Makalah

Makalah

• 1.
  sigmasejati08.wordpress.com Page 1 BABI PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Transformasi telah dikenal sejak lama, dimulai dari zaman babilonia, yunani, para ahli aljabarmuslimabadke-9sampai ke-15dan dilanjutkan matematikawan eropa abad ke- 18 sampai dua decade pertama abad ke-19. Keberaturan dan pengulangan pola member doronganuntukmempelajari bagaiman dan apa yang tak berubah oleh suatu transformasi. Transformasi geometri adalah suatu fungsi yang mengaitkan antar setiap titik di bidang dengansuatuaturan tertentu. Pengaitan ini dapat dipandang secara aljabar atau geometri. Sebagai ilustrasi, jika titik (x,y) dicerminkan terhadap sumbu x, maka diperoleh titik (x,-y). secara aljabar transformasi ini ditulis T(x,y) =(x,-y) atau dalam bentuk matriks 𝑇( 𝑥 𝑦) = ( 1 0 0 −1 ) ( 𝑥 𝑦) = ( 𝑥 −𝑦) Masalah ini dapatdiperluasuntukmenentukanpetadari suatukonfigurasi geometri berbentuk daerah tertentu oleh suatu transformasi. Transformasi geometri meliputi translasi(pergeseran),rotasi(perputaran), refleksi(pencerminan) dan dilatasi(pembesaran). Namun,padamakalahini penulismengkhususkanpadatranslasi (pergeseran).DimanaSuatu titik atau sistem mengalami pergeseran namun tidak merubah bentuk, karena setiap titik penyusun sistem mengalami pergeseran yang sama. 1.2 Rumusan Masalah 1.2.1 Bagaimanadefinisidari suatutranslasi? 1.2.2 Bagaimanapenerapantranslasi dalamkehidupansehari-hari? 1.2.3 Bagaimanapetatranslasi dalambidangXY? 1.2.4 Bagaimanacontohmasalahtranslasi danpenyelesaiannya? 1.3 Tujuan Penulisan 1.3.1 Mengetahui definisi dari suatutranslasi 1.3.2 Mengetahui penerapantranslasi dalamkehidupansehari-hari 1.3.3 Mengetahui petatranslasi dalambidangXY 1.3.4 Mengetahui contohmasalahtranslasi danpenyelesaian
• 2.
  sigmasejati08.wordpress.com Page 2 1.4Manfaat Penelitian Penulismengharapkanmakalahini dapatmemberi manfaat dalammendalamimasalah translasi baikdefinisi,penerapanmaupuncontohmasalahselainitumakalahini ditujukan untukmemenuhi tugasgeometri transformasi.
• 3.
  sigmasejati08.wordpress.com Page 3 BABII PEMBAHASAN 3.1.1 Deskripsi Translasi a. Definisi translasi Sebelumkitamendefinisikan translasi kita harus tahu definisi transformasi lebih dulu. Transformasi adalah aturan secara geometris yang dapat menunjukkan bagaimana suatu bangun dapat berubah kedudukan dan ukurananya berdasarkan rumus tertentu.Translasi itusendiri merupakansuatutransformasi yangmemindahkansetaptitikdari suatuposisike posisi yang baru sepanjang ruas garis dan arah tertentu. b. Contoh translasi dalam kehidupan sehari-hari Salah satu contoh translasi yang bisa kita lihat adalah pergeseran atau perpindahan orang pada eskalatot dan lift. Peralatan yang biasa dipakai mal-mal ini berguna untuk memindahkan orang dari satu lantai ke lantai lain. Selain itu, penggunaan konsep translasi sering digunakan programmer game dalam membuat games. Penerapan translasi terlihat pada pergerakan objek saat mengikuti visualisasi dari persamaan garis. 3.1.2 Translasi Dalam Bidang (x,y) 1. Translasi Titik Minggu lalu, Candra duduk di pojok kanan baris pertama di kelasnya. Minggu ini, ia berpindah ke baris ketiga lajur keempat yang minggu lalu ditempati Dimas. Dimas sendiri berpindah ke baris kedua lajur kedua yang minggu lalu ditempati Sari. Perhatikan perpindahan tempat duduk Candra dan Dimas ini.
• 4.
  sigmasejati08.wordpress.com Page 4 Candra berpindah 2 lajur ke kiri dan 2 baris ke belakang. Saat berpindah ini, Candra telah melakukan translasi 2 satuan ke kiri dan 2 satuan ke atas yang ditulis sebagai       2 2  Kemudian,Dimasberpindah2lajurke kiri dan 1 baris ke depan. Saat berpindah ini, Dimas telah melakukan translasi 2 satuan ke kiri dan 1 satuan ke bawah yang ditulis sebagai       1 2  Misalkan, tempat duduk Candra minggu lalu di titik N(a, b) pada koordinat Cartesius. Dengantranslasi       2 2 , diketahui tempatduduknyaingguini padatitik N ’ (a-2,b+2).Kalian dapat menuliskan translasi ini sebagai berikut    2,2', 2 2          baNbaN Dengan prinsip yang sama, jika titik P(x, y) ditranslasikan dengan        b a T1 maka diperoleh bayangannya  byaxP  ,' . Secara matematis, ditulis sebagai berikut.    byaxPyxP b a T         ,, ' 1 Contoh bayangan titik P (3,5) ditranslasikan       3 2 adalah….. jawab:    55),2(35,3 '3 2 1          PP T = P’(1,8) Jadi bayangan titik P (3,5) adalah P’(1,8) 2. Translasi Ruas Garis Untuk translasi ruasgaris tetap menggunakan konseptranslasi titik di atas. Namun, ada dua cara yangbisadilakukanuntukmenyelesaikantranslasiruasgaris. Cara pertama yaitu dengan memandang garis tersebut dipandang sebagai himpunan titik. Sedangcara keduaadalahdenganmenggunakansifatgrafik fungsiy=f(x-a)+b dengana,b >0 dengan mengeser fungsi y=f(x) sejauh a satuan kekanan dan b satuan ke atas.
• 5.
  sigmasejati08.wordpress.com Page 5 Contoh: Tentukan peta dari garis y = 2x + 1 yang digeser menurut vektor (2,1) Jawab: Cara pertama Garis y = 2x + 1 dapat dipandang sebgai himpunan titik (x, 2x + 1), x ∈ R. Jika titik ini digeserkan menurut vektor (2,1) maka diperoleh 𝑇( 𝑥 2𝑥 + 1 ) = ( 𝑥 + 2 (2𝑥 + 1) + 1 )( 𝑥 + 2 2𝑥 + 2 ) = ( 𝑡 𝑓(𝑡)) Untuk menentukan peta garis ini, misalkan t = x + 2 , maka x = t -2, Sehingga 2𝑥 + 2 = 2( 𝑡 − 2) + 2 = 2𝑡 − 2 ganti kembali t dengan x, maka peta garis y = 2x + 1 yang ditranslasikan menurut vektor (2,1) adalah garis y = 2x + 2 Cara kedua Gunakan sifatbahwa grafik fungsiy=f(x-a)+b dengana,b >0 diperolehdengan mengeser fungsi y=f(x) sejauh a satuan kekanan dan b satuan ke atas. Jika grafik y = 2x + 1 digeserkan sejauh 2 satuan kekanan dan I satuan ke atas, maka hasilnya adalah grafik : 𝑦 = (2( 𝑥 − 2) + 1) + 1 = 2𝑥 − 4 + 2 = 2𝑥 − 2 3. Translasi Bidang Datar Untuk menentukan bayangan hasil translasi bangun datar dapat dilakukan dengan mentranslasikan masing-masing titik sudutnya. Contoh : Diketahui segitiga OAB dengan koordinat titik O(0,0), A(3,0) dan B(3,5). Tentukan koordinat bayangan segitiga OAB tersebut bila ditranslasi oleh T =       3 1 jawab : titikO (0,0)         3 1T O’(0+1, 0+3) = O’(1,3) titikA (3,0)         3 1T A’(3+1, 0+3) = A’(4,3) titikB (3,5)         3 1T B’ (3+1, 5+3) = B’(4,8)
• 6.
  sigmasejati08.wordpress.com Page 6 3.1.3Contoh masalah dalam translasi dan penyelesaiannya 1. Tentukan bayangan lingkaran (x-3)2 + (y+1)2 = 4 jika ditranslasikan        2 5 T ! Jawab Ambil sembarang titik P(a,b) pada lingkaran (x-3)2 + (y+1)2 = 4 sehingga diperoleh (a-3)2 + (b+1)2 = 4 Translasikan titik P dengan        2 5 T sehingga diperoleh    2,5'', 2 5          baPbaP Jadi titik P'(a-5, b+2) Perhatikan bahwa: a'= a - 5. Dari persamaan (*), didapat a = a'+ 5. b'= b + 2. Dari persamaan (*), didapat b = b' - 2. Dengan mensubstitusi nilai a dan b ini ke persamaan (*), akan Diperoleh (a'+ 5-3)2 + (b' - 2+1)2 = 4 (a'+ 2)2 + (b' - 1)2 = 4 Jadi bayangan dari (x-3)2 + (y+1)2 = 4 jika ditranslasikan dengan        2 5 T adalah (a'+ 2)2 + (b' - 1)2 = 4 2. Translasi        q p T1 memetakan titik A(1,2) ke titik A'(4,6) a. Tentukan translasi tersebut ! b. Tentukanlah bayangan segitiga ABC dengan titik sudut A(1, 2), B(3, 4), dan C( 5, 6) oleh translasi tersebut. c. Jika segitiga yang kalian peroleh pada jawaban b ditranslasikan lagi dengan          1 1 2T Tentukan bayangannya! d. Translasikan segitiga ABC dengan translasi T2 ◦T1. Samakah jawabannya dengan jawaban c?
• 7.
  sigmasejati08.wordpress.com Page 7 Jawaban a.     6,42,12,1 1' 1 AqpAA q p T         Diperoleh 1+p = 4 sehingga p = 3 2+q = 6 sehingga q = 4 Jadi translasi tersebut adalah        4 3 1T b. translasi        4 3 1T artinyaartinyamemindahkansuatutitik 3 satuan ke kanan dan 4 satuan ke atas. Dengan mentranslasikan titiktitik A', B', dan C' dari segitiga ABC dengan translasi T1, kalian memperoleh segitiga A'B'C' sebagai berikut                  10,2'46,35'6,5 8,6'44,33'4,3 6,4'42,31'2,1 4 3 4 3 4 3 1 1 1                         CCC BBB AAA T T T Jadi bayangan segitiga ABC adalah segitiga A'B'C' dengan titik A'(4,6), B'(6,8), dan C'(- 2,10) c.         5,3''16,14''6,4' 1 1 2 AAA T                              9,3''110,12''6,4' 7,5''18,16''8,6' 1 1 1 1 2 2                     AAA BAA T T Jadi bayangansegitigaA'B'C'adalahsegitigaA''B''C'' dengantitik A''(3,5), B''(5,7) dan C''(-3,9)
• 8.
  sigmasejati08.wordpress.com Page 8 BABIII PENUTUP 3.1 KESIMPULAN 3.1.4 Translasi merupakan suatu transformasi yang memindahkan setap titik dari suatu posisi ke posisi yang baru sepanjang ruas garis dan arah tertentu. 3.1.5 Salahsatu contohtranslasi yangbisakita lihatadalahpergeseranatauperpindahan orang pada eskalatotdanlift. Selainitu,penggunaankonseptranslasisering digunakanprogrammergame dalammembuatgames. 3.1.6 Dengan prinsip yang sama, jika titik P(x, y) ditranslasikan dengan        b a T1 maka diperoleh bayangannya  byaxP  ,' . Secara matematis, ditulis sebagai berikut.    byaxPyxP b a T         ,, ' 1 3.1.7 Untuk translasi ruas garis tetap menggunakan konsep translasi titik di atas. Namun, ada dua cara yang bisa dilakukan untuk menyelesaikan translasi ruas garis. Cara pertamayaitu dengan memandang garis tersebut dipandang sebagai himpunan titik. Sedangcara keduaadalahdenganmenggunakan sifat grafik fungsi y=f(x-a)+b dengan a,b >0 dengan mengeser fungsi y=f(x) sejauh a satuan kekanan dan b satuan ke atas. 3.1.8 Untuk menentukan bayangan hasil translasi bangun datar dapat dilakukan dengan mentranslasikan masing-masing titik sudutnya. 3.2 SARAN Setelahmembahas materi mengenai translasi penulis mengharapkan agar kedepan materi translasi dikembangkan lebih jauh terutama mengenai sifat-sifat dari translasi itu sendiri. Selanjutnyapenulis juga sendiri mengharapkan kritik dan saran yang bersifat membangun.
• 9.
  sigmasejati08.wordpress.com Page 9 DAFTARPUSTAKA Wirodikromo, Sartono., 2006, MATEMATIKA untuk SMA kelas XII, Erlangga: Jakarta Matematika SMA, tersedia di : www.matematika-sma.com ; March 31, 2011, 7:31:14 PM Darmanto, Muji., 2006, Bimbingan Pemantapan Matematika Sma, Erlangga : Jakarta Martono, Koko, 2007, Matematika dan Kecakapan Hidup,Ganecaexact:Jakarta