Functii derivabile

Functii derivabile

• 1.
  FUNCŢII DERIVABILE: LEGĂTURA ÎNTRECONTINUITATE ŞI DERIVABILITATE, DERIVATE LATERALE, DERIVATE DE ORDIN SUPERIOR
• 2.
  1 Introducere 2 Derivataunei funcţii într-un punct 3 Derivate laterale 4 Derivatele unor funcţii elementare şi compuse 5 Operaţii cu funcţii derivabile 6 Derivate de ordin superior 7 8 Concluzii Bibliografie
• 3.
  INTRODUCERE Noţiunea de derivatăa fost introdusă şi folosită în matematică de savantul Isaac Newton (1642 – 1724) în legătură cu studiul mecanicii. Problema vitezei instantanee a unui mobil  viteza medie a mobilului în intervalul de timp [t0, t] este:     0 0 m tt tsts v   .  viteza instantanee a mobilului în momentul t0 (fixat), t0 > 0 este:       0 0 tt 0 tt tsts limtv 0      acceleraţia mobilului la momentul t0 fixat este:       0 0 tt 0 tt tvtv limta 0    
• 4.
  Aproape în acelaşitimp şi savantul Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716) a introdus noţiunea de derivată în legătură cu studiul tangentei la o curbă într-un punct al acesteia. Problema tangentei la o curbă Fie f:(a,b)R, o funcţie continuă şi M0(x0;f(x0)) pe graficul, Gf al lui f.     0 0 xx xfxf tg    Panta sau coeficientul unghiular al tangentei în punctul M0 la curba Gf este:    00 xxmxfy  Panta secantei M0M reprezintă tangenta trigonometrică a unghiului format de aceasta cu sensul pozitiv al axei Ox.     0 0 xx xx xfxf limm 0     Tangenta în punctul M0(x0,f(x0)) este dată de ecuaţia: (1) Relaţia (1) se notează:       0 0 xx 0 ' xx xfxf limxf 0     şi se numeşte derivata funcţiei f în punctul x0.
• 5.
  I.DERIVATA UNEI FUNCŢIIÎNTR-UN PUNCT Fie funcţia f:DR, DR, x0 Є D un punct de acumulare mulţimii D.  Se spune că funcţia f are derivată în punctul x0 Є D dacă există limita:     Rîn xx xfxf lim 0 0 xx 0     Această limită se numeşte derivata funcţiei f în punctul x0, şi se notează:       0 0 xx 0 ' xx xfxf limxf 0      Se spune că funcţia f este derivabilă în punctul x0 Є D dacă limita de mai jos există şi este finită:       0 0 xx 0 ' xx xfxf limxf 0    
• 6.
  DERIVABILITATE Orice funcţie derivabilăîntr-un punct este continuă în acel punct. Observaţii:  O funcţie numerică poate fi continuă într-un punct fără a fi şi derivabilă în acel punct.  Orice funcţie discontinuă într-un punct nu este derivabilă în acest punct.  Există funcţii discontinue într-un punct şi care au derivată în acel punct. Exemplu: Funcţia modul f : RR, f(x) =|x| este continuă în x0 = 0 şi nu este derivabilă în punctul x0 = 0. Exemplu: Funcţia f : RR, dată mai jos, este discontinuă în x0 = 0 iar f’(0) = + ∞.          0x,0 0x, x 1 arctg xf CONTINUITATEŞI
• 7.
  II. DERIVATE LATERALE DERIVATA LA STÂNGA: Fie funcţia f:DR şi x0 Є D.       0 0 xx xx 0 ' s xx xfxf limxf 0 0       DERIVATA LA DREAPTA:       0 0 xx xx 0 ' d xx xfxf limxf 0 0      Funcţia f are derivată şi este derivabilă în x0 dacă şi numai dacă are derivate laterale şi este, respectiv, derivabilă la stânga şi la dreapta în x0 şi:      0 ' 0 ' d0 ' s xfxfxf 
• 8.
  INTERPRETAREA GEOMETRICĂ A DERIVATELORLATERALE  0 ' s xf există.  0 ' d xf există.
• 9.
  PUNCTE REMARCABILE ALEGRAFICULUI FUNCŢIEI PUNCTE DE ÎNTOARCERE Fie funcţia f:DR şi x0 Є D. Punctul x0 Є D se numeşte punct de întoarcere al funcţiei f dacă funcţia este continuă în x0 şi are derivate laterale infinite şi diferite în acest punct. PUNCTE UNGHIULARE Punctul x0 Є D se numeşte punct unghiular al funcţiei f dacă funcţia este continuă în x0 şi are derivate laterale diferite în acest punct şi cel puţin una este finită. PUNCTE DE INFLEXIUNE Punctul x0 Є D se numeşte punct de inflexiune al funcţiei f dacă funcţia este continuă în x0, are derivată în acest punct (finită sau infinită), iar funcţia este convexă (concavă) de o parte a lui x0 şi concavă (convexă) de cealaltă parte a lui x0.
• 10.
  III. DERIVATELE UNORFUNCŢII ELEMENTARE ŞI COMPUSE
• 11.
  IV. OPERAŢII CUFUNCŢII DERIVABILE Fie funcţiile f,g:DR şi x0 Є D punct de acumulare a lui D. Dacă funcţiile f şi g sunt derivabile în punctul x0 Є D, atunci funcţiile f + g, f∙g şi f/g, dacă g(x0)≠0, sunt derivabile în punctul x0, şi au loc următoarele reguli de derivare:       0 ' 0 ' 0 ' xgxfxgf            0 ' 000 ' 0 ' xgxfxgxfxgf              , xg xgxfxgxf x g f 0 2 0 ' 000 ' 0 '          0xg 0    ''' gfgf    ''' gfgfgf  2 ''' g gfgf g f       
• 12.
  Fie I şiJ intervale de numere reale şi funcţiile u:IJ,f:IJ. Dacă u este derivabilă în punctul x0 Є I,iar f este derivabilă în punctul u(x0)=y0 Є J, atunci funcţia compusă (f◦u):IJ este derivabilă în punctul x0 şi are loc relaţia:        0 '' 0 ' xuxufxuf  DERIVAREA FUNCŢIEI INVERSE ŞI A FUNCŢILOR COMPUSE     ''' uufuf   Dacă u,v:IR sunt funcţii derivabile pe I şi u(x)>0, x Є I. Atunci funcţia uv este derivabilă pe I şi derivata este:   'v'1v'v vulnuuuvu   Fie I şi J intervale oarecare şi f:IJ o funcţie continuă şi bijectivă. Dacă funcţia f este derivabilă în punctul x0 Є I, f’(x0)≠0, atunci funcţia inversă f–1:JI este derivabilă în punctul y0 = f(x0) şi     0 '0 '1 xf 1 yf 
• 13.
  V. DERIVATE DEORDIN SUPERIOR         0 0 '' xVVx xx 0 '' xx xfxf limxf 0 0     
• 14.
  CONCLUZII  Determinarea unoroptimuri situaţionale, prin aplicarea calculului diferenţial, în probleme practice sau specifice unor domenii de activitate. Studiul funcţiilor în general, al funcţiilor continue, derivabile în special, necesită dezvoltarea unor competenţe generale şi specifice reflectate în:  Identificarea grafic/vizual, a proprietăţilor unei funcţii numerice, privind: mărginirea, continuitatea, tendinţa asimptotică, derivabilitatea;  Asocierea de date, extrase dintr-o situaţie problemă, cu proprietăţi ale funcţiilor numerice studiate, de tipul: teoreme de convergenţă, operaţii cu limite, limite tip, tabele de derivare;  Aplicarea unor algoritmi specifici, calculului diferenţial, în rezolvarea unor probleme şi modelarea unor procese specifice, unor domenii de activitate;  Exprimarea în limbajul analizei matematice, a unor teoreme concrete, modelabile prin funcţii numerice;  Interpretarea pe baza lecturii grafice, a proprietăţilor unor funcţii, care reprezintă exemple din domeniul economic, social, ştiinţific;  Verificarea experimental a rezultatelor, deduse prin calcul, pentru probleme practice exprimabile matematic;
• 15.
   cu ajutorulderivabilităţii se poate stabilii ordinul de multiplicitate ale rădăcinilor unei ecuaţii polinomiale sau a intervalelor în care se găsesc rădăcinile unei ecuaţii asociate unei funcţii polinomiale.  determinarea intervalelor de monotonie pentru o funcţie dată (funcţia este crescătoare sau descrescătoare) – acest lucru se face studiind semnul derivatei întâi a funcţiei;  determinarea punctelor de extrem pentru o clasă extinsă de funcţii numerice – acest lucru se face studiind semnul derivatei întâi a funcţiei;  rezultatele teoretice asupra monotoniei şi punctelor de extrem ale unei funcţii permit obţinerea unor inegalităţi care, cu ajutorul metodelor elementare ar fi greu de demonstrat;  determinarea intervalelor de convexitate sau concavitate ale unei funcţii – acest lucru se face studiind semnul derivatei a doua a funcţiei; Aplicaţii utile ale derivatei unei funcţii
• 16.
  BIBLIOGRAFIE  Marius Burtea,Georgeta Burtea – Matematică, manual pentru clasa a XI-a, Editura Carminis, Piteşti, 2006;  Gheorghe Cârjă, Ovidiu Cârjă – Analiză matematică, Culegere de probleme rezolvate şi comentate, Editura GIL, Zalău, 2003;  Lia Aramă, Toader Morozan – Culegere de probleme de analiză matematică, Editura Universal Pan, Bucureşti, 1997;  Mircea Ganga – Probleme rezolvate din manualele de matematică pentru clasa a XI-a, Editura MATHPRESS, Ploieşti, 2006.