Fondazione point-free della matematica

Fondazione point-free della matematica

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  Fondazione point-free dellamatematica Dr M Benini Dipartimento di Scienza e Alta Tecnologia Università degli Studi dell’Insubria 24 giugno 2015
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  La questione difondo E’ possibile immaginare una fondazione priva di punti? In termini concreti, possiamo pensare di dare significato alla matematica “comune”, senza presupporre l’esistenza di un qualche universo in cui interpretare gli oggetti di cui intendiamo trattare in una teoria matematica? Ad esempio, è possibile dare un senso all’analisi prescindendo dall’esistenza dei numeri reali o complessi? Anche, possiamo immaginare di dare un senso al concetto di “calcolabile” senza dover fare riferimento ad una macchina reale o astratta? (2 of 13)
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  Un mondo senzapunti? Sia T una teoria, ovvero un insieme di assiomi, scritta in un linguaggio fissato L nella logica intuizionista al primo ordine. se assumiamo anche che T e L siano effettivi, ci stiamo ponendo nella condizione di considerare tutta la ‘matematica comune’ infatti, senza imporre ulteriori condizioni, possiamo ottenere la logica classica richiedendo che T contenga tutte le istanze del principio del terzo escluso, e questo non modifica l’effettività di T L’idea è fornire un mondo dove T possa essere interpretata adeguatamente e che sia “privo di punti”, in cui i termini non vengano interpretati in qualche universo di cui dobbiamo presupporre l’esistenza. (3 of 13)
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  Categorie logiche I Fissatoun linguaggio e un gruppoide G di termini logici, una categoria prelogica è una coppia 〈C,Σ〉 tale che 1. C è una categoria con prodotti finiti, coprodotti finiti e esponenziazione; 2. per ogni formula A e ogni variabile x : s in G, ΣA(x : s): G → C è un funtore, detto funtore di sostituzione, tale che, per ogni altra variabile y : s, ΣA(x : s)(x : s) = ΣA(y : s)(y : s); 3. per ogni variabile x : s, e ogni termine t : s, 3.1 Σ⊥(x : s)(t : s) = 0, l’oggetto iniziale in C; 3.2 Σ (x : s)(t : s) = 1, l’oggetto terminale in C; 3.3 per ogni A e B, ΣA∧B(x : s)(t : s) = ΣA(x : s)(t : s)×ΣB(x : s)(t : s), il prodotto binario in C; 3.4 per ogni A e B, ΣA∨B(x : s)(t : s) = ΣA(x : s)(t : s)+ΣB(x : s)(t : s), il coprodotto binario in C; 3.5 per ogni A e B, ΣA⊃B(x : s)(t : s) = ΣB(x : s)(t : s)ΣA(x:s)(t:s), l’esponenziale in C. 4. per ogni formula A, per ogni variabile x : s e per ogni termine t : s in G, ΣA(x : s)(t : s) = ΣA[t/x](x : s)(x : s), giustificando il nome del funtore. (4 of 13)
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  Categorie logiche II Questadefinizione tecnica consente di usare la categoria prelogica 〈C,Σ〉 come un mondo coerente ove interpretare la logica intuizionista proposizionale. I funtori di sostituzione modellano l’operazione di sostituzione di una variabile con un termine. Non solo, essi permettono di definire il concetto di interpretazione, associando ad ogni formula proposizionale un oggetto della categoria: MA = ΣA(x : s)(x : s), per una qualsiasi variabile x : s. Naturalmente, il problema è definire come interpretare i quantificatori. (5 of 13)
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  Categorie logiche III Unastella S su una formula A e una variabile x : s è una sottocategoria di C tale per cui 1. i suoi oggetti sono i vertici v dei coni su ΣA(x : s) tali che v = MB per qualche formula B e x : s ∈ FV(B); 2. esiste un oggetto MC in S, il suo centro, tale che tutti i morfismi in S sono le identità oppure frecce nella categoria dei coni su ΣA(x : s) con MC come codominio. In modo duale, si definisce la nozione di costella. Informalmente, associando a ogni formula ∀x : s A una stella su A e x : s, il suo centro diviene il candidato naturale per M∀x : s A. (6 of 13)
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  Categorie logiche IV Unacategoria prelogica 〈C,Σ〉 è detta essere logica quando, per ogni formula A e ogni variabile x : s, 1. esiste una stella su A e x : s, denotata come C∀x:s A, che abbia un oggetto terminale; inoltre, M∀x : s A è il centro di C∀x:s A; 2. dualmente, esiste una costella su A e x : s, denotata da C∃x:s A, avente un oggetto iniziale; inoltre, M∃x : s A è il centro di C∃x:s A. Si può dimostrare che 1. le formule e le dimostrazioni di ogni teoria T esprimibile nel linguaggio al primo ordine e nella logica intuizionista, sono interpretabili su questa struttura in modo naturale. 2. questa interpretazione è corretta e completa: ogni formula dimostrabile è vera in ogni modello della teoria, e viceversa. 3. ogni modello della teoria T in ogni topos elementare, può essere trasformato in un modello equivalente (che preserva la validità delle medesime formule) in una categoria logica. (7 of 13)
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  Il ruolo deitermini Come vengono interpretati i termini? Le variabili determinano quali siano le sottocategorie C∀x : s.A e C∃x : s.A Le variabili determinano anche il modo in cui le sostituzioni possano avere luogo I termini, in combinazione con le variabili, contribuiscono all’operazione di sostituzione, completandone la definizione Le sostituzioni, a loro volta, hanno lo scopo di “legare” opportunamente le formule nelle sottocategorie C∀x : s.A e C∃x : s.A. E’ chiara l’ispirazione topologica della costruzione. In particolare, è evidente che i termini non vengono interpretati in un qualche universo, e la loro funzione è unicamente di “incollare” le formule nelle sottocategorie che controllano l’interpretazione dei quantificatori. (8 of 13)
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  Estensioni In realtà ladefinizione presentata è una semplificazione: non è necessario assumere di avere un gruppoide di termini logici. In effetti, la nozione di variabile, e di variabile libera in una formula, possono essere sintetizzate a partire dai funtori di sostituzione, rendendo la sintassi dei termini completamente astratta, e consentendo di usare ogni gruppoide come se fosse una sintassi. Inoltre, la semantica illustrata consente di interpretare una estensione della teoria dei tipi, in modo sostanzialmente consistente con la teoria omotopica dei tipi, pur essendone più limitata in espressività. Da questo fatto nasce la definizione astratta di calcolabilità. Infine, la semantica vista come interpretazione di una teoria dei tipi, naturalmente suggerisce di interpretare i tipi come modelli di teorie logiche. (9 of 13)
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  Modelli di teorieinconsistenti Ma le teorie non consistenti hanno un modello! Si. Le teorie contradditorie hanno come modelli esattamente le categorie logiche in cui l’oggetto terminale e iniziale coincidono. Ovvero, in termini logici, i modelli di una teoria contradditoria sono quelli in cui il vero e il falso sono identificati. Dal punto di vista computazionale ciò ha perfettamente senso: se una specifica è contraddittoria, un programma che la implementa, computa. E il modello rende conto di questa attività di computazione. (10 of 13)
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  Incompletezza Quindi l’aritmetica ècompleta. E il teorema di Gödel? Il primo teorema di incompletezza di Gödel continua a valere, e quindi anche il secondo. Ma la parola “completo” nel suo enunciato deve essere letta in modo corretto: esso dice che esiste almeno un enunciato che non può essere dimostrato pur essendo vero sul modello standard dei numeri naturali. Quindi, se ne deduce che esistono più modelli, e, in particolare, due categorie logiche distinte, una nella quale esiste una freccia 1 → G e un’altra nella quale tale freccia è assente. Entrambe le categorie fungono da modelli per l’aritmetica. Pertanto l’enunciato G, indimostrabile, non è vero in tutti i modelli e non è nemmeno falso in tutti i modelli. Esattamente come accade nei modelli insiemistici classici, con la semantica di Alfred Tarski. Quindi al prim’ordine è impossibile scrivere una teoria che individui esattamente i numeri naturali e le usuali operazioni aritmetiche. (11 of 13)
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  Rappresentazioni alternative Questo tipodi semantica genera automaticamente una rappresentazione “sintattica” per i termini. E, ogni altra rappresentazione deve necessariamente essere coerente con questa—in un certo senso, la rappresentazione sintattica è minimale. Questo significa che, ad esempio, nel caso di algoritmi numerici, l’insieme dei termini coincide con la rappresentazione effettiva dei numeri, data dalla combinazione dei numeri come elementi nella memoria di un calcolatore, e dalle funzioni calcolabili che su tali elementi possono essere costruite. La semantica garantisce che ogni valore che possa essere calcolato corrisponde ad un programma, davvero costruito dall’algoritmo numerico, e che fornisce un metodo per calcolare il valore desiderato con una precisione arbitraria, e controllabile, avendo “abbastanza” spazio e tempo per “scrivere” il valore nel formato usuale. (12 of 13)
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  Conclusione Questa attività diricerca è attualmente supportata da due progetti: Abstract Mathematics for Actual Computation: Hilbert’s Program in the 21st Century, 2014-2016, John Templeton Foundation, Core Funding. Partner: University of Leeds (UK) Correctness by Construction, 2014-2017, FP7-PEOPLE-2013-IRSES, gr.n. PIRSES-GA-2013-612638. Partner: University of Leeds (UK), University of Strathclyde (UK), Swansea University (UK), Stockholms Universitet (SE), Universitaet Siegen (DE), Ludwig-Maximilians Universitaet Muenchen (DE), Università degli Studi di Padova (IT), Università degli Studi di Genova (IT), Japan Advanced Institute of Science and Technology (JP), University of Canterbury (NZ), The Australian National University (AU), Institute of Mathematical Sciences (IN), Carnegie Mellon University (US), Hankyong National University (KR), Kyoto University (JP), National Institute of Informatics (JP), Tohoku University (JP), University of Gothenburg (SE), University of Ljubljana (SI) CC BY: $ C Marco Benini 2015 (13 of 13)