Bab 8
- 1. Bab 8 Turunan November 26, 2014
- 2. Turunan mempelajari Kasus Maksimum dan Minimum Penyelesaian Limit Tak Tentu Kecepatan dan Percepatan Rumus Dasar Aturan Rantai Turunan Persamaan Garis Singgung Grafik Aplikasi Fungsi Fungsi Naik, Turun, dan Stasioner Turunan Fungsi Eksponen dan Logaritma Turunan Fungsi Aljabar November 26, 2014 Turunan Fungsi Trigonometri
- 3. 1. Tentukan gradien dari garis f(x) = x2 + 2x di titik (a, b). 2. Diketahui f’(x) = 2x + 2. Tentukan . 3. Samakan hasil 1 dan 2? Apa sebenarnya hubungan antara soal 1 dan 2? November 26, 2014
- 4. 1. Pengertian Turunan Turunan suatu fungsi f(x) didefinisikan sebagai berikut. Bentuk limit sudah disinggung di Bab 7. Coba diingat lagi! November 26, 2014
- 5. Contoh: Dengan menggunakan definisi turunan, tentukan turunan pertama fungsi f(x) = x2 + 1. Jawab: November 26, 2014
- 6. 2. Turunan Ditinjau Dari Sudut Pandang Geometri Misalkan diketahui fungsi y = f(x). Secara geometri turunan fungsi diartikan sebagai gradien (kemiringan). Gradien garis singgung di titik P(a, b) yang terletak pada fungsi y = f(x) adalah sebagai berikut. m = f’(a) = f a h f a ) ( ) ( lim0 Secara geometris, ilustrasinya dapat dilihat pada gambar berikut. November 26, 2014 h h + - ®
- 8. Contoh: Tentukan gradien garis singgung kurva yang memiliki persamaan untuk x ≠ 0 di x = 2. Jawab: Gradien garis singgung kurva y = f(x) untuk x = 2 adalah m = f'(2) = –1. Dengan kata lain, laju perubahan fungsi f(x) di x = 2 adalah –1. November 26, 2014
- 9. Jika n bilangan rasional, a dan c konstanta sedangkan f'(x) turunan dari f(x) maka berlaku rumus turunan Jika f(x) = c maka turunannya adalah f'(x) = 0. Jika f(x) = xn maka turunannya adalah f'(x) = nxn – 1. Jika f(x) = axn maka turunannya adalah f'(x) = anxn – 1. November 26, 2014
- 10. Contoh: Tentukan turunan dari f(x) = 6x4. Jawab: f(x) = 6x4 Mengacu rumus di atas, diperoleh nilai a = 6 n = 4 Jadi, f'(x) = 6(4x4 – 1) = 24x3 November 26, 2014
- 11. 1. Turunan Fungsi Sinus Jika f(x) = sin x, maka turunannya adalah f'(x) = cos x 2. Turunan Fungsi Kosinus Jika f(x) = cos x, maka turunannya adalah f'(x) = –sin x. Dengan menggunakan rumus akan diperoleh a. Jika f(x) = a sin x maka f'(x) = a cos x. b. Jika f(x) = a cos x maka f'(x) = –a sin x. c. Jika f(x) = tan x maka f'(x) = sec2 x. d. Jika f(x) = csc x maka f'(x) = –csc x cot x. e. Jika f(x) = sec x maka f'(x) = sec x tan x. f. Jika f(x) = cot x maka f'(x) = –csc2 x. November 26, 2014
- 12. a. f(x) = c u(x), turunannya f'(x) = c u'(x). b. f(x) = u(x) ± v(x), turunannya f'(x) = u'(x) ± v'(x). c. f(x) = u(x) v(x), turunannya f'(x) = u'(x) v(x) + u(x) v'(x). u x d. f(x) = , v(x) ≠ 0, turunannya e. f(x) = u(x)n, turunannya f'(x) = n(u(x))n – 1u'(x). f x = u x v x -u x v x ( ) '( ) '( ) ( ) ( ) '( ) v 2 ( x ) November 26, 2014 ( ) v x
- 13. Contoh: Tentukan f'(x) jika diketahui f(x) = (7x2 – 5)8. Jawab: f(x) = {u(x)}8 u(x) = 7x2 – 5 Dengan demikian, u'(x) = 14x. f'(x) = 8(7x2 – 5)8 – 1 (14x) = 112(7x2 – 5)7 Jadi, f'(x) = 112(7x2 – 5)7. November 26, 2014
- 14. Misal terdapat fungsi y = f(u(x)), turunan fungsinya ditentukan dengan rumus Misalkan terdapat fungsi y = f(u(v(x))), turunan fungsinya dapat ditentukan dengan November 26, 2014
- 15. Contoh 1: Tentukan turunan fungsi y = (3x – 2)2. Jawab: Misalkan u = 3x – 2. Dengan demikian, y = u2 Þ u = 3x – 2 = Jadi, = 2u × 3 = 2(3x – 2)(3) =18x – 12. November 26, 2014
- 16. Contoh 2: Tentukan turunan fungsi y = cos (sin (2x – 1 )). Jawab: Misalkan u = 2x – 1 v = sin u y = cos v November 26, 2014
- 17. 1. Turunan Fungsi Eksponen (y = ex) Jika y = ex maka y' = ex. Secara umum, dapat ditentukan turunan fungsi y = eax + b Jika y = eax + b maka y' = aeax + b November 26, 2014
- 18. Contoh: Tentukan turunan dari fungsi berikut. a. y = e5x b. y = e–x + 3 Jawab: a. y = e5x maka y' = 5e5x b. y = e –x + 3 maka y' = –e –x + 3 November 26, 2014
- 19. ln x = y Û x = ey Jika y = ln x maka Secara umum, dapat ditentukan turunan y = ln u, dengan u = f(x), adalah sebagai berikut. Jika y = ln u, dengan u = f(x) maka November 26, 2014
- 20. Perhatikan turunan fungsi-fungsi berikut. a. y = 2 ln x maka b. y = ln (kx + c) Misalkan u = kx + c. Oleh karena itu, u' = k sehingga c. y = ln (6x5 – 3x2 + 2x) u = 6x5 – 3x2 + 2x. Oleh karena itu, u' = 30x4 – 6x + 2 sehingga November 26, 2014
- 21. 1. Pengertian Fungsi Naik, Fungsi Turun, dan Nilai Stasioner f(x) Grafik fungsi f(x) naik pada interval a < x < b dan interval d < x < e. Grafik fungsi turun pada interval b < x < c. Grafik fungsi tidak naik dan tidak turun (stasioner) pada interval c < x < d. November 26, 2014 Y 0 a b C d e X
- 22. Cara menentukan interval suatu fungsi naik atau turun. Misalkan diberikan fungsi y = f(x). a. Grafik f(x) naik jika f'(x) > 0. b. Grafik f(x) turun jika f'(x) < 0. c. Grafik f(x) stasioner (tidak naik dan tidak turun) jika f'(x) = 0. November 26, 2014
- 23. Contoh: Tentukan interval yang menyebabkan fungsi f(x) = x2 + 2x + 1 naik atau turun, serta titik stasionernya. Jawab: f(x) = x2 + 2x + 1 Þ f'(x) = 2x + 2 = 2(x + 1). Fungsi naik jika f'(x) > 0 Þ 2(x + 1) > 0 Û x > –1. Fungsi turun jika f'(x) < 0 Þ 2(x + 1) < 0 Û x < –1. Fungsi stasioner jika f'(x) = 0 Þ 2(x + 1) = 0 Û x = –1 sehingga f(–1) = 0. Jadi, titik stasionernya (–1, 0). Secara geometris, dapat dilihat pada grafik f(x) = x2 + 2x + 1 berikut. November 26, 2014
- 24. November 26, 2014 Grafik f(x) = x2 + 2x + 1
- 25. Turun Naik a X Naik Turun a X Naik a X Naik (a) (b) (c) Turun a X Turun (d) November 26, 2014
- 26. Misalkan x = a adalah stasioner. Jika pada x < a, f(x) turun dan x > a , f(x) naik maka x = a adalah titik balik minimum. (Gambar (a)) Jika pada x < a ,f(x) naik dan x > a, f(x) turun maka x = a adalah titik balik maksimum. (Gambar (b)) Jika pada x < a, f(x) naik dan x > a, f(x) juga naik maka x = a adalah titik belok. (Gambar (c)) Jika pada x < a, f(x) turun dan x > a, f(x) juga turun maka x = a adalah titik belok. (Gambar (d)) November 26, 2014
- 27. Contoh: Tentukan nilai-nilai stasioner fungsi f(x) = x2 – 3x + 2 dan jenisnya. Jawab: f(x) = x2 – 3x + 2 Þ f'(x) = 2x – 3. Nilai stasioner dicapai jika f'(x) = 0, yaitu di titik . Untuk fungsinya turun. Untuk maka fungsinya naik. Dengan demikian, nilai stasioner pada yaitu adalah titik balik minimum, tepatnya adalah titik November 26, 2014
- 28. Secara geometris dapat dilihat pada grafik berikut. November 26, 2014
- 29. Dalam menggambar grafik suatu fungsi f(x), langkah-langkah yang perlu kalian perhatikan adalah sebagai berikut. 1. Menentukan titik potong fungsi f(x) dengan sumbu-sumbu koordinat (sumbu X dan sumbu Y). 2. Menentukan titik-titik stasioner atau titik ekstrem dan jenisnya. 3. Menentukan titik-titik sembarang dalam fungsi untuk memperhalus grafik. November 26, 2014
- 30. Contoh: Sketsalah grafik fungsi f(x) = 2x3 – x4. Jawab: Langkah 1: f(x) = 2x3 – x4 = x3(2 – x) = 0 x = 0 atau x = 2 Þ (0, 0) dan (2, 0). Titik potong dengan sumbu Y, x = 0 sehingga f(0) = 0 Þ (0, 0) Langkah 2: f(x) = 2x3 – x4 Þ f'(x) = 6x2 – 4x3 = 2x2(3 – 2x) = 0 x = 0 atau November 26, 2014
- 31. a) Untuk x = 0 Untuk x < 0 maka f'(x) > 0 Þ fungsi f(x) naik. Untuk x = 0 merupakan nilai di mana terdapat titik belok Untuk maka f'(x) > 0 Þ f(x) naik. Jadi x = 0 merupakan nilai di mana terdapat titik belok. b) Untuk Untuk maka f'(x) > 0 Þ f(x) naik. Untuk maka f'(x) < 0 Þ f(x) turun. Jadi titik balik maksimum November 26, 2014
- 32. Grafiknya adalah seperti gambar berikut. November 26, 2014 Arah gradiennya seperti ditunjukkan gambar berikut.
- 33. 1. Menentukan Persamaan Garis Singgung Kurva Persamaan garis di titik (a, b) dan bergradien m adalah y – b = m(x – a). Karena gradien garis singgung f(x) di titik (a, b) adalah y' = f'(a), persamaannya dapat dirumuskan dengan y – b = f'(a)(x – a) November 26, 2014
- 34. Contoh: Tentukan persamaan garis singgung fungsi f(x) = x2 di titik (2, 4). Jawab: f(x) = x2 f'(x) = 2x. f'(2) = 2(2) = 4. Oleh karena itu, persamaan garis singgungnya adalah y – 4 = 4(x – 2) Û y = 4x – 4 November 26, 2014
- 35. 2. Perhitungan Kecepatan dan Percepatan s D Kecepatan rata-rata = v(t) = Ds = perubahan jarak; Dt = perubahan waktu. Jika Δt → 0, kecepatan v(t) dirumuskan dengan ds v(t) = atau v(t) = s D lim Misalkan percepatan pada saat t dinotasikan dengan a(t). a(t) = November 26, 2014 t D dt t t D D ®0 2 2 dt d s dv ÷ø çè = d æ ds ö = dt dt dt
- 36. Contoh: Suatu benda bergerak sepanjang garis lurus. Jarak yang ditempuh benda tersebut dalam waktu t detik adalah meter. Tentukan kecepatan benda pada waktu t = 2 detik. Jawab: Kecepatan benda saat t = 2 detik adalah sebagai berikut. v(t) = = 2t2 – 9t + 10 v(2) = 2(2)2 – 9(2) + 10 Hal ini berarti pada saat t = 2 detik, benda berhenti sesaat karena pada waktu itu kecepatannya nol. November 26, 2014 ds dt
- 37. 3. Menentukan Limit Tak Tentu Salah satu manfaat turunan adalah menentukan nilai limit fungsi jika limit tersebut memiliki bentuk tak tentu. Aplikasi ini sering disebut dengan dalil L’Hopital. Jika f(x) dan g(x) memiliki turunan di x = a dan f(a) = g(a) = 0, sedangkan f'(a) dan g'(a) tidak nol, berlaku rumus berikut. November 26, 2014 f a '( ) '( ) f x lim '( ) = = '( ) f x lim ( ) ( ) g a g x g x x ® a x ® a
- 38. Contoh: Tentukan nilai . Jawab: f(x) = x – 2 g(x) = x2 – 4 Kita cek, f(2) = 0 dan g(2) = 0. Akibatnya, . Kita gunakan dalil L’Hopital: Diperoleh f'(x) = 1 dan g'(x) = 2x. 1 lim 1 - lim 2 Jadi, . November 26, 2014 4 ® x ® 2 x 2 2 2 4 = = - x x x
- 39. 4. Menyelesaikan Kasus Maksimum atau Minimum Contoh: Suatu persegi panjang mempunyai keliling 200 cm. Tentukan panjang dan lebarnya agar luas bangun itu maksimum. Jawab: Misalkan panjang = p dan lebarnya = l. Kelilingnya adalah K = 2p + 2l Û 200 = 2p + 2l Û p = 100 – l Luasnya L = pl = (100 – l)l = 100l – l2. November 26, 2014
- 40. Agar luasnya maksimum, turunan fungsi L harus nol. November 26, 2014 =100 – 2l = 0 Û l = 50 ds dt p = 100 – l = 100 – 50 = 50 Dengan demikian, agar luas bangun itu maksimum, lebarnya 50 cm dan panjangnya 50 cm.