Met num s1
Download as PPT, PDF0 likes372 views
Dokumen ini membahas metode numerik untuk menyelesaikan masalah matematika, yang mencakup analisis kesalahan dan berbagai teknik seperti interpolasi dan integrasi numerik. Metode numerik diperlukan untuk menangani persamaan yang sulit diselesaikan secara analitis di bidang sains dan teknologi. Selain itu, dokumen ini juga menjelaskan sumber kesalahan yang dapat memengaruhi solusi serta beberapa metode yang umum digunakan untuk menyelesaikan persamaan non-linier dan linier simultan.
![Metode Bagi Dua (i)
Asumsi: Fungsi f(x) kontinu dalam interval [ a0 ,b0 ]
f (a0 ) f (b0 ) < 0
do n = 0,1,…
m = (an + bn ) / 2
an +1 = an , bn +1 = m
if f (a n ) f (m) < 0, then
else an +1 = m, bn +1 = bn
if bn +1 − an +1 ≤ ε or
end do
Metode Numerik
f ( m) = 0
exit
16](https://image.slidesharecdn.com/metnums1-140220044800-phpapp02/85/Met-num-s1-16-320.jpg)
![Regula Falsi (i)
Asumsi: Fungsi f(x) kontinu dalam interval [ a0 ,b0 ]
f (a0 ) f (b0 ) < 0
do n = 0,1,…
w = [ f (bn )an − f (an )bn ] /[ f (bn ) − f (an )]
an +1 = an , bn +1 = w
if f (an ) f ( w) < 0, then
else an +1 = w, bn +1 = bn
if
bn +1 − an +1 ≤ ε
or
f ( w) = 0
exit
end do
Metode Numerik
18](https://image.slidesharecdn.com/metnums1-140220044800-phpapp02/85/Met-num-s1-18-320.jpg)
![Regula Falsi Termodifikasi (i)
Inisialisasi: F = f (a0 )
do n = 0,1,…
G = f (b0 ) w0 = a0
wn +1 = [Gan − Fbn ] /[G − F ]
if f (an ) f ( wn +1 ) ≤ 0, then
an +1 = an , bn +1 = wn +1 ,
if
G = f ( wn +1 )
f ( wn ) f ( wn +1 ) > 0, then F = F / 2
else an +1 = wn +1 , bn +1 = bn , F = f ( wn+1 )
if f ( wn ) f ( wn +1 ) > 0, then F = F / 2
exit
if bn +1 − an +1 ≤ ε
end do
Metode Numerik
20](https://image.slidesharecdn.com/metnums1-140220044800-phpapp02/85/Met-num-s1-20-320.jpg)
![Akar Ganda (iii)
• Metode akolade tak bisa digunakan, krn fungsi tak
berubah tanda
• f (x) dan
f ′(x)
menuju nol disekitar akar
Modifikasi metode Newton-Raphson:
Bentuk alternatif:
Hasil akhir:
Metode Numerik
f ( x)
u ( x) =
f ′( x)
f ( xi ) f ′( xi )
xi +1 = xi −
[ f ′( xi )]2 − f ( xi ) f ′′( xi )
27](https://image.slidesharecdn.com/metnums1-140220044800-phpapp02/85/Met-num-s1-27-320.jpg)
![Kaidah Segiempat
Disini aproksimasi f (x) dengan suatu fungsi tangga (fungsi
konstan sepotong-potong)
I ( f ) ≈ I 0 ( f ) = h[ f ( x0 ) + f ( x1 ) + f ( xn −1 )]
I ( f ) ≈ I 0 ( f ) = h[ f ( x1 ) + f ( x2 ) + f ( xn )]
Metode Numerik
48](https://image.slidesharecdn.com/metnums1-140220044800-phpapp02/85/Met-num-s1-48-320.jpg)
Met num s1
- 2. Apa yang akan dibahas 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Pendahuluan dan motivasi Analisis Kesalahan Persamaan Tidak Linier Persamaan Linier Simultan Interpolasi Integrasi Numerik Solusi Persamaan Differensial Biasa Metode Numerik 2
- 3. Daftar Pustaka • Chapra, S. C. and Canale, R. P. (1991): Metode Numerik untuk Teknik. Penerbit Universitas Indonesia, Jakarta. • Hanselman, D. and Littlefield, B. (1997): Matlab Bahasa Komputasi Teknis. Penerbit Andi, Yogyakarta. • Scheid, F. (1983), Numerical Analysis, McGrawHill International Editions, Singapore. • Conte, S. D. and de Boor, C. (1993), Dasar-Dasar Analisis Numerik, Penerbit Erlangga, Jakarta. Metode Numerik 3
- 4. Pendahuluan • Metode Numerik: Teknik menyelesaikan masalah matematika dengan pengoperasian hitungan. • Pada umumnya mencakup sejumlah besar kalkulasi aritmetika yang sangat banyak dan menjenuhkan • Karena itu diperlukan bantuan komputer untuk melaksanakannya Metode Numerik 4
- 5. Motivasi Kenapa diperlukan? • Pada umumnya permasalahan dalam sains dan teknologi digambarkan dalam persamaan matematika • Persamaan ini sulit diselesaikan dengan “tangan” analitis sehingga diperlukan penyelesaian pendekatan numerik Metode Numerik 5
- 6. Penyelesaian persoalan numerik • Identifikasi masalah • Memodelkan masalah ini secara matematis • Identifikasi metode numerik yang diperlukan untuk menyelesaikannya • Implementasi metode ini dalam komputer • Analisis hasil akhir: implementasi, metode, model dan masalah Metode Numerik 6
- 7. Persoalan analisis numerik • • • • • Eksistensi (ada tidaknya solusi) Keunikan (uniqueness) Keadaan tidak sehat (ill-conditioning) instabilitas (instability) Kesalahan (error) Contoh: Persamaan kuadrat Persamaan linier simultan Metode Numerik 7
- 8. Angka Signifikan • • • • 7,6728 7,67 15,506 15,51 7,3600 7,4 4,27002 4,3 Metode Numerik 3 angka signifikan 4 angka signifikan 2 angka signifikan 2 angka signifikan 8
- 9. Sumber Kesalahan • Kesalahan pemodelan contoh: penggunaan hukum Newton asumsi benda adalah partikel • Kesalahan bawaan contoh: kekeliruan dlm menyalin data salah membaca skala • Ketidaktepatan data • Kesalahan pemotongan (truncation error) • Kesalahan pembulatan (round-off error) Metode Numerik 9
- 10. Kesalahan pemotongan (i) • Kesalahan yang dihasilkan dari penggunaan suatu aproksimasi pengganti prosedur matematika yang eksak Contoh: approksimasi dengan deret Taylor ∆x ∆x 2 ∆x n f ( xi +1 ) = f ( xi ) + f ′( xi ) + f ′′( xi ) + + f n ( xi ) + Rn 1! 2! n! ∆x = xi +1 − xi Kesalahan: Metode Numerik f ( n +1) (ξ ) ( n +1) Rn = ∆x (n + 1)! 10
- 11. Kesalahan pemotongan (ii) • Aproksimasi orde ke nol (zero-order appr.) f ( xi +1 ) ≈ f ( xi ) • Aproksimasi orde ke satu (first-order appr.) f ( xi +1 ) ≈ f ( xi ) + f ′( xi ) ∆x 1! • Aproksimasi orde ke dua (second-order appr.) ∆ x ∆2 x ′ f ( xi + ) = f ( xi ) + f ′ xi ) ( + f ′( xi ) 1 1 ! 2! Metode Numerik 11
- 12. Motivasi Dari Persamaan Non Linear Dalam desain tikungan jalan lingkar, terdapat rumusan berikut: R= R2 R +T 2 2 +M R = jari-jari kurva jalan T = jarak tangensial = 273.935 m M = ordinat tengah = 73.773 m Metode Numerik 12
- 13. Motivasi Dari Persamaan Non Linear (ii) Dari suatu perhitungan tentang kebutuhan akan produksi optimal suatu komponen struktur didapat persamaan biaya yang dibutuhkan untuk pengadaaan produksi dalam satu hari sebagai berikut: C = 13000 N −1 + 158.11 N −0.5 + N + 0.0025 N 2 dengan C = biaya per hari N = jumlah komponen yang diproduksi Metode Numerik 13
- 14. Solusi Persamaan Non Linear (i) 1) Metode Akolade (bracketing method) Contoh: • Metode Biseksi (Bisection Method) • Metode Regula Falsi (False Position Method) Keuntungan: selalu konvergen Kerugian: relatif lambat konvergen Metode Numerik 14
- 15. Solusi Persamaan Non Linear (ii) 2) Metode Terbuka Contoh: • Iterasi Titik-Tetap (Fix Point Iteration) • Metode Newton-Raphson • Metode Secant Keuntungan: cepat konvergen Kerugian: tidak selalu konvergen (bisa divergen) Metode Numerik 15
- 16. Metode Bagi Dua (i) Asumsi: Fungsi f(x) kontinu dalam interval [ a0 ,b0 ] f (a0 ) f (b0 ) < 0 do n = 0,1,… m = (an + bn ) / 2 an +1 = an , bn +1 = m if f (a n ) f (m) < 0, then else an +1 = m, bn +1 = bn if bn +1 − an +1 ≤ ε or end do Metode Numerik f ( m) = 0 exit 16
- 17. Metode Biseksi (ii) Metode Numerik 17
- 18. Regula Falsi (i) Asumsi: Fungsi f(x) kontinu dalam interval [ a0 ,b0 ] f (a0 ) f (b0 ) < 0 do n = 0,1,… w = [ f (bn )an − f (an )bn ] /[ f (bn ) − f (an )] an +1 = an , bn +1 = w if f (an ) f ( w) < 0, then else an +1 = w, bn +1 = bn if bn +1 − an +1 ≤ ε or f ( w) = 0 exit end do Metode Numerik 18
- 19. Regula Falsi (i) Metode Numerik 19
- 20. Regula Falsi Termodifikasi (i) Inisialisasi: F = f (a0 ) do n = 0,1,… G = f (b0 ) w0 = a0 wn +1 = [Gan − Fbn ] /[G − F ] if f (an ) f ( wn +1 ) ≤ 0, then an +1 = an , bn +1 = wn +1 , if G = f ( wn +1 ) f ( wn ) f ( wn +1 ) > 0, then F = F / 2 else an +1 = wn +1 , bn +1 = bn , F = f ( wn+1 ) if f ( wn ) f ( wn +1 ) > 0, then F = F / 2 exit if bn +1 − an +1 ≤ ε end do Metode Numerik 20
- 21. Regula Falsi Termodifikasi (ii) Metode Numerik 21
- 22. Iterasi Titik Tetap Metode Numerik 22
- 25. Akar Ganda (i) y = ( x − 1) 2 Metode Numerik y = ( x − 1)3 25
- 26. Akar Ganda (ii) y = ( x − 1) 4 Metode Numerik 26
- 27. Akar Ganda (iii) • Metode akolade tak bisa digunakan, krn fungsi tak berubah tanda • f (x) dan f ′(x) menuju nol disekitar akar Modifikasi metode Newton-Raphson: Bentuk alternatif: Hasil akhir: Metode Numerik f ( x) u ( x) = f ′( x) f ( xi ) f ′( xi ) xi +1 = xi − [ f ′( xi )]2 − f ( xi ) f ′′( xi ) 27
- 28. Motivasi Persamaan Linier • Persamaan linier simultan sering muncul dalam sains dan teknik (sekitar 75 %): – Analisis struktur – Analisis jaringan – Interpolasi – Riset Operasi – Teknik Transportasi – Manajemen Konstruksi – Penyelesaian numeris persamaan diferensial biasa – Penyelesaian numeris persamaan diferensial parsial Metode Numerik 28
- 29. Persamaan Linier Simultan a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = b1 a21 x1 + a 22 x2 + + a2 n xn = b2 an1 x1 + a n 2 x2 + + ann xn = bn dalam notasi matriks a11 a12 a1n a a22 a2 n 21 an 2 ann an1 A Metode Numerik x1 b1 x b 2 = 2 xn bn x b 29
- 30. Pandangan Secara Geometri • Secara geometri, solusi persamaan linier simultan merupakan potongan dari hyperplane • 2 persamaan dan 2 variabel tidak diketahui – Hyperplane: garis – Potongan hyperplane: titik potong • 3 persamaan dan 3 variabel tidak diketahui – Hyperplane: bidang – Potongan hyperplane: garis potong Metode Numerik 30
- 31. Matriks Bujursangkar (i) a) Matriks Simetris aij = a ji b) Matriks Diagonal aii ≠ 0, aij = 0 untuk i ≠ j c) Matriks Identitas aii = 1, aij = 0 untuk i ≠ j ≠ 0 untuk i ≤ j d) Matriks segitiga atas aij = 0 untuk i > j ≠ 0 untuk i ≥ j e) Matriks segitiga bawah aij = 0 untuk i < j Metode Numerik 31
- 32. Matriks Bujursangkar (ii) f) Matriks pita Lebar pita 3 tridiagonal matriks ≠ 0 untuk i − j ≤ 1 aij selainnya = 0 Lebar pita 5 tridiagonal matriks ≠ 0 untuk i − j ≤ 2 aij selainnya = 0 Metode Numerik 32
- 33. Matriks Segitiga Ide dasar: Transformasi persamaan linier asal menjadi persamaan linier berbentuk segitiga sehingga mudah diselesaikan u11x1 +u12 x 2 + + u1nxn = c1 u 22 x2 + + u2nxn = c2 unnxn = cn Dalam notasi matriks Ux = c Metode Numerik 33
- 34. Syarat Regularitas • Sebuah matriks bujursangkar A yang mempunyai dimensi n x n dikatakan tidak singular jika salah satu syarat di bawah ini terpenuhi: – A dapat diinversikan – Semua nilai eigen dari matriks A tidak sama dengan nol • det (A) ≠ 0 Metode Numerik 34
- 37. Contoh Persamaan Linier Metode Numerik 37
- 38. Interpolasi • Tujuan: Mencari nilai di antara beberapa titik data yang telah diketahui nilainya • Metode Interpolasi yg paling populer: Interpolasi Polinom • Polinom berbentuk: Pn ( x) = an x n + an −1 x n −1 + + a1 x + a0 Metode Numerik 38
- 39. Metode Lagrange (i) Jika (x0,y0), (x1,y1),…, (xn,yn) merupakan sepasang nilai x dan y, dengan y = f(x); maka jika f(x) diaproksimasi dengan polinomial derajat ke-n akan diperoleh: Pn ( x) = a 0 ( x − x1 )( x − x 2 )...( x − x n ) + + a1 ( x − x0 )( x − x 2 )...( x − x n ) + ... + + a n ( x − x0 )( x − x1 )( x − x 2 )...( x − x n −1 ) Metode Numerik 39
- 40. Metode Lagrange (ii) Dimana syarat interpolasi harus dipenuhi Pn ( x0 ) = y 0 Pn ( x1 ) = y1 ................... Pn ( x n ) = y n Dengan mensubstitusi x = xi dan P(xi) = yi maka yi ai = ( xi − x0 )( xi − x1 )...( xi − xi −1 )...( xi − xi +1 )...( x0 − x n ) Metode Numerik 40
- 41. Metode Lagrange (iii) Dengan memakai fungsi Lagrange (x − x j ) ( x − x0 )( x − x1 )...( x − xi −1 )...( x − xi +1 )...( x − x n ) Li = ∏ = ( xi − x0 )( xi − x1 )...( xi − xi −1 )...( xi − xi +1 )...( x0 − x n ) j =0 ( xi − x j ) n j ≠i maka n Pn ( x) = ∑ Li y i = L0 y 0 + L1 y1 + + Ln y n i =0 Metode Numerik 41
- 42. Motivasi untuk interpolasi (i) Sejumlah uang didepositokan dengan tingkat bunga tertentu. Tabel berikut menguraikan perkiraaan uang deposito pada masa yang akan datang, berupa nilai uang pada 20 tahun mendatang dibandingkan dengan nilai sekarang. Tingkat suku bunga F/P (n = 20 tahun) 15 20 25 30 Metode Numerik 16,366 38,337 86,736 190,050 42
- 43. Motivasi Interpolasi (ii) Jika Rp. 100.000.000,- didepositokan sekarang dengan suku bunga 23,6%, berapa nilai uang tersebut pada 20 tahun yang akan datang. Gunakan interpolasi linear, kuadratik, dan Lagrange bagi penyelesaian, kemudian bandingkan hasil perhitungan ketiga metode tersebut. Metode Numerik 43
- 44. Motivasi untuk Interpolasi (iii) Viskositas air dapat ditentukan dengan menggunakan tabel berikut ini: T(ºC) 0 10 30 50 70 90 100 Metode Numerik µ(10-3 Ns/m2) 1,792 1,308 0,801 0,549 0,406 0,317 0,284 44
- 45. Motivasi untuk Interpolasi (iv) Perkirakan harga viskositas air pada temperatur 25ºC. Gunakan interpolasi Lagrange. Perkirakan juga kisaran kesalahan dari hasil yang didapat. Metode Numerik 45
- 46. Pengintegralan Numerik b Integral: I = ∫ f ( x ) dx a Jika f ( x) > 0 tafsiran geometrik: luas daerah y f(x) I 0 a b x Jika fungsi primitif F (x) yaitu f ( x) = dF ( x ) dx diketahui b I = ∫ f ( x) dx = F (b) − F (a ) a tidak diketahui Metode Numerik ⇒ Pengintegralan Numerik 46
- 47. Formula Integrasi Newton-Cotes Ide: Penggantian fungi yang rumit atau data yang ditabulasikan ke fungsi aproksimasi yang mudah diintegrasikan Jika fungsi aproksimasi adalah polinomial berorde n, maka metode ini disebut metode integrasi Newton-Cotes b b a a I ( f ) = ∫ f ( x ) dx ≈ ∫ f n ( x ) dx = I n ( f ) Dibagi atas i) bentuk tertutup, batas integrasi a dan b dimasukkan ke dalam perhitungan ii) Bentuk terbuka, a dan b tidak termasuk Metode Numerik 47
- 48. Kaidah Segiempat Disini aproksimasi f (x) dengan suatu fungsi tangga (fungsi konstan sepotong-potong) I ( f ) ≈ I 0 ( f ) = h[ f ( x0 ) + f ( x1 ) + f ( xn −1 )] I ( f ) ≈ I 0 ( f ) = h[ f ( x1 ) + f ( x2 ) + f ( xn )] Metode Numerik 48
- 49. Kaidah Trapesium (i) Disini aproksimasi f (x) dengan suatu fungsi linier sepotong-potong a) Satu pias f ( x0 ) + f ( x1 ) I ( f ) ≈ I1 ( f ) = ( x1 − x0 ) 2 y=f(x) Kesalahan: Metode Numerik 1 Et = − f ′′(ξ ) ( x1 − x0 )3 12 49
- 50. Kaidah Trapesium (ii) b) Banyak pias n −1 ( xn − x0 ) I ( f ) ≈ I1m ( f ) = f ( x0 ) + f ( xn ) + 2∑ f ( xi ) 2n i =1 y=f(x) … b Kesalahan: Metode Numerik 1 Et = − f ′′( xn − x0 )3 , 12n 2 dimana n ∑ f ′′(ξ ) i =1 50
- 51. Kaidah Simpson 1/3 (i) Disini aproksimasi f (x) dengan suatu fungsi kuadratik sepotong-potong a) Satu pias f ( x0 ) + 4 f ( xi ) + f ( x2 ) I ( f ) ≈ I 2 ( f ) = ( xn − x0 ) 6 Kesalahan: ( xn − x0 )5 ( 4 ) Et = − f (ξ ) 2880 Metode Numerik 51
- 52. Kaidah Simpson 1/3 (ii) b) Banyak Pias: n −1 n−2 ( xn − x0 ) f ( x0 ) + f ( xn ) + 4 ∑ f ( xi ) + 2 ∑ f ( xi ) I ( f ) ≈ I m ( p2 ) = 3n i =1, 3, 5 i = 2, 4, 6 Kesalahan: A1 Metode Numerik A3 A5 An-1 ( xn − x0 )5 ( 4 ) Et = − f 4 180n 52