FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS MATEMATIKA SMA KELAS 11

SMA Kelas XI Semester 1
Matematika
Disklaimer Daftar isi

DAFTAR ISI
Bab I . Persamaan dan Fungsi Kuadrat
Bab II. Komposisi Fungsi dan Invers Fungsi
Bab III. Lingkaran
Bab IV. Logika Matematika
Bab V. Dimensi Tiga

BAB
Persamaan dan Fungsi Kuadrat
I
A. Persamaan Kuadrat
C. Fungsi Kuadrat
B. Nilai Diskriminan, Rumus Jumlah,
Hasil Kali Akar-akar serta Menyusun
Persamaan Kuadrat Baru
Kembali ke daftar isi

A. Persamaan Kuadrat
1. Persamaan Kuadrat
2. Pertidaksamaan Kuadrat
Kembali ke daftar isi Kembali ke awal bab

1. Persamaan Kuadrat
a. Pengertian persamaan kuadrat
Persamaan kuadrat adalah persamaan yang terdiri atas satu
variabel dengan pangkat tertinggi variabelnya dua dan koefisien
variabel yang berpangkat dua tidak boleh sama dengan nol. bentuk
umum persamaan kuadrat dalam variabel x :
Dengan a, b, dan c bilangan nyata(real) dan a ≠ 0
Perhatikan contoh berikut :
X2 – 10x + 20 = 0 merupakan persamaan kuadrat
x2 + y2 – 2x + 5 = 0 bukan merupakan persamaan kuadrat.
ax2 + bx + c = 0

Perhatikan persamaan kuadrat 2x2 + 3x – 2 = 0
b. Penyelesaian Persamaan Kuadrat
Penyelesaian persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 adalah nilai-nilai x yang
membuat pernyataan ax2 + bx + c = 0 bernilai benar

c. Menentukan Persamaan Kuadrat
1) Memfaktorkan
Langkah-langkah menyelesaikan persamaan kuadrat dengan
cara memfaktorkan:
 Ubah persamaan kuadrat ke bentuk umum persamaan
kuadrat ax2 + bx + c = 0.
 Faktorkan persamaan tersebut.
 Selesaikan hasil pemfaktoran menggunakan sifat faktor nol.
Contoh:

2) Melengkapkan Kuadrat Sempurna

Contoh:
Coba, Anda lanjutkan penyelesaian tersebut!

3. Rumus ABC
Contoh:
2
1,2
b b 4ac
x
2a
  


a. Pengertian Pertidaksamaan Kuadrat
Pertidaksamaan kuadrat adalah pertidaksamaan yang
terdiri atas satu variabel dengan pangkat tertinggi
variabelnya dua dan koefisien yang berpangkat duatidak
boleh sama dengan nol.
Bentuk umum pertidaksamaan kuadrat sebagai berikut.
1) ax2 + bx + c < 0
2) ax2 + bx + c ≤ 0
3) ax2 + bx + c > 0
4) ax2 + bx + c ≥ 0
dengan a ≠ 0 dan a, b, c bilangan nyata atau real
2. Pertidaksamaan Kuadrat

b. Penyelesaian Pertidaksamaan Kuadrat
c. Langkah-langkah Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat

B. Nilai Diskriminan
Diskriminan atau pembeda (D)
Dari nilai diskriminan dapat ditentukan jenis akar-akar persamaan
kuadrat.
 Jika D > 0 maka persamaan kuadrat mempunyai dua penyelesaian
berupa dua akar real yang berbeda.
 Jika D = 0 maka persamaan kuadrat mempunyai satu penyelesaian
berupa akar real yang sama (kembar).
 Jika D < 0 maka persamaan kuadrat tidak mempunyai akar real.
Tentukan nilai p yang memenuhi agar akar-akar persamaan kuadrat (p – 2)
x2 + 2px + p – 1 = 0 negatif dan berlainan.
Contoh Soal

Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar Persamaan Kuadrat
jika x1 dan x2 merupakan akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0
maka berlaku
Rumus jumlah akar-akar:
Rumus hasil kali akar-akar:
Rumus selisih akar-akar:
Contoh Soal

Hubungan Nilai Diskriminan dan Jenis Akar-akar Persamaan Kuadrat

Menyusun Persamaan Kuadrat Baru
 Jika diketahui akar-akarnya
 Jika diketahui hubungan antara akar-akar persamaan
kuadrat baru dengan akar-akar persamaan kuadrat lama.
Nilai α + β dan αβ dapat ditentukan menggunakan nilai-
nilai pada bentuk x1 + x2 dan x1x2

Contoh Soal

Fungsi Kuadrat
1. Bentuk Umum Fungsi Kuadrat
Bentuk umum fungsi kuadrat dalam x adalah f(x) = ax2 + bx + c dengan
a, b, dan c bilangan real dan a ≠ 0
2. Grafik Fungsi Kuadrat
a. Pembuat nol fungsi kuadrat
Pembuat nol fungsi adalah nilai x yang membuat persamaan
kuadrat bernilai nol atau f(x) = 0

b. Sumbu simetri Grafik Fungsi Kuadrat
Contoh

c. Nilai Balik Fungsi Kuadrat
Nilai balik fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c adalah
Contoh

d. Titik Balik Grafik Fungsi Kuadrat

Sifat Grafik Fungsi Kuadrat

Menggambar Grafik Fungsi

Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat dengan Pergeseran

Contoh:

Menyusun Persamaan Grafik Fungsi Kuadrat

Contoh soal

BAB
KOMPOSISI FUNGSI dan INVERS
II
Komposisi Fungsi dan Invers
Komposisi Fungsi
Invers Fungsi

A. Komposisi Fungsi
1. Operasi Aritmetika Fungsi
a. Operasi Aljabar Pada Fungsi
Jika f dan g merupakan fungsi, berlaku sifat-
sifat aljabar fungsi sebagai berikut:
• Penjumlahan fungsi: (f + g)(x) = f(x) + g(x)
• Pengurangan fungsi: (f – g)(x) = f(x) – g(x)
• Perkalian fungsi: (f × g)(x) = f(x) × g(x)
• Pembagian fungsi : (
f
g
)(x) =
f(x)
g x
untuk g(x) ≠ 0

b. Sifat-sifat Operasi Aljabar pada Fungsi
 Sifat komutatif pada penjumlahan
 Sifat asosiatif pada penjumlahan
 sifat komutatif pada perkalian
 sifat asosiatif pada perkalian

contoh: misalkan p(x) = 2x + 1, q(x) = x - 2, r(x) = 3x + 2
• Komutatif
 Penjumlahan
 Perkalian
• Asosiatif
 Penjumlahan
 Perkalian

c. Daerah Asal Fungsi Hasil Operasi Aljabar Dua Fungsi
atau Lebih
Diketahui Df daerah asal fungsi f dan Dg daerah asal fungsi g.
Daerah asal operasi aljabar dua fungsi sebagai berikut.
• Daerah asal fungsi (f + g)(x): Df + g = Df ∩ Dg
• Daerah asal fungsi (f – g)(x): Df – g = Df ∩ Dg
• Daerah asal fungsi (f × g)(x): Df × g = Df ∩ Dg
• Daerah asal fungsi (f/g)(x): Df/g = Df ∩ Dg ∩ {x | g(x) ≠ 0}
Contoh Soal

2. Operasi Komposisi Fungsi
a. Definisi Komposisi Fungsi
b. Sifat-Sifat Komposisi Fungsi
1) Pada operasi komposisi fungsi tidak berlaku sifat
komutatif yaitu:
2) Pada operasi komposisi fungsi berlaku sifat asosiatif
yaitu:
3) Pada operasi komposisi fungsi berlaku sifat Identitas
yaitu:

1. Definisi Fungsi Invers
Jika fungsi f memetakan A ke B dan dinyatakan
dalam pasangan berurutan f = {(x, y) | x  A dan y  B},
invers fungsi f adalah relasi yang memetakan B ke A. Invers
fungsi f dinotasikan sebagai f–1 dan dinyatakan dalam
pasangan berurutan f–1 = {(y, x) | y  B dan x  A}. Contoh:

2. Fungsi Invers
 Sifat-sifat fungsi invers:
invers suatu fungsi belum tentu berbentuk fungsi. Jika invers suatu fungsi
berbentuk fungsi, invers tersebut disebut fungsi invers.
Contoh Soal

 Menentukan invers fungsi jika diketahui grafiknya

 Menentukan invers fungsi jika diketahui rumus fungsinya

BAB
LINGKARAN
III
A. Persamaan Lingkaran
B. Kedudukan Titik, Garis, dan Lingkaran
terhadap Lingkaran
C. Garis Singgung Lingkaran

A. Persamaan Lingkaran
1. Pengertian Lingkaran
Lingkaran adalah tempat
kedudukan titik-titik yang
berjarak sama terhadap sebuah
titik tertentu. sebuah titik
tertentu tersebut disebut pusat
lingkaran dan jarak yang sama
itu dinamakan jari-jari
lingkaran (radius)

2. Persamaan Lingkaran
 Persamaan lingkaran yang berpusat
di O(0,0) dan berjari-jari r
Contoh:
Tentukan persamaan lingkaran yang
diketahui pusatnya O(0,0) dan
melalui titik (2, 3).

 Persamaan lingkaran yang
berpusat di P(a,b) dan
berjari-jari r
Contoh soal

 Bentuk umum persamaan lingkaran
titik pusat =
jari-jari =
Contoh soal

B. Kedudukan Titik, Garis, dan Lingkaran
terhadap Lingkaran
1. Kedudukan Titik terhadap Lingkaran
2. Kedudukan Garis terhadap Lingkaran
3. Kedudukan Dua Lingkaran

1. Kedudukan titik terhadap lingkaran
Kedudukan titik (x1, y1) terhadap lingkaran dapat ditentukan
dengan cara berikut:
a. Mensubstitusikan titik tersebut ke dalam lingkaran
1) Titik (x1, y1) terletak didalam lingkaran jika:
2) Titik (x1, y1) terletak pada lingkaran jika:

3) Titik (x1, y1) terletak diluar lingkaran jika:
Contoh soal

b. Membandingkan jarak antara Titik (x1, y1) terhadap
pusat lingkaran dengan jari-jari lingkaran
Misalkan titik pusat lingkaran di P(a, b) dan d adalah jarak
antara titik (x1, y1) dan titik P(a, b).
jika d < r, titik (x1, y1) terletak di dalam lingkaran
jika d = r, titik (x1, y1) terletak pada lingkaran
jika d > r, titik (x1, y1) terletak di luar lingkaran

2. Kedudukan garis terhadap lingkaran

3. Kedudukan Dua Lingkaran
Misalkan: d = jarak titik pusat kedua lingkaran,R = jari-jari
lingkaran besar, dan r = jari-jari lingkaran kecil.

C. Garis Singgung Lingkaran
1. Pengertian Garis Singgung Lingkaran
2. Persamaan Garis Singgung Lingkaran yang
Diketahui Gradiennya
3. Persamaan Garis Singgung Lingkaran di
Suatu Titik Pada Lingkaran
4. Persamaan Garis Singgung Lingkaran di
Suatu Titik di Luar Lingkaran

1. pengertian garis singgung lingkaran
• garis singgung lingkaran
merupakan garis yang
memotong lingkaran di satu
titik dan tegak lurus dengan
jari-jari lingkaran. titik
perpotongan garis singgung
dan lingkaran dinamakan
titik singgung.
pada gambar di atas garis ℓ menyinggung lingkaran di titik
A(x1, y1). Garis ℓ tegak lurus dengan jari-jari lingkaran PA. titik
A(x1, y1) dinamakan titik singgung.

2. Persamaan garis singgung lingkaran yang diketahui
gradiennya
Misalkan m adalah gradien garis singgung lingkaran
a. Persamaan garis ℓ pada lingkaran yang berpusat
di titik O(0,0) dan berjari-jari r
b. Persamaan garis ℓ pada lingkaran yang berpusat
di titik O(0,0) dan berjari-jari r
Contoh Soal

3. Persamaan garis singgung lingkaran di suatu titik
pada lingkaran
Misalkan titik (x1, y1) terletak pada lingkaran:
a. Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = r2 di titik T:
b. Persamaan garis singgung lingkaran (x - a)2 + (y - b)2 = r2 di
titik T:
c. Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 + Ax + By + C =
0 di titik T:

4. Persamaan Garis Singgung Lingkaran di Suatu Titik di Luar
Lingkaran

Contoh
Tentukan persamaan garis singgung
lingkaran yang melalui titik (15, －5)
terhadap lingkara L: x2 + y2 = 225.

BAB
LOGIKA MATEMATIKA
IV
A. Pernyataan dan Ingkarannya
B. Pernyataan Majemuk dan Pernyataan
Berkuantor
C. Pernyataan Majemuk yang Ekuivalen dan
Ingkarannya
D. Penarikan Kesimpulan

A. Pernyataan dan Ingkarannya
1. Pengertian Pernyataan
Pernyataan (kalimat deklaratif) adalah kalimat
yang mempunyai kebenaran tertentu. Maksudnya
kalimat tersebut bernilai benar atau bernilai salah, tetapi
tidak sekaligus bernilai benar dan salah.
Ada dua macam kebenaran, yaitu:
 kebenaran empiris (berdasarkan kenyataan pada saat
itu). contoh: pukul 15.00 WIB di sekitar Monas terjadi
hujan ringan.
 kebenaran non empiris (kebenaran mutlak). contoh:
28 merupakan angka yang habis dibagi 7.

2. Kalimat Terbuka
Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum dapat
ditentukan nilai kebenarannya karena masih memuat
variabel. nilai variabel yang membuat kalimat terbuka bernilai
benar disebut penyelesaian dari kalimat terbuka tersebut.
contoh kalimat terbuka adalah “4 + x = 9”. kalimat
terbuka tersebut bernilai benar untuk x = 5 yaitu “4 + 5 = 9”
dan menjadi pernyataan bernilai salah untuk x selain 5, misal
x = 4, yaitu “4 + 4 = 8”. dengan demikian nilai x = 5 disebut
penyelesaian dari kalimat terbuka adalah “4 + x = 9”.

3. Ingkaran (negasi) suatu pernyataan

B. Pernyataan Majemuk dan Pernyataan Berkuantor
1. Pernyataan Majemuk
2. Operasi Konjungsi
3. Operasi Disjungsi
4. Operasi Implikasi
5. Operasi Biimplikasi
6. Pernyataan Berkuantor
7. Konvers, Invers, dan Kontraposisi

1. Pernyataan Majemuk
Gabungan dari beberapa pernyataan yang
dihubungkan dengan tanda hubung logika
disebut pernyataan majemuk.
Tanda hubung logika misalnya konjungsi
(∧), disjungsi (∨), implikasi (⇒), dan
biimplikasi (⇔).
Nilai kebenaran suatu pernyataan
majemuk tergantung dari pernyataan-
pernyataan yang menyusunnya.

2. Operasi Konjungsi
Konjungsi pernyataan P dan q adalah penggabungan
pernyataan p dan q menjadi pernyataan majemuk dengan
menggunakan kata hubung “dan”. Lambang konjungsi adalah “∧”
dibaca “dan”, misalkan p ∧ q dibaca p dan q.
Tabel kebenaran konjungsi
keterangan:
B = bernilai benar
S = bernilai salah

3. Operasi Disjungsi

4. Operasi Implikasi

5. Operasi Biimplikasi
Contoh soal

6. Pernyataan Berkuantor
Contoh soal

7. Konvers, Invers, dan Kontraposisi
Hubungan antara konvers, invers, dan kontraposisi dari implikasi p ⇒ q
sebagai berikut:
Contoh soal

C. Pernyataan Majemuk yang Ekuivalen dan
Ingkarannya
Pernyataan majemuk yang ekuivalen adalah
pernyataan majemuk yang mempunyai nilai
kebenaran yang sama.
Contoh:

Pernyataan Majemuk yang Ekuivalen
Contoh Soal

Ingkaran Pernyataan Berkuantor
Contoh Soal

Negasi Pernyataan Majemuk
Contoh Soal

D. Penarikan Kesimpulan
Contoh Soal

BAB
DIMENSI TIGA
V
A. Kedudukan Titik, Garis, dan Bidang
B. Jarak Titik, Garis, dan Bidang
C. Sudut Garis dan Bidang

1. Kedudukan Titik terhadap Garis
2. Kedudukan Titik terhadap Bidang
3. Kedudukan Garis terhadap Garis Lain
4. Kedudukan Garis terhadap Bidang
5. Kedudukan Bidang terhadap Bidang
Lain
A. Kedudukan Titik, Garis, dan Bidang

1. Kedudukan Titik terhadap Garis

2. Kedudukan Titik terhadap Bidang

Contoh Soal
Tentukan titik sudut yang terletak pada bidang alas
limas.

3. Kedudukan Garis terhadap Garis Lain

Contoh Soal
Tentukan pasangan garis yang saling
bersilangan.

4. Kedudukan Garis terhadap Bidang

Contoh Soal
Tentukan pasangan garis dan bidang yang
saling sejajar.

5. Kedudukan Bidang terhadap Bidang Lain

B. Jarak Titik, Garis, dan Bidang
1. Jarak Antara Dua Titik
2. Jarak Antara Titik dan Garis
3. Jarak Antara Titik dan Bidang
4. Jarak Antara Dua Garis Sejajar
5. Jarak Antara Garis dan Bidang
6. Jarak Antara Dua Bidang Sejajar

1. Jarak Antara Dua Titik
Contoh Soal

2. Jarak Antara Titik dan Garis
Contoh Soal

3. Jarak Antara Titik dan Bidang

4. Jarak Antara Dua Garis Sejajar

5. Jarak Antara Garis dan Bidang

Contoh Soal
Tentukan jarak antara rusuk PQ
dan bidang LMRO.

6. Jarak Antara Dua Bidang Sejajar

Contoh Soal
Tentukan jarak antara bidang
KNRO dan bidang LMPQ

C. Sudut Garis dan Bidang
1. Sudut Antara Dua Garis
2. Sudut Antara Garis dan Bidang
3. Sudut Antara Dua Bidang

1. Sudut Antara Dua Garis
a. Sudut Antara Dua Garis yang
Berpotongan
Sudut antara kedua garis dapat ditentukan sebagai
berikut
1) Pilih titik A yang terletak pada garis g dan titik B
yang terletak pada garis h.
2) Besar sudut APB (∠APB) disebut ukuran sudut
antara garis g dan garis h.

b. Sudut Antara Dua Garis yang Bersilangan
Garis g dan garis k bersilangan. Garis k terletak pada
bidang ɑ, sedangkan garis g menembus bidang α di
titik P. Sudut antara kedua garis itu apat ditentukan
dengan cara sebagai berikut.
1) Buatlah garis k' melalui titik P dan sejajar garis k
2) Pilih titik C yang terletak pada garis g dan titik D
yang terletak pada garis k'
3) Besar ∠CPD disebut ukuran sudut antara garis g
dan garis k.
Contoh Soal

2. Sudut Antara Garis dan Bidang

3. Sudut Antara Dua Bidang

FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS MATEMATIKA SMA KELAS 11

More Related Content

What's hot

Similar to FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS MATEMATIKA SMA KELAS 11

Recently uploaded

FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS MATEMATIKA SMA KELAS 11