matriks, relasi, fungsi

Matriks, Relasi dan Fungsi
Kelompok 4
Oleh:
1. Yudha saputra
2. Ayu mayang sari
3. Liza agustiana
4. Milianti

 matriks adalah kumpulan bilangan, simbol, atau ekspresi, berbentuk
persegi panjang yang disusun menurut baris dan kolom.
 Bilangan-bilangan yang terdapat di suatu matriks disebut dengan elemen
atau anggota matriks. Bilangan yang menjadi elemen dari sebuah matriks
disusun dengan diapit oleh tanda kurung siku [] atau tanda kurung biasa
().
 Ukuran dari sebuah matriks dapat di simbolkan dengan rumus berikut
ini:
Dengan :
A = Nama Matriks
m = jumlah baris
n = jumlah kolom
mxn = ordo matriks

baris
kolom

 Ordo matriks adalah banyaknya baris dan banyaknya kolom.
 Transpose matriks adalah perubahan baris menjadi kolom
dan kolom menjadi baris
 Kesamaan dua matriks
 Dua matriks dikatakan sama apabila :
1. Memiliki ordo yang sama
2. Nilai pada elemen matriks juga harus sama

 Untuk menentukan determinan dari suatu matriks yang
berordo 2×2 matriks A yang biasa ditulis |A| adalah
 Sedangkan untuk yang berordo 3x3
 Invers Matriks

Macam-Macam Matriks
 Matriks Diagonal adalah matriks bujur sangkar yang
semua elemennya sama dengan nol, kecuali
elemen pada diagonal utamanya.
 Matriks identitas, dilambangkan dengan I ,
adalah matriks diagonal dengan semua elemen diagonal = 1
 Matriks segitiga atas / bawah
Contoh matriks segitiga atas Contoh matriks segitiga bawah

 Matriks setangkup (symmetry), A adalah
matriks simetri jika AT = A.
 Matriks 0 / 1 (zero-one),
Matriks 0 / 1 adalah matriks yang setiap
elemennya hanya bernilai 0 atau 1.
 Matriks Nol yaitu Matriks yang dimana
elemen-elemennya bernilai Nol.
 Matriks Simetris adalah matriks yang
elemen-elemen dibawah dan diatas diagonal utama
adalah simetris, artinya elemen pada sel mn
sama dengan elemen pada sel nm.

 Penjumlahan 2 buah matriks
 Perkalian 2 buah matriks

• Perkalian matriks dengan skalar

 Relasi adalah himpunan bagian antara A(domain) dan B
(kodomain) atau relasi yang memasangkan setiap elemen yang
ada pada himpunan A secara tunggal, dengan elemen yang pada
B.
 Misalnya ada contoh:
Himpunan A : himpunan nama orang
A= {Via, Andre, Ita}
Himpunan B : himpunan nama makanan
B= {es krim, coklat, permen}
 Relasi makanan kesukaan (R) dari himpunan A dan B adalah:

via
Andre
Ita
permen
coklat
es krim
permen
coklat
Es krim
• R={(x,y)|x menyukai y; x ∈ A dan y ∈ B}
A B
R
 Diagram Panah

Himpunan pasangan berurutan
R={(Via,permen) , (Via,coklat) , (Andre,coklat) ,
(Andre,es krim) , (Ita,es krim)}
 Diagram Cartesius

 Tabel
 Matriks
Baris = domain
Kolom = kodomain

 Graph berarah
 hanya untuk merepresentasikan relasi pada satu himpunan (bukan antara
dua himpuanan).
 Tiap unsur himpunan dinyatakan dengan sebuah titik (disebut juga simpul
atau vertex)
 Tiap pasangan terurut dinyatakan dengan busur (arc).
1. Jika (a, b) ∈ R, maka sebuah busur dibuat dari simpul a ke simpul b.
2. Simpul a disebut simpul asal (initial vertex)
3. simpul b disebut simpul tujuan (terminal vertex)
4. Pasangan terurut (a, a) dinyatakan dengan busur dari simpul a ke
simpul a sendiri. Busur semacam itu disebut loop
• Misalkan R = {(a, b), (b, c), (b, d), (c, c) (c, a), (c, d), (d, b)} adalah relasi
pada himpunan {a, b, c, d}.

 Jika diberikan relasi R pada himpunan A ke himpunan
B, kita bisa mendefinisikan relasi baru dari B ke A
dengan cara membalik urutan dari setiap pasangan
terurut di dalam R. Relasi baru tersebut dinamakan
inversi dari relasi semula.
 Invers dari relasi R, dilambangkan dengan R-1, adalah
relasi dari B ke A yang didefinisikan oleh : R-1 = {(b,a) |
(a,b)  R }

Contoh 3.14
Misalkan
Jika kita definisikan relasi R dari P ke Q dengan
Maka kita peroleh
R-1 adalah invers dari relasi R, yaitu dari Q ke P dengan
Maka kita peroleh

Jika M adalah matriks yang merepresentasikan relasi R,
Maka matriks yang merepresentasikan relasi R-1, misalkan N

Contoh 3.15
A = {a,b,c} dan B = {a,b,c,d}.
Relasi R1 = {(a,a),(b,b),(c,c)} dan
Relasi R2 = {(a,a),(a,b),(a,c),(a,d)} adalah relasi dari A ke B
R1  R2 = {(a,a)}
R1  R2 = {(a,a),(b,b),(c,c),(a,b),(a,c),(a,d)}
R1 – R2 = {(b,b),(c,c)}
R2 – R1 = {(a,b),(a,c),(a,d)}
R1  R2 = {(b,b),(c,c),(a,b),(a,c),(a,d)}

 Definisi :
 Misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan
B, dan S adalah relasi dari himpunan B ke himpunan C.
Komposisi R dan S , dinotasikan dengan S o R = {(a,c)|a
 A, c  C, dan untuk beberapa b  B, (a,b)  R, dan (b,c) 
S

Misalkan, A = {a, b, c}, B = {2, 4, 6, 8} dan
C = {s, t, u}
Relasi dari A ke B didefinisikan oleh :
R = {(a, 2), (a, 6), (b, 4), (c, 4), (c, 6), (c, 8)}
Relasi dari B ke C didefisikan oleh :
T = {(2, u), (4, s), (4, t), (6, t), (8, u)}
Maka komposisi relasi R dan T adalah
T ο R = {(a, u), (a, t), (b, s), (b, t), (c, s), (c,
t), (c, u)}

 T ο R = {(a,u), (a,t), (b,s), (b,t), (c,s), (c,t), (c,u)}

Contoh 3.18
Maka matriks yang menyatakan R2 o R1 adalah

1. Refleksif, Relasi R pada himpunan A disebut refleksif
jika (a,a)  R untuk setiap a  A
 Misalkan A={1,2,3,4} dan relasi R dibawah ini
didefinisikan pada himpunan A, maka Relasi
R = {(1,1),(1,3),(2,1),(2,2),(3,3),(4,2),(4,3),(4,4)}
bersifat reflekstif karena terdapat elemen yang
berbentuk
(a,a), yaitu (1,1),(2,2),(3,3) dan (4,4).
Relasi R = {(1,1),(2,2),(2,3),(4,2),(4,3),(4,4)} tidak
bersifat reflektif karena (3,3) R.

2. Setangkup dan tak setangkupDefinisi :
 Relasi R pada himpunan A disebut setangkup jika untuk
semua a,b  A, jika (a,b)  R, maka (b,a)  R.
 Misalkan A={1,2,3,4} dan relasi R dibawah ini
didefinisikan pada himpunan A, maka
a. Relasi R {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,4),(4,2),(4,4)}
bersifat setangkup karena jika (a,b) R maka (b,a)
juga R.
Disini (1,2)dan(2,1)R begitu juga (2,4) dan (4,2)R
b. Relasi R {(1,1),(2,3),(2,4),(4,2)} tidak setangkup
karena (2,3)  R, tetapi (3,2) R

Sifat-Sifat Relasi

Relasi R pada himpunan A disebut tolak setangkup jika
untuk semua a,b  A , (a,b)  R dan (b,a)  R hanya jika
a = b
c. Relasi R {(1,1),(2,2),(3,3)} tolak setangkup karena (1,1)
 R dan 1=1 , (2,2)  R dan 2=2 , (3,3)  R dan 3=3.
Perhatikan bahwa R juga setangkup.
d. Relasi R {(1,1),(1,2),(2,2),(2,3)} tolak setangkup karena
(1,1)  R dan 1=1 , dan (2,2)  R dan 2=2.
Perhatikan bahwa R tidak setangkup.
Sifat-Sifat Relasi

3. Menghantar
Sifat-Sifat Relasi
Definisi 3.9
Relasi R pada himpunan A disebut menghantar jika (a,b)  R dan
(b,c)  R, maka (a,c)  R, untuk a, b, c  A
Misalkan A={1,2,3,4} dan relasi R dibawah ini
didefinisikan pada himpunan A, maka
Relasi R {(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3)} bersifat menghantar.
Periksa dengan membuat tabel berikut :
Pasangan berbentuk

 Definisi : Misalkan A dan B dua himpunan takkosong. Fungsi dari A ke B adalah
aturan yang mengaitkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B.
 ATURAN :
 setiap anggota A harus habis terpasang dengan anggota B.
 tidak boleh membentuk cabang seperti ini.
 Jika f adalah fungsi dari himpunan A ke himpunan B, kita dapat menuliskan
dalam bentuk :
f : A → B
artinya f memetakan himpunan A ke himpunan B.
 Nama lain untuk fungsi adalah pemetaan atau transformasi.
A B

 Fungsi invers merupakan kebalikan dari fungsi itu
sendiri
 f : A  B di mana f(a) = b
 f –1: B  A di mana f –1(b) = a
 Catatan: f dan f –1 harus bijective (berkoresponden satu-
ke-satu )
 Contoh:
Relasi f = {(1,u),(2,v),(3,w)} dari A = {1,2,3} ke B = {u,v,w}
adalah fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu.
Inversi fungsi f adalah f -1 = {(u,1),(v,2),(w,3)}.
Jadi f adalah fungsi invertible (dapat dibalikkan).

Fungsi : disebut fungsi komposisi atau fungsi majemuk.
SIFAT-SIFAT FUNGSI KOMPOSISI
1 . ))(())(( xfgxgf  
2 . ))()(()))((( xhgfxhgf  
Diketahui : , dan
Tentukan :
A .
B .
C .
D .
E .
Contoh

,
JAWAB
))(( xgf  ))(( xgf
)1( 2
 xf
3)1(2 2
 x
12 2
 x
A . B . ))(( xfg  ))(( xfg
)32(  xg
1)32( 2
 x
1)9124( 2
 xx
8124 2
 xx
21
)1(5


3
5

C . ))(( xgfh  ))()(( xgfh
)1)(( 2
 xfh  ))1(( 2
 xfh
)12( 2
 xh
2)12(
)12(5
2
2



x
x
32
510
2
2



x
x
D .)1)(( fh  ))1(( fh
)31.2(  h

)1)(( ghf  ))1()((  ghf 
)1)1)((( 2
 hf 
))0((hf








20
)0(5
f
 0f
30.2 
3
E .

matriks, relasi, fungsi

More Related Content

What's hot

Similar to matriks, relasi, fungsi

Recently uploaded

matriks, relasi, fungsi