Bab 2 koordinat

Bab 2 koordinat

• 1.
  BAB 2 KOORDINAT 2.1 GARIS DAN LINGKARAN Tentu kalian sering melihat bnda-benda yang berbentuk lingkaran. Uang logam dan pizza adalah beberapa contoh bentuk lingkaran. Dalam bidang transportasi, bentuk lingkaran ternyata sangat bermanfaat untuk menjalankan kendaraan. Coba kalian perhatikan bentuk ban mobil. Bentuk ban mobil adalah lingkaran. Lalu, apa lingkaran itu? Lingkaran adalah sekumpulan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu. Jarak yang sama disebut jari-jari sedangkan titik tertentu dinamakan pusat lingkaran. Pada bab ini kita akan membahas tentang garis dan lingkaran seperti posisi dua lingkaran, posisi garis terhadap lingkaran dan perpotongan garis dan lingkaran. Sebelumnya kita akan mengulas kembali kemiringan untuk menentukan persamaaan garis, persamaan lingkaran dan pengetahuan dasar yang banyak digunakan adalah rumus jarak antara dua titik. Bentuk-bentuk geometri seperti lingkaran digambarkan dengan menggunakan sistem koordinat cartes. Mari kita ingat kembali koordinat cartes. Kita membayangkan sepasang garis tegak lurus yaitu sumbu x dan sumbu y yang saling berpotongan di titik O disebut titik asal . kita asumsikan bahwa arah positif pada sumbu x adalah ke kanan dan arah positif pada sumbu y-adalah atas.
• 2.
  2.1.1 Garis dan Persamaan Garis Garis adalah himpunan titik-titik yang tak kosong dan mengandung paling sedikit dua titik. Berdasarkan gambar diatas terlihat ada dua ruas garis yang sama:  AB, naik garis 𝐵𝐶 dan menembus 𝐴𝐶  A’B’, naik garis 𝐵′𝐶′ dan menembus 𝐴′𝐶′ Sudut α sama karena AC dan A’C’ adalah sejajar Sudut β sama karena BC dan B’C’ adalah sejajar Sudut C dan C’ keduanya sudut kanan Dengan demikian segitiga ABC dan segitiga A’B’C’ sama. Sehingga, 𝐵𝐶 𝐵′𝐶′ = Kemiringannya konstan 𝐴𝐶 𝐴′𝐶′ Kemiringan dapat ditentukan dengan membandingkan perubahan jarak tegak (nilai y) terhadap perubahan jarak mendatar (nilai x). Misal dibuat garis miring yang melintasi sumbu y di titik Q dimana y=c adalah a. Jika P=(x,y) dititik lain. Maka kenaikan dari titik Q ke titik P adalah y-c. Yang mendatar adalah x (Gambar 3).
• 3.
  𝑦 −𝑐 Kemiringan =a = 𝑥 ax = y - c y=ax+c persamaan ini dinamakan Persamaan Garis. 2.1.2 Jarak Misalkan P1 = (x1,y1) dan P2 = (x2,y2) adalah dua titik R2. Maka koordinatnya adalah segitiga siku-siku. Sehingga 𝑃1 𝑃2 adalah panjang sisi miringnya. Berdasarkan Teorema Phytagoras: 𝟐 𝟐 𝟐 𝑷𝟏 𝑷𝟐 = 𝑿𝟐− 𝑿𝟏 + 𝒚𝟐− 𝒚𝟏 𝑷𝟏 𝑷𝟐 = 𝒙𝟐− 𝒙𝟏 𝟐 + 𝒚𝟐− 𝒚𝟏 𝟐
• 4.
  2.1.3 Persamaan Lingkaran Rumus jarak mengarah langsung ke persamaan lingkaran, sebagai berikut.  Misalkan kita memiliki sebuah lingkaran dengan pusat di titik O(0,0) dan jari-jari r. Titik P adalah sebuah titik pada lingkaran. Dari gambar tersebut kita dapat menuliskan persamaan 𝑂𝑃 = r. 𝑂𝑃 = 𝑟 𝑥−0 2 + 𝑦−0 2 = 𝑟 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2  Misalkan kita memiliki sebuah lingkaran dengan jari-jari r dan pusat pada titik P = (a, b). Titik Q(x,y) adalah sebuah titik pada lingkaran.( Gambar 6).
• 5.
  Dari gambar tersebutkita dapat menuliskan persamaan 𝑄𝑃 = r. 𝑄𝑃 = 𝑟 𝑥− 𝑎 2 + 𝑦− 𝑏 2 = 𝑟 𝟐 𝟐 𝒙− 𝒂 + 𝒚− 𝒃 = 𝒓𝟐 * Sehingga persamaan (*) dinamakan persamaan lingkaran dengan pusat P(a,b) dengan jari-jari r. 𝟐 Lingkaran dengan pusat P(a,b) dan jari-jari r mempunyai persamaan 𝒙− 𝒂 + 𝟐 𝒚− 𝒃 = 𝒓 𝟐 . Persamaan tersebut dapat kita nyatakan dengan: 𝟐 𝟐 𝒙− 𝒂 + 𝒚− 𝒃 = 𝒓𝟐 𝑥 2 − 2𝑎𝑥 + 𝑎2 + 𝑦 2 − 2𝑏𝑦 + 𝑏 2 = 𝑟 2 𝑥 2 − 2𝑎𝑥 + 𝑎2 + 𝑦 2 − 2𝑏𝑦 + 𝑏 2 − 𝑟 2 = 0 Disederhanakan menjadi Persamaan Umum Lingkaran 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0  Misalkan dua titik P1 = (a1,b1) dan P2=(a2,b2). Selanjutnya titik P=(x,y) merupakan jarak yang sama dari P1 dan P2 jika 𝑷𝑷 𝟏 = 𝑷𝑷 𝟐 , sehingga persamaannya. 𝒙− 𝒂𝟏 𝟐 + 𝒚− 𝒃𝟏 𝟐 = 𝒙− 𝒂𝟐 𝟐 + 𝒚− 𝒃𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝒙− 𝒂𝟏 + 𝒚− 𝒃𝟏 = 𝒙− 𝒂𝟐 + 𝒚− 𝒃𝟐 𝒙 𝟐 − 𝟐𝒂 𝟏 𝒙 + 𝒂 𝟐 + 𝒚 𝟐 − 𝟐𝒃 𝟏 𝒚 + 𝒃 𝟐 = 𝒙 𝟐 − 𝟐𝒂 𝟐 𝒙 + 𝒂 𝟐 + 𝒚 𝟐 − 𝟐𝒃 𝟐 𝒚 + 𝒃 𝟐 𝟏 𝟏 𝟐 𝟐 Akan menghasilkan Persamaan Linear, 𝟐 𝒂𝟏− 𝒂𝟐 𝒙+ 𝟐 𝒃𝟐− 𝒃𝟏 𝒚+ 𝒃𝟐− 𝒃𝟐 = 𝟎 𝟏 𝟐 2.1.4 Perpotongan Garis dan Lingkaran Garis dan lingkaran di definisikan dengan persamaan. Kita merinci secara aljabar kesetaraan garis lurus dan batas operasi:  Menggambar garis yang melewati titik-titik sesuai dengan persamaan garis melalui 𝒚 𝟐 −𝒚 𝟏 titik (x1,y1) dan (x2,y2). Kemiringan antara dua titik adalah harus sama dengan 𝒙 𝟐 −𝒙 𝟏 𝑦 −𝑦 1 antara titik (x,y) dan titik (x1,y1) sehingga persamaannya 𝑥−𝑥 1 𝑦 − 𝑦1 𝑦2 − 𝑦1 = 𝑥 − 𝑥1 𝑥2 − 𝑥1 𝑦 − 𝑦1 𝑥2 − 𝑥1 = 𝑥 − 𝑥1 (𝑦2 − 𝑦1 ) 𝑦2 − 𝑦1 𝑥 − 𝑥2 − 𝑥1 𝑦 − 𝑥1 𝑦2 + 𝑦1 𝑥2 = 0
• 6.
   Menggambar sebuahlingkaran dengan pusat dan jari-jari yang diberikan sesuai dengan mencari persamaan lingkaran dengan pusat (a,b) dan jari-jari r. 2 2 𝑥− 𝑎 + 𝑦− 𝑏 = 𝑟2  Menemukan titik baru sebagai perpotongan gambar garis sebelumnya dan lingkaran sesuai untuk menemukan titik solusi dari:  Sepasang persamaan garis  Sepasang persamaaan lingkaran  Persamaan garis dan persamaan lingkaran 2.1.5 Posisi Dua Lingkaran Beberapa kemungkinan posisi dua lingkaran diperlihatkan pada gambar 2.6 dibawah:  Pada gambar 2.6 (a), lingkaran L1 dan L2 berpotongan di dua titik yang berlainan.  Pada gambar 2.6 (b) i, lingkaran L1 dan L2 bersinggungan di dalam. 2.6 (b) ii lingkaran L1 dan L2 bersinggungan di luar  Pada gambar 2.6 (c) ), lingkaran L1 dan L2 tidak berpotongan maupun bersinggungan
• 7.
  Sebagai contoh, menentukanperpotongan dua lingkaran 2 2 𝑥 − 𝑎1 + 𝑦 − 𝑏1 = 𝑟 2 ...............(1) 2 2 𝑥 − 𝑎2 + 𝑦 − 𝑏2 = 𝑟 2 ...............(2) 2 2 2 𝑥 2 − 2𝑎1 𝑥 + 𝑎1 + 𝑦 2 − 2𝑏1 𝑦 + 𝑏1 − 𝑟1 = 0 2 2 2 𝑥 2 − 2𝑎2 𝑥 + 𝑎2 + 𝑦 2 − 2𝑏2 𝑦 + 𝑏2 − 𝑟2 = 0 Dengan mengurangkan pers.(2) dengan pers.(1) sehingga di dapat persamaan linear: 2 2 2 𝑎1 − 𝑎2 𝑥 + 2 𝑏2 − 𝑏1 𝑦 + 𝑟2 − 𝑟1 = 0 2.1.6 Posisi Garis terhadap Lingkaran Dari tinjauan geometri bidang, posisi atau kedudukan garis g terhadap lingkaran L ada 3 macam:  Pada gambar 2.6 a, garis g memotong lingkaran di dua titik yang berlainan yaitu titik A(x1,y1) dan titik B(x2,y2) (D > 0)  Pada gambar 2.6 b, garis g memotong lingkaran di satu titik atau dikatakan garis g menyinggung lingkaran di titik A(x1,y1) (D = 0)
• 8.
   Pada gambar2.6 c, garis g tidak memotong maupun menyinggung lingkaran (D<0) Perpotongan Garis Dan Lingkaran Persamaan garis : y = mx + n ........................................(1) 2 2 2 Persamaan lingkaran : x + y = r ........................................(2) Subtitusikan pers.(1) ke pers.(2), diperoleh 𝑥2 + 𝑚𝑥 + 𝑛 2 = 𝑟2 𝑥 2 + 𝑚2 𝑛2 + 2𝑚𝑛𝑥 + 𝑛2 − 𝑟 2 = 0 1 + 𝑚2 𝑥 2 + 2𝑚𝑛𝑥 + 𝑛2 − 𝑟 2 = 0 Diperoleh diskriminan D = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 2 𝐷 = 2𝑚𝑛 − 4 1 + 𝑚2 𝑛2 − 𝑟 2 Sehingga ada 3 kemungkinan garis dan lingkaran seperti diatas. Kuasa suatu titik terhadap suatu lingkaran Misal titik dan berada di luar lingkaran, kuasanya: TP = pusat lingkaran r = jari-jari lingkaran K = kuasa titik Jika K>0 maka T di luar lingkaran K=0 maka T pada lingkaran
• 9.
  K<0 maka Tdi dalam lingkaran Contoh Soal: Diketahui persamaan x2 + y2 = 9 dan titik P (5,1) Kuasa titik P (5,1) terhadap lingkaran x2 + y2 = 9 adalah : K = 25 + 1 – 9 = 17 K > 0 ,maka titik P (5,1) di luar lingkaran Menurut definisi (2) K = PQ2 Jadi kuasa titik P (5,1) terhadap lingkaran adalah 17 Garis kuasa Adalah tempat kedudukan titik-titik yang kuasanya terhadap dua lingkaran adalah sama. Misal, Maka garis kuasa ke dua lingkaran tersebut: Titik Kuasa Adalah suatu titik yang memiliki kuasa yang sama terhadap beberapa lingkaran. Misal,
• 10.
  Persamaan titik kuasa: ContohSoal 1. Diberikan titik 𝑃1 𝑥1 , 𝑦1 𝑑𝑎𝑛 𝑃2 𝑥2 , 𝑦2 , misal P(x,y) adalah titik pada garis yang melalui P1 dan P2, dengan persamaan kemiringan tunjukkan bahwa x dan y memenuhi persamaan. 𝑦2 − 𝑦1 𝑦 − 𝑦1 = , 𝑥 ≠ 𝑥1 𝑥2 − 𝑥1 𝑥 − 𝑥1 2 2. Mempertimbangkan segitiga, kita ambil titik O = (0,0), titik P = (𝑥1 , 0) 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑥1 > 0 dan titik Q = (𝑥2 , 𝑦2 ), tunjukkan bahwa 2 2 2 2 𝑂𝑃 = 𝑥1 , 𝑃𝑄 = 𝑥2 − 𝑥1 + 𝑦2 , 𝑂𝑄 = 𝑥2 + 𝑦2 Selanjutnya tunjukkan bahwa 2 2 2 2 𝑂𝑃 + 𝑃𝑄 − 𝑂𝑄 = 2𝑥1 𝑥2 − 𝑥1 + 𝑦2 − 𝑥2 − 𝑥1 3. Temukan perpotongan lingkaran 𝑥 2 + 𝑦 2 = 1 dan 𝑥 − 1 2 + 𝑦−2 2 =4 4. Periksa jawaban latihan no 2 dengan sketsa dua lingkaran Pembahasan: 1. Titik 𝑃1 𝑥1 , 𝑦1 , 𝑃2 𝑥2 , 𝑦2 , dan P(x,y) melalui titik P1 dan P2. Misal a = 𝑃1 𝑃2 dan b = 𝑃𝑃1
• 11.
  Karenasegitiga 𝑃1 𝑂𝑃2𝑑𝑎𝑛 𝑃1 𝑄𝑃 kemiringannya konstan maka, 𝑃1 𝑃2 = 𝑃𝑃1 𝑂𝑃2 𝑃𝑄 𝑦 2 −𝑦 1 𝑦−𝑦 1 = ↔ = (terbukti) 𝑂𝑃1 𝑃1 𝑄 𝑥 2 −𝑥 1 𝑥−𝑥 1 2. O = (0,0), titik P = (𝑥1 , 0) 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑥1 > 0 dan titik Q = (𝑥2 , 𝑦2 ), 𝑂𝑃 = 𝑥1 − 0 2 + 0−0 2 = 𝑥1 2 2 2 2 𝑃𝑄 = 𝑥2 − 𝑥1 + 𝑦2 − 0 = 𝑥2 − 𝑥1 + 𝑦2 2 2 2 2 𝑂𝑄 = 𝑥2 − 0 + 𝑦2 − 0 = 𝑂𝑄 = 𝑥2 + 𝑦2 2 2 2 2 𝑂𝑃 + 𝑃𝑄 − 𝑂𝑄 = 2𝑥1 𝑥2 − 𝑥1 + 𝑦2 − 𝑥2 − 𝑥1 2 2 2 𝑂𝑃 + 𝑃𝑄 − 𝑂𝑄 2 = 𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥1 2 2 + 𝑦2 − 2 2 𝑥2 + 𝑦2 2 2 2 2 2 2 2 = 𝑥1 + 2𝑥1 𝑥2 − 𝑥1 + 𝑦2 + 𝑥2 − 𝑥1 + 𝑦2 − (𝑥2 + 𝑦2 ) 2 2 2 2 2 2 2 = 𝑥1 + 2𝑥1 𝑥2 − 𝑥1 + 𝑦2 +𝑥2 − 2𝑥2 𝑥1 + 𝑥1 + 𝑦2 − (𝑥2 + 2 𝑦2 ) 2 2 2 = 2𝑥1 + 2𝑥1 𝑥2 − 𝑥1 + 𝑦2 − 2𝑥2 𝑥1 2 2 =2𝑥1 𝑥2 − 𝑥1 + 𝑦2 − 𝑥2 − 𝑥1 Sehingga, 2 2 2 2 𝑂𝑃 + 𝑃𝑄 − 𝑂𝑄 = 2𝑥1 𝑥2 − 𝑥1 + 𝑦2 − 𝑥2 − 𝑥1 (terbukti) 3. 𝐿1 ≡ 𝑥 2 + 𝑦 2 = 1 2 2 L2 ≡ 𝑥 − 1 + 𝑦−2 =4 𝐿1 ≡ 𝑥 2 + 𝑦 2 − 1=0 L2 ≡ 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥 − 4𝑦 + 1 = 0 2𝑥 + 4𝑦 − 2 = 0 𝑥 + 2𝑦 − 1 = 0 𝑥 = −2𝑦 + 1 Subtitusi 𝑥 = −2𝑦 + 1 ke 𝑥 2 + 𝑦 2 − 1=0, diperoleh:
• 12.
  (−2𝑦 + 1)2+ 𝑦 2 − 1=0 4𝑦 2 − 4𝑦 + 1 + 𝑦 2 − 1 = 0 5𝑦 2 − 4𝑦 = 0 Nilai diskriminan persamaan kuadrat5𝑦 2 − 4𝑦 = 0 adalah: D = (-4)2- 4(5)(0) D = 16> 0 Karena D > 0 maka lingkaran L1 dan L2 berpotongan di dua titik yang berlainan. Dari 5𝑦 2 − 4𝑦 = 0 , diperoleh: 𝑦 5𝑦 − 4 = 0 4 ↔ 𝑦1 = 0 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑦2 = 5 Subtitusi ke y = -2y + 1 Untuk 𝑦1 = 0, diperoleh y = - 2(0) + 1 = 1 4 4 3 Untuk 𝑦2 = 5, diperoleh y = - 2(5) + 1 = -5 3 4 Jadi koordinat titik potongnya adalah (1,0) dan (− 5 , 5)