Limit kontinu

Limit Fungsi dan Kontinuitas
3.5soal Kontinuitas Fungsi
3.5.1 KEKONTINUAN FUNGSI DI SUATU TITIK
Dalam pembahasan yang lalu tentang konsep limit, dimana eksistensi (keberadaan) nilai
limit fungsi di suatu titik tidak tergantung kepada nilai fungsinya dititik tersebut.
Lxf
ax
=
→
)(lim ,
tidak mempersoalkan apakah fungsi f terdefinisi dititik a atau tidak.
Sekarang akan ditinjau hubungan limit fungsi dengan nilai fungsinya disuatu titik. Jika
limit fungsi f dititik a adalah f(a) sendiri, dikatakan bahwa fungsi f kontinu dititik x = a.
Definisi3.5.1.1: (kekontinuan)
Suatu fungsi f dikatakan kontinu dititik a jika
)()(lim afxf
ax
=
→
Definisi di atas menjelaskan bahwa sebuah fungsi f dikatakan kontinu dititik a jika
memenuhi ketiga syarat berikut:
1. ( )adaLxf
ax
=
→
)(lim
2. f(a) ada ( f terdefinisi dititik a)
3. )()(lim afLxf
ax
==
→
Catatan:
Jika salah satu syarat kekontinuan diatas tidak dipenuhi, dikatakan fungsi f “tidak kontinu”
(diskontinu) dititik tersebut.
Contoh 1:
Diberikan fungsi






=
≠
−
−
=
1,
2
1
1,
1)(
34
x
x
x
xx
xf
Selidiki apakah fungsi f kontinu di x =1 ?, dan gambarkan grafik f
Penyelesaian:
Fungsi f di atas dapat dituliskan sebagai





=
≠
=
1,
2
1
1,
)(
3
x
xx
xf
Fungsi f terdefinisi untuk semua bilangan riil x , grafiknya terdiri atas titik terpencil (1,1/2) dan
semua titik pada kurva y = x3
kecuali titik (1,1). Lihat gambar.21.a
Sekarang kita periksa syarat-syarat kekontinuan fungsi f dititik x = 1
142

• ))1((,1lim)(lim 3
11
dipenuhisyaratxxf
xx
==
→→
• f(1) = ½, (syarat 2 dipenuhi)
• ))3((),1()(lim
1
dipenuhitidaksyaratfxf
x
≠
→
Kesimpulan:
Fungsi f “tidak kontinu” dititik x = 1
Catatan:
Dari Contoh 1 di atas, bilamana didefinisikan f(1) = 1 maka dikatakan fungsi f “kontinu” dititik
x=1 (gambar 21.b)
Contoh 2:
Diberikan fungsi





=
≠
−
−
=
1,1
1,
1
1
)(
2
x
x
x
x
xg
a. Gambar grafik fungsi g
b. Selidiki kekontinuan fungsi g dititik x = -1
dan x = 1
Penyelesaian:
a. Fungsi g terdefinisi untuk setiap bilangan real,
grafiknya terdiri dari titik terisolir (1,1) dan semua
titik pada garis y = x+1 dan garis y = -x-1,
kecuali dititik (1,2) dan titik (1,-2).(lihat gambar
22).
b. Menurut sifat nilai mutlak, maka




<<−+−−=−−
≥∪−≤+−=−
=−
11);1)(1()1(
11);1)(1(1
1 2
2
2
xxxx
xxxxx
x
143
0 1
1
-1
-1
f(x)
2
x
y
Gambar 22
0 1
1
-1
-1
0, ½
f(x)
x
y
Gambar 21.a
0 1
1
-1
-1
f(x)=x3
x
y
Gambar 21.b
(1,1)

sehingga fungsi g dapat dituliskan sebagai fungsi dengan 3 aturan :





=
≠<≤−+−
≠>∪−≤+
=
1;1
1;11;)1(
1;11;1
)(
x
xxx
xxxx
xg
Sekarang kita selidiki syarat-syarat kekontinuan fungsi g di x = -1 dan x =1
Dititik x = -1
Grafik g diatur oleh dua persamaan y = x+1 dan y = -x-1
• 0)(lim,0)(lim)(lim
111
=⇒==
−→−→−→ +−
xgxgxg
xxx
(syarat (1) dipenuhi)
• g(-1) = 0 (syarat (2) dipenuhi)
• ))3((,0)1()(lim
1
dipenuhisyaratgxg
x
=−=
→
Kesimpulan fungsi g “kontinu” dititik x = -1
Dititik x = 1
Grafik g diatur oleh tiga persamaan y = x+1 , y = 1 dan y = -x-1
•
2)1(lim)(lim
2)1(lim)(lim
11
11
=+=
−=−−=
++
−−
−→−→
−→−→
xxg
xxg
xx
xx karena )(lim)(lim
11
xgxg
xx −+
−→−→
≠ maka
adatidakxg
x
)(lim
1−→
Karena syarat pertama tidak dipenuhi, maka disimpulkan bahwa fungsi g(x) “diskontinu” dititik
x = 1.
Jadi fungsi g kontinu disemua bilangan riil x kecuali dititik x =1
3.5.2 KONTINU KANAN DAN KONTINU KIRI
Definisi 3.5.2.1:
1) Suatu fungsi f dikatakan kontinu kanan dititik x=a jika memenuhi tiga syarat berikut:
a. adaxf
ax
)(lim+
→
(artinya limit kanan di a ada)
b. f(a) ada, (artinya f terdefinisi di a)
c. )()(lim afxf
ax
=+
→
2) Suatu fungsi f dikatakan kontinu kiri dititik x=a jika memenuhi tiga syarat berikut:
a. adaxf
ax
)(lim−
→
(artinya limit kiri di a ada)
b. f(a) ada, (artinya f terdefinisi di a)
c. )()(lim afxf
ax
=−
→
Teorema 3.5.2.1:
Fungsi f kontinu dititik x=a ⇔ )()(lim)(lim afxfxf
axax
== −+
→→
144
x1 2
1
0
f(x) =
y
Gambar 23

Contoh 3:
f(x) = 1−x
fungsi f terdefinisi pada Df = [ 1, ∞ ) sehingga f
kontinu pada selang tersebut, karena f kontinu pada
selang terbuka ( 1, ∞ ) dan kontinu kanan di x=1.
Contoh 4:
Diberikan fungsi:
f(x) =




≥+−
<≤
<
3;1)2(
30;][
0;
2
xx
xx
xx
fungsi f terdefinisi untuk setiap bilangan riil, grafiknya meloncat dititik x=1 dan x = 2 (lihat
gambar 24).
Menurut definisi bilangan bulat terbesar maka [x] untuk 0 ≤ x<3 dapat ditulis sebagai:





<≤
<≤
<≤
=
32;2
21;1
10;0
][
x
x
x
x
Sehingga fungsi f dapat ditulis sebaga fungsi dengan 5
aturan :









≥+−
<≤
<≤
<≤
<
=
3;1)2(
32;2
21;1
10;0
0;
)(
2
xx
x
x
x
xx
xf
Perhatikan bahwa:
 Dititik x = 0
0)0()(lim)(lim === −+
→→
fxfxf
axax
Jadi fungsi f kontinu di x = 0
 Dititik x = 1
Fungsi f tidak kontinu kiri karena )1()(lim fxf
ax
≠−
→
yaitu 1)1(00lim
1
=≠=−
→
f
x
145
0 1 2 3-1
1
2
3
x
y
Gambar 24

Fungsi f kontinu kanan karena 1)1()(lim ==+
→
fxf
ax
Jelas fungsi f diskontinu di titik x = 1 (grafiknya meloncat)
 Dititik x = 2
Fungsi f tidak kontinu kiri, tetapi f kontinu kanan di x=2, karena
2)2()(lim
2
==+
→
fxf
x
Jelas fungsi f diskontinu dititik x=2 (grafiknya meloncat)
 Dititik x = 3
Fungsi f kontinu sebab 2)3()(lim)(lim
33
=== −+
→→
fxfxf
xx
, yaitu
( ) ( ) )3(212lim12lim
2
3
2
3
fxx
xx
==+−=+− −+
→→
3.5.3 KEKONTINUAN DALAM SUATU SELANG
Definisi 3.5.3.1:
1. Suatu fungsi f dikatakan kontinu pada selang buka (a,b) jika dan hanya jika f kontinu
pada setiap titik pada selang buka (a,b).
2. Suatu fungsi f dikatakan kontinu pada selang tutup [a,b] jika dan hanya jika f kontinu
pada setiap titik pada selang buka (a,b), kontinu kanan di x=a dan kontinu kiri di x=b
3. Suatu fungsi f dikatakan kontinu pada selang setengah buka [a,b) jika dan hanya jika f
kontinu pada setiap titik pada selang terbuka (a,b) serta kontinu kanan dititik a.
4. Suatu fungsi f dikatakan kontinu pada selang setengah buka (a,b] jika dan hanya jika f
kontinu disetiap titik pada selang terbuka (a,b) serta kontinu kiri dititik b.
Contoh 5:
a. Fungsi f(x) = x yang terdefinisi pada selang [0,+∞) kontinu pada selang tersebut, karena f
kontinu pada selang buka (0,+∞), dan kontinu kanan dititik x = 0. hal ini dapat dilihat dari :
ax
ax
=
→
lim =+a, untuk semua a∈ (0,+∞) dan f kontinu kanan di x=0 , yaitu
0lim
0
=+
→
x
x
(gambar 25.a)
b. Fungsi g(x) = 2
9 x− ; kontinu pada selang tertutup [-3,3], oleh karena g kontinu pada
setiap x∈ (-3,3), serta kontinu kanan di x = -3 dan kontinu kiri di x = 3 (gambar 25.b)
Perhatikan bahwa:
146
0 3-3
3
x
y
Gambar 25.b
0
Gambar 25.a
Fungsi f kontinu pada [0,∞)
x
y
xxf =)(

Jenis-Jenis Ketakkontinuan
1) Ketakkontinuan yang dapat dihapuskan (removable discontinuity), yang terjadi bilamana
)(lim xf
ax→
ada tetapi )()(lim afxf
ax
≠
→
. Pengertian “dapat dihapuskan” adalah dengan
mengganti (mendefinisikan ) f(a) sama dengan nilai limitnya, maka fungsi f akan menjadi
fungsi kontinu dititik tersebut.
2) Ketakkontinuan loncat (jump discontinuity) terjadi bilamana )(lim)(lim xfxf
axax −+
→→
≠ .
Pengetian “loncat” adalah limit kiri di x=a berbeda dengan limit kanan di a (ada loncatan).
3) Ketakkontinuan tak hingga, yang terjadi bilamana ±∞=+
→
)(lim xf
ax
atau
±∞=−
→
)(lim xf
ax
4) )(lim xf
ax +
→
atau )(lim xf
ax −
→
tidak ada dan tidak sama dengan ±∞
Contoh 6:
Diberikan f(x) = 0; ≠x
x
x
dan g(x) = x2
.
Gambar garfik dan selidiki kekontinuan fungsi berikut di x=0
a) f+g b) f-g c) fg d) f/g e) f2
f) g/f2
Penyelesaian:
Karena



<−
≥
=
0;
0;
xx
xx
x
f(x) = 0; ≠x
x
x
maka fungsi f dapat ditulis dengan 2 aturan sebagai berikut :
0;
0;1
0;1
)( ≠



<−
>
= x
x
x
xf
dan g(x) = x2
, sehingga
a. 0;
0;1
0;1))(( 2
2
≠



<−
>+=+ x
xx
xxxgf
147
0 1
1
-1
-1
f + g
x
y
Gambar 26
Fungsi g kontinu pada [-3,3]

fungsi (f + g) diskontinu (loncat) dititik x = 0, karena
( ) 1lim
0
−=+−
→
gf
x
dan 1lim
0
=++
→
gf
x
jadi limit kiri tidak
sama dengan limit kanan. (gambar 26)
b. 0;
0;1
0;1))(( 2
2
≠



<−−
>−=− x
xx
xxxgf
fungsi (f - g)(x) diskontinu (loncat) dititik x = 0, karena
))((lim))((lim
00
xgfxgf
xx
−≠− +−
→→
.
c. 0;
0;
0;))(( 2
2
≠



<−
>= x
xx
xxxfg
fungsi (fg)(x) diskontinu yang dapat dihapuskan
dititik x = 0, karena
0))((lim))((lim
00
== +−
→→
xfgxfg
xx
tetapi
)0)(())((lim
0
fgxfg
x
≠
→
karena
(f.g)(0) tidak terdefinisi (gambar 28)
d. 0;
0;1
0;1
)(
2
2
≠




<−
>
=



 x
x
x
x
xx
g
f
fungsi (f/g)(x) diskontinu tak hingga dititik x = 0
karena
+∞=




−
→
)(lim
0
x
g
f
x
dan +∞=




+
→
)(lim
0
x
g
f
x
148
x
0 1
1
-1
-1
f - g
y
Gambar 27
x
0 1
1
-1
-1
fg
y
Gambar 28
0
x
y
f/g
Gambar 29

e. 0;
0;1
0;1)(2
≠



<
>= x
x
xxf
fungsi f2
diskontinu yang dapat dihapuskan dititik x =
0, karena 1)(lim)(lim 2
0
2
0
== +−
→→
xfxf
xx
tetapi nilai f2
di x = 0 tidak ada.( f(0) tidak terdefinisi) (gambar 30)
f. 0;
0;
0;)( 2
2
2 ≠



<
>=





x
xx
xxx
f
g
fungsi (g/f2
)(x) diskontinu yang dapat
dihapuskan dititik x = 0, karena limit kiri sama
dengan limit kanan tetapi nilai (g/f2
)(x) di x =
0 tidak ada. (gambar 31)
Teorema 3.5.3.1
Jika f dan g masing-masing fungsi kontinu dititi x = a, maka:
1. Fungsi f + g kontinu di x = a
2. Fungsi f - g kontinu di x = a
3. Fungsi fg kontinu di x = a, termasuk fungsi kf ; k = konstanta
4. Fungsi f/g kontinu di x = a, asal g(a) ≠ 0
Teorema 3.5.3.2 (Teorema akibat)
1. Semua “fungsi polinom”(fungsi suku banyak kontinu pada setiap bilangan riil di daerah
definisinya.: )()(lim aPxP nn
ax
=
→
1. Tiap “fungsi rasional” kontinu pada daerah definisinya.
2. Fungsi “akar kuadrat” ( x ) kontinu pada semua bilangan riil positif atau pada daerah
definisinya.
1. Fungsi “nilai mutlak” ( x ) kontinu pada setiap bilangan riil x
149
0
x
y
f2
1
Gambar 30
0
x
y g/f2
1
Gambar 31

Teorema 3.5.3.3 (Limit fungsi komposit)
Jika bxg
ax
=
→
)(lim dan f kontinu di b, maka )())((lim bfxgf
ax
=
→
 dengan kata lain:
( ))(lim))((lim xgfxgf
axax →→
= .
Dapat pula dikatakan:
Jika g kontinu di a, dan f kontinu di g(x), maka fungsi komposit fοg juga kontinu di a
Contoh 7:
a. Fungsi polinom derajat 3 : f(x) = x3
– 3x - 1, kontinu pada setiap bilangan riil, grafiknya tidak
terputus pada R2
(lihat gambar 32).
b. Diberikan fungsi
F(x) =
3)3(
53
2
−+−
−
xx
x
x≠ 3,
Tentukan pada titik manakah F kontinu?
Penyelesaian:
Daerah definisi g adalah himpunan semua nilai x sehingga F(x) ada. Syarat agar F(x) ada
haruslah (x-3)>0 ⇔ x>3; x ≠3.
• Karena pembilang p(x) = 53 −x merupakan fungsi nilai mutlak, maka p(x) kontinu
untuk setiap bilangan riil.
• Penyebut q(x) = (x-3)2
+ 3−x . Fungsi akar kuadrat 3−x kontinu untuk setiap (x-3)
> 0 atau x > 3 dan fungsi kuadrat (x-3)2
kontinu untuk setiap x.
• Syarat penyebut ≠ 0, maka q(x) = (x-3)2
+ 3−x kontinu untuk semua x > 3
Jadi fungsi F = p/q kontinu untuk setiap x >3
c. Diberikan fungsi
150
x
0 1
1
-1
-1
f(x) = x3
– 3x - 1
y
-2
-3
(-1,1)
(0,-1)
(1,-3)
Gambar 32

H(x) = 2
2
)5(
)15(
−
+
x
x
x≠ 5,
Tunjukkan bahwa H kontinu dimana-mana kecuali di x=5
Penyelesaian:
Tulis H = fοg dengan f(x) = x dan g(x) = 2
2
)5(
15
−
+
x
x
, x≠ 5.
Menurut teorema 3.5.3.2, fungsi akar kuadrat f kontinu untuk setiap x > 0 dan fungsi
rasional g kontinu untuk setiap x dengan x ≠ 5. Karena g(x)>0 ∀x, asal x ≠ 5, maka
menurut teorema 3.5.3.3 fungsi komposit H = fοg kontinu ∀x∈ℜ, x ≠ 5.
Teorema 3.5.3.4 (teorema nilai antara)
Misalkan fungsi f kontinu pada selang tertutup [a,b], dan m suatu bilangan terletak diantara
f(a) dan f(b), maka terdapat paling sedikit satu bilangan c yang bersifat a < c < b sehingga
f(c) = m.
151
x
y
a bc1 c2
c3
f(a)
f(b)
m
f(c) = m
Gambar 33

Limit kontinu

More Related Content

What's hot (20)

Similar to Limit kontinu (20)

Limit kontinu