materi trigonometri kelas X semua program keahlian

Presented by
Khabibatul M
Siti Wulandari
Indah Tri R
Ilmiawan BU
Syamsul Hadi
Den Markindo

STANDART KOMPETENSI
5. Menggunakan perbandingan, fungsi, persamaan, dan
identitas trigonometri dalam pemecahan masalah
KOMPETENSI DASAR
5.1 Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan
teknis yang berkaitan dengan perbandingan, fungsi,
persamaan dan identitas trigonometri
5.2 Merancang model matematika dari masalah yang
berkaitan dengan perbandingan, fungsi, persamaan dan
identitas trigonometri
5.3 Menyelesaikan model matematika dari masalah yang
berkaitan dengan perbandingan, fungsi, persamaan dan
identitas trigonometri, dan penafsirannya

PENGERTIAN TRIGONOMETRI
Trigonometri (dari bahasa Yunani trigonon =
tiga sudut dan metro = mengukur) adalah sebuah
cabang matematika yang berhadapan dengan
sudut segi tiga dan fungsi trigonometrik seperti
sinus, cosinus, dan tangen. Trigonometri memiliki
hubungan dengan geometri, meskipun ada
ketidaksetujuan tentang apa hubungannya; bagi
beberapa orang, trigonometri adalah bagian dari
geometri.

SUB BAB TRIGONOMETRI
• SUDUT DAN SATUANNYA
• NILAI TRIGONOMETRI SUDUT
• IDENTITAS TRIGONOMETRI
• RUMUS-RUMUS TRIGONOMETRI PADA
SEGITIGA

SUDUT DAN SATUANNYA
• Sudut adalah suatu besaran yang dibangun
oleh sinar yang diputar dengan pusat
perputaran suatu titik tertentu dari suatu
posisi awal ke suatu posisi terminal.
• Satuan sudut ada dua yaitu :
1. Satuan Derajat
2. Satuan Radian

SATUAN DERAJAT
Besar sudut satu putaran = 360o
Berarti, besar sudut
o
A

SATUAN RADIAN
Pada lingkaran yang berpusat di O dan berjari-jari r
diketahui panjang busur MN sama dengan panjang jari-
jari. Besar sudut θ, yaitu sudut pusat lingkarang yang
menghadap ke busur MN, didefinisikan sebagai ukuran
satu radian.
o θ = 1 rad
r
N
M
r
r

Secara umum :
o θ = 1 rad
r
r
N
M
S
Panjang busur MN = 2πr(keliling lingkaran) berarti
sudut MON merupakan sudut satu putaran dan besarnya
2π radian.

Hubungan satuan derajat dan radian
Satuan besar sudut dapat menggunakan derajat atau
radian. Kedua satuan itu terdapat hubungan yang
menarik.
Besar sudut
1 putaran = 2π radian
2π radian = 360o
½ putaran → π radian = 180o
Besar sudut
1 putaran = 360o
360o
= 2π radian
½ putaran → 180o
= π radian

NILAI TRIGONOMETRI SUDUT
Perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku
Secara umum, pada segitiga siku-siku yang sebangun,
perbandingan sisi-sisi menurut salah satu sudutnya bernilai
tetap. Perbandingan antara sepanjang sisi pada segitiga siku-
siku yang sebangun itulah yang disebut perbandingan
trigonometri.
Depan
Miring
C
B
A
α

Perbandingan trigonomentri pada
segitiga ABC :
Dari pembahasan di atas, tampak bahwa
batasan sudut α adalah 0o < α < 90o

C
B
A
α
β
Segitiga ABC siku-siku di B
A + B + C = 180o
α + 90o
+ β = 180o
α + β = 90o
β = 90o
– α
jadi, β merupakan sudut penyiku α.
SUDUT PENYIKU

PERBANDINGAN
TRIGONOMETRI PADA SEGITIGA
DALAM SUMBU KARTESIUS
r
x
miring
sisi
A
dgn
berhadapan
yang
sisi


r
y
miring
sisi
A
dgn
an
berdamping
yang
sisi


Sb y
Sb x
y
r
x
1. Sinus  =
2. Cosinus  =
3. Tangan  =
x
y
A
dgn
an
berdamping
yang
sisi
A
dgn
berhadapan
yang
sisi





SUDUT ISTIMEWA
Untuk  300
Sin 300
=
Cos 300
=
Tg 300
=
2
1

AC
AB
3
2
1
2
3


AC
BC
3
3
1
3
1


BC
AB
SUDUT ISTIMEWA
A B
C
600
300
2
1
3

SUDUT ISTIMEWA
Untuk  450
450
450
A
B
C
Sin 450
=
Cos 450
=
Tg 450
=
1
1
2

Sin 600
=
Cos 600
=
Tg 600
=
2
1

AC
AB
1
3

AB
BC
3
2
1
2
3


AC
BC
Untuk  600
A B
C
600
300
2
1
SUDUT ISTIMEWA

KESIMPULAN SUDUT ISTIMEWA
KESIMPULAN SUDUT ISTIMEWA
2
2
1
2
2
1
3
3
1

 0
0O
O
30
30O
O
45
45O
O
60
60O
O
90
90O
O
Sin
Sin 0
0 1
1
Cos
Cos 1
1 0
0
Tg
Tg 0
0 1
1 

Ctg
Ctg 
 1
1 0
0
2
1
2
2
1
2
2
1
2
1
3
3
1
3
3

Hitunglah hasilnya!
a. Sin 30o
+ Cos 30o
+ Tan 30o
b. 4 Tan 45o
– 2 Cos 60o
+ 3 Sin 60o
Jawab :
a. Sin 30o
+ Cos 30o
+ Tan 30o
6
3
5
3
6
3
2
3
3
3
3
3
1
3
2
1
2
1








b. 4 Tan 45o
– 2 Cos 60o
+ 3Sin 60o
2
1
4
2
3
1
4
3
2
1
.
3
2
1
.
2
1
.
4








PERBANDINGAN TRIGONOMETRI DI
BERBAGAI KUADRAN
0
0
180
90 
 0
0
90
0 

0
0
270
180 

0
0
360
270 

Sudut di Kuadran I = 
Sin bernilai (+)
Cos bernilai (+)
anbernilai (+)

Sudut di Kuadran II = β = (180 - )
Hanya Sin bernilai (+)
Sudut di Kuadran III =γ =(180 + )
Hanya Tan bernilai (+)
Sudut di Kuadran IV =θ =( 360 -

Hanya Cos bernilai (+)

Sudut di Kuadran I
Sin ⍺ = ( bernilai positif )
Cos ⍺ = ( bernilai positif )
Tan ⍺ = ( bernilai positif )
r
y
r
x
x
y
Sin ( 90 - ⍺)° = = cos ⍺
Cos ( 90 - ⍺)° = = sin ⍺
Tan ( 90 - ⍺)° = = cotan ⍺
r
x
r
y
x
y

Sudut di Kuadran II
Sin ⍺ = ( bernilai positif )
Cos ⍺ = ( bernilai negatif )
Tan ⍺ = ( bernilai negatif )
r
y
r
x

x
y

Sin (180 - ⍺)° = = sin ⍺
Cos(180 - ⍺)° = = - cos ⍺
Tan (180 - ⍺)° = = -tan ⍺
r
y
r
x

y
x


Sudut di Kuadran III
Sin ⍺ = (bernilai negatif)
Cos ⍺ = (bernilai negatif)
Tan ⍺ = (bernilai positif)
r
y

r
x

x
y


Sin (180 + ⍺)° = = - sin ⍺
Cos (180 + ⍺)° = = - cos ⍺
Tan (180 + ⍺)° = = tan ⍺
r
y

r
x

x
y



Sudut di Kuadran IV
Sin ⍺ = (bernilai negatif)
Cos ⍺ = (bernilai positif)
Tan ⍺ = (bernilai negatif)
r
y

r
x
x
y

Sin (360 - ⍺)° = = - sin ⍺
Cos (360 - ⍺)° = = cos ⍺
Tan (360 - ⍺)° = = - tan ⍺
r
y

r
x
x
y


Segitiga siku-siku OPP’ tidak berubah apabila putaran
jarum jam OP diputar satu putaran, baik searah putaran
jarum jam maupun berlawanan arah jarum jam.
Sehingga nilai perbandingan trigonometri sudut α sama
dengan nilai perbandingan trigonometri sudut α + k .
360o
di mana k sembarang bilangan bulat positif
maupun negative.
Jadi, untuk k bilangan bulat berlaku hubungan :
Sin α = sin (α + k . 360o
)
cos α = cos (α + k . 360o
)
tan α = tan (α + k . 360o
)
Rumus Trigonometri Sudut Yang Lebih Besar
dari 360o
atau Sudut Negatif

Hitunglah!
Sin 135o
– Cos 225o
+ Tan 240o
Jawab :
= Sin (180 - 45)o
– Cos (180 + 45)o
+ Tan (180 + 60)o
= Sin 45o
– (- Sin 45o
) + Tan 60o
3
2
3
2
2
1
2
2
1






Identitas
Identitas
Trigonometri
Trigonometri

Dua buah fungsi f dan g dikatakan
sama identik jika
untuk setiap x di mana kedua fungsi
didefinisikan. Persamaan seperti di atas
disebut suatu identitas.

Identitas berbanding terbalik
Identitas hasil bagi

Menunjukkan suatu identitas: dengan
berdasarkan dasar-dasar identitas dan
sejumlah manipulasi aljabar,
ditunjukkan bahwa ruas kiri dan ruas
kanan suatu identitas adalah sama.

http://mediapemb.blogspot.com
Ditunjukkan identitas :

RUMUS-RUMUS TRIGONOMETRI PADA SEGITIGA
1. RUMUS LUAS SEGITIGA
A
B
C
c
t
b
a
Perhatikan segitiga ABC berikut.
Apabila alas segitiga
adalah BC = a.
Maka tinggi segitiga
dapat dicari sebagai
berikut.
b
C
Sin
t
b
t
C
Sin 





Luas segitiga ABC
adalah
SinC
b
a
L
b
SinC
L
t
a
L









2
1
2
1

2. RUMUS SINUS DAN RUMUS COSINUS
Perhatikan segitiga ABC berikut.
a. Pada ∆ADC
b
t
b
t
*
sin
sin





b. Pada ∆BDC


sin
*
sin
a
t
a
t



Dari (i) dan (ii) diperoleh:






sin
sin
sin
sin
sin
*
sin
*
b
a
b
a
b
a





C
B
A
c
t
b
a
 


Rumus Cosinus



cos
cos
cos
b
c
BD
AD
AB
BD
b
AD
b
c








a. Pada ∆ADC:
CD2
= AC2
- AD2
t2
= b2
– (b cos α)2
b. Pada ∆BDC:
CD2
= CB2
– BD2
t2
= a2
– (c – b cos α)2
. . . (iii)
. . . (iv)

Dari (iii) dan (iv) diperoleh:
a2
– (c – b cos α)2
= b2
– b2
cos2
α
>> a2
= b2
– b2
cos2
α + (c – b cos α)2
>> a2
= b2
– b2
cos2
α + c2
– 2bc cos α + b2
cos2
α
>> a2
= b2
+ c2
– 2bc cos α

Secara umum, pda segitig ABC sembarang berlaku
rumus sinus dan rumus cosinus sebagai berikut
Rumus Sinus
Rumus Cosinus


 sin
sin
sin
c
b
a


a2
= b2
+ c2
– 2bc cos α
b2
= a2
+ c2
– 2ac cos β
c2
= a2
+ b2
– 2ab cos λ

CONTOH SOAL :
Pada segitiga ABC, diketahui
a = 6, b = 4 dan sudut C = 1200
Tentukan panjang c

PENYELESAIAN :
c2
= a2
+ b2
– 2.a.b.cos C
c2
= (6)2
+ (4)2
– 2.(6).(4).cos 1200
c2
= 36 + 16 – 2.(6).(4).( – ½ )
c2
= 52 + 24
c2
= 76
c =√76 = 2√19

CONTOH SOAL :
CONTOH SOAL :
Pada segitiga ABC, diketahui
c = 6, sudut B = 600
dan sudut
C = 450
.
Tentukan panjang b !
0

PENYELESAIAN :
PENYELESAIAN :
2
6
3
45
6
60
2
1
2
1
0
0



b
Sin
Sin
b
SinC
c
SinB
b
6
3
2
6
6
2
2
2
3
6
2
6
3
2
1
2
1






b
b
b

materi trigonometri kelas X semua program keahlian

materi trigonometri kelas X semua program keahlian

More Related Content

Similar to materi trigonometri kelas X semua program keahlian

More from Ryan379737

Recently uploaded

materi trigonometri kelas X semua program keahlian