Uploaded bywidi1966
PPT, PDF67,504 views

Matriks

Dokumen ini membahas konsep dasar matriks dalam pembelajaran matematika untuk kelas XII, termasuk pengertian, notasi, ordo, dan jenis-jenis matriks. Selain itu, dijelaskan pula operasi dasar seperti penjumlahan, pengurangan, dan transpos matriks, serta sifat-sifat yang menyertainya. Contoh konkret diberikan untuk memudahkan pemahaman mengenai penggunaan matriks dalam berbagai kasus.

Embed presentation

Downloaded 2,075 times
*PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 M a t r i k sM E N U Pengertian Matriks Notasi Dan Ordo Matriks Macam Macam Matriks Transpos Matriks Kesamaan Dua Matriks Penjumlahan Matriks Pengurangan Matriks Perkalian skalar Matriks Perkalian Matriks Pemangkatan Matriks Soal dan solusi Determinan Matriks Ordo 2 Detrminan Maatriks Ordo 3 Invers Matriks Persamaan Matriks Penerapan Matriks
*PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 Matriks A. Pengertian, Notasi, dan Ordo Matriks 1. Pengertian Matriks Matriks adalah Susunan bilangan berbentuk persegipanjang yang diatur pada baris dan kolom dan ditulis di dalam tanda kurung baik kurung biasa ( ) maupun kurung siku [ ]. Contoh Matriks :               − −− 10498 0165 3095 6642 atau             − −− 10498 0165 3095 6642 next next
*PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 • Setiap bilangan yang terdapat dalam sebuah matriks disebut elemen atau unsur matriks, dan setiap elemen matriks mempunyai tempat kedudukan masing-masing yang ditentukan oleh baris dan kolom. Baris ke-1 Baris ke-2 Baris ke-3 Baris ke-3 Kolom ke-1 Kolom ke-2 Kolom ke-4 Kolom ke-3 4 adalah elemen pada baris ke-1 kolom ke-2 0 adalah elemen pada baris ke-2 kolom ke-3 8 adalah elemen pada baris ke-1 kolom ke-4 elemen pada baris ke-i kolom ke-j ditulis eij               − −− 10498 0165 3095 6642 Perhatikanlah contoh pada matriks berikut : next next next
*PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 2. Notasi dan Ordo Matriks Sebuah matriks diberi nama menggunakan huruf besar dan elemennya dinyatakan dengan huruf kecil. Jika A adalah sebuah matriks maka elemennya dinyatakan dengan aij yang artinya elemen matriks A yang terletak pada baris ke-i dan kolom ke-j dengan i = 1, 2, 3,..., m dan j = 1, 2, 3, ..., n. Matriks A dapat dinotasikan dengan A = ( aij ). jika sebuah matriks A terdiri dari m baris dan n kolom maka m x n menyatakan ukuran atau ordo dari matriks A dan dinyatakan dengan A m x n. Bentuk umum matriks A berordo m x n dapat dinyatakan sebagai berikut : ( )               == mnmm n n ij aaa aaa aaa aAA ... ............ ... ... 21 22221 11211 Baris ke-1 Baris ke-2 Baris ke-m Kolom ke-1 Kolom ke-2 Kolom ke-n next next next
*PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 Contoh : Matriks A terdiri dari 4 baris dan 4 kolom, maka ordo matriks A adalah 4 x 4 ditulis A4x4. Elemen pada baris ke-3 kolom ke-2 = a32 = 6. Elemen pada baris ke-2 kolom ke-4 = a24 = 3 Elemen pada baris ke-1 kolom ke-3 = a13 = 6 Elemen pada baris ke-4 kolom ke-1 = a41 = 3 Catatan : a13 dibaca “ a satu-tiga” bukan dibaca “ a tiga belas “               − −− = 1243 0165 3095 6642 44 xA next
*PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012           = 893 712 054 C Diagonal utama Diagonal samping 3. Macam-macam matriks ( )4532 −=A          − = 0 3 2 B Jenis Matriks Berdasarkan Banyak Baris dan Banyak Kolom 1) Matriks Baris adalah matriks yang hanya memiliki 1 buah baris tapi banyak kolom. Contoh : 2) Matriks Kolom adalah matriks yang memiliki banyak baris tetapi hanya memiliki 1 kolom. 3) Matriks Persegi adalah matriks yang memiliki banyak baris sama dengan banyak kolom. Matriks persegi berordo n x n disebut matriks persegi berordo n Contoh : Contoh : Matriks C adalah matriks persegi berordo 3 elemen pada diagonal utama adalah 4, 1, 8 elemen peda diagonal samping adalah 3, 1, 0 next next
*PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 b. Macam Macam Matriks Berdasarkan pada Pola Elemen 1. Matriks Nol (O) adalah matriks yang semua elemennya Nol (0). contoh : 2. Matriks Diagonal adalah matriks persegi yang semua elemennya Nol, kecuali elemen pada diagonal utama. contoh : 3. Matriks Identitas adalah matriks diagonal yang semua elemen pada diagonal utamanya bernilai 1. contoh :           = 000 000 000 O Elemen pada diagonal utama tidak nol Semua elemennya bernilai 0 Semua elemen pada diagonal utama 1           = 500 020 003 D           = 100 010 001 I next next next
*PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 4) Matriks Segetiga Atas (U) adalah matriks persegi yang semua elemen dibawah diagonal utamanya adalah 0 (nol). Contoh : 5) Matriks Segetiga Atas (L) adalah matriks persegi yang semua elemen diatas diagonal utamanya adalah 0 (nol). Contoh : 4. Transpos Suatu Matriks Transpos dari matriks A adalah suatu matriks baru yang dinyatakan dengan At atau A/ dan elemen-elemennya adalah elemen matriks A dengan cara menukar elemen-elemen baris pada matriks A menjadi elemen-elemen pada metriks At . Contoh : Elemen dibawah diagonal utama adalah nol Elemen diatas diagonal utama adalah nol           = 8 4 5 7 3 4 6 2 3 5 1 2 B               = 8 7 6 5 4 3 2 1 5 4 3 2 t B           − = 200 050 131 U           − = 228 053 006 L next next next
*PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 5. Kesamaan dua Matriks Matriks A = ( aij ) dikatakan sama dengan matriks B = ( bij ) jika dan hanya jika : a. Matriks A dan matriks B memiliki ordo yang sama; dan b. Semua elemen yang seletak sama atau aij = bij untuk semua i dan j Matriks A sama dengan Matriks B dinotasikan dengan A = B. Contoh : Diketahui matriks Ordo matriks A sama dengan ordo matriks B dan Semua elemen yang seletak dari matriks A dan B bernilai sama, sehinga A = B.       =      = 6252 3222 1210 64 xx xx BdanA next next
*PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 B. Operasi Hitung Matriks 1. Penjumlahan Matriks Dua buah matriks A dan B dapat dijumlahkan apabila ordo matrkis A sama dengan ordo matriks B. Hasil penjumlahan matriks A dan matriks B adalah matriks baru yang berordo sama baik dengan matriks A maupun dengan matriks B. Hasil penjumlahan matriks A dan matriks B diperoleh dengan cara menjumlahkan elemen-elemen yang seletak dari matriks A dan matriks B. Dua buah matriks yang ordonya tidak sama tidak dapat dijumlahkan. Contoh : Diketahui matriks           − − = 103 485 342 A           − −= 136 234 343 Bdan matriks A + B = + = =           − − 103 485 342           − − 136 234 343           −+++ +−+−+ +−++ )1(13063 24)3(845 334432           − 039 6119 085 next next next next
*PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 Sifat-sifat Penjumlahan Matriks Untuk matriks A, B, C, D, dan O yang berordo sama berlaku sifat-sifat : a. Sifat Komutatif : A + B = B + A b. Sifat Assosiatif : A + ( B + C ) = ( A + B ) + C c. Terdapat matriks identitas penjumlahan O sehingga A + O = O + A = A d. Untuk setiap matriks A terdapat lawan matriks A yang diberi notasi – A. Matriks lawan A (– A) adalah matriks yang semua elemennya sama dengan elemen matriks A, tapi berlainan tanda. Matriks – A disebut juga invers aditif atau invers penjumlahan sehingga berlaku A + (– A) = (– A) + A = O. Jika           − − = 103 485 342 A Maka invers aditif dari A adalah           −− −− −− =− 103 485 342 A Karena berlaku A + (– A) = (– A) + A = O e. Transpos jumlah dua matriks sama dengan jumlah transpos dua matriks : ( A + B )t = At + Bt next next next
*PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 2. Pengurangan Matriks Dua buah matriks A dan B dapat dikurangkan apabila ordo matrkis A sama dengan ordo matriks B. Hasil pengurangan matriks A dan matriks B adalah matriks baru yang berordo sama baik dengan matriks A maupun dengan matriks B. Hasil pengurangan matriks A dan matriks B diperoleh dengan cara mengurangkan elemen-elemen yang seletak dari matriks A dan matriks B. Dua buah matriks yang ordonya tidak sama tidak dapat dikurangkan. Contoh 1 : Diketahui matriks           − − = 103 485 342 A           − −= 136 234 343 Bdan matriks A – B = – = =           − − 103 485 342           − − 136 234 343           −−−− −−−−− −−−− )1(13063 24)3(845 334432           −− − −− 233 251 601 next next next next next next
*PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 Contoh 2 : Diketahui matriks           − − = 103 485 342 A           − −= 136 234 343 Bdan matriks B – A = – = = Dari contoh 1 dan contoh 2 di atas terlihat bahwa A – B ≠ B – A, Pada pengurangan dua matriks tidak berlaku sifat kumutatif.           − − 136 234 343           − − 103 485 342 ( )           −−−− −−−−− −−−− 110336 42)8(354 334423           − −− 233 251 601 next next next next next next
*PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 3. Perkalian Skalar Matriks Jika B sebuah matriks dan k adalah bilangan real maka perkalian skalar matriks (kB) adalah matriks baru yang diperoleh dengan mengalikan setiap elemen matriks B dengan bilangan real k. Contoh : Jika :           − − = 103 485 342 B           − − 103 485 342 3 Dan k = 3 =           − − 130333 43)8(353 )3(34323 xxx xxx xxx =           − − 309 122415 9126 Maka kB = Sifat-sifat Perkalian Skalar Matriks : Untuk matriks A dan B berordo sama, dan k, l є bilangan real, berlaku : a. ( k + l ) A = kA + lA b. k( A + B ) = kA + kB c. k(l B ) = klB next next next
*PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 5. Perkalian Matriks Perhatikan illustrasi berikut : A m x n B n x r = C m x r Dua buah matriks A dan B dapat dikalikan dalam bentuk AB apabila banyak kolom matriks A sama dengan banyak baris matriks B yaitu n. Andaikan hasil kali AB adalah C maka ordo C adalah m x r. Untuk menentukan elemen matriks C yaitu cij perhatikan illustrasi berikut : Jika diketahui matriks A 3x3 dan matriks B 3x3 maka : AB = = C =           333231 232221 131211 aaa aaa aaa           333231 232221 131211 bbb bbb bbb           ++++++ ++++++ ++++++ 333323321331323322321231313321321131 332323221321322322221221312321221121 331323121311321322121211311321121111 bababababababababa bababababababababa bababababababababa next next next next
*PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 Teknik Mengalikan Dua Buah Matriks      a b e f g h       a.e + b.g a.f + b.h       1. Perkalian matriks ordo 1 x 2 dan matriks ordo 2 x 2 Perhatikanlah tayangan berikut ! Cobalah berlatih dengan membuat soal sendiri !       2 3 4 5 6 7       2.4 + 3.6 2.5 + 3.7       Contoh : = = 8+ 18 10+ 21      = 26 31       = next
*PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012             Teknik Mengalikan Dua Buah Matriks       a b c d e f g h       a.e + b.g a.f + b.h c.e + d.g c.f + d.h       2. Perkalian matriks ordo 2 x 2 dan matriks ordo 2 x 2 Perhatikanlah tayangan berikut ! Cobalah berlatih dengan membuat soal sendiri ! = Contoh -1.3 + 2.2 -1.-3 + 2.-4 -2.3 + 3.2 -2.-3 + 3.-4 =       -1 2 -2 3 3 -3 2 -4      1 -5 0 -6 = next next
*PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 3. Perkalian matriks ordo 3 x 2 dan matriks ordo 2 x 3 Perhatikanlah tayangan berikut ! a11b11 + a12b21 a11b12 + a12b22 a11b13 + a12b23 a21b11 + a22b21 a21b12 + a22b22 a21b13 + a22b23 a31b11 + a32b21 a31b12 + a32b22 a31b13 + a32b23 Cobalah berlatih dengan membuat soal sendiri ! a11 a12 a21 a22 a31 a32           b11 b12 b13 b21 b22 b23           Teknik Mengalikan Dua Buah Matriks next next next next next next next next next next
*PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012           333231 232221 131211 aaa aaa aaa           333231 232221 131211 bbb bbb bbb 4. Perkalian matriks ordo 3 x 3 dan matriks ordo 3 x 3 Perhatikanlah tayangan berikut ! a11b11 + a12b21 + a13b31 a11b12 + a12b22+ a13b32 a11b13 + a12b23 + a13b33 a21b11 + a22b21 + a23b31 a21b12 + a22b22+ a23b32 a21b13 + a22b23 + a23b33 a31b11 + a32b21 + a33b31 a31b12 + a32b22+ a33b32 a31b13 + a32b23 + a33b33 Cobalah berlatih dengan membuat soal sendiri ! Teknik Mengalikan Dua Buah Matriks next
*PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012           30238 463714 24197           +++ +++ +++ 62451826 30162512104 121210943 Contoh 1 : Diketahui matriks CD = =           = 1 5 2 6 4 3 C dan matriks Maka : = =       = 6 4 5 3 2 1 D       6 4 5 3 2 1           1 5 2 6 4 3           +++ +++ +++ )6)(1()4)(6()5)(1()3)(6()2)(1()1)(6( )6)(5()4)(4()5)(5()3)(4()2)(5()1)(4( )6)(2()4)(3()5)(2()3)(3()2)(2()1)(3( next
*PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012           − − 81515 5567 17134           −++++++ −+−++++−+ ++−+−+−++ )1(093012609 )4()16(1512242024)32(15 386)9()12(8)18(166 Contoh 2 : Diketahui matriks AB = =           − − = 103 485 342 A           − − 136 234 343 dan matriks Maka :           − − 103 485 342           −+++−+++ −+−++−−++−+ −−++−+−+−++ )1)(1()2)(0()3)(3()3)(1()3)(0()4)(3()6)(1()4)(0()3)(3( )1)(4()2)(8()3)(5()3)(4()3)(8()4)(5()6)(4()4)(8()3)(5( )1)(3()2)(4()3)(2()3)(3()3)(4()4)(2()6)(3()4)(4()3)(2( = =           − −= 136 234 343 B next
*PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 Diketahui matriks       = 54 32 C dan matriks Tentukanlan hasil perkalian CD dan DC !       = 98 76 D Contoh 3 : Penyelesaian : CD =       54 32       98 76 =       ++ ++ 45284024 27142412 =       7364 4136 DC =       98 76       54 32 =       ++ ++ 45243616 35182812 =       6952 5340 Dari contoh di atas ternyata CD ≠ DC. Berarti perkalian dua matriks tidak bersifat komutatif. next
*PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 Sifat-sifat Operasi Matriks Untuk setiap matriks A, B, dan C serta k ϵ R, dimana semua hasil kali dan jumlah terdefinisi. Maka berlaku sifat-sifat operasi matriks berikut : a. Antikomutatif : AB ≠ BA b. Assosiatif : A(BC) = (AB)C c. Distributif kiri : A(B + C) = AB + AC A(B – C) = AB – AC d. Distributif kanan : (B + C)A = BA + CA (B – C)A = BA – CA e. Assosiatif : k(AB) = (kA)B = A(Kb) f. Terdapat matriks Identitas I, sehingga IA = AI = A g. Jika AB = O belum tentu A = O atau B = O h. Jika AB = AC belum tentu B = C i. Jika At adalah transpos dari A dan Bt adalah transpos dari B, maka berlaku (AB)t = Bt At next
*PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 5. Pemangkatan matriks Perhatikan bentuk berikut : A2 = A A A3 = A A A = A A2 A4 = A A A A = A A3 Dengan demikian pemangkatan matriks harus memenuhi syarat perkalian matriks, oleh karena itu pemangkatan matriks hanya berlaku pada matriks persegi. Contoh : . 54 32       =ADiketahui matriks Tentukanlah A2 dan A3 ! Penyelesaian : A2 = A A =       54 32       54 32 =       ++ ++ 2512208 156124 =       3728 2116 A3 = A A2 =       54 32       3728 2116 =       ++ ++ 1858414064 111428432 =       269204 153116 next
*PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 Soal – soal dan pembahasan 1. Nilai a + b + c yang memenuhi persamaan matriks       − 32 21       ac ac 23 =       cb a 916 48       − cb a 52 6 – Adalah.... a. 2 b. 3 c. 4 d. 5 e. 6 (UN 2009/2010) Penyelesaian :       − 32 21       ac ac 23 =       cb a 916 48       − cb a 52 6 – = 5a = 10 → a = 2 7c = 7a → c = a = 2 14b = 7c → 2b = c → 2b = 2 → b = 1 Jadi nilai a + b + c = 2 + 1 + 2 = 5 ( d )       cb a 414 107       ac ac 47 57 next
*PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 Contoh soal penjumlahan dan pengurangan matriks: 1. Diketahui matriks , 15 3       − = y A , 63 5       − = x B dan . 9 13       −− = y C Jika A + B – C = , 4 58       −− x x Nilai x + 2xy + y adalah .... a. 8 b. 12 c. 18 d. 20 e. 22 ( UN 2008/2009) Penyelesaian : A + B – C = , 4 58       −− x x ↔       −15 3 y +       − 63 5x –       −− 9 13 y = , 4 58       −− x x ↔       −− ++ 42 46 y yx = , 4 58       −− x x 6 + x = 8 → x = 2 y + 6 = 5x → y + 6 = 5(2) → y = 10 – 6 = 4 atau y didapat dari 2 – y = - x → 2 – y = - 2 → 2 – y = - 2 → - y = - 4 → y = 4 Jadi nilai x + 2xy + y = 2 + 2.2. 4 + 4 = 22 (e) next
*PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 Contoh soal : 1. Diketahui matriks dan . Jika A = B maka a + b + c = .... a.-7 b.-5 c.-1 d.5 e.7 ( Ujian Nasional 2009/2010) Penyelesaian :           −−= 935 316 484 c b a A           −−= 95 316 4812 b aB 3a = - 3b ............................................ (2) Dari (1) didapat : 4a = 12 a = 3 Substitusi a = 3 ke (2) : 3(3) = - 3b 9 = - 3b b = - 3 Substitusi b = - 3 ke (3) : 3c = - 3 c = - 1 Jadi nilai a + b + c = 3 +(- 3) +(- 1) = - 1 ( C ) A = B Dari kesamaan matriks diatas diperoleh : 4a = 12 ........................................... (1) 3c = b ...............................................(3)           −− 935 316 484 c b a           −= 95 316 4812 b a next
*PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 Contoh soal perkalian skalar matriks: 1. Diketahui matriks , 32 42       = cb A dan , 7 1232       + +− = ba abc B Jika Bt adalah tranpos dari B maka nilai c yang memenuhi A = 2Bt adalah.... a.2 b. 3 c. 5 d. 8 e. 10 (UM-UI 2009) Penyelesaian , 32 42       = cb A , 7 1232       + +− = ba abc B , 712 32       ++ − = ba abc Bt A = 2Bt ↔       cb 32 42 = ,      ++ − 712 32 2 ba abc ↔ = 2a = 4 → a = 2 2b = 4a + 2 → 2b = 4.2 + 2 → 2b = 10 → b = 5 3c = 2b + 14 → 3c = 2.5 + 14 → 3c = 24 → c = 8 (d)       cb 32 42 , 14224 264       ++ − ba abc next
*PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 dc ba C. Determinan dan Invers Matriks 1. Determinan Matriks Sebuah matriks persegi selalu dapat dikaitkan dengan suatu bilagan yang disebut determinan matriks. Determinan matriks A dinotasikan dengan det. (A) atau IAI. a. Determinan Matriks Berordo 2 x 2 jika ,      = dc ba A Maka determinan matriks A adalah Det. (A) = IAI = = a.d – b.c contoh : 1) jika , 74 32       =A maka det.(A) = IAI = 74 32 = 2.7 – 3.4 = 2 2) jika , 22 13       − =B maka det.(B) = IBI = 22 13 − = 6 + 2 = 8 next
*PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 b. Determinan Matriks Ordo 3 X 3 jika           = ihg fed cba A maka determinan matriks A dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut : Det. (A) = IAI = a b c a b d e f d e g h i g h = + a.e.i+ + b.f.g + + c.d.h+ – – c.e.g – – – b.d.i–a.f.h next
*PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 contoh : 1. Jika           −−= 935 316 484 A maka tentukanlah nilai dari det. (A) dan det. (B) ! Penyelesaian : Det. (A) = = 4.(- 1).9 + 8.(- 3).5 + 4.6.3 - 4.(- 1).5 - 4.(- 3).3 - 8.6.9 = - 36 - 120 + 72 + 20 + 36 - 432 = - 450 dan           − −− − = 230 312 201 B Det. (B) = 35 16 84 − = 2 + 0 – 12 – 0 + 9 – 0 = – 1 935 316 484 −− 230 312 201 − −− − 30 12 01 − next
*PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 c. Jenis – jenis Matriks Menurut Nilai Determinannya Berdasarkan pada nilai determinan, matriks persegi A ada 2 jenis yaitu : 1. Matriks Non singular, yaitu matriks yang nilai determinannya tidak sama dengan nol (det.A ≠ 0) 2. Matriks Singular, yaitu matriks yang nilai determinannya sama dengan nol (det.A = 0) d. Sifat- sifat Determinan Matriks Jika A dan B adalah matriks persegi, maka berlaku sifat- sifat berikut : 1. Det. (A) = det. (At ) 2. Det.(kA) = k2 det. (A) 3. Det.(AB) = det.(A) .det.(B) 4. Det.(An ) = (det.(A))n next
*PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 Contoh soal dan pembahasan sifat-sifat determinan matriks 1. Diketahui matriks , 21 13       − =A tentukanlah : a. Det (A2 ) b. (Det.A)2 c. Apakah Det (A2 ) = (det.A)2 penyelesaian : a. Det (A2 ) = 8.3 – ( - 5 ).5 = 24 + 25 = 49 A2 = A A =       − 21 13       − 21 13 =       +−+ −−− 4123 2319 =       − 35 58 , 21 13       − =A Maka det.A = 3.2 – (- 1 ).1 = 6 + 1 = 7 b. (Det (A))2 = 72 = 49 c. (Det (A))2 = Det (A2 ) = 49 next
*PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 2. Invers Matriks a. Pengertian Invers Matriks Misalkan matriks A dan matriks B adalah matriks persegi dengan ordo sama, serta memenuhi hubungan AB = BA = I maka dikatakan A dan B adalah dua matriks yang saling invers atau saling berkekebalikan. Matriks B disebut invers perkalian dari matriks A dan diberi lambang A–1 . Matriks A disebut invers perkalian dari matriks B dan diberi lambang B–1 . Contoh : Jika dan, 31 52       =A maka, 21 53       − − =B IAB =      =      − −       = 10 01 21 53 31 52 IBA =      =            − − = 10 01 31 52 21 53 dan Invers dari matriks A adalah A–1 =       − − = 21 53 B Dan Invers dari matriks B adalah B–1 =       = 31 52 A next
*PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 b. Rumus Invers Matriks       = dc ba AJika maka invers matriks A adalah 1. Rumus Invers Matriks Ordo 2 a. Jika det. (A) = 1 maka       − − =− ac bd A 1 b. Jika det. (A) = – 1 maka       − − =− ac bd A 1 c. Jika det. (A) = 0 maka A tidak memiliki invers. , ).(det 11       − − =− ac bd A A dengan det.(A) = ad – bc , dan secara khusus : Contoh 1 : Jika       = 75 43 A Maka det.(A) = 3.7 – 4.5 = 1 Sehingga       − − =− 35 471 A next
*PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 Contoh 2 : Jika       = 58 23 B maka det.(B) = 3.5 – 2.8 = –1, sehingga       − − =− 38 251 B       = 84 63 C Contoh 3 : Jika maka det.(C) = 3.8 – 4.6 = 0, sehingga 1− C tidak ada Contoh 4 : Jika       − − = 62 83 D maka det.(D) = 3.(–6) – (–8).2 = –18 + 16 = –2 , sehingga       − − =− ac bd D D ).(det 11       − − − =− 32 86 2 11 D       − − = 2 3 1 43 next
*PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 2. Rumus Invers Matriks Ordo 3 ( pengayaan )
*PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 c. Sifat-sifat Invers Matriks Jika A dan B adalah matriks persegi non singular yang berordo sama, maka berlaku sifat-sifat berikut : 1) AA–1 = A–1 A = I 2) (AB)–1 = B–1 A–1 3) (A–1 )–1 = A 4) (An )–1 = (A–1 )n dengan n = 0, 1, 2, 3, ... 5) (kA)–1 = 6) (At )–1 = (A–1 )t 7) ( kA–1 )n = kn (A–1 )n 11 − Ak next
*PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 d. Soal dan Pembahasan Jika diketahui matriks       = 31 52 A dan       − − = 52 21 B Tentukanlah : 1. A–1 2. B–1 3.(AB)–1 4. B–1 A–1 5. (kA)–1 6. 7.(At )–1 8. (A–1 )t serta k = 2 11 − Ak Penyelesaian : 1.       = 31 52 A det. (A) = 6 – 5 = 1, sehingga       − − =− 21 531 A 2.       − − = 52 21 B det. (B) = – 5 + 4 = –1 , sehingga       − − =− 12 251 B 3.       − − =      − −       = 177 2912 52 21 31 52 AB det.(AB) = –204 + 203 = –1, ( )       − − = − 127 29171 ABsehingga next
*PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012       − − =      − −       − − =−− 127 2917 21 53 12 2511 AB4. Dari no 3 dan 4, ternyata ( AB )–1 = 11 −− AB 5.       =      = 62 104 31 52 2kA det.(kA) = 24 – 20 = 4, sehingga       − − =      − − =− 21 53 2 1 42 106 4 1 )( 1 kA 6.       − − =− 21 53 2 111 Ak Dari no 5 dan 6, ternyata ( kA )–1 = 11 − Ak 7.       = 31 52 A →       = 35 12t A det.(At ) = 6 – 5 = 1→ ( )       − − = − 25 131t A       − − =− 21 531 A8. → ( )       − − =− 25 131 t A Dari no. 7 dan 8, ternyata ( At )–1 = (A–1 )t next
*PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 3. Persamaan Matriks Perhatikan bentuk persamaan matriks berikut : 1. AX = B, dan 2. XA = B Jika A adalah matriks persegi yang mempunyai invers yaitu A–1 maka berlaku hubungan sebagai berikut : 1. AX = B A–1 AX = A–1 B IX = A–1 B X = A–1 B 2. XA = B XA A–1 = BA–1 XI = BA–1 X = BA–1 RUMUS RUMUS next
*PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 Contoh 1 : Diketahui matriks       = 35 12 A dan       = 65 52 B Tentukanlah : a. Matriks X jika AX = B b. Matriks X jika XA = B Penyelesaian : a. AX = B → X = A–1 B       = 35 12 A → det. (A) = 6 – 5 = 1 →       − − =− 25 131 A X = A–1 B =       − − 25 13 =      65 52       130 91 b. XA = B → X = BA–1 X = BA–1 = =      − − 25 13       65 52       − − 1315 819 next
*PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 D. Penggunaan Matriks dalam Sistem Persamaan Linear 1. Sistem Persamaan linear dengan Dua Variabel Perhatikan sistem persamaan linear dengan dua variabel berikut ini : a1x + b1y = c1 a2x + b2y = c2 Dapat diubah menjadi persamaan matriks sebagai berikut : a1x + b1y a2x + b2y x y = c1 c2 ↔ a1 b1 a2 b2 = c1 c2 A X B A X = B ↔ X = A–1 B next

More Related Content

PPTX
Invers matriks
by5410meisa
 
PPT
Ppt matriks
byAtikah Suryani Ulfah
 
PPTX
PPT Matriks
byRyaAgustini
 
PPT
Permutasi.....ppt
byRudyAkbar3
 
PPTX
Matriks SMK/SMA kelas XI
byRidho Pratama
 
PPT
Matriks powerpoint
byhendrapratama
 
DOCX
Matrik
byArya D Ningrat
 
PPTX
PD orde2 Tak Homogen 2
byunesa
 
Invers matriks
by5410meisa
 
Ppt matriks
byAtikah Suryani Ulfah
 
PPT Matriks
byRyaAgustini
 
Permutasi.....ppt
byRudyAkbar3
 
Matriks SMK/SMA kelas XI
byRidho Pratama
 
Matriks powerpoint
byhendrapratama
 
Matrik
byArya D Ningrat
 
PD orde2 Tak Homogen 2
byunesa
 

What's hot

PDF
rpp, lkpd dan lembar penilaian materi fungsi invers kelas XI MIA
byMuhammad Alfiansyah
 
PDF
Bahan ajar matriks
byIka Deavy
 
DOC
RPP - Median Modus
bymatematikauntirta
 
PPTX
PPT Matriks
byUlfa Nur Afifah
 
PPTX
Ppt singkat persamaan linier dan pertidaksamaan linier
byShandaAnggelika
 
PPTX
Barisan dan deret
byTri Supadmi
 
PPTX
turunan (kalkulus)
byRiza Ristiani
 
DOCX
86646927 lks-garis-dan-sudut
bySifaNurjahidah
 
DOCX
Rpp kd 3.3 konsep matriks dan operasi aljabar
byAZLAN ANDARU
 
PDF
Matematika Diskrit matriks relasi-dan_fungsi
bySiti Khotijah
 
PPTX
matematika kelas 11 matriks lengkap.pptx
byYesyOktaviyanti1
 
DOCX
4. MAKALAH GRUPOIDA,SEMIGRUP DAN MONOIDA
byAYANAH SEPTIANITA
 
DOCX
RPP Kelas X Materi Eksponen - Kurikulum 2013
byRahma Siska Utari
 
PPTX
Permutasi Kombinasi.pptx
byIrnaEkawati1
 
PPTX
05. PPT Matematika (Wajib) XI - Baris dan Deret.pptx
bysoimanS
 
PPTX
Materi SMA Kelas X Matematika Peluang
byAna Sugiyarti
 
PDF
AKM Koordinat Kartesius (TryOut) - Pertemuan 4
byShinta Novianti
 
PPTX
PPT Matriks kelas 11 sma kurikulum merdeka
byyeni335440
 
PPTX
Sistem bilangan bulat (makul teori bilangan)
byIg Fandy Jayanto
 
PDF
Himpunan
byselvipuspitasari
 
rpp, lkpd dan lembar penilaian materi fungsi invers kelas XI MIA
byMuhammad Alfiansyah
 
Bahan ajar matriks
byIka Deavy
 
RPP - Median Modus
bymatematikauntirta
 
PPT Matriks
byUlfa Nur Afifah
 
Ppt singkat persamaan linier dan pertidaksamaan linier
byShandaAnggelika
 
Barisan dan deret
byTri Supadmi
 
turunan (kalkulus)
byRiza Ristiani
 
86646927 lks-garis-dan-sudut
bySifaNurjahidah
 
Rpp kd 3.3 konsep matriks dan operasi aljabar
byAZLAN ANDARU
 
Matematika Diskrit matriks relasi-dan_fungsi
bySiti Khotijah
 
matematika kelas 11 matriks lengkap.pptx
byYesyOktaviyanti1
 
4. MAKALAH GRUPOIDA,SEMIGRUP DAN MONOIDA
byAYANAH SEPTIANITA
 
RPP Kelas X Materi Eksponen - Kurikulum 2013
byRahma Siska Utari
 
Permutasi Kombinasi.pptx
byIrnaEkawati1
 
05. PPT Matematika (Wajib) XI - Baris dan Deret.pptx
bysoimanS
 
Materi SMA Kelas X Matematika Peluang
byAna Sugiyarti
 
AKM Koordinat Kartesius (TryOut) - Pertemuan 4
byShinta Novianti
 
PPT Matriks kelas 11 sma kurikulum merdeka
byyeni335440
 
Sistem bilangan bulat (makul teori bilangan)
byIg Fandy Jayanto
 
Himpunan
byselvipuspitasari
 

Similar to Matriks

PPTX
ATP_Smart_Book_Matematika_Tingkat_Lanjut_11_Bab_2_B1547116.pptx
bySusiTresnawati2
 
PPTX
Matriks SMA_SMK_MA Sederajat
byMeilani Rahmawati
 
PPT
24. Matriks ok.ppt Untuk Keperawatan Tingkat 2
byYelstinSilalahi
 
PPTX
BAB 4 matrik KELAS XI UNTUK SMA / SMK .pptx
byLukas Sirat
 
PPTX
Ppt media it
byanggunoktari
 
PPTX
mata kuliah Aljabar linier Pertemuan 1 Matriks.pptx
byHusniHidayatMalikSPd
 
PPTX
MATRIKS.pptx
byMufizarEdu
 
PDF
Matriks :)
byNita Maulina
 
PDF
Matriks Matematika By Ali Majid Wardana
byAli Must Can
 
PPTX
Matriks untuk mhs.pptx
bySyafiatun Siregar
 
PDF
File pendukung powerpoint matriks
byTri Nopi Yanti TP
 
PPTX
Matriks kelas 11 kurikulum merdeka 2024.pptx
byyunicaturindrawati1
 
PPTX
Matriks Kelas X
bySungguh Ponten
 
DOCX
Buku siswa Materi Matriks
byAtikah Suryani Ulfah
 
PPTX
materi matematika berjudul matriks kelas11.pptx
byflcnichen
 
PDF
MATRIKS
byJimmyRoring
 
PPT
Kelas xii bab 3
byfitriana416
 
PPT
Kelas xii bab 3
byHidayati Rusnedy
 
PPT
Kelas xii bab 3
byHidayati Rusnedy
 
PPT
Kelas xii bab 3
bypitrahdewi
 
ATP_Smart_Book_Matematika_Tingkat_Lanjut_11_Bab_2_B1547116.pptx
bySusiTresnawati2
 
Matriks SMA_SMK_MA Sederajat
byMeilani Rahmawati
 
24. Matriks ok.ppt Untuk Keperawatan Tingkat 2
byYelstinSilalahi
 
BAB 4 matrik KELAS XI UNTUK SMA / SMK .pptx
byLukas Sirat
 
Ppt media it
byanggunoktari
 
mata kuliah Aljabar linier Pertemuan 1 Matriks.pptx
byHusniHidayatMalikSPd
 
MATRIKS.pptx
byMufizarEdu
 
Matriks :)
byNita Maulina
 
Matriks Matematika By Ali Majid Wardana
byAli Must Can
 
Matriks untuk mhs.pptx
bySyafiatun Siregar
 
File pendukung powerpoint matriks
byTri Nopi Yanti TP
 
Matriks kelas 11 kurikulum merdeka 2024.pptx
byyunicaturindrawati1
 
Matriks Kelas X
bySungguh Ponten
 
Buku siswa Materi Matriks
byAtikah Suryani Ulfah
 
materi matematika berjudul matriks kelas11.pptx
byflcnichen
 
MATRIKS
byJimmyRoring
 
Kelas xii bab 3
byfitriana416
 
Kelas xii bab 3
byHidayati Rusnedy
 
Kelas xii bab 3
byHidayati Rusnedy
 
Kelas xii bab 3
bypitrahdewi
 

More from widi1966

DOC
Soal prediksi un xii ips 2013 paket 13 dan pembahasan
bywidi1966
 
DOCX
Soal prediksi un ips paket 12 2013
bywidi1966
 
DOCX
Soal prediksi un ips paket 11 2013
bywidi1966
 
DOCX
Soal prediksi un ips paket 10 2013
bywidi1966
 
DOCX
Soal prediksi un ips paket 9 2013
bywidi1966
 
DOCX
Soal prediksi un ips paket 8 2013
bywidi1966
 
DOCX
Soal prediksi un ips paket 7 2013
bywidi1966
 
DOCX
Soal prediksi un ips paket 6 2013
bywidi1966
 
DOCX
Soal prediksi un ips paket 5 2013
bywidi1966
 
DOCX
Soal prediksi un ips paket 4 2013
bywidi1966
 
DOCX
Soal prediksi un ips paket 4 2013
bywidi1966
 
DOCX
Soal prediksi un ips paket 3 2013
bywidi1966
 
DOCX
Soal prediksi un ips paket 2 2013
bywidi1966
 
DOCX
Soal prediksi un ips paket 1 2013
bywidi1966
 
DOCX
Soal prediksi un ipa paket 10 2013
bywidi1966
 
DOCX
Soal prediksi un ipa paket 9 2013
bywidi1966
 
DOCX
Soal prediksi un ipa paket 8 2013
bywidi1966
 
DOCX
Soal prediksi un ipa paket 7 2013
bywidi1966
 
DOCX
Soal prediksi un ipa paket 6 2013
bywidi1966
 
DOCX
Soal prediksi un ipa paket 5 2013
bywidi1966
 
Soal prediksi un xii ips 2013 paket 13 dan pembahasan
bywidi1966
 
Soal prediksi un ips paket 12 2013
bywidi1966
 
Soal prediksi un ips paket 11 2013
bywidi1966
 
Soal prediksi un ips paket 10 2013
bywidi1966
 
Soal prediksi un ips paket 9 2013
bywidi1966
 
Soal prediksi un ips paket 8 2013
bywidi1966
 
Soal prediksi un ips paket 7 2013
bywidi1966
 
Soal prediksi un ips paket 6 2013
bywidi1966
 
Soal prediksi un ips paket 5 2013
bywidi1966
 
Soal prediksi un ips paket 4 2013
bywidi1966
 
Soal prediksi un ips paket 4 2013
bywidi1966
 
Soal prediksi un ips paket 3 2013
bywidi1966
 
Soal prediksi un ips paket 2 2013
bywidi1966
 
Soal prediksi un ips paket 1 2013
bywidi1966
 
Soal prediksi un ipa paket 10 2013
bywidi1966
 
Soal prediksi un ipa paket 9 2013
bywidi1966
 
Soal prediksi un ipa paket 8 2013
bywidi1966
 
Soal prediksi un ipa paket 7 2013
bywidi1966
 
Soal prediksi un ipa paket 6 2013
bywidi1966
 
Soal prediksi un ipa paket 5 2013
bywidi1966
 

Matriks

  • 1.
    *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLSXII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 M a t r i k sM E N U Pengertian Matriks Notasi Dan Ordo Matriks Macam Macam Matriks Transpos Matriks Kesamaan Dua Matriks Penjumlahan Matriks Pengurangan Matriks Perkalian skalar Matriks Perkalian Matriks Pemangkatan Matriks Soal dan solusi Determinan Matriks Ordo 2 Detrminan Maatriks Ordo 3 Invers Matriks Persamaan Matriks Penerapan Matriks
  • 2.
    *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLSXII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 Matriks A. Pengertian, Notasi, dan Ordo Matriks 1. Pengertian Matriks Matriks adalah Susunan bilangan berbentuk persegipanjang yang diatur pada baris dan kolom dan ditulis di dalam tanda kurung baik kurung biasa ( ) maupun kurung siku [ ]. Contoh Matriks :               − −− 10498 0165 3095 6642 atau             − −− 10498 0165 3095 6642 next next
  • 3.
    *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLSXII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 • Setiap bilangan yang terdapat dalam sebuah matriks disebut elemen atau unsur matriks, dan setiap elemen matriks mempunyai tempat kedudukan masing-masing yang ditentukan oleh baris dan kolom. Baris ke-1 Baris ke-2 Baris ke-3 Baris ke-3 Kolom ke-1 Kolom ke-2 Kolom ke-4 Kolom ke-3 4 adalah elemen pada baris ke-1 kolom ke-2 0 adalah elemen pada baris ke-2 kolom ke-3 8 adalah elemen pada baris ke-1 kolom ke-4 elemen pada baris ke-i kolom ke-j ditulis eij               − −− 10498 0165 3095 6642 Perhatikanlah contoh pada matriks berikut : next next next
  • 4.
    *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLSXII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 2. Notasi dan Ordo Matriks Sebuah matriks diberi nama menggunakan huruf besar dan elemennya dinyatakan dengan huruf kecil. Jika A adalah sebuah matriks maka elemennya dinyatakan dengan aij yang artinya elemen matriks A yang terletak pada baris ke-i dan kolom ke-j dengan i = 1, 2, 3,..., m dan j = 1, 2, 3, ..., n. Matriks A dapat dinotasikan dengan A = ( aij ). jika sebuah matriks A terdiri dari m baris dan n kolom maka m x n menyatakan ukuran atau ordo dari matriks A dan dinyatakan dengan A m x n. Bentuk umum matriks A berordo m x n dapat dinyatakan sebagai berikut : ( )               == mnmm n n ij aaa aaa aaa aAA ... ............ ... ... 21 22221 11211 Baris ke-1 Baris ke-2 Baris ke-m Kolom ke-1 Kolom ke-2 Kolom ke-n next next next
  • 5.
    *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLSXII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 Contoh : Matriks A terdiri dari 4 baris dan 4 kolom, maka ordo matriks A adalah 4 x 4 ditulis A4x4. Elemen pada baris ke-3 kolom ke-2 = a32 = 6. Elemen pada baris ke-2 kolom ke-4 = a24 = 3 Elemen pada baris ke-1 kolom ke-3 = a13 = 6 Elemen pada baris ke-4 kolom ke-1 = a41 = 3 Catatan : a13 dibaca “ a satu-tiga” bukan dibaca “ a tiga belas “               − −− = 1243 0165 3095 6642 44 xA next
  • 6.
    *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLSXII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012           = 893 712 054 C Diagonal utama Diagonal samping 3. Macam-macam matriks ( )4532 −=A          − = 0 3 2 B Jenis Matriks Berdasarkan Banyak Baris dan Banyak Kolom 1) Matriks Baris adalah matriks yang hanya memiliki 1 buah baris tapi banyak kolom. Contoh : 2) Matriks Kolom adalah matriks yang memiliki banyak baris tetapi hanya memiliki 1 kolom. 3) Matriks Persegi adalah matriks yang memiliki banyak baris sama dengan banyak kolom. Matriks persegi berordo n x n disebut matriks persegi berordo n Contoh : Contoh : Matriks C adalah matriks persegi berordo 3 elemen pada diagonal utama adalah 4, 1, 8 elemen peda diagonal samping adalah 3, 1, 0 next next
  • 7.
    *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLSXII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 b. Macam Macam Matriks Berdasarkan pada Pola Elemen 1. Matriks Nol (O) adalah matriks yang semua elemennya Nol (0). contoh : 2. Matriks Diagonal adalah matriks persegi yang semua elemennya Nol, kecuali elemen pada diagonal utama. contoh : 3. Matriks Identitas adalah matriks diagonal yang semua elemen pada diagonal utamanya bernilai 1. contoh :           = 000 000 000 O Elemen pada diagonal utama tidak nol Semua elemennya bernilai 0 Semua elemen pada diagonal utama 1           = 500 020 003 D           = 100 010 001 I next next next
  • 8.
    *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLSXII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 4) Matriks Segetiga Atas (U) adalah matriks persegi yang semua elemen dibawah diagonal utamanya adalah 0 (nol). Contoh : 5) Matriks Segetiga Atas (L) adalah matriks persegi yang semua elemen diatas diagonal utamanya adalah 0 (nol). Contoh : 4. Transpos Suatu Matriks Transpos dari matriks A adalah suatu matriks baru yang dinyatakan dengan At atau A/ dan elemen-elemennya adalah elemen matriks A dengan cara menukar elemen-elemen baris pada matriks A menjadi elemen-elemen pada metriks At . Contoh : Elemen dibawah diagonal utama adalah nol Elemen diatas diagonal utama adalah nol           = 8 4 5 7 3 4 6 2 3 5 1 2 B               = 8 7 6 5 4 3 2 1 5 4 3 2 t B           − = 200 050 131 U           − = 228 053 006 L next next next
  • 9.
    *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLSXII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 5. Kesamaan dua Matriks Matriks A = ( aij ) dikatakan sama dengan matriks B = ( bij ) jika dan hanya jika : a. Matriks A dan matriks B memiliki ordo yang sama; dan b. Semua elemen yang seletak sama atau aij = bij untuk semua i dan j Matriks A sama dengan Matriks B dinotasikan dengan A = B. Contoh : Diketahui matriks Ordo matriks A sama dengan ordo matriks B dan Semua elemen yang seletak dari matriks A dan B bernilai sama, sehinga A = B.       =      = 6252 3222 1210 64 xx xx BdanA next next
  • 10.
    *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLSXII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 B. Operasi Hitung Matriks 1. Penjumlahan Matriks Dua buah matriks A dan B dapat dijumlahkan apabila ordo matrkis A sama dengan ordo matriks B. Hasil penjumlahan matriks A dan matriks B adalah matriks baru yang berordo sama baik dengan matriks A maupun dengan matriks B. Hasil penjumlahan matriks A dan matriks B diperoleh dengan cara menjumlahkan elemen-elemen yang seletak dari matriks A dan matriks B. Dua buah matriks yang ordonya tidak sama tidak dapat dijumlahkan. Contoh : Diketahui matriks           − − = 103 485 342 A           − −= 136 234 343 Bdan matriks A + B = + = =           − − 103 485 342           − − 136 234 343           −+++ +−+−+ +−++ )1(13063 24)3(845 334432           − 039 6119 085 next next next next
  • 11.
    *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLSXII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 Sifat-sifat Penjumlahan Matriks Untuk matriks A, B, C, D, dan O yang berordo sama berlaku sifat-sifat : a. Sifat Komutatif : A + B = B + A b. Sifat Assosiatif : A + ( B + C ) = ( A + B ) + C c. Terdapat matriks identitas penjumlahan O sehingga A + O = O + A = A d. Untuk setiap matriks A terdapat lawan matriks A yang diberi notasi – A. Matriks lawan A (– A) adalah matriks yang semua elemennya sama dengan elemen matriks A, tapi berlainan tanda. Matriks – A disebut juga invers aditif atau invers penjumlahan sehingga berlaku A + (– A) = (– A) + A = O. Jika           − − = 103 485 342 A Maka invers aditif dari A adalah           −− −− −− =− 103 485 342 A Karena berlaku A + (– A) = (– A) + A = O e. Transpos jumlah dua matriks sama dengan jumlah transpos dua matriks : ( A + B )t = At + Bt next next next
  • 12.
    *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLSXII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 2. Pengurangan Matriks Dua buah matriks A dan B dapat dikurangkan apabila ordo matrkis A sama dengan ordo matriks B. Hasil pengurangan matriks A dan matriks B adalah matriks baru yang berordo sama baik dengan matriks A maupun dengan matriks B. Hasil pengurangan matriks A dan matriks B diperoleh dengan cara mengurangkan elemen-elemen yang seletak dari matriks A dan matriks B. Dua buah matriks yang ordonya tidak sama tidak dapat dikurangkan. Contoh 1 : Diketahui matriks           − − = 103 485 342 A           − −= 136 234 343 Bdan matriks A – B = – = =           − − 103 485 342           − − 136 234 343           −−−− −−−−− −−−− )1(13063 24)3(845 334432           −− − −− 233 251 601 next next next next next next
  • 13.
    *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLSXII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 Contoh 2 : Diketahui matriks           − − = 103 485 342 A           − −= 136 234 343 Bdan matriks B – A = – = = Dari contoh 1 dan contoh 2 di atas terlihat bahwa A – B ≠ B – A, Pada pengurangan dua matriks tidak berlaku sifat kumutatif.           − − 136 234 343           − − 103 485 342 ( )           −−−− −−−−− −−−− 110336 42)8(354 334423           − −− 233 251 601 next next next next next next
  • 14.
    *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLSXII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 3. Perkalian Skalar Matriks Jika B sebuah matriks dan k adalah bilangan real maka perkalian skalar matriks (kB) adalah matriks baru yang diperoleh dengan mengalikan setiap elemen matriks B dengan bilangan real k. Contoh : Jika :           − − = 103 485 342 B           − − 103 485 342 3 Dan k = 3 =           − − 130333 43)8(353 )3(34323 xxx xxx xxx =           − − 309 122415 9126 Maka kB = Sifat-sifat Perkalian Skalar Matriks : Untuk matriks A dan B berordo sama, dan k, l є bilangan real, berlaku : a. ( k + l ) A = kA + lA b. k( A + B ) = kA + kB c. k(l B ) = klB next next next
  • 15.
    *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLSXII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 5. Perkalian Matriks Perhatikan illustrasi berikut : A m x n B n x r = C m x r Dua buah matriks A dan B dapat dikalikan dalam bentuk AB apabila banyak kolom matriks A sama dengan banyak baris matriks B yaitu n. Andaikan hasil kali AB adalah C maka ordo C adalah m x r. Untuk menentukan elemen matriks C yaitu cij perhatikan illustrasi berikut : Jika diketahui matriks A 3x3 dan matriks B 3x3 maka : AB = = C =           333231 232221 131211 aaa aaa aaa           333231 232221 131211 bbb bbb bbb           ++++++ ++++++ ++++++ 333323321331323322321231313321321131 332323221321322322221221312321221121 331323121311321322121211311321121111 bababababababababa bababababababababa bababababababababa next next next next
  • 16.
    *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLSXII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 Teknik Mengalikan Dua Buah Matriks      a b e f g h       a.e + b.g a.f + b.h       1. Perkalian matriks ordo 1 x 2 dan matriks ordo 2 x 2 Perhatikanlah tayangan berikut ! Cobalah berlatih dengan membuat soal sendiri !       2 3 4 5 6 7       2.4 + 3.6 2.5 + 3.7       Contoh : = = 8+ 18 10+ 21      = 26 31       = next
  • 17.
    *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLSXII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012             Teknik Mengalikan Dua Buah Matriks       a b c d e f g h       a.e + b.g a.f + b.h c.e + d.g c.f + d.h       2. Perkalian matriks ordo 2 x 2 dan matriks ordo 2 x 2 Perhatikanlah tayangan berikut ! Cobalah berlatih dengan membuat soal sendiri ! = Contoh -1.3 + 2.2 -1.-3 + 2.-4 -2.3 + 3.2 -2.-3 + 3.-4 =       -1 2 -2 3 3 -3 2 -4      1 -5 0 -6 = next next
  • 18.
    *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLSXII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 3. Perkalian matriks ordo 3 x 2 dan matriks ordo 2 x 3 Perhatikanlah tayangan berikut ! a11b11 + a12b21 a11b12 + a12b22 a11b13 + a12b23 a21b11 + a22b21 a21b12 + a22b22 a21b13 + a22b23 a31b11 + a32b21 a31b12 + a32b22 a31b13 + a32b23 Cobalah berlatih dengan membuat soal sendiri ! a11 a12 a21 a22 a31 a32           b11 b12 b13 b21 b22 b23           Teknik Mengalikan Dua Buah Matriks next next next next next next next next next next
  • 19.
    *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLSXII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012           333231 232221 131211 aaa aaa aaa           333231 232221 131211 bbb bbb bbb 4. Perkalian matriks ordo 3 x 3 dan matriks ordo 3 x 3 Perhatikanlah tayangan berikut ! a11b11 + a12b21 + a13b31 a11b12 + a12b22+ a13b32 a11b13 + a12b23 + a13b33 a21b11 + a22b21 + a23b31 a21b12 + a22b22+ a23b32 a21b13 + a22b23 + a23b33 a31b11 + a32b21 + a33b31 a31b12 + a32b22+ a33b32 a31b13 + a32b23 + a33b33 Cobalah berlatih dengan membuat soal sendiri ! Teknik Mengalikan Dua Buah Matriks next
  • 20.
    *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLSXII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012           30238 463714 24197           +++ +++ +++ 62451826 30162512104 121210943 Contoh 1 : Diketahui matriks CD = =           = 1 5 2 6 4 3 C dan matriks Maka : = =       = 6 4 5 3 2 1 D       6 4 5 3 2 1           1 5 2 6 4 3           +++ +++ +++ )6)(1()4)(6()5)(1()3)(6()2)(1()1)(6( )6)(5()4)(4()5)(5()3)(4()2)(5()1)(4( )6)(2()4)(3()5)(2()3)(3()2)(2()1)(3( next
  • 21.
    *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLSXII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012           − − 81515 5567 17134           −++++++ −+−++++−+ ++−+−+−++ )1(093012609 )4()16(1512242024)32(15 386)9()12(8)18(166 Contoh 2 : Diketahui matriks AB = =           − − = 103 485 342 A           − − 136 234 343 dan matriks Maka :           − − 103 485 342           −+++−+++ −+−++−−++−+ −−++−+−+−++ )1)(1()2)(0()3)(3()3)(1()3)(0()4)(3()6)(1()4)(0()3)(3( )1)(4()2)(8()3)(5()3)(4()3)(8()4)(5()6)(4()4)(8()3)(5( )1)(3()2)(4()3)(2()3)(3()3)(4()4)(2()6)(3()4)(4()3)(2( = =           − −= 136 234 343 B next
  • 22.
    *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLSXII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 Diketahui matriks       = 54 32 C dan matriks Tentukanlan hasil perkalian CD dan DC !       = 98 76 D Contoh 3 : Penyelesaian : CD =       54 32       98 76 =       ++ ++ 45284024 27142412 =       7364 4136 DC =       98 76       54 32 =       ++ ++ 45243616 35182812 =       6952 5340 Dari contoh di atas ternyata CD ≠ DC. Berarti perkalian dua matriks tidak bersifat komutatif. next
  • 23.
    *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLSXII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 Sifat-sifat Operasi Matriks Untuk setiap matriks A, B, dan C serta k ϵ R, dimana semua hasil kali dan jumlah terdefinisi. Maka berlaku sifat-sifat operasi matriks berikut : a. Antikomutatif : AB ≠ BA b. Assosiatif : A(BC) = (AB)C c. Distributif kiri : A(B + C) = AB + AC A(B – C) = AB – AC d. Distributif kanan : (B + C)A = BA + CA (B – C)A = BA – CA e. Assosiatif : k(AB) = (kA)B = A(Kb) f. Terdapat matriks Identitas I, sehingga IA = AI = A g. Jika AB = O belum tentu A = O atau B = O h. Jika AB = AC belum tentu B = C i. Jika At adalah transpos dari A dan Bt adalah transpos dari B, maka berlaku (AB)t = Bt At next
  • 24.
    *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLSXII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 5. Pemangkatan matriks Perhatikan bentuk berikut : A2 = A A A3 = A A A = A A2 A4 = A A A A = A A3 Dengan demikian pemangkatan matriks harus memenuhi syarat perkalian matriks, oleh karena itu pemangkatan matriks hanya berlaku pada matriks persegi. Contoh : . 54 32       =ADiketahui matriks Tentukanlah A2 dan A3 ! Penyelesaian : A2 = A A =       54 32       54 32 =       ++ ++ 2512208 156124 =       3728 2116 A3 = A A2 =       54 32       3728 2116 =       ++ ++ 1858414064 111428432 =       269204 153116 next
  • 25.
    *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLSXII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 Soal – soal dan pembahasan 1. Nilai a + b + c yang memenuhi persamaan matriks       − 32 21       ac ac 23 =       cb a 916 48       − cb a 52 6 – Adalah.... a. 2 b. 3 c. 4 d. 5 e. 6 (UN 2009/2010) Penyelesaian :       − 32 21       ac ac 23 =       cb a 916 48       − cb a 52 6 – = 5a = 10 → a = 2 7c = 7a → c = a = 2 14b = 7c → 2b = c → 2b = 2 → b = 1 Jadi nilai a + b + c = 2 + 1 + 2 = 5 ( d )       cb a 414 107       ac ac 47 57 next
  • 26.
    *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLSXII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 Contoh soal penjumlahan dan pengurangan matriks: 1. Diketahui matriks , 15 3       − = y A , 63 5       − = x B dan . 9 13       −− = y C Jika A + B – C = , 4 58       −− x x Nilai x + 2xy + y adalah .... a. 8 b. 12 c. 18 d. 20 e. 22 ( UN 2008/2009) Penyelesaian : A + B – C = , 4 58       −− x x ↔       −15 3 y +       − 63 5x –       −− 9 13 y = , 4 58       −− x x ↔       −− ++ 42 46 y yx = , 4 58       −− x x 6 + x = 8 → x = 2 y + 6 = 5x → y + 6 = 5(2) → y = 10 – 6 = 4 atau y didapat dari 2 – y = - x → 2 – y = - 2 → 2 – y = - 2 → - y = - 4 → y = 4 Jadi nilai x + 2xy + y = 2 + 2.2. 4 + 4 = 22 (e) next
  • 27.
    *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLSXII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 Contoh soal : 1. Diketahui matriks dan . Jika A = B maka a + b + c = .... a.-7 b.-5 c.-1 d.5 e.7 ( Ujian Nasional 2009/2010) Penyelesaian :           −−= 935 316 484 c b a A           −−= 95 316 4812 b aB 3a = - 3b ............................................ (2) Dari (1) didapat : 4a = 12 a = 3 Substitusi a = 3 ke (2) : 3(3) = - 3b 9 = - 3b b = - 3 Substitusi b = - 3 ke (3) : 3c = - 3 c = - 1 Jadi nilai a + b + c = 3 +(- 3) +(- 1) = - 1 ( C ) A = B Dari kesamaan matriks diatas diperoleh : 4a = 12 ........................................... (1) 3c = b ...............................................(3)           −− 935 316 484 c b a           −= 95 316 4812 b a next
  • 28.
    *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLSXII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 Contoh soal perkalian skalar matriks: 1. Diketahui matriks , 32 42       = cb A dan , 7 1232       + +− = ba abc B Jika Bt adalah tranpos dari B maka nilai c yang memenuhi A = 2Bt adalah.... a.2 b. 3 c. 5 d. 8 e. 10 (UM-UI 2009) Penyelesaian , 32 42       = cb A , 7 1232       + +− = ba abc B , 712 32       ++ − = ba abc Bt A = 2Bt ↔       cb 32 42 = ,      ++ − 712 32 2 ba abc ↔ = 2a = 4 → a = 2 2b = 4a + 2 → 2b = 4.2 + 2 → 2b = 10 → b = 5 3c = 2b + 14 → 3c = 2.5 + 14 → 3c = 24 → c = 8 (d)       cb 32 42 , 14224 264       ++ − ba abc next
  • 29.
    *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLSXII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 dc ba C. Determinan dan Invers Matriks 1. Determinan Matriks Sebuah matriks persegi selalu dapat dikaitkan dengan suatu bilagan yang disebut determinan matriks. Determinan matriks A dinotasikan dengan det. (A) atau IAI. a. Determinan Matriks Berordo 2 x 2 jika ,      = dc ba A Maka determinan matriks A adalah Det. (A) = IAI = = a.d – b.c contoh : 1) jika , 74 32       =A maka det.(A) = IAI = 74 32 = 2.7 – 3.4 = 2 2) jika , 22 13       − =B maka det.(B) = IBI = 22 13 − = 6 + 2 = 8 next
  • 30.
    *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLSXII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 b. Determinan Matriks Ordo 3 X 3 jika           = ihg fed cba A maka determinan matriks A dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut : Det. (A) = IAI = a b c a b d e f d e g h i g h = + a.e.i+ + b.f.g + + c.d.h+ – – c.e.g – – – b.d.i–a.f.h next
  • 31.
    *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLSXII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 contoh : 1. Jika           −−= 935 316 484 A maka tentukanlah nilai dari det. (A) dan det. (B) ! Penyelesaian : Det. (A) = = 4.(- 1).9 + 8.(- 3).5 + 4.6.3 - 4.(- 1).5 - 4.(- 3).3 - 8.6.9 = - 36 - 120 + 72 + 20 + 36 - 432 = - 450 dan           − −− − = 230 312 201 B Det. (B) = 35 16 84 − = 2 + 0 – 12 – 0 + 9 – 0 = – 1 935 316 484 −− 230 312 201 − −− − 30 12 01 − next
  • 32.
    *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLSXII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 c. Jenis – jenis Matriks Menurut Nilai Determinannya Berdasarkan pada nilai determinan, matriks persegi A ada 2 jenis yaitu : 1. Matriks Non singular, yaitu matriks yang nilai determinannya tidak sama dengan nol (det.A ≠ 0) 2. Matriks Singular, yaitu matriks yang nilai determinannya sama dengan nol (det.A = 0) d. Sifat- sifat Determinan Matriks Jika A dan B adalah matriks persegi, maka berlaku sifat- sifat berikut : 1. Det. (A) = det. (At ) 2. Det.(kA) = k2 det. (A) 3. Det.(AB) = det.(A) .det.(B) 4. Det.(An ) = (det.(A))n next
  • 33.
    *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLSXII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 Contoh soal dan pembahasan sifat-sifat determinan matriks 1. Diketahui matriks , 21 13       − =A tentukanlah : a. Det (A2 ) b. (Det.A)2 c. Apakah Det (A2 ) = (det.A)2 penyelesaian : a. Det (A2 ) = 8.3 – ( - 5 ).5 = 24 + 25 = 49 A2 = A A =       − 21 13       − 21 13 =       +−+ −−− 4123 2319 =       − 35 58 , 21 13       − =A Maka det.A = 3.2 – (- 1 ).1 = 6 + 1 = 7 b. (Det (A))2 = 72 = 49 c. (Det (A))2 = Det (A2 ) = 49 next
  • 34.
    *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLSXII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 2. Invers Matriks a. Pengertian Invers Matriks Misalkan matriks A dan matriks B adalah matriks persegi dengan ordo sama, serta memenuhi hubungan AB = BA = I maka dikatakan A dan B adalah dua matriks yang saling invers atau saling berkekebalikan. Matriks B disebut invers perkalian dari matriks A dan diberi lambang A–1 . Matriks A disebut invers perkalian dari matriks B dan diberi lambang B–1 . Contoh : Jika dan, 31 52       =A maka, 21 53       − − =B IAB =      =      − −       = 10 01 21 53 31 52 IBA =      =            − − = 10 01 31 52 21 53 dan Invers dari matriks A adalah A–1 =       − − = 21 53 B Dan Invers dari matriks B adalah B–1 =       = 31 52 A next
  • 35.
    *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLSXII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 b. Rumus Invers Matriks       = dc ba AJika maka invers matriks A adalah 1. Rumus Invers Matriks Ordo 2 a. Jika det. (A) = 1 maka       − − =− ac bd A 1 b. Jika det. (A) = – 1 maka       − − =− ac bd A 1 c. Jika det. (A) = 0 maka A tidak memiliki invers. , ).(det 11       − − =− ac bd A A dengan det.(A) = ad – bc , dan secara khusus : Contoh 1 : Jika       = 75 43 A Maka det.(A) = 3.7 – 4.5 = 1 Sehingga       − − =− 35 471 A next
  • 36.
    *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLSXII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 Contoh 2 : Jika       = 58 23 B maka det.(B) = 3.5 – 2.8 = –1, sehingga       − − =− 38 251 B       = 84 63 C Contoh 3 : Jika maka det.(C) = 3.8 – 4.6 = 0, sehingga 1− C tidak ada Contoh 4 : Jika       − − = 62 83 D maka det.(D) = 3.(–6) – (–8).2 = –18 + 16 = –2 , sehingga       − − =− ac bd D D ).(det 11       − − − =− 32 86 2 11 D       − − = 2 3 1 43 next
  • 37.
    *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLSXII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 2. Rumus Invers Matriks Ordo 3 ( pengayaan )
  • 38.
    *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLSXII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 c. Sifat-sifat Invers Matriks Jika A dan B adalah matriks persegi non singular yang berordo sama, maka berlaku sifat-sifat berikut : 1) AA–1 = A–1 A = I 2) (AB)–1 = B–1 A–1 3) (A–1 )–1 = A 4) (An )–1 = (A–1 )n dengan n = 0, 1, 2, 3, ... 5) (kA)–1 = 6) (At )–1 = (A–1 )t 7) ( kA–1 )n = kn (A–1 )n 11 − Ak next
  • 39.
    *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLSXII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 d. Soal dan Pembahasan Jika diketahui matriks       = 31 52 A dan       − − = 52 21 B Tentukanlah : 1. A–1 2. B–1 3.(AB)–1 4. B–1 A–1 5. (kA)–1 6. 7.(At )–1 8. (A–1 )t serta k = 2 11 − Ak Penyelesaian : 1.       = 31 52 A det. (A) = 6 – 5 = 1, sehingga       − − =− 21 531 A 2.       − − = 52 21 B det. (B) = – 5 + 4 = –1 , sehingga       − − =− 12 251 B 3.       − − =      − −       = 177 2912 52 21 31 52 AB det.(AB) = –204 + 203 = –1, ( )       − − = − 127 29171 ABsehingga next
  • 40.
    *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLSXII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012       − − =      − −       − − =−− 127 2917 21 53 12 2511 AB4. Dari no 3 dan 4, ternyata ( AB )–1 = 11 −− AB 5.       =      = 62 104 31 52 2kA det.(kA) = 24 – 20 = 4, sehingga       − − =      − − =− 21 53 2 1 42 106 4 1 )( 1 kA 6.       − − =− 21 53 2 111 Ak Dari no 5 dan 6, ternyata ( kA )–1 = 11 − Ak 7.       = 31 52 A →       = 35 12t A det.(At ) = 6 – 5 = 1→ ( )       − − = − 25 131t A       − − =− 21 531 A8. → ( )       − − =− 25 131 t A Dari no. 7 dan 8, ternyata ( At )–1 = (A–1 )t next
  • 41.
    *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLSXII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 3. Persamaan Matriks Perhatikan bentuk persamaan matriks berikut : 1. AX = B, dan 2. XA = B Jika A adalah matriks persegi yang mempunyai invers yaitu A–1 maka berlaku hubungan sebagai berikut : 1. AX = B A–1 AX = A–1 B IX = A–1 B X = A–1 B 2. XA = B XA A–1 = BA–1 XI = BA–1 X = BA–1 RUMUS RUMUS next
  • 42.
    *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLSXII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 Contoh 1 : Diketahui matriks       = 35 12 A dan       = 65 52 B Tentukanlah : a. Matriks X jika AX = B b. Matriks X jika XA = B Penyelesaian : a. AX = B → X = A–1 B       = 35 12 A → det. (A) = 6 – 5 = 1 →       − − =− 25 131 A X = A–1 B =       − − 25 13 =      65 52       130 91 b. XA = B → X = BA–1 X = BA–1 = =      − − 25 13       65 52       − − 1315 819 next
  • 43.
    *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLSXII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 D. Penggunaan Matriks dalam Sistem Persamaan Linear 1. Sistem Persamaan linear dengan Dua Variabel Perhatikan sistem persamaan linear dengan dua variabel berikut ini : a1x + b1y = c1 a2x + b2y = c2 Dapat diubah menjadi persamaan matriks sebagai berikut : a1x + b1y a2x + b2y x y = c1 c2 ↔ a1 b1 a2 b2 = c1 c2 A X B A X = B ↔ X = A–1 B next