Downloaded 43 times
More Related Content
Koefisien binomial
- 1.
- 2.
- 3. sien binomial merupakanbilangan-bilangan yang muncul dari hasil pen-jabaran penjumlahan dua peubah yang dipangkatkan, misalnya (a + b)n. Sepintas terlihat bahwa ekspresi (a + b)n tidak ada hubungannya dengan kombinasi, tetapi kenyataannya kita bisa mendapatkan rumus untuk pen-jabaran (a + b)n dengan menggunakan rumus banyaknya kombinasi-r dari n unsur. Teori untuk menurunkan rumus yang diperoleh dari penjabaran (a+b)n dengan menggunakan kombinasi dikenal dengan Teorema Binomial. Sebelum membahas teorema ini, perhatikan ilustrasi berikut ini. Dalam al-jabar kita tahu bahwa (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 Penjabaran dari (a + b)3 yang merupakan perkalian 3 faktor (a + b), yaitu (a + b)3 = (a + b)(a + b)(a + b) adalah pemilihan baik a maupun b dari masing-masing ketiga faktor (a + b) tersebut, selanjutnya hasil pemilihan tersebut dikalikan bersama-sama dan kemudian hasil kalinya dijumlahkan. Misalnya, jika kita memilih a dari se-tiap faktor dan mengalikannya, maka kita peroleh aaa. Jika kita memilih a dari faktor pertama, a dari faktor kedua dan b dari faktor ketiga kemu-dian mengalikannya, maka kita peroleh aab, dan seterusnya. Sehingga semua kemungkinan pemilihan baik a maupun b dari masing-masing faktor adalah aaa; aab; aba; abb; baa; bab; bba; bbb atau kalau dikalikan diperoleh a3; a2b; a2b; ab2; a2b; ab2; ab2; b3 Jika semua suku-suku diatas dijumlahkan, maka hasilnya adalah a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 Bilangan 3 yang merupakan koe
- 4. sien dari a2bmuncul dari pemilihan a dari 2 faktor dan b dari 1 faktor sisanya. Hal ini bisa dilakukan dalam C(3; 2) atau C(3; 1) cara. Cara yang sama bisa dilakukan untuk memperoleh koe-
- 5. sien b3 yangdalam hal ini merupakan pemilihan a dari 0 faktor dan b dari 3 faktor lainnya yang dapat dilakukan dalam C(3; 0) atau C(3; 3) cara, dan seterusnya. Sehingga secara umum koe
- 6.
- 7. sien tersebut bisaditen-tukan berdasarkan Teorema Binomial berikut ini. 1
- 8. Teorema 4.1 Jikaa dan b adalah bilangan real dan n adalah bilangan bulat positif, maka (a + b)n = nk =0C(n; k)ankbk Bukti. Penjabaran dari (a + b)n merupakan perkalian (a + b) sebanyak n faktor, yaitu (a + b)n = (a + b)(a + b):::(a + b) Koe
- 9. sien dari ankbkdapat ditentukan dengan banyaknya cara pemilihan a dari n k faktor diantara n faktor yang ada atau pemilihan b dari k faktor diantara n faktor. Hal ini bisa dilakukan dengan C(n; n k) atau C(n; k) cara. Penentuan koe
- 10. sien ini berlakuuntuk setiap k = 0; 1; :::; n. Sehingga (a + b)n = C(n; 0)an0b0 + C(n; 1)an1b1 + ::: + C(n; n)annbn = nk =0C(n; k)ankbk sama dengan yang dibuktikan. 2 Contoh 4.1 Jabarkan (a + b)4. (a + b)4 = C(4; 0)a40b0 + C(4; 1)a41b1 + C(4; 2)a42b2 + C(4; 3)a43b3 +C(4; 4)a44b4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 Contoh 4.2 Tentukan koe
- 11. sien dari a5b6dalam penjabaran (a + b)11. C(11; 6) = 11! 5!:6! = 11:10:9:8:7 5:4:3:2:1 = 462 Contoh 4.3 Jabarkan (2x 3y)5. (2x 3y)5 = C(5; 0)(2x)50(3y)0 + C(5; 1)(2x)51(3x)1 + C(5; 2)(2x)52(3y)2 + C(5; 3)(2x)53(3x)3 + C(5; 4)(2x)54(3y)4 + C(5; 5)(2x)55(3x)5 = (2x)5 + 5(2x)4(3y) + 10(2x)3(3y)2 + 10(2x)2(3y)3 + 5(2x)(3y)4 + (3y)5 = 32x5 240x4y + 720x3y2 1080x2y3 + 810xy4 243y5 2
- 12.
- 13. sien dari x2y3z5dalam penjabaran (x + y + z)10. Masalah ini bisa kita asumsikan sebagai sebuah akti
- 14. tas yang terdiridari 3 kegiatan. Pertama memilih x dari 2 faktor diantara 10 faktor yang bisa dilakukan dalam C(10; 2) cara. Kedua memilih y dari 3 faktor diantara 8 faktor yang bisa dilakukan dalam C(8; 3) cara. Ketiga memilih z dari 5 faktor diantara 5 faktor sisanya yang bisa dilakukan dalam C(5; 5) cara. Sehingga banyaknya cara untuk keseluruhan kegiatan adalah C(10; 2):C(8; 3):C(5; 5) yang merupakan koe
- 15. sien dari x2y3z5. Contoh 4.5 Gunakan Teorema Binomial untuk membuktikan bahwa nk =0C(n; k) = 2n Teorema binomial menyatakan bahwa (a + b)n = nk =0C(n; k)ankbk Dengan mengambil a = 1 dan b = 1, maka diperoleh 2n = (1 + 1)n = nk =0C(n; k)1nk1k = nk =0C(n; k) Disamping menggunakan kombinasi, kita juga bisa menentukan koe
- 16. sien bi-nomial denganmenggunakan segitiga Pascal seperti berikut ini. 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 . . . . . . . . . Batas dari segitiga Pascal diatas terdiri dari 1 dan nilai-nilai didalamnya merupakan hasil penjumlahan dari dua bilangan diatasnya. Secara formal hubungan itu dinyatakan dalam teorema berikut ini. 3
- 17. Teorema 4.2 C(n+ 1; k) = C(n; k 1) + C(n; k) untuk 1 k n. Bukti Misalkan X sebuah himpunan dengan n unsur. Ambil a =2 X sehingga C(n + 1; k) merupakan banyaknya subhimpunan k unsur dari Y = X [ fag. Subhimpunan k unsur dari Y bisa dibagi menjadi dua kelas yang saling lepas, yaitu 1. Subhimpunan dari Y yang tidak mengandung a 2. Subhimpunan dari Y yang mengandung a Subhimpunan dari kelas 1 merupakan subhimpunan k unsur dari X dan banyaknya adalah C(n; k). Sedangkan subhimpunan dari kelas 2 merupakan subhimpunan k 1 unsur dari X digabung dengan a dan banyaknya adalah C(n; k 1). Dengan demikian C(n + 1; k) = C(n; k 1) + C(n; k) seperti yang dibuktikan. 2 Identitas pada teorema diatas disebut dengan Identitas Kombinatorial. Sedan-gkan argumen yang dipakai untuk pembuktiannya disebut dengan Argumen Kombinatorial. Contoh 4.6 Gunakan Teorema 4.2 untuk menunjukkan bahwa n i=kC(i; k) = C(n + 1; k + 1) Dengan menggunakan Teorema 4.2, kita peroleh C(i + 1; k + 1) = C(i; k) + C(i; k + 1) Sehingga C(i; k) = C(i + 1; k + 1) C(i; k + 1) Berikutnya adalah menjabarkan ni =kC(i; k), yaitu ni =kC(i; k) = C(k; k) + C(k + 1; k) + C(k + 2; k) + ::: + C(n; k) = 1 + C(k + 2; k + 1) C(k + 1; k + 1) + C(k + 3; k + 1) C(k + 2; k + 1) + ::: + C(n + 1; k + 1) C(n; k + 1) = C(n + 1; k + 1) 4
- 18.
- 19. sien dari suku-sukudibawah ini jika ekspresinya dijabarkan a. x4y5 dari ekspresi (2x + 3y)9. b. x2y3y5 dari ekspresi (x + y + z)10. c. a2x3 dari ekspresi (a + x + c)2(a + x + d)3. d. a2x3 dari ekspresi (a + ax + x)(a + x)4. 4.2. Carilah banyaknya suku dalam penjabaran ekspresi berikut ini. a. (w + x + y + z)12. b. (x + y + z)10(w + x + y + z)2. 4.3. Buktikan bahwa 0i+jn n! i!:j!:(n i j)! 4.4. Dengan menggunakan induksi matematika, buktikan bahwa (a + b)n = nk =0C(n; k)ankbk 4.5. Gunakan rumus kombinasi r dari n unsur yang berbeda, untuk mem-buktikan bahwa C(n + 1; k) = C(n; k 1) + C(n; k) Referensi 4.1. R. Johnsonbaugh, Discrete Mathematics, Fourth Edition, 1997, Pren-tice Hall. 5