Algebra lineare

ALGEBRA LINEARE VETTORI: definizioni, proprietà e operazioni

Vettori: definizioni e proprietà Si chiama vettore una n-pla ordinata di numeri reali, che si indica con: dove i sono le componenti del vettore L’insieme di tutti i vettori con n componenti reali si indica con , dato dal prodotto cartesiano di considerato n volte, cioè si ha: Lo stesso vettore (che prende il nome di vettore colonna) può essere rappresentato nel modo seguente: Si parla allora di vettore trasposto di x (o vettore riga).

I numeri possono essere visti come un tipo particolare di vettori, con una sola componente e rappresentati su di una retta, che costituisce quindi l’immagine geometrica dell’insieme . In modo analogo, i vettori a due componenti (coppie di numeri reali) possono essere rappresentati su un piano, che costituisce quindi l’immagine geometrica di . x 1 x 2 0 x 0 x

I vettori a tre componenti (cioè le terne di numeri reali) possono essere rappresentati nello spazio tridimensionale, che costituisce quindi l’immagine geometrica di . Per non è possibile una rappresentazione di tipo geometrico. x 2 x 1 x 3 0 x

Tra i vettori di assumono particolare importanza i cosiddetti vettori fondamentali (o versori), denotati con . Il generico vettore fondamentale ha tutte le componenti nulle tranne la i -esima, che è uguale a 1, si ha cioè: Ad esempio, in i vettori fondamentali sono:

Proprietà Due vettori con lo stesso numero di componenti sono uguali quando le componenti di posto uguale coincidono , cioè: Dati: allora Ad esempio, i vettori: Sono uguali, mentre i vettori: Non lo sono (in quanto nei vettori è importante l’ordine delle componenti ).

Proprietà Ad esempio i vettori: si ha x<y , mentre considerando i vettori: si ha x>y , se però si considerano i vettori In questo caso x e y non sono tra loro confrontabili. Tra i vettori è possibile introdurre un ordinamento (parziale), per cui si ha: Dati: allora (In modo analogo si introducono le relazioni di ). L’ordinamento è parziale perché (a differenza di quanto accade con i numeri) dati non è necessariamente vero che x>y (eventualmente x≥y ) oppure x<y (eventualmente x≤y ) oppure x=y .

La nozione di vettore positivo si introduce nel seguente modo: Dato: allora dove 0 è il vettore nullo (cioè il vettore con le componenti tutte nulle). In modo analogo si possono definire: vettori negativi (x <0 ) vettori non negativi (x≥0) e vettori non positivi (x≤0)

OPERAZIONI TRA VETTORI Somma di vettori

Moltiplicazione di un vettore per uno scalare

SOMMA DI VETTORI Dati con: si chiama somma il vettore dato da: Cioè il vettore che si ottiene sommando ogni componente del primo vettore con la corrispondente componente del secondo vettore.

MOLTIPLICAZIONE DI UN VETTORE PER UNO SCALARE Dati e con: si chiama prodotto del vettore x per lo scalare c il vettore dato da: Cioè il vettore che si ottiene moltiplicando ogni componente del vettore di partenza per lo scalare.

PRODOTTO SCALARE TRA VETTORI Dati con: si chiama prodotto scalare (o prodotto interno) il numero dato da: Cioè il numero che si ottiene moltiplicando ogni componente del primo vettore per la corrispondente componente del secondo vettore e sommando tra loro i vari prodotti così ottenuti. Per il prodotto interno non vale la legge di annullamento (il prodotto scalare di due vettori, di cui uno è il vettore nullo, è uguale a zero, ma il prodotto scalare può essere uguale a zero senza che nessuno dei fattori sia il vettore nullo). Due vettori il cui prodotto interno è nullo, si dicono ortogonali (si scrive ).

Esempio 1 Dati i vettori e calcolare la loro somma. Si ha in questo caso: Che rappresenta la somma dei due vettori.

Esempio 2 Dato il vettore e lo scalare c=-3 calcolare il prodotto c x . Si ha in questo caso: Che rappresenta il prodotto -3 x .

Esempio 3 Dato i vettori e calcolare il prodotto scalare. Si ha in questo caso: Che rappresenta il prodotto scalare dei due vettori.

Esempio 4 Determinare per quale valore di i vettori e sono ortogonali. Si ha in questo caso: E poi: Per cui per  =6 i vettori x e y sono ortogonali. Questo esempio da cui risulta evidente che non vale per il prodotto scalare la legge di annullamento del prodotto, infatti (se  =6) il prodotto interno tra x e y è nullo senza che nessuno dei due vettori sia il vettore nullo.

Combinazione lineare di vettori

Dipendenza e indipendenza lineare

NORMA DI UN VETTORE Dato con: si chiama norma di x il numero dato da: cioè dalla radice quadrata del prodotto scalare di x con se stesso.

Geometricamente la norma di un vettore rappresenta la lunghezza del segmento che individua il vettore stesso, come risulta evidente nel caso di n=2 : In cui applicando il Teorema di Pitagora, si ha che la lunghezza dell’ipotenusa del triangolo rettangolo che ha come vertici 0, x 1 e x è appunto la norma del vettore in esame. x 1 x 2 0 x

COMBINAZIONE LINEARE DI VETTORI Dati k vettori e k scalari (cioè numeri) , il vettore dato da: si chiama combinazione lineare dei vettori con pesi (o coefficienti) . Si può dimostrare che ogni vettore x =(x 1 , x 2 , …, x n ) può essere espresso come combinazione lineare di vettori fondamentali (o versori) e 1 , e 2 , …, e n con coefficienti uguali alle componenti x 1 , x 2 , …, x n del vettore, si ha infatti:

DIPENDENZA E INDIPENDENZA LINEARE I vettori sono linearmente dipendenti se uno (almeno) di essi può essere espresso come combinazione lineare degli altri, cioè se esistono degli scalari tali che è possibile scrivere: (si può sempre pensare che sia l’ultimo vettore ad essere esprimibile come combinazione lineare degli altri, eventualmente cambiando l’ordine). Quando invece questa rappresentazione non è possibile, si dice che i vettori in esame sono linearmente indipendenti.

Una definizione equivalente (che viene usata in pratica per verificare la dipendenza o l’indipendenza lineare) è quella in base alla quale i vettori sono linearmente dipendenti se e solo se esiste una loro combinazione lineare, con coefficienti non tutti nulli, uguale al vettore nullo, cioè: con almeno un (si può notare che questa soluzione esiste sempre, poiché è evidente che una combinazione lineare di vettori a coefficienti tutti nulli è sempre uguale al vettore nullo). Mentre i risultano linearmente indipendenti se e solo se l’unica loro combinazione lineare uguale al vettore nullo è quella con tutti i I coefficienti nulli:

Esempio 5 Dato il vettore calcolare la sua norma. Si ha i questo caso: Che rappresenta la norma del vettore.

Esempio 6 Dati i vettori e e gli scalari  =2 e  =-1 determinare la combinazione lineare  x +  y . Si ha i questo caso: Che rappresenta la combinazione lineare 2 x - y .

Esempio 7 Dati i vettori e stabilire se essi sono linearmente dipendenti o indipendenti. Si ha i questo caso: c 1 x +c 2 y = 0 cioè si considera la generica combinazione lineare dei 2 vettori e la si uguaglia al vettore nullo.

Svolgendo i calcoli si ottiene poi: Per cui si deve avere: E poiché l’unica combinazione lineare dei 2 vettori che fornisce il vettore nullo è quella con coefficienti nulli, i vettori x e y sono linearmente indipendenti.

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