Integral Lipat Dua ( Kalkulus 2 )

Integral Lipat DuaIntegral Lipat Dua
07/12/1807/12/18 11Kalkulus2-UnpadKalkulus2-Unpad

 Integral lipat dua pada persegi panjang
 Integral lipat dua pada daerah sembarang
 Perubahan urutan pengintegralan
 Integral lipat dua dalam koordinat polar
 Aplikasi Integral Lipat Dua : Luas Permukaan
07/12/18Kalkulus2-Unpad
2

1. Bentuk partisi [a,b] dan [c,d] menjadi n
bagian.
2. Pilih pada setiap sub interval pada
[xi, xi-1] dan [yi, yi-1]
1. Bentuk jumlah Riemann.
2. Jika n  ∞ (|P| 0) diperoleh limit jumlah
Riemann.
Jika limit ada, maka z = f(x,y) terintegralkan
Riemann pada R, ditulis
3
Z=f(x,y)
x
y
z
b
a
R
c d
∆xk
∆yk
)y,x( kk
1 1
( , )
n n
k k k
i i
f x y A
= =
∆∑∑
1 1
lim ( , )
n n
k k k
n
i i
f x y A
→∞
= =
∆∑∑
Misalkan z = f(x,y) terdefinisi pada R merupakan suatu persegi
panjang tertutup, yaitu : R = {(x, y) : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}
1 1
( , ) lim ( , )
n n
k k k
n
i iR
f x y dA f x y A
→∞
= =
= ∆∑∑∫∫
)y,x( kk

Definisi integral lipat dua :
Misalkan f suatu fungsi dua peubah yang
terdefinisi pada suatu persegi panjang tertutup R.
4
∑=
→
∆
n
k
kkk
P
Ayxf
1
0
),(limJika ada, kita katakan f dapat
diintegralkan pada R. Lebih lanjut ( , ) ( , )
R R
f x y dA f x y dxdy=∫∫ ∫∫
=∫∫R
dAyxf ),( ∑=
→
∆
n
k
kkk
P
Ayxf
1
0
),(lim
disebut integral lipat dua f pada R. ditulis sebagai
:
( , )
R
f x y dx dy =∫∫ 0
1
lim ( , )
n
k k k k
P
k
f x y x y
→
=
∆ ∆∑
atau ANIMASI

5
Jika z = f(x,y) kontinu, f(x,y) ≥ 0 pada persegpanjang R,
maka ( , )
R
f x y dA∫∫ menyatakan volume benda padat yang
terletak di bawah permukaan permukaan z = f(x,y) dan
di atas R.

Jika f(x,y) ≥ 0 pada R, maka volume dapat dihitung dengan
metode irisan sejajar, yaitu:
(i) Sejajar bidang XOZ
6
y
x
z z= f(x,y)
c
a
b
d
a b
z
x
A(y)
( ) ( , )
b
a
A y f x y dx= ∫
A(y)

7
( , ) ( )
d
R c
f x y dA A y dy=∫∫ ∫
( , )
d b
c a
f x y dx dy
 
=  
 
∫ ∫
( , )
d b
c a
f x y dxdy= ∫∫
Maka
( , )
R
f x y dA∫∫ ( , )
d b
c a
f x y dxdy= ∫∫

(ii) Sejajar bidang YOZ
8
y
x
z z= f(x,y)
c
a
b
d
c d
z
y
A(x)
( ) ( , )
d
c
A x f x y dy= ∫
A(x)

9
( , ) ( )
b
R a
f x y dA A x dx=∫∫ ∫
( , )
b d
a c
f x y dy dx
 
=  
 
∫ ∫
( , )
b d
a c
f x y dy dx= ∫∫
Maka
( , )
R
f x y dA∫∫ ( , )
b d
a c
f x y dy dx= ∫∫

10
1. Hitung integral lipat dua berikut
ini :
( )2 2
2
R
x y dA+∫∫
dimana R = {(x,y) | 0 ≤ x ≤ 6, 0 ≤ y
≤ 4}
Jawab:
( )2 2
2
R
x y dA+∫∫ ( )
6 4
2 2
0 0
2x y dy dx= +∫∫
6 4
2 3
00
2
3
x y y dx
 
= + ÷
 
∫
6
2
0
128
4
3
x dx
 
= + ÷
 
∫
6
3
0
4 128
3 3
x x= + 288 256 544= + =
R
6
4
y
x

11
2. Hitung integral lipat dua berikut
ini :
( )sin
R
x y dA+∫∫
dimana R = {(x,y) | 0 ≤ x ≤π/2, 0 ≤ y ≤
π/2}
R
π/2
π/2
y
x
Jawab:
( )sin
R
x y dA+∫∫ ( )
/2 /2
0 0
sin x y dy dx
π π
= +∫ ∫
/ 2 /2
00
cos( )x y dx
π π
 
= − + ÷
 
∫
( )
6
0
cos cos
2
y y dx
π  
= − + + ÷ ÷
  
∫
/ 2
/2
0
0
sin sin
2
y y
π
π π 
= − + ÷
 
( )sin sin sin 2
2 2
π π
π
   
= − + = ÷  ÷
   

12
2 2
1 1
0 0
. x y
a xy e dy dx+
∫∫
( )
2 1
2
0 1
.b xy dy dx
−
∫ ∫
1 2
2
0 0
.
1
y
c dy dx
x +∫∫
1. Hitung
2. ( ),
R
f x y dx dy∫∫ untuk
2 2
. ( ) , [0,1] [0,1]a f x x y R= + = ×
2
. ( ) ( 2 ) , [ 1,2] [0,2]b f x x y R= + = − ×

13
Misalkan f(x,y) dan g(x,y) terdefinisi di persegipanjang R
1. ( ) ( ), ,
R R
k f x y dA k f x y dA=∫∫ ∫∫
2. ( ) ( )( ) ( ) ( ), , , ,
R R R
f x y g x y dA f x y dA g x y dA+ = +∫∫ ∫∫ ∫∫
3. Jika
( ) ( ) ( )
1 2
, , ,
R R R
f x y dA f x y dA f x y dA= +∫∫ ∫∫ ∫∫
4. Jika f(x,y) ≤ g(x,y), maka
( ) ( ), ,
R R
f x y dA g x y dA≤∫∫ ∫∫
1 2R R R= ∪ maka

14
D
a b
x
y
Definisikan



−∈
∈
=
DRyxjika
Dyxjikayxf
yxg
),(,0
),(),,(
),(
∫∫ ∫∫=
D R
dAyxgdAyxf ),(),(Maka
D

15
Ada dua jenis daerah
1. Jenis 1 ( x konstan )
{ })()(,|),( 21 xgyxgbxayxD ≤≤≤≤=
2. Daerah jenis 2 ( y konstan )
{ }dycyhxyhyxD ≤≤≤≤= ,)()(,|),( 21

Integral lipat dua pada
daerah D dapat dihitung
sebagai berikut :
16
D
a b
x
q(x)
p(x)
y
∫ ∫∫∫ =
b
a
xq
xpD
dxdyyxfdAyxf
)(
)(
),(),(
x
y
{ })()(,|),( 21 xgyxgbxayxD ≤≤≤≤=

Integral lipat dua pada
daerah D dapat dihitung
sebagai berikut :
17
( )
( )
( , ) ( , )
s yd
D c r y
f x y dA f x y dx dy=∫∫ ∫ ∫
x
y
D
c
d
r (y) s (y)
x
{ }dycyhxyhyxD ≤≤≤≤= ,)()(,|),( 21

• Urutan pengintegralan dalam integral lipat dua
tergantung dari bentuk D (daerah integrasi).
• Dalam perhitungannya, kadangkala kita perlu merubah
urutan pengintegralan. Hal ini dapat disebabkan
dengan perubahan urutan pengintegralan akan
memudahkan dalam proses integrasinya.
• Oleh karena itu, langkah pertama kita harus dapat
menggambarkan daerah integrasidaerah integrasi, selanjutnya kita
dapat merubah urutan integrasi dengan mengacu pada
sketsa daerah integrasi yang sama.
18
ANIMASI

19
1. Hitung ( )2 x
R
ye dA∫∫ ,R dibatasi x= y2
, y =1, sumbu y
x
R
( )2 x
R
y e dA∫∫ ( )
2
1
0 0
2
y
x
y e dx dy= ∫ ∫
21
0
0
2
yx
y e dy= ∫
( )2
1
0
2 1y
y e dy= −∫
( )2
1
2
0
1 1 2y
e y e e= − = − − = −
x
y
x = y2
1
1
R = {(x,y)| 0 ≤ x ≤ y2
, 0 ≤ y ≤ 1}

20
Atau dibalik urutan pengintegralannya, yaitu:
R
( )2 x
R
y e dA∫∫ ( )
1 1
0
2 x
x
ye dy dx= ∫ ∫
1
12
0
x
x
e y dx= ∫
1
0
x x
e xe dy= −∫
( )
1
0
x x x
e xe e= − +
R = {(x,y)| 0 ≤ x ≤ 1, √x ≤ y ≤ 1}
y x
y
x = y2
1
1
2 (1 1) 2e e e= − − + = −

21
2
2
4 2
0
2.
x
y
e dy dx∫∫
Daerah integrasinya
Jawab:
x R
x
y
y = x/2
4
2
y
Diubah urutan pengintegralannya,
yaitu:x=2y
( , ) |0 4, 2
2
x
R x y x y
 
= ≤ ≤ ≤ ≤ 
 
{ }( , ) |0 2 ,0 2D x y x y y= ≤ ≤ ≤ ≤

22
2
2
4 2
0 x
y
e dy dx∫∫
2
22
0 0
y
y
e dx dy= ∫ ∫
2
2
2
0
0
yy
e x dy= ∫
2
2
0
2 y
y e dy= ∫
2 2
4
0
1y
e e= = −
Sehingga

23
3
33
1
1.
y
y
y
xe dx dy
−
∫ ∫
2
0 0
sin
2. cos
x
y x dy dx
π
∫ ∫
2
1 1
0
3. y
x
e dy dx−
∫∫
( )
2
2 4
0 0
6.
x
x y dy dx
−
+∫ ∫
2
0 0
cos
7. sin
x
y x dy dx
π
∫ ∫
A
2 1
2
0 / 2
4. cos( )
y
x dx dy∫ ∫
∫ ∫
4
0
2
3
.5
y
x
dxdye

24
B
1.Hitung integral berikut
2
. ( 2 ) ,
S
a x y dA S+∫∫ daerah antara
2
y x dan y x= =
. ,
S
b xdA S∫∫ daerah antara
3
y x dan y x= =
2. Tulis integral lipat berikut dengan urutan berbeda
1
0 0
. ( , )
x
a f x y dydx∫∫
1
0
. ( , )
y
y
b f x y dxdy
−
∫ ∫

Hitung
26
Dalam sistem koordinat kartesius, integral ini sulit untuk
diselesaikan.
Sistem Koordinat Polar
θ
r
P(r,θ)
x
y
θ=0
(sumbu polar)
Hubungan Kartesius – Polar
{ }4|),((; 2222
≤+=∫∫
+
yxyxDAde
D
yx



=
=
θ
θ
sin
cos
ry
rx 2 2 2
x y r→ + =






= −
x
y1
tanθ

Misalkan z = f(x,y) terdefinisi pada persegipanjang polar D
27
( , ) ?
D
f x y dA =∫∫
Sumbu Polar
∆Ak
r=b
r=a
θ=β
θ=α
D
∆Ak
rk-1
rk
∆θ
Pandang satu partisi persegi
panjang polar ∆Ak
Luas juring lingkaran dengan
sudut pusat θ adalah ½ r2
θ
∆Ak = ½ rk
2
∆ θ- ½ rk-1
2
∆θ
= ½ (rk
2
- rk-1
2
) ∆θ
= ½ (rk + rk-1) (rk - rk-1)∆θ
= r ∆r ∆θ
Jika |P| 0, maka dA = r dr dθ (|P| panjang diagonal ∆Ak)
{ }βθαθ ≤≤≤≤= ,|),( brarD

1. Hitung
28
Sehingga
( , ) ( cos , sin )
k pD D
f x y dA f r r r dr dθ θ θ=∫∫ ∫∫
Contoh:
2. Hitung
D
y dA∫∫ , D adalah daerah di kuadran I di dalam
{ }4|),((; 2222
≤+=∫∫
+
yxyxDAde
D
yx
422
=+ yxlingkaran dan diluar 2 2
1x y+ =

29
D adalah daerah di dalam lingkaran dengan pusat
(0,0) jari-jari 2.
Sehingga
2 2
x y
D
e dA+
∫∫
2
2 2
0 0
r
e r dr d
π
θ= ∫ ∫
( )4
1eπ= −
2
22
00
1
2
r
e d
π
θ
 
=  ÷ ÷
 
∫
2
4
0
1 1
2 2
e d
π
θ
 
= − ÷
 
∫
2
2
x
y
D r
θ
Jawab.
{ }
2 2
2 2
1. ; (( , ) | 4x y
D
e dA D x y x y+
= + ≤∫∫
{ }( , ) | 0 2,0 2D r rθ θ π= ≤ ≤ ≤ ≤

30
ANIMASI

31
2.
D
y dA∫∫
Sehingga
D
y dA∫∫
/2 2
0 1
sinr r dr d
π
θ θ= ∫ ∫
( )/ 2
0
7 7
cos
3 3
π
θ= − =
2/ 2
3
10
1
sin
3
r d
π
θ θ
 
=  ÷ ÷
 
∫
( )
/2
0
1
8 1 sin
3
d
π
θ θ= − ∫
21 x
y
D
r θ






≤≤≤≤=
2
0,21|),(
π
θθ rrD

1. Hitung
32
2
1 1
2 2
0 0
4
x
x y dy dx
−
− −∫ ∫
2. Hitung
2
11
2 2
0 0
sin( )
y
x y dx dy
−
+∫ ∫
3. Tentukan volume benda pejal di oktan I di bawah
paraboloid z = x2
+y2
dan di dalam tabung x2
+ y2
= 9
dengan menggunakan koordinat kutub/polar.

33
Sumbu Polar
r=φ2(θ)
r=φ1(θ)
θ=β
θ=α
D
Sumbu Polar
r=b
r=a
θ=ψ2(r)
θ=ψ1(r)
D
{ }1 2(1). ( , ) | ( ) ( ),D r rθ φ θ φ θ α θ β= ≤ ≤ ≤ ≤
{ }1 2(2). ( , ) | , ( ) ( )D r a r b r rθ ψ θ ψ= ≤ ≤ ≤ ≤
(1) (2)

34
1 2
1 Terlihat bahwa D adalah lingkaran dengan
pusat di (1,0) dan berjari-jari 1DD
Jadi, (x – 1)2
+ y2
= 1
x2
– 2x + 1 + y2
= 1
x2
+ y2
= 2x
r2
= 2r cos θ
r2
– 2r cos θ =0
r (r – 2 cos θ )=0
r = 0 atau r = 2 cos θ
Untuk batas θ (dari gambar) θ =–π /2  θ= π/2
Sehingga,






≤≤−≤≤=
22
,cos20|),(
π
θ
π
θθ rrD

35
θ=π/4
1 2 x
y
D
x = 1  x = 2
y = 0  2
2y x x= −
ini merupakan lingkaran pusat (1,0), jari-jari 1
Sehingga koordinat polarnya adalah
Untuk batas r dihitung mulai
x = 1 r cos θ = 1 r = sec θ
Untuk batas θ (dari gambar) θ =0  θ= π/4
hingga r = 2 cos θ
2 2
2y x x= − 2 2
2 0x x y− + =
2 2
( 1) 1x y− + =
( , ) | sec 2cos ,0 .
4
D r r
π
θ θ θ θ
 
= ≤ ≤ ≤ ≤ 
 

36
1. Hitung
2
2 2
2 2
1 0
1
x x
dydx
x y
−
+
∫ ∫
Jawab: Dari soal terlihat batas untuk x dan y:
x = 1  x = 2
y = 0 
2
2y x x= −
ini merupakan lingkaran dengan pusat (1,0), jari-jari 1
θ=π/4
1 2 x
y
D
D dalam koordinat polar adalah:
2 2
2y x x= −
2 2
2 0x x y− + =
2 2
( 1) 1x y− + =
.cos2sec,
4
0|),(






≤≤≤≤= θθ
π
θθ rrD

37
2
2 2
2 2
1 0
1
x x
dy dx
x y
−
+
∫ ∫
2cos/ 4
0 sec
1
.r dr d
r
θπ
θ
θ= ∫ ∫
( )
/4
0
2sin ln sec tan
π
θ θ θ= − +
( )
/ 4
2cos
sec
0
r d
π
θ
θ
θ= ∫
( )
/4
0
2cos sec d
π
θ θ θ= −∫
Sehingga,
( ) ( ) ( )( )
2sin ln sec tan
4 4 4
2sin 0 ln sec 0 tan 0
π π π      
= − + ÷ ÷  ÷  ÷
      
− − +
( )
1
2. 2 ln 2 1 ln 1
2
 
= − + + ÷
 
( )2 ln 2 1= − +

38
ANIMASI

39
1. Hitung
S
r dr dθ∫∫ , S daerah dalam lingkaran r = 4 cosθ
dan di luar r = 2
2. Hitung
3. Hitung 2 2
4
D
x y dA− −∫∫ , D daerah kuadran I dari
2
11
2 2
0 0
sin( )
y
x y dxdy
−
+∫ ∫
lingkaran
2 2
4x y+ = antara y = 0 dan y = x.

Misalkan permukaan G : z = f(x,y) atau F(x,y,z) = f(x,y) – z
40
k
∇F
γ
γ γ
∆Ri
∆Ti
∆Si
∆Si~ ∆Ti = ∆Ri sec γi
∆Si = luas Gi dan ∆Ri = luas Ri = ∆xi∆yi
∆Ti = luas bidang singgung yang
terletak diatas Ri
γi = sudut antara Ri dan Ti
G
b
a
c d
Gi
R
Ri

41
2 2 2 2
2 2
2 2
ˆ.
ˆˆ ˆcos ,
ˆ
1 1
cos
1 1
sec 1
1
i x y
i
x y x y
i x y
i x y i
F k
dengan F f i f j k
F k
f f f f
f f
Jadi S f f R
γ
γ
γ
∇
= ∇ = + −
∇
−
= =
+ + + +
= + +
∆ = + + ∆
r
r
r
sec ,k k kS T R γ≈ =V V V kkFkF γcos

∇=•∇
Jadi luas permukaan G:
2 2
1x yS
f f dA+ +∫∫

Hitung luas permukaan G : z = x2
+ y2
dibawah bidang z=4
42
Z
x
y
G
z = 4
S
Jawab.
Bagian G yang dimaksud diproyeksikan
pada daerah S (daerah yang dibatasi
oleh lingkaran x2
+y2
=4).
x2
+y2
=4
yfxfyxyxf yx 2;2),( 22
==⇒+=
{ }πθθ 20,20),( ≤≤≤≤= rrS

43
Sehingga luas permukaan G:
2 2
2 2
0 0
1x yf f r dr d
π
θ= + +∫ ∫
2 2
2
0 0
4 1r r dr d
π
θ= +∫ ∫
2 2
2 1/ 2 2
0 0
1
(4 1) (4 1)
8
r d r d
π
θ= + +∫ ∫
2
2 3/ 2 2
00
1
(4 1)
12
r d
π
θ= +∫ ( )
2
3/ 2
0
1
(17) 1
12
d
π
θ= −∫
3/2 2
0
1
(17 1)
12
π
θ= − 3/ 2
(17 1)
6
π
= −
2 2
4 4 1
G S
dS x y dA= + +∫∫ ∫∫

1. Hitung luas permukaan G : z = x2
+ y2
dibawah bidang z =4
44
2. Hitung luas permukaan G : yang tepat berada
2
4z y= −
di atas bujur sangkar dengan titik sudut (1,0),(2,0),
(2,1),(1,1)
3. Hitung luas permukaan G : silinder z2
+ x2
= 16 di oktan I
yang dipotong oleh bidang x =2, y = 1, y = 3
4. Hitung luas permukaan G : silinder z2
+ y2
= 9 di oktan I
antara y =x, y = 3x

Integral Lipat Dua ( Kalkulus 2 )

More Related Content

What's hot

Similar to Integral Lipat Dua ( Kalkulus 2 )

More from Kelinci Coklat

Recently uploaded

Integral Lipat Dua ( Kalkulus 2 )