Downloaded 128 times
![Fungsi f(x) dipandang periodik dengan periode
p = 4. Kita dapat menggambarkan f(x) pada interval
[ -6,6] sebagai berikut:
; 2 0
( )
;0 2
x x
f x
x x
− − ≤ <
=
≤ <
2-2 4 6-4-6
5KPB-7-firda](https://image.slidesharecdn.com/7-180830075527/75/Deret-Fourier-5-2048.jpg)
Uploaded byKelinci Coklat
Deret Fourier
Dokumen ini membahas deret Fourier dan koefisiennya, mencakup konsep fungsi periodik, serta pembahasan sifat-sifat fungsi genap dan ganjil. Selain itu, terdapat penjelasan tentang transformasi Fourier dan contoh-contoh aplikasi dalam menentukan deret Fourier untuk berbagai jenis fungsi. Terdapat juga latihan untuk memperkuat pemahaman tentang deret Fourier.
More Related Content
Deret Fourier
- 1.
- 2. 1. Fungsi-fungsi Periodik 2.Definisi Deret Fourier dan Koefisien Fourier 3. Deret Fourier Sinus dan Cosinus 4. Deret Fourier Sinus dan Cosinus Setengah Jangkauan 5. Identitas Parseval 6. Integral Fourier 7. Transformasi Fourier 8. Sifat Transformasi Fourier Materi : 2KPB-7-firda
- 3. 1. Fungsi Periodik •Fungsi f(x) disebut fungsi periodik bila • p terkecil disebut periode dari f ( ) ( ), fp f x p f x x D+ ∃ ∈ℜ ∋ + = ∀ ∈ Sifat fungsi periodik : Jumlah fungsi periodik adalah periodik. Misal 1 2( ), ( ),..., ( )nf x f x f x fungsi periodik dengan periode 1 2, ,..., ,np p p maka 1 2( ) ( ) ( ) ... ( )nf x f x f x f x= + + + periodik dengan periode p= KPK dari 1 2, ,..., .np p p 3KPB-7-firda
- 4. • Fungsi y= sin x p = 2π • Fungsi y = sin 2x p = π • Fungsi y = sin (nx) p = 2π/n • Fungsi y = cos (nx) p = 2π/n • Fungsi y = tan (x) p = π • Fungsi y = tan (nx) p = π/n 4KPB-7-firda
- 5. Fungsi f(x) dipandangperiodik dengan periode p = 4. Kita dapat menggambarkan f(x) pada interval [ -6,6] sebagai berikut: ; 2 0 ( ) ;0 2 x x f x x x − − ≤ < = ≤ < 2-2 4 6-4-6 5KPB-7-firda
- 6. Soal Latihan 1. Apakahfungsi berikut periodik ? Bila ya, tentukan periodenya. a) f(x) = cos 6 x b) f(x) = 5 sin ( 2x + π ) - 2 c) f(x) = sin 2 x+ cos x d) f(x) = sin 2 x + cos 4 x 2. Gambarkan grafik dari fungsi berikut yang dipandang periodik dengan periode diketahui 1 ;0 3 ) ( ) ; 6 1 ; 3 0 x a f x p x ≤ < = = − − ≤ < 2 1 ;0 2 ) ( ) ; ( 4) ( ) 1 ; 2 0 x x b f x f x f x x + ≤ < = + = − ≤ < 6KPB-7-firda
- 7. • Misalkan fungsif(x) terdefinisi pada (-L,L) dan diluar interval ini, dan f(x) periodik dengan periode 2L, kontinu bagian demi bagian, maka Deret Fourier dari f(x) didefinisikan sebagai: 0 1 ( ) cos sin 2 n n n a nx n x f x a b L L π π∞ = = + + ÷ ∑ 1 ( ) cos , L n L n x a f x dx L L π − = ∫ 1 ( ) sin L n L n x b f x dx L L π − = ∫ 2. Definisi Deret Fourier dan Koefisien Fourier dengan koefisien Fourier 0, ,n na a b adalah 0 1 ( ) , L L a f x dx L − = ∫ 7KPB-7-firda
- 8. • Jika fungsif(x) terdefinisi pada (0,2L) dan diluar interval ini, dan f(x) periodik dengan periode 2L, kontinu bagian demi bagian, maka koefisien Fourier ditentukan dengan: 2 0 1 ( ) cos , L n n x a f x dx L L π = ∫ 2 0 1 ( ) sin L n n x b f x dx L L π = ∫ 2 0 0 1 ( ) , L a f x dx L = ∫ 8KPB-7-firda
- 9. 0 ; 50 ( ) 3 ; 0 5 x f x x − < < = < < Tentukan Deret Fourier untuk f(x) ! Contoh : dengan periode = 10. Jawab : Periode 10 L = 5 9KPB-7-firda
- 10. 5 0 1 3 3. 5 dx= =∫ 535 sin 05 5 n x n π π = ÷ 0= 5 0 5 1 ( ) 5 a f x dx − = ∫ 0 5 5 0 1 1 0 3cos 5 5 5 n x dx dx π − = +∫ ∫ 5 5 1 ( )cos 5 5 n n x a f x dx π − = ∫ 5 5 1 ( )sin 5 5 n n x b f x dx π − = ∫ 53 5 cos 05 5 n x n π π = − ÷ 5 0 3 cos 5 5 n x dx π = ∫ 0 5 5 0 1 1 0 3sin 5 5 5 n x dx dx π − = +∫ ∫ 5 0 3 sin 5 5 n x dx π = ∫ 3(1 )cosn n π π − = 10KPB-7-firda
- 11. Maka Deret Fourierdari f(x) dituliskan berikut : 0 1 ( ) cos sin 2 n n n a n x n x f x a b L L π π∞ = = + + ÷ ∑ 1 3 3(1 cos ) sin 2 5n n n x n π π π ∞ = − = +∑ 3 6 1 3 1 5 sin sin sin ... 2 5 3 5 5 5 x x xπ π π π = + + + + ÷ 1 3 6 1 (2 1) sin 2 (2 1) 5n n x n π π ∞ = − = + − ∑ 11KPB-7-firda
- 12. Latihan 2. Ekspansikan fungsiberikut ke dalam deret Fourier dengan periode 8. 2 ;0 4 ( ) 6 ;4 8 x x f x x x − < < = − < < 1. Ekspansikan fungsi berikut ke dalam deret Fourier dengan periode 4. 8 ;0 2 ( ) 8 ;2 4 x f x x < < = − < < 0 ; 2 0 ( ) 1 ;0 2 x f x x x − < < = + < < 3. Ekspansikan fungsi berikut ke dalam deret Fourier dengan periode 4. 12KPB-7-firda
- 13. 1 1 ; 2 2() 1 3 1 ; 2 2 x x f x x x − < < = − < < 4. Ekspansikan fungsi berikut ke dalam deret Fourier dengan periode 2. 5. Ekspansikan fungsi berikut ke dalam deret Fourier dengan periode p=2L, sketsa grafik f(x), dan tentukan jumlah parsial deret untuk n = 3. . ( ) 2 ,0 2 ,a f x x x Lπ π= < < = 1 . ( ) cos ,0 1 , 2 b f x x x Lπ= < < = 13KPB-7-firda
- 14. Fungsi Genap danFungsi Ganjil • Fungsi disebut fungsi genap bila berlaku • Fungsi disebut fungsi ganjil bila berlaku ( )f x ( ) ( ) , ff x f x x D− = ∀ ∈ ( )f x ( ) ( ) , ff x f x x D− = − ∀ ∈ 14 f(x) fungsi genap 0 ( ) 2 ( ) a a a f x dx f x dx − =∫ ∫ Contoh fungsi genap : 2 6 2 ; 2 4 5 ; cosy x y x x y x= = − + = 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( )f x x f x x x f x= → − = − = = maka 2 ( )f x x= fungsi genap KPB-7-firda
- 15. f(x) fungsi ganjil ( ) 0 a a f x dx − =∫ Contoh fungsi ganjil: 3 5 3 ; 3 2 ; siny x y x x x y x= = − + = 15 3 3 3 ( ) ( ) ( ) ( )f x x f x x x f x= → − = − = − = − maka 3 ( )f x x= fungsi ganjil KPB-7-firda
- 16. Sifat fungsi genap/ ganjil: • Grafik fungsi genap, simetris terhadap sumbu Y • Grafik fungsi ganjil, simetris terhadap titik pusat. • Hasilkali dua fungsi genap fungsi genap • Hasilkali dua fungsi ganjil fungsi genap • Hasilkali fungsi genap dan fungsi ganjil fungsi ganjil. ( )y f x= ( )y f x= 16KPB-7-firda
- 17. 17 Y a-a Y a -a Contoh grafik fungsigenap Contoh grafik fungsi ganjil * Hasilkali fungsi ganjil dan fungsi genap adalah fungsi ganjil. Bukti: Misal ( ) ( ) ( ), ( )ganjil, ( )genapf x h x g x h x g x= maka ( ) ( ) ( )f x h x g x− = − − ( ) ( ) ( )f x h x g x→ − = − ( ) ( )f x f x→ − = − f fungsi ganjil KPB-7-firda
- 18. Soal Latihan Selidiki apakahfungsi berikut genap, ganjil atau tidak keduanya cos ;0 4. ( ) ; ( 2 ) ( ) 0 ; 2 x x f x f x f x x π π π π < < = + = < < 1. ( ) (1 ), 0 1 , 1f x x x x p= − < < = 3;0 2 2. ( ) , 4 3 ;2 4 x f x p x − < < = = < < 3. ( ) (4 ) ; 4f x x x p= − = 18KPB-7-firda
- 19. • Jika f(x)fungsi ganjil terdefinisi pada ( -L,L ) • kontinu bagian demi bagian dan • periodik dengan periode p = 2L 0 1 ( ) 0, L L a f x dx L − = =∫ 1 ( ) cos 0 L n L n x a f x dx L L π − = =∫ 1 ( ) sinn n n x f x b L π∞ = = ∑ Maka koefisien Fourier, Sehingga Deret Fourier menjadi Deret Fourier Sinus 3. Deret Fourier Sinus dan Cosinus 19 0 2 ( ) sin L n n x b f x dx L L π = ∫ KPB-7-firda
- 20. • Jika f(x)fungsi genap terdefinisi pada ( -L,L ) • kontinu bagian demi bagian dan • periodik dengan periode p = 2L 0 1 ( ) cos 2 n n a n x f x a L π∞ = = +∑ Deret Fourier Cosinus Sehingga Deret Fourier menjadi Maka koefisien Fourier, 1 ( ) sin 0, L n L n x b f x dx L L π − = =∫ 20 0 2 ( ) cos L n n x a f x dx L L π = ∫ 0 0 2 ( ) L a f x dx L = ∫ KPB-7-firda
- 21. Contoh: Tentukan DeretFourier untuk 2 ;0 3 (1). ( ) 2 ; 3 0 x f x x ≤ < = − − ≤ < -3 3 2 -2 f(x) fungsi ganjil 3 3 1 ( ) sin 3 3 n n x b f x dx π − = ∫ , ( 6) ( )f x f x+ = Koefisien Fourier : Jawab: 21 KPB-7-firda
- 22. 3 3 1 ( ) sin 33 n n x b f x dx π − = ∫ 0 3 3 0 1 1 2sin 2sin 3 3 3 3 n x n x dx dx π π − = − +∫ ∫ 0 32 2 cos cos 3 03 3 n x n x n n π π π π − = + − ( ) ( ) 2 2 1 cos cos 1n n n n π π π π − = − + − ( ) 4 1 cos n n π π = − ( ) 1 4 ( ) 1 cos sin 3n n x f x n n π π π ∞ = = −∑ Sehingga Deret Fouriernya : 22KPB-7-firda
- 23. ( ) 1 4 ( )1 cos sin 3n n x f x n n π π π ∞ = = −∑ ( ) ( ) 1 2 18 sin 2 1 3n n x n π π ∞ = − = − ∑ 4 4 2 4 3 (1 cos )sin (1 cos 2 )sin (1 cos3 )sin 3 2 3 3 3 x x xπ π π π π π π π π = − + − + − + 4 4 4 5 (1 cos4 )sin (1 cos5 )sin ... 4 3 5 3 x xπ π π π π π − + − + 8 8 3 4 5 sin 0 sin 0 sin ... 3 3 3 5 3 x x xπ π π π π π = + + + + + 23KPB-7-firda
- 24. 4. Deret FourierSinus & Cosinus Setengah Jangkauan Deret Sinus atau Cosinus setengah jangkauan adalah suatu deret yang hanya mempunyai suku-suku yang memuat sinus atau cosinus saja. (i) Jika f(x) terdefinisi pada interval (0,L), (yaitu setengah dari interval (-L,L) dan f(x) fungsi ganjil, maka diperoleh Deret Sinus setengah Jangkauan: 0 2 ( ) sin L n n x b f x dx L L π = ∫ 1 ( ) sinn n n f x b x L π∞ = ⇒ = ∑ 0 0 ; 0 ;na a= = 24KPB-7-firda
- 25. 0 0 2 ( ) , L af x dx L = ∫ 0 2 ( )cos , 0 L n n n x a f x dx b L L π = =∫ 0 1 ( ) cos 2 n n a n f x a x L π∞ = ⇒ = + ∑ (ii) Jika f(x) terdefinisi pada interval (0,L), (yaitu setengah dari interval (-L,L) dan f(x) fungsi genap, maka diperoleh Deret Cosinus setengah Jangkauan: 25KPB-7-firda
- 26. 26 Bukti : Jika f(x)fungsi genap: 1 ( )cos L n L n x a f x dx L L π − = ∫ 0 0 1 1 ( )cos ( )cos L L n x n x f x dx f x dx L L L L π π − = +∫ ∫ misal ;x u dx du= − → = − 0 0 1 1 ( ) ( )cos ( )cos ( ) L L n x n u f x dx f u du L L L L π π − − = − −∫ ∫ 0 1 ( ) ( )cos ( ) L n u f u du L L π = ∫Sifat fungsi genap 0 0 1 2 ( ) ( ) L L L a f x dx f x dx L L− = =∫ ∫ KPB-7-firda
- 27. 27 Sehingga 0 0 1 1 ()cos ( )cos L L n n u n x a f u du f x dx L L L L π π = +∫ ∫ 0 2 ( )cos L n n x a f x dx L L π = ∫ 1 ( )sin L n L n x b f x dx L L π − = ∫ 0 0 1 1 ( )sin ( )sin L L n x n x f x dx f x dx L L L L π π − = +∫ ∫ misal ;x u dx du= − → = − 0 0 1 1 ( ) ( )sin ( )sin ( ) L L n x n u f x dx f u du L L L L π π − − = − −∫ ∫ KPB-7-firda
- 28. 28 0 0 1 1( ) ( )sin ( )sin ( ) L L n x n u f x dx f u du L L L L π π − − = − −∫ ∫ 0 1 ( ) ( )sin ( ) L n u f u du L L π = − ∫ 0 1 ( )sin L n x f x dx L L π = − ∫ Sehingga 0 0 1 1 ( )sin ( )sin L L n n x n x b f x dx f x dx L L L L π π = − +∫ ∫ 0nb = KPB-7-firda
- 29. Soal Latihan 1. Ekspansikanfungsi yang dipandang periodik dengan periode p = 4 ke dalam a. deret sinus setengah jangkauan b. deret cosinus setengah jangkauan ( ) ;0 2f x x x= < < 2. Ekspansikan f ungsi ( ) ;0 1f x x x= < < kedalam deret sinus setengah jangkauan, dan gambarkan grafik yang dipandang periodik, p=2 perluasannya. 29KPB-7-firda
- 30. 3. Fungsi periodikdengan periode 2π. Tentukan deret Fourier sinus untuk f(x). Gambar grafik perluasannya pada selang – 3 π < x < 3 π ( ) ;0f x x xπ π= − < < 1 2,0 2 ( ) 1 0, 1 2 x f x x < < = < < 4. Fungsi f(x) periodik dengan periode 2, Tentukan deret Fourier Cosinus untuk f(x). dan gambarkan grafik perluasannya pada 3 3.x− < < 30KPB-7-firda
- 31. 31 5. Identitas Parseval jikadann na b koefisien Fourier dari ( )f x uniform ke pada (-L,L). ( ) ( ) 2 2 2 20 1 1 ( ) 2 L n n nL a f x dx a b L ∞ =− = + +∑∫ Identitas Parseval menyatakan bahwa, yang konvergen ( )f x KPB-7-firda
- 32. 32 Konvergen Uniform Andaikan terdapatsebuah deret tak hingga 1 ( )n n u x ∞ = ∑ dan 1 ( ) ( ) R R n n S x u x = = ∑ jumlah parsial ke R dari deret tersebut. Deret dikatakan konvergen ke ( )f x pada suatu interval I, jika 0, Nε∀ > ∃ Jika N hanya tergantung pada ε tidak tergantung pada x, maka ( ) - ( ) untukRS x f x R Nε< > positif pada setiap x I∈ sehingga ( ).f xderet dikatakan konvergen uniform ke KPB-7-firda
- 33. 33 Sifat deret yangkonvergen uniform : Jika masing-masing suku dari deret tak hingga kontinu pada (a,b), dan deret konvergen uniform ke ( ),f x maka 1. ( )f x kontinu pada interval tersebut. 2. Deret tersebut dapat diintegralkan suku demi suku, yaitu 1 1 ( ) ( ) b b n n n na a u x dx u x dx ∞ ∞ = = = ∑ ∑∫ ∫ KPB-7-firda
- 34. 34 Bukti identitas Parseval: 0 1 () L L a f x dx L − = ∫ 1 ( )cos L n L n x a f x dx L L π − = ∫ 1 ( )sin L n L n x b f x dx L L π − = ∫ 0 1 ( ) cos sin 2 n n n a n x n x f x a b L L π π∞ = = + + ÷ ∑ ( ) 2 0 1 ( ) ( ) ( )cos ( )sin 2 n n n a n x n x f x f x a f x b f x L L π π∞ = = + + ÷ ∑ 0 ( ) L L a L f x dx − → = ∫ ( )cos L n L n x a L f x dx L π − → = ∫ ( )sin L n L n x b L f x dx L π − → = ∫ KPB-7-firda
- 35. 35 ( ) 2 0 1 () ( ) ( )cos ( )sin 2 L L L L n n nL L L L a n x n x f x dx f x dx a f x dx b f x dx L L π π∞ =− − − − = + +∑∫ ∫ ∫ ∫ ( ) 2 0 0 1 ( ) ( ) ( ) 2 L n n n n nL a f x dx a L a a L b b L ∞ =− = + +∑∫ ( ) ( ) 2 2 2 20 1 1 ( ) 2 L n n nL a f x dx a b L ∞ =− = + +∑∫ na L nb L0a L KPB-7-firda
- 36. 36 Contoh: ( ) ;02f x x x= < < periodik dengan p=4, (ii) tentukan 4 4 4 4 1 1 1 1 ... ... 1 2 3 n + + + + + Jawab: (i) ekspansikan f(x) ke dalam deret cosinus setengah jangkauan 2 0 0 2 , 0na x dx b= = =∫ 2 0 2 cos 2 2 n n x a x dx π = ∫ 2 2 22 4 sin cos 02 2 n x n x x n n π π π π − = − ÷ ÷ 2 2 4 (cos 1), 0n n n π π = − ≠ (i) KPB-7-firda
- 37. 37 0 2 2 4 2,2, (cos 1), 0, 0.n nL a a n n b n π π = = = − ≠ = 0 1 ( ) cos sin 2 2 2 n n n a n x n x f x a b π π∞ = = + +∑ 2 2 1 4 ( ) 1 (cos 1)cos 2n n x f x n n π π π ∞ = = + −∑ 2 2 2 8 1 3 1 5 1 cos cos cos ... 2 2 23 5 x x xπ π π π = − + + + ÷ 2 2 1 8 1 (2 1) 1 cos 2(2 1)n n x n π π ∞ = − = − − ∑ (ii) Identitas Parseval: ( ) ( ) 2 2 2 20 1 1 ( ) 2 L n n nL a f x dx a b L ∞ =− = + +∑∫ KPB-7-firda
- 38. 38 2 2 2 2 44 12 1 2 16 (cos 1) 2 2 n x dx n n π π ∞ =− = + −∑∫ 4 4 4 4 8 64 1 1 1 2 ... 3 1 3 5π = + + + + ÷ 4 4 4 4 64 1 1 1 2 ... 31 3 5π + + + = ÷ 4 4 4 4 1 1 1 ... 961 3 5 π + + + = 4 4 4 1 1 1 ... 1 2 3 S = + + +Misal KPB-7-firda
- 39. 39 4 4 4 11 1 ... 1 2 3 S = + + + 4 4 4 4 4 4 1 1 1 1 1 1 ... ... 1 3 5 2 4 6 = + + + + + + + ÷ ÷ 4 4 4 4 4 4 4 1 1 1 1 1 1 1 ... ... 1 3 5 2 1 2 3 = + + + + + + + ÷ ÷ 4 4 4 1 1 1 ... 161 3 5 S S = + + + + ÷ 4 4 4 1 1 1 15 ... 161 3 5 S + + + = 4 4 15 96 16 90 S S π π = → = KPB-7-firda
- 40. 40 2 2 2 2 cos2 cos 4 cos6 (i) ( ) ... 6 1 2 3 x x x x x π π − = − + + + ÷ Soal Latihan 1. Buktikan bahwa untuk 0 ,x π≤ ≤ 3 3 3 8 sin sin 3 sin5 (ii) ( ) ... 1 3 5 x x x x xπ π − = + + + ÷ 2. Gunakan soal 1 untuk menunjukkan bahwa 2 2 1 1 (i) 6n n π∞ = =∑ 1 2 2 1 ( 1) (ii) 12 n n n π−∞ = − =∑ 1 3 3 1 ( 1) (iii) 32(2 1) n n n π−∞ = − = − ∑ 4 4 1 1 (iv) 90n n π∞ = =∑ 6 6 1 1 (v) 945n n π∞ = =∑ KPB-7-firda
- 41. 41 3. Tunjukkan bahwa 3 33 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 3 2 ... . 1281 3 5 7 9 11 π + − − + + − = 4. Tunjukkan bahwa 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 8 ... . 161 .3 3 .5 5 .7 π − + + + = KPB-7-firda