Exercise 2.3

Exercise 2.3

• 1.
  Latihan 2.3 2. Misalkan. a) Apakah S2 mempunyai batas bawah? Pembuktian: Karena 2 0,x x S   . Misalkan 0 bukan batas bawah dari 2 S , artinya 2 s S  sehingga 0s  . 0s  artinya 2 s S . Hal ini kontradiksi dengan pernyataan awal bahwa 2 s S . Oleh sebab itu, pengandaian 0 bukan batas bawah dari 2 S salah. Dengan demikian, haruslah 0 batas bawah dari 2 S . Sehingga terbukti bahwa S2 mempunyai batas bawah. b) Apakah S2 mempunyai batas atas? Pembuktian: Berdasarkan teorema 2.1.8, kita ketahui bahwa 1 > 0, maka 1u u  . Misalkan u adalah batas atas 2 S , artinya 2 ,s u s S   . 2 1u S  dan u adalah batas atas 2 S maka 1u u  . Hal ini kontradiksi dengan fakta bahwa haruslah 1u u  . Dengan demikian, pengandaian u adalah batas atas 2 S salah. Jadi 2 S tidak memiliki batas atas. c) Apakah inf S2 ada? Pembuktian: Untuk membuktikan bahwa Inf S2 ada, akan ditunjukkan 2 0 in f S . Misalkan t sembarang batas bawah 2 S , akan ditunjukkan 0t  . Misalkan 0t  , artinya 0 2 t t   . 0 2 t t   (t bukan batas bawah 2 S ) Hal ini kontradiksi dengan pernyataan awal bahwa t batas bawah 2 S . Oleh sebab itu, pengandaian 0t  salah. Jadi haruslah 0t  . Karena adalah salah satu batas bawah dari 2 S , dan t adalah sembarang batas bawah 2 S sehingga 0t  maka menurut definisi, 2 0 in f S . d) Apakah Sup S2 ada? Karena 2 S tidak memiliki batas atas (berdasarkan pembuktian pada soal b), maka 2 S tidak memiliki Sup. 3. Misalkan . Tunjukkan: a) Sup S3 = 1 Pembuktian: Akan dibuktikan Sup 3 1S 
• 2.
  Berdasarkan teorema 2.1.8,kita ketahui bahwa 1 > 0. Dan untuk setiap n N , berlaku 0n  . 1 > 0, 1 N , 0n  untuk setiap n N maka 0 1 n  . Sehingga 1 0 1, n N n     .  3 1 1 1, S n n    artinya adalah batas atas dari 3 S . Untuk setiap kita tahu bahwa mungkin saja atau 0 . Misalkan 0  , artinya 3 1 1 1 1 S S      . Jadi 3 1 1 S S    sehingga 1 S    1 adalah batas atas 3 S dan untuk setiap 0  3 1 1 S S    sehingga 1 S    , maka menurut lemma 2.3.4. sup 3 1S   3 1 1 0, S n n    Misalkan 0 bukan batas bawah dari 3 S , artinya 3 s S  sehingga 0s  . 0s  artinya 3 s S . Kontradiksi dengan 3 s S . Jadi pengandaian 0 bukan batas bawah dari 3 S salah. Jadi 0 batas bawah dari 3 S . b) Inf S3 ≥ Pembuktian: Untuk membuktikan bahwa Inf S3 ≥ , akan ditunjukkan 3 0 in f S . Misalkan t sembarang batas bawah 3 S , akan ditunjukkan 0t  . Misalkan 0t  , artinya 0 2 t t   . 0 2 t t   (t bukan batas bawah 3 S ) Hal ini kontradiksi dengan pernyataan awal bahwa t batas bawah 3 S . Oleh sebab itu, pengandaian 0t  salah. Jadi haruslah 0t  . adalah salah satu batas bawah dari 3 S , dan t sembarang batas bawah 3 S sehingga 0t  maka menurut definisi, 3 0 in f S . 4.   4 1 1 , 1 : 1 : : 1 1 , n n g en a p n S n N n n g a n jil n                    Carilah Inf S4 dan Sup S4. Jawab:
• 3.
  a) Akan ditunjukkan 1 2= inf 4 S Diketahui: i) Untuk n genap berlaku  1 0 n n   , sehingga  11 1 1 1 2 n n n      ii) Untuk n ganjil berlaku  1 0 n n   , sehingga  11 1 1 1 1 2 n n n       Dari i) dan ii) maka 1 2 adalah batas bawah 4 S . Misalkan t sembarang batas bawah 4 S , akan ditunjukkan 1 2 t  . Misalkan 1 2 t  , karena 4 1 2 S artinya t bukan batas bawah 4 S . Hal ini kontradiksi dengan t batas bawah 4 S . Oleh sebab itu, pengandaian 1 2 t  salah. Jadi haruslah 1 2 t  . 1 2 adalah salah satu batas bawah dari 4 S , t sembarang batas bawah 4 S sehingga 1 2 t  maka menurut definisi 4 1 in f 2 S . b) Akan ditunjukkan 2 = sup 4 S Diketahui: iii) Untuk n genap berlaku  1 0 n n   , sehingga  1 1 1 1 1 2 n n n       iv) Untuk n ganjil berlaku  1 0 n n   , sehingga  1 1 1 1 2 n n n      Dari i) dan ii) maka 2 adalah batas atas 4 S . Misalkan 0  , artinya 4 1 1 2 2 1 S S        . Jadi 4 1 1 1 S S     sehingga 2 S    . 2 adalah batas atas 4 S dan untuk setiap 0  4 1 1 1 S S     sehingga 2 S    , maka menurut lemma 2.3.4. sup 4 2S  6. Misalkan S himpunan bagian dari R yang tak kosong dan terbatas di bawah. Buktikan bahwa  inf sup :S s s S    Bukti : Misalkan infv S maka akan ditunjukkan  sup : sup 'v s s S S    
• 4.
  infv S ,artinya, i)v batas bawah S dan, ii) sembarang t batas bawah S berlaku t v . Untuk v batas bawah S , artinya ,v s s S   karena -1<0 maka , 's v s S      , artinya v batas atas 'S . Jadi v batas atas 'S . Misalkan w sembarang batas atas 'S , akan ditunjukkan v w  . w batas atas 'S artinya , 's w s S     . Karena -1<0, maka ,s w s S    , sehingga w batas bawah S . w sembarang batas bawah S dan infv S maka w v  . Akibatnya v w  . v batas atas 'S dan w sembarang batas atas 'S berlaku v w  , maka menurut definisi  sup ' sup :v S s s S     Sehingga  sup :v s s S    Karena v = inf S sehingga terbukti bahwa  inf sup :S s s S    10. Buktikan jika A dan B terbatas pada R maka A B terbatas. Buktikan    sup sup sup , supA B A B  Pembuktian: A terbatas artinya A terbatas atas dan terbatas bawah.  A terbatas atas, artinya v batas atas A sehingga ,a v a A    A terbatas bawah, artinya 'v batas bawah A sehingga ',a v a A   B terbatas artinya B terbatas atas dan terbatas bawah.  B terbatas atas, artinya w batas atas B sehingga ,b w b B    B terbatas bawah, artinya 'w batas bawah B sehingga ',b w b B   ,a A b B   maka ,a b A B  sehingga menurut sifat Trichotomy  , ,a b a b a b   . i. Untuk a b , karena b w maka ,a b w b A B     . w batas atas A B Karena 'a v maka ' ,v a b a A B     'v batas bawah A B ii. Untuk a b , karena b w dan a v maka a b w  dan a b v  ,a b A B   . w dan v batas atas A B karena 'b w dan 'a v maka 'a b w  dan 'a b v  ,a b A B   . 'w dan 'v batas bawah A B iii. Untuk a b , karena a v maka ,b a v a A B     . v batas atas A B karena 'b w maka ' ,w b a b A B     .
• 5.
  'w batas bawahA B Dari i, ii, iii maka A B mempunyai batas atas dan batas bawah. Jadi A B terbatas. Selanjutnya, akan ditunjukkan    sup sup sup , supA B A B  . Misalkan supu A , artinya i)u batas atas A ii) 'u sembarang batas atas A berlaku 'u u . u batas atas A , artinya ,a u a A   . Misalkan su pv B , artinya i)v batas atas B ii) 'v sembarang batas atas B berlaku 'v v . v batas atas B , artinya ,b v b B   . Karena A dan B mempunyai batas atas maka A B mempunyai batas atas. Exercise 2.4 2. Jika 1 1 : : ,S n m N n m         , tentukan inf S dan sup S ! Jawab : Misalkan 1 :n S n N n        , 1 :m S m N m         dan * 1 :m S m N m        Berdasarkan Corollary 2.4.4, maka inf 0n S  dan inf * 0m S  Berdasarkan soal 2.3 no. 3, maka sup * 1n m S S  . Berdasarkan soal no. 4, Inf * ( 1). su p ( 1).1 1m m S S      Jadi inf 1m S   . Berdasarkan soal no. 4, sup * ( 1).in f ( 1).0 0m m S S     Jadi sup 0m S  . Berdasarkan soal no. 6, maka inf S = inf n S + inf 0 ( 1) 1m S      . Jadi inf 1 1 : : , 1S n m N n m           Berdasarkan soal no. 6, maka sup S = sup n S + sup 1 0 1m S    . Jadi sup 1 1 : : , 1S n m N n m          4. Misalkan S   , S terbatas di R . a. 0a  dan  : :aS as s S   inf aS = a inf S Pembuktian: S terbatas di R , maka menurut sifat kelengkapan R , S mempunyai infimum. Misalkan infv S , maka v adalah batas bawah S . Jadi ,v s s S   . 0a  dan v s , maka ,av as s S   . Jadi a v batas bawah a S ...........................................(i)
• 6.
  Misalkan t sembarangbatas bawah a S , adit : t av . t sembarang batas bawah a S , berarti ,t as s S   . 0a  dan t as , maka , t s s S a    . Jadi t a batas bawah S . infv S dan t a batas bawah S , maka menurut definisi t v a  . Karena 0a  , maka t av ..........................................(2) Dari (1) dan (2) maka menurut definisi inf aS = a v = a inf S Jadi inf aS = a v = a inf S .  sup aS = a sup S Pembuktian : S terbatas di R , maka menurut sifat kelengkapan R , S mempunyai suprimum. Misalkan su pu S , maka u adalah batas atas S . Jadi ,s u s S   . 0a  dan s u , maka ,as au s S   . Jadi a u batas atas a S ...........................................(1) Misalkan t sembarang batas atas a S , akan ditunjukkan au t . t sembarang batas bawah a S , berarti ,as t s S   . 0a  dan as t , maka , t s s S a    . Jadi t a batas atas S . su pu S dan t a batas atas S , maka menurut definisi t u a  . Karena 0a  , maka au t ..........................................(2) Dari (1) dan (2) maka menurut definisi Sup aS = a u = a sup S Jadi sup aS = a u = a sup S . b. 0b  dan  : :bS bs s S   inf bS = b sup S Pembuktian : S terbatas di R , maka menurut sifat kelengkapan R , S mempunyai suprimum. Misalkan su pu S , maka u adalah batas atas S . Jadi ,s u s S   . 0b  dan s u , maka ,bs bu s S   . Jadi bu batas bawah bS ...........................................(1) Misalkan t sembarang batas bawah bS , adit : t bu . t sembarang batas bawah bS , berarti ,t bs s S   . 0b  dan t bs , maka , t s s S b    .
• 7.
  Jadi t b batas atas S. su pu S dan t b batas atas S , maka menurut definisi t u b  . Karena 0b  , maka t bu ..........................................(2) Dari (1) dan (2) maka menurut definisi inf bS = bu = b sup S Jadi inf bS = bu = b sup S .  sup bS = b inf S Pembuktian : S terbatas di R , maka menurut sifat kelengkapan R , S mempunyai infimum. Misalkan infv S , maka v adalah batas bawah S . Jadi ,v s s S   . 0b  dan v s , maka ,bs bv s S   . Jadi b v batas atas bS ...........................................(1) Misalkan t sembarang batas atas bS , adit : bv t . t sembarang batas atas bS , berarti ,bs t s S   . 0b  dan bs t , maka , t s s S b    . Jadi t b batas bawah S . infv S dan t b batas bawah S , maka menurut definisi t v b  . Karena 0b  , maka bv t ..........................................(2) Dari (1) dan (2) maka menurut definisi sup bS = b v = b inf S . Jadi sup bS = b v = b inf S . 6. Misalkan X   dan :f X R memiliki range yang terbatas di R . Jika a R , Pembuktiankan : a.      sup : sup :a f x x X a f x x X     b.      inf : inf :a f x x X a f x x X     Pembuktian :   :f x x X terbatas di R maka   :f x x X mempunyai batas atas , berarti B R  sehingga   ,f x B x X   .   :f x x X terbatas di R maka   :f x x X mempunyai batas bawah , berarti C R  sehingga   ,f x C x X   . Karena   :f x x X mempunyai batas atas dan batas bawah, maka menurut sifat kelengkapan , R   :f x x X mempunyai suprimum dan infimum. a. Misalkan   sup :B f x x X  , berarti B batas atas  f x . Jadi   ,f x B x X   .
• 8.
  Karena a Rdan  f x B maka   ,a f x a B x X     . Jadi a B batas atas  a f x ............................................(i) Misalkan 'B adalah sembarang batas atas  a f x , Adit : 'a B B  . 'B adalah batas atas  a f x , berarti   ',a f x B x X    . Karena a R dan   'a f x B  maka   ' ,f x B a x X    . Jadi 'B a adalah batas atas  f x .   sup :B f x x X  dan 'B a adalah batas atas  f x maka menurut definisi 'B B a  yang ekuivalen dengan 'a B B  . Jadi 'a B B  untuk 'B sembarang batas atas  a f x ............(ii) Berdasarkan (i) dan (ii) maka      sup : sup :a f x x X a B a f x x X       . Jadi      sup : sup :a f x x X a f x x X     . b. Misalkan   inf :C f x x X  , berarti B batas bawah  f x . Jadi   ,f x C x X   . Karena a R dan  f x C maka   ,a f x a C x X     . Jadi a C batas bawah  a f x ............................................(i) Misalkan 'C adalah sembarang batas bawah  a f x , Adit : 'C a C  . 'C adalah batas bawah  a f x , berarti   ',a f x C x X    . Karena a R dan   'a f x C  maka   ' ,f x C a x X    . Jadi 'C a adalah batas bawah  f x .   inf :C f x x X  dan 'C a adalah batas bawah  f x maka menurut definisi 'C a C  yang ekuivalen dengan 'C a C  . Jadi 'C a C  untuk 'C sembarang batas bawah  a f x ............(ii) Berdasarkan (i) dan (ii) maka      inf : inf :a f x x X a C a f x x X       . Jadi      inf : inf :a f x x X a f x x X     .