Appunti di Elaborazione automatica dei dati: matematica finanziaria
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Il documento fornisce appunti di matematica finanziaria, trattando argomenti come operazioni di investimento, sconto, grandezze equivalenti e strumenti finanziari. Si discute delle differenze tra interesse semplice e composto, e dei vari strumenti finanziari come azioni, obbligazioni e opzioni, evidenziando le dinamiche di rischio e rendimento. Viene enfatizzata l'importanza della gestione del portafoglio negli investimenti e come le opzioni stiano guadagnando rilevanza nel mercato.
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- 1. Il Mache-Mazz - Elementi di Matematica Finanziaria Autori: *||
- 2. Appunti di Matematica Finanziaria Visto su: Profland Si ricorda che: • l'uso degli appunti qui presenti è consentito per solo uso personale e di studio; • la consultazione è gratuita ed ogni forma atta a ricavarne lucro è vietata! • gli appunti sono fatti da studenti che non possono assumersi nessuna responsabilità in merito; • il materiale qui presente non è sostitutivo ma complementare ai libri di testo: - devi (e ti consiglio) di consultare e comprare i libri di testo; • il materiale qui presente è distribuito con licenza Creative Commons Ti ricordo che se vuoi contribuire mandando degli appunti o quant'altro possa essere utile ad altri puoi farlo inviando il materiale tramite: http://profland.altervista.org/mail.htm Spero che ciò che hai scaricato ti possa essere utile. Profman Il file è stato scaricato/visualizzato in forma gratuita da Profland: http://profland.altervista.org sezione Profstudio http://profland.altervista.org/profstudio/profstudio.htm oppure da qualche mirror, come: www.profland.cjb.net www.profland.135.it o dalla pagina dedicata su slideshare.net: www.slideshare.net/profman 2/20
- 3. Appunti di Matematica Finanziaria Visto su: Profland Operazione di investimento Un soggetto rinuncia al tempo t0 ad una somma C per ottenere al tempo tf una nuova somma M La somma C è chiamata CAPITALE La somma M è chiamata MONTANTE • Il tempo tf e il montante M possono o meno essere predefiniti, pertanto un’operazione può definirsi certa o incerta. È PIÙ RISCHIOSA UN’OPERAZIONE CERTA O UN’OPERAZIONE INCERTA? DIPENDE. UN’OPERAZIONE CERTA CON UN SOGGETTO AD ALTISSIMO RISCHIO POTREBBE RISULTARE PIÙ RISCHIOSA DI UN’OPERAZIONE INCERTA CHE, PER CONTRATTO, HA UN MARGINE DI VARIABILITÀ MOLTO BASSO. AD ES, L’INVESTIMENTO IN BOT È UN’OPERAZIONE CERTA, MENTRE L’INVESTIMENTO IN CCT È UN’OPERAZIONE INCERTA; MA L’INVESTIMENTO IN CCT PUÒ RISULTARE MENO RISCHIOSO. OCCORRE TENERE BEN DISTINTO IL CONCETTO DI INCERTEZZA DELL’OPERAZIONE FINANZIARIA DALLA MISURA DEL RISCHIO INSITA NELLA STESSA OPERAZIONE. La differenza I = M - C è chiamata INTERESSE Il rapporto i = I/C è chiamato TASSO DI INTERESSE: I=Ci Il rapporto r = M/C è chiamato FATTORE DI CAPITALIZZAZIONE: M=Cr; si ha: r = 1 + i i=I/c → i=(M-C)/C → i=M/C-C/C → i= M/C-1 → i= r-1 → r=I+1 r≥1⇔M≥C i≥0⇔I≥0⇔M≥C Operazione di sconto Un soggetto rinuncia ad una somma futura K (al tempo tf) per avere ora (al tempo t0) una somma P La somma K è chiamata CAPITALE La somma P è chiamata VALORE ATTUALE di K • Il tempo tf e il capitale K possono o meno essere predefiniti, pertanto un’operazione può definirsi certa o incerta. La differenza D=K-P è chiamata SCONTO Il rapporto d=D/K è chiamato TASSO di SCONTO: D=Kd Il rapporto v=P/K è chiamato FATTORE DI SCONTO: K=P v; si ha: v = 1 – d 3/20
- 4. Appunti di Matematica Finanziaria Visto su: Profland Grandezze equivalenti Dal punto di vista finanziario, due somme esigibili a tempi diversi, sono equivalenti se esiste una relazione che le lega: Il capitale C ed il montante M: Da un certo punto di vista, appare equivalente avere C subito o avere M al tempo tf. Il capitale K ed il valore attuale P Il futuro credito K appare equivalente alla disponibilità immediata della somma P Equivalenza non vuol dire indifferenza → Per i singoli soggetti non è affatto indifferente avere C subito o M al tempo tf ; altrimenti il contratto finanziario non verrebbe stipulato Il capitale C si può interpretare come il valore attuale del montante M Il capitale K si può interpretare come il montante del valore attuale P Risulta: v = C/M = P/K = 1/r ovvero: vr = 1 d = i/(1+i) Le grandezze finora prese in considerazione sono interrelate Contratto finanziario elementare Decidere, al tempo tc, di scambiare due somme, A e B, disponibili in istanti diversi (tA < tB, non necessariamente predefiniti) ritenute finanziariamente equivalenti: esiste una qualche relazione < (tc, tA, tB) che lega le somme A e B A = R(tc, tA, tB)B dove tc, tA, tB sono grandezze indipendenti tra loro. Funzione valore di sconto La funzione < (tc, tA, tB) esprime il valore all’istante tA e pattuito all’istante tc, di una unità monetaria (un euro) esigile all’istante tB: se al tempo tc = 0, si definiscono equivalenti un euro disponibile dopo due anni ed 0,8 euro disponibili dopo sei mesi, si scrive: (0, 0,5, 2) = 0,8 In molte situazioni, il tempo di stipula, tc, e il tempo di esigibilità della somma A, tA, coincidono: tc = tA = t 4/20
- 5. Appunti di Matematica Finanziaria Visto su: Profland (tc, tA, tB) = (t, t, tB) = (t, s) Si parla di istante iniziale e istante successivo, identificando con 0 il tempo iniziale, in modo da ragionare meramente in termini di durata; possiamo operare questa semplificazione se non abbiamo bisogno di collocare temporalmente l’inizio e la fine dell’operazione. (tc, tA, tB) >=0, tc < tA < tB (tc, tA, tB) <= (tc, tC, tB) , tc <= tA <= tC <= tB (tc, tA, tC) >= (tc, tA, tB) , tc <= tA £<= tC <= tB ? (tc, tB, tB) = 1 Regimi finanziari La conoscenza del meccanismo generatore permette di esprimere, con opportuni passaggi, tutte le altre espressioni. Interesse semplice L’interesse è una funzione lineare, cioè viene generata moltiplicando C per un tasso i costante nel tempo I(t) = i.C.t con i costante = tasso di interesse periodale r(t) = 1 + i.t d(t) = i.t/(1+i.t) G eneralmente il periodo di riferimento è l’anno. Quando il tempo è definito in giorni, in fase contrattuale occorre stabilire se fare riferimento all’anno solare oppure all’anno commerciale Sconto commerciale Lo sconto è una funzione lineare, cioè viene generato moltiplicanda K per un tasso d costante nel tempo D(t) = dKt con d costante = tasso di sconto periodale v(t) = 1 – dt i(t) = dt/(1 - dt) G eneralmente il periodo di riferimento è l’anno. Quando il tempo è definito in giorni, in fase contrattuale occorre stabilire se fare riferimento all’anno solare oppure all’anno commerciale. Interesse composto 5/20
- 6. Appunti di Matematica Finanziaria Visto su: Profland Gli interessi maturati vengono immediatamente capitalizzati (generano ulteriori interessi). È il regime che entra nella stragrande maggioranza dei contratti. r(t) = (1+i)t dove i costante è il tasso di interesse periodale v(t) = (1 + i)-t Tasso nominale e tasso istantaneo Supponiamo che gli interessi prodotti da un capitale C in regime di interesse composto al tasso i vengano corrisposti con predefinita cadenza (m volte nel periodo) La somma di tali interessi viene chiamata TASSO NOMINALE rinnovabile m volte nel periodo: Nm Si dimostra che limm Nm = log(1+i) = δ; Tale valore è detto TASSO ISTANTANEO d’interesse la conoscenza del tasso istantaneo δ permette di determinare i, da cui si ricavano le altre grandezze. i = exp(δ) – 1 M(t) = C exp(δt) P(t) = K exp(-δt) 6/20
- 7. Appunti di Matematica Finanziaria Visto su: Profland Strumenti finanziari con cui effettuare investimenti essenzialmente sono: AZIONI OBBLIGAZIONI OPZIONI Le obbligazioni sono contratti finanziari attraverso i quali l’emittente (generalmente un ente pubblico) acquista la disponibilità di una somma di denaro per un certo tempo, verso il corrispettivo di un prezzo. interesse investitore emittente Disponibilità attuale di una somma di denaro Gestire un portafoglio obbligazionario significa muovere il pacchetto nel tempo al fine di massimizzare il guadagno o minimizzare il rischio dove il rischio attiene all’insolvenza (per i titoli emessi dai Paesi come l’Argentina) e alle fluttuazioni dei valori di mercato, dovute all’andamento generale dei tassi d’interesse. Se, ad esempio, io acquisto un’obbligazione a tasso molto basso e poi i tassi tendono al rialzo, il mio titolo perde appetibilità sul mercato. Viceversa, se io acquisto un’obbligazione a tasso alto e poi i tassi tendono al ribasso, il mio titolo acquista appetibilità sul mercato. Poiché le obbligazioni vengono scambiate in appositi mercati, la gestione di un portafoglio obbligazionario implica la ricerca di titoli che presentano un valore opportuno, in modo da massimizzare il guadagno o minimizzare il rischio. Sul mercato obbligazionario sono presenti essenzialmente due tipologie di operatori: quelli interessati a massimizzare i guadagni e quelli interessati a minimizzare i rischi. I primi sono disposti ad accettare un rischio alto; i secondi, 7/20
- 8. Appunti di Matematica Finanziaria Visto su: Profland invece, desiderano portafogli immunizzati al rischio di variazione del tasso d’interesse. I parametri che, nella valutazione di un titolo, corrispondono alla misurazione del rischio, riguardano la variabilità della quotazione rispetto alle variazioni del tasso d’interesse. I problemi della gestione del portafoglio obbligazionario consistono nella capacità di massimizzare una funzione obiettivo, nel rispetto di vincoli (operativi, di costo, …) Ciò richiede: esatta formulazione della funzione obiettivo esatta formulazione dei vincoli riconoscimento del significato dei coefficienti capacità di calcolo (utilizzo di software specializzati) Il portafoglio azionario presenta un valore completamente di tipo aleatorio, che fluttua secondo leggi più complicate, che non dipendono solo dal tasso d’interesse. La gestione del portafoglio obbligazionario richiede la capacità di formulare ipotesi sull’andamento della logica secondo cui il mercato si muove. Analizzare il passato per prevedere il futuro lascia il tempo che trova; occorre individuare quali sono le motivazioni che hanno determinato certi picchi verso l’alto o verso il basso e tenerle in adeguata considerazione. La gestione di un portafoglio azionario implica lo studio di una variabile aleatoria (che rappresenta il valore della singola azione) che si combina con altre variabili aleatorie, al fine di individuare le situazioni di minimo rischio. NB: Non si giunge ad un modello revisionale, ma ad un modello di minimizzazione del rischio. Un’ipotesi abbastanza diffusa è che le quotazioni variano secondo un criterio non troppo dissimile alla normale; più precisamente, i prezzi, essendo positivi, seguono il logaritmo della normale, ossia si dispongono lungo una curva detta LogNormale. Il rischio dell’investimento in un’azione è massimizzato dalla varianza. Il rischio di un portafoglio costituito da più azioni è misurato dalla covarianza perché dipende dalle interrelazioni tra i titoli. La matrice n*n che contiene le covarianze di ciascun titolo rispetto agli altri è simmetrica; è l’oggetto sul quale si basa la gestione del portafoglio azionario, in quanto rappresenta il rischio da minimizzare, sottoposto a certi vincoli (costo, quotazione minima, quotazione massima, ….). Così come esistono metodi che permettono di risolvere 8/20
- 9. Appunti di Matematica Finanziaria Visto su: Profland equazioni lineari, del pari esistono metodi che permettono la risoluzione di equazioni quadratiche. Le opzioni Nel settore degli investimenti vi sono strumenti finanziari attraenti e dinamici che stanno acquistando sempre più importanza: Le opzioni Un'opzione è un contratto stipulato tra due parti che conferisce all'acquirente il diritto di acquistare o vendere: un determinato quantitativo di un prodotto (unità di contratto) 1 a un prezzo fisso (prezzo d'esercizio o strike price) entro/ad un termine convenuto (data di scadenza) Tipi di opzioni Le opzioni d'acquisto sono definite OPZIONI CALL o call Le opzioni di vendita sono definite OPZIONI PUT o put. Affinchè l'acquirente possa beneficiare di tale diritto, egli deve pagare al venditore un prezzo, il cosidetto prezzo d'opzione (premio). Qualora l'acquirente eserciti l'opzione entro il termine convenuto, il venditore ha l'obbligo di vendere o acquistare la merce stabilita al prezzo fissato. Il mercato delle opzioni Le opzioni possono essere rivendute o riacquistate → Il prezzo delle opzioni varia nel tempo. Ciò consente all'acquirente e al venditore di svincolarsi già prima della scadenza dai loro diritti e obblighi. L'opzione stessa si estingue soltanto allorchè viene esercitata o giunge a scadenza. ♣ Negli ultimi vent'anni l'impiego di opzioni ha registrato un massiccio incremento su scala mondiale. ♣ Sulle grandi piazze borsistiche vengono negoziati quotidianamente oltre un milione di contratti. ♣ Il commercio delle opzioni trae le sue origini dal commercio delle materie prime. 1 Utilizziamo il regime dell’interesse composto sulla base di un tasso d’interesse istantaneo. 9/20
- 10. Appunti di Matematica Finanziaria Visto su: Profland Produttori che volevano cautelarsi contro un eccesso di produzione (possibile crollo dei prezzi) acquisirono il diritto di vendere la loro merce ai commercianti a un determinato prezzo e a una determinata scadenza. Per questo specifico diritto di poter vendere qualcosa (opzione di vendita), essi erano tenuti a versare un premio ai commercianti. I commercianti che volevano coprirsi contro un'ascesa dei prezzi acquistarono dai produttori il diritto di poter comprare una determinata merce a un determinato prezzo e a una determinata scadenza. Per questo diritto di poter acquistare qualcosa (opzione d'acquisto), essi dovevano pagare un premio ai produttori. Perché si stipulano le opzioni? Il principio fondamentale delle operazioni su opzioni: una parte desidera sottrarsi a un determinato rischio; un'altra è disposta a correrlo. L’opzione è stipulata tra due soggetti che hanno punti di vista diversi; Dal punto di vista probabilistico è analoga a una scommessa; pertanto il prezzo dell’opzione coincide con il valore atteso della variabile aleatoria costituita dal prezzo dell’attività sottostante, salvo altre motivazioni di natura non matematica. Opzioni finanziarie Ai cereali oppure ai metalli - che un tempo costituivano le basi dei contratti d'opzione - sono subentrate: • azioni • obbligazioni • divise • indici di borsa L'impiego preciso di opzioni non soltanto può limitare il rischio, ma anche aumentare il reddito di un investimento Nota storica Le basi per l'importanza attualmente rivestita dalle opzioni sono state poste solamente nel 1973. Negli Stati Uniti entrarono in vigore delle leggi che creavano le premesse per un commercio di opzioni disciplinato con contratti uniformi. 10/20
- 11. Appunti di Matematica Finanziaria Visto su: Profland Il successo conseguito dalla CBOE (Chicago Board Options Exchange) - la principale borsa delle opzioni – ha tracciato la via alle numerose borse delle opzioni che sorsero in seguito. A cosa servono le opzioni ? I motivi che inducono alla compravendita di opzioni sono diversi: • Un investitore può acquistare opzioni come alternativa ad un investimento diretto nello strumento di base o per trarre profitto dall'effetto leva delle opzioni. • Le opzioni possono essere usate come strumento di copertura per cautelarsi contro movimenti sfavorevoli dei prezzi del bene di base. La vendita di opzioni permette all'investitore: • di accrescere il rendimento del proprio portafoglio; • di trarre profitto dalle anticipazioni sull'andamento del mercato. A seconda della situazione corrente del mercato e delle anticipazioni sulle sue evoluzioni future, l'investitore può utilizzare anche delle strategie combinate di acquisto e di vendita di opzioni allo scopo di ottimizzare la redditività dei propri investimenti. Come si utilizza e come funziona? Le opzioni si suddividono in: Opzioni di acquisto (Call Option) • Acquisto di Call • Vendita di Call Opzioni di Vendita (Put Option) • Acquisto di Put • Vendita di Put Acquisto di una opzione Call Definizione: •L'acquirente di un'Opzione call ha il diritto di comperare – un determinato numero di azioni – a un prezzo convenuto – entro un termine stabilito Motivo: •L'acquirente della call prevede un rialzo dei corsi azionari 11/20
- 12. Appunti di Matematica Finanziaria Visto su: Profland Esempio: • Alla fine di aprile il corso dell'azione "ITALIA SPA" è di 3100. • Un investitore si attende entro i prossimi 6 mesi una tendenza al rialzo dei corsi azionari ed acquista un'opzione call con scadenza in ottobre (la costituzione rispetto l'apertura di una posizione in opzioni è definita “opening") L'investitore acquisisce il diritto di comperare entro la scadenza in ottobre 5 azioni della ditta "Italia Spa" al prezzo di 3.000. Il prezzo convenuto per tale diritto per azione è 232; •Il prezzo che egli deve pagare per il contratto d'opzione ammonta a 1160 (5 x 232). Se entro la data di scadenza l'azione sale a 3300, l'opzione - che dà diritto ad acquistare azioni a 3000 - ha un valore di 300. Se il titolare dell’azione call esercita il diritto di acquistare le azioni e le vande contemporaneamente, realizza un guadagno pari a 300 per ogni azione. Valore dell’opzione = prezzo dell’attività sottostante – strike price SE prezzo dell’attività sottostante – strike price > 0 Se per contro il corso azionario scende al di sotto di 3000, l'opzione call giunge a scadenza priva di valore, poiché in borsa le azioni possono essere acquistate a un prezzo inferiore. Valore dell’opzione = 0 SE prezzo dell’attività sottostante – strike price ≤ 0 Valore dell’opzione 12/20
- 13. Appunti di Matematica Finanziaria Visto su: Profland Profitto/ Corso "Italia Corso opzione Profitto/ perdita per Spa" alla call alla perdita per contratto scadenza scadenza azione d'opzione 2900 0 - 232 - 1160 3000 0 - 232 - 1160 3100 100 - 132 - 660 3200 200 - 32 - 160 3300 300 + 68 + 340 3400 400 + 168 + 840 3500 500 + 268 + 1340 Dalle rappresentazioni emerge chiaramente che con un netto rialzo dei corsi azionari, per l'acquirente della call si configura un potenziale di profitto illimitato: maggiore è il rialzo del corso azionario - e quindi del prezzo della call - maggiore sarà il profitto. Di norma, in presenza di una determinata variazione del corso dell'azione base, l'acquirente della call realizza, in percento rispetto al capitale investito, guadagni superiori a quelli conseguiti dall'azionista (effetto leva). Affinché alla data di scadenza l'acquirente di una call possa effettivamente beneficiare di un profitto, il corso azionario deve superare la soglia di guadagno di 3.232 (prezzo d'esercizio + prezzo d'opzione). Se per contro al termine di scadenza il corso azionario è inferiore a 3.232, l'investitore subisce una perdita che può ammontare a un massimo di 1.160 (5 x 232). Contrariamente a quello dell'azionista, il rischio dell'acquirente dell'opzione è limitato verso il basso. Abbiamo sinora ipotizzato che l'investitore conservi l'opzione fino alla scadenza. Questo accade solamente in casi eccezionali. 13/20
- 14. Appunti di Matematica Finanziaria Visto su: Profland Supponiamo ora che nel volgere di tre mesi l'azione "ITALIA SPA" sia aumentata a 3.400. L'operatore non prevede un ulteriore rialzo dei corsi nel prossimo futuro e desidera quindi realizzare il suo profitto. (La liquidazione rispetto la chiusura di una posizione è definita “closing"). All'investitore sono offerte due possibilità: Vendita dell'opzione call in borsa → Con una durata restante di tre mesi e un corso attuale di 3.400, la call ottobre 3.000 è negoziato a 419. L'operatore vende la call a 419 e gli sono accreditati 2.095 (5 x 419). Acquisto 1 call "Italia Spa" ottobre 3000 a 232 -1.160 Vendita 1 call "Italia Spa" ottobre 3000 a 419 +2.095 +935 Esercizio anticipato dell'opzione call (non sempre possibile) ↓ solo per Opzione di tipo americano (che ovviamente sono più costose) Un'opzione che può essere esercitata in qualsiasi momento prima della data di scadenza. Opzione di tipo europeo Un'opzione che può essere esercitata soltanto l'ultimo giorno prima della scadenza. L'acquirente della call ha il diritto di acquistare le 5 azioni al prezzo d'esercizio di 3.000 Tenendo conto dei premi d'opzione versati, per l'acquirente della call risulta un prezzo di costo di 3.232 per azione, che attualmente potrebbe essere venduta a 3.400 Il profitto (non realizzato) ammonta quindi a 168 per azione o a 840 per opzione call Il fatto che alla luce di questa situazione l'investitore conservi o rivenda subito le azioni, è una pura decisione di investimento L'utile (non realizzato) ammonta complessivamente a 840 o al 72.4 % del capitale investito. 14/20
- 15. Appunti di Matematica Finanziaria Visto su: Profland Vendita di opzioni call Definizione: Il venditore di un'Opzione call si impegna a vendere: –un determinato numero di azioni – a un prezzo convenuto – entro un termine stabilito – a condizione che l'acquirente della call eserciti il suo diritto. Motivo: Il venditore di call prevede corsi azionari invariati oppure flettenti. Acquisto di opzioni put Definizione: L'acquirente di un'Opzione put ha il diritto di vendere: – un determinato numero di azioni – a un prezzo convenuto – entro un termine stabilito Motivo: L'acquirente di una put prevede una flessione dei corsi azionari Vendita di opzioni PUT Definizione: Il venditore di un'Opzione put contrae l'obbligo di acquistare: – un determinato numero di azioni – a un prezzo convenuto – entro un termine stabilito – sempre che l'acquirente della put eserciti il suo diritto Motivo: Il venditore di una put prevede corsi azionari invariati o in rialzo 15/20
- 16. Appunti di Matematica Finanziaria Visto su: Profland Panoramica delle opzioni call e put CALL Opzione di acquisto PUT Opzione di vendita Diritto di acquistare azioni al prezzo Diritto di vendere azioni al prezzo d'esercizio d'esercizio Acquirente Obbligo di pagare il premio d'opzione Obbligo di pagare il premio d'opzione Approfitta di corsi in ascesa Approfitta di corsi flettenti Profitto: illimitato Perdita: limitata Profitto: illimitato Perdita: limitata Obbligo di vendere azioni al prezzo Obbligo di acquistare d'esercizio azioni al prezzo d'esercizio Venditore Diritto di ottenere il premio d'opzione Diritto di ottenere il premio d'opzione Approfitta di corsi invariati o flettenti Approfitta di corsi invariati o in ascesa Profitto: limitato Perdita: illimitata Profitto: limitato Perdita: illimitata Fattori che determinano il prezzo dell’opzione Un'opzione call presenta un valore intrinseco: • effettivo se il corso azionario è superiore al prezzo d'esercizio (Opzione in- the-money) •nullo se il corso azionario è inferiore al prezzo di esercizio (Opzione out-of- the-money) •nullo se il corso azionario è uguale al prezzo di esercizio (Opzioni at-the- money) Esempio In presenza di un corso azionario di 2050: • una call con prezzo d'opzione di 1800 ha un valore intrinseco di 250. • una call con prezzo d'opzione di 2200 ha un valore intrinseco nullo. • una put con prezzo d'opzione di 2200 ha un valore intrinseco di 150. • una put con prezzo d'opzione di 2050 ha un valore intrinseco nullo. Oltre al valore intrinseco, un'opzione presenta un valore temporale: • 16/20
- 17. Appunti di Matematica Finanziaria Visto su: Profland esprime l'aspettativa che nel corso della durata restante l'opzione acquisti valore.2 • il giorno di scadenza il valore temporale equivale a zero. Esempio: In presenza di un corso azionario di 5700, una call con prezzo d'esercizio di 5500 viene negoziato a 450. Il valore intrinseco ammonta a 200 e il valore temporale a 250. prezzo d'opzione = valore intrinseco + valore temporale I principali fattori che determinano il prezzo d'opzione: corso azionario prezzo d'esercizio dell'opzione durata residua dell'opzione volatilità (margine d'oscillazione) dell'azione cioè la varianza del prezzo dell’attività sottostante. dividendi Il valore dell’opzione di un titolo che non paga dividendi generalmente si riduce in seguito alle assegnazioni di questi ultimi. tassi d' intere ss e Sulla base dello scenario finora delineato, il nostro obiettivo è il calcolo del valore intrinseco Come si calcola il valore intrinseco? Si decide qual è la funzione di distribuzione del valore del bene sottostante, poi si calcola il valore atteso della variabile guadagno, dato dalla differenza tra prezzo d’esercizio e prezzo dell’azione. Se S = il valore del titolo, K = il prezzo d’esercizio → S-K = valore intrinseco Occorre pertanto conoscere l’integrale da 0 a +∞ di (S-K)nei termini della distribuzione dei prezzi per avere il valore intrinseco dell’opzione call, e l’integrale da 0 a +∞ di (K-S) nei termini della distribuzione dei prezzi per avere il valore intrinseco dell’opzione put. 2 Poiché le opzioni sono negoziate in uno specifico mercato, il loro prezzo è determinato dai flussi di domanda e offerta. 17/20
- 18. Appunti di Matematica Finanziaria Visto su: Profland Nel caso della call, si impone S-K>0 → S>K dove K è una costante e S una variabile aleatoria; quindi, l’integrale va calcolato da K a + ∞ Nel caso della put, si impone K-S>0 → K>S dove K è una costante e S una variabile aleatoria; quindi, l’integrale va calcolato da K a + ∞ SCHEMA PER IL CALCOLO DEL VALORE INTRISECO DELLE OPZIONI EUROPEE Formula di Black-Scholes K Put = ∫ (K-S) dF (x,y,σ) 0 +∞ Call = ∫ (S-K) dF (x,y,σ) k con F (x,y,σ) = funzione di distribuzione lognormale Posto d1= (S/K + δ + σ2/2) σ T ; d2= d1- σ T si ha Put = Ke-δTΦ(- d2)- SΦ(- d1) ; Call = SΦ(d1) - Ke-δTΦ(d2) Φ → funzione di distribuzione normale →→→ calcolo numerico della normale dove: S = variabile aleatoria data dal prezzo sottostante K = prezzo d’esercizio δ = tasso d’interesse istantaneo T = il periodo σ rappresenta la variabilità dell’attività sottostante. S esprime un prezzo al tempo attuale, al momento in cui si fa il contratto. K esprime un prezzo al tempo futuro. Per effettuare i confronti attualizzo o porto S al futuro? Attualizzo K, perché è allo stato attuale che vengono stipulati i contratti. ------------------------------------------------------------------------------------------------ La formula di Black-Scholes non è utile a calcolare il valore intrinseco delle opzioni americane; esso non risulta solo dalla differenza tra K e S, ma deve tener conto di tutta l’evoluzione degli eventi. Il calcolo è pertanto molto più complesso, perché non richiede solo il valore alla scadenza, ma tutta la storia dall’inizio alla fine. Un ulteriore limitazione della formula di Black-Scholes è che essa vale solo per i titoli puri; non può essere applicata se il titolo, ad es, paga dividendi. 18/20
- 19. Appunti di Matematica Finanziaria Visto su: Profland Inoltre, la formula di Black-Scholes si basa sull’ipotesi che δ (→ tasso d’interesse dei BOT) non vari nel tempo. La valutazione di σ è alquanto difficile. σ Può essere stimata analizzando il passato, ossia la distribuzione statistica del titolo, ma si possono fare anche altre operazioni basate sullo studio di opzioni analoghe (calcolo volatilità implicita dell’opzione. 19/20
- 20. Appunti di Matematica Finanziaria Visto su: Profland Il file è stato scaricato/visualizzato in forma gratuita da Profland: http://profland.altervista.org sezione Profstudio http://profland.altervista.org/profstudio/profstudio.htm oppure da qualche mirror, come: www.profland.cjb.net www.profland.135.it o dalla pagina dedicata su slideshare.net: www.slideshare.net/profman 20/20