Medan elektromagnetik 2
- 1. MEDAN ELEKTOMAGNETIK Disusun oleh : Ir. Jaja Kustija, Msc
- 2. DAFTAR ISI BAB I SISTEM KOORDINAT 1.1 Sistem Koordinat Kartesian ................................................................... 1 a. Vektor Satuan (Unit Vektor) dalam Koordinat Kartesian ................. 2 b. Volume Diferensial Elemen-elemen Permukaan dan Garis pada Sistem Koordinat Kartesian .............................................................. 3 1.2 Sistem Koordinat Silinder (Cylindrical Coordinates) ........................... 5 a. Vektor Satuan Dalam Koordinat Silinder dan Hubungannya Dengan Koordinat Kartesian .......................................................................... 6 b. Volume Diferensial, Elemen-Elemen Permukaan dan Elemen Garis Dalam Koordinat Silinder ................................................................. 10 1.3 Sistem Koordinat Bola (Spherical coordinates) ................................... 10 a. Vektor Satuan Pada Sistem Koordinat Bola dan Hubungangya Dengan Vektor Satuan pada Sistem Koordinat Kartesian ................................ 11 b. Volume Diferensial, Elemen-Elemen Permukaan pada Koordinat Bola .................................................................................................... 13 Contoh Soal ........................................................................................... 14 Soal-Soal Latihan dan Penyelesaiannya ................................................ 16 BAB II TURUNAN BERARAH (GRADIEN) DAN DIVERGENSI 2.1 Turunan Berarah (gradien) .................................................................... 18 a. Untuk Koordinat Kartesian ............................................................. 19 b. Untuk Koordinat Silinder ................................................................. 20 Contoh soal ....................................................................................... 21 c. Untuk Koordinat Bola ....................................................................... 22
- 3. Contoh soal ........................................................................................ 23 2.2 Divergensi dan Makna Fisisnya ............................................................. 24 a. Operator Divergensi Pada Sistem Koordinat Kartesian ................... 25 Contoh soal ....................................................................................... 26 b. Operator Divergensi Pada Sistem Koordinat Silinder .................. 27 c. Operator Divergensi Pada Sistem Koordinat Bola ........................... 28 Contoh soal .......................................................................................... 30 2.3 Teorema Divergensi Gauss ................................................................... 32 Contoh soal ........................................................................................... 32 Makna fisis divergensi Gauss ................................................................ 33 Soal-soal dan Penyelesaiannya .............................................................. 34 BAB III CURL (ROTASI) DAN MAKNA FISISNYA Contoh Soal ........................................................................................... 37 Soal-soal dan Penyelesaiannya ............................................................. 41 BAB IV GAYA COULOMB DAN INTENSITAS MEDAN LISTRIK 4.1 Hukum Coulomb ................................................................................... 43 Contoh Soal ........................................................................................... 45 4.2 Intensitas Medan Listrik ........................................................................ 47 Contoh Soal .......................................................................................... 48 4.3 Medan Listrik Oleh Muatan-Muatan Titik ............................................ 49 Contoh Soal ........................................................................................... 49 4.4 Medan Listrik Oleh Disribusi Muatan Kontinu ................................... 50 Contoh Soal ........................................................................................... 51
- 4. 4.5 Medan Listrik Akibat Muatan Berbentuk Lempeng ............................. 53 Contoh Soal ........................................................................................ 54 BAB V FLUKS LISTRIK DAN HUKUM GAUSS 5.1 Medan Skalar dan Medan Vektor ......................................................... 55 5.2 Fluks Listrik .......................................................................................... 57 5.3 Hukum Gaus .......................................................................................... 57 5.4 Hubungan Antara Kerapatan Fluks dan Kuat Medan Listri ................. 58 5.5 Distribusi Muatan .................................................................................. 59 5.6 Pemakaian Hukum Gauss ..................................................................... 60 5.7 Teorema Divergensi Gauss ................................................................... 62 Soal-soal dengan Penyelesaian ............................................................. 64 BAB VI ENERGI DAN POTENSIAL 6.1 Energi yang Diperlukan untuk Menggerakan Muatan Titik Dalam Medan Listrik ....................................................................................... 69 6.2 Integral Garis ........................................................................................ 70 6.3 Definisi Beda Potensial dan Potensial ................................................... 72 Contoh Soal ........................................................................................... 73 6.4 Medan Potensial Sebuah Muatan Titik ................................................. 75 6.5 Medan Potensial Akibat Distribusi Muatan .......................................... 76 a) Medan Potensial Akibat Muatan Titik .............................................. 76 b) Medan Potensial Akibat Distribusi Muatan Kontinu ........................ 76 6.6 Gradien Potensial .................................................................................. 78 6.7 Kerapatan Energi dalam Medan Elektrostatik (Listrik Statis) .............. 80 Contoh Soal ........................................................................................... 81
- 5. BAB VII MEDAN MAGNET TUNAK (STEADY) 7.1 Medan Magnet Oleh Arus Listrik ......................................................... 87 Contoh Soal ........................................................................................... 89 7.2 Besaran Induksi Magnetik ..................................................................... 91 7.3 Hukum Integral Ampere ....................................................................... 93 7.4 Medan Magnet Dalam Kumparan ......................................................... 95 7.5 Hukum Maxwel Tentang Induksi Magnet ............................................ 97 Teorema Maxwel (umum) .................................................................. 98 a) Hukum Gauss ............................................................................... 98 b) Bentuk Lain dari Hukum Faraday ................................................ 99 c) Hukum Maxwel Tentang Induksi Magnet ................................... 99 d) Hukum Integral Ampere .............................................................. 100 BAB VIII PERSAMAAN POISSON DAN LAPLACE 8.1 Bentuk-Bentuk Explisit Persamaan Laplace dan Poisson ..................... 101 8.2 Teorema Keunikan ................................................................................ 103 Contoh Soal ........................................................................................... 103
- 6. BAB I SISTEM KOORDINAT Untuk mengetahui posisi benda dalam dimensi ruang dikenalkan beberapa model sistem koordinat diantaranya adalah : sistem koordinat kartesian, sistem koordinat silinder dan sistem koordinat bola. 1.1 Sistem Koordinat Kartesian Dalam sistem ini dikenal dengan kaidah tangan kanan seperti nampak pada gambar : Z y (0, 0, 0 ) y atau (0, 0, 0 ) x x z Dari gambar terlihat jika arah sumbu x diputar kearah sumbu y dengan sudut paling kecil akan menghasilkan arah sumbu z yang serupa dengan kaidah tangan kanan dengan dengan ibu jari menggambarkan sumbu z dan arah lipatan keempat jari lainnya merupakan arah putaran dari sumbu x ke sumbu y. Menggambar letak suatu titik P(x, y, z) langkah-langkahnya sebagai berikut : tentukan titik-titik x, y dan z pada masing-masing sumbu x, sumbu y, dan sumbu z; kemudian buatlah garis melalui x dan y yang masing-masing sejajar dengan sumbu y dan sumbu x, maka diperoleh titik P1 (x, y) pada bidang x 0 y, juga dapat disajikan sebagai titik P1 (x, y, 0) yang berarti harga z = 0. Selanjutnya hubungkan titik asal 0 dengan titik P1, kemudian buatlah garis melalui z yang sejajar dengan garis P1 dan melalui titik P1 juga dibuat garis sejajar dengan sumbu z, maka didapat titik P (x, y, z). Gambar 1. Sistem koordinat kartesian dengan sistem putaran tangan kanan
- 7. Contoh : Gambarkan posisi titik : A(1, 2, 3) Penyelesaian : Z 3 A(1, 2, 3) 2 Y 1 X a). Vektor Satuan (Unit Vektor) dalam Koordinat Kartesian Sebagaimana kita ketahui vektor adalah suatu besaran yang mempunyai harga dan arah. Dalam sistem koordinat kartesian ditulis dalam simbol: zzyyxx AaAaAaA ˆˆˆ Ax = harga vektor pada sumbu x Ay = harga vektor pada sumbu y Az = harga vektor pada sumbu z Vektor satuan adalah vektor yang mempunyai harga absolut (panjang) satu, hal itu bisa diperoleh dengan cara membagi vektor itu dengan nilai absolutnya : A Az Ay Ax Z Y X Gambar.2 Vektor satuan dalam sistem koordinat
- 8. A A a A ˆ A aˆ = vektor satuan dalam arah A A = vektor A A = nilai (harga absolut)vektor tersebut 222 zyx AAAA dari zzyyxx AaAaAaA ˆˆˆ dan pengertian vektor satuan, dapat kita lihat bahwa zyx aaa ˆ,ˆ,ˆ masing-masing adalah vektor satuan dalam arah sumbu x, sumbu y, sumbu z. Contoh : Carilah vektor satuan dari : zyx aaaA ˆ5ˆ4ˆ3 yang pangkalnya di titik (0,0,0) Penyelesaian : 222 543A 25A A aˆ = zyx zyx aaa aaa ˆ25,0ˆ24,0ˆ23,0 25 ˆ5ˆ4ˆ3 125,024,023,0ˆ 222 A a b). Volume Diferensial Elemen-elemen Permukaan dan Garis pada Sistem Koordinat Kartesian Elemen garis (dl) Elemen garis dl adalah diagonal yang melalui P, yaitu: zyx adzadyadxdl ˆˆˆ atau 2222 dzdydxdl . Elemen permukaan (ds) Elemen permukaan adalah suatu bagian yang terbentuk dari elemen-elemen garis (dl), yaitu 21 dldldS .
- 9. dalam hal ini: -Permukaan depan : dy ây dz âz = dy dz âx -Permukaan samping : dz âz dx âx = dz dx ây -Permukaan alas : dx âx dy ây = dx dy âz Elemen Volume (dV) Elemen volume adalah suatu bagian yang terbentuk dari elemen-elemen permukaan (dS), yaitu : 321 dldldldV Ambil dS permukaan depan yaitu dS = dy dz âx maka dV =dx dy dz Demikian pula permukaan-permukaan lain, didapat dV = dx dy dz Contoh : Hitunglah B dVyzx 2 , dengan B adalah kotak dengan batas-batas 21,10,21:,, zyxzyxB Penyelesaian : 2 1 2 1 0 2 2 1 3 2 2 1 1 0 2 0 2 2 1 2 1 3 1 zyx dzdydxyzxdVyzx B dx dz dy Y X Z dS =dx dy âz dS = dx dz ây dS = dy dz âx P´(x+dx, y+dy, z+dz)P (x, y, z) Gambar 3. Elemen-elemen permukaan dS dan volume dV
- 10. 4 7 2 3 2 1 3 7 12 2 1 01 2 1 12 3 1 22233 1.2 Sistem Koordinat Silinder (Cylindrical Coordinates) Suatu permasalahan dalam sistem koordinat akan lebih mudah diselesaikan bila kita mengetahui cara penyelesaiannya dalam sistem koordinat yang sesuai. Berikut ini akan dipaparkan mengenai salah satu koordinat lain setelah koordinat kartesian, yaitu sistem koordinat silinder. Mari kita lihat hubungan antara sistem koordinat silinder dan kartesian. Jika dalam sistem koordinat kartesian dikenal dengan adanya sumbu x, sumbu y, sumbu z, maka dalam sistem koordinat silinder diperkenalkan variabel- variabel : r, , dan z. untuk menggambarkan suatu posisi titik. Sebagai contoh, posisi titik A lazimnya ditulis dengan A(r, ,z). Perhatikan gambar : Dengan menggunakan ilmu ukur sudut sederhana dapat dicari hubungan antara (x, y, z) dan (r, , z). X = r cos ; Y = r sin ; z = z Y X Z P (r, , z)âr â âz Gambar 4. Posisi titik P dalam koordinat silinder
- 11. a). Vektor Satuan Dalam Koordinat Silinder dan Hubungannya Dengan Koordinat Kartesian Seperti pada sistem koordinat kartesian yang dimaksud vektor satuan yakni vektor yang mempunyai harga absolut sama dengan satu. Dalam sistem koordinat silinder ada tiga komponen vektor satuan yakni : zr a r r a ˆ;aˆ;ˆ âr = vektor satuan pada komponen r (arahnya sesuai dengan arah penambahan harga). â = vektor satuan pada komponen (arahnya sesuai dengan arah penambahan harga). âz = vektor satuan pada komponen z (arahnya sesuai dengan arah penambahan harga). Perhatikan gambar (1), hubungan antara kartesian dan silinder sebagai berikut: sinˆcosˆ rarar yx sinˆcosˆˆ yxr aa r r a Untuk menjelaskan vektor satuan kearah ˆa atau ditulis ˆa mempunyai beda fasa sebesar 2 dengan arah r aˆ dengan sudut ˆa > sudut r aˆ , sehingga: ˆa ˆ ˆcos sin 2 2 x y a a cosˆsinˆ yx aa Dan arah ˆa sama persis dengan ˆa pada sistem koordinat kartesian. Secara keseluruhan hubungan vektor satuan pada sistem silinder dan sistem kartesian adalah sebagai berikut : zz yx yxr aa aaa aaa ˆˆ cosˆsinˆˆ sinˆcosˆˆ
- 12. Dapat dituliskan dalam bentuk matrik : z y x z r a a a a a a ˆ ˆ ˆ 100 0cossin 0sincos ˆ ˆ ˆ Untuk mendapatkan hubungan balikannya maka kita mesti menggunakan “inverse matrik” dari hubungan diatas. Perhatikan bahwa harga determinan dari matrik tersebut adalah satu (1) maka inverse matrik diatas sama dengan transposenya. z r z y x a a a a a a ˆ ˆ ˆ 100 0cossin 0sincos ˆ ˆ ˆ Matrik-matrik ini sangat diperlukan sekali untuk memahami operator gradien ( ), operator divergensi( ) operator curl ( ) dan ada satu lagi bekal yang harus disiapkan adalah pemanfaatan teorema turunan parsial. Disini akan dibahas secara sekilas misalnya r (x, y, z), artinya r merupakan fungsi x, y, z maka diferensial terhadap r didefinisikan sebagai berikut : zr z yr y xr x r Begitu pula (x, y, z) z z y y x x Dan z (x, y, z) zz z yz y xz x z Terapkan turunan parsial ini pada X= r cos ; Y = r sin ; Z= z
- 13. yxr y r x r yx z z r y r x yx yx z rz r ry r rxr cossin 1 cossin 0cossin sincos.2 sincos 0sincos sincos.1 z z z zz r zy r zxz 00 sincos.3 Maka dapat ditulis dalam bentuk matrik: z y x z r x 100 0cossin 0sincos 1 Dengan cara inverse matrik seperti ; inverse matrik sebelumnya: z r x z y x 1 100 0cossin 0sincos
- 14. Contoh : Tentukan posisi titik koordinat kartesius dari titik A (10; 53,13°; 5) dan posisi titik koordinat tabung dari titik B (-5, -5, 2). Penyelesaian : a) Menentukan posisi titik A (kartesius) dari titik A (10; 53,13°; 5). 8 13,53sin10 sin 6 13,53cos10 cos rY rX Jadi, titik koordinat cartesius dari (10; 53,13°; 5) adalah (6; 8; 5) Menentukan posisi titik B (tabung) dari titik B (-5, -5, 2) 25 50 55 22 22 yxr 45 1tan tan 1 5 5 tan inv inv x y Jadi, titik koordinat B adalah .2, 4 ,25 .2, 4 ,25 X Y Z (6; 8; 5) X Y Z
- 15. b). Volume Diferensial, Elemen-Elemen Permukaan dan Elemen Garis Dalam Koordinat Silinder Elemen garis (dl) dl = dr r aˆ + r d ˆa + dz ˆa dl2 = dr2 + r2 d 2 + dz2 Elemen-elemen permukaan (dS) Selimut : rr adzdradzdr ˆˆ Atas : zr addrradadr ˆˆrˆ Bawah : zr addrradradr ˆˆˆ Elemen volume diferensial (dV) dV = (dr)( r d )(dz) dzddrrdV 1.3 Sistem Koordinat Bola (Spherical coordinates) Sistem koordinat bola mempunyai variabel-variabel r, , . untuk menentukan posisi titik P dalam koordinat bola adalah seperti dalam gambar : P’(r+dr, +d , z+dz) dz r dr d r dr d P (r, ,z) dr dr d r Gambar 5. Elemen Volume (dV) dalam koordinat silinder X Y Z
- 16. a). Vektor Satuan Pada Sistem Koordinat Bola dan Hubungangya Dengan Vektor Satuan pada Sistem Koordinat Kartesian. Dari gambar x = r sin θ cos φ ; y = r sin θ sin φ ; z = r cos θ zayaxar zyx ˆˆˆ cosˆsinsinˆcossinˆ rararar zyx cosˆsinsinˆcossinˆˆ zyxr aaa r r a rcos r sin cos r sin r sin r P X Y Z r aˆ aˆ aˆ P (r, , )z y x r Z Y X x = r sin cos y = r sin sin z = r cos Gambar 6. Posisi titik P (r, , ) dalam sistem koordinat bola
- 17. Perhatikan gambar vector satuan r aˆ dan aˆ . aˆ mempunyai sudut mendahului 2 dari r aˆ sehingga aˆ menjadi : sinˆsincosˆcoscosˆ 2 cosˆsin 2 sinˆcos 2 sinˆˆ zyx zyx aaa aaaa dan arah aˆ , mempunyai 2 dan sudut untuk aˆ mendahului 2 terhadap r aˆ , sehingga aˆ menjadi : 0cosˆsinˆ 2 cosˆ 2 sin 2 sinˆ 2 cos 2 sinˆˆ yx zyx aa aaaa Di tulis dalam hubungan matriks sebagai berikut : z y xr a a a a a a ˆ ˆ ˆ 0cossin sinsincoscoscos cossinsincossin ˆ ˆ ˆ matrik transpose : a a a a a a r z y x ˆ ˆ ˆ 0sincos cossincossinsin sincoscoscossin ˆ ˆ ˆ Terapkan aturan diferensial Parsial pada system koordinat Bola z z y y x x z z y y x x zr z yr y xr x r
- 18. dimana x = r sin θ cos φ ; y = r sin θ sin φ ; z = r cos θ maka : 0cossin sin 1 atau 0cossinsinsin sinsincoscoscos 1 sinsincoscoscos cossinsincossin yxr y r x r zyxr z r y r x r zyxr Dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut : z y r r r x 0cossin sinsincoscoscos cossinsincossin sin 1 1 dengan inverse matriks = transpose (karena determinan = 1 ) maka sin 1 1 0sincos cossincossinsin sincoscoscossinx r r r z y b). Volume Diferensial, Elemen-Elemen Permukaan pada Koordinat Bola ds=r2 sin d d dr r sin r sin d r d r d d Z X Y Gambar.7 Elemen volume pada sistem koordinat bola
- 19. Elemen garis diferensial : 2222222 sin ˆsinˆˆ drdrdrdl adradradrdl r Elemen-elemen permukaan diferensial sebagai pasangan elemen-elemen garis: addrradradr adrdradradr addradradr r r r ˆˆˆ ˆsinˆˆsin ˆsinˆsinˆ 2 Volume diferensial dV =(dr)(r d )(r sin d ) dV = r2 sin dr d d Contoh: 1. Buktikan bahwa volume bola adalah 3 3 4 rV dengan batas-batasnya adalah 20;0;0 rr Penyelesaian : 3 4 22 3 1 cos 3 1 sin sin 3 3 2 00 0 3 0 0 2 0 2 2 r r r dddrrV dddrrdV r r r
- 20. 2. Gunakan sistem koordinat bola untuk menetapkan luas jalur pada permukaan bola dengan jari-jari a (gambar dibawah) dan dengan batas- batasnya ;20;0 ar . Apa hasilnya bila = 0, dan = ? Penyelesaian : dS = r2 sin d d φ maka coscos2 sin 2 2 0 2 a ddaA Kalau = 0 dan = , A = 4 a2 yakni seluruh permukaan bola itu. Z X Y
- 21. Soal-Soal Latihan dan Penyelesaiannya 1. Tentukan vektor A dari posisi (2, -4, 1) sampai (0, -2, 0) pada sistem koordinat kartesian dan tentukan pula vektor satuannya. Kunci Jawaban : zyxA zyx aaaa aaaA ˆ 3 1 ˆ 3 2 ˆ 3 2 ˆˆ2ˆ2 2. Gunakan sistem koordinat silinder untuk menentukan luas daerah yang diarsir dari gambar silinder dibawah ini dengan r = 2 m, h = 5 m dan 3 2 6 Kunci Jawaban : 2 5 mA 3. Tentukan sudut antara zy aaA ˆ2ˆ10 dan zy aaB ˆ5,0ˆ4 dengan menggunakan dot product dan cross product. Kunci Jawaban : 5,161 4. Tentukan sudut antara zy aaA ˆ55,1ˆ8,5 dan zy aaB ˆ4ˆ93,6 dengan menggunakan dot product dan cross product. Kunci Jawaban : 135 5. Tentukan volume sebuah bola menggunakan sistem koordinat bola dengan batas-batas . 2 0 2 0,21 danmr Kunci Jawaban : 3 6 7 mV 6 3 2 X Y Z 5 m
- 22. 6. Diketahui zyx aaaA ˆ3ˆ4ˆ2 dan yx aaB ˆˆ , tentukan BA dan BA . Kunci Jawaban : zyx aaaBA BA ˆ6ˆ3ˆ3 2 7. Tentukan jarak antara 0, 6 ,2 m dan 2,,1 m dengan sistem koordinat silinder. Kunci Jawaban : md 53,3 8. Gunakan sistem koordinat bola untuk menentukan luas permukaan bola dengan batas 0 dan jarak a meter. Berapakah hasilnya jika 2 . Kunci Jawaban : maA makajika maA 2 2 4 :,2 2 9. Transformasikan vektor zzyyxx aAaAaAA ˆˆˆ ke dalam bentuk sistem koordinat silinder. Kunci Jawaban : zzyxryz aAaAAaAAA ˆˆcossinˆsincos . 10. Transformasikan vektor r arF ˆ1 pada sistem koordinat bola ke dalam sistem koordinat kartesian. Kunci Jawaban : 222 ˆˆˆ zyx azayax F zyx
- 23. BAB II TURUNAN BERARAH (GRADIEN) DAN DIVERGENSI 2.1 Turunan berarah (gradien) Kita perhatikan fungsi dua variabel f(x,y) turunan parsial fx (x,y) dan fy (x,y) mengukur laju perubahan (kemiringan garis singgung) pada arah sejajar sumbu x dan y, sasaran kita sekarang dalah mempelajari laju perubahan f pada sembarang arah menuju konsep turunan berarah yang kemudian menjelaskan makna gradien. y y yxFyyxF x x yxFyxxF yxFyyxFyxFyxxF FFF yx ,,,, ,,,, untuk x dan y menuju nol dyadxa y F a x F adF dyadxaa y F a x F y y F x x F y y yxxFyyxxF x x yxFyxxF F yxyx yxyx yxx ˆˆˆˆ ˆˆˆˆ ),(),( lim ),(),( lim 00 Δ 0lim 0y ),( yxF ),( yx Sb x sb y y yyxx ,( ),( yxx ),( yxxF yyxxF ,( Fy Fx Fx x
- 24. gradiendisebut d Fd y F ya x dF xa d Fd d F F ya x F xaFd ˆˆ .ˆˆ Keterangan : x F a x ˆ turunan parsial F terhadap x dengan y konstan pada arah sb. X y F a y ˆ turunan parsial F terhadap y dengan x konstan pada arah sb. Y y a x a yx ˆˆ dinamakan operator gradien dibaca DEL atau NABLA A. Untuk koordinat kartesian z a y a x a zyx ˆˆˆ Contoh : Diketahui : Untuk sistem koordinat kartesian 2 1 222 ˆˆˆ zyxr r Q kV VE z a y a x a zyx Tentukan E ? Penyelesaian :
- 25. 3 3 2 3 222 2 3 222 2 3 222 2 3 222 2 1 222 ˆˆˆ 2 2 1 ˆ2 2 1 ˆ2 2 1 ˆ ˆˆˆ r rkQ E r r kQ zyx zayaxa KQ zzyxayzyxaxzyxaKQ zyx kQ z a y a x a r Q kE zyx zyx zyx Makna fisis dari operator adalah perubahan terdekat dari fungsi F ke segala arah (operator deferensial vektor). B. Untuk koordinat silinder r a r a r a z a rr aa rr aa z a y a x a z r r x y x a a a a a a rr zr r zyx z r z y x cossinˆ 1 cossinˆcosˆ ˆ 1 sincoscosˆsinˆ 1 sincos)sinˆcosˆ( ˆˆˆ 1 100 0cossin 0sincos ˆ ˆ ˆ 100 0cossin 0sincos ˆ ˆ ˆ 2
- 26. z a r a r a z a r a r a z a r a r a r a r a r a zr zr z rr ˆ 1 ˆˆ ˆ 1 )cos(sinˆ)sin(cosˆ ˆ 1 cossinˆ cosˆ 1 sinˆcossinˆ 1 sinˆ 2222 222 Operator gradien untuk koordinat silinder : z a r a r a zr ˆ 1 ˆˆ Contoh : Diketahui : sin10 zV Tentukan E ? Penyelesaian : a r z E a r z E z z a z a rr z aE z z aa rr aE VE zr zr ˆcos 10 0ˆcos 10 0 sin10 ˆ sin10 ˆ 1sin10 ˆ sin10ˆˆ 1 ˆ
- 27. C) Untuk koordinat bola sin 1 1 0sincos cossincossinsin sincoscoscossin ˆ ˆ ˆ 0sincos cossincossinsin sincoscoscossin ˆ ˆ ˆ r r r z y x a a a a a a r z y x rr aa rrr aaa rrr aaa z a y a x a r r r zyx 1 sincossinˆcosˆ sin 1 cos 1 sincossinsin cosˆsincosˆsinsinˆ sin 1 sin 1 coscoscossin sinˆcoscosˆcossinˆ ˆˆˆ
- 28. sin 1 ˆ 1 ˆˆ sin 1 cossinˆ 1 sincossincosˆ 00cossincossinˆ 1 sinˆcossinˆ 1 sincosˆcosˆ sin 1 cosˆ 1 sincoscosˆsinsincosˆ sin 1 cossincosˆ 1 sincosˆsinsincosˆ sin 1 cossinsinˆ 1 cossinsinˆsinsinˆ sin 1 sinˆ 1 coscossinˆcossinsinˆ sin 1 sincoscosˆ 1 coscosˆsincoscosˆ sin 1 sincossinˆ 1 coscossinˆcossinˆ 22 2222 2222 22 2 222 222 2 222 222 r a r a r a r a r a r a r a r a r a r a r a r a r a r a r a r a r a r a r a r a r a r a r a r a r a r a r a r a r r rr rrr rrr operator gradien untuk sistem koordinat bola adalah : sin 1 ˆ 1 ˆˆ r a r a r a r Contoh : Diketahui : sin 1 ˆ 1 ˆˆ r a r a r a r Q kV VE r Tentukan E ?
- 29. Penyelesaian : 3 2 2 dimˆ 00ˆ sin 1 ˆ 1 ˆˆ r rkQ E r r aranaa r kQ E kQraE r Q k r a r a r aE r Q kE r r r 2.2 DIVERGENSI DAN MAKNA FISISNYA Operator lain yang penting yang pada dasarnya merupakan turunan adalah operator divergensi. Divergensi suatu vektor didefinisikan sebagai berikut : Divergensi suatu vektor adalah linit integral permukaan per satuan volum kalau volum yang terlingkupi oleh permukaan tersebut mendekati nol. Lambang dari divergensi adalah (dot product) dari V dengan satu vektor. Arti fisisnya adalah mencari nilai fluks tiap satu satuan volume : volume permukaanluasmasukanjumlahpermukaanluaskeluaranjumlah( Secara matematik operator divergensi didefinisikan sebagai : zzyyxxzyx AaAaAa z a y a x aA ˆˆˆˆˆˆ Untuk sembarang vektor A zyx A z A y A x A
- 30. a). OPERATOR DIVERGENSI PADA SISTEM KOORDINAT KARTESIAN Jika vektor A mempunyai komponen pada sb. X : Ax; pada sb. Y : Ay dan pada sb. Z :Az melewati suatu ruang seperti pada gambar sebagai berikut : volume PenampangLuasmasukanPenampangLuaskeluaran A dimana elemen volume = zyx z A y A x A A z zyxAzzyxA y zyxAzyyxA x zyxAzyxxA A z zyxAzzyxA y zyxAzyyxA x zyxAzyxxA zyx yxzyxAyxzzyxA zyx zxzyxAzxzyyxA zyx zyzyxAzyzyxxA A zyx zz z yy y xx x z y x zz yyxx zz yyxx v ,,,, lim ,,,, lim ,,,, lim ,,,, ,,,,,,,, ,,,, ,,,,,,,, 0 00 0 0 0 0 lim operator divergensi pada sistem koordinat kartesian : z A y A x A A zyx dengan demikian terbukti bahwa : volume PermukaanLuasmasukannilaiPermukaanLuaskeluarannilai A z y x Ax Az Ay (x, y, z) (x + x, y, z) (x, y+ y, z)
- 31. listrikfluksKerapaD magnetfluksKerapaB tan tan Untuk mendapatkan operator divergensi pada sistem koordinat lain maka operator di dot kan (perkalian skalar) dengan vektor yang akan dicari kerapatannya. Contoh 1. Diketahui : zyx axyayzaxA ˆˆˆ2 Tentukan A. ? Penyelesaian : zxxy z yz y x x A 2. 2 2. Diketahui : yx ayaxD ˆ200ˆ10 2 Tentukan : D dititik (1,2,3) Penyelesaian : yx yx ayaD a y y a x x D z Az y Ay y Ax D ˆ400ˆ10 ˆ 200 ˆ 10 2 D dititik (1,2,3) adalah 810240010D 3. Diketahui : zyx x azayaeA ˆ4cos10ˆ5ˆ10 22 Tentukan D dititik (1,2,0) Penyelesaian : zyx x a z z a dy y a x e A z Az dy Ay x Ax A ˆ 4cos10 ˆ 5 ˆ 10 22 zyx x azayaeA ˆ4sin40ˆ10ˆ20 2 A dititik (1,2,0) adalah 2020 2 eA
- 32. b) OPERATOR DIVERGENSI PADA SISTEM KOORDINAT SELINDER Operator divergensi juga digunakan pada sistem koordinat silinder, sebagai berikut : zzrrzr AaAaAa z a r a r aA ˆˆˆˆ 1 ˆˆ. Dari pembahasan sebelumnya sinˆcosˆˆ yxr aaa cosˆsinˆˆ yx aaa zz aa ˆˆ aa aaa a r aa r a r r yxr r yxr ˆˆ sinˆcosˆˆ 0ˆ sinˆcosˆˆ r yx yx aa aaa aaa ˆˆ sinˆcosˆˆ cosˆsinˆˆ 0ˆ ˆˆ z zz a z aa z Oleh karena itu diferensial parsial dari unit vektor mempunyai harga r aa ˆˆ dan aar ˆˆ selain itu semua berharga 0. Maka :
- 33. zr zzzzzzzzrrzrrz zzzz rrrr zzrzzrrrrrrrrr zzrrzr A z A r Ar rr A a z AaA z aaa z AaA z aaa z AaA z aa a r AaA r aa a r AaA r aaa r AaA r aa a r AaA r aaa r AaA r aaa r AaA r aaA AaAaAa z a r a r aA 11 ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ ˆ 1 ˆ 1 ˆˆ ˆ 1 ˆ 1 ˆˆˆ 1 ˆ 1 ˆˆ ˆˆˆˆˆ.ˆˆˆˆˆˆˆ ˆˆˆ.ˆ 1 ˆˆ Operator divergensi pada sistem koordinat silinder : z AA r Ar rr A z r 1 . 1 c). OPERATOR DIVERGENSI PADA SISTEM KOORDINAT BOLA Operator divergensi juga digunakan pada sistem koordinat bola, sebagai berikut : AaAaAa r a r a r aA rrr ˆˆˆ sin 1 ˆ 1 ˆˆ dari pembahasan sebelumnya didapat : 0cosˆsinˆˆ sinˆsincosˆcoscosˆˆ cosˆsinsinˆcossinˆˆ yx zyx zyxr aaa aaaa aaaa
- 35. Operator divergensi pada sistem koordinat bola adalah : A r A r Ar rr A r sin 1 sin sin 11 2 2 Contoh 1. Diketahui : zr azararA ˆ2ˆcos2ˆsin 2 Ditanya : ?A Penyelesaian : : z z z z r r r rr A 4 4sin2sin2 2cos2 1 sin 1 . 22 2. Diketahui : 2 3 ˆ 4 10 m ca r D r Tentukan : D Penyelesaian : 2 3 4 3 40 4 10 4 1 ) 4 10 ( 1 ) 4 10 ( 1 1 )( 1 rD r r D r rr D rr rr D D z D r rD rr D zr 3. Diketahui : r arD ˆ 4 10 3 20;100;25 zmr Tunjukan ruas kiri dan kanan dari teorema divergensi dvDsdD Pennyelesaian :
- 37. 2.3 TEOREMA DIVERGENSI GAUSS Seperti telah dijelaskan dalam pembuktian makna fisis divergensi bahwa divergensi adalah nilai kerapatan fluks, sekarang akan kita buktikan teorema divergensi gauss yang di definisikan : v s sdAdvA s sdA = integral permukaan tertutup v dv. = integral volume Contoh 1. Diketahui : ,ˆsin5ˆsin5 aaA Tentukan A. di 4 ; 4 ;5.0 = ? Penyelesaian : aa aaA makarkarena a r a r a r a r r rr A r A r Ar rr A r ˆ10ˆ10 ˆ 4 cos 4 sin5.0 5 ˆ 4 cos 4 sin 5.0 10 : 4 , 4 ,5.0 ˆcos sin 5 ˆcossin 10 0 ˆsin5 sin 1 sinˆsin5 sin 1 0 1 sin 1 sin sin 11 . 2 2 2 2 2. Diketahui : 2 2 ˆ 4 5 m carD r )( sin 1 )sin( sin 1 )( 1 2 2 D r D r Drr rr Ditanya : Buktikan bahwa ruas kiri sama dengan ruas kanan dari persamaan berikut dvDsdD
- 38. Penyelesaian : Ruas kanan 2 3125 cos 4 5 sin5 sin5 5 4 51 )( 1 . 2 0 2 0 5 0 4 3 2 0 2 0 5 0 2 4 2 2 2 r drddr drddrrdvD r r rr Drr rr D r Ruas kiri 2 3125 cos 4 5 sin 4 5 ˆsinˆ 4 5 2 0 2 0 5 0 4 4 2 0 2 0 5 0 22 r ddr addrarsdD r rr Makna fisis divergensi Gauss Dari hukum Gauss : QsdD s untuk satu satuan volume v v Q v sdD D s dan diambil volume menuju nol .0v
- 39. v Q v sdD D v s v 00 limlim maka v D. .................................................................(i) subtitusikan vol v dvQ ke hukum Gauss maka s vol v dvdsD ....................................................(ii) dari (i) dan (ii) didapatkan hasil akhir bentuk divergensi Gauss : s vol dvDdsD Makna fisis persamaan diatas adalah : Integral komponen normal dari setiap medan vektor pada seluruh permukaan tertutup sama dengan integral divergensi vektor tersebut dalam seluruh volume yang terlingkung oleh permukaan tertutup tersebut. Soal-soal dan Penyelesaiannya 1. Diketahui zyx axyayzaxA ˆˆˆ2 , tentukan A . Penyelesaian : zxA 2 2. Diketahui x a x xA ˆ 2 sin5 2 , tentukan A jika x = 1. Penyelesaian : 101x A 3. Diketahui x ayxA ˆ2 1 22 , tentukan A pada posisi (2, 2, 0). Penyelesaian : 2 0,2,2 1084,8A 4. Diketahui 22 ˆ3cos1 m Car r Q D r dalam system koordinat bola, tentukan rapat muatannya.
- 40. Penyelesaian: 32 3sin 3 m Cr r Q 5. Dalam system koordinat bola diketahui 2 4 ˆ 102 m Ca r D r dengan batas mr 10 , dan 22 4 ˆ 104 m Ca r D r dengan batas mr 1 . Tentukan rapat muatan untuk kedua batas tersebut. Penyelesaian : Untuk mr 10 32 4 102 m C r untuk mr 1 0 6. Diketahui 2ˆcos2ˆsin10 m CaaD r , tentukan rapat muatannya. Penyelesaian : 3 2 cot218 sin m C r 7. Buktikan bahwa divergensi dari E sama dengan nol jika z aa r E ˆ40ˆ 100 . 8. Dalam system koordinat silinder diketahui ro a r ar D ˆ 2 22 dengan batas bra , dan ro a r ab D ˆ 2 22 dengan batas br . Untuk ar maka 0D . Tentukan pada setiap batas tersebut. Penyelesaian : Untuk bra , D = 0 Untuk br , o D Untuk ar , D = 0
- 41. 9. Diketahui aaA r ˆsin5ˆ10 , tentukan A . Penyelesaian : r A 10 cos2 10. Diketahui r r arre r D ˆ2211 10 22 2 dalam system koordinat bola, tentukan rapat muatannya. Penyelesaian : 3 2 40 m Ce r .
- 42. BAB III CURL (ROTASI) DAN MAKNA FISISNYA Secara matematis operator curl ditulis dalam bentuk simbol )( . Operasi curl ini jika diterapkan pada vektor akan mendapatkan vektor baru. Misal kita terapkan )( kepada vektor A atau ditulis sebagai )( Ax zzyyxxzyx AaAaAa z a y a x aA ˆˆˆˆˆˆ dalam bentuk matriks : Z z Y y X x A z a A y a A x a A ˆˆˆ xyzxzyyzx A y A x aA z A x aA z A y aA ˆˆˆ Arti fisis: Curl atau rotasi dari vektor adalah mencari jumlah kerja lintasan tertutup persatuan luas Kerja yang dilakukan dalam lintasan tertutup permukaan y z permukaan samping) Lintasan 1 = Ay (x,y,z) y Lintasan 2 = Az (x,y+ y,z) z Lintasan 3 = -Ay (x,y+ y,z+ z) y Lintasan 4 = - Az (x,y,z+ z) z z y x Ax Az Ay (x, y, z) (x + x, y, z) (x, y+ y, z) (x, y, z + z) Az Ay Ax ( x,y,z )
- 43. zzzyxAzzyyxAyzzyyxAyzyxA jaTotal zzyy ,,,,,,,, :ker sehingga jumlah seluruh kerja pada lintasan tertutup muka samping persatuan luas ( y z) adalah: y zzyxAzzyyxA z zzyyxAzyxA zy zzzyxAzzyyxA zy yzzyyxAzyxA jaTotal zzyy z y ZZyy z y ,,(),,(),,(),,( lim ,,,,,,,, ker 0 0 0 0 Jika permukaan atas dan permukaan depan diselesaikan seperti diatas dan kemudian semuanya dijumlahkan dengan permukaan samping maka kita dapatkan: Total kerja dalam lintasan tertutup persatuan luas A , yaitu: xyzzxyyxx A y A x aA x A z aA z A y aA ˆˆˆ dengan demikian terbukti bahwa makna fisis dari rotasi suatu vektor adalah mencari kerja total yang dilakukan oleh vektor tersebut dalam lintasan tertutup dibagi oleh luas permukaan dalam lintasan tertutup tersebut. Untuk curl A dalam koordinat silinder dan bola dapat diturunkan dengan cara yang sama seperti koordinat kartesian zr zr Z rrZ r Z AAA zrr aaa matriksara silindera A r rA r a z A r A a z AA r A 1 ˆˆˆ sec )(ˆ 1 ˆˆ 1
- 44. AA r A rrr aa r a matriksara bolaa rA r rA r a rA r rA r ra AA r A sin 11 ˆˆˆ sec )(ˆ 1 ˆ sin 11 ˆ sin sin 1 Catatan: Arah rotasi (curl) sesuai dengan kaidah tangan kanan. (cros product dari vektor). Dari pengertian makna fisis Curl, total kerja dalam lintasan tertutup persatuan luas permukaan lintasan, dapat dituliskan dalam hubungan matematis sebagai berikut: S ldA A A S 0 0ΔS lim ΔS tertutuplintasandalamKerjaTotal lim Definisi diatas mempunyai konsekuensi matematis dalam bentuk lain yang dirumuskan oleh Stokes. Stokes Theorem: ldAdsA *Teorema Stokes Catatan : Teorema Integral Stokes ini banyak digunakan pada persoalan Hk. Ampere, Hk. Maxwell untuk medan magnet. Contoh Diberikan medan faktor umum zyx ayzayzxaxzA ˆ2ˆ2ˆ 23 dalam koordinat kartesian. Carilah curl A pada titik (1, -1, 1).
- 45. Penyelesaian: zy zy 2 x 24 zy 2 x 24 z 32 y 34 x 24 423 zyx z 4 y 2 x 3 zyx aˆ4aˆ3 aˆ1114aˆ113aˆ11212xA 1,1,1dixA aˆxyz4aˆxz3aˆyx2z2 aˆxz y yzx2 x aˆxz z yz2 x aˆyzx2 z yz2 y yz2yzx2xz zyx aˆaˆaˆ aˆyz2aˆyzx2aˆxzxaˆ z aˆ y aˆ x xA Diberikan medan vektor umum zr arzarazrA ˆ4ˆsin5ˆ3 322 dalam koordinat silinder Carilah curl A di titik (3; /2;2) ? Penyelesaian : zaˆ10aˆ76 zaˆ10aˆ10832 zaˆ2/sin310 3 1 aˆ 3 322 3 242,2/,3xA z aˆsinr10 r 1 aˆ2 r3z2 3 z40 zaˆ 2 z 2 r3 r sinr5r r 1 aˆ z 2 z 2 r3 r r 3 z4 r aˆ z sinr5r 3 z4 r 1 zaˆ Ar r rA r 1 aˆ z Ar r Az raˆ z AAz r 1 xA
- 46. Soal-soal dan Penyelesaiannya 1. Diketahui medan vector z arA ˆsin5 dalam system koordinat silinder, tentukan curl A pada posisi (2, , 0). Penyelesaian : r aA ˆ50,,2 2. Diketahui medan vector aA ˆsin10 dalam system koordinat bola. Tentukan curl A pada posisi 0, 2 ,2 . Penyelesaian : aA ˆ5 0, 2 ,2 3. Buktikan bahwa curl dari 2 3 222 ˆˆˆ zyx azayax zyx sama dengan nol. 4. Diketahui medan vector aeA z ˆ 2 1 sin 2 dalam system koordinat silinder, tentukan curl A pada posisi 500,0; 3 ;800,0 . Penyelesaian : zr aaA ˆ230,0ˆ368,0 500,0; 3 ;800,0 5. Buktikan bahwa curl dari a r a r A r ˆ sin ˆ cos2 33 adalah nol. 6. Diketahui medan vector zr r aaeA ˆcos5ˆcos5 dalam system koordinat silinder, tentukan curl A pada posisi 0, 2 3 ,2 . Penyelesaian : zr aaA ˆ34,0ˆ5,2 0, 2 3 ,2
- 47. 7. Diketahui vector aaA ˆ5ˆ5,2 dalam system koordinat bola, tentukan curl dari A pada posisi 0, 6 ,2 . Penyelesaian : aaaA r ˆ25,1ˆ5,2ˆ33,4 0, 6 ,2 8. Diketahui vector aaA r ˆsinˆsin dalam system koodinat bola, tentukan curl dari A pada posisi 0, 2 ,2 . Penyelesaian : 0 0, 2 ,2 A 9. Buktikan bahwa curl dari sebuah gradient adalah nol. 10. Diketahui vector aA ˆ2sin dalam system koordinat silinder, tentukan curl dari A pada posisi 0, 4 ,2 . Penyelesaian : z aA ˆ5,0 0, 4 ,2 .
- 48. BAB IV GAYA COULOMB DAN INTENSITAS MEDAN LISTRIK 4.1 HUKUM COULOMB Dari hasil empiris didapatkan bahwa antara dua muatan listrik (Q1 dan Q2) yang berjarak d dalam ruang yang permitivitas listriknya terdapat gaya interaksi sebesar: d a d QQ F ˆ 4 1 2 21 d = jarak antara Q1 dan Q2 d aˆ satuan yang menunjukan arah gaya (d jauh lebih besar dari ukuran benda yang bermuatan Q1 dan Q2) 213 21 21 12 212 21 21 12 4 1 4 1 rr rr QQ F rr rr QQ F dimana : 21 rr adalah vektor satuan yang arahnya dari Q2 ke Q1. 12 F = adalah gaya pada muatan Q1 oleh muatan Q2. zyx zyx zyx azzayyaxxrr azayaxr azayaxr ˆ)(ˆ)(ˆ)( ˆˆˆ ˆˆˆ 21212121 2222 1111 12 F 21 rr Q1 Q2 1 r 2 r X Y Z
- 49. Dengan demikian kita bisa tuliskan F yang merupakan gaya pada muatan Q2 oleh muatan Q1 yaitu : 122 12 21 21 ˆˆ 4 1 rr rr QQ F atau : 2112 FF yang merupakan gaya aksi reaksi. = o r o = permitivitas vakum mFmFx / 36 10 /10854,8 9 12 r = permitivitas relative. Dari penjelasan diatas dapat diturunkan bahwa : vakum r medium FF 1 didalam udara F harganya hampir sama dengan di vakum. Gaya pada satu muatan Q yang disebabkan oleh banyak muatan ditulis dalam bentuk hubungan matematik N i i i R rr rrQQ F 1 3 1 ˆˆ 4 1 Gaya interaksi akibat muatan-muatan listrik ini ada yang tarik menarik (jika jenis muatannya berbeda) dan tolak-menolak jika jenis muatannya sama.
- 50. Q2 Q1 2 r 1 r 12 F - Y Z Contoh 1. Hitung gaya di Q1 jika diketahui : Q1 = 2 mC pada posisi (3,-2,-4); Q2 = 2 C pada posisi (1,-4,2) Penyelesaian : NewtonF F F aaaF aaaF rr rrQQ KF rr aaarr zyx zyx zyx 04,2 174,4 )848,1()616,0()616,0( ˆ8484,1ˆ616,0ˆ616,0 )ˆ6ˆ2ˆ2( 44 10.510.2 109 )( 44622 ˆ6ˆ2ˆ2 12 12 222 12 12 3 63 9 12 3 21 212! 12 222 21 21 2. Empat muatan masing-masing Q1= -2 C pada posisi (0,3,0) m; Q2= 1 C pada posisi (1,4,0) m; Q3= 3 C pada posisi (4,0,0) m; Q4= -1 C pada posisi (0,-3,0) m. Tentukan besar gaya interaksi pada muatan Q3 jika muatan-muatan tersebut terdapat pada ruang vakum/udara. X Z X Y Q 4 Q 3 Q 2 Q 1 32 F 31 F 34 F
- 51. Penyelesaian : 2 2 9 0 . 109 4 1 Coulomb mNewton yx aarr ˆ3ˆ413 mrr 5)3(4 22 13 yx aarr ˆ4ˆ323 yx aarr ˆ3ˆ443 mrr 534 22 43 3 43 4343 3 23 2323 3 13 1313 3 )()()( rr rrQQ K rr rrQQ K rr rrQQ KRF 3 9 3 9 3 9 3 5 )ˆ3ˆ4).(1.(3 .109 5 )ˆ4ˆ3.(1.3 .109 5 )ˆ3ˆ4).(2.(3 .109 yxyxyx aa x aa x aa xRF )ˆ3ˆ4(216000000)ˆ4ˆ3(216000000)ˆ3ˆ4(4320000003 yxyxyx aaaaaaRF yx aaRF ˆ10216ˆ101944 66 3 2626 3 10216101944RF NewtonRF 6 3 1096319,1955
- 52. 4.2 INTENSITAS MEDAN LISTRIK Medan listrik adalah suatu besaran yang mempunyai harga pada tiap titik dalam ruang ( medan adalah seuatu yang merupakan fungsi kontinu dari posisi dalam ruang ). Dalam membahas suatu medan dipakai istilah kuat medan. Untuk medan gaya Coulomb intensitas medan listrik ( kuat medan listrik = electric field intensity ) adalah vektor gaya coulomb yang bekerja pada satu satuan muatan yang kita letakan pada suatu titik dalam medan gaya ini dengan simbol rE . Misal kita mempunyai muatan sumber Q berupa titik dan ingin kita test harga medannya dengan muatan 0t Q maka )(rE harus sama dengan : )( '4 )( ' '4 1),( )( 1 3 0 2 0 rr rr Q rE rr Qrr QQ Q QrF rE t t t t dimana: )( 21 rr adalah vektor satuan yang arahnya dari Q ke Qt (arah menjauhi muatan sumber). 12 F 1 rr Q (sumber) Q (test) 1 r r X Y Z
- 53. Satuan Intensitas Medan Listrik Satuan intensitas medan listrik diukur dalam satuan Newton per Coulomb (gaya per satuan muatan) atau volt per meter, karena volt = Newton meter per Coulomb. Contoh : Hitung E pada Q2 pada titik (3,-4,2) yang disebabkan oleh muatan Q1 = 2 nC di titik (0,0,0). Penyelesaian : )( 4 29 243 ˆ2ˆ4ˆ3 123 12 1 12 222 12 2 rr rr Q E rr rr aaar o zyx zyx aaaE ˆ2ˆ4ˆ3 29 102 109 3 9 9 zyx aaaE ˆ2ˆ4ˆ3 2929 18 zyx aaaE ˆ2ˆ4ˆ3115,0 mNaaaE zyx /)ˆ230,0ˆ460,0ˆ345,0( 222 23,0)46,0(345,0E mNE /619,0
- 54. 4.3 MEDAN LISTRIK OLEH MUATAN-MUATAN TITIK Karena gaya coloumb adalah linier, intensitas medan listrik yang disebabkan oleh dua muatan titik Q1 di r1 dan Q2 di r2 adalah jumlah gaya pada muatan Qt yang ditimbulkan Q1 dan Q2 yang bekerja sendiri-sendiri atau : 3 20 202 0 3 10 101 )( 4 1)( 4 1 )( rr rrQ rr rrQ rE Jika kita tambahkan lebih banyak muatan pada kedudukan lain, medan yang disebabkan oleh muatan titik adalah : )()( 1 rErE N i atau N i i ii rr rrQ rE 1 3 )( 4 1 )( Contoh : Hitung E pada titik A0 jika diketahui : A0 = (1,1,1), A1 = (1,1,0), A2 = (- 1,1,0), A3 =(-1,-1,0), A4 = (1,-1,0) dan Q1 = Q2 = Q3 = Q4 = 3 nC Penyelesaian : 512 ˆˆ2 11 ˆ 22 20 20 2 10 10 rr aarr rr arr zx z E1 (ro) E0 (ro) E1 (ro) Z X Y 1 r 0 r 2 r Q1 Q 2 Q E
- 55. 12 F 'rr r 'r X Y Z 512 ˆˆ2 3122 ˆˆ2ˆ2 22 30 40 222 30 30 rr aarr rr aaarr zy zyx mNE E aaaE aaa E aaaaaa E aaaaaa E aaaaaaaa E rr rr rr rr rr rr rr rrQ E zyx zzx zyxzyx zyxzyx zyzyxzxz /24,34 84,3284,684,6 ˆ84,32ˆ84,6ˆ84,6 675 ˆ96,820ˆ96,170ˆ96,170 27 25 ˆ48,4ˆ48,4ˆ48,4 27 ˆ28ˆ2ˆ2 27 25 5ˆ2ˆ2ˆ2 27 ˆ28ˆ2ˆ2 27 5 ˆˆ2 3 ˆˆ2ˆ2 5 ˆˆ2 1 ˆ 103109 )()()()( 4 222 3333 99 3 40 40 3 30 30 3 20 20 3 10 ' 10 0 4.4 MEDAN LISTRIK OLEH DISTRIBUSI MUATAN KONTINU Jika sumber listrik tidak lagi merupakan muatan titik melainkan dalam suatu bentuk dan ukuran tertentu yang terdistribusi secara kontinu bisa berupa ruang, bidang ataupun garis, maka intensitas medan listriknya adalah : v v i rr dvrr rE rr rrdq Ed 3 ' ' 3 ' ' )( 4 )( )( 4 1 (muatan sumber berbentuk ruang) 3 ' '' )( 4 )( rr dsrr rE s s
- 56. p muatan sumber berbentuk permukaan. l l rr dlrr rE 3 ' '' )( 4 )( muatan sumber berbentuk garis. Contoh : Muatan tersebar secara merata pada garis lurus yang panjangnya tak berhingga dengan kecepatan l tentukan E disuatu titik p sejauh r dari muatan garis. Penyelesaian : Gunakan sistem koordinat silinder ' ' 2 ' 2 1 22' ' ' 4 )( ˆ ˆ ' rr rr rr dq Ed dzld zrrr drr arr azr dzdrdq o r z ll 2/122 2/12222 )(4 )ˆˆ( )( )ˆˆ( )(4 zr azardz Ed zr azar zr dz Ed o zrl zr o l karena pada setiap dq pada z ada dq pada –z sehingga komponen z saling menghilangkan maka : dE dE r 1 = z r 1 = -z r – r’ r
- 57. r o l o rl o rl r z zo r o l o rl a r E r ar zr z zr zar E a zrr zr a zr dzr E zr ardz Ed ˆ 2 2 4 ˆ)( 4 ˆ ˆ 4 ˆ )(4 . )(4 )ˆ( 222 ~ ~ 222 ~ ~ 2/122 2/122 Contoh : Pada garis lurus yang ditentukan oleh x = 2 m, y = -4 m tersebar muatan secara bersamaan dengan kerapatan = 20 nC/m. Tentukan kuat medan listrik E di (-2,-1, 4) m. Penyelesaian : yx zyx aar aaar ˆ4ˆ2' ˆ4ˆ1ˆ2 zyx aaarr ˆ4ˆ3ˆ4' 41434' 222 rr 3 2 ' rr rr E o 41 ˆ43ˆ4 1085,814,32 1020 12 9 zyx aaa E 12 9 1087,355 10ˆ8060ˆ80 zyx aaa E m NaaaE zyx ˆ8,2246,168ˆ8,224
- 58. 4.5 MEDAN LISTRIK AKIBAT MUATAN BERBENTUK LEMPENG Terapkan ungkapan )'( . 4 1 3 ' 1 0 rr rr dl Ed Z azr ˆ r arr ˆ' rddsdl karena simetris dzaˆ r saling meniadakan. Muatan tersebar merata dalam bidang datar tak berhingga dengan kerapatan S . Tentukan besar medan (intensitas medan) akibat muatan tersebut. )( 4 1 ' 3 ' 0 rr rr dq Ed 222 2 1 22 0 )0()..()0( ˆˆ ... 4 1 zdrdrr zr araz drd Ed rz S )ˆˆ( )( .. 4 1 2 3 220 rz S araz zr drdr Ed karena simetris komponen radial saling meniadakan. z S az zr drrd Ed ˆ )(4 1 2/322 0 0 2 0 2/322 0 2/322 0 ˆ )(4 2 ˆ )(4 1 r z S z S a zr rdrz az zr drrd E lihat tabel zr az zr a z E zS z S 11 2 ˆ )( 1 ˆ 2 0 2/122 0 z S aE 0 2 'r r 'rr Ed Ed Z X Y
- 59. Contoh Tentukan E disemua titik jika diketahui lempeng seluas 100 cm2 yang mengandung distribusi muatan yang serba sama sebesar C 9 10 . Tentukan medan listrik disekitar muatan tersebut. Penyelesaian : o o o E 2 1036 1 109 4 1 9 9 dimana : S Q m V E m C o 5 9 4 2 4 4 6 10 4 5 1036 1 2 10 9 10 2 10 9 10 10100 10 9 10
- 60. BAB V FLUKS LISTRIK DAN HUKUM GAUSS 5.1. MEDAN SKALAR DAN MEDAN VEKTOR dikatakan medan skalar jika terdefinisi suatu skalar di setiap titik dalam ruang, yaitu φ (x,y,z ) atau (suatu fungsi yang mengaitkan suatu bilangan dengan tiap titik didalam ruang). Medan u dikatakan medan vektor jika : Terdefinisi suatu vektor u disetiap titik didalam ruang atau ditulis dalam hubungan ruu atau suatu fungsi u yang berkaitan dengan tiap titik r diruang. Dalam koordinat kartesian : zyx ,, medan scalar zyxzuzazyxyuyazyxxuxau ,,ˆ,,ˆ,,ˆ (medan vektor) Dalam koordinat silinder : zr ,, medan skalar ,zr,zuza,zr,ua,zr,rurau ˆˆˆ (medan vektor) Dalam koordinat bola : ,,r medan skalar ,,ˆ,,ˆ,,ˆ ruaruarrurau (medan vektor) Kita lihat, suatu medan vektor adalah ekuivalen dengan 3 komponen medan skalar ini karena u ekuivalen dengan komponen Bolarururu Silinderrururu Kartesianrururu r zr zyx ,, ,, ,, Dari pengertian definisi medan skalar dan medan vektor terlihat bahwa : Medan vektor berkaitan dengan sumber medan berupa fungsi bernilai vektor. Contoh : medan gaya coulomb, medan gaya magnet, medan gaya gravitasi, dan sebagainya.
- 61. Medan skalar berkaitan dengan sumber medan berupa fungsi bernilai bilangan. Contoh : fungsi yang memberikan suhu pada tiap titik diruangan. Suatu visualisasi medan skalar adalah dengan jalan melukiskan sistem “permukaan-permukaan tutupnya”. Permukaan-permukaan ini adalah tempat kedudukan titik-titik dengan nilai yang sama dan biasanya digambarkan dengan beda harga , yang sama antara setiap permukaan yang berdekatan. Cara melukiskan medan vektor salah satunya adalah dengan cara melukiskan garis medan dalam medan gaya, garis medan ini disebut garis gaya. Garis gaya listrik dilukiskan sehingga arah medan listrik menyinggung garis gaya tersebut. Kuat lemahnya medan listrik ditentukan oleh kerapatan garis gaya tersebut. Perhatikan gambar dibawah ini. Keterangan : Garis gaya keluar dari muatan positif menuju ke muatan negatife. permukaan tetap 3 1 2 E (Q) E (P) Q P + ( b ) + + ( c ) (a )
- 62. Untuk muatan positif yang tidak ada pasangan muatan negatifnya, garis gaya menuju ke tempat tak berhingga. Untuk muatan yang sejenis garis gayanya saling menjauhi. 5.2 FLUKS LISTRIK Fluks listrik didefinisikan sebagai jumlah garis gaya yang menembus permukaan yang saling tegak lurus. Dengan demikian muatan satu coulomb menimbulkan fluks listrik satu coulomb. Maka Ψ = Q Coulomb. Jika fluks Ψ adalah besaran skalar, maka kerapatan fluks listrik (density of electric flux) D adalah medan vektor. Gambar dibawah memperlihatkan distribusi muatan ruang kerapatan muatan ρ yang ditutupi oleh permukaan S. Maka untuk elemen kecil permukaan ds, kita memperoleh differensial fluks yang menembus ds sebagai berikut : cos ˆ dsD sdnD sdDd Ini karena D tidak selalu dalam arah normal terhadap permukaan dan misalkan adalah sudut antara D dengan normal permukaan dan d s adalah vektor elemen permukaan yang mempunyai arah n a (normal). Kerapatan Fluks listrik (Density of Electrical Flux) D D adalah medan vektor yang arahnya sama dengan arah garis gaya. 2 /ˆ mCa dA d D n ( n aˆ adalah unit vektor dari D) 5.3 HUKUM GAUSS “Flux total yang keluar dari suatu permukaan tertutup adalah sama dengan jumlah muatan di dalam permukaan tersebut.” D ρ n a
- 63. Fluks total yang menembus permukaan yang tertutup didapat dengan menjumlahkan differensial yang menembus permukaan ds. sdD sehingga bentuk matematik hukum gauss sebagai berikut : QdilingkupiyangmuatansdD Muatan yang dilingkupi bisa terdiri dari : Beberapa muatan titik Distribusi muatan garis Distribusi muatan permukaan (tidak perlu permukaan tertutup) Distribusi muatan volume 5.4 HUBUNGAN ANTARA KERAPATAN FLUX DAN KUAT MEDAN LISTRIK Kita pandang suatu muatan Q positif yang terletak di pusat bola yang berjari-jari r, dari definisi garis gaya yang terjadi akibat muatan Q ini akan menuju tak hingga (~) sehingga DaD r ˆ (berarah keluar sesuai dengan arah r aˆ ). Gunakan hukum Gauss ddraDasdDQ rr sinˆˆ 2 Z X Q Y dsadsasd rn ˆˆ
- 64. dimana r aˆ dan n aˆ sejajar sehingga r aˆ . n aˆ = l Untuk permukaan bola = 0 s/d = 0 s/d 2 Sehingga Dr 2 4Q 2 ..4 r Q D r a r Q D ˆ ..4 2 Kita tahu intensitas medan listrik radial oleh sebuah muatan titik dipusat bola dalam vakum adalah : r r Q E o ˆ ..4 2 Maka ED o . berlaku untuk ruang vacuum dan umumnya untuk setiap medium yang mempunyai permitivitas listrik ED 5.5 DISTRIBUSI MUATAN a) Muatan ruang Jika muatan tersebar dalam suatu volume, rapat muatan didefinisikan sebagai 3 m C dv dQ atau dvQ v dvdQ atau dapat ditulis v dvQ . . b) Muatan permukaan Jika permukaan tersebar dalam suatu lembaran permukaan s dsQ . begitu pula dengan muatan garis s dlQ . Contoh Tentukan jumlah muatan yang ada didalam bola yang ditentukan oleh 1 r 2 m dan kerapatannya adalah 24 2 cos5 m C r Penyelesaian :
- 65. Coulomb r dddr r dddrr r dvQ r r 10 025 2sin 4 1 2 1 cos 5 cossin. 5 sin cos5 2 0 0 2 1 2 0 0 2 1 2 2 2 0 0 2 1 2 4 2 5.6 PEMAKAIAN HUKUM GAUSS a) Beberapa distribusi muatan Hukum Gauss sdDQ Pemecahannya akan mudah jika dipilih permukaan tertutup yang memenuhi syarat sebagai berikut : DS normal terhadap permukaan sehingga dsDsdD ss dan juga menyinggung permukaan sehingga 0dsD s Pada harga 0sdD S , DS adalah suatu konstanta. Contoh : Muatan titik dipusat koordinat bola, kita pilih permukaan tertutup yang memenuhi kedua syarat tersebut, yaitu permukaan bola yang pusatnya dipusat koordinat dan jari-jarinya r. Penyelesaian : Arah DS di setiap titik pada permukaan adalah normal terhadap permukaan tersebut, dan besar DS di setiap titik adalah sama. 2 2 2 0 2 0 4 4 sin. r Q D atau rD ddrDdsD sdDQ s s ss S s Karena harga r diambil sembarang DS mempunyai arah radial keluar
- 66. Maka r a r Q D ˆ .4 2 Tinjau distribusi muatan garis dengan kerapatan muatan serba sama ρD. Misalkan distribusi muatan tersebut memanjang sepanjang sumbu z dari (- ~) ke (~). Penyelesaian : Kita pilih permukaan tertutup yang memenuhi kedua syarat tersebut yaitu permukaan silinder. Besar D tetap dan arahnya selalu tegak lurus terhadap permukaan silinder di setiap titik pada permukaan tersebut datarbidangD . Sehingga : 321 sdDsdDsdD sdDQ Karena untuk tutup atas dan tutup bawah sdD S sehingga harga 0sdD S r l Lz z a r D maka lQrlD dzrdDQ ˆ 2 2 2 00 Kabel koaksial Kita pilih permukaan Gauss yang memenuhi syarat yaitu permukaan tabung dengan panjang L dan jari-jari a<r<b. Dari hukum Gauss, sdDQ Sehingga : Q = Ds (2 r L) Ds = Lr Q ..2 Muatan total pada konduktor dalam (r = a) dengan panjang L : br a +~ - ~ D D D ds ds ds ρL
- 67. ss L z aLdzdaQ .2 2 00 Sehingga ss r a D atau rss a r a D ˆ (a < r < b) Jika konduktor dalam panjangnya menjadi 1 m, maka r LL a rar a D ˆ 22 (sama dengan muatan garis tak berhingga). Karena tiap garis fluks listrik : Berawal dari muatan positif pada tabung dalam ( inner surface) ke muatan negatif tabung luar (outer surface). Maka : Q (tabung luar) = -Q (tabung dalam) ss ss sehingga aLbL ' ' 22 Jika dipilih r > b untuk permukaan Gauss, maka Qtotal = 0 (karena ada muatan yang besarnya sama tapi tanda berlawanan). Sehingga Ds = 0 (r > b) Demikian juga untuk r < a, untuk Ds = 0 5.7 TEOREMA DIVERGENSI GAUSS Seperti telah dijelaskan dalam pembuktian makna fisis divergensi bahwa divergensi adalah nilai kerapatan fluks, sekarang akan kita buktikan teorema divergensi Gauss yang didefinisikan : dsA integral permukaan tertutup dvA integral volume dari divergensi A untuk membuktikan teorema di atas kita lihat dalam koordinat yang paling kita kenal “kartesian”.
- 68. Dipilih suatu kubus kecil dengan sisi x, y, z yang sejajar dengan sb x, y, z sepeti pada gambar : misal titik P dengan posisi (x, y, z) yang dimaksud integral permukaan tertutup adalah : dsA harus diungkapkan untuk ke-6 muka kubus sehingga : bawahataskanankiriblkdepan s dsAdsAdsAdsAdsAdsAdsA 654321 Ambil muka kiri dan kanan (dengan memperbesar gambar) : kiri y zxyAdsA )( kanan y zxyyAdsA )( Gunakan deret Taylor zxy y A yAzxyyA y yy )( Sehingga : z x y y x P z ds A(x, y, z) z y x A (x, y+ y, z) ds z y x
- 69. zyx y A dsAdsA y kanankiri 43 zyx x A dsAdsA x belakangdepan 21 zyx z A dsAdsA z atasbawah 56 atau : zyx z A y A x A dsA zyx Dengan membagi ruas kiri dan kanan oleh ( V) di mana V = dx dy dz dan membuat V menuju nol maka didapat : Maka : AdivA v sdA v . . lim 0 Soal-soal dengan penyelesaiannya 1. Tentukanlah muatan total dalam volume yang didefinisikan oleh mx 10 , my 10 dan mz 10 , kalau yx 2 30 . Bagaimana pula hasilnya kalau pembatasan y diubah menjadi my 01 ? Penyelesaian : karena dQ = ρ dv Coulomb zyx dzdydxyxQ 5 1 2 1 10 2 1 3 30 30 1 0 1 0 2 1 0 3 2 1 0 1 0 1 0 untuk batas-batas y yang diubah,
- 70. Coulomb zyx dzdydxyxQ 5 1 2 1 10 2 1 3 30 30 1 0 0 1 2 1 0 3 2 1 0 0 1 1 0 2. Tetapkanlah jumlah muatan dalam volume yang ditentukan oleh mr 21 dalam koordinat bola. Kerapatannya adalah 4 2 cos5 r Penyelesaian : Coulomb r drddr r Q 10 25 cos2sin 4 1 2 15 sin cos5 0 2 0 2 1 2 4 22 10 2 0 3. Tiga muatan titik Q1 = 30 nC, Q2 = 150 nC dan Q3 =-70 nC, dikelilingi oleh permukaan tertutup S. Berapa besarnya fluks netto yang melalui S ? Penyelesaian : Karena fluks listrik didefinisikan sebagai bersumber dimuatan positif dan brakhir dimuatan negaatif, sebagian fluks dari muatan-muatan itu berakhir di muatan negatif. nCnetQnet 1107015030 4. Berapa fluks netto melalui permukaan tertutup S di gambar 1 yang berisi distribusi muatan dalam bentuk lempeng berjari-jari 4 m dengan kerapatan zs a r D ˆ 2 sin 2 C/m2 dan z addrrsd ˆ Penyelesaian : r
- 71. Tesla r drdra r a dsDQ zz 2 2 2 1 2sin 4 1 2 1 ˆ 2 sin ˆ 4 0 2 0 24 0 2 0 5. Dua muatan yang sama besar tapi berlawanan tanda dilingkupi oleh permukaan S apakah fluks dapat melalui permukaan itu ? Penyelesaian : fluks dapat melalui permukaan itu, sepeerti ditunjukkan di gambar 2, tapi fluks total yang dari S adalah nol, asalkan jumlah muatan didalam S adalah nol. 6. Suatu piringan bulat berjari- jari 4 m dengan rapat muatan sin12D dikelilingi permukaan tertutup S. Berapa fluks total yang melalui S ? Penyelesaian : Tesla r drdr dsDQ r 192 2812 cos 2 1 12 sin12 2 0 4 0 2 2 0 4 0 7. Muatan titik Q = 30 nC terletak di titik asal suatu koordinat katesian. Tentukan kerapatan fluks D di ( 1, 3, -4 ) m. Penyelesaian :
- 72. 2 3 3222 3 9 9 222 2 2 2 2 000 1078,91 10725418 10725418 43018,0 43 14,1665 1030 26 43 264 1030 26 431 ˆ 4 4 sin ˆˆ m C aaa aaa aaa aaa D r a r Q D QrD QddrD QdsaDa QdsD zyx zyx zyx zyx r r r rr 8. Jika diberikan D = 10 xax ( C/m2 ) tentukan fluks yang melalui luas 1 m2 yang normal pada sumbu x di x = 3 m. Penyelesaian : karena D konstan dan tegak lurus pada permukaan itu maka : C ax ADQ x 30 1310 110 9. Suatu konfigurasi muatan dalam koordinat silindris diberikan oleh 3 2 5 m Cre r . Pakai hukum gauss untuk menetapkan D. Penyelesaian :
- 73. Karena ρ bukan fungsi Ø atau z, maka fluks adalah semata-mata radial. Juga bahwa pada r yang tetap harga D pastilah konstan. Maka permukaan gauss khusus yang sesuai untuk hal ini adalah silinder lingkaran yang tegak. Integral pada permukaan ujung-ujung silinder itu hilang, sehingga hukum gauss menjadi 2 2 2 2 0 2 00 2 2 0 2 00 2 00 ˆ 115 2 1110 11102 152 5ˆˆ m Ca r er rl erl D erlrlD zerrlD dzdrdrredzdraDa QdsD r r r r lrr r r r l z rr l z enc 10. Volume dalam koordinat bola yang ditentukan oleh r ≤ a , dimana a jari- jari bola. Berisi muatan dengan kerapatan yang serba sama. Pakai hukum gauss untuk menentukan D. Berapa besarnya muatan dititik asal yang akan menghasilkan medan D yang sama untuk r > a ? Penyelesaian : 2 2 3 32 32 0 2 0 3 3 4 4 3 4 sinˆˆ m C r a D arD addraDa QdsD rr enc kalau suatu muatan titik Q = (4/3) пa3 ρ diletakkan dititik asal, medan D untuk r > a, yang dibangkitkannya akan sama besar dengan bola yang bermuatan yang berdistribusi merata
- 74. BAB VI ENERGI DAN POTENSIAL 6.1 ENERGI YANG DIPELUKAN UNTUK MENGGERAKKAN MUATAN TITIK DALAM MEDAN LISTRIK. Muatan Q dalam medan listrik E akan mengalami gaya interaksi Coulomb sebesar : QEFE (Newton), jika ingin menggerakkan Q dengan arah melawan E diperlukan gaya yang melawan E F . QE FF Epakai pakai F sama dengan E F dan arahnya berlawanan. Dengan demikian jika kita ingin memidahkan Q sejauh dl dengan arah melawan medan harus menyediakan energi (dilakukan usaha) sebesar: dldanEantarasudutdlQEdW vektorduadariproductdotdlQEdW cos Untuk memindahkan Q pada jarak tertentu (berhingga) harus ditentukan dengan mengintegrasikan: ldW akhir awal AB E dimana : bolaadrardadrdl silinderadzardadrdl kartesianadzadyadxdl r zr zyx ˆsinˆˆ ˆˆˆ ˆˆˆ Usaha yang dilakukan untuk memindahkan muatan titik dari titik awal (B) ke titik akhir (A) dalam medan listrik E serba sama, pada setiap lintasan tertutup adalah nol. StatisMedandlE 0 medan vektor dengan sifat tersebut disebut medan konservatif.
- 75. 6.2 INTEGRAL GARIS Persamaan akhir awal dlEQW merupakan contoh integral garis. Integral garis diatas dalam medan (E) yang serba sama tidak bergantung pada lintasan yang dipilih, hal inipun berlaku untuk medan yang tidak serba sama, tetapi pada umumnya tidak berlaku untuk E yang merupakan fungsi waktu. Sebagai contoh kita lihat gambar dibawah ini kita pilih kedudukan awal titik B dan kedudukan akhir diberi tanda A dalam medan listrik yang serba sama lintasan dibagi dalam segmen-segmen kecil .....L,L,L 4321 1 EL proyeksi E pada 1 L 2 EL proyeksi E pada 2 L 3 EL proyeksi E pada 3 L 4 EL proyeksi E pada 4 L Besarnya kerja yang diperlukan dari B ke A adalah : )( 44332211 LELLELLELLELQW AB atau dengan memakai notasi vektor )( 44332211 LELELELEQW AB EL1 EL2 EL3 EL4 E1 E2 E3 E4 B A 1 L 2 L 3 L 4 L
- 76. Karena kita menjumlahkan terhadap medan yang serba sama EEEEE 4321 )LLLL(QEW 4321 Penjumlahan 4321 LLLL merupakan penjumlahan vektor (penjumlahan jajaran genjang) yang hasilnya merupakan vektor yang mempunyai arah dari titik awal B ke titik akhir A, LBA (tidak tergantung lintasan yang dipilih). BA LQEW . (E serba sama) Bentuk integral dari penjumlahan di atas : BA A B A B QEL samaserbaEdlQE dlEQW ................ . dengan dl adalah elemen panjang, ditulis dalam bentuk sebagai berikut : bolaadrardadrdl silinderadzardadrdl kartesianadzadyadxdl r zr zyx ˆsinˆˆ ˆˆˆ ˆˆˆ Pada pembicaraan interaksi Coulumb dan intensitas medan listrik, kuat medan listrik yang diakibatkan oleh muatan garis lurus adalah Medan listrik sekitar muatan garis adalah arah radial r o a r E ˆ 2 untuk memindahkan muatan dari 1 r ke 2 r diperlukan kerja. Y X Z r1 r2
- 77. 2 1 2 1 2 2 2 ˆˆˆˆ 2 21 r r o r r o akhir awal o zrr akhir awal o akhir awal r Q dr r Q dr r Q dzardadraa r Q dlEQW 1 2 ln 2 2 2 1 r r Q r Q o r r o 1 2 21 ln 2 r rQ W o Jika ingin memindahkan Q dalam arah z aˆ dan arah aˆ tidak memerlukan usaha, sebab dlE (ingat aturan dot pruduct dari vektor). 6.3 DEFINISI BEDA POTENSIAL DAN POTENSIAL Kerja yang diperlukan oleh gaya luar untuk memindahkan muatan Q dari satu titik ke titik lain dalam medan listrik _ E : dlEQW akhir awal Beda potensial didefinisikan sebagai energi (yang dikerjakan oleh sumber luar) untuk memindahkan satu satuan muatan dari satu titik ke titik lain dalam medan listrik, atau dalanm bentuk matematik. Beda potensial akhir awal dlE Q W V
- 78. AB V didefinisikan sebagai kerja yang diperluka untuk memindahkan satu satuan muatan dari B ke A atau AB V adalah perbedaan potensial antara titik A dan B. A B BAAB dlEVVV satuan yang dipakai adalah volt yang identik dengan dengan (joule/Coulumb) Contoh 1. Disekitar muatan garis panjang dengan kerapatan jika kita ingin memindahkan muatan Q dari 2 r ke 1 r diperlukan energi sebesar ? Penyelesaian : 1 2 1 2 ln 2 ln 2 r r QW QVW r rQ W o o jadi beda potensial 1 2 12 ln 2 r r Q W V o Bukti : Unsur diferensial dl dipilih dalam koordinat tabung dan lintasan radial yang dipilih mengharuskan dz dan dradld r ˆ;0 Sehingga 1 2 ln 2 2 ˆˆ 2 1 2 r rQ r dr r Q adra r W o r r o rr akhir awal o jadi beda potensial 1 2 12 ln 2 r r V o Z r1 r2l Muatan garis tak terhingga
- 79. 2. Disekitar muatan titik jika kita ingin memindahkan 2 dari titik B ke A diperlukan energi sebesar ? Penyelesaian : A B AB A B ldE Q W V ldEQW . BA s BAAB BA s A B s r r A B AB r Q r Q VVV rr Q r drQ drardadra r aQ V 00 0 2 0 2 0 44 ) 11 ( 44 sinˆˆˆ ˆ. 4 1 Jika AB rr beda potensial 0AB V , secara fisis berarti : diperlukan energi oleh sumber luar untuk membawa muatan Q positif dari B r ke A r (karena 2 muatan yang sejenis selalu tolak-menolak). Kalau kita membicarakan potensial mutlak (bukan beda potensial) maka harus dipilih suatu acuan potensial nol, misal: Acuan nol diperlukan bumi (eksperimental/empiris) Acuan nol dititik tak berhingga (teoritis) Untuk persoalan simetri tabung, misal dalam kabel koaksial, konduktor luarnya bisa dipilih sebagai acuan potensial nol. Beda potensial di titik A dan B adalah beda potensial di titik A relatif terhadap beda potensial di titik B. Jika potensial dititik A adalah A V dan potensial dititik B adalah B V maka beda potensial titik A dan titik B adalah : BAAB VVV
- 80. 6.4 MEDAN POTENSIAL SEBUAH MUATAN TITIK Dari contoh di atas VAB = VA – VB = BA rr Q 11 4 0 walaupun titik A dan B mempunyai , yang berbeda hasil VAB hanya ditentukan oleh rekapitalisasi rA dan rekapitalisasiB, tidak ditentukan oleh lintasan yang diambil. komponen , dan tidak berpengaruh karena E berarah radial EaE r ˆ . jika titik potensial nol didefinisikan sebagai titik terjauah tak hingga maka potensial di titik A adalah Ar AoAo Aao r Q dr rr Q VVV ~ 2 4 1 4 )0( sehingga VA = A r Q 0 4 sama halnya dengan potensial di titik B B B r Q V 0 4 atau biasa ditulis: r Q V 0 4 cara menyatakan potensial tanpa memilih acuan nol diperoleh dengan mengindetifikasikan rekapitalisasi rA sebagai r dan B r Q 0 4 sebagai konstan, sehingga: C r Q V 0 4 C dipilih supaya V = 0 pada r tertentu. Atau kita bisa memilih acuan V = V0 pada r = r0, karena beda potensial bukanlah fungsi dari C. Definisi permukaan equipotensial Permukaan Equipotensial adalah permukaan yang mirip tempat kedudukan semua titik yang mempunyai potensial yang sama. Untuk memindahkan sebuah muatan pada permukaan equipotensial tidak diperlukan kerja. Permukaan equipotensial dalam medan potensial sebuah muatan titik adalah bola yang berpusat pada muatan titik tersebut.
- 81. 6.5 MEDAN POTENSIAL AKIBAT DISTRIBUSI MUATAN. a) Medan Potensial Akibat Muatan Titik Untuk mencari medan potensial akiabat muatan-muatan titik, sama seperti mencari medan gaya yang diakibatkan oleh muatan-muatan titik berlaku cara superposisi. Titik yang ingin diketahui medan potensialnya yaitu titik titik P. Titik yang ingin diketahui medan potensialnya yaitu titik P. n i i rrπε i Q (r) V ... rrπε Q rrπε Q rrπε Q (r) V 1 0 4 30 4 3 20 4 2 10 4 1 b) Medan Potensial Akibat Distribusi Muatan Kontinu Medan potensial yang diakibatkan oleh muatan terdistribusi kontinu caranya sama seperti ketika kita mencari medan gaya listrik. Untuk muatan berbentuk ruang dipakai rumus : 1 (r) 4 )'( V rr dvr o Untuk muatan terdistribusi kontinu dalam bidang: s o s rr dsr 4 )'( V 1 (r) r1 r2 r3 r Q1 Q2 Q3 P Y Z X
- 82. Dan untuk muatan yang terdistribusi kontinu dalam garis : l o s rr dlr 1 r 4 )'( V Hasil-hasil di atas didapat dengan memilih titik acuan (medan potensial = 0) pada titik ~ (tak hingga) atau : A dlE ~ A V A B dlEAB V Seperti yang telah dijelaskan dimuka bahwa integrasi di atas tidak bergantung pada lintasannya hanya melihat titik awal dan akhir saja, dengan demikian maka jika kita pilih lintasan tertutup akan menghasilkan harga statismedanuntukdlEV 0 KirchoffpernyataandengansesuaidlEV C 0 Berlaku 0dlEV dalam lintasan tertutup medan potensialnya sama dengan nol. C DE
- 83. 6.6 GRADIEN POTENSIAL Perhatikan rumusan medan potensial: dlE.-V atau dapat ditulis dalam bentuk 0)L(L-V E Jika antara berlakuakanmakasudutmembentukLdanE atau cos V Lcos-E.V E dl d Persamaan terakhir ini akan mempunyai nilai maksimum jika (arah perubahan potensial berlawanan dengan arah pertambahan jarak). E dl dV max (a) Besar E sama dengan harga maksimum perubahan potensial terhadap jarak. (b) Pertambahan jarak berlawanan arah dengan arah pertambahan potensial. max max V -E dl d Dari rumus : L-EV Pada bidang yang mempunyai harga potensial sama (sepotensial bidang = bidang equipotensial) pada bidang ini 0.V 0LE dimana harga E dan L tidak nol dengan demikian LE . Dalam hal ini L mempunyai arah menyinggung bidang sepotensial maka E tegak lurus bidang sepotensial (arah pertambahan potensial terbesar adalah tegak lurus pada permukaan sepotensial yaitu dalam arah potensial bertambah). Jika n aˆ merupakan arah normal dari permukaan sepotensial (dan mempunyai arah ke potensial yang lebih besar) maka : n mak a dl d E ˆ V_ Menunjukan bahwa besarnya E sama dengan laju perubahan maksimum V dan arah E adalah normal terhadap permukaan sepotensial (dalam arah pengurangan potensial) dn d dl d mak vV
- 84. Karena laju perubahan V yang maksimum terjadi untuk arah yang sama dengan arah E, maka : n a dn d E ˆ V_ kartesian.ˆˆˆ _ V z a y a x aE zyx atau n a E ˆ n V - V _ n aˆ merupakan vektor satuan yang normal terhadap permukaan sepotensial, dan arah normalnya dipilih dalam arah pertambahan harga V. ingat : kartesianˆˆˆˆ z a y a x aa n zyxn dimana zyx V E; V E; V E zyx atau bolaV r a r a r aV silinderV z a r a r aV kartesianV z a y a x aV r zr zyx sin 1 ˆ 1 ˆˆ ˆ 1 ˆˆ ˆˆˆ
- 85. 6.7 KERAPATAN ENERGI DALAM MEDAN ELEKTROSTATIK (LISTRIK STATIS) Sekarang kita tinjau usaha untuk memindahkan 3 buah muatan, muatan demi muatan (satu demi satu) pada ruangan yang mula- mula bebas muatan.perhatikan gambar sebagai berikut: ~ Dari definisi energi QVdLEQW Misalkan urutan pemindahan muatan adalah Q1,Q2, Qn maka : 011 dLEQW (karena pada saat Q1 datang, ruang belum ada medan) 01011 VQW 1tan2212122 muaolehdisebabkandititikpotensialVVQW 313232123 VVQVQW 1........................................................32313212 321 VVQVQ WWWW E Jika urutan pemindahan muatan dibalik mula-mula Q3 kemudian Q2 dan Q1 maka 2...........................................................0 13121232 123 VVQVQ WWWW E Jika pers (1) dan pers (2) dijumlahkan maka : 323132321213121 2 VVQVVQVVQW E Jika kita ingat kembali cara mencari potensial oleh distribusi muatan titik maka: 32313 23212 13121 VVV VVV VVV
- 86. Dengan demikian kita akan dapatkan VQVQVQW VQVQVQW E E 32211 332211 2 1 2 Dapat kita simpulkan energi dalam medan listrik statis oleh muatan n buah ditulis: JouleQW n n nE 12 1 Untuk distribusi muatan kontinu dalam bentuk ruang : vol E dVVW 2 1 Dapat ditunjukan bahwa : v E v E v E dVEDW Vd D W dVEW 2 2 2 2 1 2 1 2 1 Bukti: 3.......................................................... 2............................................................... 1................................................................ 2 1 VDVDDV VDDVVD D dVVW v E dengan menggunakan koordinat bola Terapkan pers 1, 2, dan 3 Volume Bola
- 87. 0 2 1 2 1 2 1 2 1 )( 2 1 2 1 dSVDRuntuk dVEDdSVD dVVVDdVVDV dVVD dVVW volR vol vol vol vol E vol E vol E vol E dVEWdandV D Wdidapat E Dkansubstitusi terbuktidVEDW maka 2 2 2 1 2 1 2 1 : Contoh 1. Hitunglah usaha yang dilakukan dalam memindahkan muatan +2 C dari (2,0,0) m ke (0,2,0) m melalui lintasan garis lurus penghubung kedua titik m Vˆ4aˆ2 x y ayxE . Penyelesaian : usaha diferensial adalah ydyxdxdW adzadyadxayaxdW QEdldW zyxyx 84 )ˆˆˆ)(ˆ4ˆ2(2 lihat gambar: Persamaan bagi lintasan adalah 2yx dimana dxdy ( 2, 0, 0 ) ( 0, 2, 0 ) X Y
- 88. Sepanjang lintasan itu, maka : ).1111( 24)164( )164())(2(84 2 0 JCmC N m vingat JouledxxW dxxdxxxdxdW 2. Sebuah muatan titik 1,6 nC diletakan di titik asal dalam ruang hampa. Carilah potensial pada r = 0,7 m jika : a). Acuan nol di tak berhingga b). Acuan nol di r =0,5 Penyelesaian : a). Pada r = ~ 2 2 12 108548 11 4 Nm C,dengan ε rrπε Q V o BAo AB Volt,V rhingga)bab tak be(se,V ~, , V AB AB AB 5520 05520 1 70 1 10854,814,34 1061 12 9 b). Pada r = 0,5 VoltV V V rr Q V AB AB AB BAo AB 2215,8 78,2855,20 5,0 1 7,0 1 10854,8()14,3()4( 106,1 11 4 )12 9
- 89. 3. Berapa potensial di titik P jika diketahui : nCQQ aaar ar aar zyx z yx 6,1 ˆ10ˆ8ˆ6 ˆ10 ˆ8ˆ6 21 2 1 Penyelesaian : 1086 101086 1010 861086 44 22 2222 2 2 22222 1 2 2 1 1 rr rr rr Q rr Q rV oo VoltV V xx V x x x x V r r r r 88,2 44,144,1 206,111 106,1 206,111 106,1 1010854,814,34 106,1 1010854,814,34 106,1 22 12 9 12 9 Q1 Q2 P Z Y X
- 90. 4. Diketahui medan potensial 22 2050 yyzxV volt dalam ruang hampa. Carilah : a. V pada (1,2,3) b. EP Penyelesaian : a. P (1,2,3) disubstitusikan pada 22 2050 yyzxV volt V 380 22032150 22 b. m VaaaE ayxayzxaxyzE a dz dV a dy dV a dx dV E VE zyxP zyxP zyxP P ˆ100ˆ230ˆ600 ˆ)50(ˆ)4050(ˆ)100( ˆˆˆ 22 5. Diberikan fungsi potensial yxV 42 yang berada dalam vacum, tetapkan energi yang tersimpan dalam volume 1 m3 yang berpusat dititik asal. Periksa pula volume-volume lain yang besarnya juga 1 m3 . Penyelesaian : m V E m Vaa yxa z a y a x VE yx zyx 20 42 ˆ4ˆ2 42ˆˆˆ 22 Medan ini konstan dalam besaran m V E 20 dan arahnya ke seluruh ruang, maka energi total yang tersimpan adalah tak berhingga besarnya. (medan ini bisa berupa medan didalam sebuah kapasitor pelat sejajar yang tak berhingga ukurannya. Diperlukan suatu usaha yang besarnya tak berhingga untuk memuati kapasitor seperti itu ).
- 91. Walaupun demikian adalah mungkin berbicara mengenai kerapatan energi untuk medan ini dan medan lainya. dvEWE 2 2 1 Menyarankan suatu cara yang mendukung bahwa dengan setiap elemen volume dV terkait kandungan energi sebesar w dV dimana 2 2 1 EW Bagi medan yang sekarang ditinjau kerapatan energi itu konstan, maka : 3 8 36 10 20 1 m J o W o Sehingga setiap volume 1 m3 mengandung 36 10 8 Joule energi.
- 92. BAB VII MEDAN MAGNET TUNAK (STEADY) Medan adalah daerah disekitar sumber medan yang masih memiliki/ mendapat pengaruh dari sumber medan. Sejauh ini telah dikenal adanya dua medan, yaitu medan magnet dan medan listrik. Muatan-muatan yang merupakan sumber medan menimbulkan gaya terukur yang bekerja pada muatan lainnya yang dapat dianggap sebagai muatan detektor. Kenyataan bahwa pemberian sifat medan pada sumber muatan dan penentuan efek medan pada muatan detektor, maka hal ini dapat diartikan bahwa telah terjadi pembagian persoalan dasar menjadi dua bagian. Medan magnet dapat ditimbulkan oleh distribusi arus (Hk. Ampere, Biot Savart). Hukum Ampere menyatakan bahwa integral garis kuat medan magnetik H sepanjang lintasan tertutup sama dengan arus I yang mengalir di sepanjang lintasan tersebut. Atau: IdLH Hukum Biot Savart menyatakan bahwa diferensial kuat medan magnet dH didapat dari hasi bagi antara cross product IdL and ar dibagi dengan jarak kuadrat. Atau: m A r adli dH r 2 4 ˆ Hukum Biot Savart kadang-kadang disebut hukum Ampere untuk unsur arus. Hubungan antara medan magnet tunak (steady) dengan sumbernya lebih rumit daripada hubungan antara medan elektrostatik dengan sumbernya. 7.1 Medan Magnet oleh Arus Listrik Sumber medan magnetik dapat merupakan sebuah magnet permanen, suatu medan listrik yang berubah secara linier terhadap waktu atau dari suatu arus searah. Biot Savart telah mengembangkan hubungan antara medan magnet yang ditimbulkan oleh unsur diferensial arus searah dalam ruang hampa. Unsur arus diferensial yang dikembangkan oleh Biot Savart dibayangkan sebagai bagian kecil dari filamen konduktor yang dialiri arus yang filamennya merupakan limit dari tabung konduktor berpenampang lingkaran yang jejarinya menuju nol
- 93. . Hukum Biot Savart menyatakan bahwa pada setiap titik P, besar intensitas medan magnetik yang ditimbulkan oleh unsur diferensial berbanding lurus dengan perkalian arus, besar panjang diferensial, dan sinus sudut antara filamen dengan garis yang menghubungkan filamen tersebut ke titik P. Besar intensitas medan magnetic berbanding terbalik dengan dengan jarak kuadrat r. Atau secara matematis, hukum Biot Savart dituliskan dengan notasi: m A r adli dH r 2 4 ˆ di mana: dH = diferensial intensitas medan magnet i dl = elemen diferensia arus âr = unit vektor r r = jarak antara elemen arus dengan titik yang ditinjau besar medannya. Atau secara umum dapat ditulis dengan persamaan matematis sebagai berikut: 3 ' ' 4 rr rrdliodB catatan: 3 ' ''ˆˆ rr rr rr P (titik yang ingin diketahui besar medannya) Penghantar yang dialiri arusidl r idl r-r’ r r’ ( 0, 0, 0 ) P
- 94. Contoh : 1. Medan listrik akibat arus searah pada penghantar yang panjang dan berjarak r dari penghantar ke titik yang ditinjau seperti pada gambar: Gunakan kordinat silinder, sumber terletak di z azr ˆ' sedang r arr ˆ dan zr azarrr ˆˆ' . Sehingga: 2 3 22 ˆˆˆ 4 zr zazrarzaidz π oμ Bd 2 3 22 ˆ 4 zr aidzr B o 2 3 22 ˆ 4 zr dz a iro 232 ˆ 4 zrr z a iro zr z zr z a iro 22 ˆ 4 a r i r a ir B oo ˆ 2 2 ˆ 4 2 a r i B o ˆ 2 i dl = i dz r - r’r’ r( 0, 0, 0 ) P I
- 95. 2. Besarnya induksi magnetik akibat penghantar yang berbentuk lingkaran dengan jari-jari r. 3 ' ' 4 rr rrdli Bd o 2 3 22 ˆˆˆ 4 zr rarzazxadri oBd 2 3 22 ˆ2ˆ 4 zr zadriradrioBd Karena simetris, komponen z saling menghilangkan. 2 3 22 ˆ2 4 zr z adri oBd z a zrπ πri o μ B ˆ 2 3 22 4 2 2 2 02 3 22 2 4 ˆ d zr ari B zo z o a zr ri B ˆ 4 2 2 3 22 2 untuk r<<z, maka; za z rio B ˆ 3 4 2 2 za z iro B ˆ 3 4 2 2 za z mo B za z Aio B ˆ 3 2 4 ˆ 3 4 2 r’ r r – r’ i dl
- 96. E P r2 r1 r q-q d ER catatan: Aim 7.2 Besaran Induksi Magnetik za z mo B ˆ 3 2 4 dapat digambarkan sebagai berikut: Analog dengan medan listrik akibat dua muatan titik yang berjarak d seperti gambaran berikut: 3 2 4 1 r p E o 3 cos2 4 1 r p E o r 3 sin2 4 1 r p E o Aim
- 97. Sehinga besaran B di atas dapat diuraikan menjadi komponen r dan θ BaBraB ˆˆ 3 cos2 4 z mo rB 3 sin 4 z mo B Lihat kembali medan akibat dua muatan yang terpisah sejauh d dan d<< r. Untuk menyelesaikan masalah ini, cari terlebih dahulu potensialnya dengan cara sebagai berikut: 21 44 r q r q V oo p cos 2 cos 1 d r Ar PAPCr o cos 2 cos 002 d r OBr POr 21 11 4 , rr q rVVp o sin 2 1 cos 2 1 4 , d r d ro q rVVp 2 cos sin 2 cos 2 4 , d r d r d r o q rVVp B Br DC r r1 r2 P Y Z A q-q ( 0, 0, 0 )
- 98. r d karena r d o q rVVp 2 cos 2 ; 2 cos 4 , 2 4 cos , ro P rVVp qdp disebut momen dipol listrik dan ,, rV r rE r adalah koordinat polar, maka: 3 4 cos2 , ro p rrE , , 1 , rV rr rE 3 sin 4 1 , r p o rE Ingat: , 1 ,,, rV r rV r rVrE A. Hukum Integral Ampere Persoalan elektrostatik sederhana dapat dengan mudah dipecahkan dengan menggunakan hukum Coulomb. Tetapi bila persoalan elektrostatik tersebut membutuhkan tingkat kesimetrian yang tinggi, maka akan lebih mudah bila menggunakan hukum Gauss. Prosedur pemecahan masalah dalam medan magnetik baik dengan menggunakan hukum Coulomb atau hukum Gauss adalah sama. Dan dengan prosedur yang sama pula pemecahan masalah elektrostatik akan jauh lebih mudah bila menggunakan hukum integral Ampere (Ampere’s Circuital Law) atau kadang-kadang disebut sebagai hukum kerja Ampere. Ampere’s Circuital Law merupakan penurunan dari hukum Biot Savart. Hukum integral Ampere menyatakan bahwa integral garis kuat medan magnet H sepanjang lintasan tertutup sama dengan arus yang dilingkupi oleh lintasan tersebut. Atau secara matematis dapat ditulis: ildH
- 99. Arus i dikatakan positif bila arah alirannya searah putaran jarum jam. Dan sebaliknya adalah negatif. Gambar berikut memperlihatkan pernyataan ini. Pemakaian hukum Gauss adalah mencaari muatan total yang dilingkupi oleh permukaaan tertutup. Sedangkan pemakaian hukum integral Ampere adalah mencari arus total yang dilingkupi oleh lintasan. Meskipun penggunaan hukum integral Ampere lebih memudahkan dalam perhitungan kuat medan elektrostatik, ada beberapa syarat tertentu yang harus di penuhi terlebih dahulu, yaitu: 1. H harus normal atau tangensial pada tiap titik lintasannya. 2. Jika H tangensial, maka besarnya harus konstan. Misalkan lintasan arus berbentuk lingkaran dan berjejari r, makaberlaku hukum integral Ampere: a r i H irH idraHadlH ˆ 2 2 ˆˆ 2 0 Misalkan induksi magnetik akibat penghantar panjang yang dialiri arus searah: 2 2 0 2 2 ˆˆ m W r i B irB idraBa idlB o o o o dl i positif dl i negatif S = r d B I r d
- 100. Arah B dapat ditentukan dengan menggunakan kaidah tangan kanan. “Arah ibu jari merupakan arah arus i dan merupakan arah lipatan empat jari lainnya menunjukkan arah B .” Untuk pernyataan ini berlaku: a πr ioμ B ˆ 2 7.4 Medan Magnet dalam Kumparan Ada dua macam kumparan yang sering digunakan, yaitu solenoida dan toronoida (cincin). Solenoida Pada bagian tengah solenoida, medan magnet serba sama pada bagian tepi yaitu menyebar (tak homogen). Untuk lilitan yang cukup rapat, kebocoran fliks sangat kecil sehingga induksi magnetic di luar kumparan dianggap nol. Jika kumparan cukup panjang, maka medan magnet di tengah solenoida dianggap homogen. ( b ) d c ba 1 ( a )
- 101. Untuk mencari besarnya induksi magnet B dengan menggunakan hukum Ampere seperti pada gambar b adalah sebagai berikut: ildB 0 ab bc cd da ildBldBldBldB 0 ilB 0 l i B o Jika tiap lilitan dialiri arus sebesar I dan rapat lilitan L N n , maka disepanjang l terdapat arus sebesar l L NI i . Sehinga L NI B 0 Toroida r i B irB irdaBa idlB o o o o 2 2 ˆˆ 2 0 Sehingga untuk toroida berlaku: r Ni B o 2 Kosong tanpa bahan r
- 102. 7.5 Hukum Maxwell tentang Induksi Magnet Sampai saat ini belum ditemukan adanya monopole magnet, maka jumlah garis gaya magnet total yang keluar dikurangi yang masuk pada suatu permukaan tertutup selalu sama dengan nol. Atau secara matematis dapat ditulis: s sdB 0 Dari hukum integral divergensi diperoleh: 0dvBsdB ; (berlaku untuk semua volume) maka: 0B v dsB B secara fisis : volume masukanflukskeluaranfluks B untuk fluks magnetic selalu sama dengan nol.
- 103. TEOREMA MAXWELL (UMUM) Persoalan-persoalan elektromagnetik adalah persoalan yang menyangkut atau yang berhubungan dengan medan magnetik dan medan elektrik. Medan- medan tersbut adalah berupa besaran-besaran vector yang telah ditetapkan melalui hukum-hukum yang disebut Persamaan-persamaan (teorema) Maxwell. A. E ; Hukum Gauss Perhatikan hukum Gauss: QsdD v dvsdD ; Hukum Maxwell (dalam bentuk integral) Dari teorema divergensi Gauss: v dvDsdD v v dvD sehingga: ρD karena: ED maka: E B. t B E ; bentuk lain dari hukum Faraday Hukum Faraday:
- 104. t e s sdB t e dlEfmee s dsBdlE ; bentuk integral dari hukum Maxwell-Faraday dengan teorema integral Stokes: dsEdlE s maka: s dsB t dsE karena terjadi pada permukaan yang identik, maka: B t E ; bentuk titik Faraday-Maxwell C. Hukum Maxwell tentang Induksi Magnet Dengan beranggapan bahwa di dunia ini tidak ada monopole magnetic, maka netto garis gaya yang melalui suatu permukaan tertutup selalu sama dengan nol. 0 s dsB Bentuk Maxwell dalam integral yang menyatakan ketidakadaan monopole. Jika diterapkan teorema divergnsiGauss, maka: vs dvBdsB 0 v dvB 0 Dan berlaku untuk sembarang volume, maka: 0B Ini juga bias ditafsirkan dari arti fisis divergensi:
- 105. volume permukaanluasmasukgayagarispermukaanluaskeluargayagaris B netto fluks magnetik dari permukaan tertutup selalu nol. D. Hukum Integral Ampere menyatakan bahwa integral garis H sepanjang lintasan tertutup dengan arus searah yang dilingkupi oleh lintasa tersebut. idlH Dari definisi fluks HoμB (dalam vakum), maka: idlB 0 (vakum) untuk definisi fluks di dalam suatu lintasan : IldH sd t F JldH sd t F JsdH t F JH
- 106. BAB VIII PERSAMAAN POISSON DAN LAPLACE Persamaan Poisson dan Laplace didapat dari persaman Maxwell dan pernyataan bahwa medan listrik adalah negatif gradien potensial sebagai berikut : 1. E 2. VE dari pers. (1) dan (2) didapat : V V divergensi dari gradien ditulis VV 2 V 2 disebut persamaan Poisson untuk daerah yang bebas muatan =0; maka persamaan diatas akan menjadi 0 2 V 8.1 Bentuk-Bentuk Explisit Persamaan Laplace dan Poisson Simbol bisa diuraikan dalam berbagai bentuk sistem koordinat yakni dengan cara mencari divergensi dari gradien dalam sistem koordinat tersebut untuk sistem koordinat kartesian. z V zy V yx V x z V a y V a x V a z a y a x aV zyxzyx ˆˆˆˆˆˆ maka persamaan laplace dalam koordinat kartesis adalah : 02 2 2 2 2 2 z V y V x V Sedang persamaan Poisson adalah : 2 2 2 2 2 2 z V y V x V
- 107. Pada sistem koordinat lain didapat dengan cara yang sama untuk koordinat silinder z V a V r a r V a z aa r a VV zrzr ˆ 1 ˆˆˆˆˆ 2 Yang perlu diperhatikan dalam hal ini adalah operator sebelah kiri, jika dikerjakan ke suku yang ada dikanannya harus dioperasikan sebagai operasi diferensial seperti : Dot product antara dua unit vektor yang tidak sejenis menghasilkan harga nol (tidak berharga) sehingga hasil akhir untuk koordinat silinder adalah : 2 2 2 2 22 2 2 11 z VV rr V rr V V Atau : 2 2 2 2 2 2 11 z VV rr V r rr V Maka persamaan Laplace untuk sistem koordinat silinder adalah : 0 11 2 2 2 2 2 2 z VV rr V r rr V Dan persamaan Poissonnya adalah : 2 2 2 2 2 11 z VV rr V r rr Dengan metoda yang sama dapat diturunkan persamaan Laplace dan Poisson dalam koordinat Bola. 2 2 222 2 2 2 sin 1 sin sin 11 0 0 V r V rr V r rr V sehingga dapat diperoleh persamaan Laplace untuk system koordinat bola adalah 0 sin 1 sin sin 11 2 2 222 2 2 2 V r V rr V r rr V Dan persamaan Poisson dalam kordinat Bola adalah: 2 2 222 2 2 sin 1 sin sin 11 V r V rr V r rr
- 108. mmr 11 mmr 202 8.2 Teorema Keunikan Penyelesaian persamaan Laplace atau Poisson harus menghasilkan jawaban yang unik, untuk itu diperlukan syarat-syarat batas yang lengkap. Dua jawaban dari persamaan Laplace atau Poisson, keduanya harus memenuhi syarat batas yang sama maka kedua jawaban harus identik satu sama lain. Perhatikan contoh soal di bawah ini yang menggambarkan persoalan lengkap dengan syarat-syaratnya . Contoh : 1. Tetapkan fungsi potensial dan identitas medan listrik di dalam ruangan di antara dua silinder tegak yang konsentris, jika V=0 pada r=1 mm dan V = 150 Volt pada r =20 mm, abaikan efek-efek sisi. Penyelesaian : Dari syarat batas potensial dalam persoalan ini konstan tehadap perubahan y dan z maka persamaan Laplace dalam bentuk koordinat silinder hanya dipakai komponen r nya saja : 0 1 dr dv r dr d r Karena deferensial tidak tergantung pada Q dan Z maka akan menjadi deferensial biasa dan kalikan kiri kanan dengan r maka 0 dr dv r dr d Integralkan kiri kanan akan menjadi taKonscc dr dv r tan
- 109. Maka : r dr cdv r cdr dv Maka BrCV ln Terapkan syarat batas : V = 0 ; untuk r = 1 mm = 1x 10-3 m V = 150 V ; untuk r = 20 mm = 2x 10-2 m 2,346 91,61,50 10ln 13 3...........................50,1C 102ln10ln 150- C 150102ln10lnC 150.102lnC 010lnC :21 2..........102lnC150 150VUntuk 1.................10lnC0 0VUntuk 3 2-3- 2-3- 2- 3- 2- 3- CB perskeperskansubstitusi B B danpersdari B B Sehingga voltrV 2,346ln1,50 Untuk mendapatkan E gunakan hubungan m volta r r z a r a r a VE r zr ˆ 1,50 2,346ln1,50ˆ 1 ˆˆ
- 110. 2. Dua plat paralel seperti pada gambar dimana daerah diantara kedua plat bebas muatan ( =0). Tentukan V dan E ? Penyelesaian : Dari gambar terlihat bahwa : pada Y = 0 V = 200 Volt Y = d V = 0 volt Karena =0 , maka : takonsBBCyV takonsCC y V y V V tan tan 0 0 2 2 2 berdasarkan syarat batas : 1.....................200 2000 B voltVy volty d V adalahVpersmaka d C didapatdanpersdari BCy voltVdy 200 200 200 :21 2.................0 0 d 200 volt
- 111. untuk menentukan E digunakan hubungan : m volta d y dz a y a x a VE y zyx ˆ 200 200 200 ˆˆˆ 3. Jika efek sisi diabaikan dan sumbu z diisolasi, carilah V dan E diantara permukaan keping dalam gambar dibawah ini ? Penyelesaian : Karena potensial konstan terhadap r dan z , persamaan laplace menjadi takonsBBAV takonsAA V V d Vd r tan tan 0 0 1 2 2 2 2 Dengan syarat batas 1.........................0 00 00 B BA V 2..........400 400 BA V dari pers (1) dan (2) diperoleh : 400 400 A A V= 400 volt
- 112. sehingga persamaannya menjadi : voltV 400 untuk menentukan harga E digunakan hubungan : m Va r z a r a r a VE zr ˆ 400 400 ˆ 1 ˆˆ 4. Dalam koordinat bola V = 0 ; untuk r = 10 cm dan V = 95 Volt untuk r = 2 m. Carilah V dan E diantara kedua permukaan bola tersebut . Penyelesaian : Syarat batas : takonsBB r C V r C r V takonsCC r V r tan tan 2 2 0 0 1 0 : 295 1,0100 2 2 2 2 r V r r r V r rr V adalahLaplacenyapersamaan mrV mcmrV
- 113. d Y X Z V=250 volt V= 100 volt 2.............................2190 2 1 95 295 1............................100 1,0100 BC BC mrV untuk BC mcmrV untuk dari pers (1) dan (2) didapat : 3..................................05,9 19021 1902 0202 11902 2010 C C CB CB CB CB substitusi pers (3) ke pers (1) 5,90 10 B CB maka persamaannya menjadi : volt r V 5,90 05,9 untuk menentukan E gunakan hubungan : m Var rr a r a r a VE r r ˆln05,9 5,90 05,9 sin 1 ˆ 1 ˆˆ 5. Dua piringan seperti pada gambar dibawah ini dipisahkan sejauh 5 mm, tentukan V dan E diantara piringan tesebut dengan menganggap ρ = 0
- 114. Syarat Batas : dZvoltV ZvoltV 250 0100 Persamaan laplacenya adalah ; takonsBBAzV takonsAA z V z V V tan tan 0 0 2 2 2 berdasarkan syarat batas 2.....................250 250 1...............................100 0100 0100 BdA dZvoltV B BA ZvoltV dari pers (1) dan (2) diperoleh : voltz d V maka d A 100 150 150 Untuk menentukan E gunakan hubungan : m Va d z dz a r a r a VE z zr ˆ 150 100 150 ˆ 1 ˆˆ
- 115. DAFTAR PUSTAKA 1. Boas, Mary L. Mathematical Methads in The Physical Sciences. 1983, Jhon Wiley & Sons. Inc 2. Edminister, Josep A. Theory And Problems Of Electromagnetics (Schaum Series). 1984, Mc Graw – Hill. Inc 3. Feymen, Richard. The Feymen Lecturey on Physics Mainly Electromagneticsm and Matter. 1966. Addis on-Wesly Publishing Company. 4. Sadiku, Mathew N. O. Elements Of Electromagnetics. 1989, Saundres College Publishing. 5. Spiegel, Murray R. Theory And Problems Of Vektor Analysis (Schaum Series). 1959, Mc Graw- Hill. Inc