Kalkulus modul limit fungsi

Kalkulus modul limit fungsi

• 1.
  Kalkulus I 5 LIMIT FUNGSI 5.1 PENDAHULUAN LIMIT • Untuk sebuah fungsi y = f(x), bagaimana perilaku dari f(x) jika x mendekati c, akan tetapi x tidak sama dengan c (x≠c). x2 +1 • Contoh, kita ambil fungsi f(x)= x+1 dan g(x) = dan akan kita cari berapa nilai x −1 fungsinya jika nilai x mendekati (atau menuju) 1. Untuk itu kita buat tabel nilai f(x) dan g(x) untuk berbagai nilai x sebagai berikut. x2 +1 x f(x) = x+1 x g(x) = x −1 0.9 1.9 0.9 1.9 0.95 1.95 0.95 1.95 0.99 1.99 0.99 1.99 0.999 1.999 0.999 1.999 1 ? 1 ? 1.001 2.001 1.001 2.001 1.01 2.01 1.01 2.01 1.1 2.1 1.1 2.1 • Dari kedua tabel di atas terlihat bahwa nilai f(x) mendekati 2 jika x mendekati 1 dan nilai g(x) mendekati 2 jika x mendekati 1. • Dapat dikatakan bahwa “limit dari f(x) adalah 2 jika x mendekati 1 “ dan “ limit dari g(x) adalah 2 jika x mendekati 1”, masing-masing ditulis: x2 +1 lim (x + 1) = 2 dan lim =2 x →1 x →1 x −1 • Secara umum dapat dinyatakan bahwa: lim f(x) = L x→ c jika x mendekati c maka f (x) mendekati L dan f(c) tidak perlu ada serta x tidak perlu sama dengan c. Lukmanulhakim Almamalik                                                                                                                      V‐ 1   
• 2.
  Kalkulus I • Jika ditulis lim f(x) = L maka mengandung arti bahwa x mendekati fungsi f(x) dari dua x →c arah, yaitu x mendekati c dari kanan dan juga x mendekati c dari kiri. • Bentuk limit untuk “ x → ∞ “ dinamai limit di tak berhingga. lim x = ∞ dan lim 1 = 0 x →∞ x →∞ x 5.2 TEOREMA LIMIT • Jika lim f ( x) dan lim g ( x) keduanya ada dan k ∈ R maka berlaku pernyataan- x→ c x→ c pernyataan berikut: a. lim A = A , A, c ∈ R . x →c b. lim x = c . x →c c. lim { f ( x) ± g ( x)} = lim f ( x) ± lim g ( x) x →c x →c x →c d. lim kf ( x) = k lim f ( x) x →c x →c e. lim f ( x) g ( x) = lim f ( x). lim g ( x) x →c x →c x →c lim f ( x) f ( x) x → c f. lim = , asalkan lim g ( x) ≠ 0 x → c g ( x) lim g ( x) x →c x →c Contoh 5.1 2 2 a. lim (2x − 7x + 6) = lim 2x − lim 7x + lim 6 x →2 x →2 x →2 x →2 2 = 2 lim x − 7 lim x + lim 6 x →2 x →2 x →2 ( ) x →2 2 = 2 lim x − 7 lim x + lim 6 x →2 x →2 2 = 2.2 − 7.2 + 6 = 0 b. lim 7x 2x − 1 = lim 7x. lim 2x − 1 x →1 x →1 x →1 ( ) = 7 lim x lim (2x − 1) = (7.1) 2.1 − 1 = 7 x →1 x →1 2x + 3 lim (2x + 3) 2.(−1) + 3 1 c. lim = x →−1 = = x →−1 5x + 2 lim (5x + 2) 5.(−1) + 2 − 3 x →−1 d. lim x + 2 x − 4 = (−1) 2 + 2(−1) − 4 = −5 2 x →−1 Lukmanulhakim Almamalik                                                                                                                      V‐ 2   
• 3.
  Kalkulus I e. f. g. lim (2 – 3x + 4x2 – x3 ) = lim 2 - lim 3x + lim 4 x2 - lim x3 x → −1 x → −1 x → −1 x → −1 x → −1 = 2 – (-3) +4(-1)2 – ( -1)3 = 10 Contoh 5.2 x 2 − 3x + 2 Hitung lim . x →2 x2 − 4 Penyelesaian: Karena limit di atas mempunyai penyebut sama dengan 0, atau hasilnya adalah 0/0, maka kita memerlukan teknik lain untuk menyelesaikannya. Akan tetapi hal ini bukan berarti limit di atas tidak ada. Pada contoh soal 5.2, yang akan dihitung adalah nilai limit untuk x mendekati 2, dan bukan nilai untuk x sama dengan 2. Oleh karena itu, dengan memanfaatkan teknik-teknik aljabar, untuk x ≠ 2 diperoleh: x 2 − 3x + 2 (x − 2)(x − 1) x − 1 = = x2 − 4 (x − 2)(x + 2) x + 2 Sehingga: x 2 − 3x + 2 x −1 2 −1 1 nilai lim = lim = = x→2 2 x −4 x→2 x + 2 2+2 4 Contoh 5.3 x −1 Tentukan lim . x →1 x− 1 Penyelesaian: Karena limit tersebut hasilnya sama dengan 0/0, kita memerlukan teknik lain untuk menyelesaikannya. Lukmanulhakim Almamalik                                                                                                                      V‐ 3   
• 4.
  Kalkulus I lim x −1 = lim ( )( x −1 x +1 ) = lim ( ) x +1 = 1 + 1 = 2 . x →1 x −1 x→1 x −1 x →1 Contoh 5.4 x3 + 8 Tentukan lim 4 . x→−2 x − 16 Penyelesaian: x3 + 8 = lim 4 x 3 − ( −2) 3 = lim (x − (−2) ) x 2 + x.(−2) + (−2) 2 ( ) lim 4 x → −2 x − 16 x → −2 x − ( −2) 4 ( x → −2 ( x − ( −2) ) x 3 + x 2 .( −2) + x.( −2) 2 + ( −2) 3 ) = lim (x 2 − 2x + 4 = 4+4+4 ) 3 =− . x → −2 (x − 2x + 4x − 8 − 8 − 8 − 8 − 8 3 2 )8 Contoh 5.5 Hitung Penyelesaian: Karena limit tersebut hasilnya sama dengan 0/0, kita memerlukan teknik lain untuk menyelesaikannya. Kita faktorkan fungsi kuadratnya Contoh 5.6 Hitung limit berikut Penyelesaian: Karena limit tersebut hasilnya sama dengan 0/0, kita memerlukan teknik lain untuk menyelesaikannya. Lukmanulhakim Almamalik                                                                                                                      V‐ 4   
• 5.
  Kalkulus I Contoh 5.7 Tentukanlimit berikut Penyelesaian: Karena limit tersebut hasilnya sama dengan 0/0, kita memerlukan teknik lain untuk menyelesaikannya. Contoh 5.8 Tentukan limit berikut Penyelesaian: Karena limit tersebut hasilnya sama dengan 0/0, kita memerlukan teknik lain untuk menyelesaikannya. Lukmanulhakim Almamalik                                                                                                                      V‐ 5   
• 6.
  Kalkulus I Contoh 5.9 x −1 − 2 Hitung lim x →5 x−5 Penyelesaian : x −1 − 2 x −1 − 2 x −1 + 2 = . x−5 x−5 x −1 + 2 1 = x −1 + 2 x −1 − 2 1 1 Maka lim = lim = x →5 x−5 x →5 x −1 + 2 4 Latihan 5.1 Untuk soal 1 – 6, Berapa nilai limit berikut. 1 2 1. lim ( x + 2) 2. lim 3. lim x x →1 x→2 x x → −1 x+2 x2 −1 4. lim 5. lim x 6. lim x →0 x −1 x→4 x →1 x −1 Untuk soal 7 – 17, hitunglah masing-masing limit jika ada. 2 x+2 8. lim ( x + 3x + 1) 9. lim 2 7. lim ( x − 20) x →5 x → −2 x −3 x →0 x 2 + 2x − 8 x −1 x 6 − 64 10. lim 11. lim 12. lim x →2 x2 − 4 x →1 x −1 x →2 x 3 − 8 32 s4 −1 u −1 2 − x2 + 3 13. lim 14. lim 15. lim s → −1 s3 + 1 u →1 1− u x → −1 1− x2 x2 − 4 3 1+ x −1 16. lim 17. lim x →2 3− x +5 2 x →0 x Lukmanulhakim Almamalik                                                                                                                      V‐ 6   
• 7.
  Kalkulus I 5.3 LIMITSATU SISI (LIMIT SEPIHAK) • Limit Satu Sisi (Limit-kanan dan limit-kiri) adalah ide untuk melihat apa yang terjadi terhadap sebuah fungsi ketika kita dekati dari suatu nilai x tertentu dari suatu arah tertentu (kiri atau kanan). Limit Kanan • Jika ditulis lim+ f ( x ) = L maka mengandung arti bahwa x mendekati c dari dari kanan. x →c Limit Kiri • Jika ditulis lim− f ( x ) = L maka mengandung arti bahwa x mendekati c dari dari kiri. x →c Contoh 5.10 a. lim+ x = 0 (x didekati dari kanan) x →0 b. lim− x tidak ada. (x didekati dari kiri) x →0 c. Untuk bilangan bulat n lim+ [x ] = n dan lim− [x ] = n − 1 x →n x →n Contoh 5.11 Diberikan fungsi ⎧2x − 1, x <1 ⎪ f (x) = ⎨ ⎪ x3, x >1 ⎩ Karena untuk x < 1 adalah fungsi f ( x ) = 2 x − 1 , maka lim f ( x ) = lim− ( 2 x − 1) = 1 . x →1− x →1 Secara sama, untuk x > 1, kita gunakan fungsi lim+ f ( x ) = lim+ x 3 = 1 . x →1 x →1 Selanjutnya, karena nilai lim f ( x ) = 1 = lim f ( x ) maka lim f ( x ) = 1 . − x →1 + x →1 x →1 Lukmanulhakim Almamalik                                                                                                                      V‐ 7   
• 8.
  Kalkulus I Contoh 5.12 Tentukanlim f ( x) jika diketahui: x→ 2 ⎧ x, x≤2 ⎪ f (x) = ⎨ ⎪[x ], x>2 ⎩ Penyelesaian: Jika x didekati dari kiri maka lim− f ( x) = lim− x = 2 x→2 x→2 Jika x didekati dari kanan maka lim+ f ( x ) = lim+ [x ] = 2 x→2 x→2 Karena limit kiri = limit kanan, maka lim f ( x ) = 2 . x→ 2 Contoh 5.13 Diberikan fungsi berikut Hitung limit Penyelesaian: a. b. dan Latihan 5.2 Evaluasi apakah limit berikut ada! 1. dimana Lukmanulhakim Almamalik                                                                                                                      V‐ 8