Μαθηματικά Ε΄- Επανάληψη 3ης Ενότητας - ΄΄Κλάσματα, κεφ. 14 - 21΄΄

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής
Μαθηματικά Ε΄
΄΄ Επανάληψη 3ης
Ενότητας ΄΄
 Θεωρία
 Παραδείγματα
 Παρουσιάσεις
 Επαναληπτικά
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής
http://e-taksh.blogspot.gr/

Συμεωνίδης Θόδωρος- 1 -
ΚΛΑΣΜΑΤΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1
1.1 Η ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΗ ΜΟΝΑΔΑ
Ένα ολόκληρο αντικείμενο ή ένα σύνολο αντικειμένων είναι μία ακέραιη μονάδα.
Π.χ. 1 πορτοκάλι, 1 τσάντα , 1σοκολάτα , 1βιβλίο
Πολλές φορές δε χρησιμοποιούμε ολόκληρη την ακέραιη μονάδα , αλλά μόνο
ένα κομμάτι της. Τότε έχουμε πρόβλημα γιατί δεν μπορούμε να εκφράσουμε αυτό το
κομμάτι με έναν ακέραιο αριθμό. Αν π.χ. μοιράσω ένα πορτοκάλι σε 4 άτομα , πόσο
πορτοκάλι θα δώσω στον καθένα ;
Γι’ αυτές τις περιπτώσεις έχουμε επινοήσει τους κλασματικούς αριθμούς .Η λέ-
ξη κλάσμα είναι αρχαιοελληνική και σημαίνει κομμάτι . Αν λοιπόν θελήσουμε να
μοιράσουμε το πορτοκάλι του προηγούμενου παραδείγματος σε 4 άτομα τότε θα
κόψουμε το πορτοκάλι σε 4 ίσα μέρη και θα δώσουμε από 1 κομμάτι στον καθένα.
Ή αλλιώς λέμε ότι ο καθένας θα πάρει το
4
1
του πορτοκαλιού .
4
1
Ο παρονομαστής μας δείχνει σε πόσα ίσα μέρη έχουμε χωρίσει την ακέραιη μο-
νάδα , στο παράδειγμά μας το πορτοκάλι το χωρίσαμε σε 4 ίσα μέρη . Ο αριθμητής
μας δείχνει πόσα κομμάτια θα πάρουμε , στην περίπτωσή μας ένα .
1.2 ΠΩΣ ΥΠΟΛΟΓΙΖΟΥΜΕ ΤΗΝ ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΗ ΜΟΝΑΔΑ
Ας ξαναγυρίσουμε στο αρχικό μας παράδειγμα . Καθαρίζουμε το πορτοκάλι και
βλέπουμε ότι αποτελείται από 12 φέτες . Αν είχε μόνο 4 φέτες δε θα υπήρχε πρόβλημα
γιατί ο καθένας θα έπαιρνε από 1 φέτα . Τι γίνεται όμως τώρα που έχουμε 12 φέτες ; Η
λύση του προβλήματος είναι απλή :
το
4
1
του 12 = 12 : 4 = 3
δηλαδή για να υπολογίσουμε την κλασματική μονάδα ενός αριθμού διαιρούμε
τον αριθμό μας με τον παρονομαστή .
παραδείγματα :
Το
5
1
του κιλού, πόσα γραμμάρια είναι; ( το κιλό έχει 1000 γραμμάρια , άρα ) 1000 :
5 =200
αριθμητής
παρονομαστής
κλασματική
γραμμή
Θ Ε Ω Ρ Ι Α

Το
10
1
της ώρας, πόσα λεπτά είναι; ( η μία ώρα έχει 60 λεπτά ,άρα ) 60 : 10 = 6
Το
8
1
του χρόνου πόσες ημέρες είναι ; ( ο χρόνος έχει 360 ημέρες ,άρα )360 : 8 = 45
1.3 ΠΩΣ ΣΥΓΚΡΙΝΟΥΜΕ ΤΙΣ ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΜΟΝΑΔΕΣ
Αν κόψουμε μία πίτσα σε 4 κομμάτια και πάρουμε το 1 και κόψουμε την ίδια πίτσα σε 5
κομμάτια και πάρουμε 1 πότε θα φάμε μεγαλύτερο κομμάτι ;
4
1
5
1
Μεγαλύτερο είναι όπως φαίνεται το
4
1
γιατί χωρίσαμε σε λιγότερα κομμάτια .
Ανάμεσα σε δύο ή περισσότερες κλασματικές μονάδες μεγαλύτερη είναι εκεί-
νη που έχει το μικρότερο παρονομαστή.
1.4 ΟΙ ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Κλασματικός αριθμός ή κλάσμα λέγεται κάθε αριθμός, που προκύπτει με την επα-
νάληψη μιας κλασματικής μονάδας.
π.χ. το κλάσμα
6
5
έγινε από το
6
1
(
6
1
+
6
1
+
6
1
+
6
1
+
6
1
=
6
5
)
Το κλάσμα
6
5
μας δείχνει ότι χωρίσαμε την ακέραιη μονάδα μας π.χ. μία σοκολάτα
σε 6 ίσα μέρη και πήραμε τα 5 από αυτά .
Το παρακάτω παράδειγμα θα μας δείξει τη χρησιμότητα των κλασμάτων .Έστω
ότι έχουμε 5 σοκολάτες και θέλουμε να τις μοιράσουμε δίκαια σε 8 παιδιά . Είναι φα-
νερό ότι δεν μπορούμε να μοιράσουμε τις σοκολάτες . Αν όμως χωρίσουμε κάθε σοκο-
λάτα σε 8 ίσα μέρη τότε κάθε παιδί θα πάρει :
8
1
+
8
1
+
8
1
+
8
1
+
8
1
=
8
5
Αντί λοιπόν να κάνουμε τη διαίρεση 5:8 που είναι ατελής εκφράζουμε το πο-
σό με ένα κλάσμα . Κάθε κλάσμα λοιπόν δηλώνει μια διαίρεση .
κλπ.
100
1
10
1
5
1
4
1
3
1
2
1
π.χ. 

1.4 ΠΩΣ ΥΠΟΛΟΓΙΖΟΥΜΕ ΤΟ ΚΛΑΣΜΑ ΜΙΑΣ ΠΟΣΟΤΗΤΑΣ
Έχουμε μια σοκολάτα χωρισμένη σε 15 κομμάτια και θέλουμε να φάμε μόνο τα
5
3
της
σοκολάτας . Πόσα κομμάτια θα φάμε ;
Για να λύσουμε την απορία μας πρέπει να βρούμε πόσα κομμάτια είναι τα
5
3
της σοκο-
λάτας . Ο υπολογισμός γίνεται με τον παρακάτω τρόπο :
τα
5
3
του 15 = ( 15:5 ) χ 3 = 3 χ 3 = 9
δηλαδή για να υπολογίσουμε το κλάσμα ενός αριθμού διαιρούμε τον αριθμό μας
με τον παρονομαστή και στη συνέχεια πολλαπλασιάζουμε με τον αριθμητή .
παραδείγματα :
Τα
12
5
της ώρας, πόσα λεπτά είναι ; ( 1 ώρα = 60 λεπτά )
( 60 : 12 ) χ 5 = 5 χ 5 = 25 λεπτά
τα
10
6
του 450 = ( 450 : 10 ) χ 6 = 45 χ 6 = 270

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2
2.1 ΓΝΗΣΙΑ ΚΑΙ ΚΑΤΑΧΡΗΣΤΙΚΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ
 Τα κλάσματα που έχουν αριθμητή μικρότερο από τον παρονομαστή λέγο-
νται γνήσια κλάσματα. Αυτά είναι μικρότερα από μία ακέραιη μονάδα.
π.χ.
6
2
< 1,
10
7
< 1
Το κλάσμα
6
2
μας δείχνει ότι κόψαμε την ακέραιη μονάδα σε 6 μέρη
και πήραμε τα 2 ,δηλαδή λιγότερα από το σύνολο.
 Τα κλάσματα που έχουν αριθμητή και παρονομαστή τον ίδιο αριθμό λέγο-
νται ισοδύναμα με την ακέραιη μονάδα. Αυτά έχουν την ίδια αξία με την
ακέραιη μονάδα.
π.χ.
5
5
= 1,
8
8
= 1,
12
12
= 1
Το κλάσμα
5
5
μας δείχνει ότι κόψαμε την ακέραιη μονάδα σε 5 μέρη και
πήραμε τα 5 ,δηλαδή τα πήραμε όλα άρα ολόκληρη την ακέραιη μονάδα .
 Τα κλάσματα που έχουν αριθμητή μεγαλύτερο από τον παρονομαστή λέγο-
νται καταχρηστικά κλάσματα. Αυτά είναι μεγαλύτερα από μία ακέραιη
μονάδα.
π.χ.
8
12
> 1,
7
14
> 1,
3
9
> 1
Το κλάσμα
8
12
μας δείχνει ότι κόψαμε την ακέραιη μονάδα σε 8 μέρη και πήραμε τα 12 .
Αυτό φαινομενικά δε γίνεται γιατί δεν έχουμε 12 ,αλλά μόνο 8 κομμάτια . Η λύση στο
πρόβλημα είναι απλή : αν πάρω 2 ακέραιες μονάδες και τις κόψω σε 8 κομμάτια την κα-
θεμιά τότε θα έχω 8+8=16 κομμάτια και θα μπορέσω να πάρω 12.

2.2 ΑΠΛΑ ΚΑΙ ΜΕΙΚΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ
 Απλό ονομάζεται το κλάσμα που αποτελείται μόνο από αριθμητή και παρονο-
μαστή.
π.χ.
6
2
,
3
9
,
8
8
 Μεικτό ονομάζεται το κλάσμα που αποτελείται από έναν ακέραιο και ένα
κλάσμα .
π.χ. 4
6
2
, 5
3
9
, 7
8
8
Το μεικτό κλάσμα μας δείχνει ότι παίρνουμε π.χ. 4 ακέραιες μονάδες και τα
6
2
μι-
ας ακόμη ακέραιης μονάδας. Δηλαδή χρειαζόμαστε συνολικά 5 ακέραιες μονάδες.
2.3 ΜΕΤΑΤΡΟΠΕΣ ΑΠΟ ΑΠΛΑ ΣΕ ΜΕΙΚΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΤΟ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ
1.Για να μετατρέψουμε ένα μεικτό αριθμό σε κλάσμα κάνουμε τα εξής :
6
5
3
 Πολλαπλασιάζουμε τον παρονομαστή με τον ακέραιο: 5 χ 6 = 30
 Προσθέτουμε στο γινόμενο τον αριθμητή: 30 + 3 = 33
 Βάζουμε στη θέση του αριθμητή το άθροισμα και παρονομαστή αφήνουμε
τον ίδιο.
6
5
3
=
5
33
4
6
2
=
6
2)64( x
=
6
26
5
3
2
=
3
2)35( x
=
3
17
2.Για να μετατρέψουμε ένα απλό κλάσμα σε μεικτό κάνουμε τα εξής :
5
13
= 2
5
3
 Διαιρούμε τον αριθμητή με τον παρονομαστή : 13 : 5 = 2 και υπόλοιπο 3
 Το πηλίκο της διαίρεσης είναι ο ακέραιος , το υπόλοιπο είναι ο αριθμητής και
παρονομαστής μένει ο ίδιος
5
13
= 2
5
3
13:5=2
3 υπόλοιπο
παρονομαστής ο ίδιος

2.4 ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ
Δύο κλάσματα λέγονται ισοδύναμα όταν έχουν την ίδια αξία , εκφράζουν δηλαδή το
ίδιο κομμάτι της ακέραιης μονάδας , π.χ.
5
3
=
10
6
. Αν δηλαδή κόψω μια πίτα σε 5
κομμάτια και πάρω τα 3 ή αν την κόψω σε 10 κομμάτια και πάρω τα 6 τότε θα έχω
πάρει την ίδια ποσότητα και στις δύο περιπτώσεις.
 Για να κατασκευάσω ισοδύναμα κλάσματα αρκεί να πολλαπλασιάσω ή
να διαιρέσω τους όρους του κλάσματος ( αριθμητής και παρονομαστής)
με τον ίδιο αριθμό .
χ2 χ3 χ4 χ5
6
2
=
12
4
=
18
6
=
24
8
=
30
10
Προσοχή !!! πολλαπλασιάζουμε το αρχικό κλάσμα όχι το προηγούμενο .
:2 :3 :4
60
24
=
30
12
=
20
8
=
15
6
Προσοχή !!! διαιρούμε το αρχικό κλάσμα όχι το προηγούμενο .
2.5 ΑΠΛΟΠΟΙΗΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ
Για να απλοποιήσουμε ένα κλάσμα διαιρούμε τον αριθμητή του και τον παρο-
νομαστή του με τον ίδιο αριθμό .
Όταν οι όροι του κλάσματος δε διαιρούνται πλέον , το κλάσμα ονομά-
ζεται ανάγωγο.
32
12
=
8
3
Για να γίνει απλοποίηση υπάρχουν δύο τρόποι :
 Διαιρούμε τους όρους του κλάσματος με οποιονδήποτε αριθμό ( συνήθως το 2)
και επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία μέχρι να γίνει το κλάσμα ανάγωγο .
:2 :2 :2
64
24
=
32
12
=
16
6
=
8
3
διαιρούμε αριθμητή και πα-
ρονομαστή με το 4

 Βρίσκουμε το μέγιστο κοινό διαιρέτη ( δηλαδή το μεγαλύτερο αριθμό που δι-
αιρεί και τους δύο όρους του κλάσματος ) και διαιρούμε απευθείας με αυτόν
.
:8
64
24
=
8
3
Με όποιο τρόπο κι αν κάνουμε την απλοποίηση το αποτέλεσμα θα είναι το
ίδιο .
Αν το κλάσμα είναι καταχρηστικό , το μετατρέπουμε σε μεικτό και
μετά κάνουμε απλοποίηση .

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3
3.1 ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ
Αν θέλουμε να συγκρίνουμε δύο ή περισσότερα κλάσματα τότε μπορεί να
συναντήσουμε τις 3 παρακάτω περιπτώσεις :
 Τα κλάσματα έχουν ίδιους παρονομαστές , δηλαδή είναι ομώνυμα . Τότε η
σύγκριση είναι πολύ εύκολη γιατί μεγαλύτερο είναι το κλάσμα που έχει το
μεγαλύτερο αριθμητή .
5
3
> 5
2
Ο λόγος που τα
5
3
είναι μεγαλύτερο είναι προφανής . Κόψαμε την ακέραιη
μονάδα σε 5 κομμάτια και πήραμε τα 3 , ενώ στη δεύτερη περίπτωση πήραμε 2
κομμάτια από τα 5 .
 Τα κλάσματα δεν έχουν τους ίδιους παρονομαστές ,δηλαδή είναι ετερώνυμα,
αλλά έχουν τους ίδιους αριθμητές . Σε αυτή την περίπτωση μεγαλύτερο
είναι το κλάσμα που έχει το μικρότερο αριθμητή
5
3
> 8
3
Ο λόγος που τα
5
3
είναι μεγαλύτερο είναι γιατί κόψαμε την ακέραιη μονάδα σε 5
κομμάτια και πήραμε τα 3 ,ενώ στα
8
3
κόψαμε την ίδια ακέραιη μονάδα σε 8
κομμάτια ( άρα μικρότερα ) και πήραμε πάλι τρία αλλά πολύ μικρότερα κομμάτια
.
 Τα κλάσματα δεν έχουν τους ίδιους παρονομαστές ,δηλαδή είναι ετερώνυμα,
αλλά έχουν και διαφορετικούς αριθμητές . Σε αυτή την περίπτωση θα
πρέπει να κάνουμε τα κλάσματα ομώνυμα και μετά να τα συγκρίνουμε .

3.2 ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΕΤΕΡΩΝΥΜΩΝ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΜΩΝΥΜΑ
1. Έχουμε δύο ετερώνυμα κλάσματα και θέλουμε να τα μετατρέψουμε σε
ομώνυμα για να τα συγκρίνουμε .
2. Το πρώτο πράγμα που πρέπει να κάνουμε είναι να βρούμε το Ε.Κ.Π. των
παρονομαστών .
3. Στη συνέχεια διαιρούμε το Ε.Κ.Π. με τους παρονομαστές και σημειώνουμε το
αποτέλεσμα πάνω από το κλάσμα .
4. Πολλαπλασιάζουμε και τους δύο όρους του κλάσματος με τον αριθμό που
σημειώσαμε πάνω από κάθε κλάσμα
5. Τα κλάσματά μας είναι πλέον ομώνυμα .
1.
5
3
,
8
2
2. Ε.Κ.Π.( 5, 8 ) = 40
40:5=8 40:8=5
3.
5
3
,
8
2
4.
85
83
x
x
,
58
52
x
x
5.
40
24
,
40
10

Συμεωνίδης Θόδωρος10
3.2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ
Για να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε δύο ομώνυμα κλάσματα,
προσθέτουμε ή αφαιρούμε τους αριθμητές αφήνοντας τον ίδιο παρονομαστή .
5
2
+
5
1
=
5
3
Αν κάποιο κλάσμα είναι μεικτό το μετατρέπουμε πρώτα σε απλό και μετά
κάνουμε τις πράξεις . Δεν ξεχνάμε στο τέλος να κάνουμε απλοποιήσεις και να
μετατρέψουμε τα απλά κλάσματα σε μεικτά αν είναι απαραίτητο .
2
4
2
- 1
4
3
=
4
10
-
4
7
=
4
3
Για να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε δύο ετερώνυμα κλάσματα , τα
κάνουμε πρώτα ομώνυμα και στη συνέχεια προσθέτουμε ή αφαιρούμε τους
αριθμητές . Αν τα κλάσματα είναι μεικτά τα μετατρέπουμε πρώτα σε απλά κλάσματα
.
4 5
5
2
+
4
3
=
20
8
+
20
15
=
20
23
= 1
20
3
4 5
5
4
-
4
3
=
20
16
-
20
15
=
20
1
Αν θέλουμε να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε κλάσμα με ακέραιο
μετατρέπουμε τον ακέραιο σε κλάσμα με τον παρακάτω τρόπο :
5 1
4 -
5
2
=
1
4
-
5
2
=
5
20
-
5
2
=
5
18
= 3
5
3
ο παρονομαστής δεν αλλάζει
Για να μετατρέψουμε
έναν ακέραιο σε
κλάσμα αρκεί να
βάλουμε
παρονομαστή τη
μονάδα
Δεν ξεχνάμε να
βγάλουμε τις
ακέραιες μονάδες

Συμεωνίδης Θόδωρος11
3.2 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ
Για να πολλαπλασιάσουμε δύο κλάσματα πολλαπλασιάζουμε και τους
αριθμητές και τους παρανομαστές .Δεν είναι απαραίτητο να κάνουμε τα
κλάσματα ομώνυμα . Αν τα κλάσματα είναι μεικτά τα μετατρέπουμε πρώτα σε
απλά κλάσματα .
5
4
×
8
3
=
40
12
=
10
3
3.2 ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ
Για να διαιρέσουμε δύο κλάσματα αντιστρέφουμε το δεύτερο κλάσμα και
στη συνέχεια πολλαπλασιάζουμε τα κλάσματα .Δεν είναι απαραίτητο να κάνουμε
τα κλάσματα ομώνυμα . Αν τα κλάσματα είναι μεικτά τα μετατρέπουμε πρώτα σε
απλά κλάσματα .
5
4
:
8
3
=
5
4
×
3
8
=
15
32
= 2
15
2
Αντιστρέφουμε μόνο το δεύτερο κλάσμα και σε καμία περίπτωση δεν
αλλάζουμε τη σειρά των αριθμών
Αν έχουμε να κάνουμε διαίρεση με ακέραιο τον μετατρέπουμε σε κλάσμα και
κάνουμε την πράξη με τον ίδιο τρόπο :
3
2
: 4 =
3
2
:
1
4
=
3
2
χ
4
1
=
12
2
=
6
1
απλοποίηση
Βγάζουμε ακέραιες μονάδες

Αράπογλου Δημήτριος
ΚΛΑΣΜΑΤΑ - ΓΕΝΙΚΑ
Κάθε κλάσμα αποτελείται από την κλασματική γραμμή, τον αριθμητή(πάνω αριθμός) και τον παρονο-
μαστή(κάτω), ενώ και οι δύο μαζί ονομάζονται όροι του κλάσματος:
4
3
όπου: 3(αριθμητής), 4(παρονομαστής), και οι δύο(όροι κλάσματος)
Όταν ο αριθμητής είναι το 1 λέγονται κλασματικές μονάδες:
2
1
,
4
1
,
6
1
,
8
1
…
Όταν παρονομαστής είναι το 10,100,1000,… λέγονται δεκαδικά κλάσματα και όταν είναι αριθμητής το
1 δεκαδικές κλασματικές μονάδες:
10
2
,
100
3
,
1000
5
10
1
,
100
1
,
1000
1
…
Όταν ο αριθμητής είναι μικρότερος από τον παρονομαστή το κλάσμα λέγεται γνήσιο και είναι μικρό-
τερο της μονάδας ενώ το αντίθετο λέγεται καταχρηστικό και είναι μεγαλύτερο της μονάδας:
το
5
2
είναι "γνήσιο" < 1 το
3
4
είναι "καταχρηστικό" > 1
Όταν είναι ίδιοι αριθμητής και παρονομαστής τότε λέμε ότι το κλάσμα είναι ίσο με την ακέραια μο-
νάδα(1):
1
4
4
 & 1
6
6
 …
Δυο κλάσματα που έχουν ίσους παρονομαστές λέγονται ομώνυμα ενώ όταν δεν έχουν τον ίδιο λέγο-
νται ετερώνυμα:
5
2
,
5
3
 ομώνυμα
6
5
,
4
3
 ετερώνυμα
Από δυο ομώνυμα κλάσματα μεγαλύτερο είναι αυτό που έχει μεγαλύτερο αριθμητή ενώ από δύο ετε-
ρώνυμα μεγαλύτερο είναι αυτό που έχει μικρότερο παρονομαστή με την προϋπόθεση όμως ότι έχουν
ίδιο αριθμητή:
7
6
7
4
 &
8
4
7
4

Οι αριθμοί που αποτελούνται από ακέραιο και κλάσμα λέγονται μεικτοί:
7
4
1 ,
4
3
2
Για να μετατρέψω το μεικτό σε κλάσμα ακολουθώ την παρακάτω διαδικασία:
2
3
1
=
3
132 
=
3
7 Πολλαπλασιάζω τον παρονομαστή με τον ακέραιο, προσθέτω τον αριθμητή
του μεικτού και τον αριθμό που βρίσκω τον βάζω νέο αριθμητή.
Παρονομαστή γράφω τον ίδιο.

Για να μετατρέψουμε ένα καταχρηστικό κλάσμα σε μεικτό κάνουμε τα εξής :
5
13
= 2
5
3
Κάθε ακέραιος αριθμός μπορεί να γραφεί ως κλασματικός με παρονομαστή το 1 ή όποιον άλλο αριθμό.
Π. χ. 3 =
1
3
ή
2
6
ή
3
9
ή
4
12
ή
5
15
ή
9
27
ή …… …...
Οι δεκαδικοί αριθμοί γράφονται και ως δεκαδικά κλάσματα: (δηλ. με παρονομαστή 10, 100, 1000 κτλ)
Π. χ. 0,3 =
10
3
0,45 =
100
45
0,275 =
1000
275
4,25 = 4
100
25
=
1000
425
Κάθε κλάσμα είναι μια διαίρεση του αριθμητή με τον παρονομαστή του. Έτσι μπορεί να μετατραπεί σε
δεκαδικό αριθμό:
Π. χ.
8
6
= 6 : 8 = 0,75
6
5
= 0,833333333 (ατελής)
Δύο κλάσματα λέγονται ισοδύναμα όταν έχουν την ίδια αξία , εκφράζουν δηλαδή το ίδιο κομμάτι της
ακέραιης μονάδας , π.χ.
5
3
=
10
6
.
Για να κατασκευάσω ισοδύναμα κλάσματα αρκεί να πολλαπλασιάσω ή να διαιρέσω τους όρους του
κλάσματος ( αριθμητής και παρονομαστής) με τον ίδιο αριθμό.
2 3 4 5
6
2
=
12
4
=
18
6
=
24
8
=
30
10
:2 :3 :4 :6 :12
60
24
=
30
12
=
20
8
=
15
6
=
10
4
=
5
2
Γίνονται έτσι κλάσματα με μικρότερους όρους και αυτό λέγεται ΑΠΛΟΠΟΙΗΣΗ. Όταν οι όροι του κλά-
σματος δε διαιρούνται πλέον , το κλάσμα ονομάζεται ανάγωγο.
32
12
=
8
3
Όταν θέλουμε να βρούμε το μέρος ενός αριθμού διαιρούμε αυτόν τον αριθμό με τον παρονομαστή
και στη συνέχεια τον πολλαπλασιάζουμε με τον αριθμητή.
Π.χ. πόσο είναι τα
9
3
του 270;
270 : 9 = 30
30  3=90
Άλλος τρόπος, προτιμότερος, περιγράφεται παρακάτω και είναι: πολλαπλασιάζοντας τον αριθμό με το
κλάσμα.
Διαιρούμε τον αριθμητή με τον παρονομαστή  13 : 5 = 2 και υπόλοιπο 3
Το πηλίκο της διαίρεσης είναι ο ακέραιος , το υπόλοιπο είναι ο αριθμητής
και παρονομαστής μένει ο ίδιος
Προσοχή !!! πολλαπλασιάζουμε το αρχικό
κλάσμα όχι το προηγούμενο .
Προσοχή !!! διαιρούμε το αρχικό κλάσμα
όχι το προηγούμενο.
διαιρούμε αριθμητή και πα-
ρονομαστή με το 4
3
8

ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ
Για να προσθέσουμε ή αφαιρέσουμε ομώνυμα κλάσματα, προσθέτουμε ή αφαιρούμε τους αριθμητές
τους και παρονομαστή αφήνουμε τον ίδιο.
8
5
+
8
2
=
8
7
8
5
-
8
2
=
8
3
Για να προσθέσουμε ή αφαιρέσουμε ετερώνυμα κλάσματα, τα μετατρέπουμε πρώτα σε ομώνυμα.
Αυτό γίνεται:
α) Με τη δημιουργία ισοδύναμων κλασμάτων
4
2
+
8
1
=
24
22


+
8
1
=
8
4
+
8
1
=
8
5
β) Πολλαπλασιάζοντας το ένα κλάσμα με τον παρονομαστή του άλλου. ( χιαστί )
3 4
4
2
+
3
1
=
12
6
+
12
4
=
6
5
12
10

γ) Με το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο ( Ε.Κ.Π.)
Ε.Κ.Π. ( 4, 6 ) = 12 12 : 4 = 3
12 : 6 = 2
3 2
4
2
+
6
1
=
12
6
+
12
2
=
12
8
=
3
2
Όταν προσθέτω ή αφαιρώ μόνο μεικτούς αριθμούς μπορώ να υπολογίσω χωριστά το ακέραιο μέρος
τους και χωριστά το κλασματικό. π.χ.:
1
8
1
+2
8
1
=(1+2)+(
8
1
+
8
1
)= 3
8
2
Όταν έχουμε προσθέσεις ή αφαιρέσεις με διάφορες μορφές αριθμών ( ακέραιους, δεκαδικούς, συμμι-
γείς, μεικτούς ) τους μετατρέπουμε σε κλάσματα και συνεχίζουμε όπως γνωρίζουμε.
4 =
1
4
ή
2
8
0,4 =
10
4
1 μ. 3 δεκ. = 1
10
3
=
10
13
3
5
2
=
5
17
Όταν τελειώνει μια πράξη και έχουμε καταχρηστικό κλάσμα, βγάζουμε τις
ακέραιες μονάδες διαιρώντας τον αριθμητή με τον παρονομαστή του.
Επίσης δεν ξεχνούμε την ΑΠΛΟΠΟΙΗΣΗ

ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ & ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Για να πολλαπλασιάσουμε κλάσματα δε χρειάζεται να είναι ομώνυμα.
Πολλαπλασιάζουμε αριθμητή με αριθμητή και παρονομαστή με παρονομαστή.

4
2
5
3
=
10
3
20
6

Για να πολλαπλασιάσουμε ακέραιο με κλάσμα, πολλαπλασιάζουμε τον ακέραιο με τον αριθμητή του
κλάσματος, το γινόμενό τους το γράφουμε νέο αριθμητή και παρονομαστή αφήνουμε τον ίδιο.
4
5
3
 =
5
12
=
5
2
2 
5
3
4 =
5
12
=
5
2
2
Αντίστροφοι αριθμοί είναι οι αριθμοί που όταν πολλαπλασιάζονται μεταξύ τους το γινόμενό τους είναι 1.
3
2
αντίστροφος αριθμός το
2
3
3
2

2
3
=
6
6
= 1 4 
4
1
=
4
4
= 1
Αν δύο αριθμοί είναι μικρότεροι από το 1, τότε το γινόμενό τους είναι μικρότερο από το 1.
Για να διαιρέσουμε κλάσματα δε χρειάζεται να είναι ομώνυμα.
Αντιστρέφουμε τους όρους του δεύτερου κλάσματος και αντί για διαίρεση κάνουμε πολλαπλασια-
σμό.
5
2
:
4
3
=
5
2

3
4
=
15
8
4 :
5
3
= 4 
3
5
=
3
20
=
3
2
6
ΔΥΟ ΝΕΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΓΙΑ ΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΚΛΑΣΜΑΤΑ
Τώρα που είπαμε για τις 4 πράξεις στα κλάσματα μπορείς να μάθεις και να χρησιμοποιείς τους δύο πα-
ρακάτω ορισμούς
Όταν ψάχνω να βρω το κλασματικό μέρος ενός αριθμού κάνω πολλαπλασιασμό:
Για να βρω τα
4
3
του100 100 
4
3
=
1
100

4
3
=
41
3100


=
4
300
= 75 ή πιο σύντομα
100 
4
3
=
4
3100 
=
4
300
=75
Όταν ξέρω το κλασματικό μέρος ενός αριθμού και ψάχνω να βρω τον αριθμό κάνω διαίρεση:
Τα
5
2
ενός αριθμού είναι 100.
Ο αριθμός είναι 100 :
5
2
=
1
100
:
5
2
=
1
100

2
5
=
21
5100


=
2
500
=250 ή πιο σύντομα:
100 :
5
2
= 100
2
5
=
2
5100 
= 250

ΥΠΕΝΘΥΜΙΣΗ: Όταν τελειώνει μια πράξη και έχουμε καταχρηστικό κλάσμα, βγάζουμε
τις ακέραιες μονάδες διαιρώντας τον αριθμητή με τον παρονομαστή του.
Επίσης δεν ξεχνούμε την ΑΠΛΟΠΟΙΗΣΗ
ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ
Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ
9
3
+
9
2
+
9
1
= 8 +
6
4
=
9
2
+
3
1
= 6
4
2
+ 3 =
9
2
+ 4
6
1
= 3
9
2
+
9
1
=
5
4
2
+ 3
4
2
= 8
3
2
+ 3
6
4
=
8
4
2
+
5
4
+ 0, 5 =
4
3
+
6
2
+
8
1
=
24
15
-
24
9
= 8 -
6
4
=
7 - 4
5
3
= 6
4
2
- 3 =
3
9
2
-
4
3
=
9
8
-
3
1
=
8
4
2
- 3
6
4
=
9
8
- 0,12 =
4, 5 - 3
5
2
=
4
36
- 5
2
1
=

9
2

3
1
= 8 
6
3
=
2
4
2
 4 =
4
2
 6 =
3
4
2

2
1
=
9
2
 4
6
1
=
4  3
7
3
=
4
3
 1,2 =
5
4
2
 0, 5 =
4
2
 3
3
2
 0,3 =
2 :
5
3
=
5
3
: 2 =
9
8
:
3
1
= 6
4
2
: 3 =
4 : 2
5
2
= 2
5
2
:
4
3
=
3
1
: 3
4
2
= 0,4 : 8
4
2
=
2,5 :
4
2
= 4
6
3
: 4, 5 =

3η
ΕΝΟΤ. ΚΕΦ. 14
ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ
konstanti
ΑΑ΄΄ ΠΠΕΕΡΡΙΙΠΠΤΤΩΩΣΣΗΗ::
Πώς βρίσκουμε το μέρος μιας ποσότητας, όταν γνωρίζουμε ολόκληρη την ποσότητα;
Πρόβλημα: Σε ένα εργοστάσιο εργάζονται 150 άτομα. Τα 4/10 των ατόμων είναι γυναίκες και
οι υπόλοιποι άντρες. α. Πόσες είναι οι γυναίκες; β. Πόσοι είναι οι άντρες;
α. Γνωρίζουμε το σύνολο των ατόμων (δηλ. τα 10/10 των ατόμων) που είναι 150 άτομα.
Για να βρω τα 4/10, θα βρω πρώτα το 1/10, θα κάνω δηλ. αναγωγή στη δεκαδική κλασματική
μονάδα.
 Τα 10/10 των ατόμων είναι 150 άτομα.
 Το 1/10 των ατόμων είναι 150 : 10 = 15 άτομα.
 Τα 4/10 των ατόμων είναι 15 Χ 4 = 60 άτομα.
Άρα οι γυναίκες (τα 4/10) είναι 60
β. Οι άντρες είναι 150 – 60 =90.
ΒΒ΄΄ ΠΠΕΕΡΡΙΙΠΠΤΤΩΩΣΣΗΗ::
Πώς βρίσκω ολόκληρη την ποσότητα, αν γνωρίζω το ένα μέρος της;
Πρόβλημα: Ο πατέρας ξόδεψε τα 6/10 της μπογιάς που είχε αγοράσει. Η μπογιά που ξόδεψε
ήταν 30 λίτρα. Πόσα λίτρα ήταν όλη η μπογιά που είχε αγοράσει;
Θα εργαστούμε με αναγωγή στη δεκαδική κλασματική μονάδα.
 Τα 6/10 της μπογιάς είναι 30 λίτρα.
 Το 1/10 της μπογιάς είναι 30 : 6 = 5 λίτρα.
 Τα 10/10 (όλη η μπογιά) είναι 10 Χ 5 = 50 λίτρα.
Άρα είχε αγοράσει 50 λίτρα μπογιάς.
Όνομα___________________________
Επώνυμο_________________________
Hμ/νία ____________________

3η
konstanti
 Άσκηση 1 :
Τα 7/10 του βάρους του ανθρώπου είναι νερό. Πόσα κιλά νερό έχει το σώμα ενός ανθρώπου
90 κιλών;
Υπολογισμός
Απάντηση : ………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
Σε ένα σχολείο υπάρχουν 260 παιδιά. Τα 7/10 των παιδιών θα πάνε μια εκπαιδευτική εκδρομή.
Πόσα παιδιά θα πάνε στην εκδρομή;
Απάντηση : ………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
Από τα 360 παιδιά μιας κατασκήνωσης τα 6/10 είναι κορίτσια. Πόσα είναι τα κορίτσια και πόσα
τα αγόρια;
Απάντηση : ………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
Ο Νίκος διάβασε τα 2/10 ενός βιβλίου. Οι σελίδες που διάβασε ήταν 24. Πόσες σελίδες έχει
το βιβλίο;
Απάντηση : ………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

3η
konstanti
Τα 9/10 των θεατών μιας παράστασης ήταν παιδιά και ήταν 270 παιδιά. Πόσοι ήταν όλοι οι
θεατές της παράστασης; (παιδιά και ενήλικες)
Απάντηση : ………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
‘Ένας μανάβης πούλησε τα 4/10 των μήλων που είχε και του περίσσεψαν 60 κιλά. Πόσα κιλά
μήλα είχε αρχικά?
Απάντηση : ………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
Τα 0,9 κιλά ελιές Αμφίσσης κοστίζουν 7,2 €. Τα 0,6 κιλά ελιές Καλαμών κοστίζουν 6,6 € .
Ποια ποικιλία πουλιέται φθηνότερα?
Απάντηση : ………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

eva-edu
Κεφάλαιο 14 Γρήγοροι πολλαπλασιασμοί και διαιρέσεις με το 10, 100, 1.000
52 Χ10 =520 67 Χ10 =................. 6,25 Χ 10 = 62,5 8,35 Χ 10 = ...................
52 Χ 100= 5.200 67 Χ 100=.................. 6,25 Χ 100= 625 8,35 Χ 100 = ..................
52Χ 1.000= 52.000 67 Χ1.000=..................6,25 Χ 1.000= 6.250 8,35 Χ 1.000 = ..............
289,5 : 10 = 28,95 751,8 : 10 = .......................... 22.490:10 =2249,0
289,5 : 100 = 2,895 751,8 : 100 = ......................... 22.490:100 =224,90
289,5 : 1.000 =0,2895 751,8 : 1.000 =.................... 22.490:1.000 =22,490
Κάνε τους πολλαπλασιασμούς και τις διαιρέσεις
2,48 Χ 10 =..................... 238,5 Χ 10 =.....................0,09 Χ 10 = .................... 0,756 Χ 100=.......................
0,9 Χ 100=........................... 2,48 Χ 1.000=.................................. 0,6 Χ 1.000= .................................
4,28 : 10 = ......................5,9 : 10= ........................ 617,100 : 100= ........................ 7:1.000 = ........................
538,2 : 1.000 = .............................. 0,7 : 100 = .......................... 448 : 10 =........................................
Για να πολλαπλασιάσω έναν ακέραιο αριθμό με το 10,100,1.000 γράφω
ξανά τον αριθμό και βάζω στο τέλος 1,2 ή 3 μηδενικά.
Για να πολλαπλασιάσω έναν δεκαδικό αριθμό με το 10, το 100 ή το 1.000
μετράω πόσα μηδενικά έχει το 10, το 100, το 1.000 και βάζω την υποδιαστολή
προς τα του αριθμού τόσες φορές όσα είναι τα μηδενικά
Αν δεν έχω άλλο αριθμό να βάλω την υποδιαστολή βάζω μηδενικά στο τέλος
Για να διαιρέσω έναν ακέραιο ή δεκαδικό αριθμό με το 10, το 100 ή
το 1.000 μετράω πόσα μηδενικά έχει το 10, το 100, το 1.000 και βάζω
την υποδιαστολή προς τα του αριθμού τόσες φορές όσα
είναι τα μηδενικά
Αν δεν έχω άλλο αριθμό να βάλω την υποδιαστολή βάζω μηδενικά
στην αρχή

eva-edu
Κεφάλαιο 15 Αναγωγή στην δεκαδική κλασματική μονάδα ( 1 1 1 )
10 100 1.000
Γιατί κάνω αναγωγή στη δεκαδική κλασματική μονάδα;
Αν ξέρω το δεκαδικό μέρος μιας ποσότητας και θέλω να βρω όλη την ποσότητα ή ένα άλλο
δεκαδικό μέρος της, κάνω αναγωγή στη δεκαδική κλασματική μονάδα.
Πώς κάνω αναγωγή στη δεκαδική κλασματική μονάδα;
Η γιαγιά είχε 20 αυγά. Έβαλε τα 4 στο τηγάνι για να φτιάξει ομελέτα.Πόσα αυγά έβαλε;
10
20 αυγά
 Πρώτα θα βρώ πόσο είναι το 1 των 20 αυγών 20: 10= 2 αυγά 1 = 2
10 10
 Μετά θα βρώ πόσο είναι τα 4 των 20 αυγών. Είναι 4 φορές 1 4 Χ 2 = 8
10 10
Όλα τα αυγά Το ένα δέκατο Τα τέσσερα δέκατα
10
10
1
10
4
10
20 αυγά 2 αυγά 8 αυγά
Κλασματική μονάδα είναι το 1 από τα ίσα μέρη στα οποία κόψαμε μια ακέραιη
μονάδα (όλο)
Οι κλασματικές μονάδες 1 1 1 λέγονται δεκαδικές κλασματικές μονάδες
10 100 1.000
Κάθε κλάσμα δείχνει μια διαίρεση 3 = 3 : 5
5

eva-edu
Για να το βρείς θα κάνεις αναγωγή στη δεκαδική κλασματική μονάδα;
Πρώτα βρές το 1 του κιλού;
10
Τώρα βρες τα 7 του κιλού;
10
1 κιλό = 1.000 γραμμάρια
Πόσα γραμμάρια είναι τα 7 του κιλού;
10

eva-edu
Κεφάλαιο 16 Κλασματικές μονάδες
1 ακέραιη μονάδα (όλο) το χώρισα σε 2 κομμάτια το κάθε κομμάτι είναι το 1 (ένα δεύτερο)
2
Έκοψα την τούρτα σε 4 κομματια και έφαγα το 1 δηλαδή το 1 (ένα τέταρτο)
4
Το 1 και το 1 είναι
2 4
Μικρότερη κλασματική μονάδα είναι αυτή που έχει μεγαλύτερο παρονομαστή
Μεγαλύτερη κλασματική μονάδα είναι αυτή που έχει μικρότερο παρονομαστή
1 > 1
2 4
Γράψε με κλάσμα τι μέρος είναι χρωματισμένο σε κάθε σχήμα

eva-edu
Χρωμάτισε τα σχήματα με το μέρος που δείχνουν τα κλάσματα
2 6
4 12
Γράψε με γράμματα τα παρακάτω κλάσματα
1.....................................................................2 ...................................................................
8 25
3..................................................................4 .......................................................................
9 7
Γράψε τι μέρους του χρόνου είναι οι 6 μήνες ..............................
Λύσε το πρόβλημα
Η τσάντα για το σχολείο μου έχει μέσα 20 πράγματα. Το 1 είναι τετράδια και το 1 βιβλία
4 2
Πόσα τετράδια έχει η τσάντα;.........................................................................................
Πόσα βιβλία έχει η τσάντα;.............................................................................................

eva-edu
4
2
2
1
Τα κλάσματα που είναι διαφορετικά αλλά εκφράζουν την ίδια ποσότητα (όπως
τα δύο παραπάνω) ονομάζονται ισοδύναμα
Πως φτιάχνουμε ισοδύναμα κλάσματα
Για να φτιάξουμε ισοδύναμα κλάσματα πολλαπλασιάζουμε ή διαιρούμε και τον
αριθμητή και τον παρονομαστή με τον ίδιο αριθμό
Παράδειγμα
2
1
6
3
και
4
2
2
1
Παρατήρησε τα δύο παρακάτω σχήματα. Θα δεις ότι το
πράσινο κομμάτι και στα δύο είναι η ίδια ποσότητα. Ωστόσο
τα κλάσματα που τα περιγράφουν είναι διαφορετικά.
x 3
x 3
: 2
: 2

eva-edu
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Να αντιστοιχήσεις τα σχήματα που είναι ίσα μεταξύ τους
Να φτιάξεις ισοδύναμα κλάσματα πολλαπλασιάζοντας ή διαιρώντας με
τους αριθμούς που σου δίνονται
3
2
6
8
5
1
: 2
x 3
x 2

eva-edu
Μπορούμε να μετατρέψουμε κάθε κλάσμα σε δεκαδικό κάνοντας τη διαίρεση
του αριθμητή με τον παρονομαστή
Θέλουμε να μετατέχουμε σε δεκαδικό Το κλάσμα
4
3
Κάνουμε τη διαίρεση
Το αποτέλεσμα είναι 0,75 δηλαδή 75 εκατοστά
ή αλλιώς
100
75
. Άρα
4
3
=
100
75
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Να μετατρέψεις τα παρακάτω κλάσματα σε δεκαδικά
4
2
5
2

eva-edu
Η Εύα έχει 15 ευρώ. Πήγε στο σούπερ μάρκετ και ξόδεψε τα
5
2
. Πόσα λεφτά
ξόδεψε η Εύα;
Απάντηση
Αφού μας ζητάει τα
5
2
του 15 θα κάνουμε πολλαπλασιασμό.
15 x
5
2
=
5
215x
=
5
30
=6
ΑΣΚΗΣΕΙΣ - ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
Να λύσεις τα παρακάτω προβλήματα
1) Η τάξη της Εύας έχει 18 παιδιά. Από αυτά τα
3
2
είναι κορίτσια. Πόσα είναι τα
κορίτσια στην τάξη της Εύας;
2) Το βιβλίο της Εύας έχει 40 σελίδες. Η Εύα διάβασε το
4
1
. Πόσες σελίδες
διάβασε η Εύα;
Όταν σε προβλήματα μας ζητάνε να βρούμε το κλάσμα μιας
ποσότητας κάνουμε πάντα πολλαπλασιασμό του κλάσματος με την
ποσότητα που έχουμε

eva-edu
Πολλές φορές θέλουμε να καταλάβουμε ποια είναι περίπου η βασική τιμη
πολλών αριθμών. Σε τέτοιες περιπτώσεις χρησιμοποιούμε το Μέσο Όρο.
Για παράδειγμα θέλουμε να βρούμε πόσο ήταν ο Μέσος Όρος της θερμοκρασίας
για μια εβδομάδα.
Για να βρούμε το Μέσο όρο κάποιων αριθμών τους προσθέτουμε όλους μαζί
και αυτό που θα βρούμε το διαιρούμε με το πόσοι είναι αυτοί οι αριθμοί.
Στον παρακάτω πίνακα φαίνονται οι θερμοκρασίες για κάθε μέρα της εβδομάδας
που πέρασε. Να βρεις το Μέσο Όρο τους.
1) Προσθέτουμε όλες τις θερμοκρασίες
25+20+23+19+24+20+19 = 150
2) Οι μέρες της εβδομάδας είναι 7. Άρα διαιρούμε το 150 : 7 = 21,4 ˚
Απάντηση : Ο Μέσος Όρος της θερμοκρασίας είναι 21,4 ˚
ΗΜΕΡΕΣ ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑ
Δευτέρα 25 ˚
Τρίτη 20 ˚
Τετάρτη 23 ˚
Πέμπτη 19 ˚
Παρασκευή 24 ˚
Σάββατο 20 ˚
Κυριακή 19 ˚

eva-edu
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Στον παρακάτω πίνακα φαίνονται τα χρήματα που ξόδεψε κάθε μέρα η
Εύα στο σούπερ μάρκετ. Να βρείτε ο Μέσο Όρο των εξόδων της.
1)
2)
ΗΜΕΡΕΣ ΧΡΗΜΑΤΑ
Δευτέρα 4
Τρίτη 4
Τετάρτη 3
Πέμπτη 4
Παρασκευή 2
Σάββατο 4
Κυριακή 0

Αρβανιτίδης Θεόδωρος, www.atheo.gr - Μαθηματικά Ε΄

57
Μάθημα 13ο
Γρήγοροι πολλαπλασιασμοί με 10, 100, 1.000 κλπ
 Σύντομος πολλαπλασιασμός φυσικού με το 10, 100, 1.000 :
Γράφουμε τον αριθμό και προσθέτουμε στο τέλος του ένα, δύο ή τρία μηδενικά
αντίστοιχα.
( π.χ. 5 • 10 = 50 , 87 • 100 = 8.700 , 67 • 1.000 = 67.000 )
 Σύντομος πολλαπλασιασμός δεκαδικού με το 10, 100, 1.000 :
Μετακινούμε την υποδιαστολή προς τα δεξιά κατά τόσες θέσεις όσα είναι τα μηδενικά.
( π.χ. 14,75 • 10 = 147,5 , 12,345 • 100 = 1.234,5 , 0,005 • 1.000 = 5 )
Αν τα δεκαδικά ψηφία δεν είναι αρκετά για να καλύψουν όλες τις θέσεις,
συμπληρώνουμε όσα μηδενικά περισσεύουν.
( π.χ. 5,4 • 100 = 540 , 32,47 • 1.000 = 32.470 )
Γρήγορες διαιρέσεις με 10, 100, 1.000
 Σύντομη διαίρεση φυσικού με το 10, 100, 1.000:
Κόβουμε, με υποδιαστολή, από το τέλος και προς τα αριστερά, τόσα δεκαδικά ψηφία όσα
είναι τα μηδενικά.
( π.χ. 69 : 10 = 6,9 , 758 : 100 = 7,58 , 2.654 : 1.000 = 2,654 )
Αν τα ψηφία του αριθμού δεν είναι αρκετά για να καλύψουν όλες τις θέσεις,
συμπληρώνουμε μπροστά από τον αριθμό και μετά την υποδιαστολή, όσα μηδενικά
περισσεύουν.
( π.χ. 5 : 10 = 0,5 , 7 : 100 = 0,07 , 52 : 1.000 = 0,052 )
 Σύντομη διαίρεση δεκαδικού με το 10, 100, 1.000:
Μετακινούμε την υποδιαστολή προς τα αριστερά κατά τόσες θέσεις όσα είναι τα
μηδενικά.
( π.χ. 23,84.:.10 = 2,384 , 23,84 : 100 = 0,2384 , 543,2 : 1.000 = 0,5432 )
Αν τα δεκαδικά ψηφία δεν είναι αρκετά για να καλύψουν όλες τις θέσεις,
συμπληρώνουμε, μπροστά από τον αριθμό και μετά την υποδιαστολή, όσα μηδενικά
περισσεύουν.
( π.χ. 0,5 : 10 = 0,05 , 0,5 : 100 = 0,005 , 26,3 : 1.000 = 0,0263 )
Ασκήσεις
1. Ένα λίτρο πετρελαίου θέρμανσης κοστίζει 0,98 €. Πόσο κοστίζουν τα 10 λίτρα, πόσο τα
100 και πόσο τα 1.000 λίτρα πετρελαίου ;
2. Ένα τετράδιο ορθογραφίας κοστίζει 0,65 €. Πόσο κοστίζουν τα 100 τετράδια και πόσο
τα 1.000 ;


58
3. Συμπλήρωσε τους παρακάτω πίνακες :
4. Ένα φορτηγό μεταφέρει 100 ίδια κιβώτια συνολικού βάρους 8.500 κιλών. Πόσα κιλά
ζυγίζει το ένα κιβώτιο ;
5. Ο Ανδρέας έχει 15 κάρτες με αυτοκίνητα. Ο Ζώης έχει δεκαπλάσιες κάρτες από τον
Ανδρέα και ο Γιώργος διπλάσιες από τον Ζώη. Πόσες κάρτες έχουν και τα τρία παιδιά
μαζί ;
6. Το κιλό οι πατάτες κοστίζουν 0,80 €. Πόσο κοστίζουν τα 10 κιλά, πόσο τα 100 κιλά και
πόσο τα 1.000 κιλά πατάτες ;
7. Να γίνουν γρήγορα οι πολλαπλασιασμοί:
0,80 · 10 = ……. 204 · 100 = ……. 10,572 · 1.000 = ……. 458 · 10 = …….
0,196 · 100 = ……. 6,14 · 1.000 = …… 532 · 10 = ……. 6,5 · 100 = …….
8. Να γίνουν γρήγορα οι διαιρέσεις :
32 : 10 = ……. 7,8 : 100 = ……. 1982 : 1.000 = ……. 0,05 : 10 = …….
75,06 : 100 = ……. 2 : 1.000 = ……. 175 : 10 = ……. 210,04 : 100 = …….
9. Μια γαλάζια φάλαινα ζυγίζει 120 τόνους. Πόσους τόνους ζυγίζουν 100 όμοιες φάλαινες ;
10.Σε 10 φτωχές οικογένειες η εκκλησία μιας ενορίας μοίρασε λίγο πριν τις γιορτές των
Χριστουγέννων 140 κιλά λάδι. Πόσα κιλά πήρε κάθε οικογένεια ;
11.Το ένα κιλό κολοκυθάκια κοστίζουν 1,35 €. Πόσο κοστίζουν τα 10 κιλά, πόσο τα 100 κιλά
και πόσο τα 100 γραμμάρια ;
12.Μια αντιπροσωπεία αυτοκινήτων πουλάει ένα σπορ αυτοκίνητο 48.000 €. Αν σε ένα
τρίμηνο πούλησε 10 τέτοια σπορ αυτοκίνητα, πόσα χρήματα εισέπραξε;
• 10 100 1.000
5
• 10 100 1.000
54,987
: 10 100 1.000
77
: 10 100 1.000
7,75
• 10 100 1.000
0,55
: 10 100 1.000
0,55


59
Μάθημα 14ο
Αναγωγή στη δεκαδική κλασματική μονάδα
10
1
,
100
1
,
1000
1
Για να υπολογίσουμε το
10
1
ενός ποσού, δηλαδή τη δεκαδική κλασματική μονάδα,
όπως ονομάζεται, διαιρούμε το ποσό διά 10.
( π.χ. το
10
1
του 350 είναι 350 : 10 = 35 ).
Αντίστροφα, όταν γνωρίζουμε τη δεκαδική κλασματική μονάδα, η οποία
αντιστοιχεί σε ένα ποσό, και θέλουμε να υπολογίσουμε το αρχικό ποσό,
πολλαπλασιάζουμε το ποσό με το 10.
( π.χ. αν το
10
1
ενός ποσού είναι 35, το αρχικό ποσό είναι 35 • 10 = 350 ).
Η χρήση της δεκαδικής κλασματικής μονάδας, η αναγωγή στη δεκαδική κλασματική
μονάδα, όπως ονομάζεται, βοηθάει στη λύση διαφόρων προβλημάτων:
 Γνωρίζουμε όλο το ποσό και θέλουμε να υπολογίσουμε ένα κλασματικό μέρος του:
Για παράδειγμα, αν θέλουμε να βρούμε τα
10
6
του αριθμού 240, κάνουμε
πρώτα αναγωγή στη δεκαδική κλασματική μονάδα, δηλαδή βρίσκουμε το
10
1
του 240,
το οποίο είναι 240 : 10 = 24, και στη συνέχεια βρίσκουμε τα
10
6
, πολλαπλασιάζοντας
το 24 με το 6, δηλαδή 24 • 6 = 144. Άρα τα
10
6
του 240 είναι 144.
 Γνωρίζουμε το κλασματικό μέρος του ποσού και θέλουμε να υπολογίσουμε το
αρχικό ποσό:
Για παράδειγμα, αν θέλουμε να βρούμε ποιο είναι το ποσό, του οποίου τα
10
3
είναι 45, κάνουμε πρώτα αναγωγή στη δεκαδική κλασματική μονάδα, δηλαδή βρίσκουμε
το
10
1
του ποσού, διαιρώντας 45 : 3 = 15, και στη συνέχεια βρίσκουμε το αρχικό
ποσό, πολλαπλασιάζοντας το 15 με το 10, δηλαδή 15 • 10 = 150. Άρα το ζητούμενο
ποσό είναι το 150.
 Γνωρίζουμε το κλασματικό μέρος ενός ποσού και θέλουμε να υπολογίσουμε ένα
άλλο κλασματικό μέρος του ίδιου ποσού:
Για παράδειγμα, αν θέλουμε να βρούμε πόσο είναι τα
10
8
ενός αριθμού, του
οποίου τα
10
5
είναι 115, κάνουμε πρώτα αναγωγή στη δεκαδική κλασματική μονάδα,
δηλαδή βρίσκουμε το
10
1
του 115. 115 : 5 = 23, ( το
10
1
είναι πέντε φορές μικρότερο


60
από τα
10
5
), και στη συνέχεια βρίσκουμε τα
10
8
, πολλαπλασιάζοντας το 23 με το 8,
δηλαδή 23 • 8 = 184. Άρα τα
10
8
αυτού του αριθμού είναι 184.
Ασκήσεις
1. Σε ένα εργοστάσιο εργάζονται 150 εργάτες. Από αυτούς τα
10
4
είναι γυναίκες και οι
υπόλοιποι είναι άντρες. Να βρεις πόσες είναι οι γυναίκες και πόσοι είναι οι άντρες που
δουλεύουν στο εργοστάσιο ;
2. Στο σχολείο μας τα
10
5
των παιδιών είναι κορίτσια. Το σχολείο μας έχει 138 παιδιά.
Πόσα είναι τα αγόρια και πόσα τα κορίτσια στο σχολείο μας ;
3. Το
10
1
του κιλού το κασέρι κοστίζει 0,8 €. Πόσο κοστίζει το κιλό το κασέρι ;
4. Η Εύα είναι 12 ετών. Η ηλικία της είναι ίση με τα
10
3
της ηλικίας του μπαμπά της.
Πόσων ετών είναι ο μπαμπάς της Εύας ;
5. Τα
10
7
του βάρους του ανθρώπου είναι νερό. Πόσα κιλά νερό έχει το σώμα ενός
ανθρώπου 90 κιλών ;
6. Σε ένα σχολείο υπάρχουν 260 παιδιά. Τα
10
7
των παιδιών θα πάνε μια εκπαιδευτική
εκδρομή. Πόσα παιδιά θα πάνε στην εκδρομή ;
7. Από τα 360 παιδιά μιας κατασκήνωσης τα
10
6
είναι κορίτσια. Πόσα είναι τα κορίτσια και
πόσα τα αγόρια ;
8. Υπολόγισε :
α. Το 1/10 του 40  40 : 10 = 4
Το 1/10 του 250  ……………
Το 1/10 του 6.780  …………
Το 1/10 του 700  ……………
Το 1/10 του 1.500  ………….
β. Το 1/100 του 3.600  3.600 : 100 = 36
Το 1/100 του 46  ………………
Το 1/100 του 850  ……………..
Το 1/1000 του 12.500  ………..
Το 1/ 1000 του 3.500  ………...

Αρβανιτίδης Θεόδωρος, www.atheo.gr -Μαθηματικά Ε΄

5
Μάθημα 18ο
Κλασματικές μονάδες
αριθμητής
όροι του κλάσματος :
παρονομαστής
πόσα ίσα μέρη της ακέραιης μονάδας πήρα
πόσα ίσα μέρη χώρισα την ακέραιη μονάδα
Η κλασματική γραμμή είναι η πράξη της διαίρεσης.
Τα πορτοκαλί κομμάτια αποτελούν τα δύο τρίτα
3
2
της σημαίας.
Κάθε φυσικός αριθμός μπορεί να εκφραστεί και ως κλασματικός, έχοντας
παρονομαστή τη μονάδα, χωρίς να αλλάξει η αξία του.
Κάθε κλάσμα, το οποίο έχει αριθμητή τη μονάδα, ονομάζεται κλασματική μονάδα.
Η κλασματική μονάδα φανερώνει σε πόσα ίσα μέρη χωρίστηκε μια ποσότητα .
(π.χ. η κλασματική μονάδα
8
1
φανερώνει ότι μια ποσότητα χωρίστηκε σε 8 ίσα μέρη).
Σύγκριση Κλασμάτων
Για να συγκρίνω δύο ή περισσότερα κλάσματα, πρέπει τα κλάσματα να έχουν
ίσους αριθμητές ή ίσους παρονομαστές. Όταν έχουν ίσους αριθμητές, μεγαλύτερο
κλάσμα είναι αυτό που έχει τον μικρότερο παρονομαστή. Όταν έχουν ίσους
παρονομαστές, μεγαλύτερο κλάσμα είναι αυτό που έχει το μεγαλύτερο αριθμητή.
Όταν δεν έχουν κοινούς αριθμητές ή κοινούς παρονομαστές, για να το συγκρίνω
πρέπει να τα κάνω ομώνυμα .
π.χ.
6
1
,
4
1
,
2
1
→
2
1
>
4
1
>
6
1
5
2
,
5
3
,
5
1
→
5
3
>
5
2
>
5
1


6
Ασκήσεις
1. Συμπλήρωσε τα παρακάτω κενά :
2. Ο Νίκος και ο αδερφός του ο Γιάννης αγόρασαν δυο ίδιες φραντζόλες ψωμί και πήρε ο
καθένας από μία. Ο Νίκος χώρισε τη φραντζόλα σε 3 ίσα μέρη και έφαγε το ένα από
αυτά και ο Γιάννης χώρισε τη δική του φραντζόλα σε 4 ίσα μέρη και έφαγε το ένα από
αυτά.
Νίκος Γιάννης
Τι μέρος έφαγε το κάθε παιδί;
Ποιο παιδί έφαγε περισσότερο ;
3. Τι μέρος της ώρας είναι :
 Το 1 λεπτό : …….. ώρας
 Τα 10 λεπτά : …….. ώρας
Βάλε τα κλάσματα στη σειρά από το μεγαλύτερο στο μικρότερο :
…………………………………………………………………………..
Η Κυριακή έκοψε ένα μήλο σε 4 ίσα μέρη

Το μήλο είναι η …………………. μονάδα.
Χωρίστηκε σε …………………... μέρη.
Τι μέρος του μήλου αντιπροσωπεύει κάθε κομμάτι ; …..…………………………….
Πρέπει να ξέρω ότι: Οτιδήποτε χωρίζεται σε ίσα μέρη είναι μια ακέραιη μονάδα.
Καθένα από τα ίσα μέρη της μονάδας ονομάζεται ……….…………… μονάδα


7
Τι μέρος του Ευρώ είναι :
 Το 1 λεπτό : ………. €
 Τα 10 λεπτά : ………. €
 Τα 20 λεπτά : ………. €
 Τα 50 λεπτά : ………. €
 Τα 75 λεπτά : ………...€
 Τα 100 λεπτά : ……….€
Βάλε τα κλάσματα στη σειρά από το μικρότερο στο μεγαλύτερο :
…………………………………………………………………………..
4. Ένας υπάλληλος παίρνει μηνιαίο μισθό 1.350 €. Πληρώνει για ενοίκιο το
5
1
του μισθού
του. Πόσα € πληρώνει για ενοίκιο το μήνα και πόσα € για όλο το χρόνο ( 12 μήνες ) ;
5. Ο Χρήστος διάβασε το
8
1
ενός βιβλίου το οποίο έχει 400 σελίδες. Πόσες σελίδες έχει
ακόμα για διάβασμα ;
6. Συγκρίνω ανά δυο τις παρακάτω κλασματικές μονάδες και κυκλώνω τη μεγαλύτερη :
α )
8
1
3
1
β )
5
1
10
1
γ )
6
1
5
1
δ )
2
1
4
1
ε )
7
1
8
1
στ )
10
1
9
1
ζ )
12
1
10
1
η )
15
1
20
1
7. Να γράψεις με κλασματική μονάδα :
Τι μέρος του κιλού είναι το 1 γραμμάριο : …………………………..
Τι μέρος του έτους είναι ο 1 μήνας : ………………………………...
Τι μέρος της ώρας είναι το 1 δευτερόλεπτο : ……………………...
Τι μέρος του τόνου είναι το 1 κιλό : …………………………………


8
8. Σε μια τσάντα υπάρχουν 5 μολύβια, 4 γόμες και 3 τετράδια. Τι μέρος του συνόλου των
πραγμάτων είναι :
Τα μολύβια : ………………………………
Οι γόμες : …………………………………
Τα τετράδια : ……………………………..
9. Να γράψετε με μορφή κλάσματος τα πηλίκα των διαιρέσεων :
7 : 8 = …….. 13 : 15 = ……..
10. Να γράψετε ως διαιρέσεις τα κλάσματα :
7
6
= …………
17
9
= ………..
11. Βάλτε το σύμβολο της ισότητας ή της ανισότητας στα παρακάτω ζεύγη αριθμών :
1 …….
3
2
1 ……..
7
5
7
7
……. 1
1 ……..
7
6
12
1
…….. 1 1 ……
8
1
12. Εργαστείτε όπως στο παράδειγμα :

3
2
2 < 3 →
3
2
< 1

7
5
……………………………

7
7
……………………………

7
9
……………………………


9
Μάθημα 19ο
Ισοδύναμα κλάσματα
Τα κλάσματα εκφράζουν το ίδιο τμήμα ενός μεγέθους, γι’ αυτό και λέγονται
ισοδύναμα.
2
1
=
4
2
=
8
4
=
16
8
Ισοδύναμα κλάσματα μπορώ να δημιουργήσω αν πολλαπλασιάσω τον αριθμητή
και τον παρονομαστή με τον ίδιο αριθμό, ή αν διαιρέσω τον αριθμητή και τον
παρονομαστή με τον ίδιο αριθμό.
Η διαίρεση των όρων του κλάσματος με τον ίδιο αριθμό λέγεται και απλοποίηση .
π.χ.
2
1
=
22
21


=
4
2
ή
4
2
=
44
42


=
16
8
ή
8
4
=
4:8
4:4
=
2
1
ή
16
8
=
4:16
4:8
=
4
2
=
2
1
Το κλάσμα που δεν μπορεί να απλοποιηθεί άλλο λέγεται ανάγωγο κλάσμα.
Ομώνυμα και ετερώνυμα κλάσματα
Τα κλάσματα που έχουν τον ίδιο παρονομαστή λέγονται ομώνυμα. Τα κλάσματα
που έχουν διαφορετικό παρονομαστή λέγονται ετερώνυμα.
π.χ. ομώνυμα :
5
2
,
5
3
,
5
1
, ετερώνυμα :
6
1
,
4
1
,
2
1
.
Δύο ή περισσότερα κλάσματα λέγονται ισοδύναμα, όταν μετρούν το
ίδιο μέγεθος με διαφορετικό κλάσμα.
Δηλ.


10
Ασκήσεις
1. Συμπληρώνω τον αριθμό που λείπει, ώστε τα κλάσματα να γίνουν ισοδύναμα :
2
1
=
10
,
2
1
=
7
,
2
1
=
20
,
2
1
=
20
,
2
1
=
100
2
1
=
4
=
4
=
16
,
3
1
= = = ,
5
2
= = =
2. Φτιάξε 3 ισοδύναμα κλάσματα του
3
2
:
3
2
= = =
3. Φτιάξε 3 ισοδύναμα κλάσματα του
5
4
:
5
4
= = =
4. Απλοποίησε τα παρακάτω κλάσματα :
6
2
= ,
10
5
= ,
20
10
= ,
30
15
= ,
21
18
=
5. Απλοποίησε τα παρακάτω κλάσματα, μέχρι να γίνουν ανάγωγα :
68
20
= ,
100
50
= ,
45
15
= ,
49
28
= ,
80
60
=
6. Να μετατρέψεις το κλάσμα
5
3
σε ισοδύναμο κλάσμα με :
α) παρανομαστή το 10 β) παρανομαστή το 25 γ) αριθμητή το 9 δ) αριθμητή το 30
7. Η Μαρία έφαγε τα
10
4
μιας σοκολάτας και η Γιάννα τα
5
2
μιας σοκολάτας του ίδιου
μεγέθους. Ποια από τις δυο έφαγε περισσότερο ; Δικαιολόγησε την απάντηση σου.
8. Μπορείς να εκφράσεις τις παρακάτω ποσότητες με 2 τουλάχιστον ισοδύναμα κλάσματα ;
α ) 0,06 € β ) 500 γραμμάρια γ ) 30 λεπτά της ώρας


25
Μάθημα 25ο
Στατιστική – Μέσος όρος
Όταν έχουμε μια σειρά από μετρήσεις, οι οποίες αφορούν το ίδιο θέμα, μπορούμε να τις
προσθέσουμε και να διαιρέσουμε το άθροισμα με το πλήθος των μετρήσεων. Ο αριθμός, ο
οποίος προκύπτει με αυτόν τον τρόπο, ονομάζεται μέσος όρος των μετρήσεων.
Ο μέσος όρος είναι πολύ χρήσιμος σε διάφορες περιπτώσεις :
 Αντιπροσωπεύει με σαφή τρόπο μια ομάδα μετρήσεων
( π.χ. ένας μαθητής της Ε΄ τάξης πήρε στο πρώτο τρίμηνο τους εξής βαθμούς :
Γλώσσα 9, Μαθηματικά 10, Φυσική 10, Ιστορία 9, Θρησκευτικά 10, Γεωγραφία 8, Κοινωνική και
Πολιτική Αγωγή 9, Φυσική Αγωγή 10, Αισθητική Αγωγή 9, Ξένη Γλώσσα 9.
Ο μέσος όρος των βαθμών του είναι :
9 + 10 + 10 + 9 + 10 + 8 + 9 + 10 + 9 + 9 = 93 : 10 = 9,3 ).
 Διευκολύνει τη σύγκριση ανάμεσα σε δύο ή περισσότερες ομάδες μετρήσεων
( π.χ. ένας άλλος μαθητής της Ε΄ τάξης πήρε στο πρώτο τρίμηνο τους εξής βαθμούς:
Γλώσσα 10, Μαθηματικά 10, Φυσική 9, Ιστορία 10, Θρησκευτικά 10, Γεωγραφία 9,
Κοινωνική και Πολιτική Αγωγή 9, Φυσική Αγωγή 9, Αισθητική Αγωγή 9, Ξένη Γλώσσα
9. Για να βρούμε αν είχε καλύτερη επίδοση από τον προηγούμενο μαθητή υπολογίζουμε
το μέσο όρο των βαθμών του, ο οποίος είναι :
10 + 10 + 9 + 10 + 10 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 = 94 : 10 = 9,4.
Άρα ο δεύτερος μαθητής είχε καλύτερη επίδοση ).
 Επιτρέπει την πρόβλεψη μιας μέτρησης
( π.χ. αν ένας παίκτης του μπάσκετ στους 8 προηγούμενους αγώνες της ομάδας του
σημείωσε τους εξής πόντους 14, 17, 15, 12, 6, 16, 17, 14, στον επόμενο αγώνα είναι
πιθανό να σημειώσει 14 + 17 + 15 + 12 + 6 + 16 + 17 + 14 = 111 = 13,875 δηλαδή περίπου
14 πόντους ).
 Να περιγράψουμε ένα πλήθος δεδομένων, με μία μόνο τιμή
( π.χ. Ο μέσος όρος ηλικίας των μαθητών της Ε΄ τάξης είναι 11 ετών ).
Μ.Ο. αριθμών =


ώή
ώά
Το κυλικείο του σχολείου μας πούλησε τη Δευτέρα 50 τυρόπιτες, την Τρίτη 55, την
Τετάρτη 45, την Πέμπτη 60 και την Παρασκευή 30 τυρόπιτες. Πόσες τυρόπιτες πούλησε
κατά μέσο όρο αυτή την εβδομάδα ;
Λύση
ημέρες Δευτέρα Τρίτη Τετάρτη Πέμπτη Παρασκευή
τυρόπιτες 50 55 45 60 30
Μ.Ο. =


ώή
ώά
=
5
3060455550 
=
5
240
= 48 τυρόπιτες
Απάντηση : Πούλησε κατά μέσο όρο 48 τυρόπιτες την ημέρα.


26
Ασκήσεις
1. Ένα προϊόν πωλείται σε 3 διαφορετικά καταστήματα στις παρακάτω τιμές : 18 €, 20 €
και 22 €. Ποια είναι η μέση τιμή πώλησης του προϊόντος ;
2. Οι θερμοκρασίες, στις 12 το μεσημέρι, αυτή την εβδομάδα στην Αλεξάνδρεια ήταν οι
παρακάτω : τη Δευτέρα 10ο
C, την Τρίτη 11ο
C, την Τετάρτη 10ο
C, την Πέμπτη 12ο
C και
την Παρασκευή 12ο
C. Ποια είναι η μέση θερμοκρασία της εβδομάδας στην Αλεξάνδρεια ;
3. Στους πέντε αγώνες μπάσκετ του σχολικού πρωταθλήματος, ο καλύτερος παίκτης μας
σημείωσε 22, 18, 15, 10, 15 πόντους αντίστοιχα. Πόσους πόντους κατά μέσο όρο
σημείωνε σε κάθε παιχνίδι ;
4. Ένα κατάστημα ηλεκτρικών ειδών εισέπραξε τον Ιανουάριο 12.000 €, το Φεβρουάριο
14.000 € και το Μάρτιο 16.000 €. Πόσα χρήματα εισέπραξε κατά μέσο όρο τον μήνα, το
πρώτο τρίμηνο της χρονιάς ;
5. Αυτοί είναι οι επισκέπτες του Μουσείου της Βεργίνας για την εβδομάδα που πέρασε :
Δευτέρα Τρίτη Τετάρτη Πέμπτη Παρασκευή
230 300 320 420 285
Πόσοι ήταν κατά μέσο όρο οι επισκέπτες του Μουσείου την εβδομάδα που πέρασε ;
6. Να υπολογίσεις με τι βαθμό θα προαχθεί η Σοφία, που πήρε τους παρακάτω βαθμούς :
Θρησκευτικά 10, Γλώσσα 9, Μαθηματικά 8, Γεωγραφία 9, Αγγλικά 10, Φυσική 7,
Ιστορία 8, Γυμναστική 10, Μουσική 9, Ζωγραφική 9.
7. Το περσινό Φθινόπωρο οι βροχές στην Ημαθία ήταν το Σεπτέμβρη 210 χιλιοστά, τον
Οκτώβρη 330 χιλιοστά και τον Νοέμβρη 420 χιλιοστά. Ποιος ήταν ο μέσος όρος
βροχοπτώσεων αυτούς τους τρεις μήνες ;
8. Η Μαρία αρρώστησε με πυρετό κι η μαμά της της έβαλε θερμόμετρο. Το πρωί το
θερμόμετρο έδειξε 36,8 βαθμούς Κελσίου, το μεσημέρι 39,2 το απόγευμα 39,8 και το
βράδυ 40. Ποιος ήταν κατά μέσο όρο ο πυρετός της την ημέρα αυτή ;
9. Η Βενετία παίρνοντας τη βαθμολογία του Α' τριμήνου λυπήθηκε γιατί εκτίμησε ότι η
βαθμολογία της ήταν χαμηλότερη από αυτήν του Α' τριμήνου της περσινής χρονιάς.
Παρατήρησε τους βαθμούς της. Εκτίμησε σωστά ; Γιατί ;
Βαθμοί 2009 : Γλώσσα 8, Μαθηματικά 9, Ιστορία 10, Φυσική 8, Γεωγραφία 10,
Θρησκευτικά 10, Αγωγή 10, Μουσική 10, Τεχνικά 10, Αγγλικά 8.
Βαθμοί 2010 : Γλώσσα 9, Μαθηματικά 9, Ιστορία 9, Φυσική 9, Γεωγραφία 9,
Θρησκευτικά 10, Αγωγή 9, Μουσική 9, Τεχνικά 10, Αγγλικά 10.

Διαίρεση με το 10, 100, 1.000, …
 Διαιρώντας έναν αριθμό με το 10, 100, 1.000,…
ο αριθμός μικραίνει κατά 10 ή 100 ή 1.000 … φορές
αντίστοιχα.
 Αρκεί λοιπόν να μετακινήσουμε την υποδιαστολή
1, 2 ή 3 θέσεις προς τα αριστερά.
π.χ. 8:10 =
8:100 =
0,8:100 =
0,8
0,08
0,008
Γιάννης Φερεντίνος

Διαίρεση με το 0,1, 0,01, 0,001, …
 Διαιρώντας έναν αριθμό με το 0,1, 0,01, 0,001,…
ο αριθμός μεγαλώνει κατά 10 ή 100 ή 1.000 …
φορές αντίστοιχα.
 Αρκεί λοιπόν να μετακινήσουμε την υποδιαστολή
1, 2 ή 3 θέσεις προς τα δεξιά.
π.χ. 12,3:10 =
12,3:1.000 =
12,3:100 =
123
12.300
1.230

Αναγωγή στη δεκαδική κλασματική
μονάδα (1/10, 1/100, 1/1.000)

Η δεκαδική κλασματική μονάδα και η
αναγωγή σε αυτήν
• Το 1/10 ενός αριθμού ονομάζεται δεκαδική
κλασματική μονάδα.
• Όταν σε ένα πρόβλημα χρησιμοποιούμε το
1/10 ενός αριθμού, λέμε ότι κάνουμε
αναγωγή στη δεκαδική κλασματική μονάδα.

Από το όλο στο 1/10
• Για να υπολογίσουμε το 1/10 ενός ποσού,
δηλαδή τη δεκαδική κλασματική μονάδα,
διαιρούμε το ποσό δια του 10.
(πχ το 1/10 του 350 είναι 350 : 10 = 35)

Από το 1/10 στο όλο
• Αντίστροφα όταν γνωρίζουμε τη δεκαδική
κλασματική μονάδα, η οποία αντιστοιχεί σε
ένα ποσό, και θέλουμε να υπολογίσουμε το
αρχικό ποσό, πολλαπλασιάζουμε το ποσό με
το 10
(πχ αν το 1/10 του ποσού είναι 35, το αρχικό
ποσό είναι 35 * 10 = 350)

Η αναγωγή στη δεκαδική κλασματική
μονάδα βοηθάει στη λύση προβλημάτων,
όταν:
• Γνωρίζουμε όλο το ποσό και θέλουμε να
υπολογίσουμε ένα κλασματικό μέρος του
• Γνωρίζουμε το κλασματικό μέρος του ποσού
και θέλουμε να υπολογίσουμε το αρχικό ποσό
• Γνωρίζουμε το κλασματικό μέρος ενός ποσού
και θέλουμε να υπολογίσουμε ένα άλλο
κλασματικό μέρος του ίδιου ποσού
Γιάννης ΦερεντίνοςΓιάννης Φερεντίνος

Γνωρίζουμε όλο το ποσό και θέλουμε να
υπολογίσουμε ένα κλασματικό μέρος του
• Πχ , αν θέλουμε να βρούμε τα 6/10 του
αριθμού 240, κάνουμε πρώτα αναγωγή στη
δεκαδική κλασματική μονάδα, δηλαδή
βρίσκουμε το 1/10 του 240, που είναι
240: 10=24,
και στη συνέχεια βρίσκουμε τα 6/10,
πολλαπλασιάζοντας το 24 με το 6, δηλαδή
24 * 6 = 144.
Άρα τα 6/10 του 240 είναι 144.

Γνωρίζουμε το κλασματικό μέρος του ποσού
και θέλουμε να υπολογίσουμε το αρχικό ποσό
• Πχ , αν θέλουμε να βρούμε ποιο είναι το
ποσό, του οποίου τα 3/10 είναι 45, κάνουμε
πρώτα αναγωγή στη δεκαδική κλασματική
μονάδα, δηλαδή βρίσκουμε το 1/10 του ποσού,
διαιρώντας 45 : 3 = 15, και στη συνέχεια
βρίσκουμε το αρχικό ποσό, πολλαπλασιάζοντας
το 15 με το 10, δηλαδή 15 * 10 = 150.
Άρα το ζητούμενο (αρχικό) ποσό είναι το 150.

Γνωρίζουμε το κλασματικό μέρος ενός
ποσού και θέλουμε να υπολογίσουμε ένα
άλλο κλασματικό μέρος του ίδιου ποσού
• Πχ , αν θέλουμε να βρούμε πόσο είναι τα
8/10 ενός αριθμού, του οποίου τα 5/10 είναι
115, κάνουμε πρώτα αναγωγή στη δεκαδική
κλασματική μονάδα, δηλαδή βρίσκουμε το
1/10 του 115, που είναι 115 : 5 = 23,
και στη συνέχεια βρίσκουμε τα 8/10,
πολλαπλασιάζοντας το 23 με το 8, δηλαδή
23 * 8 = 184.
Άρα τα 8/10 αυτού του αριθμού είναι το 184.

Ε΄ τάξη

Ποια κλάσματα λέγονται ισοδύναμα
• Κλάσματα τα οποία εκφράζουν την ίδια
ακριβώς ποσότητα, ενώ οι όροι τους είναι
διαφορετικοί, λέγονται ισοδύναμα.
Π.χ. τα κλάσματα 1 και 2 είναι ισοδύναμα.
3 6

Πώς κατασκευάζω ισοδύναμα
κλάσματα;
• Μπορώ να κατασκευάσω ισοδύναμα
κλάσματα με δυο τρόπους:
1. Πολλαπλασιάζοντας τους δυο όρους του
κλάσματος με τον ίδιο αριθμό
Π.χ. 3 = 3*4 = 12
5 5*4 20

Πώς κατασκευάζω ισοδύναμα
κλάσματα;
2. Διαιρώντας τους δυο όρους του κλάσματος
με τον ίδιο αριθμό
Π.χ. 20 = 20:5 = 4
45 45:5 9
• Απλοποίηση ενός κλάσματος λέγεται η
εύρεση ενός ισοδύναμου κλάσματος με
μικρότερους όρους. Αυτό γίνεται διαιρώντας
τους δυο όρους του αρχικού κλάσματος με
τον ίδιο αριθμό.

Πώς ελέγχω αν δυο κλάσματα είναι
ισοδύναμα;
• Ελέγχω αν τα σταυρωτά γινόμενα των δυο
κλασμάτων (άκροι – μέσοι) είναι ίσα.
Αν ναι, τότε είναι ισοδύναμα .
Π.χ. 3 = 6 3 * 10 = 30
5 10 5 * 6 = 30
Τα κλάσματα είναι ισοδύναμα.
Π.χ. 4 7 4 * 9 = 36
6 9 6 * 7 = 42
Τα κλάσματα δεν είναι ισοδύναμα.

Μετατροπή κλάσματος
σε δεκαδικό

Μετατροπή δεκαδικού κλάσματος σε
δεκαδικό αριθμό
• Ένα δεκαδικό κλάσμα μπορεί να γραφτεί ως
δεκαδικός αριθμός, γράφοντας μόνο τον
αριθμητή και κόβοντας από το τέλος με
υποδιαστολή, τόσα δεκαδικά ψηφία όσα είναι
τα μηδενικά του παρονομαστή
Π.χ. 478 = 4,78 35 = 3,5 632 = 0,632
100 10 1.000

Μετατροπή κλάσματος σε δεκαδικό
• Μπορούμε να μετατρέψουμε οποιοδήποτε
κλάσμα σε δεκαδικό αριθμό.
• Η μετατροπή αυτή γίνεται διαιρώντας τον
αριθμητή δια του παρονομαστή του
κλάσματος.
Π.χ. 3 = 3:4 = 0,75 26 = 26:8 = 3,25
4 8
• Αν η διαίρεση είναι ατελής, συνήθως
σταματάμε στα χιλιοστά.

Ομώνυμα κλάσματα
• Κλάσματα τα οποία έχουν ίδιους
παρονομαστές ονομάζονται ομώνυμα.
Π.χ. 3 , 4 , 6 , 8
7 7 7 7
• Όταν δυο κλάσματα είναι ομώνυμα, συγκρίνω
τους αριθμητές. Μεγαλύτερο είναι το κλάσμα
με το μεγαλύτερο αριθμητή.
Π.χ. 4 > 2
6 6

Ετερώνυμα κλάσματα
• Κλάσματα που έχουν διαφορετικούς
παρονομαστές ονομάζονται ετερώνυμα.
Π.χ. 2 , 2 , 3 , 7
5 6 8 3
• Όταν τα κλάσματα είναι ετερώνυμα δεν
μπορούμε να τα συγκρίνουμε άμεσα.

Τρόποι σύγκρισης ετερώνυμων
κλασμάτων
• Υπάρχουν δυο τρόποι σύγκρισης ετερώνυμων
κλασμάτων:
1ος Μετατρέπουμε τα ετερώνυμα κλάσματα σε
δεκαδικούς και τους συγκρίνουμε
2ος Μετατρέπουμε τα ετερώνυμα κλάσματα σε
ισοδύναμά τους ομώνυμα κλάσματα και τα
συγκρίνουμε

Μετατροπή ετερώνυμων κλασμάτων
σε δεκαδικούς αριθμούς
• Μετατρέπουμε τα ετερώνυμα κλάσματα σε
δεκαδικούς αριθμούς και συγκρίνουμε τους
δεκαδικούς
Π.χ. για να συγκρίνουμε τα κλάσματα
3 και 10 , τα μετατρέπουμε σε δεκαδικούς
5 15
δηλαδή 3:5 = 0,6 και 10:15 = 0,67
και αφού 0,6 < 0,67 άρα 3 < 10
5 15

Μετατροπή ετερώνυμων κλασμάτων
σε ομώνυμα κλάσματα
• Μετατρέπουμε τα ετερώνυμα κλάσματα σε
ισοδύναμα ομώνυμα, πολλαπλασιάζοντας
τους δυο όρους (αριθμητή και παρονομαστή)
με τον ίδιο αριθμό και συγκρίνουμε.

• Για να συγκρίνουμε τα κλάσματα
2 και 3 , τα μετατρέπουμε σε ομώνυμα
3 4 Ε.Κ.Π. (3,4) = 12
Άρα 2 = 2*4 = 8 και 3 = 3*3 = 9
3 3*4 12 4 4*3 12
Αφού 8 < 9  2 < 3
12 12 3 4
Το 3 στο 12 χωράει 4 και
το 4 στο 12 χωράει 3

 Οι δεκαδικοί αριθμοί μπορούν να
μετατραπούν σε δεκαδικά κλάσματα και,
αντίστροφα, τα δεκαδικά κλάσματα να
μετατραπούν σε δεκαδικούς αριθμούς.
π.χ. το 0,4 γίνεται 4 και αντίστροφα.
10
το 25 γίνεται 0,25 και αντίστροφα.
100

Μετατροπή δεκαδικού αριθμού
σε κλάσμα
Για να μετατρέψουμε ένα δεκαδικό αριθμό
σε κλάσμα:
 Γράφουμε ολόκληρο τον αριθμό, χωρίς
την υποδιαστολή, στη θέση του
αριθμητή.
 Στη θέση του παρονομαστή γράφουμε τον
αριθμό 1, με τόσα μηδενικά όσα ήταν τα
δεκαδικά ψηφία του αριθμού.

Το 2,34 γίνεται κλάσμα με αριθμητή το 234
και παρονομαστή το 100, αφού ο αριθμός
έχει δύο δεκαδικά ψηφία.
Δηλαδή 2,34 = 234
100

Για να μετατρέψουμε ένα δεκαδικό κλάσμα
σε δεκαδικό αριθμό:
 Γράφουμε μόνο τον αριθμητή του.
 Χωρίζουμε με υποδιαστολή, από τα δεξιά
προς τ’ αριστερά, τόσα δεκαδικά ψηφία
όσα μηδενικά έχει ο παρονομαστής του.

 Το 583 = 0,583
1.000
γιατί ο αριθμός έχει τρία μηδενικά
στον παρονομαστή.

Στατιστική – Μέσος όρος

Τι είναι ο μέσος όρος;
• Όταν έχουμε μια σειρά από μετρήσεις, οι
οποίες αφορούν το ίδιο θέμα, μπορούμε να
τις προσθέσουμε και να διαιρέσουμε το
άθροισμα με το πλήθος των μετρήσεων.
• Ο αριθμός που προκύπτει ονομάζεται μέσος
όρος των μετρήσεων

Γιατί χρειαζόμαστε το μέσο όρο;
• Ο μέσος όρος είναι πολύ χρήσιμος σε
διάφορες περιπτώσεις:
I. Αντιπροσωπεύει με σαφή τρόπο μια ομάδα
μετρήσεων.
II. Διευκολύνει τη σύγκριση ανάμεσα σε δυο ή
περισσότερες ομάδες μετρήσεων.
III. Επιτρέπει την πρόβλεψη μιας μέτρησης.

Αντιπροσώπευση μιας ομάδας
μετρήσεων (Μ.Ο.)
• Π.χ. Ένας μαθητής της Ε΄ Δημοτικού πήρε στο α΄
τρίμηνο τους εξής βαθμούς στα 10 μαθήματα :
Γλώσσα 9, Μαθηματικά 10, Φυσική 10, Ιστορία 9,
Θρησκευτικά 10, Γεωγραφία 8, Κ.Π.Α. 9, Αγγλικά 9,
Φυσική Αγωγή 10, Αισθ. Αγωγή 9
Ο μέσος όρος των μαθημάτων του είναι:
9+10+10+9+10+8+9+9+10+9 = 93 = 9,3
10 10
Ο μέσος όρος (Μ.Ο.) του είναι 9,3.

Σύγκριση ανάμεσα σε ομάδες
μετρήσεων
• Π.χ. Ένας άλλος συμμαθητής του πήρε τους εξής
βαθμούς για το α΄ τρίμηνο:
Γλώσσα 10, Μαθηματικά 10, Φυσική 9, Ιστορία 10,
Θρησκευτικά 10, Γεωγραφία 9, Κ.Π.Α. 9, Αγγλικά 9,
Φυσική Αγωγή 9, Αισθ. Αγωγή 9
Για να βρούμε ποιος είχε την καλύτερη επίδοση
υπολογίζουμε το μέσο όρο των βαθμών του:
10+10+9+10+10+9+9+9+9+9 = 94 = 9,4
10 10
Άρα ο β΄ μαθητής έχει καλύτερη επίδοση.Γιάννης Φερεντίνος

Πρόβλεψη μιας μέτρησης
• Π.χ. Αν ένας παίχτης του μπάσκετ στους 8
προηγούμενους αγώνες της ομάδας του
σημείωσε τους εξής πόντους :
14, 17, 15, 12, 6, 16, 17, 14 - Ο μέσος όρος είναι:
14+17+15+12+6+16+17+14 = 111 = 13,875
8 8
Στον επόμενο αγώνα είναι πιθανό να σημειώσει
περίπου 14 πόντους.

Τόνια
Μέσος όρος
Πολλές φορές χρειάζεται να περιγράψουμε ένα πλήθος
δεδομένων με μια μόνο τιμή. Σε τέτοιες περιπτώσεις
χρησιμοποιούμε το μέσο όρο (ή μέση τιμή).
Ο μέσος όρος μας βοηθά στη σύγκριση, στην εκτίμηση και στην
πρόβλεψη.
Για να βρούμε το μέσο όρο (Μ.Ο.), προσθέτουμε τους αριθμούς
αυτούς και το άθροισμά τους το διαιρούμε με τον αριθμό
που φανερώνει το πλήθος τους.
Άθροισμα αριθμών
Μ.Ο. = --------------------------------
Πλήθος αριθμών
Π Α Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α
Ο παρακάτω πίνακας δείχνει πόσους φυσικούς χυμούς πούλησε το κυλικείο
ενός σχολείου σε διάστημα μιας εβδομάδας.
35 30 45 25 15
Βρίσκω το μέσο όρο (Μ.Ο.) των φυσικών χυμών που πούλησε τη μία
μέρα.
Άθροισμα αριθμών 35 + 30 + 45 + 25 + 15 150
Μ.Ο. = --------------------------- = -------------------------------- = -------- = 30
Πλήθος αριθμών 5 5
Ο αριθμός 30 δείχνει περιληπτικά τις πωλήσεις χυμών την ημέρα.
Δευτέρα; 35
Τρίτη; 30
Τετάρτη; 45
Πέμπτη; 25
Παρσκευή; 15
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
Δευτέρα Τρίτη Τετάρτη Πέμπτη Παρσκευή

Τόνια
Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ
1. Μια ομάδα μπάσκετ σημείωσε στους πέντε πρώτους αγώνες που έδωσε
τους παρακάτω πόντους:
α΄ αγώνας β΄ αγώνας γ΄ αγώνας δ΄ αγώνας ε΄ αγώνας
85 80 75 95 100
α.) Να δείξεις τους πόντους που πέτυχε η ομάδα σε ραβδόγραμμα.
65
70
75
80
85
90
95
100
α΄ αγ. β΄ αγ. γ΄ αγ. δ΄ αγ. ε΄ αγ.
β.) Πόσους πόντους κατά μέσο όρο πέτυχε η ομάδα σε κάθε αγώνα;
Λύση:
Απάντηση:
2. Μία ομάδα μπάσκετ έχει δώδεκα παίκτες. Οι δύο έχουν ανάστημα 2,14
μ., οι τρείς 2,09 μ., οι δύο 2,06 μ., οι τρεις 2,03 μ. και οι δύο 1,98 μ.
Να βρεθεί η μέση τιμή του αναστήματος των παικτών.
Λύση:
Απάντηση:

Τόνια
3. Ο Χρήστος πήρε σε δύο μαθήματα 10, σε τρία πήρε 9, σε ένα πήρε 8,
σε τρία πήρε 7 και σε δύο πήρε 6. Με τι βαθμό θα προβιβαστεί;
Λύση:
Απάντηση:
4. Η Μυρτώ κατέγραψε στον παρακάτω πίνακα τη θερμοκρασία της
προηγούμενης βδομάδας. α.) Δείχνω με ραβδόγραμμα τα δεδομένα του
πίνακα, β.) Βρίσκω το Μ. Ο. της θερμοκρασίας.
Δευτέρα Τρίτη Τετάρτη Πέμπτη Παρασκευή Σάββατο Κυριακή
9,5ο C 10,5ο C 11ο C 11,5ο C 12,5ο C 13,5ο C 12ο C
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
ΔΕΥΤ. ΤΡ. ΤΕΤ. ΠΕΜΠ. ΠΑΡ. ΣΑΒΒ. ΚΥΡ.
Λύση:
Απάντηση:

Τόνια
5. Ο παρακάτω πίνακας δείχνει πόσες τυρόπιτες πούλησε το κυλικείο ενός
σχολείου τις πέντε εργάσιμες ημέρες μιας εβδομάδας. Βρίσκω το Μ. Ο.
των τυροπιτών που πούλησε τη μία μέρα και τον παρουσιάζω στο
ραβδόγραμμα:
0
20
40
60
80
100
Δευτ. Τρ. Τετ. Πέμπ. Παρ.
Μ.Ο.: ………………………………………………………………………………………………
Απάντηση: ………………………………………………………………………………………..
6. Το Αρχαιολογικό Μουσείο Αθηνών επισκέφτηκαν τον Οκτώβριο 250
μαθητές, τον Νοέμβριο 300 μαθητές, τον Δεκέμβριο 400 μαθητές και
τον Φεβρουάριο 350 μαθητές. α.) Πόσοι μαθητές το μήνα, κατά μέσο
όρο, επισκέφτηκαν το Μουσείο; β.) Να συμπληρώσεις σωστά το
ραβδόγραμμα.
Λύση:
Απάντηση:
0
100
200
300
400
500
Οκτ. Νοεμ. Δεκ. Ιαν. Φεβ.
Ημέρες Τυρόπιτες
Δευτέρα 70
Τρίτη 60
Τετάρτη 90
Πέμπτη 50
Παρασκευή 30

Δύο κλάσματα είναι ισοδύναμα όταν φανερώνουν το
ίδιο μέρος μιας ποσότητας, π.χ.
― = ―
4
5
8
10
4 8
5 10
Rizos Tzalakostas

Για να ελέγξουμε δύο κλάσματα αν είναι ισοδύναμα
πολλαπλασιάζουμε τους όρους των κλασμάτων
"χιαστί." Αν προκύψουν ίσα γινόμενα τότε τα
κλάσματα είναι ισοδύναμα.
4x10=40
5x8=40
Άρα τα κλάσματα είναι ισοδύναμα αφού τα χιαστί
γινόμενα είναι ίσα
4
5
8
10
5
2
8
3 3x5=15
2x8=16
Τα χιαστί γινόμενα δεν είναι ίσα, άρα τα κλάσματα
δεν είναι ισοδύναμα

Δημιουργώ ισοδύναμα κλάσματα πολλαπλασιάζοντας ή
διαιρώντας και τους δύο όρους ενός κλάσματος με τον ίδιο
αριθμό π.χ.
Δημιουργώ ισοδύναμα κλάσματα
3 4
5 4
= 12
= 20

18 :2
20 :2
= 9
=10
Η τεχνική παραγωγής ισοδύναμων κλασμάτων διαιρώντας και τους
δύο όρους ενός κλάσματος με τον ίδιο αριθμό ονομάζεται απλοποίηση.
Για να διαιρέσω και τους δύο όρους με τον ίδιο διαιρέτη θα πρέπει να
βρω τους κοινούς διαιρέτες τους.

Απλο……ποίηση
7 :7
28 :7 4
1
Είναι προτιμότερο να χρησιμοποιήσουμε το
κλάσμα για να εκφράσουμε το μέρος
μιας ποσότητας παρά το
1
4
28
7
=
Το κλάσμα ονομάζεται ανάγωγο κλάσμα επειδή δεν
απλοποιείται άλλο.
1
4
Παράδειγμα1

8 :2
12 :2
Παράδειγμα 2
=
4
6
Προσοχή το κλάσμα δεν
ονομάζεται ανάγωγο επειδή οι όροι του
απλοποιούνται κι άλλο.
4
6
4
6
=
2
3
Το κλάσμα είναι ανάγωγο.
Οι όροι του δεν έχουν κάποιον
κοινό διαιρέτη ,άρα δεν
μπορούμε να τους διαιρέσουμε
άλλο.
2
3
Απαραίτητη προϋπόθεση για να κάνω απλοποίηση σ’ ένα
κλάσμα είναι να έχουν οι όροι του κάποιον κοινό διαιρέτη
εκτός του 1.
:2
:2

Κλάσματα- κλασματικές μονάδες- κλασματικοί
αριθμοί
Κλάσμα ονομάζεται ο αριθμός που φανερώνει ένα μέρος μιας
ποσότητας. Σχηματίζεται από δύο φυσικούς αριθμούς, τον
αριθμητή και τον παρονομαστή που χωρίζονται μεταξύ τους
από την κλασματική γραμμή.
Μορφή κλάσματος
4
7
Όταν ο αριθμητής είναι 1 το κλάσμα ονομάζεται
κλασματική μονάδα
4
1

Σύγκριση κλασμάτων με την ακέραιη μονάδα
1η Περίπτωση. Όταν ο αριθμητής είναι
μικρότερος από τον παρονομαστή
τότε το κλάσμα είναι μικρότερο
από τη μονάδα
<
Γνήσιο κλάσμα
4
9
1
2η Περίπτωση. Όταν ο αριθμητής είναι ίσος με τον παρονομαστή τότε το
κλάσμα είναι
ίσο με τη μονάδα = 1
8
8

3η Περίπτωση.
Όταν ο αριθμητής είναι μεγαλύτερος από τον παρονομαστή
τότε το κλάσμα είναι μεγαλύτερο από τη μονάδα
(καταχρηστικό κλάσμα).
Στην περίπτωση αυτή εξάγουμε τις ακέραιες μονάδες και
σχηματίζουμε μεικτό αριθμό. = + =
9
5 5
4
5
5
5
4
1
5
4
1

Μετατροπή καταχρηστικού κλάσματος σε μεικτό και αντίστροφα.
Παραδείγματα.
15
4
4
4
4
4
4
4
3
4
3
4
3
= ή + + + =3
3
4 4
15
44
4
4
44
4
3 15
4
3
3
4
= + + + =

Πολλαπλασιάζουμε τον ακέραιο του μεικτού με τον
παρονομαστή του κλάσματος ( 3 4 =12 )
 Προσθέτουμε σε αυτό που βρήκαμε τον αριθμητή του
μεικτού 12 +3=15. Το αποτέλεσμα αυτής της πράξης είναι ο
αριθμητής του καταχρηστικού κλάσματος.
Παρονομαστής του κλάσματος παραμένει ο παρονομαστής
του μεικτού.
Αυτός είναι ένας γρήγορος τρόπος για να μετατρέψουμε ένα
μεικτό αριθμό σε κλάσμα .
Ρίζος Τζαλακώστας

3η
Ενότητα
Πρέπει να ξέρουμε πολύ καλά:
1. α)Τι είναι τα κλάσματα
β)Ποιοι είναι οι όροι ενός κλάσματος
2. Τι είναι τα ομώνυμα και τι τα ετερώνυμα κλάσματα
3. Ποια είναι τα γνήσια και ποια
τα καταχρηστικά κλάσματα
4. Ποια κλάσματα λέμε ότι είναι ίσα με την ακέραια
μονάδα
5. Τι είναι οι κλασματικές μονάδες
6. α)Ποια κλάσματα λέμε ισοδύναμα
β)Πώς φτιάχνω ισοδύναμα κλάσματα
γ) Τι είναι η απλοποίηση
7) Πώς μετατρέπω ένα κλάσμα σε δεκαδικό αριθμό
8)Πώς μεγαλώνω ένα κλάσμα
9)Πώς μικραίνω ένα κλάσμα
10) Πώς συγκρίνω ομώνυμα κλάσματα
11) Πώς συγκρίνω ετερώνυμα κλάσματα με ίδιο αριθμητή
12)Πώς συγκρίνω ετερώνυμα κλάσματα γενικά
επίσης ...
πώς κάνω Αναγωγή στη δεκαδική κλασματική μονάδα
πώς πολ/ζω και διαιρώ με το 10, 100, 1000
Ioanna prangiou

Τσάντζου Ελένη
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (Ε΄ ΤΑΞΗ) ΟΝΟΜΑ: …………………………………………..………
(ΔΙΑΒΑΖΩ ΜΕ ΠΡΟΣΟΧΗ ΚΑΙ ΜΑΘΑΙΝΩ ΚΑΛΑ:)
ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΔΕΚΑΔΙΚΗ ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΗ ΜΟΝΑΔΑ
 Δεκαδικές κλασματικές μονάδες είναι οι αριθμοί (οι μονάδες) 1/10, 1/100, 1/1000.
 Αναγωγή στη δεκαδική κλασματική μονάδα είναι η διαδικασία που ακολουθώ (οι
πράξεις που κάνω) για να βρω την τιμή της κλασματικής μονάδας.
Σε προβλήματα που λύνονται με αναγωγή στην κλασματική μονάδα συναντώ συνήθως τις
δύο παρακάτω περιπτώσεις:
1 η
π ε ρ ί π τ ω σ η : Γ ν ω ρ ί ζ ω έ ν αν α ρ ι θ μ ό κ αι ψ ά χ ν ω ν α β ρ ω έ ν α
κ λ α σ μ α τ ι κ ό τ ο υ μ έ ρ ο ς .
Π.χ.:
Να βρεις τα 3/10 του 150.
ΛΥΣΗ
α) Αφού τα 10/10 του αριθμού (δηλαδή όλος ο αριθμός) είναι 150, το 1/10 του αριθμού
είναι 150:10 = 15 (αναγωγή στη δεκ. κλασματική μονάδα)
β) Αφού, τώρα, το 1/10 του αριθμού είναι 15, τα 3/10 του αριθμού είναι 3Χ15=45.
Απαντώ: Τα 3/10 του 150 είναι ο αριθμός 45.
2 η
π ε ρ ί π τ ω σ η : Γ ν ω ρ ί ζ ω τ ο κ λ α σ μ α τ ι κ ό μ έ ρ ο ς ε ν ό ς α ρ ι θ μ ο ύ α λ λ ά
δ ε γ ν ω ρ ί ζ ω π ο ι ο ς ε ί ν αι α υ τ ό ς ο α ρ ι θ μ ό ς .
Π.χ.:
Τα 5/100 ενός αριθμού είναι ίσα με 2.500. Ποιος είναι ο αριθμός αυτός;
ΛΥΣΗ
α) Αφού τα 5/100 του αριθμού είναι 2.500, το 1/100 του αριθμού είναι 2.500:5= 500
(αναγωγή στη δεκ. κλασματική μονάδα)
β) Αφού, τώρα, το 1/100 του αριθμού είναι 500, τα 100/100 του αριθμού (όλος ο αριθμός
δηλαδή) είναι 100Χ500=50.000
Απαντώ: Ο αριθμός που ψάχνω είναι ο αριθμός 50.000
Ε Π Α Ν Α Λ Η Π Τ Ι Κ Α

Τσάντζου Ελένη
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1) Να βρεις με τον πρώτο τρόπο (1η
περίπτωση) τα κλασματικά μέρη των
αριθμών:
Να βρεις τα 4/10 του 360:
ΛΥΣΗ
Αφού τα 10/10 (όλος ο αριθμός) = …
το 1/10=
τα 4/10=
ΑΠΑΝΤΩ:
Να βρεις τα 7/100 του 6.300:
ΛΥΣΗ
ΑΠΑΝΤΩ:
Να βρεις τα 19/1000 του 3.819:
ΛΥΣΗ
ΑΠΑΝΤΩ:
2) Να βρεις με το δεύτερο τρόπο (2η
περίπτωση) τους αριθμούς.
Τα 8/10 ενός αριθμού είναι ίσα με 72. Ποιος είναι ο αριθμός;
ΛΥΣΗ
Αφού τα 8/10 = …
το 1/10=
τα 10/10 (όλος ο αριθμός) =
ΑΠΑΝΤΩ:
ΛΥΣΗ
ΑΠΑΝΤΩ:
ΛΥΣΗ
ΑΠΑΝΤΩ:

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 3ης
ΕΝΟΤΗΤΑΣ
Ονοματεπώνυμο:………………………………………………. Ημερομηνία:
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. Να κάνετε με γρήγορο τρόπο τους παρακάτω πολλαπλασιασμούς και διαιρέσεις:
635 . 10 = 635 : 10 =
635 . 100 = 635 : 100 =
635 . 1000 = 635 : 1000 =
1,234 . 10 = 1,2 : 10 =
1, 234 . 100 = 1,2 : 100 =
1,234 . 1000 = 1,2 :1000 =
2. Να διατάξετε τα παρακάτω κλάσματα από το μικρότερο στο μεγαλύτερο:
2
1
,
4
1
,
3
1
,
11
1
,
9
1
,
7
1
………..<………..< …………< …………..<…………..<………….
3. Να συμπληρώσετε με τα σύμβολα μικρότερο (<) και μεγαλύτερο ( > ) τα κενά:
5
1
…….
6
1
,
4
3
…….. 1 ,
7
4
……….
8
4
,
5
6
……….1
4. Να συμπληρώσετε την παρακάτω σειρά ισοδύναμων κλασμάτων:
4
1
=
8
=
3
=
16
=
5
=
7
=
10
5. Οι παρακάτω θερμοκρασίες καταγράφηκαν στις 25/05/2007 στη Ρόδο:
Ώρα 00:00 03:00 06:00 09:00 12:00 15:00 18:00 21:00
Βαθμοί 16,3 16,8 17,3 22,4 26,1 28 22,2 19,7
Ποιος ήταν ο Μ.Ο θερμοκρασίας ( μέση θερμοκρασία) εκείνη τη μέρα;

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
1. Σε έναν κήπο υπάρχουν 270 λουλούδια . Αν τα τριαντάφυλλα είναι τα
9
4
των
λουλουδιών, πόσα τριαντάφυλλα βρίσκονται στον κήπο;
2. Σε μια κατασκήνωση υπάρχουν 240 παιδιά . Τα
10
4
των παιδιών είναι κορίτσια:
Πόσα είναι τα αγόρια και πόσα τα κορίτσια;
3 Η χιλιομετρική απόσταση Αθήνας- Θεσ/νίκης είναι 520 χιλιόμετρα. Ένας οδηγός
διένυσε τα
10
7
της διαδρομής και έφτασε στη Λάρισα. Πόσα χιλιόμετρα του
απομένουν ακόμη για να φτάσει στη Θεσ/νίκη;
4.Ένας ψαράς πούλησε τα
10
7
των ψαριών που είχε και του περίσσεψαν 24 κιλά.
Πόσα κιλά ψάρια είχε αρχικά;
Τσεχελίδης Ιωάννης

Θανάσης Πρέντζας
Κριτήριο Αξιολόγησης
Τάξη: Ε΄
Ενότητα: 3η
Ονοματεπώνυμο:
Ημερομηνία:
1. Συμπληρώνω τους αριθμούς που λείπουν:
3,35 × 10 = ................
25,4 × …… = 2.540
35,6 × 100 = ................
55,8 × 100 = ................
7,3 ∶ ...... = 0,0073
8 ∶ 1.000= ................
5,18 × ...... = 518
0,013× 100 = ................
2,009× 1.000= ................
254 : 100 = ................
156,8: ...... = 1,568
45,1 : ...... = 0,451
2. Να βάλεις τις κλασματικές μονάδες στη σειρά από τη μικρότερη στη
μεγαλύτερη:
3. Να συμπληρώσετε τα κενά με τον κατάλληλο αριθμό, ώστε τα κλάσματα να
είναι ισοδύναμα:
= = =
= = =

4. Να γίνουν τα κλάσματα δεκαδικοί:
5. Απλοποιώ τα παρακάτω κλάσματα:
6. Να γίνουν οι πράξεις:
α)
β)
γ)
δ)
7. Προβλήματα:
α) Είχα στο πορτοφόλι μου 36 €. Από αυτά έδωσα τα για ν’ αγοράσω ένα
βιβλίο. Πόσα χρήματα πλήρωσα για το βιβλίο και πόσα μου έμειναν; (αναγωγή)
Λύση
Απάντηση:

β) Ένας ανθοπώλης αγόρασε 100 τριαντάφυλλα. Τα των τριαντάφυλλων ήταν
λευκά, το ήταν κόκκινα και το ήταν ροζ. Ποια τριαντάφυλλα ήταν τα λιγότερα;
Λύση
Απάντηση:
8. Να γίνουν οι πράξεις:
α)
β)
γ)
δ)

σελίδα 1 Αναγνώστου Χρήστος 90ο
Δ.Σ. Αθηνών 21/1/2008
ΤΑΞΗ Ε΄ Ονοματεπώνυμο: …………………………………………
2o Κριτήριο αξιολόγησης
Μάθημα: Μαθηματικά Ενότητα: 3η
Κεφάλαια: 14 – 21
1. Να βάλεις Σ για το σωστό και Λ για το λάθος.
α)
10
12
=
20
24
....... β) 3,750  100 = 37,50 ....... γ)
5
4
-
10
3
=
10
5
..... δ)
3
1
<
4
6
<
5
16
..........
2.Να κάνεις την αντιστοίχιση:
10
6
■ ■ 0,06
1000
6
■ ■ 0,0006
100
6
■ ■ 0,6
10000
6
■ ■ 0,006
3.Να μετατρέψεις τους μεικτούς σε κλάσματα:
6
3
2
=........ 3
4
3
=......... 9
5
3
=......... 30
2
1
= ............. 3
5
4
= ..........
4. Να μετατρέψεις τα παρακάτω καταχρηστικά κλάσματα σε μεικτούς:
5
16
= .......
4
9
= ..........
6
19
=.........
3
25
=..........
2
17
=........
5. Συμπληρώνω τα κενά με τον κατάλληλο αριθμό, ώστε τα κλάσματα να είναι
ισοδύναμα:
α)
7
1
=
....
6
β)
10
4
=
5
....
γ)
6
3
=
....
30
δ)
10
2
=
20
....
ε)
12
6
=
....
1
6.Τα παρακάτω κλάσματα να τα κάνεις 5 φορές μικρότερα και 5 φορές
μεγαλύτερα.
5 φορές μικρότερο αρχικό κλάσμα 5 φορές μεγαλύτερο
...
....
ή
...
....
10
4
...
....
ή
...
....
...
....
ή
...
....
40
30
...
....
ή
...
....

σελίδα 2 Αναγνώστου Χρήστος 90ο
Δ.Σ. Αθηνών 21/1/2008
7. Να συμπληρώσεις τα κενά:
α)
7
1
+
...
...
= 1 β)
10
6
+
...
...
=1 γ)
4
1
+
...
...
= 1 δ)
5
3
+
...
...
= 2
8. Να μετατρέψεις τα παρακάτω κλάσματα σε δεκαδικούς αριθμούς.
α)
5
3
ή 3 : 5 = ........... β)
4
3
ή ..........= ............γ)
10
7
ή ..........=............ δ)
2
9
ή .......= ............
9. Ο Μ. Ο. και στις 2 σειρές είναι ο ίδιος. Να συμπληρώσεις ό,τι λείπει.
1η
σειρά 3,5 4 1,5 2,5 0,5 Μ. Ο. = ......................................
2η
σειρά 2
2
1
2
9
2 1,5 .........
10. Ο Τάσος είδε στο καφεκοπτείο ότι τα
10
4
του κιλού καφέ κοστίζουν 10 € .
Αν αγοράσει
10
7
του κιλού, πόσα χρήματα θα πληρώσει;
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
....................................................................................................................................

Γιάννης Μαυροζούμης
ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΔΕΚΑΔΙΚΗ ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΗ ΜΟΝΑΔΑ I (ΚΕΦ 15)
ΟΝΟΜΑ: ……………………………………………………………………..…. ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ………../ 11/ 08
α. Η Ναταλία έκανε δώρο στη μητέρας της μια
ανθοδέσμη με 20 τριαντάφυλλα. Απ’ αυτά τα 6/10
ήταν κόκκινα και τα υπόλοιπα 4/10 ήταν άσπρα. Πόσα
ήταν τα κόκκινα και πόσα τα άσπρα?
 …………………………………………………………………….…
 …………………………………………………………………….…
 …………………………………………………………………….…
 ……………………………………………………………………….
Απάντηση: …………………………………………………………………
β. Στην τάξη του Βαγγέλη φοιτούν 30 παιδιά. Από
αυτά τα 7/10 είναι αγόρια και τα υπόλοιπα 3/10
είναι κορίτσια. Πόσα αγόρια και πόσα κορίτσια έχει
η τάξη του Βαγγέλη?
 …………………………………………………………………
 …………………………………………………………..……
 …………………………………………………………………
 …………………………………………………………………
Απάντηση: …………………………………………………………
γ. Η Αριάδνη έβαλε τις καλοκαιρινές της φωτογραφίες
σε ένα άλμπουμ. Αν τα 2/10 των φωτογραφιών είναι
12 φωτογραφίες:
α. Πόσες είναι το 1/10 των φωτογραφιών?
 …………………………………………………………………….…
 ……………………………………………………………………….
β. Πόσες φωτογραφίες έχει συνολικά στο
άλμπουμ?
 …………………………………………………………………….…
Απάντηση: …………………………………………………………………
δ. Η γιαγιά της Μαρίας έχει ηλικία όσο τα 8/10 του
αιώνα. Η ηλικία της μητέρας της είναι ίση με 6/10
της ηλικίας της γιαγιάς.
α. Πόσων ετών είναι η γιαγιά?
 …………………………………………………………………
β. Πόσων ετών είναι η μητέρας της?
 …………………………………………………………………
 …………………………………………………………………
Απάντηση: ……………………………………………………….…
ΥΠΟΛΟΓΙΣΕ
α. Ένας πειρατής είχε στο σεντούκι του 650
νομίσματα. Τα 3/10 είναι χρυσά και τα υπόλοιπα
ασημένια. Πόσα είναι τα χρυσά και πόσα τα ασημένια?
β. Τα 7/10 των παιδιών ενός σχολείου είναι
κορίτσια. Αν τα αγόρια είναι 114, πόσα είναι όλα
μαζί τα παιδιά του σχολείου?

γ. Στο βραδύποδα (ή τεμπέλη)αρέσει πολύ ο ύπνος,
ώστε να αφιερώνει σ’ αυτόν τα 8/10 της συνολικής του
ζωής. Σε όλη του τη ζωή κοιμάται συνολικά 30 χρόνια
κατά μέσο όρο. Πόσα χρόνια ζει ο βραδύποδας?
δ. Η Ξανθίππη είναι 12 ετών. Η ηλικία της είναι ίση
με τα 3/10 της ηλικίας της μητέρας της. Πόσων ετών
είναι η μητέρα της Ξανθίππης?
ε. Ο κ. Κώστας είναι οδηγός ταξί και πρέπει να
διανύσει με το αυτοκίνητο του 490 χιλιόμετρα. Μέχρι
τώρα έχει διανύσει τα 7/10 της απόστασης.
α. Πόσα χμ. έχει διανύσει μέχρι τώρα?
β. Πόσα χμ. του απομένουν να διανύσει ακόμα?
ζ. Η μητέρα αγόρασε από τη λαϊκή 0,8 του κιλού
κεράσια και έδωσε 4€. Πόσο κοστίζει το ένα κιλό
κεράσια?

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ:
17Ο ΙΣΟΔΥΜΑΝΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ - 18Ο ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΣΕ ΔΕΚΑΔΙΚΟ –
19Ο ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ 20Ο ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΑΡΙΘΜΩΝ
ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: …………………………………………………………………………… ΗΜ/ΝΙΑ: ………….………
1. Ας θυμηθούμε πρώτα τους πολλαπλασιασμούς και τις διαιρέσεις με το 10, 100 και 1000.
α) 15Χ10= …………… ζ) 584,2 : 10 = ……………
β) 15Χ100= …………… η) 584,2 : 100 = ……………
γ) 15Χ10000= …………… θ) 584,2 : 1000 = ……………
δ) 235 : 10= …………… ι) 24,84 : 100 = ……………
ε) 235 : 100= …………… ια) 145,6 : 10 = ……………
στ) 235 : 1000= …………… ιβ) 0,72 : 1000 = ……………
2. Βρίσκω όπως στα παραδείγματα:
α Το
10
1
του 50 -> 50 : 10 = 5 δ Το
10
2
του 80 ->
80:10=8
2 Χ 8=16
β Το
10
1
του 500 -> ε Το
10
6
του 60 ->
γ Το
10
1
του 13 -> στ Το
10
3
του 30 ->
3. Βάζω στη σειρά τις επόμενες κλασματικές μονάδες, αρχίζοντας από τη μεγαλύτερη και βάζοντας το
σύμβολο της ανισότητας > , <.
5
1
,
12
1
,
3
1
,
6
1
,
7
1
,
4
1
,
8
1
,
15
1
………………………………………………………………………………………
4. Συμπληρώνω τις ισότητες:
α)
100
40
=
1000
=
10
β)
100
90
=
1000
=
10
γ)
1000
300
=
100
=
10
δ)
10
12
=
100
=
1000
5. Φτιάχνω ισοδύναμα κλάσματα.
α) με πολλαπλασιασμό β) με διαίρεση
4
1
= = = =
135
45
= = = =
6. Να απλοποιηθούν τα κλάσματα ώστε να γίνουν ανάγωγα.
50
25
=
49
21
=
15
9
=
200
100
=
40
32
=
21
12
=

7. ΠΡΟΒΛΗΜΑ: Ο Άλκης τελείωσε ένα κριτήριο Μαθηματικών σε
10
5
και ο Πέτρος σε
10
4
της ώρας. Ποιος
τέλειωσε πρώτος;
Εκτιμώ: Βρίσκω με ακρίβεια:
8. ΠΡΟΒΛΗΜΑ: Η Μαρία τελείωσε το δικό της κριτήριο Μαθηματικών σε
12
5
της ώρας και η Νίκη σε
6
2
της ώρας. Ποια τελείωσε πρώτη;
Εκτιμώ: Βρίσκω με ακρίβεια:
8. Γράφω τους παρακάτω δεκαδικούς αριθμούς με δύο ισοδύναμα κλάσματα, όπως στο παράδειγμα:
0,12 =
100
12
=
1000
120
3,25 = = 4,5 = =
0,6 = = 0,08 = = 1,2 = =
9. Μετατρέπω τα παρακάτω κλάσματα σε δεκαδικούς αριθμούς (με διαίρεση) και τους γράφω στη σειρά
αρχίζοντας από το μικρότερο, βάζοντας το σύμβολο της ανισότητας:
8
5
,
12
9
,
10
6
,
50
20
,
50
25
,
15
12
…………………………………………………………………………………………………
10. Μικραίνω δύο φορές τα κλάσματα (διαιρώντας Μεγαλώνω δύο φορές τα κλάσματα (πολ/ζοντας
τον αριθμητή ή πολ/ζοντας τον παρονομαστή) τον αριθμητή ή διαιρώντας τον παρονομαστή)
11.
Εκφράζω τα
5
2
4 κιλά με τέσσερις διαφορετικούς τρόπους:
12. Η Δέσποινα αγόρασε
8
7
του κιλού σταφύλια. Πόσα ευρώ (€) πλήρωσε, αν το
4
1
του κιλού κοστίζει 2;
α)
6
2
 α)
4
3

β)
10
8
 β)
8
3

γ)
12
10
 γ)
40
10

δ)
50
20
 δ)
60
12


ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ:
17Ο ΙΣΟΔΥΜΑΝΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ - 18Ο ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΣΕ ΔΕΚΑΔΙΚΟ –
19Ο ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ 20Ο ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΑΡΙΘΜΩΝ
ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: …………………………………………………………………………… ΗΜ/ΝΙΑ: ………….………
Ας θυμηθούμε, λοιπόν, κάποια στοιχεία από τη θεωρία των κεφαλαίων.
 Κεφ. 17. α. Ομώνυμα (
7
3
και
7
5
) και ετερώνυμα (
9
5
και
10
7
) κλάσματα
β. Σειρά ισοδυνάμων κλασμάτων (με πολ/σμό και με διαίρεση)
4
3
=
8
6
=
12
9
20
12
=
10
6
=
5
3
γ. Απλοποίηση (δηλ. διαίρεση αριθμητή και παρονομαστή με τον ίδιο αριθμό)
30
21
=
3:30
3:21
=
10
7
(ανάγωγο κλάσμα)
 Κεφ. 18. α. Κλάσματα μικρότερα, μεγαλύτερα και ίσα με την ακέραιη μονάδα (1)
5
3
< 1 (επειδή 3<5)
5
8
> 1 (επειδή 8>5 ) και
4
4
= 1
β. Κάθε κλάσμα φανερώνει διαίρεση αριθμητή δια του παρονομαστή. Ατελής διαίρεση.
Θέση υποδιαστολής.
5
4
= 4: 5 = 0,8
3
1
= 0,333…
4
12
= 3
 Κεφ. 19. (Στρατηγικές διαχείρισης αριθμών)
α. Μετατροπή μεικτού σε κλάσμα με 2 τρόπους - πράξεις μεικτών
2
3
1
= 2 +
3
1
=
3
3
+
3
3
+
3
1
=
3
7
ή 2
3
1
=
3
1)32( X
=
3
7
4
5
2
+ 1
5
1
= (4+1) + (
5
2
+
5
1
) = 5 +
5
3
= 5
5
3
β. Διαίρεση κλάσματος με ακέραιο (διαιρώ τον αριθμητή ή πολ/ζω τον παρονομαστή)
5
4
: 2 =
5
2:4
=
5
2
ή
5
4
: 2 =
25
4

=
10
4
=
5
2
γ. Αναγωγή στην κλασματική μονάδα.

ΔΙΑΦΟΡΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
1. Ο Μανόλης ήπιε από ένα μπουκάλι τα
2/3 του χυμού που είχε μέσα. Πόση
ποσότητα χυμού έμεινε στο μπουκάλι;
2. Από τους 40 μαθητές της Ε τάξης τα 4/10
παρακολουθούν το μάθημα των Γαλλικών.
Πόσοι μαθητές παρακολουθούν τα Γαλλικά;
3. Η Νίκη διάβασε το Σάββατο τα 2/10 από
τις 460 σελίδες του αγαπημένου της
βιβλίου. Την Κυριακή διάβασε το 1/8
από τις σελίδες που είχαν μείνει.
Α. Πόσες σελίδες διάβασε το Σάββατο;
Β. Πόσες σελίδες την Κυριακή;
Γ. Πόσες σελίδες έχει ακόμη να
διαβάσει;
4. Από τα 25 λογοτεχνικά βιβλία του Γιάννη τα
3/5 είναι ελληνικά.
Από τα 32 λογοτεχνικά βιβλία της Μαρίας τα
3/8 είναι ελληνικά.
Πόσα ελληνικά βιβλία έχει ο καθένας στη
βιβλιοθήκη του;
5. Από τα 24 € που είχα, αγόρασα με τα
2/8 ένα παζλ και από τα υπόλοιπα με τα
3/4 αγόρασα ένα επιτραπέζιο.
Πόσα € έδωσα για το παζλ;
Πόσα € έδωσα για το επιτραπέζιο;
Πόσα € μου έμειναν;
6. Ο Μάκης είχε 50 € και έδωσε το 1/2 για να
αγοράσει ένα δωράκι. Από τα υπόλοιπα
ξόδεψε το 1/4 για να πάρει ένα βιβλίο.
Πόσα έδωσε για το δωράκι;
Πόσα για το βιβλίο;
Πόσα του περίσσεψαν;

Επαναληπτικές Ασκήσεις (κεφ.14- 21)
ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΒΙΤΩΡΑΤΟΥ
1. Πραγματοποιώ τους παρακάτω πολλαπλασιαμσούς και τις παρακάτω
διαιρέσεις.
2. Στον διπλανό πίνακα: μεταρέπω το
δεκαδικό κλάσμα σε δεκαδικό αριθμό
και αντίστροφα. Συγκρίνω τις
παρακάτω κλασματικές μονάδες.
3. Στον παραπάνω πίνακα: χρωματίζω με κόκκινο τα κλάσματα που είναι
μικρότερα από τη μονάδα, με μπλε τα κλάσματα που είναι μεγαλύτερα
από τη μονάδα και με κίτρινο τα κλάσματα που είναι ίσα με τη μονάδα.
4. Με τη βοήθεια των συμβόλων  και  να δηλωθεί σε ποια από τα
παρακάτω ζεύγη κλασμάτων αυτά είναι ισοδύναμα και σε ποια όχι.
5. Συμπληρώνω κατάλληλα έτσι ώστε τα κλάσματα να είναι ισοδύναμα.
4 2
12

5 15
33

7
9 81

10
60 6

21 7
54

9,09 x 10 = 71,7 : 10 = 0,02 : 100 =
0,8 : 100 = 28,9 x 100 = 123,4 : 1000 =
55,1 x 1000 = 3,78 x 10 = 500,004 : 10 =
ΔΕΚΑΔΙΚΟΣ
ΑΡΙΘΜΟΣ
ΔΕΚΑΔΙΚΟ
ΚΛΑΣΜΑ
6,37
36
100
9580
10
6070
1000
0,209
1700
100
19,5
3
5
12
12
13
8
25
24
81
81
6
9
6
6
27
17
30
30
16
22
3
62
47
46
51
50
78
90
69
96
9
9
4
5
16
19
6
5
18
20
7
10
3
5
3
2
6
4
8
3
40
15
36
45
12
15

Επαναληπτικές Ασκήσεις (κεφ.14- 21)
ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΒΙΤΩΡΑΤΟΥ
6. Συμπληρώνω ό,τι λείπει έτσι ώστε να ισχύουν οι ισότητες.
4
1
15
 
5
1
25
  
3 5
5 20
   
2 6
4 12
   
4 2 2
9 4 36
      
1 5 5
8 40 10
      
7. Μετατρέπω το απλό κλάσμα σε μεικτό αριθμό και αντίστροφα.
Μεικτό κλάσμα Απλό Κλάσμα
1
5
3
1
11
4
7
7
7
34
4
45
2
10
3

Συννεφάκης Χρήστος
ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
Ο Στάθης στόλισε με τη μαμά του το χριστουγεννιάτικο δέντρο στο σπίτι τους.
Κρέμασε στο δέντρο 18 μικρά αγιοβασιλάκια. Η μαμά του είπε ότι τα στολίδια που
κρέμασε αποτελούν τα
8
2
του συνόλου των στολιδιών του δέντρου. Πόσα στολίδια
κρέμασαν στο δέντρο τους ο Στάθης και η μαμά του;
Λύση
Απάντηση: ...................................................................................................
Η σκάλα στην πολυκατοικία της θείας μου έχει 96 σκαλοπάτια. Σε ένα λεπτό μπορώ
να ανέβω τα
12
3
των σκαλοπατιών της σκάλας. Πόσα σκαλοπάτια μπορώ να ανέβω σε
ένα λεπτό;
Λύση
Απάντηση: ...................................................................................................

Συννεφάκης Χρήστος
3) Η παιδική βιβλιοθήκη του δήμου μου έχει ένα ράφι με χριστουγεννιάτικα βιβλία,
που αποτελούν τα
100
2
του συνόλου των βιβλίων που διαθέτει η βιβλιοθήκη. Πόσα
βιβλία συνολικά έχει η βιβλιοθήκη;
Λύση
Απάντηση: ...................................................................................................
4) Η νονά μου αγόρασε ένα καινούριο αυτοκίνητο. Έδωσε προκαταβολή 5.400 €,
δηλαδή τα
5
2
της συνολικής αξίας του αυτοκινήτου. Πόσα χρήματα κοστίζει το
αυτοκίνητο της νονάς μου;
Λύση
Απάντηση: ...................................................................................................

Ελένη Παρασκευοπούλου
Διαγώνισμα Στα Μαθηματικά
Όνομα:____________________ Ημερομηνία:________________
1. Να απαντήσετε σωστά στις παρακάτω ερωτήσεις υπολογίζοντας με το νου:
Μία σοκολάτα κοστίζει 0,70 € και θέλω να αγοράσω 10. Πόσα € θα πληρώσω;
________________=__________
Μία εταιρία θέλει να αγοράσει 1000 σανίδες με 3,56 € η μία. Πόσα θα πληρώσει;
________________=__________
Η βιοτεχνία ρούχων αγόρασε 100 τόπια υφάσματος και πλήρωσε 305,8 €. Πόσο
κόστιζε το ένα;
________________=__________
2. Να λύσετε τις παρακάτω πράξεις με το νου:
700,50 : 10 =______ 0,03495 × 100 =______ 0,0304 : 1000 =_______
298,009 × 10 =_______ 2,3 : 100 =______ 987,03 × 1000 =_______
3. Το 1 κιλό ρύζι κοστίζει 1,36 €. Πόσο θα κοστίζουν τα:
10 κιλά; ______________________________________________________________
100 κιλά; _____________________________________________________________
Ο 1 τόνος;____________________________________________________________
Θυμηθείτε! Ο ένας τόνος είναι ίσος με 1000 κιλά.
4. Ένα παντοπωλείο πουλάει βαζάκια με σπιτικό μέλι. Το κάθε βαζάκι περιέχει
του κιλού μέλι και κοστίζει 6.50 €. Πόσο θα κοστίζει το ένα κιλό μέλι;
Λύση
Απάντηση:
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________

5. Παρακάτω να κυκλώσετε τα κλάσματα που είναι ίσα με την ακέραιη μονάδα:
3 5 10 34 78 2 9 100 897 77
3 7 11 43 78 1 18 150 897 100
6. Τα παιδιά φάγανε πίτσα σε ένα πάρτι γενεθλίων:
Γιώργος: Μαρία:
Νίκος:
Ποια απο τα τρία παιδιά φάγανε την ίδια ποσότητα πίτσας;
Ποιο παιδί έφαγε την μεγαλύτερη ποσότητα;
7. Να μετατρέψετε τα παρακάτω κλάσματα σε δεδαδικούς αριθμούς κάνοντας
την κάθετη πράξη:
13 3 21 50 9
4 4 28 80 12
Ποια απο τα παραπάνω κλάσματα είναι ισοδύναμα; Να τα κυκλωσετε.
Έφαγα τα 4
της πίτσας! 10
Εγώ έφαγα τα
9
15
Εγώ πάλι έφαγα
μόνο τα 2
5

8. Η καταγραφή των εσόδων ενός περιπτέρου για μία βδομάδα φαίνεται στο
παρακάτω σχεδιάγραμμα: (κάθετα βρίσκονται οι μέρες και οριζόντια τα έσοδα)
Να βρείτε το μέσο όρο των εσόδων της κάθε μέρας
Να τραβήξετε μία οριζόντια γραμμή στη γραφική παράσταση που να δείχνει τον
μέσο όρο (παράλληλο στον άξονα που δείχνει τις μέρες)
9. Για καθένα απο τα παρακάτω κλάσματα, να βρείτε ένα ισοδύναμο, είτε
πολλαπλασιάζοντας είτε διαιρόντας τους όρους τους:

Ιωακειμίδης Παύλος
ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΜΑΥΡΟΔΕΝΔΡΙΟΥ Ε` ΤΑΞΗ
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ , 7 / 12 / 2012
ΟΝΟΜΑ : _______________________________
1. Αντιστοιχίζω τους δεκαδικούς αριθμούς με τα κλάσματα :
0,62  
6,9  
0,919  
4,56  
9,8  
2. Κατατάσσω τα παρακάτω κλάσματα από το μικρότερο στο μεγαλύτερο :
< < < < < <
3. Χθες ο Μάριος πήρε τους βαθμούς του για το Α` τρίμηνο. Μπορείς να τον βοηθήσεις να
βγάλει το Μέσο Όρο ;
ΝΕΑ
ΕΛΛΗΝΙΚΑ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΦΥΣΙΚΗ ΧΗΜΕΙΑ ΑΡΧΑΙΑ
ΕΛΛΗΝΙΚΑ
ΦΥΣΙΚΗ
ΑΓΩΓΗ
ΑΓΓΛΙΚΑ
17 18 16 15 16 20 17
ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΙΣΤΟΡΙΑ ΘΡΗΣΚΕΥΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΑΓΩΓΗ
ΥΓΕΙΑΣ
ΑΡΧΕΣ
ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ
ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ
Η/Υ
14 16 18 19 19 15 18

Μ.Ο Α` ΤΡΙΜΗΝΟΥ : ________________
4. Το ήξερες ότι τα του ανθρώπινου σώματος είναι νερό ;
α) Αν λοιπόν ένας άνθρωπος ζυγίζει 90 κιλά, πόσα από αυτά τα κιλά είναι νερό;
Β) Να υπολογίσεις το βάρος του νερού στο δικό σου σώμα .
Λύση: (….σκέψου…μπορείς να βρεις πόσα κιλά είναι το ; μετά θα βρεις και τα )
Απάντηση : ___________________________________________________________________
5. Η Αντωνία αποταμιεύει χρήματα σε έναν κουμπαρά. Αν τα των χρημάτων του
κουμπαρά της είναι 287 € , μπορεί με όλα της τα χρήματα να αγοράσει ένα φορητό
υπολογιστή που στοιχίζει 405 € ;
Λύση:
Απάντηση : _______________________________________________________________

Ιωαννίδης Νικόλαος
Μαθηματικά Ε΄ ΤΑΞΗ
ΟΝΟΜΑ _____________________________
1.Να βρεις τα:
3 χ 600 _________________________________________________
5
6 χ 600 ________________________________________________
10
2.Εάν τα 4 του κιλού κοστίζουν 50 €, πόσο κοστίζει το 1 κιλό και πόσο το 1,5;
5
__________________________________________________________
__________________________________________________________
__________________________________________________________
__________________________________________________________
__________________________________________________________
3. Να κάνεις ισοδύναμα κλάσματα με τους παρακάτω αριθμητές και παρανομαστές.
3 = ___ 5 = 15 2 = ___
6 18 20 4 8
4. Να απλοποιήσεις τα κλάσματα.
22 = 20 =
12 5
5. Να ελέγξεις με τα σταυρωτά γινόμενα ποια από τα παρακάτω ζευγάρια είναι
ισοδύναμα.
3 = 2 8 = 2 5 = 10
6 4 2 6 3 6
6. Να βάλεις το κατάλληλο σύμβολο < , > ή =
1 1 1 10 1 1 7 70
3 2 4 40 8 10 10 100

Όνομα: ………………………………………… Ημερομηνία: …………………………………………
ΤΕΣΤ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΤΗΝ 3η ΕΝΟΤΗΤΑ (ΚΕΦ. 14-21)
1. Υπολογίζω τις παρακάτω πράξεις προσεκτικά:
3,08 x 10 = ………….. 0,64 : 100 = ………….. 7,358 x 1.000 = …………..
207,5 : 10 = ………….. 1.274 : 100 = ………….. 0,55 x 100 = …………..
2. Κυκλώνω τις κλασματικές μονάδες και μετά τις βάζω στη σειρά, από τη
μικρότερη στη μεγαλύτερη, γράφοντας το σύμβολο της ανισότητας:
8
1
12
5
3
1
15
6
12
1
7
1
…………………………………………………………………………………………………………………………………………...
3. Φτιάχνω ισοδύναμα κλάσματα:
α) με πολλαπλασιασμό: β) με διαίρεση:
5
2
= = =
24
16
= = =
4. Σχηματίζω τη μονάδα:
4
3
+ ….. = 1
15
6
+ ….. = 1 ….. -
9
3
= 1 ….. -
8
5
= 1
5. Ο Κώστας ξόδεψε 40 ευρώ, για να αγοράσει ένα δώρο στην αδερφή του. Αν τα
χρήματα που ξόδεψε ήταν το
5
2
των χρημάτων του, πόσα χρήματα είχε συνολικά;
Κόντου Πολυξένη
6. Στο διπλανό ραβδόγραμμα
καταγράφεται η πώληση των
εισιτηρίων για μια θεατρική
παράσταση τους μήνες Σεπτέμβριο-
Ιανουάριο. Να υπολογίσεις το μέσο όρο
των πωλήσεων.
7. Συμπληρώνω τα κενά με τον κατάλληλο αριθμό, ώστε τα κλάσματα να είναι
ισοδύναμα:
10
4
=
5
....
6
3
=
....
30
10
2
=
20
....
12
6
=
....
1

proteas
ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ__________________________________________________
1. Τα 3/10 των χρημάτων που έχει ο Μάκης στον κουμπαρά του είναι 90€. Πόσα είναι όλα τα χρήματα
που έχει στον κουμπαρά του;
ΛΥΣΗ
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
_____________________________________________________________________
2. Η Φωτεινή έφαγε το 1/3 της πίτσας που έφτιαξε και η Παναγιώτα το ¼ από μια παρόμοια πίτσα. Ποιο
κορίτσι έφαγε περισσότερο;
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
_____________________________________________________________________
3. Ο Χρήστος είναι μαθητής της Α’ Γυμνασίου και πήρε τον έλεγχο του α’ τριμήνου . Ποιος είναι ο
μέσος όρος που έβγαλε ο Χρήστος το α’ τρίμηνο;
ΛΥΣΗ
ΜΑΘΗΜΑ ΒΑΘΜΟΣ
Νέα
Ελληνικά
18
Αρχαία
Ελληνικά
17
Ιστορία 19
Θρησκευτικά 20
Φυσική
Αγωγή
20
Αγγλικά 17
Γερμανικά 18
Μουσική 16
Μαθηματικά 15
Πληροφορική 16
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
_____________________________________________________________________

proteas
4. Η Εβίτα αγόρασε 300 γρ. κίτρινο τυρί. Απ’ αυτό χρησιμοποίησε τα 4/10 στο φαγητό.
*Πόσα γραμμάρια τυρί χρησιμοποίησε;
*Πόσα γραμμάρια τυρί της περίσσεψε;
ΛΥΣΗ
ΑΠΑΝΤΗΣΗ
_____________________________________________________________________
5. Βρίσκω 4 ισοδύναμα κλάσματα του
5
4
:
6. Συγκρίνω τα κλάσματα , με όποιον τρόπο επιθυμώ:
α)
9
2
6
3
β)
8
7
10
8

Εύα Μαραγκάκη
ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ________________________________________
 Ο κύριος Άρης αγόρασε ένα καινούριο στερεοφωνικό. Η αξία του ήταν 600€ έδωσε
2
50
€
προκαταβολή. Το υπόλοιπο ποσό θα το πληρώσει σε
6
30
€ δόσεις.
 Πόσα χρήματα έδωσε προκαταβολή;
 Πόσους μήνες θα πληρώσει δόσεις;
 Πόσα χρήματα θα πληρώνει σε κάθε δόση;
 Σε καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις να βάλεις Σ αν η πρόταση είναι σωστή και Λ αν είναι
λανθασμένη.

20
30
10
15

 0,286*1000=28600

24
1
12
1
2
1

 Το
10
1
του 420 είναι 4,2
 Ο Μ.Ο των αριθμών 2,5, 6,5, 1,2, 3,8 είναι το 7
 Η Αμαλία είδε στο σούπερ μάρκετ ότι τα
10
5
του κιλού τυρί κοστίζουν 9 €. Αν θέλει να αγοράσει
10
7
του κιλού, μπορείς να τη βοηθήσεις να υπολογίσει πόσα χρήματα θα πληρώσει;
 Η Ελλάδα έχει έκταση 132.000 τ.χμ. Είναι τα
147
2
της Ευρώπης.
Η Ευρώπη αποτελεί τα
66
5
της ξηράς. Η ξηρά είναι το
4
1
της επιφάνειας της γης.
 Πόση έκταση έχει η Ευρώπη;
 Πόση είναι η ξηρά;
 Πόση είναι όλη η επιφάνεια της γης;

ΟΝΟΜΑ:………………………………..
3o ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ
1. Μετέτρεψε το μεικτό σε απλό κλάσμα και το απλό σε μεικτό:
12
5
3
=
6
25
=
2. Βρες τα ισοδύναμα δεκαδικά κλάματα
3. Βρες τα ισοδύναμα κλάσματα του
5
3
Α) με πολλαπλασιασμό :………………………………………………………………….
Β) με διαίρεση :……………………………………………………………………………
4. Συμπλήρωσε τους όρους που λείπουν:
Α)
20
12
=
10
=
3
=
1
=
Β)
5
+
5
+
5
= 2
5. Σύγκρινε τα κλάσματα ( > ,< ,+ )
Α)
20
2
10
6
β)
20
13
20
7
γ)
10
6
40
6
6. Μικραίνω και μεγαλώνω το κλάσμα
40
32
τέσσερις φορές
7. Κάνε τις πράξεις:

50
15
+
50
23
= 
5
4
- =
5
3

10
6
Χ 3 = 
35
15
Χ
4
3
=
ΑΝΘΙΜΟΥ ΣΟΦΙΑ
α)
6
2
= β)
4
3
=
ΒΑΘΜΟΣ

8. Η Μαρία τελείωσε το δικό της κριτήριο Μαθηματικών σε
12
5
της ώρας και η Νίκη σε
6
2
της
ώρας. Ποια τελείωσε πρώτη;
ΛΥΣΗ
ΑΠΑΝΤΗΣΗ…………………………………………………………………………….
9. Από τους 40 μαθητές της Ε τάξης τα
10
4
παρακολουθούν το μάθημα των Γαλλικών και οι
υπόλοιποι το μάθημα των Γερμανικών.
 Πόσοι μαθητές παρακολουθούν τα Γαλλικά;
 Πόσοι μαθητές παρακολουθούν τα Γερμανικά;
ΛΥΣΗ
ΑΠΑΝΤΗΣΗ…………………………………………………………………………….
10. Η Νίκη διάβασε το Σάββατο τα 2/10 από τις 460 σελίδες του αγαπημένου της βιβλίου. Την
Κυριακή διάβασε το 1/8 από τις σελίδες που είχαν μείνει.
 Πόσες σελίδες διάβασε το Σάββατο;
 Πόσες σελίδες την Κυριακή;
 Πόσες σελίδες έχει ακόμη να διαβάσει;
ΛΥΣΗ
ΑΠΑΝΤΗΣΗ…………………………………………………………………………….
ΑΝΘΙΜΟΥ ΣΟΦΙΑ
ΠΩΣ ΤΑ ΠΗΓΑ;……………………………
ΠΟΥ ΔΥΣΚΟΛΕΥΤΗΚΑ ΚΑΙ ΓΙΑΤΙ;……

ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΜΑΥΡΟΔΕΝΔΡΙΟΥ Ε` ΤΑΞΗ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
ΟΝΟΜΑ : __________________ 4/12/2012
1. Κάνω με το νου τους παρακάτω πολλαπλασιασμούς και διαιρέσεις :
234,235 X 100 = __________ 23 X 1000 = ____________
57,897 X 10 = _________ 0,234 X 100 = ___________
626,894 : 10 = _________ 9834,09 : 1000 = ___________
876 : 100 = __________ 123,5 : 10 = ___________
2. Πόσα κομμάτια της πίτσας έφαγα; Πρώτα χρωματίζω ένα κομμάτι από κάθε πίτσα και μετά
αντιστοιχίζω την κάθε πίτσα με το σωστό κλάσμα :
 
 
 
 

Τώρα τα διατάσσω από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο: < < <
3. Βρίσκω ένα ισοδύναμο κλάσμα με το αρχικό :
- κάνοντας πολλαπλασιασμό :
= = = = =
-. Κάνοντας διαίρεση :
= = = = =
4. Ένα ζαχαροπλαστείο πούλησε : 12 τούρτες τη Δευτέρα, 15 τούρτες την Τρίτη, 9 την Τετάρτη, 11
την Πέμπτη, 16 την Παρασκευή, 23 το Σάββατο και 19 την Κυριακή. Να βρείτε το Μ.Ο της
εβδομάδας.
Απάντηση : ___________________________________
Πρόβλημα bonus :
Έχουμε δύο ομάδες παιδιών. Α) Ποια ομάδα έχει τα περισσότερα ευρώ; Β) Σε ποια ομάδα τα παιδιά είναι πιο
πλούσια;
Άλφα Ομάδα Βήτα Ομάδα
Παιδί 1 5 € Παιδί 1 3 €
Παιδί 8 5 €
Απάντηση : __________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________
Καλή επιτυχία

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ – 3η
ΕΝΟΤΗΤΑ
ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ:________________________________________________
1. Τα μηνιαία έξοδα διατροφής μιας οικογένειας κατά τη διάρκεια ενός έτους ήταν τα
εξής:
Ιανουάριος 800 ευρώ Μάιος 690 ευρώ Σεπτέμβριος 675 ευρώ
Φεβρουάριος 640 ευρώ Ιούνιος 750 ευρώ Οκτώβριος 720 ευρώ
Μάρτιος 760 ευρώ Ιούλιος 735 ευρώ Νοέμβριος 670 ευρώ
Απρίλιος 810 ευρώ Αύγουστος 900 ευρώ Δεκέμβριος 730 ευρώ
Ποιος είναι ο μέσος όρος των μηνιαίων εξόδων διατροφής της οικογένειας αυτής;
Λύση:
Απάντηση:___________________________________________________________
2. Κυκλώστε τις κλασματικές μονάδες. Ύστερα να τις βάλετε στη σειρά από τη
μικρότερη στη μεγαλύτερη:
3 1 4 1 1 1 7 1 5 1
-----, -----, -----, -----, -----, -----, -----, -----, -----, -----
12 8 7 9 10 7 9 12 8 5
______<______<______<______<______<______
3. Συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα:
κλάσμα Συμπλήρωμα Αρχικό κλάσμα ως διαί-
ρεση-δεκαδικός
1
---
4
---- +----= 1
2
---
5
----+----=1
3
---
6
----+----=1
2
---
8
----+----=1
7
---
10
----+----=1
Γκουτσίδης Αντώνιος

4. Φτιάξε ισοδύναμα κλάσματα:
Α) με πολλαπλασιασμό:
2
--- = ---- = ---- = ---- = ---- = ----
7
Β) με διαίρεση:
40
---- = ---- = ---- = ----
100
5. Υπολογίστε γρήγορα πόσο κάνουν:
12,2 Χ 10 = 12,89 : 10 =
176 Χ 100 = 125 : 100 =
15,8 Χ100 = 34,5 :100 =
0,123 Χ 1000 = 453 : 1000 =
0,156 Χ10 = 5,3 : 100 =
6. Ο κύριος Περικλής παίρνει μηνιαίο μισθό 1280 ευρώ. Κάθε μήνα αποταμιεύει τα
2
---- του μισθού του. Πόσα χρήματα αποταμιεύει κάθε μήνα ο κύριος Περικλής;
10
Λύση:
Απάντηση:__________________________________________________________
2
7. Τα ----- του κιλού γραβιέρα κοστίζουν 2,4 ευρώ. Πόσο κοστίζει το ένα κιλό
5
γραβιέρα;
Λύση:
Απάντηση: _____________________________________________
Γκουτσίδης Αντώνιος
βαθμός

Κιορπέ Σάσα
1. Συμπληρώνω ό, τι λείπει :
6
4
+ ……….= 4
8
35
+ ……...= 6
8
5
+ ……….= 6
9
34
+ ……..= 5
4
3
+ ………..= 7
7
43
+ ……..= 8
2. Συμπληρώνω ό, τι λείπει :
23.000.456 : …….= 23.000,456 342 Χ ……. = 3420
0,789 Χ ………= 78,9 450 Χ 1000 = …………….
0,98 : ………= 0,0098 ……. : 10 = 345 , 6
789.230 Χ ……= 78.230.000 …….: 100 = 34.678,45
563 :…..= 0,563 ……. Χ 1000 = 234
3. Υπολογίζω πόσο κάνουν :
8
3
+
16
2
= …………………………………………………………….
12
9
-
24
3
= ..............................................................................................
1
8
Χ
8
1
= …………………………………………………………….
4.Μεγαλώνω δύο φορές τα κλάσματα με δύο τρόπους :
8
3
………………………………………………………………………
12
4
………………………………………………………………………
5.Μικραίνω τρεις φορές τα κλάσματα με δύο τρόπους :
5
3
………………………………………………………………………
12
9
………………………………………………………………………

6. Λύνω τα προβλήματα :
α) Μετά το Σαββατοκύριακο έφυγαν από το ξενοδοχείο μας τα
7
2
των πελατών και παρέμειναν 50 πελάτες .
Πόσοι ήταν αρχικά οι πελάτες του ξενοδοχείου μας ;
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
Απάντηση : ……………………………………………………………....
β) Οι μαθητές του σχολείου μας είναι 250 . Από αυτούς τα
5
3
είναι
κορίτσια και τα υπόλοιπα είναι αγόρια .
Πόσα είναι τα αγόρια και πόσα τα κορίτσια που φοιτούν στο σχολείο μας ;
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
Απάντηση : ……………………………………………………………....
γ) Αυτοί είναι οι επισκέπτες του Μουσείου της πόλης για την εβδομάδα
που πέρασε :
230 300 320 420 285
Πόσοι ήταν κατά μέσο όρο οι επισκέπτες του Μουσείου της πόλης για
την εβδομάδα που πέρασε ;
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
Απάντηση : ……………………………………………………………....

1 ) Συμπληρώνω τον πίνακα :
Κλάσμα Συμπλήρωμα : Αρχικό κλάσμα ως διαίρεση
– δεκαδικός :
4
3
< 1
4
3
+ ...... = 1 3 : 4 ή
5
2
< 1
9
3
< 1
6
3
< 1
8
2
< 1
2 ) Υπολογίζω γρήγορα πόσο κάνουν :
236 Χ 100 = ………….. 4.879 : 10 = ………………
45,8 Χ 10 = ………….. 34 ,6 : 100 = ……………..
27,45 Χ 100 =…………… 789,2 : 1000 =………………
0,34 Χ 1000 =…………… 0,23 : 10 =……………..
0,089 Χ 100 = ………….. 6720 : 100 = ……………..
27,43 Χ 1000 =…………… 721 : 1000 =………………
3 ) Βρίσκω το μισό και το διπλάσιο της αρχικής ποσότητας κάθε φορά :
Μισό Αρχική ποσότητα Διπλάσιο
…………. 8
2
………………
….. ή ……
4
4
2
= ……..
……… ή ………..

4 ) Προβλήματα :
α) Αν τα
10
6
του κιλού λιθρίνια κοστίζουν 18 € πόσο κοστίζει το 1 κιλό
λιθρίνια στην ψαραγορά ;
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
Το 1 κιλό κοστίζουν :
………………………………………………………………………………………………
β ) Η Ευθυμία είχε στο πορτοφόλι της 145 € και δάνεισε στη Γιώτα τα
5
3
των
χρημάτων της .
* Πόσα ευρώ δάνεισε η Ευθυμία στη Γιώτα ;
* Πόσα ευρώ έχει τώρα η Ευθυμία στο πορτοφόλι της ;
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
Απαντήσεις :………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………..

Λαμπριάδου Μαρία
μαθηματικά 3 όνομα:-------------------
ημερομηνία: ------------------------
1.Να μετατρέψω τους μεικτούς σε κλάσματα:
4
3
2 =
8
5
4 =
5
2
6 =
2.Να μετατρέψεις τα κλάσματα σε μεικτούς:
2
15
=
6
17
=
4
25
=
3.Φτιάχνω ισοδύναμα κλάσματα:
α) με πολλαπλασιασμό:
5
2
= = = =
β) με διαίρεση:
24
16
= = = =
4. Μεγαλώνω 5 φορές τα παρακάτω κλάσματα:
3
2
→ -
5
3
→ -
7
4
→ -
5.Μικραίνω 3 φορές τα παρακάτω κλάσματα:
15
6
→
18
15
→
4
3
→
6. 3,08Χ10= 0,64 : 100=
7,358Χ1000= 1,2 : 1000=
7.Τα
10
7
του κιλού κοστίζουν 3,29 € . Πόσο κοστίζει το 1 κιλό;

Λαμπριάδου Μαρία
--------------------------------------
8.Η Δέσποινα αγόρασε
8
7
του κιλού σταφύλια. Πόσα ευρώ πλήρωσε, αν το
4
1
του κιλού κοστίζει 2,60 € ;
---------------------------------------------
9.Να μετατρέψω τα παρακάτω κλάσματα σε δεκαδικούς:
6
4
=
12
9
=
50
25
=

ΚΛΑΣΜΑΤΑ(κεφ. 17,18,19)
ΟΝΟΜΑ:
kristy
1.Να μετατρέψεις τους μεικτούς αριθμούς σε κλάσματα:
2
5
3
= 1
6
5
=
5
2
1
= 1
6
4
=
2. Να μετατρέψεις τα κλάσματα σε μεικτούς αριθμούς:
6
13
=
7
12
=
10
15
=
13
14
=
3.Να μικρύνεις 3 φορές τα κλάσματα(και με τους δυο τρόπους, αν γίνεται):
5
9
=
8
3
=
10
24
=
4. Να μεγαλώσεις τα κλάσματα 2 φορές(και με τους δυο τρόπους, αν γίνεται):
6
1
=
4
2
=
2
7
=

Τόνια
ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΚΛΑΣΜΑΤΑ
1. Ένας ορειβάτης διένυσε την πρώτη μέρα το
3
1
μιας απόστασης, τη δεύτερη μέρα
τα
15
7
και την Τρίτη μέρα τα
10
2
της απόστασης. Ποια ημέρα διένυσε μεγαλύτερη
απόσταση;
Λύση: Απάντηση:
2. Ένας παραγωγός μάζεψε από τα δέντρα του
4
3
8 τόνους φρούτα. Από αυτά,
10
5
2
τόνοι ήταν ροδάκινα,
2
1
4 τόνοι ήταν βερίκοκα και τα υπόλοιπα ήταν νεκταρίνια.
Πόσοι τόνοι ήταν τα νεκταρίνια;
3. Τον περασμένο μήνα επισκέφτηκαν το μουσείο της Ακρόπολης 5895 άτομα. Τα
9
4
των επισκεπτών ήταν παιδιά. Πόσα παιδιά επισκέφτηκαν τη γέφυρα;
Με πολ/σμό: Με αναγωγή στη μονάδα:
Απάντηση:

Τόνια
4. Πόσους διαβήτες αγοράζει ένα βιβλιοπωλείο με
2
1
142 €, αν κάθε διαβήτης έχει
2
1
9 €;
5. Δύο βαρέλια με τυρί φέτα ζυγίζουν συνολικά 35 κιλά. Το ένα βαρέλι ζυγίζει
10
4
16 κιλά. Πόσα κιλά ζυγίζει το άλλο βαρέλι;
6. Ένα λεωφορείο διανύει την απόσταση Αθήνα – διόδια σε
5
2
της ώρας, την
απόσταση διόδια – Κόρινθο σε
4
3
της ώρας και την απόσταση Κόρινθος – Τρίπολη
σε
15
8
της ώρας. Σε πόσες ώρες διανύει την απόσταση Αθήνα – Τρίπολη;
Όνομα: ___________________________________________

Γιώργος Κατσαούνος
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ:
ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ
9Ο
Δ. Σ. Αθηνών 4-12-09 Τάξη: Ε2΄
1. Είχα τετρακόσια πενήντα ευρώ. Ξόδεψα το ένα πέμπτο αυτών των χρημάτων.
Πόσα χρήματα ξόδεψα;
2. Είχα εξακόσια τριάντα τρία ευρώ. Ξόδεψα τα δύο τρίτα από τα χρήματα αυτά.
Πόσα χρήματα μου έμειναν;
3. Αγόρασα ένα ηλεκτρικό ψυγείο αξίας πεντακοσίων ενενήντα ευρώ. Έδωσα ως
προκαταβολή τα δύο πέμπτα της αξίας του. Πόσα χρήματα μου μένουν ακόμη
να πληρώσω;
4. Αγόρασα μια τηλεόραση αξίας εξακοσίων τριάντα ευρώ. Έδωσα ως
προκαταβολή τα τέσσερα ένατα της αξίας της. Το υπόλοιπο ποσό θα το
αποπληρώσω σε πέντε ισόποσες μηνιαίες δόσεις. Πόσα χρήματα θα πληρώνω
το μήνα;
ΟΔΗΓΙΕΣ: Να μεταφέρεις και να λύσεις το κάθε πρόβλημα στο τετράδιό σου, ως
εξής:
 Να γράψεις τα προβλήματα με τους αριθμούς τους με ψηφία και να
υπογραμμίσεις όσες λέξεις είναι σημαντικές για τη λύση του καθενός.
 Αρχικά να διαβάσεις το πρόβλημα πολλές φορές, κατόπιν να το διαβάσεις
χωρίς αριθμούς και τέλος να σκεφτείς (χωρίς αριθμούς) τι θα βρεις στην αρχή, τι στη
συνέχεια κλπ.
 Να γράψεις τις πράξεις οριζόντια (τις κάθετες να τις κάνεις στο πίσω μέρος
αυτής της σελίδας) και σε κάθε αποτέλεσμα θα γράφεις «τι είναι» ο αριθμός που
βρήκες (π.χ. λίτρα, €).
 Στο τέλος να γράψεις μια ολοκληρωμένη απάντηση, χρησιμοποιώντας μέρος
της ερώτησης.
Το πρώτο πρόβλημα μάς δείχνει το δρόμο για να λύσουμε το δεύτερο,
το δεύτερο μάς φανερώνει τον τρόπο για να λύσουμε το τρίτο και το
τρίτο μάς βοηθά στη λύση του τέταρτου!
…Και μόλις λύσουμε και τα τέσσερα, ελάτε να σας δείξω την τυχερή
μου δεκάρα!

ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΔΕΚΑΔΙΚΗ ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΗ ΜΟΝΑΔΑ (ΚΕΦ 15)
ΟΝΟΜΑ: ……………………………………………………………………..…. ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ………../ 11/ 08
ΑΑ΄΄ ΠΠΕΕΡΡΙΙΠΠΤΤΩΩΣΣΗΗ::Πώς βρίσκουμε το μέρος μιας ποσότητας, όταν γνωρίζουμε ολόκληρη την ποσότητα.
Πρόβλημα: Σε ένα εργοστάσιο εργάζονται 150 άτομα. Τα 4/10 των ατόμων είναι γυναίκες και οι
υπόλοιποι άντρες.
α. πόσες είναι οι γυναίκες? β. Πόσοι είναι οι άντρες?
Λύση: α. Γνωρίζουμε το σύνολο των ατόμων (δηλ. τα 10/10 των ατόμων) που είναι 150 άτομα.
Για να βρω τα 4/10, θα βρω πρώτα το 1/10, θα κάνω δηλ. αναγωγή στη δεκαδική
κλασματική μονάδα.
 Τα 10/10 των ατόμων είναι 150 άτομα.
 Το 1/10 των ατόμων είναι 150 : 10 = 15 άτομα. ΘΥΜΑΜΑΙ!!!
 Τα 4/10 των ατόμων είναι 15 Χ 4 = 60 άτομα. Δεκαδικές κλασματικές μονάδες
Άρα οι γυναίκες (τα 4/10) είναι 60 και είναι 1/10 , 1/100 , 1/1000
β. Οι άντρες είναι 150 – 60 =90.
ΛΥΣΕ ΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
α. Τα 7/10 του βάρους του
ανθρώπου είναι νερό. Πόσα κιλά
νερό έχει το σώμα ενός ανθρώπου
90 κιλών?
 …………………………………………
 …………………………………………
 …………………………………………
Απάντηση: ……………………………………
β. Σε ένα σχολείο υπάρχουν 260
παιδιά. Τα 7/10 των παιδιών θα πάνε
μια εκπαιδευτική εκδρομή. Πόσα
παιδιά θα πάνε στην εκδρομή?
 ………………………………………………
 ………………………………………………
 ………………………………………………
Απάντηση: …………………………………………
γ. Από τα 360 παιδιά μιας
κατασκήνωσης τα 6/10 είναι κορίτσια.
Πόσα είναι τα κορίτσια και πόσα τα
αγόρια?
 ……………………………..………………
 …………………………………..…………
 ……………………………………………..
Απάντηση: ………………………………………
……………………………………….
ΥΠΟΛΟΓΙΣΕ
α. Το 1/10 του 40  40 : 10 = 4
Το 1/10 του 250  ……………………………………
Το 1/10 του 6.780  ………………………………….
Το 1/10 του 700  ……………………………………
Το 1/10 του 1.500  ………………………………..
β. Το 1/100 του 3.600  3.600 : 100 = 36
Το 1/100 του 46  …………………………………….
Το 1/100 του 850  …………………………………….
Το 1/1000 του 12.500  ………………………………..
Το 1/ 1000 του 3.500  …………………………………

ΒΒ΄΄ ΠΠΕΕΡΡΙΙΠΠΤΤΩΩΣΣΗΗ:: Πώς βρίσκω ολόκληρη την ποσότητα, αν γνωρίζω το ένα μέρος της.
Πρόβλημα: Ο πατέρας ξόδεψε τα 6/10 της μπογιάς που είχε αγοράσει. Η μπογιά που
ξόδεψε ήταν 30 λίτρα. Πόσα λίτρα ήταν όλη η μπογιά που είχε αγοράσει?
Λύση: Θα εργαστούμε με αναγωγή στη δεκαδική κλασματική μονάδα.
 Τα 6/10 της μπογιάς είναι 30 λίτρα.
 Το 1/10 της μπογιάς είναι 30 : 6 = 5 λίτρα.
 Τα 10/10 (όλη η μπογιά) είναι 10 Χ 5 = 50 λίτρα.
Άρα είχε αγοράσει 50 λίτρα μπογιάς.
ΛΥΣΕ ΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
α. Ο Νίκος διάβασε τα 2/10 ενός βιβλίου. Οι σελίδες
που διάβασε ήταν 24. Πόσες σελίδες έχει το βιβλίο?
 …………………………………………………………………………
 …………………………………………………………………………
 …………………………………………………………………………
Απάντηση: ……………………………………………………………
β. Τα 9/10 των θεατών μιας παράστασης ήταν παιδιά
και ήταν 270 παιδιά. Πόσοι ήταν όλοι οι θεατές της
παράστασης? (παιδιά και ενήλικες)
 …………………………………………………………………………
 …………………………………………………………………………
 …………………………………………………………………………
Απάντηση: …………………………………….………………………
γ. ‘Ένας μανάβης πούλησε τα 4/10 των μήλων που είχε
και του περίσσεψαν 60 κιλά. Πόσα κιλά μήλα είχε
αρχικά?
 …………………………………………………………………………
 …………………………………………………………………………
 …………………………………………………………………………
Απάντηση: …………………………………………….………………
δ. Τα 0,9 κιλά ελιές Αμφίσσης κοστίζουν 7,2 €
Τα 0,6 κιλά ελιές Καλαμών κοστίζουν 6,6 €
Ποια ποικιλία πουλιέται φθηνότερα?
………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………...
…………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………..
Απάντηση: …………………………………………….………………
ΥΠΟΛΟΓΙΣΕ
Τα 2/10 του 50  50 : 10 = 5 και 2 Χ 5 = 10
Τα 4/10 του 70  ………………………………….. και ……………………………………..
Τα 5/10 του 2.600  ………………………………………. και ………………………………………….
Τα 2/100 του 300  ………………………………………. και ……………………………………………
Τα 70 / 100 του 6.400  ……………………………………….. και ……………………………………………
Τα 400 /1000 του 3.000  ……………………………………….. και ………………………………………………..

135
Åðáíáëçðôéêü 3
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò â
ôåôñ. åñãáóéþí â, óåë. 22
• To ìÝñïò ôçò óõíïëéêÞò åðéöÜíåéáò ðïõ åßíáé ÷ñùìáôéóìÝíï åßíáé:
1
3
10
15
2
6
16
48
10
30
•
1 0,125
1: 8 ή
8 1,025
=
35 1,07535 : 20 ή
20 1,75
=
•
7 19 39
1
8 20 40
< < <
39 19 7
1
20 20 8
< < <
√√√√√ √√√√√√√√√√√√√√√
√√√√√
√√√√√
√√√√√
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò ã
• 1
3 6
1 1
6
3
+ + =
2 4
1
5 10
2
10
+ + =
14
1
5
9
5
− =
2
1
3
4
5
< <
27
1
5
2
12 2
2
3
+ − =
11
10
6 3
2
5 10
+ − =
1220
2
7 14
− =
1314
1
12 12
> >

136
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò ä
√√√√√
√√√√√
√√√√√
√√√√√
√√√√√
√√√√√
√√√√√
2
4
3
2
+
5
1,15 0,8+
3,8
1,8
−
2 1
7
1
−
18 :
9
1 4,50 : 3
5
0,75
0,7
+
0,015χ 100
15 :10
1,52
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò å
√√√√√

137
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò óô
Áöïý ôá
3
10
ôùí ÷ñçìÜôùí ôïõ ÓôÝöáíïõ åßíáé 45 ôï
1
10
ôïõò åßíáé ( )45 : 3 € 15€= .
¢ñá ôá
10
10
ôùí ÷ñçìÜôùí ôïõ äçëáäÞ ôü ðïóü ðïõ Ý÷åé óõíïëéêÜ åßíáé ( )10x15 € 150€= .
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò æ
Çñþ: . ¢ñá ç Çñþ Þðéå
2 1 3
5 5 5
+ = ëßôñá Þ
6
10
ëßôñá Þ 0,6 ëßôñá.
Ñïýëá: . ¢ñá ç Ñïýëá Þðéå
3 1 4
8 8 8
+ = ëßôñá Þ
1
2
ëßôñá Þ 0,5 ëßôñá.
¢ñá ç Çñþ Þðéå ðåñéóóüôåñï ÷õìü.
Åêôéìþ:
á. 1
â. 1,30
ã. 0,90
Õðïëïãßæù ìå áêñßâåéá:
(2:2) = 1
(3,84:3) = 1,28
(5,40:6) = 0,90
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò ç

Σκουλλή Νατάσα
Μαθηματικών 3ης
ενότητας
1. Υπολογίζω τις παρακάτω πράξεις προσεκτικά: (βαθμοί: 12)
3,08 x 10 = ………….. 0,64 : 100 = ………….. 7,358 x 1.000 = …………..
207,5 : 10 = ………….. 1.274 : 100 = ………….. 0,55 x 100 = …………..
2. Κυκλώνω τις κλασματικές μονάδες και μετά τις βάζω στη σειρά, από τη μικρότερη στη μεγαλύτερη,
γράφοντας το σύμβολο της ανισότητας: (βαθμοί: 10)
8
1
12
5
3
1
15
6
12
1
7
1
………………………………………………………………………………………………………………………...
3. Φτιάχνω ισοδύναμα κλάσματα: (βαθμοί:10)
α) με πολλαπλασιασμό: β) με διαίρεση:
5
2
= = = =
24
16
= = = =
4. α) Μεγαλώνω 2 φορές τα παρακάτω κλάσματα: (βαθμοί: 12)
2
8
= ………………
12
7
= ………………
5
4
= ………………
β) Μικραίνω 2 φορές τα παρακάτω κλάσματα:
6
1
= ………………
9
9
= ………………
12
5
= ………………
5. Σχηματίζω τη μονάδα: (βαθμοί: 8)
4
3
+ ….. = 1
15
6
+ ….. = 1 ….. -
9
3
= 1 ….. -
8
5
= 1
Όνομα:………………………..
23 / 1 / 2008
Βαθμός:

Σκουλλή Νατάσα
6. Ο Κώστας ξόδεψε 40 ευρώ, για να αγοράσει ένα δώρο στην αδερφή του. Αν τα χρήματα που ξόδεψε
ήταν το
5
1
των χρημάτων του, πόσα χρήματα είχε συνολικά; (βαθμοί: 12)
Απάντηση: …………………………………………………………………………………………………….
7. Η ηλικία του Παναγιώτη είναι τα
10
2
της ηλικίας του παππού του, που είναι 70 χρονών. Πόση είναι η
ηλικία του Παναγιώτη; (βαθμοί: 12)
Απάντηση: …………………………………………………………………………………………………….
8. Βρίσκω το Μ.Ο. των παρακάτω αριθμών: (βαθμοί: 10)
12 74 3 36 28 42
…………………………………………………………………………………………………………………...
9. α) Μετατρέπω τα παρακάτω μεικτά κλάσματα σε απλά: (βαθμοί: 14)
4
3
2 = …….
8
5
4 = …….
5
2
6 = …….
β) Λύνω τις πράξεις:

18
5
9
4
…………………………….. ΥΠΟΓΡΑΦΗ ΚΗΔΕΜΟΝΑ:

6
2
8
7
……………………………..

8
2
1
8
6
3 ……………………………..

2
1
3
8
2
2 ……………………………..

MIKRILOULOU
Ε2
4ο
φύλλο αξιολόγησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
Κεφ.14-21
ΟΝΟΜΑ ΗΜΕΡ/ΝΙΑ
1. Σ’ένα χωριό τα 7/10 του πληθυσμού είναι 686 γυναίκες. Ο υπόλοιπος
πληθυσμός είναι άνδρες. Πόσοι είναι οι άνδρες του χωριού;
ΥΠΟΛΟΓΙΖΩ
2. α) Βάζω το σύμβολο της ανισότητας ανάμεσα στα αθροίσματα.
1/4 + 1/8 ………… 1/5+1/10
1/10 + 1/10 ………….. 1/20
1/21 + 1/12 ………… 1/12 + 1/6
Β) Συμπληρώνω τα αθροίσματα ώστε να ισχύουν οι ισότητες:
1/4 + ………….. = 1
8/12 + ……….. = 1
1/2 + ………. = 1
3. Τα 4/7 από ένα κιλό κεράσια κοστίζουν 2€. Βρίσκω πόσο κοστίζουν:
Τα 2/7 ……………………………
Το 1/7 ……………………………..
Το 1 κιλό (7/7) ………………………………
Τα 12 κιλά ………………………………………….

MIKRILOULOU
5. Συμπλήρωσε των στόχο.
1
Ο Λευτέρης είχε 126 ευρώ.Αγόρασε σχολικά είδη και έδωσε το 1/9 των
χρημάτων του.Αγόρασε και ένα παιχνίδι και έδωσε το 1/7 από τα χρήματα που
του είχαν μείνει.Πόσα χρήματα του περίσσεψαν;
ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ
Στο σχολείο της Ανατολής ήρθαν 240 βιβλία.Την πρώτη εβδομάδα μοιράστηκαν
στα παιδιά τα 3/5 των βιβλίων και τη δεύτερη εβδομάδα τα 5/6 των
υπολοίπων.Πόσα βιβλία υπάρχουν ακόμη για να μοιραστούν;
Λύση:
Απάντηση_____________________________________
7. Αν ο μέσος όρος κατανάλωσης δημητριακών από παιδιά είναι 130 γραμμάρια την
εβδομάδα, πόση προβλέπεται την Κυριακή, αν γνωρίζουμε την κατανάλωση τις
υπόλοιπες μέρες της εβδομάδας;
Δευτέρα Τρίτη Τετάρτη Πέμπτη Παρασκευή Σάββατο Κυριακή
131γρ. 137γρ. 138γρ. 127γρ. 130γρ. 135γρ. …………
ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ
3/… Χ 1
15/5 : …./51/2 + …..
3/2 - ……
………12/5 - ……

Έντεκα μηνών
Ημερομηνία:
Βάρος: [Βάρος[ Ύψος: [Ύψος]
Σημειώσεις:
[Τοποθετήστε φωτογραφίες εδώ]

Μαθηματικά Ε΄- Επανάληψη 3ης Ενότητας - ΄΄Κλάσματα, κεφ. 14 - 21΄΄

More Related Content

What's hot

Viewers also liked

Similar to Μαθηματικά Ε΄- Επανάληψη 3ης Ενότητας - ΄΄Κλάσματα, κεφ. 14 - 21΄΄

More from Χρήστος Χαρμπής

Recently uploaded

Μαθηματικά Ε΄- Επανάληψη 3ης Ενότητας - ΄΄Κλάσματα, κεφ. 14 - 21΄΄