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Ejercicios resueltos de analisis matematico 1
- 1. Método de derivaciónlogarítmica Lo utilizamos para funciones especiales: 𝑦 = 𝑓(𝑥)𝑔 𝑥 exponente variable Base variable Cuidado!! No confundir con función potencia: 𝑦 = 𝑥𝑚 exponente constante base variable Ó función exponencial: 𝑦 = 𝑎𝑥 exponente variable base constante
- 2. • Primero sedebe tomar ln en ambos miembros • Aplicar propiedades de los logaritmos en el segundo miembro • Derivar en ambos términos • Despejar “y” al otro miembro de la igualdad • Reemplazar a “y” por su igual (la función dada) Ejemplos: 𝑦 = 𝑥𝑥 𝑙𝑛𝑦 = ln 𝑥𝑥 tomamos ln en ambos miembros de la igualdad 𝑙𝑛𝑦 = 𝑥. 𝑙𝑛𝑥 aplicamos propiedad del ln 1 𝑦 . 𝑦′ = 1. 𝑙𝑛𝑥 + 𝑥. 1 𝑥 derivamos ambos miembros 𝑦′ = 𝑙𝑛𝑥 + 1 . 𝑦 despejamos 𝑦′ = 𝑙𝑛𝑥 + 1 . 𝑥𝑥 sustituimos a “y” por su igual ( función dada)
- 3. 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥)(𝑥3+6𝑥) •𝑙𝑛𝑦 = 𝑙𝑛 𝑠𝑒𝑛(𝑥)(𝑥3+6𝑥 aplicamos ln a ambos términos • 𝑙𝑛𝑦 = 𝑥3 + 6𝑥 . 𝑙𝑛 𝑠𝑒𝑛(𝑥) aplicamos propiedad de los ln • 1 𝑦 . 𝑦′ = { 3. 𝑥2 + 6 . 𝑙𝑛 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 𝑥3 + 6𝑥 1 𝑠𝑒𝑛(𝑥) . cos(𝑥)} Derivamos en ambos términos • 𝑦′ = … … … … … . . . 𝑦 Representa la derivada del término anterior • 𝑦′ = … … … … … … . 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑥3+6𝑥
- 4. Resolver los siguientesejemplos 𝑦 = 𝑙𝑛 𝑥3 + 5𝑥2 cos(𝑥) 𝑦 = 𝑒3𝑥 + 3𝑥 𝑠𝑒𝑛(5𝑥) 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔3 𝑥 + 1 𝑒𝑥+𝑥3
- 5. 𝑦 = 𝑙𝑛𝑥3 + 5𝑥2 cos(𝑥) 𝑙𝑛𝑦 = 𝑙𝑛 𝑙𝑛 𝑥3 + 5𝑥2 cos(𝑥) 𝑙𝑛𝑦 = cos 𝑥 . 𝑙𝑛 𝑙𝑛 𝑥3 + 5𝑥2 1 𝑦 . 𝑦′ = −𝑠𝑒𝑛𝑥 . 𝑙𝑛 𝑙𝑛 𝑥3 + 5𝑥2 + cos 𝑥 . 1 𝑙𝑛 𝑥3+5𝑥2 . 1 𝑥3+5𝑥2 . 3𝑥2 + 10𝑥 𝑦′ = … … … … … . . . 𝑦 derivada del término anterior 𝑦′ = … … … … … … . 𝑙𝑛 𝑥3 + 5𝑥2 cos(𝑥)
- 6. 𝑦 = 𝑒3𝑥+ 3𝑥 𝑠𝑒𝑛(5𝑥) 𝑙𝑛𝑦 = 𝑙𝑛 𝑒3𝑥 + 3𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑙𝑛𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 5𝑥 . 𝑙𝑛 𝑒3𝑥 + 3𝑥 1 𝑦 . 𝑦′ = cos 5𝑥 . 5 . 𝑙𝑛 𝑒3𝑥 + 3𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 5𝑥 . 1 𝑒3𝑥 + 3𝑥 𝑒3𝑥 . 3 + 3 𝑦′ = … … … … … . . . 𝑦 𝑦′ = … … … … … . . . 𝑒3𝑥 + 3𝑥 𝑠𝑒𝑛(5𝑥)
- 7. 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔3𝑥 + 1 𝑒𝑥+𝑥3 𝑙𝑛𝑦 = 𝑙𝑛 𝑙𝑜𝑔3 𝑥 + 1 𝑒𝑥+𝑥3 𝑙𝑛𝑦 = 𝑒𝑥 + 𝑥3 . 𝑙𝑛 𝑙𝑜𝑔3 𝑥 + 1 1 𝑦 . 𝑦′ = 𝑒𝑥 + 3𝑥2 .𝑙𝑛 𝑙𝑜𝑔3 𝑥 + 1 + 𝑒𝑥 + 𝑥3 . 1 𝑙𝑜𝑔3 𝑥+1 . 1 𝑥+1 𝑙𝑜𝑔3𝑒 .1 𝑦′ = … … … . . . 𝑙𝑜𝑔3 𝑥 + 1 𝑒𝑥+𝑥3
- 8. Respuestas a actividadesde derivada Actividad 1 a) 𝑦 = 𝑒𝑥 + 𝑙𝑜𝑔𝑥 − 2𝑥4 𝑦′ = 𝑒𝑥 + 1 𝑥 𝑙𝑜𝑔𝑒 − 8𝑥3 b) 𝑦 = 3𝑥 + 1 . 𝑙𝑛𝑥 𝑦′= 3 . 𝑙𝑛𝑥 + 3𝑥 + 1 . 1 𝑥 c) 𝑦 = 𝑡𝑔𝑥−𝑥+𝑠𝑒𝑛𝑥 2𝑥 𝑦′= 1 𝑐𝑜𝑠𝑥 2 − 1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 . 2𝑥 − 𝑡𝑔𝑥 − 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 . 2𝑥. 𝑙𝑛2 2𝑥 2
- 9. d) 𝑦 =𝑙𝑛 1 − 5𝑥 𝑦′ = 1 1−5𝑥 . −5 e) 𝑦 = 3𝑥 − 𝑥2 ó 𝑦 = 3𝑥 − 𝑥2 1 2 𝑦′ = 1 2 . 3𝑥 − 𝑥2 −1 2 . 3𝑥. 𝑙𝑛3 − 2𝑥 f) 𝑦 = 𝑒 −3𝑥+4 . 𝑐𝑡𝑔𝑥 𝑦′ = 𝑒 −3𝑥+4 . −3 . 𝑐𝑡𝑔𝑥 + 𝑒 −3𝑥+4 . − 1 𝑠𝑒𝑛𝑥 2
- 10. g) 𝑦 =𝑐𝑜𝑠2 𝑥2 + 1 ó 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥2 + 1 2 𝑦′ = 2. 𝑐𝑜𝑠 𝑥2 + 1 . −𝑠𝑒𝑛 𝑥2 + 1 . 2𝑥 h) 𝑦 = 2𝑥−1 𝑥2+𝑥 4 𝑦′ = 4 2𝑥−1 𝑥2+𝑥 3 . 2. 𝑥2+𝑥 − 2𝑥−1 . 2𝑥+1 𝑥2+𝑥 2 i) 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 𝑎 + 𝑏 . 𝑙𝑛 3. 𝑒−𝑥 𝑦′ = 𝑐𝑜𝑠 𝑎 + 𝑏 . 1 3.𝑒−𝑥 . 3𝑒−𝑥. −1 j) 𝑦 = 8 − 𝑥 . 5−𝑥 3 . 6−3𝑏 𝑦′ = 6−3𝑏. 3 8 − 𝑥 . 5−𝑥 2 . 1 2 8 − 𝑥 −1 2 . −1 . 5−𝑥 + 8 − 𝑥 1 2 5−𝑥 𝑙𝑛5. −1 a y b son constantes, por lo tanto el cos(a+b) es constante. La derivada es K. f(x)
- 11. k) 𝑦 = 3 𝑙𝑛𝑠𝑒𝑛 8𝑥 + 5𝑥2 . 𝑒 1−6𝑥 𝑦 = 𝑙𝑛 𝑠𝑒𝑛 8𝑥 + 5𝑥2 . 𝑒 1−6𝑥 1 3 𝑦′ = 1 3 𝑙𝑛 𝑠𝑒𝑛 8𝑥 + 5𝑥2 . 𝑒 1−6𝑥 − 2 3. 1 𝑠𝑒𝑛 8𝑥 + 5𝑥2 . 𝑐𝑜𝑠 8𝑥 + 5𝑥2 . 8 + 10𝑥 . 𝑒 1−6𝑥 + 𝑙𝑛 𝑠𝑒𝑛 8𝑥 + 5𝑥2 . 𝑒 1−6𝑥 . −6
- 12. Actividad 2: Métodode derivación logarítmica a) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 4𝑥−𝑥2 𝑙𝑛𝑦 = 𝑙𝑛 𝑠𝑒𝑛𝑥 4𝑥−𝑥2 𝑙𝑛𝑦 = 4𝑥 − 𝑥2 . 𝑙𝑛 𝑠𝑒𝑛𝑥 1 𝑦 . 𝑦′ = 4 − 2𝑥 . 𝑙𝑛 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 4𝑥 − 𝑥2 . 1 𝑠𝑒𝑛𝑥 . 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑦′ = … … … . 𝑠𝑒𝑛𝑥 4𝑥−𝑥2
- 13. b) 𝑦 =𝑥3 − 4 𝑒−𝑥 𝑙𝑛𝑦 = 𝑙𝑛 𝑥3 − 4 𝑒−𝑥 𝑙𝑛𝑦 = 𝑒−𝑥. 𝑙𝑛 𝑥3 − 4 1 𝑦 . 𝑦′ = 𝑒−𝑥 . −1 . 𝑙𝑛 𝑥3 − 4 + 𝑒−𝑥 . 1 𝑥3−4 . 3𝑥2 𝑦′ = … … . . 𝑥3 − 4 𝑒−𝑥
- 14. En los próximosejercicios les damos resultado final. No todo el procedimiento. c) 𝑦 = 𝑥 − 2 . 𝑙𝑛𝑥 4−𝑥−2 𝑦′ = 4−𝑥 𝑙𝑛4 −1 . 𝑙𝑛 𝑥 − 2 . 𝑙𝑛𝑥 + 4−𝑥 − 2 . 1 𝑥 − 2 . 𝑙𝑛𝑥 𝑙𝑛𝑥 + 𝑥 − 2 1 𝑥 . 𝑥 − 2 . 𝑙𝑛𝑥 4−𝑥−2 d) 𝑦 = 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑥2 𝑦′ = 2𝑥. 𝑙𝑛 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑥2 . 1 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 . 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑥. −𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 2 . 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑥2 e) 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 5𝑥 𝑡𝑔 2𝑥 𝑦′ = 1 𝑐𝑜𝑠2 2𝑥 . 2. 𝑙𝑛 𝑐𝑜𝑠 5𝑥 + 𝑡𝑔 2𝑥 . 1 𝑐𝑜𝑠 5𝑥 . −𝑠𝑒𝑛5𝑥 . 5 . 𝑐𝑜𝑠5𝑥 𝑡𝑔2𝑥
- 15. Respuestas actividad 4.Guía de derivadas 𝑎) 𝑦 = 𝑥5 − 16𝑥3 + 12 𝑦′ = 5𝑥4 − 48𝑥2 𝑦′′ = 20𝑥3 − 96𝑥 𝑦′′′ = 60𝑥2 − 96
- 16. b) 𝑦 = 𝑥−3 𝑥+1 𝑦′= 𝑥+1 − 𝑥−3 𝑥+1 2 𝑦′ = 4 𝑥+1 2 𝑦′′ = −4.2 𝑥+1 𝑥+1 4 𝑦′′ = −8 𝑥+1 3 𝑦′′′ = 8.3. 𝑥+1 2 𝑥+1 6 𝑦′′′ = 24 𝑥+1 4
- 17. 𝑐) 𝑦 =3 𝑥 𝑦 = 𝑥 1 3 𝑦′ = 1 3 𝑥 −2 3 𝑦′′ = 1 3 −2 3 𝑥 −5 3 𝑦′′ = −2 9 𝑥 −5 3 𝑦′′′ = −2 9 −5 3 𝑥 −8 3 𝑦′′′ = 10 27 𝑥 −8 3
- 18. d) 𝑦 =𝑥. 𝑒−𝑥 𝑦′ = 𝑒−𝑥 + 𝑥. 𝑒−𝑥. −1 𝑦′ = 𝑒−𝑥. 1 − 𝑥 𝑦′′ = 𝑒−𝑥 . −1 . 1 − 𝑥 + 𝑒−𝑥 . −1 𝑦′′ = −𝑒−𝑥. 1 − 𝑥 + 1 𝑦′′ = −𝑒−𝑥. 2 − 𝑥 𝑦′′′ = −𝑒−𝑥. −1 . 2 − 𝑥 + −𝑒−𝑥 . −1 𝑦′′′ = 𝑒−𝑥 . 2 − 𝑥 + 1 𝑦′′′ = 𝑒−𝑥 . 3 − 𝑥
- 19. Actividad 5 .Determinar recta tg y normal a una curva a) 𝑦 = 2𝑥2 − 4𝑥 en (0;0) 𝑦′ = 𝑎𝑡 𝑦′ = 4𝑥 − 4 𝑦 0 ′ = −4 𝑎𝑡 = −4 𝑦𝑡 = 𝑎𝑡𝑥 + 𝑏 0 = −4 0 + 𝑏 𝑏 = 0 𝑦𝑡 = −4𝑥 Reemplazando, la pendiente y el par ordenado por donde toca la tag a la curva en el modelo lineal, se obtiene la ordenada.
- 20. Para el cálculode la normal, recordar las condiciones de perpendicularidad 𝑎𝑛 = − 1 𝑎𝑡 𝑎𝑛 = 1 4 0 = 1 4 . 0 + 𝑏 𝑏 = 0 𝑦𝑛 = 1 4 𝑥 Una vez determinada la pendiente, reemplazamos dicha pendiente y el par ordenado correspondiente, en el modelo lineal, para determinar la ordenada de la normal 𝑦𝑡 𝑦𝑛
- 21. b) 𝑦 =𝑙𝑛𝑥 en (1;0) 𝑦′ = 1 𝑥 𝑦 1 ′ = 1 𝑎𝑡 = 1 𝑦 = 𝑎. 𝑥 + 𝑏 0 = 1.1 + 𝑏 𝑏 = −1 𝑦𝑡= 𝑥 − 1 Para determinar la ordenada de la recta tg reemplazamos la pendiente y el par ordenado en el modelo lineal
- 22. 𝑎𝑛 = − 1 𝑎𝑡 𝑎𝑛= −1 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 0 = −1 1 + 𝑏 𝑏 = 1 𝑦𝑛 = −𝑥 + 1 𝑦𝑛 𝑦𝑡
- 23. 𝑐) 𝑦 =2𝑥 en (0;1) 𝑦′ = 2𝑥. 𝑙𝑛2 𝑦 0 ′ = 𝑙𝑛2 𝑎𝑡 = 𝑙𝑛2 1 = 𝑙𝑛2 . 0 + 𝑏 𝑏 = 1 𝑦𝑡 = 𝑙𝑛2 . 𝑥 + 1 𝑎𝑛 = −1 𝑎𝑡 𝑎𝑛 = −1 𝑙𝑛2 Reemplazando, la pendiente y el par ordenado, en el modelo lineal, se obtiene la ordenada correspondiente a la tangente.
- 24. 𝑎𝑛 = −1 𝑎𝑡 𝑎𝑛 = −1 𝑙𝑛2 1= −1 𝑙𝑛2 . 0 + 𝑏 𝑏𝑛 = 1 𝑦𝑛 = −1 𝑙𝑛2 . 𝑥 + 1 𝑦𝑡 𝑦𝑛 Reemplazando, la pendiente y el par ordenado, en el modelo lineal, se obtiene la ordenada correspondiente a la normal.
- 25. 𝑑) 𝑦 =−𝑥2 + 4𝑥 − 3 en 𝑥0 = 3 Escriba aquí la ecuación.En este caso sólo tenemos el valor de x, entonces debemos calcular la ordenada de la curva, donde la recta tag toca a dicha curva. Reemplazamos el valor en la función dada: 𝑦(3) = −1 32 + 4.3 − 3 𝑦 3 = 0 Entonces el par ordenado común a la curva y la recta tg es: (3;0) Ahora calculamos la pendiente 𝑦′ = −1 . 2𝑥 + 4 𝑦 3 ′ = −2 𝑎𝑡 = −2 0 = −2 . 3 + 𝑏𝑡 𝑏𝑡 = 6 𝑦𝑡 = −2 . 𝑥 + 6
- 26. 𝑎𝑛 = 1 2 0 = 1 2 .3 + 𝑏𝑛 𝑏𝑛 = − 3 2 𝑦𝑛 = 1 2 . 𝑥 − 3 2 𝑦𝑡 𝑦𝑛
- 27. Actividad 6. Indicarlos puntos donde la recta tg es horizontal 𝑎) 𝑦 = 1 3 . 𝑥3 − 𝑥2 − 3𝑥 + 2 Para que una curva presente tg horizontal para algún punto de su dominio, la pendiente de dicha recta debe ser cero Si: 𝑦 𝑥0 ′ = 𝑎𝑡 la derivada primera debe ser cero para que la tg sea horizontal 𝑦′ = 𝑥2 − 2𝑥 − 3 Si igualamos la derivada 1° a cero, nos aseguramos que la pendiente sea igual a cero y entonces, la tg será horizontal para esos puntos.
- 28. 𝑥2 − 2𝑥 −3 = 0 𝑥0 = −1 ^ 𝑥1 = 3 La curva presenta tg horizontal en los puntos del dominio: 𝑥0 = −1 ^ 𝑥1 = 3
- 29. 𝑏) 𝑦 = 𝑥 1− 𝑥 𝑦′ = 1. 1 − 𝑥 − 𝑥. −1 1 − 𝑥 2 𝑦′ = 1 − 𝑥 + 𝑥 1 − 𝑥 2 𝑦′ = 1 1 − 𝑥 2 La derivada 1° no se puede anular para ningún valor de “x” ya que el numerador es una constante. Por lo tanto la función no presenta tg horizontal para ningún punto de su dominio.
- 30. 1-Resolver las siguientesintegrales a) 𝑥2 + 4 . 𝑒𝑥3+12𝑥. 𝑑𝑥 = 𝑑) 𝑥2 . 𝑒𝑥3+5 . 𝑑𝑥 = 1 3 𝑒𝑥3+5 + 𝑐 b) 𝑙𝑛𝑥 𝑥3 . 𝑑𝑥 = 𝑐) 𝑥2. 𝑐𝑜𝑠 𝑥3 + 6 . 𝑑𝑥 = 𝑥 + 1 . 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 2 . 𝑑𝑥 = 𝑒) 𝑥 + 5 . 𝑒𝑥−3 . 𝑑𝑥
- 31. 2-Calcular el áreacomprendida entre a) b) 𝑐) 𝑦 = 𝑥2 − 1 𝑦 = 𝑥 + 1 𝑦 = 𝑥2 + 2𝑥 Eje x 𝑥 = −2 ∧ 𝑥 = 1 𝑦 = 𝑥2 + 2𝑥 − 3 𝑥 = −3 ∧ 𝑥 = 1 𝑒𝑗𝑒 “𝑥”
- 32. 3-Dada la función:𝑦 = 3𝑥3 + 𝑥2 determine dy y Δy para x=3 y Δx=0,01
- 33. 4- Ejercicios deaplicación a) Si el costo marginal de una empresa es 𝐶𝑚𝑔 = 8𝑥 𝑥2+64 encontrar la función Costo Total, sabiendo que cuando se producen 6 unidades, el costo total es de 100 pesos b) Dadas las funciones: 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑀𝑎𝑟𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙 = 𝑥2 + 2𝑥 𝐼𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜 𝑚𝑎𝑟𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙 = −𝑥 + 18 Calcule la Utilidad total para un rango de producción de 0 a 3 unidades. 𝑥2 + 64 − 1 2. 8𝑥. 𝑑𝑥
- 34. 𝑎) 𝑥2 + 4. 𝑒𝑥3+12𝑥 . 𝑑𝑥 = 𝑡 = 𝑥3 + 12𝑥 𝑑𝑡 = 3𝑥2 + 12 . 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 3. 𝑥2 + 4 . 𝑑𝑥 1 3 . 𝑑𝑡 = 𝑥2 + 4 . 𝑑𝑥 𝑒𝑡 . 1 3 𝑑𝑡 = 1 3 . 𝑒𝑡 . 𝑑𝑡 = 1 3 𝑒𝑡 + 𝑐 𝑥2 + 4 . 𝑒𝑥3+12𝑥 . 𝑑𝑥 = 1 3 𝑒𝑥3+12𝑥 + 𝑐 1-Resolver las siguientes integrales
- 35. 𝑏) 𝑙𝑛𝑥 𝑥3 . 𝑑𝑥 =𝑥−3. 𝑙𝑛𝑥. 𝑑𝑥 = 𝑢 = 𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑢 = 1 𝑥 . 𝑑𝑥 𝑑𝑣 = 𝑥−3 . 𝑑𝑥 𝑣 = 𝑥−3 . 𝑑𝑥 𝑣 = 𝑥−2 −2 𝑥−3 . 𝑙𝑛𝑥. 𝑑𝑥 = − 1 2 . 𝑥−2 . 𝑙𝑛𝑥 − − 1 2 𝑥−2 . 1 𝑥 . 𝑑𝑥 − 1 2 . 𝑥−2. 𝑙𝑛𝑥 + 1 2 𝑥−3. 𝑑𝑥 = − 1 2 . 𝑥−2. 𝑙𝑛𝑥 − 1 4 . 𝑥−2 + 𝑐
- 36. 𝑐) 𝑥2 . 𝑐𝑜𝑠𝑥3 + 6 . 𝑑𝑥 = 𝑡 = 𝑥3 + 6 𝑑𝑡 = 3𝑥2 . 𝑑𝑥 1 3 . 𝑑𝑡 = 𝑥2 . 𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑡 . 1 3 . 𝑑𝑡 = 1 3 . cos 𝑡 . 𝑑𝑡 = 1 3 . 𝑠𝑒𝑛 𝑡 + 𝑐 𝑥2. 𝑐𝑜𝑠 𝑥3 + 6 . 𝑑𝑥 = 1 3 . 𝑠𝑒𝑛 𝑥3 + 6 + 𝑐
- 37. 𝑥 + 5. 𝑒𝑥−3 . 𝑑𝑥 = 𝑥 + 5 . 𝑒𝑥−3 − 𝑒𝑥−3 . 𝑑𝑥 𝑢 = 𝑥 + 5 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝑑v=𝑒𝑥−3 𝑣 = 𝑒𝑥−3 𝑑) 𝑥 + 5 . 𝑒𝑥−3 . 𝑑𝑥 = 𝑥 + 5 . 𝑒𝑥−3 . 𝑑𝑥 = 𝑥 + 5 . 𝑒𝑥−3 − 𝑒𝑥−3 + 𝑐 𝑒𝑥−3 . 𝑥 + 5 − 1 + 𝑐 𝑒𝑥−3. 𝑥 + 4 + 𝑐 𝑒𝑥−3. 𝑥 + 4 + 𝑐
- 38. 𝑦 = 𝑥2− 1 𝑦 = 𝑥 + 1 𝑦 = 𝑥2 + 2𝑥 − 3 Eje x 𝑥 = −3 𝑥 = 1 𝑦 = 𝑥2 + 2𝑥 𝑥 = −2 𝑥 = 1 Eje x 2-Calcular el área comprendida entre
- 39. 𝑦 = 𝑥2 −1 𝑦 = 𝑥 + 1 −1 2 𝑥 + 1 − 𝑥2 − 1 . 𝑑𝑥 𝑥2 − 1 = 𝑥 + 1 𝑥2 − 𝑥 − 1 − 1 = 0 𝑥2 − 𝑥 − 2 = 0 𝑥1 = −1 𝑥2 = 2 −1 2 −𝑥2 + 𝑥 + 2 . 𝑑𝑥 = − 𝑥3 3 + 𝑥2 2 + 2𝑥 −1 2 − 23 3 + 22 2 + 2.2 − − −1 3 3 + −1 2 2 + 2. −1 − 8 3 + 2 + 4 − 1 3 + 1 2 − 2 = 10 3 − − 7 6 = 27 6 = 9 2 a)
- 40. −2 0 𝑥2 + 2𝑥 .𝑑𝑥 + 0 1 𝑥2 + 2𝑥 . 𝑑𝑥 Área total 𝑦 = 𝑥2 + 2𝑥 𝑥 = −2 𝑥 = 1 Eje x 𝑥3 3 + 2 𝑥2 2 −2 0 + 𝑥3 3 + 2 𝑥2 2 0 1 = 0 − −2 3 3 + −2 2 + 13 3 + 12 − 0 − 4 3 + 4 3 = 8 3 Área total B)
- 41. 𝑦 = 𝑥2 +2𝑥 − 3 Eje x 𝑥 = −3 𝑥 = 1 −3 1 𝑥2 + 2𝑥 − 3 . 𝑑𝑥 = 𝑥3 3 + 2. 𝑥2 2 − 3𝑥 −3 1 1 3 + 1 − 3 − −3 3 −3 + −3 2 − 3 −3 − 5 3 − 27 3 − 9 + 9 = − 5 3 − 27 3 = − 32 3 Área= 32 3 C)
- 42. 3-Dada la función:𝑦 = 3𝑥3 + 𝑥2 determine dy y Δy para x=3 y Δx=0,01 𝑦′ = 9. 𝑥2 + 2𝑥 𝑑𝑦 = 9. 𝑥2 + 2𝑥 . 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = 9. 3 2 + 2.3 . 0,01 𝑑𝑦 = 0,87 Por definición: ∆𝑦 = 𝑓 𝑥 + ∆𝑥 − 𝑓 𝑥 ∆𝑦 = 𝑓 3,01 − 𝑓 3 ∆𝑦 = 3 3,01 3 + 3,01 2 − 3. 3 3 + 3 2 ∆𝑦 = 81,812703 + 9,0601 − 90 ∆𝑦 = 0,872803
- 43. 4- Ejercicios deaplicación a) Si el costo marginal de una empresa es 𝐶𝑚𝑔 = 8𝑥 𝑥2+64 encontrar la función Costo Total, sabiendo que cuando se producen 6 unidades, el costo total es de 100 pesos CT: 8𝑥 𝑥2+64 . 𝑑𝑥 8𝑥. (𝑥2 + 64)− 1 2 . 𝑑𝑥 𝑡 = 𝑥2 + 64 𝑑𝑡 = 2𝑥. 𝑑𝑥 4𝑑𝑡 = 4.2𝑥. 𝑑𝑥 4𝑑𝑡 = 8. 𝑥. 𝑑𝑥 𝑡− 1 2 . 4𝑑𝑡 = 4 𝑡 1 2 1 2 CT= 8. (𝑥2 +64) 1 2+𝑐 100 = 8. 62 + 64 + 𝑐 𝐶𝑡 = 8. (𝑥2 +64) 1 2+20
- 44. 4- Ejercicios deaplicación b) Dadas las funciones: 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑀𝑎𝑟𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙 = 𝑥2 + 2𝑥 𝐼𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜 𝑚𝑎𝑟𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙 = −𝑥 + 18 Calcule la Utilidad total para un rango de producción de 0 a 3 unidades. Utilidad Marginal: Img – Costo Mg 𝑈𝑀𝑔 = −𝑥 + 18 − 𝑥2 + 2𝑥 𝑈𝑀𝑔 = −𝑥2 − 3𝑥 + 18 𝑈𝑡 = −𝑥2 − 3𝑥 + 18 . 𝑑𝑥 0 3 −𝑥2 − 3𝑥 + 18 . 𝑑𝑥 = 𝑈𝑡 = − 𝑥3 3 − 3 2 𝑥2 + 18𝑥 0 3 𝑈𝑡 = 63 2
- 45. Análisis Marginal La derivadatiene distintas aplicaciones en la Administración y en la Economía en la construcción de las que se conocen como tasas marginales. La palabra “marginal” se utiliza para indicar una derivada, es decir una tasa de cambio. Recordemos la definición de derivada de una función: 𝑓(𝑥)𝐼 = lim ∆𝑥→0 ∆𝑓(𝑥) ∆𝑥
- 46. Análisis Marginal COSTO TOTALY COSTO MARGINAL Dada una función costo total C(x) que represente el costo de producir una “x” cantidad de cierto artículo, el costo marginal se calcula de la siguiente forma: 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑚𝑎𝑟𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙 = lim ∆𝑥→0 ∆𝐶 ∆𝑥 = lim ∆𝑥→0 𝐶 𝑥 + ∆𝑥 − 𝐶(𝑥) ∆𝑥 Es decir el costo marginal es la derivada de la función costo total con respecto a la cantidad producida. El costo marginal lo podemos definir como el incremento en el costo total ante el aumento de una unidad en la cantidad producida.
- 47. Análisis Marginal COSTO TOTALY COSTO MARGINAL Ejemplo: dada la función costo 𝐶 𝑥 = 0,001𝑥3 − 0,3𝑥2 + 40𝑥 + 1000 Determinar el costo marginal. Evaluarlo cuando la producción está dada por x=50 𝐶𝐼 𝑥 = 0,003𝑥2 − 0,6𝑥 + 40 Cuando se han producido 50 unidades, el costo marginal de los artículos extras está dado por : 𝐶𝐼 50 = 0,003(50)2 −0,6(50) + 40 = 17,5
- 48. Análisis Marginal COSTO TOTALY COSTO MARGINAL Así como a partir del costo total podemos encontrar el costo marginal, de la misma forma podemos calcular el costo total a partir del costo marginal. Ejemplo: La función de costo marginal de una empresa a un nivel de producción x es: 𝐶𝐼 𝑥 = 23,5 − 0,01𝑥 a) Calcular el costo total. b) Calcular el incremento en el costo total cuando el nivel de producción se incrementa de 1000 a 1500 unidades.
- 49. Análisis Marginal a) Calcularel costo total. Costo total= 23,5 − 0,01𝑥 𝑑𝑥 𝐶𝑇 = 23,5𝑥 − 0,01. 𝑥2 2 + 𝐶 b) Incremento en el costo total. 1000 1500 23,5 − 0,01𝑥 . 𝑑𝑥 = 23,5𝑥 − 0,01. 𝑥2 2 1000 1500 23,5 1500 − 0,01 15002 2 − 23,5 1000 − 0,01 10002 2 = 5500 El incremento en el costo es de 5500.
- 50. Análisis Marginal De lamisma forma que ocurre con las funciones Costo, el Ingreso Marginal representa la derivada del Ingreso Total, y la Utilidad Marginal es la derivada de la función Utilidad Total. Ejemplo: La función Ingreso Marginal de una empresa es 𝐼𝑀 = 12 − 0,2𝑥 − 0,03𝑥2 a) Encontrar la función Ingreso Total b) ¿Qué ingreso se obtendrá al vender 20 unidades? INGRESO MARGINAL y UTILIDAD MARGINAL
- 51. Análisis Marginal a) Encontrarla función Ingreso 𝐼𝑇 = ( 12 − 0,2𝑥 − 0,03𝑥2 )dx 𝐼𝑇 = 12𝑥 − 0,2 𝑥2 2 − 0,03 𝑥3 3 + 𝑐 𝐼𝑇 = 12𝑥 − 0,1𝑥2 − 0,01𝑥3 + 𝑐 b) Ingreso para 20 unidades 𝐼𝑇 20 = 12 20 − 0,1 20 2 − 0,01 20 3 𝐼𝑇(20) = 120
- 52. Análisis Marginal Otro ejemplo: Dadala función IM(q)=q+1 y la función CM(q)=𝑞2 − 5𝑞 + 6 encontrar la Utilidad total Utilidad= Ingresos – Costos
- 53. Análisis Marginal Ut= 1 5 𝐼𝑀− 𝐶𝑀 . 𝑑𝑞 1 5 (𝑞 + 1) − (𝑞2 − 5𝑞 + 6) . 𝑑𝑞 = 1 5 −𝑞2 + 6𝑞 − 5) . 𝑑𝑞 = − 1 3 𝑞3 + 3𝑞2 − 5𝑞 1 5 𝐹 5 − F(1)=10,66 UT= 10,66
- 54. EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1)El ingreso total por 10 unidades vendidas es de $ 1900. Sabiendo que: 𝐼𝑀 = 25 − 2 3 𝑞 (Ingreso marginal) a) Determinar la función ingreso total 25 − 2 3 𝑞 . 𝑑𝑞 = 25. 𝑞 − 1 3 𝑞2 + 𝐶 𝐼𝑡 = 25. 𝑞 − 1 3 . 𝑞2 + 𝑐 Con los datos del problema debemos determinar la constante de integración 1900 = 25.10 − 1 3 10 2 + 𝑐 𝑐 = 5050 3 𝐼𝑡 = 25. 𝑞 − 1 3 . 𝑞2 + 5050 3
- 55. EJERCICIOS DE APLICACIÓN 2)Determinar la cantidad demandada de un cierto producto cuando el precio se instala en $40, sabiendo que la demanda para precio $30 es igual a 140 unidades y la demanda marginal es: 𝐷𝑀 = −𝑝 2500 − 𝑝2 . 𝑑𝑝 −𝑝 2500 − 𝑝2 . 𝑑𝑝 = 2500 − 𝑝2 + 𝐶 Con los datos del problema debemos determinar la constante de integración 𝐷 𝑝 = 2500 − 𝑝2 + 𝑐 140 = 2500 − 900+C 𝐶 = 100 𝐷 𝑝 = 2500 − 𝑝2 + 100 𝐷 40 = 2500 − 𝑝2 + 100 𝐷 40 = 130 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
- 56. EJERCICIOS DE APLICACIÓN 3)Dadala función utilidad marginal: Determinar la función Utilidad, sabiendo que si se produce y vende 1 unidad, la utilidad total es de $1000 𝑈𝑀 = 8𝑞2 . 𝑒(𝑞3−1) 8. 𝑞2 . 𝑒𝑞3−1 . 𝑑𝑞 = 8 3 . 𝑒𝑞3−1 + 𝐶 𝑈𝑡 = 8 3 𝑒𝑞3−1 + 𝐶 1000= 8 3 𝑒13−1 + 𝐶 𝐶 = 2992 3 𝑈𝑡 = 8 3 𝑒𝑞3−1 + 2992 3
- 57. Integrales impropias Indicar silas siguientes integrales impropias son convergentes o divergentes −∞ 0 𝑒𝑥. 𝑑𝑥 = 0 ∞ 𝑒𝑥 . 𝑑𝑥 = −2 1 𝑑𝑥 𝑥2 = −1 ∞ 𝑑𝑥 𝑥2 =
- 58. −∞ 0 𝑒𝑥 . 𝑑𝑥 =lim 𝑎→−∞ 𝑎 0 𝑒𝑥 . 𝑑𝑥 = lim 𝑎→−∞ 𝑒𝑥 𝑎 0 = lim 𝑎→−∞ 𝑒0 − 𝑒𝑎 = 1 − 0 = 1 La integral es convergente 0 ∞ 𝑒𝑥. 𝑑𝑥 = lim 𝑏→∞ 0 𝑏 𝑒𝑥. 𝑑𝑥 = lim 𝑏→∞ 𝑒𝑥 0 𝑏 = lim 𝑏→∞ 𝑒𝑏 − 𝑒𝑜 = ∞ − 1 = ∞ La integral es divergente
- 59.
- 60. −2 1 𝑑𝑥 𝑥2 = lim 𝜀→0 −2 0−𝜀 𝑥−2 .𝑑𝑥 + 0+𝜀 1 𝑥−2 . 𝑑𝑥 = lim 𝜀→0 −𝑥−1 −2 0−𝜀 + −𝑥−1 0+𝜀 1 = lim 𝜀→0 − 1 𝑥 −2 0−𝜀 + − 1 𝑥 0+𝜀 1 lim 𝜀→0 − 1 0 − 𝜀 + 1 2 + − 1 1 − 1 0 + 𝜀 = 1 0 = ∞ La integral es divergente. Es suficiente para que el límite de uno de los términos no exista para decir que la integral es divergente
- 61. −1 ∞ 𝑑𝑥 𝑥2 = lim 𝜀→0 𝑏→∞ −1 0−𝜀 𝑥−2 .𝑑𝑥 + 0+𝜀 𝑏 𝑥−2 . 𝑑𝑥 = lim 𝜀→0 𝑏→∞ −𝑥−1 −1 0−𝜀 + −𝑥−1 0+𝜀 ∞ = lim 𝜀→0 𝑏→∞ − 1 𝑥 −1 0−𝜀 + − 1 𝑥 0+𝜀 ∞ lim 𝜀→0 𝑏→∞ − 1 0 − 𝜀 + 1 1 + − 1 𝑏 − 1 0 + 𝜀 = 1 0 = ∞ La integral es divergente. Es suficiente para que el límite de uno de los términos no exista para decir que la integral es divergente
- 63. Guía de trabajosprácticos Funciones de dos o más variables independientes Determinar las derivadas parciales de 1° y 2° orden. 1) x y Z 7 2) ) . cos( ). 3 ( y x x Z 3) ) ln( y x Z 4) y x e y x y x f . 2 . ) , ( 5) 𝑍 = 2. 𝑥2 − 𝑥 + 𝑦3 + 8. 𝑦2 − 1
- 64. 𝑍 = 2.𝑥2 − 𝑥 + 𝑦3 + 8. 𝑦2 − 1 1) 𝜕𝑧 𝜕𝑥 = 4. 𝑥 − 1 𝜕𝑧 𝜕𝑦 = 3. 𝑦2 + 16. 𝑦 𝜕2𝑧 𝜕𝑥2 = 4 𝜕2𝑧 𝜕𝑦2 = 6. 𝑦 + 16 𝜕2𝑧 𝜕𝑥𝜕𝑦 = 0 𝜕2 𝑧 𝜕𝑦𝜕𝑥 = 0 Derivadas parciales de 1° orden Derivadas parciales de 2° orden iguales
- 65. 2) 𝑍 =𝑦7.𝑥 𝜕𝑧 𝜕𝑥 = 𝑦7.𝑥 . 7. 𝑙𝑛𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑦 = 7. 𝑥. 𝑦 7.𝑥−1 Derivadas parciales de 1° orden 𝜕2𝑧 𝜕𝑥2 = 7. 𝑙𝑛𝑦. 𝑦7.𝑥. 7. 𝑙𝑛𝑦 𝜕2𝑧 𝜕𝑥2 = 49. (𝑙𝑛𝑦)2. 𝑦7.𝑥 𝜕2𝑧 𝜕𝑦2 = 7. 𝑥. 7. 𝑥 − 1 𝑦 7.𝑥−2 𝜕2 𝑧 𝜕𝑥𝜕𝑦 = 7. 7𝑥. 𝑦 7.𝑥−1 . 𝑙𝑛𝑦 + 𝑦7.𝑥. 1 𝑦 𝜕2𝑧 𝜕𝑦𝜕𝑥 = 7. 𝑦(7.𝑥−1) + 𝑥. 𝑦 7.𝑥−1 . 7. 𝑙𝑛𝑦 𝜕2𝑧 𝜕𝑥𝜕𝑦 = 7. 7𝑥. 𝑦 7.𝑥−1 . 𝑙𝑛𝑦 + 𝑦(7.𝑥−1) De ri va das de 2° or den
- 66. 𝑍 = 3− 𝑥 . 𝑐𝑜𝑠 𝑥. 𝑦 3) 𝜕𝑧 𝜕𝑥 = −1 . 𝑐𝑜𝑠 𝑥. 𝑦 + 3 − 𝑥 . −𝑠𝑒𝑛 𝑥. 𝑦 . 𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑦 = 3 − 𝑥 . −𝑠𝑒𝑛 𝑥. 𝑦 . 𝑥 𝜕2 𝑧 𝜕𝑥2 = −1 . −𝑠𝑒𝑛 𝑥. 𝑦 . 𝑦 + −1 . −𝑠𝑒𝑛 𝑥. 𝑦 . 𝑦 + 3 − 𝑥 . −𝑐𝑜𝑠 𝑥. 𝑦 . 𝑦. 𝑦 𝜕2 𝑧 𝜕𝑦2 = 3 − 𝑥 . 𝑥. −𝑐𝑜𝑠 𝑥. 𝑦 𝜕2 𝑧 𝜕𝑥𝜕𝑦 = −1 . −𝑠𝑒𝑛 𝑥. 𝑦 . 𝑥 + 3 − 𝑥 . −𝑐𝑜𝑠 𝑥𝑦 . 𝑥. 𝑦 + −𝑠𝑒𝑛 𝑥. 𝑦 . 1 𝜕2 𝑧 𝜕𝑦𝜕𝑥 = −1 . −𝑠𝑒𝑛 𝑥. 𝑦 . 𝑥 + 3 − 𝑥 . −𝑐𝑜𝑠 𝑥𝑦 . 𝑥. 𝑦 + −𝑠𝑒𝑛 𝑥. 𝑦 . 1
- 67. 4) 𝑧 =𝑙𝑛 𝑥 + 𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑥 = 1 𝑥 + 𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑦 = 1 𝑥 + 𝑦 𝜕2 𝑧 𝜕𝑥2 = − 1 𝑥 + 𝑦 2 𝜕2 𝑧 𝜕𝑦2 = − 1 𝑥 + 𝑦 2 𝜕2𝑧 𝜕𝑥𝜕𝑦 = − 1 𝑥 + 𝑦 2 𝜕2 𝑧 𝜕𝑦𝜕𝑥 = − 1 𝑥 + 𝑦 2
- 68. y x e y x y x f . 2 . ) , ( 5) 𝜕𝑓𝑥; 𝑦 𝜕𝑥 = 𝑦. 2𝑥 + 𝑒𝑥.𝑦. 𝑦 𝜕𝑓 𝑥; 𝑦 𝜕𝑦 = 𝑥2 + 𝑒𝑥.𝑦 . 𝑥 𝜕2𝑓 𝑥; 𝑦 𝜕𝑥2 = 𝑦. 2 + 𝑒𝑥.𝑦 . 𝑦2 𝜕2 𝑓 𝑥; 𝑦 𝜕𝑦2 = 𝑒𝑥.𝑦 . 𝑥2 𝜕2 𝑓 𝑥; 𝑦 𝜕𝑥𝜕𝑦 = 2𝑥 + 𝑒𝑥.𝑦. 𝑥. 𝑦 + 𝑒𝑥.𝑦 𝜕2 𝑓 𝑥; 𝑦 𝜕𝑦𝜕𝑥 = 2𝑥 + 𝑒𝑥.𝑦 . 𝑦. 𝑥 + 𝑒𝑥.𝑦
- 69. 1) Verificar que lasderivadas parciales de segundo orden cruzadas son iguales: seny x Z . 3 y y x Z 8 2 1 2 2) 3) 𝑍 = 𝑦. 𝑐𝑜𝑠 𝑥. 𝑦 𝑍 = 𝑥. 𝑒𝑥.𝑦 4)
- 70. seny x Z . 3 1) 𝜕𝑧 𝜕𝑥 = 3.𝑥2 𝑠𝑒𝑛𝑦. 𝜕𝑧 𝜕𝑦 = 𝑥3 . 𝑐𝑜𝑠𝑦. 𝜕2 𝑧 𝜕𝑥𝜕𝑦 = 3. 𝑥2. 𝑐𝑜𝑠𝑦 𝜕2𝑧 𝜕𝑥𝜕𝑦 = 3. 𝑥2. 𝑐𝑜𝑠𝑦 Derivadas de 2° orden cruzadas, iguales
- 71. y y x Z 8 2 1 2 2) 𝜕𝑧 𝜕𝑥 =𝑥. 𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑦 = 1 2 𝑥2 − 8 𝜕2𝑧 𝜕𝑥𝜕𝑦 = 𝑥 𝜕2 𝑧 𝜕𝑦𝜕𝑥 = 𝑥
- 72. 3) 𝑍 =𝑦. 𝑐𝑜𝑠 𝑥. 𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑥 = 𝑦. −𝑠𝑒𝑛 𝑥. 𝑦 . 𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑦 = 1. 𝑐𝑜𝑠 𝑥. 𝑦 + 𝑦. −𝑠𝑒𝑛 𝑥. 𝑦 . 𝑥 𝜕2 𝑧 𝜕𝑥𝜕𝑦 = 2. 𝑦. −𝑠𝑒𝑛 𝑥. 𝑦 + 𝑦2 . −𝑐𝑜𝑠 𝑥. 𝑦 . 𝑥 𝜕𝑧 𝜕𝑥 = 𝑦2 . −𝑠𝑒𝑛 𝑥. 𝑦 𝜕2 𝑧 𝜕𝑦𝜕𝑥 = −𝑠𝑒𝑛 𝑥. 𝑦 . 𝑦 + 𝑦. −𝑐𝑜𝑠 𝑥. 𝑦 . 𝑦. 𝑥 + −𝑠𝑒𝑛 𝑥. 𝑦 . 1 𝜕2 𝑧 𝜕𝑦𝜕𝑥 = 2. 𝑦. −𝑠𝑒𝑛 𝑥. 𝑦 + 𝑦2. −𝑐𝑜𝑠 𝑥. 𝑦 . 𝑥 Derivadas de 2° orden cruzadas, iguales
- 73. 𝑍 = 𝑥.𝑒𝑥.𝑦 4) 𝜕𝑧 𝜕𝑥 = 1. 𝑒𝑥.𝑦 + 𝑥. 𝑒𝑥.𝑦 . 𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑦 = 𝑥. 𝑒𝑥.𝑦. 𝑥 𝜕𝑧 𝜕𝑥 = 𝑒𝑥.𝑦 (1 + 𝑥. 𝑦) 𝜕2𝑧 𝜕𝑥𝜕𝑦 = 𝑒𝑥.𝑦 . 𝑥. 1 + 𝑥. 𝑦 + 𝑒𝑥.𝑦 . 𝑥 𝜕2𝑧 𝜕𝑦𝜕𝑥 = 2. 𝑥. 𝑒𝑥.𝑦 + 𝑥2. 𝑒𝑥.𝑦. 𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑦 = 𝑥2. 𝑒𝑥.𝑦 Derivadas de 2° orden cruzadas, iguales
- 74. Calcular los extremosrelativos y/o puntos de silla en las siguientes funciones: 1 2 2 2 x y x Z 1) 2) 3) 4) 5) 3 3 6 y xy x Z y x y xy x Z 10 16 4 5 2 2 y y xy x x Z 7 2 4 8 2 2 𝑍 = 3𝑦2 − 𝑥2
- 75. Calcular los extremosrelativos y/o puntos de silla en las siguientes funciones: 1 2 2 2 x y x Z 1) 𝜕𝑧 𝜕𝑥 = 2. 𝑥 − 2 𝜕𝑧 𝜕𝑦 = 2. 𝑦 2. 𝑥 − 2 = 0 2. 𝑦 = 0 𝑥 = 1 𝑦 = 0 Condición necesaria pero no suficiente 𝑥0; 𝑦0 = 1; 0 Punto crítico 𝜕2 𝑧 𝜕𝑥2 = 2 𝜕2 𝑧 𝜕𝑦2 = 2 𝜕2 𝑧 𝜕𝑥𝜕𝑦 = 0 𝐻 = 2.2 − 0 2 𝐻 = + Existe extremo relativo en el punto crítico. Cuál? Mínimo relativo porque las derivadas de 2° orden puras son iguales. Mínimo relativo: 1; 0
- 76. 2) 3 3 6 y xy x Z 𝜕𝑧 𝜕𝑥 = 3𝑥2 + 6𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑦 = 6𝑥 + 3. 𝑦2 3𝑥2 + 6𝑦 = 0 6𝑦 = −3𝑥2 𝑦 = − 1 2 𝑥2 6𝑥 + 3. 𝑦2 = 0 Sustituimos en la otra ecuación 6. 𝑥 + 3. − 1 2 . 𝑥2 2 = 0 6. 𝑥 + 3. 1 4 . 𝑥4 = 0 3. 𝑥 2 + 1 4 𝑥3 = 0 𝑥0 = 0 2 + 1 4 𝑥3 = 0 1 4 𝑥3 = −2 𝑥3 = −8 𝑥1 = −2 Para determinar los puntos críticos, reemplazamos ambos valores de “x” en la relación que los vincula
- 77. 𝑦 = − 1 2 𝑥2 Para:𝑥0 = 0 𝑦0 = 0 𝑥1 = −2 Para: 𝑦1 = −2 Dos puntos críticos 𝑥0; 𝑦0 = 0; 0 𝑥1; 𝑦1 = −2; −2 𝜕2𝑧 𝜕𝑥2 = 6𝑥 𝜕2𝑧 𝜕𝑦2 = 6𝑦 𝜕2𝑧 𝜕𝑥𝜕𝑦 = 6 𝐻 = 6. 𝑥. 6. 𝑦 − 6 2 𝐻0 = 6.0.6.0 − 6 2 𝐻0 = − Punto silla en: 𝑥0; 𝑦0 = 0; 0 𝐻1 = 6. −2 . 6. −2 − 6 2 𝐻0 = + Extremo relativo Máximo relativo
- 78. y x y xy x Z 10 16 4 52 2 3) 𝜕𝑧 𝜕𝑥 = −10𝑥 + 4𝑦 + 16 𝜕𝑧 𝜕𝑦 = 4𝑥 − 2𝑦 − 1 −10𝑥 + 4𝑦 = −16 4𝑥 − 2𝑦 = 1 −10𝑥 + 4𝑦 = −16 8𝑥 − 4𝑦 = 2 Por 2 −2𝑥 = −14 + 𝑥0 = 7 −10.7 + 4. 𝑦 = −16 4. 𝑦 = −16 + 70 𝑦0 = 27 2 𝑥0; 𝑦0 = 7; 27 2 Punto crítico
- 79. 𝜕𝑧 𝜕𝑥 = −10𝑥 +4𝑦 + 16 𝜕𝑧 𝜕𝑦 = 4𝑥 − 2𝑦 − 1 𝜕2 𝑧 𝜕𝑥2 = −10 𝜕2𝑧 𝜕𝑦2 = −2 𝜕2𝑧 𝜕𝑥𝜕𝑦 = 4 𝐻 = −10. (−2) − 4 2 𝐻 = + Extremo relativo: 𝑥0; 𝑦0 = 7; 27 2 Máximo relativo:
- 80. y y xy x x Z 7 2 4 82 2 4) 𝜕𝑧 𝜕𝑥 = 8 − 8𝑥 + 2𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑦 = 2𝑥 − 2𝑦 − 1 8 − 8𝑥 + 2𝑦 = 0 2𝑥 − 2𝑦 − 1 = 0 −8𝑥 + 2𝑦 = −8 2𝑥 − 2𝑦 = 1 + −6𝑥 = −7 𝑥0 = 7 6 8 − 8. 7 6 + 2𝑦 = 0 8 − 28 3 + 2𝑦 = 0 2𝑦 = 4 3 𝑦0 = 2 3 𝑥0; 𝑦0 = 7 6 ; 2 3 Punto crítico 𝜕2 𝑧 𝜕𝑥2 = −8 𝜕2 𝑧 𝜕𝑦2 = −2 𝜕2 𝑧 𝜕𝑥𝜕𝑦 = 2 𝐻 = −8. (−2) − 2 2 𝐻 = + Extremo relativo en: 𝑥0; 𝑦0 = 7 6 ; 2 3 Máximo relativo
- 81. 𝑍 = 3𝑦2 −𝑥2 5) 𝜕𝑧 𝜕𝑥 = −2𝑥 𝜕𝑧 𝜕𝑦 = 6𝑦 −2𝑥 = 0 6𝑦 = 0 𝑥0 = 0 𝑦0 = 0 𝑥0; 𝑦0 = 0; 0 Punto crítico 𝜕2𝑧 𝜕𝑥2 = −2 𝜕2𝑧 𝜕𝑦2 = 6 𝜕2𝑧 𝜕𝑥𝜕𝑦 = 0 𝐻 = −2. (6) − 0 2 𝐻 = − Punto silla en: 𝑥0; 𝑦0 = 0; 0
- 82. Ecuaciones diferenciales. Ejerciciosde aplicación 1- Determinar la función Ingreso total en función de la cantidad: 𝐼 = 𝑓 𝑞 sabiendo que el ingreso marginal es igual a :10. 1 + 𝑞 −2. Y cuando la cantidad es 1 el ingreso total es: 20 US El ingreso marginal es la tasa de cambio de la función ingreso total respecto a la cantidad “q” Por lo tanto: 𝑑𝐼 𝑑𝑞 = 10. (1 + 𝑞)−2 𝑑𝐼 = 10. 1 + 𝑞 −2. 𝑑𝑞 𝑑𝐼 = 10. 1 + 𝑞 −2. 𝑑𝑞 𝐼 = −10. 1 + 𝑞 −1 + 𝑐 20 = −5 + 𝑐 𝐼 = −10. 1 + 𝑞 −1 + 25
- 83. 2- Determine lafunción costo total, sabiendo que el costo marginal es: 30. 𝑞2 − 70. 𝑞 + 24 y que el costo fijo es 3. 𝑑𝐶 𝑑𝑞 = 30. 𝑞2 − 70. 𝑞 + 24 𝑑𝐶 = 30. 𝑞2 − 70. 𝑞 + 24 . 𝑑𝑞 𝐶𝑡 = 30. 𝑞3 3 − 70. 𝑞2 2 + 24𝑞 + 𝑐 𝐶𝑡 = 30. 𝑞3 3 − 70. 𝑞2 2 + 24𝑞 + 3
- 84. 3- Determine lafunción de consumo 𝐶 = 𝑓 𝑦 , sabiendo que la propensión marginal al consumo es: 𝐶′ = 0,7 + 0,1. 𝑦− 1 2 y que cuando 𝑦 = 121, 𝐶 = 𝑦. 𝑑𝐶 𝑑𝑦 = 0,7 + 0,1. 𝑦− 1 2 𝑑𝐶 = 0,7 + 0,1. 𝑦− 1 2 . 𝑑𝑦 𝐶 = 0,7. 𝑦 + 0,1. 𝑦 1 2 1 2 + 𝑘 La condición inicial es que si 𝑦 = 121 𝐶 = 121 121 = 0,7.121 + 0,2. 121 + 𝑘 𝑘 = 34,1 𝐶 = 0,7. 𝑦 + 0,1. 𝑦 1 2 1 2 + 34,1
- 85. 4- Determine elvalor 𝑃 de una “suma inicial de dinero 𝑃0" invertida durante “t” años a la tasa de interés “i” acumulada continuamente La tasa de cambio de la cantidad de dinero respecto al tiempo es: 𝑑𝑃 𝑑𝑡 = 𝑖. 𝑃 𝑑𝑃 𝑝 = 𝑖. 𝑑𝑡 𝑙𝑛𝑃 = 𝑖. 𝑡 + 𝑐 𝑙𝑛𝑃 = 𝑖. 𝑡 + 𝑙𝑛𝑐 𝑙𝑛𝑃 − 𝑙𝑛𝑐 = 𝑖. 𝑡 𝑙𝑛 𝑃 𝑐 = 𝑖. 𝑡 𝑃 𝑐 = 𝑒𝑖.𝑡 𝑃 = 𝑐. 𝑒𝑖.𝑡 La condición inicial es que en el instante de tiempo 0 (cero) la cantidad inicial es 𝑃0 𝑃0 = 𝑐. 𝑒𝑖.0 𝑃0 = 𝑐 𝑃 = 𝑃0. 𝑒𝑖.𝑡
- 86. La relación entreel precio 𝑝 y la cantidad demandada 𝑄 es tal que la “tasa de disminución en la demanda”, a medida que el precio aumenta, es proporcional a la cantidad demanda e inversamente proporcional a la suma del precio más una constante. Encontrar la función de demanda si 𝑝 = 𝑝0 cuando 𝑄 = 𝑄0 𝑄(𝑑) = 𝑓(𝑝) 𝑑𝑄 𝑑𝑝 = 𝑄 𝑝 + 𝑎 𝑑𝑄 𝑄 = 1 𝑝 + 𝑎 . 𝑑𝑝 Solución: sea La función demanda Entonces: 𝑙𝑛𝑄 = 𝑙𝑛 𝑝 + 𝑎 + 𝑐 𝑙𝑛𝑄 = 𝑙𝑛 𝑝 + 𝑎 + 𝑙𝑛𝑐 𝑙𝑛𝑄 = 𝑙𝑛 𝑝 + 𝑎 . 𝑐 𝑄 = 𝑝 + 𝑎 . 𝑐 𝑄0 = 𝑝0 + 𝑎 . 𝑐 𝑐 = 𝑄0 𝑝0 + 𝑎 Solución general 𝑄𝑃 = 𝑝 + 𝑎 . 𝑄0 𝑝0 + 𝑎 Solución particular
- 87. Guía de Ecuacionesdiferenciales Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales de 1° orden 1) 1 2 . 𝑦′ + 𝑥5 . 𝑙𝑛𝑥 = 0 𝐶. 𝐼: 𝑦(1) = −1 2) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑥2 − 1 . 𝑦 − 1 3) 𝑦´. 𝑦 − 8 = 1 3𝑥−6 𝐶. 𝐼: 𝑦(3) = 3 𝑦′ − 𝑦. 𝑥 − 3 𝑥2 + 5𝑥 + 4 = 0 4)
- 88. 𝑥−2. 𝑦′ =𝑒𝑥 𝐶. 𝐼: 𝑦(1) = −2 𝑦′ + 𝑦 = 𝑒−𝑥 . 𝑐𝑜𝑠𝑥. 𝑥2 − 9 𝑥 − 3 𝑥2 . 𝑦′ − 𝑥. 𝑦 − 4𝑥 = 0 𝐶. 𝐼: 𝑦 2 = 10 𝑦′ + 𝑦 𝑥 + 1 = 𝑥 + 1 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 2 𝑥 . 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 5) 6) 7) 8) 9)
- 89. 1 2 . 𝑦′ +𝑥5. 𝑙𝑛𝑥 = 0 1) 1 2 . 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = −𝑥5 . 𝑙𝑛𝑥 Cambiamos simbología y despejamos 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = −2𝑥5. 𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑦 = −2. 𝑥5 . 𝑙𝑛𝑥. 𝑑𝑥 Integramos ambos miembros 𝑑𝑦 = −2. 𝑥5. 𝑙𝑛𝑥. 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = −2 𝑥5. 𝑙𝑛𝑥. 𝑑𝑥 El 2° miembro debe integrarse por partes 𝑢 = 𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑢 = 1 𝑥 . 𝑑𝑥 𝑑𝑣 = 𝑥5 . 𝑑𝑥 𝑣 = 𝑥5 . 𝑑𝑥 𝑣 = 𝑥6 6 𝑦 = −2. 𝑥6 6 𝑙𝑛𝑥 − 𝑥6 6 . 1 𝑥 . 𝑑𝑥 𝑦 = −2. 𝑥6 6 . 𝑙𝑛𝑥 − 1 6 . 𝑥5 . 𝑑𝑥 𝑦𝑔 = −2. 𝑥6 6 . 𝑙𝑛𝑥 − 1 36 . 𝑥6 + 𝑐
- 90. 𝐶. 𝐼: 𝑦(1)= −1 Estas condiciones iniciales deben sustituirse en la solución general para Determinar la solución particular −1 = −2. 1 6 . 𝑙𝑛1 − 1 36 + 𝑐 𝑦𝑔 = −2. 𝑥6 6 . 𝑙𝑛𝑥 − 1 36 . 𝑥6 + 𝑐 −1 = −2. − 1 36 + 𝑐 −1 = 1 18 + 𝑐 −1 − 1 18 = 𝑐 − 19 18 = 𝑐 𝑦𝑝 = −2. 𝑥6 6 . 𝑙𝑛𝑥 − 1 36 . 𝑥6 − 19 18
- 91. 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑥2 − 1 .𝑦 − 1 1 𝑦 − 1 . 𝑑𝑦 = 𝑥 𝑥2 − 1 . 𝑑𝑥 Despejando 1 𝑦 − 1 . 𝑑𝑦 = 𝑥 𝑥2 − 1 . 𝑑𝑥 𝑙𝑛 𝑦 − 1 = 1 2 . 𝑙𝑛 𝑥2 − 1 + 𝑐 𝑙𝑛 𝑦 − 1 = 𝑙𝑛 𝑥2 − 1 1 2 + 𝑙𝑛𝑐 𝑙𝑛 𝑦 − 1 = 𝑙𝑛 𝑥2 − 1 1 2. 𝑐 𝑦 − 1 = 𝑥2 − 1 1 2. 𝑐 𝑦 = 𝑥2 − 1 1 2. 𝑐 + 1 2) 𝑡 = 𝑦 − 1 𝑑𝑡 = 1. 𝑑𝑥 1 𝑡 . 𝑑𝑡 = 𝑙𝑛𝑡 𝑡 = 𝑥2 − 1 𝑑𝑡 = 2. 𝑥. 𝑑𝑥 1 2 . 𝑑𝑡 = 𝑥, 𝑑𝑥 1 𝑡 . 1 2 𝑑𝑡 = Propiedades de los logaritmos
- 92. 3) 𝑦′ − 𝑦. 𝑥− 3 𝑥2 + 5𝑥 + 4 = 0 𝑦′ − 𝑦. 𝑥 − 3 = 0 Despejando 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑦. 𝑥 − 3 1 𝑦 . 𝑑𝑦 = 𝑥 − 3 . 𝑑𝑥 1 𝑦 . 𝑑𝑦 = 𝑥 − 3 . 𝑑𝑥 𝑙𝑛𝑦 = 𝑥2 2 − 3𝑥 + 𝑐 𝑦𝑔 = 𝑒 𝑥2 2 −3𝑥+𝑐
- 93. 𝑦´. 𝑦 −8 = 1 3𝑥−8 4) 𝐶. 𝐼: 𝑦(3) = 3 𝑑𝑦 𝑑𝑥 . 𝑦 − 8 = 1 3𝑥 − 8 𝑦 − 8 . 𝑑𝑦 = 1 3𝑥 − 8 . 𝑑𝑥 𝑦 − 8 . 𝑑𝑦 = 1 3𝑥 − 8 . 𝑑𝑥 𝑦2 2 − 8𝑦 = 1 3 𝑙𝑛 3𝑥 − 8 + 𝑐 Solución general 32 2 − 8.3 = 1 3 . 𝑙𝑛 3.3 − 8 + 𝑐 9 2 − 24 = 1 3 . 𝑙𝑛 1 + 𝑐 𝑐 = − 39 2 𝑦2 − 8𝑦 = 1 3 𝑙𝑛 3𝑥 − 8 − 39 2 Solución particular
- 94. 𝑥−2. 𝑦′ =𝑒𝑥 𝐶. 𝐼: 𝑦(1) = −2 5) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥. 𝑥2 𝑑𝑦 = 𝑒𝑥. 𝑥2. 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = 𝑒𝑥. 𝑥2. 𝑑𝑥 𝑢 = 𝑥2 𝑑𝑢 = 2. 𝑥. 𝑑𝑥 𝑑𝑣 = 𝑒𝑥. 𝑑𝑥 𝑣 = 𝑒𝑥 Por partes 𝑦 = 𝑥2 . 𝑒𝑥 − 𝑒𝑥 . 2𝑥. 𝑑𝑥 Por partes 𝑢 = 2𝑥 𝑑𝑢 = 2. 𝑑𝑥 𝑑𝑣 = 𝑒𝑥. 𝑑𝑥 𝑣 = 𝑒𝑥 𝑦𝑔 = 𝑥2 . 𝑒𝑥 − 2𝑥. 𝑒𝑥 − 𝑒𝑥 . 2. 𝑑𝑥 𝑦𝑔 = 𝑥2. 𝑒𝑥 − 2. 𝑥. 𝑒𝑥 + 2. 𝑒𝑥 + 𝑐 𝑦𝑔 = 𝑒𝑥. 𝑥2 − 2. 𝑥 + 2 + 𝑐
- 95. 𝑦𝑔 = 𝑒𝑥.𝑥2 − 2. 𝑥 + 2 + 𝑐 𝐶. 𝐼: 𝑦(1) = −2 −2 = 𝑒1. 12 − 2.1 + 2 + 𝑐 Sustituimos en la solución general −2 = 𝑒. 1 + 𝑐 −2 − 𝑒 = 𝑐 𝑦𝑝 = 𝑒𝑥. 𝑥2 − 2. 𝑥 + 2 + −2 − 𝑒
- 96. 𝑦′ + 𝑦 =𝑒−𝑥 . 𝑐𝑜𝑠𝑥. 𝑥2 − 9 𝑥 − 3 6) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑦 = 𝑒−𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥. 𝑥 − 3 . 𝑥 + 3 𝑥 − 3 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑦 = 𝑒−𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥. 𝑥 + 3 Ec. Diferencial lineal: 𝑦𝑔 = 𝑢. 𝑣 𝑢 = 𝑒− 𝑃 𝑥 . 𝑑𝑥 𝑣 = 𝑄 𝑥 . 𝑒 𝑃 𝑥 .𝑑𝑥 . 𝑑𝑥 𝑢𝑒𝑐 = 𝑒− 𝑑𝑥 𝑢 = 𝑒−𝑥 𝑣𝑒𝑐 = 𝑒−𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥. 𝑥 + 3 . 𝑒 𝑑𝑥 . 𝑑𝑥 𝑣 = 𝑒−𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥. 𝑥 + 3 . 𝑒𝑥. 𝑑𝑥 𝑣𝑒𝑐 = 𝑐𝑜𝑠𝑥. 𝑥 + 3 . 𝑑𝑥 Por partes 𝑢 = 𝑥 + 3 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝑑𝑣 = 𝑐𝑜𝑠𝑥. 𝑑𝑥 𝑣 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑣𝑒𝑐 = 𝑥 + 3 . 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑑𝑥 𝑣𝑒𝑐 = 𝑥 + 3 . 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥+c 𝑦𝑔 = 𝑒−𝑥 . 𝑥 + 3 . 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐
- 97. 𝑥2. 𝑦′ −𝑥. 𝑦 − 4𝑥 = 0 𝐶. 𝐼: 𝑦 2 = 10 7) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑃 𝑥 .𝑦 = 𝑄 𝑥 Recordemos el modelo general, el término que corresponde a la derivada de la función no puede estar multiplicado por nada. Ni funciones ni constantes. Por lo tanto, debemos primero dividir a todos los términos por 𝑥2 Y despejando según corresponda, la ecuación diferencial queda: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 − 1 𝑥 𝑦 = 4 𝑥 𝑦𝑔 = 𝑢. 𝑣 𝑢 = 𝑒− 𝑃 𝑥 . 𝑑𝑥 𝑣 = 𝑄 𝑥 . 𝑒 𝑃 𝑥 .𝑑𝑥 . 𝑑𝑥 𝑢 = 𝑒 − − 1 𝑥 .𝑑𝑥 𝑢 = 𝑒𝑙𝑛𝑥 𝑢 = 𝑥 𝑣 = 4 𝑥 . 𝑒 − 1 𝑥 .𝑑𝑥 . 𝑑𝑥 𝑣 = 4 𝑥 𝑒−𝑙𝑛𝑥. 𝑑𝑥 𝑣 = 4 1 𝑥 . 𝑒𝑙𝑛 𝑥 −1 . 𝑑𝑥 𝑣 = 𝑥−1 . 𝑥−1 . 𝑑𝑥 𝑣 = 𝑥−2 . 𝑑𝑥 𝑣 = 𝑥−1 −1 + 𝑐
- 98. 𝑦𝑔 = 𝑥.−𝑥−1 + 𝑐 𝐶. 𝐼: 𝑦 2 = 10 10 = 2. −2−1 + 𝑐 10 = − 1 2 + 2. 𝑐 10 + 1 2 = 2. 𝑐 𝑐 = 21 4 𝑦𝑝 = 𝑥. −𝑥−1 + 21 4
- 99. 𝑦′ + 𝑦 𝑥 + 1 =𝑥 + 1 8) 𝑢 = 𝑒− 1 𝑥+1 .𝑑𝑥 𝑢 = 𝑒−𝑙𝑛 𝑥+1 𝑢 = 𝑒𝑙𝑛 𝑥+1 −1 𝑢 = 𝑥 + 1 −1 𝑣 = 𝑥 + 1 . 𝑒 1 𝑥+1 .𝑑𝑥 . 𝑑𝑥 𝑣 = 𝑥 + 1 . 𝑒𝑙𝑛 𝑥+1 . 𝑑𝑥 𝑣 = 𝑥 + 1 . 𝑥 + 1 . 𝑑𝑥 𝑣 = 𝑥 + 1 2 . 𝑑𝑥 𝑣 = 𝑥 + 1 3 3 + 𝑐 𝑦𝑔 = 𝑥 + 1 −1 . 𝑥 + 1 3 3 + 𝑐
- 100. 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 2 𝑥 . 𝑦 =𝑠𝑒𝑛𝑥 9) 𝑢𝑒𝑐 = 𝑒− 2 𝑥 .𝑑𝑥 𝑢𝑒𝑐 = 𝑒−2.𝑙𝑛𝑥 𝑢𝑒𝑐 = 𝑥−2 𝑣𝑒𝑐 = 𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑒 2 𝑥 .𝑑𝑥 . 𝑑𝑥 𝑣𝑒𝑐 = 𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑥 2 . 𝑑𝑥 Dos veces consecutivas por partes 𝑢 = 𝑥2 𝑑𝑢 = 2. 𝑥. 𝑑𝑥 𝑑𝑣 = 𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑑𝑥 𝑣 = −𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑣𝑒𝑐 = 𝑥2 . −𝑐𝑜𝑠𝑥 − −𝑐𝑜𝑠𝑥 . 2𝑥. 𝑑𝑥 Por partes nuevamente 𝑢 = 2. 𝑥 𝑑𝑢 = 2. 𝑑𝑥 𝑑𝑣 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 . 𝑑𝑥 𝑣 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑣𝑒𝑐 = 𝑥2. −𝑐𝑜𝑠𝑥 + 2𝑥. 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑠𝑒𝑛𝑥. 2. 𝑑𝑥
- 101. 𝑣𝑒𝑐 = 𝑥2 .−𝑐𝑜𝑠𝑥 + 2𝑥. 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑠𝑒𝑛𝑥. 2. 𝑑𝑥 𝑣𝑒𝑐 = 𝑥2 . −𝑐𝑜𝑠𝑥 + 2𝑥. 𝑠𝑒𝑛𝑥 − −𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐 𝑣𝑒𝑐 = −𝑥2 . 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 2𝑥. 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐 𝑦𝑔 = 𝑥−2 . −𝑥2 . 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 2𝑥. 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐
- 102. 𝑦′′ + 12𝑦 =7. 𝑦 𝐶. 𝐼: 𝑦 0 = 4 ; 𝑦′ 0 = 1 𝑦′′ − 9𝑦′ = 0 −𝑦′′ + 8𝑦′ − 12𝑦 = 0 𝐶. 𝐼: 𝑦 0 = 1 ; 𝑦′ 0 = −2 𝑦′′ = 14𝑦′ 𝐶. 𝐼: 𝑦 0 = 5 ; 𝑦′ 0 = 15 𝑦′′ − 100𝑦 = 0 Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales de 2° orden 1) 2) 3) 4) 5) 𝐶. 𝐼: 𝑦 0 = 8 ; 𝑦′ 0 = 18 6) 𝑦′′ − 4𝑦′ + 4𝑦 = 0 𝐶. 𝐼: 𝑦 0 = 10 ; 𝑦′ 0 = 15
- 103. 1) 𝑦′′ + 12𝑦= 7. 𝑦′ 𝐶. 𝐼: 𝑦 0 = 4 ; 𝑦′ 0 = 1 𝑦′′ − 7𝑦′ + 12𝑦 = 0 ∝2 −7 ∝ +12 = 0 Ecuación característica Buscamos los valores de α ∝1= 3 𝑦 ∝2= 4 Reales y distintos 𝑦𝑔 = 𝐶1. 𝑒3𝑥 + 𝐶2. 𝑒4𝑥 Utilizando Las Condiciones iniciales según corresponda, se determinan las constantes, resolviendo el sistema de ecuaciones que queda formado. 𝑦𝑔 ′ = 𝐶1. 𝑒3𝑥 . 3 + 𝐶2. 𝑒4𝑥 . 4 4 = 𝐶1 + 𝐶2 1 = 3. 𝐶1 + 4. 𝐶2 12 = 3. 𝐶1 + 3. 𝐶2 1 = 3. 𝐶1 + 4. 𝐶2 Multiplicamos por 3 a la 1° ecuación, y luego restamos 11 = −𝐶2 𝐶2 = −11
- 104. Reemplazando 𝐶2 4 =𝐶1 − 11 4 + 11 = 𝐶1 𝐶1 = 15 𝑦𝑝 = 15. 𝑒3𝑥 − 11. 𝑒4𝑥
- 105. 𝑦′′ − 9𝑦′ = 0 2)∝2 −9 ∝= 0 Ecuación característica ∝. ∝ −9 = 0 ∝1= 0 𝑦 ∝2= 9 𝑦𝑔 = 𝐶1. 𝑒0,𝑥 + 𝐶2. 𝑒9.𝑥 𝑦𝑔 = 𝐶1 + 𝐶2. 𝑒9.𝑥
- 106. −𝑦′′ + 8𝑦′ − 12𝑦= 0 3) −∝2 +8 ∝ −12 = 0 ∝1= 2 𝑦 ∝2= 6 𝐶. 𝐼: 𝑦 0 = 1 ; 𝑦′ 0 = −2 𝑦𝑔 = 𝐶1. 𝑒2.𝑥 + 𝐶2. 𝑒6.𝑥 𝑦𝑔 ′ = 𝐶1. 𝑒2.𝑥. 2 + 𝐶2. 𝑒6.𝑥. 6 1 = 𝐶1 + 𝐶2 −2 = 2. 𝐶1 + 6. 𝐶2 Sustituyendo las condiciones iniciales Nos queda el sistema:
- 107. 1 = 𝐶1+ 𝐶2 −2 = 2. 𝐶1 + 6. 𝐶2 Multiplicamos por 2 la 1° ecuación y restamos miembro a miembro 2 = 2. 𝐶1 + 2. 𝐶2 4 = −4. 𝐶2 𝐶2 = −1 Reemplazando en alguna de las ecuaciones determinamos 𝐶1 1 = 𝐶1 − 1 2 = 𝐶1 𝑦𝑔 = 2. 𝑒2.𝑥 − 1. 𝑒6.𝑥
- 108. 𝑦′′ = 14𝑦′ 4) 𝐶.𝐼: 𝑦 0 = 5 ; 𝑦′ 0 = 15 𝑦′′ − 14𝑦′ = 0 ∝2 −14 ∝= 0 ∝1= 0 𝑦 ∝2= 14 𝑦𝑔 = 𝐶1. 𝑒0.𝑥 + 𝐶2. 𝑒14.𝑥 𝑦𝑔 = 𝐶1 + 𝐶2. 𝑒14.𝑥 𝑦𝑔 ′ = 𝐶2. 𝑒14.𝑥 . 14 5 = 𝐶1 + 𝐶2. 𝑒14.0 5 = 𝐶1 + 𝐶2. 15 = 𝐶2. 𝑒14.0 . 14 Sustituyendo las condiciones iniciales en las funciones correspondientes: 15 = 14. 𝐶2 𝑦𝑔 𝑦′𝑔 5 = 𝐶1 + 15 14 𝐶2 = 15 14 𝐶1 = 5 − 15 14 𝐶1 = 55 14 𝑦𝑝 = 55 14 + 15 14 . 𝑒14.𝑥
- 109. 𝑦′′ − 100𝑦= 0 5) ∝2 −100 = 0 ∝1= 10 𝑦 ∝2= −10 𝑦𝑔 = 𝐶1. 𝑒10.𝑥 + 𝐶2. 𝑒−10𝑥 𝐶. 𝐼: 𝑦 0 = 8 ; 𝑦′ 0 = 18 𝑦′𝑔 = 𝐶1. 𝑒10.𝑥 . 10 + 𝐶2. 𝑒−10𝑥 . −10 8 = 𝐶1 + 𝐶2 Sustituyendo las condiciones iniciales en las funciones correspondientes: 18 = 10. 𝐶1 − 10. 𝐶2 80 = 10. 𝐶1 + 10. 𝐶2 18 = 10. 𝐶1 − 10. 𝐶2 62 = 20. 𝐶2 Multiplicamos por 10 la 1° ecuación. Restamos miembro a miembro. 62 20 = 𝐶2 31 10 = 𝐶2
- 110. 8 = 𝐶1+ 𝐶2 31 10 = 𝐶2 y 8 = 𝐶1 + 31 10 8 − 31 10 = 𝐶1 49 10 = 𝐶1 𝑦𝑝 = 49 10 𝑒10.𝑥 + 39 10 𝑒−10𝑥
- 111. 6) 𝑦′′ −4𝑦′ + 4𝑦 = 0 𝐶. 𝐼: 𝑦 0 = 10 ; 𝑦′ 0 = 15 ∝2 −4 ∝ +4 = 0 ∝1=∝2= 2 𝑦𝑔 = 𝐶1. 𝑥.𝑒2𝑥 + 𝐶2. 𝑒2𝑥 𝑦′𝑔 = 𝐶1. 𝑒2𝑥 + 𝑥. 𝑒2𝑥. 2 + 𝐶2. 𝑒2𝑥. 2 Sustituyendo las condiciones iniciales en las funciones correspondientes: 10 = 𝐶2 15 = 𝐶1 + 2. 𝐶2 15 = 𝐶1 + 2.10 −5 = 𝐶1 𝑦𝑝 = −5. 𝑥.𝑒2𝑥 + 102. 𝑒2𝑥