Bahan ajar
- 1. Menggunakan Turunan Fungsi dalam Menyelesaikan Masalah yang Berkaitan dengan Nilai Ekstrim Contoh ilustrasi a. Sebuah benda bergerak dengan panjang lintasan 푠 = 20푡 − 5푡2 − 5푡3 ( s dalam meter dan t dalam detik. Berapa panjang lintasan terbesar? b. Dalam proyek bangunan dapat diselesaikan dalam tempo x hari dengan biaya proyek per hari sama dengan (2푥 + 1.000 푥 − 40) juta rupiah. Berapa biaya proyek minimum? Langkah-langkah pemecahan masalah yang berkaitan dengan problem nilai ekstrim: 1. Tetapkan besaran yang ada dalam masalah sebagai variabel (dilambangkan dengan huruf-huruf) untuk memperoleh hubungan atau ekspresi matematikanya. 2. Tetapkan rumus fungsi satu variabel yang merupakan model matematika dari masalah. 3. Tentukan penyelesaian optimum (maksimum atau minimum) dari model matematika yang diperoleh pada Langkah 2. 4. Berikanlah tafsiran terhadap hasil yang diperoleh pada Langkah 3 disesuaikandengan masalah semula. Contoh: 1. Sebuah besi beton dengan panjang 10 m dirancang berbentuk menyerupai huruf U dengan cara membengkokkan ujung-ujungnya. Jika L menyatakan luas penampang dari bentuk rancangan itu, tentukan luas penampang maksimum? Jawab: Misalkan bagian ujung yang dibengkokkan masing-masing mempunyai panjang 푥, maka panjang bagian yang lurus adalah (10 − 2푥). Maka model matematikanya adalah 퐿 = (10 − 2푥). (푥) = 10푥 − 2푥² Turunan pertama dan kedua dari 퐿(푥) adalah 퐿′ (푥) = 10 − 4푥 푑푎푛 퐿"(푥) = −4
- 2. Syarat perlu ekstrim diperoleh dari 퐿′ (푥) = 0 10 − 4푥 = 0 ↔ 푥 = 5 2 Karena 퐿"(푥) = −4, maka berdasarkan uji turunan kedua akan terjadi nilai balik maksimum pada 푥 = 5 2 dan nilai balik maksimum itu adalah 퐿 (5 2 ) = 10 (5 2 ) − 2 (5 2 ) 2 = 25 2 Jadi, luas penampang maksimum adalah L = 25 2 m², dicapai jika ujung-ujung kawat dibengkokkan sepanjang 푥 = 5 2 푚. 2. Jumlah dua buah bilangan adalah 18. Tentukan kedua bilangan itu agar menghasilkan perkalian yang terbesar? Jawab: Misal, dua bilangan itu 푥 dan 푦, maka 푥 + 푦 = 18 푦 = 18 − 푥 ... (1) Misal, perkalian terbesar adalah ℎ(푥), 푥. 푦 = ℎ(푥) substitusi persamaan (1) ke persamaan ℎ(푥) 푥. (18 − 푥) = ℎ(푥) 18푥 − 푥² = ℎ(푥) Akan dicari nilai terbesar ℎ(푥) ℎ’(푥) = 18 − 2푥 ℎ”(푥) = −2, karena ℎ”(푥) < 0 maka ℎ(푥) adalah nilai balik maksimum nilai stasioner ℎ(푥) didapat jika ℎ’(푥) = 0 ℎ’(푥) = 0 18 − 2푥 = 0 18 = 2푥 푥 = 9 . . . (2) substitusi pers (2) ke pers (1) 푦 = 18 − 푥 = 18 − 9 푦 = 9
- 3. Jadi, kedua bilangan itu agar menghasilkan perkalian yang terbesar didapat 푥 = 9 dan 푦 = 9 . 3. Sebuah persegi panjang yang lebarnya (8 − 푥) 푐푚 memiliki keliling (2푥 + 24) 푐푚. Agar luasnya maksimum, tentukanlah panjangnya? Jawab: Misal: luas persegi panjang adalah 푙 = (8 − 푥) 푐푚 Keliling persegi panjang adalah 퐾 = (2푥 + 24) 푐푚 Maka, 퐾 = 2(푝 + 푙) (2푥 + 24) = 2( p + (8 − 푥)) 푥 + 12 = 푝 + (8 − 푥) 2푥 + 4 = 푝 Luas persegi panjang dalam m² adalah 퐿 = 푝. 푙 = (2푥 + 4). (8 − 푥) = 16푥 − 2푥² + 32 − 4푥 퐿 = −2푥² + 12푥 + 32 Akan dicari nilai maksimum L 퐿’ = −4푥 + 12 퐿” = −4, karena 퐿” < 0 maka 퐿 adalah nilai balik maksimum Agar luasnya maksimum haruslah 퐿′ = 0 퐿’ = 0 −4푥 + 12 = 0 −4푥 = −12 푥 = 3 Sehingga, 푝 = 2(3) + 4 = 10 〰푚 Jadi, agar luas persegi panjang maksimum didapat panjangnya 10 cm.