Christos Loizos, profile picture
Uploaded byChristos Loizos
13,392 views

Algebra b 1

Φυλλάδιο Άλγβερας Β' Λυκείου 14ο ΓΕΛ

Embed presentation

Downloaded 28 times
Άλγεβρα Β΄ Λυκείου 14ο Λύκειο Περιστερίου
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 14ο Λύκειο Περιστερίου [1] 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Μέθοδοι επίλυσης γραμμικού συστήματος 2x2 Γραφική επίλυση Σχεδιάζουμε τις ευθείες που αντιπροσωπεύουν οι εξισώσεις του συστήματος. Αν: - οι δύο ευθείες τέμνονται, τότε το σύστημα έχει μοναδική λύση  0 0x , y ,που είναι οι συντεταγμένες του σημείου τομής των ευθειών. - οι δύο ευθείες είναι παράλληλες, τότε το σύστημα είναι αδύνατο, αφού δεν υπάρχει κοινό σημείο του οποίου οι συντεταγμένες να είναι λύση του συστήματος. - οι ευθείες ταυτίζονται, τότε το σύστημα έχει άπειρες λύσεις, αφού υπάρχουν άπειρα κοινά σημεία στις δύο ευθείες. Μέθοδος αντικατάστασης Λύνουμε τη μία εξίσωση ως προς τον έναν άγνωστο, για παράδειγμα ως προς y. Αντικαθιστούμε το y στην άλλη εξίσωση και έτσι προκύπτει εξίσωση μόνο με έναν άγνωστο, το χ. Από την τελευταία εξίσωση βρίσκουμε το χ και την τιμή του την αντικαθιστούμε στη πρώτη εξίσωση απ’ όπου υπολογίζουμε το y. Μέθοδος αντίθετων συντελεστών Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη των δύο εξισώσεων με κατάλληλους αριθμούς, ώστε οι συντελεστές του ενός αγνώστου στις εξισώσεις που θα προκύψουν να είναι αντίθετοι. Στη συνέχεια προσθέτουμε κατά μέλη τις εξισώσεις που βρήκαμε, οπότε προκύπτει εξίσωση με έναν άγνωστο, την οποία και επιλύουμε. Τέλος αντικαθιστούμε την τιμή του αγνώστου που βρήκαμε σε μια από τις αρχικές εξισώσεις και βρίσκουμε την τιμή του άλλου αγνώστου. Λύση – Διερεύνηση Γραμμικού Συστήματος 2x2 Έστω το γραμμικό σύστημα x y x y            . Βρίσκουμε την παράσταση D             που ονομάζεται ορίζουσα του συστήματος. Βρίσκουμε τις ορίζουσες D              και yD             . - Αν D 0 , το σύστημα έχει μοναδική λύση  x, y , όπου xD x D  και yD y D  - Αν D 0 , το σύστημα θα είναι αδύνατο ή θα έχει άπειρες λύσεις. Γραμμικό σύστημα 3x3 Όταν έχουμε τρεις γραμμικές εξισώσεις με τρεις αγνώστους x,y,z 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 x y z x y z x y z                    και θέλουμε να βρούμε τις κοινές τους λύσεις τότε λέμε ότι έχουμε να λύσουμε ένα γραμμικό σύστημα τριών εξισώσεων με τρεις αγνώστους ή, πιο σύντομα, ένα γραμμικό σύστημα 3x3.
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 14ο Λύκειο Περιστερίου [2] Η πιο συνηθισμένη μέθοδος επίλυσης ενός τέτοιου συστήματος είναι η μέθοδος αντικατάστασης. Λύνουμε τη μία από τις τρεις εξισώσεις ως προς τον έναν άγνωστο και τον αντικαθιστούμε στις δύο άλλες εξισώσεις. Έτσι οι δύο τελευταίες εξισώσεις μετατρέπονται σε γραμμικό σύστημα 2x2, το οποίο το λύνουμε με έναν από τους προηγούμενους τρόπους. Αφού προσδιορίσουμε τους δύο αγνώστους αντικαθιστούμε τις τιμές τους στην πρώτη εξίσωση απ’ όπου υπολογίζουμε την τιμή και του τρίτου αγνώστου. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α΄ ΟΜΑΔΑ 1. Να λυθούν τα συστήματα: i. x y 1 x y 21        ii. 3x 5 2(y 1) 8 2(x 1) 3(1 2y) 9          iii. x y 1 2 3 3x 2(y 3)        2. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α,β, αν γνωρίζετε ότι τα ζεύγη (1,1) και (- 1, 5) είναι λύσεις της εξίσωσης x y 9 0    . 3. Να λύσετε τα παρακάτω συστήματα: i. x y 1 3x 4y 1 4x 2y 4 2 3 5(x 1) 6(y 1) 3               ii. x 3 2y 6 1 5 3 5x 1 y 4 5 3 2            4. Να λύσετε τα παρακάτω συστήματα: i. x 3 y 1 0 x y 3 0       ii. x 2y 2 2x 3y 3       iii. 2x 3y 6 x 3 y 0       5. Nα λύσετε την ανίσωση: 2x 1 1 05x 1 1 x 3 3 x2 2 3        6. Να λύσετε τα παρακάτω συστήματα: α) 2x 3y 5 5 2x 3 3y 1       β)       5 1 x 4y 4 5 1 x 5 1 y 6 2 5            γ) 3x 9y 3 3 x 3 3y 3       δ) 2 x 3 y 2 x 2 y 8       ε) x y 3 x 3 y 7       7. Για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου λ, να βρείτε τα κοινά σημεία των ευθειών: i.      1 2: x 2y 2 : 2 1 x 1 y 2 1               
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 14ο Λύκειο Περιστερίου [3] ii.    1 2: 2 x 4y 8 3 : 2x 4 y 8             8. Να βρείτε την εξίσωση της παραβολής 2 y x x     , της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από τα σημεία      A 1,8 , B 1,2 2,5   . 9. Να λύσετε τα παρακάτω συστήματα: i. x y 1 2x y 6 x y 2 5                ii. x y 1 x 2y 8 3x y 2 3                iii. 2x y 1 4x y 5 x y 2 5                10. Να βρεθεί κλάσμα τέτοια ώστε αν στους δύο όρους του προσθέσουμε το 2 προκύπτει ο αριθμός 2 ενώ αν από τους όρους του αφαιρέσουμε 3 προκύπτει ο αριθμός 3. 11. Σ’ ένα γκαράζ υπάρχουν συνολικά 50 οχήματα, αυτοκίνητα και ποδήλατα. Αν όλα τα οχήματα έχουν 164 ρόδες, πόσα αυτοκίνητα και πόσα ποδήλατα υπάρχουν στο γκαράζ; 12. Να βρείτε τρείς αριθμούς που έχουν άθροισμα 45, ο δεύτερος είναι ο μέσος όρος των δύο άλλων και ο τρίτος είναι κατά 14 μεγαλύτερος από τον πρώτο. Β΄ ΟΜΑΔΑ 13. Αν το σύστημα     1 x y 2 3x 1 y 4 2            έχει άπειρες λύσεις, να αποδείξετε ότι το σύστημα     x 2 1 y 3 2x 1 3 y            είναι αδύνατο. 14. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α, β για τους οποίους τα συστήματα   1 6 x y 2 :     x  y 0           και 2 x 3y 1 :    x y 2         είναι συγχρόνως αδύνατα. 15. Δίνεται το σύστημα: 2x 3y 11 x 5y 7          , . i. Να αποδείξετε ότι το σύστημα έχει λύση για οποιοδήποτε πραγματικό αριθμό λ. ii. Να βρείτε τη μοναδική λύση . iii.Για ποια τιμή του λ η λύση (x, y) που βρήκατε στο (β) επαληθεύει τη σχέση: 59 x y 13   16. Δίνονται τα συστήματα: 1 x 2y 1 : 3x 7y 2         και 2 x 2y 1 : 4x 9y 2            για ποιες τιμές των μ και κ τα συστήματα είναι ισοδύναμα;
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 14ο Λύκειο Περιστερίου [4] 17. Για ποια τιμή του λ, το σύστημα x 2y 4 x 3y 5        έχει λύση η οποία επαληθεύει την εξίσωση x 5y 17  ; 18. Για ποιες τιμές των κ, λ το σύστημα 2 2 x y 3 x y           έχει άπειρες λύσεις μία από τις οποίες είναι η  (x, y) 2, 1 ; 19. Σε ένα σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων με αγνώστους x, y ισχύει: x y x y D D D D D 3D      . Αν το σύστημα έχει μοναδική λύση, να βρεθεί η λύση αυτή. 20. Σε ένα σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων με αγνώστους x, y ισχύει: 2 2 x y x yD D 2D D  και D 0 . Αν x y 6  , να βρεθούν τα x, y. 21. Σε ένα γραμμικό σύστημα 2x2 με αγνώστους χ,y, για τις ορίζουσες του x yD, D , D ισχύει η σχέση: 2 2 x x y y2D 2D D D 0   . Να βρείτε τη λύση του συστήματος, αν γνωρίζετε ότι είναι μοναδική. 22. Σε ένα σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων με αγνώστους x, y ισχύει: 2 2 2 x y xD D D 4D 2D 5     i. Να αποδείξετε ότι:     2 2 2 x yD 2 D 1 D 0.     ii. Να βρείτε τη λύση του συστήματος. 23. Να λύσετε τα παρακάτω συστήματα: α) x y 6 y 4 x 18          β) 1 1 3 x y 4 1 1 0 y 1 1 1 x 2              24. Για ποιες τιμές των x και y η εξίσωση x-2y+1+λ(x-y)=0 αληθεύει για οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό λ; 25. Δίνονται οι ευθείες ε1 και ε2 με εξισώσεις x-y=-1 και λx-y=-1 αντίστοιχα, λ R . α) Να βρείτε τις σχετικές τους θέσεις για τις διάφορες τιμές του λ R . β) Να βρείτε το λ για το οποίο τέμνονται κάθετα. γ) Για το λ που βρήκατε στο (β), να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζεται από τις ευθείες και τον άξονα x΄x.
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 14ο Λύκειο Περιστερίου [5] 26. Δίνεται το σύστημα: x 2y 5 3x y 5 2x y          ι) Να οριστεί η τιμή της παραμέτρου α ώστε οι ευθείες που παριστάνουν οι πιο πάνω εξισώσεις να περνούν από το ίδιο σημείο. ιι) Αν α  0 δείξτε ότι οι παραπάνω ευθείες σχηματίζουν ορθογώνιο τρίγωνο. 27. Αν ο Μέγας Αλέξανδρος πέθαινε 9 χρόνια νωρίτερα, τότε ο χρόνος της βασιλείας του θα ήταν ίσος με το 1 8 του χρόνου της ζωής του. Αν όμως πέθαινε 9 χρόνια αργότερα και εξακολουθούσε να βασιλεύει, τότε ο χρόνος της βασιλείας του θα ήταν ίσος με το 1 2 του χρόνου της ζωής του. Να βρεθεί πόσα χρόνια έζησε ο Μέγας Αλέξανδρος και πόσα βασίλεψε. 28. Κάποιος μοιράζει με διαθήκη ένα ποσό σε τρεις ανιψιούς του Α, Β, Γ άνισα, ανάλογα προς τους αριθμούς 7, 6 και 5. Στη συνέχεια, με μια δεύτερη διαθήκη, αλλάζει τα μερίδια και διανέμει το ποσό ανάλογα προς τους αριθμούς 6, 5 και 4. α) Ποιος από τους κληρονόμους κερδίζει με τη νέα μοιρασιά; Ποιος χάνει; β) Ένας από τους κληρονόμους κερδίζει με τη δεύτερη μοιρασιά 6.000€ περισσότερο απ’ ότι κερδίζει με την πρώτη. Πόση ήταν η κληρονομιά και πόσο κάθε μερίδιο με τη δεύτερη μοιρασιά; 29. Να βρεθεί τριψήφιος φυσικός αριθμός αν: α) το άθροισμα των ψηφίων του είναι 24. β) ο αριθμός ελαττώνεται κατά 9 στην περίπτωση που αλλάξει η θέση των δύο τελευταίων ψηφίων του . γ) ο αριθμός ελαττώνεται κατά 90 στην περίπτωση που αλλάξει η θέση των δύο πρώτων ψηφίων του. 1.2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ο πιο συνηθισμένος τρόπος επίλυσης ενός μη γραμμικού 2x2 συστήματος , είναι η μέθοδος αντικατάστασης. Λύνουμε τη μία εξίσωση ως προς τον άγνωστο που έχει πρώτο βαθμό και αντικαθιστούμε στη δεύτερη εξίσωση. Α΄ ΟΜΑΔΑ 1. Να λύσετε τα παρακάτω συστήματα: α) 2 2 2x y 3x y 11 5x y 2         β) 2 y xy 10 5x y 17       γ) 2 x xy 3 3x 2y 7       δ) 2 x xy 10 2x y 7       2. Να λύσετε τα παρακάτω συστήματα και να ερμηνεύσετε γεωμετρικά.
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 14ο Λύκειο Περιστερίου [6] i. 2 2x y 0 6x y 4       ii. 2 2 x y 4 x y 0       iii. 2 2 x y 2 xy 1      iv. 2 2x y 0 2x y 4        v. 2 2 x y 25 x y 1        vi. 2 2 x y 17 xy 4      vii. 2 2 x y 34 x y 8       3. Για ποιες τιμές του λ R η ευθεία y=λx+3 εφάπτεται του κύκλου x2 +y2 =4; 4. Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού λ, για τις οποίες η ευθεία y 4x  τέμνει την παραβολή 2 y x . Β΄ ΟΜΑΔΑ 5. Να λύσετε τα παρακάτω συστήματα: i. 2 2 2 2 x y x y 42 x y x y 18           ii.   x y xy 5 x y xy 6       iii. 2 x y w 2 2xy w 4       iv. x y xy 7 xy(x y) 6        v.. x(2x y) x 0 x y 2        vi.    2 x y y 4 16 y 3x 4y 11         vii. 3 3 x y 35 x y 5       viii. x y 6 x y xy 11       ix. 2 2 2 2 x xy y 75 x xy y 25         x. x y xy 4 y z yz 7 z x zx 9            ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 1. Δίνεται το σύστημα 5y 4x 1 , 2x 3y 2           Α) Να αποδείξετε ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση  0 0x , y για κάθε τιμή του λ. Β) Να βρείτε τις τιμές των 0 0x , y . Γ) Να βρείτε τις ακέραιες τιμές του λ, για τις οποίες η λύση  0 0x , y του συστήματος ικανοποιεί τη σχέση 0 0x y 3  . 2. Δίνεται το σύστημα  k 1 x 2y k 1 kx ky 1        ,όπου k πραγματικός αριθμός Α) Να βρεθεί το k ώστε το σύστημα να έχει μοναδική λύση. Β) Να βρεθεί η μοναδική λύση  0 0x , y για τις παραπάνω τιμές του k. Γ) Να βρεθούν οι τιμές του k για τις οποίες η λύση  0 0x , y του συστήματος ικανοποιεί τη
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 14ο Λύκειο Περιστερίου [7] σχέση 0 0x y 3  . 3. Α) Να λυθεί το σύστημα: 2 x y 1 x y         , για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου  . Β) Αν  0 0x , y η μοναδική λύση του προηγούμενου συστήματος, να βρεθούν οι τιμές της παραμέτρου  ώστε 0 0y 0 x  . 4. Δίνεται το σύστημα    2 x y 2 ( 1)x 1 y 2 1             ,όπου μ   . i. Να αποδείξετε ότι για κάθε μ το σύστημα έχει μοναδική λύση . ii. Να βρείτε τη μοναδική λύση 0 0(x , y ) . iii. Να προσδιορίσετε το μ , ώστε η παράσταση 2 2 0 0x y   να γίνει ελάχιστη. 5. Δίνεται το σύστημα       1 x 1 y 2 x 1 y 2             και η εξίσωση  2 x 1 x 1 0     . Α) Να βρείτε τη τιμή του λ για την οποία το σύστημα είναι αδύνατο. Β) Να αποδείξετε ότι αν το σύστημα είναι αδύνατο, τότε η εξίσωση έχει μια διπλή ρίζα την οποία και να βρείτε. Γ) Να βρείτε την μοναδική λύση του συστήματος  0 0x , y και να αποδείξετε ότι 0 0x 2y  . 6. Δίνεται το σύστημα     1 x y 2 , x 1 y 1                το οποίο έχει ορίζουσα D.Επίσης η εξίσωση    2 D 5 4 D 1 0,        έχει μία διπλή ρίζα i. Να βρείτε την ορίζουσα D και τη διπλή ρίζα της εξίσωσης ii. Nα λύσετε το σύστημα. 7. Δίνεται η συνάρτηση   2 f x x x     με , ,    για την οποία ισχύουν: f(1)=0,f(-1)=10 και f(2)=1. α)τις τιμές των α,β,γ β)να βρείτε τα σημεία τομής της Cf με τους άξονες. γ)να λύσετε την ανίσωση    f x f x 1 7   8. Δίνεται η εξίσωση :  2 x x 0       η οποία έχει ρίζες 1 2x ,x για τις οποίες ισχύουν οι σχέσεις : 1 2 1 2x x 3,x x 2     και 2 2 1 2x x 3       . Να βρείτε τα α,β και γ. 9. Δίνεται το σύστημα : 2x y 7 7x 2y 11       
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 14ο Λύκειο Περιστερίου [8] α) Να βρείτε τη λύση  0 0x , y του συστήματος β)Η γραφική παράσταση της συνάρτησης   2 f x x x    έχει κορυφή το σημείο  0 0x , y i)να βρείτε τους αριθμούς β και γ. ii)να λύσετε την ανίσωση  f x 0 . iii)να λύσετε το σύστημα  y f x x y 6      10. Δίνεται το σύστημα     1 x 8y 4 x 3 y 3 1              το οποίο έχει μοναδική λύση 0 0x , y για την οποία ισχύει 0 0x y 1  α)Να βρείτε τον αριθμό λ. β)Δίνεται η συνάρτηση   2 f x x 2 x 6     i. Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η Cf είναι πάνω από τον x΄χ ii.Να λύσετε το σύστημα :     y f x 2y f x 1 10x     
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 14ο Λύκειο Περιστερίου [9] 2.1 ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ-ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Μεθοδολογία ασκήσεων Μονοτονία συνάρτησης  Γνωρίζοντας τη γραφική παράσταση της συνάρτησης Προβάλουμε τα τμήματα της καμπύλης που κατέρχονται (φθίνει) από αριστερά προς τα δεξιά, στον άξονα χ΄χ και βρίσκουμε τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα. Αντίστοιχα προβάλουμε τα τμήματα της καμπύλης τα οποία ανέρχονται (αυξάνει) στον άξονα χ΄χ και βρίσκουμε τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα.  Γνωρίζοντας το τύπο της συνάρτησης Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης f. Θεωρούμε 1 2x ,x  με 1 2x x , όπου    . Στη συνέχεια προσπαθούμε με κατάλληλες πράξεις να σχηματίσουμε τα  1f x και  2f x . Αν    1 2f x f x , τότε f στο Δ, ενώ αν    1 2f x f x , τότε f στο Δ. Ακρότατα συνάρτησης  Γνωρίζοντας τη γραφική παράσταση της συνάρτησης Βρίσκουμε (αν υπάρχει) το κατώτερο σημείο   0 0x ,f x της fC . Τότε η f παρουσιάζει ελάχιστο στο 0x το  0f x . Αντίστοιχα βρίσκουμε (αν υπάρχει) το ανώτερο σημείο   1 1x ,f x της fC . Τότε η f παρουσιάζει μέγιστο στο 1x το  1f x .  Γνωρίζοντας το τύπο της συνάρτησης Αρχικά προσπαθούμε να μετατρέψουμε (αν χρειάζεται) το τύπο της συνάρτησης στη μορφή     2k 0f x x x   . Τότε: - Αν 0  , έχουμε           2k 2k 2k 0 0 0 0x x 0 x x 0 x x f x f x              , οπότε η f παρουσιάζει ελάχιστο στο 0x το  0f x . - Αν 0  , έχουμε           2k 2k 2k 0 0 0 0x x 0 x x 0 x x f x f x              , οπότε η f παρουσιάζει μέγιστο στο 0x το  0f x . Άρτια - Περιττή συνάρτηση  Γνωρίζοντας το τύπο της συνάρτησης Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης f. Παρατηρούμε αν αυτό είναι συμμετρικό γύρω από το 0, γιατί τότε για κάθε x  και x   . Στη συνέχεια βρίσκουμε το  f x , αντικαθιστώντας στην f όπου x το – x. Αν    f x f x  ,τότε η f είναι άρτια ενώ αν    f x f x   , τότε η f είναι περιττή. Αν όμως δεν μπορούμε να καταλήξουμε στα προηγούμενα, τότε θεωρούμε δύο αντίθετες τιμές για το χ που ανήκουν στο Α και αποδεικνύουμε
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 14ο Λύκειο Περιστερίου [10] ότι    f x f x  και    f x f x   , οπότε η f δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή.  Γνωρίζοντας τη γραφική παράσταση της συνάρτησης Διπλώνουμε το σχήμα κατά μήκος του άξονα y΄y. Αν τα τμήματα της καμπύλης συμπέσουν τότε η συνάρτηση είναι άρτια. Περιστρέφουμε το σχήμα κατά 180 , αν το νέο σχήμα που θα προκύψει είναι ίδιο με το αρχικό τότε η συνάρτηση είναι περιττή. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α΄ ΟΜΑΔΑ 1. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τις παρακάτω συναρτήσεις: i.  f x x 4   ii.  f x 6x 38  iii.  f x 3 x  iv.  f x 3 2 x 1   2. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τις παρακάτω συναρτήσεις σε καθένα από τα διαστήματα του πεδίου ορισμού τους: i.   3 f x x  ii.   2 1 f x x  iii.   2 x x f x x 1    iv.   x f x x  v.   1 f x x x   vi.   1821 1453 f x x 3x 2014   3. Να βρείτε τα ακρότατα των συναρτήσεων: i.   2 f x 3x 2  ii.     2 f x 4 x 1 3   iii.     22014 2 f x x x x 1    4. Να αποδείξετε ότι: i. Η συνάρτηση   2 f x x 6x 4   παρουσιάζει ελάχιστο το  f 3 5  . ii. Η συνάρτηση   2 4x g x x 4   παρουσιάζει μέγιστο για x 2 5. Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι άρτιες και ποιες περιττές: i.   4 2 f x x 3x 2   ii.   5 3 g x x 2x 4x   iii.   2 x h x x 1   iv.   3x t x x 5   v.   4 3 x x 5x x 4     vi.   2 x 9 x   6. Να εξετάσετε ποιες από τις γραφικές παραστάσεις των παρακάτω συναρτήσεων έχουν άξονα συμμετρίας τον y΄y και ποιες κέντρο συμμετρίας το  O 0,0 : i.   2 f x 25 x  ii.   2 2x f x x 1   iii.   2 f x x x 7. Δίνεται η συνάρτηση   2 x 9 , x 0 f x 2x 8 , x 0         . i. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία σε καθένα από τα διαστήματα
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 14ο Λύκειο Περιστερίου [11]  ,0 και  0, . ii. Να βρείτε τις τιμές  f 4 και  f 1 . iii. Να εξετάσετε αν η f είναι γνησίως μονότονη στο πεδίο ορισμού της. Β΄ ΟΜΑΔΑ 8. Δίνεται συνάρτηση f γνησίως φθίνουσα στο  . Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις: i.    f 3x 2 f x 4   ii.    f x 1 f 3  iii.    f x 2 f 2x 3 0    9. Δίνεται συνάρτηση f γνησίως αύξουσα στο  με  f x 0 για κάθε x  . Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση     1 g x f x  είναι γνησίως φθίνουσα στο  . 10. Αν η συνάρτηση  f x 3x 1  έχει πεδίο ορισμού το διάστημα  2,5 , να βρείτε τα ακρότατα της. 11. Να βρείτε, αν υπάρχει το ελάχιστο ή το μέγιστο των συναρτήσεων: i.   2 f x x 2x 10   ii.   2014 3 g x x 3   iii.  h x x 1 4   12. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις συναρτήσεις: i.   2 f x 4 x  ii.  f x x 2  13. Δίνεται η συνάρτηση 3 f (x) 4x x 5   , x  . i. Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία. ii. Να λύσετε την ανίσωση  f x 3 0  . 14. Δίνεται η συνάρτηση 3 f (x) 8 x  , x  . i. Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία. ii. Να λύσετε την ανίσωση   f f x 8 8  . 15. Να αποδείξετε ότι αν η συνάρτηση  f x είναι περιττή στο  , τότε η συνάρτηση    2 g x f x είναι άρτια. 16. Αν συνάρτηση f είναι περιττή στο  , να λύσετε την εξίσωση:    2014 2014 f x 1 x 2 f 1 x     17. i. Για κάθε α > 0, να δείξετε ότι α + 1 α  2.
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 14ο Λύκειο Περιστερίου [12] ii.Να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f (x) = x + 1 x με x > 0. 18. Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το R και είναι άρτια. Στο [α, β] με 0<α<β είναι γνησίως αύξουσα. Να εξεταστεί η μονοτονία της στο [-β, -α]. 19. Μια συνάρτηση f είναι περιττή στο διάστημα [-12, 12]. Η μελέτη στο διάστημα [0, 12] έδωσε τον διπλανό πίνακα. Να συμπληρώσετε τον πίνακα για ολόκληρο το διάστημα [-12, 12]. 20. Τα παρακάτω σημεία ανήκουν στην γραφική παράσταση μιας άρτιας συνάρτησης. Να συμπληρώσετε τους αριθμούς που λείπουν: (-1, 2) ( 1 1 , 2 2 ) (…, 2) (…, 4) (3, …) (-3, 18) ( 2 , 4) 1 ,... 2       21. Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα με πεδίο ορισμού το R 0<α<β να διατάξετε από την μικρότερη προς την μεγαλύτερη τις τιμές: f 2        , f(α), f(β), f(0), f(α-β), f 2 3         22. Δίνεται η συνάρτηση  f x 1 x 2   i. Να εξετάσετε την f ως προς την μονοτονία. ii. Να δείξετε ότι 1 f 2014 1 2014        iii. Να λύσετε την ανίσωση f(x) < 2. 23. Έστω ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη στο R . Αν 1 2 f f 3 5             και η Cf διέρχεται από το σημείο Α(1, 4) να λύσετε την ανίσωση  f 3x 1 4  24. Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη στο R να λύσετε τις εξισώσεις. i.    2 f x f 4x 4  ii.    f 2x 5 f 3  x f(x) 0 1 4 12 3 2 0 5
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 14ο Λύκειο Περιστερίου [13] 2. 2 ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ-ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ Κατακόρυφη μετατόπιση καμπύλης Η γραφική παράσταση της συνάρτησης    g x f x c  , c 0 προκύπτει από κατακόρυφη μετατόπιση της γραφικής παράστασης της f κατά c μονάδες προς τα πάνω και η γραφική παράσταση της συνάρτησης    h x f x c  , c 0 προκύπτει από κατακόρυφη μετατόπιση της γραφικής παράστασης της f κατά c μονάδες προς τα κάτω. Οριζόντια μετατόπιση καμπύλης Η γραφική παράσταση της συνάρτησης    g x f x c  , c 0 , προκύπτει από οριζόντια μετατόπιση της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f κατά c μονάδες προς τα αριστερά. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης    h x f x c  , c 0 , προκύπτει από οριζόντια μετατόπιση της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f κατά c μονάδες προς τα δεξιά. Σημείωση: Για τη γραφική παράσταση της συνάρτησης    1 2g x f x c c   , χρησιμοποιούμε τόσο την οριζόντια όσο και την κατακόρυφη μετατόπιση. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση   2 f x 4 x  . Στο ίδιο σύστημα αξόνων να παραστήσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: i.   2 1g x 2 x  ,   2 2g x x  και   2 3g x 1 x   ii.         2 2 1 2h x 4 x 2 h x 4 x 2       iii.         2 2 1 2x x 2 x 2 x 2         2. Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση y x΄ y΄ xO  y f x  y f x c  c c c c c y x΄ y΄ xO  y f x  y f x c  c c c c c c y΄ x΄ x O y
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 14ο Λύκειο Περιστερίου [14]  f x x . Στο ίδιο σύστημα αξόνων να παραστήσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: i.  1g x x 3  ,  2g x x 1  ii.    1 2h x x 2 h x x 4     iii.    1 2x x 2 1 x x 4 3         3. Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση  f x x  . Στο ίδιο σύστημα αξόνων να παραστήσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων    g x 3 x ,h x x 2       x 3 x 2    . 4. Δίνεται η συνάρτηση   2 f x 3x 2x 1   . Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f της οποίας η γραφική παράσταση προκύπτει από δύο διαδοχικές μετατοπίσεις της γραφικής παράστασης της f: i. κατά 2 μονάδες προς τα δεξιά και κατά 3 μονάδα προς τα πάνω. ii. κατά 1 μονάδα προς τα δεξιά και κατά 2 μονάδες προς τα κάτω. iii. κατά 2 μονάδες προς τα αριστερά και κατά 2 μονάδες προς τα πάνω. iv. κατά 3 μονάδες προς τα αριστερά και κατά 2 μονάδες προς τα κάτω. v. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1. Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f. i. Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της. ii. Να βρείτε το πρόσημο των παραστάσεων: A f ( 6) f ( 5)    f ( 3) f ( 2) B f ( 1) f ( 2)        f (3) f (4) f (5) f (6)     . 2. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση 2 3 x x , x 0 f (x) x 4, x 0        , είναι γνησίως αύξουσα στο  . x΄ y΄ x O y y΄ x΄ x O y fC
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 14ο Λύκειο Περιστερίου [15] 3. Δίνεται η συνάρτηση   x 3 ,x 1 f x x ,x 1         . i. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία. ii. Να χαράξετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης. iii.Να βρείτε, αν υπάρχουν, τα ακρότατα της f. 4. Δίνεται η συνάρτηση   2x 1 ,x 0 f x 2x 1 ,x 0        . i. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία. ii. Να χαράξετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης. iii.Να βρείτε, αν υπάρχουν, τα ακρότατα της f. 5. Δίνεται η συνάρτηση 3 f (x) x 5x 1   , x  . α) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία. β) Να λύσετε την ανίσωση   f f x 7 . 6. Δίνεται συνάρτηση f γνησίως αύξουσα στο  και συνάρτηση g γνησίως φθίνουσα στο  . i. Να δείξετε ότι η συνάρτηση h(x) = 27f 3 (x) – 8g 3 (x) είναι γνησίως αύξουσα στο  . ii. Αν ισχύει     f 0 2 g 0 3  , να λύσετε την ανίσωση 27f 3 (x) > 8g 3 (x) . 7. Δίνεται η συνάρτηση f(x)= x2015 +x2013 +1. i. Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο  ii. Να λύσετε την ανίσωση : x2015 +x2013 -2>0 iii. Να λύσετε την ανίσωση : f(f(x))<3 8. Η γραφική παράσταση Cf μιας συνάρτησης f είναι αυτή που φαίνεται στο σχήμα. i. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. ii. Να βρείτε το σύνολο τιμών της. iii. Να λύσετε τις εξισώσεις: a) f (x) = 0, b) f (x) = 2, c) f (x) = - 2 iv. Να λύσετε τις ανισώσεις: a) f (x) > 0, b) f (x) < 0, c) f (x)  2, d) f (x) < - 2 v. Να εξετάσετε αν η f είναι άρτια. vi. Να εξετάσετε αν η f είναι περιττή.
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 14ο Λύκειο Περιστερίου [16] 9. Δίνεται η συνάρτηση  f x 16 x 3x 9 x 1      . α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f β) Να βρείτε το σημείο τομής της f με τον άξονα y΄y γ) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία δ) Να βρείτε τα ακρότατα της f ε) Να λύσετε την ανίσωση: 16 x 3x 9 x 1     10. Δίνεται η συνάρτηση   3 f x x x    , της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο Μ(-1,4) α) Να αποδείξετε ότι λ=-3 β) Να εξετάσετε αν η f είναι άρτια ή περιττή γ) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία δ) Αν    , να συγκρίνετε τους αριθμούς  2 2 f   και  f 2 ε) Να λύσετε την ανίσωση :       33 2 2 3x 1 x 5 3 x 3x 4     
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 14ο Λύκειο Περιστερίου [17] 3.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο ισχύουν: Γ ημ Β = A B   συν Β = AB B εφ Β = A AB  Α Β Τριγωνομετρικοί αριθμοί χαρακτηριστικών γωνιών: ημίτονο  2 1 2 3  3 2  3 3 4  2 2  4 5 6  1 2  6 π 0 συνημίτονο -1  3 2  2 2  1 2 0 1 2 2 2 3 2 2π 7 6   1 2   6 5 4   2 2   4 4 3   3 2   3 3 2  -1
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 14ο Λύκειο Περιστερίου [18] ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α΄ΟΜΑΔΑ 1. Να εκφραστεί (i) Η γωνία 0 30 σε rad. (ii) H γωνία 5 3  rad σε μοίρες 2. Να υπολογιστούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των γωνιών 0 0 91 61 1485 , 2790 , , . 3 6   3. Αν 9 14 x 2 3     να αποδείξετε ότι: ημx-συνx > εφx+σφx . 4. Αν 5 x 3 2     να αποδείξετε ότι: ημx-εφx>συνx+σφx. 5. Αν 3 x 2     να αποδείξετε ότι: συνx+1+3εφx+4σφx>0. 6. Βρείτε τη μεγαλύτερη και τη μικρότερη τιμή των παραστάσεων: α) y = 2 + 3 συνx β) y = 5 + ημ2 x γ) y = 1 2 - x 7. Να δειχθεί ότι: ημ405 - ημ750 συν1125 + συν1860     = 3 - 2 2 . Β΄ΟΜΑΔΑ 8. Αν 3 x 4 .    Να δείξετε ότι x x x x 2 3 2 2 2 2        9. Αν ισχύει 3 x 2     να δείξετε ότι: 2 x. x 2 x. x x x 0          10. Αν 3 x 2 2     δείξτε ότι 2 x x 2 x x x x 0          11. Να βρεθεί η ελάχιστη και η μέγιστη τιμή των παραστάσεων: Α= 2 1 2 x  Β= 2 3 x 2 1    12. Να βρεθεί η ελάχιστη και η μέγιστη τιμή των παραστάσεων: Α=1-3συν2 x Β=3ημω-2συν2 x-1 13. Να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει γωνία ω ώστε : 2 2 3,       . 14. Να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει γωνία ω ώστε : 2 4 4 3,       . 15. Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει x  τέτοιος ώστε i) 2 x 12 7 x    ii) 2 x 1 x 5     16. Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει x  τέτοιος ώστε i) 2 x 6 5 x    ii) 2 x 1 x 11    
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 14ο Λύκειο Περιστερίου [19] 3.2. ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 2 2 x x 1    x x x     x x x     x x 1   2 2 1 x 1 x     2 2 2 x x 1 x      ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α΄ ΟΜΑΔΑ 1. Αν 4 x 5    και 3 x , 2     Να βρεθούν οι άλλοι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας x rad. 2. Αν x 2   και x . 2     Να βρεθούν οι άλλοι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας x rad. 3. Aν ένα σημείο Μ ενός τριγωνομετρικού κύκλου που έχει διαγράψει τόξο ω βρίσκεται στο 20 τεταρτημόριο και έχει τεταγμένη y = 5 13 . Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: 13 12 2012 5 13 25       4. Απλοποιήστε τις κλασματικές παραστάσεις: i) 4 2 4 2 συν x - συν x ημ x - ημ x ii) 2 2 2 2 x - y συν x - συν y  5. Να αποδειχθεί ότι: α)   2 2 2 1 1 x x x x        β) 2 2 x x x x x x         γ) x 1 x 2 1 x x x          δ) 4 4 2 1 1              6. Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού λ για τις οποίες υπάρχει γωνία χ για την οποία ισχύει ότι: α) 1 x 2       και 3 2 x 4       β) x 1    και x 2  
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 14ο Λύκειο Περιστερίου [20] 7. Αν 1 2       και 2 2 3       .Να προσδιορίσετε το κ . Β΄ΟΜΑΔΑ 8. Αν 6ημ2 x + ημx - 1 = 0 και π < x < 3π 2 , να βρεθεί το συνx. 9. Αν 9 x 5 2     και 2 16 9   , να βρείτε την τιμή της παράστασης 1      10. Αν 4 x 3 x 5    και 0 x 2    , να υπολογιστεί η x . 11. Να εξετάσετε αν οι ρίζες της εξίσωσης 4x2 +2 3 1 x 3  =0 μπορούν να είναι το ημίτονο και το συνημίτονο μιας γωνίας θ. 12. Αν x x    , να υπολογίσετε με τη βοήθεια του 2  τις παραστάσεις: i. x x  ii. x x   iii. 2 2 x x   iν. 3 3 x x   13. Να αποδειχθεί ότι: i. 2 2 4 4 2 2 4 ημ α -συν α + συν α = εφ α συν α -ημ α + ημ α ii. 2 2 1- 2ημθ 1-3ημθ - = 3εφ θ συν θ 1- ημθ 14. Αν ρ1,ρ2 είναι ρίζες της εξίσωσης      2 2 1 x 1 x 1 0, 1              τότε να δείξετε ότι ρ1+ρ2+ρ1ρ2=1. 15. Να βρείτε το  , ώστε η παράσταση  6 6 4 4 x x x x          να είναι ανεξάρτητη του x και στη συνέχεια να βρείτε την τιμή της παράστασης Κ. 16. Να αποδείξετε ότι : 2 2 x y 2 x y 2       για κάθε x, y 17. Να αποδείξετε ότι : 1 2   18. Να αποδειχτεί ότι 5 x 2 x 5      . 19. Να δείξετε ότι: α) 3 x + 2 x   5 β) 2 x - 10 x   12
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 14ο Λύκειο Περιστερίου [21] 3.3. ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ 1ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ Μεθοδολογία Η αναγωγή στο 1ο τεταρτημόριο γίνεται και με εμπειρικούς τρόπους, ένας από τους οποίους είναι και ο παρακάτω: 1. Για τυχαίο ακέραιο κ ισχύει ότι:  ημ(κπ  θ) = ημθ  συν(κπ  θ) = συνθ  εφ(κπ  θ) = εφθ  σφ(κπ  θ) = σφθ Δηλαδή: i. Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί τόξων της μορφής x = κπ  θ δεν αλλάζουν (τα ημίτονα παραμένουν ημίτονα κ.λπ.). ii. Το πρόσημο στο β΄ μέλος εξαρτάται:  από το τεταρτημόριο στο οποίο βρίσκεται ο αριθμός x (χωρίς να βλάπτεται η γενικότητα μπορούμε να θεωρούμε ότι  π 2 θ 0, ).  από το πρόσημο του συγκεκριμένου τριγωνομετρικού αριθμού x στο τεταρτημόριο αυτό. 2. Για τυχαίο περιττό ακέραιο κ ισχύει ότι:  κπ ημ θ συνθ 2          κπ συν θ ημθ 2          κπ εφ θ σφθ 2          κπ σφ θ εφθ 2         Δηλαδή: i.Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί τόξων της μορφής κπ 2 x θ  , όπου ο κ είναι (υποχρεωτικά) περιττός ακέραιος αλλάζουν από ημίτονα σε συνημίτονα, από συνημίτονα σε ημίτονα, από εφαπτομένη σε συνεφαπτομένη και από συνεφαπτομένη σε εφαπτομένη. ii. Το πρόσημο στο β΄ μέλος εξαρτάται:  Από το τεταρτημόριο, στο οποίο βρίσκεται ο αριθμός x.  Από το πρόσημο του τριγωνομετρικού αριθμού του α΄ μέλους στο συγκεκριμένο τεταρτημόριο. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α΄ ΟΜΑΔΑ 1. Να βρεθούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των γωνιών: i. 19500 ii. -12150 iii. 38 3   iν. 55 4   2. Να δείξετε ότι σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε: i. ημΑ = ημ (Β + Γ) ii. ημ2 Β + συν2 (Α + Γ) = 1 3. Να δείξετε ότι: α) 5π 7π 4π ημ . συν . εφ 24 6 3 = - 4π 5π 7π 42ημ . εφ . σφ 3 4 6 β) - ημ (270 + θ) ημ (180 + θ) - 1 = 1 + συν (90 + θ) συν (180 - θ)    
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 14ο Λύκειο Περιστερίου [22] 4. Να απλοποιηθεί η κλασματική παράσταση: π ( x) ( - x) 2 ( x) ( x)          . 5. Να αποδείξετε ότι:   3 ( ) 0 2 2                             6. Να εκφράσετε συναρτήσει του ημx και του συνx τις παραστάσεις: Α = συν (x - π) + συν (x - π 2 ) + ημ (x - π) + ημ (x - π 2 ) 7. Να απλοποιηθούν οι παραστάσεις: (3 x). x . (7 x) 2 7 (9 x). x . x 2 2                                   ( ) 2 2 ( ) 2                                    8. Να δείξετε ότι: ( x). ( x). (9 x) i. 1 17 13 x . (x 2 ). x 2 2                             (2 ). ( ). ( ). . (2 ) 2 ii. 3 3 . ( ). . 2 2 2                                                           0 0 0 0 0 0 (180 ). (90 ). (180 ) iii. 1 (90 ). (90 ). (90 ) 5 . ( 2 ). (3 ) 2 iv. 1 3 . (5 ). ( ) 2 2                                                      9. Να αποδείξετε ότι: 9 11 9 11 2 2 2 2 1 17 19 13 15 2 2 2 2                                                                              10. Να αποδείξετε ότι:       13 27 9 23 2 2 9 11 2                                        
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 14ο Λύκειο Περιστερίου [23] 11. Αν για τις οξείες γωνίες Β και Γ τριγώνου ΑΒΓ ισχύει ότι 11 4   και 5 4   , να αποδειχτεί ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο. Β΄ ΟΜΑΔΑ 12. Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ να δειχθεί ότι: i. συν2 Α=  2 1 1     ii. συν   3 3 0 2 2                  iii. ημ2 2 2 2 2 1 2                    13. Δίνονται οι παραστάσεις Α= 1 91 2 92       και Β= 2 x ( x). ( x) 2 x . ( x) 2 2                           .Να δείξετε ότι 2   . 14. Αν 2 x 2 x 0    και 0 x 2    , να βρεθεί η τιμή της παράστασης: Α= 2011 33 x 2 x 2 2 3 (27 x) ( 3 x)                          15. Αν συν 23 23 1 2 2 2                    να υπολογιστεί η παράσταση Α=εφ2 x+σφ2 x. 16. i. Να αποδείξετε ότι: συν (x + 45°) = ημ (45° - x) ii. Να βρεθεί η αριθμητική τιμή του αθροίσματος: συν2 (x + 45°) + συν2 (x - 45°) + ημ2 (45° - y) + ημ2 (y + 45°). 17. Δίνεται 1 4 4 2                     .Να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων: i. Α= 2 2 4 4                    ii. Β= 4 4                   18. Δίνεται 5 2 12 12                     .Να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων: Ι) Α= 2 25 12 12                    ΙΙ) Β= 3 35 12 12                    19. Να αποδείξετε ότι: i. 0 0 0 0 0 0 1 2 ... 179 180 0           ii. 0 0 0 0 0 1 2 ... 359 0        
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 14ο Λύκειο Περιστερίου [24] 20. Αν 0 2     ,να δείξετε ότι:   3 5 2 1 2 2                            3.4. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Τύποι επίλυσης τριγωνομετρικών εξισώσεων: ημ x = ημ θ  x = 2kπ + θ ή x = 2kπ + π - θ συν x = συνθ  x = 2kπ + θ ή x = 2kπ - θ εφ x = εφ θ  x = kπ + θ σφ x = σφ θ  x = kπ + θ πάντα με κΖ Ειδικές περιπτώσεις: ημ x = 1  x = 2kπ + 2  ημ x = -1  x = 2kπ - 2  συν x = 1  x = 2kπ συν x = -1  x = 2kπ + π ημ x = 0  x = kπ συν x = 0  x = kπ + 2  εφx=0  x=kπ σφx=0  x = kπ + 2  πάντα με κΖ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α΄ ΟΜΑΔΑ 1. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) 2 συνx-1=0 β) 3 εφx-1=0 γ) 3 σφx-3=0 δ) εφ2x 3 2. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) 3 ημ2x 2   β) 2 συν2x 2   γ) π εφ x 3 6         δ) σφ2x = -1 3. Ομοίως οι εξισώσεις: α ) 3 (1+ημx)(2+συνx)=0 β) (3εφx+ 3 )(1-συν2 x)=0 γ) (1-2ημ2 x)(1+2συν2 x)=0 δ) (1+συνx) 1 1 0 x        4. Να λυθούν οι εξισώσεις:
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 14ο Λύκειο Περιστερίου [25]        2 i) x 1 . 2 x 2 0 ii) x 1 . x 0 iii) 2 x 1 . x 0             5. Να λυθούν οι εξισώσεις: 1 i) x ii) 3x 3 iii) x x 0 4 2 3 3                                6. Ομοίως οι εξισώσεις: ι) ημ 3x 2x 0 2 3    ιι) συν2x+συν x 0 2  ιιι) εφx=- εφ2x 7. Να λυθούν οι εξισώσεις: i) 3x (x ) ii) 2x x 3 6               8. Να λύσετε τις εξισώσεις: ι) π ημ2x συν x 3        ιι) π π συν x ημ x 0 3 6                ιιι) π εφ2x σφ x 4        ιv) π π ημ 2x συν x 0 4 2                9. Να λυθούν οι εξισώσεις:   2 2 2 2 2 i) 2 x 5 x 3 0 ii) 2 x 1 5 x iii)2 x 3 1 x iv) 3 x x 5 x 0                     10. Να λυθεί στο  0, η εξίσωση 2 2x 1 5         . 11. Να λυθούν οι εξισώσεις: ι) 2ημ 2x 1 3        στο (π, 2π) β) 1-σφ2x=0 στο ,0 2       12. Δίνεται η εξίσωση 4ημ(x – π)  ημ(2π – x) = ημ2 (x + π) + συν2 (x – π). α)Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση είναι ισοδύναμη με την εξίσωση 4ημ2 x = 1. β) Να λυθεί η δοσμένη εξίσωση. Β΄ ΟΜΑΔΑ 13. Να λυθούν οι εξισώσεις: i) 2 x x 2 x 2 x 2 0        ii) 3 2 x 2 x x     14. Να λυθεί η εξίσωση 5x 10x 1   . 15. Να λυθεί στο  0,2 η εξίσωση 1 x x    .
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 14ο Λύκειο Περιστερίου [26] 16. Να λυθεί στο  ,2  η εξίσωση  x x 3 2     . 17. Να λυθούν οι εξισώσεις: α)   2 2 2 4 x x x x 3 x 0         β) 3 2 x 2 x x     γ) 2 2 7 x 3 4 x x 2 x          δ) 4 4 x 1 – x   18. Να λυθεί η εξίσωση: 2012 2014 2x x 0    19. Να λυθεί η εξίσωση: 2 4 x 2 x 2    20. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) 2 ημx 1 4 ημx 1 ημx 1 1 ημx συν x ημx        β) 2 2 2 2 4 ημ x 3 5 ημ x 15 ημ x 2 ημ x 2 ημ x 4        21. Να λυθεί η εξίσωση  3 2 1 2x x 3 x 4        . 22. Να λυθεί η εξίσωση:   4 2 x 1 x 1 3 2x      23. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: i. x 1 2         ii.  x 1   24. Δίνεται η εξίσωση: 2 2 3 ημ x λ συνx λ , λ 4     Αν μια λύση της εξίσωσης είναι ο αριθμός 2π 3 x  , τότε: i. να βρείτε την τιμή του λ. ii. να βρείτε όλες τις λύσεις της εξίσωσης. 25. Δίνεται η συνάρτηση   1 1 f x x 1 x 1 x x                 . i. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. ii. Να λύσετε την εξίσωση  f x 2 στο διάστημα  0, . 26. Έστω η συνάρτηση :   x 1 f x x     i. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. ii. Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή. iii. Να λύσετε την εξίσωση :  f x x  .
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 14ο Λύκειο Περιστερίου [27] 27. Δίνεται η συνάρτηση   2 f x 3 x ( 3 1) x 1      , x 0, 2       . i. Να λύσετε την εξίσωση  f x 0 . ii. Αν  η μεγαλύτερη ρίζα της προηγούμενης εξίσωσης, να αποδείξετε ότι:         9 2 2 1 17 1821 2                                  28. Δίνεται η συνάρτηση   x x f x 1 x      . i. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. ii. Να αποδείξετε ότι   1 f x 1 x    . iii. Να αποδείξετε ότι η f είναι άρτια. iv. Να αποδείξετε ότι  4k 1 f x f x 2 2              v. Να λύσετε την εξίσωση f x 3 2        . 29. Δίνεται η συνάρτηση   3 2 f x 2 2x 2x 4 2x 2       . i. Να αποδείξετε ότι 3 f x f x 2 2                . ii. Να λύσετε την εξίσωση  f x 0 . iii. Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης    3 g x 2 2x 2 2x f x     καθώς και τις αντίστοιχες τιμές του x. 30. Δίνεται η συνάρτηση   1 2 x x f x x x        . i. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. ii. Να αποδείξετε ότι  f x x x    . iii. Να λύσετε την εξίσωση    f x f x 1 0   . 31. Δίνονται οι συναρτήσεις   2 2 16 x f x 1 x     και   2 g x x 1   . i. Να βρείτε το πεδίο ορισμού τους. ii. Να λύσετε την εξίσωση    f x 3g x . iii. Να αποδείξετε ότι   2 f x 16 x  και   2 1 g x x   . iv. Να λύσετε την εξίσωση 2 2 16 x x 3 0    .
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 14ο Λύκειο Περιστερίου [28] 3.5. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Μεθοδολογία  Συναρτήσεις της μορφής ημαx ή συναx έχουν περίοδο 2π/α ενώ οι συναρτήσεις της μορφής εφαx ή σφαx έχουν περίοδο π/α.  Συναρτήσεις της μορφής αημx ή ασυνx έχουν ακρότατα -α και α.  Συναρτήσεις της μορφής -ημx, -συνx, -εφx, -σφx είναι συμμετρικές των αρχικών ως προς τον οριζόντιο άξονα.  Συναρτήσεις της μορφής α+ημx, α+συνx, α+εφx, α+σφx είναι μετατοπισμένες στον κάθετο άξονα κατά α.  Συναρτήσεις της μορφής ημ(αx+β), συν(αx+β), εφ(αx+β), σφ(αx+β) είναι μετατοπισμένες στον οριζόντιο άξονα κατά -β/α.  Μία τριγωνομετρική συνάρτηση μπορεί να υπάγεται σε περισσότερες από μία από τις παραπάνω περιπτώσεις π.χ. -3ημ(2x- 4  )+5 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α΄ ΟΜΑΔΑ 1. Να βρείτε το μέγιστο και το ελάχιστο των συναρτήσεων: α) f(x) = 4ημx β) f(x) = 2συν2x-5 γ) f(x) = -3ημ3x+4 δ) f(x) = -5συν3x 2. Να βρείτε την περίοδο των συναρτήσεων: α) f(x) = 3ημ2x β) f(x) = 2συν3x γ) x f (x) 5ημ 2  δ) x f (x) 2συν 3   3. Να μελετηθούν και να παρασταθούν γραφικά οι συναρτήσεις: α. f(x) = ημ x β. f(x) = 3ημ x γ. f(x) = ημ 2x δ. f(x) = 4ημ 2x 4. Να μελετηθούν και να παρασταθούν γραφικά οι συναρτήσεις: α. f(x) = συν x β. f(x) = -4συν x γ. f(x) = 1 2 συν 2x 5. Να βρεθεί η περίοδος των συναρτήσεων. α. f (x) 5 2x  β. x f (x) 6 3    γ.f (x) 8 8x  δ. x f (x) 4 2   6. Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f(x) = 4-3ημ 5x 7. Δίνονται οι συναρτήσεις: α. 3 f (x) 2 x 2        β. g(x) 5 ( 3x)   γ. x h(x) 2 2         Να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή καθώς και η περίοδος για κάθε μια από τις παραπάνω συναρτήσεις.
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 14ο Λύκειο Περιστερίου [29] 8. Να μελετηθούν και να παρασταθούν γραφικά οι συναρτήσεις : α. f(x) = 1+συνx β. f(x) = 2συν3x -5 γ. f(x) = 4-3ημ x 2 9. Να μελετηθούν και να παρασταθούν γραφικά οι συναρτήσεις : α. f(x)=εφx β. f(x)=εφ2x γ. f(x)=σφx δ. f(x)=σφ x 2 10. Δίνεται η συνάρτηση: π f(x) = συν - x - ημ(π + x) 2       α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f(x) και να απλοποιηθεί ο τύπος της. β) Να βρεθούν η περίοδος και τα ακρότατα της f(x), δηλαδή η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή. γ) Να γίνει η γραφική παράσταση της f(x). Β΄ ΟΜΑΔΑ 11. Δείξτε ότι οι συναρτήσεις: ι)   4 4 2 2 f x x x 2 x x       ιι) g(x)= 2 2 2 2 x 2( x 1) 1 x       είναι σταθερές. 12. Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων. α. f(x) = ημ (x- 4  ) β. f(x)= 2 2x 3        γ. f(x)=2συν 4x   13. Θεωρούμε τη συνάρτηση f (x) ( x)   , , 0,   η οποία έχει μέγιστη τιμή το 5 και περίοδο 3    ,να βρείτε τις τιμές των  και ω. 14. Το διπλανό σχήμα παριστάνει τη γραφική παράσταση της g(x) ( x), 0,      Nα βρείτε τις τιμές των πραγματικών αριθμών ω, . 15. Δίνεται η συνάρτηση 2x f (x) 3          με x και α>0, i. Αν η μέγιστη τιμή της f είναι το 3 και η γραφική παράσταση τέμνει τον ψ΄ψ στο 1 βρείτε τον τύπο της f . ii. Να κάνετε την γραφική παράσταση σε διάστημα πλάτους μιας περιόδου και στο διάστημα να βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση τέμνει τον άξονα χ΄χ. 16. Δίνεται η συνάρτηση:     3 h x 2x 2 2x 2             Ι. Να αποδείξετε ότι  h x 3 2x  .
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 14ο Λύκειο Περιστερίου [30] ΙΙ. Να μελετήσετε και να παραστήσετε γραφικά την συνάρτηση  h x , όταν 0 x 2   . ΙΙΙ. Να βρείτε πόσες λύσεις έχει η εξίσωση  h x 1 όταν 0 x 2   . 17. Δίνεται η συνάρτηση:     7 g x 3x 3x 2             i) Να αποδείξετε ότι  g x 2 3x   . ii) Να μελετήσετε και να παραστήσετε γραφικά την συνάρτηση  g x , όταν 0 x 2   . iii)Να βρείτε πόσες λύσεις έχει η εξίσωση  g x 1  όταν 0 x 2   18. Δίνεται η συνάρτηση 2 + ημ(x - π) - συν(x + π) f(x) = 3+ συν(x - π) + ημ(x + π) . α) Να αποδειχθεί ότι 2 - ημx + συνx f(x) = 3- ημx - συνx . β) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού Α της f. γ) Να αποδειχθεί ότι ο αριθμός Τ = 2π είναι περίοδος της f(x). 19. Δίνονται οι συναρτήσεις (2 1)x f (x) 3 2 3        και ( 2)x g(x) 6 10 3 4        να βρεθούν τα  2,  και  0,  αν είναι γνωστό ότι έχουν την ιδία μέγιστη τιμή και η περίοδος της f είναι τριπλάσια από την περίοδο της g . 20. Δίνεται περιοδική συνάρτηση f με περίοδο Τ , Τ > 0, και πεδίο ορισμού το R. Στο διάστημα [0 , Τ] η συνάρτηση παρουσιάζει μέγιστη τιμή το 2016 για το μοναδικό x = 4  και στο διάστημα [2Τ , 3Τ] η συνάρτηση παρουσιάζει μέγιστη τιμή για x = 9 4  . i) Να βρεθεί η περίοδος Τ της συνάρτησης. ii) Αν f (x) ( x)   να βρείτε το α και το ω και να σχεδιάσετε την γραφική παράσταση της συνάρτησης στο διάστημα [0 , 3Τ]. 21. Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: i) f (x) x  ii) f (x) x  iii) f (x) x  iv) f (x) x  22. Δίνεται η συνάρτηση: π f (x) 2ημ(π 2x) συν 2x 2          α) Να αποδείξετε ότι f(x) = 3ημ2x και να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της f. β) Να βρείτε την περίοδο, το μέγιστο και το ελάχιστο της f. γ) Να κάνετε τη γραφική παράσταση Cf της f. δ) Να εξετάσετε αν η εξίσωση f(x) = 4 έχει λύση.
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 14ο Λύκειο Περιστερίου [31] 23. Δίνεται η συνάρτηση:  π 2 ημ x ημ(x π) 1 f (x) 3 ημ(x π) συν(x π)          α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f β) Να απλοποιήσετε τον τύπο της f. γ) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός Τ = 2π είναι περίοδος της f. 24. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 2συν3x. α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της f(x). β) Να βρείτε την περίοδο και τα ακρότατα της f(x). γ) Να χαράξετε τη γραφική παράσταση της f(x). δ) Να λύσετε την εξίσωση x2 = 2(συν3x – 1). 25. Δίνεται η συνάρτηση:       συν x 20 x 2 2f x 7 x 5 x 4 2                        . α) Να απλοποιήσετε τον τύπο της f. β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. γ) Να αποδείξετε ότι είναι περιοδική με περίοδο 2 . δ) Να λύσετε την εξίσωση   1 f x 2  . 26. Δίνεται η συνάρτηση   2x f x , 0, 3        η οποία έχει μέγιστο το 3 και η γραφική της παράσταση τέμνει τον άξονα y΄y στο 1. α) Να αποδείξετε ότι 2  και 1  . β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα χ΄χ. γ) ) Να αποδείξετε ότι    2 2 3 f x 1 f x 1 4 4              . δ) Να λύσετε την εξίσωση    f 6x f 3x στο διάστημα  0, . 3.6. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ    Τυπολόγιο:                                           1              1           1 ( )            1 ( )           ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις : Α= 5 5 12 12 12 12          Β= 7 5 7 5 12 12 12 12          Γ= 0 0 0 0 63 27 27 63    
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 14ο Λύκειο Περιστερίου [32] Δ=        0 0 0 0 50 40 40 50             2. Να υπολογιστούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των γωνιών 5 12  και 7 12  . 3. Αν 0<x< 2  και 2  <y<π και 12 x 13   , 3 y 4    να υπολογιστούν: i)    x y x y    ii)    x y x y    4. Να δείξετε ότι: α) 2 4 4                      β)     ( )               γ) 2 2 2 2 2 3 1 2             δ)    0 0 x 120 x 240 x 0        5. Έστω συνάρτηση 2 2 f (x) x (x ) 2 x. . (x )            .Δείξτε ότι η f είναι σταθερή (ανεξάρτητη του x). 6. Αν 0 225    , να δείξετε ότι 1 1 1 2         . 7. Αν ( ) 0    , να δείξετε ότι: (2 ) ( )        8. Αν 0 90      να αποδειχθεί ότι: i) 1        ii)        iii) 2 . . .             9. Αν x y     και x y     , να βρείτε το  x y  και να δείξετε ότι 2 2 4    . 10. Αν σ΄ ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η σχέση 2   , να δείξετε ότι είναι ισοσκελές. 11. Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: (B ) ( )            .Τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο. 12. Στο εικονιζόμενο τρίγωνο δίνεται ότι ΓΔ=2x,ΑΔ=x και ΑΒ=4x.Να δείξετε ότι: i) 8 19   ii)     
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 14ο Λύκειο Περιστερίου [33] 13. Να λυθούν οι εξισώσεις: i) 2 x x 6          ii) x 1 x 4 4                   iii) x x 2 3 4 4                    3 iv)συν2x συνx ημ2x ημx 2     14. Οι πωλήσεις, σε εκατοντάδες χιλιάδες, ενός σχολικού προϊόντος από μια εταιρεία με σχολικά είδη δίνονται από τη συνάρτηση t t f (t) 2 6 6         εκατοντάδες χιλιάδες , όπου t ο χρόνος σε μήνες από την έναρξη της σχολικής χρονιάς, (Σεπτέμβριος) και α σταθερός πραγματικός αριθμός με 0 , 2       . i) Να δείξετε ότι 1 t f (t) 2 6            ii) Αν γνωρίζουμε ότι οι μέγιστες πωλήσεις της εταιρείας είναι 400000 μονάδες προϊόντος να υπολογίσετε την τιμή της σταθεράς α και κατόπιν να απαντήσετε στα παρακάτω ερωτήματα: α. Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός των πωλήσεων του προϊόντος; β. Γιατί οι πωλήσεις του προϊόντος στον ίδιο μήνα κάθε χρόνο είναι οι ίδιες; γ. Σε ποιόν μήνα του χρόνου οι πωλήσεις του προϊόντος είναι μέγιστες και σε ποιον ελάχιστες; H ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f(x)=αημx+βσυνx Θυμίζουμε H συνάρτηση f(x)=ρημx H συνάρτηση αυτή έχει περίοδο 2π έχει ελάχιστο   και μέγιστο το  . Η συνάρτηση f(x)=ρημ(x+φ) Έχει περίοδο 2π, ελάχιστο   και μέγιστο  , ενώ είναι μετατοπισμένη αριστερά κατά φ. Η συνάρτηση f(x)=αημx+βσυνx Όταν εμφανιστεί παράσταση της παραπάνω μορφής είτε στη μελέτη συνάρτησης είτε στη λύση εξίσωσης, χρησιμοποιούμε το μετασχηματισμό.   0 2  2 3 π 2π   0 2  2 3 π 2π
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 14ο Λύκειο Περιστερίου [34] H συνάρτηση f(x)=αημx+βσυνx μπορεί να πάρει τη μορφή αημx+βσυνx=ρημ(x+φ) όπου ρ= 2 2    και ,         , οπότε ανάγεται στην προηγούμενη μορφή. Η περίοδος μιας συνάρτησης f(x)=ρημ(αx+φ) είναι 2  . ΑΣΚΗΣΕΙΣ 15. Να βρεθεί η περίοδος, η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή των παρακάτω συναρτήσεων και στη συνέχεια να παρασταθούν γραφικά. i)  f x 2 2x 6         ii)  g x 2 4x 8         16. Να λυθούν οι εξισώσεις: i) x 3 x 1    ii) 3 2x 2x 1 3     iii) 3 x x 2    17. Δίνεται η συνάρτηση  f x x x    , x . i) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση παίρνει τη μορφή   5 f x 2 x 4         . ii) Να λύσετε την εξίσωση: x x 2   
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 14ο Λύκειο Περιστερίου [35] 3.7. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 2α Τυπολόγιο ημ2α=2ημασυνα εφ2α= 2 2 1     συν2α=συν2 α-ημ2 α=2συν2 α-1=1-2ημ2 α σφ2α= 2 1 2     Τύποι αποτετραγωνισμού ημ2 α= 1 2 2    , συν2 α= 1 2 2    , εφ2 α= 1 2 1 2       Τύποι του 2α συναρτήσει της εφα ημ2α= 2 2 , 1     συν2α= 2 2 1 , 1       εφ2α= 2 2 1     Τύποι συναρτήσει του 2  ημα=2ημ , 2 2    συνα=συν2 2 , 2 2     εφα= 2 2 2 1 2      ημ2 1 2 2     συνα =2συν2 1 2   συν2 1 2 2     συνα =1-2ημ2 2  εφ2 1 2 1       ημα= 2 2 2 , 1 2      συνα= 2 2 1 2 1 2       Τύποι του 3α ημ3α=3ημα-4ημ3 α, συν3α=4συν3 α-3συνα ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Αν συνα= 1 4  και π<α< 3 2  υπολογίστε το ημ2α και το συν2α. 2. Αν εφα=2 να υπολογίσετε τα ημ2α, συν2α, εφ2α. 3. Αν ημα+συνα= 2 3 να υπολογιστεί το ημ2α και το συν2α αν γνωρίζουμε ότι 0. 4      4. Για τη γωνία α ισχύει ότι: 5 2 14 7 0      . i) Να αποδείξετε ότι 3 5   
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 14ο Λύκειο Περιστερίου [36] ii) Αν επιπλέον ισχύει: 3 2      , να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς ημ2α , συν2α, εφ2α . 5. Να δείξετε ότι α) 2 1 2 4 2            β) 2 4 1 2              γ) ( ) (  ) 2 2 4 4             6. Να δείξετε ότι: i) 1 + συν4α + συν2α ημ4α + ημ2α = σφ2α ii) ημ2α 1 + συν2α συνα 1 + συνα = εφ α 2 1 2iii) 1 1 2        1 2iv) 2 2             7. Να δείξετε ότι: α) 3 5 7 1 1 1 1 . 1 8 8 8 8 8                              β) 4 4 3 3 8 8 4       γ) 2 4 5 1 12 12 16       8. Να δείξετε ότι: ι) 2 4 1 7 7 7 8         ιι) 2 4 8 1 17 17 17 17 16          9. Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει 2συνΓσυν A 2 =ημΑ, να δείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές 10. Να λυθούν οι εξισώσεις: 2 3 2 x i) 2x x 0 ii) x 2 iii) 2x x 2 2 x iv) 2x x 2 x 1 v) 1 x 2x x 0 vi) 2x 2 0 2                               11. Να λυθούν οι εξισώσεις: ι) 3 (2ημx+1)+2συν2x=2+2ημx ιι) 1+συνx+συν2x=0 ιιι) συν2x=4συνx+5 ιν) συν2x+6συν2 x=1 ν) 1+συν2x=6ημ2 x νι) συνx+2ημ x 2 =1
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 14ο Λύκειο Περιστερίου [37] ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ 1. Έστω η συνάρτηση f(x) = (α+1)συν(βπx), όπου α και β είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί. i.Αν η μέγιστη τιμή της f(x) είναι 3 και η περίοδός της είναι 4, να αποδείξετε ότι α = 2 και β = 1 2 . ii. Για τις τιμές α = 2 και β = 1 2 , να λύσετε την εξίσωση f(x) = 3 2 . 2. Οι ετήσιες πωλήσεις ενός προϊόντος (σε δεκάδες χιλ .κομμάτια ) δίνονται κατά προσέγγιση από τον τύπο: t f (t) 15 2 3     ,όπου t ο χρόνος σε έτη 0 t 6  . i. Να βρεθεί το έτος που θα έχουμε το μέγιστο αριθμό πωλήσεων και πόσες θα είναι αυτές; ii. Σε ποιο έτος οι πωλήσεις θα φτάσουν τις 160.000 κομμάτια. 3. To βάθος του νερού κάτω από τη γέφυρα του Ευρίπου κατά τη διάρκεια της ημέρας δίνεται από τη συνάρτηση t f (t) 20 4 , 3     όπου t o χρόνος σε ώρες με0 t 24  . i. Να βρεθεί η περίοδος της συνάρτησης. ii. Ποιο είναι το μέγιστο και το ελάχιστο βάθος του νερού; iii. Αν το ύψος της γέφυρας είναι 30μ( από τον πυθμένα του νερού) να ελεγχθεί αν το σκάφος ύψους 8μ πάνω από (την επιφάνεια του νερού) μπορεί να περάσει κάτω από τη γέφυρα στις 12 το πρωί. iv. Ποια ώρα της ημέρας το βάθος του νερού είναι 18μ; 4. Δίνεται η συνάρτηση   2 f x 2 x 5 x 1     . α) Να αποδείξετε ότι είναι περιοδική με περίοδο 2π. β) Να βρείτε τα σημεία τομής της με τους άξονες. γ) Να λύσετε την εξίσωση       22 2 f x 2 x 8 f x 2 x 20 0       5. Δίνονται οι συναρτήσεις    f x 2 2 x     και     g x x       , , 0   . Αν οι συναρτήσεις f,g έχουν την ίδια μέγιστη τιμή και την ίδια περίοδο, τότε: α) να αποδείξετε ότι 1    .
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 14ο Λύκειο Περιστερίου [38] β) Να βρείτε τη τιμή της παράστασης f g 3 4                γ) Να λύσετε την εξίσωση    f x 3 2g x  στο διάστημα  ,2  . 6. Δίνεται η παράσταση:   2 f x x 2 x 2     , x  α) Να παραγοντοποιήσετε την f. β) Να αποδείξετε ότι  f x 0 , x  . γ) Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες  f x 0 . δ) Να αποδείξετε ότι η f είναι άρτια. ε) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιοδική με περίοδο 2π. στ) Να αποδείξετε ότι η f έχει μέγιστο το 4. 7. Δίνεται η συνάρτηση  f x x 4          , ,  της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από τα σημεία A , 1 , B ,1 4 4               , τότε: α) Να αποδείξετε ότι 2  και 1  β) Να βρείτε την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης καθώς και την περίοδό της. γ) Να κατασκευάσετε την γραφική παράσταση της f . δ) Να λύσετε την εξίσωση f 2x 2 4        . ε) Να αποδείξετε ότι: 3 5 7 9 f f f f f 1 4 4 4 4 4                                       8. Δίνεται η συνάρτηση   2 f x x x 2, x      . α) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιοδική με περίοδο 2. β) Να αποδείξετε ότι κανένα σημείο της γραφικής παράστασης της f δεν βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ΄χ. γ) Να βρείτε τα σημεία της γραφικής παράστασης της f στο διάστημα  0, με τεταγμένη 2. δ) Να λύσετε στο διάστημα  0,2 την εξίσωση:  f x f x 2        . 9. Δίνεται η συνάρτηση   2 2 f x x x 3 x 2, x         . α) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιοδική με περίοδο 2. β) Να αποδείξετε ότι η f έχει ελάχιστο το 1 8  . γ) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα χ΄χ. δ) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τη γραφική παράσταση της συνάρτησης  g x 2 3 x   .
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 14ο Λύκειο Περιστερίου [39] ε) Να λύσετε στο διάστημα  0, την εξίσωση:  f x f x 2        . 10. Δίνεται η συνάρτηση   2 2 f x 2 x x 2 x 4 x       , x  . i) Να μετατρέψετε τη συνάρτηση f στη μορφή    f x 2x ,ρ,φ,κ       ii) Να βρείτε για ποιες τιμές του x η συνάρτηση παίρνει τη μέγιστη τιμή της και ποια είναι αυτή. iii) Να λύσετε την εξίσωση:  f x f x 2 4         στο διάστημα [0 , π ] 11. Δίνεται η συνάρτηση f (x) 1 x x     με.  x 0,2  i) Να δείξετε ότι x x x f (x) 2 2 2 2           για κάθε  x 0,2  ii) Να βρείτε τις τιμές του  x 0,2  για τις οποίες ισχύει f (x) 0 iii) Για τις τιμές του x που βρήκατε στο (ii) ερώτημα να δείξετε ότι f ( x) x 1 f (x) 2     12. Δίνεται η συνάρτηση   4 4 f x 8 x 8 x 3,x      i) Να δείξετε ότι  f x 2 4x 3   ii) Να βρείτε την περίοδο, τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f. iii) Να βρείτε τις τετμημένες των σημείων Μ   x,f x με  x 0,2  ,στις οποίες η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέμνει την ευθεία y=2 13. Δίνεται η συνάρτηση   1 2x f x x x       i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της . ii) Να δείξετε ότι  f x x x    iii) Να λύσετε την εξίσωση  f x 1 14. Δίνεται η συνάρτηση: π π f (x) 3 2ημ x συν x , x 4 4                   i) Να αποδείξετε ότι  f x 3 2x   ii) Να αποδείξετε ότι 2 f (x) 4  για κάθε xR. iii) Να βρείτε τις τιμές του xR για τις οποίες η συνάρτηση f παίρνει τη μέγιστη τιμή της. iv) Ποια είναι η περίοδος της συνάρτησης f; v) Να γίνει η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) σε πλάτος μίας περιόδου.
ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 14ο Λύκειο Περιστερίου [40] 4.1. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ Ορισμοί  Μονώνυμο του x ονομάζεται κάθε παράσταση της μορφής αxv, όπου α, ν και x μια μεταβλητή που μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή από το  . • Μονώνυμο του x λέμε επίσης κάθε πραγματικό αριθμό.  Πολυώνυμο του x ονομάζεται κάθε παράσταση της μορφής v v 1 v v-1 1 oα x α x ...α x+α   ,όπου 0 1, ,...,    είναι πραγματικοί αριθμοί και v φυσικός αριθμός. Για να απλουστεύσουμε τη γραφή των πολυωνύμων χρησιμοποιούμε τους συμβολισμούς P(x), Q(x), Φ(x)… κ.λπ. Επομένως, πιο απλά γράφουμε:   v v 1 v v-1 1 0P x α x α x ...α x α     Στοιχεία ενός πολυωνύμου ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α΄ ΟΜΑΔΑ 1. Να βρείτε για ποιες τιμές του α το πολυώνυμο : ν αxΣυντελεστής α Μονώνυμο του x Κύριο μέρος ν x Βαθμός ν Όροι λέγονται τα μονώνυμα ν ν 1 ν ν 1 0α x ,α x ,...,α  Συντελεστές λέγονται οι πραγματικοί αριθμοί 0 1 να ,α ,...,α Σταθερός όρος είναι το όρος 0α που δεν περιέχει x Βαθμός είναι ο εκθέτης ν ν ν 1 ν ν 1 1 0 νP(x)=α x α x ... α x+α , α 0     Αριθμητική τιμή 0P(x )=0 λέγεται ο αριθμός 0 ν ν 1 0 ν ν 1 0 1 0 0P(x )=α x α x ... α x +α    που προκύπτει αν στο P(x) θέσουμε όπου x το x0 αντικαταστήσουμε το με Ρίζα του P(x) λέγεται ένας αριθμός ρ αν και μόνο αν P(ρ)=0
ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 14ο Λύκειο Περιστερίου [41]    2 3 3 2 P(x) 4 x 3 3 5 2 x 2 4             είναι το μηδενικό πολυώνυμο. 2. Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό λ για τον οποίο το πολυώνυμο      2 3 2 P x 2 x 5 6 x 1 2             είναι το μηδενικό πολυώνυμο. 3. Να προσδιορίσετε το βαθμό του πολυωνύμου      2 4 2 P x 6 8 x 2 x 3 10             για τις διάφορες τιμές του  . 4. Να βρείτε το βαθμό του πολυωνύμου :    2 3 2 2 P(x) ( 1) 9 x 4 3 x 3 9             , για τις διάφορες τιμές του  . 5. Να βρείτε το  για το οποίο τα πολυώνυμα    3 2 2 P x 5x x 9 8     και     3 2 Q x 4 x x 1     είναι ίσα. 6. Να βρείτε τα , , ,    για τα οποία το πολυώνυμο   4 3 2 P x x x x x 16       είναι τέλειο τετράγωνο του   2 Q x x x    . 7. Για ποιες τιμές των α,β τα πολυώνυμα Ρ(x) και Π(x) είναι ίσα ; i)    3 x x x 1      και    3 2 x x x 2x 1       ii)   2 3 2 x x 3x x 2      και    3 2 2 x x 2 x x         8. Να βρείτε τις τιμές των α, β ,ώστε οι αριθμητικές τιμές του πολυωνύμου 3 2 P(x) x (2 3 )x (2 )x           ,για x 1  και x 1 ,να είναι 3 και –5 αντίστοιχα. 9. Δίνονται τα πολυώνυμα Ρ(x)=(α2 -3)x3 +(β-2)x2 +(3α-2β)x+α και Q(x)=2x3 +αx2 +9x+γ. Να βρείτε τις τιμές των α,β,γ ώστε το πολυώνυμο Π(x)=Ρ(x)+Q(x) να είναι : α) το μηδενικό πολυώνυμο β)μηδενικού βαθμού γ) 3ου βαθμού 10. Δίνονται τα πολυώνυμα   3 2 P x 4x 6x 4x 8    και   3 2 Q x x x x       . Να βρείτε τι πρέπει να ισχύει για τους αριθμούς α,β,γ,δ, ώστε το πολυώνυμο    P x Q x , να είναι: α) 3ου βαθμού β) το πολύ 2ου βαθμού γ) μηδενικού βαθμού 11. Να βρείτε πολυώνυμο Ρ(x) δευτέρου βαθμού αν ισχύουν:Ρ(-1)=1, Ρ(0)= -4, και Ρ(2)+2=0 12. Να προσδιοριστεί ο α  R ώστε το πολυώνυμο P (x) = 9x3 - 3x2 + 8x - 27 να παίρνει τη μορφή α (x3 + x) - 3x2 + (x - 3) (x2 + 3x + 9). 13. Δίνονται τα πολυώνυμα: P(x) = x4 – (α + β)x3 + γx2 – (α + δ)x + β – δ και Q(x) = (β – α)x4 – γx3 + (β + δ)x2 – βx + 1. Αν P(x) = Q(x): α) να βρείτε τις τιμές των α, β, γ και δ, β) να εξετάσετε αν το ρ = 1 είναι ρίζα του P(x).
ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 14ο Λύκειο Περιστερίου [42] 14. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α,β,γ,δ για τους οποίους ισχύει:   2 22 2 2 x δ x x x 1x x 1         15. Να αναλυθεί η κλασματική παράσταση 2 3x 3 x 9   σε άθροισμα κλασμάτων. Β΄ΟΜΑΔΑ 16. Αν το πολυώνυμο P (x) = x2 + (α - 1) x + 2α έχει ρίζα το - 1 αποδείξτε ότι το ίδιο ισχύει και για το Κ (x) = x3 + 4x2 + (α2 - 1) x. Το αντίστροφο ισχύει; 17. Δίνεται το πολυώνυμο P(x)= 2 3 2 2 x ( )x ( )x 1          .Αν η τιμή του πολυωνύμου P(x) για x=1 είναι ίση με –3,τότε: i) Να βρεθούν οι τιμές των α, β. ii) Να βρεθεί ο βαθμός του P(x), iii) Να βρεθεί το πολυώνυμο Q(x)=P(P(x-2)) 18. Να βρείτε το πολυώνυμο Ρ(x) τέτοιο ώστε Ρ(x)+[P(x)]2 =2x(2x+3)+2. 19. Να βρείτε το πολυώνυμο Π(x) δευτέρου βαθμού τέτοιο ώστε Π(x)= 2 1 x x       και Π(1)=Π(-1)-6=1. 20. Θεωρούμε δύο πολυώνυμα Ρ(x) και Q(x) με Q(x)=Ρ(Ρ(x)). Αν ρ είναι μία ρίζα του Ρ(x)-x, να δείξετε ότι είναι ρίζα και του Q(x)-x. 21. Δίνονται τα πολυώνυμα  P x και  Q x για τα οποία ισχύει ότι      P x 2 Q x 1 2   . Να αποδείξετε ότι: α) τα  P x και  Q x είναι σταθερά πολυώνυμα. β)        P x Q x 4 2Q x P x   22. Σε ένα πολυώνυμο P(x) ο σταθερός όρος είναι 2 και το άθροισμα των συντελεστών ισούται με 3.Να αποδειχθεί ότι ο αριθμός χ=1 είναι ρίζα του πολυωνύμου Q(x)=P(P(P(x)-3)-2)-2x. 23. Έστω πολυώνυμο P(x) τέτοιο, ώστε : P(2x 1) 2P(x) 3   για κάθε x  και P(0) 0 .Να υπολογίσετε το P(15). 24. Αν A(x) και B(x) είναι δύο πολυώνυμα χωρίς ρίζες, να αποδείξετε ότι τα πολυώνυμα: P(x) = 2A(x) + 3B(x) και Q(x) = 3A(x) + 2B(x) δεν έχουν κοινή ρίζα. 25. Αν το πολυώνυμο   3 2 P x x 3x 3x 3    έχει ρίζα τον θετικό αριθμό ν, να αποδείξετε ότι 4  .
ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 14ο Λύκειο Περιστερίου [43] 4.2. ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ Η ταυτότητα της διαίρεσης A. Όπως στους ακέραιους αριθμούς, έτσι και στα πολυώνυμα ισχύει η ταυτότητα της διαίρεσης. Πιο συγκεκριμένα ισχύει ότι: Για κάθε ζεύγος πολυωνύμων Δ(x) και δ(x), με δ(x)  0 υπάρχουν δύο μοναδικά πολυώνυμα π(x) και υ(x) τέτοια, ώστε: Δ(x) = δ(x)  π(x) + υ(x) όπου το υ(x) ή είναι το μηδενικό πολυώνυμο ή έχει βαθμό μικρότερο από το βαθμό του δ(x). Το Δ(x) ονομάζεται διαιρετέος, το δ(x) διαιρέτης, το π(x) πηλίκο και το υ(x) υπόλοιπο της διαίρεσης. Β. α) Αν Δ(x) = δ(x)π(x), δηλαδή αν το υπόλοιπο υ(x) της διαίρεσης Δ(x) : δ(x) είναι το μηδενικό πολυώνυμο (υ(x) = 0), τότε λέμε ότι το δ(x) διαιρεί το Δ(x) ή ότι το Δ(x) διαιρείται με το δ(x). Το δ(x) λέγεται επίσης παράγοντας του Δ(x) ή διαιρέτης του Δ(x) και η διαίρεση του Δ(x) με το δ(x) λέγεται τέλεια. Διαίρεση πολυωνύμου με x - ρ A. Για τη διαίρεση ενός πολυωνύμου P(x) με ένα πολυώνυμο της μορφής x – ρ ισχύουν τα εξής συμπεράσματα: α) Το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου P(x) με το x – ρ είναι ίσο με την τιμή του πολυωνύμου για x = ρ. Ισχύει δηλαδή ότι: υ = Ρ(ρ) β) Ένα πολυώνυμο P(x) έχει παράγοντα το x – ρ, αν και μόνο αν το ρ είναι ρίζα του Ρ(x), δηλαδή αν και μόνο αν Ρ(ρ) = 0. Για να βρούμε λοιπόν το υπόλοιπο της διαίρεσης P(x) : (x – ρ), αρκεί να βρούμε το Ρ(ρ). Αν Ρ(ρ) = 0, τότε το x – ρ είναι παράγοντας του P(x) και αντιστρόφως. Τονίζουμε ότι: Το υπόλοιπο της διαίρεσης P(x) : (x + α) είναι υ = Ρ(-α). Το υπόλοιπο της διαίρεσης P(x) : (αx + β) είναι          , όπου α  0. Τα παραπάνω συμπεράσματα δεν ισχύουν, αν ο διαιρέτης είναι δευτέρου ή μεγαλύτερου βαθμού. Β. Δίνεται το πολυώνυμο P(x). Τότε οι παρακάτω προτάσεις είναι ισοδύναμες: i. Το P(x) διαιρείται με το x – ρ. ii. Το x – ρ διαιρεί το P(x). iii. Το x – ρ είναι διαιρέτης του P(x). iv. Το P(x) έχει παράγοντα το x – ρ. v. Το x – ρ είναι παράγοντας του P(x). vi. Η διαίρεση του P(x) με το x – ρ είναι τέλεια. vii. Ο αριθμός ρ είναι ρίζα του P(x). viii. Ισχύει ότι Ρ(ρ) = 0. ix. Το υπόλοιπο της διαίρεσης P(x) : (x – ρ) είναι ίσο με μηδέν.
ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 14ο Λύκειο Περιστερίου [44] Αυτό σημαίνει ότι αν ισχύει (αν δοθεί) μία από αυτές, τότε θα ισχύουν συγχρόνως όλες μαζί. Συνήθως όλες αυτές τις προτάσεις τις συσχετίζουμε με την (viii), διότι η πρόταση Ρ(ρ) = 0 είναι αμέσως αξιοποιήσιμη. Γ. Έστω P(x) = ανxν + αν-1xν-1 + … + α1x + α0 , με αν  0. Αν ρ1 , ρ2 , …, ρν είναι οι ρίζες του P(x), τότε ισχύει ότι: P(x) = αν(x – ρ1)(x – ρ2) … (x – ρν) ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α΄ ΟΜΑΔΑ 1. Να κάνετε τις παρακάτω διαιρέσεις και να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης. α) (x4 + x3 + 3x2 + 2x + 7) : (x2 + 1) β) (x4 – 2x3 + 5x2 – 4x + 6) : (x2 – 2x + 3) γ) (x5 + x4 + 2x3 + 2x2 + 4x + 2) : (x2 + x + 1) δ) (3x3 - 4αx + α2 ) : (x - 2α) ε) [7x3 - (9α + 7α2 ) x + 9α2 ] : (x - α) 2. Να βρείτε πολυώνυμο f(x) που όταν διαιρείται με x2 +1 δίνει πηλίκο 3x+2 και υπόλοιπο - x+3. 3. Να βρείτε τα κ,λ ώστε το Ρ(x)=x4 +1 να διαιρείται ακριβώς με x2 +κx+λ. 4. Με τη βοήθεια του σχήματος Horner,να βρεθούν τα πηλίκα και τα υπόλοιπα των διαιρέσεων : i)  4 3 2 x 2x 5x 3x 14 :(x 2)     ii)  3 2 2x x 7x 5 :(x 1)    iii)  5 2 x 3x x 1 :(x 1)    iv) 2 2 5x 2 x 3 :(x )      5. Να βρείτε το  ,ώστε το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου: 3 P(x) 2 x ( 3)x 3 3        με το x 1 ,να είναι 12. 6. Να βρείτε α, β ,ώστε το πολυώνυμο    4 3 2 P(x) x 1 x (2 3 )x 7 x 10             ,να έχει παράγοντες τους x 1 και x 2 . 7. Δίνεται το πολυώνυμο: P(x) = x2014 – x2012 + x2010 + x - 2 α) Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x + 1. β) Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x – 1. γ) Ποιο από τα πολυώνυμα x + 1 και x – 1 είναι διαιρέτης του P(x); 8. Δίνεται το πολυώνυμο 3 2 P(x) x (2 1)x ( )x 1         .Να βρείτε τα α, β , ώστε το P(x) ,να έχει παράγοντα το x 1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x 1 ,να είναι 4. 9. Να βρείτε τα α, β, ώστε το πολυώνυμο      4 3 2 x x 3 2 x 3 2 x 5 x 6           να έχει παράγοντα το x2 +x-2.
ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 14ο Λύκειο Περιστερίου [45] 10. Αν το x-3 είναι παράγοντας του Ρ(x), να δείξετε ότι το x-2 είναι παράγοντας του Q(x)=Ρ(4x-5). 11. Έστω πολυώνυμο P(x) με ακέραιους συντελεστές και P(1) P(3) 5  . Δείξτε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης  2 P(x) : x 4x 3  είναι 5  . 12. Αν το πολυώνυμο Ρ(x) διαιρούμενο με το πολυώνυμο x2 -x δίνει υπόλοιπο 2x+1, να βρείτε τα υπόλοιπα των διαιρέσεων Ρ(x):x και Ρ(x):x-1. 13. Αν οι διαιρέσεις ενός πολυωνύμου Ρ(x) με τα x+1 και x-2 δίνουν αντίστοιχα υπόλοιπα 3 και -3, να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x): (x2 -x-2). 14. Με τη βοήθεια του σχήματος Horner, να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο 3 2 P(x) 2x 5x 9x 18    διαιρείται με το γινόμενο (x 2)(x 3)  και να βρείτε το πηλίκο. 15. Να βρείτε το α, β ,ώστε το πολυώνυμο 3 2 P(x) x 2 x x 6     ,να διαιρείται με το γινόμενο(x 2)(x 3)  . 16. Να προσδιοριστούν οι πραγματικοί αριθμοί κ, λ ώστε το πολυώνυμο    3 2 P x x x 1 x 5       να έχει για παράγοντα το   x 1 x 2  . 17. Με τη βοήθεια του σχήματος Horner, να δείξετε ότι το 4 3 2 P(x) 2x x x 7x 5     έχει παράγοντα το 2 (x 1) . 18. Να βρείτε το α, β ,ώστε το πολυώνυμο 3 2 P(x) x 5x x 12     ,να έχει παράγοντα το 2 (x 2) . 19. Να προσδιοριστούν οι πραγματικοί αριθμοί α, β ώστε το πολυώνυμο    3 2 P x x x 3 x 10       να έχει για παράγοντα το   2 x 2 . Β΄ ΟΜΑΔΑ 20. Δίνεται το πολυώνυμο: P(x) = xν+1 – (ν + 1)x + ν όπου νN* . Να αποδείξετε ότι: α) το P(x) έχει παράγονται το x – 1, β) το P(x) διαιρείται με το (x – 1)2 . 21. Αν το πολυώνυμο P (x) = αxν+1 + βxν + 1 έχει παράγοντα το (x - 1)2 αποδείξτε ότι το πολυώνυμο Q (x) = (ν + 1) αxν + νβxν-1 έχει παράγοντα το x - 1. 22. Αν το πολυώνυμο P (x) = (ν + 1) xν - νxν+1 + α διαιρείται με το x - 1, τότε αποδείξτε ότι διαιρείται και με το (x - 1)2 . 23. Να δειχθεί ότι το πολυώνυμο 3 3 1 P(x) (1 3 )x 3 x 1        διαιρείται με το 2 x 2x 1  . 24. Να βρείτε τους λ,μR ώστε το πολυώνυμο x4 +(λ-μ)x3 +2λx2 -5x+4 να διαιρείται με τη μεγαλύτερη δυνατή δύναμη του x-1.
ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 14ο Λύκειο Περιστερίου [46] 25. Δίνεται το πολυώνυμο       1821 1453 P x x x 2 x 1 2     α) Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του  P x με το   3 2 Q x x 3x 2x   . β) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός 1821 1453 10 8 9 89   είναι πολλαπλάσιο του720. 26. Δίνεται το πολυώνυμο       20 15 P x x 4 2x 5 2     . α) Να αποδείξετε ότι το x 3 είναι παράγοντας του  P x . β) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός 40 15 2 11 2  είναι πολλαπλάσιο του 5. γ) Να αποδείξετε ότι το τελευταίο ψηφίο του αριθμού 20 15 9 21 1  είναι το 3. 27. Ένα πολυώνυμο P(x) με: (x + 1) + (x + 2)P(x + 3) = 2x5 -2x2 -10 για κάθε xR . i) Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με τα x – 3 και x + 1. ii) Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το πολυώνυμο: Q(x) = x2 – 2x – 3 28. Δίνονται τα πολυώνυμα :    3 2 P x x ax 1 2a x 4     και      3 2 Q x 1 a x x 2a 1 x 5      .Τα πολυώνυμα P(x) και Q(x),όταν διαιρεθούν με το x- 1,αφήνουν το ίδιο υπόλοιπο. α) Να βρείτε τον αριθμό a  β) Αν R(x)=Q(x)-P(x),τότε: i) Να αποδείξετε ότι το x-1 είναι διαιρέτης του R(x) ii) Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης του R(x) με το   2 x 1 . 29. Αν το πολυώνυμο Ρ(x) έχει παράγοντες τους x-α και x-β, αβ, να δείξετε ότι διαιρείται ακριβώς με (x-α)(x-β). 30. Δίνονται δύο πολυώνυμα P(x) και Q(x) με τις ιδιότητες: α. Υπάρχει α τέτοιο ώστε P(α)-1=Q(α)-1=0. β. P(x)=Q(x)+Q(P(x))+P(Q(x)). Να δείξετε ότι το πολυώνυμο R(x)=P(x)+Q(x) διαιρείται με x-1. 31. Αν Π(x) είναι το πηλίκο της διαίρεσης Ρ(x): (x-α), να δείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης Ρ(x): (x-α)2 είναι υ(x)=Π(α)x+Ρ(α)-αΠ(α). 32. Αν τα πηλίκα των διαιρέσεων Ρ(x): (x-α) και Ρ(x): (x-β), αβ είναι αντίστοιχα Π1(x) και Π2(x), να δείξετε ότι Π1(β)=Π2(α). 33. Έστω πολυώνυμο Ρ(x) με Ρ(1)=1 και Ρ(x)=Ρ(1-x). Να δείξετε ότι υπάρχει πολυώνυμο Q(x) έτσι ώστε Ρ(x)=x(x-1)Q(x)+1. 4.3. ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Αν η εξίσωση ανxν +αν-1xν-1 + . . . +α1x+α0 = 0 με αν,αν-1, . . . ,α1,α 0 Ζ :  έχει ρίζα τον ακέραιο αριθμό ρ, τότε το ρ διαιρεί το α0.  έχει ρίζα το κλάσμα   , τότε το κ διαιρεί το α0 και το λ διαιρεί το αν.
ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 14ο Λύκειο Περιστερίου [47] Αν Ρ(x) πολυώνυμο και α,βR έτσι ώστε Ρ(α)Ρ(β)<0, τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ(α,β) τέτοιο, ώστε Ρ(ξ)=0. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α΄ ΟΜΑΔΑ 1. Να λύσετε τις εξισώσεις : i) x4 +5x3 +6x2 =0 ii) 4 3 2 3x 8x 12x 32x 0    iii) 2 2 2x 8 (x 2)(2x 1) x 5x 6       iv) 3 2 x 2x 6x 27 0    v) (x + 1)2 (2x – 3) – (x2 – 1)2 = 0 vi) (x+3)3 -27=0 2. Να λύσετε τις εξισώσεις : i) 3 2 x x 10x 8 0    ii) 4 3 2 x 3x x 3x 2 0     iii) 3 2 4x 8x x 3 0    iv) 4 3 2 6x 7x 12x 3x 2 0     3. Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f(x)=x4 -4x3 +10x2 +20x-10 και g(x)=5x3 -8x2 +2x+30. 4. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 4 3 2 x x 2x 3x 3 0     δεν έχει ακέραιες ρίζες. 5. Να βρείτε το κ, ώστε η εξίσωση x6 -3x4 -6x2 +κ = 0 να έχει ρίζα το 2. Στη συνέχεια λύσετε την εξίσωση. 6. Να βρείτε το πρόσημο του γινομένου      2 2 2 x x x x 5x 6 x 4      . 7. Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις: i.    2 5x 10 x 3 x 9x 20 0     ii.   2 2 10 x 3x x 2x 1 0     iii.    2 2 1 x x 8x 16 0    iv.   2 2 x 4x 6 4x 5 x 0     v.   2 2 3x 2x 1 x 6x 9 0      vi.    2 2 2 4 1 x x x x 2x 3 0     8. Να λύσετε τις ανισώσεις: i) x4 -x3 +3x2 -3x0 ii) x3 +3x2 -x-3<0 iii) x3 -4x2 +2x-8>0 iv) x4 -5x2 +60 9. Να λύσετε τις ανισώσεις : i) x3 -5x2 +8x-4 > 0 ii) x4 +2x3  7x2 +20x +12 iii) x4 +3x2 +x < 5x3 10. Δύο ρίζες της εξίσωσης: x4 -(2α+1)x3 +5x2 +(β-2)x-6=0 είναι οι x = 1 και x = 2. Να βρείτε: i) τις τιμές των α και β, ii) τις άλλες ρίζες της εξίσωσης. 11. Η εξίσωση x3 +αx2 +βx+2 = 0 να έχει διπλή ρίζα το 1. Να βρείτε: i) τις τιμές των α και β, ii) την άλλη ρίζα της εξίσωσης. 12. Δίνεται το πολυώνυμο   4 3 2 f x x x x x 2 ,x       . Α. Να αποδείξετε ότι το x+1 είναι παράγοντας του f(x) και να βρείτε το πηλίκο
ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 14ο Λύκειο Περιστερίου [48] π(x) της διαίρεσης του f(x) με το (x+1). Β. Να αποδείξετε ότι το x – 2 είναι παράγοντας του π(x) και να βρείτε το πηλίκο π(x) της διαίρεσης του του π(x) με το (x-2). Γ. Να βρείτε τα διαστήματα, στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον άξονα x΄x. Β΄ΟΜΑΔΑ 13. Δίνονται τα πολυώνυμα P(x) = x4 – 3x3 – 3x2 + 8x + 4 και δ(x) = x2 – 2x - 3 α) Να βρεθεί το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το πολυώνυμο δ(x). β) Να γραφεί η ταυτότητα της διαίρεσης P(x) : δ(x). γ) Να λυθεί η ανίσωση P(x)  x – 2. 14. Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = x4 + αx3 + βx2 – 18x + β – 1 το οποίο έχει παράγοντα το πολυώνυμο Q(x) = x2 + 2x + 1. α) Να βρεθούν οι τιμές των α και β. β) Να βρεθούν όλες οι ρίζες του P(x). γ) Να γίνει γινόμενο το πολυώνυμο P(x). δ) Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η πολυωνυμική συνάρτηση P(x) έχει τη γραφική της παράσταση κάτω από τον άξονα x´x. 15. Δίνεται το πολυώνυμο: P(x) = x4 + αx3 + βx2 + γx - 2 Αν το x = -1 είναι ρίζα με πολλαπλότητα 3: i) να βρείτε τις τιμές των α, β και γ, ii) να λύσετε την εξίσωση P(x) = 0. 16. Δίνεται το πολυώνυμο: P(x) = x4 – 2x3 – 4x2 + 2x + 3 i) Να γράψετε την ταυτότητα της ευκλείδειας διαίρεσης του P(x) με το x2 – 4. ii) Να βρείτε το υπόλοιπο της προηγούμενης διαίρεσης, χωρίς να γίνει η διαίρεση. iii) Να λύσετε την εξίσωση P(x) = 0. iv) Να λύσετε την ανίσωση P(x) > 0. 17. Δίνεται το πολυώνυμο: P(x) = x4 – 4x3 – x2 + 16x - λ το οποίο διαιρείται με x – 1. i) Να βρείτε την τιμή του λ. ii) Να βρείτε τις πιθανές ακέραιες ρίζες του P(x). iii) Να λύσετε την εξίσωση P(x) = 0. iv) Να λύσετε την ανίσωση P(x) < 0. 18. Δίνεται το πολυώνυμο    3 2 P x x x 5 x 4,         . Αν το  P x έχει ρίζα για κάθε τιμή του πραγματικού αριθμού  , τότε: α) να βρείτε τη ρίζα. β) να βρείτε τις υπόλοιπες ρίζες του. γ) Αν 1  , να λύσετε την εξίσωση      23 3 P x x 6P x 6x 5    . 19. Δίνεται η συνάρτηση: f(x) = λx3 + 2λ3 x2 – λ2 x - 2 Αν η γραφική παράσταση Cf της f τέμνει τον άξονα x´x στο σημείο Α(1, 0),τότε να βρείτε: i) την τιμή του λ,
ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 14ο Λύκειο Περιστερίου [49] ii) όλα τα κοινά σημεία της Cf με τον άξονα x´x, iii) τα διαστήματα, στα οποία η Cf είναι πάνω από τον άξονα x´x. 20. Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x)=x6 +2x5 +2x4 +2x3 +x2 +(x+1)2 δεν έχει κανένα σημείο κάτω από τον x΄x. 21. Να λύσετε τις εξισώσεις : i) 24x4 +4x3 +15 = 66x2 +x ii) 3x3 +13x2 +10x+2 = 0 22. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) 2 x 1 x 1 3 10 3 0 x x                ii) (x2 +x+2).(x2 +x+1)=12 iii) (x2 -2x-5)2 -2(x2 -2x-3)=4 iv)     x 2 x 1 x 3 x 6 56 0      23. Έστω Ρ(x) πολυώνυμο 3ου βαθμού, το οποίο διαιρείται με το x2 +1 , έχει ρίζα το 0 και του οποίου το άθροισμα των συντελεστών είναι ίσο με 2. Α. Να αποδείξετε ότι Ρ(x)= x3 + x Β. Να λύσετε την ανίσωση         3 2 x 2 x 2 x 2        24. Δίνεται το πολυώνυμο    4 3 2 x x 8x 5 1 x 8x 3 6 ,α            Α. Να γίνει η διαίρεση του Ρ(x) δια του x2 – 1 και να γράψετε τη σχετική ταυτότητα. Β. Να βρείτε τη τιμή του α, ώστε η παραπάνω διαίρεση να είναι τέλεια. Γ. Για α=3, να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης Ρ(x) = 0 καθώς και τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης Ρ(x) είναι κάτω από τον άξονα x΄x. (Mάιος 2004) 25. α) Να λύσετε την ανίσωση 4 3 2 t 2t 2t 2t 3 0,t       . β) Ένα παιδάκι τη χρονική στιγμή t=0 min αρχίζει να φουσκώνει ένα μπαλόνι, το οποίο όμως εχει λίγο αέρα. Στη συνέχεια το μπαλόνι χάνει αέρα, έως ότου ξεφουσκώσει τελείως τη χρονική στιγμή t1>0. Αν ο όγκος του αέρα του μπαλονιού συμβολίζεται με V(t), μετριέται σε λίτρα και δίνεται από την συνάρτηση V(t)=  4 3 2 1t 2t 2t 2t 3 0,(t..min),t 0,t       ,να βρείτε: τον όγκο του αέρα που υπήρχε στο μπαλόνι αρχικά και τη χρονική στιγμή t1,στην οποία το μπαλόνι ξεφουσκώνει τελείως. 26. Δίνεται το πολυώνυμο f(x) = x2 + x + 1. Να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο: Q(x) = f(f(x)) – f(x) - 2 διαιρείται με το πολυώνυμο R(x) = f(x) – 1. 27. Δίνεται το πολυώνυμο: f(x) = αx2015 + βx2014 – γx – δ. Αν το f(x) διαιρείται με αx + β, να αποδείξετε ότι το f(x) διαιρείται και με γx + δ.
ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 14ο Λύκειο Περιστερίου [50] 4.4. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ Μεθοδολογία ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΛΥΝΟΝΤΑΙ ΜΕ ΑΛΛΑΓΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Η εξίσωση μετατρέπεται σε πολυωνυμική με κατάλληλη αλλαγή μεταβλητής : παράδειγμα : 2ημ3 x-7ημ2 x+7ημx-2=0 Αν ψ=ημx, τότε 2ψ3 -7ψ2 +7ψ-2=0  (ψ-1)(2ψ-1)(ψ-2)=0  ψ=1 ή ψ=1/2 ή ψ=2 (απορ.) ημx=1  x=2κπ+π/2 ημx=1/2  x=2κπ+π/6 ή x=2κπ+5π/6 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΡΙΖΙΚΑ Για να λύσουμε μια εξίσωση με ριζικά (δευτέρας τάξεως) εργαζόμαστε ως εξής:  Θέτουμε όλα τα υπόρριζα μεγαλύτερα ή ίσα από το μηδέν (περιορισμοί).  Απομονώνουμε στο ένα μέλος, αν διευκολύνει, το ένα ριζικό.  Απαιτούμε τα δύο μέλη να είναι ομόσημοι αριθμοί (νέοι περιορισμοί) και υψώνουμε στο τετράγωνο.  Επαναλαμβάνουμε τα παραπάνω βήματα όσες φορές χρειαστεί και λύνουμε την τελική πολυωνυμική εξίσωση.  Απορρίπτουμε τις τιμές που δεν επαληθεύουν τους περιορισμούς (ή την εξίσωση). παράδειγμα : x 3 x 1   x+30  x-3 x+10  x 1  άρα x-1     2 2 x 3 x 1    x+3 = x2 +2x+1  x2 +x-2=0  x=1 ή x= -2 (απορ.) ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α. Η συμμετρική εξίσωση 3ου βαθμού έχει τη μορφή: 3 2 x x x 0        (1) Η (1) λύνεται με παραγοντοποίηση ως εξής: αx3 + βx2 + βx + α = 0  (αx3 + α) + (βx2 + βx) = 0  α(x + 1)(x2 – x + 1) + βx(x + 1) = 0  (x + 1)[αx2 + (β – α)  x + α] = 0 Η εξίσωση αυτή λύνεται χωρίς δυσκολία. Β. Η συμμετρική εξίσωση 4ου βαθμού έχει μία από τις μορφές: 4 3 2 x x x x 0          (2) ή 4 3 2 x x x – x 0         (3) Επειδή α  0, η τιμή x = 0 δεν είναι ρίζα. Διαιρούμε όλους τους όρους με x2 , ομαδοποιούμε και οι εξισώσεις αυτές παίρνουν τη μορφή:
ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 14ο Λύκειο Περιστερίου [51] 2 2 1 1 α x β x γ 0 (4) x x                 ή 2 2 1 1 α x β x γ 0 (5) x x                 Θέτουμε 1 x y x   στην (4) και 1 x y x   στην (5), οπότε αντίστοιχα παίρνουμε: 2 2 2 2 2 2 1 1 x y 2 και x y 2 x x       Θέτουμε τις τιμές αυτές στις εξισώσεις (4) και (5) και έτσι προκύπτουν εξισώσεις β΄ βαθμού που λύνονται εύκολα. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α΄ ΟΜΑΔΑ 1. Να λύσετε τις εξισώσεις : i) 2 2 2x 1 x 3x 6 x 3 x 2 x 5x 6         ii) 2 2 2 2(x 1) x 2x 12 5 x x 4x x 4        iii) 2 2 2 x 3 1 x 9 6x 2x x 3x      2. Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις: i. x 2 0 x 2    ii. x 3 0 x 4    iii. 2 2x 3 0 x 1    iv. 2 x 4 0 x 5    v. 2 x x 0 2 x    vi. 3 x 9x 0 x 3    3. Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις: i. 2 x 2x 3 0 x 2     ii.   2 2 1 x x x 2 0 x 4x 3       iii. 2 2 2 x x 0 x 4     iv. 2 2 x 6x 8 0 x 2x 3       v.    22 2 5x 3x 2 x 3 0 x 3x 4       vi.    2 2 x 3x 10 0 2 x x 1      4. Να λύσετε την ανίσωση: 3 2 3 x 6x 8x 0 x 4x     5. Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις: i. 2x 1 1 x 3    ii. x 1 3 3x 1    iii. 4x 7 3 x 2    iv. 2 x x 1 x 4    6. Να λύσετε τις ανισώσεις: i) 2 1 2 3 x 2 x 1 x x 2       ii) 2 2 2 1 x 3 x 3x x 9 2x 6x      7. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις:
ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 14ο Λύκειο Περιστερίου [52] α) x 1 2  β) x 3 4   γ) 2x 7 x 2   δ) x 2x  8. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: α) 5x 10 8 x   β) 2x 6 x 1 2    γ) x 32 x 16   δ) 4x 20 4 x 24 x     ε) 2 x 1 1 x 1     στ) 4 2 x 2 3 2 x      9. Να λυθούν οι εξισώσεις: i) 2 x 5 x 2   ii) 2 4 2x x x 2    iii) 2x 1 x 1   iv) 2x 3 1 4x 4    v) x 2 6 x 4 x     10. Να λυθούν οι ανισώσεις: i) 5 x x 1   ii) x x 2  iii) x 1 x 1   iv) 4 x x  11. Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις: α) 3x 7 x 3   β) x 1 x 5   γ) 2 1 x x 3 x 2     Β΄ΟΜΑΔΑ 12. Να λύσετε την ανίσωση: 3 2 2 x 1 x 6 x 3 x 4 x 2 x 2         . 13. Να λύσετε τις ανισώσεις: α) 2 x 3 2 x   β) 2 3x 44 2 5 x 3x 10       14. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) 4 2 2 x –17 x 8 0    ii) 4 3 2 x – 2 x x 2 x –1 0       15. Να λύσετε τις εξισώσεις : i)     4 2 x 1 – 5 x 1 4 0    ii) 2 2 2 (x 3x 1) 10(x 3x 3) 51      iii)       3 22 2 2 x 4 2 x 4 5 x 4 6 0       iv) 2 2 (x 5x 7) (x – 2)(x – 3) 1    v) (x 5)(x 7)(x 6)(x 4) 504     16. Να λυθούν οι εξισώσεις: i) 2 x x 2 x x    ii) 2 x 3 x x,x     iii) 3 5x 7 x 1   iv) 3 2 x 1 x 1   
ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 14ο Λύκειο Περιστερίου [53] 17. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) 9 x 1 4 4 x x 9     ii) 2x 2 x 2 7 x 2 2x 2 12       iii) 2 2 2x 3x 2 2x 3x 2 3      iv)    2 x 4 x 1 6 3 x 5x 2      18. Να λύσετε τις ανισώσεις: i) x 1 2 x   ii) x x 2  iii) 2 x 3x 10 8 x    iv) 2x 5 2x 1   19. Να λυθεί η εξίσωση 2 2 1 1 2 x 11 x 19 0 x x                 . 20. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) 4 3 2 x 4x 6x 4x 1 0     β) 4 3 2 6x 25x 12x 25x 6 0     21. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) 5 4 3 2 x 2x 2x 2x x 0     ii) 4 3 2 6x 35x 62x 35x 6 0     iii) 5 4 3 2 6x 41x 97x 97x 41x 6 0      ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = kx3 - (k + λ)x2 + λx + 1,με το υπόλοιπο της διαίρεσης    P x : 2x 1 να είναι 7 και  P 1 23  i) Να αποδείξετε ότι k    6 και     5 . ii) Αν k    6 και     5 , τότε: α) Να γίνει η διαίρεση του P(x) με το πολυώνυμο 2x + 1 και να γραφεί το P(x) με την ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης. β) Να λυθεί η ανίσωση P(x) > 7 . 2. Δίνονται τα πολυώνυμα:   4 3 2 P x x 3x – 6x 2x – 7   ,  Q x x    και το πολυώνυμο Φ(x) = P(x) + Q(x) που έχει παράγοντα το x2 + 4. i) Να αποδείξετε ότι 10  και 33   . ii) Να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο Φ(x) έχει παράγονται το x – 2. iii) Να λύσετε την ανίσωση Φ(x)  0. 3. Δίνεται η συνάρτηση   3 2 2 x 2x x f x x 2x 3        . Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο Α(2,0). i) Να αποδείξετε ότι 2  . ii) Να απλοποιήσετε τον τύπο της f. iii) Να βρείτε για ποια x η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από την ευθεία y x .
ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 14ο Λύκειο Περιστερίου [54] 4. Δίνεται το πολυώνυμο:   4 3 2 P x 2x – 3x 3x 3x 1    i) Να αποδείξετε ότι το P(x) διαιρείται με το πολυώνυμο 2x – 1. Ποιο είναι το πηλίκο π(x); ii) Να λύσετε την εξίσωση P(x) = 0. iii) Να λύσετε την ανίσωση P(x)  0. iv) Να βρείτε το υπόλοιπο υ της διαίρεσης του P(x) με το x + 1. v) Να λύσετε την εξίσωση: 4 3 2 2 x – 3 x – 3 x – 3 x 4 0      5. Δίνεται το πολυώνυμο:   3 2 P y 2y – 7y 2y 3   i) Ποιες είναι οι πιθανές ακέραιες ρίζες του πολυωνύμου P(y); ii) Να λύσετε την εξίσωση P(y) = 0. iii) Να λύσετε την ανίσωση P(y)  0. 6. Αν το πολυώνυμο f(x) έχει ακέραιους συντελεστές και οι αριθμοί f(0) και f(1) είναι περιττοί, να αποδειχθεί ότι το f(x) δεν έχει ακέραια ρίζα. 7. Δίνεται η συνάρτηση:   3 2 3 2 x 6x 11x 6 f x x 4x x 6        i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της f. ii) Να απλοποιήσετε τον τύπο της f. iii) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης Cf της f με τον άξονα x´x. iv) Να βρείτε τα κοινά σημεία της Cf με την ευθεία ε : y = 2. 8. Δίνεται το πολυώνυμο   4 3 2 f x x x x x 2, x       α) Να αποδείξετε ότι το x 1 είναι παράγοντας του  f x και να βρείτε το πηλίκο  x της διαίρεσης του  f x με το  x β) Να αποδείξετε ότι το x – 2 είναι παράγοντας του  x και να βρείτε το πηλίκο της διαίρεσης του  x με το x – 2 . γ) Να βρείτε τα διαστήματα, στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον άξονα . 9. Δίνεται το πολυώνυμο   1 2 P x x 2x 3x 8, ,x             το οποίο έχει ρίζα το -1 i) Να δείξετε ότι   4 3 P x x 2x 3x 4    ii) Να δείξετε ότι η εξίσωση  P x 0 δεν έχει άλλες ακέραιες ρίζες . iii) Να λύσετε την ανίσωση    P x P x 40  
ΕΚΘΕΤΙΚΗ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ 14ο Λύκειο Περιστερίου [55] 1 2 3 4 5 6 7-1-2-3-4-5-6-7 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 x y 1 2 3 4 5 6 7-1-2-3-4-5-6-7 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 x y 5.1. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Δυνάμεις με άρρητο εκθέτη Αν α, β είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί και 1 2x,x ,x  ,τότε :     1 2 1 2x x x x     1 2 1 2x x x x :      x x x         x x x       2 1 1 2 x x x x Εκθετική συνάρτηση Αντιστοιχίζοντας κάθε x  ,στη δύναμη x  ,ορίζουμε την συνάρτηση : f :   με x f(x)   η οποία στην περίπτωση που είναι 0< 1  ,λέγεται εκθετική συνάρτηση με βάση α Αν είναι α=1 ,τότε έχουμε την σταθερή συνάρτηση f (x) 1 .  Κάθε συνάρτηση της μορφής x f(x)   με α>1, αποδεικνύεται ότι:  Έχει πεδίο ορισμού το  .  Έχει σύνολο τιμών το διάστημα (0, ) των θετικών πραγματικών αριθμών.  Είναι γνησίως αύξουσα στο  .Δηλαδή για κάθε 1 2x,x ,x  ισχύει : αν 1 2x x ,τότε 1 2x x     Η γραφική παράσταση τέμνει τον άξονα yý στο σημείο Α(0,1) και έχει ασύμπτωτο τον αρνητικό ημιάξονα των x.  Κάθε συνάρτηση της μορφής x f(x)   με 0<α<1, αποδεικνύεται ότι :  Έχει πεδίο ορισμού το  .  Έχει σύνολο τιμών το διάστημα (0, ) των θετικών πραγματικών αριθμών.  Είναι γνησίως φθίνουσα στο  . Δηλαδή για κάθε 1 2x,x ,x  ισχύει : αν 1 2x x , τότε 1 2x x     Η γραφική της παράσταση τέμνει τον άξονα yý στο σημείο Α(0,1) και έχει ασύμπτωτο το θετικό ημιάξονα των x.
ΕΚΘΕΤΙΚΗ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ 14ο Λύκειο Περιστερίου [56] 1 2 3 4 5 6 7-1-2-3-4-5-6-7 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 x y 1 2 3 4 5 6 7-1-2-3-4-5-6-7 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 x y Παρατήρηση 1: Για τις συναρτήσεις x f (x) 2 και x 1 g(x) 2        παρατηρούμε ότι για κάθε x  ισχύει : x x x 1 1 g(x) 2 f ( x) 2 2           . Αυτό σημαίνει ότι οι γραφικές παραστάσεις τους είναι συμμετρικές ως προς τον άξονα yý. Παρατήρηση 2 : Η γραφική παράσταση της x y e είναι : O αριθμός e Ισχύει :       v v → + ∞ 1 e = l i m 1 + v Ο αριθμός e με προσέγγιση πέντε δεκαδικών ψηφίων είναι e=2,71828. Ο νόμος της εκθετικής μεταβολής Η εκθετική συνάρτηση 0 ct Q(t) Q e  , με βάση το e, γνωστή ως νόμος της εκθετικής μεταβολής, εκφράζει ένα φυσικό μέγεθος που μεταβάλλεται με το χρόνο t. Το 0Q είναι η αρχική τιμή του Q (για t=0) και είναι 0Q 0 ,ενώ το c είναι μια σταθερά που εξαρτάται κάθε φορά από τη συγκεκριμένη εφαρμογή. Αν c > 0, η συνάρτηση Q είναι γνησίως αύξουσα και εκφράζει το νόμο της εκθετικής αύξησης, ενώ αν c < 0, η Q είναι γνησίως φθίνουσα και εκφράζει το νόμο της εκθετικής απόσβεσης.  Ο χρόνος που χρειάζεται για να διασπασθεί ή να εξαφανισθεί η μισή ποσότητα μιας ραδιενεργού ουσίας λέγεται ημιζωή ή χρόνος υποδιπλασιασμού της ραδιενεργού ουσίας ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ α) Έστω φ(x) μια παράσταση του x και 0 < α  1. Τότε η εξίσωση: (x)    έχει λύση μόνο αν β > 0. Προσπαθώντας να γράψουμε β = αγ , παίρνουμε: αφ(x) = β  αφ(x) = αγ  φ(x) = γ β) Εξισώσεις της μορφής: 2x x 0      λύνονται με την αντικατάσταση αx = y, όπου y πραγματικός. Με την αντικατάσταση αυτή η εξίσωση γίνεται: 2 y y 0      η οποία λύνεται κατά τα γνωστά. γ) Εξισώσεις της μορφής: 2x x 2x 0      , με β = αγ , λύνονται ως εξής:
ΕΚΘΕΤΙΚΗ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ 14ο Λύκειο Περιστερίου [57] Διαιρούμε με γ2x και παίρνουμε: 2x x α α λ μ ν 0 γ γ               και θέτουμε y    όπου y > 0. Τονίζουμε ότι η εμφάνιση δυνάμεων με διαφορετική βάση μαρτυράει και τον τρόπο λύσης της εξίσωσης. δ) Οι λύσεις εξισώσεων της μορφής:    x x 1      αναζητούνται στη λύση των επιμέρους εξισώσεων:  α(x) = 1. Οι τιμές που προκύπτουν είναι δεκτές, αρκεί να ορίζονται τα α(x) και φ(x).  φ(x) = 0. Οι τιμές απαιτούν επαλήθευση στην αρχική εξίσωση. (Αρκεί να είναι α(x)  0.)  α(x) = -1. Οι τιμές απαιτούν επαλήθευση. (Αρκεί ο φ(x) να είναι άρτιος.) ε) Η λύση της εξίσωσης:        x x x x            (δεν είναι εκθετική με την αυστηρή έννοια) ανάγεται στη λύση των εξισώσεων:  α(x) = 1. Οι τιμές που προκύπτουν είναι δεκτές.  α(x) = -1. Οι τιμές απαιτούν επαλήθευση. (Αρκεί οι εκθέτες φ(x) και ω(x) να είναι συγχρόνως άρτιοι ή συγχρόνως περιττοί.)  φ(x) = ω(x). Οι τιμές απαιτούν επαλήθευση στην αρχική εξίσωση. (Να μην προκύψει η μορφή 00 .)  α(x) = 0. Οι τιμές απαιτούν επαλήθευση. (Αρκεί να μην είναι φ(x)  0 ή ω(x)  0.) Σχόλιο Η εξίσωση    φ(x) ω(x) α(x) α(x) είναι ισοδύναμη με την εξίσωση:         ω(x) φ(x) ω(x) ω(x) φ(x) ω(x) α(x) α(x) 1 0 α(x) 0 Þ α(x) 1          οι οποίες λύνονται με τον τρόπο που προηγήθηκε. Παραδείγματα σε όλες τις κατηγορίες ασκήσεων θα παρουσιαστούν στα θέματα που ακολουθούν. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΚΘΕΤΙΚΩΝ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ α) Οι εκθετικές ανισώσεις λύνονται ανάλογα. Επισημαίνουμε ωστόσο ότι: φ(x) ω(x) φ(x) ω(x), αν α 1 α α φ(x) ω(x), αν 0 α 1         Έτσι, η βάση είναι πολύ σημαντική παράμετρος για τον τρόπο λύσης της ανίσωσης. β) Σε ορισμένες περιπτώσεις εισάγουμε βοηθητικό άγνωστο και παραγοντοποιούμε. Η χρήση πίνακα είναι σ’ αυτές τις περιπτώσεις μεγάλης σημασίας. Τονίζουμε ότι παραστάσεις της μορφής αφ(x) + θ, με θ > 0, είναι πάντα θετικές. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΚΘΕΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Τα εκθετικά συστήματα λύνονται:  Με τη βοήθεια των παραπάνω παρατηρήσεων που ισχύουν για τις εξισώσεις.
ΕΚΘΕΤΙΚΗ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ 14ο Λύκειο Περιστερίου [58]  Με εισαγωγή βοηθητικών αγνώστων και μετατροπή τους σε αλγεβρικά συστήματα.  Με πολλαπλασιασμό ή διαίρεση κάποιων εξισώσεών τους ή ακόμα με πρόσθεση ή αφαίρεση. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α΄ ΟΜΑΔΑ 1. Να κάνετε στο ίδιο σύστημα αναφοράς τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: f(x)=5x , και g(x)= x 1 5       . 2. Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων : i) x f (x) 5 1  ii) x 2 g(x) 5   iii) x 2 (x) 5 1    . 3. Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: α)   x 2 f x 3 2   β)   x 1 f x 2 2   γ)   x 2 1 f x 1 2         δ)   x 1 f x e 1   4. Να βρεθούν τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων: ι) f(x)= x 3 x 2x 1       ιι)     x2 g x 3x 5x 2   ιιι) h(x)= x x 1 x       5. Αν x 3 f (x) 2          ,να βρεθούν οι τιμές του α ώστε : i) να ορίζεται η f ii) να είναι γνησίως φθίνουσα iii) να είναι σταθερή στο  . 6. Δίνεται η εκθετική συνάρτηση:     x f x 3   i) Να βρείτε τις τιμές του α. ii) Να βρείτε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της f(x). iii) Να βρείτε την τιμή του α, ώστε η γραφική παράσταση της f να διέρχεται από το σημείο Α(1, 4). Ποια είναι η μονοτονία της f στην περίπτωση αυτή; 7. Να λυθούν οι εξισώσεις: i) 2x 1 x 6 3 5 5 3               ii)   4 2 x 5x 4 3 1 1     iii) x 5 625 iν) 2 x 9x 11 3 27   ν) 2 x 2x x 2 2 8   νi) 2 xx 3 81   νii) x 1 x 2 2x 4 27 3     νiii) 2 x 3x 1 3 9   ix)   2 x3 x 4 1   x) 2 x 4 5x 2 3 3 2              xi) x 1 x 2x 2 27 9   xii)   3x 2 8 4x 18 54 2    8. Να λυθούν οι εξισώσεις: i) 2x+3 -2x+2 +2x+1 =48 ii) x 2 x x 1 x 2 3 5 3 3 3 128       
ΕΚΘΕΤΙΚΗ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ 14ο Λύκειο Περιστερίου [59] iii) x 1 x x 1 x 1 15 21 3 3 0 3 3        iv) x x 1 x 2 x 45 7 3 3 3 3      v) x x 1 2 9 3 135 0     vi) 2 2 x 1 x 5 25 6   vii) x x 3 4 3 3 0   viii) 2x x x 1 e e e e     9. Να λυθούν οι εξισώσεις: i) x 1 x 2 x 4 x 3 7 3 5 3 5        ii) x 1 x x 1 x 3 3 2 3 2      iii) x 4 x 1 x 2 x 3 3 2 2 5 6 5         iv) 5x-2 -3 x 3 x 3 x 2 7 5 2      10. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) x x x 1 8 3 4 3 2 8 0       β) x 1 x4 3 3 1 3     γ) x x 3 2 3 2 5 2 3              11. Να λυθούν οι ανισώσεις: i) 2 x 3x 2 2 1   ii) x 1 2x 4 2 2   iii) 2 x 3 3 81  iv) x x 4 2 8.2 0  ν) x x 1 x x 1 x 2 6 6 2 2 2       12. Να λύσετε τις ανισώσεις i) 2 x 7x 6 4 1   ii) 2 5 x 2x x 21 1 2 4               iii) x x 4 8 6 2   iv) x 1 x 1 x 6 4 10 9     13. Να λύσετε τις ανισώσεις: i)   x x e 3 e 1 0   ii) x x 2 4 0 2 8    14. Να λυθούν τα συστήματα: i) 2x 1 4y 1 x y 2y 1 8 32 2 5 5 25           ii) x 2 y 3 x y 3 4 2 1 3 3 9          iii) x y 3 y x 3 3 2 5 2 3 3          iv) x y 2 x 2 y 4 4 2 32 3 3 27          v) 3x 1 y 1 2x 4 y 1 5 25 1 4 8 8           . Β΄ ΟΜΑΔΑ 15. Δίνεται η συνάρτηση x 3 2a f (x) a 3        . Να βρεθούν οι τιμές του α αν γνωρίζουμε ότι  f x 1 x    . 16. Δίνεται η συνάρτηση   x 1 f x         . Να βρεθούν οι τιμές του α αν γνωρίζουμε ότι  f x 1 x    . 17. Δίνεται η συνάρτηση   x2 λ - λ - 2 f x = . λ + 6       Να βρεθούν οι τιμές του λ, για τις
ΕΚΘΕΤΙΚΗ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ 14ο Λύκειο Περιστερίου [60] οποίες: i) η f(x) είναι σταθερή, ii) η f(x) είναι εκθετική συνάρτηση, iii) η f(x) είναι γνησίως αύξουσα, iv) η f(x) είναι γνησίως φθίνουσα, v) ισχύει f(2) = 81. 18. Δίνεται η εκθετική συνάρτηση:   x 3 λ f x 1 λ         i) Να βρείτε τις τιμές του λ. ii) Για ποιες τιμές του λ η f(x) είναι γνησίως αύξουσα; iii) Να βρείτε τις τιμές του λ, ώστε η f να είναι γνησίως φθίνουσα. iv) Αν λ = 2, να λύσετε την ανίσωση:  2 3 λ f x x 1 1 λ      19. Δίνονται οι συναρτήσεις    x x1 f x e e 2    και    x x1 g x e e 2    .Να δειχθεί ότι η f είναι άρτια, η g περιττή και ότι    2 2 f x g x 1  , για κάθε x . Επίσης να δείξετε ότι: i)          f f f g g        και ii)          g g f g f        20. Να λυθούν οι εξισώσεις: i) x x x 2 4 3 9 5 6     ii) x x x 9 6 2 4   iii) x x x 4 2 14 3 49     21. Να λυθούν οι εξισώσεις: i)   2 x 3x2 x 2x 1    ii)   2 x 2x2 x 5x 6 1     iii) 2 x x 2 x 1   iv)     2 x x 2 x 3 x 3     22. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) x x 2 8 2 6     β) 2 2 3x 2x 3x 2x 4 4 2 9 2      γ) x x x 3 4 2 9 5 6     23. Να λυθούν οι ανισώσεις: i) x x 9 10 3 9 0    ii) x x 2 x 9 3 3 9    iii) x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 2 2 2 5 5         iv) x x x 8 18 2 27 0    24. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f(x)= x x 2 (e 1)(2 4)(x 2x)   25. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ex + x. Να αποδείξετε ότι: i) η f είναι γνησίως αύξουσα στο  , ii) 2 x x 1 x 1 2 e e x 0      , για κάθε x . 26. Να λυθούν τα συστήματα: i) x y 2 x y 2 x y x y 3 4 3 45 2 3 2 4              ii) x x 2 3y 3 2y     iii) x y 3 x y 3 x y y x       iv) x y x y 3 5 4 27 125 604       v) x y x y 3 4 77 3 2 7       vi) x x y x x y 9 5 7 2 457 6 5 14 2 890              .
ΕΚΘΕΤΙΚΗ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ 14ο Λύκειο Περιστερίου [61] 27. Εστω Q(t) η τιμή ενός προϊόντος (σε εκατοντάδες χιλιάδες ευρώ), t έτη μετά την κυκλοφορία του προϊόντος στην αγορά. Η αρχική τιμή του προϊόντος ήταν 300.000 ευρώ, ενώ μετά από 6 μήνες η τιμή του είχε μειωθεί στο μισό της αρχικής του τιμής. Αν είναι γνωστό ότι ισχύει Q(t) = t e  , t  0 όπου α, β ΙR, τότε: i) να δείξετε ότι   t Q t 3 4   , t  0 , ii) να βρείτε σε πόσο χρόνο η τιμή του προϊόντος θα γίνει ίση με 1/16 της αρχικής του τιμής, iii) να βρείτε τον ελάχιστο χρόνο για τον οποίο η τιμή του προϊόντος δεν υπερβαίνει το 1 9 της αρχικής του τιμής. 28. α) Να λύσετε την εξίσωση: x x x x 3 4 2 5 4 3 5 2       β) Δίνονται οι συναρτήσεις   x x f x 3 4 2 5    και   x x g x 4 3 5 2    Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της . 29. Δίνεται η γνησίως αύξουσα στο  συνάρτηση     x3 f x 5     . α) Να βρείτε τις δυνατές τιμές της παραμέτρου λ. β) Να λύσετε την ανίσωση:    x 1 x 3 x 4 x 2 f 7 3 5 f 3 5        . γ) Να βρείτε τη τιμή του λ για την οποία η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο  A 1,19 . δ) Αν 3  , να λύσετε την εξίσωση    f x f x 2   . 30. Δίνονται οι συναρτήσεις    x x1 f x e e 2    και    x x1 g x e e 2    . α) Να αποδείξετε ότι η f είναι άρτια και η g περιττή συνάρτηση. β) Να αποδείξετε ότι    2 2 f x g x 1  για κάθε x  . γ) Να αποδείξετε ότι          g g f g f        , ,  . δ) Να λύσετε την εξίσωση    f x 2g x 1  . 31. Δίνεται η συνάρτηση     x2 f x 4 4     α) Να βρείτε τις τιμές του  για τις οποίες η f είναι γνησίως αύξουσα. β) Να βρείτε το  ώστε η γραφική της παράσταση να διέρχεται από το σημείο  1,9 . γ) Αν  2,3 , να λύσετε την ανίσωση    2 f x f 5x 6  . δ) Αν 4  , να λύσετε την ανίσωση   x x 2f x 3 9 5 6 0     .
ΕΚΘΕΤΙΚΗ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ 14ο Λύκειο Περιστερίου [62] 5.2. ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ Ορισμός: Ο logαθ είναι ο εκθέτης στον οποίο πρέπει να υψώσουμε τον α για να βρούμε το θ. x x log      Από τον παραπάνω ορισμό έχουμε: log 1 0  log 1  x log x  alog     Ιδιότητες: Αν α>0 με α 1 τότε για κάθε θ1, θ2, θ>0 και κ R ισχύει: ι)  1 2 1 2log log log        ιι) 1 1 2 2 log log log         ιιι) log log       Αλλαγή βάσης λογαρίθμου Αν α, β>0 με α,β 1 τότε για κάθε θ>0 ισχύει: logβ θ= a a log log   Δεκαδικοί λογάριθμοι Δεκαδικός λογάριθμος λέγεται αυτός που έχει σαν βάση το 10 και συμβολίζεται log θ. Ισχύει: x log x  10     Φυσικοί λογάριθμοι Λέγονται αυτοί που έχουν σαν βάση τον αριθμό e  2,71… και συμβολίζονται lnθ. Έχουμε: x ln x 10     Ισχύουν όλες οι γνωστές ιδιότητες:(με τους κατάλληλους περιορισμούς ) ln1=0 ln(θ1θ2)=lnθ1+lnθ2 lne=1 ln 1 2   = lnθ1-lnθ2 lnex =x ln ln     elnθ =θ Τα κυριότερα είδη ασκήσεων στην ενότητα αυτή είναι: α) Υπολογιστικά θέματα και απλοποίηση παραστάσεων ΜΕΘΟΔΟΣ
ΕΚΘΕΤΙΚΗ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ 14ο Λύκειο Περιστερίου [63] Για τη λύση των ασκήσεων αυτών εφαρμόζουμε τον ορισμό και τις ιδιότητες των λογαρίθμων. Τονίζουμε ότι πολλές φορές οι ιδιότητες των λογαρίθμων εφαρμόζονται από διαφορετική κατεύθυνση, δηλαδή από το δεύτερο μέλος προς το πρώτο. Έτσι: α α αlog x log y log xy  α α α x log x log y log y   log x log x    όπου x, y > 0, 0 < α  1 και νR. β) Αποδεικτικά θέματα ΜΕΘΟΔΟΣ Για την απόδειξη ταυτοτήτων ή ανισοτήτων στους λογάριθμους χρησιμοποιούμε τις ιδιότητες των λογαρίθμων και τον τύπο αλλαγής βάσης. Συνήθως υπάρχουν περισσότεροι από ένας τρόποι για τη λύση, ανάλογα με τη σειρά εφαρμογής των ιδιοτήτων. Τονίζουμε ότι αν σε ένα θέμα παρουσιάζονται λογάριθμοι με διαφορετικές βάσεις, τότε γράφουμε όλους τους λογάριθμους ως προς μία κοινή βάση, της επιλογής μας. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α΄ΟΜΑΔΑ 1. Να βρεθούν οι αριθμοί: α) 1 2 log 128 β) 3 1 log 81 2. Να υπολογίσετε το x ώστε να αληθεύουν οι ισότητες: i) logx81=-4 ii) logx27= 3 2 iii) logx 1 27 = 3 5  iv) 3 2 log x 4 ν) 1 7 2 log x 3   3. Να αποδείξετε ότι αληθεύουν οι ισότητες: i) log32+2log4-log64=log8 ii) log3+2log4-log12=2log2 iii) log 125 log 27 log 8 3 log15 log 2 2     iν) 2log 5 3 40 105 log log log 0 2 11 77 32     ν) 3log32+ 1 2 log316=5log32 νi) 2+3log52-2log510=log52 4. Να γράψετε υπό μορφή λογαρίθμου ενός αριθμού τις παρακάτω προτάσεις. α) 1 3log 2 log 8  β) log15 log5 5. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: 3 2 12 3 1 1 log 27 log 12 64A log 8 2log 9    6. Να υπολογισθεί η τιμή της παράστασης : 2 3 8 8A log 8 log 27 log 2 log 32    . 7. Να υπολογισθεί η τιμή της παράστασης : 5 1 1 log 8 3 A 25   .
ΕΚΘΕΤΙΚΗ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ 14ο Λύκειο Περιστερίου [64] 8. Να αποδείξετε ότι: α)2log5 + 3log2 – log60 + log3 = 1 β) 3log32 + 2log36 – log34 – log38 = 2 γ) log25 + log4 – log2 – log5 = 1 δ) log5 + 3log2 – log4 = 1 Β΄ ΟΜΑΔΑ 9. Να δείξετε ότι : i) log y log xa a x y x, y 0 0 1   ii) 1 1 ln9 ln 64 ln 4 ln3 2 3    iii) log2 log3 3 2 10. Να δείξετε ότι : α) log x log x log x log x log x         β) log2log9=log4log3 γ) 2 2 2 1 1 1 log 1 log 1 ... log 1 7 2 3 255                         δ) 1 1 log log log           ε) 21 ln log e 1    στ) log 2 log 2 log 2 ... log 2    ζ)      log 1 log 2 ... log 89 0          11. Αν x,y,z * R να εφαρμόσετε όλες τις δυνατές ιδιότητες των λογαρίθμων για να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: i) 3 3 x log 3x 2x        ii) 3 3 x y log 4 x y 12. Να βρείτε τον θετικό αριθμό x ώστε να ισχύει: 3 5 2ν 1 2 log x log x log x log x 2ν      13. Αν 1 x f (x) log 1 x    , δείξτε ότι    f f f 1             . 14. Αν α, β>0 και 2 2 23    , να δείξετε ότι:ln ln 2ln 5            15. Αν για τους διαφορετικούς μεταξύ τους αριθμούς α, β, γ ισχύει: log log log             δείξτε ότι 1       16. Αν x>0, α>β, β 1 , αβ 1 , τότε ισχύει: 1 1 1 log x log x log x     .
ΕΚΘΕΤΙΚΗ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ 14ο Λύκειο Περιστερίου [65] Α f(A) f g(y)=x y=f(x) g 17. Να αποδείξετε τις παρακάτω ισότητες: i) αlogβ =βlogα α, β R ii) a log log 1 log         α, β, γ * R β 1 και αβ 1 . iii)         2 22 2 log a 1 log 1 log a 1 a            iν) 2 3 4 7log 3 log 4 log 5 log 8 3    18. Να βρείτε τις τιμές του θ, ώστε η εξίσωση: 2 2 x – 2(1 log )x 1– log 0     να έχει μία διπλή ρίζα. 19. Για τη συνάρτηση f(x) ισχύει ότι: lnf(x) = αx + β για κάθε xR. Αν f(0) = 3 και 1 3 f 2 2       : i) να βρείτε τα α και β, ii) να αποδείξετε ότι f(x) = 3  4-x . 20. Δίνεται η συνάρτηση   x x x x f x 36 225 3 4 3 25      . α) Να βρείτε το σημείο τομής της με τον άξονα x΄x. β) Να αποδείξετε ότι                 f 0 5 f 0 3 f 0 40 f 0 105 2log log log log 0 f 0 2 f 0 11 f 0 77 f 0 32             5.3. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Αντίστροφη συνάρτηση Έστω μια συνάρτηση f : A   .Αν υποθέσουμε ότι αυτή είναι ‘1-1’ τότε για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών f (A) της f υπάρχει μοναδικό στοιχείο του πεδίου ορισμού της Α για το οποίο ισχύει f (x) y . Επομένως ορίζεται μια συνάρτηση g :f (A)   με την οποία κάθε y f (A) αντιστοιχίζεται στο μοναδικό x A ,για το οποίο ισχύει : f (x) y . Από τον τρόπο που ορίστηκε η g προκύπτει ότι :  Έχει πεδίο ορισμού το σύνολο τιμών f (A) της f  Έχει σύνολο τιμών το πεδίο ορισμού Α της f και  Ισχύει η ισοδυναμία f (x) y g(y) x   Αυτό σημαίνει ότι αν η f αντιστοιχίζει το x στο y τότε η g αντιστοιχίζει το y στο x και αντιστρόφως. Δηλαδή η g είναι η αντίστροφη διαδικασία της f. Για το λόγο αυτό η g λέγεται αντίστροφη συνάρτηση της f και συμβολίζεται με 1 f  .Επομένως έχουμε : 1 f(x) y f (y) x   
ΕΚΘΕΤΙΚΗ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ 14ο Λύκειο Περιστερίου [66]  (0, ) f log y x  x y 1 f y 1 y=2x O 1 x y=log2x y logαx2 logαx1 A(1,0) O 1x 2x x y=logαx, α>1 y y=logαx, 0<α<1 O 1x 2x Α(1,0) x logαx1 logαx2 Παρατήρηση : Οι γραφικές παραστάσεις C και C΄ των συναρτήσεων f και f-1 είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία που διχοτομεί τις γωνίες xOy και ΄ ΄ x y . Λογαριθμική συνάρτηση Η αντίστροφη της εκθετικής συνάρτησης x f(x)   είναι η συνάρτηση g(x) log x , που λέγεται λογαριθμική συνάρτηση ως προς τη βάση α. Παρατήρηση : Επειδή λοιπόν η λογαριθμική συνάρτηση g(x) log x είναι αντίστροφη της εκθετικής συνάρτησης x f(x)   οι γραφικές τους παραστάσεις είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία που διχοτομεί τις γωνίες xOy και ΄ ΄ x y .  Aν α>1, τότε η λογαριθμική συνάρτηση g(x) log x :  Έχει πεδίο ορισμού το διάστημα (0, )  Έχει σύνολο τιμών το σύνολο  των πραγματικών αριθμών  Είναι γνησίως αύξουσα ,που σημαίνει ότι : αν 1 2x x ,τότε 1 2log x log x  , απ’ όπου προκύπτει ότι log x 0,  αν 0<x<1 και log x 0,  αν x>1.  Έχει γραφική παράσταση που τέμνει τον άξονα x´x στο σημείο Α(1,0) και έχει ασύμπτωτο τον ημιάξονα Oy΄.  Αν 0<α<1 τότε η λογαριθμική συνάρτηση g(x) log x :  Έχει πεδίο ορισμού το διάστημα (0, )  Έχει σύνολο τιμών το σύνολο  των πραγματικών αριθμών.  Είναι γνησίως φθίνουσα ,που σημαίνει ότι : αν 1 2x x , τότε 1 2log x log x  , απ’  όπου προκύπτει ότι log x 0,  αν 0<x<1 και log x 0,  αν x>1.  Έχει γραφική παράσταση που τέμνει τον άξονα x´x στο σημείο Α(1,0) και έχει ασύμπτωτο τον ημιάξονα Oy. Η λογαριθμική συνάρτηση ως αντίστροφη της εκθετικής συνάρτησης είναι συνάρτηση 1-1 δηλαδή αν 1 2log x log x  ,τότε 1 2x x
ΕΚΘΕΤΙΚΗ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ 14ο Λύκειο Περιστερίου [67] ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Α. Έστω μια συνάρτηση f με τύπο της μορφής: f(x) = lnφ(x) (ή της μορφής f(x) = logφ(x)) Τότε: α) Για να βρούμε το πεδίο ορισμού Α της f(x) λύνουμε την ανίσωση φ(x) > 0. β) Για να βρούμε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης Cf με τον άξονα x´x λύνουμε την εξίσωση f(x) = 0. Ας προσέξουμε ότι f(x) = 0  φ(x) = 1. γ) Για να βρούμε τα διαστήματα, στα οποία η Cf βρίσκεται πάνω (αντίστοιχα κάτω) από τον άξονα x´x, λύνουμε την ανίσωση f(x) > 0 (f(x) < 0 αντίστοιχα). Ας παρατηρήσουμε ότι: f(x) > 0  lnφ(x) > 0  φ(x) > 1 και f(x) < 0  lnφ(x) < 0  0 < φ(x) < 1 Τα ίδια συμπεράσματα ισχύουν και για τη συνάρτηση g(x) = logφ(x). Β. Ακριβώς όμοια εργαζόμαστε και στην περίπτωση που f(x) = logφ(x). Αξίζει να τονίσουμε τον τρόπο λύσης δύο βασικών εξισώσεων: α)  ω(x) φ(x) 10 logφ(x) ω(x) φ(x) 0        ω(x) φ(x) e lnφ(x) ω(x) φ(x) 0       β)  φ(x) φ(x) logω(x) 10 ω(x) ω(x) 0       φ(x) φ(x) lnω(x) e ω(x) ω(x) 0      ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η πρώτη και σημαντικότερη ενέργεια σε κάθε λογαριθμική εξίσωση είναι να θέσου- με τους απαραίτητους περιορισμούς. Πιο συγκεκριμένα, για κάθε όρο της μορφής logαΑ(x) απαιτούμε Α(x) > 0. Οι σημαντικότερες μέθοδοι – τεχνικές για την επίλυση λογαριθμικών εξισώσεων συνίστανται στις παρακάτω ενέργειες: α) Χρησιμοποιούμε τον ορισμό του λογαρίθμου. β) Προσπαθούμε με αντίστροφη εφαρμογή των ιδιοτήτων των λογαρίθμων να απαλλάξουμε την εξίσωση από τους λογάριθμους. γ) Βασιζόμαστε στην ιδιότητα αlog θ α θ , θ > 0. δ) Παίρνουμε λογαρίθμους και στα δύο μέλη της εξίσωσης. Αυτό συνήθως το επιχειρούμε όταν οι όροι της εξίσωσης είναι γινόμενα, πηλίκα και δυνάμεις. ε) Χρησιμοποιούμε αλλαγή μεταβλητής. Δημιουργούμε δηλαδή, πιθανόν ύστερα από εφαρμογή κάποιων ιδιοτήτων, έναν όρο, του οποίου συνάρτηση είναι και τα δύο μέλη της εξίσωσης. Τον όρο αυτό θέτουμε y και καταλήγουμε σε αλγεβρική εξίσωση. Η μέθοδος αυτή λέγεται και “αλγεβρική μέθοδος”. στ) Κάνουμε αλλαγή βάσης. Αν λοιπόν οι παρουσιαζόμενες (διαφορετικές) βάσεις δεν επιτρέπουν την απλοποίηση της εξίσωσης, τότε εκφράζουμε όλους τους λογαρίθμους ως προς κάποια κατάλληλη βάση (πιθανόν και ως κάποια βάση που ήδη παρουσιάζεται στην άσκηση). ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΩΝ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ α) Για τη λύση λογαριθμικών ανισώσεων ακολουθούμε σε βασικές γραμμές την πορεία λύσης που γνωρίσαμε στις λογαριθμικές εξισώσεις. Η πρώτη σημαντική διαφορά είναι ότι:  δεν απαλείφουμε τους παρονομαστές, αν αυτοί περιέχουν τη μεταβλητή, πριν μελετήσουμε το πρόσημό τους,  δεν πολλαπλασιάζουμε, ούτε διαιρούμε με μεταβλητές ποσότητες, αν δεν
ΕΚΘΕΤΙΚΗ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ 14ο Λύκειο Περιστερίου [68] βεβαιωθούμε πρώτα για το πρόσημό τους. β) Οι βασικότερες μορφές λογαριθμικών ανισώσεων είναι ίδιες με αυτές που προ- κύπτουν από λογαριθμικές εξισώσεις αντικαθιστώντας το σύμβολο (=) της ισότητας με τα ανισοτικά σύμβολα (<) και (>) ή (), (). Πριν περάσουμε στα βασικά θέματα, υπενθυμίζουμε ότι για τη λύση ανισώσεων της μορφής logαφ(x) > 0 (< 0) διακρίνουμε περιπτώσεις: i. αν α > 1, τότε: logαφ(x) > 0  φ(x) > 1 logαφ(x) < 0  0 < φ(x) < 1 ii. αν 0 < α < 1, τότε: logαφ(x) > 0  0 < φ(x) < 1 logαφ(x) < 0  φ(x) > 1 Με τη βοήθεια των παραπάνω σχέσεων οι λογαριθμικές ανισώσεις οδηγούνται σε αλγεβρικές ανισώσεις. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Για την επίλυση λογαριθμικών συστημάτων εφαρμόζουμε τα παρακάτω:  Θέτουμε τους απαραίτητους περιορισμούς για τους αγνώστους του συστήματος. Προσπαθούμε να μετατρέψουμε το σύστημα σε αλγεβρικό, απαλλάσσοντας την κάθε εξίσωση του συστήματος από τους λογαρίθμους. Λογαριθμίζουμε ενδεχομένως τη μία εξίσωση (αν περιέχει γινόμενα και δυνάμεις) και εισάγουμε νέες μεταβλητές. Αυτό σημαίνει ότι θέτουμε για παράδειγμα logx = φ και logy = ω, οπότε το σύστημα μετατρέπεται σε αλγεβρικό. Πολλαπλασιάζουμε ή διαιρούμε ανάλογα (όλες ή ορισμένες από) τις εξισώσεις του συστήματος, ώστε να προκύψουν απλούστερες εξισώσεις. Εφαρμόζουμε οποιοδήποτε αλγεβρικό τέχνασμα, το οποίο οδηγεί σε απλούστερες εξισώσεις. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α΄ ΟΜΑΔΑ 1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: ι) x x 1 f (x) log 2 x    ιι) 2 3 x f (x) log 3 x        ιιι) 2 2 log(x 8x 15) f (x) 16 x     ιν) 2 x 1 f (x) log 2 x    2. Να συγκριθούν μεταξύ τους οι αριθμοί: i) log53 και log5 1 3 ii) log 1 2 7 και log 1 2 11 3. Στο ίδιο σύστημα αξόνων να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις f(x) log x, g(x) log x 2  και h(x) log (x 1)  . 4. Να λυθούν οι εξισώσεις: i) log(x – 2)2 = 2log4 ii) log(x-6)+log(x-7)=1-log5
ΕΚΘΕΤΙΚΗ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ 14ο Λύκειο Περιστερίου [69] iii) log(x-9)+2log 2x 1 2  iν) 2logx-log4=log(x-1)-log3 ν) log(35-x3 )=3log(5-x) νi) 2log(2x-1)-log(3x-2x2 )=log(4x-3)-logx νii) log(2x-5)+log(3x+7)=4log2 νiii) 3 21 ln(x 1) ln(x 2x 1) ln3 2      5. Να λυθούν οι εξισώσεις: i) x+log(1+2x )=xlog5+log6 ii) log(4x-2 +9)-log(2x-2 +1)=1-log2 iii)  logx 1 log 21 42 log 4 log 21 log x log76      6. Να λυθούν οι εξισώσεις: i) 1 1 log(3x 1) log(8x 2) log(4x 1) 2 2      ii) 1 log(x 1) log x log 2 3    iii)    2 log 2x 5 0,5 log x 8    7. Να λυθούν οι εξισώσεις: i) 3 log x 2 log x 5 3 log x 2 log x       ii) log x 3 log x 2 9 log x log x 3 2      iii) log(x 1) 2log 2 1 log 2 log(x 1)     iν) 2logx +25-logx =12 v) log x log x log x  vi) 3 2 2 (log x ) 2log x 5 0   . 8. Να λυθούν οι ανισώσεις: i) log(2x-3)>log(24-6x) ii) ln(2x-1)>ln(3-x) iii) log(4-x2 )<log(-3x) 9. Να λυθούν οι ανισώσεις: i) log(x2 – 5x + 7) < 0 ii) 2 log log(x 7x 22) 0     10. Να λυθούν τα συστήματα: i) x y 65 log x log y 3      ii) 3 log x log y 2 1 log x log y 2         iii) 2 2 log x log y 10 log x log y 2       Β΄ΟΜΑΔΑ 11. Δίνεται η     2 f(x) ln 1 x 2 3 x           . Να βρείτε το λ ώστε η f να ορίζεται για κάθε x R . 12. Η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα με θετικές τιμές. Να τοποθετήσετε το κατάλληλο ανισωτικό σύμβολο στα κενά: i) 1/2 1/2log f (3)...log f (5) ii) logf (1)...logf (0) iii)  2 ln f (e)...ln f e iv) 1/3 1/3log f (1)...log f (0) 13. Να χαράξετε τη γραφική παράσταση των συναρτήσεων και να βρείτε τη μονοτονία και το σύνολο τιμών τους.
ΕΚΘΕΤΙΚΗ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ 14ο Λύκειο Περιστερίου [70] i) f(x) = log(x – 1) ii) f(x) = log|x – 2| iii) f(x) = ln|x| - 1 iv) f(x) = ln(1 – 2x + x2 ) 14. Να λυθούν οι εξισώσεις: i)  2 log log 2x x 11 0     ii) x x ln(9 3 5) 0   15. Να λυθούν οι εξισώσεις: i) 2 logx x 1 10 x   ii) logx 21 x x x 10  iii) log x x 100 iν) (100x)log(100x)-2 =1000 ν) log2 log x (4x) 100  vi) 22x = 3x+1 vii) 102logx-3 = x 16. i) Να αποδείξετε ότι: 5 5log 2 log x x 2 αν 0 < x  1 ii) Να λύσετε την εξίσωση 5 5log 2 log x 3x 2 64  iii) Να αποδείξετε ότι ισχύει γενικά β βlog γ log α α γ με (0 < α,β,γ  1) 17. Να λυθούν οι ανισώσεις: i) log(x2 +9)>1+logx ii) 2 ln(x 1) 1 ln(x 1)    iii) log2 x – 11  logx + 10  0 iν) (logx)2 –5logx + 4  0 18. Να λυθούν οι ανισώσεις: i) 2 log(x 15x) 2 4  ii) x ln(5.2 6) 2x ln 2  iii) xlogx >10 19. Να λυθούν τα συστήματα: i) log y x 1000 log(xy) 4     ii) log x log y 2 log(x y) 2log5      iii) 2 2 x y 425 log x log y 2       iν)  2 2 log x y 1 log13 log(x y) log(x y) 3log 2          v) logx log y logx log y 2 3 1 4 9 25       vi) x y 5 2 1 x log5 ylog 2 log 20       20. Δίνονται οι συναρτήσεις      2 f x log x 1 log x 2x    και    g x 1 log x 1   . α) Να βρείτε το πεδίο των συναρτήσεων f,g. β) Να βρείτε τη τετμημένη του σημείου τομής των γραφικών τους παραστάσεων. γ) Να λύσετε τις εξισώσεις: i.  f x 0 και ii.  g x 0 . δ) Να αποδείξετε ότι:    f 4 3g 1 4 log30   . 21. Δίνεται η συνάρτηση         4 2 f x log x 8 log x log 100x ,x 0     ,
ΕΚΘΕΤΙΚΗ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ 14ο Λύκειο Περιστερίου [71] α) Να βρείτε τη τιμή του α για την οποία η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο  M 10,25 . β) Αν α = 1, τότε: i. να αποδείξετε ότι η f παίρνει τη μορφή:     22 f x log x 4log x  ii. να λύσετε την εξίσωση  f x 0 . 22. Δίνεται η συνάρτηση   2 f x log x . α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. β) Να αποδείξετε ότι η f είναι άρτια. γ) Να κάνετε τη γραφική της παράσταση. δ) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης    g x f x 2  με την ευθεία y 2log 4 . 23. Δίνεται η συνάρτηση       log 3x 14 f x log x 4    . α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. β) Να βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της f τέμνει την ευθεία y 2 . γ) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από την ευθεία y 1 . 24. Δίνεται η συνάρτηση    f x ln x 2  . α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. β) Να απαλλάξετε τον τύπο της f από την απόλυτη τιμή. γ) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία. δ) Να λύσετε την εξίσωση    2 ln x 2 f x 2 0    . 25. Δίνεται η συνάρτηση    f x log log x 4  . α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. β) Να βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα x΄x. γ) Να βρείτε τις ακέραιες τιμές του x για τις οποίες  f x 0 . 26. Δίνεται η συνάρτηση     f x log log x 1  . α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα χ΄χ. γ) Να λύσετε την ανίσωση    f x 7 f x 1 log 2    . δ) Να αποδείξετε ότι      3f 101 2f 1001 f 10001 log18   27. Δίνεται η συνάρτηση   x 1 f x ln x 1 x        α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. β) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι περιττή. γ) Να διατάξετε σε αύξουσα σειρά τους αριθμούς   1 1 f , f , f 0 2 2             .
ΕΚΘΕΤΙΚΗ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ 14ο Λύκειο Περιστερίου [72] δ) Να λύσετε την εξίσωση:    f x f x 1 1 2x 0     . ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΚΘΕΤΙΚΗΣ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗΣ 1. Εστω η συνάρτηση    f x 2ln x 1 1   i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. ii) Να κάνετε τον πίνακα προσήμου της f. iii) Να βρείτε τα διαστήματα του x που η Cf είναι κάτω από τον άξονα x’x. 2. Εστω η συνάρτηση    x f x ln 2 5  i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. ii) Tα σημεία τομής της Cf με τους άξονες. iii) Να βρείτε τα διαστήματα του x που η Cf είναι πάνω από τον άξονα x’x. 3. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ln(3 – x) – ln(3 + x). i) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού Α της f(x). ii) Να αποδειχθεί ότι η f(x) είναι γνησίως φθίνουσα. iii) Να βρεθούν οι αριθμοί x, για τους οποίους f(x) = -ln2. 4. Δίνεται η συνάρτηση 2- x f(x) = ln 2 + x . i) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f(x). ii) Να βρεθούν τα κοινά σημεία της Cf με τον άξονα x´x, όπου Cf είναι η γραφική παράσταση της f(x). iii) Να αποδειχθεί ότι η f(x) είναι περιττή συνάρτηση. iν) Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η Cf είναι πάνω από τον άξονα x´x. ν) Πού τέμνει η Cf την ευθεία (ε) : y = ln3 ; 5. Δίνεται η συνάρτηση:   x x x 1 4 2 f x ln 2 4    i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x). ii) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = -2ln2. iii) Να λύσετε την ανίσωση f(x) < 0. iν) Να αποδείξετε ότι: x x 2 1 f (x) (x 1)ln 2 ln 2 2      6. Δίνεται η συνάρτηση 2x x e 1 f(x) ln e 5 -       . i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x). ii) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 2ln2 . iii) Να λύσετε την ανίσωση f(x) > 0. 7. Δίνεται η συνάρτηση  f x 1 x ln x,x 0    i) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα. ii) Αν 0 x 1  να δείξετε ότι  f x 0 .
ΕΚΘΕΤΙΚΗ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ 14ο Λύκειο Περιστερίου [73] iii) Να λύσετε την ανίσωση  x 2x 5 f e 1 e x    iv) Να δείξετε ότι για κάθε 0, 2       ισχύει ότι e ln         . 8. Δίνονται οι συναρτήσεις    x f x ln e 1  και    1 x g x ln 2e 2   . i) Να βρείτε το πεδίο των συναρτήσεων f,g. ii) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των f,g έχουν ένα μόνο κοινό σημείο. iii) Να λύσετε την ανίσωση    f 2x g x 1   . iv) Να αποδείξετε ότι    g 1 x f x ln 2   . 9. Δίνεται η συνάρτηση    2 f x log 2x 4x 4 2log x    . i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. ii) Να βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της f τέμνει τους άξονες. iii) Να λύσετε την εξίσωση          2x 1 f 1 xf 1 f 1 10 5 10 10 f 2     iv) Να αποδείξετε ότι  f 1 logx x 2 και να λύσετε την εξίσωση  2f 1 logx x 2 2  10. Να Δίνονται οι συναρτήσεις    2x x f x ln e 2e 3   και    x g x ln3 ln e 1   . i) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των f και g. ii) Να λύσετε την εξίσωση    f x g x iii) Να λύσετε την ανίσωση    f x 2g x . iv) Να αποδείξετε ότι η g είναι 1 1 . v) Να λύσετε την εξίσωση      g x g 1 f 0  11. i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης   2x x 1 1 f x 2 3 1 5 5                ii) Δίνεται η συνάρτηση   x g x 5 . Να λύσετε την εξίσωση :          50 125 5 1 g x g x 1 g x 2 ..... g x 49 4          12. Δίνεται η    2x x f x ln e – e i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. ii) Να αποδείξετε ότι    x f x x ln e –1  iii) Να λύσετε την εξίσωση  f x x iv)Να λύσετε την ανίσωση  f x x 2ln 2  v) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1 και να λύσετε την εξίσωση    2x 1 x 2x 1 e x e e ln e –1 e ln e –1      13. Δίνεται η συνάρτηση    2x x f x ln e 6e 8   . i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της ii) Να λύσετε την ανίσωση  f x ln3
ΕΚΘΕΤΙΚΗ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ 14ο Λύκειο Περιστερίου [74] iii) Να λύσετε την εξίσωση  f x x ln3  14. Δίνεται η συνάρτηση    f x log x 4 3   . i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. ii) Τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της f τέμνει τους άξονες. iii) Τη τιμή του k  για την οποία το σημείο  k, 2 ανήκει στη γραφική παράσταση της f. iv) Να λύσετε την εξίσωση    x 3 x x x 3 f 3 2 f 23 3 2      15. Δίνεται η συνάρτηση   ln x 1 f x ln x 1    . i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. ii) Να βρείτε τις τιμές του χ για τις οποίες η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ΄χ. iii) Να αποδείξετε ότι   1 f x f x        για κάθε   1 1 x 0, ,e e, e e                . iv) Να λύσετε την εξίσωση   1 f x 1 1 f x         16. Δίνεται η συνάρτηση   x 4 f x 2          για την οποία ισχύει ότι 6 7 f f 7 6             . α) Να βρείτε τις τιμές του  . β) Έστω 0  . i. Να λύσετε την εξίσωση      f x 1 f x 2 f x 3 48      ii. Να αποδείξετε ότι      log2 2f log x log f x iii. Να λύσετε την ανίσωση logx log2 2 x 16  17. Δίνεται η συνάρτηση  f x log x . i. Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων  y f x , y x και x y 10 . ii. Να συγκρίνεται τους αριθμούς  f 12 και 2. iii. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης     1 g x f x  . iv. Να αποδείξετε ότι      3f 2 f 5 f 4 1   . v. Να λύσετε την ανίσωση    x x f 2 4 f 5 2 10 2 10     .
ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ [75] ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 1. Δίνεται το σύστημα:       x y 1 2 3 x 2 y 8                              , , 0, 2        . α) Να αποδείξετε ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση, την οποία και να βρείτε. β) Να βρείτε τα ,  για τα οποία το ζεύγος  4, 2 είναι λύση του συστήματος. 2. Δίνεται το σύστημα  k 1 x 2y k 1 kx ky 1        ,όπου k πραγματικός αριθμός α) Να βρείτε το k ώστε το σύστημα να έχει μοναδική λύση. β) Να βρείτε τη μοναδική λύση  0 0x , y για τις παραπάνω τιμές του k. γ) Αν k 1 , i. να λύσετε την εξίσωση 2 0 0y x 0      . ii. να λύσετε την ανίσωση 0 0x t t yt 3 t 4 021 3 x 5 3 5        3. Έστω x yD, D , D οι ορίζουσες ενός συστήματος 2χ2 που έχει μοναδική λύση. Αν x yD D 4D  και x yD D 2D  , να αποδείξετε ότι : α) το σύστημα έχει μοναδική λύση    0 0x , y 3, 1  . β) υπάρχει  για το οποίο ισχύει: 0 0x y 5    , 0x 5   . γ)  0 0 0log32 log x y x log 2 0    . 4. Δίνεται το πολυώνυμο   3 2 f x 2x 5x x , ,        , το οποίο έχει παράγοντα το   2 x 1 . α) Χωρίς να υπολογίσετε τα α,β, να αποδείξετε ότι 3    . β) Να αποδείξετε ότι 4  και 1   . γ) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ΄χ. δ) Να λύσετε την εξίσωση 3 2 2 x 5 x 4 x 1      ε) Δίνεται το σύστημα     x f 0 y 2 x y 2 f 1          . i. Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες το σύστημα έχει μοναδική λύση  0 0x , y . ii. Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες υπάρχει  για το οποίο ισχύει: 0x  και 0y  . 5. Δίνεται η συνάρτηση  f x 2 2x 1   , x  . α) Να βρείτε τη περίοδο την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της και να σχεδιάσετε τη γραφική της παράσταση σε διάστημα μιας περιόδου. β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες.
ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ [76] γ) Να λύσετε την εξίσωση  f x f x 4        στο διάστημα  0, . δ) Να αποδείξετε ότι 5 f log 2 log f 3log f log128 4 12 12                                 . ε) Να βρείτε τα ,  για τα οποία το πολυώνυμο   3 2 P x x 6x x     έχει παράγοντες τα x f 4            και x f 12            6. Δίνεται η συνάρτηση   2 2 2 2x 1 f x 2 x 1      . α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. β) Να λύσετε την εξίσωση  f x 0 . γ) Να λύσετε την εξίσωση log x f log x f log3 6 6                           7. Δίνεται το πολυώνυμο: P(x) = x4 + (β – α)x3 – (α + β)x2 - (2β + α)x – β, όπου α, βR i) Να προσδιορίσετε τα α, βR, ώστε το πολυώνυμο P(x) να διαιρείται με τη μεγαλύτερη δύναμη του x + 1. ii)Για τις τιμές των α και β που βρήκατε στο ερώτημα (α) να λύσετε την ανίσωση P(x) < 0. 8. Δίνεται το πολυώνυμο   3 2 2 P x 4x 3 x x 2, , 2               . α) Να βρείτε το ω για το οποίο το υπόλοιπο της διαίρεσης του  P x με το x   να είναι ίσο με 2. β) Να λύσετε την εξίσωση     2 P x 2  για 3 4    . γ) Να λύσετε την εξίσωση  6 2P 1 11 0   . 9. Δίνεται το πολυώνυμο   3 2 P x 2x 7x x     το οποίο έχει παράγοντα το x 1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης του με το x 1 είναι 18 . α) Να αποδείξετε ότι 7  και 2   . β) Να λύσετε την εξίσωση 3 2 2 2x 7 2x 7 2x 2 0       . γ) Να λύσετε την ανίσωση x x x 2 8 7 4 7 2 2 0       . 10. Δίνεται το πολυώνυμο f(x), όπου 1 λ 4 2λ 1 3 2 λ2 f(x) x 5 x 2 3 x 25 x 1,         λR. i) Αν x – 1 είναι παράγοντας του f(x), τότε να βρείτε το λ. ii) Για 1 λ 2  : α) Να αποδείξετε ότι το (x – 1)2 είναι παράγοντας του: 1 λ 4 2λ 1 3 2 λ2 f(x) x 5 x 2 3 x 25 x 1         β) Να βρείτε τα διαστήματα, στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης: 1 λ 4 2λ 1 3 2 λ2 f(x) x 5 x 2 3 x 25 x 1         βρίσκεται πάνω από τον άξονα x´x.
ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ [77] 11. Δίνεται το πολυώνυμο   4 3 2 P x x x 2x x , ,          και η συνάρτηση    f x log P x .Αν το  P x έχει παράγοντα το   2 x 1 , τότε: α) Να αποδείξετε ότι 2   και 1  . β) Να λύσετε την εξίσωση  P 2 x 0  . γ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. δ) Να αποδείξετε ότι      f 7 f 2 f 3 log9   . 12. Δίνεται η συνάρτηση 3 x f (x) ln . 3 x        i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. ii) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι περιττή. iii) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(0) και 1 f . 3       iv) Να λύσετε την εξίσωση f(x) + f(x + 1) = 0. 13. Δίνονται οι συναρτήσεις    2x x f x ln e 2e 3   και    x g x ln3 ln e 1   . i) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των f(x) και g(x). ii) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x). iii) Να λύσετε την ανίσωση f(x) > 2g(x). 14. Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = x3 – 7x – 6. i) Να βρείτε τις ρίζες του P(x). ii)Να λύσετε την ανίσωση P(x) > 0. iii) Να λύσετε την εξίσωση 3logx logx 10 – 7 10 – 6 0  . 15. Δίνεται η συνάρτηση x+1 x+2 x x 2 + 2 - 24 f(x) = ln . 4 -6 2 +8 i) Να λύσετε την εξίσωση 2 x+1 + 2 x+2 = 24. ii) Να λύσετε την εξίσωση 4 x – 6  2 x + 8 = 0. iii) Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης f(x). iv) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0. 16. Δίνεται η συνάρτηση    f x log log x 3  . i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτηση f. ii) Για ποιες τιμές του x η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέμνει τον άξονα x’x. iii) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη. iv) Να λύσετε την ανίσωση  f x 0 . 17. Δίνεται η εκθετική συνάρτηση     x f x 3   . i) Να βρείτε τις τιμές του α. ii) Να βρείτε τις τιμές του α ώστε η f να είναι γνησίως φθίνουσα. iii) Αν 3 4   ,τότε να λύσετε την εξίσωση  2 f x 5x 7 3     . 18. Δίνεται η συνάρτηση:  f x 2log(12 – x) – log(x 8) 1   i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της f. ii)Να αποδείξετε ότι f(0) = log9 – log5.
ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ [78] iii)Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης Cf της f(x) με τον άξονα x´x. iv)Να βρείτε τα διαστήματα, στα οποία η Cf βρίσκεται κάτω από τον άξονα x´x. 19. Δίνονται οι συναρτήσεις: f(x) = ex – e και g(x) = e1-x - 1 i) Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των f και g. ii) Να βρείτε τις τιμές του xR για τις οποίες η γραφική παράσταση της f βρίσκεται κάτω από τη γραφική παράσταση της g. iii) Να κάνετε τις γραφικές παραστάσεις των f και g. 20. Δίνεται η συνάρτηση       x f x 2 , 0,2    . Να βρείτε τις τιμές του ω για τις οποίες η f είναι: α) σταθερή στο  β) γνησίως αύξουσα γ) γνησίως φθίνουσα δ) Να λύσετε την εξίσωση    f 2 f 1 6  . 21. Ένας πληθυσμός από 210 βακτήρια αρχίζει από κάποια στιγμή και μετά να διπλασιάζεται ανά είκοσι λεπτά. i) Πόσος θα είναι ο πληθυσμός των βακτηρίων μετά από 10 ώρες; ii) Με το πέρας της 10ης ώρας ρίχνουμε ένα φάρμακο, το οποίο έχει ως αποτέλεσμα να χάνονται κάθε 8 λεπτά 235 βακτήρια. α.Πόσα βακτήρια θα υπάρχουν 80 λεπτά μετά την εισαγωγή του φαρμάκου; β.Σε πόσα λεπτά θα έχουν πεθάνει όλα τα βακτήρια; 22. Δίνεται η εξίσωση   2 3 5 1 x x 3 3 x 1 1 8 , x 0,2 4         . α) Να αποδείξετε ότι η μεγαλύτερη ρίζα της προηγούμενης εξίσωσης είναι η 4 3    . β) Να υπολογίσετε τη τιμή της παράστασης 3 4 1 3 log 3 ln2 4 3 2 6 27 A log e 4                            23. Δίνεται η συνάρτηση 1 x f (x) (3 ) , x   και 1   . Α. Αν το σημείο Μ(1,3) ανήκει στην γραφική παράσταση της f , να βρείτε το α. Β. Για α=0 να λύσετε τις εξισώσεις: α. f (x) f (2x) 2  β. f (2 x) 3  24. Δίνεται η συνάρτηση ln x f (x) 1 ln x   Α. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης . Β. Να λύσετε την εξίσωση f (x) 1 . Γ. Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον άξονα x 'x . 25. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο x x 2 f (x) ln e 3 e         . Α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. Β. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f παίρνει την μορφή :    x x f (x) ln e 1 e 2 x       Γ. Να βρείτε τα σημεία για τα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από την γραφική παράσταση της g(x)=x.
ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ [79] Δ. Να λύσετε την εξίσωση f(x)+g(x)=  2 ln 2 3 . 26. Δίνεται η συνάρτηση   x f x ln(4 8) x ln 2   α. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της β. Να λυθεί η εξίσωση  f x ln 7 γ. Να λυθεί η ανίσωση  f x ln 7 27. Δίνεται η συνάρτηση   x 1 f x 1 e        . Α) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνήσια φθίνουσα στο R Β) Να λύσετε την εξίσωση     1 x f 1 f 0 4 e           Γ) Να λύσετε την εξίσωση    x f 0 0   στο διάστημα 3 , 2 2        28. Δίνεται η συνάρτηση     2 2 log x f x log x  Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της Β) Να λύσετε την εξίσωση   1 f x 2  Γ) Να λύσετε την ανίσωση   1 1 f x  29. Δίνεται η συνάρτηση   2x x e 1 f x ln e 5        . α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. β) Να λύσετε την εξίσωση  f x 2ln 2 . γ) Να λύσετε την ανίσωση  f x 0 . δ) Έστω η συνάρτηση      f xx g x e 5 e  . i. Να αποδείξετε ότι η g είναι 1-1. ii. Να λύσετε την εξίσωση    g x x g x   30. Δίνεται η συνάρτηση     2 f x log x log x  . α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα χ΄χ. γ) Να λύσετε την εξίσωση  f x 0  . δ) Αν για τους θετικούς αριθμούς α,β με    ισχύει ότι    f f   , να αποδείξετε ότι 10.000  . 31. Δίνεται η συνάρτηση  f x ln x k 3         . α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. β) Αν e f ln ln 6 2         , να βρείτε το k. γ) Αν k 1 , τότε:
ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ [80] i. να λύσετε στο διάστημα 0, 2       την εξίσωση:    ln x f 2ln 2 f ln3 6            . ii. να λύσετε την εξίσωση        f x 1 f x 1 e e      . 32. Δίνεται το πολυώνυμο   3 2 P x x x x 4     , ,  .Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του  P x με το  2 x x είναι 2x 4 τότε : α) Να αποδείξετε ότι 2  και 1   . β) Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του  P x με το x 1 γ) Nα λύσετε την ανίσωση  x 2x P 10 10 5    . δ) Να λύσετε την εξίσωση     1 3 log x P 1 log x log 2 P 0         33. Θεωρούμε το πολυώνυμο   3 P x x x 2 4 , ,          α) Αν έχει παράγοντα το   2 x 1 , να βρείτε τα  και  . Αν 3  και 1  , τότε: β) να λύσετε την ανίσωση  P x 0 γ) να λύσετε την εξίσωση  P x 0  δ) να αποδείξετε ότι     1 2 log 3P 2 2P 0 2 10 25    34. Δίνεται η συνάρτηση    f x log log x . α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. β) Να λύσετε την ανίσωση  f x 1 . γ) Θεωρούμε τη συνάρτηση     x g x f    για την οποία γνωρίζουμε ότι είναι γνησίως φθίνουσα στο  . i. Να βρείτε τις δυνατές τιμές του λ. ii. Να λύσετε την ανίσωση    3 g x 4x g x 4   35. Δίνεται η συνάρτηση    x f x x ln e 3   . α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα. γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς  f 1821 και  f 2015 . δ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f και της ευθείας y ln10 . ε) Να λύσετε την εξίσωση     2 2 x 3 4 x ln e 3 1 ln e 3       

More Related Content

PDF
τόλης ευάγγελος άλγεβρα β΄λυκείου
byChristos Loizos
 
PDF
συστήματα προτεινόμενες ασκήσεις
byStavros Kioupis
 
PDF
Μη γραμμικά συστήματα - Άλγεβρα Β Λυκείου
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PPTX
γραμμικά συστήματα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους
byAthanasios Bakoutis
 
PDF
'Αλγεβρα Β λυκείου,συστήματα
byΘανάσης Δρούγας
 
PDF
Άσκηση σχολικού βιβλίου Άλγεβρα Β Λυκείου / Α7 σελ. 22
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
22 0208-02-am algebra-b-lyk_lyseis
byChristos Loizos
 
PDF
1η ανάρτηση
byΠαύλος Τρύφων
 
τόλης ευάγγελος άλγεβρα β΄λυκείου
byChristos Loizos
 
συστήματα προτεινόμενες ασκήσεις
byStavros Kioupis
 
Μη γραμμικά συστήματα - Άλγεβρα Β Λυκείου
byΜάκης Χατζόπουλος
 
γραμμικά συστήματα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους
byAthanasios Bakoutis
 
'Αλγεβρα Β λυκείου,συστήματα
byΘανάσης Δρούγας
 
Άσκηση σχολικού βιβλίου Άλγεβρα Β Λυκείου / Α7 σελ. 22
byΜάκης Χατζόπουλος
 
22 0208-02-am algebra-b-lyk_lyseis
byChristos Loizos
 
1η ανάρτηση
byΠαύλος Τρύφων
 

What's hot

PPT
Συστήματα γραμμικών εξισώσεων
byΚΩΣΤΑΣ ΓΚΑΒΕΡΑΣ
 
PDF
Προβλήματα στις κλασματικές εξισώσεις
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
βοήθημα άλγεβρα β΄λυκείου (Pitetragono)
byssuserabe226
 
PDF
Άλγεβρα Β Γυμνασίου
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PPT
γραφικη επιλυση συστηματοσ
byΚΩΣΤΑΣ ΓΚΑΒΕΡΑΣ
 
PDF
Γραπτή εξέταση στα Μη γραμμικά συστήματα (1.2) Β Λυκείου
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
Α΄ Λυκείου Άλγεβρα - Εξισώσεις
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
Τριγωνομετρικές εξισώσεις [2018]
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
Epanalipsi b gymnasiou
byChristos Loizos
 
PDF
4ο θέμα άλγεβρας β΄ λυκείου
byKonstantinos Georgiou
 
PDF
τελευταια επαναληψη πριν τις εξετάσεις
byΣωκράτης Ρωμανίδης
 
PDF
Algebra b lykeiou
byChristos Loizos
 
PDF
2ο θέμα Μαθηματικών προσανατολισμού β΄ λυκείου
byKonstantinos Georgiou
 
PDF
Και όμως είναι σωστό!
byMakisChatzopoulos1
 
PPT
ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ
byΚΩΣΤΑΣ ΓΚΑΒΕΡΑΣ
 
PPT
Α 3.1 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ
byΚΩΣΤΑΣ ΓΚΑΒΕΡΑΣ
 
PDF
κεφ 3ο τριγωνομετρία
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
Σημειώσεις Τριγωνομετρίας Β΄ Λυκείου
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
B thet math_themata_plus_lyseis_17_04_16
byChristos Loizos
 
PDF
μαθηματικό τυπολόγιο
byChristos Loizos
 
Συστήματα γραμμικών εξισώσεων
byΚΩΣΤΑΣ ΓΚΑΒΕΡΑΣ
 
Προβλήματα στις κλασματικές εξισώσεις
byΜάκης Χατζόπουλος
 
βοήθημα άλγεβρα β΄λυκείου (Pitetragono)
byssuserabe226
 
Άλγεβρα Β Γυμνασίου
byΜάκης Χατζόπουλος
 
γραφικη επιλυση συστηματοσ
byΚΩΣΤΑΣ ΓΚΑΒΕΡΑΣ
 
Γραπτή εξέταση στα Μη γραμμικά συστήματα (1.2) Β Λυκείου
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Α΄ Λυκείου Άλγεβρα - Εξισώσεις
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Τριγωνομετρικές εξισώσεις [2018]
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Epanalipsi b gymnasiou
byChristos Loizos
 
4ο θέμα άλγεβρας β΄ λυκείου
byKonstantinos Georgiou
 
τελευταια επαναληψη πριν τις εξετάσεις
byΣωκράτης Ρωμανίδης
 
Algebra b lykeiou
byChristos Loizos
 
2ο θέμα Μαθηματικών προσανατολισμού β΄ λυκείου
byKonstantinos Georgiou
 
Και όμως είναι σωστό!
byMakisChatzopoulos1
 
ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ
byΚΩΣΤΑΣ ΓΚΑΒΕΡΑΣ
 
Α 3.1 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ
byΚΩΣΤΑΣ ΓΚΑΒΕΡΑΣ
 
κεφ 3ο τριγωνομετρία
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Σημειώσεις Τριγωνομετρίας Β΄ Λυκείου
byΜάκης Χατζόπουλος
 
B thet math_themata_plus_lyseis_17_04_16
byChristos Loizos
 
μαθηματικό τυπολόγιο
byChristos Loizos
 

Viewers also liked

PDF
καλαθάκης γιώργης συλλογή ασκήσεων άλγεβρας β' λυκείου (Mathematica.gr)
byChristos Loizos
 
PDF
λυγάτσικας ζήνων ασκήσεις άλγεβρας B΄λυκείου 2015-6
byChristos Loizos
 
PDF
Balg sxol 2015-2016_papagrigorakis
byChristos Loizos
 
PDF
η τελευταια-επαναληψη-στην-αλγεβρα-β-λυκειου
byChristos Loizos
 
PDF
1 2743συναρτήσεις κακ μιχ
byChristos Loizos
 
PDF
Theoria mathimatika kateythinsis_b_lykeiou
byChristos Loizos
 
PDF
2017 18 thalis_final_solution
byChristos Loizos
 
PDF
Didakt lathi
byChristos Loizos
 
PDF
μαθηματικα προσανατολισμου β λυκειου ν ράπτης
byChristos Loizos
 
PDF
μαθηματικα προσανατολισμου Stamou giannis
byChristos Loizos
 
PDF
(νεο) ιδιότητες συναρτήσεων προτεινόμενες ασκήσεις
byChristos Loizos
 
PDF
22 0017 eukleideia-geometria-a-b-lyk_bm_lyseis
byChristos Loizos
 
PDF
1 thalis 2017 18_ekfoniseis_final
byChristos Loizos
 
PDF
Mathimatika prosanatolismou b_lykeiou
byChristos Loizos
 
PDF
math_prosanatolismou_b_lykeiou_dianysmata_2016
byChristos Loizos
 
PDF
άλγεβρα β΄ λυκείου γιώργος αποστόλου
byChristos Loizos
 
PDF
22 0169-02 mathimatika-b-lyk-th_k_lyseis
byChristos Loizos
 
PDF
B kat
byChristos Loizos
 
PDF
Bpro sxol 2015-2016_papagrigorakis
byChristos Loizos
 
PDF
Euclidean geometry
byChristos Loizos
 
καλαθάκης γιώργης συλλογή ασκήσεων άλγεβρας β' λυκείου (Mathematica.gr)
byChristos Loizos
 
λυγάτσικας ζήνων ασκήσεις άλγεβρας B΄λυκείου 2015-6
byChristos Loizos
 
Balg sxol 2015-2016_papagrigorakis
byChristos Loizos
 
η τελευταια-επαναληψη-στην-αλγεβρα-β-λυκειου
byChristos Loizos
 
1 2743συναρτήσεις κακ μιχ
byChristos Loizos
 
Theoria mathimatika kateythinsis_b_lykeiou
byChristos Loizos
 
2017 18 thalis_final_solution
byChristos Loizos
 
Didakt lathi
byChristos Loizos
 
μαθηματικα προσανατολισμου β λυκειου ν ράπτης
byChristos Loizos
 
μαθηματικα προσανατολισμου Stamou giannis
byChristos Loizos
 
(νεο) ιδιότητες συναρτήσεων προτεινόμενες ασκήσεις
byChristos Loizos
 
22 0017 eukleideia-geometria-a-b-lyk_bm_lyseis
byChristos Loizos
 
1 thalis 2017 18_ekfoniseis_final
byChristos Loizos
 
Mathimatika prosanatolismou b_lykeiou
byChristos Loizos
 
math_prosanatolismou_b_lykeiou_dianysmata_2016
byChristos Loizos
 
άλγεβρα β΄ λυκείου γιώργος αποστόλου
byChristos Loizos
 
22 0169-02 mathimatika-b-lyk-th_k_lyseis
byChristos Loizos
 
B kat
byChristos Loizos
 
Bpro sxol 2015-2016_papagrigorakis
byChristos Loizos
 
Euclidean geometry
byChristos Loizos
 

Similar to Algebra b 1

PDF
1 7513kolegio athinon
byim1967
 
PDF
Systems theory exercises
byΚωνσταντίνος Χάλλας
 
PDF
Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων, Τράπεζα Θεμάτων Α Τάξης Γενικού Λυκείου
byKonstantinos Georgiou
 
PPT
ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ
byΚΩΣΤΑΣ ΓΚΑΒΕΡΑΣ
 
PDF
22-0207-02_Algebra_B-Lykeiou_Vivlio-Mathiti.pdf
byssuser44c0dc
 
PDF
Επίλυση Τριγωνικών Συστημάτων - Απαλοιφή του Γκάους
byManolis Vavalis
 
PDF
2014 θεματa αλγεβρας α λυκειου ι
by6lykeiovolou
 
PDF
Taxinomisi algevra b
byevagtheo
 
PDF
Epanalipsi algebra b likioy
bypanos lentas
 
PPS
System
byA Z
 
PDF
Γραμμικά Συστήματα
byMath Studies
 
PDF
τραπεζα θεματων αλγεβρας α λυκειου
byΣωκράτης Ρωμανίδης
 
PDF
Kef 6 συστηματα mathematica
byChris Tsoukatos
 
PDF
2ο θέμα άλγεβρας β΄ λυκείου
byKonstantinos Georgiou
 
DOCX
1ο Συστήματα 23_5_2022.docx
byDina Kiourtidou
 
PDF
Oefe algebra lyceum_a_2006-2015
byChristos Loizos
 
PDF
Εργασία στα συστήματα Β Λυκείου 2019 - 20
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
Άλγεβρα Α' Λυκείου - Θέματα ΟΕΦΕ (2006-2013) - Ερωτήσεις και απαντήσεις
byKats961
 
PDF
2η διάλεξη - Εισαγωγή
byManolis Vavalis
 
PDF
Brief notes b
byΧρήστος Κανάβης
 
1 7513kolegio athinon
byim1967
 
Systems theory exercises
byΚωνσταντίνος Χάλλας
 
Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων, Τράπεζα Θεμάτων Α Τάξης Γενικού Λυκείου
byKonstantinos Georgiou
 
ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ
byΚΩΣΤΑΣ ΓΚΑΒΕΡΑΣ
 
22-0207-02_Algebra_B-Lykeiou_Vivlio-Mathiti.pdf
byssuser44c0dc
 
Επίλυση Τριγωνικών Συστημάτων - Απαλοιφή του Γκάους
byManolis Vavalis
 
2014 θεματa αλγεβρας α λυκειου ι
by6lykeiovolou
 
Taxinomisi algevra b
byevagtheo
 
Epanalipsi algebra b likioy
bypanos lentas
 
System
byA Z
 
Γραμμικά Συστήματα
byMath Studies
 
τραπεζα θεματων αλγεβρας α λυκειου
byΣωκράτης Ρωμανίδης
 
Kef 6 συστηματα mathematica
byChris Tsoukatos
 
2ο θέμα άλγεβρας β΄ λυκείου
byKonstantinos Georgiou
 
1ο Συστήματα 23_5_2022.docx
byDina Kiourtidou
 
Oefe algebra lyceum_a_2006-2015
byChristos Loizos
 
Εργασία στα συστήματα Β Λυκείου 2019 - 20
byΜάκης Χατζόπουλος
 
Άλγεβρα Α' Λυκείου - Θέματα ΟΕΦΕ (2006-2013) - Ερωτήσεις και απαντήσεις
byKats961
 
2η διάλεξη - Εισαγωγή
byManolis Vavalis
 
Brief notes b
byΧρήστος Κανάβης
 

More from Christos Loizos

PDF
Epanaliptiko pros spiros_giannakaros_2021
byChristos Loizos
 
PDF
Themata kai lyseis_mathimatikwn_2021_f
byChristos Loizos
 
PDF
20 epanaliptika themata_2020_2021_plus_lyseis
byChristos Loizos
 
PDF
451themataxristostsatsos
byChristos Loizos
 
PDF
Themata kai lyseis_mathimatikwn_epan_2021_l
byChristos Loizos
 
PDF
Fylladio 50 themata_stis_paragwgous
byChristos Loizos
 
PDF
Epanaliptika themata stergiou_2021
byChristos Loizos
 
PDF
Lymena epanaliptika themata_papadopoulos_panagiotis_2021
byChristos Loizos
 
PDF
Themata panelladikwn palaioterwn_etvn_2021
byChristos Loizos
 
PDF
Prosomoiwsh kalamari sarafis
byChristos Loizos
 
PDF
Mathimatika prosanatolismou papanikolaou
byChristos Loizos
 
PDF
Prosomoiwsh 1 xenos
byChristos Loizos
 
PDF
Prosomoiwsh maios sarafis
byChristos Loizos
 
PDF
Odhgies panelladikwn sta_mathimatika
byChristos Loizos
 
PDF
Lyseis panel 2021
byChristos Loizos
 
PDF
Ektimhsh vasevn 4oy_ep
byChristos Loizos
 
PDF
Ektimhsh vasevn 1oy_ep
byChristos Loizos
 
PDF
Ektimhsh vasevn 3oy_ep
byChristos Loizos
 
PDF
Ektimhsh vasevn 2oy_ep
byChristos Loizos
 
PDF
Ektimhsh vasevn 2oy_ep_up
byChristos Loizos
 
Epanaliptiko pros spiros_giannakaros_2021
byChristos Loizos
 
Themata kai lyseis_mathimatikwn_2021_f
byChristos Loizos
 
20 epanaliptika themata_2020_2021_plus_lyseis
byChristos Loizos
 
451themataxristostsatsos
byChristos Loizos
 
Themata kai lyseis_mathimatikwn_epan_2021_l
byChristos Loizos
 
Fylladio 50 themata_stis_paragwgous
byChristos Loizos
 
Epanaliptika themata stergiou_2021
byChristos Loizos
 
Lymena epanaliptika themata_papadopoulos_panagiotis_2021
byChristos Loizos
 
Themata panelladikwn palaioterwn_etvn_2021
byChristos Loizos
 
Prosomoiwsh kalamari sarafis
byChristos Loizos
 
Mathimatika prosanatolismou papanikolaou
byChristos Loizos
 
Prosomoiwsh 1 xenos
byChristos Loizos
 
Prosomoiwsh maios sarafis
byChristos Loizos
 
Odhgies panelladikwn sta_mathimatika
byChristos Loizos
 
Lyseis panel 2021
byChristos Loizos
 
Ektimhsh vasevn 4oy_ep
byChristos Loizos
 
Ektimhsh vasevn 1oy_ep
byChristos Loizos
 
Ektimhsh vasevn 3oy_ep
byChristos Loizos
 
Ektimhsh vasevn 2oy_ep
byChristos Loizos
 
Ektimhsh vasevn 2oy_ep_up
byChristos Loizos
 

Recently uploaded

PDF
338 - Peirama EOEK ?.pdf
byStathis Gourzis
 
PDF
fek-a-198-11-11-20254567890--5466789809.pdf
bykonstantinantountoum1
 
PDF
lockersPromitheiadimotika202653478765.pdf
byssuserf9afe7
 
PDF
Το ταξίδι της τροφής.pdf . ο 56ο Γυμνάσιο Αθήνας σε συνεργασία με την οργάνωσ...
byTassos Karampinis
 
PDF
ΣυνέδριοΖΩΗ ΠΕΡΑ ΑΠΟ ΤΑ ΟΡΙΑ-Εξαρτήσεις και ελευθερία.pdf
byTassos Karampinis
 
PDF
ICare-3rdMobility- LisbonPortugal-7.pdf Greece
byTassos Karampinis
 
PPTX
Γλωσσικός σεξισμός και συμπεριληπτικός λόγος - ΣΘΕ 25 Νοε 22.pptx
byTassos Α. Kaplanis
 
PPTX
Γιορτή Πολυτεχνείου 2025 στο σχολείο μας.pptx
by41dimperisteriou
 
PPTX
Ευγένιος Ντελακρουά, η ζωή και το έργο του
byΑφροδίτη Διαμαντοπούλου
 
PDF
Newsletter Τμήματος Διοίκησης Επιχειρήσεων και Τουρισμού | Τεύχος 17 | Σεπτέμ...
byMarkosKourgiantakis
 
PPTX
Εορτασμός 17ης Νοεμβρίου 2025 στο σχολείο μας.pptx
by36dimperist
 
PPTX
ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΓΙΑ ΤΗΝ ΜΕΓΑΛΗ ΕΛΛΑΔΑ ΚΑΙ ΣΤΑ ΙΤΑΛΙΚΑ
bysomakris
 
PDF
1. Η εδραίωση του δικομματισμού
byKvarnalis75
 
PDF
2. Η οργάνωση των κομμάτων κατά το τελευταίο τέταρτο του 19ου αιώνα
byKvarnalis75
 
PPTX
Η ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΕΠΑΝΑΣΤΑΣΗ ΚΑΙ Η ΕΥΡΩΠΗ..pptx
bySevastoulaTsirigoti1
 
338 - Peirama EOEK ?.pdf
byStathis Gourzis
 
fek-a-198-11-11-20254567890--5466789809.pdf
bykonstantinantountoum1
 
lockersPromitheiadimotika202653478765.pdf
byssuserf9afe7
 
Το ταξίδι της τροφής.pdf . ο 56ο Γυμνάσιο Αθήνας σε συνεργασία με την οργάνωσ...
byTassos Karampinis
 
ΣυνέδριοΖΩΗ ΠΕΡΑ ΑΠΟ ΤΑ ΟΡΙΑ-Εξαρτήσεις και ελευθερία.pdf
byTassos Karampinis
 
ICare-3rdMobility- LisbonPortugal-7.pdf Greece
byTassos Karampinis
 
Γλωσσικός σεξισμός και συμπεριληπτικός λόγος - ΣΘΕ 25 Νοε 22.pptx
byTassos Α. Kaplanis
 
Γιορτή Πολυτεχνείου 2025 στο σχολείο μας.pptx
by41dimperisteriou
 
Ευγένιος Ντελακρουά, η ζωή και το έργο του
byΑφροδίτη Διαμαντοπούλου
 
Newsletter Τμήματος Διοίκησης Επιχειρήσεων και Τουρισμού | Τεύχος 17 | Σεπτέμ...
byMarkosKourgiantakis
 
Εορτασμός 17ης Νοεμβρίου 2025 στο σχολείο μας.pptx
by36dimperist
 
ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΓΙΑ ΤΗΝ ΜΕΓΑΛΗ ΕΛΛΑΔΑ ΚΑΙ ΣΤΑ ΙΤΑΛΙΚΑ
bysomakris
 
1. Η εδραίωση του δικομματισμού
byKvarnalis75
 
2. Η οργάνωση των κομμάτων κατά το τελευταίο τέταρτο του 19ου αιώνα
byKvarnalis75
 
Η ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΕΠΑΝΑΣΤΑΣΗ ΚΑΙ Η ΕΥΡΩΠΗ..pptx
bySevastoulaTsirigoti1
 

Algebra b 1

  • 1.
    Άλγεβρα Β΄ Λυκείου 14οΛύκειο Περιστερίου
  • 3.
    ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 14ο ΛύκειοΠεριστερίου [1] 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Μέθοδοι επίλυσης γραμμικού συστήματος 2x2 Γραφική επίλυση Σχεδιάζουμε τις ευθείες που αντιπροσωπεύουν οι εξισώσεις του συστήματος. Αν: - οι δύο ευθείες τέμνονται, τότε το σύστημα έχει μοναδική λύση  0 0x , y ,που είναι οι συντεταγμένες του σημείου τομής των ευθειών. - οι δύο ευθείες είναι παράλληλες, τότε το σύστημα είναι αδύνατο, αφού δεν υπάρχει κοινό σημείο του οποίου οι συντεταγμένες να είναι λύση του συστήματος. - οι ευθείες ταυτίζονται, τότε το σύστημα έχει άπειρες λύσεις, αφού υπάρχουν άπειρα κοινά σημεία στις δύο ευθείες. Μέθοδος αντικατάστασης Λύνουμε τη μία εξίσωση ως προς τον έναν άγνωστο, για παράδειγμα ως προς y. Αντικαθιστούμε το y στην άλλη εξίσωση και έτσι προκύπτει εξίσωση μόνο με έναν άγνωστο, το χ. Από την τελευταία εξίσωση βρίσκουμε το χ και την τιμή του την αντικαθιστούμε στη πρώτη εξίσωση απ’ όπου υπολογίζουμε το y. Μέθοδος αντίθετων συντελεστών Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη των δύο εξισώσεων με κατάλληλους αριθμούς, ώστε οι συντελεστές του ενός αγνώστου στις εξισώσεις που θα προκύψουν να είναι αντίθετοι. Στη συνέχεια προσθέτουμε κατά μέλη τις εξισώσεις που βρήκαμε, οπότε προκύπτει εξίσωση με έναν άγνωστο, την οποία και επιλύουμε. Τέλος αντικαθιστούμε την τιμή του αγνώστου που βρήκαμε σε μια από τις αρχικές εξισώσεις και βρίσκουμε την τιμή του άλλου αγνώστου. Λύση – Διερεύνηση Γραμμικού Συστήματος 2x2 Έστω το γραμμικό σύστημα x y x y            . Βρίσκουμε την παράσταση D             που ονομάζεται ορίζουσα του συστήματος. Βρίσκουμε τις ορίζουσες D              και yD             . - Αν D 0 , το σύστημα έχει μοναδική λύση  x, y , όπου xD x D  και yD y D  - Αν D 0 , το σύστημα θα είναι αδύνατο ή θα έχει άπειρες λύσεις. Γραμμικό σύστημα 3x3 Όταν έχουμε τρεις γραμμικές εξισώσεις με τρεις αγνώστους x,y,z 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 x y z x y z x y z                    και θέλουμε να βρούμε τις κοινές τους λύσεις τότε λέμε ότι έχουμε να λύσουμε ένα γραμμικό σύστημα τριών εξισώσεων με τρεις αγνώστους ή, πιο σύντομα, ένα γραμμικό σύστημα 3x3.
  • 4.
    ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 14ο ΛύκειοΠεριστερίου [2] Η πιο συνηθισμένη μέθοδος επίλυσης ενός τέτοιου συστήματος είναι η μέθοδος αντικατάστασης. Λύνουμε τη μία από τις τρεις εξισώσεις ως προς τον έναν άγνωστο και τον αντικαθιστούμε στις δύο άλλες εξισώσεις. Έτσι οι δύο τελευταίες εξισώσεις μετατρέπονται σε γραμμικό σύστημα 2x2, το οποίο το λύνουμε με έναν από τους προηγούμενους τρόπους. Αφού προσδιορίσουμε τους δύο αγνώστους αντικαθιστούμε τις τιμές τους στην πρώτη εξίσωση απ’ όπου υπολογίζουμε την τιμή και του τρίτου αγνώστου. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α΄ ΟΜΑΔΑ 1. Να λυθούν τα συστήματα: i. x y 1 x y 21        ii. 3x 5 2(y 1) 8 2(x 1) 3(1 2y) 9          iii. x y 1 2 3 3x 2(y 3)        2. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α,β, αν γνωρίζετε ότι τα ζεύγη (1,1) και (- 1, 5) είναι λύσεις της εξίσωσης x y 9 0    . 3. Να λύσετε τα παρακάτω συστήματα: i. x y 1 3x 4y 1 4x 2y 4 2 3 5(x 1) 6(y 1) 3               ii. x 3 2y 6 1 5 3 5x 1 y 4 5 3 2            4. Να λύσετε τα παρακάτω συστήματα: i. x 3 y 1 0 x y 3 0       ii. x 2y 2 2x 3y 3       iii. 2x 3y 6 x 3 y 0       5. Nα λύσετε την ανίσωση: 2x 1 1 05x 1 1 x 3 3 x2 2 3        6. Να λύσετε τα παρακάτω συστήματα: α) 2x 3y 5 5 2x 3 3y 1       β)       5 1 x 4y 4 5 1 x 5 1 y 6 2 5            γ) 3x 9y 3 3 x 3 3y 3       δ) 2 x 3 y 2 x 2 y 8       ε) x y 3 x 3 y 7       7. Για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου λ, να βρείτε τα κοινά σημεία των ευθειών: i.      1 2: x 2y 2 : 2 1 x 1 y 2 1               
  • 5.
    ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 14ο ΛύκειοΠεριστερίου [3] ii.    1 2: 2 x 4y 8 3 : 2x 4 y 8             8. Να βρείτε την εξίσωση της παραβολής 2 y x x     , της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από τα σημεία      A 1,8 , B 1,2 2,5   . 9. Να λύσετε τα παρακάτω συστήματα: i. x y 1 2x y 6 x y 2 5                ii. x y 1 x 2y 8 3x y 2 3                iii. 2x y 1 4x y 5 x y 2 5                10. Να βρεθεί κλάσμα τέτοια ώστε αν στους δύο όρους του προσθέσουμε το 2 προκύπτει ο αριθμός 2 ενώ αν από τους όρους του αφαιρέσουμε 3 προκύπτει ο αριθμός 3. 11. Σ’ ένα γκαράζ υπάρχουν συνολικά 50 οχήματα, αυτοκίνητα και ποδήλατα. Αν όλα τα οχήματα έχουν 164 ρόδες, πόσα αυτοκίνητα και πόσα ποδήλατα υπάρχουν στο γκαράζ; 12. Να βρείτε τρείς αριθμούς που έχουν άθροισμα 45, ο δεύτερος είναι ο μέσος όρος των δύο άλλων και ο τρίτος είναι κατά 14 μεγαλύτερος από τον πρώτο. Β΄ ΟΜΑΔΑ 13. Αν το σύστημα     1 x y 2 3x 1 y 4 2            έχει άπειρες λύσεις, να αποδείξετε ότι το σύστημα     x 2 1 y 3 2x 1 3 y            είναι αδύνατο. 14. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α, β για τους οποίους τα συστήματα   1 6 x y 2 :     x  y 0           και 2 x 3y 1 :    x y 2         είναι συγχρόνως αδύνατα. 15. Δίνεται το σύστημα: 2x 3y 11 x 5y 7          , . i. Να αποδείξετε ότι το σύστημα έχει λύση για οποιοδήποτε πραγματικό αριθμό λ. ii. Να βρείτε τη μοναδική λύση . iii.Για ποια τιμή του λ η λύση (x, y) που βρήκατε στο (β) επαληθεύει τη σχέση: 59 x y 13   16. Δίνονται τα συστήματα: 1 x 2y 1 : 3x 7y 2         και 2 x 2y 1 : 4x 9y 2            για ποιες τιμές των μ και κ τα συστήματα είναι ισοδύναμα;
  • 6.
    ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 14ο ΛύκειοΠεριστερίου [4] 17. Για ποια τιμή του λ, το σύστημα x 2y 4 x 3y 5        έχει λύση η οποία επαληθεύει την εξίσωση x 5y 17  ; 18. Για ποιες τιμές των κ, λ το σύστημα 2 2 x y 3 x y           έχει άπειρες λύσεις μία από τις οποίες είναι η  (x, y) 2, 1 ; 19. Σε ένα σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων με αγνώστους x, y ισχύει: x y x y D D D D D 3D      . Αν το σύστημα έχει μοναδική λύση, να βρεθεί η λύση αυτή. 20. Σε ένα σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων με αγνώστους x, y ισχύει: 2 2 x y x yD D 2D D  και D 0 . Αν x y 6  , να βρεθούν τα x, y. 21. Σε ένα γραμμικό σύστημα 2x2 με αγνώστους χ,y, για τις ορίζουσες του x yD, D , D ισχύει η σχέση: 2 2 x x y y2D 2D D D 0   . Να βρείτε τη λύση του συστήματος, αν γνωρίζετε ότι είναι μοναδική. 22. Σε ένα σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων με αγνώστους x, y ισχύει: 2 2 2 x y xD D D 4D 2D 5     i. Να αποδείξετε ότι:     2 2 2 x yD 2 D 1 D 0.     ii. Να βρείτε τη λύση του συστήματος. 23. Να λύσετε τα παρακάτω συστήματα: α) x y 6 y 4 x 18          β) 1 1 3 x y 4 1 1 0 y 1 1 1 x 2              24. Για ποιες τιμές των x και y η εξίσωση x-2y+1+λ(x-y)=0 αληθεύει για οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό λ; 25. Δίνονται οι ευθείες ε1 και ε2 με εξισώσεις x-y=-1 και λx-y=-1 αντίστοιχα, λ R . α) Να βρείτε τις σχετικές τους θέσεις για τις διάφορες τιμές του λ R . β) Να βρείτε το λ για το οποίο τέμνονται κάθετα. γ) Για το λ που βρήκατε στο (β), να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζεται από τις ευθείες και τον άξονα x΄x.
  • 7.
    ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 14ο ΛύκειοΠεριστερίου [5] 26. Δίνεται το σύστημα: x 2y 5 3x y 5 2x y          ι) Να οριστεί η τιμή της παραμέτρου α ώστε οι ευθείες που παριστάνουν οι πιο πάνω εξισώσεις να περνούν από το ίδιο σημείο. ιι) Αν α  0 δείξτε ότι οι παραπάνω ευθείες σχηματίζουν ορθογώνιο τρίγωνο. 27. Αν ο Μέγας Αλέξανδρος πέθαινε 9 χρόνια νωρίτερα, τότε ο χρόνος της βασιλείας του θα ήταν ίσος με το 1 8 του χρόνου της ζωής του. Αν όμως πέθαινε 9 χρόνια αργότερα και εξακολουθούσε να βασιλεύει, τότε ο χρόνος της βασιλείας του θα ήταν ίσος με το 1 2 του χρόνου της ζωής του. Να βρεθεί πόσα χρόνια έζησε ο Μέγας Αλέξανδρος και πόσα βασίλεψε. 28. Κάποιος μοιράζει με διαθήκη ένα ποσό σε τρεις ανιψιούς του Α, Β, Γ άνισα, ανάλογα προς τους αριθμούς 7, 6 και 5. Στη συνέχεια, με μια δεύτερη διαθήκη, αλλάζει τα μερίδια και διανέμει το ποσό ανάλογα προς τους αριθμούς 6, 5 και 4. α) Ποιος από τους κληρονόμους κερδίζει με τη νέα μοιρασιά; Ποιος χάνει; β) Ένας από τους κληρονόμους κερδίζει με τη δεύτερη μοιρασιά 6.000€ περισσότερο απ’ ότι κερδίζει με την πρώτη. Πόση ήταν η κληρονομιά και πόσο κάθε μερίδιο με τη δεύτερη μοιρασιά; 29. Να βρεθεί τριψήφιος φυσικός αριθμός αν: α) το άθροισμα των ψηφίων του είναι 24. β) ο αριθμός ελαττώνεται κατά 9 στην περίπτωση που αλλάξει η θέση των δύο τελευταίων ψηφίων του . γ) ο αριθμός ελαττώνεται κατά 90 στην περίπτωση που αλλάξει η θέση των δύο πρώτων ψηφίων του. 1.2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ο πιο συνηθισμένος τρόπος επίλυσης ενός μη γραμμικού 2x2 συστήματος , είναι η μέθοδος αντικατάστασης. Λύνουμε τη μία εξίσωση ως προς τον άγνωστο που έχει πρώτο βαθμό και αντικαθιστούμε στη δεύτερη εξίσωση. Α΄ ΟΜΑΔΑ 1. Να λύσετε τα παρακάτω συστήματα: α) 2 2 2x y 3x y 11 5x y 2         β) 2 y xy 10 5x y 17       γ) 2 x xy 3 3x 2y 7       δ) 2 x xy 10 2x y 7       2. Να λύσετε τα παρακάτω συστήματα και να ερμηνεύσετε γεωμετρικά.
  • 8.
    ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 14ο ΛύκειοΠεριστερίου [6] i. 2 2x y 0 6x y 4       ii. 2 2 x y 4 x y 0       iii. 2 2 x y 2 xy 1      iv. 2 2x y 0 2x y 4        v. 2 2 x y 25 x y 1        vi. 2 2 x y 17 xy 4      vii. 2 2 x y 34 x y 8       3. Για ποιες τιμές του λ R η ευθεία y=λx+3 εφάπτεται του κύκλου x2 +y2 =4; 4. Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού λ, για τις οποίες η ευθεία y 4x  τέμνει την παραβολή 2 y x . Β΄ ΟΜΑΔΑ 5. Να λύσετε τα παρακάτω συστήματα: i. 2 2 2 2 x y x y 42 x y x y 18           ii.   x y xy 5 x y xy 6       iii. 2 x y w 2 2xy w 4       iv. x y xy 7 xy(x y) 6        v.. x(2x y) x 0 x y 2        vi.    2 x y y 4 16 y 3x 4y 11         vii. 3 3 x y 35 x y 5       viii. x y 6 x y xy 11       ix. 2 2 2 2 x xy y 75 x xy y 25         x. x y xy 4 y z yz 7 z x zx 9            ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 1. Δίνεται το σύστημα 5y 4x 1 , 2x 3y 2           Α) Να αποδείξετε ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση  0 0x , y για κάθε τιμή του λ. Β) Να βρείτε τις τιμές των 0 0x , y . Γ) Να βρείτε τις ακέραιες τιμές του λ, για τις οποίες η λύση  0 0x , y του συστήματος ικανοποιεί τη σχέση 0 0x y 3  . 2. Δίνεται το σύστημα  k 1 x 2y k 1 kx ky 1        ,όπου k πραγματικός αριθμός Α) Να βρεθεί το k ώστε το σύστημα να έχει μοναδική λύση. Β) Να βρεθεί η μοναδική λύση  0 0x , y για τις παραπάνω τιμές του k. Γ) Να βρεθούν οι τιμές του k για τις οποίες η λύση  0 0x , y του συστήματος ικανοποιεί τη
  • 9.
    ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 14ο ΛύκειοΠεριστερίου [7] σχέση 0 0x y 3  . 3. Α) Να λυθεί το σύστημα: 2 x y 1 x y         , για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου  . Β) Αν  0 0x , y η μοναδική λύση του προηγούμενου συστήματος, να βρεθούν οι τιμές της παραμέτρου  ώστε 0 0y 0 x  . 4. Δίνεται το σύστημα    2 x y 2 ( 1)x 1 y 2 1             ,όπου μ   . i. Να αποδείξετε ότι για κάθε μ το σύστημα έχει μοναδική λύση . ii. Να βρείτε τη μοναδική λύση 0 0(x , y ) . iii. Να προσδιορίσετε το μ , ώστε η παράσταση 2 2 0 0x y   να γίνει ελάχιστη. 5. Δίνεται το σύστημα       1 x 1 y 2 x 1 y 2             και η εξίσωση  2 x 1 x 1 0     . Α) Να βρείτε τη τιμή του λ για την οποία το σύστημα είναι αδύνατο. Β) Να αποδείξετε ότι αν το σύστημα είναι αδύνατο, τότε η εξίσωση έχει μια διπλή ρίζα την οποία και να βρείτε. Γ) Να βρείτε την μοναδική λύση του συστήματος  0 0x , y και να αποδείξετε ότι 0 0x 2y  . 6. Δίνεται το σύστημα     1 x y 2 , x 1 y 1                το οποίο έχει ορίζουσα D.Επίσης η εξίσωση    2 D 5 4 D 1 0,        έχει μία διπλή ρίζα i. Να βρείτε την ορίζουσα D και τη διπλή ρίζα της εξίσωσης ii. Nα λύσετε το σύστημα. 7. Δίνεται η συνάρτηση   2 f x x x     με , ,    για την οποία ισχύουν: f(1)=0,f(-1)=10 και f(2)=1. α)τις τιμές των α,β,γ β)να βρείτε τα σημεία τομής της Cf με τους άξονες. γ)να λύσετε την ανίσωση    f x f x 1 7   8. Δίνεται η εξίσωση :  2 x x 0       η οποία έχει ρίζες 1 2x ,x για τις οποίες ισχύουν οι σχέσεις : 1 2 1 2x x 3,x x 2     και 2 2 1 2x x 3       . Να βρείτε τα α,β και γ. 9. Δίνεται το σύστημα : 2x y 7 7x 2y 11       
  • 10.
    ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 14ο ΛύκειοΠεριστερίου [8] α) Να βρείτε τη λύση  0 0x , y του συστήματος β)Η γραφική παράσταση της συνάρτησης   2 f x x x    έχει κορυφή το σημείο  0 0x , y i)να βρείτε τους αριθμούς β και γ. ii)να λύσετε την ανίσωση  f x 0 . iii)να λύσετε το σύστημα  y f x x y 6      10. Δίνεται το σύστημα     1 x 8y 4 x 3 y 3 1              το οποίο έχει μοναδική λύση 0 0x , y για την οποία ισχύει 0 0x y 1  α)Να βρείτε τον αριθμό λ. β)Δίνεται η συνάρτηση   2 f x x 2 x 6     i. Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η Cf είναι πάνω από τον x΄χ ii.Να λύσετε το σύστημα :     y f x 2y f x 1 10x     
  • 11.
    ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 14ο Λύκειο Περιστερίου [9] 2.1ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ-ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Μεθοδολογία ασκήσεων Μονοτονία συνάρτησης  Γνωρίζοντας τη γραφική παράσταση της συνάρτησης Προβάλουμε τα τμήματα της καμπύλης που κατέρχονται (φθίνει) από αριστερά προς τα δεξιά, στον άξονα χ΄χ και βρίσκουμε τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα. Αντίστοιχα προβάλουμε τα τμήματα της καμπύλης τα οποία ανέρχονται (αυξάνει) στον άξονα χ΄χ και βρίσκουμε τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα.  Γνωρίζοντας το τύπο της συνάρτησης Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης f. Θεωρούμε 1 2x ,x  με 1 2x x , όπου    . Στη συνέχεια προσπαθούμε με κατάλληλες πράξεις να σχηματίσουμε τα  1f x και  2f x . Αν    1 2f x f x , τότε f στο Δ, ενώ αν    1 2f x f x , τότε f στο Δ. Ακρότατα συνάρτησης  Γνωρίζοντας τη γραφική παράσταση της συνάρτησης Βρίσκουμε (αν υπάρχει) το κατώτερο σημείο   0 0x ,f x της fC . Τότε η f παρουσιάζει ελάχιστο στο 0x το  0f x . Αντίστοιχα βρίσκουμε (αν υπάρχει) το ανώτερο σημείο   1 1x ,f x της fC . Τότε η f παρουσιάζει μέγιστο στο 1x το  1f x .  Γνωρίζοντας το τύπο της συνάρτησης Αρχικά προσπαθούμε να μετατρέψουμε (αν χρειάζεται) το τύπο της συνάρτησης στη μορφή     2k 0f x x x   . Τότε: - Αν 0  , έχουμε           2k 2k 2k 0 0 0 0x x 0 x x 0 x x f x f x              , οπότε η f παρουσιάζει ελάχιστο στο 0x το  0f x . - Αν 0  , έχουμε           2k 2k 2k 0 0 0 0x x 0 x x 0 x x f x f x              , οπότε η f παρουσιάζει μέγιστο στο 0x το  0f x . Άρτια - Περιττή συνάρτηση  Γνωρίζοντας το τύπο της συνάρτησης Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης f. Παρατηρούμε αν αυτό είναι συμμετρικό γύρω από το 0, γιατί τότε για κάθε x  και x   . Στη συνέχεια βρίσκουμε το  f x , αντικαθιστώντας στην f όπου x το – x. Αν    f x f x  ,τότε η f είναι άρτια ενώ αν    f x f x   , τότε η f είναι περιττή. Αν όμως δεν μπορούμε να καταλήξουμε στα προηγούμενα, τότε θεωρούμε δύο αντίθετες τιμές για το χ που ανήκουν στο Α και αποδεικνύουμε
  • 12.
    ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 14ο Λύκειο Περιστερίου [10] ότι   f x f x  και    f x f x   , οπότε η f δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή.  Γνωρίζοντας τη γραφική παράσταση της συνάρτησης Διπλώνουμε το σχήμα κατά μήκος του άξονα y΄y. Αν τα τμήματα της καμπύλης συμπέσουν τότε η συνάρτηση είναι άρτια. Περιστρέφουμε το σχήμα κατά 180 , αν το νέο σχήμα που θα προκύψει είναι ίδιο με το αρχικό τότε η συνάρτηση είναι περιττή. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α΄ ΟΜΑΔΑ 1. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τις παρακάτω συναρτήσεις: i.  f x x 4   ii.  f x 6x 38  iii.  f x 3 x  iv.  f x 3 2 x 1   2. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τις παρακάτω συναρτήσεις σε καθένα από τα διαστήματα του πεδίου ορισμού τους: i.   3 f x x  ii.   2 1 f x x  iii.   2 x x f x x 1    iv.   x f x x  v.   1 f x x x   vi.   1821 1453 f x x 3x 2014   3. Να βρείτε τα ακρότατα των συναρτήσεων: i.   2 f x 3x 2  ii.     2 f x 4 x 1 3   iii.     22014 2 f x x x x 1    4. Να αποδείξετε ότι: i. Η συνάρτηση   2 f x x 6x 4   παρουσιάζει ελάχιστο το  f 3 5  . ii. Η συνάρτηση   2 4x g x x 4   παρουσιάζει μέγιστο για x 2 5. Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι άρτιες και ποιες περιττές: i.   4 2 f x x 3x 2   ii.   5 3 g x x 2x 4x   iii.   2 x h x x 1   iv.   3x t x x 5   v.   4 3 x x 5x x 4     vi.   2 x 9 x   6. Να εξετάσετε ποιες από τις γραφικές παραστάσεις των παρακάτω συναρτήσεων έχουν άξονα συμμετρίας τον y΄y και ποιες κέντρο συμμετρίας το  O 0,0 : i.   2 f x 25 x  ii.   2 2x f x x 1   iii.   2 f x x x 7. Δίνεται η συνάρτηση   2 x 9 , x 0 f x 2x 8 , x 0         . i. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία σε καθένα από τα διαστήματα
  • 13.
    ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 14ο Λύκειο Περιστερίου [11] ,0 και  0, . ii. Να βρείτε τις τιμές  f 4 και  f 1 . iii. Να εξετάσετε αν η f είναι γνησίως μονότονη στο πεδίο ορισμού της. Β΄ ΟΜΑΔΑ 8. Δίνεται συνάρτηση f γνησίως φθίνουσα στο  . Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις: i.    f 3x 2 f x 4   ii.    f x 1 f 3  iii.    f x 2 f 2x 3 0    9. Δίνεται συνάρτηση f γνησίως αύξουσα στο  με  f x 0 για κάθε x  . Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση     1 g x f x  είναι γνησίως φθίνουσα στο  . 10. Αν η συνάρτηση  f x 3x 1  έχει πεδίο ορισμού το διάστημα  2,5 , να βρείτε τα ακρότατα της. 11. Να βρείτε, αν υπάρχει το ελάχιστο ή το μέγιστο των συναρτήσεων: i.   2 f x x 2x 10   ii.   2014 3 g x x 3   iii.  h x x 1 4   12. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις συναρτήσεις: i.   2 f x 4 x  ii.  f x x 2  13. Δίνεται η συνάρτηση 3 f (x) 4x x 5   , x  . i. Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία. ii. Να λύσετε την ανίσωση  f x 3 0  . 14. Δίνεται η συνάρτηση 3 f (x) 8 x  , x  . i. Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία. ii. Να λύσετε την ανίσωση   f f x 8 8  . 15. Να αποδείξετε ότι αν η συνάρτηση  f x είναι περιττή στο  , τότε η συνάρτηση    2 g x f x είναι άρτια. 16. Αν συνάρτηση f είναι περιττή στο  , να λύσετε την εξίσωση:    2014 2014 f x 1 x 2 f 1 x     17. i. Για κάθε α > 0, να δείξετε ότι α + 1 α  2.
  • 14.
    ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 14ο Λύκειο Περιστερίου [12] ii.Ναβρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f (x) = x + 1 x με x > 0. 18. Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το R και είναι άρτια. Στο [α, β] με 0<α<β είναι γνησίως αύξουσα. Να εξεταστεί η μονοτονία της στο [-β, -α]. 19. Μια συνάρτηση f είναι περιττή στο διάστημα [-12, 12]. Η μελέτη στο διάστημα [0, 12] έδωσε τον διπλανό πίνακα. Να συμπληρώσετε τον πίνακα για ολόκληρο το διάστημα [-12, 12]. 20. Τα παρακάτω σημεία ανήκουν στην γραφική παράσταση μιας άρτιας συνάρτησης. Να συμπληρώσετε τους αριθμούς που λείπουν: (-1, 2) ( 1 1 , 2 2 ) (…, 2) (…, 4) (3, …) (-3, 18) ( 2 , 4) 1 ,... 2       21. Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα με πεδίο ορισμού το R 0<α<β να διατάξετε από την μικρότερη προς την μεγαλύτερη τις τιμές: f 2        , f(α), f(β), f(0), f(α-β), f 2 3         22. Δίνεται η συνάρτηση  f x 1 x 2   i. Να εξετάσετε την f ως προς την μονοτονία. ii. Να δείξετε ότι 1 f 2014 1 2014        iii. Να λύσετε την ανίσωση f(x) < 2. 23. Έστω ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη στο R . Αν 1 2 f f 3 5             και η Cf διέρχεται από το σημείο Α(1, 4) να λύσετε την ανίσωση  f 3x 1 4  24. Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη στο R να λύσετε τις εξισώσεις. i.    2 f x f 4x 4  ii.    f 2x 5 f 3  x f(x) 0 1 4 12 3 2 0 5
  • 15.
    ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 14ο Λύκειο Περιστερίου [13] 2.2 ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ-ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ Κατακόρυφη μετατόπιση καμπύλης Η γραφική παράσταση της συνάρτησης    g x f x c  , c 0 προκύπτει από κατακόρυφη μετατόπιση της γραφικής παράστασης της f κατά c μονάδες προς τα πάνω και η γραφική παράσταση της συνάρτησης    h x f x c  , c 0 προκύπτει από κατακόρυφη μετατόπιση της γραφικής παράστασης της f κατά c μονάδες προς τα κάτω. Οριζόντια μετατόπιση καμπύλης Η γραφική παράσταση της συνάρτησης    g x f x c  , c 0 , προκύπτει από οριζόντια μετατόπιση της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f κατά c μονάδες προς τα αριστερά. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης    h x f x c  , c 0 , προκύπτει από οριζόντια μετατόπιση της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f κατά c μονάδες προς τα δεξιά. Σημείωση: Για τη γραφική παράσταση της συνάρτησης    1 2g x f x c c   , χρησιμοποιούμε τόσο την οριζόντια όσο και την κατακόρυφη μετατόπιση. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση   2 f x 4 x  . Στο ίδιο σύστημα αξόνων να παραστήσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: i.   2 1g x 2 x  ,   2 2g x x  και   2 3g x 1 x   ii.         2 2 1 2h x 4 x 2 h x 4 x 2       iii.         2 2 1 2x x 2 x 2 x 2         2. Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση y x΄ y΄ xO  y f x  y f x c  c c c c c y x΄ y΄ xO  y f x  y f x c  c c c c c c y΄ x΄ x O y
  • 16.
    ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 14ο Λύκειο Περιστερίου [14] f x x . Στο ίδιο σύστημα αξόνων να παραστήσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: i.  1g x x 3  ,  2g x x 1  ii.    1 2h x x 2 h x x 4     iii.    1 2x x 2 1 x x 4 3         3. Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση  f x x  . Στο ίδιο σύστημα αξόνων να παραστήσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων    g x 3 x ,h x x 2       x 3 x 2    . 4. Δίνεται η συνάρτηση   2 f x 3x 2x 1   . Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f της οποίας η γραφική παράσταση προκύπτει από δύο διαδοχικές μετατοπίσεις της γραφικής παράστασης της f: i. κατά 2 μονάδες προς τα δεξιά και κατά 3 μονάδα προς τα πάνω. ii. κατά 1 μονάδα προς τα δεξιά και κατά 2 μονάδες προς τα κάτω. iii. κατά 2 μονάδες προς τα αριστερά και κατά 2 μονάδες προς τα πάνω. iv. κατά 3 μονάδες προς τα αριστερά και κατά 2 μονάδες προς τα κάτω. v. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1. Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f. i. Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της. ii. Να βρείτε το πρόσημο των παραστάσεων: A f ( 6) f ( 5)    f ( 3) f ( 2) B f ( 1) f ( 2)        f (3) f (4) f (5) f (6)     . 2. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση 2 3 x x , x 0 f (x) x 4, x 0        , είναι γνησίως αύξουσα στο  . x΄ y΄ x O y y΄ x΄ x O y fC
  • 17.
    ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 14ο Λύκειο Περιστερίου [15] 3.Δίνεται η συνάρτηση   x 3 ,x 1 f x x ,x 1         . i. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία. ii. Να χαράξετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης. iii.Να βρείτε, αν υπάρχουν, τα ακρότατα της f. 4. Δίνεται η συνάρτηση   2x 1 ,x 0 f x 2x 1 ,x 0        . i. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία. ii. Να χαράξετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης. iii.Να βρείτε, αν υπάρχουν, τα ακρότατα της f. 5. Δίνεται η συνάρτηση 3 f (x) x 5x 1   , x  . α) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία. β) Να λύσετε την ανίσωση   f f x 7 . 6. Δίνεται συνάρτηση f γνησίως αύξουσα στο  και συνάρτηση g γνησίως φθίνουσα στο  . i. Να δείξετε ότι η συνάρτηση h(x) = 27f 3 (x) – 8g 3 (x) είναι γνησίως αύξουσα στο  . ii. Αν ισχύει     f 0 2 g 0 3  , να λύσετε την ανίσωση 27f 3 (x) > 8g 3 (x) . 7. Δίνεται η συνάρτηση f(x)= x2015 +x2013 +1. i. Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο  ii. Να λύσετε την ανίσωση : x2015 +x2013 -2>0 iii. Να λύσετε την ανίσωση : f(f(x))<3 8. Η γραφική παράσταση Cf μιας συνάρτησης f είναι αυτή που φαίνεται στο σχήμα. i. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. ii. Να βρείτε το σύνολο τιμών της. iii. Να λύσετε τις εξισώσεις: a) f (x) = 0, b) f (x) = 2, c) f (x) = - 2 iv. Να λύσετε τις ανισώσεις: a) f (x) > 0, b) f (x) < 0, c) f (x)  2, d) f (x) < - 2 v. Να εξετάσετε αν η f είναι άρτια. vi. Να εξετάσετε αν η f είναι περιττή.
  • 18.
    ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 14ο Λύκειο Περιστερίου [16] 9.Δίνεται η συνάρτηση  f x 16 x 3x 9 x 1      . α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f β) Να βρείτε το σημείο τομής της f με τον άξονα y΄y γ) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία δ) Να βρείτε τα ακρότατα της f ε) Να λύσετε την ανίσωση: 16 x 3x 9 x 1     10. Δίνεται η συνάρτηση   3 f x x x    , της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο Μ(-1,4) α) Να αποδείξετε ότι λ=-3 β) Να εξετάσετε αν η f είναι άρτια ή περιττή γ) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία δ) Αν    , να συγκρίνετε τους αριθμούς  2 2 f   και  f 2 ε) Να λύσετε την ανίσωση :       33 2 2 3x 1 x 5 3 x 3x 4     
  • 19.
    ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 14ο ΛύκειοΠεριστερίου [17] 3.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο ισχύουν: Γ ημ Β = A B   συν Β = AB B εφ Β = A AB  Α Β Τριγωνομετρικοί αριθμοί χαρακτηριστικών γωνιών: ημίτονο  2 1 2 3  3 2  3 3 4  2 2  4 5 6  1 2  6 π 0 συνημίτονο -1  3 2  2 2  1 2 0 1 2 2 2 3 2 2π 7 6   1 2   6 5 4   2 2   4 4 3   3 2   3 3 2  -1
  • 20.
    ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 14ο ΛύκειοΠεριστερίου [18] ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α΄ΟΜΑΔΑ 1. Να εκφραστεί (i) Η γωνία 0 30 σε rad. (ii) H γωνία 5 3  rad σε μοίρες 2. Να υπολογιστούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των γωνιών 0 0 91 61 1485 , 2790 , , . 3 6   3. Αν 9 14 x 2 3     να αποδείξετε ότι: ημx-συνx > εφx+σφx . 4. Αν 5 x 3 2     να αποδείξετε ότι: ημx-εφx>συνx+σφx. 5. Αν 3 x 2     να αποδείξετε ότι: συνx+1+3εφx+4σφx>0. 6. Βρείτε τη μεγαλύτερη και τη μικρότερη τιμή των παραστάσεων: α) y = 2 + 3 συνx β) y = 5 + ημ2 x γ) y = 1 2 - x 7. Να δειχθεί ότι: ημ405 - ημ750 συν1125 + συν1860     = 3 - 2 2 . Β΄ΟΜΑΔΑ 8. Αν 3 x 4 .    Να δείξετε ότι x x x x 2 3 2 2 2 2        9. Αν ισχύει 3 x 2     να δείξετε ότι: 2 x. x 2 x. x x x 0          10. Αν 3 x 2 2     δείξτε ότι 2 x x 2 x x x x 0          11. Να βρεθεί η ελάχιστη και η μέγιστη τιμή των παραστάσεων: Α= 2 1 2 x  Β= 2 3 x 2 1    12. Να βρεθεί η ελάχιστη και η μέγιστη τιμή των παραστάσεων: Α=1-3συν2 x Β=3ημω-2συν2 x-1 13. Να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει γωνία ω ώστε : 2 2 3,       . 14. Να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει γωνία ω ώστε : 2 4 4 3,       . 15. Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει x  τέτοιος ώστε i) 2 x 12 7 x    ii) 2 x 1 x 5     16. Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει x  τέτοιος ώστε i) 2 x 6 5 x    ii) 2 x 1 x 11    
  • 21.
    ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 14ο ΛύκειοΠεριστερίου [19] 3.2. ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 2 2 x x 1    x x x     x x x     x x 1   2 2 1 x 1 x     2 2 2 x x 1 x      ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α΄ ΟΜΑΔΑ 1. Αν 4 x 5    και 3 x , 2     Να βρεθούν οι άλλοι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας x rad. 2. Αν x 2   και x . 2     Να βρεθούν οι άλλοι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας x rad. 3. Aν ένα σημείο Μ ενός τριγωνομετρικού κύκλου που έχει διαγράψει τόξο ω βρίσκεται στο 20 τεταρτημόριο και έχει τεταγμένη y = 5 13 . Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: 13 12 2012 5 13 25       4. Απλοποιήστε τις κλασματικές παραστάσεις: i) 4 2 4 2 συν x - συν x ημ x - ημ x ii) 2 2 2 2 x - y συν x - συν y  5. Να αποδειχθεί ότι: α)   2 2 2 1 1 x x x x        β) 2 2 x x x x x x         γ) x 1 x 2 1 x x x          δ) 4 4 2 1 1              6. Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού λ για τις οποίες υπάρχει γωνία χ για την οποία ισχύει ότι: α) 1 x 2       και 3 2 x 4       β) x 1    και x 2  
  • 22.
    ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 14ο ΛύκειοΠεριστερίου [20] 7. Αν 1 2       και 2 2 3       .Να προσδιορίσετε το κ . Β΄ΟΜΑΔΑ 8. Αν 6ημ2 x + ημx - 1 = 0 και π < x < 3π 2 , να βρεθεί το συνx. 9. Αν 9 x 5 2     και 2 16 9   , να βρείτε την τιμή της παράστασης 1      10. Αν 4 x 3 x 5    και 0 x 2    , να υπολογιστεί η x . 11. Να εξετάσετε αν οι ρίζες της εξίσωσης 4x2 +2 3 1 x 3  =0 μπορούν να είναι το ημίτονο και το συνημίτονο μιας γωνίας θ. 12. Αν x x    , να υπολογίσετε με τη βοήθεια του 2  τις παραστάσεις: i. x x  ii. x x   iii. 2 2 x x   iν. 3 3 x x   13. Να αποδειχθεί ότι: i. 2 2 4 4 2 2 4 ημ α -συν α + συν α = εφ α συν α -ημ α + ημ α ii. 2 2 1- 2ημθ 1-3ημθ - = 3εφ θ συν θ 1- ημθ 14. Αν ρ1,ρ2 είναι ρίζες της εξίσωσης      2 2 1 x 1 x 1 0, 1              τότε να δείξετε ότι ρ1+ρ2+ρ1ρ2=1. 15. Να βρείτε το  , ώστε η παράσταση  6 6 4 4 x x x x          να είναι ανεξάρτητη του x και στη συνέχεια να βρείτε την τιμή της παράστασης Κ. 16. Να αποδείξετε ότι : 2 2 x y 2 x y 2       για κάθε x, y 17. Να αποδείξετε ότι : 1 2   18. Να αποδειχτεί ότι 5 x 2 x 5      . 19. Να δείξετε ότι: α) 3 x + 2 x   5 β) 2 x - 10 x   12
  • 23.
    ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 14ο ΛύκειοΠεριστερίου [21] 3.3. ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ 1ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ Μεθοδολογία Η αναγωγή στο 1ο τεταρτημόριο γίνεται και με εμπειρικούς τρόπους, ένας από τους οποίους είναι και ο παρακάτω: 1. Για τυχαίο ακέραιο κ ισχύει ότι:  ημ(κπ  θ) = ημθ  συν(κπ  θ) = συνθ  εφ(κπ  θ) = εφθ  σφ(κπ  θ) = σφθ Δηλαδή: i. Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί τόξων της μορφής x = κπ  θ δεν αλλάζουν (τα ημίτονα παραμένουν ημίτονα κ.λπ.). ii. Το πρόσημο στο β΄ μέλος εξαρτάται:  από το τεταρτημόριο στο οποίο βρίσκεται ο αριθμός x (χωρίς να βλάπτεται η γενικότητα μπορούμε να θεωρούμε ότι  π 2 θ 0, ).  από το πρόσημο του συγκεκριμένου τριγωνομετρικού αριθμού x στο τεταρτημόριο αυτό. 2. Για τυχαίο περιττό ακέραιο κ ισχύει ότι:  κπ ημ θ συνθ 2          κπ συν θ ημθ 2          κπ εφ θ σφθ 2          κπ σφ θ εφθ 2         Δηλαδή: i.Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί τόξων της μορφής κπ 2 x θ  , όπου ο κ είναι (υποχρεωτικά) περιττός ακέραιος αλλάζουν από ημίτονα σε συνημίτονα, από συνημίτονα σε ημίτονα, από εφαπτομένη σε συνεφαπτομένη και από συνεφαπτομένη σε εφαπτομένη. ii. Το πρόσημο στο β΄ μέλος εξαρτάται:  Από το τεταρτημόριο, στο οποίο βρίσκεται ο αριθμός x.  Από το πρόσημο του τριγωνομετρικού αριθμού του α΄ μέλους στο συγκεκριμένο τεταρτημόριο. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α΄ ΟΜΑΔΑ 1. Να βρεθούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των γωνιών: i. 19500 ii. -12150 iii. 38 3   iν. 55 4   2. Να δείξετε ότι σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε: i. ημΑ = ημ (Β + Γ) ii. ημ2 Β + συν2 (Α + Γ) = 1 3. Να δείξετε ότι: α) 5π 7π 4π ημ . συν . εφ 24 6 3 = - 4π 5π 7π 42ημ . εφ . σφ 3 4 6 β) - ημ (270 + θ) ημ (180 + θ) - 1 = 1 + συν (90 + θ) συν (180 - θ)    
  • 24.
    ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 14ο ΛύκειοΠεριστερίου [22] 4. Να απλοποιηθεί η κλασματική παράσταση: π ( x) ( - x) 2 ( x) ( x)          . 5. Να αποδείξετε ότι:   3 ( ) 0 2 2                             6. Να εκφράσετε συναρτήσει του ημx και του συνx τις παραστάσεις: Α = συν (x - π) + συν (x - π 2 ) + ημ (x - π) + ημ (x - π 2 ) 7. Να απλοποιηθούν οι παραστάσεις: (3 x). x . (7 x) 2 7 (9 x). x . x 2 2                                   ( ) 2 2 ( ) 2                                    8. Να δείξετε ότι: ( x). ( x). (9 x) i. 1 17 13 x . (x 2 ). x 2 2                             (2 ). ( ). ( ). . (2 ) 2 ii. 3 3 . ( ). . 2 2 2                                                           0 0 0 0 0 0 (180 ). (90 ). (180 ) iii. 1 (90 ). (90 ). (90 ) 5 . ( 2 ). (3 ) 2 iv. 1 3 . (5 ). ( ) 2 2                                                      9. Να αποδείξετε ότι: 9 11 9 11 2 2 2 2 1 17 19 13 15 2 2 2 2                                                                              10. Να αποδείξετε ότι:       13 27 9 23 2 2 9 11 2                                        
  • 25.
    ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 14ο ΛύκειοΠεριστερίου [23] 11. Αν για τις οξείες γωνίες Β και Γ τριγώνου ΑΒΓ ισχύει ότι 11 4   και 5 4   , να αποδειχτεί ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο. Β΄ ΟΜΑΔΑ 12. Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ να δειχθεί ότι: i. συν2 Α=  2 1 1     ii. συν   3 3 0 2 2                  iii. ημ2 2 2 2 2 1 2                    13. Δίνονται οι παραστάσεις Α= 1 91 2 92       και Β= 2 x ( x). ( x) 2 x . ( x) 2 2                           .Να δείξετε ότι 2   . 14. Αν 2 x 2 x 0    και 0 x 2    , να βρεθεί η τιμή της παράστασης: Α= 2011 33 x 2 x 2 2 3 (27 x) ( 3 x)                          15. Αν συν 23 23 1 2 2 2                    να υπολογιστεί η παράσταση Α=εφ2 x+σφ2 x. 16. i. Να αποδείξετε ότι: συν (x + 45°) = ημ (45° - x) ii. Να βρεθεί η αριθμητική τιμή του αθροίσματος: συν2 (x + 45°) + συν2 (x - 45°) + ημ2 (45° - y) + ημ2 (y + 45°). 17. Δίνεται 1 4 4 2                     .Να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων: i. Α= 2 2 4 4                    ii. Β= 4 4                   18. Δίνεται 5 2 12 12                     .Να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων: Ι) Α= 2 25 12 12                    ΙΙ) Β= 3 35 12 12                    19. Να αποδείξετε ότι: i. 0 0 0 0 0 0 1 2 ... 179 180 0           ii. 0 0 0 0 0 1 2 ... 359 0        
  • 26.
    ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 14ο ΛύκειοΠεριστερίου [24] 20. Αν 0 2     ,να δείξετε ότι:   3 5 2 1 2 2                            3.4. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Τύποι επίλυσης τριγωνομετρικών εξισώσεων: ημ x = ημ θ  x = 2kπ + θ ή x = 2kπ + π - θ συν x = συνθ  x = 2kπ + θ ή x = 2kπ - θ εφ x = εφ θ  x = kπ + θ σφ x = σφ θ  x = kπ + θ πάντα με κΖ Ειδικές περιπτώσεις: ημ x = 1  x = 2kπ + 2  ημ x = -1  x = 2kπ - 2  συν x = 1  x = 2kπ συν x = -1  x = 2kπ + π ημ x = 0  x = kπ συν x = 0  x = kπ + 2  εφx=0  x=kπ σφx=0  x = kπ + 2  πάντα με κΖ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α΄ ΟΜΑΔΑ 1. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) 2 συνx-1=0 β) 3 εφx-1=0 γ) 3 σφx-3=0 δ) εφ2x 3 2. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) 3 ημ2x 2   β) 2 συν2x 2   γ) π εφ x 3 6         δ) σφ2x = -1 3. Ομοίως οι εξισώσεις: α ) 3 (1+ημx)(2+συνx)=0 β) (3εφx+ 3 )(1-συν2 x)=0 γ) (1-2ημ2 x)(1+2συν2 x)=0 δ) (1+συνx) 1 1 0 x        4. Να λυθούν οι εξισώσεις:
  • 27.
    ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 14ο ΛύκειοΠεριστερίου [25]        2 i) x 1 . 2 x 2 0 ii) x 1 . x 0 iii) 2 x 1 . x 0             5. Να λυθούν οι εξισώσεις: 1 i) x ii) 3x 3 iii) x x 0 4 2 3 3                                6. Ομοίως οι εξισώσεις: ι) ημ 3x 2x 0 2 3    ιι) συν2x+συν x 0 2  ιιι) εφx=- εφ2x 7. Να λυθούν οι εξισώσεις: i) 3x (x ) ii) 2x x 3 6               8. Να λύσετε τις εξισώσεις: ι) π ημ2x συν x 3        ιι) π π συν x ημ x 0 3 6                ιιι) π εφ2x σφ x 4        ιv) π π ημ 2x συν x 0 4 2                9. Να λυθούν οι εξισώσεις:   2 2 2 2 2 i) 2 x 5 x 3 0 ii) 2 x 1 5 x iii)2 x 3 1 x iv) 3 x x 5 x 0                     10. Να λυθεί στο  0, η εξίσωση 2 2x 1 5         . 11. Να λυθούν οι εξισώσεις: ι) 2ημ 2x 1 3        στο (π, 2π) β) 1-σφ2x=0 στο ,0 2       12. Δίνεται η εξίσωση 4ημ(x – π)  ημ(2π – x) = ημ2 (x + π) + συν2 (x – π). α)Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση είναι ισοδύναμη με την εξίσωση 4ημ2 x = 1. β) Να λυθεί η δοσμένη εξίσωση. Β΄ ΟΜΑΔΑ 13. Να λυθούν οι εξισώσεις: i) 2 x x 2 x 2 x 2 0        ii) 3 2 x 2 x x     14. Να λυθεί η εξίσωση 5x 10x 1   . 15. Να λυθεί στο  0,2 η εξίσωση 1 x x    .
  • 28.
    ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 14ο ΛύκειοΠεριστερίου [26] 16. Να λυθεί στο  ,2  η εξίσωση  x x 3 2     . 17. Να λυθούν οι εξισώσεις: α)   2 2 2 4 x x x x 3 x 0         β) 3 2 x 2 x x     γ) 2 2 7 x 3 4 x x 2 x          δ) 4 4 x 1 – x   18. Να λυθεί η εξίσωση: 2012 2014 2x x 0    19. Να λυθεί η εξίσωση: 2 4 x 2 x 2    20. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) 2 ημx 1 4 ημx 1 ημx 1 1 ημx συν x ημx        β) 2 2 2 2 4 ημ x 3 5 ημ x 15 ημ x 2 ημ x 2 ημ x 4        21. Να λυθεί η εξίσωση  3 2 1 2x x 3 x 4        . 22. Να λυθεί η εξίσωση:   4 2 x 1 x 1 3 2x      23. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: i. x 1 2         ii.  x 1   24. Δίνεται η εξίσωση: 2 2 3 ημ x λ συνx λ , λ 4     Αν μια λύση της εξίσωσης είναι ο αριθμός 2π 3 x  , τότε: i. να βρείτε την τιμή του λ. ii. να βρείτε όλες τις λύσεις της εξίσωσης. 25. Δίνεται η συνάρτηση   1 1 f x x 1 x 1 x x                 . i. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. ii. Να λύσετε την εξίσωση  f x 2 στο διάστημα  0, . 26. Έστω η συνάρτηση :   x 1 f x x     i. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. ii. Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή. iii. Να λύσετε την εξίσωση :  f x x  .
  • 29.
    ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 14ο ΛύκειοΠεριστερίου [27] 27. Δίνεται η συνάρτηση   2 f x 3 x ( 3 1) x 1      , x 0, 2       . i. Να λύσετε την εξίσωση  f x 0 . ii. Αν  η μεγαλύτερη ρίζα της προηγούμενης εξίσωσης, να αποδείξετε ότι:         9 2 2 1 17 1821 2                                  28. Δίνεται η συνάρτηση   x x f x 1 x      . i. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. ii. Να αποδείξετε ότι   1 f x 1 x    . iii. Να αποδείξετε ότι η f είναι άρτια. iv. Να αποδείξετε ότι  4k 1 f x f x 2 2              v. Να λύσετε την εξίσωση f x 3 2        . 29. Δίνεται η συνάρτηση   3 2 f x 2 2x 2x 4 2x 2       . i. Να αποδείξετε ότι 3 f x f x 2 2                . ii. Να λύσετε την εξίσωση  f x 0 . iii. Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης    3 g x 2 2x 2 2x f x     καθώς και τις αντίστοιχες τιμές του x. 30. Δίνεται η συνάρτηση   1 2 x x f x x x        . i. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. ii. Να αποδείξετε ότι  f x x x    . iii. Να λύσετε την εξίσωση    f x f x 1 0   . 31. Δίνονται οι συναρτήσεις   2 2 16 x f x 1 x     και   2 g x x 1   . i. Να βρείτε το πεδίο ορισμού τους. ii. Να λύσετε την εξίσωση    f x 3g x . iii. Να αποδείξετε ότι   2 f x 16 x  και   2 1 g x x   . iv. Να λύσετε την εξίσωση 2 2 16 x x 3 0    .
  • 30.
    ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 14ο ΛύκειοΠεριστερίου [28] 3.5. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Μεθοδολογία  Συναρτήσεις της μορφής ημαx ή συναx έχουν περίοδο 2π/α ενώ οι συναρτήσεις της μορφής εφαx ή σφαx έχουν περίοδο π/α.  Συναρτήσεις της μορφής αημx ή ασυνx έχουν ακρότατα -α και α.  Συναρτήσεις της μορφής -ημx, -συνx, -εφx, -σφx είναι συμμετρικές των αρχικών ως προς τον οριζόντιο άξονα.  Συναρτήσεις της μορφής α+ημx, α+συνx, α+εφx, α+σφx είναι μετατοπισμένες στον κάθετο άξονα κατά α.  Συναρτήσεις της μορφής ημ(αx+β), συν(αx+β), εφ(αx+β), σφ(αx+β) είναι μετατοπισμένες στον οριζόντιο άξονα κατά -β/α.  Μία τριγωνομετρική συνάρτηση μπορεί να υπάγεται σε περισσότερες από μία από τις παραπάνω περιπτώσεις π.χ. -3ημ(2x- 4  )+5 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α΄ ΟΜΑΔΑ 1. Να βρείτε το μέγιστο και το ελάχιστο των συναρτήσεων: α) f(x) = 4ημx β) f(x) = 2συν2x-5 γ) f(x) = -3ημ3x+4 δ) f(x) = -5συν3x 2. Να βρείτε την περίοδο των συναρτήσεων: α) f(x) = 3ημ2x β) f(x) = 2συν3x γ) x f (x) 5ημ 2  δ) x f (x) 2συν 3   3. Να μελετηθούν και να παρασταθούν γραφικά οι συναρτήσεις: α. f(x) = ημ x β. f(x) = 3ημ x γ. f(x) = ημ 2x δ. f(x) = 4ημ 2x 4. Να μελετηθούν και να παρασταθούν γραφικά οι συναρτήσεις: α. f(x) = συν x β. f(x) = -4συν x γ. f(x) = 1 2 συν 2x 5. Να βρεθεί η περίοδος των συναρτήσεων. α. f (x) 5 2x  β. x f (x) 6 3    γ.f (x) 8 8x  δ. x f (x) 4 2   6. Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f(x) = 4-3ημ 5x 7. Δίνονται οι συναρτήσεις: α. 3 f (x) 2 x 2        β. g(x) 5 ( 3x)   γ. x h(x) 2 2         Να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή καθώς και η περίοδος για κάθε μια από τις παραπάνω συναρτήσεις.
  • 31.
    ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 14ο ΛύκειοΠεριστερίου [29] 8. Να μελετηθούν και να παρασταθούν γραφικά οι συναρτήσεις : α. f(x) = 1+συνx β. f(x) = 2συν3x -5 γ. f(x) = 4-3ημ x 2 9. Να μελετηθούν και να παρασταθούν γραφικά οι συναρτήσεις : α. f(x)=εφx β. f(x)=εφ2x γ. f(x)=σφx δ. f(x)=σφ x 2 10. Δίνεται η συνάρτηση: π f(x) = συν - x - ημ(π + x) 2       α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f(x) και να απλοποιηθεί ο τύπος της. β) Να βρεθούν η περίοδος και τα ακρότατα της f(x), δηλαδή η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή. γ) Να γίνει η γραφική παράσταση της f(x). Β΄ ΟΜΑΔΑ 11. Δείξτε ότι οι συναρτήσεις: ι)   4 4 2 2 f x x x 2 x x       ιι) g(x)= 2 2 2 2 x 2( x 1) 1 x       είναι σταθερές. 12. Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων. α. f(x) = ημ (x- 4  ) β. f(x)= 2 2x 3        γ. f(x)=2συν 4x   13. Θεωρούμε τη συνάρτηση f (x) ( x)   , , 0,   η οποία έχει μέγιστη τιμή το 5 και περίοδο 3    ,να βρείτε τις τιμές των  και ω. 14. Το διπλανό σχήμα παριστάνει τη γραφική παράσταση της g(x) ( x), 0,      Nα βρείτε τις τιμές των πραγματικών αριθμών ω, . 15. Δίνεται η συνάρτηση 2x f (x) 3          με x και α>0, i. Αν η μέγιστη τιμή της f είναι το 3 και η γραφική παράσταση τέμνει τον ψ΄ψ στο 1 βρείτε τον τύπο της f . ii. Να κάνετε την γραφική παράσταση σε διάστημα πλάτους μιας περιόδου και στο διάστημα να βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση τέμνει τον άξονα χ΄χ. 16. Δίνεται η συνάρτηση:     3 h x 2x 2 2x 2             Ι. Να αποδείξετε ότι  h x 3 2x  .
  • 32.
    ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 14ο ΛύκειοΠεριστερίου [30] ΙΙ. Να μελετήσετε και να παραστήσετε γραφικά την συνάρτηση  h x , όταν 0 x 2   . ΙΙΙ. Να βρείτε πόσες λύσεις έχει η εξίσωση  h x 1 όταν 0 x 2   . 17. Δίνεται η συνάρτηση:     7 g x 3x 3x 2             i) Να αποδείξετε ότι  g x 2 3x   . ii) Να μελετήσετε και να παραστήσετε γραφικά την συνάρτηση  g x , όταν 0 x 2   . iii)Να βρείτε πόσες λύσεις έχει η εξίσωση  g x 1  όταν 0 x 2   18. Δίνεται η συνάρτηση 2 + ημ(x - π) - συν(x + π) f(x) = 3+ συν(x - π) + ημ(x + π) . α) Να αποδειχθεί ότι 2 - ημx + συνx f(x) = 3- ημx - συνx . β) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού Α της f. γ) Να αποδειχθεί ότι ο αριθμός Τ = 2π είναι περίοδος της f(x). 19. Δίνονται οι συναρτήσεις (2 1)x f (x) 3 2 3        και ( 2)x g(x) 6 10 3 4        να βρεθούν τα  2,  και  0,  αν είναι γνωστό ότι έχουν την ιδία μέγιστη τιμή και η περίοδος της f είναι τριπλάσια από την περίοδο της g . 20. Δίνεται περιοδική συνάρτηση f με περίοδο Τ , Τ > 0, και πεδίο ορισμού το R. Στο διάστημα [0 , Τ] η συνάρτηση παρουσιάζει μέγιστη τιμή το 2016 για το μοναδικό x = 4  και στο διάστημα [2Τ , 3Τ] η συνάρτηση παρουσιάζει μέγιστη τιμή για x = 9 4  . i) Να βρεθεί η περίοδος Τ της συνάρτησης. ii) Αν f (x) ( x)   να βρείτε το α και το ω και να σχεδιάσετε την γραφική παράσταση της συνάρτησης στο διάστημα [0 , 3Τ]. 21. Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: i) f (x) x  ii) f (x) x  iii) f (x) x  iv) f (x) x  22. Δίνεται η συνάρτηση: π f (x) 2ημ(π 2x) συν 2x 2          α) Να αποδείξετε ότι f(x) = 3ημ2x και να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της f. β) Να βρείτε την περίοδο, το μέγιστο και το ελάχιστο της f. γ) Να κάνετε τη γραφική παράσταση Cf της f. δ) Να εξετάσετε αν η εξίσωση f(x) = 4 έχει λύση.
  • 33.
    ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 14ο ΛύκειοΠεριστερίου [31] 23. Δίνεται η συνάρτηση:  π 2 ημ x ημ(x π) 1 f (x) 3 ημ(x π) συν(x π)          α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f β) Να απλοποιήσετε τον τύπο της f. γ) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός Τ = 2π είναι περίοδος της f. 24. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 2συν3x. α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της f(x). β) Να βρείτε την περίοδο και τα ακρότατα της f(x). γ) Να χαράξετε τη γραφική παράσταση της f(x). δ) Να λύσετε την εξίσωση x2 = 2(συν3x – 1). 25. Δίνεται η συνάρτηση:       συν x 20 x 2 2f x 7 x 5 x 4 2                        . α) Να απλοποιήσετε τον τύπο της f. β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. γ) Να αποδείξετε ότι είναι περιοδική με περίοδο 2 . δ) Να λύσετε την εξίσωση   1 f x 2  . 26. Δίνεται η συνάρτηση   2x f x , 0, 3        η οποία έχει μέγιστο το 3 και η γραφική της παράσταση τέμνει τον άξονα y΄y στο 1. α) Να αποδείξετε ότι 2  και 1  . β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα χ΄χ. γ) ) Να αποδείξετε ότι    2 2 3 f x 1 f x 1 4 4              . δ) Να λύσετε την εξίσωση    f 6x f 3x στο διάστημα  0, . 3.6. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ    Τυπολόγιο:                                           1              1           1 ( )            1 ( )           ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις : Α= 5 5 12 12 12 12          Β= 7 5 7 5 12 12 12 12          Γ= 0 0 0 0 63 27 27 63    
  • 34.
    ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 14ο ΛύκειοΠεριστερίου [32] Δ=        0 0 0 0 50 40 40 50             2. Να υπολογιστούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των γωνιών 5 12  και 7 12  . 3. Αν 0<x< 2  και 2  <y<π και 12 x 13   , 3 y 4    να υπολογιστούν: i)    x y x y    ii)    x y x y    4. Να δείξετε ότι: α) 2 4 4                      β)     ( )               γ) 2 2 2 2 2 3 1 2             δ)    0 0 x 120 x 240 x 0        5. Έστω συνάρτηση 2 2 f (x) x (x ) 2 x. . (x )            .Δείξτε ότι η f είναι σταθερή (ανεξάρτητη του x). 6. Αν 0 225    , να δείξετε ότι 1 1 1 2         . 7. Αν ( ) 0    , να δείξετε ότι: (2 ) ( )        8. Αν 0 90      να αποδειχθεί ότι: i) 1        ii)        iii) 2 . . .             9. Αν x y     και x y     , να βρείτε το  x y  και να δείξετε ότι 2 2 4    . 10. Αν σ΄ ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η σχέση 2   , να δείξετε ότι είναι ισοσκελές. 11. Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: (B ) ( )            .Τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο. 12. Στο εικονιζόμενο τρίγωνο δίνεται ότι ΓΔ=2x,ΑΔ=x και ΑΒ=4x.Να δείξετε ότι: i) 8 19   ii)     
  • 35.
    ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 14ο ΛύκειοΠεριστερίου [33] 13. Να λυθούν οι εξισώσεις: i) 2 x x 6          ii) x 1 x 4 4                   iii) x x 2 3 4 4                    3 iv)συν2x συνx ημ2x ημx 2     14. Οι πωλήσεις, σε εκατοντάδες χιλιάδες, ενός σχολικού προϊόντος από μια εταιρεία με σχολικά είδη δίνονται από τη συνάρτηση t t f (t) 2 6 6         εκατοντάδες χιλιάδες , όπου t ο χρόνος σε μήνες από την έναρξη της σχολικής χρονιάς, (Σεπτέμβριος) και α σταθερός πραγματικός αριθμός με 0 , 2       . i) Να δείξετε ότι 1 t f (t) 2 6            ii) Αν γνωρίζουμε ότι οι μέγιστες πωλήσεις της εταιρείας είναι 400000 μονάδες προϊόντος να υπολογίσετε την τιμή της σταθεράς α και κατόπιν να απαντήσετε στα παρακάτω ερωτήματα: α. Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός των πωλήσεων του προϊόντος; β. Γιατί οι πωλήσεις του προϊόντος στον ίδιο μήνα κάθε χρόνο είναι οι ίδιες; γ. Σε ποιόν μήνα του χρόνου οι πωλήσεις του προϊόντος είναι μέγιστες και σε ποιον ελάχιστες; H ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f(x)=αημx+βσυνx Θυμίζουμε H συνάρτηση f(x)=ρημx H συνάρτηση αυτή έχει περίοδο 2π έχει ελάχιστο   και μέγιστο το  . Η συνάρτηση f(x)=ρημ(x+φ) Έχει περίοδο 2π, ελάχιστο   και μέγιστο  , ενώ είναι μετατοπισμένη αριστερά κατά φ. Η συνάρτηση f(x)=αημx+βσυνx Όταν εμφανιστεί παράσταση της παραπάνω μορφής είτε στη μελέτη συνάρτησης είτε στη λύση εξίσωσης, χρησιμοποιούμε το μετασχηματισμό.   0 2  2 3 π 2π   0 2  2 3 π 2π
  • 36.
    ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 14ο ΛύκειοΠεριστερίου [34] H συνάρτηση f(x)=αημx+βσυνx μπορεί να πάρει τη μορφή αημx+βσυνx=ρημ(x+φ) όπου ρ= 2 2    και ,         , οπότε ανάγεται στην προηγούμενη μορφή. Η περίοδος μιας συνάρτησης f(x)=ρημ(αx+φ) είναι 2  . ΑΣΚΗΣΕΙΣ 15. Να βρεθεί η περίοδος, η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή των παρακάτω συναρτήσεων και στη συνέχεια να παρασταθούν γραφικά. i)  f x 2 2x 6         ii)  g x 2 4x 8         16. Να λυθούν οι εξισώσεις: i) x 3 x 1    ii) 3 2x 2x 1 3     iii) 3 x x 2    17. Δίνεται η συνάρτηση  f x x x    , x . i) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση παίρνει τη μορφή   5 f x 2 x 4         . ii) Να λύσετε την εξίσωση: x x 2   
  • 37.
    ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 14ο ΛύκειοΠεριστερίου [35] 3.7. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 2α Τυπολόγιο ημ2α=2ημασυνα εφ2α= 2 2 1     συν2α=συν2 α-ημ2 α=2συν2 α-1=1-2ημ2 α σφ2α= 2 1 2     Τύποι αποτετραγωνισμού ημ2 α= 1 2 2    , συν2 α= 1 2 2    , εφ2 α= 1 2 1 2       Τύποι του 2α συναρτήσει της εφα ημ2α= 2 2 , 1     συν2α= 2 2 1 , 1       εφ2α= 2 2 1     Τύποι συναρτήσει του 2  ημα=2ημ , 2 2    συνα=συν2 2 , 2 2     εφα= 2 2 2 1 2      ημ2 1 2 2     συνα =2συν2 1 2   συν2 1 2 2     συνα =1-2ημ2 2  εφ2 1 2 1       ημα= 2 2 2 , 1 2      συνα= 2 2 1 2 1 2       Τύποι του 3α ημ3α=3ημα-4ημ3 α, συν3α=4συν3 α-3συνα ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Αν συνα= 1 4  και π<α< 3 2  υπολογίστε το ημ2α και το συν2α. 2. Αν εφα=2 να υπολογίσετε τα ημ2α, συν2α, εφ2α. 3. Αν ημα+συνα= 2 3 να υπολογιστεί το ημ2α και το συν2α αν γνωρίζουμε ότι 0. 4      4. Για τη γωνία α ισχύει ότι: 5 2 14 7 0      . i) Να αποδείξετε ότι 3 5   
  • 38.
    ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 14ο ΛύκειοΠεριστερίου [36] ii) Αν επιπλέον ισχύει: 3 2      , να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς ημ2α , συν2α, εφ2α . 5. Να δείξετε ότι α) 2 1 2 4 2            β) 2 4 1 2              γ) ( ) (  ) 2 2 4 4             6. Να δείξετε ότι: i) 1 + συν4α + συν2α ημ4α + ημ2α = σφ2α ii) ημ2α 1 + συν2α συνα 1 + συνα = εφ α 2 1 2iii) 1 1 2        1 2iv) 2 2             7. Να δείξετε ότι: α) 3 5 7 1 1 1 1 . 1 8 8 8 8 8                              β) 4 4 3 3 8 8 4       γ) 2 4 5 1 12 12 16       8. Να δείξετε ότι: ι) 2 4 1 7 7 7 8         ιι) 2 4 8 1 17 17 17 17 16          9. Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει 2συνΓσυν A 2 =ημΑ, να δείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές 10. Να λυθούν οι εξισώσεις: 2 3 2 x i) 2x x 0 ii) x 2 iii) 2x x 2 2 x iv) 2x x 2 x 1 v) 1 x 2x x 0 vi) 2x 2 0 2                               11. Να λυθούν οι εξισώσεις: ι) 3 (2ημx+1)+2συν2x=2+2ημx ιι) 1+συνx+συν2x=0 ιιι) συν2x=4συνx+5 ιν) συν2x+6συν2 x=1 ν) 1+συν2x=6ημ2 x νι) συνx+2ημ x 2 =1
  • 39.
    ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 14ο ΛύκειοΠεριστερίου [37] ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ 1. Έστω η συνάρτηση f(x) = (α+1)συν(βπx), όπου α και β είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί. i.Αν η μέγιστη τιμή της f(x) είναι 3 και η περίοδός της είναι 4, να αποδείξετε ότι α = 2 και β = 1 2 . ii. Για τις τιμές α = 2 και β = 1 2 , να λύσετε την εξίσωση f(x) = 3 2 . 2. Οι ετήσιες πωλήσεις ενός προϊόντος (σε δεκάδες χιλ .κομμάτια ) δίνονται κατά προσέγγιση από τον τύπο: t f (t) 15 2 3     ,όπου t ο χρόνος σε έτη 0 t 6  . i. Να βρεθεί το έτος που θα έχουμε το μέγιστο αριθμό πωλήσεων και πόσες θα είναι αυτές; ii. Σε ποιο έτος οι πωλήσεις θα φτάσουν τις 160.000 κομμάτια. 3. To βάθος του νερού κάτω από τη γέφυρα του Ευρίπου κατά τη διάρκεια της ημέρας δίνεται από τη συνάρτηση t f (t) 20 4 , 3     όπου t o χρόνος σε ώρες με0 t 24  . i. Να βρεθεί η περίοδος της συνάρτησης. ii. Ποιο είναι το μέγιστο και το ελάχιστο βάθος του νερού; iii. Αν το ύψος της γέφυρας είναι 30μ( από τον πυθμένα του νερού) να ελεγχθεί αν το σκάφος ύψους 8μ πάνω από (την επιφάνεια του νερού) μπορεί να περάσει κάτω από τη γέφυρα στις 12 το πρωί. iv. Ποια ώρα της ημέρας το βάθος του νερού είναι 18μ; 4. Δίνεται η συνάρτηση   2 f x 2 x 5 x 1     . α) Να αποδείξετε ότι είναι περιοδική με περίοδο 2π. β) Να βρείτε τα σημεία τομής της με τους άξονες. γ) Να λύσετε την εξίσωση       22 2 f x 2 x 8 f x 2 x 20 0       5. Δίνονται οι συναρτήσεις    f x 2 2 x     και     g x x       , , 0   . Αν οι συναρτήσεις f,g έχουν την ίδια μέγιστη τιμή και την ίδια περίοδο, τότε: α) να αποδείξετε ότι 1    .
  • 40.
    ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 14ο ΛύκειοΠεριστερίου [38] β) Να βρείτε τη τιμή της παράστασης f g 3 4                γ) Να λύσετε την εξίσωση    f x 3 2g x  στο διάστημα  ,2  . 6. Δίνεται η παράσταση:   2 f x x 2 x 2     , x  α) Να παραγοντοποιήσετε την f. β) Να αποδείξετε ότι  f x 0 , x  . γ) Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες  f x 0 . δ) Να αποδείξετε ότι η f είναι άρτια. ε) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιοδική με περίοδο 2π. στ) Να αποδείξετε ότι η f έχει μέγιστο το 4. 7. Δίνεται η συνάρτηση  f x x 4          , ,  της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από τα σημεία A , 1 , B ,1 4 4               , τότε: α) Να αποδείξετε ότι 2  και 1  β) Να βρείτε την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης καθώς και την περίοδό της. γ) Να κατασκευάσετε την γραφική παράσταση της f . δ) Να λύσετε την εξίσωση f 2x 2 4        . ε) Να αποδείξετε ότι: 3 5 7 9 f f f f f 1 4 4 4 4 4                                       8. Δίνεται η συνάρτηση   2 f x x x 2, x      . α) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιοδική με περίοδο 2. β) Να αποδείξετε ότι κανένα σημείο της γραφικής παράστασης της f δεν βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ΄χ. γ) Να βρείτε τα σημεία της γραφικής παράστασης της f στο διάστημα  0, με τεταγμένη 2. δ) Να λύσετε στο διάστημα  0,2 την εξίσωση:  f x f x 2        . 9. Δίνεται η συνάρτηση   2 2 f x x x 3 x 2, x         . α) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιοδική με περίοδο 2. β) Να αποδείξετε ότι η f έχει ελάχιστο το 1 8  . γ) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα χ΄χ. δ) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τη γραφική παράσταση της συνάρτησης  g x 2 3 x   .
  • 41.
    ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 14ο ΛύκειοΠεριστερίου [39] ε) Να λύσετε στο διάστημα  0, την εξίσωση:  f x f x 2        . 10. Δίνεται η συνάρτηση   2 2 f x 2 x x 2 x 4 x       , x  . i) Να μετατρέψετε τη συνάρτηση f στη μορφή    f x 2x ,ρ,φ,κ       ii) Να βρείτε για ποιες τιμές του x η συνάρτηση παίρνει τη μέγιστη τιμή της και ποια είναι αυτή. iii) Να λύσετε την εξίσωση:  f x f x 2 4         στο διάστημα [0 , π ] 11. Δίνεται η συνάρτηση f (x) 1 x x     με.  x 0,2  i) Να δείξετε ότι x x x f (x) 2 2 2 2           για κάθε  x 0,2  ii) Να βρείτε τις τιμές του  x 0,2  για τις οποίες ισχύει f (x) 0 iii) Για τις τιμές του x που βρήκατε στο (ii) ερώτημα να δείξετε ότι f ( x) x 1 f (x) 2     12. Δίνεται η συνάρτηση   4 4 f x 8 x 8 x 3,x      i) Να δείξετε ότι  f x 2 4x 3   ii) Να βρείτε την περίοδο, τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f. iii) Να βρείτε τις τετμημένες των σημείων Μ   x,f x με  x 0,2  ,στις οποίες η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέμνει την ευθεία y=2 13. Δίνεται η συνάρτηση   1 2x f x x x       i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της . ii) Να δείξετε ότι  f x x x    iii) Να λύσετε την εξίσωση  f x 1 14. Δίνεται η συνάρτηση: π π f (x) 3 2ημ x συν x , x 4 4                   i) Να αποδείξετε ότι  f x 3 2x   ii) Να αποδείξετε ότι 2 f (x) 4  για κάθε xR. iii) Να βρείτε τις τιμές του xR για τις οποίες η συνάρτηση f παίρνει τη μέγιστη τιμή της. iv) Ποια είναι η περίοδος της συνάρτησης f; v) Να γίνει η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) σε πλάτος μίας περιόδου.
  • 42.
    ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 14ο ΛύκειοΠεριστερίου [40] 4.1. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ Ορισμοί  Μονώνυμο του x ονομάζεται κάθε παράσταση της μορφής αxv, όπου α, ν και x μια μεταβλητή που μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή από το  . • Μονώνυμο του x λέμε επίσης κάθε πραγματικό αριθμό.  Πολυώνυμο του x ονομάζεται κάθε παράσταση της μορφής v v 1 v v-1 1 oα x α x ...α x+α   ,όπου 0 1, ,...,    είναι πραγματικοί αριθμοί και v φυσικός αριθμός. Για να απλουστεύσουμε τη γραφή των πολυωνύμων χρησιμοποιούμε τους συμβολισμούς P(x), Q(x), Φ(x)… κ.λπ. Επομένως, πιο απλά γράφουμε:   v v 1 v v-1 1 0P x α x α x ...α x α     Στοιχεία ενός πολυωνύμου ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α΄ ΟΜΑΔΑ 1. Να βρείτε για ποιες τιμές του α το πολυώνυμο : ν αxΣυντελεστής α Μονώνυμο του x Κύριο μέρος ν x Βαθμός ν Όροι λέγονται τα μονώνυμα ν ν 1 ν ν 1 0α x ,α x ,...,α  Συντελεστές λέγονται οι πραγματικοί αριθμοί 0 1 να ,α ,...,α Σταθερός όρος είναι το όρος 0α που δεν περιέχει x Βαθμός είναι ο εκθέτης ν ν ν 1 ν ν 1 1 0 νP(x)=α x α x ... α x+α , α 0     Αριθμητική τιμή 0P(x )=0 λέγεται ο αριθμός 0 ν ν 1 0 ν ν 1 0 1 0 0P(x )=α x α x ... α x +α    που προκύπτει αν στο P(x) θέσουμε όπου x το x0 αντικαταστήσουμε το με Ρίζα του P(x) λέγεται ένας αριθμός ρ αν και μόνο αν P(ρ)=0
  • 43.
    ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 14ο ΛύκειοΠεριστερίου [41]    2 3 3 2 P(x) 4 x 3 3 5 2 x 2 4             είναι το μηδενικό πολυώνυμο. 2. Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό λ για τον οποίο το πολυώνυμο      2 3 2 P x 2 x 5 6 x 1 2             είναι το μηδενικό πολυώνυμο. 3. Να προσδιορίσετε το βαθμό του πολυωνύμου      2 4 2 P x 6 8 x 2 x 3 10             για τις διάφορες τιμές του  . 4. Να βρείτε το βαθμό του πολυωνύμου :    2 3 2 2 P(x) ( 1) 9 x 4 3 x 3 9             , για τις διάφορες τιμές του  . 5. Να βρείτε το  για το οποίο τα πολυώνυμα    3 2 2 P x 5x x 9 8     και     3 2 Q x 4 x x 1     είναι ίσα. 6. Να βρείτε τα , , ,    για τα οποία το πολυώνυμο   4 3 2 P x x x x x 16       είναι τέλειο τετράγωνο του   2 Q x x x    . 7. Για ποιες τιμές των α,β τα πολυώνυμα Ρ(x) και Π(x) είναι ίσα ; i)    3 x x x 1      και    3 2 x x x 2x 1       ii)   2 3 2 x x 3x x 2      και    3 2 2 x x 2 x x         8. Να βρείτε τις τιμές των α, β ,ώστε οι αριθμητικές τιμές του πολυωνύμου 3 2 P(x) x (2 3 )x (2 )x           ,για x 1  και x 1 ,να είναι 3 και –5 αντίστοιχα. 9. Δίνονται τα πολυώνυμα Ρ(x)=(α2 -3)x3 +(β-2)x2 +(3α-2β)x+α και Q(x)=2x3 +αx2 +9x+γ. Να βρείτε τις τιμές των α,β,γ ώστε το πολυώνυμο Π(x)=Ρ(x)+Q(x) να είναι : α) το μηδενικό πολυώνυμο β)μηδενικού βαθμού γ) 3ου βαθμού 10. Δίνονται τα πολυώνυμα   3 2 P x 4x 6x 4x 8    και   3 2 Q x x x x       . Να βρείτε τι πρέπει να ισχύει για τους αριθμούς α,β,γ,δ, ώστε το πολυώνυμο    P x Q x , να είναι: α) 3ου βαθμού β) το πολύ 2ου βαθμού γ) μηδενικού βαθμού 11. Να βρείτε πολυώνυμο Ρ(x) δευτέρου βαθμού αν ισχύουν:Ρ(-1)=1, Ρ(0)= -4, και Ρ(2)+2=0 12. Να προσδιοριστεί ο α  R ώστε το πολυώνυμο P (x) = 9x3 - 3x2 + 8x - 27 να παίρνει τη μορφή α (x3 + x) - 3x2 + (x - 3) (x2 + 3x + 9). 13. Δίνονται τα πολυώνυμα: P(x) = x4 – (α + β)x3 + γx2 – (α + δ)x + β – δ και Q(x) = (β – α)x4 – γx3 + (β + δ)x2 – βx + 1. Αν P(x) = Q(x): α) να βρείτε τις τιμές των α, β, γ και δ, β) να εξετάσετε αν το ρ = 1 είναι ρίζα του P(x).
  • 44.
    ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 14ο ΛύκειοΠεριστερίου [42] 14. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α,β,γ,δ για τους οποίους ισχύει:   2 22 2 2 x δ x x x 1x x 1         15. Να αναλυθεί η κλασματική παράσταση 2 3x 3 x 9   σε άθροισμα κλασμάτων. Β΄ΟΜΑΔΑ 16. Αν το πολυώνυμο P (x) = x2 + (α - 1) x + 2α έχει ρίζα το - 1 αποδείξτε ότι το ίδιο ισχύει και για το Κ (x) = x3 + 4x2 + (α2 - 1) x. Το αντίστροφο ισχύει; 17. Δίνεται το πολυώνυμο P(x)= 2 3 2 2 x ( )x ( )x 1          .Αν η τιμή του πολυωνύμου P(x) για x=1 είναι ίση με –3,τότε: i) Να βρεθούν οι τιμές των α, β. ii) Να βρεθεί ο βαθμός του P(x), iii) Να βρεθεί το πολυώνυμο Q(x)=P(P(x-2)) 18. Να βρείτε το πολυώνυμο Ρ(x) τέτοιο ώστε Ρ(x)+[P(x)]2 =2x(2x+3)+2. 19. Να βρείτε το πολυώνυμο Π(x) δευτέρου βαθμού τέτοιο ώστε Π(x)= 2 1 x x       και Π(1)=Π(-1)-6=1. 20. Θεωρούμε δύο πολυώνυμα Ρ(x) και Q(x) με Q(x)=Ρ(Ρ(x)). Αν ρ είναι μία ρίζα του Ρ(x)-x, να δείξετε ότι είναι ρίζα και του Q(x)-x. 21. Δίνονται τα πολυώνυμα  P x και  Q x για τα οποία ισχύει ότι      P x 2 Q x 1 2   . Να αποδείξετε ότι: α) τα  P x και  Q x είναι σταθερά πολυώνυμα. β)        P x Q x 4 2Q x P x   22. Σε ένα πολυώνυμο P(x) ο σταθερός όρος είναι 2 και το άθροισμα των συντελεστών ισούται με 3.Να αποδειχθεί ότι ο αριθμός χ=1 είναι ρίζα του πολυωνύμου Q(x)=P(P(P(x)-3)-2)-2x. 23. Έστω πολυώνυμο P(x) τέτοιο, ώστε : P(2x 1) 2P(x) 3   για κάθε x  και P(0) 0 .Να υπολογίσετε το P(15). 24. Αν A(x) και B(x) είναι δύο πολυώνυμα χωρίς ρίζες, να αποδείξετε ότι τα πολυώνυμα: P(x) = 2A(x) + 3B(x) και Q(x) = 3A(x) + 2B(x) δεν έχουν κοινή ρίζα. 25. Αν το πολυώνυμο   3 2 P x x 3x 3x 3    έχει ρίζα τον θετικό αριθμό ν, να αποδείξετε ότι 4  .
  • 45.
    ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 14ο ΛύκειοΠεριστερίου [43] 4.2. ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ Η ταυτότητα της διαίρεσης A. Όπως στους ακέραιους αριθμούς, έτσι και στα πολυώνυμα ισχύει η ταυτότητα της διαίρεσης. Πιο συγκεκριμένα ισχύει ότι: Για κάθε ζεύγος πολυωνύμων Δ(x) και δ(x), με δ(x)  0 υπάρχουν δύο μοναδικά πολυώνυμα π(x) και υ(x) τέτοια, ώστε: Δ(x) = δ(x)  π(x) + υ(x) όπου το υ(x) ή είναι το μηδενικό πολυώνυμο ή έχει βαθμό μικρότερο από το βαθμό του δ(x). Το Δ(x) ονομάζεται διαιρετέος, το δ(x) διαιρέτης, το π(x) πηλίκο και το υ(x) υπόλοιπο της διαίρεσης. Β. α) Αν Δ(x) = δ(x)π(x), δηλαδή αν το υπόλοιπο υ(x) της διαίρεσης Δ(x) : δ(x) είναι το μηδενικό πολυώνυμο (υ(x) = 0), τότε λέμε ότι το δ(x) διαιρεί το Δ(x) ή ότι το Δ(x) διαιρείται με το δ(x). Το δ(x) λέγεται επίσης παράγοντας του Δ(x) ή διαιρέτης του Δ(x) και η διαίρεση του Δ(x) με το δ(x) λέγεται τέλεια. Διαίρεση πολυωνύμου με x - ρ A. Για τη διαίρεση ενός πολυωνύμου P(x) με ένα πολυώνυμο της μορφής x – ρ ισχύουν τα εξής συμπεράσματα: α) Το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου P(x) με το x – ρ είναι ίσο με την τιμή του πολυωνύμου για x = ρ. Ισχύει δηλαδή ότι: υ = Ρ(ρ) β) Ένα πολυώνυμο P(x) έχει παράγοντα το x – ρ, αν και μόνο αν το ρ είναι ρίζα του Ρ(x), δηλαδή αν και μόνο αν Ρ(ρ) = 0. Για να βρούμε λοιπόν το υπόλοιπο της διαίρεσης P(x) : (x – ρ), αρκεί να βρούμε το Ρ(ρ). Αν Ρ(ρ) = 0, τότε το x – ρ είναι παράγοντας του P(x) και αντιστρόφως. Τονίζουμε ότι: Το υπόλοιπο της διαίρεσης P(x) : (x + α) είναι υ = Ρ(-α). Το υπόλοιπο της διαίρεσης P(x) : (αx + β) είναι          , όπου α  0. Τα παραπάνω συμπεράσματα δεν ισχύουν, αν ο διαιρέτης είναι δευτέρου ή μεγαλύτερου βαθμού. Β. Δίνεται το πολυώνυμο P(x). Τότε οι παρακάτω προτάσεις είναι ισοδύναμες: i. Το P(x) διαιρείται με το x – ρ. ii. Το x – ρ διαιρεί το P(x). iii. Το x – ρ είναι διαιρέτης του P(x). iv. Το P(x) έχει παράγοντα το x – ρ. v. Το x – ρ είναι παράγοντας του P(x). vi. Η διαίρεση του P(x) με το x – ρ είναι τέλεια. vii. Ο αριθμός ρ είναι ρίζα του P(x). viii. Ισχύει ότι Ρ(ρ) = 0. ix. Το υπόλοιπο της διαίρεσης P(x) : (x – ρ) είναι ίσο με μηδέν.
  • 46.
    ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 14ο ΛύκειοΠεριστερίου [44] Αυτό σημαίνει ότι αν ισχύει (αν δοθεί) μία από αυτές, τότε θα ισχύουν συγχρόνως όλες μαζί. Συνήθως όλες αυτές τις προτάσεις τις συσχετίζουμε με την (viii), διότι η πρόταση Ρ(ρ) = 0 είναι αμέσως αξιοποιήσιμη. Γ. Έστω P(x) = ανxν + αν-1xν-1 + … + α1x + α0 , με αν  0. Αν ρ1 , ρ2 , …, ρν είναι οι ρίζες του P(x), τότε ισχύει ότι: P(x) = αν(x – ρ1)(x – ρ2) … (x – ρν) ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α΄ ΟΜΑΔΑ 1. Να κάνετε τις παρακάτω διαιρέσεις και να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης. α) (x4 + x3 + 3x2 + 2x + 7) : (x2 + 1) β) (x4 – 2x3 + 5x2 – 4x + 6) : (x2 – 2x + 3) γ) (x5 + x4 + 2x3 + 2x2 + 4x + 2) : (x2 + x + 1) δ) (3x3 - 4αx + α2 ) : (x - 2α) ε) [7x3 - (9α + 7α2 ) x + 9α2 ] : (x - α) 2. Να βρείτε πολυώνυμο f(x) που όταν διαιρείται με x2 +1 δίνει πηλίκο 3x+2 και υπόλοιπο - x+3. 3. Να βρείτε τα κ,λ ώστε το Ρ(x)=x4 +1 να διαιρείται ακριβώς με x2 +κx+λ. 4. Με τη βοήθεια του σχήματος Horner,να βρεθούν τα πηλίκα και τα υπόλοιπα των διαιρέσεων : i)  4 3 2 x 2x 5x 3x 14 :(x 2)     ii)  3 2 2x x 7x 5 :(x 1)    iii)  5 2 x 3x x 1 :(x 1)    iv) 2 2 5x 2 x 3 :(x )      5. Να βρείτε το  ,ώστε το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου: 3 P(x) 2 x ( 3)x 3 3        με το x 1 ,να είναι 12. 6. Να βρείτε α, β ,ώστε το πολυώνυμο    4 3 2 P(x) x 1 x (2 3 )x 7 x 10             ,να έχει παράγοντες τους x 1 και x 2 . 7. Δίνεται το πολυώνυμο: P(x) = x2014 – x2012 + x2010 + x - 2 α) Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x + 1. β) Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x – 1. γ) Ποιο από τα πολυώνυμα x + 1 και x – 1 είναι διαιρέτης του P(x); 8. Δίνεται το πολυώνυμο 3 2 P(x) x (2 1)x ( )x 1         .Να βρείτε τα α, β , ώστε το P(x) ,να έχει παράγοντα το x 1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x 1 ,να είναι 4. 9. Να βρείτε τα α, β, ώστε το πολυώνυμο      4 3 2 x x 3 2 x 3 2 x 5 x 6           να έχει παράγοντα το x2 +x-2.
  • 47.
    ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 14ο ΛύκειοΠεριστερίου [45] 10. Αν το x-3 είναι παράγοντας του Ρ(x), να δείξετε ότι το x-2 είναι παράγοντας του Q(x)=Ρ(4x-5). 11. Έστω πολυώνυμο P(x) με ακέραιους συντελεστές και P(1) P(3) 5  . Δείξτε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης  2 P(x) : x 4x 3  είναι 5  . 12. Αν το πολυώνυμο Ρ(x) διαιρούμενο με το πολυώνυμο x2 -x δίνει υπόλοιπο 2x+1, να βρείτε τα υπόλοιπα των διαιρέσεων Ρ(x):x και Ρ(x):x-1. 13. Αν οι διαιρέσεις ενός πολυωνύμου Ρ(x) με τα x+1 και x-2 δίνουν αντίστοιχα υπόλοιπα 3 και -3, να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x): (x2 -x-2). 14. Με τη βοήθεια του σχήματος Horner, να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο 3 2 P(x) 2x 5x 9x 18    διαιρείται με το γινόμενο (x 2)(x 3)  και να βρείτε το πηλίκο. 15. Να βρείτε το α, β ,ώστε το πολυώνυμο 3 2 P(x) x 2 x x 6     ,να διαιρείται με το γινόμενο(x 2)(x 3)  . 16. Να προσδιοριστούν οι πραγματικοί αριθμοί κ, λ ώστε το πολυώνυμο    3 2 P x x x 1 x 5       να έχει για παράγοντα το   x 1 x 2  . 17. Με τη βοήθεια του σχήματος Horner, να δείξετε ότι το 4 3 2 P(x) 2x x x 7x 5     έχει παράγοντα το 2 (x 1) . 18. Να βρείτε το α, β ,ώστε το πολυώνυμο 3 2 P(x) x 5x x 12     ,να έχει παράγοντα το 2 (x 2) . 19. Να προσδιοριστούν οι πραγματικοί αριθμοί α, β ώστε το πολυώνυμο    3 2 P x x x 3 x 10       να έχει για παράγοντα το   2 x 2 . Β΄ ΟΜΑΔΑ 20. Δίνεται το πολυώνυμο: P(x) = xν+1 – (ν + 1)x + ν όπου νN* . Να αποδείξετε ότι: α) το P(x) έχει παράγονται το x – 1, β) το P(x) διαιρείται με το (x – 1)2 . 21. Αν το πολυώνυμο P (x) = αxν+1 + βxν + 1 έχει παράγοντα το (x - 1)2 αποδείξτε ότι το πολυώνυμο Q (x) = (ν + 1) αxν + νβxν-1 έχει παράγοντα το x - 1. 22. Αν το πολυώνυμο P (x) = (ν + 1) xν - νxν+1 + α διαιρείται με το x - 1, τότε αποδείξτε ότι διαιρείται και με το (x - 1)2 . 23. Να δειχθεί ότι το πολυώνυμο 3 3 1 P(x) (1 3 )x 3 x 1        διαιρείται με το 2 x 2x 1  . 24. Να βρείτε τους λ,μR ώστε το πολυώνυμο x4 +(λ-μ)x3 +2λx2 -5x+4 να διαιρείται με τη μεγαλύτερη δυνατή δύναμη του x-1.
  • 48.
    ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 14ο ΛύκειοΠεριστερίου [46] 25. Δίνεται το πολυώνυμο       1821 1453 P x x x 2 x 1 2     α) Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του  P x με το   3 2 Q x x 3x 2x   . β) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός 1821 1453 10 8 9 89   είναι πολλαπλάσιο του720. 26. Δίνεται το πολυώνυμο       20 15 P x x 4 2x 5 2     . α) Να αποδείξετε ότι το x 3 είναι παράγοντας του  P x . β) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός 40 15 2 11 2  είναι πολλαπλάσιο του 5. γ) Να αποδείξετε ότι το τελευταίο ψηφίο του αριθμού 20 15 9 21 1  είναι το 3. 27. Ένα πολυώνυμο P(x) με: (x + 1) + (x + 2)P(x + 3) = 2x5 -2x2 -10 για κάθε xR . i) Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με τα x – 3 και x + 1. ii) Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το πολυώνυμο: Q(x) = x2 – 2x – 3 28. Δίνονται τα πολυώνυμα :    3 2 P x x ax 1 2a x 4     και      3 2 Q x 1 a x x 2a 1 x 5      .Τα πολυώνυμα P(x) και Q(x),όταν διαιρεθούν με το x- 1,αφήνουν το ίδιο υπόλοιπο. α) Να βρείτε τον αριθμό a  β) Αν R(x)=Q(x)-P(x),τότε: i) Να αποδείξετε ότι το x-1 είναι διαιρέτης του R(x) ii) Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης του R(x) με το   2 x 1 . 29. Αν το πολυώνυμο Ρ(x) έχει παράγοντες τους x-α και x-β, αβ, να δείξετε ότι διαιρείται ακριβώς με (x-α)(x-β). 30. Δίνονται δύο πολυώνυμα P(x) και Q(x) με τις ιδιότητες: α. Υπάρχει α τέτοιο ώστε P(α)-1=Q(α)-1=0. β. P(x)=Q(x)+Q(P(x))+P(Q(x)). Να δείξετε ότι το πολυώνυμο R(x)=P(x)+Q(x) διαιρείται με x-1. 31. Αν Π(x) είναι το πηλίκο της διαίρεσης Ρ(x): (x-α), να δείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης Ρ(x): (x-α)2 είναι υ(x)=Π(α)x+Ρ(α)-αΠ(α). 32. Αν τα πηλίκα των διαιρέσεων Ρ(x): (x-α) και Ρ(x): (x-β), αβ είναι αντίστοιχα Π1(x) και Π2(x), να δείξετε ότι Π1(β)=Π2(α). 33. Έστω πολυώνυμο Ρ(x) με Ρ(1)=1 και Ρ(x)=Ρ(1-x). Να δείξετε ότι υπάρχει πολυώνυμο Q(x) έτσι ώστε Ρ(x)=x(x-1)Q(x)+1. 4.3. ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Αν η εξίσωση ανxν +αν-1xν-1 + . . . +α1x+α0 = 0 με αν,αν-1, . . . ,α1,α 0 Ζ :  έχει ρίζα τον ακέραιο αριθμό ρ, τότε το ρ διαιρεί το α0.  έχει ρίζα το κλάσμα   , τότε το κ διαιρεί το α0 και το λ διαιρεί το αν.
  • 49.
    ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 14ο ΛύκειοΠεριστερίου [47] Αν Ρ(x) πολυώνυμο και α,βR έτσι ώστε Ρ(α)Ρ(β)<0, τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ(α,β) τέτοιο, ώστε Ρ(ξ)=0. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α΄ ΟΜΑΔΑ 1. Να λύσετε τις εξισώσεις : i) x4 +5x3 +6x2 =0 ii) 4 3 2 3x 8x 12x 32x 0    iii) 2 2 2x 8 (x 2)(2x 1) x 5x 6       iv) 3 2 x 2x 6x 27 0    v) (x + 1)2 (2x – 3) – (x2 – 1)2 = 0 vi) (x+3)3 -27=0 2. Να λύσετε τις εξισώσεις : i) 3 2 x x 10x 8 0    ii) 4 3 2 x 3x x 3x 2 0     iii) 3 2 4x 8x x 3 0    iv) 4 3 2 6x 7x 12x 3x 2 0     3. Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f(x)=x4 -4x3 +10x2 +20x-10 και g(x)=5x3 -8x2 +2x+30. 4. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 4 3 2 x x 2x 3x 3 0     δεν έχει ακέραιες ρίζες. 5. Να βρείτε το κ, ώστε η εξίσωση x6 -3x4 -6x2 +κ = 0 να έχει ρίζα το 2. Στη συνέχεια λύσετε την εξίσωση. 6. Να βρείτε το πρόσημο του γινομένου      2 2 2 x x x x 5x 6 x 4      . 7. Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις: i.    2 5x 10 x 3 x 9x 20 0     ii.   2 2 10 x 3x x 2x 1 0     iii.    2 2 1 x x 8x 16 0    iv.   2 2 x 4x 6 4x 5 x 0     v.   2 2 3x 2x 1 x 6x 9 0      vi.    2 2 2 4 1 x x x x 2x 3 0     8. Να λύσετε τις ανισώσεις: i) x4 -x3 +3x2 -3x0 ii) x3 +3x2 -x-3<0 iii) x3 -4x2 +2x-8>0 iv) x4 -5x2 +60 9. Να λύσετε τις ανισώσεις : i) x3 -5x2 +8x-4 > 0 ii) x4 +2x3  7x2 +20x +12 iii) x4 +3x2 +x < 5x3 10. Δύο ρίζες της εξίσωσης: x4 -(2α+1)x3 +5x2 +(β-2)x-6=0 είναι οι x = 1 και x = 2. Να βρείτε: i) τις τιμές των α και β, ii) τις άλλες ρίζες της εξίσωσης. 11. Η εξίσωση x3 +αx2 +βx+2 = 0 να έχει διπλή ρίζα το 1. Να βρείτε: i) τις τιμές των α και β, ii) την άλλη ρίζα της εξίσωσης. 12. Δίνεται το πολυώνυμο   4 3 2 f x x x x x 2 ,x       . Α. Να αποδείξετε ότι το x+1 είναι παράγοντας του f(x) και να βρείτε το πηλίκο
  • 50.
    ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 14ο ΛύκειοΠεριστερίου [48] π(x) της διαίρεσης του f(x) με το (x+1). Β. Να αποδείξετε ότι το x – 2 είναι παράγοντας του π(x) και να βρείτε το πηλίκο π(x) της διαίρεσης του του π(x) με το (x-2). Γ. Να βρείτε τα διαστήματα, στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον άξονα x΄x. Β΄ΟΜΑΔΑ 13. Δίνονται τα πολυώνυμα P(x) = x4 – 3x3 – 3x2 + 8x + 4 και δ(x) = x2 – 2x - 3 α) Να βρεθεί το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το πολυώνυμο δ(x). β) Να γραφεί η ταυτότητα της διαίρεσης P(x) : δ(x). γ) Να λυθεί η ανίσωση P(x)  x – 2. 14. Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = x4 + αx3 + βx2 – 18x + β – 1 το οποίο έχει παράγοντα το πολυώνυμο Q(x) = x2 + 2x + 1. α) Να βρεθούν οι τιμές των α και β. β) Να βρεθούν όλες οι ρίζες του P(x). γ) Να γίνει γινόμενο το πολυώνυμο P(x). δ) Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η πολυωνυμική συνάρτηση P(x) έχει τη γραφική της παράσταση κάτω από τον άξονα x´x. 15. Δίνεται το πολυώνυμο: P(x) = x4 + αx3 + βx2 + γx - 2 Αν το x = -1 είναι ρίζα με πολλαπλότητα 3: i) να βρείτε τις τιμές των α, β και γ, ii) να λύσετε την εξίσωση P(x) = 0. 16. Δίνεται το πολυώνυμο: P(x) = x4 – 2x3 – 4x2 + 2x + 3 i) Να γράψετε την ταυτότητα της ευκλείδειας διαίρεσης του P(x) με το x2 – 4. ii) Να βρείτε το υπόλοιπο της προηγούμενης διαίρεσης, χωρίς να γίνει η διαίρεση. iii) Να λύσετε την εξίσωση P(x) = 0. iv) Να λύσετε την ανίσωση P(x) > 0. 17. Δίνεται το πολυώνυμο: P(x) = x4 – 4x3 – x2 + 16x - λ το οποίο διαιρείται με x – 1. i) Να βρείτε την τιμή του λ. ii) Να βρείτε τις πιθανές ακέραιες ρίζες του P(x). iii) Να λύσετε την εξίσωση P(x) = 0. iv) Να λύσετε την ανίσωση P(x) < 0. 18. Δίνεται το πολυώνυμο    3 2 P x x x 5 x 4,         . Αν το  P x έχει ρίζα για κάθε τιμή του πραγματικού αριθμού  , τότε: α) να βρείτε τη ρίζα. β) να βρείτε τις υπόλοιπες ρίζες του. γ) Αν 1  , να λύσετε την εξίσωση      23 3 P x x 6P x 6x 5    . 19. Δίνεται η συνάρτηση: f(x) = λx3 + 2λ3 x2 – λ2 x - 2 Αν η γραφική παράσταση Cf της f τέμνει τον άξονα x´x στο σημείο Α(1, 0),τότε να βρείτε: i) την τιμή του λ,
  • 51.
    ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 14ο ΛύκειοΠεριστερίου [49] ii) όλα τα κοινά σημεία της Cf με τον άξονα x´x, iii) τα διαστήματα, στα οποία η Cf είναι πάνω από τον άξονα x´x. 20. Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x)=x6 +2x5 +2x4 +2x3 +x2 +(x+1)2 δεν έχει κανένα σημείο κάτω από τον x΄x. 21. Να λύσετε τις εξισώσεις : i) 24x4 +4x3 +15 = 66x2 +x ii) 3x3 +13x2 +10x+2 = 0 22. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) 2 x 1 x 1 3 10 3 0 x x                ii) (x2 +x+2).(x2 +x+1)=12 iii) (x2 -2x-5)2 -2(x2 -2x-3)=4 iv)     x 2 x 1 x 3 x 6 56 0      23. Έστω Ρ(x) πολυώνυμο 3ου βαθμού, το οποίο διαιρείται με το x2 +1 , έχει ρίζα το 0 και του οποίου το άθροισμα των συντελεστών είναι ίσο με 2. Α. Να αποδείξετε ότι Ρ(x)= x3 + x Β. Να λύσετε την ανίσωση         3 2 x 2 x 2 x 2        24. Δίνεται το πολυώνυμο    4 3 2 x x 8x 5 1 x 8x 3 6 ,α            Α. Να γίνει η διαίρεση του Ρ(x) δια του x2 – 1 και να γράψετε τη σχετική ταυτότητα. Β. Να βρείτε τη τιμή του α, ώστε η παραπάνω διαίρεση να είναι τέλεια. Γ. Για α=3, να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης Ρ(x) = 0 καθώς και τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης Ρ(x) είναι κάτω από τον άξονα x΄x. (Mάιος 2004) 25. α) Να λύσετε την ανίσωση 4 3 2 t 2t 2t 2t 3 0,t       . β) Ένα παιδάκι τη χρονική στιγμή t=0 min αρχίζει να φουσκώνει ένα μπαλόνι, το οποίο όμως εχει λίγο αέρα. Στη συνέχεια το μπαλόνι χάνει αέρα, έως ότου ξεφουσκώσει τελείως τη χρονική στιγμή t1>0. Αν ο όγκος του αέρα του μπαλονιού συμβολίζεται με V(t), μετριέται σε λίτρα και δίνεται από την συνάρτηση V(t)=  4 3 2 1t 2t 2t 2t 3 0,(t..min),t 0,t       ,να βρείτε: τον όγκο του αέρα που υπήρχε στο μπαλόνι αρχικά και τη χρονική στιγμή t1,στην οποία το μπαλόνι ξεφουσκώνει τελείως. 26. Δίνεται το πολυώνυμο f(x) = x2 + x + 1. Να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο: Q(x) = f(f(x)) – f(x) - 2 διαιρείται με το πολυώνυμο R(x) = f(x) – 1. 27. Δίνεται το πολυώνυμο: f(x) = αx2015 + βx2014 – γx – δ. Αν το f(x) διαιρείται με αx + β, να αποδείξετε ότι το f(x) διαιρείται και με γx + δ.
  • 52.
    ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 14ο ΛύκειοΠεριστερίου [50] 4.4. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ Μεθοδολογία ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΛΥΝΟΝΤΑΙ ΜΕ ΑΛΛΑΓΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Η εξίσωση μετατρέπεται σε πολυωνυμική με κατάλληλη αλλαγή μεταβλητής : παράδειγμα : 2ημ3 x-7ημ2 x+7ημx-2=0 Αν ψ=ημx, τότε 2ψ3 -7ψ2 +7ψ-2=0  (ψ-1)(2ψ-1)(ψ-2)=0  ψ=1 ή ψ=1/2 ή ψ=2 (απορ.) ημx=1  x=2κπ+π/2 ημx=1/2  x=2κπ+π/6 ή x=2κπ+5π/6 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΡΙΖΙΚΑ Για να λύσουμε μια εξίσωση με ριζικά (δευτέρας τάξεως) εργαζόμαστε ως εξής:  Θέτουμε όλα τα υπόρριζα μεγαλύτερα ή ίσα από το μηδέν (περιορισμοί).  Απομονώνουμε στο ένα μέλος, αν διευκολύνει, το ένα ριζικό.  Απαιτούμε τα δύο μέλη να είναι ομόσημοι αριθμοί (νέοι περιορισμοί) και υψώνουμε στο τετράγωνο.  Επαναλαμβάνουμε τα παραπάνω βήματα όσες φορές χρειαστεί και λύνουμε την τελική πολυωνυμική εξίσωση.  Απορρίπτουμε τις τιμές που δεν επαληθεύουν τους περιορισμούς (ή την εξίσωση). παράδειγμα : x 3 x 1   x+30  x-3 x+10  x 1  άρα x-1     2 2 x 3 x 1    x+3 = x2 +2x+1  x2 +x-2=0  x=1 ή x= -2 (απορ.) ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α. Η συμμετρική εξίσωση 3ου βαθμού έχει τη μορφή: 3 2 x x x 0        (1) Η (1) λύνεται με παραγοντοποίηση ως εξής: αx3 + βx2 + βx + α = 0  (αx3 + α) + (βx2 + βx) = 0  α(x + 1)(x2 – x + 1) + βx(x + 1) = 0  (x + 1)[αx2 + (β – α)  x + α] = 0 Η εξίσωση αυτή λύνεται χωρίς δυσκολία. Β. Η συμμετρική εξίσωση 4ου βαθμού έχει μία από τις μορφές: 4 3 2 x x x x 0          (2) ή 4 3 2 x x x – x 0         (3) Επειδή α  0, η τιμή x = 0 δεν είναι ρίζα. Διαιρούμε όλους τους όρους με x2 , ομαδοποιούμε και οι εξισώσεις αυτές παίρνουν τη μορφή:
  • 53.
    ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 14ο ΛύκειοΠεριστερίου [51] 2 2 1 1 α x β x γ 0 (4) x x                 ή 2 2 1 1 α x β x γ 0 (5) x x                 Θέτουμε 1 x y x   στην (4) και 1 x y x   στην (5), οπότε αντίστοιχα παίρνουμε: 2 2 2 2 2 2 1 1 x y 2 και x y 2 x x       Θέτουμε τις τιμές αυτές στις εξισώσεις (4) και (5) και έτσι προκύπτουν εξισώσεις β΄ βαθμού που λύνονται εύκολα. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α΄ ΟΜΑΔΑ 1. Να λύσετε τις εξισώσεις : i) 2 2 2x 1 x 3x 6 x 3 x 2 x 5x 6         ii) 2 2 2 2(x 1) x 2x 12 5 x x 4x x 4        iii) 2 2 2 x 3 1 x 9 6x 2x x 3x      2. Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις: i. x 2 0 x 2    ii. x 3 0 x 4    iii. 2 2x 3 0 x 1    iv. 2 x 4 0 x 5    v. 2 x x 0 2 x    vi. 3 x 9x 0 x 3    3. Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις: i. 2 x 2x 3 0 x 2     ii.   2 2 1 x x x 2 0 x 4x 3       iii. 2 2 2 x x 0 x 4     iv. 2 2 x 6x 8 0 x 2x 3       v.    22 2 5x 3x 2 x 3 0 x 3x 4       vi.    2 2 x 3x 10 0 2 x x 1      4. Να λύσετε την ανίσωση: 3 2 3 x 6x 8x 0 x 4x     5. Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις: i. 2x 1 1 x 3    ii. x 1 3 3x 1    iii. 4x 7 3 x 2    iv. 2 x x 1 x 4    6. Να λύσετε τις ανισώσεις: i) 2 1 2 3 x 2 x 1 x x 2       ii) 2 2 2 1 x 3 x 3x x 9 2x 6x      7. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις:
  • 54.
    ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 14ο ΛύκειοΠεριστερίου [52] α) x 1 2  β) x 3 4   γ) 2x 7 x 2   δ) x 2x  8. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: α) 5x 10 8 x   β) 2x 6 x 1 2    γ) x 32 x 16   δ) 4x 20 4 x 24 x     ε) 2 x 1 1 x 1     στ) 4 2 x 2 3 2 x      9. Να λυθούν οι εξισώσεις: i) 2 x 5 x 2   ii) 2 4 2x x x 2    iii) 2x 1 x 1   iv) 2x 3 1 4x 4    v) x 2 6 x 4 x     10. Να λυθούν οι ανισώσεις: i) 5 x x 1   ii) x x 2  iii) x 1 x 1   iv) 4 x x  11. Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις: α) 3x 7 x 3   β) x 1 x 5   γ) 2 1 x x 3 x 2     Β΄ΟΜΑΔΑ 12. Να λύσετε την ανίσωση: 3 2 2 x 1 x 6 x 3 x 4 x 2 x 2         . 13. Να λύσετε τις ανισώσεις: α) 2 x 3 2 x   β) 2 3x 44 2 5 x 3x 10       14. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) 4 2 2 x –17 x 8 0    ii) 4 3 2 x – 2 x x 2 x –1 0       15. Να λύσετε τις εξισώσεις : i)     4 2 x 1 – 5 x 1 4 0    ii) 2 2 2 (x 3x 1) 10(x 3x 3) 51      iii)       3 22 2 2 x 4 2 x 4 5 x 4 6 0       iv) 2 2 (x 5x 7) (x – 2)(x – 3) 1    v) (x 5)(x 7)(x 6)(x 4) 504     16. Να λυθούν οι εξισώσεις: i) 2 x x 2 x x    ii) 2 x 3 x x,x     iii) 3 5x 7 x 1   iv) 3 2 x 1 x 1   
  • 55.
    ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 14ο ΛύκειοΠεριστερίου [53] 17. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) 9 x 1 4 4 x x 9     ii) 2x 2 x 2 7 x 2 2x 2 12       iii) 2 2 2x 3x 2 2x 3x 2 3      iv)    2 x 4 x 1 6 3 x 5x 2      18. Να λύσετε τις ανισώσεις: i) x 1 2 x   ii) x x 2  iii) 2 x 3x 10 8 x    iv) 2x 5 2x 1   19. Να λυθεί η εξίσωση 2 2 1 1 2 x 11 x 19 0 x x                 . 20. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) 4 3 2 x 4x 6x 4x 1 0     β) 4 3 2 6x 25x 12x 25x 6 0     21. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) 5 4 3 2 x 2x 2x 2x x 0     ii) 4 3 2 6x 35x 62x 35x 6 0     iii) 5 4 3 2 6x 41x 97x 97x 41x 6 0      ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = kx3 - (k + λ)x2 + λx + 1,με το υπόλοιπο της διαίρεσης    P x : 2x 1 να είναι 7 και  P 1 23  i) Να αποδείξετε ότι k    6 και     5 . ii) Αν k    6 και     5 , τότε: α) Να γίνει η διαίρεση του P(x) με το πολυώνυμο 2x + 1 και να γραφεί το P(x) με την ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης. β) Να λυθεί η ανίσωση P(x) > 7 . 2. Δίνονται τα πολυώνυμα:   4 3 2 P x x 3x – 6x 2x – 7   ,  Q x x    και το πολυώνυμο Φ(x) = P(x) + Q(x) που έχει παράγοντα το x2 + 4. i) Να αποδείξετε ότι 10  και 33   . ii) Να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο Φ(x) έχει παράγονται το x – 2. iii) Να λύσετε την ανίσωση Φ(x)  0. 3. Δίνεται η συνάρτηση   3 2 2 x 2x x f x x 2x 3        . Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο Α(2,0). i) Να αποδείξετε ότι 2  . ii) Να απλοποιήσετε τον τύπο της f. iii) Να βρείτε για ποια x η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από την ευθεία y x .
  • 56.
    ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 14ο ΛύκειοΠεριστερίου [54] 4. Δίνεται το πολυώνυμο:   4 3 2 P x 2x – 3x 3x 3x 1    i) Να αποδείξετε ότι το P(x) διαιρείται με το πολυώνυμο 2x – 1. Ποιο είναι το πηλίκο π(x); ii) Να λύσετε την εξίσωση P(x) = 0. iii) Να λύσετε την ανίσωση P(x)  0. iv) Να βρείτε το υπόλοιπο υ της διαίρεσης του P(x) με το x + 1. v) Να λύσετε την εξίσωση: 4 3 2 2 x – 3 x – 3 x – 3 x 4 0      5. Δίνεται το πολυώνυμο:   3 2 P y 2y – 7y 2y 3   i) Ποιες είναι οι πιθανές ακέραιες ρίζες του πολυωνύμου P(y); ii) Να λύσετε την εξίσωση P(y) = 0. iii) Να λύσετε την ανίσωση P(y)  0. 6. Αν το πολυώνυμο f(x) έχει ακέραιους συντελεστές και οι αριθμοί f(0) και f(1) είναι περιττοί, να αποδειχθεί ότι το f(x) δεν έχει ακέραια ρίζα. 7. Δίνεται η συνάρτηση:   3 2 3 2 x 6x 11x 6 f x x 4x x 6        i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της f. ii) Να απλοποιήσετε τον τύπο της f. iii) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης Cf της f με τον άξονα x´x. iv) Να βρείτε τα κοινά σημεία της Cf με την ευθεία ε : y = 2. 8. Δίνεται το πολυώνυμο   4 3 2 f x x x x x 2, x       α) Να αποδείξετε ότι το x 1 είναι παράγοντας του  f x και να βρείτε το πηλίκο  x της διαίρεσης του  f x με το  x β) Να αποδείξετε ότι το x – 2 είναι παράγοντας του  x και να βρείτε το πηλίκο της διαίρεσης του  x με το x – 2 . γ) Να βρείτε τα διαστήματα, στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον άξονα . 9. Δίνεται το πολυώνυμο   1 2 P x x 2x 3x 8, ,x             το οποίο έχει ρίζα το -1 i) Να δείξετε ότι   4 3 P x x 2x 3x 4    ii) Να δείξετε ότι η εξίσωση  P x 0 δεν έχει άλλες ακέραιες ρίζες . iii) Να λύσετε την ανίσωση    P x P x 40  
  • 57.
    ΕΚΘΕΤΙΚΗ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ 14ο ΛύκειοΠεριστερίου [55] 1 2 3 4 5 6 7-1-2-3-4-5-6-7 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 x y 1 2 3 4 5 6 7-1-2-3-4-5-6-7 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 x y 5.1. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Δυνάμεις με άρρητο εκθέτη Αν α, β είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί και 1 2x,x ,x  ,τότε :     1 2 1 2x x x x     1 2 1 2x x x x :      x x x         x x x       2 1 1 2 x x x x Εκθετική συνάρτηση Αντιστοιχίζοντας κάθε x  ,στη δύναμη x  ,ορίζουμε την συνάρτηση : f :   με x f(x)   η οποία στην περίπτωση που είναι 0< 1  ,λέγεται εκθετική συνάρτηση με βάση α Αν είναι α=1 ,τότε έχουμε την σταθερή συνάρτηση f (x) 1 .  Κάθε συνάρτηση της μορφής x f(x)   με α>1, αποδεικνύεται ότι:  Έχει πεδίο ορισμού το  .  Έχει σύνολο τιμών το διάστημα (0, ) των θετικών πραγματικών αριθμών.  Είναι γνησίως αύξουσα στο  .Δηλαδή για κάθε 1 2x,x ,x  ισχύει : αν 1 2x x ,τότε 1 2x x     Η γραφική παράσταση τέμνει τον άξονα yý στο σημείο Α(0,1) και έχει ασύμπτωτο τον αρνητικό ημιάξονα των x.  Κάθε συνάρτηση της μορφής x f(x)   με 0<α<1, αποδεικνύεται ότι :  Έχει πεδίο ορισμού το  .  Έχει σύνολο τιμών το διάστημα (0, ) των θετικών πραγματικών αριθμών.  Είναι γνησίως φθίνουσα στο  . Δηλαδή για κάθε 1 2x,x ,x  ισχύει : αν 1 2x x , τότε 1 2x x     Η γραφική της παράσταση τέμνει τον άξονα yý στο σημείο Α(0,1) και έχει ασύμπτωτο το θετικό ημιάξονα των x.
  • 58.
    ΕΚΘΕΤΙΚΗ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ 14ο ΛύκειοΠεριστερίου [56] 1 2 3 4 5 6 7-1-2-3-4-5-6-7 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 x y 1 2 3 4 5 6 7-1-2-3-4-5-6-7 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 x y Παρατήρηση 1: Για τις συναρτήσεις x f (x) 2 και x 1 g(x) 2        παρατηρούμε ότι για κάθε x  ισχύει : x x x 1 1 g(x) 2 f ( x) 2 2           . Αυτό σημαίνει ότι οι γραφικές παραστάσεις τους είναι συμμετρικές ως προς τον άξονα yý. Παρατήρηση 2 : Η γραφική παράσταση της x y e είναι : O αριθμός e Ισχύει :       v v → + ∞ 1 e = l i m 1 + v Ο αριθμός e με προσέγγιση πέντε δεκαδικών ψηφίων είναι e=2,71828. Ο νόμος της εκθετικής μεταβολής Η εκθετική συνάρτηση 0 ct Q(t) Q e  , με βάση το e, γνωστή ως νόμος της εκθετικής μεταβολής, εκφράζει ένα φυσικό μέγεθος που μεταβάλλεται με το χρόνο t. Το 0Q είναι η αρχική τιμή του Q (για t=0) και είναι 0Q 0 ,ενώ το c είναι μια σταθερά που εξαρτάται κάθε φορά από τη συγκεκριμένη εφαρμογή. Αν c > 0, η συνάρτηση Q είναι γνησίως αύξουσα και εκφράζει το νόμο της εκθετικής αύξησης, ενώ αν c < 0, η Q είναι γνησίως φθίνουσα και εκφράζει το νόμο της εκθετικής απόσβεσης.  Ο χρόνος που χρειάζεται για να διασπασθεί ή να εξαφανισθεί η μισή ποσότητα μιας ραδιενεργού ουσίας λέγεται ημιζωή ή χρόνος υποδιπλασιασμού της ραδιενεργού ουσίας ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ α) Έστω φ(x) μια παράσταση του x και 0 < α  1. Τότε η εξίσωση: (x)    έχει λύση μόνο αν β > 0. Προσπαθώντας να γράψουμε β = αγ , παίρνουμε: αφ(x) = β  αφ(x) = αγ  φ(x) = γ β) Εξισώσεις της μορφής: 2x x 0      λύνονται με την αντικατάσταση αx = y, όπου y πραγματικός. Με την αντικατάσταση αυτή η εξίσωση γίνεται: 2 y y 0      η οποία λύνεται κατά τα γνωστά. γ) Εξισώσεις της μορφής: 2x x 2x 0      , με β = αγ , λύνονται ως εξής:
  • 59.
    ΕΚΘΕΤΙΚΗ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ 14ο ΛύκειοΠεριστερίου [57] Διαιρούμε με γ2x και παίρνουμε: 2x x α α λ μ ν 0 γ γ               και θέτουμε y    όπου y > 0. Τονίζουμε ότι η εμφάνιση δυνάμεων με διαφορετική βάση μαρτυράει και τον τρόπο λύσης της εξίσωσης. δ) Οι λύσεις εξισώσεων της μορφής:    x x 1      αναζητούνται στη λύση των επιμέρους εξισώσεων:  α(x) = 1. Οι τιμές που προκύπτουν είναι δεκτές, αρκεί να ορίζονται τα α(x) και φ(x).  φ(x) = 0. Οι τιμές απαιτούν επαλήθευση στην αρχική εξίσωση. (Αρκεί να είναι α(x)  0.)  α(x) = -1. Οι τιμές απαιτούν επαλήθευση. (Αρκεί ο φ(x) να είναι άρτιος.) ε) Η λύση της εξίσωσης:        x x x x            (δεν είναι εκθετική με την αυστηρή έννοια) ανάγεται στη λύση των εξισώσεων:  α(x) = 1. Οι τιμές που προκύπτουν είναι δεκτές.  α(x) = -1. Οι τιμές απαιτούν επαλήθευση. (Αρκεί οι εκθέτες φ(x) και ω(x) να είναι συγχρόνως άρτιοι ή συγχρόνως περιττοί.)  φ(x) = ω(x). Οι τιμές απαιτούν επαλήθευση στην αρχική εξίσωση. (Να μην προκύψει η μορφή 00 .)  α(x) = 0. Οι τιμές απαιτούν επαλήθευση. (Αρκεί να μην είναι φ(x)  0 ή ω(x)  0.) Σχόλιο Η εξίσωση    φ(x) ω(x) α(x) α(x) είναι ισοδύναμη με την εξίσωση:         ω(x) φ(x) ω(x) ω(x) φ(x) ω(x) α(x) α(x) 1 0 α(x) 0 Þ α(x) 1          οι οποίες λύνονται με τον τρόπο που προηγήθηκε. Παραδείγματα σε όλες τις κατηγορίες ασκήσεων θα παρουσιαστούν στα θέματα που ακολουθούν. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΚΘΕΤΙΚΩΝ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ α) Οι εκθετικές ανισώσεις λύνονται ανάλογα. Επισημαίνουμε ωστόσο ότι: φ(x) ω(x) φ(x) ω(x), αν α 1 α α φ(x) ω(x), αν 0 α 1         Έτσι, η βάση είναι πολύ σημαντική παράμετρος για τον τρόπο λύσης της ανίσωσης. β) Σε ορισμένες περιπτώσεις εισάγουμε βοηθητικό άγνωστο και παραγοντοποιούμε. Η χρήση πίνακα είναι σ’ αυτές τις περιπτώσεις μεγάλης σημασίας. Τονίζουμε ότι παραστάσεις της μορφής αφ(x) + θ, με θ > 0, είναι πάντα θετικές. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΚΘΕΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Τα εκθετικά συστήματα λύνονται:  Με τη βοήθεια των παραπάνω παρατηρήσεων που ισχύουν για τις εξισώσεις.
  • 60.
    ΕΚΘΕΤΙΚΗ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ 14ο ΛύκειοΠεριστερίου [58]  Με εισαγωγή βοηθητικών αγνώστων και μετατροπή τους σε αλγεβρικά συστήματα.  Με πολλαπλασιασμό ή διαίρεση κάποιων εξισώσεών τους ή ακόμα με πρόσθεση ή αφαίρεση. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α΄ ΟΜΑΔΑ 1. Να κάνετε στο ίδιο σύστημα αναφοράς τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: f(x)=5x , και g(x)= x 1 5       . 2. Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων : i) x f (x) 5 1  ii) x 2 g(x) 5   iii) x 2 (x) 5 1    . 3. Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: α)   x 2 f x 3 2   β)   x 1 f x 2 2   γ)   x 2 1 f x 1 2         δ)   x 1 f x e 1   4. Να βρεθούν τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων: ι) f(x)= x 3 x 2x 1       ιι)     x2 g x 3x 5x 2   ιιι) h(x)= x x 1 x       5. Αν x 3 f (x) 2          ,να βρεθούν οι τιμές του α ώστε : i) να ορίζεται η f ii) να είναι γνησίως φθίνουσα iii) να είναι σταθερή στο  . 6. Δίνεται η εκθετική συνάρτηση:     x f x 3   i) Να βρείτε τις τιμές του α. ii) Να βρείτε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της f(x). iii) Να βρείτε την τιμή του α, ώστε η γραφική παράσταση της f να διέρχεται από το σημείο Α(1, 4). Ποια είναι η μονοτονία της f στην περίπτωση αυτή; 7. Να λυθούν οι εξισώσεις: i) 2x 1 x 6 3 5 5 3               ii)   4 2 x 5x 4 3 1 1     iii) x 5 625 iν) 2 x 9x 11 3 27   ν) 2 x 2x x 2 2 8   νi) 2 xx 3 81   νii) x 1 x 2 2x 4 27 3     νiii) 2 x 3x 1 3 9   ix)   2 x3 x 4 1   x) 2 x 4 5x 2 3 3 2              xi) x 1 x 2x 2 27 9   xii)   3x 2 8 4x 18 54 2    8. Να λυθούν οι εξισώσεις: i) 2x+3 -2x+2 +2x+1 =48 ii) x 2 x x 1 x 2 3 5 3 3 3 128       
  • 61.
    ΕΚΘΕΤΙΚΗ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ 14ο ΛύκειοΠεριστερίου [59] iii) x 1 x x 1 x 1 15 21 3 3 0 3 3        iv) x x 1 x 2 x 45 7 3 3 3 3      v) x x 1 2 9 3 135 0     vi) 2 2 x 1 x 5 25 6   vii) x x 3 4 3 3 0   viii) 2x x x 1 e e e e     9. Να λυθούν οι εξισώσεις: i) x 1 x 2 x 4 x 3 7 3 5 3 5        ii) x 1 x x 1 x 3 3 2 3 2      iii) x 4 x 1 x 2 x 3 3 2 2 5 6 5         iv) 5x-2 -3 x 3 x 3 x 2 7 5 2      10. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) x x x 1 8 3 4 3 2 8 0       β) x 1 x4 3 3 1 3     γ) x x 3 2 3 2 5 2 3              11. Να λυθούν οι ανισώσεις: i) 2 x 3x 2 2 1   ii) x 1 2x 4 2 2   iii) 2 x 3 3 81  iv) x x 4 2 8.2 0  ν) x x 1 x x 1 x 2 6 6 2 2 2       12. Να λύσετε τις ανισώσεις i) 2 x 7x 6 4 1   ii) 2 5 x 2x x 21 1 2 4               iii) x x 4 8 6 2   iv) x 1 x 1 x 6 4 10 9     13. Να λύσετε τις ανισώσεις: i)   x x e 3 e 1 0   ii) x x 2 4 0 2 8    14. Να λυθούν τα συστήματα: i) 2x 1 4y 1 x y 2y 1 8 32 2 5 5 25           ii) x 2 y 3 x y 3 4 2 1 3 3 9          iii) x y 3 y x 3 3 2 5 2 3 3          iv) x y 2 x 2 y 4 4 2 32 3 3 27          v) 3x 1 y 1 2x 4 y 1 5 25 1 4 8 8           . Β΄ ΟΜΑΔΑ 15. Δίνεται η συνάρτηση x 3 2a f (x) a 3        . Να βρεθούν οι τιμές του α αν γνωρίζουμε ότι  f x 1 x    . 16. Δίνεται η συνάρτηση   x 1 f x         . Να βρεθούν οι τιμές του α αν γνωρίζουμε ότι  f x 1 x    . 17. Δίνεται η συνάρτηση   x2 λ - λ - 2 f x = . λ + 6       Να βρεθούν οι τιμές του λ, για τις
  • 62.
    ΕΚΘΕΤΙΚΗ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ 14ο ΛύκειοΠεριστερίου [60] οποίες: i) η f(x) είναι σταθερή, ii) η f(x) είναι εκθετική συνάρτηση, iii) η f(x) είναι γνησίως αύξουσα, iv) η f(x) είναι γνησίως φθίνουσα, v) ισχύει f(2) = 81. 18. Δίνεται η εκθετική συνάρτηση:   x 3 λ f x 1 λ         i) Να βρείτε τις τιμές του λ. ii) Για ποιες τιμές του λ η f(x) είναι γνησίως αύξουσα; iii) Να βρείτε τις τιμές του λ, ώστε η f να είναι γνησίως φθίνουσα. iv) Αν λ = 2, να λύσετε την ανίσωση:  2 3 λ f x x 1 1 λ      19. Δίνονται οι συναρτήσεις    x x1 f x e e 2    και    x x1 g x e e 2    .Να δειχθεί ότι η f είναι άρτια, η g περιττή και ότι    2 2 f x g x 1  , για κάθε x . Επίσης να δείξετε ότι: i)          f f f g g        και ii)          g g f g f        20. Να λυθούν οι εξισώσεις: i) x x x 2 4 3 9 5 6     ii) x x x 9 6 2 4   iii) x x x 4 2 14 3 49     21. Να λυθούν οι εξισώσεις: i)   2 x 3x2 x 2x 1    ii)   2 x 2x2 x 5x 6 1     iii) 2 x x 2 x 1   iv)     2 x x 2 x 3 x 3     22. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) x x 2 8 2 6     β) 2 2 3x 2x 3x 2x 4 4 2 9 2      γ) x x x 3 4 2 9 5 6     23. Να λυθούν οι ανισώσεις: i) x x 9 10 3 9 0    ii) x x 2 x 9 3 3 9    iii) x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 2 2 2 5 5         iv) x x x 8 18 2 27 0    24. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f(x)= x x 2 (e 1)(2 4)(x 2x)   25. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ex + x. Να αποδείξετε ότι: i) η f είναι γνησίως αύξουσα στο  , ii) 2 x x 1 x 1 2 e e x 0      , για κάθε x . 26. Να λυθούν τα συστήματα: i) x y 2 x y 2 x y x y 3 4 3 45 2 3 2 4              ii) x x 2 3y 3 2y     iii) x y 3 x y 3 x y y x       iv) x y x y 3 5 4 27 125 604       v) x y x y 3 4 77 3 2 7       vi) x x y x x y 9 5 7 2 457 6 5 14 2 890              .
  • 63.
    ΕΚΘΕΤΙΚΗ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ 14ο ΛύκειοΠεριστερίου [61] 27. Εστω Q(t) η τιμή ενός προϊόντος (σε εκατοντάδες χιλιάδες ευρώ), t έτη μετά την κυκλοφορία του προϊόντος στην αγορά. Η αρχική τιμή του προϊόντος ήταν 300.000 ευρώ, ενώ μετά από 6 μήνες η τιμή του είχε μειωθεί στο μισό της αρχικής του τιμής. Αν είναι γνωστό ότι ισχύει Q(t) = t e  , t  0 όπου α, β ΙR, τότε: i) να δείξετε ότι   t Q t 3 4   , t  0 , ii) να βρείτε σε πόσο χρόνο η τιμή του προϊόντος θα γίνει ίση με 1/16 της αρχικής του τιμής, iii) να βρείτε τον ελάχιστο χρόνο για τον οποίο η τιμή του προϊόντος δεν υπερβαίνει το 1 9 της αρχικής του τιμής. 28. α) Να λύσετε την εξίσωση: x x x x 3 4 2 5 4 3 5 2       β) Δίνονται οι συναρτήσεις   x x f x 3 4 2 5    και   x x g x 4 3 5 2    Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της . 29. Δίνεται η γνησίως αύξουσα στο  συνάρτηση     x3 f x 5     . α) Να βρείτε τις δυνατές τιμές της παραμέτρου λ. β) Να λύσετε την ανίσωση:    x 1 x 3 x 4 x 2 f 7 3 5 f 3 5        . γ) Να βρείτε τη τιμή του λ για την οποία η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο  A 1,19 . δ) Αν 3  , να λύσετε την εξίσωση    f x f x 2   . 30. Δίνονται οι συναρτήσεις    x x1 f x e e 2    και    x x1 g x e e 2    . α) Να αποδείξετε ότι η f είναι άρτια και η g περιττή συνάρτηση. β) Να αποδείξετε ότι    2 2 f x g x 1  για κάθε x  . γ) Να αποδείξετε ότι          g g f g f        , ,  . δ) Να λύσετε την εξίσωση    f x 2g x 1  . 31. Δίνεται η συνάρτηση     x2 f x 4 4     α) Να βρείτε τις τιμές του  για τις οποίες η f είναι γνησίως αύξουσα. β) Να βρείτε το  ώστε η γραφική της παράσταση να διέρχεται από το σημείο  1,9 . γ) Αν  2,3 , να λύσετε την ανίσωση    2 f x f 5x 6  . δ) Αν 4  , να λύσετε την ανίσωση   x x 2f x 3 9 5 6 0     .
  • 64.
    ΕΚΘΕΤΙΚΗ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ 14ο ΛύκειοΠεριστερίου [62] 5.2. ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ Ορισμός: Ο logαθ είναι ο εκθέτης στον οποίο πρέπει να υψώσουμε τον α για να βρούμε το θ. x x log      Από τον παραπάνω ορισμό έχουμε: log 1 0  log 1  x log x  alog     Ιδιότητες: Αν α>0 με α 1 τότε για κάθε θ1, θ2, θ>0 και κ R ισχύει: ι)  1 2 1 2log log log        ιι) 1 1 2 2 log log log         ιιι) log log       Αλλαγή βάσης λογαρίθμου Αν α, β>0 με α,β 1 τότε για κάθε θ>0 ισχύει: logβ θ= a a log log   Δεκαδικοί λογάριθμοι Δεκαδικός λογάριθμος λέγεται αυτός που έχει σαν βάση το 10 και συμβολίζεται log θ. Ισχύει: x log x  10     Φυσικοί λογάριθμοι Λέγονται αυτοί που έχουν σαν βάση τον αριθμό e  2,71… και συμβολίζονται lnθ. Έχουμε: x ln x 10     Ισχύουν όλες οι γνωστές ιδιότητες:(με τους κατάλληλους περιορισμούς ) ln1=0 ln(θ1θ2)=lnθ1+lnθ2 lne=1 ln 1 2   = lnθ1-lnθ2 lnex =x ln ln     elnθ =θ Τα κυριότερα είδη ασκήσεων στην ενότητα αυτή είναι: α) Υπολογιστικά θέματα και απλοποίηση παραστάσεων ΜΕΘΟΔΟΣ
  • 65.
    ΕΚΘΕΤΙΚΗ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ 14ο ΛύκειοΠεριστερίου [63] Για τη λύση των ασκήσεων αυτών εφαρμόζουμε τον ορισμό και τις ιδιότητες των λογαρίθμων. Τονίζουμε ότι πολλές φορές οι ιδιότητες των λογαρίθμων εφαρμόζονται από διαφορετική κατεύθυνση, δηλαδή από το δεύτερο μέλος προς το πρώτο. Έτσι: α α αlog x log y log xy  α α α x log x log y log y   log x log x    όπου x, y > 0, 0 < α  1 και νR. β) Αποδεικτικά θέματα ΜΕΘΟΔΟΣ Για την απόδειξη ταυτοτήτων ή ανισοτήτων στους λογάριθμους χρησιμοποιούμε τις ιδιότητες των λογαρίθμων και τον τύπο αλλαγής βάσης. Συνήθως υπάρχουν περισσότεροι από ένας τρόποι για τη λύση, ανάλογα με τη σειρά εφαρμογής των ιδιοτήτων. Τονίζουμε ότι αν σε ένα θέμα παρουσιάζονται λογάριθμοι με διαφορετικές βάσεις, τότε γράφουμε όλους τους λογάριθμους ως προς μία κοινή βάση, της επιλογής μας. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α΄ΟΜΑΔΑ 1. Να βρεθούν οι αριθμοί: α) 1 2 log 128 β) 3 1 log 81 2. Να υπολογίσετε το x ώστε να αληθεύουν οι ισότητες: i) logx81=-4 ii) logx27= 3 2 iii) logx 1 27 = 3 5  iv) 3 2 log x 4 ν) 1 7 2 log x 3   3. Να αποδείξετε ότι αληθεύουν οι ισότητες: i) log32+2log4-log64=log8 ii) log3+2log4-log12=2log2 iii) log 125 log 27 log 8 3 log15 log 2 2     iν) 2log 5 3 40 105 log log log 0 2 11 77 32     ν) 3log32+ 1 2 log316=5log32 νi) 2+3log52-2log510=log52 4. Να γράψετε υπό μορφή λογαρίθμου ενός αριθμού τις παρακάτω προτάσεις. α) 1 3log 2 log 8  β) log15 log5 5. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: 3 2 12 3 1 1 log 27 log 12 64A log 8 2log 9    6. Να υπολογισθεί η τιμή της παράστασης : 2 3 8 8A log 8 log 27 log 2 log 32    . 7. Να υπολογισθεί η τιμή της παράστασης : 5 1 1 log 8 3 A 25   .
  • 66.
    ΕΚΘΕΤΙΚΗ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ 14ο ΛύκειοΠεριστερίου [64] 8. Να αποδείξετε ότι: α)2log5 + 3log2 – log60 + log3 = 1 β) 3log32 + 2log36 – log34 – log38 = 2 γ) log25 + log4 – log2 – log5 = 1 δ) log5 + 3log2 – log4 = 1 Β΄ ΟΜΑΔΑ 9. Να δείξετε ότι : i) log y log xa a x y x, y 0 0 1   ii) 1 1 ln9 ln 64 ln 4 ln3 2 3    iii) log2 log3 3 2 10. Να δείξετε ότι : α) log x log x log x log x log x         β) log2log9=log4log3 γ) 2 2 2 1 1 1 log 1 log 1 ... log 1 7 2 3 255                         δ) 1 1 log log log           ε) 21 ln log e 1    στ) log 2 log 2 log 2 ... log 2    ζ)      log 1 log 2 ... log 89 0          11. Αν x,y,z * R να εφαρμόσετε όλες τις δυνατές ιδιότητες των λογαρίθμων για να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: i) 3 3 x log 3x 2x        ii) 3 3 x y log 4 x y 12. Να βρείτε τον θετικό αριθμό x ώστε να ισχύει: 3 5 2ν 1 2 log x log x log x log x 2ν      13. Αν 1 x f (x) log 1 x    , δείξτε ότι    f f f 1             . 14. Αν α, β>0 και 2 2 23    , να δείξετε ότι:ln ln 2ln 5            15. Αν για τους διαφορετικούς μεταξύ τους αριθμούς α, β, γ ισχύει: log log log             δείξτε ότι 1       16. Αν x>0, α>β, β 1 , αβ 1 , τότε ισχύει: 1 1 1 log x log x log x     .
  • 67.
    ΕΚΘΕΤΙΚΗ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ 14ο ΛύκειοΠεριστερίου [65] Α f(A) f g(y)=x y=f(x) g 17. Να αποδείξετε τις παρακάτω ισότητες: i) αlogβ =βlogα α, β R ii) a log log 1 log         α, β, γ * R β 1 και αβ 1 . iii)         2 22 2 log a 1 log 1 log a 1 a            iν) 2 3 4 7log 3 log 4 log 5 log 8 3    18. Να βρείτε τις τιμές του θ, ώστε η εξίσωση: 2 2 x – 2(1 log )x 1– log 0     να έχει μία διπλή ρίζα. 19. Για τη συνάρτηση f(x) ισχύει ότι: lnf(x) = αx + β για κάθε xR. Αν f(0) = 3 και 1 3 f 2 2       : i) να βρείτε τα α και β, ii) να αποδείξετε ότι f(x) = 3  4-x . 20. Δίνεται η συνάρτηση   x x x x f x 36 225 3 4 3 25      . α) Να βρείτε το σημείο τομής της με τον άξονα x΄x. β) Να αποδείξετε ότι                 f 0 5 f 0 3 f 0 40 f 0 105 2log log log log 0 f 0 2 f 0 11 f 0 77 f 0 32             5.3. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Αντίστροφη συνάρτηση Έστω μια συνάρτηση f : A   .Αν υποθέσουμε ότι αυτή είναι ‘1-1’ τότε για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών f (A) της f υπάρχει μοναδικό στοιχείο του πεδίου ορισμού της Α για το οποίο ισχύει f (x) y . Επομένως ορίζεται μια συνάρτηση g :f (A)   με την οποία κάθε y f (A) αντιστοιχίζεται στο μοναδικό x A ,για το οποίο ισχύει : f (x) y . Από τον τρόπο που ορίστηκε η g προκύπτει ότι :  Έχει πεδίο ορισμού το σύνολο τιμών f (A) της f  Έχει σύνολο τιμών το πεδίο ορισμού Α της f και  Ισχύει η ισοδυναμία f (x) y g(y) x   Αυτό σημαίνει ότι αν η f αντιστοιχίζει το x στο y τότε η g αντιστοιχίζει το y στο x και αντιστρόφως. Δηλαδή η g είναι η αντίστροφη διαδικασία της f. Για το λόγο αυτό η g λέγεται αντίστροφη συνάρτηση της f και συμβολίζεται με 1 f  .Επομένως έχουμε : 1 f(x) y f (y) x   
  • 68.
    ΕΚΘΕΤΙΚΗ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ 14ο ΛύκειοΠεριστερίου [66]  (0, ) f log y x  x y 1 f y 1 y=2x O 1 x y=log2x y logαx2 logαx1 A(1,0) O 1x 2x x y=logαx, α>1 y y=logαx, 0<α<1 O 1x 2x Α(1,0) x logαx1 logαx2 Παρατήρηση : Οι γραφικές παραστάσεις C και C΄ των συναρτήσεων f και f-1 είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία που διχοτομεί τις γωνίες xOy και ΄ ΄ x y . Λογαριθμική συνάρτηση Η αντίστροφη της εκθετικής συνάρτησης x f(x)   είναι η συνάρτηση g(x) log x , που λέγεται λογαριθμική συνάρτηση ως προς τη βάση α. Παρατήρηση : Επειδή λοιπόν η λογαριθμική συνάρτηση g(x) log x είναι αντίστροφη της εκθετικής συνάρτησης x f(x)   οι γραφικές τους παραστάσεις είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία που διχοτομεί τις γωνίες xOy και ΄ ΄ x y .  Aν α>1, τότε η λογαριθμική συνάρτηση g(x) log x :  Έχει πεδίο ορισμού το διάστημα (0, )  Έχει σύνολο τιμών το σύνολο  των πραγματικών αριθμών  Είναι γνησίως αύξουσα ,που σημαίνει ότι : αν 1 2x x ,τότε 1 2log x log x  , απ’ όπου προκύπτει ότι log x 0,  αν 0<x<1 και log x 0,  αν x>1.  Έχει γραφική παράσταση που τέμνει τον άξονα x´x στο σημείο Α(1,0) και έχει ασύμπτωτο τον ημιάξονα Oy΄.  Αν 0<α<1 τότε η λογαριθμική συνάρτηση g(x) log x :  Έχει πεδίο ορισμού το διάστημα (0, )  Έχει σύνολο τιμών το σύνολο  των πραγματικών αριθμών.  Είναι γνησίως φθίνουσα ,που σημαίνει ότι : αν 1 2x x , τότε 1 2log x log x  , απ’  όπου προκύπτει ότι log x 0,  αν 0<x<1 και log x 0,  αν x>1.  Έχει γραφική παράσταση που τέμνει τον άξονα x´x στο σημείο Α(1,0) και έχει ασύμπτωτο τον ημιάξονα Oy. Η λογαριθμική συνάρτηση ως αντίστροφη της εκθετικής συνάρτησης είναι συνάρτηση 1-1 δηλαδή αν 1 2log x log x  ,τότε 1 2x x
  • 69.
    ΕΚΘΕΤΙΚΗ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ 14ο ΛύκειοΠεριστερίου [67] ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Α. Έστω μια συνάρτηση f με τύπο της μορφής: f(x) = lnφ(x) (ή της μορφής f(x) = logφ(x)) Τότε: α) Για να βρούμε το πεδίο ορισμού Α της f(x) λύνουμε την ανίσωση φ(x) > 0. β) Για να βρούμε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης Cf με τον άξονα x´x λύνουμε την εξίσωση f(x) = 0. Ας προσέξουμε ότι f(x) = 0  φ(x) = 1. γ) Για να βρούμε τα διαστήματα, στα οποία η Cf βρίσκεται πάνω (αντίστοιχα κάτω) από τον άξονα x´x, λύνουμε την ανίσωση f(x) > 0 (f(x) < 0 αντίστοιχα). Ας παρατηρήσουμε ότι: f(x) > 0  lnφ(x) > 0  φ(x) > 1 και f(x) < 0  lnφ(x) < 0  0 < φ(x) < 1 Τα ίδια συμπεράσματα ισχύουν και για τη συνάρτηση g(x) = logφ(x). Β. Ακριβώς όμοια εργαζόμαστε και στην περίπτωση που f(x) = logφ(x). Αξίζει να τονίσουμε τον τρόπο λύσης δύο βασικών εξισώσεων: α)  ω(x) φ(x) 10 logφ(x) ω(x) φ(x) 0        ω(x) φ(x) e lnφ(x) ω(x) φ(x) 0       β)  φ(x) φ(x) logω(x) 10 ω(x) ω(x) 0       φ(x) φ(x) lnω(x) e ω(x) ω(x) 0      ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η πρώτη και σημαντικότερη ενέργεια σε κάθε λογαριθμική εξίσωση είναι να θέσου- με τους απαραίτητους περιορισμούς. Πιο συγκεκριμένα, για κάθε όρο της μορφής logαΑ(x) απαιτούμε Α(x) > 0. Οι σημαντικότερες μέθοδοι – τεχνικές για την επίλυση λογαριθμικών εξισώσεων συνίστανται στις παρακάτω ενέργειες: α) Χρησιμοποιούμε τον ορισμό του λογαρίθμου. β) Προσπαθούμε με αντίστροφη εφαρμογή των ιδιοτήτων των λογαρίθμων να απαλλάξουμε την εξίσωση από τους λογάριθμους. γ) Βασιζόμαστε στην ιδιότητα αlog θ α θ , θ > 0. δ) Παίρνουμε λογαρίθμους και στα δύο μέλη της εξίσωσης. Αυτό συνήθως το επιχειρούμε όταν οι όροι της εξίσωσης είναι γινόμενα, πηλίκα και δυνάμεις. ε) Χρησιμοποιούμε αλλαγή μεταβλητής. Δημιουργούμε δηλαδή, πιθανόν ύστερα από εφαρμογή κάποιων ιδιοτήτων, έναν όρο, του οποίου συνάρτηση είναι και τα δύο μέλη της εξίσωσης. Τον όρο αυτό θέτουμε y και καταλήγουμε σε αλγεβρική εξίσωση. Η μέθοδος αυτή λέγεται και “αλγεβρική μέθοδος”. στ) Κάνουμε αλλαγή βάσης. Αν λοιπόν οι παρουσιαζόμενες (διαφορετικές) βάσεις δεν επιτρέπουν την απλοποίηση της εξίσωσης, τότε εκφράζουμε όλους τους λογαρίθμους ως προς κάποια κατάλληλη βάση (πιθανόν και ως κάποια βάση που ήδη παρουσιάζεται στην άσκηση). ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΩΝ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ α) Για τη λύση λογαριθμικών ανισώσεων ακολουθούμε σε βασικές γραμμές την πορεία λύσης που γνωρίσαμε στις λογαριθμικές εξισώσεις. Η πρώτη σημαντική διαφορά είναι ότι:  δεν απαλείφουμε τους παρονομαστές, αν αυτοί περιέχουν τη μεταβλητή, πριν μελετήσουμε το πρόσημό τους,  δεν πολλαπλασιάζουμε, ούτε διαιρούμε με μεταβλητές ποσότητες, αν δεν
  • 70.
    ΕΚΘΕΤΙΚΗ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ 14ο ΛύκειοΠεριστερίου [68] βεβαιωθούμε πρώτα για το πρόσημό τους. β) Οι βασικότερες μορφές λογαριθμικών ανισώσεων είναι ίδιες με αυτές που προ- κύπτουν από λογαριθμικές εξισώσεις αντικαθιστώντας το σύμβολο (=) της ισότητας με τα ανισοτικά σύμβολα (<) και (>) ή (), (). Πριν περάσουμε στα βασικά θέματα, υπενθυμίζουμε ότι για τη λύση ανισώσεων της μορφής logαφ(x) > 0 (< 0) διακρίνουμε περιπτώσεις: i. αν α > 1, τότε: logαφ(x) > 0  φ(x) > 1 logαφ(x) < 0  0 < φ(x) < 1 ii. αν 0 < α < 1, τότε: logαφ(x) > 0  0 < φ(x) < 1 logαφ(x) < 0  φ(x) > 1 Με τη βοήθεια των παραπάνω σχέσεων οι λογαριθμικές ανισώσεις οδηγούνται σε αλγεβρικές ανισώσεις. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Για την επίλυση λογαριθμικών συστημάτων εφαρμόζουμε τα παρακάτω:  Θέτουμε τους απαραίτητους περιορισμούς για τους αγνώστους του συστήματος. Προσπαθούμε να μετατρέψουμε το σύστημα σε αλγεβρικό, απαλλάσσοντας την κάθε εξίσωση του συστήματος από τους λογαρίθμους. Λογαριθμίζουμε ενδεχομένως τη μία εξίσωση (αν περιέχει γινόμενα και δυνάμεις) και εισάγουμε νέες μεταβλητές. Αυτό σημαίνει ότι θέτουμε για παράδειγμα logx = φ και logy = ω, οπότε το σύστημα μετατρέπεται σε αλγεβρικό. Πολλαπλασιάζουμε ή διαιρούμε ανάλογα (όλες ή ορισμένες από) τις εξισώσεις του συστήματος, ώστε να προκύψουν απλούστερες εξισώσεις. Εφαρμόζουμε οποιοδήποτε αλγεβρικό τέχνασμα, το οποίο οδηγεί σε απλούστερες εξισώσεις. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α΄ ΟΜΑΔΑ 1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: ι) x x 1 f (x) log 2 x    ιι) 2 3 x f (x) log 3 x        ιιι) 2 2 log(x 8x 15) f (x) 16 x     ιν) 2 x 1 f (x) log 2 x    2. Να συγκριθούν μεταξύ τους οι αριθμοί: i) log53 και log5 1 3 ii) log 1 2 7 και log 1 2 11 3. Στο ίδιο σύστημα αξόνων να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις f(x) log x, g(x) log x 2  και h(x) log (x 1)  . 4. Να λυθούν οι εξισώσεις: i) log(x – 2)2 = 2log4 ii) log(x-6)+log(x-7)=1-log5
  • 71.
    ΕΚΘΕΤΙΚΗ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ 14ο ΛύκειοΠεριστερίου [69] iii) log(x-9)+2log 2x 1 2  iν) 2logx-log4=log(x-1)-log3 ν) log(35-x3 )=3log(5-x) νi) 2log(2x-1)-log(3x-2x2 )=log(4x-3)-logx νii) log(2x-5)+log(3x+7)=4log2 νiii) 3 21 ln(x 1) ln(x 2x 1) ln3 2      5. Να λυθούν οι εξισώσεις: i) x+log(1+2x )=xlog5+log6 ii) log(4x-2 +9)-log(2x-2 +1)=1-log2 iii)  logx 1 log 21 42 log 4 log 21 log x log76      6. Να λυθούν οι εξισώσεις: i) 1 1 log(3x 1) log(8x 2) log(4x 1) 2 2      ii) 1 log(x 1) log x log 2 3    iii)    2 log 2x 5 0,5 log x 8    7. Να λυθούν οι εξισώσεις: i) 3 log x 2 log x 5 3 log x 2 log x       ii) log x 3 log x 2 9 log x log x 3 2      iii) log(x 1) 2log 2 1 log 2 log(x 1)     iν) 2logx +25-logx =12 v) log x log x log x  vi) 3 2 2 (log x ) 2log x 5 0   . 8. Να λυθούν οι ανισώσεις: i) log(2x-3)>log(24-6x) ii) ln(2x-1)>ln(3-x) iii) log(4-x2 )<log(-3x) 9. Να λυθούν οι ανισώσεις: i) log(x2 – 5x + 7) < 0 ii) 2 log log(x 7x 22) 0     10. Να λυθούν τα συστήματα: i) x y 65 log x log y 3      ii) 3 log x log y 2 1 log x log y 2         iii) 2 2 log x log y 10 log x log y 2       Β΄ΟΜΑΔΑ 11. Δίνεται η     2 f(x) ln 1 x 2 3 x           . Να βρείτε το λ ώστε η f να ορίζεται για κάθε x R . 12. Η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα με θετικές τιμές. Να τοποθετήσετε το κατάλληλο ανισωτικό σύμβολο στα κενά: i) 1/2 1/2log f (3)...log f (5) ii) logf (1)...logf (0) iii)  2 ln f (e)...ln f e iv) 1/3 1/3log f (1)...log f (0) 13. Να χαράξετε τη γραφική παράσταση των συναρτήσεων και να βρείτε τη μονοτονία και το σύνολο τιμών τους.
  • 72.
    ΕΚΘΕΤΙΚΗ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ 14ο ΛύκειοΠεριστερίου [70] i) f(x) = log(x – 1) ii) f(x) = log|x – 2| iii) f(x) = ln|x| - 1 iv) f(x) = ln(1 – 2x + x2 ) 14. Να λυθούν οι εξισώσεις: i)  2 log log 2x x 11 0     ii) x x ln(9 3 5) 0   15. Να λυθούν οι εξισώσεις: i) 2 logx x 1 10 x   ii) logx 21 x x x 10  iii) log x x 100 iν) (100x)log(100x)-2 =1000 ν) log2 log x (4x) 100  vi) 22x = 3x+1 vii) 102logx-3 = x 16. i) Να αποδείξετε ότι: 5 5log 2 log x x 2 αν 0 < x  1 ii) Να λύσετε την εξίσωση 5 5log 2 log x 3x 2 64  iii) Να αποδείξετε ότι ισχύει γενικά β βlog γ log α α γ με (0 < α,β,γ  1) 17. Να λυθούν οι ανισώσεις: i) log(x2 +9)>1+logx ii) 2 ln(x 1) 1 ln(x 1)    iii) log2 x – 11  logx + 10  0 iν) (logx)2 –5logx + 4  0 18. Να λυθούν οι ανισώσεις: i) 2 log(x 15x) 2 4  ii) x ln(5.2 6) 2x ln 2  iii) xlogx >10 19. Να λυθούν τα συστήματα: i) log y x 1000 log(xy) 4     ii) log x log y 2 log(x y) 2log5      iii) 2 2 x y 425 log x log y 2       iν)  2 2 log x y 1 log13 log(x y) log(x y) 3log 2          v) logx log y logx log y 2 3 1 4 9 25       vi) x y 5 2 1 x log5 ylog 2 log 20       20. Δίνονται οι συναρτήσεις      2 f x log x 1 log x 2x    και    g x 1 log x 1   . α) Να βρείτε το πεδίο των συναρτήσεων f,g. β) Να βρείτε τη τετμημένη του σημείου τομής των γραφικών τους παραστάσεων. γ) Να λύσετε τις εξισώσεις: i.  f x 0 και ii.  g x 0 . δ) Να αποδείξετε ότι:    f 4 3g 1 4 log30   . 21. Δίνεται η συνάρτηση         4 2 f x log x 8 log x log 100x ,x 0     ,
  • 73.
    ΕΚΘΕΤΙΚΗ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ 14ο ΛύκειοΠεριστερίου [71] α) Να βρείτε τη τιμή του α για την οποία η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο  M 10,25 . β) Αν α = 1, τότε: i. να αποδείξετε ότι η f παίρνει τη μορφή:     22 f x log x 4log x  ii. να λύσετε την εξίσωση  f x 0 . 22. Δίνεται η συνάρτηση   2 f x log x . α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. β) Να αποδείξετε ότι η f είναι άρτια. γ) Να κάνετε τη γραφική της παράσταση. δ) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης    g x f x 2  με την ευθεία y 2log 4 . 23. Δίνεται η συνάρτηση       log 3x 14 f x log x 4    . α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. β) Να βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της f τέμνει την ευθεία y 2 . γ) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από την ευθεία y 1 . 24. Δίνεται η συνάρτηση    f x ln x 2  . α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. β) Να απαλλάξετε τον τύπο της f από την απόλυτη τιμή. γ) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία. δ) Να λύσετε την εξίσωση    2 ln x 2 f x 2 0    . 25. Δίνεται η συνάρτηση    f x log log x 4  . α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. β) Να βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα x΄x. γ) Να βρείτε τις ακέραιες τιμές του x για τις οποίες  f x 0 . 26. Δίνεται η συνάρτηση     f x log log x 1  . α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα χ΄χ. γ) Να λύσετε την ανίσωση    f x 7 f x 1 log 2    . δ) Να αποδείξετε ότι      3f 101 2f 1001 f 10001 log18   27. Δίνεται η συνάρτηση   x 1 f x ln x 1 x        α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. β) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι περιττή. γ) Να διατάξετε σε αύξουσα σειρά τους αριθμούς   1 1 f , f , f 0 2 2             .
  • 74.
    ΕΚΘΕΤΙΚΗ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ 14ο ΛύκειοΠεριστερίου [72] δ) Να λύσετε την εξίσωση:    f x f x 1 1 2x 0     . ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΚΘΕΤΙΚΗΣ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗΣ 1. Εστω η συνάρτηση    f x 2ln x 1 1   i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. ii) Να κάνετε τον πίνακα προσήμου της f. iii) Να βρείτε τα διαστήματα του x που η Cf είναι κάτω από τον άξονα x’x. 2. Εστω η συνάρτηση    x f x ln 2 5  i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. ii) Tα σημεία τομής της Cf με τους άξονες. iii) Να βρείτε τα διαστήματα του x που η Cf είναι πάνω από τον άξονα x’x. 3. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ln(3 – x) – ln(3 + x). i) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού Α της f(x). ii) Να αποδειχθεί ότι η f(x) είναι γνησίως φθίνουσα. iii) Να βρεθούν οι αριθμοί x, για τους οποίους f(x) = -ln2. 4. Δίνεται η συνάρτηση 2- x f(x) = ln 2 + x . i) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f(x). ii) Να βρεθούν τα κοινά σημεία της Cf με τον άξονα x´x, όπου Cf είναι η γραφική παράσταση της f(x). iii) Να αποδειχθεί ότι η f(x) είναι περιττή συνάρτηση. iν) Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η Cf είναι πάνω από τον άξονα x´x. ν) Πού τέμνει η Cf την ευθεία (ε) : y = ln3 ; 5. Δίνεται η συνάρτηση:   x x x 1 4 2 f x ln 2 4    i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x). ii) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = -2ln2. iii) Να λύσετε την ανίσωση f(x) < 0. iν) Να αποδείξετε ότι: x x 2 1 f (x) (x 1)ln 2 ln 2 2      6. Δίνεται η συνάρτηση 2x x e 1 f(x) ln e 5 -       . i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f(x). ii) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 2ln2 . iii) Να λύσετε την ανίσωση f(x) > 0. 7. Δίνεται η συνάρτηση  f x 1 x ln x,x 0    i) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα. ii) Αν 0 x 1  να δείξετε ότι  f x 0 .
  • 75.
    ΕΚΘΕΤΙΚΗ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ 14ο ΛύκειοΠεριστερίου [73] iii) Να λύσετε την ανίσωση  x 2x 5 f e 1 e x    iv) Να δείξετε ότι για κάθε 0, 2       ισχύει ότι e ln         . 8. Δίνονται οι συναρτήσεις    x f x ln e 1  και    1 x g x ln 2e 2   . i) Να βρείτε το πεδίο των συναρτήσεων f,g. ii) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των f,g έχουν ένα μόνο κοινό σημείο. iii) Να λύσετε την ανίσωση    f 2x g x 1   . iv) Να αποδείξετε ότι    g 1 x f x ln 2   . 9. Δίνεται η συνάρτηση    2 f x log 2x 4x 4 2log x    . i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. ii) Να βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της f τέμνει τους άξονες. iii) Να λύσετε την εξίσωση          2x 1 f 1 xf 1 f 1 10 5 10 10 f 2     iv) Να αποδείξετε ότι  f 1 logx x 2 και να λύσετε την εξίσωση  2f 1 logx x 2 2  10. Να Δίνονται οι συναρτήσεις    2x x f x ln e 2e 3   και    x g x ln3 ln e 1   . i) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των f και g. ii) Να λύσετε την εξίσωση    f x g x iii) Να λύσετε την ανίσωση    f x 2g x . iv) Να αποδείξετε ότι η g είναι 1 1 . v) Να λύσετε την εξίσωση      g x g 1 f 0  11. i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης   2x x 1 1 f x 2 3 1 5 5                ii) Δίνεται η συνάρτηση   x g x 5 . Να λύσετε την εξίσωση :          50 125 5 1 g x g x 1 g x 2 ..... g x 49 4          12. Δίνεται η    2x x f x ln e – e i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. ii) Να αποδείξετε ότι    x f x x ln e –1  iii) Να λύσετε την εξίσωση  f x x iv)Να λύσετε την ανίσωση  f x x 2ln 2  v) Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1 και να λύσετε την εξίσωση    2x 1 x 2x 1 e x e e ln e –1 e ln e –1      13. Δίνεται η συνάρτηση    2x x f x ln e 6e 8   . i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της ii) Να λύσετε την ανίσωση  f x ln3
  • 76.
    ΕΚΘΕΤΙΚΗ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ 14ο ΛύκειοΠεριστερίου [74] iii) Να λύσετε την εξίσωση  f x x ln3  14. Δίνεται η συνάρτηση    f x log x 4 3   . i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. ii) Τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της f τέμνει τους άξονες. iii) Τη τιμή του k  για την οποία το σημείο  k, 2 ανήκει στη γραφική παράσταση της f. iv) Να λύσετε την εξίσωση    x 3 x x x 3 f 3 2 f 23 3 2      15. Δίνεται η συνάρτηση   ln x 1 f x ln x 1    . i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. ii) Να βρείτε τις τιμές του χ για τις οποίες η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ΄χ. iii) Να αποδείξετε ότι   1 f x f x        για κάθε   1 1 x 0, ,e e, e e                . iv) Να λύσετε την εξίσωση   1 f x 1 1 f x         16. Δίνεται η συνάρτηση   x 4 f x 2          για την οποία ισχύει ότι 6 7 f f 7 6             . α) Να βρείτε τις τιμές του  . β) Έστω 0  . i. Να λύσετε την εξίσωση      f x 1 f x 2 f x 3 48      ii. Να αποδείξετε ότι      log2 2f log x log f x iii. Να λύσετε την ανίσωση logx log2 2 x 16  17. Δίνεται η συνάρτηση  f x log x . i. Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων  y f x , y x και x y 10 . ii. Να συγκρίνεται τους αριθμούς  f 12 και 2. iii. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης     1 g x f x  . iv. Να αποδείξετε ότι      3f 2 f 5 f 4 1   . v. Να λύσετε την ανίσωση    x x f 2 4 f 5 2 10 2 10     .
  • 77.
    ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ [75] ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 1. Δίνεται το σύστημα:       x y 1 2 3 x 2 y 8                              , , 0, 2        . α) Να αποδείξετε ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση, την οποία και να βρείτε. β) Να βρείτε τα ,  για τα οποία το ζεύγος  4, 2 είναι λύση του συστήματος. 2. Δίνεται το σύστημα  k 1 x 2y k 1 kx ky 1        ,όπου k πραγματικός αριθμός α) Να βρείτε το k ώστε το σύστημα να έχει μοναδική λύση. β) Να βρείτε τη μοναδική λύση  0 0x , y για τις παραπάνω τιμές του k. γ) Αν k 1 , i. να λύσετε την εξίσωση 2 0 0y x 0      . ii. να λύσετε την ανίσωση 0 0x t t yt 3 t 4 021 3 x 5 3 5        3. Έστω x yD, D , D οι ορίζουσες ενός συστήματος 2χ2 που έχει μοναδική λύση. Αν x yD D 4D  και x yD D 2D  , να αποδείξετε ότι : α) το σύστημα έχει μοναδική λύση    0 0x , y 3, 1  . β) υπάρχει  για το οποίο ισχύει: 0 0x y 5    , 0x 5   . γ)  0 0 0log32 log x y x log 2 0    . 4. Δίνεται το πολυώνυμο   3 2 f x 2x 5x x , ,        , το οποίο έχει παράγοντα το   2 x 1 . α) Χωρίς να υπολογίσετε τα α,β, να αποδείξετε ότι 3    . β) Να αποδείξετε ότι 4  και 1   . γ) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ΄χ. δ) Να λύσετε την εξίσωση 3 2 2 x 5 x 4 x 1      ε) Δίνεται το σύστημα     x f 0 y 2 x y 2 f 1          . i. Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες το σύστημα έχει μοναδική λύση  0 0x , y . ii. Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες υπάρχει  για το οποίο ισχύει: 0x  και 0y  . 5. Δίνεται η συνάρτηση  f x 2 2x 1   , x  . α) Να βρείτε τη περίοδο την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της και να σχεδιάσετε τη γραφική της παράσταση σε διάστημα μιας περιόδου. β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες.
  • 78.
    ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ [76] γ) Να λύσετε την εξίσωση  f x f x 4        στο διάστημα  0, . δ) Να αποδείξετε ότι 5 f log 2 log f 3log f log128 4 12 12                                 . ε) Να βρείτε τα ,  για τα οποία το πολυώνυμο   3 2 P x x 6x x     έχει παράγοντες τα x f 4            και x f 12            6. Δίνεται η συνάρτηση   2 2 2 2x 1 f x 2 x 1      . α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. β) Να λύσετε την εξίσωση  f x 0 . γ) Να λύσετε την εξίσωση log x f log x f log3 6 6                           7. Δίνεται το πολυώνυμο: P(x) = x4 + (β – α)x3 – (α + β)x2 - (2β + α)x – β, όπου α, βR i) Να προσδιορίσετε τα α, βR, ώστε το πολυώνυμο P(x) να διαιρείται με τη μεγαλύτερη δύναμη του x + 1. ii)Για τις τιμές των α και β που βρήκατε στο ερώτημα (α) να λύσετε την ανίσωση P(x) < 0. 8. Δίνεται το πολυώνυμο   3 2 2 P x 4x 3 x x 2, , 2               . α) Να βρείτε το ω για το οποίο το υπόλοιπο της διαίρεσης του  P x με το x   να είναι ίσο με 2. β) Να λύσετε την εξίσωση     2 P x 2  για 3 4    . γ) Να λύσετε την εξίσωση  6 2P 1 11 0   . 9. Δίνεται το πολυώνυμο   3 2 P x 2x 7x x     το οποίο έχει παράγοντα το x 1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης του με το x 1 είναι 18 . α) Να αποδείξετε ότι 7  και 2   . β) Να λύσετε την εξίσωση 3 2 2 2x 7 2x 7 2x 2 0       . γ) Να λύσετε την ανίσωση x x x 2 8 7 4 7 2 2 0       . 10. Δίνεται το πολυώνυμο f(x), όπου 1 λ 4 2λ 1 3 2 λ2 f(x) x 5 x 2 3 x 25 x 1,         λR. i) Αν x – 1 είναι παράγοντας του f(x), τότε να βρείτε το λ. ii) Για 1 λ 2  : α) Να αποδείξετε ότι το (x – 1)2 είναι παράγοντας του: 1 λ 4 2λ 1 3 2 λ2 f(x) x 5 x 2 3 x 25 x 1         β) Να βρείτε τα διαστήματα, στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης: 1 λ 4 2λ 1 3 2 λ2 f(x) x 5 x 2 3 x 25 x 1         βρίσκεται πάνω από τον άξονα x´x.
  • 79.
    ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ [77] 11. Δίνεται το πολυώνυμο   4 3 2 P x x x 2x x , ,          και η συνάρτηση    f x log P x .Αν το  P x έχει παράγοντα το   2 x 1 , τότε: α) Να αποδείξετε ότι 2   και 1  . β) Να λύσετε την εξίσωση  P 2 x 0  . γ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. δ) Να αποδείξετε ότι      f 7 f 2 f 3 log9   . 12. Δίνεται η συνάρτηση 3 x f (x) ln . 3 x        i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. ii) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι περιττή. iii) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(0) και 1 f . 3       iv) Να λύσετε την εξίσωση f(x) + f(x + 1) = 0. 13. Δίνονται οι συναρτήσεις    2x x f x ln e 2e 3   και    x g x ln3 ln e 1   . i) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των f(x) και g(x). ii) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = g(x). iii) Να λύσετε την ανίσωση f(x) > 2g(x). 14. Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = x3 – 7x – 6. i) Να βρείτε τις ρίζες του P(x). ii)Να λύσετε την ανίσωση P(x) > 0. iii) Να λύσετε την εξίσωση 3logx logx 10 – 7 10 – 6 0  . 15. Δίνεται η συνάρτηση x+1 x+2 x x 2 + 2 - 24 f(x) = ln . 4 -6 2 +8 i) Να λύσετε την εξίσωση 2 x+1 + 2 x+2 = 24. ii) Να λύσετε την εξίσωση 4 x – 6  2 x + 8 = 0. iii) Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης f(x). iv) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0. 16. Δίνεται η συνάρτηση    f x log log x 3  . i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτηση f. ii) Για ποιες τιμές του x η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέμνει τον άξονα x’x. iii) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη. iv) Να λύσετε την ανίσωση  f x 0 . 17. Δίνεται η εκθετική συνάρτηση     x f x 3   . i) Να βρείτε τις τιμές του α. ii) Να βρείτε τις τιμές του α ώστε η f να είναι γνησίως φθίνουσα. iii) Αν 3 4   ,τότε να λύσετε την εξίσωση  2 f x 5x 7 3     . 18. Δίνεται η συνάρτηση:  f x 2log(12 – x) – log(x 8) 1   i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της f. ii)Να αποδείξετε ότι f(0) = log9 – log5.
  • 80.
    ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ [78] iii)Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης Cf της f(x) με τον άξονα x´x. iv)Να βρείτε τα διαστήματα, στα οποία η Cf βρίσκεται κάτω από τον άξονα x´x. 19. Δίνονται οι συναρτήσεις: f(x) = ex – e και g(x) = e1-x - 1 i) Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των f και g. ii) Να βρείτε τις τιμές του xR για τις οποίες η γραφική παράσταση της f βρίσκεται κάτω από τη γραφική παράσταση της g. iii) Να κάνετε τις γραφικές παραστάσεις των f και g. 20. Δίνεται η συνάρτηση       x f x 2 , 0,2    . Να βρείτε τις τιμές του ω για τις οποίες η f είναι: α) σταθερή στο  β) γνησίως αύξουσα γ) γνησίως φθίνουσα δ) Να λύσετε την εξίσωση    f 2 f 1 6  . 21. Ένας πληθυσμός από 210 βακτήρια αρχίζει από κάποια στιγμή και μετά να διπλασιάζεται ανά είκοσι λεπτά. i) Πόσος θα είναι ο πληθυσμός των βακτηρίων μετά από 10 ώρες; ii) Με το πέρας της 10ης ώρας ρίχνουμε ένα φάρμακο, το οποίο έχει ως αποτέλεσμα να χάνονται κάθε 8 λεπτά 235 βακτήρια. α.Πόσα βακτήρια θα υπάρχουν 80 λεπτά μετά την εισαγωγή του φαρμάκου; β.Σε πόσα λεπτά θα έχουν πεθάνει όλα τα βακτήρια; 22. Δίνεται η εξίσωση   2 3 5 1 x x 3 3 x 1 1 8 , x 0,2 4         . α) Να αποδείξετε ότι η μεγαλύτερη ρίζα της προηγούμενης εξίσωσης είναι η 4 3    . β) Να υπολογίσετε τη τιμή της παράστασης 3 4 1 3 log 3 ln2 4 3 2 6 27 A log e 4                            23. Δίνεται η συνάρτηση 1 x f (x) (3 ) , x   και 1   . Α. Αν το σημείο Μ(1,3) ανήκει στην γραφική παράσταση της f , να βρείτε το α. Β. Για α=0 να λύσετε τις εξισώσεις: α. f (x) f (2x) 2  β. f (2 x) 3  24. Δίνεται η συνάρτηση ln x f (x) 1 ln x   Α. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης . Β. Να λύσετε την εξίσωση f (x) 1 . Γ. Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον άξονα x 'x . 25. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο x x 2 f (x) ln e 3 e         . Α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. Β. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f παίρνει την μορφή :    x x f (x) ln e 1 e 2 x       Γ. Να βρείτε τα σημεία για τα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από την γραφική παράσταση της g(x)=x.
  • 81.
    ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ [79] Δ. Να λύσετε την εξίσωση f(x)+g(x)=  2 ln 2 3 . 26. Δίνεται η συνάρτηση   x f x ln(4 8) x ln 2   α. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της β. Να λυθεί η εξίσωση  f x ln 7 γ. Να λυθεί η ανίσωση  f x ln 7 27. Δίνεται η συνάρτηση   x 1 f x 1 e        . Α) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνήσια φθίνουσα στο R Β) Να λύσετε την εξίσωση     1 x f 1 f 0 4 e           Γ) Να λύσετε την εξίσωση    x f 0 0   στο διάστημα 3 , 2 2        28. Δίνεται η συνάρτηση     2 2 log x f x log x  Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της Β) Να λύσετε την εξίσωση   1 f x 2  Γ) Να λύσετε την ανίσωση   1 1 f x  29. Δίνεται η συνάρτηση   2x x e 1 f x ln e 5        . α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. β) Να λύσετε την εξίσωση  f x 2ln 2 . γ) Να λύσετε την ανίσωση  f x 0 . δ) Έστω η συνάρτηση      f xx g x e 5 e  . i. Να αποδείξετε ότι η g είναι 1-1. ii. Να λύσετε την εξίσωση    g x x g x   30. Δίνεται η συνάρτηση     2 f x log x log x  . α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα χ΄χ. γ) Να λύσετε την εξίσωση  f x 0  . δ) Αν για τους θετικούς αριθμούς α,β με    ισχύει ότι    f f   , να αποδείξετε ότι 10.000  . 31. Δίνεται η συνάρτηση  f x ln x k 3         . α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. β) Αν e f ln ln 6 2         , να βρείτε το k. γ) Αν k 1 , τότε:
  • 82.
    ΑΛΓΕΒΡΑ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ [80] i. να λύσετε στο διάστημα 0, 2       την εξίσωση:    ln x f 2ln 2 f ln3 6            . ii. να λύσετε την εξίσωση        f x 1 f x 1 e e      . 32. Δίνεται το πολυώνυμο   3 2 P x x x x 4     , ,  .Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του  P x με το  2 x x είναι 2x 4 τότε : α) Να αποδείξετε ότι 2  και 1   . β) Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του  P x με το x 1 γ) Nα λύσετε την ανίσωση  x 2x P 10 10 5    . δ) Να λύσετε την εξίσωση     1 3 log x P 1 log x log 2 P 0         33. Θεωρούμε το πολυώνυμο   3 P x x x 2 4 , ,          α) Αν έχει παράγοντα το   2 x 1 , να βρείτε τα  και  . Αν 3  και 1  , τότε: β) να λύσετε την ανίσωση  P x 0 γ) να λύσετε την εξίσωση  P x 0  δ) να αποδείξετε ότι     1 2 log 3P 2 2P 0 2 10 25    34. Δίνεται η συνάρτηση    f x log log x . α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. β) Να λύσετε την ανίσωση  f x 1 . γ) Θεωρούμε τη συνάρτηση     x g x f    για την οποία γνωρίζουμε ότι είναι γνησίως φθίνουσα στο  . i. Να βρείτε τις δυνατές τιμές του λ. ii. Να λύσετε την ανίσωση    3 g x 4x g x 4   35. Δίνεται η συνάρτηση    x f x x ln e 3   . α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα. γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς  f 1821 και  f 2015 . δ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f και της ευθείας y ln10 . ε) Να λύσετε την εξίσωση     2 2 x 3 4 x ln e 3 1 ln e 3       