êîëè ñèëà çì³íþºòüñÿ ó áóäü-ÿêèé ìîìåíò ÷àñó íà îäíó ³ òó
ñàìó âåëè÷èíó, òîáòî ñèëà ïðîïîðö³éíà ïåðåì³ùåííþ F = ks (íàïðèêëàä, ñèëà
Ìàë. 181.
Ãðàô³÷íèé ìåòîä
âèçíà÷åííÿ ðîáîòè

185
ïðóæíîñò³), òî çíà÷åííÿ ðîáîòè ÷èñåëüíî äîð³âíþº ïëîù³ òðèêóòíèêà OBC
(ìàë. 181, â), òîáòî A = Fs/2.
Ïîòóæí³ñòü. Øâèäê³ñòü âèêîíàííÿ ðîáîòè õàðàêòåðèçóºòüñÿ òàêîþ âåëè-
÷èíîþ, ÿê ïîòóæí³ñòü.
Ïîòóæí³ñòü – ñêàëÿðíà ô³çè÷íà âåëè÷èíà, ÿêà
õàðàêòåðèçóº øâèäê³ñòü ïåðåòâîðåííÿ åíåðã³¿ ç îä-
íîãî âèäó â ³íøèé (³íøèìè ñëîâàìè – øâèäê³ñòü
âèêîíàííÿ ðîáîòè):
∆
= =
E A
N
t t
.
Îäèíèöåþ ïîòóæíîñò³ º âàò, [ ]= =
Äæ
1Âò 1
ñ
N .
Ïîòóæí³ñòü ðàí³øå âèì³ðþâàëè ê³íñüêèìè ñèëàìè: 1 ê. ñ. = 735 Âò.
Ðîçãëÿíóòà ôîðìóëà îïèñóº ñåðåäíþ ïîòóæí³ñòü. ßêùî çìåíøóâàòè ³íòåð-
âàë ÷àñó, ïðîòÿãîì ÿêîãî âèêîíóºòüñÿ ðîáîòà, ìîæíà âèçíà÷èòè ìèòòºâó ïî-
òóæí³ñòü.
Ìèòòºâà ïîòóæí³ñòü – ñêàëÿðíà ô³çè÷íà âå-
ëè÷èíà, ÿêà äîð³âíþº â³äíîøåííþ ðîáîòè äî ³íòåð-
âàëó ÷àñó ∆t, ïðîòÿãîì ÿêîãî âîíà âèêîíóºòüñÿ, çà
óìîâè, ùî ∆t → 0.
∆ →
∆ ∆
= =
∆ ∆0
lim limx
x
t
F x x
N F
t t
.
Îñê³ëüêè
∆ →
∆
= υ
∆0
lim x
t
x
t
, òî ìèòòºâà ïîòóæí³ñòü âèçíà÷àºòüñÿ äîáóòêîì ïðî-
åêö³¿ ñèëè, ùî ä³º íà ò³ëî, ³ øâèäê³ñòþ, íàïðàâëåíîþ ó íàïðÿì³ ïåðåì³ùåííÿ:
= υõ õN F .
Öÿ çàêîíîì³ðí³ñòü ïðàêòè÷íî âèêîíóºòüñÿ ï³ä ÷àñ ðóõó òðàíñïîðòíèõ çà-
ñîá³â. Çà ð³âíîì³ðíîãî ðóõó òðàíñïîðòó äâèãóí âèêîíóº ðîáîòó ïðîòè ñèë îïî-
ðó. ² â³ä òîãî, íàñê³ëüêè âåëèêîþ º öÿ ñèëà, çàëåæèòü øâèäê³ñòü ðóõó:
υ =
N
F
– øâèäê³ñòü òðàíñïîðòíîãî çàñîáó ï³ä ÷àñ
ð³âíîì³ðíîãî ðóõó ïðîïîðö³éíà ïîòóæíîñò³ ³ îáåð-
íåíî ïðîïîðö³éíà ñèë³ îïîðó.
Äëÿ äîâ³ëüíîãî çì³ííîãî ðóõó ò³ëà ìîæíà òàêîæ
âèçíà÷èòè ñåðåäíþ ïîòóæí³ñòü Nñåð
÷åðåç ñåðåäíþ
øâèäê³ñòü υñåð
: Nñåð
= F υñåð
.
Êîåô³ö³ºíò êîðèñíî¿ ä³¿. Êîæåí âèä åíåðã³¿ ìîæå ïåðåòâîðþâàòèñÿ ïîâí³ñ-
òþ ó äîâ³ëüíèé ³íøèé âèä åíåðã³¿. Îäíàê ó âñ³õ ðåàëüíèõ åíåðãåòè÷íèõ ìàøè-
íàõ, êð³ì ïåðåòâîðåíü åíåðã³¿, äëÿ ÿêèõ âèêîðèñòîâóþòüñÿ ö³ ìàøèíè, â³äáó-
âàþòüñÿ ïåðåòâîðåííÿ åíåðã³¿, ÿê³ íàçèâàþòü âòðàòàìè åíåðã³¿.

186
Ð Î Ç Ä ² Ë 3
×èì ìåíøå âòðà÷àºòüñÿ åíåðã³¿, òèì äîñêîíàë³øà ìàøèíà. Ñòóï³íü äîñêî-
íàëîñò³ ìàøèíè õàðàêòåðèçóºòüñÿ êîåô³ö³ºíòîì êîðèñíî¿ ä³¿ (ÊÊÄ).
ÊÊÄ âèçíà÷àþòü ÿê â³äíîøåííÿ êîðèñíî¿ ðîáî-
òè äî çàòðà÷åíî¿ àáî â³äíîøåííÿ ïîòóæíîñòåé:
η = =
A N
N
.
Ó Ñ² η âèçíà÷àºòüñÿ â ÷àñòêàõ, à ïîçà Ñ² – ó â³äñîòêàõ.
Êîåô³ö³ºíò êîðèñíî¿ ä³¿ çàâæäè ìåíøèé çà îäèíèöþ. Çíàþ÷è ÊÊÄ ïåâíîãî
äâèãóíà ÷è ìàøèíè, ìîæíà îá÷èñëèòè âèêîíàíó êîðèñíó ðîáîòó Aêîð
= ηAçàòð
àáî
êîðèñíó ïîòóæí³ñòü Nêîð
= ηNçàòð
.
ßêó ðîáîòó íàçèâàþòü ìåõàí³÷íîþ? ßêà ôîðìóëà âèðàæàº ¿¿ çì³ñò? Ó1.
ÿêèõ âèïàäêàõ ïðî ñèëó ìîæíà ñêàçàòè, ùî âîíà âèêîíóº ðîáîòó?
Êîëè ñèëà âèêîíóº äîäàòíó ðîáîòó, à êîëè – â³ä’ºìíó? Çà ÿêî¿ óìîâè2.
ñèëà, ïðèêëàäåíà äî ðóõîìîãî ò³ëà, íå âèêîíóº ðîáîòó?
Àâòîìîá³ëü ðóõàºòüñÿ ïî ð³âí³é äîðîç³. ×è çä³éñíþº ðîáîòó ñèëà òÿæ³í-3.
íÿ, ùî ä³º íà àâòîìîá³ëü?
Ò³ëî êèíóòî âåðòèêàëüíî âãîðó. Âêàæ³òü, äîäàòíó ÷è â³ä’ºìíó ðîáîòó4.
âèêîíóº ñèëà òÿæ³ííÿ: à) ï³ä ÷àñ ï³äíÿòòÿ ò³ëà; á) ï³ä ÷àñ éîãî ïàä³ííÿ.
Â³ä ÷îãî çàëåæèòü ðîáîòà ñèëè òåðòÿ? ×è ìîæå ðîáîòà ñèëè òåðòÿ äî-5.
ð³âíþâàòè íóëþ?
Ùî íàçèâàºòüñÿ ïîòóæí³ñòþ? ßê ¿¿ îá÷èñëèòè?6.
Ùî ïîêàçóº êîåô³ö³ºíò êîðèñíî¿ ä³¿?7.
Загальні рекомендації щодо розв’язування задач на механічну роботу
Ïðàâèëà ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàäà÷ ïðî ðîáîòó ïîñò³éíî¿ ñèëè:
• âèêîíàòè ìàëþíîê, ïîêàçàâøè íà íüîìó ñèëè, ïðèêëàäåí³ äî ò³ëà;
• óñòàíîâèòè, ðîáîòó ÿêî¿ ñèëè ïîòð³áíî âèçíà÷èòè, ³ çàïèñàòè âèõ³äíó
ôîðìóëó A = Fscosα, äå F ìîæå áóòè ÿê ð³âíîä³éíîþ, òàê é îêðåìîþ ñèëîþ;
• óñòàíîâèòè, ÷îìó äîð³âíþº êóò α ì³æ âåêòîðîì ñèëè, ðîáîòó ÿêî¿ ïîòð³á-
íî îá÷èñëèòè, ³ íàïðÿìîì ïåðåì³ùåííÿ (øâèäêîñò³);
• ÿêùî ñèëó â óìîâ³ çàäà÷³ íå çàäàíî, ¿¿ òðåáà âèçíà÷èòè ç ð³âíÿííÿ äðó-
ãîãî çàêîíó äèíàì³êè;
• âèçíà÷èòè çíà÷åííÿ ïåðåì³ùåííÿ (ÿêùî âîíî íåâ³äîìå) çà ôîðìóëàìè
ê³íåìàòèêè;
• ï³äñòàâèòè çíàéäåí³ âèðàçè äëÿ F ³ s ó ôîðìóëó ðîáîòè ³ âèêîíàòè îá÷èñ-
ëåííÿ.
Ðîçïî÷èíàþ÷è ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàäà÷, ïîâ’ÿçàíèõ ç ðîçðàõóíêîì ïîòóæíîñ-
ò³, ùî ðîçâèâàºòüñÿ ïîñò³éíîþ ñèëîþ, ïîòð³áíî:
• óñòàíîâèòè, ÿêó ïîòóæí³ñòü ïîòð³áíî âèçíà÷èòè, – ñåðåäíþ ÷è ìèòòºâó;
• çàïèñàòè âèõ³äíó ôîðìóëó, ðîçóì³þ÷è ï³ä υ ó ïåðøîìó âèïàäêó ñåðåäíþ
øâèäê³ñòü íà çàäàí³é ä³ëÿíö³ øëÿõó, â äðóãîìó – ìèòòºâó;

187
• âèêîíàòè ìàëþíîê, ïîêàçàâøè íà íüîìó âñ³ ñèëè, ïðèêëàäåí³ äî ò³ëà, ³
çàäàí³ ê³íåìàòè÷í³ õàðàêòåðèñòèêè ðóõó;
• ñêëàñòè îñíîâíå ð³âíÿííÿ äèíàì³êè ìàòåð³àëüíî¿ òî÷êè ³ âèçíà÷èòè ç
íüîãî ñèëó òÿãè F;
• ÿêùî çíà÷åííÿ υñåð
÷è υìèò
íå çàäàíî, òî âèçíà÷èòè ¿õ ³ç ôîðìóë ê³íåìà-
òèêè;
• ï³äñòàâèòè ó ôîðìóëó ïîòóæíîñò³ âèçíà÷åí³ âåëè÷èíè ³ âèêîíàòè îñòà-
òî÷íèé ðîçðàõóíîê.
Äëÿ ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàäà÷ íà ðîáîòó çì³ííî¿ ñèëè çàñòîñîâóþòü ãðàô³÷íèé
ìåòîä îá÷èñëåííÿ ðîáîòè.
Çàäà÷à 1. Äâîº ðîá³òíèê³â ïåðåñóâàþòü ð³âíîì³ðíî ïî ï³äëîç³ ÿùèê, ïðè öüî-
ìó îäèí øòîâõàº éîãî ç ñèëîþ 300 Í ï³ä êóòîì 30° äî ï³äëîãè, à ³íøèé – òÿãíå
éîãî ç òàêîþ ñàìîþ ñèëîþ çà ìîòóçêó, ùî óòâîðþº ç ï³äëîãîþ êóò 45°. ßêó ðîáî-
òó âèêîíàþòü ðîá³òíèêè, ð³âíîì³ðíî ïåðåñóíóâøè ÿùèê íà â³äñòàíü 20 ì?
Äàíî:
α = 30°;
F1
= F2
= 300 H;
β = 45°;
s = 20 ì
Ñïðÿìóºìî â³ñü Õ ó íàïðÿì³
ðóõó (ìàë. 182) ³ âêàæåìî ñèëè, ùî
ä³þòü íà ÿùèê.
A – ?
Çà äðóãèì çàêîíîì Íüþòîíà
,
îñê³ëüêè ðóõ ð³âíîì³ðíèé.
Ó ïðîåêö³¿ íà â³ñü Õ: F1
cosα + F2
cosβ − Fòåð
= 0.
Êîðèñíà ðîáîòà çàòðà÷àºòüñÿ íà ïîäîëàííÿ ñèëè òåðòÿ, òîìó
A = (F1
cosα + F2
cosβ) · s.
A = (300 Í · cos30° + 300 Í · cos45°) · 20 ì = 9,4 êÄæ.
Â³äïîâ³äü: A = 9,4 êÄæ.
Çàäà÷à 2. ßêó ðîáîòó âèêîíóº åëåêòðîâîç çà 10 õâ, ïåðåì³ùàþ÷è ïî ãîðè-
çîíòàëüí³é ä³ëÿíö³ êîë³¿ ïîòÿã ìàñîþ 3000 ò ç³ øâèäê³ñòþ 54 êì/ãîä, ÿêùî êî-
åô³ö³ºíò îïîðó 0,005?
Äàíî:
t = 10 õâ = 600 c;
m = 3 · 106
êã;
υ = 54 êì/ãîä = 15 ì/c;
µ = 0,005
Îñê³ëüêè ðóõ ïîòÿãà ð³âíîì³ðíèé ³ ïðÿìîë³í³éíèé,
òî äðóãèé çàêîí Íüþòîíà ìàº âèãëÿä:
r
F +
r
Fòåð
= 0.
Ó ïðîåêö³¿ íà ãîðèçîíòàëüíó â³ñü:
F = Fòåð
,
äå Fòåð
= µmg.A – ?
Ðîáîòà äîð³âíþº A = Fs, äå ïåðåì³ùåííÿ s = υt.
Îñòàòî÷íà ôîðìóëà: A = µmgυt.
ùî ä³þòü íà ò³ëî

188
Ð Î Ç Ä ² Ë 3
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅6 2 6
0,005 3 10 êã 9,8ì ñ 15ì ñ 600 ñ 1323 10 ÄæA .
Â³äïîâ³äü: A = 1,32 ÃÄæ.
Вправа 30
1. Ñïëàâíèê, ïåðåñóâàþ÷è áàãðîì ïë³ò, ïðèêëàäàº äî áàãðà ñèëó 200 Í. ßêó
ðîáîòó âèêîíóº ñïëàâíèê, ïåðåì³ùàþ÷è ïë³ò íà â³äñòàíü 10 ì, ÿêùî êóò ì³æ
íàïðÿìîì ñèëè ³ íàïðÿìîì ïåðåì³ùåííÿ ñòàíîâèòü 45°?
2. Íà ÿêó â³äñòàíü õëîï÷èê ïåðåì³ñòèâ ñàíêè, ïðèêëàäàþ÷è äî ìîòóçêè ñà-
íîê ñèëó 23 Í ï³ä êóòîì 30° äî íàïðÿìó ðóõó ³ âèêîíàâøè ðîáîòó 1,2 êÄæ?
3. ßêó ðîáîòó òðåáà âèêîíàòè, ùîá ïî ïîõèë³é ïëîùèí³ ç êóòîì íàõèëó 30°
ï³äíÿòè âàíòàæ ìàñîþ 400 êã íà âèñîòó 2 ì ïðè êîåô³ö³ºíò³ òåðòÿ 0,3? ßêèé
ïðè öüîìó ÊÊÄ?
4. Òðàêòîð ï³ä ÷àñ îðàíêè, ðóõàþ÷èñü ç³ øâèäê³ñòþ 4 ì/ñ, ðîçâèâàº êîðèñ-
íó ïîòóæí³ñòü 40 êÂò. ßêó ñèëó îïîðó äîëàº òðàêòîð?
5. Ïî ãîðèçîíòàëüí³é äîðîç³ ïî÷èíàþòü âåçòè ñàíêè ç âàíòàæåì çà ìîòóçêó,
ùî óòâîðþº ç ãîðèçîíòîì êóò 30î
, ïðèêëàäàþ÷è çóñèëëÿ 450 Í. Âèçíà÷èòè ðîáî-
òó çà 10 ñ ðóõó, ÿêùî â³äîìî, ùî çà 20 ñ ðóõó ñàíêè íàáóâàþòü øâèäêîñò³ 6 ì/ñ.
6. Â³êîííó øòîðó ìàñîþ 1 êã òà äîâæèíîþ 2 ì ïðè â³äêðèâàíí³ â³êíà ñêðó-
÷óþòü ó òîíêèé âàëèê á³ëÿ âåðõíüî¿ ÷àñòèíè â³êíà. ßêó ïðè öüîìó âèêîíóþòü
ðîáîòó?
7. Ç øàõòè ãëèáèíîþ 200 ì ï³äí³ìàþòü òÿãàð ìàñîþ 500 êã íà êàíàò³, êî-
æåí ìåòð ÿêîãî ìàº 1,5 êã/ì. ßêà ðîáîòà âèêîíóºòüñÿ ïðè ï³äí³ìàíí³ òÿãàðÿ?
ßêèé ÊÊÄ óñòàíîâêè?
8. Âàíòàæ ìàñîþ m ï³äí³ìàþòü íà âèñîòó h. ×è çàëåæèòü ïðè öüîìó ðîáîòà,
ÿêó âèêîíóº ï³äí³ìàëüíèé ìåõàí³çì, â³ä øâèäêîñò³ ï³äéîìó?
§ 34 Енергія. Кінетична енергія
Åíåðã³ÿ – óí³âåðñàëüíå ïîíÿòòÿ.
Ê³íåòè÷íà åíåðã³ÿ.
Ê³íåòè÷íà åíåðã³ÿ ò³ëà, ùî îáåðòàºòüñÿ.
Åíåðã³ÿ – óí³âåðñàëüíå ïîíÿòòÿ. Ïîíÿòòÿ «åíåðã³ÿ» óâ³éøëî ó ô³çèêó òîä³,
êîëè áóëî âñòàíîâëåíî, ùî îäèí âèä ðóõó ìîæå çì³íèòèñÿ íà ³íøèé. «Åíåðã³ÿ»
ç ãðåö. îçíà÷àº «ä³ÿ, ä³ÿëüí³ñòü».
Åíåðã³ÿ – öå ñêàëÿðíà ô³çè÷íà õàðàêòåðèñòèêà
âñ³õ ôîðì ðóõó ìàòåð³¿ ³ âàð³àíò³â ¿õ âçàºìîä³é.

189
Îñê³ëüêè ó ïðèðîä³ ìîæíà âèîêðåìèòè ð³çí³ ôîðìè ðóõó, òî åíåðã³ÿ – öå
âåëè÷èíà, ÿêîþ ìîæíà îõàðàêòåðèçóâàòè áóäü-ÿêó ôîðìó ðóõó: ìåõàí³÷íó, òå-
ïëîâó, åëåêòðîìàãí³òíó, ÿäåðíó. Òîáòî ïîíÿòòÿ åíåðã³¿ º óí³âåðñàëüíèì.
Ïðîòå ó ô³çèö³ çàì³ñòü òåðì³íà «åíåðã³ÿ ìåõàí³÷íîãî ðóõó» ãîâîðÿòü ïðî-
ñòî «ìåõàí³÷íà åíåðã³ÿ», çàì³ñòü «åíåðã³ÿ òåïëîâîãî ðóõó» – «âíóòð³øíÿ åíåð-
ã³ÿ». Âàì çíàéîì³ é òàê³ òåðì³íè, ÿê åëåêòðîåíåðã³ÿ, ÿäåðíà åíåðã³ÿ, ñâ³òëîâà
åíåðã³ÿ, ìàãí³òíà åíåðã³ÿ òîùî. Òîìó íåîáõ³äíî ÷³òêî ðîçóì³òè, ùî åíåðã³ÿ – öå
óí³âåðñàëüíà õàðàêòåðèñòèêà ðóõó ³ âîíà íå ³ñíóº ñàìà ïî ñîá³, òîáòî îêðåìî â³ä
ò³ë, ÿê³ âçàºìîä³þòü. Íàéïðîñò³øîþ ôîðìîþ ðóõó º ìåõàí³÷íèé ðóõ.
Åíåðã³ÿ, ÿêà õàðàêòåðèçóº ìåõàí³÷íèé ðóõ, íàçè-
âàºòüñÿ ìåõàí³÷íîþ åíåðã³ºþ. Ðîçð³çíÿþòü äâà âèäè
ìåõàí³÷íî¿ åíåðã³¿: ïîòåíö³àëüíó ³ ê³íåòè÷íó.
Ê³íåòè÷íà åíåðã³ÿ. Ðîçãëÿíåìî ò³ëî, äî ÿêîãî ïðèêëàäåíà ïîñò³éíà ñèëàr
F (ÿêà ìîæå áóòè ³ ð³âíîä³éíîþ ê³ëüêîõ ñèë, ïðèêëàäåíèõ äî ò³ëà). Öÿ ñèëà
íàäàº ò³ëó ïðèñêîðåííÿ, òîáòî çì³íþº øâèäê³ñòü ðóõó ò³ëà ³ âèêîíóº ðîáîòó,
îñê³ëüêè ò³ëî çä³éñíþº ïåðåì³ùåííÿ ï³ä ä³ºþ ö³º¿ ñèëè. Îòæå, ì³æ ðîáîòîþ ³
çì³íîþ øâèäêîñò³ ìàº ³ñíóâàòè çâ’ÿçîê.
Ðîçãëÿíåìî âèïàäîê, êîëè íàïðÿì ä³¿ ñèëè ³ ïåðåì³ùåííÿ çá³ãàþòüñÿ. Ðî-
áîòà ñèëè ó òàêîìó âèïàäêó îá÷èñëþºòüñÿ çà ôîðìóëîþ: A = Fs. Ìîäóëü ñèëè
ìîæíà âèçíà÷èòè çà äðóãèì çàêîí Íüþòîíà: F = ma, à ïåðåì³ùåííÿ – çà ôîðìó-
ëàìè ê³íåìàòèêè:
υ − υ
=
2 2
0
2
s
a
,
äå υ, υ0
– ìîäóë³ âåêòîðà øâèäêîñò³ íà ïî÷àòêó òà â ê³íö³ ä³ëÿíêè s.
Òàêèì ÷èíîì
υ − υ υυ
= = −
2 2 22
0 0
2 2 2
mm
A ma
a
.
Îòæå, äëÿ îá÷èñëåííÿ ðîáîòè äîñòàòíüî çíàòè ìàñó ò³ëà ³ éîãî ïî÷àòêîâó òà
ê³íöåâó øâèäêîñò³ ðóõó. Âèðàç
υ2
2
m
íàçèâàþòü ê³íåòè÷íîþ åíåðã³ºþ ³ ïîçíà-
÷àþòü kE .
Òîä³ îòðèìàíèé íàìè âèðàç
υυ
= −
22
0
2 2
mm
A ìîæíà çàïèñàòè ó âèãëÿä³
= − 0k kA E E , ÿêèé íàçèâàþòü òåîðåìîþ ïðî ê³íåòè÷íó åíåðã³þ: ðîáîòà ñèëè
(ð³âíîä³éíî¿ ñèë) äîð³âíþº çì³í³ ê³íåòè÷íî¿ åíåðã³¿ ò³ëà.
Òåîðåìà ïðî ê³íåòè÷íó åíåðã³þ áóëà îòðèìàíà íàìè ç äðóãîãî çàêîíó Íüþ-
òîíà, òîìó ìîæíà ñòâåðäæóâàòè, ùî âèðàçè
υυ
= −
22
0
2 2
mm
A òà = − 0k kA E E = ∆Ek
– ³íø³ ôîðìè çàïèñó äðóãîãî çàêîíó Íüþòîíà. Òåîðåìà ïðî ê³íåòè÷íó åíåðã³þ
ñïðàâåäëèâà äëÿ áóäü-ÿêèõ ñèë: ñèë ïðóæíîñò³, ñèëè òÿæ³ííÿ ÷è ñèë òåðòÿ.

190
Ð Î Ç Ä ² Ë 3
²ç òåîðåìè ïðî ê³íåòè÷íó åíåðã³þ âèïëèâàº, ùî
ê³íåòè÷íà åíåðã³ÿ – öå ô³çè÷íà âåëè÷èíà, ÿêà õà-
ðàêòåðèçóº ðóõîìå ò³ëî; çì³íà ö³º¿ âåëè÷èíè äîð³â-
íþº ðîáîò³ ñèëè ïðèêëàäåíî¿ äî ò³ëà.
Íàïðèêëàä, íåõàé ò³ëó ìàñîþ m, ÿêå ïåðåáóâàº â ñòàí³ ñïîêîþ, íåîáõ³äíî
íàäàòè øâèäêîñò³ υ. Äëÿ öüîãî ïðèêëàäåíà äî ò³ëà ñèëà ìàº âèêîíàòè ðîáîòó:
υυ
= − =
22
0
2 2
mm
A . ²íøèìè ñëîâàìè, ê³íåòè÷íà åíåðã³ÿ ò³ëà ìàñîþ m, ÿêå
ðóõàºòüñÿ ç³ øâèäê³ñòþ υ, âèçíà÷àºòüñÿ ðîáîòîþ ñèë, ÿê³ ïðèêëàäåí³ äî ò³ëà ³
íàäàþòü éîìó ö³º¿ øâèäêîñò³.
Îäèíèöåþ åíåðã³¿ º äæîóëü.
Çíà÷åííÿ ê³íåòè÷íî¿ åíåðã³¿ ò³ëà çàëåæèòü â³ä âèáîðó ñèñòåìè â³äë³êó.
Øâèäê³ñòü ò³ëà, âèì³ðÿíà â ð³çíèõ ñèñòåìàõ â³äë³êó, ìàº ð³çí³ çíà÷åííÿ, òîìó
é ê³íåòè÷íà åíåðã³ÿ ò³ëà ñòàëî¿ ìàñè ìàòèìå ð³çí³ çíà÷åííÿ â ð³çíèõ ñèñòåìàõ
â³äë³êó.
Ê³íåòè÷íà åíåðã³ÿ ò³ëà, ùî îáåðòàºòüñÿ. Ó âèïàäêó, ÿêùî ìàòåð³àëüíà òî÷-
êà ìàñîþ m îáåðòàºòüñÿ íàâêîëî îñ³ Î ç³ øâèäê³ñòþ υ, òî öÿ øâèäê³ñòü ìîæå
áóòè âèðàæåíà ÷åðåç êóòîâó øâèäê³ñòü é ðàä³óñ îáåðòàííÿ: υ = ωr.
Âèðàç äëÿ ê³íåòè÷íî¿ åíåðã³¿ ó öüîìó âèïàäêó íàáóâàº âèãëÿäó:
ω
=
2 2
2
k
m r
E .
Îñê³ëüêè äîáóòîê mr2
º ìîìåíòîì ³íåðö³¿ ö³º¿ òî÷êè â³äíîñíî îñ³ Î: J = mr2
,
òî âèðàç äëÿ ê³íåòè÷íî¿ åíåðã³¿ íàáóâàº âèãëÿäó:
ω
=
2
2
k
J
E .
Îñê³ëüêè öå ñïðàâåäëèâî äëÿ äîâ³ëüíî¿ òî÷êè ò³ëà, òî ñïðàâåäëèâî ³ äëÿ
âñüîãî ò³ëà â ö³ëîìó.
Äëÿ ò³ëà, ùî êîòèòüñÿ, ïîâíà ê³íåòè÷íà åíåð-
ã³ÿñêëàäàºòüñÿçê³íåòè÷íî¿åíåðã³¿ïîñòóïàëüíî-
ãî ðóõó öåíòðà ìàñ òà åíåðã³¿ îáåðòàëüíîãî ðóõó
â³äíîñíî îñ³, ùî ïðîõîäèòü ÷åðåç öåíòð ìàñ:
υ ω
= +
2 2
2 2
k
m J
E .
Ùî òàêå åíåðã³ÿ?1.
Âèâåä³òü ôîðìóëó äëÿ ðîçðàõóíêó ðîáîòè, ùî âèêîíóºòüñÿ ó âèïàäêó2.
çì³íè øâèäêîñò³ ò³ëà.
Ùî òàêå ê³íåòè÷íà åíåðã³ÿ? ßêà ôîðìóëà âèðàæàº ¿¿ çì³ñò? Öÿ âåëè÷è-3.
íà º ñêàëÿðíîþ ÷è âåêòîðíîþ?
ßê çì³íèòüñÿ ê³íåòè÷íà åíåðã³ÿ ò³ëà, ÿêùî ñèëà, ïðèêëàäåíà äî ò³ëà,4.
âèêîíóº äîäàòíó ðîáîòó? Â³ä’ºìíó ðîáîòó?

191
Âèâåä³òü ôîðìóëó ê³íåòè÷íî¿ åíåðã³¿ ò³ëà, ùî îáåðòàºòüñÿ.5.
ßêîþ º ê³íåòè÷íà åíåðã³ÿ ò³ëà, ùî êîòèòüñÿ?6.
Çàäà÷à. Ìàõîâèê ìàñîþ m òà ðàä³óñîì R îáåðòàºòüñÿ íàâêîëî îñ³, ùî ïðî-
õîäèòü ÷åðåç éîãî öåíòð. Êóòîâà øâèäê³ñòü îáåðòàííÿ ìàõîâèêà ω. Ùîá çóïè-
íèòè ìàõîâèê, äî éîãî îáîäà ïðèòèñêàþòü ãàëüì³âíó êîëîäêó, ÿêà ä³º íà íüîãî
³ç ñèëîþ Fòåð
. Ñê³ëüêè îáåðò³â çðîáèòü ìàõîâèê äî ïîâíî¿ çóïèíêè? Ââàæàòè,
ùî ìàñà ìàõîâèêà çîñåðåäæåíà ïî îáîäó.
Äàíî:
m;
R;
ω;
Fòåð
Ïðèðîçâ’ÿçóâàíí³çàäà÷³ââàæàòèìåìîîáåðòàííÿìàõîâèêàïîä³á-
íèì äî îáåðòàííÿ òîíêîãî îäíîð³äíîãî îáðó÷à ðàä³óñîì R ³ ìàñîþ m,
ùî îáåðòàºòüñÿ ç êóòîâîþ øâèäê³ñòþ ω.
Ê³íåòè÷íà åíåðã³ÿ òàêîãî îáðó÷à:
ω
=
2
2
k
J
E , äå = 2
J mR .
N – ?
Ìàõîâèê çóïèíèòüñÿ çà óìîâè, ùî âñÿ éîãî ê³íåòè÷íà åíåðã³ÿ âèòðàòèòüñÿ
íà ðîáîòó ç ïîäîëàííÿ ñèëè òåðòÿ Fòåð
, ùî âèíèêàº ì³æ ãàëüì³âíîþ êîëîäêîþ
òà îáîäîì: Ek
= Fòåð
s, äå s – ãàëüì³âíèé øëÿõ, ùî äîð³âíþº 2πRN. Îòæå,
ω
= ⋅ π
2 2
2
2
òep
mR
F RN,çâ³äêè
ω
=
π
2
4 òep
m R
N
F
.
Â³äïîâ³äü:
ω
=
π
2
4 òep
m R
N
F
.
Вправа 31
1. Âèçíà÷èòè ê³íåòè÷íó åíåðã³þ øòó÷íîãî ñóïóòíèêà Çåìë³ ìàñîþ 1300 êã,
ÿêèé ðóõàºòüñÿ ïî êîëîâ³é îðá³ò³ íà âèñîò³ 100 êì íàä ïîâåðõíåþ Çåìë³.
2. ²ìïóëüñ ò³ëà äîð³âíþº 8 êã · ì/ñ, à ê³íåòè÷íà åíåðã³ÿ – 16 Äæ. Âèçíà÷èòè
ìàñó ³ øâèäê³ñòü ðóõó ò³ëà.
3. Ìàñà âàíòàæ³âêè ó 18 ðàç³â á³ëüøà â³ä ìàñè ëåãêîâîãî àâòîìîá³ëÿ, à
øâèäê³ñòü âàíòàæ³âêè ó 6 ðàç³â ìåíøà â³ä øâèäêîñò³ ëåãêîâîãî àâòîìîá³ëÿ.
Ïîð³âíÿòè ³ìïóëüñè òà ê³íåòè÷í³ åíåðã³¿ âàíòàæ³âêè ³ ëåãêîâîãî àâòîìîá³ëÿ.
4. Øîôåð âèìêíóâ äâèãóí àâòîìîá³ëÿ ïðè øâèäêîñò³ 72 êì/ãîä. Ïðîéøîâ-
øè â³äñòàíü 34 ì, àâòîìîá³ëü çóïèíèâñÿ. ßêîþ áóëà ê³íåòè÷íà åíåðã³ÿ àâòî-
ìîá³ëÿ ó ìîìåíò âèìêíåííÿ äâèãóí³â, ÿêùî ñèëà òåðòÿ êîë³ñ îá äîðîãó 5880 Í?
ßêà ìàñà àâòîìîá³ëÿ?
5. ßêó ðîáîòó âèêîíóº ñèëà òåðòÿ, êîëè àâòîìîá³ëü ìàñîþ 1000 êã, ùî ìàâ
øâèäê³ñòü 90 êì/ãîä, ãàëüìóº äî øâèäêîñò³ 54 êì/ãîä?
6. Ïîòÿã íà äèòÿ÷³é çàë³çíèö³, ìàñà ÿêîãî 15 ò, ðóøàº ç ì³ñöÿ ç ïðèñêîðåí-
íÿì 1,4 ì/ñ2
. Âèçíà÷èòè ðîáîòó ñèëè òÿãè ³ ðîáîòó ñèëè îïîðó íà ïåðøèõ 10 ì
øëÿõó, ÿêùî êîåô³ö³ºíò îïîðó äîð³âíþº 0,02. ßêî¿ ê³íåòè÷íî¿ åíåðã³¿ íàáóâ
öåé ïîòÿã?
7. Ç ÿêîþ øâèäê³ñòþ ðóõàâñÿ ïîòÿã ìàñîþ 1500 ò, ÿêùî ï³ä ä³ºþ ãàëüì³âíî¿
ñèëè â 150 êÍ â³í ïðîéøîâ ç ìîìåíòó ïî÷àòêó ãàëüìóâàííÿ äî çóïèíêè øëÿõ 500 ì?

192
Ð Î Ç Ä ² Ë 3
8. Äèñê ìàñîþ 2 êã êîòèòüñÿ áåç òåðòÿ ïî ãîðèçîíòàëüí³é ïîâåðõí³ ç³ øâèä-
ê³ñòþ 4 ì/ñ. Âèçíà÷èòè ê³íåòè÷íó åíåðã³þ äèñêà.
9. Ì³äíà êóëÿ ðàä³óñîì 10 ñì îáåðòàºòüñÿ ç ÷àñòîòîþ 2 îá/ñ íàâêîëî îñ³,
ùî ïðîõîäèòü ÷åðåç ¿¿ öåíòð. ßêó ðîáîòó ñë³ä âèêîíàòè, ùîá çá³ëüøèòè êóòîâó
øâèäê³ñòü îáåðòàííÿ êóë³ âäâ³÷³?
10. Êîñì³÷íèé êîðàáåëü îáåðòàâñÿ ó ì³æçîðÿíîìó ïðîñòîð³ ç êóòîâîþ
øâèäê³ñòþ ω. Ïî êîìàíä³ ç Çåìë³ íà íüîìó â³äêðèëèñü àíòåíè, âíàñë³äîê ÷îãî
ìîìåíò ³íåðö³¿ êîðàáëÿ çá³ëüøèâñÿ â 2 ðàçè. ßê çì³íèëàñü: à) êóòîâà øâèä-
ê³ñòü ³ á) ê³íåòè÷íà åíåðã³ÿ îáåðòàëüíîãî ðóõó êîðàáëÿ?
§ 35 Потенціальна енергія тіла
Ðîáîòà ñèëè òÿæ³ííÿ.
Ïîòåíö³àëüíà åíåðã³ÿ ò³ëà, ï³äíÿòîãî íàä çåìëåþ.
Ðîáîòà ñèëè ïðóæíîñò³.
Ïîòåíö³àëüíà åíåðã³ÿ ïðóæíî äåôîðìîâàíîãî ò³ëà.
Ðîáîòà ñèëè òÿæ³ííÿ. ßê ìè óæå ïîêàçàëè, ðîáîòó
áóäü-ÿêèõ ñèë, ïðèêëàäåíèõ äî ðóõîìîãî ò³ëà, ìîæíà
îá÷èñëèòè çà òåîðåìîþ ïðî ê³íåòè÷íó åíåðã³þ. Ðîáîòó
ñèëè ìîæíà îá÷èñëèòè ³ çà ôîðìóëîþ A =
r
F ·
r
s, ï³äñòàâ-
ëÿþ÷è çàì³ñòü F âèðàç â³äïîâ³äíî¿ ñèëè (ñèëè òÿæ³ííÿ,
ñèëè ïðóæíîñò³, ñèëè òåðòÿ). Ç’ÿñóºìî, ÿêîãî âèäó íà-
áóâàº ôîðìóëà äëÿ îá÷èñëåííÿ ðîáîòè ñèëè òÿæ³ííÿ.
Ðîçãëÿíåìî âèïàäîê â³ëüíîãî ïàä³ííÿ. Íåõàé ò³ëî
ìàñîþ m ïàäàº ç äåÿêî¿ âèñîòè h1
äî âèñîòè h2
(ìàë.
183). Ïðè öüîìó âîíî çä³éñíþº ïåðåì³ùåííÿ s = h1
− h2
.
Íà ò³ëî ä³º ïîñò³éíà ñèëà òÿæ³ííÿ F = mg. Îñê³ëüêè ïå-
ðåì³ùåííÿ ³ íàïðÿì ñèëè òÿæ³ííÿ çá³ãàþòüñÿ, òî ðîáî-
òà ñèëè òÿæ³ííÿ îá÷èñëþºòüñÿ: ( )= = −1 2A Fs mg h h .
Âèñîòè 1h ³ 2h ìîæóòü âèì³ðþâàòèñÿ â³ä áóäü-ÿêîãî
âèáðàíîãî íàìè ð³âíÿ: â³ä ð³âíÿ ïîâåðõí³ Çåìë³, â³ä äíà
ÿìè, â³ä ïîâåðõí³ ñòîëà òîùî.
Âèñîòó âèáðàíîãî ð³âíÿ íàçèâàþòü íóëüîâèì ð³âíåì.
ßêùî ò³ëî ïàäàº ç äåÿêî¿ âèñîòè h äî íóëüîâîãî ð³âíÿ, òî ðîáîòà ñèëè òÿ-
æ³ííÿ äîäàòíà: A = mgh.
ßêùî ò³ëî êèíóòî âåðòèêàëüíî âãîðó ç íóëüîâîãî ð³âíÿ ³ ï³äí³ìàºòüñÿ íà
âèñîòó h íàä íèì, òî ðîáîòà ñèëè òÿæ³ííÿ â³ä’ºìíà: A = −mgh.
Ðîçãëÿíåìî âèïàäêè, êîëè ò³ëî ðóõàºòüñÿ íå ïî âåðòèêàë³. Íàïðèêëàä,
íåõàé ò³ëî ìàñîþ m ñêî÷óºòüñÿ áåç òåðòÿ ïî ïîõèë³é ïëîùèí³ âèñîòîþ h. Ó
Ìàë. 183. Ðîáîòà
ñèëè òÿæ³ííÿ ïðè
âåðòèêàëüíîìó ðóñ³ ò³ëà

193
òàêîìó âèïàäêó ò³ëî çä³éñíþº ïåðåì³ùåííÿ
s, ÿêå äîð³âíþº äîâæèí³ ïîõèëî¿ ïëîùèíè
(ìàë. 184). Îñê³ëüêè íàïðÿì âåêòîðà ïåðå-
ì³ùåííÿ ³ íàïðÿì âåêòîðà ñèëè òÿæ³ííÿ
óòâîðþþòü êóò α, òî ðîáîòà ñèëè òÿæ³ííÿ ó
òàêîìó âèïàäêó îá÷èñëþºòüñÿ: = αcosA Fs
àáî = αcosA mgs .
ßê âèäíî ç ìàëþíêà α =coss h , îòæå,
=A mgh . Îòðèìàíèé âèðàç äëÿ ðîáîòè ñèëè
òÿæ³ííÿ ï³ä ÷àñ ðóõó ò³ëà ïî ïîõèë³é ïëî-
ùèí³ çá³ãàºòüñÿ ç â³äïîâ³äíèì âèðàçîì ï³ä
÷àñ âåðòèêàëüíîãî ðóõó ò³ëà. Öå îçíà÷àº,
ùî ðîáîòà ñèëè òÿæ³ííÿ íå çàëåæèòü â³ä òðàºêòîð³¿ ðóõó ò³ëà, à âèçíà÷àºòüñÿ
ëèøå ð³çíèöåþ âèñîò ì³æ ïî÷àòêîâèì ³ ê³íöåâèì ïîëîæåííÿì ò³ëà.
ßêùî ò³ëî ï³ñëÿ ñïóñêó áóäü-ÿêîþ òðàºêòîð³ºþ ïîâåðòàºòüñÿ ó ïî÷àòêîâå
ïîëîæåííÿ, òî ðîáîòà ïî òàê³é çàìêíåí³é òðàºêòîð³¿ äîð³âíþº íóëþ.
Ïîòåíö³àëüíà åíåðã³ÿ ò³ëà, ï³äíÿòîãî íàä çåìëåþ. ßê â³äîìî ç êóðñó ô³çè-
êè 8-ãî êëàñó,
ïîòåíö³àëüíà åíåðã³ÿ – öå åíåðã³ÿ âçàºìîä³¿ ò³ë
àáî ÷àñòèí ò³ëà, ÿêà âèçíà÷àºòüñÿ ¿õ âçàºìíèì ïî-
ëîæåííÿì.
Ó âñòàíîâëåí³é ôîðìóë³ äëÿ ðîáîòè ñèëè òÿæ³ííÿ = −1 2A mgh mgh ïåðøèé
÷ëåí õàðàêòåðèçóº ïî÷àòêîâå ïîëîæåííÿ ò³ëà, à äðóãèé – ê³íöåâå. Öå îçíà÷àº,
ùî 1mgh – öå ïîòåíö³àëüíà åíåðã³ÿ ò³ëà ó ïî÷àòêîâîìó ñòàí³, à 2mgh – ïîòåí-
ö³àëüíà åíåðã³ÿ ò³ëà ó ê³íöåâîìó ñòàí³. Ïîçíà÷èâøè =1 1nE mgh òà =2 2nE mgh ,
ìîæíà çàïèñàòè: = −1 2n nA E E .
ßêùî âèíåñòè çíàê «ì³íóñ» çà äóæêè, òî îòðèìóºìî = − −2 1( )n nA E E , äå âè-
ðàç ó äóæêàõ îçíà÷àº çì³íó ïîòåíö³àëüíî¿ åíåðã³¿, òîáòî
= −∆ nA E – ðîáîòà ñèëè òÿæ³ííÿ äîð³âíþº çì³í³
ïîòåíö³àëüíî¿ åíåðã³¿ ò³ëà.
Çíàê «ì³íóñ» âêàçóº íà òå, ùî êîëè ðîáîòà ñèëè òÿæ³ííÿ äîäàòíà, òî ïîòåí-
ö³àëüíà åíåðã³ÿ ò³ëà çìåíøóºòüñÿ (ó âèïàäêó ïàä³ííÿ ò³ëà). ßêùî ò³ëî êèíóòè
âåðòèêàëüíî âãîðó, òî ðîáîòà ñèëè òÿæ³ííÿ â³ä’ºìíà, à ïîòåíö³àëüíà åíåðã³ÿ
ò³ëà çá³ëüøóºòüñÿ. Ê³íåòè÷íà åíåðã³ÿ ò³ëà ïðè öüîìó «ïîâîäèòüñÿ» íàâïàêè:
ïðè ïàä³íí³ – çá³ëüøóºòüñÿ, ïðè ï³äí³ìàíí³ âãîðó – çìåíøóºòüñÿ.
Íà â³äì³íó â³ä ê³íåòè÷íî¿ åíåðã³¿, ÿêà çàëåæèòü â³ä øâèäêîñò³ ðóõó ò³ëà,
ïîòåíö³àëüíà åíåðã³ÿ ìîæå áóòè â³äì³ííîþ â³ä íóëÿ, íàâ³òü òîä³, êîëè ò³ëî ïå-
ðåáóâàº â ñòàí³ ñïîêîþ. Íàïðèêëàä, âàíòàæ, ìàñîþ m , ÿêèé ï³äíÿòèé çà äî-
ïîìîãîþ ï³äéîìíîãî êðàíà íà ïåâíó âèñîòó h ³ óòðèìóºòüñÿ â ïîêî¿, ìàº ïî-
òåíö³àëüíó åíåðã³þ mgh . ßêùî íàäàòè âàíòàæó ìîæëèâ³ñòü âïàñòè, òî ñèëà
òÿæ³ííÿ âèêîíóº ðîáîòó, ÿêà äîð³âíþº ïîòåíö³àëüí³é åíåðã³¿ âàíòàæó.
Ìàë. 184. Ðîáîòà ñèëè òÿæ³ííÿ ïðè
ðóñ³ ò³ëà ïîõèëîþ ïëîùèíîþ

194
Ð Î Ç Ä ² Ë 3
Ðîáîòà ñèëè ïðóæíîñò³. Ñèëà ïðóæíîñò³ – öå ñèëà, ùî âèíèêàº ï³ä ÷àñ äå-
ôîðìàö³¿ ò³ëà ³, ÿê â³äîìî, ìîæå áóòè îá÷èñëåíà çà çàêîíîì Ãóêà: Fïðx
= −kx.
Âèâåäåìî ôîðìóëó äëÿ âèçíà÷åííÿ ðîáîòè ñèëè ïðóæíîñò³ íà ïðèêëàä³
äåôîðìîâàíî¿ ïðóæèíè. Ðîçãëÿíåìî ïðóæèíó, äî îäíîãî ê³íöÿ ÿêî¿ ïðèêð³-
ïëåíî òÿãàðåöü (ìàë. 185, à). Ñòèñêàòèìåìî
ïðóæèíó ó íàïðÿì³ îñ³ Õ. Ïðè öüîìó âèíè-
êàº ñèëà ïðóæíîñò³, íàïðàâëåíà ó á³ê, ïðî-
òèëåæíèé çì³ùåííþ ÷àñòèíîê ç ÿêèõ âîíà
ñêëàäàºòüñÿ. Ïðè ñòèñêàíí³ ïðóæèíè íà
x1
ó í³é âèíèêàº ñèëà ïðóæíîñò³, ïðîåêö³ÿ
ÿêî¿ íà â³ñü Õ: Fïð1
= −kx1
(ìàë. 185, á).
Â³äïóñòèìî ïðóæèíó. Òÿãàðåöü ïî÷íå
ðóõàòèñü ó ïðîòèëåæíîìó íàïðÿì³ ï³ä ä³ºþ
ñèëè ïðóæíîñò³, ÿêà âèêîíóº ïðè öüîìó äî-
äàòíó ðîáîòó, îñê³ëüêè íàïðÿì ñèëè ïðóæ-
íîñò³ ³ ïåðåì³ùåííÿ òÿãàðöÿ çá³ãàþòüñÿ
(ìàë. 185, â). Íåõàé ó äåÿêèé ìîìåíò ÷àñó
òÿãàðåöü çíàõîäèòèìåòüñÿ ó òî÷ö³ Â, ñèëà
ïðóæíîñò³ â ö³é òî÷ö³ óæå áóäå Fïð2
= −kx2
. Ïåðåì³ùåííÿ, ÿêå çä³éñíèâ òÿãà-
ðåöü = −
r
1 2s x x , àáî ó ïðîåêö³¿ íà â³ñü Õ: = − −1 2( )s x x àáî = −2 1s x x .
ßê â³äîìî, ùîá âèçíà÷èòè ðîáîòó, íåîáõ³äíî ïåðåìíîæèòè ìîäóë³ ñèëè ïðóæ-
íîñò³ ³ ïåðåì³ùåííÿ. Àëå îñê³ëüêè ï³ä ÷àñ ðóõó òÿãàðöÿ âèäîâæåííÿ ïðóæèíè
ïîñò³éíî çì³íþºòüñÿ, òî ³ ñèëà ïðóæíîñò³ ïðè öüîìó òàêîæ ïîñò³éíî çì³íþºòüñÿ.
Òîìó ó ôîðìóëó ðîáîòè ï³äñòàâëÿþòü ñåðåäíº çíà÷åííÿ ñèëè ïðóæíîñò³:
( ) ( )− + −
= = − +1 2
2 1( )
2 2
c
kx kx k
F x x .
Âèðàç äëÿ îá÷èñëåííÿ ðîáîòè ñèëè ïðóæíîñò³ íàáóâàº âèãëÿäó
= = − + ⋅ −2 1 2 1( ) ( )
2
c
k
A F s x x x x .
Îñê³ëüêè + − = −2 2
2 1 2 1 2 1( )( )x x x x x x , òî
⎛ ⎞
= − − = − −⎜ ⎟
⎝ ⎠
2 2
2 2 2 1
2 1( )
2 2 2
kx kxk
A x x .
Ïîòåíö³àëüíà åíåðã³ÿ ïðóæíî äåôîðìîâàíîãî ò³ëà. Ó âñòàíîâëåí³é ôîðìó-
ë³ äëÿ ðîáîòè ñèëè ïðóæíîñò³ ïåðøèé ÷ëåí õàðàêòåðèçóº ê³íöåâå ïîëîæåííÿ
òÿãàðöÿ (àáî êðàþ ïðóæèíè), à äðóãèé – ïî÷àòêîâå äî òîãî æ
2 2
Í ì
Í ì Äæ
2 ì
kx⎡ ⎤ ⋅
= = ⋅ =⎢ ⎥
⎣ ⎦
. Öå îçíà÷àº, ùî
2
1
2
kx
– öå ïîòåíö³àëüíà åíåðã³ÿ
ïðóæèíè ó ïî÷àòêîâîìó ñòàí³, à
2
2
2
kx
– ¿¿ ïîòåíö³àëüíà åíåðã³ÿ ó ê³íöåâîìó ñòà-
í³. Ïîçíà÷èâøè =
2
1
1
2
n
kx
E ³ =
2
2
2
2
n
kx
E , ìîæíà çàïèñàòè: = − − = −∆2 1( )n n nA E E E .
Ìàë. 185. Äî ðîçðàõóíêó
ðîáîòè ñèëè ïðóæíîñò³

195
Ðîáîòà ñèëè ïðóæíîñò³ äîð³âíþº çì³í³ ïîòåíö³àëüíî¿ åíåðã³¿ ïðóæíî äå-
ôîðìîâàíîãî ò³ëà, âçÿò³é ç ïðîòèëåæíèì çíàêîì.
Ðîáîòà ñèëè ïðóæíîñò³ çàëåæèòü ëèøå â³ä ïî÷àòêîâîãî ³ ê³íöåâîãî ïîëî-
æåíü êðàþ ïðóæèíè, òîìó òàê ñàìî, ÿê ³ ðîáîòà, ñèëà òÿæ³ííÿ íå çàëåæèòü â³ä
ôîðìè òðàºêòîð³¿. À ÿêùî òðàºêòîð³ÿ çàìêíåíà, òî ðîáîòà äîð³âíþº íóëþ.
Îòæå ðîáîòà ñèëè òÿæ³ííÿ ïîáëèçó ïîâåðõí³ çåìë³ ³ ðîáîòà ñèëè ïðóæíîñò³
ïðóæíî äåôîðìîâàíîãî ò³ëà âèçíà÷àºòüñÿ çì³íîþ ïîòåíö³àëüíî¿ åíåðã³¿, âçÿ-
òîþ ç ïðîòèëåæíèì çíàêîì.
Öåé âèñíîâîê ïîøèðþºòüñÿ äëÿ áóäü-ÿêèõ ñèë, ÿê³ çàëåæàòü â³ä â³äñòàí³
ì³æ ò³ëàìè (÷è ÷àñòèíàìè ò³ëà) ³ ÿê³ íå çàëåæàòü â³ä øâèäêîñò³ ðóõó ò³ë. Òàê³
ñèëè íàçèâàþòü êîíñåðâàòèâíèìè (ò³, ùî çáåð³ãàþòüñÿ).
Ñèñòåìè, ó ÿêèõ ä³þòü ò³ëüêè êîíñåðâàòèâí³ ñèëè, òàêîæ íàçèâàþòü êîí-
ñåðâàòèâíèìè. Ó êîíñåðâàòèâíèõ ñèñòåìàõ íå â³äáóâàºòüñÿ ïåðåòâîðåíü ìåõà-
í³÷íî¿ åíåðã³¿ ó ³íø³ âèäè (âíóòð³øíþ, åëåêòðîìàãí³òíó, õ³ì³÷íó òîùî).
Ò³ëî êèíóòî âåðòèêàëüíî âãîðó. Âêàæ³òü, äîäàòíó ÷è â³ä’ºìíó ðîáîòó1.
âèêîíóº ñèëà òÿæ³ííÿ: à) ï³ä ÷àñ ï³äíÿòòÿ ò³ëà; á) ï³ä ÷àñ éîãî ïàä³ííÿ.
×è çàëåæèòü ðîáîòà ñèëè òÿæ³ííÿ â³ä òðàºêòîð³¿ ðóõó ò³ëà â ïîë³ òÿæ³í-2.
íÿ Çåìë³? ×îìó äîð³âíþº ðîáîòà ñèëè òÿæ³ííÿ ïî çàìêíåí³é òðàºêòîð³¿?
ßêà ôîðìóëà âèðàæàº çì³ñò ïîòåíö³àëüíî¿ åíåðã³¿ ò³ëà, ùî çíàõîäèòüñÿ3.
íà äåÿê³é âèñîò³ íàä Çåìëåþ? ßê çì³íþºòüñÿ ïîòåíö³àëüíà åíåðã³ÿ ò³ëà ï³ä ÷àñ
éîãî ðóõó âãîðó?
×îìó ï³ä ÷àñ ðîçðàõóíê³â ðîáîòè ñèëè ïðóæíîñò³ âèêîðèñòîâóþòü ¿¿ ñå-4.
ðåäíº çíà÷åííÿ?
Ùî ñï³ëüíîãî ó âèðàçàõ äëÿ ðîáîòè ñèëè ïðóæíîñò³ ³ ðîáîòè ñèëè òÿ-5.
æ³ííÿ? Ùî ñï³ëüíîãî â ïîòåíö³àëüíèõ åíåðã³ÿõ ò³ëà, íà ÿêå ä³º ñèëà òÿæ³ííÿ,
³ ò³ëà, íà ÿêå ä³º ñèëà ïðóæíîñò³?
Çà ÿêîþ ôîðìóëîþ âèçíà÷àþòü ïîòåíö³àëüíó åíåðã³þ ïðóæíî äåôîðìî-6.
âàíîãî ò³ëà?
Çàäà÷à 1. ßêó ðîáîòó ïîòð³áíî âèêîíàòè: à) ùîá ò³ëî
ìàñîþ 20 êã ï³äíÿòè íà âèñîòó 20 ì: á) öå ñàìå ò³ëî ï³äíÿ-
òè ð³âíîïðèñêîðåíî ³ç ñòàíó ñïîêîþ íà òàêó ñàìó âèñîòó
çà 10 ñ? Îïîðîì ïîâ³òðÿ çíåõòóâàòè.
Äàíî:
m = 20 êã;
h = 20 ì;
t = 10 c
à) Ó ïåðøîìó âèïàäêó íåîáõ³äíî âèêîíà-
òè ðîáîòó ç ïîäîëàííÿ ëèøå ñèëè òÿæ³ííÿ, ùî
ä³º íà ò³ëî: =A mgh .
2
20 êã 9,8 ì ñ 20 ì 3920 ÄæA = ⋅ ⋅ = .à) A – ?
á) A – ?
á) Ó äðóãîìó âèïàäêó äî ò³ëà ìàº áóòè ïðèêëàäåíà
ñèëà, ùî äîëàº ñèëó çåìíîãî òÿæ³ííÿ ³ íàäàº ò³ëó ïðèñêî-
ðåííÿ (ìàë. 186).
Ìàë. 186.
Ï³äí³ìàííÿ ò³ëà
ç ïðèñêîðåííÿì

196
Ð Î Ç Ä ² Ë 3
Âèçíà÷èìî ¿¿ ç äðóãîãî çàêîíó Íüþòîíà: + =
r r r
F mg ma .
Ó ïðîåêö³ÿõ íà â³ñü Y (ìàë. 186): = +F mg ma .
Òîä³ çàòðà÷åíà ðîáîòà: = +( )A mh g a .
Ïðèñêîðåííÿ ðóõó ò³ëà âèçíà÷àºìî ç ôîðìóë ê³íåìà-
òèêè: =
2
2
at
h , çâ³äêè = 2
2h
a
t
. Îòðèìóºìî: = + 2
2
( )
h
A mh g
t
.
.
Â³äïîâ³äü: à) = 3,92 ÄæA ê ; á) = 4,08 êÄæA .
Çàäà÷à 2. Äâ³ ïðóæèíè, æîðñòêîñò³ ÿêèõ 3 ³ 2êÍ/ì, ç’ºäíàëè ïîñë³äîâíî ³
ðîçòÿãíóëè çà ê³íö³ íà 10 ñì. ßêó ïðè öüîìó âèêîíàëè ðîáîòó?
Äàíî:
k1
= 3 êÍ/ì;
k2
= 2 êÍ/ì;
x = 0,1 ì
Çà ïîñë³äîâíîãî ç’ºäíàííÿ êîæíà ïðóæèíà çàçíàº â³äïîâ³ä-
íî¿ äåôîðìàö³¿ x1
òà x2
, ïðè÷îìó = +1 2õ õ õ (1).
Ñèëè ïðóæíîñò³, ùî âèíèêàþòü ó ïðóæèíàõ ó òàêîìó âè-
ïàäêó, ð³âí³ ì³æ ñîáîþ: =1 1 2 2k x k x .A – ?
Âèðàçèìî ç îñòàííüîãî ð³âíÿííÿ x1
: x1
= k2
x2
/k1
.
Ï³äñòàâëÿºìî îòðèìàíèé âèðàç ó ôîðìóëó (1):
= +2 2
2
1
k x
x x
k
³ âèçíà÷àºìî x2
: =
+
1
2
2 1
xk
x
k k
.
Àíàëîã³÷íî âèçíà÷àºìî =
+
2
1
2 1
xk
x
k k
.
Ðîáîòà äîð³âíþº çì³í³ ïîòåíö³àëüíî¿ åíåðã³¿ ñèñòåìè ïðóæèí:
= + =
+
2 2 2
1 1 2 2 1 2
2 12 2 2( )
k x k x x k k
A
k k
.
Çâåðí³òü óâàãó! Çàäà÷ó ìîæíà áóëî á ðîçâ’ÿçàòè, ñêîðèñòàâøèñü ôîðìóëîþ
äëÿ âèçíà÷åííÿ êîåô³ö³ºíòà ïðóæíîñò³ ñèñòåìè ïîñë³äîâíî ç’ºäíàíèõ ïðóæèí
=
+
1 2
1 2
k k
k
k k
. = =
+
2 2
1 2
2 12 2( )
kx x k k
A
k k
.
2 2 3 3
3 3
0,1 ì 3 10 Í/ì 2 10 Í/ì
6 Äæ
2 (3 10 Í/ì 2 10 Í/ì)
A
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= =
⋅ ⋅ + ⋅
.
Â³äïîâ³äü: A = 6 Äæ.
Вправа 32
1. Áàøòîâèé êðàí ï³äí³ìàº ó ãîðèçîíòàëüíîìó ïîëîæåíí³ ñòàëåâó áàëêó
çàâäîâæêè 5 ì ³ ïåðåð³çîì 100 ñì2
íà âèñîòó 12 ì. ßêó êîðèñíó ðîáîòó âèêîíóº
êðàí?
2. ßêó ðîáîòó âèêîíóº ëþäèíà, ï³äí³ìàþ÷è ò³ëî ìàñîþ 2 êã íà âèñîòó 1 ì ç
ïðèñêîðåííÿì 3 ì/ñ2
?

197
3. Àâòîìîá³ëü ìàñîþ 10 ò ðóõàºòüñÿ ç âèìêíåíèìè äâèãóíàìè ïî ñõèëó,
ÿêèé óòâîðþº ç ãîðèçîíòîì êóò 4°. Îá÷èñëèòè ðîáîòó ñèëè òÿæ³ííÿ íà øëÿõó
100 ì.
4. Íà áàëêîí, ðîçòàøîâàíèé íà âèñîò³ 6 ì, êèíóëè ç ïîâåðõí³ çåìë³ ïðåäìåò
ìàñîþ 200 ã. Ï³ä ÷àñ ïîëüîòó ïðåäìåò äîñÿã ìàêñèìàëüíî¿ âèñîòè 8 ì â³ä ïî-
âåðõí³ çåìë³. Âèçíà÷èòè ðîáîòó ñèëè òÿæ³ííÿ ï³ä ÷àñ ïîëüîòó ïðåäìåòà âãîðó,
âíèç ³ íà âñüîìó øëÿõó, à òàêîæ ðåçóëüòóþ÷ó çì³íó ïîòåíö³àëüíî¿ åíåðã³¿.
5. Ùîá ñòèñíóòè ïðóæèíó äèòÿ÷îãî ïðóæèííîãî ï³ñòîëåòà íà 3 ñì, ïðèêëà-
ëè ñèëó 20 Í. Âèçíà÷èòè ïîòåíö³àëüíó åíåðã³þ ñòèñíóòî¿ ïðóæèíè.
6. ßêó ðîáîòó òðåáà âèêîíàòè, ùîá ðîçòÿãíóòè ïðóæèíó, æîðñòê³ñòü ÿêî¿
40 êÍ/ì, íà 0,5 ñì?
7. Ùîá ðîçòÿãíóòè ïðóæèíó íà 4 ìì, òðåáà âèêîíàòè ðîáîòó, ÿêà äîð³âíþº
0,02 Äæ. ßêó ðîáîòó òðåáà âèêîíàòè, ùîá ðîçòÿãíóòè öþ ñàìó ïðóæèíó íà 4 ñì?
8. Ïîð³âíÿòè ðîáîòè, ÿê³ âèêîíóº ëþäèíà, ðîçòÿãóþ÷è ïðóæèíó äèíàìî-
ìåòðà â³ä 0 äî 10 Í, â³ä 10 äî 20 Í, â³ä 20 äî 30 Í.
9. Ïîòóæí³ñòü ã³äðîåëåêòðîñòàíö³¿ – 73,5 ÌÂò, ÊÊÄ – 0,75. Âèçíà÷èòè, íà
ÿêèé ð³âåíü ãðåáëÿ ï³äí³ìàº âîäó, ÿêùî âèòðàòà âîäè ñòàíîâèòü 103
ì3
/ñ.
10. Äâèãóí íàñîñà, ðîçâèâàþ÷è ïîòóæí³ñòü 25 êÂò, ï³äí³ìàº 100 ì3
íàôòè
íà âèñîòó 6 ì çà 8 õâ. Âèçíà÷èòè ÊÊÄ óñòàíîâêè.
§ 36 Закон збереження енергії
Çàêîí çáåðåæåííÿ ³ ïåðåòâîðåííÿ åíåðã³¿.
Çàêîí çáåðåæåííÿ ìåõàí³÷íî¿ åíåðã³¿.
Çàêîí çáåðåæåííÿ ³ ïåðåòâîðåííÿ åíåðã³¿ â³äêðèòèé ó 1840 ð. Ð. Ìàéºðîì.
Íåçâàæàþ÷è íà òå, ùî â÷åíèé çä³éñíèâ â³äêðèòòÿ íà îñíîâ³ ìåäèêî-á³îëîã³÷íèõ
äîñë³äæåíü, öåé çàêîí ìàº óí³âåðñàëüíèé õàðàêòåð.
Åíåðã³ÿ íå âèíèêàº ³ íå çíèêàº: âîíà ëèøå ïåðå-
õîäèòü ç îäíîãî âèäó â ³íøèé – ôóíäàìåíòàëü-
íèé çàêîí ïðèðîäè.
Öåé çàêîí ìàº íàäçâè÷àéíî âàæëèâå òåîðåòè÷íå ³ ïðàêòè÷íå çíà÷åííÿ.
Åíåðã³ÿ ìàº áàãàòî ôîðì: ìåõàí³÷íó, òåïëîâó, åëåêòðè÷íó, ÿäåðíó, õ³ì³÷íó,
ñâ³òëîâó, á³îëîã³÷íó òîùî. Îäíà ôîðìà åíåðã³¿ ìîæå çì³íþâàòèñÿ íà ³íøó.
Çàêîí çáåðåæåííÿ ìåõàí³÷íî¿ åíåðã³¿. Ðîçãëÿíåìî çàìêíåíó ñèñòåìó, â
ÿê³é ò³ëà âçàºìîä³þòü îäíå ç îäíèì ñèëàìè ïðóæíîñò³ àáî (òà) ñèëàìè òÿæ³ííÿ
³ æîäí³ çîâí³øí³ ñèëè íà íèõ íå ä³þòü. Òàêà ñèñòåìà ìîæå ìàòè ÿê ê³íåòè÷íó,
òàê ³ ïîòåíö³àëüíó åíåðã³þ. Ê³íåòè÷íó – âíàñë³äîê ðóõó ò³ë ñèñòåìè, ïîòåíö³-
àëüíó – âíàñë³äîê ¿õ âçàºìîä³¿.

198
Ð Î Ç Ä ² Ë 3
ßê ìè óæå ç’ÿñóâàëè, çà áóäü-ÿêèõ âçàºìîä³é ò³ë, ðîáîòà ñèë ïðóæíîñò³
(òÿæ³ííÿ) âèçíà÷àºòüñÿ çì³íîþ ¿õ ïîòåíö³àëüíî¿ åíåðã³¿, âçÿòî¿ ç ïðîòèëåæíèì
çíàêîì: = − −2 1( )n nA E E .
Ðàçîì ç òèì ðîáîòà òèõ ñàìèõ ñèë, çà òåîðåìîþ ïðî ê³íåòè÷íó åíåðã³þ, âè-
çíà÷àºòüñÿ çì³íîþ ¿õ ê³íåòè÷íî¿ åíåðã³¿: A = Ek2
− Ek1
. Ïðèð³âíþþ÷è ö³ âèðàçè,
îòðèìóºìî: − − = −2 1 2 1( )n n k kE E E E àáî: + = +1 1 2 2k n k nE E E E .
Ñóìó ê³íåòè÷íî¿ òà ïîòåíö³àëüíî¿ åíåðã³é ò³ëà íà-
çèâàþòü ïîâíîþ ìåõàí³÷íîþ åíåðã³þ ò³ëà:
E = Ek
+ En
.
Ê³íåòè÷íà ³ ïîòåíö³àëüíà åíåðã³¿ ò³ë ìîæóòü çì³íþâàòèñÿ ç ÷àñîì, àëå â
çàìêíåí³é ñèñòåì³ ¿õ ñóìà çàëèøàºòüñÿ ñòàëîþ.
Çàêîí çáåðåæåííÿ ³ ïåðåòâîðåííÿ ïîâíî¿ ìåõà-
í³÷íî¿ åíåðã³¿ ôîðìóëþþòü òàê:
ïîâíà ìåõàí³÷íà åíåðã³ÿ çàìêíåíî¿ ñèñòåìè
ò³ë, ÿê³ âçàºìîä³þòü ñèëàìè òÿæ³ííÿ àáî (òà)
ïðóæíîñò³, çàëèøàºòüñÿ íåçì³ííîþ çà áóäü-
ÿêèõ âçàºìîä³é ò³ë ì³æ ñîáîþ.
Ïðè ôîðìóëþâàíí³ öüîãî çàêîíó çàâæäè ï³äêðåñëþºòüñÿ, ùî â³í ñïðàâ-
äæóºòüñÿ ëèøå òîä³, êîëè ò³ëà âçàºìîä³þòü ÷åðåç ñèëó ïðóæíîñò³ àáî
(òà) òÿæ³ííÿ áåç ä³¿ ñòîðîíí³õ ñèë (ó êîíñåðâàòèâí³é ñèñòåì³).
Íàïðèêëàä, ÿêùî ï³äíÿòè íàä ñòàëåâîþ ïëèòîþ ñòàëåâó êóëüêó ³ âèïóñ-
òèòè ïîò³ì ¿¿ ç ðóê, òî âîíà ïàäàòèìå. Ó ì³ðó ïàä³ííÿ êóëüêè ¿¿ ïîòåíö³àëüíà
åíåðã³ÿ çìåíøóºòüñÿ, à ê³íåòè÷íà – çá³ëüøóºòüñÿ, áî çðîñòàº øâèäê³ñòü ðóõó
êóëüêè. Â³ä óäàðó êóëüêè îá ïëèòó äåôîðìóþòüñÿ ÿê êóëüêà, òàê ³ ïëèòà, à
ê³íåòè÷íà åíåðã³ÿ, ÿêó ìàëà êóëüêà, ïåðåòâîðþºòüñÿ â ïîòåíö³àëüíó åíåðã³þ
äåôîðìîâàíèõ ïëèòè ³ êóëüêè. Ïîò³ì âíàñë³äîê ä³¿ ïðóæíèõ ñèë ïëèòà ³ êóëü-
êà íàáåðóòü ïî÷àòêîâî¿ ôîðìè, êóëüêà â³äñêî÷èòü â³ä ïëèòè, à ¿õ ïîòåíö³àëü-
íà åíåðã³ÿ çíîâó ïåðåòâîðèòüñÿ â ê³íåòè÷íó åíåðã³þ êóëüêè: âîíà ï³äñêî÷èòü
óãîðó ç³ øâèäê³ñòþ, ùî äîð³âíþº øâèäêîñò³, ÿêó âîíà ìàëà â ìîìåíò óäàðó îá
ïëèòó. Ï³ä ÷àñ ï³äí³ìàííÿ âãîðó øâèäê³ñòü êóëüêè, à îòæå, ³ ¿¿ ê³íåòè÷íà åíåð-
ã³ÿ, çìåíøóºòüñÿ, ïîòåíö³àëüíà åíåðã³ÿ çðîñòàº. Ó âåðõí³é òî÷ö³ ï³äéîìó âñÿ ¿¿
ê³íåòè÷íà åíåðã³ÿ çíîâó ïåðåòâîðþºòüñÿ ó ïîòåíö³àëüíó.
ßêùî â ñèñòåì³ ä³þòü ñèëè òåðòÿ (îï³ð ïîâ³òðÿ, âíóòð³øíº òåðòÿ â ðå÷î-
âèí³ êóëüêè ³ ïëèòè), ïîâíà ìåõàí³÷íà åíåðã³ÿ íå çàëèøàºòüñÿ ñòàëîþ.
ßêùî ñèñòåìà íåçàìêíåíà ³ â í³é ä³þòü ñèëè òåð-
òÿ (îïîðó), òî çì³íà ìåõàí³÷íî¿ åíåðã³¿ ñèñòåìè äî-
ð³âíþº ñóì³ ðîá³ò çîâí³øí³õ ñèë ³ âíóòð³øí³õ ñèë
òåðòÿ, òîáòî
A + Àîï
= ∆E.

199
Çàêîí çáåðåæåííÿ ³ ïåðåòâîðåííÿ åíåðã³¿ äàº ìîæëèâ³ñòü ðîçêðèòè ô³çè÷-
íèé çì³ñò ïîíÿòòÿ ðîáîòè. Ðîáîòà ñèë òÿæ³ííÿ àáî ñèë ïðóæíîñò³, ç îäíîãî
áîêó, äîð³âíþº çá³ëüøåííþ ê³íåòè÷íî¿ åíåðã³¿, à ç äðóãîãî – çìåíøåííþ ïîòåí-
ö³àëüíî¿ åíåðã³¿ ò³ë. Òàêèì ÷èíîì, ðîáîòà äîð³âíþº çì³í³ åíåðã³¿.
Ùî òàêå ïîâíà ìåõàí³÷íà åíåðã³ÿ? Ñôîðìóëþéòå ³ çàïèø³òü çàêîí çáå-1.
ðåæåííÿ ïîâíî¿ ìåõàí³÷íî¿ åíåðã³¿.
Ó ÿêèõ ñèñòåìàõ âèêîíóºòüñÿ çàêîí çáåðåæåííÿ ïîâíî¿ ìåõàí³÷íî¿2.
åíåðã³¿ ó çàãàëüíîìó âèãëÿä³?
ßê âïëèâàº íà åíåðã³þ ñèñòåìè ò³ë ä³ÿ ñèëè òåðòÿ?3.
Çàäà÷à 1. Íà áàðàáàí ìàñîþ m = 9 êã íàìîòàíî øíóð, äî ê³íöÿ ÿêîãî
ïðèâ’ÿçàíî âàíòàæ ìàñîþ m0
= 2 êã. Âèçíà÷èòè ïðèñêîðåííÿ âàíòàæó. Áàðàáàí
ââàæàòè îäíîð³äíèì öèë³íäðîì. Òåðòÿì çíåõòóâàòè.
Äàíî:
m=9 êã;
m0
=2 êã
Ï³ä ÷àñ îïóñêàííÿ âàíòàæó éîãî ïîòåíö³àëüíà åíåðã³ÿ çìåíøó-
ºòüñÿ ³ ïåðåõîäèòü ó ê³íåòè÷íó åíåðã³þ ïîñòóïàëüíîãî ðóõó âàíòà-
æó òà ê³íåòè÷íó åíåðã³þ îáåðòàííÿ áàðàáàíà.à-?
υ ω
= +
2 2
0
0
2 2
m J
m gh .
Îñê³ëüêè äëÿ öèë³íäðà ìîìåíò ³íåðö³¿ =
2
2
mR
J ³
υ
ω =
R
, òî ìîæíà çàïèñàòè:
υ υ υ
= + = +
⋅
2 2 2
0
0 0( )
2 2 2 2 2
m m m
m gh m .
Îñê³ëüêè ðóõ ð³âíîïðèñêîðåíèé áåç ïî÷àòêîâî¿ øâèäêîñò³, òî =
2
2
at
h , υ = at.
Ï³äñòàâëÿþ÷è, îòðèìóºìî = +
2 2 2
0 0( )
2 2 2
at a t m
m g m , çâ³äêè =
+
0
0
2
2
m g
a
m m
.
⋅ ⋅
= =
⋅ +
2
2
2 2êã 9,8ì/ñ ì
3
2 2êã 9êã ñ
à .
Â³äïîâ³äü: 3 ì/ñ2
.
Çàäà÷à 2. Ìîëîòîì, ÿêèé ïàäàº ç âèñîòè h = 1,2 ì, çàáèâàþòü ïàëþ. Â³ä
óäàðó ïàëÿ çàãëèáëþºòüñÿ â çåìëþ íà s = 2 ñì. Âèçíà÷èòè ñåðåäíþ ñèëó óäàðó
Fc
³ éîãî òðèâàë³ñòü τ, ÿêùî ìàñà ìîëîòà m = 5 · 102
êã, ìàñà ïàë³ çíà÷íî ìåíøà
â³ä ìàñè ìîëîòà.

200
Ð Î Ç Ä ² Ë 3
Äàíî:
h = 1,2 ì;
s = 2 cì;
m = 5 · 102
êã
Ðîáîòà, ÿêà âèòðà÷àºòüñÿ íà ïîäîëàííÿ
ñèë îïîðó ´ðóíòó, äîð³âíþº çì³í³ ïîòåíö³àëü-
íî¿ åíåðã³¿ ìîëîòà: Fc
s = mg(h + s) (ìàë. 187).
Çâ³äñè ñ .
Fc
– ?
τ – ?
Ï³äñòàâëÿþ÷è ÷èñëîâ³ çíà÷åííÿ, îòðèìóºìî: Fc
≈ 3 · 105
H.
Òðèâàë³ñòü óäàðó âèçíà÷àºìî ç³ ñï³ââ³äíîøåííÿ: τ = s/υc
.
Ââàæàºìî ðóõ ïàë³ ó ´ðóíò³ ð³âíîñïîâ³ëüíåíèì, òîìó
υ + υ
υ = 0
2
c
, äå, çà çàêîíîì çáåðåæåííÿ åíåðã³¿, ïî÷àòêîâà
øâèäê³ñòü ïàë³ äîð³âíþº øâèäêîñò³ ìîëîòà íà ïî÷àòêó óäàðó
υ =0 2gh , ó ê³íö³ ðóõó ïàë³ υ = 0.
Òàêèì ÷èíîì, −
τ = ≈ ⋅ 32
8 10 c
2
s
gh
.
Â³äïîâ³äü: Fc
≈ 3 · 105
H, −
τ ≈ ⋅ 3
8 10 c .
Вправа 33
1. Êóëÿ ìàñîþ 3 êã ïàäàº ç âèñîòè 3 ì íà ïðóæèíó ³ ñòèñêàº ¿¿. Âèçíà÷èòè
ìàêñèìàëüíå ñòèñêàííÿ ïðóæèíè, ÿêùî ¿¿ æîðñòê³ñòü 700 Í/ì. Ìàñîþ ïðóæè-
íè çíåõòóâàòè.
2. Êóëüêà ìàñîþ 10 ã, ùî âèë³òàº ãîðèçîíòàëüíî ç ïðóæèííîãî ï³ñòîëåòà,
ïîòðàïëÿº ó öåíòð ï³äâ³øåíî¿ íà íèòö³ ïëàñòèë³íîâî¿ êóë³ ìàñîþ 40 ã ³ çàñòðÿº
â í³é. Æîðñòê³ñòü ïðóæèíè ï³ñòîëåòà – 400 Í/ì, ñòèñêàííÿ ïðóæèíè ïåðåä ïî-
ñòð³ëîì – 5 ñì. Íà ÿêó âèñîòó ï³äí³ìóòüñÿ êóëüêè?
3. Êîëîäà ìàñîþ 10 êã ñêî÷óºòüñÿ ç ã³ðêè çàââèøêè 5 ì ³ çóïèíÿºòüñÿ íà
ãîðèçîíòàëüí³é ä³ëÿíö³ øëÿõó. ßêó ðîáîòó íåîáõ³äíî âèêîíàòè, ùîá çàêîòèòè
êîëîäó òèì ñàìèì øëÿõîì íà ã³ðêó?
4. Ç ãîðè, âèñîòà ÿêî¿ = 2 ìh ³ îñíîâà = 5ìd , ç’¿æäæàþòü ñàíè, ÿê³ ïîò³ì
çóïèíÿþòüñÿ, êîëè ïðîéäóòü ïî ãîðèçîíòàë³ øëÿõ = 35 ìl â³ä îñíîâè ãîðè. Âè-
çíà÷èòè êîåô³ö³ºíò òåðòÿ.
5. Óãîðó ïî ïîõèë³é ïëîùèí³ ïî÷èíàº ðóõàòèñÿ ò³ëî ç ïî÷àòêîâîþ øâèä-
ê³ñòþ 10 ì/ñ. Íà ÿê³é â³äñòàí³ â³ä íèæíüîãî êðàþ ïîõèëî¿ ïëîùèíè ê³íåòè÷íà
åíåðã³ÿ ò³ëà çìåíøèòüñÿ ó 2 ðàçè? Êîåô³ö³ºíò òåðòÿ ì³æ ò³ëîì òà ïëîùèíîþ
0,6. Êóò íàõèëó ïëîùèíè äî ãîðèçîíòó 30°.
6. Ïî ïîõèë³é ïëîùèí³, âèñîòà ÿêî¿ 1 ì, îäèí ðàç ç³ñêîâçóº áåç òåðòÿ âàí-
òàæ, íàñòóïíîãî ðàçó – ñêî÷óºòüñÿ áåç òåðòÿ îáðó÷. Ìàñè âàíòàæó òà îáðó÷à
îäíàêîâ³ ³ äîð³âíþþòü 1 êã. Ðàä³óñ îáðó÷à – 10 ñì. Ìàñà îáðó÷à çîñåðåäæåíà
ïî îáîäó. ßêó øâèäê³ñòü ïîñòóïàëüíîãî ðóõó ìàòèìóòü âàíòàæ òà îáðó÷ ï³ñëÿ
ñïóñêó ç ïîõèëî¿ ïëîùèíè?
7. Ò³ëî êèäàþòü ç ïîâåðõí³ çåìë³ âåðòèêàëüíî âãîðó ç³ øâèäê³ñòþ 20 ì/ñ.
Âèçíà÷èòè ìàêñèìàëüíó âèñîòó ï³äéîìó ò³ëà òà âèñîòó, íà ÿê³é éîãî ê³íåòè÷íà
³ ïîòåíö³àëüíà åíåðã³¿ îäíàêîâ³. Îïîðîì ïîâ³òðÿ çíåõòóâàòè.
Ìàë. 187.
Äî çàäà÷³ 2

201
8. Íà îá³ä øê³âà, íàñàäæåíîãî íà ñï³ëüíó â³ñü ç ìàõîâèì êîëåñîì, íàìîòà-
íî íèòêó, äî ê³íöÿ ÿêî¿ ï³äâ³øåíèé âàíòàæ ìàñîþ 1 êã. Íà ÿêó â³äñòàíü ìàº
îïóñòèòèñü âàíòàæ, ùîá ìàõîâå êîëåñî ç³ øê³âîì íàáóëî êóòîâî¿ øâèäêîñò³ 6
ðàä/ñ? Ìîìåíò ³íåðö³¿ êîëåñà ç³ øê³âîì – 0,39 êã · ì2
, ðàä³óñ øê³âà – 0,1 ì.
9*
. Ò³ëî â³ëüíî êîâçàº ç âåðøèíè íåðóõîìî¿ ïîõèëî¿ ïëîùèíè ï³ä êóòîì
α = 30° äî ãîðèçîíòó. Âèçíà÷èòè éîãî øâèäê³ñòü ó ê³íö³ ïîõèëî¿ ïëîùèíè ³ ÷àñ
ðóõó, ÿêùî âèñîòà ïîõèëî¿ ïëîùèíè – 10 ì, à êîåô³ö³ºíò òåðòÿ – 0,05.
10. Ò³ëî êèíóëè ç³ øâèäê³ñòþ υ0 ï³ä êóòîì äî ãîðèçîíòó. Âèçíà÷èòè øâèä-
ê³ñòü ò³ëà íà âèñîò³ ≤ maxh h .
Загальні рекомендації щодо розв’язування задач на спільне застосування
законів збереження імпульсу та енергії
Ð³âíÿííÿ çàêîíó çáåðåæåííÿ ³ ïåðåòâîðåííÿ åíåðã³¿ – îäíà ç íàéçàãàëüí³-
øèõ ôîðìóë ìåõàí³êè, ùî äàº çìîãó ðîçâ’ÿçóâàòè ìàéæå âñ³ çàäà÷³ åëåìåíòàð-
íî¿ ìåõàí³êè. Ó çàäà÷àõ ï³äâèùåíî¿ ñêëàäíîñò³ öå ð³âíÿííÿ º îäíèì ç îñíîâíèõ,
ÿêå ðàçîì ç ð³âíÿííÿì äðóãîãî çàêîíó äèíàì³êè ³ ð³âíÿííÿì çàêîíó çáåðåæåí-
íÿ ³ìïóëüñó ñòàíîâèòü ïîâíó ñèñòåìó ð³âíÿíü, ùî îïèñóþòü ïåâíå ÿâèùå. Îñî-
áëèâî çðó÷íî, à â äðóãîìó âèïàäêó ïðîñòî íåîáõ³äíî, âèêîðèñòîâóâàòè çàêîí
çáåðåæåííÿ åíåðã³¿ äëÿ ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàäà÷, ó ÿêèõ: à) çàäàºòüñÿ ðóõ îäíîãî
ò³ëà; á) ðîçãëÿäàºòüñÿ íåð³âíîì³ðíèé çì³ííèé ðóõ.
Çàãàëüíó ñõåìó ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàäà÷, ùî ïîòðåáóþòü ñêëàäàííÿ ð³âíÿííÿ
çàêîíó çáåðåæåííÿ åíåðã³¿, ìîæíà ïîäàòè òàê:
•âèêîíàòè ñõåìàòè÷íèé ìàëþíîê ³ çàïèñàòè îñíîâíó ôîðìóëó;
•óñòàíîâèòè ïåðøå ³ äðóãå ïîëîæåííÿ ò³ëà, ùî ðîçãëÿäàºòüñÿ (öå çàçâè÷àé
ïî÷àòêîâå ³ ê³íöåâå ïîëîæåííÿ);
•âèáðàòè íóëüîâèé ð³âåíü â³äë³êó ïîòåíö³àëüíî¿ åíåðã³¿. Éîãî ìîæíà âè-
áðàòè äîâ³ëüíî, àëå çðó÷í³øå âèáèðàòè çà íàéíèæ÷èì ïîëîæåííÿì, ÿêå çà-
éìàº ò³ëî ï³ä ÷àñ ðóõó, ÷è â³äðàõîâóâàòè â³ä ð³âíÿ, íà ÿêèé îïóñêàºòüñÿ ò³ëî,
ïåðåõîäÿ÷è ç ïåðøîãî ïîëîæåííÿ â äðóãå;
•çîáðàçèòè ñèëè, ùî ä³þòü íà ò³ëî â çàçíà÷åí³é òî÷ö³ òðàºêòîð³¿, àáî, ÿêùî
òàêî¿ íåìàº, ó äîâ³ëüí³é òî÷ö³, ³ â³äçíà÷èòè ê³íåìàòè÷í³ õàðàêòåðèñòèêè υ ³ h,
ùî âèçíà÷àþòü ìåõàí³÷íó åíåðã³þ ò³ëà â ïåðøîìó ³ äðóãîìó ïîëîæåííÿõ;
•çàïèñàòè âèðàçè äëÿ ðîáîòè çîâí³øí³õ ñèë ³ ïîâíî¿ ìåõàí³÷íî¿ åíåðã³¿ â
öèõ ïîëîæåííÿõ. Ï³äñòàâèòè ö³ âèðàçè ó âèõ³äíå ð³âíÿííÿ.
Ó ïðîñòèõ çàäà÷àõ îòðèìàíå ð³âíÿííÿ ì³ñòèòü, ÿê ïðàâèëî, îäíó øóêàíó
âåëè÷èíó, ó ñêëàäí³øèõ – äâà ³ á³ëüøå íåâ³äîìèõ. ßêùî íåâ³äîìèõ á³ëüøå
îäíîãî, òî äî ñêëàäåíîãî ð³âíÿííÿ çàêîíó çáåðåæåííÿ åíåðã³¿ ïîòð³áíî äîäàòè
îñíîâíå ð³âíÿííÿ äèíàì³êè ìàòåð³àëüíî¿ òî÷êè, ôîðìóëè ê³íåìàòèêè àáî ð³â-
íÿííÿ çàêîíó çáåðåæåííÿ ³ìïóëüñó. Ó ðåçóëüòàò³ ìàòèìåìî ñèñòåìó ð³âíÿíü,
ñï³ëüíå ðîçâ’ÿçàííÿ ÿêèõ äàº çìîãó âèçíà÷èòè øóêàíó âåëè÷èíó.
Çàäà÷à 1. Äëÿ âèçíà÷åííÿ ïî÷àòêîâî¿ øâèäêîñò³ ðóõó êóë³ ìàñîþ 10 ã ñòð³-
ëÿþòü ó äåðåâ’ÿíèé áðóñîê ìàñîþ 6 êã, ï³äâ³øåíèé íà íèòêàõ. Áðóñîê ³ç êóëåþ,
* Öþ çàäà÷ó ðàí³øå ðîçâ’ÿçóâàëè çà äîïîìîãîþ çàêîí³â ê³íåìàòèêè òà äèíàì³êè.

202
Ð Î Ç Ä ² Ë 3
ùî â íüîìó çàñòðÿº, ï³äí³ìàºòüñÿ íà âèñîòó 49 ìì. Âèçíà÷èòè: à) ïî÷àòêîâó
øâèäê³ñòü êóë³; á) ê³íåòè÷íó åíåðã³þ êóë³ ó ìîìåíò ïîñòð³ëó; â) ÿêà ÷àñòèíà
ìåõàí³÷íî¿ åíåðã³¿ ïåðåòâîðþºòüñÿ ó âíóòð³øíþ.
Äàíî:
m1
= 10−2
êã;
m2
= 6 êã;
h = 4,9 · 10−2
ì
Ñèñòåìó «áðóñîê – êóëÿ» ìîæíà ââàæàòè ³çîëüîâàíîþ,
îñê³ëüêè ó ìîìåíò óäàðó êóë³ â áðóñîê óñ³ ñèëè, ùî ä³ÿëè íà
íèõ, çð³âíîâàæåí³; îïîðîì ïîâ³òðÿ íåõòóºìî (ìàë. 188).
Çà çàêîíîì çáåðåæåííÿ ³ìïóëüñó: ( )υ = +
r r
1 0 1 2m m m u .
Ó ïðîåêö³ÿõ íà â³ñü Õ: ( )υ = +1 0 1 2m m m u .
υ0
– ?
Eê
– ?
∆E – ?
Çâ³äêè
+
υ = 1 2
0
1
m m
u
m
.
Øâèäê³ñòü áðóñêà ç êóëåþ ó ìîìåíò óäàðó (u) âèçíà÷àºìî, çàñòîñîâóþ÷è
çàêîí çáåðåæåííÿ åíåðã³¿:
+
= +
2
1 2
1 2
( )
( )
2
m m u
m m gh , çâ³äêè = 2u gh .
Ïî÷àòêîâà øâèäê³ñòü êóë³:
+
υ = 1 2
0
1
2
m m
gh
m
.
Ê³íåòè÷íà åíåðã³ÿ êóë³ ó ìîìåíò ïîñòð³ëó:
υ
=
2
1 0
2
k
m
E .
×àñòèíà ìåõàí³÷íî¿ åíåð-
ã³¿ ∆Å , ùî ïåðåòâîðþºòüñÿ ó
âíóòð³øíþ, äîð³âíþº ð³çíèö³
ê³íåòè÷íî¿ åíåðã³¿ êóë³ ó ïî-
÷àòêîâèé ìîìåíò ³ ïîòåíö³-
àëüíî¿ åíåðã³¿ áðóñêà ç êóëåþ
ó ê³íöåâèé ìîìåíò:
υ
∆ = − +
2
1 0
1 2( )
2
m
E m m gh .
.
.
∆ = − ⋅ ⋅ ≈2
1734,6 Äæ 6,01êã 9,8ì/ñ 0,049ì 1731,7 ÄæE .
Â³äïîâ³äü: υ ≈0 589 ì/ñ ; ≈1734,6 ÄækE ; ∆ ≈1731,7 ÄæE .
Çàäà÷à 2. Êóëÿ ìàñîþ m1
, ùî ðóõàºòüñÿ ç³ øâèäê³ñòþ υ1
, íàçäîãàíÿº êóëþ
ìàñîþ m2
, ÿêà ðóõàºòüñÿ ç³ øâèäê³ñòþ υ2
. Âèçíà÷èòè øâèäêîñò³ êóëü u1
³ u2
ï³ñëÿ óäàðó. Óäàð ââàæàòè àáñîëþòíî ïðóæíèì.

203
Äàíî:
m1
;
υ1
;
m2
;
υ2
Âèáåðåìî â³ñü Õ ó íàïðÿì³
øâèäêîñò³ ðóõó êóëü (ìàë. 189).
Çà çàêîíîì çáåðåæåííÿ ê³-
íåòè÷íà åíåðã³ÿ êóëü äî óäàðó
äîð³âíþº ê³íåòè÷í³é åíåðã³¿ ï³ñ-
ëÿ óäàðó:
u1
– ?
u2
– ?
υ υ
+ = +
2 2 2 2
1 1 2 2 1 1 2 2
2 2 2 2
m m m u m u
.
Ñóìàðíèé ³ìïóëüñ äî âçàºìîä³¿ äîð³âíþº ñóìàðíîìó ³ìïóëüñó ï³ñëÿ âçàºìîä³¿:
υ + υ = +1 1 2 2 1 1 2 2m m m u m u .
− υ + υ
=
+
1 2 1 2 2
1
1 2
( ) 2m m m
u
m m
,
− υ + υ
=
+
2 1 2 1 1
2
1 2
( ) 2m m m
u
m m
.
Ïðîàíàë³çóºìî â³äïîâ³äü.
1. ßêùî êóë³ ìàþòü îäíàêîâ³ ìàñè =1 2m m , òî = υ1 2u ³ = υ2 1u , òîáòî êóë³
îáì³íþþòüñÿ øâèäêîñòÿìè.
2. ßêùî îäíà ç êóëü íåðóõîìà (υ2
= 0), òî
− υ
=
+
1 2 1
1
1 2
( )m m
u
m m
,
υ
=
+
1 1
2
1 2
2m
u
m m
.
ßêùî >1 2m m , òî ïåðøà êóëÿ ï³ñëÿ óäàðó ðóõàºòüñÿ â òîìó ñàìîìó íàïðÿì³,
ùî é äî óäàðó, ³ >2 1u u . ßêùî <1 2m m , òî ï³ñëÿ óäàðó ïåðøà êóëÿ â³äñêî÷èòü ó
çâîðîòíîìó íàïðÿì³.
Çàäà÷à 3. Âàíòàæ³âêà ìàñîþ 4000 êã, ùî ðóõàºòüñÿ ç³ øâèäê³ñòþ 36 êì/ãîä,
âäàðÿºòüñÿ ó ëåãêîâèé àâòîìîá³ëü, ìàñîþ 1000 êã, ùî ñòî¿òü ïåðåä ñâ³òëîôî-
ðîì. Òðèâàë³ñòü óäàðó 0,2 ñ. ßêèõ ïðèñêîðåíü âîíè íàáóâàþòü ó ðåçóëüòàò³
àâàð³¿? ßêà ÷àñòèíà ê³íåòè÷íî¿ åíåðã³¿ âàíòàæ³âêè âèòðà÷àºòüñÿ íà äåôîðìà-
ö³þ àâòîìîá³ë³â?
Äàíî:
m1
= 4000 êã;
υ01
= 36 êì/ãîä =
= 10 ì/ñ;
m2
= 1000 êã;
t = 0,2 c
Ïðè ðîçãëÿä³ òàêî¿ âçàºìîä³¿ (íåïðóæíèé óäàð) (ìàë.
190) ñèëè ç÷åïëåííÿ êîë³ñ àâòîìîá³ë³â ç äîðîãîþ (çîâí³øí³
ñèëè) ìàë³, ïîð³âíÿíî ç äåôîðìàö³ÿìè àâòîìîá³ë³â (âíóòð³ø-
í³ ñèëè), ÿê³ âèíèêàþòü ïðè öüîìó, òîìó ñèñòåìó ìîæíà ââà-
æàòè çàìêíåíîþ ³ çàñòîñîâóâàòè äëÿ íå¿ çàêîí çáåðåæåííÿ
³ìïóëüñó: υ = + υ
r r
1 01 1 2( )m m m , äå υ
r
– ñï³ëüíà øâèäê³ñòü àâòî-
ìîá³ë³â ï³ñëÿ óäàðó.
a1
– ?; a2
– ?;
n – ?
Ó ïðîåêö³¿ íà â³ñü Õ: υ = + υ1 01 1 2( )m m m , çâ³äêè
υ
υ =
+
1 01
1 2
m
m m
.
Çì³íà øâèäêîñò³ âàíòàæ³âêè
Ìàë. 189. Øâèäê³ñòü ðóõó êóëü
äî òà ï³ñëÿ óäàðó

204
Ð Î Ç Ä ² Ë 3
∆υ = υ− υ = υ − υ = − υ = − υ
+ + +
1 1 2
1 01 01 01 01 01
1 2 1 2 1 2
( 1)
m m m
m m m m m m
.
∆υ υ
= = − ⋅
+
1 2 01
1
1 2
m
a
t m m t
.
Çíàê «ì³íóñ» âêàçóº íà òå, ùî
ïðèñêîðåííÿ âàíòàæ³âêè ñïðÿìîâà-
íî ïðîòè øâèäêîñò³ ¿¿ ðóõó.
Çì³íà øâèäêîñò³ ëåãêîâîãî àâòî-
ìîá³ëÿ: ∆υ = υ− = υ
+
1
2 01
1 2
0
m
m m
,àéîãî
∆υ υ
= = ⋅
+
2 1 01
2
1 2
m
a
t m m t
.
Ï³ñëÿ ï³äñòàíîâêè ÷èñëîâèõ çíà÷åíü:
; .
×àñòèíà ê³íåòè÷íî¿ åíåðã³¿ âàíòàæ³âêè, ùî âèòðà÷àºòüñÿ íà äåôîðìàö³þ àâ-
òîìîá³ë³â, âèçíà÷èìî ç³ ñï³ââ³äíîøåííÿ:
−
= 0
0
E E
n
E
, äå
υ
=
2
1 01
0
2
m
E – ïî÷àòêîâà
åíåðã³ÿ âàíòàæ³âêè,
+ υ
=
2
1 2( )
2
m m
E – ê³íåòè÷íà åíåðã³ÿ àâòîìîá³ë³â ï³ñëÿ óäàðó.
Ï³äñòàâèâøè äî ôîðìóëè âèðàç
υ
υ =
+
1 01
1 2
m
m m
, ³ ïðîâ³âøè ñïðîùåííÿ, îòðè-
ìóºìî:
= = =
+
2
1 2
0,2 20%
m
n
m m
.
Â³äïîâ³äü: =1 2
ì
10
ñ
a ; =2 2
ì
40
ñ
a ; = 20%n .
Ïðîàíàë³çóºìî â³äïîâ³äü.
1. ßê âèäíî, ïðèñêîðåííÿ ëåãêîâîãî àâòî-
ìîá³ëÿ a2
ó 4 ðàçè á³ëüøå â³ä ïðèñêîðåííÿ âàí-
òàæíîãî àâòîìîá³ëÿ a1
, öå îçíà÷àº, ùî ï³ä ÷àñ
òàêîãî ç³òêíåííÿ ïàñàæèðè ëåãêîâîãî àâòîìî-
á³ëÿ çàçíàþòü çíà÷íî á³ëüøîãî ïåðåâàíòàæåí-
íÿ, ïîð³âíÿíî ç ïàñàæèðàìè âàíòàæ³âêè.
2. Ï³ä ÷àñ àáñîëþòíî íåïðóæíîãî óäàðó,
ê³íåòè÷íà åíåðã³ÿ íå çáåð³ãàºòüñÿ. Íàïðèêëàä,
ïðè óäàð³ êóë³ îá áàíàí (ìàë. 191), áàíàí äå-
ôîðìóºòüñÿ, êóëÿ âòðà÷àº ÷àñòèíó åíåðã³¿.
X
Ìàë. 191. Íåïðóæíà âçàºìîä³ÿ

205
Вправа 34
1. Êîâçàíÿð ìàñîþ 70 êã, ùî ñòî¿òü ó êîâçàíàõ íà ëüîäó, êèäàº â ãîðèçîí-
òàëüíîìó íàïðÿì³ êàì³íü ìàñîþ 3 êã ç³ øâèäê³ñòþ 8 ì/ñ. Âèçíà÷èòè, íà ÿêó â³ä-
ñòàíü â³ä’¿äå ïðè öüîìó êîâçàíÿð, ÿêùî êîåô³ö³ºíò òåðòÿ êîâçàí³â îá ë³ä – 0,02.
2. Ñòàëåâà êóëüêà ìàñîþ 20 ã ïàäàº ç âèñîòè 1 ì íà ñòàëåâó ïëèòó ³ â³äñêà-
êóº â³ä íå¿ íà âèñîòó 81 ñì. Âèçíà÷èòè: à) ³ìïóëüñ ñèëè, ÿêà ä³º íà ïëèòó ï³ä ÷àñ
óäàðó; á) ê³ëüê³ñòü òåïëîòè, ÿêà ïðè öüîìó âèä³ëÿºòüñÿ.
3. Ëþäèíà ñòî¿òü íà íåðóõîìîìó â³çêó ³ êèäàº ãîðèçîíòàëüíî êàì³íü ìàñîþ
8 êã ç³ øâèäê³ñòþ 5 ì/ñ â³äíîñíî Çåìë³. Âèçíà÷èòè, ÿêó ðîáîòó ïðè öüîìó âè-
êîíóº ëþäèíà, ÿêùî ìàñà â³çêà ðàçîì ç ëþäèíîþ 160 êã. Ïðîàíàë³çóâàòè çà-
ëåæí³ñòü ðîáîòè â³ä ìàñè. Òåðòÿì çíåõòóâàòè.
4. Êóëÿ, ùî ëåò³ëà ãîðèçîíòàëüíî ç øâèäê³ñòþ 40 ì/ñ, ïîòðàïëÿº ó áðóñîê,
ï³äâ³øåíèé íà íèòö³ çàâäîâæêè 4 ì, ³ çàñòðÿº ó íüîìó. Âèçíà÷èòè êóò, íà ÿêèé
â³äõèëèòüñÿ áðóñîê, ÿêùî ìàñà êóë³ – 20 ã, à áðóñêà – 5 êã.
5. Äâà âàíòàæ³ ìàñàìè 10 ³ 15 êã ï³äâ³øåí³ íà íèòêàõ çàâäîâæêè 2 ì òàê,
ùî âîíè äîòèêàþòüñÿ îäèí äî îäíîãî. Ìåíøèé âàíòàæ â³äõèëèëè íà êóò 60° ³
â³äïóñòèëè. Íà ÿêó âèñîòó ï³äí³ìóòüñÿ îáèäâà âàíòàæ³ ï³ñëÿ óäàðó? Óäàð ââà-
æàòè íåïðóæíèì. ßêà ê³ëüê³ñòü òåïëîòè ïðè öüîìó âèä³ëÿºòüñÿ?
6. Äâ³ êóë³ ï³äâ³øåí³ íà ïàðàëåëüíèõ íèòêàõ îäíàêîâî¿ äîâæèíè òàê, ùî
âîíè äîòèêàþòüñÿ îäíà äî îäíî¿. Ìàñè êóëü – 0,2 êã ³ 100 ã. Ïåðøó êóëþ â³ä-
õèëÿþòü òàê, ùî ¿¿ öåíòð òÿæ³ííÿ ï³äí³ìàºòüñÿ íà âèñîòó 4,5 ñì, ³ â³äïóñêà-
þòü. Íà ÿêó âèñîòó ï³äí³ìóòüñÿ êóë³ ï³ñëÿ óäàðó, ÿêùî óäàð: à) ïðóæíèé;
á) íåïðóæíèé?
7. Ñâèíöåâà êóëÿ ìàñîþ 500 ã, ùî ðóõàºòüñÿ ç³ øâèäê³ñòþ 10 ñì/ñ, âäàðÿ-
ºòüñÿ ó íåðóõîìó êóëþ ç âîñêó ìàñîþ 200 ã, ï³ñëÿ ÷îãî îáèäâ³ êóë³ ðóõàþòüñÿ
ðàçîì. Âèçíà÷èòè ê³íåòè÷íó åíåðã³þ êóëü ï³ñëÿ óäàðó.
8. Ì³æ äâîìà ò³ëàìè ìàñàìè 6,5 òà 2,5 êã ñòèñíåíî ïðóæèíó. Êîëè ïðó-
æèíà ðîçïðÿìèëàñü, îäíå ò³ëî ïðîéøëî ó ãîðèçîíòàëüíîìó íàïðÿì³ äî ïîâíî¿
çóïèíêè øëÿõ 1,2 ì. Âèçíà÷èòè ê³íåòè÷íó åíåðã³þ äðóãîãî ò³ëà â³äðàçó ï³ñëÿ
âèïðÿìëåííÿ ïðóæèíè, íåõòóþ÷è ìàñîþ ïðóæèíè ³ ââàæàþ÷è, ùî êîåô³ö³ºíò
òåðòÿ ïðè ðóñ³ ò³ë îäíàêîâèé ³ äîð³âíþº 0,2, à âòðàò åíåðã³¿, êîëè ïðóæèíà âè-
ïðÿìëÿºòüñÿ, íåìàº.
9. Êóëÿ, ùî ëåò³ëà ãîðèçîíòàëüíî ç øâèäê³ñòþ 100 ì/ñ, óäàðÿºòüñÿ îá íå-
ðóõîìèé êëèí, ùî ëåæèòü íà ãîðèçîíòàëüí³é ïîâåðõí³, ³ ïðóæíî â³äë³òàº âåð-
òèêàëüíî âãîðó. Ïî÷àòêîâà øâèäê³ñòü êëèíà ï³ñëÿ óäàðó – 2 ì/ñ. Âèçíà÷èòè,
íà ÿêó âèñîòó ï³äí³ìåòüñÿ êóëÿ. Îïîðîì ïîâ³òðÿ çíåõòóâàòè.

206
Ð Î Ç Ä ² Ë 3
§ 37 Рух рідин і газів. Закон Бернуллі
Ðóõ ð³äèíè ó òðóá³.
Òèñê ó ðóõîì³é ð³äèí³.
Ï³ä³éìàëüíà ñèëà êðèëà.
Ðóõ ð³äèíè ó òðóá³. Ðóõ ð³äèí ³ ãàç³â äîâîë³ ñêëàäíå ÿâèùå, òîìó äëÿ éîãî
îïèñó çàñòîñîâóþòü ìîäåëü – ³äåàëüíó ð³äèíó, ÿêà ââàæàºòüñÿ îäíîð³äíîþ íå-
ñòèñëèâîþ ³ íåâ’ÿçêîþ. Ï³ä ÷àñ ðóõó ³äåàëüíî¿ ð³äèíè íå â³äáóâàºòüñÿ ïåðåòâî-
ðåííÿ ìåõàí³÷íî¿ åíåðã³¿ ó âíóòð³øíþ, òîìó äëÿ îïèñó ¿¿ ðóõó ìîæíà çàñòîñî-
âóâàòè çàêîí çáåðåæåííÿ ìåõàí³÷íî¿ åíåðã³¿.
Ðóõ ð³äèí ìîæå áóòè ëàì³íàðíèì (â³ä ëàò. laminia – øàð) ³ òóðáóëåíò-
íèì (â³ä ëàò. turbulentus – âèõîð).
Äëÿ ëàì³íàðíî¿ òå÷³¿ º õàðàêòåðíèì òå, ùî øàðè ð³äèíè í³áè êîâçàþòü îäèí
ïî îäíîìó íå çì³øóþ÷èñü. Òàêèé ðóõ ð³äèíè – ñòàö³îíàðíèé. Çà íåâåëèêèõ
øâèäêîñòåé ðóõó ð³äèíè ìîæëèâèé ¿¿ ñòàö³îíàðíèé ïîò³ê. Çà òóðáóëåíòíî¿ òå÷³¿
ðóõ ð³äèí íåñòàö³îíàðíèé – øàðè ð³äèíè çì³øóþòüñÿ, óòâîðþþ÷è çàâèõðåííÿ.
Ðîçãëÿíåìî ñòàö³îíàðíèé ðóõ ³äåàëüíî¿ ð³äèíè ïî òðóá³ çì³ííîãî ïåðåð³çó
(ìàë. 192).
Ïðîòÿãîì ³íòåðâàëó ÷àñó
∆t ð³äèíà ó òðóá³ íà ä³ëÿíö³
ïåðåð³çîì S1
çì³ñòèëàñÿ íà
l1
= υ1
∆t, à íà ä³ëÿíö³ ïåðåð³-
çîì S2
íà l2
= υ2
∆t, äå υ1
, υ2
–
øâèäê³ñòü ðóõó ð³äèíè íà â³ä-
ïîâ³äíèõ ä³ëÿíêàõ òðóáè.
Îñê³ëüêè ð³äèíà ó òðóáàõ
íå íàêîïè÷óºòüñÿ ³ íå ñòèñ-
êàºòüñÿ, òî îá’ºì ð³äèíè, ùî
ïðîõîäèòü ÷åðåç øèðîêó ä³ëÿíêó òðóáè, äîð³âíþº îá’ºìó ð³äèíè, ùî ïðîõîäèòü
÷åðåç ¿¿ âóçüêó ä³ëÿíêó: V1
= V2
– óìîâà íåïåðåðâíîñò³ òå÷³¿ ð³äèíè.
Îá’ºìð³äèíè,ùîïðîõîäèòü÷åðåçïåðåð³çS1
òðóáè,äîð³âíþº:V1
= l1
S1
= υ1
∆tS1
,
â³äïîâ³äíî ÷åðåç ïåðåð³ç S2
: V2
= l2
S2
= υ2
∆tS2
. Îñê³ëüêè V1
= V2
, òî υ1
S1
= υ2
S2
, àáî
υ
=
υ
1 2
2 1
S
S
– øâèäê³ñòü ðóõó îäíîð³äíî¿ íåñòèñëèâî¿
³ íåâ’ÿçêî¿ ð³äèíè ó òðóá³ çì³ííîãî ïåðåð³çó îáåð-
íåíî ïðîïîðö³éíà ïëîù³ ¿¿ ïîïåðå÷íîãî ïåðåð³çó.
Ìàë. 192. Ðóõ ð³äèíè ïî òðóá³ çì³ííîãî ïåðåð³çó

207
Òèñê ó ðóõîì³é ð³äèí³. ßê â³äîìî, íåðóõîìà ð³äèíà ó ïîñóäèí³, çã³äíî ç çàêî-
íîì Ïàñêàëÿ, ïåðåäàº çîâí³øí³é òèñê äî âñ³õ òî÷îê ð³äèíè áåç çì³í. Àëå, ÿê ïî-
êàçóº äîñâ³ä, ÿêùî ð³äèíà òå÷å áåç òåðòÿ ïî òðóá³ çì³ííîãî ïåðåð³çó, òî òèñê íà
ð³çíèõ ä³ëÿíêàõ òðóáè – íåîäíàêîâèé: ó âóçüêèõ ä³ëÿíêàõ òðóáè, äå øâèäê³ñòü
ðóõó ð³äèíè á³ëüøà, – òèñê ìåíøèé, ó øèðîêèõ – íàâïàêè. Ïîÿñíèìî öåé ôàêò.
Ó ðàç³ ïåðåõîäó ç øèðîêî¿ ä³ëÿíêè òðóáè ó âóçüêó, ð³äèíà çì³íþº øâèä-
ê³ñòü, òîáòî ðóõàºòüñÿ ç ïðèñêîðåííÿì. À, çà äðóãèì çàêîíîì Íüþòîíà, ò³ëî
íàáóâàº ïðèñêîðåííÿ òîä³, êîëè íà íüîãî ä³º ñèëà. Öå îçíà÷àº, ùî íà ð³äèíó,
ÿêà â öåé ìîìåíò ì³ñòèòüñÿ ó çâóæåí³é ÷àñòèí³ òðóáè, ä³º ç áîêó ð³äèíè â øèð-
ø³é ¿¿ ÷àñòèí³ ïåâíà ñèëà, ùî ìîæå âèíèêíóòè ò³ëüêè âíàñë³äîê ð³çíèö³ òèñê³â
ó ð³çíèõ ïåðåð³çàõ òðóáè. Ñèëà íàïðÿìëåíà â á³ê âóçüêî¿ ÷àñòèíè òðóáè, îòæå,
ó âóçüêèõ ì³ñöÿõ òèñê ìåíøèé, í³æ ó øèðîêèõ. Öÿ ñèëà òèñêó, ÿêà çìóøóº ð³-
äèíó òåêòè ïî òðóá³, – öå ñèëà ïðóæíîñò³ ñòèñíóòî¿ ð³äèíè. Êîëè ìè ãîâîðèëè
ïðî íåñòèñêóâàí³ñòü ð³äèíè, òî ìàëè íà óâàç³ ëèøå òå, ùî âîíà íå ìîæå áóòè
íàñò³ëüêè ñòèñíóòîþ, ùîá ïîì³òíî çì³íèâñÿ ¿¿ îá’ºì. Òèì ÷àñîì äóæå ìàëå
ñòèñíåííÿ, ÿêå ñïðè÷èíÿº âèíèêíåííÿ ñèë ïðóæíîñò³, íåìèíó÷å â³äáóâàºòüñÿ.
Ö³ ñèëè ³ ñòâîðþþòü òèñê ð³äèíè.
Âñòàíîâèìî çâ’ÿçîê ì³æ òèñêîì ³ øâèäê³ñòþ ð³äèíè â ð³çíèõ ïåðåð³çàõ òðó-
áè. Âèîêðåìèìî òîíêèé ïîïåðå÷íèé øàð ð³äèíè ìàñîþ m. Ó ïåðåð³ç³ 1S ïîòåíö³-
àëüíà åíåðã³ÿ øàðó ð³äèíè äîð³âíþº 1mgh ³ ê³íåòè÷íà 2
1 2mυ . Ïåðåì³ñòèâøèñü ó
ïåðåð³ç 2S öåé øàð ìàòèìå ïîòåíö³àëüíó åíåðã³þ 2mgh ³ ê³íåòè÷íó – 2
2 2mυ .
Íà âèáðàíèé øàð ð³äèíè â ïåðåð³ç³ 1S íàòèñêàº ð³äèíà, ùî òå÷å ïîçàäó, à
ð³äèíà, ùî òå÷å ïîïåðåäó, – çàâàæàº éîãî ïåðåì³ùåííþ. ²íøèìè ñëîâàìè, íàä
öèì øàðîì ð³äèíè ðåøòà ð³äèíè âèêîíóº ðîáîòó. Âèçíà÷èìî ¿¿.
Ïîçíà÷èìî òèñê ð³äèíè íà ïåðåð³ç³ 1S ÷åðåç 1p , à çóñòð³÷íèé òèñê íà ïåðåð³-
ç³ 2S – ÷åðåç 2p . Ñèëà òèñêó íà ïåðåð³ç³ 1S âèêîíóº äîäàòíó ðîáîòó 1 1 1p S l , à ñèëà
çóñòð³÷íîãî òèñêó – â³ä’ºìíó ðîáîòó: − 2 2 2p S l . Âðàõîâóþ÷è, ùî = =1 1 2 2S l S l V,
âèðàç ðîáîòè ñèëè òèñêó ìàº âèãëÿä: −1 2( )p p V . Ó ðåçóëüòàò³ âèêîíàííÿ ñèëà-
ìè òèñêó ðîáîòè çì³íþºòüñÿ ïîâíà ìåõàí³÷íà åíåðã³ÿ øàðó ð³äèíè:
υ υ
− = + − +
2 2
2 1
1 2 2 1( ) ( ) ( )
2 2
m m
p p V mgh mgh .
Ðîçêðèºìî äóæêè ³ ïåðåíåñåìî âñ³ ÷ëåíè, ùî ñòîñóþòüñÿ ïåðåð³çó S1
, ó ë³-
âèé á³ê ð³âíîñò³, à ùî ñòîñóþòüñÿ ïåðåð³çó S2
, – ó ïðàâèé. Ïîä³ëèìî ð³âí³ñòü íà
V ³ ç óðàõóâàííÿì, ùî m/V = ρ, îòðèìóºìî:
υ υ
+ ρ + ρ = + ρ + ρ
2 2
1 2
1 1 2 2
2 2
p gh p gh .
Îñê³ëüêè ïåðåð³çè áóëè âèáðàí³ äîâ³ëüíî, òî öÿ ð³âí³ñòü âèêîíóºòüñÿ äëÿ
âñ³õ ïåðåð³ç³â:
υ
+ ρ + ρ =
2
2
p gh const .
Îòðèìàíèé âèðàç º ð³âíÿííÿì Áåðíóëë³, ùî îïèñóº ðóõ ³äåàëüíî¿ ð³äèíè.
Ç’ÿñóºìî, ÿêèé ô³çè÷íèé çì³ñò ìàþòü äîäàíêè öüîãî ð³âíÿííÿ. Î÷åâèäíî,
ρgh – ïîòåíö³àëüíà åíåðã³ÿ îäèíè÷íîãî îá’ºìó ð³äèíè, ρυ2
/2 – ê³íåòè÷íà åíåð-
ã³ÿ òîãî ñàìîãî îá’ºìó. Òîìó ³ ïåðøèé äîäàíîê ìàº çì³ñò åíåðã³¿: öå ïîòåíö³àëü-
íà åíåðã³ÿ «ï³äòèñíóòîãî» çîâí³øí³ì òèñêîì p îäèíè÷íîãî îá’ºìó ð³äèíè.

208
Ð Î Ç Ä ² Ë 3
Îòæå, ô³çè÷íèé çì³ñò ð³âíÿííÿ Áåðíóëë³ ïîëÿ-
ãàº â òîìó, ùî ï³ä ÷àñ ïðîò³êàííÿ ³äåàëüíî¿ ð³äè-
íè ïîâíà ìåõàí³÷íà åíåðã³ÿ îäèíèö³ îá’ºìó ð³äèíè
º âåëè÷èíîþ ñòàëîþ ïî âñ³é äîâæèí³ òðóáè.
Çàêîí Áåðíóëë³ â³äêðèòî ó 1738 ð. Öåé çàêîí ñïðàâåäëèâèé ³ äëÿ ðóõîìîãî
ãàçó, àëå çà óìîâè, ùî éîãî òèñê íåâåëèêèé ³ ãóñòèíà ñóòòºâî íå çì³íþºòüñÿ.
Çàóâàæèìî ùå îäèí ôàêò. Âñ³ äîäàíêè ð³âíÿííÿ ìàþòü ðîçì³ðí³ñòü òèñêó.
Òîìó â ³íæåíåð³é ïðàêòèö³ ¿õ íàçèâàþòü: p – ñòàòè÷íèé òèñê, ρgh – âàãîâèé
òèñê, ρυ2
/2 – äèíàì³÷íèé òèñê.
Ç ð³âíÿííÿ Áåðíóëë³ âèïëèâàº, ÿêùî ïîò³ê ãîðèçîíòàëüíèé, òî
υ υ
+ ρ = + ρ
2 2
1 2
1 2
2 2
p p .
Áà÷èìî, ùî çíà÷åííÿ ö³º¿ ñóìè ìîæå áóòè ñòàëèì ëèøå òîä³, êîëè çà çá³ëü-
øåííÿ øâèäêîñò³ υ çìåíøóºòüñÿ òèñê p, ³ íàâïàêè.
Ï³ä³éìàëüíà ñèëà êðèëà. Ð³âíÿííÿ Áåðíóëë³ äàº çìîãó ÿê³ñíî ïîÿñíèòè âè-
íèêíåííÿ ï³äí³ìàëüíî¿ ñèëè êðèëà ë³òàêà. Êîæåí ë³òàê ìàº êðèëà, ÿê³ ìîæóòü
áóòè íàéð³çíîìàí³òí³øî¿ ôîðìè, àëå ¿õ îá’ºäíóº ñï³ëüíà îçíàêà: ïëîñêà íèæíÿ
ïîâåðõíÿ ³ îïóêëà âåðõíÿ. Çàâäÿêè ö³é ôîðì³ ³ êóòó α (òàê çâàíèé êóò àòàêè),
ï³ä ÿêèì êðèëî íàõèëåíå äî çóñòð³÷íîãî ïîòîêó ïîâ³òðÿ (ìàë. 193), øâèäê³ñòü
ðóõó ïîâ³òðÿíîãî ïîòîêó íàä êðèëîì á³ëüøà, í³æ ï³ä êðèëîì. Â³äïîâ³äíî äî
ð³âíÿííÿ Áåðíóëë³ òèñê íàä êðèëîì (p1
) ìåíøèé, í³æ ï³ä íèì (p2
). Ó ðåçóëüòàò³
÷îãî âèíèêàº ñèëà
r
F . Âåðòèêàëüíà ñêëàäîâà ö³º¿ ñèëè
r
yF íàçèâàºòüñÿ ï³äí³-
ìàëüíîþ ñèëîþ. Ï³äí³ìàëüíà ñèëà äàº çìîãó êîìïåíñóâàòè ñèëó òÿæ³ííÿ, ùî
ä³º íà ë³òàê, à îòæå, çàáåçïå÷óº ïîë³ò òÿæêèõ ë³òàëüíèõ àïàðàò³â ó ïîâ³òð³.
Ãîðèçîíòàëüíà ñêëàäîâà
r
xF – öå ñèëà îïîðó ïîâ³òðÿ.
Òåîð³þ ï³äí³ìàëüíî¿ ñèëè êðèëà ñòâîðèâ Ì. ª. Æóêîâñüêèé. Â³í ïîêàçàâ, ùî
ïðè îáò³êàíí³ êðèëà ñóòòºâó ðîëü â³ä³-
ãðàº öèðêóëÿö³ÿ ïîâ³òðÿ íàâêîëî êðèëà
(çåëåí³ ñòð³ëêè íà ìàë. 193). Ó âåðõí³é
÷àñòèí³ íàïðÿì ïîòîêó ïîâ³òðÿ, ùî öèð-
êóëþº, çá³ãàºòüñÿ ç ïàäàþ÷èì ïîòîêîì,
à ó íèæí³é – ïîòîêè íàïðàâëåí³ ïðîòè-
ëåæíî. Öå é äàº ð³çíèöþ òèñê³â ³ âåäå äî
âèíèêíåííÿ ï³ä³éìàëüíî¿ ñèëè.
Ó ïåðåë³êó ñâ³òîâèõ àâ³àö³éíèõ
ëàéíåð³â îäíå ç ïðîâ³äíèõ ì³ñöü ïîñ³äà-
þòü óêðà¿íñüê³ ë³òàêè. Âñåñâ³òíüî â³äî-
ì³ ÀÍ-124 «Àíòåé», ÀÍ-140 òà ÀÍ-70
ñêîíñòðóéîâàí³ ³ âèãîòîâëåí³ â Óêðà¿í³.
Äîâåä³òü, ùî øâèäê³ñòü ðóõó ð³äèíè ó òðóá³ çì³ííîãî ïåðåð³çó îáåðíåíî1.
ïðîïîðö³éíà ïëîù³ ïîïåðå÷íîãî ïåðåð³çó.
Ïîÿñí³òü, ÷îìó òèñê ð³äèíè á³ëüøèé òàì, äå øâèäê³ñòü ïîòîêó ìåíøà, ³2.
ìåíøèé òàì, äå øâèäê³ñòü ïîòîêó á³ëüøà.
Ìàë. 193. Âèíèêíåííÿ
ï³äí³ìàëüíî¿ ñèëè êðèëà

209
Íàâåä³òü ïðèêëàäè, ùî ï³äòâåðäæóþòü çàêîí Áåðíóëë³. Íàâåä³òü ïðè-3.
êëàäè çàñòîñóâàííÿ çàêîíó Áåðíóëë³ ó òåõí³ö³.
Ïîÿñí³òü ÿê âèíèêàº ï³äí³ìàëüíà ñèëà êðèëà4.
Çàäà÷à 1. Äîâåñòè òåîðåìó Òîðð³÷åëë³, çã³äíî ç ÿêîþ øâèäê³ñòü âèò³êàííÿ
ç âóçüêîãî îòâîðó â øèðîê³é ïîñóäèí³ äîð³âíþº øâèäêîñò³ â³ëüíîãî ïàä³ííÿ ç
âèñîòè ð³âíÿ ð³äèíè ó ïîñóäèí³ íàä îòâîðîì.
Äàíî:
h
Çàñòîñîâóºìî ð³âíÿííÿ Áåðíóëë³ äëÿ ãîðèçîíòàëüíîãî ïîòîêó:
ρυ ρυ
+ = +
2 2
1 2
1 2
2 2
p p .υ – ?
Ó øèðîê³é ÷àñòèí³ ïîñóäèíè υ1
→ 0,
p1
= pàòì
+ ρgh, ïðè âèò³êàíí³ ç îòâîðó p2
= pàòì
(ìàë.
194).
Ð³âíÿííÿ Áåðíóëë³ íàáóâàº âèãëÿäó:
ρυ
+ρ = +
2
2
p gh p , çâ³äñè: υ = 2gh .
Â³äïîâ³äü: υ = 2gh .
Çàäà÷à 2. Ìåäè÷íà ñåñòðà òèñíå íà ïîðøåíü
øïðèöà ä³àìåòðîì 1 ñì ³ç ñèëîþ 0,01 Í. Âèçíà÷èòè øâèäê³ñòü âèò³êàííÿ ñòðó-
ìåíÿ ð³äèíè ç³ øïðèöà, ÿêèé ðîçòàøîâàíî ãîðèçîíòàëüíî. Òåðòÿì çíåõòóâàòè.
Ãóñòèíà ð³äèíè – 103
êã/ì3
.
Äàíî:
d = 0,01 ì;
F = 0,01 H;
ρ = 103
êã/ì3
Çàñòîñîâóºìî ð³âíÿííÿ Áåðíóëë³ äëÿ ãîðèçîíòàëüíîãî ïîòîêó:
ρυ ρυ
+ = +
2 2
1 2
1 2
2 2
p p .
υ – ?
Îñê³ëüêè ä³àìåòð øïðèöà çíà÷íî ïåðåâèùóº ä³àìåòð ãîëêè, òî øâèäê³ñòü
ðóõó ð³äèíè ó øïðèö³ υ1
→ 0, òèñê p1
äîð³âíþº ñóì³ çîâí³øíüîãî òèñêó (F/S) òà
àòìîñôåðíîãî pàòì
, òèñê p2
= pàòì
.
Ð³âíÿííÿ Áåðíóëë³ íàáóâàº âèãëÿäó:
ρυ
+ = +
2
2
F
p p
S
, çâ³äñè: υ =
ρ
2F
S
.
Ïëîùà ïîïåðå÷íîãî ïåðåð³çó ïîðøíÿ øïðèöà
π
=
2
4
d
S .
υ = =
π ρ πρ2
8 2 2F F
d d
.
Îá÷èñëåííÿ: −
⋅
υ = =
⋅2 3 3
2 0,01Í2
0,5 ì ñ
10 ì 10 êã ì 3,14
.
Â³äïîâ³äü: υ = 0,5ì ñ .

210
Ð Î Ç Ä ² Ë 3
Вправа 35
1. Ó ïîæåæíîìó øëàíãó ä³àìåòðîì 7 ñì òå÷å âîäà ç³ øâèäê³ñòþ 9 ì/ñ. Âè-
çíà÷èòè âíóòð³øí³é ä³àìåòð òðóáêè áðàíäñïîéòà, ÿêùî âîäà âèò³êàº ç íüîãî ç³
øâèäê³ñòþ 129,6 êì/ãîä.
2. Ó ãîðèçîíòàëüí³é òðóá³, ä³àìåòð ÿêî¿ 8 ñì, íàôòà òå÷å ç³ øâèäê³ñòþ 2 ì/ñ
çà òèñêó 150 êÏà. Âèçíà÷èòè, ï³ä ÿêèì òèñêîì òå÷å íàôòà ó âóçüê³é ÷àñòèí³
òðóáè ä³àìåòðîì 4 ñì.
3. Ï³ä ÷àñ ïîëüîòó òèñê ïîâ³òðÿ ï³ä êðèëîì ë³òàêà äîð³âíþº 97,8 êÏà. Ïëî-
ùà êðèëà – 20 ì2
. Âèçíà÷èòè ï³äí³ìàëüíó ñèëó êðèëà ë³òàêà.
4. ßêîþ ìàº áóòè âèñîòà öèë³íäðè÷íî¿ ïîñóäèíè ðàä³óñîì 5 ñì, çàïîâíåíî¿
âîäîþ, ùîá ñèëà òèñêó âîäè íà äíî äîð³âíþâàëà ñèë³ òèñêó íà á³÷íó ïîâåðõíþ?
5. Ïëîùà ïîðøíÿ ó øïðèö³ – 2 ñì2
, à ïëîùà îòâîðó – 1 ìì2
. Ñê³ëüêè ÷àñó
âèò³êàòèìå âîäà ç³ øïðèöà, ÿêùî ä³ÿòè íà ïîðøåíü ³ç ñèëîþ 8 Í ³ õ³ä ïîðøíÿ
– 5 ñì? Øïðèö ðîçòàøîâàíî ãîðèçîíòàëüíî.
6. Ç áðàíäñïîéòà á’º ñòðóìèíà âîäè, ùî äàº 60 ë/õâ. ßêà ïëîùà ïîïåðå-
÷íîãî ïåðåð³çó ñòðóìèíè íà âèñîò³ 2 ì íàä ê³íöåì áðàíäñïîéòà, ÿêùî ïîáëèçó
íüîãî âîíà äîð³âíþº 1,5 ñì2
.
7. Òðèìàþ÷è çà ê³í÷èêè äâà àðêóø³ ïàïåðó ç³ øê³ëüíîãî çîøèòà, ùîá â³ä-
ñòàíü ì³æ ¿õ ïëîùèíàìè áóëà 3–5 ñì, ïîäóéòå ó ïðîñò³ð ì³æ íèìè. Îïèø³òü ³
ïîÿñí³òü ÿâèùå, ùî ñïîñòåð³ãàëîñÿ.
Ïîíÿòòÿ åíåðã³¿ òðèâàëèé ÷àñ ïîøèðþâàëîñÿ ò³ëüêè íà ìåõàí³÷íèé ðóõ ³
ðîçãëÿäàëîñü ÿê çäàòí³ñòü ò³ëà âèêîíóâàòè ðîáîòó: ÿêùî íà ò³ëî ä³º ñèëà ³ ï³ä
ä³ºþ ö³º¿ ñèëè ò³ëî ïåðåì³ùóºòüñÿ, îòæå, âèêîíóºòüñÿ ìåõàí³÷íà ðîáîòà; ÿêùî
ò³ëîì âèêîíóºòüñÿ ðîáîòà, òî âîíî ìàº åíåðã³þ.
Ó ñåðåäèí³ Õ²Õ ñò., êîëè áóëî âñòàíîâëåíî ôóíäàìåíòàëüíèé çàêîí ïðè-
ðîäè – çàêîí çáåðåæåííÿ ³ ïåðåòâîðåííÿ åíåðã³¿, ïîíÿòòÿ åíåðã³¿ ïîøèðèëîñÿ
é íà ³íø³ âèäè ³ ôîðìè ðóõó; âîäíî÷àñ öå ïîíÿòòÿ óòâåðäèëîñü ÿê çàãàëüíà õà-
ðàêòåðèñòèêà ðóõó ³ âçàºìîä³¿.
Êîæíå ðóõîìå ò³ëî ìàº ³ìïóëüñ ³ ê³íåòè÷íó åíåðã³þ. Ò³ëà, ùî âçàºìîä³þòü,
ìàþòü ïîòåíö³àëüíó åíåðã³þ, ÿêà çàëåæèòü â³ä âçàºìíîãî ðîçì³ùåííÿ ò³ë àáî
¿õ ÷àñòèí.
Ì³ðîþ çì³íè ³ìïóëüñó ò³ëà º ³ìïóëüñ ñèëè; ì³ðîþ çì³íè åíåðã³¿ – ðîáîòà.
Ìåõàí³÷íà ðîáîòà ñèë ïðóæíîñò³ ³ òÿæ³ííÿ äîð³âíþº çì³í³ ïîòåíö³àëüíî¿ åíåð-
ã³¿ ç ïðîòèëåæíèì çíàêîì.
Ó çàìêíåíèõ ñèñòåìàõ âèêîíóþòüñÿ çàêîíè çáåðåæåííÿ ³ìïóëüñó, ìîìåí-
òó ³ìïóëüñó òà åíåðã³¿. Ïîâíà ìåõàí³÷íà åíåðã³ÿ ñèñòåìè çàëèøàºòüñÿ ñòàëîþ,
ÿêùî â í³é ä³þòü ëèøå ñèëè òÿæ³ííÿ àáî/òà ïðóæíîñò³.
Ïðèêëàäîì ä³¿ çàêîíó çáåðåæåííÿ ³ìïóëüñó º ðåàêòèâíèé ðóõ, ïðèêëàäîì
ä³¿ çàêîíó çáåðåæåííÿ ìåõàí³÷íî¿ åíåðã³¿ – çàêîí Áåðíóëë³.

МЕХАНІЧНІ КОЛИВАННЯ І ХВИЛІ
Êîëèâàëüíèé ðóõ (àáî – êîëèâàííÿ) – íàéïîøèðåí³øà ôîðìà ðóõó â íàâêî-
ëèøíüîìó ñâ³ò³ ³ òåõí³ö³. Êîëèâàþòüñÿ äåðåâà ï³ä ä³ºþ â³òðó, ïîðøí³ ó äâèãóí³
àâòîìîá³ëÿ òîùî. Ìè ìîæåìî ðîçìîâëÿòè é ÷óòè çâóêè çàâäÿêè êîëèâàííÿì
ãîëîñîâèõ çâ’ÿçîê, ïîâ³òðÿ ³ áàðàáàííèõ ïåðåòèíîê. Ñâ³òëî – öå òàêîæ êîëè-
âàííÿ, àëå åëåêòðîìàãí³òí³. Çà äîïîìîãîþ åëåêòðîìàãí³òíèõ êîëèâàíü, ÿê³ ïî-
øèðþþòüñÿ ó ïðîñòîð³, â³äáóâàþòüñÿ ðàä³îçâ’ÿçîê, ìîá³ëüíèé çâ’ÿçîê, ðàä³î-
ëîêàö³ÿ, òåëåáà÷åííÿ.
Êîëèâàííÿ ð³çíî¿ ô³çè÷íî¿ ïðèðîäè ìàþòü çàãàëüí³ çàêîíîì³ðíîñò³ ³ îïè-
ñóþòüñÿ îäíàêîâèìè ìàòåìàòè÷íèìè ð³âíÿííÿìè.
Ó öüîìó ðîçä³ë³ ìè âèâ÷èìî çàêîíîì³ðíîñò³ ìåõàí³÷íèõ êîëèâàíü ³
õâèëü.
§ 38 Коливальний рух
Êîëèâàëüí³ ñèñòåìè, óìîâè âèíèêíåííÿ â³ëüíèõ êîëèâàíü.
Õàðàêòåðèñòèêè êîëèâàëüíîãî ðóõó.
Â³ëüí³ òà âèìóøåí³ êîëèâàííÿ.
Êîëèâàëüí³ ñèñòåìè, óìîâè âèíèê-
íåííÿ â³ëüíèõ êîëèâàíü. Ó ïðèðîä³ ³ òåõ-
í³ö³ ³ñíóº íåñê³í÷åííà ê³ëüê³ñòü âèä³â
êîëèâàíü. Âèâ÷èòè ¿õ óñ³ ïðàêòè÷íî íå
ìîæëèâî. Òîìó ìè îáìåæèìîñÿ âèâ÷åí-
íÿì íàéïðîñò³øèõ âèïàäê³â êîëèâàíü.
Êîëèâàííÿ – ÿâèùà ³ ïðîöåñè, â
ÿêèõ â³äáóâàºòüñÿ ïåð³îäè÷íå ïîâòîðåí-
íÿ ñòàí³â ñèñòåìè.
Íà ìàë. 195 íàâåäåí³ ïðèêëàäè ìå-
õàí³÷íèõ ïðèñòðî¿â, ÿê³ çäàòí³ çä³éñíþ-
âàòè êîëèâàííÿ. Ö³ ïðèñòðî¿ óòâîðþþòü
êîëèâàëüí³ ñèñòåìè: Çåìëÿ, øòàòèâ, íà
ÿêîìó çàêð³ïëåíà ïðóæèíà ç òÿãàðöåì,
óòâîðþþòü âåðòèêàëüíèé ïðóæèííèé
ìàÿòíèê (ìàë. 195, à), Çåìëÿ, ï³äâ³øå-
íà íà ëåãê³é ³ íåðîçòÿæí³é íèòö³ êóëüêà
– óòâîðþþòü ìàòåìàòè÷íèé ìàÿòíèê
(ìàë. 195, á), äâà øòàòèâè, äâ³ ïðóæèíè ³ ò³ëî ìàñîþ m óòâîðþþòü ãîðèçîí-
òàëüíèé ïðóæèííèé ìàÿòíèê (ìàë. 195, â).
Ìàë. 195. Êîëèâàëüí³ ñèñòåìè
Розділ 4

212
Ð Î Ç Ä ² Ë 4
Êîëèâàëüí³ ñèñòåìè – ïðèñòðî¿, â ÿêèõ ìîæóòü
çä³éñíþâàòèñÿ êîëèâàííÿ.
Äëÿ âêàçàíèõ ñèñòåì õàðàêòåðí³ ñï³ëüí³ îçíàêè.
1. Êîæíà êîëèâàëüíà ñèñòåìà ìàº ñòàí ð³âíîâàãè. Ó ìàòåìàòè÷íîãî ìàÿò-
íèêà – öå ïîëîæåííÿ, çà ÿêîãî öåíòð ìàñ ï³äâ³øåíî¿ êóëüêè çíàõîäèòüñÿ íà
îäí³é âåðòèêàë³ ç òî÷êîþ ï³äâ³ñó; ó âåðòèêàëüíîãî ïðóæèííîãî ìàÿòíèêà – öå
ïîëîæåííÿ, êîëè ñèëà òÿæ³ííÿ, ùî ä³º íà òÿãàðåöü, óð³âíîâàæóºòüñÿ ñèëîþ
ïðóæíîñò³; ó ãîðèçîíòàëüíîãî ïðóæèííîãî ìàÿòíèêà – öå ïîëîæåííÿ, çà ÿêîãî
îáèäâ³ ïðóæèíè äåôîðìîâàí³ îäíàêîâî.
2. ßêùî êîëèâàëüíó ñèñòåìó âèâåñòè ç³ ñòàíó ð³âíîâàãè, âèíèêàº ñèëà, ùî
ïîâåðòàº ñèñòåìó â ð³âíîâàæíèé ñòàí. Äëÿ êîæíî¿ êîëèâàëüíî¿ ñèñòåìè ïîÿâà
ö³º¿ ñèëè çóìîâëåíà ð³çíèìè ïðè÷èíàìè: íàïðèêëàä, äëÿ ìàòåìàòè÷íîãî ìàÿò-
íèêà – öå ð³âíîä³éíà ñèë òÿæ³ííÿ ³ ñèëè íàòÿãó íèòêè.
3. Ïîâåðòàþ÷èñü ó ð³âíîâàæíèé ñòàí, êîëèâàëüíå ò³ëî íå çóïèíÿºòüñÿ, à
ïðîäîâæóº ðóõ ó ðåçóëüòàò³ ³íåðö³¿.
Îòæå, â³ëüí³ êîëèâàííÿ âèíèêàþòü, ÿêùî: 1) êîëèâàëüíå ò³ëî âèâåñòè ç
ïîëîæåííÿ ð³âíîâàãè, òîáòî íàäàòè êîëèâàëüí³é ñèñòåì³ åíåðã³þ, 2) ð³âíîä³é-
íà âñ³õ ñèë, ùî ä³þòü íà ò³ëî, âèâåäåíå ç ïîëîæåííÿ ð³âíîâàãè, ñïðÿìîâàíà äî
öüîãî ïîëîæåííÿ, ³, íàðåøò³, 3) ÿêùî ñèëè òåðòÿ ó ñèñòåì³ äîñòàòíüî ìàë³.
Â³ëüí³ êîëèâàííÿ – êîëèâàííÿ, ÿê³ âèíèêàþòü
ó ðåçóëüòàò³ ïî÷àòêîâîãî âèâåäåííÿ ñèñòåìè ç ïî-
ëîæåííÿ ñò³éêî¿ ð³âíîâàãè ³ çä³éñíþþòüñÿ çà ðàõó-
íîê âíóòð³øí³õ ñèë ñèñòåìè, íå çàçíàþ÷è âïëèâó ç
áîêó çì³ííèõ çîâí³øí³õ ñèë.
Íàïðèêëàä, êîëèâàííÿ ðîçãëÿíóòèõ íàìè êîëèâàëüíèõ ñèñòåì (ìàÿòíè-
ê³â).
Âëàñí³ êîëèâàííÿ – êîëèâàííÿ, ÿê³ â³äáóâàþòü-
ñÿ â ³äåàëüí³é ñèñòåì³ áåç òåðòÿ, òîáòî, áåç âòðàò ìå-
õàí³÷íî¿ åíåðã³¿.
Âëàñí³ êîëèâàííÿ – öå òåîðåòè÷íî ìîæëèâ³ â³ëüí³ íåçãàñàþ÷³ êîëèâàííÿ.
Ïåð³îäè÷íèìè º é îáåðòîâ³ ðóõè. Íà â³äì³íó â³ä îáåðòîâèõ ðóõ³â, ÿê³ ìàþòü
äëÿ êîæíî¿ òî÷êè êîëîâ³ òðàºêòîð³¿, ï³ä ÷àñ êîëèâàëüíèõ ðóõ³â òî÷êà ÷è ò³ëî
çì³ùóºòüñÿ ó ïðîòèëåæíèõ íàïðÿìàõ ïî îäí³é ³ ò³é ñàì³é òðàºêòîð³¿.
Õàðàêòåðèñòèêè êîëèâàëüíîãî ðóõó. Îñíîâíèìè õàðàêòåðèñòèêàìè êîëè-
âàëüíîãî ðóõó º àìïë³òóäà, ïåð³îä ³ ÷àñòîòà êîëèâàíü.
Àìïë³òóäà êîëèâàíü (õmàõ
) – öå ìàêñèìàëüíå
çì³ùåííÿ ò³ëà â³ä ïîëîæåííÿ ð³âíîâàãè.
Ïåð³îä êîëèâàíü (Ò) – ÷àñ îäíîãî ïîâíîãî êîëè-
âàííÿ.
T = t/N,
äå t – ÷àñ, ïðîòÿãîì ÿêîãî â³äáóâàºòüñÿ N êîëèâàíü.

213
Ìåõàí³÷í³ êîëèâàííÿ òà õâèë³
×àñòîòà êîëèâàíü (ν) – ô³çè÷íà âåëè÷èíà, ùî
âèçíà÷àºòüñÿ ê³ëüê³ñòþ ïîâíèõ êîëèâàíü çà îäèíè-
öþ ÷àñó:
ν = N/t,
äå t – ÷àñ, ïðîòÿãîì ÿêîãî â³äáóâàºòüñÿ N êîëèâàíü.
Îäèíèöÿ ÷àñòîòè êîëèâàíü – ãåðö, [ν] = 1 Ãö = 1ñ−1
.
Çâ’ÿçîê ì³æ ïåð³îäîì êîëèâàíü ³ ÷àñòîòîþ êîëè-
âàíü:
ν = 1/T àáî T = 1/ν.
Â³ëüí³ òà âèìóøåí³ êîëèâàííÿ. Ðîçãëÿíåìî â³ëüí³ êîëèâàííÿ ãîðèçîíòàëü-
íîãî ïðóæèííîãî ìàÿòíèêà (ìàë. 196, à). Â³äõèëèìî êîëèâíå ò³ëî (êóëüêó) âë³-
âî ³ òèì ñàìèì ñòèñíåìî ïðóæèíó (ìàë. 196, á). ßêùî òåïåð â³äïóñòèòè êóëüêó,
òî âîíà ï³ä ä³ºþ ñèëè ïðóæíîñò³ ïî÷íå ðóõàòèñÿ ïðàâîðó÷.
Àëå êóëüêà íå çóïèíÿºòüñÿ ó ïîëîæåíí³ ð³â-
íîâàãè, à ïðîõîäèòü äàë³ (ìàë. 196, â). Ïðè öüîìó
ïðóæèíà ðîçòÿãóºòüñÿ ³ çìóøóº êóëüêó ðóõàòèñÿ
ë³âîðó÷ (ìàë. 196, ã). Ïðóæèíà çíîâó ñòèñêàºòüñÿ
³ êóëüêà ïîâåðòàºòüñÿ ó êðàéíº ë³âå ïîëîæåííÿ
(ìàë. 196, ä), çä³éñíèâøè îäíå ïîâíå êîëèâàííÿ.
ßêáèíåáóëîòåðòÿ,ðóõêóëüêèíåïðèïèíèâñÿá
í³êîëè. Îäíàê òåðòÿ (çîêðåìà, îï³ð ïîâ³òðÿ) âïëèâàº
íà ðóõ êîëèâíîãî ò³ëà. Îñê³ëüêè ñèëà îïîðó ïîâ³òðÿ
íàïðàâëåíà ïðîòè øâèäêîñò³ ðóõó, òî àìïë³òóäà êî-
ëèâàíü ïîñòóïîâî çìåíøóºòüñÿ, äîïîêè ðóõ íå ïðè-
ïèíèòüñÿ, òîáòî êîëèâàííÿ çàãàñàþòü. ßêùî îï³ð
íåçíà÷íèé, òî çãàñàííÿ ñòàº ïîì³òíèì ëèøå ï³ñëÿ
òîãî, ÿê êîëèâíå ò³ëî çä³éñíèòü áàãàòî êîëèâàíü.
Ñèëè òåðòÿ (îïîðó) ìîæóòü áóòè íàñò³ëüêè
âåëèê³, ùî â êîëèâàëüí³é ñèñòåì³ êîëèâàííÿ ìî-
æóòü ³ íå âèíèêíóòè. Íàïðèêëàä, ÿêùî ïðóæèí-
íèé ìàÿòíèê îïóñòèòè ó â’ÿçêó ð³äèíó, òî ï³ñëÿ
â³äõèëåííÿ êîëèâàëüíîãî ò³ëà â³ä ïîëîæåííÿ ð³â-
íîâàãè âîíî ïëàâíî ïîâåðíåòüñÿ ó öå ïîëîæåííÿ ³ çóïèíèòüñÿ.
Ï³ä ÷àñ äîñë³äæåííÿ êîëèâàëüíîãî ðóõó ³ ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàäà÷ íà êîëèâàí-
íÿ ìè íåõòóâàòèìåìî îïîðîì ³ ââàæàòèìåìî â³ëüí³ êîëèâàííÿ íåçãàñàþ÷èìè.
Ùîá êîëèâàííÿ áóëè íåçãàñàþ÷èìè, íåîáõ³äí³ ïîïîâíåííÿ åíåðã³¿ êîëè-
âàëüíî¿ ñèñòåìè ççîâí³, òîáòî ùîá ä³ÿëà çîâí³øíÿ ïåð³îäè÷íà ñèëà.
Âèìóøåí³ êîëèâàííÿ – êîëèâàííÿ, ÿê³ âèíèêà-
þòü ó ñèñòåì³ ó ðåçóëüòàò³ âïëèâó íà íå¿ çîâí³øíüî¿
ñèëè, ÿêà ÷èíèòü ïåð³îäè÷íó ä³þ.
Òîìó âîíè â³äáóâàþòüñÿ ï³ä âïëèâîì íå ò³ëüêè âíóòð³øí³õ, à é çîâí³øí³õ
ñèë.
Ìàë. 196.
Âèíèêíåííÿ êîëèâàíü

214
Ð Î Ç Ä ² Ë 4
Íàïðèêëàä, ðóõ ïîðøíÿ ó äâèãóíàõ âíóòð³øíüîãî çãîðÿííÿ.
Îñíîâí³ â³äì³ííîñò³ â³ëüíèõ ³ âèìóøåíèõ êîëèâàíü ïîëÿãàþòü ó òîìó, ùî
ó áóäü-ÿêî¿ êîëèâàëüíî¿ ñèñòåìè, ÿêà çä³éñíþº â³ëüí³ êîëèâàííÿ, º âëàñíà ÷àñ-
òîòà ³ âëàñíèé ïåð³îä.
Ï³ä ÷àñ âèìóøåíèõ êîëèâàíü çîâí³øíÿ ñèëà «íàâ’ÿçóº» êîëèâàëüí³é ñèñ-
òåì³ ñâîþ ÷àñòîòó, ñâ³é ïåð³îä.
Â³ëüí³ êîëèâàííÿ ðåàëüíî¿ êîëèâàëüíî¿ ñèñòåìè âíàñë³äîê ä³¿ ñèë òåðòÿ º
çãàñàþ÷èìè, òîä³ ÿê àìïë³òóäà âèìóøåíèõ êîëèâàíü íå çìåíøóºòüñÿ ç ÷àñîì,
íàâ³òü ÿêùî â ñèñòåì³ º òåðòÿ. Âèìóøåí³ êîëèâàííÿ – íåçãàñàþ÷³.
Ùî òàêå êîëèâàëüíà ñèñòåìà? Íàâåä³òü ïðèêëàäè êîëèâàëüíèõ ñèñòåì.1.
Çà ÿêèõ óìîâ ó êîëèâàëüí³é ñèñòåì³ âèíèêàþòü â³ëüí³ êîëèâàííÿ?2.
ßê³ êîëèâàííÿ íàçèâàþòü â³ëüíèìè, à ÿê³ – âèìóøåíèìè?3.
Íàçâ³òü îñíîâí³ õàðàêòåðèñòèêè êîëèâàëüíîãî ðóõó.4.
§ 39 Гармонічні коливання
Ãàðìîí³÷í³ êîëèâàííÿ.
Ð³âíÿííÿ ãàðìîí³÷íèõ êîëèâàíü.
Ôàçà êîëèâàíü.
Ãàðìîí³÷í³ êîëèâàííÿ. Ó ïîïåðåäíüîìó ïàðàãðàô³ ìè ðîçãëÿíóëè êîëè-
âàëüíèé ðóõ ãîðèçîíòàëüíîãî ïðóæèííîãî ìàÿòíèêà. Ó íàâåäåíîìó ïðèêëàä³
ïîêàçàíî, ùî ó áóäü-ÿê³é òî÷ö³ òðàºêòîð³¿ êîëèâàëüíîãî ò³ëà ñèëà ïðóæíîñò³
íàïðàâëåíà äî ïîëîæåííÿ ð³âíîâàãè, òîáòî ïðîòèëåæíî äî çì³ùåííÿ ò³ëà.
Òàê³ êîëèâàííÿ íàçèâàþòü ãàðìîí³÷íèìè êîëèâàííÿìè. Ó ãàðìîí³÷íèõ
êîëèâàííÿõ ñèëè, ï³ä ä³ºþ ÿêèõ âîíè â³äáóâàþòüñÿ, çàâæäè ïðîïîðö³éí³ äî
çì³ùåííÿ ³ ñïðÿìîâàí³ ïðîòèëåæíî äî íüîãî (äî ïîëîæåííÿ ð³âíîâàãè).
Çãîäîì ìè äîâåäåìî, ùî çì³ùåííÿ çàëåæèòü â³ä ÷àñó – çà çàêîíîì êîñèíóñà
(÷è ñèíóñà). Òîìó âèçíà÷åííÿ ãàðìîí³÷íèõ êîëèâàíü òàêå:
Ãàðìîí³÷íèìè íàçèâàþòüñÿ ïðîñò³ ïåð³îäè÷í³
êîëèâàííÿ ô³çè÷íî¿ âåëè÷èíè, ÿê³ ç ïëèíîì ÷àñó
çä³éñíþþòüñÿ çà ñèíóñî¿äàëüíèì àáî êîñèíóñî¿-
äàëüíèì çàêîíîì.
Àëåñèëè,ïðîïîðö³éí³â³äõèëåííþâ³äïîëîæåííÿð³âíîâàãè,íåîáîâ’ÿçêîâî
º ïðóæíèìè. Âîíè ìîæóòü ìàòè ð³çíó ô³çè÷íó ïðèðîäó, àëå ñõîæ³ ì³æ ñîáîþ
òèì, ùî âèêëèêàþòü ãàðìîí³÷í³ (ñèíóñî¿äàëüí³) êîëèâàííÿ.

215
Òîìó ñèëè, ïðîïîðö³éí³ çì³ùåííþ â³ä ïîëîæåííÿ ð³âíîâàãè, íåçàëåæíî
â³ä ¿õ ïðèðîäè, íàçèâàþòü êâàç³ïðóæíèìè («í³áè ïðóæíèìè»; êâàç³... â³ä ëàò.
quasi – í³áè, ìàéæå, íåìîâáè).
Ðîëü êâàç³ïðóæíî¿ ñèëè ìîæå â³ä³ãðàâàòè ð³âíîä³éíà ñèëè âñåñâ³òíüîãî
òÿæ³ííÿ ³ ñèëè ïðóæíîñò³ (ìàòåìàòè÷íèé ìàÿòíèê), ð³âíîä³éíà ê³ëüêîõ ñèë
ð³çíî¿ ïðèðîäè.
Ð³âíÿííÿ ãàðìîí³÷íèõ êîëèâàíü. ßê ³ äëÿ áóäü-ÿêîãî ðóõó, äëÿ êîëèâàíü
íåîáõ³äíî îòðèìàòè ôîðìóëó, ùî äàñòü çìîãó ðîçâ’ÿçóâàòè îñíîâíó çàäà÷ó
ìåõàí³êè – âèçíà÷àòè êîîðäèíàòó ò³ëà ó áóäü-ÿêèé ìîìåíò ÷àñó. Êð³ì òîãî,
îñê³ëüêè êîëèâàííÿ – öå ïåð³îäè÷í³ ðóõè, òî íåîáõ³äíî âì³òè âèçíà÷àòè ïåð³îä
öèõ êîëèâàíü.
Ùîá âèÿâèòè çàëåæí³ñòü êîîðäèíàòè (øâèäêîñò³ ³ ïðèñêîðåííÿ) êîëèâàëü-
íîãî ò³ëà â³ä ÷àñó, íåîáõ³äíî ðîçâ’ÿçàòè ð³âíÿííÿ äðóãîãî çàêîíó Íüþòîíà.
Îñê³ëüêè ñèëà, ùî ä³º íà êîëèâàëüíå ò³ëî, çì³íþºòüñÿ, òî ðîçâ’ÿçàííÿ öüîãî
ð³âíÿííÿ ïîòðåáóº á³ëüø ãëèáîêèõ çíàíü ç ìàòåìàòèêè (äèôåðåíö³àëüíå ÷èñ-
ëåííÿ). Òîìó ñêîðèñòàºìîñÿ ïîä³áí³ñòþ
ì³æ êîëèâàííÿìè ìàÿòíèêà ³ ð³âíîì³ð-
íèì ðóõîì ïî êîëó.
Ðîçãëÿíåìî ð³âíîì³ðíèé ðóõ êóëüêè
ïî êîëó (ìàë. 197).
Ñïðÿìóºìî âçäîâæ ä³àìåòðà â³ñü Õ
³ áóäåìî â³äì³÷àòè ïîëîæåííÿ ïðîåêö³¿
ðàä³óñà-âåêòîðà êóëüêè, ùî ðóõàºòüñÿ ïî
êîëó, íà îáðàíó â³ñü. Ç ìàëþíêà âèäíî,
ùî ï³ä ÷àñ ðóõó êóëüêè ïî êîëó, ïðîåê-
ö³ÿ ¿¿ ðàä³óñà-âåêòîðà çä³éñíþº êîëèâàí-
íÿ âçäîâæ ä³àìåòðà, òîáòî âçäîâæ îñ³ Õ.
ßêùî ïîð³âíþâàòè êîëèâàííÿ êóëü-
êè íà ïðóæèí³ ³ ðóõ ðàä³óñà-âåêòîðà
êóëüêè ï³ä ÷àñ ¿¿ ðóõó ïî êîëó (ìàë. 197),
òî ìîæíà ââàæàòè, ùî öåíòð êîëà â³ä³-
ãðàº ðîëü ïîëîæåííÿ ð³âíîâàãè, ðàä³óñ
êîëà – àìïë³òóäè êîëèâàíü xm
, ïðîåêö³ÿ
ðàä³óñà-âåêòîðà ó äîâ³ëüíèé ìîìåíò ÷àñó
â³äïîâ³äàº çì³ùåííþ x, ïåð³îä îáåðòàííÿ
êóëüêè – ïåð³îäó êîëèâàíü T.
Ó äîâ³ëüíèé ìîìåíò ÷àñó x = xò
sinϕ, äå ϕ – êóò ïîâîðîòó ðàä³óñà-âåêòîðà.
Êóò ϕ º öåíòðàëüíèì êóòîì, à, ÿê â³äîìî, äóãà l, ùî ñòÿãóº öåíòðàëüíèé
êóò, äîð³âíþº äîáóòêó êóòà ϕ (ó ðàä³àíàõ) íà ðàä³óñ êîëà (ó íàøîìó âèïàäêó
xò
): l = ϕxò
.
Âîäíî÷àñ çà ÷àñ, ùî äîð³âíþº ïåð³îäó, êóëüêà ðîáèòü îäèí îáåðò, òîáòî
ïðîõîäèòü â³äñòàíü, ùî äîð³âíþº äîâæèí³ êîëà. Øâèäê³ñòü êóëüêè ó òàêîìó
âèïàäêó
π
υ =
2 mx
T
.
Ìàë. 197. Àíàëîã³ÿ ì³æ êîëèâàëüíèì
ðóõîì òà ðóõîì ïî êîëó

216
Ð Î Ç Ä ² Ë 4
Ïðîòÿãîì ³íòåðâàëó ÷àñó, êîëè ðàä³óñ-âåêòîð êóëüêè ïîâåðíóâñÿ íà êóò ϕ,
êóëüêà ïðîéøëà â³äñòàíü
π
= υ =
2 mx t
l t
T
. Ïðèð³âíþþ÷è îáèäâà âèðàçè äëÿ l,
îòðèìóºìî:
2
t
T
π
ϕ = .
Îòæå, ïðîåêö³ÿ ðàä³óñà-âåêòîðà íà â³ñü Õ çì³íþºòüñÿ çà çàêîíîì
2
sinmx x t
T
π
= .
Âåëè÷èíó 2π/T íàçèâàþòü öèêë³÷íîþ, àáî êîëîâîþ ÷àñòîòîþ ³ ïîçíà÷àþòü
ë³òåðîþ ω.
Öèêë³÷íà (àáî êîëîâà) ÷àñòîòà (ω) ïîêàçóº, ÿêó
ê³ëüê³ñòü êîëèâàíü çä³éñíþº ò³ëî çà 2π ñåêóíä.
π
ω = πν =
2
2
T
.
Îäèíèöÿ öèêë³÷íî¿ ÷àñòîòè – ðàä³àí çà ñåêóíäó, [ω] = 1 ðàä/ñ.
Îòæå, ï³ä ÷àñ ìåõàí³÷íèõ ãàðìîí³÷íèõ êîëèâàíü çì³ùåííÿ (êîîðäèíàòà
êîëèâàëüíîãî ò³ëà) ç ÷àñîì çì³íþºòüñÿ çà çàêîíîì: = ωsinmx x t , ÿêùî ó ïî÷àò-
êîâèé ìîìåíò ò³ëî ïåðåáóâàº ó ñòàí³ ð³âíîâàãè, àáî = ωcosmx x t , ÿêùî ó ìî-
ìåíò ïî÷àòêó â³äë³êó (t = 0) êîëèâíå ò³ëî ïåðåáóâàº ó êðàéíüîìó ïîëîæåíí³.
Çâåðí³òü óâàãó! Ó çàäà÷àõ íàé÷àñò³øå ìè âèêîðèñòîâóâàòèìåìî ð³âíÿííÿ
= ωcosmx x t , êîëè ó ìîìåíò ïî÷àòêó â³äë³êó (t = 0) êîëèâíå ò³ëî çíàõîäèòüñÿ ó
êðàéíüîìó ïîëîæåíí³.
Ãðàô³êîì çàëåæíîñò³ = ωsinmx x t
º ñèíóñî¿äà. Ãðàô³ê ãàðìîí³÷íîãî êî-
ëèâàííÿ ìîæíà ä³ñòàòè áåçïîñåðåäíüî
ç äîñë³äó. Íàïðèêëàä, êîëèâàëüíèì
ò³ëîì º ï³ñî÷íèöÿ, ç ÿêî¿ âèñèïàºòüñÿ
ï³ñîê. Ï³ñî÷íèöþ ï³äâ³øóþòü íà äî-
âã³é íèòö³ (ìàë. 198, à) àáî çàêð³ïëþ-
þòü íà ïðóæèíàõ (ìàë. 198, á) ³ çìó-
øóþòü çä³éñíþâàòè êîëèâàííÿ. ßêùî
ï³ä ï³ñî÷íèöåþ ïðîòÿãóâàòè ïàï³ð, òî
íà íüîìó çàëèøàºòüñÿ ñë³ä, ùî íàãàäóº
ñèíóñî¿äó.
Ó ãàðìîí³÷íèõ êîëèâàííÿõ øâèäê³ñòü ³ ïðèñêîðåííÿ êîëèâàëüíîãî ò³ëà
òàêîæ çì³íþþòüñÿ çà ãàðìîí³÷íèì çàêîíîì, îñê³ëüêè øâèäê³ñòü äîð³âíþº
ïåðø³é ïîõ³äí³é êîîðäèíàòè çà ÷àñîì, à ïðèñêîðåííÿ – ïåðø³é ïîõ³äí³é â³ä
øâèäêîñò³ (àáî äðóã³é ïîõ³äí³é êîîðäèíàòè).
Ç êóðñó ìàòåìàòèêè âàì áóäå â³äîìî, ùî:
(ñîskõ)′ = − ksinkx;
(sinkõ)′ = kcoskõ.
à á
Ìàë. 198. Íàî÷íèé ñïîñ³á
ñïîñòåðåæåííÿ êîëèâàíü

217
Âèõîäÿ÷è ³ç ð³âíÿííÿ = ωcosmx x t ,
îòðèìóºìî:
′υ = ω = − ω ω( cos ) sinm mx t x t ,
äå υ = − ωm mx – ìàêñèìàëüíà øâèä-
ê³ñòü.
Äëÿ ïðèñêîðåííÿ ìàºìî:
′= − ω ω = − ω ω2
( sin ) cosm ma x t x t ,
äå = − ω2
m ma x – ìàêñèìàëüíå ïðèñêî-
ðåííÿ.
Âðàõîâóþ÷è, ùî x = xm
cosωt âèðàç
a = −xm
ω2
cosωt íàáóâàº âèäó a = −ω2
x.
Ïðèñêîðåííÿ ³ êîîðäèíàòà îäíî÷àñíî
ñòàþòü ìàêñèìàëüíèìè çà ìîäóëåì, îä-
íàê ìàþòü ïðîòèëåæí³ çíàêè.
Ãðàô³êè â³äïîâ³äíèõ çàëåæíîñòåé çì³ùåííÿ, øâèäêîñò³ ³ ïðèñêîðåííÿ
ãàðìîí³÷íèõ êîëèâàíü â³ä ÷àñó ïîäàíî íà ìàë. 199.
Ç ïîïåðåäí³õ ð³âíÿíü âèäíî, ùî ïðèñêîðåííÿ ïðÿìî ïðîïîðö³éíå çì³ùåí-
íþ.
Îòæå, ó äîâ³ëüíèé ìîìåíò ÷àñó ñèëà, ùî çóìîâëþº êîëèâàííÿ êîëèâíîãî
ò³ëà ìàñîþ m òàêîæ ïðîïîðö³éíà çì³ùåííþ:
F = −mω2
õm
cosωt,
äå Fm
= −mω2
õm
– ìàêñèìàëüíå çíà÷åííÿ ñèëè.
Òàêèì ÷èíîì, ãàðìîí³÷í³ êîëèâàííÿ â³äáóâàþòüñÿ ï³ä ä³ºþ ñèëè, íàïðÿì-
ëåíî¿ äî ñåðåäíüîãî ïîëîæåííÿ ³ ïðÿìî ïðîïîðö³éíî¿ çì³ùåííþ â³ä öüîãî ïî-
ëîæåííÿ.
Ôàçà êîëèâàíü. Ãàðìîí³÷í³ êîëèâàííÿ õàðàêòåðèçóþòüñÿ ùå îäí³ºþ âàæ-
ëèâîþ âåëè÷èíîþ – ôàçîþ êîëèâàíü. Ïðè âèâåäåíí³ îñíîâíîãî ð³âíÿííÿ ãàðìî-
í³÷íèõ êîëèâàíü ìè îòðèìàëè éîãî ó âèãëÿä³
π
=
2
cosmx x t
T
, äå
2
t
T
π
ϕ = ³ íàçè-
âàþòü ôàçîþ êîëèâàíü.
Ó âèðàç³ 2
t
T
ϕ = π â³äíîøåííÿ t/T ïîêàçóº, ÿêà ÷àñòèíà ïåð³îäó ìèíóëà ç
ìîìåíòó ïî÷àòêó êîëèâàíü. Òîáòî áóäü-ÿêîìó çíà÷åííþ ÷àñó, âèðàæåíîãî ó
÷àñòêàõ ïåð³îäó, â³äïîâ³äàº çíà÷åííÿ ôàçè, âèðàæåíå ó ðàä³àíàõ. Íàïðèêëàä,
äëÿ =
1
4
t T (÷âåðòü ïåð³îäó)
2
π
ϕ = , äëÿ =
1
2
t T (ï³âïåð³îäó) ϕ = π.
Òàêèì ÷èíîì, ôàçà êîëèâàíü (ϕ) – ô³çè÷íà âåëè-
÷èíà, ùî âèçíà÷àº ìèòòºâ³ çíà÷åííÿ çì³ííèõ ïàðà-
ìåòð³â êîëèâàëüíî¿ ñèñòåìè ó ïåâíèé ìîìåíò ÷àñó,
òîáòî âèçíà÷àº ñòóï³íü â³äõèëåííÿ â³ä ïîëîæåííÿ
ð³âíîâàãè ó öåé ìîìåíò.
x
Ìàë. 199: à – ãðàô³ê çàëåæíîñò³ x(t);
á – ãðàô³ê çàëåæíîñò³ υ(t);
â – ãðàô³ê çàëåæíîñò³ a(t)

218
Ð Î Ç Ä ² Ë 4
Îäèíèöÿ ôàçè êîëèâàíü – ðàä³àí, [ϕ] = 1 ðàä.
Ó íàâåäåíèõ íàìè ïðèêëàäàõ ìè äîñë³äæóâàëè êîëèâàëüíèé ðóõ ç ìîìåí-
òó ÷àñó, êîëè êîëèâàëüíå ò³ëî ïî÷èíàëî êîëèâàòèñÿ ç êðàéíüîãî ïîëîæåííÿ.
Îñê³ëüêè, ñïîñòåð³ãàþ÷è çà êîëèâàííÿìè, ÷àñ ìîæíà â³äë³÷óâàòè â³ä áóäü-ÿêîãî
ìîìåíòó, òî ïî÷àòêîâå ïîëîæåííÿ êîëèâíîãî ò³ëà âèçíà÷àòèìåòüñÿ ïî÷àòêîâîþ
ôàçîþ ϕ0
³ ð³âíÿííÿ êîëèâàëüíîãî ðóõó íàáóäå âèãëÿäó 0cos( )mx x t= ω + ϕ .
Ôàçà êîëèâàíü ó çàãàëüíîìó âèïàäêó âèçíà÷àºòüñÿ çà ôîðìóëîþ: 0tϕ = ω + ϕ .
Äëÿ ãàðìîí³÷íèõ êîëèâàíü ôàçà º àðãóìåíòîì ñèíóñà ÷è êîñèíóñà.
Ðîçãëÿíåìî ùå ðàç ãðàô³êè íà ìàë. 199 ³ ïîð³âíÿºìî ôàçè êîëèâàíü êîîð-
äèíàòè, øâèäêîñò³ é ïðèñêîðåííÿ.
Çã³äíî ç òðèãîíîìåòðè÷íèìè ïåðåòâîðåííÿìè
π
= − +sin cos( )
2
x x , òîä³
ð³âíÿííÿ çàëåæíîñò³ øâèäêîñò³ â³ä ÷àñó υ = −υ ωsinm t íàáóâàº âèãëÿäó
π
υ = υ ω +cos( )
2
m t .
Îòæå, êîëèâàííÿ øâèäêîñò³ âèïåðåäæàþòü çà ôàçîþ êîëèâàííÿ çì³ùåííÿ
íà π/2 (ìàë. 199, á).
À êîëèâàííÿ ïðèñêîðåííÿ âèïåðåäæàþòü çà ôàçîþ êîëèâàííÿ êîîðäèíàòè
íà π ðàä (çíàõîäÿòüñÿ ó ïðîòèôàç³) (ìàë. 199, â).
ßê³ êîëèâàííÿ íàçèâàþòüñÿ ãàðìîí³÷íèìè?1.
ßê ïîâ’ÿçàí³ ïðèñêîðåííÿ ³ êîîðäèíàòà ó ãàðìîí³÷íèõ êîëèâàííÿõ?2.
ßê çì³íþºòüñÿ ç ÷àñîì øâèäê³ñòü ó ãàðìîí³÷íèõ êîëèâàííÿõ?3.
ßêó ô³çè÷íó âåëè÷èíó íàçèâàþòü ôàçîþ êîëèâàííÿ? Ùî âîíà õàðàêòå-4.
ðèçóº?
Ìèòòºâå çì³ùåííÿ ÷àñòèíêè â êîëèâàííÿõ îïèñóºòüñÿ ôóíêö³ºþ5.
x = xm
cos(ωt + ϕ0
). ßêîþ ìàº áóòè ïî÷àòêîâà ôàçà ϕ0
, ùîá êîëèâàííÿ áóëè ñèíó-
ñî¿äíèìè?
на гармонічні коливання
Ôîðìà çàïèñó çàêîíó ãàðìîí³÷íîãî êîëèâàííÿ ìîæå áóòè âèáðàíà äî-
â³ëüíî (÷åðåç ñèíóñ àáî êîñèíóñ). Ïðèïóñòèìî, ùî ìàÿòíèê ñïî÷àòêó â³ä-
âåëè ó êðàéíº ïîëîæåííÿ ³
â³ëüíî â³äïóñòèëè (áåç ïî-
øòîâõó), ðîçïî÷àâøè â³äë³ê
÷àñó. Ð³âíÿííÿ ðóõó ó öüîìó
âèïàäêó ñë³ä çàïèñàòè ó âè-
ãëÿä³ x = xm
cosωt, àëå ìîæíà
çàïèñàòè ³ òàê:
sin( )
2
mx x t
π
= ω + . Ìàë. 200. Ãðàô³ê êîëèâàíü

219
Îáèäâ³ ôîðìè çàïèñó åêâ³âàëåíòí³, òîáòî, îïèñóþòü îäíå é òå ñàìå êîëèâàííÿ,
ãðàô³ê ÿêîãî º êîñèíóñî¿äîþ (ìàë. 200).
ßêùî â³äë³ê ÷àñó ïî÷èíàºòüñÿ ó ìîìåíò ïðîõîäæåííÿ êîëèâíèì ò³ëîì ïî-
ëîæåííÿð³âíîâàãè,òîð³âíÿííÿðóõóìîæåáóòèçàïèñàíåóâèãëÿä³ sinmx x t= ω
àáî cos( )
2
mx x t
π
= ω − .
Ðóõ âèâ÷àºòüñÿ ó ìåæàõ îäíîãî ïåð³îäó.
Çàäà÷à. Ò³ëî çä³éñíþº ãàðìîí³÷í³ êîëèâàííÿ çà çàêîíîì = π0,05cos10x t ,
äå âñ³ âåëè÷èíè çàäàíî â Ñ².
Âèçíà÷èòè: à) àìïë³òóäó êîëèâàíü, ÷àñòîòó êîëèâàíü ³ ïåð³îä êîëèâàíü.
Çàïèñàòè ð³âíÿííÿ çàëåæíîñò³ øâèäêîñò³ é ïðèñêîðåííÿ â³ä ÷àñó υ = υ ( )x x t ³
àõ
= àõ
(t) òà ïîáóäóâàòè ãðàô³êè çàëåæíîñò³ çì³ùåííÿ, øâèäêîñò³, ïðèñêîðåí-
íÿ â³ä ÷àñó;
á) çì³ùåííÿ ïðè ôàç³ π/4. Ó ÿêèé ìîìåíò ÷àñó çì³ùåííÿ äîð³âíþâàòèìå
0,025 ì?
Äàíî:
= π0,05cos10x t ;
ϕ = π/4;
õ = 0,025 ì
Âèõîäÿ÷è ç ð³âíÿííÿ êîëèâàíü âèçíà÷àºìî:
xm
= 0,05 ì, ω =10π.
Îñê³ëüêè
π
ω = πν =
2
2
T
, òî ν = 5 Ãö, Ò = 0,2 ñ.
Çàëåæí³ñòü ïðîåêö³¿ øâèäêîñò³ â³ä ÷àñó âèçíà÷àºìî,
îá÷èñëèâøè ïîõ³äíó â³ä çì³ùåííÿ:
à) xm
– ?; ν – ?;
Ò – ?; υ = υ ( )x x t
àõ
=àõ
(t)
á) õ – ?; t – ?
′υ = = − ⋅ π π = − π0,05 10 sin10 1,57sin10x x t t ,
äå υm
= −1,57 ì/ñ.
Çàëåæí³ñòü ïðîåêö³¿ ïðèñêîðåííÿ â³ä ÷àñó âèçíà÷àºìî, îá÷èñëèâøè ïîõ³äíó
â³ä øâèäêîñò³: ′= υ = − ⋅ π π = − π1,57 10 cos10 49,3cos10xa t t , äå àm
= −49,3 ì/ñ2
.
Â³äïîâ³äí³ ãðàô³êè êîëèâàíü ïîäàíî íà ìàë. 201.
Âèçíà÷àºìî çì³ùåííÿ ïðè ôàç³ π/4.
Òîä³ ç ð³âíÿííÿ êîëèâàíü îòðèìóºìî:
π
= = ⋅ ≈0,05cos 0,05 0,71 0,036
4
x ì.
Âèçíà÷àºìî ìîìåíò ÷àñó, ó ÿêèé çì³ùåííÿ äîð³âíþº 0,025 ì.
= π0,025 0,05cos10 t , çâ³äñè π =cos10 0,5t .
Îñê³ëüêè êîñèíóñ íàáóâàº çíà÷åííÿ 0,5 ïðè π/3, òî 10πt = π/3, çâ³äñè
≈ 0,03t ñ.
Â³äïîâ³äü: à) xm
= 0,05 ì;
ν = 5 Ãö; Ò = 0,2 ñ;
υ = − π1,57sin10õ t ;
= − π49,3cos10xa t .
á) õ=0,036 ì; ≈ 0,03t ñ.

220
Ð Î Ç Ä ² Ë 4
Вправа 36
1. Ð³âíÿííÿ ðóõó ãàðìîí³÷íîãî êî-
ëèâàííÿ ìàº âèãëÿä = π0,02cos100x t .
Ïîáóäóâàòè ãðàô³ê çàëåæíîñò³ õ(t), äå
âñ³ âåëè÷èíè çàäàíî â Ñ². Îá÷èñëèòè
çì³ùåííÿ ÷åðåç 0,25 ñ; ÷åðåç 1,25 ñ. Â³ä-
ïîâ³ä³ ïîÿñíèòè çà äîïîìîãîþ ãðàô³êà.
2. Çà ãðàô³êîì ãàðìîí³÷íèõ êîëè-
âàíü íà ìàë. 202 çàïèñàòè ð³âíÿííÿ
öüîãî êîëèâàííÿ.
3. Íàïèñàòè ð³âíÿííÿ ãàðìîí³÷-
íîãî êîëèâàëüíîãî ðóõó ç àìïë³òóäîþ
0,2 ì, ïåð³îäîì 4 ñ ³ ïî÷àòêîâîþ ôà-
çîþ, ùî äîð³âíþº íóëþ. Íàêðåñëèòè
ãðàô³ê öüîãî ðóõó.
4. Íàïèñàòè ð³âíÿííÿ ãàðìîí³÷íî-
ãî êîëèâàëüíîãî ðóõó, ÿêùî ìàêñè-
ìàëüíåïðèñêîðåííÿòî÷êè–49,3ñì/ñ2
,
ïåð³îä êîëèâàíü – 2 ñ ³ çì³ùåííÿ òî÷-
êè â³ä ïîëîæåííÿ ð³âíîâàãè ó ïî÷àò-
êîâèé ìîìåíò ÷àñó – 25 ìì.
5. Êîëèâàëüíèé ðóõ òî÷êè îïèñó-
ºòüñÿ ð³âíÿííÿì = π0,05cos20x t (âñ³
âåëè÷èíè çàäàíî â Ñ²). Îá÷èñëèâøè
ïåðøó òà äðóãó ïîõ³äí³, íàïèñàòè ð³â-
íÿííÿ çàëåæíîñò³ øâèäêîñò³ é ïðè-
ñêîðåííÿ â³ä ÷àñó: υ = υ ( )x x t ³ àõ
= àõ
(t).
Âèçíà÷èòè çì³ùåííÿ, øâèäê³ñòü ³
ïðèñêîðåííÿ ÷åðåç 1/60 ñ â³ä ïî÷àòêó
ðóõó.
6. Íàïèñàòè ð³âíÿííÿ ãàðìîí³÷íî-
ãî êîëèâàëüíîãî ðóõó çà òàêèìè éîãî õàðàêòåðèñòèêàìè: à) àìïë³òóäà – 5,5 ñì,
ïåð³îä – 1 õâ, ïî÷àòêîâà ôàçà – 30°; á) àìïë³òóäà – 0,1 ì, ÷àñòîòà – 10 êîëèâàíü
çà ñåêóíäó; ïî÷àòêîâà ôàçà äîð³âíþº íóëåâ³.
Ìàë. 201. Ãðàô³êè êîëèâàíü:
à – x(t), á – υ(t), â – a(t).
Ìàë. 202.Äî çàäà÷³ 2

221
§ 40 Перетворення енергії у гармонічних коливаннях
Ïåðåòâîðåííÿ åíåðã³¿ ó ãàðìîí³÷íèõ êîëèâàííÿõ.
Ïåðåòâîðåííÿ åíåðã³¿ ó ãàðìîí³÷íèõ êîëèâàííÿõ. Ðîçãëÿäàþ÷è êîëèâàííÿ
ãîðèçîíòàëüíîãî ïðóæèííîãî ìàÿòíèêà ìè áà÷èëè, ùî ïðè ïî÷àòêîâîìó éîãî
â³äõèëåíí³, íàïðèêëàä, ë³âîðó÷ íà â³äñòàíü mx , êîëèâíå ò³ëî, ïîâåðòàþ÷èñü,
ïðîõîäèòü ïîëîæåííÿ ð³âíîâàãè ³ â³äõèëÿºòüñÿ ïðàâîðó÷ íà mx . Öå ïîÿñíþ-
ºòüñÿ òèì, ùî äëÿ êîëèâàëüíîãî ðóõó âèêîíóºòüñÿ çàêîí çáåðåæåííÿ ïîâíî¿
ìåõàí³÷íî¿ åíåðã³¿.
Ó ïðîöåñ³ ãàðìîí³÷íèõ êîëèâàíü ïîâíà ìåõà-
í³÷íà åíåðã³ÿ êîëèâàëüíî¿ ñèñòåìè, ùî äîð³âíþº
ñóì³ ïîòåíö³àëüíî¿ ³ ê³íåòè÷íî¿ åíåðã³é, çàëèøà-
ºòüñÿ íåçì³ííîþ.
Íà ìàë. 203, à ïîêàçàíî, ùî ó ïî÷àòêîâèé ìîìåíò (êîëè ïðóæèíà ñòèñíåíà)
êîëèâàëüíà ñèñòåìà ìàº ìàêñèìàëüíó ïîòåíö³àëüíó åíåðã³þ =
2
max
2
m
n
kx
E , äå k –
æîðñòê³ñòü ïðóæèíè.
Ïðèì³òêà: ÿê äàë³ áóäå âñòàíîâëåíî, ÿêùî ìàñà òÿãàðöÿ m, ùî êîëèâàºòüñÿ íà
ïðóæèí³ æîðñòê³ñòþ k, ³ öèêë³÷íà ÷àñòîòà êîëèâàíü ω ïîâ’ÿçàí³ ñï³ââ³äíîøåííÿì
ω =2 k
m
, òî âèðàç äëÿ ìàêñèìàëüíî¿ ïîòåíö³àëüíî¿ åíåðã³¿ ìîæíà çàïèñàòè ó
âèãëÿä³
ω
=
2 2
max
2
m
n
m x
E .
Ðóõàþ÷èñü äî ïîëîæåííÿ ð³âíîâàãè, ïîòåíö³àëüíà åíåðã³ÿ çìåíøóºòüñÿ, àëå
ïðè öüîìó çá³ëüøóºòüñÿ ê³íåòè÷íà åíåðã³ÿ, ÿêà íàáóâàº ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åí-
íÿ ó ïîëîæåíí³ ð³âíîâàãè, äå øâèäê³ñòü êîëèâàëüíîãî ò³ëà ìàêñèìàëüíà:
υ
=
2
max
2
m
k
m
E .
Ç óðàõóâàííÿì òîãî, ùî υ = − ωm mx , ìàºìî:
ω
=
2 2
max
2
m
k
m x
E .
Çíà÷åííÿ ïîâíî¿ åíåðã³¿ ó êîæíèé ìîìåíò ÷àñó äîð³âíþº ìàêñèìàëüí³é ê³-
íåòè÷í³é àáî ìàêñèìàëüí³é ïîòåíö³àëüí³é åíåðã³¿:
ïîâíà .

222
Ð Î Ç Ä ² Ë 4
Òàêèì ÷èíîì, ê³íåòè÷íà åíåðã³ÿ
êîëèâàëüíî¿ ñèñòåìè ìàòèìå ìàêñè-
ìàëüí³ çíà÷åííÿ ó ìîìåíòè ïðîõî-
äæåííÿ ò³ëîì ïîëîæåíü ð³âíîâàãè,
à ïîòåíö³àëüíà – ó ìîìåíòè ïåðåáó-
âàííÿ ò³ëà ó òî÷êàõ íàéá³ëüøèõ â³ä-
õèëåíü â³ä ïîëîæåííÿ ð³âíîâàãè.
Ó äîâ³ëüíèé ìîìåíò ÷àñó ñóìà
ïîòåíö³àëüíî¿
2 22
2
cos
2 2
m
ï
m xkx
E t
ω
= = ω
³ ê³íåòè÷íî¿ åíåðã³¿
2 22
2
sin
2 2
m
k
m xm
E t
ωυ
= = ω
º ñòàëîþ âåëè÷èíîþ ³ äîð³âíþº ïî-
âí³é åíåðã³¿ êîëèâàíü:
2 2
2
2 2 2 2
2
cos
2
sin .
2 2
m
ï k
m m
m x
E E E t
m x m x
t
ω
= + = ω +
ω ω
+ ω =
Íà ìàë. 203, á ïîêàçàíî ãðàô³ê
çì³íè ïîòåíö³àëüíî¿ òà ê³íåòè÷íî¿
åíåðã³¿ êîëèâàëüíî¿ ñèñòåìè çà ÷àñ
îäíîãî ïåð³îäó êîëèâàíü.
Çâåðí³òü óâàãó! Âèõîäÿ÷è ³ç çàêîíó çáåðåæåííÿ ïîâíî¿ ìåõàí³÷íî¿ åíåðã³¿,
ï³ä ÷àñ êîëèâàëüíîãî ðóõó òàêîæ ìîæíà âèâåñòè ð³âíÿííÿ êîëèâàíü.
Ïîâíà åíåðã³ÿ ï³ä ÷àñ ãàðìîí³÷íîãî êîëèâàííÿ äîð³âíþº:
υ
+ =
22 2
2 2 2
mkxkx m
,
àáî + υ =2 2 2
mkx m kx . Ðîçä³ëèâøè íà k, îòðèìóºìî:
υ
+ =
2
2 2
m
m
x x
k
àáî
+ υ =2 2 2
( ) m
m
x x
k
.
Ïîáóäóâàâøè ïðÿìîêóòíèé òðèêóòíèê ³ç êà-
òåòàìè x ³ υ
m
k
òà ã³ïîòåíóçîþ mx (ìàë. 204),
îòðèìóºìî: x = xm
cosϕ.
ïð
ïð
ïð
ïð
Ìàë. 203. Ïåðåòâîðåííÿ åíåðã³¿
êîëèâàëüíî¿ ñèñòåìè
Ìàë. 204. Ãðàô³÷íèé ñïîñ³á
îòðèìàííÿ ð³âíÿííÿ êîëèâàíü

223
1. Ðîçêàæ³òü ïðî ïåðåòâîðåííÿ åíåðã³¿ ï³ä ÷àñ ãàðìîí³÷íèõ êîëèâàíü.
2. Çà ïåâíî¿ àìïë³òóäè êîëèâàíü ïîâíà åíåðã³ÿ êîëèâíîãî ò³ëà º ñòàëîþ âåëè-
÷èíîþ. ×è ìîæíà òàê ñàìî ñòâåðäæóâàòè ïðî ê³íåòè÷íó ³ ïîòåíö³àëüíó åíåðã³¿?
3. ×è çàëåæèòü åíåðã³ÿ êîëèâíîãî ò³ëà â³ä éîãî ìàñè?
4. Ñê³ëüêè ðàç³â ïðîòÿãîì ïåð³îäó ãàðìîí³÷íîãî êîëèâàííÿ ê³íåòè÷íà
åíåðã³ÿ ÷àñòèíêè äîð³âíþº ¿¿ ïîòåíö³àëüí³é åíåðã³¿ â òîé ñàìèé ìîìåíò ÷àñó?
Çàäà÷à. Òÿãàð ìàñîþ 2 êã çä³éñíþº ãîðèçîíòàëüí³ êîëèâàííÿ íà ïðóæèí³
çà çàêîíîì = π0,05cos10x t , äå âñ³ âåëè÷èíè çàäàíî â Ñ². Îá÷èñëèòè ìàêñèìàëü-
í³ çíà÷åííÿ ñèëè, ê³íåòè÷íî¿ òà ïîòåíö³àëüíî¿ åíåðã³¿. À òàêîæ ¿õ çíà÷åííÿ ó
ìîìåíò, êîëè ôàçà êîëèâàíü äîð³âíþº π/4.
Äàíî:
m = 2 êã;
x = 0,05 cos10πt;
ϕ = π/4
Ìàêñèìàëüíå çíà÷åííÿ ñèëè âèçíà÷àºòüñÿ çà ôîðìó-
ëîþ: Fm
= – mω2
õm
Fm
= – 2 · 100π2
· 0,05 = − 100 Í.
Ìàêñèìàëüíå çíà÷åííÿ ê³íåòè÷íî¿ åíåðã³¿ äîð³âíþº
ìàêñèìàëüíîìó çíà÷åííþ ïîòåíö³àëüíî¿ åíåðã³¿ ³ äîð³â-
íþº ïîâí³é åíåðã³¿, òîìó
Fmax
– ?; Åïmax
– ?;
Åêmax
– ?; F– ?;
Åï
– ? Åê
– ?
2 2
2
mm x
E E E
ω
= = = ; Åïîâí
= 2,5 Äæ.
Ó ìîìåíò, êîëè ôàçà êîëèâàíü äîð³âíþº π/4, çíà÷åííÿ ñèëè âèçíà÷àºòüñÿ
çà ôîðìóëîþ: F = −mω2
õmax
cosωt, òîä³ F = −71 Í.
Ó ìîìåíò, êîëè ôàçà êîëèâàíü äîð³âíþº π/4, çíà÷åííÿ ïîòåíö³àëüíî¿ åíåð-
ã³¿ âèçíà÷àºòüñÿ çà ôîðìóëîþ:
2 22
2
ï cos
2 2
mm xkx
E t
ω
= = ω = 1,25 Äæ, à çíà÷åííÿ
ê³íåòè÷íî¿ åíåðã³¿ ìîæíà âèçíà÷èòè çà ôîðìóëîþ
2 22
2
ê sin
2 2
mm xm
E t
ωυ
= = ω ,
àáî Åê
= Åïîâí
− Åï
Åê
= 2,5 Äæ − 1,25 Äæ = 1,25 Äæ.
Â³äïîâ³äü: Fm
= −100 Í; Åïîâí
= Åïmax
= Åêmax
= 2,5 Äæ; F = −71 Í; Åï
= Åê
= 1,25 Äæ.
Вправа 37
1. Âàíòàæ, ìàñà ÿêîãî 400 ã, êîëèâàºòüñÿ ó ãîðèçîíòàëüíîìó íàïðÿì³ íà
ïðóæèí³, ùî ìàº æîðñòê³ñòü 250 Í/ì. Àìïë³òóäà êîëèâàíü 15 ñì. Âèçíà÷èòè
÷àñòîòó, ïîâíó ìåõàí³÷íó åíåðã³þ êîëèâàíü ³ íàéá³ëüøó øâèäê³ñòü ðóõó âàí-
òàæó.
2. Âàíòàæ, ï³äâ³øåíèé íà ïðóæèí³, æîðñòê³ñòü ÿêî¿ 1 êÍ/ì, êîëèâàºòüñÿ
ó ãîðèçîíòàëüíîìó íàïðÿì³ ç àìïë³òóäîþ 2 ñì. Âèçíà÷èòè ê³íåòè÷íó ³ ïîòåíö³-
àëüíó åíåðã³þ ïðè ôàç³ π/3 ðàä.

224
Ð Î Ç Ä ² Ë 4
3. Ñê³ëüêè ðàç³â ïðîòÿãîì ïåð³îäó ãàðìîí³÷íîãî êîëèâàííÿ ê³íåòè÷íà
åíåðã³ÿ ÷àñòèíêè äîð³âíþº ¿¿ ïîòåíö³àëüí³é åíåðã³¿ ó òîé ñàìèé ìîìåíò ÷àñó?
4. Ïðóæèííèé ìàÿòíèê âèâåëè ç³ ñòàíó ð³âíîâàãè ³ â³äïóñòèëè. ×åðåç ÿêèé
÷àñ (ó ÷àñòèíàõ ïåð³îäó) ê³íåòè÷íà åíåðã³ÿ êîëèâíîãî ò³ëà äîð³âíþâàòèìå ïî-
òåíö³àëüí³é åíåðã³¿ ïðóæèíè? Êîëèâàííÿ â³äáóâàþòüñÿ ó ãîðèçîíòàëüíîìó íà-
ïðÿì³.
5. Âàíòàæ ìàñîþ 1 êã, ï³äâ³øåíèé äî ïðóæèíè ç æîðñòê³ñòþ 100 Í/ì,
êîëèâàºòüñÿ ç àìïë³òóäîþ 10 ñì. Íàïèñàòè ð³âíÿííÿ ðóõó âàíòàæó õ = õ(t).
Íàïèñàòè ôîðìóëó, ùî âèðàæàº çàëåæí³ñòü çì³íè ñèëè ïðóæíîñò³ â³ä ÷àñó:
F = F(t). Âèçíà÷èòè íàéá³ëüøå çíà÷åííÿ ñèëè ïðóæíîñò³, à òàêîæ çíà÷åííÿ
ñèëè ïðóæíîñò³ ÷åðåç 1/6 ïåð³îäó. Êîëèâàííÿ â³äáóâàþòüñÿ ó ãîðèçîíòàëüíî-
ìó íàïðÿì³.
6. Íàïèñàòè ð³âíÿííÿ ãàðìîí³÷íîãî êîëèâàííÿ ò³ëà, ÿêùî éîãî ïîâíà åíåð-
ã³ÿ – 3 · 10−5
Äæ, ìàêñèìàëüíà ñèëà, ùî ä³º íà ò³ëî, – 1,5 ìÍ, ïåð³îä êîëèâàíü
– 2 ñ ³ ïî÷àòêîâà ôàçà – 60°.
7. Ò³ëî ìàñîþ m = 1 êã ï³ä ä³ºþ ïðóæèíè æîðñòê³ñòþ k = 400 Í/ì êîëèâà-
ºòüñÿ áåç òåðòÿ ó ãîðèçîíòàëüí³é ïëîùèí³ âçäîâæ ñòåðæíÿ. Êîðèñòóþ÷èñü çà-
êîíîì çáåðåæåííÿ åíåðã³¿ âèçíà÷èòè ïåð³îä êîëèâàííÿ ò³ëà.
§ 41 Додавання гармонічних коливань
Äîäàâàííÿ êîëèâàíü.
Âåêòîðí³ ä³àãðàìè.
Äîäàâàííÿ êîëèâàíü. Íà ïðàêòèö³
÷àñòî êîëèâàííÿ íàêëàäàþòüñÿ îäíå
íà îäíå. Ùîá âèçíà÷èòè ïàðàìåòðè
ðåçóëüòóþ÷îãî êîëèâàííÿ, êîðèñòó-
þòüñÿ ãðàô³÷íèì ìåòîäîì. Äëÿ öüîãî,
ïîáóäóâàâøè íà îäíèõ ³ òèõ ñàìèõ êî-
îðäèíàòíèõ îñÿõ ãðàô³êè êîëèâàíü,
ÿê³ òðåáà äîäàòè, çä³éñíþþòü ïîñë³-
äîâíå äîäàâàííÿ îðäèíàò öèõ ãðàô³ê³â
äëÿ ïåâíèõ ìîìåíò³â ÷àñó t1
, t2
, t3
, ...
íà îñ³ àáñöèñ.
Ïðèêëàäè êîëèâàíü îäíàêîâîãî
ïåð³îäó ïîêàçàí³ íà ìàë. 205 (íà ìàë.
205, à – êîëèâàííÿ 1 ³ 2, ÿê³ çá³ãàþòüñÿ
çà ôàçîþ, íà ìàë. 205, á – êîëèâàííÿ 1 ³
2, ôàçè ÿêèõ â³äð³çíÿþòüñÿ íà π/4). Ìàë. 205. Äîäàâàííÿ êîëèâàíü

225
Âåêòîðí³ ä³àãðàìè. Çíà÷íî çðó÷í³øå äîäàâàòè ãàðìîí³÷í³ êîëèâàííÿ çà äî-
ïîìîãîþ âåêòîðíèõ ä³àãðàì.
Íåõàé êîëèâàííÿ çàäàíî ð³âíÿííÿìè:
x1
= a1
cos(ωt + ϕ1
) òà x2
= a2
cos(ωt + ϕ2
),
äå a1
, a2
– àìïë³òóäè êîëèâàíü; ϕ1
, ϕ2
– ïî÷àòêîâ³ ôàçè êîëèâàíü.
Çîáðàçèìî îáèäâà êîëèâàííÿ çà äîïîìîãîþ âåêòîð³â
r
1a òà
r
2a (ìàë. 206).
Ïîáóäóºìî çà ïðàâèëàìè äîäàâàííÿ âåêòîð³â ðåçóëüòóþ÷èé âåêòîð
r
a . Ïðî-
åêö³ÿ öüîãî âåêòîðà íà â³ñü Õ äîð³âíþº ñóì³ ïðîåêö³é âåêòîð³â, ÿê³ äîäàþòüñÿ:
= +1 2x x x .
Ðåçóëüòóþ÷å êîëèâàííÿ áóäå ãàðìîí³÷íèì
êîëèâàííÿì ç ÷àñòîòîþ ω, àìïë³òóäîþ a ³ ïî÷àò-
êîâîþ ôàçîþ ϕ, ÿêó âèçíà÷àþòü çà ôîðìóëîþ
1 1 2 2
1 1 2 2
sin sin
tg
cos cos
a a
a a
ϕ + ϕ
ϕ =
ϕ + ϕ
.
Ìåòîä âåêòîðíèõ ä³àãðàì øèðîêî çàñòîñîâó-
ºòüñÿ ïðè ðîçâ’ÿçàíí³ ïðàêòè÷íèõ çàâäàíü, çî-
êðåìà â åëåêòðîòåõí³ö³ ïðè ðîçðàõóíêàõ ïàðàìå-
òð³â åëåêòðè÷íèõ ê³ë çì³ííîãî ñòðóìó.
§ 42 Маятники
Ïåð³îä êîëèâàíü ïðóæèííîãî ìàÿòíèêà.
Ïåð³îä êîëèâàíü ìàòåìàòè÷íîãî ìàÿòíèêà.
Ïåð³îä êîëèâàíü ô³çè÷íîãî ìàÿòíèêà.
Ìàÿòíèê – ò³ëî, ùî êîëèâàºòüñÿ ï³ä ä³ºþ ñèëè
òÿæ³ííÿ àáî ñèëè ïðóæíîñò³. ª ê³ëüêà òèï³â ìàÿò-
íèê³â: ìàòåìàòè÷íèé, ô³çè÷íèé, ïðóæèííèé.
Ïåð³îä êîëèâàíü ïðóæèííîãî ìàÿòíèêà. Ç ïîïåðåäí³õ ð³âíÿíü, îòðèìàíèõ
äëÿ êîëèâàíü ãîðèçîíòàëüíîãî ïðóæèííîãî ìàÿòíèêà (§ 39), âèäíî, ùî ïðè-
ñêîðåííÿ ó äîâ³ëüíèé ìîìåíò ÷àñó ïðîïîðö³éíå çì³ùåííþ: = −ω2
a x . Âîäíî÷àñ
ó áóäü-ÿê³é òî÷ö³ òðàºêòîð³¿ ñèëà ïðóæíîñò³ íàïðÿìëåíà äî ïîëîæåííÿ ð³âíî-
âàãè ³ ïðÿìî ïðîïîðö³éíà çì³ùåííþ:
Fïðx
= −kx,
Ìàë. 206. Âåêòîðíà ä³àãðàìà

226
Ð Î Ç Ä ² Ë 4
äå k – æîðñòê³ñòü ïðóæèíè. Çà äðóãèì çàêîíîì Íüþòîíà: = = −
ïðF k
a x
m m
. Ïðè-
ð³âíþþ÷è îáèäâà âèðàçè äëÿ ïðèñêîðåííÿ, îòðèìóºìî: ω =2 k
m
àáî ω =
k
m
.
Îñê³ëüêè
π
ω = πν =
2
2
T
, òî:
ïåð³îä â³ëüíèõ êîëèâàíü ïðóæèííîãî ìàÿòíèêà:
π
= = π
ω
2
2
m
T
k
.
Ïåð³îä êîëèâàíü ìàòåìàòè÷íîãî ìàÿòíèêà. Ìàòåìàòè÷íèé ìàÿòíèê –
öå ìîäåëü ³äåàëüíî¿ êîëèâàëüíî¿ ñèñòåìè.
Ðåàëüíèé íèòêîâèé ìàÿòíèê (ìàë. 207), ùî ñêëàäàºòüñÿ ç íåâåëèêîãî ò³ëà
³ äîâãî¿ òîíêî¿ íèòêè âåëèêî¿ æîðñòêîñò³ (íàïðèêëàä, ñòàëåâîãî äðîòó) ìîæíà
ââàæàòè ìàòåìàòè÷íèì ìàÿòíèêîì.
Çà ìàëèõ â³äõèëåíü òàêîãî ìàÿòíèêà â³ä ïî-
ëîæåííÿ ð³âíîâàãè (α < 5°) éîãî êîëèâàííÿ áó-
äóòü ãàðìîí³÷íèìè.
Ìàòåìàòè÷íèé ìàÿòíèê êîëèâàºòüñÿ ï³ä
ä³ºþ ñèëè òÿæ³ííÿ
r
mg ³ ñèëè íàòÿãó íèòêè
r
Fí
.
Â³äâåäåìî êîëèâíå ò³ëî ó êðàéíº ïðàâå ïîëîæåí-
íÿ. Ó öüîìó âèïàäêó ð³âíîä³éíà ñèëè òÿæ³ííÿ ³
ñèëè íàòÿãó íèòêè íàïðàâëåíà ïðîòè çì³ùåííÿ
– äî ïîëîæåííÿ ð³âíîâàãè (ìàë. 207). ²ç ìàëþí-
êà âèäíî, ùî çà ìîäóëåì öÿ ð³âíîä³éíà äîð³âíþº:
= αsinF mg .
Îñê³ëüêè êóò â³äõèëåííÿ ìàëèé, òî äóãà ,
ïî ÿê³é ðóõàºòüñÿ êóëüêà, ìàëî â³äð³çíÿºòüñÿ â³ä
íàï³âõîðäè BA, òîìó çì³ùåííÿ =x BA . Êð³ì òîãî
ïðè ìàëèõ êóòàõ âèêîíóºòüñÿ ñï³ââ³äíîøåííÿ
sin tgα ≈ α . Ç òðèêóòíèêà 0BA tgα = x/l, äå l – äî-
âæèíà íèòêè.
Òàêèì ÷èíîì, ïðîåêö³ÿ ð³âíîä³éíî¿, ùî ä³º íà êîëèâíå ò³ëî (ç óðàõóâàííÿì
òîãî, ùî âîíà íàïðàâëåíà ïðîòè çì³ùåííÿ), îïèñóºòüñÿ ôîðìóëîþ = −x
mg
F x
l
.
ßê áà÷èìî, öÿ ñèëà «ñõîæà» íà ñèëó ïðóæíîñò³ (êâàç³ïðóæíà) Fïðx
= −kx, äå
ðîëü êîåô³ö³ºíòà ïðóæíîñò³ k â³ä³ãðàº âåëè÷èíà mg/l.
Îäíàêîâ³ ïðè÷èíè âèíèêíåííÿ êîëèâàíü âåäóòü äî îäíàêîâèõ ðåçóëüòàò³â.
Âèâåäåìî ôîðìóëó ïåð³îäó êîëèâàíü ìàòåìàòè÷íîãî ìàÿòíèêà òàê ñàìî, ÿê ìè
öå ðîáèëè ï³ä ÷àñ âèâåäåííÿ ôîðìóëè ïåð³îäó êîëèâàíü ïðóæèííîãî ìàÿòíèêà.
Îñê³ëüêè êîëèâàííÿ ìàòåìàòè÷íîãî ìàÿòíèêà º ãàðìîí³÷íèìè, òî ïðèñêîðåí-
íÿ ó äîâ³ëüíèé ìîìåíò ÷àñó ïðîïîðö³éíå çì³ùåííþ: a = −ω2
x. Âîäíî÷àñ ó áóäü-
Ìàë. 207. Êîëèâàííÿ
ìàòåìàòè÷íîãî ìàÿòíèêà

227
ÿê³é òî÷ö³ òðàºêòîð³¿ ð³âíîä³éíà F íàïðÿìëåíà äî ïîëîæåííÿ ð³âíîâàãè ³ ïðÿìî
ïðîïîðö³éíà çì³ùåííþ: = −
mg
F x
l
. Çà äðóãèì çàêîíîì Íüþòîíà:
F g
a x
m l
= = − .
Ïðèð³âíþþ÷è îáèäâà âèðàçè äëÿ ïðèñêîðåííÿ, îòðèìóºìî: ω =2 g
l
àáî ω =
g
l
.
Îñê³ëüêè
π
ω = πν =
2
2
T
, òî:
ïåð³îä â³ëüíèõ êîëèâàíü ìàòåìàòè÷íîãî ìàÿòíèêà:
π
= = π
ω
2
2
l
T
g
.
Ïåð³îä âëàñíèõ êîëèâàíü ìàòåìàòè÷íîãî ìàÿòíèêà íå çàëåæèòü â³ä
ìàñè é àìïë³òóäè êîëèâàíü, à õàðàêòåðèçóºòüñÿ ïðèñêîðåííÿì â³ëüíîãî
ïàä³ííÿ
r
g äëÿ ïåâíî¿ ì³ñöåâîñò³ ³ äîâæèíîþ ìàÿòíèêà.
Îñê³ëüêè áóäü-ÿêèé ìàÿòíèê ìàº ô³êñîâàíèé ïåð³îä êîëèâàíü, òî ìàÿòíè-
êè âèêîðèñòîâóþòü äëÿ ðåãóëþâàííÿ õîäó ãîäèííèê³â.
Ìàÿòíèêè âèêîðèñòîâóþòü é ó ãåîëîã³÷íèõ ðîçâ³äêàõ. Ó ì³ñöÿõ, äå çàëÿãà-
þòü ïîðîäè ìåòàëåâèõ ðóä, çíà÷åííÿ g àíîìàëüíî âåëèêå. Òî÷í³ âèì³ðþâàííÿ
ïðèñêîðåííÿ â³ëüíîãî ïàä³ííÿ çà äîïîìîãîþ ìàòåìàòè÷íîãî ìàÿòíèêà äàþòü
çìîãó âèÿâèòè òàê³ ðîäîâèùà.
Çà äîïîìîãîþ ìàòåìàòè÷íîãî ìàÿòíèêà ìîæíà âèÿâèòè äîáîâå îáåðòàííÿ
Çåìë³. Öåé äîñë³ä ó 1851 ð. ó Ïàðèæ³ âèêîíàâ Æ. Ôóêî ç ìàÿòíèêîì çàâäîâæ-
êè 67 ì. Òîìó ìàÿòíèêè, çà äîïîìîãîþ ÿêèõ ìîæíà ïðîäåìîíñòðóâàòè äîáîâå
îáåðòàííÿ Çåìë³ íàâêîëî ñâîº¿ îñ³, íàçèâàþòü ìàÿòíèêàìè Ôóêî.
Çì³ñò äîñë³äó ïîëÿãàº ó òîìó, ùî ïëîùèíà êîëèâàíü ìàòåìàòè÷íîãî ìàÿò-
íèêà çàëèøàºòüñÿ íåçì³ííîþ â³äíîñíî ³íåðö³àëüíî¿ ñèñòåìè â³äë³êó (ó öüîìó
âèïàäêó â³äíîñíî äàëåêèõ ç³ðîê). Òîä³ â³äíîñíî íå³íåðö³àëüíî¿ ñèñòåìè â³äë³-
êó, ïîâ’ÿçàíî¿ ³ç Çåìëåþ, âíàñë³äîê ä³¿ ñèëè Êîð³î-
ë³ñà ïëîùèíà êîëèâàíü ìàÿòíèêà ìàº ïîâåðòàòèñü
(ìàë. 208).
Ï³çí³øåöåéäîñë³äïîâòîðþâàëèâð³çíèõì³ñòàõ.
Î÷åâèäíî, ùî åôåêò ïîâîðîòó ïëîùèíè êîëèâàíü
ìàÿòíèêà çàëåæèòü â³ä øèðîòè ì³ñöÿ ïðîâåäåííÿ
äîñë³äó, íàéá³ëüø âèðàæåíèé íà çåìíèõ ïîëþñàõ ³
íå â³äáóâàºòüñÿ íà åêâàòîð³.
×àñòî ï³ä ÷àñ ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàäà÷ ðîçãëÿäà-
þòü ìàòåìàòè÷íèé ìàÿòíèê, ÿêèé êîëèâàºòüñÿ,
ðóõàþ÷èñü ç ïåâíèì ïðèñêîðåííÿì
r
a . Ó öüîìó ðàç³
ïåð³îä êîëèâàíü ìàÿòíèêà âèçíà÷àþòü ç ôîðìóëè
= π
−
rr2
l
T
à g
.
Ìàë. 208. Ìîäåëü äîñë³äó
³ç ìàÿòíèêîì Ôóêî

228
Ð Î Ç Ä ² Ë 4
Ïåð³îä êîëèâàíü ô³çè÷íîãî ìàÿòíèêà. Ô³çè÷íèé ìàÿòíèê – àáñîëþòíî
òâåðäå ò³ëî, ùî êîëèâàºòüñÿ ï³ä ä³ºþ ñèëè òÿæ³ííÿ íàâêîëî ãîðèçîíòàëüíî¿
îñ³, ÿêà íå ïðîõîäèòü ÷åðåç öåíòð òÿæ³ííÿ ò³ëà Ñ (ìàë. 221).
Ïðè ìàëèõ êóòàõ â³äõèëåííÿ (α < 5°) êîëèâàííÿ ìàÿòíèêà º ãàðìîí³÷íèìè.
Ïåð³îä âëàñíèõ êîëèâàíü ô³çè÷íîãî ìàÿòíèêà
âèçíà÷àºòüñÿ çà ôîðìóëîþ
= π2
J
T
mgd,
äå J – ìîìåíò ³íåðö³¿ ò³ëà â³äíîñíî îñ³;
m – ìàñà ò³ëà;
g – ïðèñêîðåííÿ â³ëüíîãî ïàä³ííÿ;
d – â³äñòàíü â³ä îñ³ êîëèâàííÿ äî öåíòðà òÿæ³ííÿ ò³ëà.
Çà ïåð³îäîì êîëèâàíü ô³çè÷íîãî ìàÿòíèêà ïðî-
ñòî âèçíà÷èòè ìîìåíòè ³íåðö³¿ ð³çíîìàí³òíèõ äåòàëåé
(òâåðäèõ ò³ë), ùî âèêîðèñòîâóþòüñÿ â òåõí³ö³.
ßêà êîëèâàëüíà ñèñòåìà íàçèâàºòüñÿ ìàòåìà-1.
òè÷íèì ìàÿòíèêîì? Ïðóæèííèì ìàÿòíèêîì? Ô³çè÷-
íèì ìàÿòíèêîì?
Ïðè ÿêèõ â³äõèëåííÿõ â³ä ïîëîæåííÿ ð³âíî-2.
âàãè êîëèâàííÿ ìàòåìàòè÷íîãî ³ ô³çè÷íîãî ìàÿòíèê³â
áóäóòü ãàðìîí³÷íèìè?
Âèâåä³òü ôîðìóëó ïåð³îäó êîëèâàíü ìàòåìàòè÷-3.
íîãî ìàÿòíèêà. ×è çàëåæèòü ïåð³îä êîëèâàíü ìàÿòíè-
êà â³ä éîãî ìàñè?
Â³ä ÷îãî çàëåæèòü ïåð³îä êîëèâàíü ïðóæèííîãî4.
ìàÿòíèêà?
Çàäà÷à 1. Ìàòåìàòè÷íèé ìàÿòíèê çàâäîâæêè 1 ì êîëèâàºòüñÿ ç àìïë³òó-
äîþ 1 ñì. Çà ÿêèé ÷àñ â³í ïðîéäå øëÿõ 1 ñì, ÿêùî ó ïî÷àòêîâèé ìîìåíò ìàÿò-
íèê ïðîõîäèòü ïîëîæåííÿ ð³âíîâàãè? Çà ÿêèé ÷àñ ìàÿòíèê ïðîéäå: à) ïåðøó
ïîëîâèíó àìïë³òóäè; á) äðóãó ïîëîâèíó àìïë³òóäè?
Äàíî:
l=1 ì;
xm
=1 · 10−2
ì;
x = 1 · 10−2
ì;
x1
= 5 · 10−3
ì;
x2
= 5 · 10−3
ì
Îñê³ëüêèóïî÷àòêîâèéìîìåíòìàÿòíèêïðîõîäèòüïîëîæåí-
íÿ ð³âíîâàãè, òî ð³âíÿííÿ éîãî ðóõó ìàº âèãëÿä = π0,01sinx t .
Øëÿõ 1 ñì, ÿêèé äîð³âíþº àìïë³òóä³, ìàÿòíèê ïðîõîäèòü
çà ÷âåðòü ïåð³îäó. Ïåð³îä êîëèâàíü ìàòåìàòè÷íîãî ìàÿòíèêà
âèçíà÷àºòüñÿ çà ôîðìóëîþ = π2
l
T
g
, à ÷àñ:
π
= =
2
4 4
T l
t
g
≈ 0,5 ñ.
t–?;t1
–?;t2
–?
Ìàë. 209.
Ô³çè÷íèé ìàÿòíèê

229
×àñ, çà ÿêèé ìàÿòíèê ïðîõîäèòü ïåðøó ïîëîâèíó àìïë³òóäè, âèçíà÷àºìî
ç ð³âíÿííÿ: 0,005 = 0,01sinπt, òîä³ sinπt = 0,5. Ñèíóñ íàáóâàº çíà÷åííÿ 0,5 ïðè
π/6, îòæå πt = π/6, çâ³äñè t = 0,167 ñ. Òîä³ ÷àñ, çà ÿêèé ìàÿòíèê ïðîõîäèòü äðóãó
ïîëîâèíó àìïë³òóäè, ñòàíîâèòü: t2
= t − t1
; t2
=0,5 ñ − 0,167 ñ = 0,33 ñ.
Â³äïîâ³äü: 0,5 ñ; 0,167 ñ; 0,33 ñ.
Çàäà÷à 2. Çà ÿêî¿ øâèäêîñò³ ïîòÿãà àìïë³òóäà êîëèâàíü ìàÿòíèêà çà-
âäîâæêè 11 ñì, ï³äâ³øåíîãî ó âàãîí³, áóäå íàéá³ëüøîþ, ÿêùî äîâæèíà ðåéîê
ì³æ ñòèêàìè 12,5 ì?
Äàíî:
l = 0,11 ì;
L = 12,5 ì;
à = 10 ì/ñ2
Àìïë³òóäà êîëèâàíü áóäå íàéá³ëüøîþ çà óìîâè, ùî ÷àñ,
çà ÿêèé ïî¿çä ïðîõîäèòü â³äñòàíü ì³æ ñòèêàìè ðåéîê, äîð³â-
íþâàòèìå ïåð³îäó êîëèâàíü.
υ – ?
Ó âèïàäêó ð³âíîì³ðíîãî ðóõó ïîòÿãà =
υ
L
t , à ïåð³îä êîëèâàíü = π2
l
T
g
.
²ç óìîâè t = T âèçíà÷àºìî υ =
π2
L g
l
; υ ≈ 18,78 ì/ñ.
Â³äïîâ³äü: υ ≈ 18,78 ì/ñ.
Вправа 38
1. Ìàÿòíèê çðîáèâ 50 êîëèâàíü çà 1 õâ 40 ñ. Âèçíà÷èòè ïåð³îä, ÷àñòîòó ³
öèêë³÷íó ÷àñòîòó êîëèâàíü.
2. ßê â³äíîñÿòüñÿ äîâæèíè ìàòåìàòè÷íèõ ìàÿòíèê³â, ÿêùî çà òîé ñàìèé
÷àñ îäèí ³ç íèõ ðîáèòü 10, à äðóãèé 30 êîëèâàíü?
3. Çà îäèí ³ òîé ñàìèé ÷àñ ïåðøèé ìàòåìàòè÷íèé ìàÿòíèê ðîáèòü 50 êî-
ëèâàíü, äðóãèé – 30. Âèçíà÷èòè äîâæèíè öèõ ìàÿòíèê³â, ÿêùî îäèí ³ç íèõ íà
32 ñì êîðîòøèé â³ä ³íøîãî.
4. ßê çì³íèòüñÿ õ³ä ãîäèííèêà ç ìàÿòíèêîì íà ìåòàëåâîìó ñòåðæí³: à) ç
ï³äâèùåííÿì òåìïåðàòóðè; á) ïðè ï³äíÿòò³ íà ãîðó; â) ïðè ïåðåì³ùåíí³ â³ä ïî-
ëþñà äî åêâàòîðà?
5. Ó ñê³ëüêè ðàç³â çì³íèòüñÿ ïåð³îä êîëèâàííÿ ìàÿòíèêà ó ðàêåò³, ÿêà ñòàð-
òóº ç ïîâåðõí³ Çåìë³ âåðòèêàëüíî âãîðó ç ïðèñêîðåííÿì 30 ì/ñ2
?
6. Ìàòåìàòè÷íèé ìàÿòíèê íà Çåìë³ ìàº ïåð³îä ìàëèõ êîëèâàíü 1 ñ. ßêèì
áóäå ïåð³îä éîãî êîëèâàíü íà Ì³ñÿö³?
7. Âèçíà÷èòè ïðèñêîðåííÿ â³ëüíîãî ïàä³ííÿ ó òîìó ì³ñö³ çåìíî¿ ïîâåðõí³,
äå äîâæèíà ñåêóíäíîãî ìàÿòíèêà áóäå 0,995 ì.

230
Ð Î Ç Ä ² Ë 4
§ 43 Вимушені коливання.
Резонанс. Автоколивання
Âèìóøåí³ êîëèâàííÿ.
Ðåçîíàíñ ³ éîãî ïðàêòè÷íå âèêîðèñòàííÿ.
Àâòîêîëèâàëüí³ ñèñòåìè.
Âèìóøåí³ êîëèâàííÿ. ßê çàçíà÷àëîñÿ, äëÿ òîãî ùîá êîëèâàííÿ íå çãàñàëè,
åíåðã³ÿ êîëèâàëüíî¿ ñèñòåìè ìàº ïîïîâíþâàòèñÿ. Íàïðèêëàä, ùîá ãîéäàëêà íå
çóïèíÿëàñü, ¿¿ íåîáõ³äíî ï³äøòîâõóâàòè ÷åðåç ³íòåðâàëè ÷àñó, ùî äîð³âíþþòü
ïåð³îäó êîëèâàíü ãîéäàëêè.
Êîëèâàííÿ, ÿê³ çä³éñíþþòüñÿ ï³ä ä³ºþ ÿê âíó-
òð³øí³õ, òàê ³ çîâí³øí³õ ïåð³îäè÷íèõ ñèë íàçèâà-
þòü âèìóøåíèìè.
Âèìóøåí³ êîëèâàííÿ çä³éñíþº ñêëî â³êîí ó áóäèíêàõ, ïîâç ÿê³ ïðîõîäèòü
âàíòàæíèé òðàíñïîðò, êîðïóñè ìàøèí ³ ìåõàí³çì³â, ùî ïðàöþþòü. Ï³ä ÷àñ
ðîçìîâè ïî òåëåôîíó âèíèêàþòü âèìóøåí³ êîëèâàííÿ ìåìáðàíè ì³êðîôîíà
ï³ä ä³ºþ êîëèâàíü ïîâ³òðÿ, à ïîâ³òðÿ – ï³ä ä³ºþ êîëèâàíü ãîëîñîâèõ çâ’ÿçîê.
Ðåçîíàíñ ³ éîãî ïðàêòè÷íå âèêîðèñòàííÿ. Äîñë³äèìî äåÿê³ îñîáëèâîñò³ âè-
ìóøåíèõ êîëèâàíü. Äëÿ öüîãî ïðîâåäåìî òàêèé äîñë³ä. Çàêð³ïèìî ì³æ äâîõ
øòàòèâ³â òðîñ ³ ï³äâ³ñèìî äî
òðîñà ìàÿòíèêè ð³çíî¿ äîâæèíè
(ìàë. 210).
Âèâåäåìî ç³ ñòàíó ñïîêîþ,
íàïðèêëàä, ìàÿòíèê X, íàäàìî
éîìó ìîæëèâ³ñòü â³ëüíî êîëèâà-
òèñÿ (ïëîùèíà êîëèâàíü ìàÿò-
íèêà ïåðïåíäèêóëÿðíà äî ïëî-
ùèíè ìàëþíêà). Ö³ êîëèâàííÿ
âèêëèêàòèìóòü êîëèâàííÿ òðî-
ñà ³ çìóñÿòü êîëèâàòèñü ³íø³
ìàÿòíèêè. Ïðè öüîìó ìàÿòíèê
C, ùî ìàº òàêó ñàìó äîâæèíó, à
îòæå, ³ òàêèé ñàìèé ïåð³îä, ÿê ³
ìàÿòíèê X, êîëèâàòèìåòüñÿ íàéñèëüí³øå; ìàÿòíèêè B ³ D, ïåð³îäè êîëèâàíü
ÿêèõ íàáëèæàþòüñÿ äî ïåð³îäó êîëèâàíü ìàÿòíèêà X, êîëèâàòèìóòüñÿ äåùî
ñëàáøå, à ìàÿòíèêè A ³ E ìàéæå íå êîëèâàòèìóòüñÿ.
Ìàë. 210. Âèíèêíåííÿ ðåçîíàíñó

231
Îòæå, ÿêùî ïåð³îä (÷àñòîòà) êîëèâàíü ñèëè, ùî ¿õ âèêëèêàº, äîð³âíþº
âëàñíîìó ïåð³îäó (÷àñòîò³) êîëèâàíü êîëèâàëüíî¿ ñèñòåìè, òî àìïë³òóäà âèìó-
øåíèõ êîëèâàíü íàéá³ëüøà. Öå ÿâèùå íàçèâàþòü ðåçîíàíñîì.
Ðåçîíàíñ – ÿâèùå ð³çêîãî çðîñòàííÿ àìïë³òóäè âè-
ìóøåíèõ êîëèâàíü, êîëè ÷àñòîòà çîâí³øíüî¿ ïåð³î-
äè÷íî¿ ñèëè çá³ãàºòüñÿ ç ÷àñòîòîþ âëàñíèõ êîëèâàíü.
Ñïðîáóºìî öå äîâåñòè. Äëÿ çðó÷íîñò³ ðîçãëÿíåìî êîëèâàëüíó ñèñòåìó –
ãîðèçîíòàëüíèé ïðóæèííèé ìàÿòíèê. Óçäîâæ îñ³ Õ íà êîëèâíå ò³ëî ä³º ñèëà
ïðóæíîñò³ = −õïðF kx ³ çì³ííà çîâí³øíÿ ñèëà = ωcosmF F t . Çàñòîñîâóþ÷è äðó-
ãèé çàêîí Íüþòîíà äî îïèñó êîëèâàíü ò³ëà, îòðèìàºìî ma = −kx + Fm
cosωt.
Âðàõóºìî, ùî a = −ω2
xm
cosωt, cosmõ x t= ω , 2
0
k
m
ω = , òîáòî, 2
0k m= ω , òîä³ îòðè-
ìàºìî ð³âíÿííÿ äðóãîãî çàêîíó Íüþòîíà ó âèãëÿä³:
− ω ω = −ω ω + ω2 2
0cos cos cosm m mm x t mx t F t .
Ñêîðîòèìî ð³âíÿííÿ íà ωcos t ³ çàïèøåìî ç íüîãî âèðàç äëÿ àìïë³òóäè âè-
ìóøåíèõ êîëèâàíü xm
:
=
ω − ω2 2
0( )
m
m
F
x
m
.
Ïðîàíàë³çóºìî îòðèìàíó çàëåæí³ñòü ³ ïîáóäóºìî ¿¿ ãðàô³ê. Ç³ çì³íîþ ÷àñ-
òîòè ω çîâí³øíüî¿ ñèëè çì³íþºòüñÿ àìïë³òóäà âèìóøåíèõ êîëèâàíü. ßêùî öÿ
÷àñòîòà íàáëèæàºòüñÿ äî ÷àñòîòè â³ëüíèõ êîëèâàíü ñèñòåìè ω0 , òî çíàìåííèê
äðîáó íàáëèæóºòüñÿ äî íóëÿ. Ó öüîìó âèïàäêó àìïë³òóäà ð³çêî çá³ëüøóºòüñÿ,
ïðÿìóþ÷è äî íåñê³í÷åííîñò³ (ìàë. 211, êðèâà 1) çà óìîâè ω = ω0 .
ßêùî âðàõóâàòè ä³þ íà êîëèâíå ò³ëî ñèë îïîðó, ÿê³ ïåðåøêîäæàþòü çá³ëü-
øåííþ àìïë³òóäè êîëèâàíü, òî ç³ çá³ëüøåííÿì ñèë îïîðó çíà÷åííÿ ðåçîíàíñ-
íî¿ àìïë³òóäè çìåíøóâàòèìåòüñÿ (êðèâ³é 4 íà ìàë. 211 â³äïîâ³äàº ìàêñèìàëü-
íå çíà÷åííÿ ñèëè îïîðó).
Ðåçîíàíñ â³ä³ãðàº âàæëèâó ðîëü
ó ïðèðîä³ ³ òåõí³ö³. Ïîçèòèâíèìè
âèÿâàìè º ð³çí³ ðåçîíàòîðè, íàñòðî-
þâàííÿ êîëèâàëüíèõ êîíòóð³â ïðè
ðàä³îçâ’ÿçêó; íåãàòèâíèìè – ðóéíó-
âàííÿ ôóíäàìåíò³â ³ êîíñòðóêö³é óíà-
ñë³äîê êîëèâàííÿ. Â³äîì³ âèïàäêè,
êîëè ðóéíóâàëèñÿ ìîñòè ï³ä ÷àñ ïåðå-
õîäó ïî íèõ â³éñüêîâèõ, ÿê³ êðîêóâà-
ëè «â íîãó» ³ ïðè öüîìó ÷àñòîòà êðîêó
çá³ãàëàñÿ ç âëàñíîþ ÷àñòîòîþ êîëè-
âàíü ìîñò³â. Ó 1850 ð. çðóéíóâàâñÿ
Àíæåðñüêèé ï³äâ³ñíèé ì³ñò íàä Ëóà-
ðîþ, ïî ÿêîìó êðîêóâàëè ôðàíöóçü- Ìàë. 211. Ðåçîíàíñí³ êðèâ³

232
Ð Î Ç Ä ² Ë 4
ê³ ï³õîòèíö³. Òîä³ çàãèíóëî 226 îñ³á. Ó
1906 ð. çðóéíóâàâñÿ ëàíöþãîâèé ªãè-
ïåòñüêèé ì³ñò ÷åðåç ð³÷êó Ôîíòàíêó ó
Ïåòåðáóðç³. Ó 1940 ð. ÷åðåç, ê³ëüêà ì³-
ñÿö³â ï³ñëÿ ââåäåííÿ â ä³þ, çðóéíóâàâñÿ
Òàêîìñüêèé ï³äâ³ñíèé ì³ñò (ÑØÀ, øòàò
Âàøèíãòîí), â ÿêîìó âèíèêëè ðåçîíàíñ-
í³ êîëèâàííÿ ï³ä ä³ºþ â³òðó (ìàë. 212).
Êîíñòðóþþ÷è çàâîäè, âîêçàëè, ìîñ-
òè, ë³òàêè òà ³íø³ êîíñòðóêö³¿, íåîáõ³ä-
íî âðàõîâóâàòè ÿâèùå ðåçîíàíñó: ùîá ¿õ
âëàñíèé ïåð³îä êîëèâàíü íå çá³ãàâñÿ ç ïå-
ð³îäîì êîëèâàíü ìåõàí³çì³â, ÿê³ ìîæóòü
âèêëèêàòè âèìóøåí³ êîëèâàííÿ öèõ
êîíñòðóêö³é.
Àâòîêîëèâàëüí³ ñèñòåìè. Îòæå, íåçãàñàþ÷³ âèìóøåí³ êîëèâàííÿ ìîæíà
îòðèìàòè ï³ä ÷àñ ä³¿ íà ò³ëî, ÿêó ìîæóòü çä³éñíþâàòè â³ëüí³ êîëèâàííÿ, ïåð³î-
äè÷íî¿ çîâí³øíüî¿ ñèëè. Ïðîòå ìîæíà çðîáèòè òàê, ùîá êîëèâàëüíà ñèñòåìà
ñàìà êåðóâàëà çîâí³øí³ì âïëèâîì, çàáåçïå÷óþ÷è óçãîäæåí³ñòü ä³¿ ñèëè ç³ ñâî-
¿ì ðóõîì. Òàêà ñèñòåìà íàçèâàºòüñÿ àâòîêîëèâàëüíîþ, à çä³éñíåí³ íåþ íåçãàñà-
þ÷³ êîëèâàííÿ – àâòîêîëèâàííÿìè.
Àâòîêîëèâàííÿ – íåçãàñàþ÷³ êîëèâàííÿ, ñïðè-
÷èíåí³ ñòàëèì çîâí³øí³ì âïëèâîì íà ñèñòåìó, ÿêà
ñàìà ðåãóëþº ¿õ ÷àñòîòó.
Íà â³äì³ííó â³ä âèìóøåíèõ êîëèâàíü, ÷àñòîòà é àìïë³òóäà àâòîêîëèâàíü âèçíà-
÷àþòüñÿ âëàñòèâîñòÿìè ñàìî¿ êîëèâàëüíî¿ ñèñòåìè. Â³ä â³ëüíèõ êîëèâàíü àâòîêîëè-
âàííÿ â³äð³çíÿþòüñÿ òèì, ùî âîíè ç ÷àñîì íå çãàñàþòü, à òàêîæ òèì, ùî ¿õ àìïë³òóäà
íå çàëåæèòü â³ä ïî÷àòêîâîãî êîðîòêî÷àñíîãî âïëèâó, ÿêèé çáóäæóº êîëèâàííÿ.
Ó áóäü-ÿê³é àâ-
òîêîëèâàëüí³é ñèñ-
òåì³ âèîêðåìëþþòü
îñíîâí³ åëåìåíòè
(ìàë. 213, à): 1 – äæå-
ðåëî åíåðã³¿, 2 – ïåðå-
äàâàëüíèéïðèñòð³éç³
çâîðîòíèì çâ’ÿçêîì –
3, ÿêèé ðåãóëþº íàä-
õîäæåííÿ åíåðã³¿ ç
äæåðåëà ó êîëèâàëü-
íó ñèñòåìó, – 4.
Ïðèêëàäîì àâòî-
êîëèâàëüíî¿ ñèñòåìè
º ãîäèííèê ç ìàÿòíè-
êîì (ìàë. 213, á).
Ìàë. 212.
Ðóéíóâàííÿ Òàêîìñüêîãî ìîñòà
Ìàë. 213. à – ñõåìà
àâòîêîëèâàëüíî¿ ñèñòåìè;
á – àâòîêîëèâàëüíà ñèñòåìà
(ãîäèííèê ç ìàÿòíèêîì)

233
Äæåðåëîì åíåðã³¿ òàêî¿ ñèñòåìè º ãèðÿ 1, ïåðåäàâàëüíèì ïðèñòðîºì – õðà-
ïîâå êîëåñî 2 òà àíêåð 3, êîëèâàëüíîþ ñèñòåìîþ – ìàÿòíèê 4.
Ï³äíÿòà íàä çåìëåþ ãèðÿ, îïóñêàþ÷èñü, îáåðòàº õðàïîâå êîëåñî. Îñê³ëüêè
ãèðÿ â³ëüíî îïóñêàºòüñÿ, òî ¿¿ ðóõ º ð³âíîïðèñêîðåíèì. Ð³âíîì³ðíå îáåðòàííÿ
õðàïîâîãî êîëåñà çàáåçïå÷óº ìàÿòíèê, ÿêèé ç’ºäíàíî ç õðàïîâèì êîëåñîì ÷å-
ðåç àíêåð. Çà îäíó ñåêóíäó ìàÿòíèê çä³éñíþº îäíå ïîâíå êîëèâàííÿ. Çàâäàííÿ
àíêåðà ïîëÿãàº â òîìó, ùîá õðàïîâå êîëåñî, äî ÿêîãî êð³ïëÿòüñÿ ñòð³ëêè, ìî-
ãëî ïðè öüîìó ïîâåðíóòèñü ëèøå íà îäèí çóáåöü.
Ìàÿòíèêîâèé ìåõàí³çì íèí³ ùå âèêîðèñòîâóºòüñÿ ó ãîäèííèêàõ íà âåæàõ
àáî íàñò³ííèõ ãîäèííèêàõ. Çãîäîì ìàÿòíèêîâèé ìåõàí³çì ãîäèííèê³â çì³íèëè
íà ïðóæèííèé, åëåêòðîííèé, êâàðöîâèé.
Ó òåõí³ö³ çàñòîñîâóþòüñÿ åëåêòðîìåõàí³÷í³ àâòîêîëèâàëüí³ ñèñòåìè, â
ÿêèõ êîëèâàííÿ çä³éñíþº ìåõàí³÷íà ñèñòåìà, à íàäõîäæåííÿ åíåðã³¿ ðåãóëþ-
ºòüñÿ ñïåö³àëüíèì åëåêòðè÷íèì ïðèñòðîºì.
ßê³ êîëèâàííÿ íàçèâàþòü âèìóøåíèìè? Íàâåä³òü ïðèêëàäè âèìóøå-1.
íèõ êîëèâàíü.
Â³ä ÷îãî çàëåæèòü àìïë³òóäà âèìóøåíèõ êîëèâàíü?2.
Ùî íàçèâàþòü ðåçîíàíñîì? Çà ÿêèõ óìîâ â³í âèíèêàº?3.
Íàâåä³òü ïðèêëàäè ïîçèòèâíîãî ³ íåãàòèâíîãî ðåçîíàíñíèõ âèÿâ³â.4.
ßê³ êîëèâàííÿ íàçèâàþòüñÿ àâòîêîëèâàííÿìè?5.
Ùî âõîäèòü äî ñêëàäó àâòîêîëèâàëüíî¿ ñèñòåìè? Íàâåä³òü ïðèêëàäè6.
àâòîêîëèâàëüíèõ ñèñòåì.
§ 44 Механічні хвилі
Ïîøèðåííÿ ìåõàí³÷íèõ êîëèâàíü ó ïðóæíîìó ñåðåäîâèù³.
Âèäè õâèëü ³ ¿õ õàðàêòåðèñòèêè.
Ð³âíÿííÿ ïëîñêî¿ ãàðìîí³÷íî¿ õâèë³.
Â³äáèâàííÿ ìåõàí³÷íèõ õâèëü.
Äîñ³ ìè ðîçãëÿäàëè êîëèâàííÿ, ÿê³ çä³éñíþâàëèñÿ â îêðåìèõ êîëèâàëüíèõ
ñèñòåìàõ. Ó ïîâñÿêäåííîìó æèòò³ íàì á³ëüøå äîâîäèòüñÿ ìàòè ñïðàâó ç êîëè-
âàííÿìè, ÿê³ ïåðåäàþòüñÿ â³ä îäí³º¿ ñèñòåìè äî ³íøî¿. Íàïðèêëàä, êîëèâàííÿ
ïîïëàâêà ïåðåäàþòüñÿ ÷àñòèíêàì âîäè, çâóêîâ³ êîëèâàííÿ – êîëèâàííÿì áàðà-
áàííî¿ ïåðåòèíêè âóõà.
Òîìó ïîäàëüøå âèâ÷åííÿ êîëèâàëüíèõ ÿâèù ïðèñâÿ÷åíå ïðîöåñó ïîøè-
ðåííÿ êîëèâàíü.

234
Ð Î Ç Ä ² Ë 4
Ïîøèðåííÿ ìåõàí³÷íèõ êîëèâàíü ó ïðóæíîìó ñåðåäîâèù³. Îñíîâíîþ ô³-
çè÷íîþ ìîäåëëþ ðå÷îâèíè º ñóêóïí³ñòü àòîì³â ³ ìîëåêóë, ÿê³ áåçïåðåðâíî ³
õàîòè÷íî ðóõàþòüñÿ ³ âçàºìîä³þòü ì³æ ñîáîþ. Âèêîðèñòàííÿ ö³º¿ ìîäåë³ äàº
çìîãó ïîÿñíèòè íå ò³ëüêè âëàñòèâîñò³ ðå÷îâèíè â ð³çíèõ àãðåãàòíèõ ñòàíàõ, à
é ìåõàí³çì ïîøèðåííÿ ìåõàí³÷íèõ êîëèâàíü ó ïðîñòîð³.
Ùîá çðîçóì³òè ïðîöåñ ïîøèðåííÿ ìåõàí³÷íèõ êîëèâàíü, ðîçãëÿíåìî êî-
ëèâàííÿ êóëüîê, ïðóæíî çâ’ÿçàíèõ ì³æ ñîáîþ (ìàë. 214).
ßêùî â³äõèëèòè â³ä ïîëîæåííÿ ð³âíîâàãè ïåðøó êóëüêó òàê, ÿê ïîêàçàíî
íà ìàë. 214, òî âîíà, ó ðåçóëüòàò³ ïðóæíîãî çâ’ÿçêó ç ³íøèìè êóëüêàìè, âè-
êëè÷å ³ ¿õ ðóõ. Àëå îñê³ëüêè êîëèâàííÿ ïåðøî¿ êóëüêè ïåðåäàþòüñÿ ³íøèì íå
ìèòòºâî, à ïðîòÿãîì äåÿêîãî ÷àñó, òî êîëèâàííÿ ³íøèõ êóëüîê ïî÷èíàþòüñÿ ç
äåÿêèì çàï³çíåííÿì ³ ¿õ ïîëîæåííÿ ó ïðîñòîð³ ìàº ôîðìó õâèë³.
Ìåõàí³÷íà õâèëÿ – ïðîöåñ ïîøèðåííÿ êîëèâàíü
ó ïðóæíîìó ñåðåäîâèù³ ç ïëèíîì ÷àñó.
Ïðèêëàä íàéïîøèðåí³øèõ ìåõàí³÷íèõ õâèëü º çâóê, õâèë³ íà ïîâåðõí³ ð³-
äèí.
Ìåõàí³çì ïîøèðåííÿ ïðóæíî¿ õâèë³ ïîëÿãàº ó çáóäæåíí³ êîëèâàíü âíàñë³-
äîê äåôîðìàö³¿ ñåðåäîâèùà ³ ïåðåäà÷³ çáóðåíü ó ñóñ³äí³ éîãî ä³ëÿíêè. Êîëèâàííÿ
äæåðåë õâèëü ñïðè÷èíþþòü äåôîðìàö³þ ïðèëåãëèõ äî íüîãî ä³ëÿíîê ñåðåäîâè-
ùà. Óíàñë³äîê äåôîðìàö³¿ â ä³ëÿíêàõ ñåðåäîâèùà âèíèêàþòü ñèëè ïðóæíîñò³. Öå
ñïðè÷èíþº ïåðåì³ùåííÿ ÷àñòîê, ïðèëåãëèõ äî äåôîðìîâàíèõ ä³ëÿíîê. Òàêèì ÷è-
íîì, çáóäæåííÿ êîëèâàíü ÷àñòèíîê á³ëÿ äæåðåëà çóìîâëþº âèìóøåí³ êîëèâàííÿ
ñóñ³äí³õ ÷àñòèíîê, ò³, ó ñâîþ ÷åðãó, çáóäæóþòü êîëèâàííÿ íàñòóïíèõ ³ ò. ä. Ï³ä
÷àñ ïîøèðåííÿ õâèëü ÷àñòêè ñåðåäîâèùà êîëèâàþòüñÿ â³äíîñíî ñâî¿õ ïîëîæåíü
ð³âíîâàãè, òîìó ïåðåíåñåííÿ ðå÷îâèíè íå â³äáóâàºòüñÿ, õî÷ îñòàííº ³íîä³ ìîæå
â³äáóâàòèñÿ ÿê ñóïóòíº ÿâèùå ó âèïàäêó ñèëüíèõ çáóðåíü (óäàðíà õâèëÿ).
Ìàë. 214. Ñõåìà ïðîöåñó óòâîðåííÿ ìåõàí³÷íî¿ õâèë³

235
Âèäè õâèëü ³ ¿õ õàðàêòåðèñòèêè. Ïðóæíà õâèëÿ ìîæå áóòè ïîïåðå÷íîþ
(ìàë. 214), ÿêùî ÷àñòèíêè êîëèâàþòüñÿ ó ïëîùèíàõ, ïåðïåíäèêóëÿðíèõ äî
íàïðÿìó ïîøèðåííÿ õâèë³.
Íàïðÿì ïîøèðåííÿ õâèë³ íàçèâàþòü ïðîìåíåì.
Ïîïåðå÷í³ õâèë³ âèíèêà-
þòü ó ñåðåäîâèùàõ, äå ìîæëèâ³
ïðóæí³ äåôîðìàö³¿ çñóâó (òâåð-
äèõ ò³ëàõ ³ â ïîâåðõíåâèõ øàðàõ
ð³äèí). Ïðèêëàäîì òàêî¿ õâèë³ º
õâèëÿ, óòâîðåíà âíàñë³äîê êîëè-
âàííÿ øíóðà (ìàë. 215).
Ïîçäîâæíÿ õâèëÿ óòâîðþºòüñÿ, ÿêùî êîëèâàííÿ ÷àñòèíîê ñåðåäîâèùà â³äáó-
âàþòüñÿ ó íàïðÿì³ ïîøèðåííÿ õâèë³.
Íà ìîäåë³ ïðóæíîãî ò³ëà (ìàë. 216), ÿêå ñêëàäàºòüñÿ ç îäíàêîâèõ êóëüîê,
ïðóæíî ïîâ’ÿçàíèõ ì³æ ñîáîþ, ìîæíà ñïîñòåð³ãàòè ïðîöåñ ïîøèðåííÿ ïîçäî-
âæí³õ õâèëü. ßêùî øòîâõíóòè êðàéíþ ë³âó êóëüêó âïðàâî âçäîâæ ðÿäó êóëüîê,
òî âîíà ïî÷íå êîëèâàòèñü, äî òîãî æ ïðèâåäå ó êîëèâàëüíèé ðóõ ñóñ³äíþ êóëü-
êó, ÿêà ó ñâîþ ÷åðãó ïåðåäàñòü êîëèâàëüíèé ðóõ íàñòóïí³é ³ ò. ä. Ó ðåçóëüòàò³
âñ³ êóëüêè ïîñòóïîâî ïî÷íóòü êîëèâàòèñü, îäíàê íå îäíî÷àñíî, à òàê, ùî êîæíà
íàñòóïíà êóëüêà ïî÷íå êîëèâàííÿ äåùî ï³çí³øå çà ïîïåðåäíþ, òîìó êîëèâàòè-
ìóòüñÿ âîíè ç îäíèì ³ òèì ñàìèì ïåð³îäîì, àëå ç ð³çíèìè ôàçàìè. Íà ìàëþíêó
228 ïóíêòèðíèìè ë³í³ÿìè çîáðàæåí³ ãðàô³êè êîëèâàíü êóëüîê 1, 4, 7, 10 ³ 13.
Ïîçäîâæí³ õâèë³ âèíèêàþòü ó ñåðåäîâèùàõ, äå ìîæëèâ³ ïðóæí³ äåôîðìà-
ö³¿ ñòèñêó òà ðîçòÿãó. Ïðèêëàäîì ïîçäîâæíüî¿ ìåõàí³÷íî¿ õâèë³ º çâóê. Íà ìàë.
217 ïîêàçàíî ïîøèðåííÿ çâóêó â³ä óäàðó ìîëîòêà ïî ìåòàëåâîìó ñòåðæíþ.
Ìàë. 215. Ïîïåðå÷íà ìåõàí³÷íà õâèëÿ
Ìàë. 216. Ñõåìà ïðîöåñó óòâîðåííÿ ïîçäîâæíüî¿ ìåõàí³÷íî¿ õâèë³

236
Ð Î Ç Ä ² Ë 4
Ó ãàçàõ ³ ð³äèíàõ âèíèêàþòü ëèøå ïîçäîâæí³ õâèë³, ÿê³ º ÷åðãóâàííÿì ðîç-
ð³äæåíü ³ çãóùåíü ñåðåäîâèùà. Ó òâåðäèõ ò³ëàõ ìîæëèâ³ ÿê ïîçäîâæí³, òàê ³
ïîïåðå÷í³ ïðóæí³ õâèë³.
Äëÿ âèâ÷åííÿ õâèëüîâèõ ïðîöåñ³â ââîäÿòüñÿ â³äïîâ³äí³ âåëè÷èíè:
Äîâæèíà õâèë³ (λ) – öå â³äñòàíü íà ÿêó ïîøèðþ-
ºòüñÿ õâèëÿ ïðîòÿãîì îäíîãî ïåð³îäó êîëèâàíü:
λ = υT,
äå υ – øâèäê³ñòü ïîøèðåííÿ õâèë³; T – ïåð³îä êîëèâàíü äæåðåëà õâèë³.
Òî÷êè ñåðåäîâèùà, ÿê³ çíàõîäÿòüñÿ îäíà â³ä îäíî¿ íà â³äñòàí³, ùî äîð³âíþº
äîâæèí³ õâèë³, êîëèâàþòüñÿ â îäíàêîâèõ ôàçàõ (ìàë. 218).
Øâèäê³ñòü(υ)ïîøèðåííÿïðóæíî¿õâèë³çàëåæèòü
â³ä ïðóæíèõ âëàñòèâîñòåé ³ ãóñòèíè ñåðåäîâèùà:
υ =
ρ
E
,
äå Å – ìîäóëü Þíãà (õàðàêòåðèçóº ïðóæí³ âëàñòèâîñò³ ñåðåäîâèùà); ρ – ãóñòè-
íà ñåðåäîâèùà.
Øâèäê³ñòü çâóêó ó ïîâ³òð³ ïðè 0 °Ñ ñòàíîâèòü 331 ì/ñ, çà òåìïåðàòóðè
20 °Ñ – 340 ì/ñ; ó âèðîáàõ ç³ ñòàë³ – 5500 ì/ñ. Â îäíîð³äíîìó ñåðåäîâèù³ â³ä
òî÷êè, ÿêà êîëèâàºòüñÿ, êîëèâàííÿ ïîøèðþþòüñÿ â óñ³õ íàïðÿìêàõ ç³ ñòàëîþ
øâèäê³ñòþ.
Ôðîíò õâèë³ – ãåîìåòðè÷íå ì³ñöå òî÷îê, äî ÿêèõ
íà ïåâíèé ìîìåíò ÷àñó ä³éøëè êîëèâàííÿ.
Äîñèòü íàî÷íèìè ³ çíà-
éîìèìè º õâèë³ íà ïîâåðõ-
í³ âîäè. Äëÿ äåìîíñòðàö³¿
³ äîñë³äæåííÿ òàêèõ õâèëü
âèêîðèñòîâóþòü íåãëèáîêó
âàííî÷êó, çàïîâíåíó âîäîþ
(ìàë. 219). ßêùî äî ïîâåðõ-
í³ âîäè äîòèêàºòüñÿ òî÷êîâå
äæåðåëî, ùî ïåð³îäè÷íî êî-
ëèâàºòüñÿ, òî óòâîðþþòüñÿ
Ìàë. 217. Ïîçäîâæíÿ çâóêîâà õâèëÿ Ìàë. 218. Ãðàô³÷íå çîáðàæåííÿ
äîâæèíè õâèë³
Ìàë. 219.
Óòâîðåííÿ:
à – ñôåðè÷íî¿,
á – ïëîñêî¿
õâèëüá
à

237
ñôåðè÷í³ õâèë³ (ìàë. 219, à), ÿêùî äæåðåëîì º ïëàñòèíà, ùî ïåð³îäè÷íî êîëèâà-
ºòüñÿ, òî óòâîðþþòüñÿ ïëîñê³ õâèë³ (ìàë. 219, á).
Ôðîíò õâèë³ â³ä òî÷êîâîãî äæåðåëà â îäíîð³äíîìó ñåðåäîâèù³ – ñôåðà.
Ïëîñêà õâèëÿ – õâèëÿ, ôðîíòîì ÿêî¿ ïëîùèíà.
Ð³âíÿííÿ ïëîñêî¿ ãàðìîí³÷íî¿ õâèë³. ßêùî êîëèâàííÿ ñåðåäîâèùà ñïðè÷è-
íþþòüñÿ ïåð³îäè÷íîþ çîâí³øíüîþ ñèëîþ, ÿêà çì³íþºòüñÿ ç ÷àñîì çà ãàðìîí³÷-
íèì çàêîíîì, òî õâèë³, ÿê³ âîíà âèêëèêàº, íàçèâàþòü ãàðìîí³÷íèìè. Ó öüîìó
âèïàäêó â êîæí³é òî÷ö³ ñåðåäîâèùà â³äáóâàþòüñÿ ãàðìîí³÷í³ êîëèâàííÿ ç ÷àñ-
òîòîþ çîâí³øíüîãî âïëèâó. Ãàðìîí³÷í³ õâèë³ º íàéïðîñò³øèì ³ âàæëèâèì âèäîì
õâèëüîâîãî ðóõó, òîìó îáìåæèìîñü ó ïîäàëüøîìó ðîçãëÿäîì ñàìå öèõ õâèëü.
ßêùî äæåðåëî êîëèâàíü çä³éñíþº ãàðìîí³÷í³ êî-
ëèâàííÿ x = õm
sinωt, òî ð³âíÿííÿ õâèë³ âèçíà÷àº
ïîëîæåííÿ êîëèâíî¿ òî÷êè, ÿêà çíàõîäèòüñÿ íà
â³äñòàí³ l â³ä äæåðåëà ó áóäü-ÿêèé ìîìåíò ÷àñó t:
sin2 ( )m
t l
x x
T T
= π −
υ
,
àáî sin2 ( )m
t l
x x
T
= π −
λ
.
Â³äáèâàííÿ ìåõàí³÷íèõ õâèëü. Ïîøèðþþ÷èñü ó ïðîñòîð³, ìåõàí³÷íà õâè-
ëÿ ìîæå ä³éòè äî ìåæ³, äå ïî÷èíàòèìåòüñÿ ³íøå ñåðåäîâèùå. Ó òàêîìó âèïàäêó
ìåõàí³÷í³ õâèë³ ìîæóòü â³äáèâàòèñÿ. Áóâàþòü äâà òèïîâ³ âèïàäêè â³äáèâàííÿ:
â³äáèâàííÿ ç âòðàòîþ ï³âõâèë³, òîáòî ï³ñëÿ â³äáèâàííÿ ôàçà êîëèâàíü ôðîí-
òó õâèë³ çì³íþºòüñÿ íà ïðîòèëåæíó (íàïðèêëàä, õâèëÿ ïîøèðþºòüñÿ ïî øíóðó
îïóêë³ñòþ âïåðåä, à ï³ñëÿ â³äáèâàííÿ â³ä ïîâåðõí³ – á³æèòü âïåðåä çàïàäèíîþ),
â³äáèâàííÿ áåç âòðàòè ï³âõâèë³ (ÿêùî õâèëÿ äî â³äáèâàííÿ ïîøèðþâàëàñü
îïóêë³ñòþ âïåðåä, òî é ï³ñëÿ â³äáèâàííÿ âîíà ïîøèðþºòüñÿ îïóêë³ñòþ âïåðåä).
Ñòîÿ÷à õâèëÿ – õâèëÿ, ùî óòâîðþºòüñÿ â ðåçóëü-
òàò³ íàêëàäàííÿ îñíîâíî¿ ³ â³äáèòî¿ õâèëü, ÿê³ ïî-
øèðþþòüñÿ íàçóñòð³÷ îäíà îäí³é, ìàþòü îäíàêîâ³
ïåð³îäè é àìïë³òóäè (ìàë. 220).
Ñòîÿ÷à õâèëÿ ìàº òî÷êè, â ÿêèõ àìï-
ë³òóäà êîëèâàíü íàéá³ëüøà (ïó÷íîñò³) ³
â ÿêèõ âîíà äîð³âíþº íóëþ (âóçëè).
Îñê³ëüêè ïðÿìà ³ â³äáèòà õâèë³ ïåðå-
íîñÿòü åíåðã³þ ó âçàºìíî ïðîòèëåæíèõ
íàïðÿìàõ, òî ñòîÿ÷à õâèëÿ åíåðã³¿ íå ïå-
ðåíîñèòü, õî÷ ì³æ îêðåìèìè òî÷êàìè îá-
ì³í åíåðã³ºþ â³äáóâàºòüñÿ.
Ñòîÿ÷³ õâèë³ óòâîðþþòüñÿ çà óìîâè, ùî ë³í³éí³ ðîçì³ðè ò³ëà L, ó ÿêîìó ïî-
øèðþºòüñÿ õâèëÿ, êðàòí³ λ/4, òîáòî íà â³äñòàí³ â³ä äæåðåëà õâèëü äî ìåæ³, â³ä
ÿêî¿ õâèë³ â³äáèâàþòüñÿ, âì³ùóºòüñÿ ö³ëå ÷èñëî ÷âåðòåé äîâæèíè õâèë³.
Ìàë. 220. Óòâîðåííÿ ñòîÿ÷î¿ õâèë³

238
Ð Î Ç Ä ² Ë 4
Ñòîÿ÷³ õâèë³ âèêîðèñòîâóþòü äëÿ âèçíà÷åííÿ äîâæèíè ïðóæíèõ õâèëü,
øâèäêîñò³ ïîøèðåííÿ õâèëü, âèâ÷åííÿ ïðóæíèõ âëàñòèâîñòåé ò³ë òîùî. Ìå-
õàí³çì ¿õ óòâîðåííÿ ïîêëàäåíî â îñíîâó êîíñòðóþâàííÿ ñòðóííèõ ³ äóõîâèõ
ìóçè÷íèõ ³íñòðóìåíò³â, îðãàíà.
Ïîÿñí³òü ìåõàí³çì óòâîðåííÿ ïðóæíèõ ìåõàí³÷íèõ õâèëü.1.
Ó ÷îìó ïîëÿãàº â³äì³íí³ñòü ì³æ ïîçäîâæíüîþ òà ïîïåðå÷íîþ õâèëÿìè?2.
Ó ÿêèõ ñåðåäîâèùàõ ìîæóòü ïîøèðþâàòèñÿ ïîçäîâæí³ õâèë³, à ó ÿêèõ – ïî-
ïåðå÷í³?
Ùî íàçèâàþòü äîâæèíîþ õâèë³?3.
Â³ä ÷îãî çàëåæèòü øâèäê³ñòü ïîøèðåííÿ õâèë³ ó ïðóæíîìó ñåðåäî-4.
âèù³?
Ùî òàêå ôðîíò õâèë³?5.
ßê óòâîðþþòüñÿ ñòîÿ÷³ õâèë³?6.
§ 45 Звук
Óòâîðåííÿ çâóêîâèõ õâèëü. Øâèäê³ñòü çâóêó.
Â³äáèâàííÿ çâóêîâèõ õâèëü.
Àêóñòè÷í³ (ô³çè÷í³) òà ô³ç³îëîã³÷í³ õàðàêòåðèñòèêè çâóêó.
Àêóñòè÷íèé (çâóêîâèé) ðåçîíàíñ.
Óòâîðåííÿ çâóêîâèõ õâèëü. Øâèäê³ñòü çâóêó. Çâóê – öå ìåõàí³÷í³ õâèë³,
ùî ïîøèðþþòüñÿ ó ïðóæíîìó ñåðåäîâèù³.
Çâóêîâà õâèëÿ (àáî ïðîñòî çâóê) âèíèêàº çàâäÿêè ìåõàí³÷íèì êîëèâàí-
íÿì ð³çíèõ ò³ë. Ïðîòå íå áóäü-ÿê³ ìåõàí³÷í³ êîëèâàííÿ ñòâîðþþòü çâóê ³ íå çà
áóäü-ÿêèõ óìîâ. Ðîçãëÿäàþ÷è êîëèâàííÿ ìàÿòíèêà, ìîæíà ïîì³òèòè, ùî çâó-
êîâ³ êîëèâàííÿ â öüîìó âèïàäêó íå âèíèêàþòü, õî÷ àìïë³òóäà òàêèõ êîëèâàíü
ìîæå áóòè é âåëèêîþ. Îòæå, àìïë³òóäà íå º ò³ºþ îñíîâíîþ õàðàêòåðèñòèêîþ,
çà ÿêîþ â³äð³çíÿþòü çâóêîâ³ êîëèâàííÿ â³ä ïðîñòî ìåõàí³÷íèõ.
Ñïðèéìàòèñÿ îðãàíàìè ñëóõó ëþäèíè ÿê çâóê ìîæóòü êîëèâàííÿ â ñåðå-
äîâèù³ ÷àñòîòîþ â³ä 16 äî 20 000 Ãö òà ³íòåíñèâí³ñòþ ² = 10−12
...102
Âò/ì2
.
Çâóêîâ³ õâèë³ ó ïîâ³òð³ – ïîçäîâæí³.
Çâóêîâ³ õâèë³, ïîøèðþþòüñÿ ç ïåâíîþ øâèäê³ñòþ, ÿêà íàçèâàºòüñÿ øâèä-
ê³ñòþ çâóêó, òîáòî íà ïîøèðåííÿ êîëèâàíü â³ä äæåðåëà ïîòð³áåí ïåâíèé ÷àñ.
Íàïðèêëàä, ìè íå ðàç ïîì³÷àëè, ùî ñïî÷àòêó âèäíî ñïàëàõ â³ä ïîñòð³ëó, à ÷å-
ðåç ïåâíèé ÷àñ ÷óòè é çâóê; áëèñêàâêó ìè áà÷èìî ðàí³øå, í³æ ÷óºìî ãóðê³ò
ãðîìó.
Øâèäê³ñòü çâóêó çàëåæèòü â³ä ñåðåäîâèùà, ó ÿêîìó â³í ïîøèðþºòüñÿ.

239
Ó òàáëèö³ íàâåäåíî çíà÷åííÿ øâèäêîñò³ ïîøèðåííÿ çâóêîâèõ õâèëü ó ð³ç-
íèõ ñåðåäîâèùàõ.
Òâåðäå
ò³ëî
υ, ì/ñ
Ð³äèíà
(ïðè 20 °Ñ)
υ, ì/ñ
Ãàç
(ïðè 0 °Ñ)
υ, ì/ñ
Çàë³çî 5850 Âîäà ìîðñüêà 1451 Ïîâ³òðÿ 331
Ë³ä 3980 Ðòóòü 1451 Êèñåíü 316
Ñêëî 5990 Ñïèðò 1180 Âîäåíü 1284
Øâèäê³ñòü ïîøèðåííÿ çâóêó çàëåæèòü â³ä òåìïåðàòóðè ñåðåäîâèùà. Íà-
ïðèêëàä, øâèäê³ñòü ïîøèðåííÿ çâóêó â ð³äèíàõ (çà âèíÿòêîì âîäè) ç ï³äâè-
ùåííÿì òåìïåðàòóðè çìåíøóºòüñÿ, à â ãàçàõ øâèäê³ñòü ïîøèðåííÿ çâóêó ïðè
íåçì³ííîìó òèñêîâ³ ç ï³äâèùåííÿì òåìïåðàòóðè çá³ëüøóºòüñÿ.
ª ìàòåð³àëè, ÿê³ ïîãàíî ïðîâîäÿòü çâóê, îñê³ëüêè êîëèâàííÿ ó íèõ øâèäêî
çãàñàþòü. Íàïðèêëàä, ïîðèñò³ ïàíåë³, ï³íîïëàñò âèêîðèñòîâóþòü äëÿ çâóêî³çî-
ëÿö³¿, òîáòî äëÿ çàõèñòó ïðèì³ùåíü â³ä ïðîíèêíåííÿ â íèõ ñòîðîíí³õ çâóê³â.
Â³äáèâàííÿ çâóêîâèõ õâèëü. ßêùî çâóêîâà õâèëÿ ïîøèðþºòüñÿ â ÿêîìó-
íåáóäü ñåðåäîâèù³, òî ðàíî ÷è ï³çíî âîíà ä³éäå äî ìåæ³ öüîãî ñåðåäîâèùà, çà
ÿêèì ïî÷èíàºòüñÿ ³íøå. Öå ³íøå ñåðåäîâèùå ñêëàäàºòüñÿ ç ³íøèõ ÷àñòèíîê, ³
øâèäê³ñòü ïîøèðåííÿ çâóêó â íüîìó ³íøà. Íà òàê³é ìåæ³ ñïîñòåð³ãàºòüñÿ â³äáè-
âàííÿ çâóêîâî¿ õâèë³ ïîä³áíî äî â³äáèâàííÿ ñâ³òëà íà ìåæ³ ïîâ³òðÿ ³ äçåðêàëà.
Â³äáèâàííÿ â³äáóâàºòüñÿ òîìó, ùî êîëèâàííÿ çâóêîâî¿ õâèë³ ïåðåäàþòü-
ñÿ ÷àñòèíêàì ³íøîãî ñåðåäîâèùà. Ö³ ÷àñòèíêè ñàì³ ñòàþòü äæåðåëàìè íîâî¿
(âòîðèííî¿) çâóêîâî¿ õâèë³. Âòîðèííà õâèëÿ ïîøèðþºòüñÿ íå ò³ëüêè â äðóãîìó
ñåðåäîâèù³, à é ó ïåðøîìó, çâ³äêè íàä³éøëà ïåðâèííà õâèëÿ. Öå ³ º â³äáèòà
õâèëÿ.
Ç â³äáèâàííÿì çâóêó ïîâ’ÿçàíå â³äîìå âñ³ì ÿâèùå – ëóíà. Âîíî ïîëÿãàº â
òîìó, ùî çâóê â³ä äæåðåëà äîõîäèòü äî äåÿêî¿ ïåðåøêîäè (êðàþ ë³ñó, ñò³íè,
ãîðè òîùî), â³äáèâàºòüñÿ â³ä íå¿ é ïîâåðòàºòüñÿ äî ì³ñöÿ, äå âèíèêëè çâóêîâ³
êîëèâàííÿ. ßêùî ïåðâèííèé ³ â³äáèòèé çâóêè äîõîäÿòü äî ñëóõà÷à íå îäíî-
÷àñíî, òî â³í ÷óº çâóê äâ³÷³. Áóâàþòü âèïàäêè, êîëè çâóê â³äáèâàºòüñÿ ê³ëüêà
ðàç³â, òîä³ é ïî÷óòè éîãî ìîæíà ê³ëüêà ðàç³â (íàïðèêëàä, ãóðê³ò ãðîìó).
Íà ìåæ³ ïîä³ëó äâîõ ñåðåäîâèù çâóê íå ò³ëüêè â³äáèâàºòüñÿ, à é ïîãëèíà-
ºòüñÿ, ïðîíèêàþ÷è â ³íøå ñåðåäîâèùå. Íàïðèêëàä, îøòóêàòóðåíà ñò³íà ïîãëè-
íàº ìàéæå 8 % åíåðã³¿ çâóêîâèõ õâèëü, à êèëèì – 20 %.
Àêóñòè÷í³ (ô³çè÷í³) òà ô³ç³îëîã³÷í³ õàðàêòåðèñòèêè çâóêó. Çà ô³çè÷íèìè
(àêóñòè÷íèìè) ïàðàìåòðàìè çâóê õàðàêòåðèçóºòüñÿ ÷àñòîòîþ òà ³íòåíñèâ-
í³ñòþ.
Çà ô³ç³îëîã³÷íèì â³ä÷óòòÿì çâóê ìàº ïåâíó âèñîòó, ãó÷í³ñòü ³ òåìáð.
²íòåíñèâí³ñòü çâóêó (ñèëà çâóêó) ² – ô³çè÷íà
âåëè÷èíà, ùî õàðàêòåðèçóº ïåðåíåñåííÿ åíåðã³¿ E
çâóêîâîþ õâèëåþ çà îäèíèöþ ÷àñó t ÷åðåç îäèíèöþ
ïëîù³ S, ÿêà ïåðïåíäèêóëÿðíà äî íàïðÿìó ïîøè-
ðåííÿ çâóêó: I = E/St.
.
Îäèíèöåþ ³íòåíñèâíîñò³ º âàò íà êâàäðàòíèé ìåòð, [ I ] = 1 Âò/ì2
.

240
Ð Î Ç Ä ² Ë 4
Ïñèõîô³ç³îëîã³÷íà õàðàêòåðèñòèêà, ùî â³äïîâ³äàº
³íòåíñèâíîñò³ çâóêó, íàçèâàºòüñÿ ãó÷í³ñòþ çâóêó.
Îäèíèöåþ ãó÷íîñò³ çâóêó º äåöèáåë, ÿêà íàçâàíà íà ÷åñòü àìåðèêàíñüêîãî
â÷åíîãî Àëåêñàíäåðà Ãðåéàìà Áåëëà – âèíàõ³äíèêà òåëåôîíó òà ñëóõîâîãî àïà-
ðàòà äëÿ ãëóõèõ.
Ãó÷í³ñòü çâóêó âèçíà÷àºòüñÿ
ñåðåäí³ì òèñêîì çâóêó íà îðãàíè
ñëóõó ëþäèíè, òîìó º ïîíÿòòÿì
ñóá’ºêòèâíèì. Îäèí ³ òîé ñàìèé çâóê
îäí³é ëþäèí³ ìîæå çäàâàòèñü ãó÷-
íèì, à ³íø³é – òèõèì.
×óòëèâ³ñòü îðãàí³â ñëóõó ëþ-
äèíè ìàº íèæí³é ³ âåðõí³é ïî-
ðîãè ÷óòíîñò³. Âèçíà÷åíî, ùî
íèæí³é ïîð³ã ÷óòíîñò³ çàëåæèòü
â³ä ÷àñòîòè çâóêó ³ äîð³âíþº
2 · 10−5
Âò/ì2
ó ìåæàõ ÷àñòîò â³ä 700
äî 6000 Ãö. Âåðõí³é ïîð³ã ÷óòíîñ-
ò³ (áîëüîâå â³ä÷óòòÿ) äîñÿãàº ïðè-
áëèçíî 100 Âò/ì2
.
Íà ìàë. 221 ïîêàçàíî, ÿê ñïðèé-
ìàþòüñÿ ëþäèíîþ çâóêè ð³çíî¿ ãó÷íîñò³ (ó Äá) ³ ÷àñòîòè (ó Ãö). Íèæíÿ ë³í³ÿ íà
ìàëþíêó â³äïîâ³äàº íèæíüîìó ïîðîãó ÷óòíîñò³, à âåðõíÿ – âåðõíüîìó.
Ãó÷í³ñòü çâóêó øåëåñòó ëèñòÿ îö³íþºòüñÿ 10 äÁ, øåïîòó, âóëè÷íîãî øóìó –
70 äÁ. Øóì ãó÷í³ñòþ 130 äÁ â³ä÷óâàºòüñÿ øê³ðîþ ³ âèêëèêàº áîëüîâ³ â³ä÷óòòÿ.
Âèñîòà çâóêó – ô³ç³îëîã³÷íèé ïàðàìåòð çâóêó,
ùî âèçíà÷àºòüñÿ ÷àñòîòîþ çâóêîâî¿ õâèë³. Á³ëüø³é
÷àñòîò³ â³äïîâ³äàº á³ëüøà âèñîòà çâóêó.
Çâóêîâ³ õâèë³, ÿê ïðàâèëî, ìàþòü ñêëàäíó ôîðìó. Àëå êîæíå êîëèâàííÿ
ìîæíà ïîäàòè ÿê ñóìó ñèíóñî¿äàëüíèõ õâèëü.
Ìóçè÷í³ çâóêè – öå ïåð³îäè÷í³ êîëèâàííÿ, ùî º ñóìîþ ñèíóñî¿äàëüíèõ êî-
ëèâàíü.
Îêðåìà ñèíóñî¿äàëüíà çâóêîâà õâèëÿ íàçèâàºòüñÿ ÷èñòèì òîíîì.
Ó âèïàäêó ñêëàäíîãî ìóçè÷íîãî çâóêó âèñîòà âèçíà÷àºòüñÿ ÷àñòîòîþ îñíîâíî-
ãî òîíó (ïåðøî¿ ãàðìîí³êè) – íàéìåíøîþ ÷àñòîòîþ ñêëàäíîãî çâóêó. Òîíè, ùî ñó-
ïðîâîäæóþòü îñíîâíèé, íàçèâàþòüñÿ îáåðòîíàìè (âèùèìè ãàðìîí³êàìè).
Òåìáð çâóêó – õàðàêòåðèñòèêà «â³äò³íêó» çâó-
êó îäíàêîâî¿ âèñîòè, ùî âèçíà÷àºòüñÿ ÷àñòîòíèì
ñêëàäîì ³ àìïë³òóäîþ îáåðòîí³â.
Çàâäÿêè òåìáðó ðîçð³çíÿþòü çâóêè ð³çíèõ ìóçè÷íèõ ³íñòðóìåíò³â, ãîëîñè
ëþäåé.
Ñèëà çâóêó âèçíà÷àºòüñÿ àìïë³òóäîþ êîëèâàíü. ×èì á³ëüøà àìïë³òóäà êî-
ëèâàíü, òèì ãó÷í³øèé çâóê.
Ìàë. 221. Ñïðèéíÿòòÿ ëþäèíîþ çâóê³â
ð³çíî¿ ãó÷íîñò³ ³ ÷àñòîòè

241
Àêóñòè÷íèé (çâóêîâèé) ðåçîíàíñ. Äëÿ êîæíî¿ êîëèâàëüíî¿ ñèñòåìè õàðàê-
òåðíà âëàñíà ÷àñòîòà êîëèâàíü. ßêùî íà òàêó êîëèâàëüíó ñèñòåìó ïàäàº çâóêî-
âà õâèëÿ ç òàêîþ ñàìîþ ÷àñòîòîþ, òî ó í³é âèíèêàº çâóêîâèé ðåçîíàíñ: çâóêîâ³
êîëèâàííÿ ï³äñèëþþòüñÿ ³ çâó÷àòü äîâøå. Òàê³ êîëèâàëüí³ ñèñòåìè íàçèâàþòü
àêóñòè÷íèìè ðåçîíàòîðàìè. Àêóñòè÷íèì ðåçîíàòîðîì º òðóáè äóõîâèõ ³í-
ñòðóìåíò³â, îðãàíà, êîðïóñè ñêðèïîê, ã³òàð. Ïîðîæíèíà ðîòà ëþäèíè – òàêîæ
ðåçîíàòîð äëÿ ãîëîñîâèõ çâ’ÿçîê.
ßê³ êîëèâàííÿ íàçèâàþòü çâóêîâèìè?1.
Â³ä ÷îãî çàëåæèòü øâèäê³ñòü ïîøèðåííÿ çâóêîâèõ êîëèâàíü?2.
Íàçâ³òü àêóñòè÷í³ òà ô³ç³îëîã³÷í³ õàðàêòåðèñòèêè çâóêó.3.
Çàäà÷à. Â³äñòàíü ì³æ ãðåáåíÿìè õâèëü äîð³âíþº 5 ì. ßêùî ìîòîðíèé ÷î-
âåí ðóõàºòüñÿ ïðîòè õâèë³, òî ÷àñòîòà óäàð³â õâèëü ñòàíîâèòü 4 ñ−1
, ÿêùî çà
õâèëåþ – 2 ñ−1
. Âèçíà÷èòè øâèäêîñò³ ðóõó ìîòîðíîãî ÷îâíà ³ õâèë³.
Äàíî:
ν1
= 4 ñ−1
;
ν2
= 2 ñ−1
;
λ = 5 ì
Â³äíîñíà øâèäê³ñòü ðóõó ÷îâíà ï³ä ÷àñ éîãî ðóõó çà õâèëåþ ³
ïðîòè íå¿ âèçíà÷àºòüñÿ:
υ + υ = λν
υ − υ = λν
1 2 1
1 2 2
. Çâ³äñè
ν + ν
υ = λ1 2
1
2
,
ν − ν
υ = λ1 2
2
2
.
υ1
– ?; υ2
– ?
Îòæå, υ1
= 15 ì/ñ; υ2
= 5 ì/ñ.
Â³äïîâ³äü: øâèäê³ñòü ÷îâíà 15 ì/ñ, õâèë³ – 5 ì/ñ.
Вправа 39
1. Ðèáàëêà ïîì³òèâ, ùî çà 10 ñ ïîïëàâîê çðîáèâ íà õâèëÿõ 20 êîëèâàíü, à
â³äñòàíü ì³æ ñóñ³äí³ìè ãðåáåíÿìè õâèëü äîð³âíþº 1,2 ì. ßêà øâèäê³ñòü ïîøè-
ðåííÿ õâèëü?
2. Â³äñòàíü ì³æ ãðåáåíÿìè õâèëü ó ìîð³ äîð³âíþº 5 ì. Êîëè êàòåð ³äå ïðîòè
õâèë³, òî âîíà çà 1 ñ óäàðÿºòüñÿ îá éîãî êîðïóñ 4 ðàçè, à êîëè çà õâèëåþ, – òî
äâ³÷³. Âèçíà÷èòè øâèäê³ñòü ðóõó êàòåðà ³ ïîøèðåííÿ õâèë³.
3. Íà â³äñòàí³ 1068 ì â³ä ñïîñòåð³ãà÷à âäàðÿþòü ìîëîòêîì ïî ñòàëåâ³é ðåé-
ö³. Ñïîñòåð³ãà÷, ïðèêëàâøè âóõî äî ðåéêè, ïî÷óâ çâóê íà 3 ñ ðàí³øå, í³æ â³í
ä³éøîâ äî íüîãî ÷åðåç ïîâ³òðÿ. ×îìó äîð³âíþº øâèäê³ñòü ïîøèðåííÿ çâóêó â
ñòàë³? Øâèäê³ñòü ïîøèðåííÿ çâóêó â ïîâ³òð³ âçÿòè ð³âíîþ 333 ì/ñ.
4. ßêà ãëèáèíà êðèíèö³, ÿêùî çâóê ïëåñêîòó ÷óòíî ÷åðåç 4,5 ñ ï³ñëÿ ïî-
÷àòêó ïàä³ííÿ êàìåíÿ?
5. Çâóê ïîñòð³ëó ³ êóëÿ îäíî÷àñíî äîñÿãàþòü âèñîòè 680 ì. Ïîñòð³ë çä³é-
ñíåíî âåðòèêàëüíî âãîðó. ßêà ïî÷àòêîâà øâèäê³ñòü ðóõó êóë³? Øâèäê³ñòü ïî-
øèðåííÿ çâóêó â ïîâ³òð³ – 340 ì/ñ. Îïîðîì ðóõîâ³ êóë³ çíåõòóâàòè.
6. Âèì³ðþþ÷è ãëèáèíó ìîðÿ ï³ä êîðàáëåì çà äîïîìîãîþ åõîëîòà, âèÿâèëè,
ùî ìîìåíòè íàäñèëàííÿ ³ ïðèéìàííÿ óëüòðàçâóêó ðîçä³ëåí³ ³íòåðâàëîì ÷àñó
0,6 ñ. ßêà ãëèáèíà ìîðÿ ï³ä êîðàáëåì?

242
Ð Î Ç Ä ² Ë 4
§ 46 Інфразвукові та ультразвукові хвилі
²íôðàçâóê òà éîãî ïðàêòè÷íå âèêîðèñòàííÿ.
Óëüòðàçâóê òà éîãî ïðàêòè÷íå âèêîðèñòàííÿ.
Øóì.
²íôðàçâóê òà éîãî ïðàêòè÷íå âèêîðèñòàííÿ.
Çâóêîâ³ õâèë³ ç ÷àñòîòîþ, íèæ÷îþ â³ä çâóêîâîãî
ä³àïàçîíó (ν < 16 Ãö), íàçèâàþòü ³íôðàçâóêîì.
Äæåðåëàìè ³íôðàçâóêó º çåìëåòðóñè, âèâåðæåííÿ âóëêàí³â, à òàêîæ õâèë³,
ÿê³ âèíèêàþòü ï³ä ÷àñ â³áðàö³¿ ìàñèâíèõ âåðñòàò³â, êîìïðåñîð³â òà ³íøîãî óñòàò-
êóâàííÿ. Ö³ õâèë³ ñïðè÷èíþþòü ÿâèùà, ÿê³ ñóïðîâîäæóþòüñÿ ðóõîì ³ ïîäðàçíåí-
íÿì âíóòð³øí³õ îðãàí³â ëþäèíè. Ëþäèíà íå ÷óº öèõ êîëèâàíü, àëå ðåàãóº íà íèõ
íåïðèºìíèìè â³ä÷óòòÿìè. Ìîæëèâî, ùî ö³ êîëèâàííÿ â³ä÷óâàþòü äåÿê³ òâàðèíè:
â³äîìî, ùî ñîáàêè òà ê³øêè ïåðåä çåìëåòðóñîì íàìàãàþòüñÿ âòåêòè ç äîìó.
Äëÿ³íôðàçâóêóõàðàêòåðíåñëàáêåïîãëèíàííÿóð³çíèõñåðåäîâèùàõ,àòîìó
ó âîä³, ïîâ³òð³, çåìí³é êîð³ â³í ïîøèðþºòüñÿ íà çíà÷í³ â³äñòàí³. Öå âèêîðèñòî-
âóºòüñÿ äëÿ âèçíà÷åííÿ ì³ñöü âèáóõ³â, ïîâ³äîìëåííÿ ïðî íàáëèæåííÿ öóíàì³ òà
äîñë³äæåííÿ âåðõí³õ øàð³â àòìîñôåðè, âëàñòèâîñòåé âîäíîãî ñåðåäîâèùà.
Ç íåçâè÷àéíèì ôåíîìåíîì íåð³äêî çóñòð³÷àþòüñÿ æèòåë³ ï³âíî÷³. Óçèìêó,
ï³ä ÷àñ äîâãî¿ ïîëÿðíî¿ íî÷³, êîëè âèíèêàº ï³âí³÷íå ñÿéâî, äåÿê³ ëþäè âïàäà-
þòü ó äèâíèé ñòàí. Âîíè í³áè çîâñ³ì â³äìåæîâàí³ â³ä íàâêîëèøíüîãî ñâ³òó,
çáóäæåíî ðîçìîâëÿþòü ç íåâèäèìèìè ñï³âðîçìîâíèêàìè, õèòàþòüñÿ â òàêò
ìóçèêè, ÿêó ÷óþòü ëèøå âîíè. Áóâàº, áðîäÿòü, ÿê ñíîâèäè, éäóòü ³ç äîìó. Êîëè
ïðèõîäÿòü äî òÿìè, òî çãàäóþòü, ùî ÷óëè êàçêîâ³ çâóêè ³ ï³äêîðÿëèñÿ Ïîëÿð-
í³é çîð³, ÿêà êëèêàëà ¿õ ó çåìëþ ïðåäê³â. Íàóêîâö³ ïîÿñíþþòü öåé ôåíîìåí
òàê: ïîëÿðí³ ñÿéâà ñóïðîâîäæóþòüñÿ ³íôðàçâóêîì. Éîãî ëþäèíà íå ñïðèéìàº
îðãàíàìè ñëóõó, àëå â³í á³îëîã³÷íî àêòèâíèé. Ìîçîê ³ ñåðöåâî-ñóäèííà ñèñòå-
ìà ëþäèíè ïî-îñîáëèâîìó ñïðèéìàþòü çâó÷àííÿ â ³íôðàçâóêîâîìó ä³àïàçîí³, à
òîìó íàñë³äêè äëÿ îðãàí³çìó ìîæóòü áóòè íåïåðåäáà÷óâàíèìè.
Óëüòðàçâóê òà éîãî ïðàêòè÷íå âèêîðèñòàííÿ.
Çâóêîâ³ õâèë³ ç ÷àñòîòîþ (ν = 2 · 104
...109
Ãö), âèùîþ
â³ä çâóêîâîãî ä³àïàçîíó, íàçèâàþòü óëüòðàçâóêîì.
Óëüòðàçâóêîâ³ õâèë³ ìàþòü áåçë³÷ çàñòîñóâàíü ó íàóö³ ³ òåõí³ö³: 1) êîíòð-
îëü ïåðåá³ãó ïåâíîãî ïðîöåñó (êîíöåíòðàö³¿ ñóì³ø³ ãàç³â, ñêëàäó ð³çíèõ ð³äèí
òîùî); 2) óëüòðàçâóêîâ³ òîâùèíîì³ðè, ïðèëàäè äëÿ âèçíà÷åííÿ ð³âíÿ ð³äèí ó

243
âåëèêèõ, íåäîñòóïíèõ äëÿ ïðÿìèõ âèì³ðþâàíü, ºìêîñòÿõ; 3) äåôåêòîñêîï³ÿ:
êîíòðîëü âèðîá³â ³ç òâåðäèõ ìàòåð³àë³â (ðåéêè, ïðîêàò òîùî); 4) çâóêîáà÷åííÿ:
ïåðåòâîðþþ÷è óëüòðàçâóêîâ³ êîëèâàííÿ íà åëåêòðè÷í³, à îñòàíí³ íà ñâ³òëîâ³,
âèÿâëÿºòüñÿ, ìîæíà áà÷èòè ïåâí³ ïðåäìåòè â íåïðîçîðèõ äëÿ ñâ³òëà ñåðåäîâè-
ùàõ; 5) óëüòðàçâóêîâ³ ì³êðîñêîïè; 6) íà ïðèíöèï³ â³äáèâàííÿ óëüòðàçâóêîâèõ
³ìïóëüñ³â â³ä ïåðåøêîäè áàçóºòüñÿ ðîáîòà òàêèõ ïðèëàä³â, ÿê åõîëîò, ã³äðîëî-
êàòîð; 7) óëüòðàçâóê äàº çìîãó îáðîáëÿòè êðèõê³ äåòàë³ (ñêëî, êåðàì³êó).
²íø³ âèïàäêè âèêîðèñòàííÿ óëüòðàçâóêó: 1) ïîëüîâèé ä³àãíîñòèê ìàñòèë
ÏÄÌ-1 – ïðèëàä äëÿ âèçíà÷åííÿ ÿêîñò³ ìàñòèë: çà 5-6 õâ îö³íþº êîíöåíòðàö³þ
â ìàñòèë³ ÷óæîð³äíèõ ÷àñòèíîê. ×èì ïîâ³ëüí³øå êð³çü ìàñòèëî ïðîõîäÿòü óëü-
òðàçâóêîâ³ õâèë³, òèì á³ëüøå âîíî çàáðóäíåíå; 2) àíàë³çàòîð ìîëîêà ÔÌÓ-1.
Øâèäê³ñòü ïîøèðåííÿ çâóêó â ìîëîö³ çàëåæèòü â³ä êîíöåíòðàö³¿ â íüîìó æèðó
³ ñóõèõ ðå÷îâèí; 3) âèÿâëåííÿ òðîìá³â: ë³êàð íàòèñêàº íà âåíó, ñêàíóº ¿¿ óëü-
òðàçâóêîì ³ îòðèìóº çîáðàæåííÿ âíóòð³øí³õ ñòðóêòóð çà äîïîìîãîþ õâèëü, ÿê³
íèìè â³äáèâàþòüñÿ, ³ âëîâëþþòüñÿ ïðèéìàëüíèì ïðèñòðîºì; 4) ä³àãíîñòèêà,
òåðàïåâòè÷íå ³ õ³ðóðã³÷íå ë³êóâàííÿ. Óëüòðàçâóêîâ³ ìåòîäè ó äåÿêèõ âèïàäêàõ
çàáåçïå÷óþòü á³ëüø òîíêå ðîçð³çíåííÿ ñòðóêòóðè òêàíèí, í³æ ðåíòãåí³âñüê³:
ä³àãíîñòèêà é äîñë³äæåííÿ ïëîäó ìàòåð³, äëÿ äîñë³äæåííÿ ïóõëèí ãîëîâíîãî
ìîçêó (íåéðîõ³ðóðã³ÿ), âèâ÷åííÿ ãåîäèíàì³êè, âèÿâëåííÿ ã³ïåðòðîô³¿ ì’ÿç³â
ñåðöÿ (êàðä³îëîã³ÿ).
Ìåõàí³÷í³ êîëèâàííÿ, ùî âèíèêàþòü ïðè ïîð³âíÿíî íåâåëèê³é ³íòåíñèâ-
íîñò³ óëüòðàçâóêó, âèêëèêàþòü ñâîºð³äíèé ìàñàæ òêàíèí, ùî çàáåçïå÷óº êðà-
ùèé îáì³í ðå÷îâèí ³ êðàùå æèâëåííÿ òêàíèí êðîâ’þ òà ë³ìôîþ.
Øóì. Îäíèì ³ç «çàáðóäíþâà÷³â» ñåðåäîâèùà º øóì. Øóìîâå çàáðóäíåííÿ,
çà äàíèìè àâñòð³éñüêèõ ó÷åíèõ, ñêîðî÷óº æèòòÿ æèòåë³â âåëèêèõ ì³ñò íà 10–
20 ðîê³â. Ñïðàâà ó òîìó, ùî ó ì³ñòàõ ïðîìèñëîâ³ñòü ³ òðàíñïîðò, ïîáóòîâ³ ïðè-
ñòðî¿, ðàä³î ³ òåëåáà÷åííÿ ñòâîðþþòü ñèëüíó «øóìîâó àòàêó» íà ëþäèíó.
Ïðî ä³þ çâóê³â íà ëþäèíó êðàñíîìîâíî ñâ³ä÷èòü òàêèé ïðèêëàä. Ó Ñòàðî-
äàâíüîìó Êèòà¿ øèðîêî çàñòîñîâóâàëîñÿ ïîêàðàííÿ ëþäåé, ÿê³ íåøàíîáëèâî
ñòàâèëèñÿ äî ðåë³ã³¿: «Õòî ïàïëþæèòü Óñåâèøíüîãî, íå ïîâèíåí áóòè ïîâ³øå-
íèì, àëå ôëåéòèñòè, áàðàáàíùèêè òà ãîðëàí³ ïîâèíí³ áåçïåðåðâíî ãðàòè ïåðåä
íèì ³ âäåíü, ³ âíî÷³, ïîêè â³í íå âïàäå çàìåðòâî».
À ùî ìè ìîæåìî çðîáèòè äëÿ âèð³øåííÿ ïðîáëåìè ïîñëàáëåííÿ ì³ñüêîãî
øóìó? Áàãàòî. Íàïðèêëàä, ñòåæèòè çà òèì, ùîá óäîìà íå çâó÷àëè çàíàäòî ãó÷-
íî àóä³î- òà â³äåîïðèñòðî¿; ðîçìîâëÿòè âäîìà, íà âóëèö³, â òðàíñïîðò³ òèõî, íå
ï³äâèùóþ÷è ãîëîñó; íàñàäæóâàòè äåðåâà é êóù³, áî ïðàâèëüíî âèñàäæåí³ çåëå-
í³ íàñàäæåííÿ ìîæóòü çíà÷íî ïîíèçèòè ì³ñüêèé øóì: óë³òêó éîãî «ðîçñ³þº» ³
«ïîãëèíàº» ëèñòÿ, à âçèìêó – ñí³ã íà ã³ëêàõ.
Ðîçêàæ³òü ïðî âëàñòèâîñò³, ïðàêòè÷íå âèêîðèñòàííÿ ³íôðà- òà óëüòðàçâóêó.1.
Ó ÷îìó ïîëÿãàº øê³äëèâ³ñòü øóìó?2.

244
Ð Î Ç Ä ² Ë 4
Ïðèñòðî¿, ó ÿêèõ ìîæóòü çä³éñíþâàòèñÿ êîëèâàëüí³ ïðîöåñè, íàçèâàþòü
êîëèâàëüíèìè ñèñòåìàìè.
Êîëèâàííÿ, ÿê³ âèíèêàþòü ó ñèñòåìàõ ï³ä ä³ºþ âíóòð³øí³õ ñèë ï³ñëÿ âèâå-
äåííÿ ñèñòåìè ç³ ñòàíó ñò³éêî¿ ð³âíîâàãè çà â³äñóòíîñò³ çîâí³øí³õ ïåð³îäè÷íèõ
ñèë, íàçèâàþòü â³ëüíèìè.
Â³ëüí³ êîëèâàííÿ, ÿê³ âèíèêàþòü ó êîëèâàëüíèõ ñèñòåìàõ ç ìàëèì òåðòÿì,
º ïðàêòè÷íî ãàðìîí³÷íèìè.
Ãàðìîí³÷í³ êîëèâàííÿ – öå êîëèâàííÿ, ï³ä ÷àñ ÿêèõ ïðèñêîðåííÿ êîëè-
âàëüíîãî ò³ëà ïðÿìî ïðîïîðö³éíå äî ìèòòºâîãî çì³ùåííÿ ³ ïðîòèëåæíî íà-
ïðÿìëåíå: a = −ω2
x.
×àñòîòà â³ëüíèõ êîëèâàíü çàë+åæèòü â³ä ïàðàìåòð³â êîëèâàëüíî¿ ñèñòåìè,
àìïë³òóäà – â³ä íàäàíî¿ êîëèâàëüí³é ñèñòåì³ åíåðã³¿.
Ê³íåòè÷íà òà ïîòåíö³àëüíà åíåðã³ÿ êîëèâàëüíî¿ ñèñòåìè, ó ÿê³é â³äáóâà-
þòüñÿ â³ëüí³ êîëèâàííÿ, ïåð³îäè÷íî çì³íþºòüñÿ. Ïîâíà ìåõàí³÷íà åíåðã³ÿ â
ñèñòåì³ áåç òåðòÿ çàëèøàºòüñÿ íåçì³ííîþ ³ äîð³âíþº ìàêñèìàëüí³é ê³íåòè÷í³é
(÷è ïîòåíö³àëüí³é) åíåðã³¿ ñèñòåìè.
Âèìóøåí³ êîëèâàííÿ – öå êîëèâàííÿ ÿê³ çä³éñíþþòüñÿ ï³ä ä³ºþ çîâí³ø-
íüî¿ ïåð³îäè÷íî¿ ñèëè. ×àñòîòà òàêèõ êîëèâàíü äîð³âíþº ÷àñòîò³ çì³í çîâí³ø-
íüî¿ ñèëè, ÿêà ïåð³îäè÷íî ä³º. Àìïë³òóäà âèìóøåíèõ êîëèâàíü âèçíà÷àºòüñÿ
àìïë³òóäîþ òà ÷àñòîòîþ ñïîíóêàëüíî¿ çîâí³øíüî¿ ñèëè.
ßâèùå ð³çêîãî çðîñòàííÿ àìïë³òóäè âèìóøåíèõ êîëèâàíü ó ðåçóëüòàò³ çá³-
ãó ÷àñòîòè çì³í çîâí³øíüî¿ ñèëè ç âëàñíîþ ÷àñòîòîþ êîëèâàëüíî¿ ñèñòåìè íà-
çèâàþòü ðåçîíàíñîì.
Àâòîêîëèâàííÿ – íåçãàñàþ÷³ êîëèâàííÿ, ñïðè÷èíåí³ ñòàëèì çîâí³øí³ì
âïëèâîì íà ñèñòåìó, ÿêà ñàìà ðåãóëþº ¿õ ÷àñòîòó.
Ìåõàí³÷íà õâèëÿ – ïðîöåñ ïîøèðåííÿ êîëèâàíü ó ïðóæíîìó ñåðåäîâèù³
ç ïëèíîì ÷àñó. Ïðèêëàäàìè íàéïîøèðåí³øèõ ìåõàí³÷íèõ õâèëü º çâóê, õâèë³
íà ïîâåðõí³ ð³äèí.
Ïðóæíà õâèëÿ ìîæå áóòè ïîçäîâæíüîþ, ÿêùî êîëèâàííÿ ÷àñòèíîê ñåðåäîâè-
ùà â³äáóâàþòüñÿ ó íàïðÿì³ ïîøèðåííÿ õâèë³, ³ ïîïåðå÷íîþ, ÿêùî ÷àñòèíêè êîëè-
âàþòüñÿ ó ïëîùèíàõ, ïåðïåíäèêóëÿðíèõ äî íàïðÿìó ïîøèðåííÿ õâèë³. Ó ãàçàõ ³
ð³äèíàõ âèíèêàþòü ëèøå ïîçäîâæí³ õâèë³, ÿê³ º ÷åðãóâàííÿ ðîçð³äæåíü ³ çãóùåíü
ñåðåäîâèùà. Ó òâåðäèõ ò³ëàõ ìîæëèâ³ ÿê ïîçäîâæí³, òàê ³ ïîïåðå÷í³ ïðóæí³ õâèë³.
Øâèäê³ñòü ïîøèðåííÿ õâèë³ âèçíà÷àºòüñÿ çà ôîðìóëîþ υ = λν = λ/T, äå λ
– äîâæèíà õâèë³.
Êîëèâàííÿóñåðåäîâèù³÷àñòîòîþâ³ä16äî20000Ãöòà³íòåíñèâí³ñòþ²= 10−12
...102
Âò/ì2
ìîæóòü ñïðèéìàòèñÿ îðãàíàìè ñëóõó ëþäèíè ³ íàçèâàþòüñÿ çâóêîì.
Çà ô³ç³îëîã³÷íèìè â³ä÷óòòÿì çâóê ìàº ïåâíó âèñîòó, ãó÷í³ñòü ³ òåìáð.

Розділ 5
РЕЛЯТИВІСТСЬКА МЕХАНІКА
§ 47 Постулати спеціальної теорії відносності
Ïðèíöèï â³äíîñíîñò³ Ãàë³ëåÿ.
Ïîñòóëàòè ñïåö³àëüíî¿ òåîð³¿ â³äíîñíîñò³.
Ïðèíöèï â³äíîñíîñò³ Ãàë³ëåÿ. Çàêîíè ìåõàí³êè (¿¿ ùå íàçèâàþòü êëàñè÷-
íîþ ìåõàí³êîþ) áóëè âñòàíîâëåí³ ç äîñë³ä³â, ÿê³ ïðîâîäèëèñÿ íà Çåìë³ ó òàêèõ
óìîâàõ, ùî ñèñòåìó â³äë³êó, ïîâ’ÿçàíîþ ³ç Çåìëåþ, ìîæíà ââàæàòè ³íåðö³àëü-
íîþ. Â³äïîâ³äíî, óñ³ âñòàíîâëåí³ çàêîíè ìè ìîæåìî çàñòîñîâóâàòè ï³ä ÷àñ ðîç-
ãëÿäó ðóõó ò³ëà â òàê³é ñèñòåì³ â³äë³êó.
Âèíèêàº ïèòàííÿ, ÷è áóäóòü ìåõàí³÷í³ ÿâèùà â ³íøèõ ³íåðö³àëüíèõ ñèñ-
òåìàõ â³äë³êó â³äáóâàòèñü òàê ñàìî ÿê íà Çåìë³? Íàïðèêëàä, ó ë³òàêîâ³, ùî
ëåòèòü ð³âíîì³ðíî ³ ïðÿìîë³í³éíî, ïàäàº ïðåäìåò. ×è ìîæíà ïàä³ííÿ öüîãî
ïðåäìåòà â³äíîñíî ë³òàêà îïèñóâàòè òèìè æ çàêîíàìè, ùî ³ â³äíîñíî Çåìë³? ×è
ìîæíà âèêîðèñòîâóâàòè, íàïðèêëàä, çàïèñó äðóãîãî çàêîíó Íüþòîíà ó ôîðì³
?F ma=
Â³äïîâ³ä³ íà çàïèòàííÿ äàº ïðèíöèï â³äíîñíîñò³ Ãàë³ëåÿ (àáî ìåõàí³÷íèé
ïðèíöèï â³äíîñíîñò³) – ïðèíöèï ô³çè÷íî¿ ð³âíîïðàâíîñò³ âñ³õ ³íåðö³àëüíèõ
ñèñòåì â³äë³êó ó ìåõàí³ö³. Çà öèì ïðèíöèïîì ó áóäü-ÿê³é ³íåðö³àëüí³é ñèñòå-
ì³ â³äë³êó âñ³ ìåõàí³÷í³ ÿâèùà â³äáóâàþòüñÿ îäíàêîâî.
Çâ³äñè âèïëèâàº, ùî äëÿ áóäü-ÿêèõ ìåõàí³÷íèõ ÿâèù óñ³ ³íåðö³àëüí³ ñèñ-
òåìè â³äë³êó º ð³âíîïðàâíèìè.
Ìåõàí³÷íèé ïðèíöèï â³äíîñíîñò³ ìîæíà ñôîðìóëþâàòè ³ òàê: æîäíèìè
ìåõàí³÷íèìè äîñë³äàìè, ïðîâåäåíèìè âñåðåäèí³ ³íåðö³àëüíî¿ ñèñòåìè â³äë³êó,
íå ìîæíà âèçíà÷èòè, ïåðåáóâàº öÿ ñèñòåìà ó ñïîêî¿ ÷è ðóõàºòüñÿ ð³âíîì³ðíî
é ïðÿìîë³í³éíî (òîáòî âèÿâèòè âëàñíèé ðóõ ³íåðö³àëüíî¿ ñèñòåìè â³äë³êó).
Ä³éñíî, ÿêùî ìåõàí³÷íå ÿâèùå íå çàëåæèòü â³ä øâèäêîñò³ ðóõó ³íåðö³àëüíî¿
ñèñòåìè â³äë³êó, ³ öÿ øâèäê³ñòü íå âõîäèòü äî ôîðìóëè çàêîí³â, òî ³ âèÿâèòè ¿¿
íåìîæëèâî.
Ïîñòóëàòè ñïåö³àëüíî¿ òåîð³¿ â³äíîñíîñò³. Ï³ñëÿ òîãî, ÿê ó÷åí³ ïåðåêîíà-
ëèñü ó òîìó, ùî â óñ³õ ³íåðö³àëüíèõ ñèñòåìàõ ìåõàí³÷í³ ÿâèùà â³äáóâàþòüñÿ
îäíàêîâî, ó ê³íö³ Õ²Õ ñò. – íà ïî÷àòêó ÕÕ ñò. áóëè çä³éñíåí³ åêñïåðèìåíòè,
ñïðÿìîâàí³ íà âèÿâëåííÿ òàêèõ ÿâèùà ïðèðîäè, ÿê³ çì³íþâàëèñÿ á ï³ä ÷àñ ïå-
ðåõîäó ç îäí³º¿ ³íåðö³àëüíî¿ ñèñòåìè â ³íøó.
Óñ³ ñïðîáè áóëè íåóñï³øíèìè. Òåïëîâ³, åëåêòðè÷í³, îïòè÷í³, ìàãí³òí³ é
àòîìí³ ÿâèùà â³äáóâàþòüñÿ â âñ³õ ³íåðö³àëüíèõ ñèñòåìàõ â³äë³êó îäíàêîâî. Îä-
íàêîâî â³äáóâàþòüñÿ òàêîæ õ³ì³÷í³ ³ á³îëîã³÷í³ ïðîöåñè.

246
Ð Î Ç Ä ² Ë 5
Ó 1905 ð. À.Åéíøòåéí âèñëîâèâ ïðèïóùåííÿ ïðî òå, ùî íåçàëåæí³ñòü
ÿâèù ïðèðîäè â³ä âèáîðó ³íåðö³àëüíî¿ ñèñòåìè â³äë³êó º îäíèì ³ç îñíîâíèõ
çàêîí³â Âñåñâ³òó.
Öåé ïîñòóëàò ñòàâ ïåðøèì îñíîâíèì ïîëîæåííÿì ñïåö³àëüíî¿ òåîð³¿ â³ä-
íîñíîñò³ (ÑÒÂ).
Ñïåö³àëüíà òåîð³ÿ â³äíîñíîñò³ (ÑÒÂ) – öå
ô³çè÷íà òåîð³ÿ ïðîñòîðó–÷àñó, ùî ðîçãëÿäàº
âçàºìîçâ’ÿçîê ô³çè÷íèõ ïðîöåñ³â, ÿê³ â³äáóâàþòü-
ñÿ â ³íåðö³àëüíèõ ñèñòåìàõ â³äë³êó.
Âçàºìîçâ’ÿçîê ô³çè÷íèõ ïðîöåñ³â, ùî â³äáóâàþòüñÿ ó ñèñòåìàõ, ÿê³ ïðè-
ñêîðåíî ðóõàþòüñÿ îäíà â³äíîñíî îäíî¿ (íå³íåðö³àëüíèõ ñèñòåìàõ â³äë³êó),
îïèñóº çàãàëüíà òåîð³ÿ â³äíîñíîñò³.
Îñíîâîþ äðóãîãî ïîëîæåííÿ òåîð³¿ â³äíîñíîñò³ ñòàëè ðåçóëüòàòè äîñë³-
ä³â ³ç âèì³ðþâàííÿ øâèäêîñò³ ñâ³òëà.
Øâèäê³ñòü ñâ³òëà ó âàêóóì³ 8
(2,997928 0,000004) 10 ì/ñ.c = ± ⋅ Âèíèêàº çà-
ïèòàííÿ: â³äíîñíî ÿêî¿ ñèñòåìè â³äë³êó âèçíà÷åíî öþ âåëè÷èíó?
Ó 1881 ð. àìåðèêàíñüê³ â÷åí³ À. Ìàéêåëüñîí ³ Å. Ìîðë³ ïðîâåëè åêñïå-
ðèìåíò, ó ÿêîìó îö³íþâàâñÿ âïëèâ øâèäêîñò³ ðóõó Çåìë³ íàâêîëî Ñîíöÿ íà
øâèäê³ñòü ïîøèðåííÿ ñâ³òëà â³ä äæåðåëà, ùî çíàõîäèòüñÿ íà Çåìë³.
Çãàäàºìî, ùî çã³äíî ç êëàñè÷íèì çàêîíîì äîäàâàííÿ øâèäêîñòåé, êîëè
ò³ëî ðóõàºòüñÿ â³äíîñíî ³íåðö³àëüíî¿ ñèñòåìè ç³ øâèäê³ñòþ u
r
, à ñàìà ñèñòåìà
ðóõàºòüñÿ ç³ øâèäê³ñòþ ω
r
â³äíîñíî íåðóõîìî¿ ñèñòåìè, òî øâèäê³ñòü υ
r
ò³ëà
â³äíîñíî íåðóõîìî¿ ñèñòåìè â³äë³êó äîð³âíþº: uυ = + ω
r rr
.
Îñê³ëüêè Çåìëÿ ðóõàºòüñÿ ïî îðá³ò³ ó ñâ³òîâîìó ïðîñòîð³ (ÿêèé ââàæàâñÿ
àáñîëþòíèì ³ íåðóõîìèì), òî íà øâèäê³ñòü ïîøèðåííÿ ñâ³òëîâîãî ñèãíàëó ìàº
âïëèâàòè øâèäê³ñòü ðóõó ñàìî¿ Çåìë³.
Ó åêñïåðèìåíò³ âèçíà÷àëè ÷àñ, çà ÿêèé ñâ³òëî ïðîõîäèòü îäíó ³ òó ñàìó â³ä-
ñòàíü ó ïðÿìîìó ³ çâîðîòíîìó íàïðÿì³, ïðè öüîìó â îäíîìó âèïàäêó ñâ³òëîâèé
ñèãíàë ïîñèëàâñÿ ó íàïðÿì³ äîáîâîãî îáåðòàííÿ Çåìë³, à â ³íøîìó – ïåðïåíäè-
êóëÿðíî äî íàïðÿìó îáåðòàííÿ Çåìë³.
ßêáè øâèäê³ñòü ïîøèðåííÿ ñâ³òëîâîãî ñèãíàëó çàëåæàëà â³ä øâèäêîñò³
ðóõó äæåðåëà, òî öåé ÷àñ áóâ áè ð³çíèì. Âèì³ðþâàííÿ ïðîâîäèëèñÿ äóæå òî÷íî
çà äîïîìîãîþ ñïåö³àëüíîãî ïðèëàäó – ³íòåðôåðîìåòðà Ìàéêåëüñîíà. Åêñïåðè-
ìåíòè ñòàâèëèñü ó ð³çíèé ÷àñ äîáè ³ â ð³çí³ ïîðè ðîêó, à ðåçóëüòàò çàâæäè áóâ
íåãàòèâíèì – øâèäê³ñòü ïîøèðåííÿ ñâ³òëîâîãî ñèãíàëó áóëà îäíàêîâîþ ³ íå
çàëåæàëà â³ä øâèäêîñò³ ðóõó äæåðåëà.
Îòæå, áóëî âñòàíîâëåíî, ùî êëàñè÷íèé çàêîí äîäàâàííÿ øâèäêîñò³ íå
ñïðàâäæóºòüñÿ äëÿ ÿâèù, çâ’ÿçàíèõ ç ïîøèðåííÿì ñâ³òëà. Ç öüîãî ðîáèìî âè-
ñíîâîê ³ ïðî îáìåæåí³ñòü çàñòîñóâàííÿ ïåðåòâîðåíü Ãàë³ëåÿ, ç ÿêèõ âèïëèâàº,
ùî ïðè ñêëàäíîìó ðóñ³ øâèäêîñò³ ðóõó ò³ë àëãåáðà¿÷íî äîäàþòüñÿ.
Âèÿâèëèñü ïåâí³ ñóïåðå÷íîñò³, ÿê³ íå ìîæíà áóëî âèð³øèòè, çàñòîñîâóþ÷è
çàêîíè ìåõàí³êè Íüþòîíà. Â÷åí³ íàìàãàëèñÿ ïîäîëàòè ö³ òðóäíîù³ ð³çíèìè
øëÿõàìè. Íàéðåâîëþö³éí³øèì øëÿõîì äî ðîçâ’ÿçàííÿ ïðîáëåì ï³ä³éøîâ À.
Åéíøòåéí: íå ïîòð³áíî ïðèäóìóâàòè ð³çí³ ã³ïîòåçè – íåîáõ³äíî ö³ ôàêòè ñïðèé-

247
Ðåëÿòèâ³ñòñüêà ìåõàí³êà
ìàòè ÿê ïîñòóëàòè (ïîñòóëàò – ïîëîæåííÿ, ÿêå íå ìîæíà äîâåñòè ëîã³÷íî, öå
ðåçóëüòàò óçàãàëüíåííÿ äîñë³äíèõ ôàêò³â).
Îòæå, îñíîâí³ ïîñòóëàòè ñïåö³àëüíî¿ òåîð³¿
â³äíîñíîñò³ ñôîðìóëüîâàíî òàê:
1. Óñ³ çàêîíè ô³çèêè â óñ³õ ³íåðö³àëüíèõ ñèñ-
òåìàõ â³äë³êó îäíàêîâ³ (ïðèíöèï â³äíîñíîñò³ Åé-
íøòåéíà).
2. Øâèäê³ñòü ïîøèðåííÿ ñâ³òëà ó âàêóóì³ íå çà-
ëåæèòü â³ä øâèäêîñò³ ðóõó äæåðåëà ÷è ïðèéìà÷à,
òîáòî º îäíàêîâîþ â óñ³õ ³íåðö³àëüíèõ ñèñòåìàõ
â³äë³êó.
Ç äðóãîãî ïîñòóëàòó âèïëèâàº, ùî øâèäê³ñòü ïîøèðåííÿ ñâ³òëà º ìàêñè-
ìàëüíî ìîæëèâîþ øâèäê³ñòþ ïåðåäàâàííÿ âçàºìîä³¿ ó ïðèðîä³. Æîäíèé ñèã-
íàë, æîäíà âçàºìîä³ÿ ò³ë íå ìîæå ïîøèðþâàòèñÿ ç³ øâèäê³ñòþ, á³ëüøîþ â³ä
øâèäêîñò³ ñâ³òëà.
Âèñíîâêè òåîð³¿ â³äíîñíîñò³ º îñíîâîþ ðåëÿòèâ³ñòñüêî¿ (â³ä. àíãë.
relativity – â³äíîñí³ñòü) ìåõàí³êè, ÿêà âèâ÷àº çàêîíè ðóõó ò³ë, øâèäê³ñòü ÿêèõ
íàáëèæàºòüñÿ äî øâèäêîñò³ ñâ³òëà.
Ó ïîâñÿêäåííîìó æèòò³ ìè çóñòð³÷àºìîñÿ ò³ëüêè ç ðóõîì ò³ë ç³ øâèäêî-
ñòÿìè, íàáàãàòî ìåíøèìè çà øâèäê³ñòü ñâ³òëà, êîëè âñ³ ðåëÿòèâ³ñòñüê³ åôåêòè
ïðàêòè÷íî íåïîì³òí³. Ìè çâèêëè äî ïîâ³ëüíèõ ðóõ³â ³ ïîçáàâëåí³ ìîæëèâîñò³
óÿâèòè ñîá³ ïðîöåñè çà øâèäêîñòåé, áëèçüêèõ äî øâèäêîñò³ ñâ³òëà. Òàê³ ïðî-
öåñè íåäîñòóïí³ í³ íàøèì îðãàíàì ÷óòò³â, í³ íàø³é óÿâ³.
Íåîáõ³äí³ñòü âèêîðèñòàííÿ ñï³ââ³äíîøåíü ñïåö³àëüíî¿ òåîð³¿ â³äíîñíîñò³
âèíèêàº ïðè îïèñàíí³ ðåàëüíèõ ðóõ³â çàðÿäæåíèõ ÷àñòèíîê (åëåêòðîí³â, ïðî-
òîí³â, α-÷àñòèíîê òîùî) ó ïðèñêîðþâà÷àõ (ïðèñòðî¿ äëÿ îòðèìàííÿ ÷àñòèíîê ç
âåëèêîþ ê³íåòè÷íîþ åíåðã³ºþ – öèêëîòðîí, áåòàòðîí, ñèíõðîôàçîòðîí, ãåíåðà-
òîð Âàí-äå-Ãðààôà òîùî) òà ÷àñòèíîê âèñîêèõ åíåðã³é ó êîñì³÷íèõ ïðîìåíÿõ.
Ïðè öüîìó øâèäê³ñòü ðóõó ÷àñòèíêè íàáëèæàºòüñÿ äî øâèäêîñò³ ïîøèðåííÿ
ñâ³òëà ³ íàé÷àñò³øå ¿¿ âèðàæàþòü ó ÷àñòêàõ â³ä øâèäêîñò³ ïîøèðåííÿ ñâ³òëà
(íàïðèêëàä, υ = 0,99 · ñ, äå ñ – øâèäê³ñòü ïîøèðåííÿ ñâ³òëà ó âàêóóì³).
Ñôîðìóëþéòå ïîñòóëàòè ñïåö³àëüíî¿ òåîð³¿ â³äíîñíîñò³.1.
×èì â³äð³çíÿºòüñÿ ïåðøèé ïîñòóëàò òåîð³¿ â³äíîñíîñò³ â³ä ïðèíöèïó2.
â³äíîñíîñò³ ó ìåõàí³ö³?
Ùî ïîêàçàâ åêñïåðèìåíò Ìàéêåëüñîíà-Ìîðë³?3.

248
Ð Î Ç Ä ² Ë 5
§ 48 Відносність часу
Â³äíîñí³ñòü îäíî÷àñíîñò³.
Â³äíîñí³ñòü ³íòåðâàë³â ÷àñó.
Ïåðåòâîðåííÿ Ëîðåíöà.
Â³äíîñí³ñòü îäíî÷àñíîñò³. Ùîá â³äâàæèòèñÿ íà ôîðìóëþâàííÿ ïîñòóëà-
ò³â òåîð³¿ â³äíîñíîñò³, À.Åéíøòåéíó ïîòð³áíà áóëà âåëèêà íàóêîâà ñì³ëèâ³ñòü,
îñê³ëüêè ö³ ïîñòóëàòè ñóïåðå÷èëè êëàñè÷íèì óÿâëåííÿì ïðî ïðîñò³ð ³ ÷àñ.
Íàïðèêëàä, íåõàé ³ç ñåðåäèíè ïîòÿãà, ùî ð³âíîì³ðíî ðóõàºòüñÿ, ïîñèëà-
ºòüñÿ ñâ³òëîâèé ñèãíàë â îáèäâà áîêè (ìàë. 222).
Ñïîñòåð³ãà÷ ó ïîòÿç³ ïîì³-
òèòü, ùî ñâ³òëîâèé ñèãíàë äî-
ñÿãíóâ ãîëîâè ³ õâîñòà ïîòÿãà
îäíî÷àñíî. Ñïîñòåð³ãà÷, ÿêèé
çíàõîäèâñÿ íà ïëàòôîðì³, çàçíà-
÷èâ, ùî ñèãíàë äîñÿãíóâ õâîñòà
ïîòÿãà ðàí³øå, í³æ ãîëîâè. Îñ-
ê³ëüêè çà äðóãèì ïîñòóëàòîì
øâèäê³ñòü ïîøèðåííÿ ñâ³òëî-
âîãî ñèãíàëó îäíàêîâà â îáîõ
³íåðö³àëüíèõ ñèñòåìàõ â³äë³êó,
òî öå îçíà÷àº, ùî ÷àñ ó íèõ íå îä-
íàêîâèé: ÷èì øâèäøå ðóõàºòü-
ñÿ ñèñòåìà â³äë³êó â³äíîñíî
ñïîñòåð³ãà÷à, òèì ïîâ³ëüí³øå, ç éîãî ïîãëÿäó, ó í³é â³äáóâàþòüñÿ ïîä³¿.
Äî ïî÷àòêó ÕÕ ñò. í³õòî íå ñóìí³âàâñÿ â àáñîëþòíîñò³ ÷àñó. Äâ³ ïîä³¿, îäíî-
÷àñí³ äëÿ æèòåë³â Çåìë³, îäíî÷àñí³ é äëÿ æèòåë³â áóäü-ÿêî¿ êîñì³÷íî¿ öèâ³ë³-
çàö³¿. Òîáòî îäíî÷àñí³ñòü ó íüþòîí³âñüê³é ìåõàí³ö³ ââàæàºòüñÿ àáñîëþòíîþ.
Àëå òåîð³ÿ â³äíîñíîñò³ äîâåëà, ùî öå íå òàê. Óÿâëåííÿ ïðî àáñîëþòíèé ÷àñ,
ÿêèé òå÷å ðàç ³ íàçàâæäè çàäàíèì òåìïîì, ö³ëêîì íåçàëåæíî â³ä ìàòåð³¿ òà ¿¿
ðóõó, íåïðàâèëüíå.
Ïîä³¿, îäíî÷àñí³ â îäí³é ³íåðö³àëüí³é ñèñòåì³ â³ä-
ë³êó, íå îäíî÷àñí³ â ³íøèõ ³íåðö³àëüíèõ ñèñòåìàõ,
ðóõîìèõ â³äíîñíî ïåðøî¿. Îäíî÷àñí³ñòü ïîä³é â³ä-
íîñíà.
Ìàë. 222. Ïðèêëàä,
ùî äîâîäèòü íåîäíî÷àñí³ñòü ïîä³¿

249
Â³äíîñí³ñòü ³íòåðâàë³â ÷àñó. Ðîçãëÿíåìî òàêèé ïðèêëàä. Ïðèïóñòèìî, ùî
íà ï³äëîç³ âàãîíà ðîçòàøîâàíå äæåðåëî ñâ³òëà, à íà ñòåë³ – äçåðêàëî. ßêèì áóäå
³íòåðâàë ÷àñó, ïðîòÿãîì ÿêîãî ñâ³òëî äîñÿãíå ñòåë³ òà, â³äáèâøèñü â³ä äçåðêà-
ëà, ïîâåðíåòüñÿ íàçàä.
Äëÿ ñïîñòåð³ãà÷à ó âàãîí³ (ìàë. 223,à) öåé ÷àñ äîð³âíþº ÷àñòö³ ïîäâî-
ºíî¿ â³äñòàí³ â³ä ï³äëîãè äî ñòåë³ (âèñîòà âàãîíà BD ) íà øâèäê³ñòü ñâ³òëà c :
0
2BD
t
c
= .
×àñ, âèì³ðÿíèé çà ãîäèííèêîì, ÿêèé ðóõàºòüñÿ
ðàçîì ç ò³ëîì (ó ñèñòåì³ â³äë³êó, ïîâ’ÿçàí³é ç öèì
ò³ëîì), íàçèâàþòü âëàñíèì ÷àñîì t0
.
ßê áà÷èìî, öåé ³íòåðâàë ÷àñó
íå çàëåæèòü â³ä òîãî, íåðóõîìèé
âàãîí ÷è ðóõàºòüñÿ â³í ð³âíîì³ðíî
³ ïðÿìîë³í³éíî.
Ðîçâ’ÿæåìî çàäà÷ó â³äíîñíî íå-
ðóõîìîãî ñïîñòåð³ãà÷à (â ³íø³é ³íåð-
ö³àëüí³é ñèñòåì³ â³äë³êó), â³äíîñíî
ÿêîãî âàãîí ðóõàºòüñÿ ç³ øâèäê³ñòü
υ
r
ïðàâîðó÷ (ìàë. 223, á).
Â³äíîñíî íåðóõîìîãî ñïîñòå-
ð³ãà÷à ñâ³òëî ïðîõîäèòü â³äñòàíü
2AB . Îòæå, ÷àñ ïðîõîäæåííÿ ñâ³ò-
ëîâîãî ñèãíàëó äîð³âíþº:
2AB
t
c
= .
Îñê³ëüêè ã³ïîòåíóçà AB á³ëüøà
êàòåòà BD , òî 0t t> . ² ÷èì á³ëüøà
øâèäê³ñòü ðóõó âàãîíà υ , òèì â³ä-
÷óòí³øà öÿ íåð³âí³ñòü.
Âñòàíîâèìî ìàòåìàòè÷íó
çàëåæí³ñòü ì³æ t ³ t0
. Äëÿ öüî-
ãî âèðàçèìî â³äïîâ³äí³ â³äñòà-
í³: AB ct= , 0BD ct= , AD t= υ ³
çàñòîñóºìî òåîðåìó Ï³ôàãîðà:
2 2 2
0( ) ( ) ( )ct ct t= + υ . Ïåðåòâîðèìî
öåé âèðàç: 2 2 2 2 2
0( )c t c t− υ = , çâ³äêè
2 2 2
2 0 0
22 2
2
1
c t t
t
c
c
= =
υ− υ
−
, àáî:
Ìàë. 223, á. Ïîøèðåííÿ ñâ³òëîâîãî ñèãíàëó
â³äíîñíî íåðóõîìîãî ñïîñòåð³ãà÷à
Ìàë. 223, à. Ïîøèðåííÿ ñâ³òëîâîãî ñèãíàëó
â³äíîñíî ñïîñòåð³ãà÷à,
ùî ðóõàºòüñÿ ðàçîì ³ç âàãîíîì

250
Ð Î Ç Ä ² Ë 5
0
2
2
1
t
t
c
=
υ
−
.
Îñê³ëüêè
2
2
1 1
c
υ
− < , òî t > t0
, òîáòî â³äíîñíî íå-
ðóõîìîãî ñïîñòåð³ãà÷à ïîä³ÿ, ùî â³äáóâàºòüñÿ ó
ðóõîì³é ñèñòåì³ â³äë³êó, òðèâàº äîâøå.
Àáî, ³íøèìè ñëîâàìè, âëàñíèé ³íòåðâàë ÷àñó ìåíøèé çà ³íòåðâàë ÷àñó,
âèì³ðÿíèé â ³íø³é ³íåðö³àëüí³é ñèñòåì³ â³äë³êó 0
2
2
1
t
t
c
∆
∆ =
υ
−
.
Ïåðåòâîðåííÿ Ëîðåíöà. Íåõàé â³äáóâàºòüñÿ äåÿêà ïîä³ÿ. Ó ñèñòåì³ K âîíà
õàðàêòåðèçóºòüñÿ çíà÷åííÿìè êîîðäèíàò ³ ÷àñó , ,x y z ,t . Ó ñèñòåì³ K′ , ÿêà ðó-
õàºòüñÿ â³äíîñíî ñèñòåìè K ç ïîñò³éíîþ øâèäê³ñòþ υ
r
âçäîâæ îñ³ Õ (ìàë. 224),
öÿ ïîä³ÿ õàðàêòåðèçóºòüñÿ çíà÷åííÿìè , , ,x y z t′ ′ ′ ′ .
Íàãàäàºìî, ùî ñï³ââ³äíîøåííÿ x t x= υ + ′ , y y= ′ , z z= ′ t t= ′ íàçèâàþòü
ïåðåòâîðåííÿìè Ãàë³ëåÿ. Ö³ ð³âíÿííÿ äàþòü çìîãó ïåðåéòè â³ä êîîðäèíàò ³
÷àñó îäí³º¿ ³íåðö³àëüíî¿ ñèñòåìè â³äë³êó äî êîîðäèíàò ³ ÷àñó ³íøî¿ ³íåðö³àëüíî¿
ñèñòåìè â³äë³êó. Êîîðäèíàòè ò³ëà çàëåæàòü â³ä ñèñòåìè â³äë³êó, òîáòî º âåëè-
÷èíàìè â³äíîñíèìè. Ð³âí³ñòü t t= ′ âèðàæàº àáñîëþòíèé õàðàêòåð ÷àñó.
Çã³äíî ç òåîð³ºþ â³äíîñíîñò³, ÷àñ º âåëè÷èíîþ â³äíîñíîþ, òîìó ïåðåòâîðåí-
íÿ Ãàë³ëåÿ ìàþòü áóòè çàì³íåí³ á³ëüø çàãàëüíèìè – ïåðåòâîðåííÿìè Ëîðåíöà
(Õåíäðèê Àíòîí Ëîðåíö (1853–1928) – í³äåðëàíäñüêèé ô³çèê-òåîðåòèê) .
Çâ’ÿçîê ì³æ âåëè÷èíàìè, ùî õàðàêòåðèçóþòü ïîä³þ â ð³çíèõ ³íåðö³àëüíèõ
ñèñòåìàõ â³äë³êó, íàçèâàþòü ïåðåòâîðåííÿìè Ëîðåíöà:
2
2
,
1
x t
x
c
± υ
=′
υ
−
,y y z z= =′ ′ ;
2
2
2
1
t x
ct
c
υ
±
=′
υ
−
.
Çíàê «+» ó ÷èñåëüíèêó çà-
ñòîñîâóºòüñÿ ïðè ïåðåõîä³ â³ä
ñèñòåìè K′ äî ñèñòåìè K , çíàê
«−» – ïðè ïåðåõîä³ â³ä ñèñòåìè
K äî ñèñòåìè K′ . Öå çóìîâëåíî
òèì, ùî ñèñòåìà K′ ðóõàºòüñÿ
â³äíîñíî ñèñòåìè K ç³ øâèäê³ñ-
òþ υ , âîäíî÷àñ ìîæíà ââàæàòè,
ùî ñèñòåìà K ðóõàºòüñÿ â³ä-
íîñíî ñèñòåìè K′ ç³ øâèäê³ñòþ
−υ .Ìàë. 224. ²íåðö³àëüí³ ñèñòåìè â³äë³êó

251
ßê âèäíî, ó ïåðåòâîðåííÿõ Ëîðåíöà âçàºìîïîâ’ÿçàí³ êîîðäèíàòà x òà ÷àñ t.
Ïðè øâèäêîñòÿõ υ << c ïåðåòâîðåííÿ Ëîðåíöà ïðàêòè÷íî íå â³äð³çíÿþòü-
ñÿ â³ä ïåðåòâîðåíü Ãàë³ëåÿ.
Òàêèì ÷èíîì, ïðîñò³ð ³ ÷àñ, ÿê³ ó íüþòîí³âñüê³é ìåõàí³ö³ ââàæàëèñÿ íå-
çàëåæíèìè, âèÿâëÿþòüñÿ âçàºìîïîâ’ÿçàíèìè ³ º ÷îòèðèâèì³ðíèì ïðîñòîðîì-
÷àñîì. Áóäü-ÿêà ïîä³ÿ, ùî â³äáóëàñü ó ïðîñòîð³, õàðàêòåðèçóºòüñÿ ÷îòèðìà âå-
ëè÷èíàìè: êîîðäèíàòàìè , ,x y z , ÿê³ âêàçóþòü íà òå, äå âîíà â³äáóëàñü, ³ ÷àñîì
t , ÿêèé âêàçóº íà òå, êîëè âîíà â³äáóëàñÿ. Çíà÷åííÿ öèõ ÷îòèðüîõ âåëè÷èí
çàëåæèòü â³ä ñèñòåìè â³äë³êó, ó ÿê³é ñïîñòåð³ãàºòüñÿ ïîä³ÿ.
×îìó âèíèêëà íåîáõ³äí³ñòü ó ïåðåãëÿä³ óÿâëåíü ïðî ïðîñò³ð ³ ÷àñ?1.
×îìó íå ìîæíà ñòâåðäæóâàòè, ùî ïîä³¿, ÿê³ â³äáóâàþòüñÿ îäíî÷àñíî â2.
îäí³é ñèñòåì³ â³äë³êó, âîäíî÷àñ â³äáóâàòèìóòüñÿ ³ â ³íø³é?
ßêà òðèâàë³ñòü ïîä³é ó ð³çíèõ ³íåðö³àëüíèõ ñèñòåìàõ â³äë³êó?3.
Ó ÷îìó â³äì³íí³ñòü ì³æ ïåðåòâîðåííÿìè Ãàë³ëåÿ òà Ëîðåíöà.4.
§ 49 Відносність довжин
Â³äíîñí³ñòü äîâæèí.
Â³äíîñí³ñòü äîâæèí. Äîâæèíà â³äð³çêà, ÿêà ó íüþòîí³âñüê³é ìåõàí³ö³ ââà-
æàëàñü àáñîëþòíîþ, òàêîæ çàëåæèòü â³ä øâèäêîñò³ ðóõó ò³ëà â³äíîñíî ïåâíî¿
ñèñòåìè â³äë³êó.
Àäæå, ùî îçíà÷àº âèì³ðÿòè äîâæèíó â³äð³çêà? Öå îçíà÷àº îäíî÷àñíî âêà-
çàòè êîîðäèíàòè éîãî ïî÷àòêó ³ ê³íöÿ ( 2 1l x x= − ). Àëå, ÿê ìè âæå çíàºìî, ïî-
íÿòòÿ îäíî÷àñíîñò³ º â³äíîñíèì. Ïîä³¿, îäíî÷àñí³ â îäí³é ñèñòåì³ â³äë³êó, íåî-
äíî÷àñí³ â ³íø³é.
À.Åéíøòåéí ïîêàçàâ, ùî óÿâëåííÿ ïðî àáñîëþòíó äîâæèíó â³äð³çêà âèíè-
êàº ó íàñ ëèøå òîìó, ùî ìè çàçâè÷àé ìàºìî ñïðàâó ç³ øâèäêîñòÿìè, íàáàãàòî
ìåíøèìè â³ä øâèäêîñò³ ñâ³òëà. ßêùî æ ñèñòåìà ðóõàºòüñÿ â³äíîñíî ñïîñòåð³-
ãà÷à ç³ øâèäê³ñòþ, áëèçüêîþ äî øâèäêîñò³ ñâ³òëà, ³ â í³é çíàõîäèòüñÿ ë³í³éêà
çàâäîâæêè 0l , òî ç ïîãëÿäó òàêîãî ñïîñòåð³ãà÷à äîâæèíà ë³í³éêè áóäå ìåíøîþ:
0l l< .
Ðîçãëÿíåìî öå äåòàëüí³øå. Íåõàé ë³í³éêà çíàõîäèòüñÿ ó âàãîí³, ùî ðóõà-
ºòüñÿ ð³âíîì³ðíî ³ ïðÿìîë³í³éíî ç³ øâèäê³ñòþ υ
r
. Ë³í³éêà ðîçòàøîâàíà âçäîâæ
ïðÿìî¿, ó íàïðÿì³ ÿêî¿ â³äáóâàºòüñÿ ðóõ âàãîíà. Íà îäíîìó ê³íö³ ë³í³éêè çíàõî-
äèòüñÿ äæåðåëî ñâ³òëà, à íà ³íøîìó – äçåðêàëî. Äîâæèíó ë³í³éêè âèçíà÷àþòü
çà ÷àñîì ïðîõîäæåííÿ ñâ³òëà âçäîâæ ë³í³éêè ó ïðÿìîìó ³ çâîðîòíîìó íàïðÿì³.
Äëÿ ñïîñòåð³ãà÷à, ùî çíàõîäèòüñÿ ó âàãîí³, öåé ÷àñ (âëàñíèé) âèçíà÷àºòüñÿ:

252
Ð Î Ç Ä ² Ë 5
0
0
2l
t
c
= , çâ³äêè 0
0
2
ct
l = .
Äëÿ ñïîñòåð³ãà÷à, â³äíîñíî ÿêîãî âàãîí, à â³äïîâ³äíî ³ äçåðêàëî, â³ääàëÿ-
ºòüñÿ ç³ øâèäê³ñòþ υ
r
, ÷àñ ðóõó ñâ³òëîâîãî ñèãíàëó äî äçåðêàëà áóäå 1
1
l t
t
c
+ υ
= ,
à â³ä äçåðêàëà: 2
2
l t
t
c
− υ
= . Çàãàëüíèé ÷àñ ðóõó: 1 2t t t= + . Ðîçâ’ÿçóþ÷è ñèñòåìó
ç òðüîõ ð³âíÿíü, îòðèìóºìî: 2 2
2lc
t
c
=
− υ
, çâ³äêè
2 2
2
c
l t
c
− υ
= (1).
Äëÿ âñòàíîâëåííÿ çâ’ÿçêó ì³æ l òà l0
çãàäàºìî, ùî â³äíîñíî ñïîñòåð³ãà÷à,
ÿêèé çíàõîäèòüñÿ ó ðóõîì³é ñèñòåì³ â³äë³êó, ÷àñ ðóõó ñèãíàëó t0
= 2l0
/c, à äëÿ
ñïîñòåð³ãà÷à, â³äíîñíî ÿêîãî ðóõàºòüñÿ ñèñòåìà, öÿ ïîä³ÿ â³äáóâàºòüñÿ ïîâ³ëü-
í³øå:
0
2
2
1
t
t
c
=
υ
−
, àáî 0
2
2
2
1
l
t
c
c
=
υ
−
.
Ï³äñòàâëÿþ÷è îòðèìàíèé âèðàç ó ôîðìóëó (1), îòðèìóºìî:
2 2 2 2 2 2 2 2
0 0 0
02 2 22 2 2
2 2 2
2
(1 ) 1
2 2
1 1 1
l l lc c c
l t l
c c c c c
c
c c c
− υ − υ − υ υ υ
= = ⋅ = ⋅ = − ⋅ = −
υ υ υ
− − −
.
Îòæå,ÿêùîñèñòåìàðóõàºòüñÿâ³äíîñíîíåðóõîìî-
ãî ñïîñòåð³ãà÷à ç³ øâèäê³ñòþ, áëèçüêîþ äî øâèäêî-
ñò³ ñâ³òëà, ³ â í³é çíàõîäèòüñÿ ë³í³éêà çàâäîâæêè l0
,
òî ç ïîãëÿäó òàêîãî ñïîñòåð³ãà÷à äîâæèíà ë³í³éêè
áóäå ó
2
2
1
c
υ
− ðàç³â ìåíøà:
2
0 2
1l l
c
υ
= − .
Äîâæèíà â³äð³çêà íå º ïîíÿòòÿì àáñîëþòíèì, âîíà çàëåæèòü â³ä ò³º¿ ñèñòå-
ìè â³äë³êó, â³äíîñíî ÿêî¿ â³äáóâàºòüñÿ âèì³ðþâàííÿ. Äîâæèíà ò³ëà ó ñèñòåì³
â³äë³êó, â³äíîñíî ÿêî¿ âîíî çíàõîäèòüñÿ â ñïîêî¿, íàçèâàºòüñÿ âëàñíîþ äî-
âæèíîþ l0.
Дайте відповіді на запитання:
×è âïëèâàº íà âèì³ðþâàííÿ ë³í³éíèõ ðîçì³ð³â ò³ëà ðóõ ñèñòåìè, ó ÿê³é1.
â³äáóâàºòüñÿ âèì³ðþâàííÿ?
Ùî íàçèâàþòü âëàñíèì ÷àñîì ³ âëàñíîþ äîâæèíîþ?2.

253
§ 50 Релятивістські співвідношення
Ðåëÿòèâ³ñòñüêèé çàêîí äîäàâàííÿ øâèäêîñòåé.
Ðåëÿòèâ³ñòñüêèé ³ìïóëüñ.
Ðåëÿòèâ³ñòñüêèé çàêîí äîäàâàííÿ øâèäêîñòåé. Íîâèì ðåëÿòèâ³ñòñüêèì
óÿâëåííÿì ïðî ïðîñò³ð ³ ÷àñ â³äïîâ³äàº íîâèé çàêîí äîäàâàííÿ øâèäêîñòåé.
Î÷åâèäíî, ùî êëàñè÷íèé çàêîí äîäàâàííÿ øâèäêîñòåé âæå íå ä³éñíèé, áî ñó-
ïåðå÷èòü ïîñòóëàòó ïðî ñòàë³ñòü ñâ³ò-
ëà ó âàêóóì³. Ñïðàâä³, çã³äíî ç êëà-
ñè÷íèì çàêîíîì äîäàâàííÿ, ÿêùî ó
ïîòÿç³, ùî ðóõàºòüñÿ ç³ øâèäê³ñòþ υ,
â³äïðàâèòè ó íàïðÿì³ ðóõó ñâ³òëîâèé
ñèãíàë, òî â³äíîñíî çåìë³ éîãî øâèä-
ê³ñòü ìàº áóòè c + υ – à öå ñóïåðå÷èòü
äðóãîìó ïîñòóëàòó ÑÒÂ.
Íåõàé ò³ëî ðóõàºòüñÿ â³äíîñíî
ñèñòåìè K′ ç³ øâèäê³ñòþ u
r
. Ñàìà
ñèñòåìà K′ ðóõàºòüñÿ â³äíîñíî ñèñ-
òåìè K , ÿêà ââàæàºòüñÿ íåðóõîìîþ,
ç ïîñò³éíîþ øâèäê³ñòþ υ
r
óçäîâæ îñ³
Õ (ìàë. 225).
Ïîçíà÷èìî øâèäê³ñòü öüîãî ñàìîãî ò³ëà â³äíîñíî íåðóõîìî¿ ñèñòåìè K ë³-
òåðîþ ω
r
.
Òîä³ ðåëÿòèâ³ñòñüêèé çàêîí äîäàâàííÿ øâèä-
êîñòåé ìàòèìå âèãëÿä
2
1
u
u
c
υ +
ω =
υ
+
r r
r
r r ,
äå u
r
– øâèäê³ñòü ðóõó ò³ëà â³äíîñíî ðóõîìî¿ ñèñòåìè â³äë³êó K′ ,
υ
r
– øâèäê³ñòü ðóõîìî¿ ñèñòåìè K′ , â³äíîñíî íåðóõîìî¿ K ,
ω
r
– øâèäê³ñòü ðóõó ò³ëà â³äíîñíî íåðóõîìî¿ ñèñòåìè â³äë³êó K .
ßêùî u << ñ òà υ << ñ, ìàºìî êëàñè÷íèé çàêîí äîäàâàííÿ øâèäêîñòåé uω = υ +
r r r
.
ßêùî u = c, òî
2
1
c c
c c
c c
c
υ + υ +
ω = = =
υ υ ++
, ÿê öüîãî ³ âèìàãàº äðóãèé ïîñòóëàò ÑÒÂ.
Ìàë. 225. Øâèäê³ñòü
ðóõó ò³ëà â³äíîñíî ðóõîìî¿
³ íåðóõîìî¿ ³íåðö³àëüíî¿ ñèñòåì â³äë³êó

254
Ð Î Ç Ä ² Ë 5
Ðåëÿòèâ³ñòñüêèé ³ìïóëüñ. Ï³ä ÷àñ ðóõó ò³ë ç âåëèêèìè øâèäêîñòÿìè âè-
ÿâëÿþòüñÿ é ³íø³ ñïåöèô³÷í³ âëàñòèâîñò³. Òàê, ç íîâèìè ïðîñòîðîâî-÷àñîâèìè
óÿâëåííÿìè òåîð³¿ â³äíîñíîñò³ íå óçãîäæóþòüñÿ çà âåëèêèõ øâèäêîñòåé ðóõó
çàêîíè ìåõàí³êè Íüþòîíà. Çîêðåìà, çàïèñ äðóãîãî çàêîíó Íüþòîíà F ma=
r r
íå
â³äïîâ³äàº äðóãîìó ïîñòóëàòó òåîð³¿ â³äíîñíîñò³. Ñïðàâä³, îñê³ëüêè
F
a
m
=
r
r
,
òî ïðè ñòàë³é ñèë³ F
r
ïðèñêîðåííÿ a
r
òåæ áóäå ñòàëèì ³ çà òðèâàëèé ÷àñ öÿ ñèëà
ìîãëà á íàäàòè ò³ëó ÿê çàâãîäíî âåëèêî¿ øâèäêîñò³. Îäíàê øâèäê³ñòü ñâ³òëà
ó âàêóóì³ º ãðàíè÷íîþ, ³ çà æîäíèõ óìîâ ðóõîì³ ò³ëà íå ìîæóòü ïåðåâèùèòè
øâèäêîñò³ ñâ³òëà ó âàêóóì³.
Ïðîòå, À.Åéíøòåéí ïîêàçàâ, ùî çàïèñ äðóãîãî çàêîíó Íüþòîíà â ³ìïóëü-
ñí³é ôîðì³ ó ðåëÿòèâ³ñòñüê³é ìåõàí³ö³ òàêèé ñàìèé, ÿê ³ ó êëàñè÷í³é ìåõàí³ö³:
F t p∆ = ∆
r r
, àëå ç óðàõóâàííÿì òîãî, ùî ôîðìóëà äëÿ ³ìïóëüñó íàáóâàº äåùî ³í-
øîãî âèãëÿäó.
Ó êëàñè÷í³é ìåõàí³ö³ ³ìïóëüñ ò³ëà âèçíà÷àºòüñÿ çà ôîðìóëîþ:
p m= υ
rr
àáî
s
p m
t
∆
=
∆
r
r
.
ßêùî ó ö³é ôîðìóë³ çàì³íèòè ³íòåðâàë ÷àñó t∆ âëàñíèì ³íòåðâàëîì ÷àñó
0t∆ , òî îòðèìóºìî:
0
s
p m
t
∆
=
∆
r
r
,
äå s∆
r
- ïåðåì³ùåííÿ ò³ëà ó ò³é ñèñòåì³ â³äë³êó, ó ÿê³é âèçíà÷àºòüñÿ ³ìïóëüñ
(âëàñí³é ñèñòåì³), à 0t∆ - ³íòåðâàë ÷àñó, âèì³ðÿíèé çà ãîäèííèêîì, ùî ðóõàºòü-
ñÿ ðàçîì ç ò³ëîì (âëàñíèé ÷àñ).
Âðàõóâàâøè òå, ùî äëÿ âëàñíîãî ÷àñó âèêîíóºòüñÿ ñï³ââ³äíîøåííÿ
2
0 2
1t t
c
υ
∆ = ∆ − ,
îòðèìóºìî ðåëÿòèâ³ñòñüêó ôîðìóëó äëÿ ³ìïóëüñó
2
2
1
m
p
c
υ
=
υ
−
r
r
.
Ç ö³º¿ ôîðìóëè âèäíî, ùî çàëåæí³ñòü ³ìïóëüñó
â³ä øâèäêîñò³ º á³ëüø ñêëàäíîþ, í³æ ó íüþòîí³â-
ñüê³é ìåõàí³ö³.
Çàëåæí³ñòü ³ìïóëüñó ò³ëà â³ä øâèäêîñò³ ïîäàíî
íà ãðàô³êó (ìàë. 226), ïðè øâèäêîñòÿõ ðóõó, ìàëèõ
ïîð³âíÿíî ç ñ, ãðàô³ê ³ìïóëüñó çá³ãàºòüñÿ ç ïðÿìîþ
p m= υ , ÿêà â³äîáðàæàº çàëåæí³ñòü ³ìïóëüñó â³ä
øâèäêîñò³ ó êëàñè÷í³é ìåõàí³ö³.
çàëåæíîñò³ ³ìïóëüñó
â³ä øâèäêîñò³

255
×îìó êëàñè÷íèé çàêîí äîäàâàííÿ øâèäêîñòåé òà äðóãèé çàêîí äèíàì³-1.
êè Íüþòîíà íå óçãîäæóþòüñÿ ç ïîñòóëàòàìè òåîð³¿ â³äíîñíîñò³?
ßê çàëåæèòü ³ìïóëüñ ò³ëà â³ä éîãî øâèäêîñò³ ðóõó ó ñïåö³àëüí³é òåîð³¿2.
â³äíîñíîñò³?
Ï³ä ÷àñ ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàäà÷ òðåáà ÷³òêî âñòàíîâèòè, ÿêó ñèñòåìó â³äë³êó
ââàæàòè ðóõîìîþ, à ÿêó – íåðóõîìîþ. Âèçíà÷èòè, ÿêå ñàìå ò³ëî ïåðåáóâàº ó
ñòàí³ ñïîêîþ â³äíîñíî ðóõîìî¿ ñèñòåìè â³äë³êó ³ òîä³ ïàðàìåòðè öüîãî ò³ëà ââà-
æàòè âëàñíèìè.
Çàäà÷à 1. Ñèñòåìà â³äë³êó K′ ðóõàºòüñÿ â³äíîñíî ñèñòåìè â³äë³êó Ê ç³
øâèäê³ñòþ
2
3
c . ×àñòèíêà ðóõàºòüñÿ â³äíîñíî ñèñòåìè â³äë³êó K′ ç³ øâèäê³ñ-
òþ
2
3
c . Âèçíà÷èòè øâèäê³ñòü ðóõó ÷àñòèíêè ó ñèñòåì³ â³äë³êó Ê.
Äàíî:
υ =
2
3
c ;
=
2
3
u c
Îñê³ëüêè ðóõ óñ³õ ò³ë â³äáóâàºòüñÿ â îäíîìó íàïðÿì³, òî çà ðåëÿ-
òèâ³ñòñüêèì çàêîíîì äîäàâàííÿ øâèäêîñòåé:
2
2
2 2
4 123 3 ;
2 2 4 131 3 1
3 3 91
c c cu
c
u
c c
c
c
+
+ υ
ω = = ω = =
υ ⎛ ⎞+ ⋅ ⋅ +⎜ ⎟⎝ ⎠+
, òîáòî ω < c.
ω – ?
Àíàë³çóþ÷è îòðèìàíèé ðåçóëüòàò, áà÷èìî, ùî çà êëàñè÷íèì çàêîíîì
äîäàâàííÿ øâèäêîñòåé áóëî á
2 2 4
3 3 3
c c cω = + = , òîáòî ω > c, ùî íåïðèïóñòèìî, áî
øâèäê³ñòü ïîøèðåííÿ ñâ³òëà ó âàêóóì³ º ìàêñèìàëüíîþ øâèäê³ñòþ ïåðåäà÷³
ñèãíàëó.
Â³äïîâ³äü: 0,92 ñ
Çàäà÷à 2. Êîñì³÷í³ êîðàáë³ À ³ Â â³ääàëÿþòüñÿ ó ïðîòèëåæíèõ íàïðÿìàõ
ç³ øâèäêîñòÿìè 8 ì
2 10
ñ
⋅ â³äíîñíî Çåìë³. Ó êîñì³÷íîìó êîðàáë³ À â³äáóâàºòüñÿ
ïîä³ÿ, ÿêà òðèâàº 1 ñ. ßêîþ áóäå òðèâàë³ñòü ö³º¿ ïîä³¿ â³äíîñíî Çåìë³ ³ â³äíîñíî
êîðàáëÿ Â?
Äàíî:
υ = 2 · 108
ì/ñ;
t0
= 1 ñ
Òðèâàë³ñòü ïîä³¿ â³äíîñíî Çåìë³ âèçíà÷àºòüñÿ çà ôîðìóëîþ
0
2
2
1
t
t
c
∆ =
υ
−
.
t1
– ?; t2
– ?

256
Ð Î Ç Ä ² Ë 5
Ï³äñòàâëÿþ÷è äàí³, îòðèìóºìî
1
8 2
8 2
1c
1,3ñ
ì
(2 10 )
ñ1
ì
(3 10 )
ñ
t∆ = ≈
⋅
−
⋅
.
Äëÿ âèçíà÷åííÿ òðèâàëîñò³ ïîä³¿ â³ä-
íîñíî êîðàáëÿ Â ñë³ä âèçíà÷èòè â³äíîñíó
øâèäê³ñòü ðóõó êîðàáë³â. Îñê³ëüêè çà óìî-
âîþ çàäà÷³ êîñì³÷í³ êîðàáë³ À ³ Â â³ääàëÿ-
þòüñÿ ó ïðîòèëåæíèõ íàïðÿìàõ ç³ øâèäêî-
ñòÿìè υ
r
â³äíîñíî Çåìë³, òî ìîæíà îäèí ³ç êîðàáë³â (íàïðèêëàä, Â) ïðèéíÿòè
çà ðóõîìó ñèñòåìó â³äë³êó (ìàë. 227).
Îñê³ëüêè êîðàáë³ ðóõàþòüñÿ ó ïðîòèëåæíèõ íàïðÿìàõ, òî ïðîåêö³ÿ âåê-
òîðà øâèäêîñò³ êîðàáëÿ Â â³äíîñíî Çåìë³ ìàòèìå â³ä’ºìíèé çíàê −υ . Îòæå,
øâèäê³ñòü êîðàáëÿ À â³äíîñíî Çåìë³ υ , øâèäê³ñòü êîðàáëÿ Â â³äíîñíî Çåìë³
−υ . ¯õ â³äíîñíà øâèäê³ñòü u .
Çàïèøåìî ðåëÿòèâ³ñòñüêèé çàêîí äîäàâàííÿ øâèäêîñòåé ç óðàõóâàííÿì
óìîâè çàäà÷³:
2
1
u
u
c
− υ
υ =
υ
−
, çâ³äêè
2
1
u
c
υ + υ
=
υυ
+
. Ï³ñëÿ ï³äñòàíîâêè ÷èñëîâèõ çíà-
÷åíü: 8 ì
2,8 10
ñ
u = ⋅ . Îòæå, òðèâàë³ñòü ïîä³¿ â³äíîñíî êîðàáëÿ Â:
2
8 2
8 2
1c
2,8ñ
ì
(2,8 10 )
ñ1
ì
(3 10 )
ñ
t = ≈
⋅
−
⋅
.
Â³äïîâ³äü: 1,3 ñ; 2,8 ñ
Вправа 40
1. Ò³ëî ðóõàºòüñÿ â³äíîñíî ðóõîìî¿ ñèñòåìè â³äë³êó ç³ øâèäê³ñòþ 0,2 ñ, à
â³äíîñíî íåðóõîìî¿ – ç³ øâèäê³ñòþ 0,8 ñ, äå ñ – øâèäê³ñòü ïîøèðåííÿ ñâ³òëà
ó âàêóóì³. Ç ÿêîþ øâèäê³ñòþ ðóõàºòüñÿ ñèñòåìà â³äë³êó â³äíîñíî íåðóõîìî¿
ñèñòåìè?
2. Äâà ò³ëà ðóõàþòüñÿ â³äíîñíî íåðóõîìîãî ñïîñòåð³ãà÷à ð³âíîì³ðíî ³ ïðÿ-
ìîë³í³éíî ó ïðîòèëåæíèõ íàïðÿìàõ ç³ øâèäêîñòÿìè υ1
= 0,8ñ òà υ2
= −0,5ñ. Âè-
çíà÷èòè â³äíîñí³ øâèäêîñò³ öèõ ò³ë çà êëàñè÷íèì ³ ðåëÿòèâ³ñòñüêèì ñï³ââ³ä-
íîøåííÿìè.
3. ×àñòèíêè ðóõàþòüñÿ íàçóñòð³÷ îäíà îäí³é ç³ øâèäê³ñòþ 0,9 ñ. Âèçíà÷è-
òè ¿õ â³äíîñíó øâèäê³ñòü.
Ìàë. 227. Â³äíîñíèé ðóõ êîðàáë³â

257
4. Çà ÿêî¿ â³äíîñíî¿ øâèäêîñò³ ðóõó ðåëÿòèâ³ñòñüêå ñêîðî÷åííÿ äîâæèíè
ðóõîìîãî ò³ëà ñòàíîâèòü25%?
5. ßêó øâèäê³ñòü ïîâèííî ìàòè ðóõîìå ò³ëî, ùîá éîãî ïîçäîâæí³ ðîçì³ðè
çìåíøèëèñü óäâ³÷³?
6. Ó ñê³ëüêè ðàç³â çá³ëüøóºòüñÿ ÷àñ ³ñíóâàííÿ íåñòàá³ëüíî¿ ÷àñòèíêè çà ãî-
äèííèêîì íåðóõîìîãî ñïîñòåð³ãà÷à, ÿêùî âîíà ðóõàºòüñÿ ç³ øâèäê³ñòþ 0,99 ñ?
§ 51 Закон взаємозв’язку маси та енергії
Çâ’ÿçîê ì³æ åíåðã³ºþ ñïîêîþ òà ìàñîþ ò³ëà.
Äåôåêò ìàñè.
Ôîòîí.
Çâ’ÿçîê ì³æ åíåðã³ºþ ñïîêîþ òà ìàñîþ ò³ëà. Íåâäîâç³ ï³ñëÿ ñòâîðåííÿ òåî-
ð³¿ â³äíîñíîñò³ ó çàì³òö³ «×è çàëåæèòü ³íåðòí³ñòü ò³ëà â³ä íàÿâíî¿ ó íüîìó åíåð-
ã³¿?» À. Åéíøòåéí âèâ³â ôîðìóëó 2
0E mc= .
Îòðèìàíà âîíà áóëà â ïðèòàìàííîìó éîìó íåïîâòîðíîìó ñòèë³ ó÷åíîãî-
òåîðåòèêà. À ñàìå â³í ðîçãëÿíóâ åíåðã³þ ò³ëà, ÿêå âèïðîì³íþº ð³âí³ ïîðö³¿
åëåêòðîìàãí³òíî¿ åíåðã³¿ ó äâîõ ïðîòèëåæíèõ íàïðÿìêàõ. Ïðè öüîìó â³í ðîç-
ðàõóâàâ öþ åíåðã³þ ÿê ó âëàñí³é ñèñòåì³ â³äë³êó ò³ëà, òàê ³ â ñèñòåì³, ùî ðóõà-
ºòüñÿ ç³ øâèäê³ñòþ υ â³äíîñíî ïåðøî¿. ² ä³éøîâ âèñíîâêó, ùî ³íåðòíà ìàñà (¿¿
ùå íàçèâàþòü ìàñîþ ñïîêîþ ò³ëà) çì³íèòüñÿ íà ∆E/c2
. Äî òîãî æ öåé âèñíîâîê
À.Åéíøòåéí óçàãàëüíèâ äëÿ áóäü-ÿêèõ ÿâèù ïðèðîäè.
Íèí³ äîñòåìåííî äîâåäåíî, ùî ïîâíà åíåðã³ÿ ðóõîìîãî ò³ëà äîð³âíþº:
2
2
2
1
mc
E
c
=
υ
−
.
Â³äïîâ³äíî íåðóõîìå ò³ëî ìàº åíåðã³þ ñïîêîþ 2
0E mc= .
Òåðì³í «ïîâíà åíåðã³ÿ» ó ðåëÿòèâ³ñòñüê³é ìåõàí³ö³ ìàº ³íøèé çì³ñò, í³æ ó
íüþòîí³âñüê³é. Ó íüþòîí³âñüê³é ìåõàí³ö³, ÿê âè óæå çíàºòå, ïîâíà åíåðã³ÿ ò³ëà
– öå ñóìà ê³íåòè÷íî¿ òà ïîòåíö³àëüíî¿ åíåðã³¿ ò³ëà. Ó ðåëÿòèâ³ñòñüê³é ìåõàí³ö³
ïîâíà åíåðã³ÿ – öå ñóìà ê³íåòè÷íî¿ åíåðã³¿ ò³ëà òà éîãî åíåðã³¿ ñïîêîþ
0
0 2
2
1
k
E
E E E
c
= + =
υ
−
.
Ó êëàñè÷í³é ìåõàí³ö³ äîñë³äæåííÿ ìàòåð³¿ ´ðóíòóºòüñÿ íà òîìó, ùî ìàòå-
ð³ÿ ïîä³ëÿºòüñÿ íà äâà âèäè – ðå÷îâèíó ³ ïîëå. Îñíîâíîþ õàðàêòåðèñòèêîþ ðå-
÷îâèíè º ìàñà, à ïîëÿ – åíåðã³ÿ. Â³äïîâ³äíî ³ñíóþòü çàêîí çáåðåæåííÿ ìàñè òà
çàêîí çáåðåæåííÿ åíåðã³¿.

258
Ð Î Ç Ä ² Ë 5
Ãåí³àëüí³ñòü À.Åéíøòåéíà ó òîìó, ùî â³í óçàãàëüíèâ âèñíîâîê ïðî ³ñíó-
âàííÿ åíåðã³¿ ñïîêîþ ò³ëà ïðîïîðö³éíî¿ äî éîãî ìàñè. Òèì ñàìèì Åéíøòåéí
îá’ºäíàâ çàêîíè çáåðåæåííÿ ìàñè òà åíåðã³¿ â îäèí çàêîí çáåðåæåííÿ ìàñè-
åíåðã³¿.
²íøèìè ñëîâàìè, íèì áóëî äîâåäåíî åêâ³âàëåíòí³ñòü ìàñè ò³ëà ³ éîãî åíåð-
ã³¿ ñïîêîþ: ìàñà ò³ëà º ì³ðîþ åíåðã³¿, ùî ì³ñòèòüñÿ â íüîìó:
0
2
E
m
c
= .
Òàê 1 ã ìàñè áóäü-ÿêîãî ò³ëà åêâ³âàëåíòíèé 9 · 1013
Äæ åíåðã³¿. Ö³º¿ åíåðã³¿
âèñòà÷èëî á äëÿ ïåðåòâîðåííÿ â ïàðó 39 000 ò âîäè.
Äåôåêò ìàñè. Â³äïîâ³äíî, çì³í³ åíåðã³¿ ò³ëà â³äïîâ³äàº çì³íà ìàñè ò³ëà:
2
0E mc∆ = ∆ – çàêîí âçàºìîçâ’ÿçêó ìàñè òà åíåðã³¿ ñïîêîþ.
Âåëè÷èíà m íàçèâàºòüñÿ äåôåêòîì ìàñè.
Íàïðèêëàä, ï³ä ÷àñ íàãð³âàííÿ ò³ëà çá³ëüøóºòüñÿ éîãî âíóòð³øíÿ åíåðã³ÿ,
îòæå, çá³ëüøóºòüñÿ ³ ìàñà ò³ëà. Êóëÿ, ùî ëåòèòü ç³ øâèäê³ñòþ 5000 ì/ñ, íà-
áóâàº ê³íåòè÷íî¿ åíåðã³¿, îòæå, ³ çá³ëüøóº ñâîþ ìàñó. Çðîçóì³ëî, ùî ö³ çì³íè
ïðàêòè÷íî íå â³ä÷óâàþòüñÿ ó çâè÷àéíèõ óìîâàõ. Òàê, ó íàâåäåíîìó ïðèêëàä³ ç
êóëåþ, ÿêùî ¿¿ ìàñà ó ñòàí³ ñïîêîþ áóëà 1 ã, òî ïðè øâèäêîñò³ 5000 ì/ñ ¿¿ ïîâíà
ìàñà ñòàíå 1,000 000 000 01 ã.
Íàî÷íèì ï³äòâåðäæåííÿì ïðàâèëüíîñò³ òàêîãî âèñíîâêó ñòàëè åêñïåðè-
ìåíòàëüí³ äàí³, îòðèìàí³ ïðè äîñë³äæåíí³ âçàºìîä³¿ åëåìåíòàðíèõ ÷àñòèíîê.
Ó 9-ìó êëàñ³ ïðè âèâ÷åíí³ ÿäåðíèõ ðåàêö³é âè ç’ÿñóâàëè, ùî º ðåàêö³¿, ÿê³
â³äáóâàþòüñÿ ç âèä³ëåííÿì âåëè÷åçíî¿ ê³ëüêîñò³ åíåðã³¿. Öå ïîÿñíþºòüñÿ òèì,
ùî åíåðã³ÿ ñïîêîþ çäàòíà ïåðåòâîðþâàòèñü ó ê³íåòè÷íó åíåðã³þ ÷àñòèíîê â ðå-
çóëüòàò³ ÿäåðíèõ òà õ³ì³÷íèõ ðåàêö³é, ÿêùî ìàñà âèõ³äíî¿ ðå÷îâèíè á³ëüøà çà
ìàñó ïðîäóêò³â ðåàêö³¿.
Ôîòîí. Äîñ³ ìè çàçíà÷àëè, ùî æîäíå ò³ëî íå ìîæå ðóõàòèñü ç³ øâèäê³ñòþ,
á³ëüøîþ çà øâèäê³ñòü ñâ³òëà ó âàêóóì³. Àëå é äîñÿãòè ãðàíè÷íî¿ øâèäêîñò³
òàêîæ íåìîæëèâî, îñê³ëüêè ³ìïóëüñ ò³ëà ïðè öüîìó íåîáìåæåíî çðîñòàº. Ñïå-
ö³àëüíà òåîð³ÿ â³äíîñíîñò³ äàº â³äïîâ³äü íà öå ïèòàííÿ: ðóõàòèñü ç³ øâèäê³ñòþ
ñâ³òëà ìîæóòü ò³ ÷àñòèíêè, ÿê³ íå ïîòð³áíî ðîçãàíÿòè äî ö³º¿ øâèäêîñò³. Òàêè-
ìè º ÷àñòèíêè ñâ³òëà – ôîòîíè (À.Åéíøòåéí íàçèâàâ ¿õ êâàíòàìè åíåðã³¿), ÿê³
«íàðîäæóþòüñÿ» ³ â³äðàçó ðóõàþòüñÿ ç³ øâèäê³ñòþ ñ. Ôîòîíè íå ìîæíà çóïè-
íèòè ÷è çàãàëüìóâàòè – ïðè öüîìó âîíè çíèêàþòü, ïîãëèíàþ÷èñü ðå÷îâèíîþ.
Òàêèì ÷èíîì, ôîòîíè – öå ÷àñòèíêè, ÿê³ íå ìàþòü ìàñè ñïîêîþ.
Îñê³ëüêè ôîòîíè ðóõàþòüñÿ ç³ øâèäê³ñòþ ñ, ³ â³äïîâ³äíî äî îñíîâíèõ ïî-
ëîæåíü ñïåö³àëüíî¿ òåîð³¿ â³äíîñíîñò³ â óñ³õ ³íåðö³àëüíèõ ñèñòåìàõ â³äë³êó
øâèäê³ñòü ñâ³òëà º ñòàëîþ, òî íå ³ñíóº òàêèõ ñèñòåì â³äë³êó, â³äíîñíî ÿêèõ ôî-
òîíè ìîæóòü ïåðåáóâàòè ó ñòàí³ ñïîêîþ.
Òå, ùî ÷àñòèíêè, ÿê³ ðóõàþòüñÿ ç³ øâèäê³ñòþ ñâ³òëà, íå ìàþòü ìàñè ñïî-
êîþ ìîæíà äîâåñòè ³ òàê. Çã³äíî ç ôîðìóëîþ
2
2
1
m
p
c
υ
=
υ
−
,

259
÷àñòèíêà ç m=0 ìàº ñê³í÷åííå çíà÷åííÿ ³ìïóëüñó, êîëè ÷èñåëüíèê òà çíàìåí-
íèê äðîáó îäíî÷àñíî ïðÿìóþòü äî íóëÿ, òîáòî υ ìàº äîð³âíþâàòè ñ.
Êâàíòîâîþ ïðèðîäîþ ñâ³òëà ïîÿñíþþòüñÿ òàê³ ô³çè÷í³ ÿâèùà ÿê òèñê ñâ³ò-
ëà, âèðèâàííÿ åëåêòðîí³â ç ïîâåðõí³ ìåòàëó ï³ä ä³ºþ ñâ³òëà (ôîòîåëåêòðè÷íèé
åôåêò) òà ³íø³.
Ç³ ñï³ââ³äíîøåííÿ ôîðìóë äëÿ ïîâíî¿ åíåðã³¿
2
2
2
1
mc
E
c
=
υ
−
òà ðåëÿòèâ³ñòñüêîãî ³ìïóëüñó
2
2
1
m
p
c
υ
=
υ
−
ìîæíà çàïèñàòè, ùî
2
E c
p
=
υ
. Çâ³äñè ³ìïóëüñ ôîòîíà
E
p
c
= .
Дайте відповіді на запитання:
Ó ÷îìó ïîëÿãàº çàêîí âçàºìîçâ’ÿçêó ìàñè òà åíåðã³¿?1.
×îìó ºäèíèé çàêîí çáåðåæåííÿ ìàñè-åíåðã³¿ ó êëàñè÷í³é ìåõàí³ö³ ðîç-2.
ãëÿäàþòüñÿ ÿê äâà çàêîíè çáåðåæåííÿ ìàñè òà åíåðã³¿?
Ùî òàêå ïîâíà åíåðã³ÿ ò³ëà?3.
×îìó ôîòîí íå ìàº ìàñè ñïîêîþ?4.
Îñê³ëüêè ðåëÿòèâ³ñòñüê³ ñï³ââ³äíîøåííÿ ñïðàâåäëèâ³ äëÿ îá’ºêò³â ì³êðî-
ñâ³òó, øâèäê³ñòü ðóõó ÿêèõ áëèçüêà äî øâèäêîñò³ ñâ³òëà, òî ¿õ ìàñè ³ åíåðã³¿
ïðèéíÿòî âèðàæàòè ÷åðåç ñïåö³àëüí³ îäèíèö³. Òàê, çàì³ñòü îäèíèö³ ìàñè ê³ëî-
ãðàì âèêîðèñòîâóþòü àòîìíó îäèíèöþ ìàñè: 27
1 à.î.ì 1,667 10 êã,−
= ⋅ à åíåð-
ã³þ âèðàæàþòü â åëåêòðîí-âîëüòàõ: 19
1åÂ 1,6 10 Äæ−
= ⋅ .
Çàäà÷à. Åíåðã³ÿ ñïîêîþ äåÿêî¿ ÷àñòèíêè 0,94 ÃåÂ. Ê³íåòè÷íà åíåðã³ÿ ö³º¿
÷àñòèíêè, ÿêà ðîçãàíÿºòüñÿ ó ïðèñêîðþâà÷³, ïðèáëèçíî 76 ÃåÂ. Äî ÿêî¿ øâèä-
êîñò³ ðîçãàíÿºòüñÿ ÷àñòèíêà?
Äàíî:
Ek
= 76 ÃåÂ;
E0
= 0,938 ÃåÂ
Ïîâíà åíåðã³ÿ ò³ëà 0
0 2
2
1
k
E
E E E
c
= + =
υ
−
,
υ – ?
çâ³äêè
2 22
0 0
2 2 2
0 0
2
1
( ) ( )
k k
k k
E E E E
c E E E E
+υ
= − =
+ +
;

260
Ð Î Ç Ä ² Ë 5
0
0
(2 )k k
k
c
E E E
E E
υ = +
+
.
Ï³ñëÿ ï³äñòàíîâêè äàíèõ, 0,9999 cυ ≈ .
Â³äïîâ³äü: 0,9999 cυ ≈
Вправа 41
1. Âèçíà÷èòè øâèäê³ñòü ÷àñòèíêè (â ì/ñ), ÿêùî ¿¿ ê³íåòè÷íà åíåðã³ÿ âäâ³÷³
ìåíøà çà ¿¿ åíåðã³þ ñïîêîþ.
2. Âèçíà÷èòè øâèäê³ñòü êîñì³÷íî¿ ÷àñòèíêè, ÿêùî ¿¿ ïîâíà åíåðã³ÿ â k ðà-
ç³â ïåðåâèùóº åíåðã³þ ñïîêîþ.
3. Âèçíà÷èòè øâèäê³ñòü ðóõó ÷àñòèíêè (ìåçîíà), ÿêùî ¿¿ ïîâíà åíåðã³ÿ â 10
ðàç³â á³ëüøà çà åíåðã³þ ñïîêîþ.
4. ßêó ÷àñòêó øâèäêîñò³ ïîøèðåííÿ ñâ³òëà ìàº ñòàíîâèòè øâèäê³ñòü ðóõó
÷àñòèíêè, ùîá ¿¿ ê³íåòè÷íà åíåðã³ÿ äîð³âíþâàëà ¿¿ åíåðã³¿ ñïîêîþ?
5. Ñèíõðîôàçîòðîí äàº ïó÷îê ïðîòîí³â ç ê³íåòè÷íîþ åíåðã³ºþ 10 ÃåÂ. ßêó
÷àñòêó øâèäêîñò³ ïîøèðåííÿ ñâ³òëà ñêëàäàº øâèäê³ñòü ðóõó ïðîòîí³â ó öüîìó
ïó÷êó?
6. Åíåðã³ÿ ðóõîìîãî åëåêòðîíà âäâ³÷³ á³ëüøà çà éîãî åíåðã³þ ñïîêîþ. Âè-
çíà÷èòè ê³íåòè÷íó åíåðã³þ åëåêòðîíà.
7. Âèçíà÷èòè ³ìïóëüñ ³ ê³íåòè÷íó åíåðã³þ åëåêòðîíà, ÿêèé ðóõàºòüñÿ ç³
øâèäê³ñòþ 0,9 ñ.
§ 52 Сучасні уявлення про простір і час
Âçàºìîçâ’ÿçîê êëàñè÷íî¿ ³ ðåëÿòèâ³ñòñüêî¿ ìåõàí³êè.
Çàãàëüíà òåîð³ÿ â³äíîñíîñò³.
Âëàñòèâîñò³ ïðîñòîðó ³ ÷àñó ó çàãàëüí³é òåîð³¿ â³äíîñíîñò³.
Âçàºìîçâ’ÿçîê êëàñè÷íî¿ ³ ðåëÿòèâ³ñòñüêî¿ ìåõàí³êè. Êëàñè÷íà ìåõàí³-
êà – öå ìåõàí³êà ò³ë, ÿê³ ðóõàþòüñÿ ç³ øâèäêîñòÿìè, íàáàãàòî ìåíøèìè â³ä
øâèäêîñò³ ñâ³òëà υ << c . Øâèäêîñò³ ðóõó ò³ë, ç ÿêèìè ìè ìàºìî ñïðàâó ó ïî-
âñÿêäåííîìó æèòò³, íàñò³ëüêè ìàë³ ïîð³âíÿíî ç³ øâèäê³ñòþ ñâ³òëà, ùî çàêîíè
ìåõàí³êè Íüþòîíà âèêîíóþòüñÿ ïîâíîþ ì³ðîþ.
Ó ì³êðîñâ³ò³, ñâ³ò³ åëåìåíòàðíèõ ÷àñòèíîê, ùî ðóõàþòüñÿ ç³ øâèäêîñòÿ-
ìè, áëèçüêèìè äî øâèäêîñò³ ñâ³òëà, âèÿâëÿþòüñÿ ðåëÿòèâ³ñòñüê³ åôåêòè.
Êð³ì òîãî, íà â³äì³íó â³ä ìàêðîñêîï³÷íîãî ò³ëà, äëÿ ÿêîãî ìîæíà âèçíà÷èòè
ïîëîæåííÿ ó áóäü-ÿêèé ìîìåíò ÷àñó, äëÿ ðåëÿòèâ³ñòñüêî¿ ÷àñòèíêè ó äåÿêèõ
âèïàäêàõ ïîíÿòòÿ òðàºêòîð³¿ íåçàñòîñîâíå, îñê³ëüêè ïîëîæåííÿ ÷àñòèíêè ó

261
ïðîñòîð³ ìîæíà âñòàíîâèòè ëèøå ç äåÿêîþ òî÷í³ñòþ. Íàïðèêëàä, ïîëîæåííÿ
åëåêòðîíà, ùî ðóõàºòüñÿ â àòîì³, âèçíà÷àºòüñÿ ç íàáëèæåíîþ òî÷í³ñòþ, à ðóõ
åëåêòðîíà â åëåêòðîííî-ïðîìåíåâ³é òðóáö³ ìîæíà íàáëèæåíî ðîçãëÿäàòè ÿê
ðóõ ïî äåÿê³é òðàºêòîð³¿.
Çàãàëüíà òåîð³ÿ â³äíîñíîñò³. ². Íüþòîí ðîçãëÿäàâ ïðîñò³ð ÿê àáñîëþòíèé,
³ñòèííèé, ìàòåìàòè÷íèé, à ÷àñ – ÿê àáñîëþòíó ïëèíí³ñòü â³ä ìèíóëîãî äî ìàé-
áóòíüîãî. Äî 1915 ð. ïðîñò³ð ³ ÷àñ ñïðèéìàëèñÿ ÿê äåÿêà àðåíà äëÿ ïîä³é, ïðè-
÷îìó ö³ ïîä³¿ í³ÿê íå âïëèâàþòü íà ïðîñò³ð ³ ÷àñ.
Ñïåö³àëüíà òåîð³ÿ â³äíîñíîñò³ Åéíøòåéíà óòî÷íþº íàø³ óÿâëåííÿ ïðî
ïðîñò³ð ³ ÷àñ. Âîíà ïåðåêîíëèâî äîâîäèòü,
ùî ïðîñòîðîâî-÷àñîâ³ âëàñòèâîñò³ º â³äíîñíè-
ìè, ðåëÿòèâíèìè.
Äîâæèíà, ÷àñîâèé ³íòåðâàë, îäíî÷àñí³ñòü âèÿâèëèñÿ çàëåæíèìè â³ä âçà-
ºìíîãî ðóõó ò³ë.
Ùå á³ëüøå ó ðîçêðèòò³ âëàñòèâîñòåé ïðîñòîðó ³ ÷àñó çàãëèáëþºòüñÿ çàãàëü-
íà òåîð³ÿ â³äíîñíîñò³ Åéíøòåéíà (òåîð³ÿ òÿæ³ííÿ). Âîíà âñòàíîâëþº,
ùî ãåîìåòðè÷í³ âëàñòèâîñò³ ïðîñòîðó çàëå-
æàòü â³ä ðîçïîä³ëó ó íèõ ò³ë çíà÷íî¿ ãðàâ³òà-
ö³éíî¿ ìàñè.
Ï³ä ÷àñ Ïåðøî¿ ñâ³òîâî¿ â³éíè À. Åéíøòåéí çðîáèâ íàäçâè÷àéíå ³ íåñïîä³-
âàíå â³äêðèòòÿ, ÿêå âðàçèëî àñòðîíîì³â, ô³çèê³â ³ ìàòåìàòèê³â óñüîãî ñâ³òó.
Âèõîäÿ÷è ç ïîëîæåíü, ÿê³ á³ëüøîñò³ â÷åíèõ âèäàâàëèñÿ õèáíèìè, Åéíøòåéí
çà äîïîìîãîþ ìàòåìàòè÷íèõ ðîçðàõóíê³â ïîêàçàâ, ùî ïðîì³íü ñâ³òëà ï³äïî-
ðÿäêîâóºòüñÿ ñèë³ òÿæ³ííÿ, ³, ÿêùî â³í ïðîõîäèòü íåïîäàë³ê ìàñèâíîãî ò³ëà,
òî ïðèòÿãóºòüñÿ ³ â³äõèëÿºòüñÿ ó íàïðÿì³ äî öüîãî ò³ëà.
Ï³äòâåðäæåííÿì öüîãî ïðèïóùåííÿ ìîãëî áóòè â³äõèëåííÿ ïðîìåí³â ñâ³ò-
ëà, ùî éäóòü â³ä ç³ð íåïîäàë³ê Ñîíöÿ. Ñâ³òëî ç³ðêè, ÿêà çíàõîäèòüñÿ ïîáëèçó
Ñîíöÿ, â³äõèëÿºòüñÿ, ³, ÿê âèäíî ç ìàë.
228, çîðÿ çäàºòüñÿ çì³ùåíîþ ïîð³âíÿíî
ç³ ñâî¿ì çâè÷íèì ïîëîæåííÿì. Åéíøòåéí
ðîçðàõóâàâ âåëè÷èíó òàêîãî â³äõèëåííÿ
³ çâåðíóâñÿ äî àñòðîíîì³â, àáè âîíè ïå-
ðåâ³ðèëè öå. Àëå ÿê ïîáà÷èòè çîðþ, ùî
çíàõîäÿòüñÿ ïîðÿä ³ç Ñîíöåì? Öå ìîæ-
ëèâî ëèøå ï³ä ÷àñ ïîâíîãî ñîíÿ÷íîãî çà-
òåìíåííÿ. Äëÿ öüîãî íåîáõ³äíî çðîáèòè
çí³ìîê çîðÿíîãî íåáà ïîáëèçó Ñîíöÿ ó ìî-
ìåíò çàòåìíåííÿ, à ïîò³ì, ÷åðåç ï³âðîêó,
êîëè çîð³ áóäóòü âèäèì³ âíî÷³, çðîáèòè
äðóãèé çí³ìîê ³ ïîð³âíÿòè ¿õ ì³æ ñîáîþ.
Ïåðøèì äîñë³äàì çàâàäèëà Ïåðøà ñâ³òî-
âà â³éíà, àëå ó 1919 ð. äâîì àñòðîíîì³÷-
Ìàë. 228. Âèêðèâëåííÿ ñâ³òëîâîãî
ïðîìåíÿ, ùî éäå ïîáëèçó Ñîíöÿ

262
Ð Î Ç Ä ² Ë 5
íèì åêñïåäèö³ÿì óäàëîñü îòðèìàòè âäàë³ çí³ìêè. ×èñëîâå çíà÷åííÿ çì³ùåííÿ
âèäàëîñÿ ìàéæå òàêèì, ÿêå ðîçðàõóâàâ Åéíøòåéí.
Â³äêðèòòÿ Åéíøòåéíà ñòàëî ïîøòîâõîì äî ñòâîðåííÿ çàãàëüíî¿ òåîð³¿ â³ä-
íîñíîñò³.
ßê çàçíà÷àëîñÿ, ïðèñêîðåííÿ ò³ë ó íå³íåðö³àëüíèõ ñèñòåìàõ â³äë³êó âèç-
íà÷àºòüñÿ íå ò³ëüêè âçàºìîä³ºþ ò³ë, é ïîÿâîþ ñèëè ³íåðö³¿, ï³ä âïëèâîì ÿêî¿
ò³ëà ð³çíèõ ìàñ íàáóâàþòü îäíàêîâîãî ïðèñêîðåííÿ. Òàêó ñàìó âëàñòèâ³ñòü ìàº
³ ñèëà çåìíîãî òÿæ³ííÿ – íàäàâàòè ò³ëàì ð³çíî¿ ìàñè îäíàêîâîãî ïðèñêîðåííÿ.
Ïîä³áí³ñòü ñèëè òÿæ³ííÿ äî ñèë ³íåðö³¿ (ïðèíöèï åêâ³âàëåíòíîñò³) º îñíî-
âîþ çàãàëüíî¿ òåîð³¿ â³äíîñíîñò³. Çã³äíî ç ö³ºþ òåîð³ºþ õàðàêòåð ðóõó ò³ëà â
íå³íåðö³àëüí³é ñèñòåì³ â³äë³êó òàêèé ñàìèé, ÿê ³ â ³íåðö³àëüí³é çà íàÿâíîñò³
ãðàâ³òàö³éíîãî ïîëÿ.
Âëàñòèâîñò³ ïðîñòîðó ³ ÷àñó â çàãàëüí³é òåîð³¿ â³äíîñíîñò³. Ïðîñò³ð-÷àñ ó
çàãàëüí³é òåîð³¿ â³äíîñíîñò³ ðîçãëÿäàþòüñÿ ÿê äèíàì³÷íà ñèñòåìà: êîëè ðóõà-
þòüñÿ ò³ëà ³ ä³þòü ñèëè, òî öå çì³íþº êðèâèçíó ïðîñòîðó-÷àñó, à âèêðèâëåíà
ñòðóêòóðà ïðîñòîðó-÷àñó, ó ñâîþ ÷åðãó, âïëèâàº íà òå, ÿê ðóõàþòüñÿ ³ âçàº-
ìîä³þòü ò³ëà. Ïðîñò³ð ³ ÷àñ íå ëèøå âïëèâàþòü íà âñå, ùî â³äáóâàºòüñÿ ó Âñåñ-
â³ò³, à é ñàì³ çì³íþþòüñÿ ï³ä âïëèâîì òîãî, ùî â³äáóâàºòüñÿ.
Êëàñè÷íà ô³çèêà íå íàâàæóâàëàñÿ íàóêîâî äîñë³äèòè é ðîçêðèòè âëàñòèâî-
ñò³ ïðîñòîðó ³ ÷àñó. Ö³ âëàñòèâîñò³ ââàæàëè çàçäàëåã³äü çàäàíèìè ³ âèçíà÷àëè
àêñ³îìàìè ìàòåìàòèêè, çîêðåìà âëàñòèâîñò³ ïðîñòîðó îïèñóâàëèñÿ çíàéîìè-
ìè äëÿ âàñ çàêîíàìè ãåîìåòð³¿ (¿¿ ùå íàçèâàþòü ãåîìåòð³ºþ Åâêë³äà). Ñïðàâä³,
ãðàâ³òàö³éíå ïîëå Çåìë³ ïîð³âíÿíî ñëàáêå ³ òîìó ïðîñò³ð, ó ÿêîìó ìè æèâåìî, º
ïðàêòè÷íî ïëîñêèì (åâêë³äîâèì).
Çàãàëüíà òåîð³ÿ â³äíîñíîñò³ ââàæàº òÿæ³ííÿ ò³ë ðåçóëüòàòîì ñòðóêòó-
ðè ïðîñòîðó. Ïîáëèçó ìàñèâíèõ îá’ºêò³â Âñåñâ³òó (ç³ðîê, ãàëàêòèê, «÷îðíèõ
ä³ðîê») ïðîñò³ð º âèêðèâëåíèì ³ âëàñòèâîñò³ òàêîãî ïðîñòîðó îïèñóþòüñÿ çàêî-
íàìè íååâêë³äîâî¿ ãåîìåòð³¿.
Â³äîìî ê³ëüêà íååâêë³äîâèõ ãåîìåòð³é. Ëîáà÷åâñêèé ùå ó 1826 ð. ñòâåð-
äæóâàâ, ùî ìîæëèâà ïîáóäîâà òàêî¿ ãåîìåòð³¿, â îñíîâ³ ÿêî¿ áóäóòü ³íø³, í³æ
ó Åâêë³äà, ïîëîæåííÿ. Òàê, çã³äíî ç ãåîìåòð³ºþ Ëîáà÷åâñêîãî: à) äîïóñêàºòüñÿ
íåñê³í÷åííà ìíîæèíà ïðÿìèõ, ùî íå
ïåðåòèíàþòü çàäàíó ïðÿìó ³ ïðîõî-
äÿòü ÷åðåç òî÷êó, ùî íå íàëåæèòü ö³é
çàäàí³é ïðÿì³é; á) ñóìà êóò³â òðèêóò-
íèêà ìåíøå 180° (ìàë. 229, à).
Ó ñåðåäèí³ X²X ñò. Ðèìàí ïîáóäó-
âàâ ³íøó íååâêë³äîâó ãåîìåòð³þ, ó ÿê³é
ñòâåðäæóºòüñÿ, ùî ñóìà êóò³â òðèêóò-
íèêà á³ëüøå 180° (ìàë. 229, á), à ïàðà-
ëåëüíèõ ë³í³é íå ³ñíóº, áî áóäü-ÿê³ äâ³
ïðÿì³ îáîâ’ÿçêîâî ïåðåòèíàþòüñÿ.
Îêð³ì âèêðèâëåííÿ ñâ³òëîâîãî
ïðîìåíÿ, çàãàëüíà òåîð³ÿ â³äíîñíîñò³
ïîÿñíþº é ³íø³ åêñïåðèìåíòàëüí³Ìàë. 229, a. Ñóìà êóò³â òðèêóòíèêà
ìåíøå 180°

263
ôàêòè, ÿê³ íå ìîæíà áóëî ïîÿñíèòè çà äîïîìîãîþ íüþ-
òîí³âñüêî¿ ìåõàí³êè (îáåðòàííÿ ïåðèãåë³þ ïëàíåò,
ñïîâ³ëüíåííÿ ÷àñó ó ñèëüíèõ ãðàâ³òàö³éíèõ ïîëÿõ).
Åéíøòåéí³âñüêó çàãàëüíó òåîð³þ â³äíîñíîñò³, ÿêà
òâåðäèëà ïðî âèêðèâëåííÿ ïðîñòîðó ³ ñïîâ³ëüíåííÿ ÷àñó
á³ëÿ ìàñèâíèõ ò³ë, ñïî÷àòêó áóëî ñïðèéíÿòî ç âåëèêîþ
îáåðåæí³ñòþ. Íîáåë³âñüêó ïðåì³þ, ÿêó À. Åéíøòåéíîâ³
äîâãî áîÿëèñÿ äàâàòè, âàãàþ÷èñü, ìîâëÿâ, íåçðîçóì³ëî,
÷è â³í âåëèêèé â÷åíèé àáî âåëèêèé ìð³éíèê, äàëè ò³ëü-
êè ó 1921 ð., òà é òî çà ìåíø çíà÷íó, ïîð³âíÿíî ç òåîð³ºþ
â³äíîñíîñò³, òåîð³þ ôîòîåôåêòó.
Ï³äáèâàþ÷è ï³äñóìêè, çàçíà÷èìî, ùî äîñ³ íå âèÿâ-
ëåíî æîäíèõ â³äõèëåíü â³ä ïîëîæåíü çàãàëüíî¿ òåîð³¿
â³äíîñíîñò³. Öÿ òåîð³ÿ íå
ëèøå äîâåäåíà àñòðîô³çèêàìè, à é àêòèâíî âè-
êîðèñòîâóºòüñÿ íà ïðàêòèö³, çîêðåìà, ó ñèñòåì³
ãëîáàëüíîãî ïîçèö³îíóâàííÿ (GPS).
Ñèñòåìà GPS ñêëàäàºòüñÿ ç òðüîõ îñíîâíèõ
÷àñòèí: êîñì³÷íî¿ (ñóïóòíèêè), íàçåìíî¿ (ñòàí-
ö³¿ êîíòðîëþ çà ðîáîòîþ ñóïóòíèê³â) ³ ïðèéìà÷à
ñèãíàëó (íàïðèêëàä, ìîá³ëüíîãî òåëåôîíó). Ïðè-
íöèï ðîáîòè ñèñòåìè GPS ïîëÿãàº ó âèçíà÷åíí³
â³äñòàí³ çà ÷àñîì çàòðèìêè ïðîõîäæåííÿ ñèãíàëó
â³ä ñóïóòíèêà äî ïðèéìà÷à.
ßêùî ó âàøîìó òåëåôîí³ º ôóíêö³ÿ GPS (ìàë.
230), âè çìîæåòå âèçíà÷èòè ñâîº ì³ñöåçíàõîä-
æåííÿ, ä³çíàòèñÿ øâèäê³ñòü âàøîãî ðóõó (ìàê-
ñèìàëüíó, ì³í³ìàëüíó, ñåðåäíþ), íàéçðó÷í³øèé
ìàðøðóò, ÷àñ ðóõó òîùî.
Ñïåö³àëüíà òåîð³ÿ â³äíîñíîñò³ (ÑÒÂ) – öå ô³çè÷íà òåîð³ÿ ïðîñòîðó–÷àñó,
ó ÿê³é óòî÷íþþòüñÿ óÿâëåííÿ ïðî ïðîñò³ð ³ ÷àñ.
Ñïåö³àëüíà òåîð³ÿ â³äíîñíîñò³ ðîçãëÿäàº âçàºìîçâ’ÿçîê ô³çè÷íèõ ïðîöåñ³â,
ùî â³äáóâàþòüñÿ ò³ëüêè â ³íåðö³àëüíèõ ñèñòåìàõ â³äë³êó, òîáòî ó ñèñòåìàõ, ÿê³ ðó-
õàþòüñÿ îäíà â³äíîñíî îäíî¿ ð³âíîì³ðíî ³ ïðÿìîë³í³éíî. (Âçàºìîçâ’ÿçîê ô³çè÷íèõ
ïðîöåñ³â, ùî â³äáóâàþòüñÿ ó ñèñòåìàõ, ÿê³ ïðèñêîðåíî ðóõàþòüñÿ îäíà â³äíîñíî
îäíî¿ (íå³íåðö³àëüíèõ ñèñòåìàõ â³äë³êó), îïèñóº çàãàëüíà òåîð³ÿ â³äíîñíîñò³).
Ïîñòóëàòè ñïåö³àëüíî¿ òåîð³¿ â³äíîñíîñò³:
1. Óñ³ çàêîíè ô³çèêè â óñ³õ ³íåðö³àëüíèõ ñèñòåìàõ â³äë³êó îäíàêîâ³ (ïðèí-
öèï â³äíîñíîñò³ Åéíøòåéíà).
Ìàë. 229, á. Ñóìà êóò³â
òðèêóòíèêà á³ëüøå 180°
Ìàë. 230. Ôóíêö³ÿ GPS
ìîá³ëüíîãî òåëåôîíó

264
Ð Î Ç Ä ² Ë 5
2. Øâèäê³ñòü ïîøèðåííÿ ñâ³òëà ó âàêóóì³ íå çàëåæèòü â³ä øâèäêîñò³ ðóõó
äæåðåëà ÷è ïðèéìà÷à, òîáòî º îäíàêîâîþ â óñ³õ ³íåðö³àëüíèõ ñèñòåìàõ â³äë³êó.
Ç äðóãîãî ïîñòóëàòó âèïëèâàº, ùî:
• øâèäê³ñòü ïîøèðåííÿ ñâ³òëà º ìàêñèìàëüíî ìîæëèâîþ øâèäê³ñòþ ïå-
ðåäàâàííÿ âçàºìîä³¿ ó ïðèðîä³. Æîäíèé ñèãíàë, æîäíà âçàºìîä³ÿ ò³ë íå ìîæå
ïîøèðþâàòèñü ç³ øâèäê³ñòþ, á³ëüøîþ â³ä øâèäêîñò³ ñâ³òëà;
• ÷àñ íå º àáñîëþòíîþ âåëè÷èíîþ – ó ð³çíèõ ³íåðö³àëüíèõ ñèñòåìàõ â³ä-
ë³êó ³íòåðâàëè ÷àñó º â³äíîñíèìè. Çâ³äñè âèïëèâàº â³äíîñí³ñòü îäíî÷àñíîñò³,
â³äíîñí³ñòü äîâæèíè ³ ÷àñó.
Çã³äíî ç òåîð³ºþ â³äíîñíîñò³ Åéíøòåéíà íåìàº ñóòòºâî¿ â³äì³ííîñò³ ì³æ ìà-
ñîþ òà åíåðã³ºþ: ðå÷îâèíà ìàº ìàñó, òîìó õàðàêòåðèçóºòüñÿ åíåðã³ºþ, ³, â³äïî-
â³äíî, ïîëå ìàº åíåðã³þ, îòæå, õàðàêòåðèçóºòüñÿ ìàñîþ.
Çì³í³ åíåðã³¿ ò³ëà â³äïîâ³äàº çì³íà ìàñè ò³ëà ³ íàâïàêè: ∆E = ∆mc2
.
Âèñíîâêè òåîð³¿ â³äíîñíîñò³ º îñíîâîþ ðåëÿòèâ³ñòñüêî¿ ìåõàí³êè, ÿêà âè-
â÷àº çàêîíè ðóõó ò³ë, øâèäê³ñòü ÿêèõ íàáëèæàºòüñÿ äî øâèäêîñò³ ñâ³òëà.
§ 53 Сучасні проблеми механіки
Ìè îçíàéîìèëèñÿ ç îñíîâàìè îäíîãî ³ç íàéâàæëèâ³øèõ ðîçä³ë³â ô³çèêè –
ìåõàí³êè. Ìåõàí³êà º ôóíäàìåíòîì á³ëüøîñò³ ïðèðîäíè÷èõ ³ òåõí³÷íèõ íàóê.
Äîñÿãíåííÿ â ãàëóç³ ìåõàí³êè çàâæäè âèçíà÷àëè ïðîãðåñ ó òåõí³ö³, á³ëüø ãëè-
áîêå ðîçóì³ííÿ ñóò³ ÿâèù ïðèðîäè. Íèí³, êîëè íà ïîðÿäêó äåííîìó äîñÿãíåííÿ
ó ãàëóç³ íàíîòåõíîëîã³é, øòó÷íîãî ³íòåëåêòó, àâòîìàòèçîâàíî-êîìï’þòåðíèõ
òåõíîëîã³é, ìåõàí³êà – íàóêà ïðî íàéïðîñò³øó ôîðìó ðóõó ìàòåð³¿, çäàâàëîñÿ
á, ìàëî ÷èì ìîæå çäèâóâàòè ëþäñòâî. Ïðîòå íå çàáóâàéìî, ùî ìàòåð³¿ áåç ðóõó
íå ³ñíóº, òîìó ìåõàí³êà áåçïîñåðåäíüî ÷è îïîñåðåäêîâàíî çàä³ÿíà ïðàêòè÷íî â
óñ³õ íàïðÿìàõ ñó÷àñíèõ äîñë³äæåíü. À ñàìå:
•ìåõàí³êà ïîñ³äàº îäíå ç öåíòðàëüíèõ ì³ñöü ñåðåä íàóê, ùî çàáåçïå÷óþòü
íàóêîâî-òåõí³÷íèé ïðîãðåñ ëþäñòâà. ¯é íàëåæèòü ïðîâ³äíà ðîëü ó ðîçðîáö³
íàóêîâî¿ áàçè ³íæåíåðíî¿ ä³ÿëüíîñò³. Àâ³à- ðàêåòî-, ñóäíî-, ïðèëàäî- òà ìàøè-
íîáóäóâàííÿ áàçóºòüñÿ íà çàêîíàõ ìåõàí³êè;
• áåç çíàííÿ ìåõàí³êè íåìîæëèâ³ ðîçðàõóíêè òåõíîëîã³÷íèõ ïðîöåñ³â ó
ìåòàëóðã³¿, âèðîáíèöòâ³ ñèíòåòè÷íèõ ïîë³ìåð³â, ó ëåãê³é ³ õàð÷îâ³é ïðîìèñëî-
âîñò³, ïðè âèäîáóòêó êîðèñíèõ êîïàëèí, ó ñ³ëüñüêîìó ãîñïîäàðñòâ³, ìåäèöèí³;
• ìåõàí³êà ñóïðîâîäæóº âñ³ åòàïè áóä³âíèöòâà, ÿê ïðîñòîãî ïëîòó, òàê ³
ãðàíä³îçíîãî àðõ³òåêòóðíîãî àíñàìáëþ;
• ìåõàí³êà º ñêëàäîâîþ íàóê ïðî Çåìëþ – íàóê, ùî âèâ÷àþòü ðóõ ïîâ³òðÿ-
íèõ ìàñ, ðóõ îêåàíñüêèõ õâèëü ³ òå÷³é ð³÷îê, ãåîëîã³÷í³ ïåðåòâîðåííÿ çåìíî¿
ïîâåðõí³, âóëêàí³÷íó òà ñåéñìîëîã³÷íó ä³ÿëüí³ñòü òîùî;
• çàêîíàì ìåõàí³êè ï³äïîðÿäêîâóþòüñÿ ðóõè æèâèõ ³ñòîò íà çåìë³, ó ïî-
â³òð³ òà ó âîä³. Ïðîöåñè êðîâîîá³ãó ³ ðóõó ë³ìôè ó æèâîìó îðãàí³çì³, ïðîöåñè
ïîä³ëó êë³òèí òàêîæ ï³äïîðÿäêîâóþòüñÿ çàêîíàì ìåõàí³êè.
² öå ùå íå ïîâíèé ïåðåë³ê òîãî, äå çàñòîñîâóºòüñÿ ìåõàí³êà.

265
Íàðîäèâøèñü ó ãëèáèí³ â³ê³â, ìåõàí³êà é ñüîãîäí³ ñòð³ìêî ðîçâèâàºòüñÿ ³
ÿê ñàìîñò³éíà íàóêà, ³ ÿê íàóêà, ùî ïîðîäæóº íîâ³ íàïðÿìè.
Ðåâîëþö³éíèé âïëèâ íà ðîçâèòîê ñó÷àñíî¿ ìåõàí³êè ìàëè äâà îñíîâí³ ÷èííè-
êè: óäîñêîíàëåííÿ òåõí³êè åêñïåðèìåíò³â ³ âïðîâàäæåííÿ êîìï’þòåðíî¿ îáðîáêè
åêñïåðèìåíòàëüíèõäàíèõ.Íèí³óìåõàí³ö³çàñòîñîâóþòüñÿîïòè÷í³,ñïåêòðî-³ðà-
ä³îìåòðè÷í³,åëåêòðîìàãí³òí³,óëüòðàçâóêîâ³,ëàçåðí³,ÿäåðí³ìåòîäèâèì³ðþâàíü.
Çàäîïîìîãîþöèõìåòîä³âñòàëîìîæëèâèìíåëèøåäîñë³äæåííÿÿâèùóö³ëîìó,à
é âñòàíîâëåííÿ çâ’ÿçê³â ìåõàí³÷íèõ ÿâèù ³ç âíóòð³øíüîþ ñòðóêòóðîþ ðå÷îâèíè.
À âèêîðèñòàííÿ ìåòîä³â êîìï’þòåðíî¿ îáðîáêè ³íôîðìàö³¿ ðàäèêàëüíî çì³íèëî
óÿâëåííÿ ïðî ìîæëèâîñò³ ðîçâ’ÿçàííÿ ìàòåìàòè÷íèõ çàäà÷ ìåõàí³êè. Ðóõ ð³äèí ³
ãàç³â ó ºìêîñòÿõ ñêëàäíî¿ ôîðìè, óäàðí³ õâèë³, äåôîðìàö³ÿ ³ ðóéíóâàííÿ òâåðäèõ
ò³ë, ðóõ êîñì³÷íèõ îá’ºêò³â – ÿê ïðèðîäíèõ, òàê ³ øòó÷íèõ, à òàêîæ áàãàòî ³íøîãî
ñòàëî ìîæëèâèì çàâäÿêè êîìï’þòåðíîìó ìîäåëþâàííþ é àíàë³çó.
Âîäíî÷àñ ñó÷àñíà ìåõàí³êà ïîòðåáóº íàóêîâèõ äîñë³äæåíü ó ðîçâ’ÿçàíí³
ïðîáëåì òóðáóëåíòíîñò³, òåðòÿ, âòîìëþâàíîñò³ ìàòåð³àë³â, ïëàñòè÷íîñò³, ðóé-
íóâàííÿ òîùî. Ïèòàííÿ ñåéñìîëîã³¿, ìåòåîðîëîã³¿ é ã³äðîäèíàì³êè îêåàí³â ÷å-
êàþòü íà âèð³øåííÿ.
Á³ëüø³ñòü çàäà÷ ïåðåä ìåõàí³êîþ ïîñòàº ó çâ’ÿçêó ç ðîçâ’ÿçàííÿì ïðàêòè÷-
íèõ çàâäàíü ð³çíèõ ãàëóçåé íàðîäíîãî ãîñïîäàðñòâà. Íàïðèêëàä:
• äîñë³äæåííÿ ðóõó ð³äèí ³ ãàç³â çàâæäè áóëî âàæëèâèì äëÿ ðàö³îíàëüíî¿
ðîçðîáêè íàôòîâèõ ³ ãàçîâèõ ðîäîâèù. Íîâ³ ïðîáëåìè ïîñòàþòü ïåðåä ìåõàí³êîþ
ó çâ’ÿçêó ç âèäîáóòêîì íàôòè ³ ãàçó íà øåëüô³ òà áåçïîñåðåäíüî ó ìîð³. Âåëè÷åçí³
ïëàòôîðìè ìàþòü ïðàöþâàòè â óìîâàõ àáñîëþòíî¿ ñò³éêîñò³, íàä³éíîñò³ é ì³öíîñ-
ò³. Óñå öå – çàäà÷³ ã³äðîìåõàí³êè, áóä³âåëüíî¿ ìåõàí³êè ³ òåîð³¿ ì³öíîñò³;
• ïðîáëåìè õ³ì³÷íèõ òåõíîëîã³é ñïðèÿþòü ðîçâèòêó ìåõàí³êè àíîìàëüíèõ
àáî íåíüþòîí³âñüêèõ ð³äèí;
• ïðîáëåìè òåîð³¿ ïðîãíîçó ïîãîäè ñïðèÿþòü ðîçâèòêîâ³ ãåîô³çè÷íî¿ ã³äðî-
äèíàì³êè, îñíîâîþ ÿêî¿ º ìîäåëþâàííÿ öèðêóëÿö³¿ àòìîñôåðè, äîñë³äæåííÿ
ïîòóæíèõ âèõîð³â, ïðîöåñ³â òåïëî- ³ ìàñîîáì³í³â íà îêåàíñüê³é ïîâåðõí³;
• ìàñøòàáíå äîñë³äæåííÿ ï³äçåìíîãî ïðîñòîðó ñïðèÿº ðîçâèòêîâ³ ãåîìåõà-
í³êè, ÿêà ðîçâ’ÿçóº ïðàêòè÷í³ çàäà÷³ ðîçðîáêè ï³äçåìíèõ òåðèòîð³é ïðîìèñëî-
âèõ ðàéîí³â, ìåãàïîë³ñ³â;
•ïðîáëåìèåíåðãåòèêèñòàâëÿòüïåðåäìåõàí³êîþïåðøî÷åðãîâ³çàâäàííÿðîç-
ðîáêè àëüòåðíàòèâíèõ äæåðåë åíåðã³¿, çîêðåìà òàêèõ, ÿê â³òðîâ³ åëåêòðîñòàíö³¿.
Áåçñóìí³âíî, øèðîêå ³ ïðîäóìàíå âïðîâàäæåííÿ ìåòîä³â ìåõàí³êè äàñòü
çìîãó ðåàë³çîâóâàòè òåõíîëîã³÷í³ ïðîöåñè, ïîë³ïøóâàòè ÿê³ñòü âèðîáíèöòâà,
åêîíîìèòè ìàòåð³àëè òà åíåðã³þ, ï³äâèùóâàòè åôåêòèâí³ñòü òåõíîëîã³÷íèõ ð³-
øåíü ó ïðîìèñëîâîñò³, áóä³âíèöòâ³ òà íà òðàíñïîðò³.
Âàæëèâîãî çíà÷åííÿ ñüîãîäí³ íàáóâàº ìåõàòðîí³êà, ó ÿê³é ìåõàí³êà ðîçãëÿ-
äàºòüñÿ ó êîìïëåêñ³ ç åëåêòðîí³êîþ, åëåêòðîòåõí³êîþ òà êîìï’þòåðíèì óïðàâ-
ë³ííÿì. Îñíîâíèì çàâäàííÿì ìåõàòðîí³êè º óïðàâë³ííÿ ôóíêö³îíàëüíèì ðóõîì.
Âèñîêà òî÷í³ñòü, ãðàíè÷íà øâèäê³ñòü, ñêëàäí³ ðîçðàõóíêè òðàºêòîð³¿ ðóõó ëàíîê
ìåõàí³çì³â ó ïðîñòîð³ ³ ÷àñ³ âèçíà÷àþòüñÿ ³íòåëåêòóàëüíèìè òåõíîëîã³ÿìè.
Íàâåäåíèé, äàëåêî íåïîâíèé, ïåðåë³ê ïðîáëåì ñó÷àñíî¿ ìåõàí³êè ïîêà-
çóº, ÿê³ âåëèê³ òà íåîáìåæåí³ ìîæëèâîñò³ ñòîÿòü ïåðåä ¿¿ äîñë³äíèêàìè. Ùîá
áóòè ôàõ³âöåì ó â³äïîâ³äíèõ ãàëóçÿõ íàðîäíîãî ãîñïîäàðñòâà, ñë³ä ç³ øê³ëüíèõ
ðîê³â ðîçâèâàòè íàóêîâî-äîñë³äíèöüê³ íàâè÷êè, ôîðìóâàòè ñâîþ ïðîôåñ³éíó
êîìïåòåíòí³ñòü.

266
Ð Î Ç Ä ² Ë 5
§ 54 Внесок українських учених у розвиток механіки
Äèíàì³÷íîãî ðîçâèòêó íàóêîâî-ïðàêòè÷í³ çàñàäè ìåõàí³êè íàáóëè â Óêðà-
¿í³ íàïðèê³íö³ X²X – íà ïî÷àòêó XX ñò. Àêòèâíèé ðîçâèòîê òåõí³êè é âèðîá-
íèöòâà ïîòðåáóâàâ íàóêîâî¿ ï³äòðèìêè. Ó 1885 ð. ó Õàðêîâ³ ðîçïî÷àâ ðîáîòó
Òåõíîëîã³÷íèé ³íñòèòóò, ÿêèé óïðîäîâæ 1885–1898 ðð. î÷îëþâàâ îäèí ç éîãî
îðãàí³çàòîð³â Ë. Â. Êèðïè÷îâ. Â ³íñòèòóò³ ïðàöþâàëè â³äîì³ â÷åí³: ÷èòàëè
ëåêö³¿ Î. Ì. Ëÿïóíîâ, Â.À. Ñòºêëîâ, Ì. Ì. Øèëëåð, âèêîíóâàâ âàæëèâ³ äîñë³-
äæåííÿ ç ã³äðîäèíàì³êè â³äîìèé â³ò÷èçíÿíèé ìåõàí³ê Ã. Ô. Ïðîñêóðà.
Ó 1898 ð. çóñèëëÿìè çíàíîãî ôàõ³âöÿ ç òåîð³¿ ì³öíîñò³ Â. Ë. Êèðïè÷îâà
áóâ çàñíîâàíèé Êè¿âñüêèé ïîë³òåõí³÷íèé ³íñòèòóò, ó ñêëàä³ ÿêîãî ïðàöþâà-
ëè ìåõàí³÷íèé, õ³ì³÷íèé, ³íæåíåðíèé òà àãðîíîì³÷íèé ôàêóëüòåòè. Ñåðåä 35
ïåðøèõ êàôåäð áóëî ñòâîðåíî êàôåäðè òåîðåòè÷íî¿ ³ ïðèêëàäíî¿ ìåõàí³êè.
Â. Ë. Êèðïè÷îâ çàïðîñèâ äî ðîáîòè â Êè¿âñüêîìó ïîë³òåõí³÷íîìó ³íñòèòó-
ò³ â³äîìèõ ô³çèê³â ³ ìåõàí³ê³â Î. Ì. Äèííèêà, Î. Ã. Êîòåëüíèêîâà, Í. Í. Ñè-
ì³íñüêîãî, Ñ. Â. Ñåðåíñåíà, Ñ. Ï. Òèìîøåíêà. Ç 1901 ð. íà êàôåäð³ ïðèêëàä-
íî¿ ìåõàí³êè ïðàöþâàâ Ä. Ï. Ðóçüêèé. Ëåêö³¿ ç òåîðåòè÷íî¿ ìåõàí³êè ÷èòàâ
Î. Ï. Êîòåëüíèêîâ, àâòîð îðèã³íàëüíèõ ï³äðó÷íèê³â «Ìåõàí³êà», «Àíàë³òè÷íà
ìåõàí³êà».
²ç 1905 ð. â ³íñòèòóò³ ïðàöþâàâ ª. Î. Ïàòîí (1870–1953), âñåñâ³òíüî â³äîìèé
ñïåö³àë³ñò ³ç áóä³âíèöòâà ìîñò³â (ìàë. 231), àâòîð áàãàòüîõ ï³äðó÷íèê³â. Â³í
çàïî÷àòêóâàâ êàôåäðó ìîñò³â, ñòâîðèâ êàá³íåò ìîñò³â, ðîçâèâàâ òðàäèö³¿ â³ò-
÷èçíÿíîãî ìîñòîáóäóâàííÿ.
Ìàë. 231. à – ª. Ïàòîí; á – ì³ñò Ïàòîíà ó Êèºâ³
áà

267
Íàïðèê³íö³ X²X ñò. áóëè çáóäîâàí³ îðèã³-
íàëüí³ ìîñòè ó Êèºâ³, Ìèêîëàºâ³, ×åðí³ãîâ³ çà
ïðîåêòàìè õàðê³âñüêîãî ³íæåíåðà Ì. À. Áºëî-
ïîëüñüêîãî, ëàóðåàòà Çîëîòî¿ ìåäàë³ â Åäèí-
áóðç³ (1890) òà Ïî÷åñíîãî äèïëîìà âèñòàâêè ó
Ïàðèæ³ (1900) çà âèçíà÷í³ äîñÿãíåííÿ ó ìîñ-
òîáóäóâàíí³.
Íà ïî÷àòêó XX ñò. ó Êè¿âñüêîìó ïîë³òåõ-
í³÷íîìó ³íñòèòóò³ ôîðìóþòüñÿ íàóêîâ³ øêîëè
ã³äðîñòàòèêè ³ òåîð³¿ ïðóæíîñò³.
Ó 1906–1911 ðð. òà ó 1918 ð. ó Êè¿âñüêîìó
ïîë³òåõí³÷íîìó ³íñòèòóò³ ïðàöþâàâ âñåñâ³òíüî
â³äîìèé ìåõàí³ê, ôàõ³âåöü ³ç òåîð³¿ ïðóæíîñò³,
êîëèâàíü òà îïîðó ìàòåð³àë³â, îñíîâîïîëîæ-
íèê ìåõàí³êè ñóö³ëüíèõ ñåðåäîâèù Ñòåïàí
Ïðîêîïîâè÷ Òèìîøåíêî (ìàë. 232).
Ñ. Ï. Òèìîøåíêî (1878–1972) íàðîäèâñÿ
ó Øïîò³âö³ Êîíîòîïñüêîãî ïîâ³òó ×åðí³ã³â-
ñüêî¿ ãóáåðí³¿ (òåïåð – Ñóìñüêà îáë.). Çàê³í÷èâ
Ïåòåðáóðçüêèé ³íñòèòóò øëÿõ³â ñïîëó÷åííÿ,
ïðàöþâàâ ó Ïåòåðáóðçüêîìó ïîë³òåõí³÷íî-
ìó ³íñòèòóò³, à ç 1906 ð. – ó Êè¿âñüêîìó ïîë³òåõí³÷íîìó ³íñòèòóò³. Ó 1918 ð.
Ñ. Ï. Òèìîøåíêî ïðàöþâàâ ó êîì³ñ³¿ Â. ². Âåðíàäñüêîãî ç îðãàí³çàö³¿ Óêðà¿í-
ñüêî¿ àêàäåì³¿ íàóê ó Êèºâ³, áóâ îäíèì ³ç ïåðøèõ àêàäåì³ê³â íîâîñòâîðåíî¿
Àêàäåì³¿, îðãàí³çóâàâ òà î÷îëèâ ²íñòèòóò ìåõàí³êè. Ç 1920 ð. ïðàöþâàâ ó Çà-
ãðåáñüêîìó ïîë³òåõí³÷íîìó ³íñòèòóò³, à ïîò³ì ïåðå¿õàâ äî Ñïîëó÷åíèõ Øòàò³â
Àìåðèêè. Ç 1923 äî 1927 ð. – íàóêîâèé êîíñóëüòàíò êîìïàí³¿ «Âåñòèíãàóç».
Îðãàí³çóâàâ ñåêö³þ ìåõàí³êè ïðè Àìåðèêàíñüêîìó òîâàðèñòâ³ ³íæåíåð³â-
ìåõàí³ê³â (1927).
Âàæëèâèìè äîñÿãíåííÿìè â÷åíîãî, ùî óòâîðèëè îñíîâè ñó÷àñíî¿ ìå-
õàí³êè ñóö³ëüíèõ ñåðåäîâèù, áóëè ôóíäàìåíòàëüí³ ðîçðîáêè ïðîáëåì ì³ö-
íîñò³, ñò³éêîñò³ é êîëèâàííÿ ìåõàí³÷íèõ ñèñòåì, áóä³âåëüíî¿ ìåõàí³êè ³
òåîð³¿ ñïîðóä, ïðèêëàäíî¿ òåîð³¿ ïðóæíîñò³, òåîð³¿ ñò³éêîñò³ ïðóæíèõ, îáî-
ëîíêîâèõ ³ ïëàñòèí÷àòèõ ñèñòåì, ó òîìó ÷èñë³ ï³äêð³ïëåíèõ ðåáðàìè æîð-
ñòêîñò³, çãèíàííÿ, êðó÷åííÿ, êîëèâàííÿ òà óäàðó ñó÷àñíèõ ³íæåíåðíèõ
êîíñòðóêö³é.
Íàóêîâ³ äîñÿãíåííÿ Ñ. Ï. Òèìîøåíêà áóëè â³äçíà÷åí³ ïðîâ³äíèìè íà-
óêîâèìè öåíòðàìè ñâ³òó (îáðàíî ÷ëåíîì àêàäåì³é íàóê ÑÐÑÐ (1928), Ïîëüù³
(1935), Ôðàíö³¿ (1939), ²òàë³¿ (1948), Ëîíäîíñüêîãî êîðîë³âñüêîãî òîâàðèñòâà
(1944)). Éîãî ³ì’ÿ ïðèñâîºíî ëàáîðàòîð³¿ ìåõàí³êè Ñòåíôîðäñüêîãî óí³âåðñèòå-
òó, ²íñòèòóòó ìåõàí³êè ÍÀÍ Óêðà¿íè.
Ó 1957 ð. Àìåðèêàíñüêå òîâàðèñòâî ³íæåíåð³â-ìåõàí³ê³â çàïî÷àòêóâàëî
ïî÷åñíó â³äçíàêó çà âèäàòí³ äîñÿãíåííÿ ó ãàëóç³ ìåõàí³êè – ìåäàëü ³ì. Ñòåïàíà
Òèìîøåíêà, ïåðøèì ëàóðåàòîì ÿêî¿ ñòàâ ñàì âèäàòíèé ó÷åíèé.
Íàóêîâèé òàëàíò â÷åíîãî-ìåõàí³êà äàâàâ éîìó ìîæëèâ³ñòü íåîðäèíàðíî
âèð³øóâàòè ñêëàäí³ ³íæåíåðí³ çàâäàííÿ. Êîëè êîìïàí³ÿ ç âèðîáíèöòâà àâ³à-
Ìàë. 232. Ñ.Ï. Òèìîøåíêî

268
Ð Î Ç Ä ² Ë 5
ö³éíèõ äâèãóí³â çàïðîñèëà Ñ. Ï. Òèìîøåíêà äëÿ ç’ÿñóâàííÿ ïðè÷èíè çíà÷íîãî
áðàêó ïðîäóêö³¿, â÷åíèé, ïîõîäèâøè ïî öåõó, ïîïðîñèâ ïðèíåñòè éîìó êðåéäó.
Â³í, íàìàëþâàâøè íà ï³äëîç³ êâàäðàò, çàïðîïîíóâàâ íà öüîìó ì³ñö³ âèêîïà-
òè ÿìó ³ çàëèòè ¿¿ ïîò³ì áåòîíîì. Íà ïîäèâ êåð³âíèöòâà êîìïàí³¿ áðàê âèðî-
á³â ïðèïèíèâñÿ. ßê ç’ÿñóâàëîñÿ, ïðè÷èíà áóëà ó ñèëüí³é â³áðàö³¿ ïðàöþþ÷èõ
âåðñòàò³â, ÿêà ïîçíà÷àëàñÿ íà ÿêîñò³ ïðîäóêö³¿. Öþ ïðè÷èíó ³ çàïðîïîíóâàâ
ë³êâ³äóâàòè îðèã³íàëüíèì ñïîñîáîì Ñ. Ï. Òèìîøåíêî. Êîëè â÷åíîãî ïîïðîñè-
ëè îö³íèòè ñâîþ ðîáîòó, â³í çðîáèâ ðîçðàõóíîê: 3 öåíòè âàðò³ñòü êðåéäè ³ 9999
äîëàð³â 97 öåíò³â çà òå, ùî «çíàâ, äå êîïàòè ÿìó», – âñüîãî 10 000 äîëàð³â.
Êè¿âñüêèé ïîë³òåõí³÷íèé ³íñòèòóò äàâ Óêðà¿í³ òà é óñüîìó ñâ³òîâ³ âèäàò-
íèõ ó÷åíèõ-êîíñòðóêòîð³â: Ñ. Ï. Êîðîëüîâà – êîíñòðóêòîðà êîñì³÷íèõ ðàêåò,
À. Ì. Ëþëüêó – â³äîìîãî ó ñâ³ò³ êîíñòðóêòîðà ðåàêòèâíèõ äâèãóí³â, ². ². Ñ³êîð-
ñüêîãî – êîíñòðóêòîðà ãåë³êîïòåð³â (ìàë. 233). Âèïóñêíèêîì «êè¿âñüêîãî ïî-
ë³òåõà» º Ë. Ì. Ìàö³ºâè÷ – îäèí ç ïåðøèõ óêðà¿íñüêèõ ï³ëîò³â.
Íàä Êèºâîì óïåðøå ó ñâ³ò³ áóëî çä³éñíåíî «ìåðòâó ïåòëþ» ëüîò÷èêîì Ï.Ì.
Íåñòåðîâèì (ìàë. 233,á), ÿêó çãîäîì ñòàëè íàçèâàòè «ïåòëåþ Íåñòåðîâà».
Ó 1925 ð. àêàäåì³ê Ä. Î. Ãðàâå ó Êèºâ³ îðãàí³çóâàâ ãóðòîê «ç âèâ÷åííÿ òà
çàâîþâàííÿ êîñìîñó». Ó ÷åðâí³ òîãî ñàìîãî ðîêó ï³ä êåð³âíèöòâîì Ä. Î. Ãðàâå
â³äêðèâàºòüñÿ âèñòàâêà, ïðèñâÿ÷åíà âèâ÷åííþ ñâ³òîâèõ ïðîñòîð³â. Íà âèñòàâ-
ö³ ïðàöþâàëè ï’ÿòü â³ää³ë³â: ðàä³îòåëåãðàôíèé, ìåòåîðîëîã³÷íèé, àâ³àïîâ³òðî-
ïëàâíèé, àñòðîíîì³÷íèé, ì³æïëàíåòíèé. Íà öüîìó çàõîä³ êè¿âñüêèé ³íæåíåð
Î. ß. Ôåäîðîâ ïðåäñòàâèâ íàóêîâî-ôàíòàñòè÷íèé ïðîåêò êðèëàòîãî àòîìíî-
ðàêåòíîãî ì³æïëàíåòíîãî êîðàáëÿ ç ñîíÿ÷íèìè äâèãóíàìè.
Ñåðåä ï³îíåð³â-äîñë³äíèê³â êîñì³÷íîãî ïðîñòîðó âàðòî çãàäàòè ïðî ñèíà
óêðà¿íñüêî¿ çåìë³, âèäàòíîãî äîñë³äíèêà é ³íæåíåðà, ãåí³ÿ ï³ä ÷óæèì ³ì’ÿì
– Îëåêñàíäðà Ãíàòîâè÷à Øàðãåÿ (Þ. Â. Êîíäðàòþêà) (1897–1942), ÿêèé ðîç-
ðàõóâàâ íèçêó ö³êàâèõ ðåçóëüòàò³â, ÿê³ ìàëè âàæëèâå çíà÷åííÿ äëÿ ðîçâèòêó
êîñìîíàâòèêè. Ó ðîáîò³ «Çàâîþâàííÿ ì³æïëàíåòíèõ ïðîñòîð³â» â³í âèñóíóâ
òàê³ ïîëîæåííÿ, ÿê³ áóëè çãîäîì ðåàë³çîâàí³ íà ïðàêòèö³:
Ìàë. 233. à – ².². Ñ³êîðñüêèé, á – Ï.Ì. Íåñòåðîâ
³ éîãî ìåõàí³ê Ã. Íåë³äîâ, ç ÿêèì â³í çä³éñíèâ ïîë³ò Êè¿â–Ãàò÷èíà
à á

269
1. Ðå÷îâèíè, ÿê³ áóäóòü ïàëüíèì äëÿ ðåàêòèâíîãî äâèãóíà, ïîòð³áíî çàïà-
ëþâàòè â êèñí³.
2. Ðàêåòó âèãîòîâëÿòè ç êðèëàìè ³ ëåò³òè íà í³é ó ïîâ³òð³, ÿê íà àåðîïëàí³.
3. Âèñóíóâ ³äåþ îáëàäíàííÿ ïðîì³æíî¿ áàçè ì³æ Çåìëåþ òà ³íøèìè ïëàíå-
òàìè.
4. Îï³ð àòìîñôåðè âèêîðèñòîâóâàòè äëÿ ãàëüìóâàííÿ øâèäêîñò³ ïîâåðíåííÿ.
5. Ââ³â ïîíÿòòÿ ïðîïîðö³éíîãî ïàñèâó (ïàñèâíà ìàñà ðàêåòè – öå ìàñà, ÿêà
íå ñòîñóºòüñÿ ïàëèâà).
6. Ðîçãëÿíóâ ïèòàííÿ êåðóâàííÿ ðàêåòîþ òà ¿¿ îð³ºíòàö³¿.
7. Äàâ îïèñ ðàêåòíîãî äâèãóíà íà ð³äêîìó ïàëèâ³ (êèñåíü ³ âîäåíü).
8. Âèçàí÷èâ çàãàëüí³ ïåðñïåêòèâè îñâîºííÿ ì³æïëàíåòíîãî ïðîñòîðó.
Þ. Â. Êîíäðàòþê âèêîíàâ äåòàëüíå äîñë³äæåííÿ óìîâ, çà ÿêèõ ñèëè ðåàê-
ö³¿ â àòìîñôåð³ áóäóòü îïòèìàëüíèìè; äîñë³äèâ íàãð³âàííÿ ïåðåäíüî¿ ÷àñòèíè
ðàêåòè ïðè ðóõîâ³ â àòìîñôåð³; âèâ³â ð³âíÿííÿ ðóõó ò³ëà çì³ííî¿ ìàñè.
Íàóêîâèé òàëàíò Þ. Â. Êîíäðàòþêà ï³äòâåðäæóºòüñÿ òèì, ùî çàäîâãî äî
ïî÷àòêó ïðàêòè÷íîãî îñâîºííÿ êîñìîñó â³í âèñóíóâ ³äå¿, ÿê³ çãîäîì íàáóëè øè-
ðîêîãî çàñòîñóâàííÿ. Çîêðåìà, éîãî ³äåÿ ïðî ñòâîðåííÿ êîñì³÷íî¿ áàçè ðåàë³çî-
âàíà íà îðá³òàëüíèõ ñòàíö³ÿõ «Ñàëþò» – «Ìèð»; ðàêåòà ç êðèëàìè, ùî ëåòèòü
ó ïîâ³òð³ ÿê ë³òàê, – àïàðàòè «Áóðàí», «Ñïåéñ Øàòë», «Õîáîë».
Þ. Â. Êîíäðàòþê çàïðîïîíóâàâ ³ âëàñíó ñõåìó áàãàòîñòóï³í÷àñòî¿ ðàêåòè.
Îñîáëèâî âàæëèâå çíà÷åííÿ ìàëà éîãî ³äåÿ ãðàâ³òàö³éíîãî (ïåðòóðáàö³éíîãî)
ìàíåâðó, ÿêèé âïåðøå áóâ çä³éñíåíèé ó 1959 ð. ï³ä ÷àñ ïîëüîòó àâòîìàòè÷íî¿
ñòàíö³¿ «Ëóíà-3», çàïóùåíî¿ ç ìåòîþ ôîòîçéîìêè çâîðîòíîãî áîêó Ì³ñÿöÿ.
Ñõåìà ïîëüîòó äî íåáåñíèõ ò³ë Þ. Â. Êîíäðàòþêà áóëà âèêîðèñòàíà ó ïðîãðàì³
«ÀÏÎËËÎÍ», êîëè ëþäèíà âïåðøå âèéøëà íà ïîâåðõíþ Ì³ñÿöÿ ³ ø³ñòü åêñ-
ïåäèö³é äîñòàâèëè íà Çåìëþ ìàéæå 400 êã ì³ñÿ÷íèõ çðàçê³â.
Ïðîâ³äíîþ â³ò÷èçíÿíîþ íàóêîâî-äîñë³äíîþ óñòàíîâîþ, äå âïðîäîâæ 90 ðî-
ê³â çä³éñíþþòüñÿ ôóíäàìåíòàëüí³ äîñë³äæåííÿ â ãàëóç³ ìåõàí³êè, º ²íñòèòóò
ìåõàí³êè ³ì. Ñ. Ï. Òèìîøåíêà ÍÀÍ Óêðà¿íè. Â³í ñòâîðåíèé ó 1918 p. ó ñêëàä³
Âñåóêðà¿íñüêî¿ àêàäåì³¿ íàóê ÿê ²íñòèòóò òåõí³÷íî¿ ìåõàí³êè.
Îñíîâíèìè íàïðÿìàìè íàóêîâî¿ ðîáîòè â ²íñòèòóò³ º: ìåõàí³êà êîìïî-
çèòíèõ ³ íåîäíîð³äíèõ ñåðåäîâèù; ìåõàí³êà îáîëîíêîâèõ ñèñòåì; ìåõàí³êà
çâ’ÿçàíèõ ïîë³â ó ìàòåð³àëàõ ³ åëåìåíòàõ êîíñòðóêö³é; ìåõàí³êà ðóéíóâàííÿ ³
âòîìè; äèíàì³êà ³ ñò³éê³ñòü ìåõàí³÷íèõ ñèñòåì.
Òåîðåòè÷í³ é åêñïåðèìåíòàëüí³ ðåçóëüòàòè äîñë³äæåíü íàóêîâö³â ²íñòèòó-
òó ìåõàí³êè çàñòîñîâóþòü ó ðàêåòíî-êîñì³÷í³é, àâ³àö³éí³é, êîðàáëåáóä³âí³é òà
³íøèõ ãàëóçÿõ íàóêè ³ òåõí³êè òà òåõíîëîã³é.
Цікаві факти
Ö³êàâèìè º ôàêòè ùîäî âèêîðèñòàííÿ ìåõàí³÷íèõ ïðèñòðî¿â íà òåðèòîð³¿
Êè¿âñüêî¿ Ðóñ³.
Ïåðø³ çãàäêè ïðî âèêîðèñòàííÿ ìåõàí³÷íèõ ïðèñòðî¿â äëÿ ìåòàííÿ êà-
ì³ííÿ ³ ñòð³ë íàëåæàòü äî X ñò. Êíÿçü Ñâÿòîñëàâ çàñòîñóâàâ ¿õ ó â³éí³ ç â³çàí-
ò³éöÿìè (1043). Ç X² ñò. çãàäóþòüñÿ ñò³íîáèòí³ ìåõàí³çìè «òàðàíè». Ìåòàëüí³
ìàøèíè äëÿ îáîðîíè íàø³ ïðåäêè âèêîðèñòàëè ó 1239 ð., êîëè â³éñüêà Áàòèÿ

270
Ð Î Ç Ä ² Ë 5
âçÿëè â îáëîãó ×åðí³ã³â. Ïðîñòèé ìåõàí³çì äàâàâ çìîãó ìåòàòè êàì³ííÿ âåëè-
êî¿ ìàñè, ÿêå íå ï³ä ñèëó áóëî ï³äíÿòè ê³ëüêîì ëþäÿì. Ó ñïîê³éí³ ÷àñè òàðàíè
ðîçáèðàëè ³ çáåð³ãàëè â ì³ñòàõ.
Â ²ïàò³¿âñüêîìó ë³òîïèñ³ 1261 ð. çãàäóþòüñÿ ñàìîñòð³ëè – ëóêè îñîáëèâî¿
êîíñòðóêö³¿. Âèð³çíÿþòüñÿ ñàìîñòð³ëè êîëîâîðîòí³, â îñíîâó ä³¿ ÿêèõ áóëî ïî-
êëàäåíî êîëîâîðîòíèé ìåõàí³çì.
Ùå ðàí³øå íàø³ ïðàùóðè ïî÷àëè áóäóâàòè çàñîáè ïåðåñóâàííÿ ïî ñóø³ òà
âîä³. Çàäîâãî äî ïèñåìíèõ çãàäîê âîíè ðîáèëè ÷îâíè ³ êîðàáë³ äëÿ ïëàâàííÿ. Ó
866 ð. êè¿âñüê³ êíÿç³ Àñêîëüä ³ Ä³ð «õîäèëè âîäîþ» íà ãðåê³â. Çðîçóì³ëî, ùî öå
áóëî á íåìîæëèâî áåç ì³ñòêèõ ÷îâí³â, ðîçðàõîâàíèõ íà âåëèêó ê³ëüê³ñòü ëþäåé.
Ó 907 ð. êíÿçü íîâãîðîäñüêèé òà êè¿âñüêèé Îëåã âèñòóïèâ ïðîòè Â³çàíò³¿ ôëî-
òîì ó 2000 êîðàáë³â. Ç ïèñåìíèõ äæåðåë âñòàíîâëåíî, ùî êîðàáë³ âèãîòîâëÿëèñÿ
ç äåðåâ’ÿíèõ äîùîê, ÿê³ ïðîñìîëþâàëèñÿ. Äëÿ ð³çíîìàí³òíèõ ïîòðåá áóäóâàëè
÷îâíè – â³ä ìàëåíüêèõ äî âåëèêèõ êîðàáë³â (ïîñàä³â) – äëÿ äàëåêèõ ïîõîä³â.
Óí³êàëüíèì âèòâîðîì, ùî âèìàãàº íåàáèÿêèõ çíàíü ìåõàí³êè, ã³äðî- ³
àåðîäèíàì³êè º êîçàöüêà «÷àéêà». ×àéêà – êîçàöüêèé ÷îâåí çàâäîâæêè 17,5 ì
³ çàââèøêè 3,5 ì ç’ÿâèâñÿ ó ïåðø³é ïîëîâèí³ XVI ñò. Ñóäíî âì³ùóâàëî êîìàíäó
ç 50 îñ³á ³ áóëî îñíàùåíî 4 ãàðìàòàìè, õîäèòè ìîãëî íà âåñëàõ ³ ï³ä â³òðèëîì. Ó
áóä³âíèöòâ³ ÷àéîê áðàëè ó÷àñòü ìàéæå ø³ñòü äåñÿòê³â ìàéñòð³â. ¯¿ ñïîðóäæåí-
íÿ òðèâàëî äâà òèæí³. Êîíñòðóêòèâíî êîçàöüêà ÷àéêà óâ³áðàëà â ñåáå äîñâ³ä
ñóäíîáóäóâàííÿ ÷àñ³â êíÿæî¿ Ðóñ³, ñóäíîáóäóâàííÿ â³ê³íã³â, ìîðñüêèé äîñâ³ä
êðà¿í Ñåðåäçåìíîìîð’ÿ.
Îêð³ì âîäíîãî ïðîñòîðó, íàø³ ïðàùóðè ìàëè íåàáèÿê³ äîñÿãíåííÿ â îñâîºí-
í³ ïîâ³òðÿíîãî îêåàíó. Ç ë³òîïèñ³â â³äîìèé îäèí íàäçâè÷àéíî ö³êàâèé ôàêò:
êè¿âñüêèé êíÿçü Îëåã ïðè îáëîç³ Öàðãðàäà äëÿ çàëÿêóâàííÿ âîðîãà çàïóñòèâ ó
ïîâ³òðÿ ïàïåðîâèõ îçáðîºíèõ âî¿í³â ³ êîíåé. Ïîä³ÿëî!
Ó ñâ³òë³ ðîçâèòêó íàóêè ³ òåõí³êè äëÿ íàñ âàæëèâî òå, ùî ïîáóäîâà ïîâ³òðÿ-
íîãî çì³ÿ âèìàãàº ïåâíèõ çíàíü ìåõàí³êè é àåðîäèíàì³êè ³ ñâ³ä÷èòü ïðî âì³í-
íÿ çàñòîñîâóâàòè íà ïðàêòèö³ ö³ çíàííÿ íàøèìè ïðåäêàìè.

271
ЛАБОРАТОРНІ РОБОТИ
Лабораторна робота № 1
Âèì³ðþâàííÿ ñåðåäíüî¿ øâèäêîñò³ ðóõó ò³ëà
Ìåòà ðîáîòè: íàâ÷èòèñü âèì³ðþâàòè ñåðåäíþ øâèäê³ñòü ðóõó ò³ëà.
Ïðèëàäè ³ ìàòåð³àëè: âèñîêà ñêëÿíà òðóáêà ç âîäîþ; ãóìîâèé êîðîê; ãó-
ìîâ³ ê³ëüöÿ; âèì³ðþâàëüíà ñòð³÷êà; ñåêóíäîì³ð.
Вказівки щодо виконання роботи
1. Íàä³òè íà ñêëÿíó òðóáêó ãóìîâ³ ê³ëüöÿ íà äåÿê³é â³ä-
ñòàí³ l îäíå â³ä îäíîãî (ìàë. 234) ³ âèì³ðÿòè â³äñòàíü ì³æ
íèìè âèì³ðþâàëüíîþ ñòð³÷êîþ.
2. Íàïîâíèòè ñêëÿíó òðóáêó âîäîþ, çàëèøèâøè ó í³é ïî-
â³òðÿíèé ñòîâï÷èê (áàæàíî, ùîá éîãî âèñîòà ï³ñëÿ çàêðèâàí-
íÿ òðóáêè êîðêîì ïðèáëèçíî äîð³âíþâàëà ä³àìåòðó òðóáêè).
Ù³ëüíî çàêðèòè òðóáêó êîðêîì.
3. Âñòàíîâèòè òðóáêó âåðòèêàëüíî áóëüáàøêîþ âíèç. Çà
äîïîìîãîþ ñåêóíäîì³ðà âèì³ðÿòè ÷àñ, ïðîòÿãîì ÿêîãî áóëü-
áàøêà ïðîõîäèòü â³äñòàíü ì³æ ì³òêàìè.
4. Äîñë³ä ïðîðîáèòè ï’ÿòü-â³ñ³ì ðàç³â.
5. Âèçíà÷èòè ñåðåäí³é ÷àñ ðóõó tc
:
+ + +
= 1 2 3 ...
c
t t t
t
n
,
äå n – ê³ëüê³ñòü äîñë³ä³â íà âèçíà÷åííÿ ÷àñó.
6. Îá÷èñëèòè äëÿ êîæíîãî äîñë³äó àáñîëþòíó ïîõèáêó
âèì³ðþâàííÿ ÷àñó: ∆t = t − tc
.
7.Îá÷èñëèòèñåðåäíþàáñîëþòíóïîõèáêóâèì³ðþâàííÿ÷àñó:
1 c 2 c 3 c
c
- - - ...t t t t t t
t
n
+ + +
∆ = .
³ðåçóëüòàòèçàïèñàòèäîòàáëèö³:
Íîìåð
äîñë³äó
t, c tc
, c ∆t, c ∆tc
, c
1
2
.
.
.
8. Îá÷èñëèòè ñåðåäíþ øâèäê³ñòü ðóõó áóëüáàøêè çà ôîðìóëîþ c
c
l
t
υ = .
Ìàë. 234

272
Ë À Á Î Ð À Ò Î Ð Í ² Ð Î Á Î Ò È
9. Âèçíà÷èòè â³äíîñíó ïîõèáêó âèì³ðþâàííÿ ÷àñó εt
(âèçíà÷àþ÷è â³äíîñ-
íó ïîõèáêó, ïîòð³áíî âðàõîâóâàòè, ùî c
c
t
t
t
∆
ε = ëèøå òîä³, êîëè çðîáèòè íå ìåí-
øå 10 äîñë³ä³â. ßêùî áóëî 5 äîñë³ä³â, òî c
c
3
t
t
t
∆
ε = , êîëè äîñë³ä³â áóëî 7 – 8, òî
c
c
2
t
t
t
∆
ε = ).
10. Âèçíà÷èòè â³äíîñíó ïîõèáêó âèì³ðþâàííÿ äîâæèíè ïðîéäåíîãî øëÿõó
l
l
l
∆
ε = , äå ∆l = 1 ìì.
11. Âèçíà÷èòè â³äíîñíó ïîõèáêó âèì³ðþâàíü: c
c
l t
tl
l t
υ
∆∆
ε = ε + ε = + .
12. Âèçíà÷èòè àáñîëþòíó ïîõèáêó íåïðÿìèõ âèì³ðþâàíü ñåðåäíüî¿ øâèä-
êîñò³ ðóõó: c υ∆υ = υ ⋅ε .
13. Ðåçóëüòàòè âèì³ðþâàíü çàïèñàòè ó âèãëÿä³: c
ì
( )
ñ
υ = υ ± ∆υ .
Контрольні запитання
(ñ) Ùî òàêå ñåðåäíÿ øâèäê³ñòü? ßê ¿¿ âèçíà÷àþòü?1.
(ä) Ò³ëî ðóõàºòüñÿ ïðÿìîë³í³éíî, çä³éñíþþ÷è çà ð³âí³ ³íòåðâàëè ÷àñó2.
îäíàêîâ³ ïåðåì³ùåííÿ. ×è ìîæíà ç ïåâí³ñòþ òâåðäèòè, ùî ðóõ ò³ëà ð³âíîì³ð-
íèé? ×îìó?
(â) Ñåðåäíþ øâèäê³ñòü ðóõó òî÷êè íà ê³ëüêîõ ä³ëÿíêàõ øëÿõó îá÷èñëè-3.
ëè ÿê ñåðåäíº àðèôìåòè÷íå øâèäêîñòåé íà öèõ ä³ëÿíêàõ. ×è ìîæíà òàê ðîáè-
òè? Ïîÿñíèòè.
Äîñë³äæåííÿ ð³âíîïðèñêîðåíîãî ðóõó
Ìåòà ðîáîòè: äîñë³äèòè çàêîíîì³ðíîñò³ ð³âíîïðèñêîðåíîãî ðóõó.
Ïðèëàäè ³ ìàòåð³àëè: âèì³ðþâàëüíà ñòð³÷êà; ñåêóíäîì³ð; æîëîá; íàá³ð
êóëüîê; øòàòèâ ç ìóôòîþ òà ëàïêîþ; ìåòàëåâèé öèë³íäð.
1. Äëÿ âèêîíàííÿ ðîáîòè íåîáõ³äíî çàêð³ïèòè æîëîá çà äîïîìîãîþ øòàòè-
âà ó ïîõèëîìó ïîëîæåíí³ òàê, ùîá âèñîòà éîãî íàõèëó áóëà íå á³ëüøà çà 5 ñì íà
150 ñì äîâæèíè (ìàë. 235). Á³ëÿ íèæíüîãî ê³íöÿ æîëîáà ïîêëàñòè ó íüîãî ìå-
òàëåâèé öèë³íäð.

273
Ô ² Ç È Ê À 1 0 Ê Ë À Ñ
2. Ïîêëàñòè êóëüêó íà âåðõí³é ê³-
íåöü æîëîáà, ùîá âîíà äîòîðêàëàñü äî
çàòèñêà÷à (ï³ä ÷àñ ïîâòîðåííÿ äîñë³äó
êóëüêó ïóñêàòè ç òîãî ñàìîãî ì³ñöÿ).
3. Â³äïóñòèòè êóëüêó ç âåðõíüî-
ãî ê³íöÿ æîëîáà ³, ïîâòîðþþ÷è äîñë³ä
ê³ëüêà ðàç³â ç ìîæëèâîþ ñòàðàíí³ñòþ,
âñòàíîâèòè, ÿê³ ïåðåì³ùåííÿ çä³éñíþº
êóëüêà çà ïåðøèé ³íòåðâàë ÷àñó (∆t), çà
äâà ³íòåðâàëè ÷àñó (2∆t), çà òðè (3∆t) ³ ò.
ä. Äëÿ êîæíîãî ³íòåðâàëó ÷àñó âàðòî çðî-
áèòè òðè âèì³ðþâàííÿ ³ âèçíà÷èòè ñåðåäíº çíà÷åííÿ.
4. Ðåçóëüòàòè äîñë³äó çàïèñàòè äî òàáëèö³.
Íîìåð äîñë³äó
²íòåðâàë ÷àñó, ∆t c Ïåðåì³ùåííÿ, s, ì
∆t, c 2∆t, c 3∆t, c 4∆t, c s1
, ì s2
, ì s3
, ì s4
, ì
1
2
3
Ñåðåäíº
çíà÷åííÿ
5. Ïåðåâ³ðèòè õàðàêòåðíó îñîáëèâ³ñòü ïðÿìîë³í³éíîãî ð³âíîïðèñêîðåíîãî
ðóõó:
s1
: s2
: s3
... : sn
= 1 : 22
: 32
... : n2
.
Çðîáèòè âèñíîâîê.
Додаткові завдання
Âèì³ðÿòè ïðîéäåíå êóëüêîþ ïåðåì³ùåííÿ s òà ÷àñ ñêî÷óâàííÿ t ³ âèçíà÷èòè:
1) ìàêñèìàëüíó øâèäê³ñòü ïîñòóïàëüíîãî ðóõó êóëüêè;
2) øâèäê³ñòü êóëüêè â ñåðåäí³é òî÷ö³ æîëîáà;
3) ñåðåäíþ øâèäê³ñòü ðóõó êóëüêè ïî æîëîáó;
4) ïðèñêîðåííÿ ðóõó êóëüêè.
Ïîð³âíÿòè ÷èñëîâå çíà÷åííÿ ïðèñêîðåííÿ êóëüêè ç ÷èñëîâèì çíà÷åííÿì
ïåðåì³ùåííÿ, ùî ïðîõîäèòü êóëüêà çà ïåðøó ñåêóíäó.
(ñ) Ï³ä ÷àñ áóäü-ÿêîãî íåð³âíîì³ðíîãî ðóõó øâèäê³ñòü çì³íþºòüñÿ. ßê1.
õàðàêòåðèçóº öþ çì³íó ïðèñêîðåííÿ?
(ä) ×è ìîæå øâèäê³ñòü ðóõó ò³ëà äîð³âíþâàòè íóëþ, êîëè éîãî ïðèñêî-2.
ðåííÿ íå äîð³âíþº íóëþ?
(â) ×è çàâæäè ïðè ð³âíîïðèñêîðåíîìó ïðÿìîë³í³éíîìó ðóñ³ ìàòåð³àëü-3.
íî¿ òî÷êè øëÿõè, ïðîéäåí³ íåþ çà ïîñë³äîâí³ îäíàêîâ³ ³íòåðâàëè ÷àñó, â³äíî-
ñÿòüñÿ ÿê ïîñë³äîâíèé ðÿä íåïàðíèõ ÷èñåë?
Ìàë. 235

274
Äîñë³äæåííÿ ðóõó ò³ëà ïî êîëó
Ìåòà ðîáîòè: îçíàéîìèòèñÿ ç âåëè÷èíàìè, ùî õàðàêòåðèçóþòü ðóõ ò³ëà
ïî êîëó.
Ïðèëàäè òà ìàòåð³àëè: êóëüêà, ï³äâ³øåíà íà íèòö³; øòàòèâ ç ê³ëüöåì
³ ìóôòàìè; ñåêóíäîì³ð àáî ãîäèííèê ç ñåêóíäíîþ ñòð³ëêîþ, âèì³ðþâàëüíà
ñòð³÷êà; àðêóø ïàïåðó ç íàêðåñëåíèì êîëîì (ðàä³óñ 15 ñì).
1. Ïðèâ’ÿçàòè íèòêó çàâäîâæêè
áëèçüêî 45 ñì äî êóëüêè é ï³äâ³ñèòè
äî ê³ëüöÿ øòàòèâà (ìàë. 236).
2. Ïðèâåñòè êóëüêó â îáåðòàííÿ
ïî êîëó ðàä³óñîì r, ÿêå íàìàëüîâàíî
íà àðêóø³ ïàïåðó.
3. Âèì³ðÿòè ÷àñ t , íàïðèêëàä,
15 îáåðò³â êóëüêè. Äîñë³ä ïîâòîðèòè
ï’ÿòü ðàç³â.
4. Îá÷èñëèòè ïåð³îä T îáåðòàííÿ
êóëüêè.
5. Îá÷èñëèòè ñåðåäíº çíà÷åííÿ
êóòîâî¿ òà ë³í³éíî¿ øâèäêîñòåé ðóõó
êóëüêè, à òàêîæ äîöåíòðîâîãî ïðè-
ñêîðåííÿ.
6. Ðåçóëüòàòè âèì³ðþâàíü òà îá÷èñëåíü çàïèñàòè äî òàáëèö³:
Íîìåð äîñë³äó t, c N T, c ω, ðàä/ñ υ, ì/ñ a, ì/ñ2
1
2
3
4
5
Ñåðåäíº
çíà÷åííÿ
1. Ç’ÿñóâàòè, ÷è çì³íèòüñÿ ïåð³îä îáåðòàííÿ êóëüêè, ÿêùî ðàõóâàòè íå 15,
à 30 îáåðò³â.
2. ×è çì³íèòüñÿ ïåð³îä îáåðòàííÿ, ÿêùî ðàä³óñ îáåðòàííÿ çìåíøèòè ó äâà
ðàçè (äîâæèíó íèòêè çàëèøèòè íåçì³ííîþ)?
Ìàë. 236

275
Ô ² Ç È Ê À 1 0 Ê Ë À Ñ
3. ßê çì³íèòüñÿ ìîäóëü êóòîâî¿ òà ë³í³éíî¿ øâèäêîñòåé êóëüêè òà ¿¿ äîöåí-
òðîâîãî ïðèñêîðåííÿ, ÿêùî ðàä³óñ îáåðòàííÿ çá³ëüøèòè ó 2 ðàçè?
(ñ) ×è ìîæå ò³ëî ðóõàòèñÿ êðèâîë³í³éíîþ òðàºêòîð³ºþ áåç ïðèñêîðåííÿ?1.
(ä) Òî÷êà ðóõàºòüñÿ äî öåíòðà ïî ñï³ðàë³ ç³ ñòàëîþ çà ìîäóëåì øâèäê³ñ-2.
òþ. ×è çì³íþþòüñÿ ¿¿ ïðèñêîðåííÿ ³ ïåð³îä?
(â) Òîíêèé îáðó÷ ç ðàä³óñîì3. R ðîçãàíÿþòü ïî ãîðèçîíòàëüí³é ä³ëÿíö³
äîðîãè áåç âèáî¿í. Ïðè ÿêîìó çíà÷åíí³ ìèòòºâî¿ øâèäêîñò³ υ
r
ïîñòóïàëüíîãî
ðóõó îáðó÷à â³í â³ä³ðâåòüñÿ â³ä äîðîãè (ï³äñêî÷èòü)?
Âèì³ðþâàííÿ ñèë
Ìåòà: íàâ÷èòèñü âèì³ðþâàòè ñèëè çà äîïîìîãîþ äèíàìîìåòðà, âèçíà÷àòè
ð³âíîä³éíó ñèë, ïåðåêîíàòèñü ó ñïðàâåäëèâîñò³ ïðàâèëà ïàðàëåëîãðàìà ïðè äî-
äàâàíí³ ñèë.
Ïðèëàäè ³ ìàòåð³àëè: ëàáîðàòîðíèé øòàòèâ; äåðåâ’ÿíà äîøêà ç öâÿõàìè;
äèíàìîìåòðè; ãóìîâèé øíóð; íèòêè; àðêóø ïàïåðó; íàá³ð âàæê³â ìàñîþ ïî
100 ã; îë³âåöü; êíîïêè êàíöåëÿðñüê³; ë³í³éêà.
Âèì³ðþâàííÿ ñèë, ùî ä³þòü óçäîâæ îäí³º¿ ïðÿìî¿.
1. Çàêð³ïèòè íà øòàòèâ³ êîðïóñ äèíàìîìåòðà ó âåðòèêàëüíîìó ïîëîæåíí³.
2. Ï³äâ³ñèòè äî ãà÷êà äèíàìîìåòðà òðè òÿãàðö³ ìàñîþ ïî 100 ã. Äî ãà÷êà
âåðõíüîãî òÿãàðöÿ ïðè÷åïèòè ³íøèé ëàáîðàòîðíèé äèíàìîìåòð ³ ïîòÿãíóòè çà
íüîãî âãîðó, ùîá ïîêàæ÷èê äèíàìîìåòðà ïîêàçóâàâ 1 Í. Çàô³êñóâàòè çíà÷åííÿ
ñèëè, ÿêó ïîêàçóº äèíàìîìåòð, çàêð³ïëåíèé ó øòàòèâ³. Çðîáèòè âèñíîâîê ïðî
äîäàâàííÿ ñèë, ùî ä³þòü óçäîâæ îäí³º¿ ïðÿìî¿ ó ïðîòèëåæíèõ íàïðÿìàõ.
3. Ï³äâ³ñèòè äî ãà÷êà äèíàìîìåòðà äâà òÿãàðö³ ìàñîþ ïî 100 ã. Äî ãà÷êà
íèæíüîãî òÿãàðöÿ ïðè÷åïèòè ³íøèé ëàáîðàòîðíèé äèíàìîìåòð ³ ïîòÿãíóòè çà
íüîãî âíèç, ùîá ïîêàæ÷èê äèíàìîìåòðà ïîêàçóâàâ 1 Í. Çàô³êñóâàòè çíà÷åííÿ
ñèëè, ÿêó ïîêàçóº äèíàìîìåòð, çàêð³ïëåíèé ó øòàòèâ³. Çðîáèòè âèñíîâîê ïðî
äîäàâàííÿ ñèë, ùî ä³þòü óçäîâæ îäí³º¿ ïðÿìî¿ â îäíîìó íàïðÿì³.
Âèì³ðþâàííÿ ñèë, ùî ä³þòü ï³ä êóòîì.
1. Àðêóø ïàïåðó çàêð³ïèòè êíîïêàìè íà äåðåâ’ÿí³é äîøö³. Ãóìîâèé øíóð
³ íèòêè çâ’ÿçàòè, ùîá óòâîðèâñÿ âóçîë, ³ çà÷åïèòè íà öâÿõàõ òàê, ÿê ïîêàçàíî
íà ìàë. 237. Îë³âöåì â³äì³òèòè íà àðêóø³ ïàïåðó ïîëîæåííÿ âóçëà.
2. Ñêèíóòè ç öâÿõà îäíó ïåòëþ ³, çà÷åïèâøè ¿¿ çà ãà÷îê äèíàìîìåòðà, íà-
òÿãíóòè íèòêó òàê, ùîá âóçîë çàéíÿâ òå ñàìå ïîëîæåííÿ, ÿêå â³í çàéìàâ äî
ñêèäàííÿ ïåòë³. Çàô³êñóâàòè ïîêàçè äèíàìîìåòðà.

276
3. Àíàëîã³÷í³ ä³¿ ïðîðîáèòè ç ³íøîþ
ïåòëåþ.
4. Çíÿòè íèòêè ç öâÿõ³â, ³ íà àðêóø³
ïàïåðó ïîáóäóâàòè ïàðàëåëîãðàì ñèë ó
ìàñøòàá³ 1 ñì = 0,5 Í.
5. Âèçíà÷èòè ìîäóëü ð³âíîä³éíî¿ ñèë.
6. Çà÷åïèòè ãóìîâèé øíóð çà öâÿõ,
à îäíó ç ïåòåëü çà ãà÷îê äèíàìîìåòðà. Çà
äîïîìîãîþ äèíàìîìåòðà íàòÿãíóòè íèò-
êó âçäîâæ ä³àãîíàë³ ïàðàëåëîãðàìà, òàê
ùîá âóçîë çàéíÿâ ñâîº ïîëîæåííÿ. Çà-
ô³êñóâàòè ïîêàçè äèíàìîìåòðà.
7. Ïîð³âíÿòè îñòàíí³ ³ ïîïåðåäí³ ðå-
çóëüòàòè âèì³ðþâàííÿ ìîäóëÿ ð³âíîä³é-
íî¿ ñèë. Çðîáèòè âèñíîâîê.
Додаткове завдання
Äîñë³äèòè çàëåæí³ñòü âåëè÷èíè ð³âíîä³éíî¿ äâîõ ñèë â³ä âåëè÷èíè êóòà
ì³æ íèìè.
Äâà äèíàìîìåòðè ç’ºäíàòè íèòêîþ, äî ÿêî¿ ï³äâ³ñèòè òÿãàðåöü âàãîþ 1 Í
(ìàë. 238). Çì³íþþ÷è êóò ì³æ íèòêàìè â³ä 30° äî 150°, âèçíà÷àòè ð³âíîä³éíó
ñèë íàòÿãó íèòîê. Çðîáèòè âèñíîâîê.
(ñ) ßêùî íà ò³ëî ä³þòü äåê³ëüêà ñèë, ÿê âèçíà÷àþòü ð³âíîä³éíó öèõ1.
ñèë?
(ä) ×è ìîæóòü óð³âíîâàæóâàòèñü òðè îäíàêîâ³ çà ìîäóëåì ñèëè, ÿê³ íå2.
ëåæàòü â îäí³é ïëîùèí³?
(â) ×è ìîæíà áóòè âïåâíåíèì ó òîìó, ùî êîëè íà ò³ëî ä³þòü äâ³ ïðîòè-3.
ëåæí³ ñèëè, òî âîíî îáîâ’ÿçêîâî ìàº ðóõàòèñü ó íàïðÿì³ á³ëüøî¿ çà ìîäóëåì
ñèëè?
Ìàë. 237
Ìàë. 238

277
Ô ² Ç È Ê À 1 0 Ê Ë À Ñ
Äîñë³äæåííÿ ðóõó ò³ëà, êèíóòîãî ãîðèçîíòàëüíî
Ìåòà ðîáîòè: äîñë³äèòè ðóõ ò³ëà, êèíóòîãî ãîðèçîíòàëüíî, ³ ç’ÿñóâàòè
ôóíêö³îíàëüí³ çàëåæíîñò³ ì³æ âåëè÷èíàìè, ùî éîãî õàðàêòåðèçóþòü.
Ïðèëàäè ³ ìàòåð³àëè: ë³í³éêà ç ì³ë³ìåòðîâèìè ïîä³ëêàìè; øòàòèâ ç ìóô-
òîþ ³ ëàïêîþ; ìåòàëåâèé æîëîá äëÿ ïóñêàííÿ êóëüîê; êóëüêà; ïàï³ð; âèñîê;
êëåéêà ñòð³÷êà (ñêîò÷); êîï³þâàëüíèé ïàï³ð.
1. Çà äîïîìîãîþ øòàòèâà
çàêð³ïèòè æîëîá. Çàãíóòèé
ê³íåöü æîëîáà ìàº áóòè ðîç-
òàøîâàíî ãîðèçîíòàëüíî íà
âèñîò³ h = 3 ñì â³ä ïîâåðõí³
ñòîëó (ìàë. 239).
2. Çàô³êñóâàòè êëåéêîþ
ñòð³÷êîþ íà ñòîë³ äîâãó ñìóæ-
êó ïàïåðó. Ó ì³ñö³ ìîæëèâîãî
ïàä³ííÿ êóëüêè ïîêëàñòè êî-
ï³þâàëüíèé ïàï³ð. Çà äîïî-
ìîãîþ âèñêà âèçíà÷èòè òî÷êó
À â³ä ÿêî¿ âèì³ðÿòè äàëüí³ñòü
ïîëüîòó l.
3. Çì³íþþ÷è âèñîòó æî-
ëîáà h2
= 12 ñì, h3
= 27 ñì,
h4
= 48 ñì, âèì³ðÿòè â³äïîâ³ä-
í³ äàëüíîñò³ ïîëüîòó l2
, l3
, l4
.
Ó êîæíîìó âèïàäêó äîñë³ä
ïîâòîðþâàòè ï’ÿòü ðàç³â, ïóñ-
êàþ÷è êóëüêó ç òîãî ñàìîãî ì³ñöÿ æîëîáà ³ âèì³ðþþ÷è ùîðàçó äàëüí³ñòü ïî-
ëüîòó l. Îá÷èñëèòè ñåðåäíº çíà÷åííÿ äàëüíîñò³ ïîëüîòó äëÿ êîæíîãî âèïàäêó.
Ðåçóëüòàòè âèì³ðþâàíü ³ îá÷èñëåíü çàïèñàòè ó òàáëèöþ:
Íîìåð äîñë³äó
Ô³êñîâàíà
âèñîòà
Äàëüí³ñòü
ïîëüîòó, l, ñì
Ñåðåäíº
çíà÷åííÿ lñ
, ñì
1 h1
= 3 ñì
2 h2
= 12 ñì
3 h3
= 27 ñì
4 h4
= 48 ñì
4. Äîâåñòè, ùî ï³ä ÷àñ ðóõó ò³ëà ó ïîë³ çåìíîãî òÿæ³ííÿ âèêîíóºòüñÿ ñï³â-
â³äíîøåííÿ: l1
: l2
: l3
: l4
= 1 : 2 : 3 : 4.
Ìàë. 239

278
5. Âèêîðèñòîâóþ÷è äàí³ äîñë³äó, êîëè êóëüêà ëåò³ëà ç âèñîòè h4
= 48 ñì, îá-
÷èñëèòè ñåðåäíº çíà÷åííÿ ïî÷àòêîâî¿ øâèäêîñò³ çà ôîðìóëîþ
0
2
c
g
l
h
υ = .
6. Îá÷èñëèòè â³äíîñíó ïîõèáêó âèì³ðþâàíü:
1 1
2 2
l g h
l g h
l g h
υ
∆ ∆ ∆
ε = ε + ε + ε = + + ,
äå 1ìì,l h∆ = ∆ = 2
ì
0,02
ñ
g∆ = ïðè 2
ì
10 .
ñ
g =
7. Îá÷èñëèòè àáñîëþòíó ïîõèáêó âèì³ðþâàííÿ øâèäêîñò³ 0 0ñ υ∆υ = υ ⋅ε .
8. Ðåçóëüòàò âèì³ðþâàííÿ çàïèñàòè ó âèãëÿä³ 0 0ñ
ì
( )
ñ
υ = υ ± ∆υ .
Ïîáóäóâàòè òðàºêòîð³þ ðóõó êóëüêè.
Äëÿ öüîãî âèêîðèñòîâóþ÷è äàí³ îñòàííüîãî äîñë³äó ³ êîðèñòóþ÷èñü ôîðìó-
ëàìè l = υ0c
t ³
2
0
2
gt
h h= − âèçíà÷èòè êîîðäèíàòè l òà h êóëüêè ÷åðåç êîæí³ 0,05 ñ.
Çàïèñàòè çíà÷åííÿ äî òàáëèö³:
t, ñ 0 0,05 ñ 0,10 ñ 0,15 ñ 0,20 ñ
l, ì 0
h, ì 0,48
Íàêðåñëèòè òðàºêòîð³þ ðóõó êóëüêè.
(ñ) Äå – íà Çåìë³ ÷è íà Ì³ñÿö³ – á³ëüøå çì³ñòèòüñÿ ò³ëî ïî ãîðèçîíòà-1.
ë³, ÿêùî éîãî êèäàòè ãîðèçîíòàëüíî ç îäíàêîâî¿ âèñîòè ç ð³âíèìè çà ìîäóëåì
øâèäêîñòÿìè?
(ä) Äâà ò³ëà êèíóëè ç áàøòè ãîðèçîíòàëüíî ç³ øâèäêîñòÿìè, îäíà ç ÿêèõ2.
á³ëüøà çà äðóãó â òðè ðàçè. ßêå ç ò³ë óïàäå ïåðøèì?
(â) Íåâåëèêèé êóáèê ïîì³ñòèëè íà âåðøèí³ ï³âñôåðè. ßêî¿ ïî÷àòêîâî¿3.
øâèäêîñò³ òðåáà íàäàòè êóáèêó, ùîá â³ä ïîøòîâõó â³í îä³ðâàâñÿ â³ä ï³âñôåðè
â³äðàçó ï³ñëÿ ïî÷àòêó ðóõó?

279
Ô ² Ç È Ê À 1 0 Ê Ë À Ñ
Âèì³ðþâàííÿ æîðñòêîñò³
Ìåòà ðîáîòè: åêñïåðèìåíòàëüíî ïåðåâ³ðèòè çàêîí Ãóêà ³ âèçíà÷èòè æîð-
ñòê³ñòü ãóìè.
Îáëàäíàííÿ: ãóìîâèé øíóð äîâæèíîþ 20–30 ñì ç äðîòÿíîþ ïåòåëüêîþ íà
îäíîìó ê³íö³; íàá³ð âàæê³â ïî 100 ã; äèíàìîìåòð; ë³í³éêà; øòàíãåíöèðêóëü;
øòàòèâ.
1. Ãóìîâèé øíóð, ³ç ïåòëåþ íà íèæíüîìó ê³íö³, çà-
êð³ïèòè ó øòàòèâ³ (ìàë. 240). Ïîðÿä çàêð³ïèòè ë³í³éêó ó
âåðòèêàëüíîìó ïîëîæåíí³.
2. Êîëè äî ïðóæèíè ï³äâ³ñèòè òÿãàðåöü, òî âíàñë³äîê
ä³¿ çåìíîãî òÿæ³ííÿ â³í ðóõàºòüñÿ âíèç ³ ðîçòÿãóº ïðó-
æèíó äîòè, äîêè ñèëà òÿæ³ííÿ íå âð³âíîâàæèòüñÿ ñèëîþ
ïðóæíîñò³, ùî âèíèêàº ó ïðóæèí³. Òîìó çà çíà÷åííÿ ñèëè
ïðóæíîñò³ Fïð
áóäåìî ïðèéìàòè âàãó òÿãàðö³â.
3. Ï³äâ³ñèòè îäèí òÿãàðåöü. Íîìåð ïîä³ëêè øêàëè
ë³í³éêè, íàâïðîòè ÿêî¿ çíàõîäèòüñÿ ãà÷îê òÿãàðöÿ, ââà-
æàòè çà ïî÷àòîê â³äë³êó âèäîâæåííÿ ãóìîâîãî øíóðà.
4. Ï³ñëÿ öüîãî ï³äâ³øóâàòè äî ãóìîâîãî øíóðà ïî îä-
íîìó òÿãàðöþ ³ â³äì³÷àòè ùîðàçó çà øêàëîþ ë³í³éêè ïî-
ëîæåííÿ ãà÷êà âåðõíüîãî òÿãàðöÿ.
Ðåçóëüòàòè âèì³ðþâàíü çàïèñàòè äî òàáëèö³.
Íîìåð
äîñë³äó
m, êã
ïðF mg= , Í
(Ïðèéíÿòè 2
ì
10
ñ
g ≈ ) x , ì
mg
k
x
= , Í
ì
1
2
3
4
5. Çà äàíèìè òàáëèö³ ïîáóäóâàòè ãðàô³ê çàëåæíîñò³ ñèëè ïðóæíîñò³ â³ä âè-
äîâæåííÿ ãóìîâîãî øíóðà. Ïðè ïîáóäîâ³ ãðàô³êó çà ðåçóëüòàòàìè âèì³ðþâàí-
íÿ åêñïåðèìåíòàëüí³ òî÷êè ìîæóòü íå ëåæàòè íà îäí³é ïðÿì³é, ùî â³äïîâ³äàº
ôîðìóë³ ïðF k x= . Öå ïîâ’ÿçàíî ç ïîõèáêàìè âèì³ðþâàíü. Ó öüîìó âèïàäêó
ãðàô³ê ñë³ä áóäóâàòè òàê, ùîá ïðèáëèçíî îäíàêîâà ê³ëüê³ñòü òî÷îê áóëà ïî ð³ç-
í³ áîêè â³ä ïðÿìî¿.
6. Çà òàíãåíñîì êóòà íàõèëó ãðàô³êó âèçíà÷èòè æîðñòê³ñòü. Öå ³ áóäå øó-
êàíèì ñåðåäí³ì çíà÷åííÿì æîðñòêîñò³ c.k Ïîð³âíÿòè éîãî ç äàíèìè òàáëèö³.
Ìàë. 240

280
7. Îá÷èñëèòè â³äíîñíó ïîõèáêó íåïðÿìèõ âèì³ðþâàíü (ñêîðèñòàâøèñü äà-
íèìè ïåðøîãî äîñë³äó)
k m g x
m g x
m g x
∆ ∆ ∆
ε = ε + ε + ε = + + ,
äå 0,002 êãm∆ = , 1ììx∆ = , 2
ì
0,02
ñ
g∆ = ïðè 2
ì
10 .
ñ
g =
8. Âèçíà÷èòè k ck k∆ = ε ³ ðåçóëüòàò âèì³ðþâàíü çàïèñàòè ó âèãëÿä³:
Í
( ) .
ì
ck k k= ± ∆
Âèçíà÷èòè ìîäóëü ïðóæíîñò³ ãóìè.
1. Îë³âöåì (àáî ðó÷êîþ) íàíåñòè íà ãóìîâèé øíóð äâ³ ì³òêè. Ë³í³éêîþ âè-
ì³ðÿòè â³äñòàíü (l0
) ì³æ ì³òêàìè.
2. Äî íèæíüîãî ê³íöÿ øíóðà ï³äâ³ñèòè äâà âàíòàæ³. Âèì³ðÿòè â³äñòàíü (l)
ì³æ ì³òêàìè íà ðîçòÿãíóòîìó øíóð³.
3. ßêùî øíóð ìàº êðóãëèé ïåðåð³ç, òî âèì³ðÿòè ä³àìåòð øíóðà (D) øòàí-
ãåíöèðêóëåì.
ßêùî øíóð ìàº ïðÿìîêóòíèé ïåðåð³ç, òî âèì³ðÿòè ë³í³éêîþ äîâæèíó (à)
³ øòàíãåíöèðêóëåì øèðèíó (b) ïðÿìîêóòíîãî ïåðåð³çó øíóðà ó ðîçòÿãíóòîìó
ñòàí³.
4. Ìîäóëü Þíãà îá÷èñëèòè çà äîïîìîãîþ ðîçðàõóíêîâî¿ ôîðìóëè: äëÿ
øíóðà, ùî ìàº êðóãëèé ïåðåð³ç:
=
π −
0
2
0
4
( )
Fl
E
D l l
;
äëÿ øíóðà, ùî ìàº ïðÿìîêóòíèé ïåðåð³ç:
=
−
0
0( )
Fl
E
ab l l
.
5. Îá÷èñëèòè â³äíîñíó òà àáñîëþòíó ïîõèáêè âèì³ðþâàíü.
(ñ) Âêàæ³òü ïðàâèëüíèé çàïèñ çàêîíó Ãóêà:1. = −
r r
F kx , (Fïð
)x
= −kx, = −F kx .
(ä) ßê ç’ºäíàòè ÷îòèðè ïðóæèíè ç æîðñòêîñòÿìè ïî 2 Í/ì êîæíà äëÿ2.
îäåðæàííÿ çàãàëüíî¿ æîðñòêîñò³ 3/2 Í/ì?
(â) Ïåðøà ïðóæèíà â3. k ðàç³â äîâøà â³ä äðóãî¿ ³ âèãîòîâëåíà ç äðîòó â p
ðàç³â ìåíøîãî ä³àìåòðó. Ïîð³âíÿéòå ¿õ æîðñòêîñò³.

281
Ô ² Ç È Ê À 1 0 Ê Ë À Ñ
Âèì³ðþâàííÿ êîåô³ö³ºíòà òåðòÿ
Ìåòà ðîáîòè: âèçíà÷èòè êîåô³ö³ºíò òåðòÿ êîâçàííÿ µ äåðåâà ïî äåðåâó.
Ïðèëàäè òà ìàòåð³àëè: äèíàìîìåòð; äåðåâ’ÿíèé áðóñîê; äåðåâ’ÿíà äî-
øêà; íàá³ð òÿãàðö³â ïî 100 ã.
1. Ïîêëàñòè áðóñîê íà
ãîðèçîíòàëüíî ðîçì³ùåíó
äåðåâ’ÿíó äîøêó. Íà áðó-
ñîê ïîñòàâèòè îäèí òÿãàðåöü
(ìàë. 241). Ïðèêð³ïèâøè äî
áðóñêà äèíàìîìåòð, ð³âíî-
ì³ðíî òÿãíóòè éîãî âçäîâæ
äîøêè. Çàïèñàòè ïðè öüîìó
ïîêàçè äèíàìîìåòðà (öå áóäå
çíà÷åííÿ ñèëè Fòåð
).
2. Âèçíà÷èòè âàãó áðóñêà ç òÿãàðöåì (öå º ñèëà íîðìàëüíîãî òèñêó N íà
ïëàñòèíó).
3. Âèçíà÷èòè êîåô³ö³ºíò òåðòÿ êîâçàííÿ çà ôîðìóëîþ µ = Fòåð
/N.
4. Äî ïåðøîãî òÿãàðöÿ äîäàâàòè ïî ÷åðç³ äðóãèé, òðåò³é òà ïðîâîäèòè âè-
ì³ðè. Ðåçóëüòàòè çàïèñàòè äî òàáëèö³:
Íîìåð
äîñë³äó
Fòåð
, Í N, Í µ µñ
1
2
3
5. Çà ðåçóëüòàòàìè âèì³ðþâàíü ïîáóäóâàòè ãðàô³ê çàëåæíîñò³ ñèëè òåðòÿ
â³ä ñèëè íîðìàëüíîãî òèñêó. Âèçíà÷èòè ñåðåäí³é êîåô³ö³ºíò òåðòÿ êîâçàííÿ
çà òàíãåíñîì êóòà íàõèëó ãðàô³êó. Ïîð³âíÿòè éîãî ç äàíèìè òàáëèö³. Çðîáèòè
âèñíîâîê.
6. Çà äàíèìè ïåðøîãî äîñë³äó îá÷èñëèòè â³äíîñíó ïîõèáêó âèì³ðþâàííÿ
êîåô³ö³ºíòà òåðòÿ
òep
òep
òep
F N
F N
F N
µ
∆ ∆
ε = ε + ε = + ,
äå òåð 0,1HF N∆ = ∆ = .
7. Îá÷èñëèòè àáñîëþòíó ïîõèáêó cµ∆µ = ε ⋅µ .
8. Ðåçóëüòàò îá÷èñëåíü çàïèñàòè ó âèãëÿä³: cµ = µ ± ∆µ .
Ìàë. 241

282
Âñòàíîâèòè çàëåæí³ñòü êîåô³ö³ºíòà òåðòÿ â³ä ïàðàìåòð³â òåðòüîâèõ
ïîâåðõîíü.
1. Âèçíà÷èòè êîåô³ö³ºíò òåðòÿ êîâçàííÿ äåðåâà ïî äåðåâó, êîëè áðóñîê
òðåòüñÿ îá äåðåâ’ÿíó äîøêó âóæ÷îþ ãðàííþ. Ïîð³âíÿòè îäåðæàí³ çíà÷åííÿ êî-
åô³ö³ºíòà òåðòÿ. Çðîáèòè âèñíîâîê ïðî çàëåæí³ñòü êîåô³ö³ºíòà òåðòÿ êîâçàííÿ
â³ä ïëîù³ òåðòüîâèõ ïîâåðõîíü.
2. Íàêëå¿òè íà íèæíþ ãðàíü áðóñêà ïàï³ð (àáî áóäü-ÿêèé ³íøèé ìàòåð³àë).
Âèçíà÷èòè êîåô³ö³ºíò òåðòÿ êîâçàííÿ ó öüîìó âèïàäêó. Çðîáèòè âèñíîâîê.
3. Âèçíà÷èòè êîåô³ö³ºíò òåðòÿ êî÷åííÿ äåðåâà ïî äåðåâó. Äëÿ öüîãî ñêî-
ðèñòàòèñü äåðåâ’ÿíèì öèë³íäðîì ³ç çàêð³ïëåíèì íà íüîìó ãà÷êîì (ãà÷îê ìàº
áóòè çàêð³ïëåíèé òàê, ùîá öèë³íäð ì³ã êîòèòèñü). Ïîð³âíÿòè êîåô³ö³ºíòè òåð-
òÿ êîâçàííÿ òà êî÷åííÿ äåðåâà ïî äåðåâó. Çðîáèòè âèñíîâîê.
(ñ) ×è ìîæíà ó ôîðìóë³ ñèëè òåðòÿ1. Fòåð
= µN, çàì³ñòü ìîäóë³â ñèë Fòåð
³ N
ïîñòàâèòè âåêòîðè öèõ âåëè÷èí?
(ä) ßêèì ÷èíîì âïëèíå íà ñèëó òåðòÿ çíèêíåííÿ ïîâ³òðÿ?2.
(â) Íàêðåñë³òü ãðàô³ê çàëåæíîñò³ ìîäóëÿ ñèëè3.
r
F òåð
, ùî ä³º ç áîêó ãîðè-
çîíòàëüíî¿ ïëîùèíè íà áðóñîê, ðîçì³ùåíèé íà í³é, â³ä ìîäóëÿ ãîðèçîíòàëüíî¿
ñèëè
r
F , ïðèêëàäåíî¿ äî áðóñêà. Ìîäóëü ìàêñèìàëüíî¿ ñèëè òåðòÿ ñïîêîþ äî-
ð³âíþº 0F .
Äîñë³äæåííÿ ð³âíîâàãè ò³ë ï³ä ä³ºþ ê³ëüêîõ ñèë
Ìåòà ðîáîòè: âñòàíîâèòè ñï³ââ³äíîøåííÿ ì³æ ìîìåíòàìè ñèë, ïðèêëàäå-
íèõ äî ïëå÷åé âàæåëÿ ï³ä ÷àñ éîãî ð³âíîâàãè.
Ïðèëàäè ³ ìàòåð³àëè: ë³í³éêà; äèíàìîìåòð; øòàòèâ ç ìóôòîþ; âàæ³ëü;
íàá³ð òÿãàðö³â ìàñîþ 100 ã.
1. Âñòàíîâèòè âàæ³ëü íà øòàòèâ³ ³ çð³âíîâàæèòè éîãî ó ãîðèçîíòàëüíîìó
ïîëîæåíí³ çà äîïîìîãîþ ïåðåñóâíèõ ãàéîê, ðîçì³ùåíèõ íà éîãî ê³íöÿõ.
2. Ï³äâ³ñèòè òÿãàðåöü ó ïåâí³é òî÷ö³ îäíîãî ç ïë³÷ âàæåëÿ.
3. Ï³äâ³ñèòè ê³ëüêà òÿãàðö³â â îäíó àáî ê³ëüêà òî÷îê ³íøîãî ïëå÷à âàæåëÿ
òàê, ùîá âàæ³ëü çàëèøèâñÿ ó ð³âíîâàç³. Âèì³ðÿòè ë³í³éêîþ äîâæèíè ïë³÷ ñèë
òÿæ³ííÿ, ùî ïðèêëàäåí³ äî êîæíîãî òÿãàðöÿ.
4. Ïîâòîðèòè äîñë³ä òðè ðàçè, çì³íþþ÷è ïîëîæåííÿ ³ ê³ëüê³ñòü òÿãàðö³â.
5. Âèçíà÷èòè çíà÷åííÿ âñ³õ ìîìåíò³â ñèë, ùî ä³þòü íà âàæ³ëü; ñóìó ìîìåí-
ò³â ñèë Ìçà
, ùî îáåðòàþòü âàæ³ëü çà ãîäèííèêîâîþ ñòð³ëêîþ, òà ñóìó ìîìåíò³â
ñèë Ìïðîòè
, ùî îáåðòàþòü âàæ³ëü ïðîòè ãîäèííèêîâî¿ ñòð³ëêè.

283
Ô ² Ç È Ê À 1 0 Ê Ë À Ñ
6. Çàïèñàòè äàí³ äî òàáëèö³:
¹ Fò1
l1
Fò2
l2
Fò3
l3
Fò4
l4
M1
M2
M3
M4
Ìçà
Ìïðîòè
1.
2.
3.
7. Ïîð³âíÿòè â³äíîøåííÿ Ìçà
/Ìïðîòè
ç
îäèíèöåþ ³ çðîáèòè âèñíîâîê.
8. Ïðèêð³ïèòè äî îäíîãî ç ïë³÷ íå-
çð³âíîâàæåíîãî âàæåëÿ ç òÿãàðöÿìè äè-
íàìîìåòð ³ âèçíà÷èòè ñèëó F, ÿêó òðåáà
ïðèêëàñòè äî âàæåëÿ, ùîá â³í áóâ ó ð³â-
íîâàç³ (ìàë. 242).
9. Âèì³ðÿòè ë³í³éêîþ äîâæèíè ïë³÷
ñèë òÿæ³ííÿ, ùî ïðèêëàäåí³ äî êîæíîãî
òÿãàðöÿ òà ïëå÷å äèíàìîìåòðà.
10. Ïîâòîðèòè äîñë³ä 3 ðàçè, çì³íþ-
þ÷è ïîëîæåííÿ òà ê³ëüê³ñòü òÿãàðö³â.
11. Âèçíà÷èòè çíà÷åííÿ âñ³õ ìîìåí-
ò³â ñèë, ùî ä³þòü íà âàæ³ëü; ñóìó ìîìåí-
ò³â ñèë Ìçà
, ùî îáåðòàþòü âàæ³ëü çà ãî-
äèííèêîâîþ ñòð³ëêîþ, òà ñóìó ìîìåíò³â ñèë Ìïðîòè
, ùî îáåðòàþòü âàæ³ëü ïðîòè
ãîäèííèêîâî¿ ñòð³ëêè.
12. Çàïèñàòè äàí³ äî òàáëèö³. Çðîáèòè âèñíîâîê.
¹ Fò1
l1
Fò2
l2
F l3
M1
M2
M3
Ìçà
Ìïðîòè
1
2
3
Ïðèêð³ïèòè äî âàæåëÿ ó äâîõ äîâ³ëüíèõ ì³ñöÿõ òÿãàðö³ ìàñîþ 100 ã ³ á³ëü-
øå. Âèçíà÷èòè äèíàìîìåòðîì ñèëó, ÿêó òðåáà ïðèêëàñòè äî îäíîãî ç ê³íö³â âà-
æåëÿ âåðòèêàëüíî âãîðó, ùîá âàæ³ëü áóâ ó ð³âíîâàç³. Çðîáèòè âèñíîâîê.
(ñ) Ð³âíîä³éíà ïðèêëàäåíèõ äî ò³ëà ñèë ³ ñóìà ¿õ ìîìåíò³â äîð³âíþº1.
íóëþ. ßêèì ìîæå áóòè ìåõàí³÷íèé ñòàí ò³ëà?
(ä) ×îìó âàæ³ëü ó ñòàí³ ð³âíîâàãè çàéìàº ãîðèçîíòàëüíå ïîëîæåííÿ?2.
(â) Äî ò³ëà ïðèêëàäåí³ äâ³ îäíàêîâ³ çà ìîäóëåì ³ ïðîòèëåæí³ çà íàïðÿ-3.
ìîì ñèëè. ßêîþ ìîæå áóòè ¿õíÿ ä³ÿ íà ò³ëî?
Ìàë. 242

284
Âèçíà÷åííÿ öåíòðà ìàñ ïëîñêèõ ô³ãóð
Ìåòà ðîáîòè: íàâ÷èòèñü åêñïåðèìåíòàëüíî âèçíà÷àòè öåíòð ìàñ (òÿæ³í-
íÿ) ïëîñêèõ ô³ãóð.
Ïðèëàäè òà ìàòåð³àëè: ô³ãóðè, âèð³çàí³ ç êàðòîíó; ë³í³éêà; âèñîê; áó-
ëàâêà; äåðåâ’ÿíèé êîðîê; øòàòèâ ³ç ìóôòîþ òà çàòèñêà÷åì.
1. Âèð³çàòè ç êàðòîíó òðè ô³ãóðè: öåíòðàëüíî-
ñèìåòðè÷íó (êðóã, êâàäðàò àáî ðîìá); òàêó, ùî ìàº
ôîðìó íåð³âíîá³÷íîãî òðèêóòíèêà; ô³ãóðó íåïðà-
âèëüíî¿ ôîðìè.
2. Çàêð³ïèòè ó çàòèñêà÷³ øòàòèâà äåðåâ’ÿíèé
êîðîê. Ïðîêîëîòè îäíó ç ô³ãóð áóëàâêîþ ³ âñòðîìè-
òè ¿¿ â êîðîê (ìàë. 243). Çëåãêà ïîõèòóþ÷è ô³ãóðó,
ïåðåêîíàòèñÿ, ùî âîíà ïåðåáóâàº ó ñòàí³ ñò³éêî¿ ð³â-
íîâàãè.
3. Íà áóëàâêó íàä³òè ïåòåëüêó íèòêè âèñêà.
4. Ïî ë³í³¿ âèñêà ïîñòàâèòè ì³òêè. Çíÿòè ô³ãó-
ðó ç³ øòàòèâà ³ íàâåñòè ë³í³þ â³äâ³ñó îë³âöåì ï³ä
ë³í³éêó.
5. Ïîâòîðèòè äîñë³ä äâ³÷³, ïðîêîëîâøè ô³ãóðó
â ³íøèõ ì³ñöÿõ. Âèçíà÷èòè öåíòð òÿæ³ííÿ ô³ãóðè
(òî÷êó ïåðåòèíó ïðîâåäåíèõ ïðÿìèõ).
6. Âèçíà÷èòè öåíòð òÿæ³ííÿ äëÿ äâîõ ³íøèõ ô³ãóð. Çðîáèòè âèñíîâîê.
Âèçíà÷èòè êîîðäèíàòè öåíòðà ìàñ ïëîñêèõ ò³ë, çîáðàæåíèõ íà ìàë. 244.
(ñ) ×èì â³äð³çíÿþòüñÿ óìîâè ð³âíîâàãè ìàòåð³àëüíî¿ òî÷êè â³ä óìîâ ð³â-1.
íîâàãè ò³ëà?
Ìàë. 243
Ìàë. 244

285
Ô ² Ç È Ê À 1 0 Ê Ë À Ñ
(ä) ×îìó âàæêî òðèìàòè â îäí³é ðóö³ ê³íåöü äóæå äîâãî¿ ïàëèö³ ó ãîðè-2.
çîíòàëüíîìó ïîëîæåíí³?
(â) Çà ÿêèõ óìîâ â³ëüíå ò³ëî â ³íåðö³àëüí³é ñèñòåì³ â³äë³êó ðóõàºòüñÿ ç3.
ïîñò³éíèì ïðèñêîðåííÿì?
Äîñë³äæåííÿ ïðóæíîãî óäàðó äâîõ ò³ë
Ìåòà ðîáîòè: ïåðåâ³ðèòè âèêîíàííÿ çàêîíó çáåðåæåííÿ ³ìïóëüñó ï³ä ÷àñ
ïðóæíîãî óäàðó äâîõ ò³ë.
Ïðèëàäè òà ìàòåð³àëè: ë³í³éêà ç ì³ë³ìåòðîâèìè ïîä³ëêàìè; øòàòèâ ç
ìóôòîþ ³ ëàïêîþ; äðîòÿíèé æîëîá äëÿ ïóñêàííÿ êóëüîê; ìåòàëåâ³ êóëüêè ð³ç-
íî¿ ìàñè; ëîòîê ç ï³ñêîì, òåðåçè.
1. Çà äîïîìîãîþ øòàòèâà çàêð³ïèòè æî-
ëîá. Çàãíóòèé ê³íåöü æîëîáà ïîâèíåí áóòè
ðîçòàøîâàíî ãîðèçîíòàëüíî (ìàë. 245). Íà
ñò³ë, ó ì³ñö³ ìîæëèâîãî ïàä³ííÿ êóëüêè, ïî-
êëàñòè ëîòîê ç ï³ñêîì.
2. Çà äîïîìîãîþ òåðåç³â âèì³ðÿòè ìàñè
êóëüîê m1
òà m2
.
3. Ïóñòèòè êóëüêó á³ëüøî¿ ìàñè â³ëü-
íî êîòèòèñÿ ïî æîëîáó. Ïîâòîðèòè äîñë³ä
ï’ÿòü ðàç³â, ïóñêàþ÷è êóëüêó ç òîãî ñàìîãî
ì³ñöÿ æîëîáà.
4. Âèì³ðÿòè âèñîòó h ³ äàëüí³ñòü ïîëüî-
òó l. Îá÷èñëèòè ñåðåäíº çíà÷åííÿ ïî÷àòêî-
âî¿ øâèäêîñò³ êóëüêè çà ôîðìóëîþ
υ =0
2
ñ c
g
l
h
òà ³ìïóëüñ êóëüêè: = υ1 1 0p m
5. Íà êðàþ æîëîáà ðîçòàøóâàòè êóëüêó ìåíøî¿ ìàñè. Çàïóñòèòè êóëüêó
á³ëüøî¿ ìàñè òàê ñàìî, ÿê ó ïåðøîìó äîñë³ä³. Ï³ñëÿ ñï³âóäàðÿííÿ îáèäâ³ êóëü-
êè âïàäóòü ó ëîòîê ç ï³ñêîì. Âèì³ðÿâøè äàëüí³ñòü ïîëüîòó êóëüîê 1l ³ 2l òà âè-
ñîòó ïàä³ííÿ, âèçíà÷èòè øâèäêîñò³ êóëüîê ï³ñëÿ óäàðó:
=1 1
2
g
u l
h
, =2 2
2
g
u l
h
.
6. Ïåðåâ³ðèòè âèêîíàííÿ çàêîíó çáåðåæåííÿ ³ìïóëüñó ï³ä ÷àñ ïðóæíîãî
óäàðó: υ = +1 0 1 1 2 2m m u m u . Äëÿ öüîãî ïîð³âíÿòè â³äíîøåííÿ m1
υ0
/(m1
u1
+ m2
u2
) ç
îäèíèöåþ. Çðîáèòè âèñíîâîê.
Ìàë. 245

286
Ïåðåâ³ðèòè âèêîíàííÿ çàêîíó çáåðåæåííÿ ³ìïóëüñó òà ìåõàí³÷íî¿ åíåðã³¿ ï³ä
÷àñ ïðóæíîãî óäàðó äâîõ êóëü çà äîïîìîãîþ óñòàíîâêè, çîáðàæåíî¿ íà ìàë. 246.
Óñòàíîâêà ñêëàäàºòüñÿ ç³ ñòîéêè 1, äî âåðõíüîãî ê³íöÿ ÿêî¿ ïðèêð³ïëþ-
þòüñÿ ï³äâ³ñè 2 äëÿ êóëü. Êóò â³äõèëåííÿ êóëü âèì³ðþþòü çà øêàëîþ 3.
ßêùî êóëÿ 2 äî âçàºìîä³¿ íåðóõîìà, òî
äîóäàðíó øâèäê³ñòü êóë³ 1 ìîæíà âèçíà÷è-
òè çà ôîðìóëîþ
α
υ = 1
1 2 sin
2
gl ,
äå l – äîâæèíà ï³äâ³ñó, α1 – êóò â³äõèëåííÿ
ïåðøî¿ êóë³ äî óäàðó.
ßêùî â³äáóâàºòüñÿ óäàð ïðóæíèõ êóëü
ð³çíî¿ ìàñè, òî àíàë³òè÷íî ìîæíà ä³ñòàòè âè-
ðàç äëÿ øâèäêîñò³ ïåðøî¿ êóë³ ï³ñëÿ óäàðó
′α
= 1
1 2 sin
2
u gl
òà øâèäêîñò³ äðóãî¿ êóë³ ï³ñëÿ óäàðó:
′α
= 2
2 2 sin
2
u gl ,
äå ′ ′α α1 2, – êóòè â³äõèëåííÿ ï³ñëÿ óäàðó â³ä-
ïîâ³äíî ïåðøî¿ òà äðóãî¿ êóëü.
Âèì³ðÿâøè ìàñè êóëü íà òåðåçàõ ³ îá÷èñëèâøè øâèäêîñò³ êóëü, ïåðåâ³-1.
ðèòè çàêîíè çáåðåæåííÿ, ñïðàâåäëèâ³ ïðè ïðóæíîìó óäàð³.
Ïîÿñíèòè ÿê âèâîäèëèñü ôîðìóëè.2.
(ñ) Ïðè ÿêîìó ç³òêíåíí³ êóëüêè ç ïåðåøêîäîþ ïåðåäàºòüñÿ ìåíøèé ³ì-1.
ïóëüñ: ïðóæíîìó ÷è íåïðóæíîìó?
(ä) ×èñëîâ³ çíà÷åííÿ øâèäêîñò³ ðóõó ò³ëà ³ éîãî ìàñè íå çì³íèëèñü, à2.
³ìïóëüñ ò³ëà çì³íèâñÿ. ßê öå òðàïèëîñü?
(â) Ðóõîìà êóëüêà, ç³òêíóâøèñü ç ïåðåøêîäîþ, çá³ëüøèëà ñâîþ øâèä-3.
ê³ñòü. ßêîþ áóëà öÿ ïåðåøêîäà?
Ìàë. 246

287
Ô ² Ç È Ê À 1 0 Ê Ë À Ñ
Лабораторна робота №11
Âèâ÷åííÿ çàêîíó çáåðåæåííÿ ìåõàí³÷íî¿ åíåðã³¿
Ìåòà ðîáîòè: ïîð³âíÿòè çì³íó ïîòåíö³àëüíî¿ åíåðã³¿ ò³ëà ï³ä ÷àñ éîãî ïà-
ä³ííÿ ç³ çì³íîþ ïîòåíö³àëüíî¿ åíåðã³¿ ïðóæèíè, äî ÿêî¿ ïðèêð³ïëåíî öå ò³ëî.
Ïðèëàäè ³ ìàòåð³àëè: äèíàìîìåòð, æîðñòê³ñòü ïðóæèíè ÿêîãî äîð³âíþº
40 Í/ì; ë³í³éêà âèì³ðþâàëüíà; òÿãàðåöü ìàñîþ 100 ã; ô³êñàòîð; øòàòèâ ç ìóô-
òîþ ³ ëàïêîþ.
1. Ïðèâ’ÿçàòè òÿãàðåöü íà íèòö³ äî ãà÷êà
äèíàìîìåòðà. Çàêð³ïèòè äèíàìîìåòð ó çàòèñ-
êà÷³ øòàòèâà íà òàê³é âèñîò³, ùîá òÿãàðåöü,
ï³äíÿòèé äî ãà÷êà, ïðè ïàä³íí³ íå ä³ñòàâàâ äî
ñòîëó (ìàë. 247).
2. Ï³äíÿòè òÿãàðåöü ðóêîþ, ðîçâàíòàæóþ-
÷è ïðóæèíó, ³ âñòàíîâèòè ô³êñàòîð óíèçó á³ëÿ
ãà÷êà. Âèì³ðÿòè âèñîòó ï³äíÿòòÿ òÿãàðöÿ h.
3. Â³äïóñòèòè òÿãàðåöü. Ïàäàþ÷è, òÿãàðåöü
ðîçòÿãíå ïðóæèíó ³ îïóñòèòü ô³êñàòîð. Çíÿòè
òÿãàðåöü ³ çà ïîëîæåííÿì ô³êñàòîðà âèì³ðÿòè ë³-
í³éêîþ ìàêñèìàëüíå âèäîâæåííÿ ïðóæèíè ∆x.
4. Ïîâòîðèòè äîñë³ä ï’ÿòü ðàç³â. Îá÷èñëè-
òè ñåðåäí³ çíà÷åííÿ xc
òà hc
.
5. Âèçíà÷èòè ñåðåäí³ ïîòåíö³àëüí³ åíåðã³¿:
ï³äíÿòîãî òÿãàðöÿ =1 cE mgh òà äåôîðìîâàíî¿
ïðóæèíè:
∆
=
2
2
2
ck x
E .
6. Ðåçóëüòàòè äîñë³äó çàïèñàòè äî òàáëèö³.
7. Ïîð³âíÿòè â³äíîøåííÿ 1
2
E
E
ç îäèíèöåþ ³ çðîáèòè âèñíîâîê.
Íîìåð
äîñë³äó
h, ì hc
, ì ∆x, ì ∆xñ
, ì E1
, Äæ E2
, Äæ
Ïåðåâ³ðèòè çàêîí çáåðåæåííÿ ³ ïåðåòâîðåííÿ ìåõàí³÷íî¿ åíåðã³¿ íà ïðè-
êëàä³ ðóõó ò³ëà, êèíóòîãî ãîðèçîíòàëüíî (ìàë. 248).
Ìàë. 247

288
1. Âèì³ðÿòè ìàñó m êóëüêè
òà âèñîòó h. Îá÷èñëèòè ïî÷àòêî-
âó ïîòåíö³àëüíó åíåðã³þ êóëüêè
0nE .
2. Â³ëüíî ïóñêàþ÷è êóëüêó
ðóõàòèñü ïî ïîõèëîìó æîëîáó,
âèì³ðÿòè ÷àñ ïîëüîòó â³ä ìîìåí-
òó â³äðèâó êóëüêè â³ä æîëîáà äî
ìîìåíòó ¿¿ ïàä³ííÿ ó ëîòîê ç ï³ñ-
êîì. Âèì³ðÿòè â³äïîâ³äíó äàëü-
í³ñòü ïîëüîòó l. Äîñë³ä ïîâòî-
ðèòè òðè÷³. Âèçíà÷èòè ñåðåäí³é
÷àñ ðóõó òà ñåðåäíþ äàëüí³ñòü
ïîëüîòó.
3. Îá÷èñëèòè ê³íåòè÷íó
åíåðã³þ êóëüêè íà ïî÷àòêó ïîëü-
îòó Ek0
³ â ê³íö³ Ek
. Âðàõîâóþ÷è,
ùî ïî÷àòêîâà øâèäê³ñòü êóëüêè
ó ãîðèçîíòàëüíîìó íàïðÿì³
υ0
= l/t,
äå t – ÷àñ â³ëüíîãî ïîëüîòó, îòðèìóºìî:
2 2
0
0 2
2 2
k
m ml
E
t
υ
= = .
Ê³íåòè÷íà åíåðã³ÿ êóëüêè ó ìîìåíò óäàðó îá ï³ñîê âèçíà÷àºòüñÿ çà ôîðìó-
ëîþ:
υ
=
2
2
k
m
E ,
äå υ = υ + υ2 2 2
Ã Â , øâèäê³ñòü ðóõó êóëüêè ó ãîðèçîíòàëüíîìó íàïðÿì³ υ =
2
2
2
Ã
gs
h
, ó
âåðòèêàëüíîìó: υ =2
2Â gh .
4. Ïåðåâ³ðèòè ñïðàâåäëèâ³ñòü ð³âíîñò³: En0
+ Ek0
= Åk
. Äëÿ öüîãî ïîð³âíÿòè
â³äíîøåííÿ En0
+ Ek0
/Åk
ç îäèíèöåþ. Çðîáèòè âèñíîâîê.
(ñ) Øâèäê³ñòü àâòîìîá³ëÿ çá³ëüøèëàñü ó1. k ðàç³â. ßê ïðè öüîìó çì³íè-
ëàñü éîãî ê³íåòè÷íà åíåðã³ÿ?
(ä) Êîëè ì³øåíü íàáóâàº á³ëüøî¿ ê³íåòè÷íî¿ åíåðã³¿ â³ä óäàðó íàë³òàþ-2.
÷î¿ ÷àñòèíêè: ïðè ïðóæíîìó ÷è íåïðóæíîìó óäàð³?
(â) Ò³ëî êèíóëè ç ïîâåðõí³ Çåìë³ ï³ä êóòîì äî ãîðèçîíòó. Ó ÿêèõ òî÷êàõ3.
éîãî òðàºêòîð³¿ øâèäê³ñòü çì³íè ê³íåòè÷íî¿ åíåðã³¿ ìàêñèìàëüíà?
Ìàë. 248

289
Ô ² Ç È Ê À 1 0 Ê Ë À Ñ
Лабораторна робота №12
Äîñë³äæåííÿ êîëèâàíü ìàòåìàòè÷íîãî ìàÿòíèêà
Ìåòà ðîáîòè: äîñë³äèòè ìàòåìàòè÷íèé ìàÿòíèê, ç’ÿñóâàòè â³ä ÷îãî çà-
ëåæèòü éîãî ïåð³îä êîëèâàíü.
Ïðèëàäè ³ ìàòåð³àëè: ãîäèííèê ³ç ñåêóíäíîþ ñòð³ëêîþ; âèì³ðþâàëüíà
ñòð³÷êà; íèòêà; øòàòèâ; íàá³ð òÿãàðö³â; òðàíñïîðòèð.
². Ç’ÿñóâàòè çàëåæí³ñòü ì³æ äîâæèíîþ ìàÿòíèêà ³
ïåð³îäîì éîãî êîëèâàíü.
1. Íà êðàþ ñòîëà âñòàíîâèòè øòàòèâ. Âçÿòè íèòêó
çàâäîâæêè 1 ì ³ ï³äâ³ñèòè íà í³é òÿãàðåöü (ìàë. 249).
2. Â³äõèëèòè ìàÿòíèê íà íåâåëèêèé êóò (5°) ³ áåç
ïîøòîâõó â³äïóñòèòè. Ïðîïóñòèòè äåê³ëüêà êîëèâàíü,
à ïîò³ì çà äîïîìîãîþ ñåêóíäîì³ðà âèçíà÷èòè ÷àñ t1
, çà
ÿêèé ìàÿòíèê çä³éñíþº N = 40–50 ïîâíèõ êîëèâàíü.
3. Ïåð³îä êîëèâàíü âèçíà÷èòè çà ôîðìóëîþ T1
= t1
/N.
4. Çìåíøèòè äîâæèíó íèòêè ó 2 ðàçè ³ çíîâó âèçíà-
÷èòè ïåð³îä êîëèâàíü Ò2
.
5. Âèêîíàòè òå ñàìå ó ÷îòèðè ðàçè êîðîòøèì ìàÿò-
íèêîì (l3
= 25 ñì).
6. Çðîáèòè âèñíîâîê ùîäî çàëåæíîñò³ ïåð³îäó êî-
ëèâàíü â³ä äîâæèíè íèòêè.
7. Â³äíîøåííÿ êâàäðàò³â ïåð³îä³â ìàÿòíèê³â ç ð³çíèìè äîâæèíàìè, ïîð³â-
íÿòè ç â³äíîøåííÿì ¿õ äîâæèí. Çðîáèòè âèñíîâîê.
²². Ç’ÿñóâàòè çàëåæí³ñòü ì³æ ìàñîþ ìàÿòíèêà ³ ïåð³îäîì éîãî êîëèâàíü.
7. Çàô³êñóâàòè äîâæèíó íèòêè ìàÿòíèêà (íàïðèêëàä, 50 ñì) ³ ï³äâ³ñèòè íà
í³é îäèí òÿãàðåöü, âèêîíàòè âèì³ðþâàííÿ (äèâ. ï. 2 ³ 3).
8. Íå çì³íþþ÷è äîâæèíè ìàÿòíèêà, ï³äâ³ñèòè íà í³é äâà òÿãàðö³ ³ âèêîíà-
òè âèì³ðþâàííÿ (äèâ. ï. 2 ³ 3).
9. Çðîáèòè âèñíîâîê ùîäî çàëåæíîñò³ ïåð³îäó êîëèâàíü ìàÿòíèêà â³ä éîãî
ìàñè.
²²². Ç’ÿñóâàòè, ÿê çàëåæèòü ïåð³îä êîëèâàíü ìàÿòíèêà â³ä êóòà â³äõèëåííÿ.
10. Ïðîâåñòè òðè äîñë³äè (äèâ. ï. 2 ³ 3), ô³êñóþ÷è çà äîïîìîãîþ òðàíñïîð-
òèðà ïî÷àòêîâèé êóò â³äõèëåííÿ ìàÿòíèêà (5°, 10°, 15°). Ç’ÿñóâàòè, ÿê çàëå-
æèòü ïåð³îä êîëèâàíü ìàÿòíèêà â³ä êóòà â³äõèëåííÿ.
1. Çà äîïîìîãîþ ìàòåìàòè÷íîãî ìàÿòíèêà âèçíà÷èòè ñåðåäíº çíà÷åííÿ
ïðèñêîðåííÿ â³ëüíîãî ïàä³ííÿ.
2. Âèçíà÷èòè íàéá³ëüøó ñèëó, ÿêà ñòâîðþº äîöåíòðîâå ïðèñêîðåííÿ, ïðè
êîëèâàíí³ ìàÿòíèêà ï³ä ÷àñ ïðîâåäåíèõ äîñë³ä³â.
Ìàë. 249

290
(ñ) Âêàæ³òü, ÿê³ ô³çè÷í³ âåëè÷èíè, ùî õàðàêòåðèçóþòü êîëèâàííÿ ìàòå-1.
ìàòè÷íîãî ìàÿòíèêà, ìàþòü íàéá³ëüøå çíà÷åííÿ ó éîãî êðàéí³õ ïîëîæåííÿõ.
(ä) ßê âïëèíå íà ïåð³îä ìàëèõ êîëèâàíü ìàòåìàòè÷íîãî ìàÿòíèêà ïðè-2.
ñêîðåíèé ðóõ òî÷êè éîãî ï³äâ³ñó ïî ãîðèçîíòàë³?
(â) Ïî÷àòêîâå â³äõèëåííÿ ìàÿòíèêà ³ ïî÷àòêîâà øâèäê³ñòü îäíî÷àñíî3.
çðîñòàþòü ó n ðàç³â. ßê çì³íèòüñÿ àìïë³òóäà êîëèâàíü ìàÿòíèêà?
Äîñë³äæåííÿ êîëèâàíü ò³ëà íà ïðóæèí³
Ìåòà ðîáîòè: åêñïåðèìåíòàëüíî ïåðåâ³ðèòè çàêîíîì³ðíîñò³ êîëèâàëüíî-
ãî ðóõó ïðóæèííîãî ìàÿòíèêà òà âèçíà÷èòè ÷àñòîòó ³ ïåð³îä êîëèâàíü.
Ïðèëàäè ³ ìàòåð³àëè: íàá³ð âàæê³â; øòàòèâ; òðèìà÷ ³ç ïðóæèíîþ; äåðå-
â’ÿíà äåìîíñòðàö³éíà ë³í³éêà; ñåêóíäîì³ð.
1. Çàêð³ïèòè ïðóæèíó ³ç çàòèñêà÷åì ó øòàòèâ³ (ìàë. 250)
³ ï³äâ³ñèòè äî íå¿ âàæîê ìàñîþ 100 ã. Íà ë³í³éö³ ïîçíà÷èòè
ïî÷àòêîâå ïîëîæåííÿ âàæêà.
2. Ï³äâ³ñèòè äî ïðóæèíè ùå äâà âàæêè ìàñîþ ïî 100 ã ³
âèì³ðÿòè ¿¿ âèäîâæåííÿ ï³ä ä³ºþ ñèëè 2 Í. Âèçíà÷èòè êîå-
ô³ö³ºíò æîðñòêîñò³ ïðóæèíè. Äàí³ âèì³ðþâàíü ³ îá÷èñëåíü
çàïèñàòè äî òàáëèö³.
3. Çíàþ÷è k ³ m âèçíà÷èòè âëàñíó ÷àñòîòó ν0
³ ïåð³îä T0
êîëèâàíü ïðóæèííîãî ìàÿòíèêà.
4. Çàëèøèòè íà ïðóæèí³ äâà âàæêè, âèâåñòè ïðóæèííèé
ìàÿòíèê ç³ ñòàíó ð³âíîâàãè, çì³ñòèâøè éîãî íà 5–7 ñì óíèç.
Âèì³ðÿòè ÷àñ t, ïðîòÿãîì ÿêîãî ìàÿòíèê çä³éñíþº N êîëè-
âàíü. Îá÷èñëèòè ÷àñòîòó êîëèâàíü ν.
5. Âèçíà÷èòè â³äõèëåííÿ âëàñíî¿ ÷àñòîòè êîëèâàíü ν0
ïðó-
æèííîãî ìàÿòíèêà â³ä ÷àñòîòè ν, âèçíà÷åíî¿ åêñïåðèìåíòàëüíî:
ν −ν
⋅
ν
0
100 %.
6. Ïîâòîðèòè äîñë³äè ç ìàÿòíèêîì ìàñîþ 400 ã. Äàí³ âè-
ì³ðþâàíü òà îá÷èñëåíü çàíåñòè äî òàáëèö³:
Íîìåð
äîñë³äó
F, Í ∆x, ì k, Í/ì m, êã ν0
, c−1
t, ñ ν, c−1
ν − ν
⋅
ν
0
100%
Ìàë. 250

291
Ô ² Ç È Ê À 1 0 Ê Ë À Ñ
Äîñë³äèòè ïåð³îä êîëèâàíü ïðóæèííîãî ìàÿòíèêà â³ä æîðñòêîñò³ ïðó-
æèíè ³ ìàñè òÿãàðöÿ.
1. Âèçíà÷èòè ïåð³îä êîëèâàíü, ùîðàçó çá³ëüøóþ÷è ìàñó òÿãàðöÿ.
2. Ïîáóäóâàòè ãðàô³ê çàëåæíîñò³ ïåð³îäó êîëèâàíü ìàÿòíèêà â³ä ìàñè òÿ-
ãàðö³â. Ïðîàíàë³çóâàòè ãðàô³ê ³ çðîáèòè âèñíîâîê
3. Ùîá äîñë³äèòè çàëåæí³ñòü ïåð³îäó êîëèâàíü â³ä æîðñòêîñò³ ïðóæèíè
ïðè íåçì³íí³é ìàñ³ òÿãàðöÿ, ñïî÷àòêó ïîòð³áíî âèì³ðÿòè æîðñòê³ñòü êîæíî¿
ïðóæèíè. Âèçíà÷èòè ïåð³îä êîëèâàíü ç êîæíîþ ç ïðóæèí.
4. Ïîáóäóâàòè ãðàô³ê çàëåæíîñò³ ïåð³îäó êîëèâàíü ìàÿòíèêà â³ä æîðñòêîñ-
ò³ ïðóæèí. Ïðîàíàë³çóâàòè ãðàô³ê ³ çðîáèòè âèñíîâîê
Контрольні запитання.
(ñ) ßê çà äîïîìîãîþ ïðóæèííîãî ìàÿòíèêà âèçíà÷èòè ìàñó ³íøîãî òÿ-1.
ãàðöÿ (íåâ³äîìî¿ ìàñè)?
(ä) Ìîäóëü ÿêî¿ ñèëè ñòàëèé, à ÿêî¿ çì³íþºòüñÿ ï³ä ÷àñ âåðòèêàëüíèõ2.
êîëèâàíü ïðóæèííîãî ìàÿòíèêà?
(â) ×è çì³íèòüñÿ ïåð³îä êîëèâàíü ïðóæèííîãî ìàÿòíèêà, ÿêùî çíèçó äî3.
çàë³çíî¿ êóëüêè ìàÿòíèêà ï³äíåñòè åëåêòðîìàãí³ò?

292
Вправа 2
1. 4 ì, 2 ì
2. ò. À (20 ì, 20 ì); ò. Â (60 ì,
−10 ì); 40 ì; −30 ì; 50 ì
3. 5 ì, 4 ì, −3 ì
4. 700 êì, 500 êì
5. 5 ì
6. õ2
= 10,7; y2
= 5
Вправа 3
1. 30ñ; 150 ì; 60 ì
4. 12 ì/ñ, ïðàâîðó÷; 1,5 ì/ñ, ë³âî-
ðó÷; 20 ñ, −30 ì
5. Äèâ. ìàë. 251
6. Äèâ. ìàë. 252
Вправа 4
1. 14 ì/ñ
2. 40 ñ
3. â
+
−
1
1
n
n
ðàç; ó 3 ðàçè; ó 1,2 ðàçà
4. 71°
5. à) 20 ì/c, 90 ñ; á) 20 ñ, 30 ñ
6. 7,5 êì/ãîä; 17,5 êì/ãîä
7. 3 êì/ãîä
8. 600 ì/c
9. = +4 8x t ; = +9 5x t ; = +5 5x t
10.
υ
αsin
Вправа 5
1. 6 êì/ãîä
2. 8 ì/ñ, 10 ì/ñ, 4 ì/ñ, 8 ì/ñ
3. 25 êì/ãîä
4. 30 êì/ãîä
5. 7 êì/ãîä
6. 54 êì/ãîä, 36 êì/ãîä
7. 7 ì/ñ; 11,4 ì/ñ; 9 ì/ñ
Вправа 6
1. 200 ì/ñ; 20 ì/ñ2
2. 410 ì
3. 2 ì/ñ, 8 ì/ñ
4. 90 ñì
5. ó 2 ðàçè
6. = 2
ì
10
ñ
à ; υ =4
ì
40
ñ
; υ =10
ì
100
ñ
;
=2 15 ìs ; =5 45 ìs ; + =2 3 40 ìs s
7.
−
= =
+ 2 2
2( 1) ì
0,24
( 1) ñ
n s
a
n t
8. 58 ñ
9. + 0(2 2)t
Вправа 7
1. à) υ = +1 10 0,8x t – ïðèñêîðåíèé;
á) υ = −2 2 2x t – ñïîâ³ëüíåíèé, ÷å-
ðåç 1 ñ ïðèñêîðåíèé;
â) υ = − +3 4 4x t – ñïîâ³ëüíåíèé,
÷åðåç 1 ñ ïðèñêîðåíèé;
ВІДПОВІДІ ДО ВПРАВ
Ìàë. 251.
Ìàë. 252.

293
ã) υ = − −4 1 12x t – ïðèñêîðåíèé
2. 8 ì/ñ, 0,8 ì/ñ2
, -1,6 ì/ñ2
, 15 ñ,
4 ì/ñ
3. 2,6 ì/ñ
4. Äî ìîìåíòó 1t ðóõ ð³âíîì³ðíèé,
äàë³ äî ìîìåíòó 2t ð³âíîñïîâ³ëü-
íåíèé ó íàïðÿìêó ðóõó, ³ äî ìî-
ìåíòó 3t – ð³âíîïðèñêîðåíèé,
àëå ó çâîðîòíîìó íàïðÿì³
5. υ =1 1,25x t ; υ = +2 5 5x t ;
υ = −3 20 4x t ; = 2
1 0,625x t ;
= = 2
2 5 2,5x t t ; = − 2
3 20 2x t t
7. 10 ñ; 40 ì; 45 ì; 120 ì
8.
υ
υ =
2
c Äèâ. ìàë. 253
Вправа 8
1. 0,45 ñ; 0,05 ñ; 24 ì/ñ
2. 28 ì
3. 35 ì
4. υ = υ +2
2B A gh
5. ∆ = − =1 2t t t
= υ + υ + υ + − υ +2 2
1 2 1 2( 2 2 )/gh gh g
6. υ = υ − υ = ∆2 1 g t
7. = =
5
200 ì
3
l h
Вправа 9
1. 20 ì
2. =10y t ; = − 2
6 5y t ; = − 2
6 0,05y x ;
x = 10 ì; y = 1 ì
3. Äèâ ìàë. 254
4. h1
/h2
= tg2
α
5. = υ α⋅ + υ α − ≈2 2 2 2
0 0cos ( sin )s t gt
≈156 ì
6. 10,13 ì
Вправа 10
1. 50 ñ
2. Çìåíøóºòüñÿ ó 2 ðàçè
3. 1: 20
4. 1 êì/ñ2
5. à) 1: 2; á) 2: 1
6. 230 ì/ñ
7. 1,5 ì/ñ
Ìàë. 253
Ìàë. 254

294
8.
π
s
dt
;
2s
dt
;
2
2
2s
dt
9. 1, 8 ì.
10. 400 ì/ñ; 0,003 ñ; −133 000 ì/ñ2
Вправа 11
1. ε = 0,21 ðàä/ñ2
; 240
2. ε = 2 ðàä/ñ2
, ω0
= 5 ðàä/ñ
ω = 25 ðàä/ñ
3. 16; ω = 20 ðàä/ñ
4. N = 90; ε = 0,14 ðàä/ñ2
5. à) 2ñ; á) 2,8 ñ
6. 6,1 ì
Вправа 12
6. Ìàêñèìàëüíèé: (3 1)k F+ ,
ì³í³ìàëüíèé: ( 1)k F− , äå 1k > .
Вправа 13
2. Äèâ. ìàë. 255.
3. à) F = 0; á), â), ã) – ïðèñêîðþþ÷à
ñèëà ñòàëà F = const
5. 3,2 êÍ
6. Ïðèñêîðåííÿ äðóãî¿ êóë³ ó 8 ðà-
ç³â á³ëüøå
7. Îäíàêîâ³
8. Ó ï³âäåííî-çàõ³äíîìó íàïðÿì³,
500 êã
Вправа 15
1. 3,8 ì/ñ2
2. 4,4 ì/ñ2
3. Ó òî÷ö³, â³ääàëåí³é íà 6 çåìíèõ
ðàä³óñ³â â³ä öåíòðà Ì³ñÿöÿ
4. = π ρ = 24
8,8 ì/ñ
3
g G R
5. 5,5·103
êã/ì3
6. = 2,16h R
Вправа 16
1. 1,7 êì/ñ
2. ≈ 6 · 1024
êã
3. 7,7 êì/ñ; 95 õâ
5. Ó 8 ðàç³â
6. ≈ 7,2 êì/ñ; 118 õâ
7. ≈ 5 · 102 êã/ì3
8. 3,6 · 104 êì
Вправа 17
1. 1,5 ñì
2. 56,8 Í/ì
3. Ó äðîòèí³ á³ëüøîãî ä³àìåòðà
â 9 ðàç³â ìåíøèé
4. −0,002; 1 ÌÏà
5. 200 ÌÏà
6. Ó 1,67 ðàçà
7. 50 Í
8. Ó 4 ðàçè
9. Àáñîëþòíå âèäîâæåííÿ çìåíøè-
ëîñü ó 4 ðàçè, à â³äíîñíå – â 2 ðàçè
10. 2,97 · 106
Í/ì2
Вправа 18
1. 740 Í
2. 140 ì/ñ
3. 2,6 êÍ; òðèðàçîâå ïåðåâàíòà-
æåííÿ
4. 720 Í; 480 Í; 480 Í; 720 Í
5. 700 Í
6. 20 ì/ñ
7. Ó 0,0034 ðàç³â; 1 ãîä 25 õâ
Ìàë. 255

295
Вправа 19
1. 20 Í, 0,04
2. 3 ñ
3. 0,53
4. 40 ì
5. 200 êã/ñ
6. 800 Í
8. 9 Í
9. a > 3 ì/ñ2
; íå çì³íèòüñÿ
Вправа 20
1. 6 ñì
2. ≈ 800 êã
3. 5,9 ì/ñ2
4. 20 ì/ñ2
5. 1 1 2
1
( )
m
x g a g
k
= ρ +ρ −ρ
ρ
6. 8 êÍ
7. Â îáîõ âèïàäêàõ íå çì³íèòüñÿ
8. Ðóõ ò³ëà íå ïåð³îäè÷íèé – âîíî
âåñü ÷àñ â³ääàëÿºòüñÿ â³ä ïî÷àò-
êîâîãî ïîëîæåííÿ, ïðè öüîìó
øâèäê³ñòü ðóõó ò³ëà òî çðîñòàº,
òî ñïàäàº äî íóëÿ (äèâ. ìàë. 256.)
Вправа 21
1. 220 Í; 20 Í
2. 3,3 ì/ñ2
3. 0,84
4. 1,2 ì/ñ2
5. 14 ì/ñ; 3 ñ
6. 3,92 ì/ñ2
7.
2 2
73,5 H
h
F mg
l h
= ≈
−
8.
2
1,4 c
(sin tg cos )sin
h
t
g
= ≈
α − β α α
9. 2 1 2
1
4 c
sin
l
t t
gt l
= ≈
α −
2
1
2
0,36
cos
l
tg
gt
µ = − α =
α
10. Äèâ. ìàë. 257
Вправа 22
1. 15 êÍ
2. 1,5 Í
3. 2,2 ì/ñ
4. 3,8 ì/ñ; 1,4 ñ
5. 3,6 Í
6. 15 ì; ≈ 11°
7.
2 tg îá
13
ñ
g
d
⋅ α
ω = ≈
Вправа 23
1. 0,2
2. 2 ì/ñ2
, 2,4 Í
3. 32 êÍ; 16 êÍ; 8 êÍ
5. 10 ã
6. 1 2
1 2
sin sinm m
a g
m m
α − β
=
+
;
1 2
1 2
(sin sin )m m g
T
m m
α + β
=
+
Ìàë. 256
Ìàë. 257

296
7. 1 2
1
1 2
2
2
4
m m
a g
m m
−
=
+
;
1 2
2
1 2
2
4
m m
a g
m m
−
=
+
;
1 2
1 2
3
4
m m
T g
m m
=
+
8. 1 2 2 1
1 2
( )cos
2,3 H
m m g
Ò
m m
µ −µ α
= =
+
Вправа 24
1. 10 êã · ì2
2. 0,2
3. 0,06 Í · ì
4. 4,5 Í · ì;
5. 2
2( )
7,36
FR M
m
R
−
= =
ε
êã
6. 2,35 ðàä/ñ2
7. 100 Í·ì
Вправа 25
1. 3 êÍ; 1,6 êÍ
2. h = 2r · ctgα
3. Íå ìîæå. Ìàêñèìàëüíà âèñîòà,
íà ÿêó ï³äí³ìåòüñÿ ëþäèíà 2,4 ì
4.
(2 )mg h R h
F
R h
−
=
−
5. Íà â³äñòàí³ 0,2 ì â³ä ñåðåäèíè
äîøêè áëèæ÷å äî õëîï÷èêà.
6. Íà â³äñòàí³ 0,5 ì â³ä öåíòðà êðóãà
7. Íà â³äñòàí³ 8l/3 â³ä öåíòðà êóë³
ìàñîþ m.
8. 490 Í, 294 Í.
Вправа 26
1. 9,8 ì/ñ2
2. 8,8ì/ñ2
â³äíîñíîë³ôòàòà9,8ì/ñ2
â³äíîñíî Çåìë³
3. 1 ì/ñ2
4. Â³äíîñíî íå³íåðö³àëüíî¿ ñèñ-
òåìè â³äë³êó ò³ëî íåðóõîìå
a = 0, N = mgcosα; â³äíîñíî ³íåð-
ö³àëüíî¿ ñèñòåìè â³äë³êó (Çåìë³)
a = g(sinα − µcosα), N = mgcosα
5. b = (a + g)(sinα − µcosα)
6. b = acosα − gsinα
7. 10,8 ì/ñ2
8. h = 2R/3
Вправа 27
1. 16
êã ì
ñ
⋅
; 48
êã ì
ñ
⋅
2. 2
êã ì
ñ
⋅
3. à) 3 ì/ñ; á) −0,5 ì/ñ
4. 0,21 Í · ì.
5. υ + 2u
6. 12 000 ì
7. 300 êã
Вправа 28
1. 20 ì/ñ
2. 200 ì/ñ
3. 6250 Í
4. 1470 ì
5. 162 ì/ñ
6. – 2 ì/ñ
7. 4υ
Вправа 29
2. 11
2 2
12
0,61c
12
J
J ml
−ν
ν = =
+
3. 1
2 1
2
0,445 ðàä/ñ
( 2 )
m
m m R
υ
ω = =
+
4. 2
1 2
4 2
2 3
m
m m
π π
ϕ = =
+

297
Вправа 30
1. 1,4 êÄæ
2. 60 ì
3. 12 êÄæ; 66 %
4. 10 êÍ
5. 5085 Äæ
6. 9,8 Äæ
7. 1274 êÄæ, 77%
Вправа 31
1. 4 · 1010
Äæ
2. 2 êã; 4 ì/ñ
3. ²ìïóëüñ ñàìîñêèäà â 3 ðàçè á³ëü-
øèé, à åíåðã³ÿ – ó 2 ðàçè ìåíøà
4. 200 êÄæ; 1000 êã
5. −200 êÄæ
6. 240 êÄæ; −30 êÄæ; 210 êÄæ
7. 10 ì/ñ
8. E = 3mυ2
/4 = 24 Äæ
9. 3 5 2
3,2 34,1A R= π ρν = Äæ
10. à) çìåíøèëàñü ó 2 ðàçè;
á) çìåíøèëàñü ó 8 ðàç
Вправа 32
1. 47 êÄæ
2. 26 êÄæ
3. 700 êÄæ
4. −16 Äæ; 4 Äæ; −12 Äæ; 12 Äæ
5. 0,3 Äæ
6. 0,5 Äæ
7. 2 Äæ
8. 1 : 3 : 5
9. 5,5 ì
10. 40 %
Вправа 33
1. 0,55 ì
2. 0,2 ì
3. 1 êÄæ
4. 0,05
5. 2,5 ì
6. Âàíòàæ 4,4 ì/ñ, îáðó÷ 3,13 ì/ñ
7. 10 ì
8. 0,72 ì
9. 14 ì/ñ; 3 ñ
10. 2
0 2ghυ −
Вправа 34
1. 0,3 ì
2. 0,17 Í · ñ; 3,7 · 10−2
Äæ
3. 105 Äæ. ßêùî ìàñà â³çêà ç ëþäè-
íîþ íàáàãàòî á³ëüøà â³ä ìàñè êà-
ìåíÿ, òî âñÿ ðîáîòà, ÿêó âèêîíóº
ëþäèíà, âèòðà÷àºòüñÿ íà òå, ùîá
íàäàòè êàìåíþ ê³íåòè÷íî¿ åíåð-
ã³¿
4. 15°
5. 0,16 ì; 58,8 Äæ
6. à) 5 · 10−3
ì; 0,08 ì; á) 0,02 ì
7. 1,8 êÄæ
8. 1,99 Äæ
9. 500 ì
Вправа 35
1. 3,5 ñì
2. 24 êÏà
3. 20 êÍ
4. 0,05 ì
5. 1,12 ñ
6. 4,37 ñì2
Вправа 36
1. 1,4 ñì; −1,4 ñì
2. x = 0,1sin5πt; 1,36 ì/ñ
3. 0,2cos
2
x t
π
=
4. 2
5 10 sin( )
6
x t− π
= ⋅ π + (ì)
5. υx
= −πsin20πt; ax
= −20π2
cos20πt;
0,25 ì; −2,7 ì/ñ; −100 ì/ñ2
.
6. à) 2
5,5 10 cos( )
3 6
x t− π π
= ⋅ + ;
á) x = 0,1cos20πt .

298
Вправа 37
1. 2,8 Äæ; 3,8 ì/ñ.
2. 150 ìÄæ; 50 ìÄæ
3. Ó 4 ðàçè
4.
3 5 7
; ; ;
8 8 8 8
T T T T
5. x = 0,1cos10t; F = −10cos10t;
10 Í; −5 Í.
6. 2
4 10 sin( )
3
x t− π
= ⋅ π +
7. 0,314 ñ
Вправа 38
1. 2ñ; 0,5 Ãö; π ñ−1
2. 9 : 1
3. 18 ñì; 50 ñì
4. Â³äñòàâàòèìóòü ó âñ³õ âèïàäêàõ
5. Çìåíøèòüñÿ ó 2 ðàçè
6. 2,5 ñ
7. 9,81 ì/ñ2
Вправа 39
1. 2,4 ì/ñ
2. 15 ì/ñ; 5 ì/ñ
3. 5,1 êì/ñ
4. 105 ì
5. 0 349,8
2
gh
υ = υ+ =
υ
ì/ñ
6. 420 ì
Вправа 40
1. 0,714 ñ
2. 1,3 ñ; 0,93 ñ
3. 0,994 ñ
4. 0,662 ñ
5. 2,6 · 108
ì/ñ
6. Ó 7,1 ðàçà
Вправа 41
1. 2,22 · 108
ì/ñ
2. 2
1
c
k
k
υ = −
3. 0,95 ñ
4. 86,6 %
5. 99,6 %
6. 8,2 · 10−14
Äæ
7. 1,29 · 10−20
Í · ñ; 0,66 ÌåÂ

299
ДОДАТКИ
1. Îñíîâí³ ô³çè÷í³ ñòàë³ òà äåÿê³ àñòðîíîì³÷í³ âåëè÷èíè
Øâèäê³ñòü ñâ³òëà ó âàêóóì³
Ãðàâ³òàö³éíà ñòàëà
Ïðèñêîðåííÿ â³ëüíîãî ïàä³ííÿ
Àòîìíà îäèíèöÿ ìàñè
×èñëî Àâîãàäðî
Óí³âåðñàëüíà ãàçîâà ñòàëà
Ñòàëà Áîëüöìàíà
Ñòàëà Ôàðàäåÿ
Åëåìåíòàðíèé çàðÿä
Ìàñà ñïîêîþ åëåêòðîíà
Ìàñà ñïîêîþ ïðîòîíà
Ìàñà ñïîêîþ íåéòðîíà
Åëåêòðè÷íà ñòàëà
Ìàãí³òíà ñòàëà
Ñòàëà Ïëàíêà
Äåÿê³ àñòðîíîì³÷í³ âåëè÷èíè
Ðàä³óñ ³ ìàñà Çåìë³
Ðàä³óñ ³ ìàñà Ñîíöÿ
Ðàä³óñ ³ ìàñà Ì³ñÿöÿ
ñ = 3 · 108
ì/ñ
G = 6,67 · 10−11
ì3
/(êã·ñ2
)
g = 9,8 ì/ñ2
1 à.î.ì. = 1,6606 · 10−27
êã
NÀ
= 6,02 · 1023
ìîëü−1
R = 8,314 Äæ/(Ê·ìîëü)
k = 1,38 · 10−23
Äæ/Ê
F = 9,648 · 104
Êë/ìîëü
å = 1,602 · 10−19
Êë
må
= 9,11 · 10−31
êã
mð
= 1,672 · 10−27
êã
mn
= 1,675 · 10−27
êã
ε0
= 8,85 · 10−12
Ô/ì
µ0
= 1,672 · 10−6
Ãí/ì
h = 6,63 · 10−34
Äæ·ñ
6,37·106
ì; 5,98·1024
êã
6,95·108
ì; 1,98·1030
êã
1,74·106
ì; 7,33·1022
êã
2. Ãóñòèíà ðå÷îâèíè
Òâåðä³ ò³ëà, 103
êã/ì3
Àëþì³í³é
Âîëüôðàì
Ãðàí³ò
Äóá (ñóõèé)
Çàë³çî
Çîëîòî
2,71
19,1
2,2
0,8
7,8
19,3
Êîðîê
Ëàòóíü
Ë³ä
Ì³äü
Í³êåëü
Ñâèíåöü
0,2
8,6
0,9
8,9
8,8
11,3
Ñêëî
Ñîñíà
Ñð³áëî
Öèíê
×àâóí
ßëèíà
2,5
0,5
10,5
7,1
7,8
0,6
Ð³äèíè, 103
êã/ì3
Âîäà ìîðñüêà
Âîäà ÷èñòà
Ãàñ
1,03
1,00
0,8
Ãë³öåðèí
Åô³ð
Îë³ÿ
1,26
0,72
0,9
Ðòóòü
Ñïèðò åòèëîâèé
13,6
0,79
Ãàçè (çà íîðìàëüíèõ óìîâ), êã/ì3
Àçîò
Âîäåíü
Ãåë³é
1,25
0,09
0,18
Êèñåíü
Ïîâ³òðÿ
Õëîð
1,47
1,29
3,22
Âîäÿíà ïàðà (ïðè 100 °Ñ)
Âóãëåêèñëèé ãàç
0,88
1,95

300
3. Øâèäê³ñòü ïîøèðåííÿ çâóêó ó ð³çíèõ ñåðåäîâèùàõ, ì/ñ
Ñòàëü
Ñêëî
Äåðåâèíà
5100
5000
4000
Ñâèíåöü
Êîðîê
Ãóìà
1300
500
54
Âîäà, 0 °Ñ
Âîäåíü, 0 °Ñ
Ïîâ³òðÿ, 0 °Ñ
1485
1286
331
4. Ìåæà ì³öíîñò³ íà ðîçòÿã σì
³ ìîäóëü ïðóæíîñò³ Å, Ïà
Ðå÷îâèíà
σì
,
106
Ïà
Å,
109
Ïà
Ðå÷îâèíà
σì
,
106
Ïà
Å,
109
Ïà
Àëþì³í³é 100 70 Ñâèíåöü 15 15
Ì³äü 400 120 Ñð³áëî 140 80
Îëîâî 20 50 Ñòàëü 500 200
5. Òàáëèö³ çíà÷åíü ñèíóñ³â ³ òàíãåíñ³â äëÿ êóò³â 0 – 90°
Ãðà-
äóñè
ñèíóñè
òàí-
ãåíñè
Ãðà-
äóñè
ñèíóñè
òàí-
ãåíñè
Ãðà-
äóñè
ñèíóñè
òàí-
ãåíñè
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
0,0000
0,0175
0,0349
0,0523
0,0698
0,0872
0,1045
0,1219
0,1392
0,1564
0,1736
0,1908
0,2079
0,2250
0,2419
0,2588
0,2756
0,2924
0,3090
0,3256
0,3420
0,3584
0,3746
0,3907
0,4067
0,4226
0,4384
0,4540
0,4695
0,4848
0,5000
0,0000
0,0175
0,0349
0,0524
0,0699
0,0875
0,1051
0,1228
0,1405
0,1584
0,1763
0,1944
0,2126
0,2309
0,2493
0,2679
0,2867
0,3057
0,3249
0,3443
0,3640
0,3839
0,4040
0,4245
0,4452
0,4663
0,4877
0,5095
0,5317
0,5543
0,5774
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
0,5150
0,5299
0,5446
0,5592
0,5736
0,5878
0,6018
0,6157
0,6293
0,6428
0,6561
0,6691
0,6820
0,6947
0,7071
0,7193
0,7314
0,7431
0,7547
0,7660
0,7771
0,7880
0,7986
0,8090
0,8192
0,8290
0,8387
0,8480
0,8572
0,8660
0,6009
0,6249
0,6494
0,6745
0,7002
0,7265
0,7536
0,7813
0,8098
0,8391
0,8693
0,9004
0,9325
0,9657
1,0000
1,036
1,072
1,111
1,150
1,192
1,235
1,280
1,327
1,376
1,428
1,483
1,540
1,600
1,664
1,732
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
0,8746
0,8829
0,8910
0,8988
0,9063
0,9135
0,9205
0,9272
0,9336
0,9397
0,9455
0,9511
0,9563
0,9613
0,9659
0,9703
0,9744
0,9781
0,9816
0,9848
0,9877
0,9903
0,9925
0,9945
0,9962
0,9976
0,9986
0,9994
0,9998
1,0000
1,804
1,881
1,963
2,050
2,145
2,246
2,356
2,475
2,605
2,747
2,904
3,078
3,271
3,487
3,732
4,011
4,331
4,705
5,145
5,671
6,314
7,115
8,114
9,514
11,43
14,30
19,08
28,64
57,29
∞

301
Ìàòåìàòè÷í³ â³äîìîñò³
1.Âëàñòèâîñò³ñòåïåíÿçíàòóðàëü-
íèì ïîêàçíèêîì (à > 0, b > 0)
1. àn
· ak
= an+k
2. −
=
n
n k
k
a
a
a
3. = ( )
n
n
n
a a
b b
4. −
=
1n
n
a
a
5. −
=( ) ( )n na b
b a
6. (an
)k
= an·k
7. an
· bn
= (ab)n
8. a0
= 1
2. Ñï³ââ³äíîøåííÿ ì³æ ñòîðîíàìè
³ êóòàìè ïðÿìîêóòíîãî òðèêóòíèêà
(ìàë. 258).
α =sin
ÎÀ
AÂ
,
α =cos
ÎÂ
AÂ
,
tg
ÎÀ
ÎÂ
α = ,
ctg
ÎÂ
ÎÀ
α = .
Ïðè ìàëèõ êóòàõ (äî 5°)
sin tg ðàäα ≈ α = α ðàä
3,14
180
α°⋅
α =
°
3. Ð³âíÿííÿ: 1) ìíîãî÷ëåí 1-ãî ñòóïå-
íÿ + = 0ax b , êîð³íü ÿêîãî âèçíà÷àºòüñÿ
çà ôîðìóëîþ = −
b
x
a
.
2) ìíîãî÷ëåí 2-ãî ñòóïåíÿ (êâà-
äðàòíå ð³âíÿííÿ) + + =2
0ax bx c
Äèñêðèì³íàíò: = −2
4D b ac
Êîðåí³ ð³âíÿííÿ:
− ±
=1,2
2
b D
x
a
ßêùî D = 0 òî = = −1 2
2
b
x x
a
ßêùî D < 0 òî êîðåí³â íå ìàº.
Òåîðåìà Â³ºòà äëÿ ð³âíÿííÿ òèïó
+ + =2
0x px q , äëÿ êîðåí³â âèêîíó-
þòüñÿ óìîâè + = −1 2x x p òà ⋅ =1 2x x q .
4. Òîòîæíîñò³ ìíîãî÷ëåí³â (ôîð-
ìóëè ñêîðî÷åíîãî ìíîæåííÿ):
− = + −2 2
( )( )a b a b a b ;
+ = + +2 2 2
( ) 2a b a ab b ;
− = − +2 2 2
( ) 2a b a ab b .
Íàáëèæåíå îá÷èñëåííÿ: ÿêùî
b << a ± = ±2 2
( ) 2a b a ab ,
b2
– íåõòóºìî.
5. Ôîðìóëè ïëîù.
Êðóã: = π 2
S R .
Êâàäðàò = 2
S a .
Òðàïåö³ÿ
+
=
2
a b
S h .
6. Ôîðìóëè îá’ºì³â.
Êóëÿ: = π 34
3
V R .
Öèë³íäð V = Sh = πR2
· h.
7. Ìàòåìàòè÷í³ ä³¿:
⋅
=
⋅
a
a db
c b c
d
; −
= ⋅
n
n m
m
a
a b
b
;
+
+
⋅
=
⋅
n m n m
k c k c
a a a
b b b
.
8. Ñòàíäàðòíèé çàïèñ ÷èñëà
±
⋅10 n
a , äå 1 ≤ à < 10
9. Îñíîâí³ òðèãîíîìåòðè÷í³ òî-
òîæíîñò³:
2 2
sin cos 1α + α = ;
2
2
1
1 ctg
sin
+ α =
α
;
2
2
1
1 tg
cos
+ α =
α
;
tg ctg 1α⋅ α = .
10. Ôîðìóëè ïîäâ³éíîãî êóòà:
sin2 2sin cosα = α α ;
2 2
cos2 cos sinα = α − α ;
2
2tg
tg2
1 tg
α
α =
− α
.
Ìàë. 258

10 f z_u

More Related Content

What's hot

Viewers also liked

More from 4book

Recently uploaded

10 f z_u