Matematika Diskrit - 07 teori bilangan - 03
1 like12,342 views
Dokumen ini menjelaskan konsep relatif prima, aritmetika modulo, dan kongruensi dalam bilangan bulat. Dua bilangan a dan b dikatakan relatif prima jika pbb(a, b) = 1, dan aritmetika modulo memberikan sisa hasil bagi. Selain itu, teorema yang berkaitan dengan operasi pada kongruensi juga diuraikan.
Matematika Diskrit - 07 teori bilangan - 03
- 1. Teori Bilangan Bekerjasama dengan Rinaldi Munir
- 2. Relatif Prima •Dua buah bilangan bulat a dan b dikatakan relatif prima jika PBB(a, b) = 1. •Contoh 9. (i) 20 dan 3 relatif prima sebab PBB(20, 3) = 1. (ii) 7 dan 11 relatif prima karena PBB(7, 11) = 1. (iii) 20 dan 5 tidak relatif prima sebab PBB(20, 5) = 5 1.
- 3. •Jika a dan b relatif prima, maka terdapat bilangan bulat m dan n sedemikian sehingga ma + nb = 1 •Contoh 10. Bilangan 20 dan 3 adalah relatif prima karena PBB(20, 3) =1, atau dapat ditulis 2 . 20 + (–13) . 3 = 1 (m = 2, n = –13) Tetapi 20 dan 5 tidak relatif prima karena PBB(20, 5) = 5 1 sehingga 20 dan 5 tidak dapat dinyatakan dalam m . 20 + n . 5 = 1.
- 4. Aritmetika Modulo •Misalkan a dan m bilangan bulat (m > 0). Operasi a mod m (dibaca “a modulo m”) memberikan sisa jika a dibagi dengan m. •Notasi: a mod m = r sedemikian sehingga a = mq + r, dengan 0 r < m. •m disebut modulus atau modulo, dan hasil aritmetika modulo m terletak di dalam himpunan {0, 1, 2, …, m – 1}.
- 5. •Contoh 11. Beberapa hasil operasi dengan operator modulo: (i) 23 mod 5 = 3 (23 = 5 4 + 3) (ii) 27 mod 3 = 0 (27 = 3 9 + 0) (iii) 6 mod 8 = 6 (6 = 8 0 + 6) (iv) 0 mod 12 = 0 (0 = 12 0 + 0) (v) – 41 mod 9 = 4 (–41 = 9 (–5) + 4) (vi) – 39 mod 13 = 0 (–39 = 13(–3) + 0) •Penjelasan untuk (v): Karena a negatif, bagi |a| dengan m mendapatkan sisa r’. Maka a mod m = m – r’ bila r’ 0. Jadi |– 41| mod 9 = 5, sehingga –41 mod 9 = 9 – 5 = 4.
- 6. Kongruen •Misalnya 38 mod 5 = 3 dan 13 mod 5 = 3, maka dikatakan 38 13 (mod 5) (baca: 38 kongruen dengan 13 dalam modulo 5). •Misalkan a dan b bilangan bulat dan m adalah bilangan > 0, maka a b (mod m) jika m habis membagi a – b. •Jika a tidak kongruen dengan b dalam modulus m, maka ditulis a / b (mod m) .
- 7. •Contoh 12. 17 2 (mod 3) ( 3 habis membagi 17 – 2 = 15) –7 15 (mod 11) (11 habis membagi –7 – 15 = –22) 12 / 2 (mod 7) (7 tidak habis membagi 12 – 2 = 10 ) –7 / 15 (mod 3) (3 tidak habis membagi –7 – 15 = –22)
- 8. •a b (mod m) dalam bentuk “sama dengan” dapat dituliskan sebagai a = b + km (k adalah bilangan bulat) •Contoh 13. 17 2 (mod 3) 17 = 2 + 5 3 –7 15 (mod 11) –7 = 15 + (–2)11
- 9. •a mod m = r dapat juga ditulis sebagai a r (mod m) •Contoh 14. (i) 23 mod 5 = 3 23 3 (mod 5) (ii) 27 mod 3 = 0 27 0 (mod 3) (iii) 6 mod 8 = 6 6 6 (mod 8) (iv) 0 mod 12 = 0 0 0 (mod 12) (v) – 41 mod 9 = 4 –41 4 (mod 9) (vi) – 39 mod 13 = 0 – 39 0 (mod 13)
- 10. Teorema 4. Misalkan m adalah bilangan bulat positif. 1)Jika a b (mod m) dan c adalah sembarang bilangan bulat maka (i) (a + c) (b + c) (mod m) (ii) ac bc (mod m) (iii) ap bp (mod m) , p bilangan bulat tak-negatif 2) Jika a b (mod m) dan c d (mod m), maka (i) (a + c) (b + d) (mod m) (ii) ac bd (mod m)
- 11. Bukti (hanya untuk 1(ii) dan 2(i) saja): 1(ii) a b (mod m) berarti: a = b + km a – b = km (a – b)c = ckm ac = bc + Km ac bc (mod m) 2(i) a b (mod m) a = b + k1m c d (mod m) c = d + k2m + (a + c) = (b + d) + (k1 + k2)m (a + c) = (b + d) + km ( k = k1 + k2) (a + c) = (b + d) (mod m)
- 12. Contoh 15. Misalkan 17 2 (mod 3) dan 10 4 (mod 3), maka menurut Teorema 4, 17 + 5 = 2 + 5 (mod 3) 22 = 7 (mod 3) 17 . 5 = 5 2 (mod 3) 85 = 10 (mod 3) 17 + 10 = 2 + 4 (mod 3) 27 = 6 (mod 3) 17 . 10 = 2 4 (mod 3) 170 = 8 (mod 3)
- 13. •Teorema 4 tidak memasukkan operasi pembagian pada aritmetika modulo karena jika kedua ruas dibagi dengan bilangan bulat, maka kekongruenan tidak selalu dipenuhi. •Contoh 16: 10 4 (mod 3) dapat dibagi dengan 2 karena 10/2 = 5 dan 4/2 = 2, dan 5 2 (mod 3) 14 8 (mod 6) tidak dapat dibagi dengan 2, karena 14/2 = 7 dan 8/2 = 4, tetapi 7 / 4 (mod 6).
- 14. Latihan Jika a b (mod m) dan c d (mod m) adalah sembarang bilangan bulat maka buktikan bahwa ac bd (mod m) .
- 15. Solusi a b (mod m) a = b + k1m c d (mod m) c = d + k2m maka ac = (b + k1m)(d + k2m) ac = bd + bk2m + dk1m + k1k2m2 ac = bd + Km dengan K = bk2 + dk1 + k1k2m ac bd (mod m) (terbukti)