Funciones generadoras (2)
- 1. Funciones Generadoras. Sebastián Peña Montilla 18- 0124. Nathaly Santana 20-0899
- 2. Introducción • A continuación se presentarán técnicas de resolución de problemas de enumeración que nos permiten obtener expresiones del resultado en términos del tamaño del problema. • Cuando estas expresiones relacionan la solución del problema en tamaños diferentes, se adquieren las llamadas ecuaciones de recurrencia. • Las funciones generadora, componen una de las herramientas más versátiles para el tratamiento de problemas de enumeración.
- 3. Ecuaciones de recurrencia. Cada término, a partir del tercero, se obtiene sumando los dos anteriores, o sea: 𝑎𝑛= 𝑎 𝑛−1 +𝑎(𝑛−2) (n≥3) Una expresión de este tipo, en que el término general de la sucesión se escribe en función de algunos términos anteriores, recibe el nombre de relación de recurrencia, ecuación de recurrencia o ecuación en diferencias. Para obtener un término concreto de una sucesión dada en forma recurrente debemos ir obteniendo todos los anteriores, lo cual no siempre es práctico.
- 4. Ejemplos: • Para 𝑎𝑛=3𝑎𝑛−1 𝑆𝑖 𝑛 ≥ 1, 𝑎0 = 5 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑎0 = 5, 𝑎1 = 3𝑎0 = 3𝑥5, 𝑎2 = 3𝑎1 = 32 𝑥5, 𝑦 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑖𝑛𝑑𝑢𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑠𝑒 𝑜𝑏𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑞𝑢𝑒𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑠 𝑎𝑛 = 3𝑛 𝑥5 Sea 𝑎𝑛 − 𝑎𝑛−1 = 𝑛 − 1 𝑠𝑖 𝑛 ≥ 1 𝑐𝑜𝑛 𝑎1 = 0. 𝐷𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎𝑛 = 𝑎 𝑛−1+ 𝑛−1 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑎1=0,𝑎2=𝑎1+1=0+1,𝑎3=𝑎2+2=0+1+2,.𝑎𝑛=0+!+2+⋯+ 𝑛−1 = 𝑛−1 𝑛/2
- 5. Funciones Generadoras. Se llama función generatriz (ordinaria) de la sucesión A=(𝑎0,𝑎1,𝑎2, … , 𝑎𝑘,… ) a la serie de potencias. A(x)=𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥𝑘 + ⋯ Una función generatriz es una “cuerda de la ropa” en que tendemos una sucesión de números para exhibirla. (H. Wilf, Generatingfuntionology). La función generatriz para el problema de calcular cuantos subconjuntos (de diferentes tamaños) tiene el conjunto X de 7 elementos es A(x)= 7 0 + 7 1 𝑥+. . + 7 𝑘 𝑥𝑘 +. . + 7 7 𝑥7 = (1 + 𝑥)7 Un paso de un proceso de recuento se representa por la función generatriz 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥+. . +𝑎𝑘𝑥𝑘 +. . Si, en ese paso, 𝑎𝑘 es el número de respuestas que añaden k unidades al tamaño del objeto.
- 6. Ecuaciones de recurrencies lineales. Una relación o fórmula de recurrencia de orden k ≥ 1 para una sucesión {a0, a1, a2, ..., an, ...} es una expresión que relaciona cada término con sus k términos anteriores: 𝑎𝑛= f (𝑎𝑛−1,𝑎𝑛−2,𝑎𝑛−𝑘 ), para todo n ≥ k Para poder hallar la sucesión a partir de la fórmula de recurrencia es necesario conocer los k primeros términos, que se llaman condiciones iniciales. La fórmula de recurrencia junto con las condiciones iniciales se llama sucesión recurrente o de recurrencia. Una relación recurrencia de orden k se llama lineal cuando la fórmula de recurrencia es lineal: an=𝑐1𝑎𝑛−1+𝑐2𝑎𝑛−2+.…+𝑐𝑘𝑎𝑛−𝑘+𝑔 𝑛 , , para todo n ≥ k Si g(n) ≡ 0, la relación de recurrencia lineal se llama homogénea.
- 7. Recurrencias Lineales de Primer y Segundo orden. • La solución de las sucesiones recurrentes lineales de primer orden se obtiene fácilmente por inducción: • 𝑎𝑛 = 𝑐𝑎𝑛−1 + 𝑔 𝑛 , 𝑛 ≥ 1 • 𝑎0 = 𝑏0 𝑎𝑛 = 𝑐𝑛𝑏0 + × 𝑖=1 𝑛 𝑔 𝑖 𝑐𝑛−𝑖 Segundo orden: 𝑎𝑛 = 𝑐1𝑎𝑛−1 + 𝑐2𝑎𝑛 − 2, 𝑛 ≥ 2 𝑎0 = 𝑏0, 𝑎1 = 𝑏1 Se llama ecuación característica de la recurrencia a la ecuación 𝑥2 = 𝑐1𝑥 + 𝑐2, 𝑦 𝑠𝑢𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑠𝑒 𝑙𝑙𝑎𝑚𝑎𝑛 𝑟𝑎í𝑐𝑒𝑠 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑐𝑡𝑒𝑟í𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎𝑠
- 8. Recurrencias Lineales no homogéneas. Una relación de recurrencia lineal no homogénea de orden k≥1 es una relación de la forma 𝑎𝑛 = 𝑐1𝑎𝑛−1 + 𝑐2𝑎𝑛 − 2 + ⋯ + 𝑐𝑘𝑎𝑛−𝑘+𝑔 𝑛 ,𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑛 ≥𝑘 Donde g(n) ≠0, y se llama relación de recurrencia lineal homogénea asociada a la relación: 𝑎𝑛 = 𝑐1𝑎𝑛−1+𝑐2𝑎𝑛−2+⋯+𝑐𝑘𝑎𝑛−𝑘,𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑛 ≥𝑘 Cuando se trabaja con la relación de recurrencia lineal hmogenea asociada, la relación no homogénea de la que procede se suele llamar relación completa.
- 9. Números combinatorios. • Se define número combinatorio o coeficiente binómico como el valor numérico de las combinaciones ordinarias (sin repetición) de un conjunto de n elementos tomados en grupos de r, siendo n y r dos números enteros y positivos tales que n≥r. Matemáticamente, un número combinatorio se expresa como: • En donde m y n son enteros y m ≥ n > 0.
- 10. Propiedades de los números combinatorios. Los números combinatorios presentan algunas propiedades muy interesantes: Propiedad 1 Ejemplo
- 11. Propiedades de los números combinatorios. Propiedad 2 Ejemplo
- 12. Propiedades de los números combinatorios. Propiedad 3 Esto se debe a que
- 13. Propiedades de los números combinatorios. Propiedad 4 Esto se debe a que
- 14. Números de catalán • Los números de catalán obtienen su nombre del matemático Eugène Charles Catalán (1814–1894) de origen belga. Se utilizan en combinatoria y estos son una secuencia de números naturales que aparecen en varios problemas de conteo, habitualmente recursivos. El n-ésimo número de catalán se obtiene, aplicando coeficientes binomiales, a partir de la siguiente fórmula:
- 15. Números de Stirling • Los números de Stirling del primer tipo surgen en el estudio de las permutaciones. En particular, los números de Stirling del primer tipo cuentan las permutaciones de acuerdo con su número de ciclos contando los puntos fijos como ciclos de longitud uno. Los números de Stirling del primer y segundo tipo pueden entenderse como inversos entre sí cuando se ven como matrices triangulares. • La definición original de los números de Stirling del primer tipo era algebraica: son los coeficientes s ( n , k ) en la expansión del factorial descendente.
- 16. Números de Bell • Una partición de un conjunto A es un conjunto de subconjuntos no vacíos de A, disjuntos dos a dos y cuya unión es A. Por ejemplo, el conjunto {1, 2, 3} tiene exactamente 5 particiones: • El n-ésimo número de Bell, B(n), es el número de particiones de un conjunto de n elementos. Por lo visto anteriormente B(3) = 5. {{1}, {2}, {3}} {{1,2}, {3}} {{1,3}, {2}} {{1}, {2,3}} {{1,2,3}}
- 17. Bibliografía • Grimaldi, Ralph P. “Matemáticas discreta y combinatoria”.3 edición Ed. Addison-Wesley Iberoamericana. 1997. Capitulo 10. • Rosen, K.H. “Mathematics and its applications” 3rd ed. Ed. McGraw-Hill, 1995. Capítulo 5. • Espinosa, Armenta Ramón. Matemáticas discretas. 2 edición. Parte lll. https://www.freelibros.me/matematica- discreta/matematicas-discretas-2da-edicion-ramon-espinosa- armenta
- 18. Bibliografía • foundation, W. (2021). esacademic. Obtenido de https://esacademic.com/dic.nsf/eswiki/204499 • Marta. (2021). superprof. Obtenido de https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/probabilidades/co mbinatoria/numeros-combinatorios.html • wiki. (2021). wiki. Obtenido de https://es.qaz.wiki/wiki/Stirling_numbers_of_the_first_kind