nilai eigen dan vektor eigen

1
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Dalam kehidupan sehari-hari, banyak permasalahan dari fenomena riil yang
dapat dijelaskan melalui pembentukan model matematika. Pada umumnya perumusan
model matematika ini berupa fungsi. Dalam banyak kasus, tidak semua model
matematika tersebut dapat diselesaikan secara mudah dengan menggunakan metode
analitik, sehingga digunakan analisis numeric untuk mencari penyelesaiannya.
Analisis numerik adalah teknik yang digunakan untuk memformulasikan
persoalanmatematik sehingga dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan atau
aritmetik biasa (tambah, kurang,kali, dan bagi). Pada umumnya analisis numerik tidak
mengutamakan diperolehnya jawab yang eksak (tepat), tetapi mengusahakan perumusan
metode yang menghasilkan jawab pendekatan yang berbeda dari jawab yang eksak
sebesar suatu nilai yang merupakan galat dari metode yang digunakan. Namun
demikian, hasil perhitungan dengan analisis numerik cukup dapat memberikan solusi
pada persoalan yang dihadapi.
Salah satu penerapan dari analisis numerik ini yaitu dalam masalah nilai eigen
dan vektor eigen.Analisis numerik memberikan suatu cara alternatif yang digunakan
untuk menemukan nilai eigen danvektor eigen dari suatu matriks. Cara yang digunakan
dalam analisis numerik ini termasuk unik karenadalam penyelesaiannya hanya
diperlukan operasi-operasi aljabar biasa. Hanya saja, dalam penghitungannya tidak
cukup dilakukan sekali tetapi harus dilakukan berulang-ulang sampai ditemukan nilai
yang konvergen ke satu nilai yang merupakan nilai penyelesaiannya.
Salah satu metode dalam analisis numerik yang bisa digunakan untuk mencari
nilai eigen dan vektoreigen yaitu metode pangkat. Dengan metode pangkat ini, nilai
eigen yang berupa bilangan real danvektor eigennya dapat ditemukan secara bersamaan
menggunakan proses yang sama pula sehingga jika nilai eigen dari suatu matriks
ditemukan, maka secara otomatis vektor eigen dari matriks yang bersangkutan akan
diperoleh. Dalam mencari nilai eigen dan vektor eigen menggunakan metode pangkat,

2
akan memerlukan prosesiterasi yang sangat panjang untuk menemukan hasil yang
mendekati nilai yang sebenarnya. Semakin banyak iterasi yang dilakukan, maka
semakin baik hasil yang diperoleh.
1.2 Rumusan Masalah
1. Definisi nilai eigen dan vector eigen ?
2. Penyelesaian soal-soal nilai dan vector eigen ?
3. Penyelesaian masalah diagonalisasi ?
4. Penyelesaian masalah dioagonalisasi orthogonal ?
1.3 Tujuan
1. Bagaimana menjawab dan mengerjakan soal soal nilai dan vector eigen
2. Mengerti teorema teorema yang membentuk nilai dan vector eigen
3. Menyelesaikan permasalahan mendiagonalisasikan suatu matriks
4. Menyelesaikan permasalahan mendiagonalisasikan orthogonal suatu matriks

3
BAB II
PEMBAHASAN
2.1 Nilai Eigen Dan Vector Eigen
Mari perhatikan sebuah matriks A yang berukuran 𝑛 × 𝑛 dan sebuah vektor x
pada Rn dan biasanya secara umum tidak ada hubungan antara vektor x dengan
vektor Ax (Gambar 11. 1a). Namun, ada beberapa vektor x tak nol sehingga x dan
Ax merupakan penggandaan satu sama lainnya (Gambar 11. 1b).
x Ax
Ax
x
(a) (b)
Gambar 11. 1
Sekarang kita akan meninjau ulang beberapa konsep yang telah kita diskusikan
dalam pembelajran yang lalu untuk dikembangkan lebih lanjut.
Definisi: Misalkan A adalah matriks 𝑛 × 𝑛, maka vektor x yang tidak nol di Rn
disebut vektor eigen (eigen vector) dari A jika Ax adalah kelipatan skalar dari
x, yaitu 𝐴𝑥 = 𝜆𝑥 untuk suatu skalar λ. Skalar λ dinamakan nilai eigen (eigen
value) dari A.
Jika A adalah matriks nxn, maka :
• Vektor-vektor tidak nol pada Rn disebut vektor eigen
• dari A jika Ax adalah suatu penggandaan skalar dari x yaitu 𝐴𝑥 = 𝜆𝑥:, Untuk
semua skalar 𝜆

4
• Skalar 𝜆 disebut eigenvalue A,
• x disebut juga eigenvector A bersepadanan dengan 𝝀
Contoh :
1. jika diketahui vector 𝑥 = [
1
2
] adalah suatu vector eigen 𝐴 = [
3 0
8 −1
] maka
tentukan nilai eigen dari vector tersebut ?
Jawab :
Ingat ! 𝐴𝑥 = 𝜆𝑥
Maka [
3 0
8 −1
] [
1
2
] = 𝜆𝑥 jadi hasil kalinya adalaah, [
3
6
] 𝑥, lalu kita mendapatkan 3𝑥 =
3 [
1
2
], maka, besar nilai eigennya adalah 3.
Apakah setiap matriks A yang berukuran 𝑛 × 𝑛 selalu mempunyai vektor eigen
dan nilai eigen? Berapa banyak vektor eigen dan nilai eigen yang dimiliki oleh
sebuah matriks A yang berukuran 𝑛 × 𝑛? Untuk menjawab pertanyaan-pertanyaan
ini sekaligus memberikan penjelasan lebih lanjut dari contoh di atas, sehingga kita
dapat dengan cepat dan tepat memberikan jawabannya, perhatikanlah uraian berikut
dengan baik.
B. Persamaan Karakteristik
Untuk mencari nilai eigen dari matriks A yang berukuran n n, maka kita perlu
memperhatikan kembali definisi vektor eigen dan nilai eigen, yaitu Ax = λx. Bentuk ini
dapat kita tulis sebagai berikut :

5
Ax =
( I-A)x = 0 …………………………………. (1)
(A- I )x = 0 …………………………………. (2)
Supaya λ menjadi nilai eigen, maka harus ada penyelesaian yang tidak nol dari
persamaan (1) ini. Menurut teorema dalam bahasan sebelumnya, maka persamaan (1)
akan mempunyai penyelesaian tak nol (mempunyai penyelesaian non trivial) jika dan
hanya jika:
det( 𝜆𝐼 − 𝐴) 𝑥 = 0
Definisi Persamaan det( 𝜆𝐼 − 𝐴) 𝑥 = 0 dengan λ sebagai variabel disebut
persamaan karakteristik dari matriks A. Akar-akar atau skalar-skalar yang
memenuhi persamaan ini adalah nilai-nilai eigen (nilai-nilai karakteristik)
dari matriks A. det( 𝜆𝐼 − 𝐴) 𝑥 ≡ 𝑓(𝜆) yaitu berupa polinom dalam λ yang
dinamakan polinom karakteristik.
Dari pemahaman definisi di atas, jelas bahwa jika A adalah matriks 𝑛 × 𝑛 maka
persamaan karakteristik dari matriks A mempunyai derajat n dengan bentuk :
det (λ I – A) = f(λ) = a0 + a1x1 + a2x2 + … + an - 1xn - 1 + anxn = 0
Menurut teorema dasar aljabar kita dapatkan bahwa persamaan karakteristik
tersebut mempunyai paling banyak n penyelesaian yang berbeda (Ingat metode
Horner dan persamaan pangkat tinggi). Jadi, suatu matriks yang berukuran 𝑛 × 𝑛
paling banyak mempunyai n-nilai eigen yang berbeda.
Contoh :
 Carilah nilai-nilai eigen dari matriks = [
3 2
−1 0
] ?
Jawab :
 Ingat ! det( 𝜆𝐼 − 𝐴) 𝑥 = 0
det( 𝜆𝐼 − 𝐴) 𝑥 = det 𝜆 [
1 0
0 1
] − [
3 2
−1 0
] = 0

6
det [
𝜆 − 3 −2
1 𝜆
]= 𝜆2
− 3𝜆 + 2
Sekarang kita perhatikan teorema berikut yang merupakan ikhtisar dari hasil-
hasil yang telah diperoleh melalui diskusi materi pembelajaran di atas :
Teorema : Jika A adalah suatu matriks 𝑛 × 𝑛 dan λ adalah suatu bilangan
real, maka pernyataan-pernyataan berikut ini adalah ekuivalen
 λ adalah nilai-nilai eigen dari matriks A.
 Sistem persamaan (λ I – A)x = 0 mempunyai penyelesaian tak trivial
(non trivial).
 Ada vektor x yang tidak nol dalam Rn sedemikian sehingga Ax = λx.
 λ adalah suatu penyelesaian real dari persamaan karakteristik det (λ I – A) = 0
Setelah kita memahami bagaimana mencari nilai-nilai eigen hubungannya
dengan persamaan karakteristik, maka sekarang akan beralih ke masalah untuk
mencari vektor eigen. Menurut definisi terdahulu bahwa vektor eigen dari matriks A
yang bersesuaian dengan nilai eigen λ adalah vektor x yang tidak nol dan haruslah
memenuhi Ax = λ x. Dengan kata lain, secara ekuivalen tentunya vektor eigen yang
bersesuaian dengan nilai eigen λ adalah vektor yang tak nol dalam ruang
penyelesaian (λI – A) x = 0. Ruang penyelesaian ini kita namakan sebagau ruang
eigen (eigen space) dari matriks A yang bersesuaian dengan nilai eigen λ. Apakah
ruang eigen ini membentuk basis?.
Definisi Ruang penyelesaian dari sistem persamaan linear (λ I – A) x = 0 atau
(A - λI) x = 0 dinamakan ruang eigendari matriks A yang berukuran 𝑛 × 𝑛
Sekarang kita perhatikan beberapa contoh, bahwa vektor-vektor eigen suatu
matriks akan membentuk suatu basis untuk ruang eigen yang bersesuaian dengan nilai
eigen dari matriks tersebut.

7
Contoh :
Diketahui 𝐴 = [
0 0 −2
1 2 1
1 0 3
] carilah basis-basis ruang untuk eigen ?
Jawab :
Telah diselesaikan dalam Contoh di atas, bahwa dari persamaan karakteristik
det( 𝜆𝐼 − 𝐴) 𝑥 = 𝜆3
− 5𝜆2
+ 8𝜆 − 4
didapat dua buah nilai eigen matriks A, yaitu :
𝜆 = 1 𝑑𝑎𝑛 𝜆 = 2
Sebagai konsekwensinya akan kita dapatkan tiga buah ruang eigen dari matriks A.
Menurut definisi,𝑥 = [
𝑥1
𝑥2
𝑥3
]
adalah vektor eigen dari matriks A yang bersesuaian dengan λ jika dan hanya jika x
adalah suatu penyelesaian non trivial dari sistem persamaan linear homogeny. Maka
kita gunakan ( 𝜆𝐼 − 𝐴) 𝑥 = 0
maka, [
𝜆 0 2
−1 𝜆 − 2 −1
−1 0 𝜆 − 3
] [
𝑥1
𝑥2
𝑥3
] = [
0
0
0
]
lalu menentukan solusi dan basis untuk 𝜆 = 2
[
2 0 2
−1 0 −1
−1 − −1
] [
𝑥1
𝑥2
𝑥3
] = [
0
0
0
] maka di dapat X1= S X2= t X3= -S
[
−1
0
1
] 𝑑𝑎𝑛 [
0
1
0
] adalah vector yang membentuk suatu basis untuk ruang eigen yang
berpadanan dengan 𝜆 = 2
Dengan cara yang sama padankan dengan 𝜆 = 1 maka akan mendapatkan vector
[
−2
1
1
] yang sepadan dengan 𝜆 = 1

8
2.2 Diagonalisasi
Pada bahasan pembelajaran berikut kita akan mendiskusikan masalah mencari
suatu baris untuk Rn yang terdiri dari vektor-vektor eigen dari suatu matriks A yang
diketahui berukuran n n. Basis-basis ini dapat dipakai untuk menelaah sifat-sifat
geometris dari matriks A dan sekaligus dipakai untuk menyederhanakan berbagai
perhitungan numerik yang melibatkan matriks A. Basis-basis sangat penting dalam
berbagai penerapan aljabar linear, dan beberapa diantaranya akan kita diskusikan
dalam bahasan pembelajaran modul berikutnya.
Seperti telah kita ketahui dalam bahasan modl-modul sebelumnya tentang
matriks, bahwa salah satu teoremanya adalah pengkombinasian banyak persamaan
menjadi satu. Cara penulisan sistem persamaan linear yang terdiri dari m persamaan
dengan n variabel menjadi sebuah persamaan matriks telah kita pelajari dalam Modul
2 (Sistem Persamaan Linear). Sedangkan cara menyelesaikan sistem persamaan
linear 𝐴𝑥 = 𝑏 dengan A matriks berukuran 𝑛 × 𝑛 yang invertibel dapat dilakukan
dengan bantuan matriks A-1, sehingga terjadi pengkombinasian A-1AX = A-1b atau
X = A-1b.
Berdasarkan ide yang sama seperti di atas, maka dalam bagian ini kita akan
mengkombinasikan persamaan nilai eigen untuk beberapa vektor eigen yang
berlainan ke dalam persamaan matriks yang tunggal. Untuk lebih jelasnya kita
perhatikan penjelasan berikut ini.
Pandang matriks A berukuran n n dengan vektor-vektor eigen (yang bebas
linear) u1, u2, ... , uk yang bersesuaian dengan nilai-nilai eigen λ1, λ2, ... , λk. Sebagai
akibatnya maka :
Au1 = λ1u1, Au2 = λ2u2, ... , Auk = λkuk atau
Aur = λrur dengan r = 1, 2, ..., k.....................................(1)
Vektor-vektor ui dapat dikelompokkan menjadi bentuk matriks 𝑛 𝑥 𝑘, yang ditulis
sebagai matriks partisi P = (u1,u2,... uk)

9
Dengan ui adalah kolom ke-i dari P. Selanjutnya persamaan (1) dapat ditulis
menjadi bentuk:
AP = (Au1, Au2, ..., Auk)
= (u1,u2,..., uk) D
dengan D adalah matriks diagonal k k dengan unsur-unsurnya λ1, λ2, ... , λk. Jadi
kita dapatkan
AP = PD atau PD = AP ................................................ (2)
Bentuk ini merupakan bentuk yang ringkas dari persamaan nilai eigen
untuk k vector eigen. Sekarang misalkan matriks A yang berukuran n n
mempunyai n vector eigen, sehingga k = n.
Akibatnya matriks P menjadi berukuran 𝑛 × 𝑛, dengan kolom-kolomnya
vektor-vektor eigen (yang bebas linear), dan P tentunya invertibel. Selanjutnya
dengan mengalikan persamaan (2) oleh P-1 dari sebelah kiri kita dapatkan:
D = P-1A P ....................................................................... (3)
Dengan demikian jika suatu matriks A yang berukuran 𝑛 × 𝑛 mempunyai
n vector eigen yang bebas linear, maka terdapat matriks P yang inverstibel dan
matriks diagonal D sehingga D dapat difaktorkan dalam bentuk persamaan (3).
Keadaan ini dinamakan A dapat didiagonalkan (diagonalizable).
Definisi Suatu matriks persegi (matriks bujursangkar) A dinamakan dapat
didiaginalkan (dapat didiagonalisasi) jika ada suatu matriks P yang invertibel
sedemikian rupa sehingga P-1 A P adalah suatu matriks diagonal, matriks P
dikatakan mendiagonalkan A (mendiagonalisasi) matriks A.
Dari penjelasan dan definisi di atas, jelaskah bahwa masalah diagonalisasi dari
suatu vektor A yang berukuran n n adalah ekuivalen dengan pertanyaan: ”Apakah
ada matriks P yang invertibel sehingga P-1 AP adalah matriks diagonal D?”. Prosedur
berikut menunjukkan bahwa masalah vektor-vektor eigen dan diaginalisasi adalah
setara. Dengan kata lain prosedur berikut adalah tahapan untuk mendiagonalkan
matriks yang berukuran 𝑛 × 𝑛
Tahap 1 : Carilah n vektor eigen yang bebas linear dari matriks A yang
berukuran 𝑛 × 𝑛 Misalnya p1, p2, ... , pn

10
Tahap 2. Bentuklah matriks P yang mempunyai p1, p2, ... , pn sebagai vektor-
vektor kolomnya.
Tahap 3. Matriks D = P-1 A P adalah matriks diagonal dengan λ1, λ2, ... , λn
sebagai unsur-unsur diagonal yang berurutannya dan λi adalah nilai-
nilai eigen yang bersesuaian dengan pi untuk I = 1, 2, 3, …, n.
Contoh :
Kita mengambil contoh dari pencarian basis nilai eigen
[
−1
0
1
] 𝑑𝑎𝑛 [
0
1
0
] adalah vector yang membentuk suatu basis untuk ruang eigen yang
berpadanan dengan 𝜆 = 2
Dengan cara yang sama padankan dengan 𝜆 = 1 maka akan mendapatkan vector
[
−2
1
1
] yang sepadan dengan 𝜆 = 1
Lalu, masukkan dalam bentuk matriks 𝑃 = [
−1 0 −2
0 1 1
1 0 1
],
Lalu masukan dalam persamaan 𝑃−1
𝐴𝑃 = [
2 0 0
0 2 0
0 0 1
] = 𝐷
2.3 Diagonalisasi Ortogonal
Sekarang kita akan mendiskusikan bagaimana mencari suatu basis ortonormal
dengan hasil kali dalam Euclid yang terdiri dari vektor-vektor eigen dari suatu
matriks A yang berukuran 𝑛 × 𝑛. Sedangkan untuk menunjang pembahasan materi
ini adalah pemahaman tentang matriks-matriks simetris dan pengertian ortogonal
yang telah kita pelajari dari modul sebelumnya.
Untuk lebih jelasnya kita perhatikan dua masalah berikut yang ekuivalen. 1.
Masalah vektor eigen ortonormal Jika diketahui suatu matriks A yang berukuran 𝑛 ×

11
𝑛, apakah ada suatu basis ortonormal untuk Rn dengan hasil kali dalam (Euclid) yang
terdiri dari vektor-vektor eigen dari matriks A?
Masalah diagonalisasi orthogonal adalah Jika diketahui suatu matriks A yang
berukuran 𝑛 × 𝑛 , apakah ada suatu matriks diagonal P sedemikian sehingga matriks D
= P-1 A P = Pt A P adalah matriks diagonal? Sebagai akibat dari permasalahan ini
mendorong kita untuk membuat definisi berikut.
Definisi. Matriks A yang berukuran 𝑛 × 𝑛 dinamakan dapat didiagonalisasi secara
ortogonal jika terdapat matriks P yang ortogonal, dan matriks P dikatakan
mendiagonalisasi A secara ortogonal.
Dari definisi dan dua permasalahan di atas ada dua pelajaran yang perlu mendapat
perhatian kita, yaitu
1. Matriks manakah yang dapat didiagonalisasi secara ortogonal?
2. Bagaimana kita mencari suatu matriks ortogonal untuk melakukan
diagonalisasi Sehubungan dengan pertanyaan-pertanyaan di atas, maka
tentunya tidak ada
harapan lagi bagi kita untuk mendiagonalisasi suatu matriks A, kecuali jika matriks
A adalah matriks simetris. (yaitu A = At). Untuk melihat mengapa hal tersebut
demikian adanya, misalkan
Pt A P = D ....................................................................... (1)
Dengan P adalah matriks ortogonal dan D adalah matriks diagonal. Karena P
ortogonal, maka
Pt P = Pt P = I
sehingga persamaan (1) bisa kita tulis dalam bentuk:
A = P D Pt ...................................................................... (2)
Karena D matriks diagonal, maka D = Dt, sehingga dengan mentranspos kedua ruas
dari persamaan (2) didapatkan

12
At = (P D Pt)t = (Pt)t Dt Pt = P D Pt = A
sehingga A pastilah merupakan matriks simetris. Sekarang kita perhatikan
teorema berikut merupakan alat utama untuk menentukan apakah sebuah matriks
dapat didiagonalisasi secara ortogonal. Teorema berikut juga menunjukkan bahwa
setiap matriks simetris, pada kenyataannya dapat didiagonalisasi secara ortogonal.
Perlu pula diketahui bahwa pada teorema ini dan teorema berikutnya dari bahasan
ini, pengertian ortogonal akan berarti ortogonal berkenaan dengan hasil kali dalam
Euclid. (Euclidean inner product).
Teorema Jika A adalah suatu matriks 𝑛 × 𝑛, maka pernyataan berikut adalah
ekuivalen.
 A dapat didiagonalisasi secara ortogonal.
 A merupakan suatu himpunan n vector eigen yang ortonormal
 A adalah matriks simetrik.
Teorema Jika A adalah suatu matriks simetris, maka vektor-vektor eigen dari ruang
eigen yang berbeda akan ortogonal.
Prosedur mendiagonalkan secara ortogonal suatu matriks simetris:
• Step 1. Cari basis untuk setiap ruang eigen dari A.
• Step 2. Terapkan proses Gramm Schmidt pada setiap basis-basis ini untuk
mendapatkan suatu basis ortonormal untuk setiap ruang eigen.
• Step 3. Bentuk matriks P yang kolom-kolomnya adalah vektor-vektor basis
yang disusun pada step-2, matriks ini mendiagonalkan A secara orthogonal.

13
Contoh :
Carilah matriks orthogonal P yang mendiagonalkan 𝐴 = [
4 2 2
2 4 2
2 2 4
]
Jawab :
Carilah persamaan nilai karakteristiknya sehingga mendapatkan nilai eigennya
det( 𝜆𝐼 − 𝐴) 𝑥 = det [
𝜆 − 4 −2 −2
−2 𝜆 − 4 −2
−2 −2 𝜆 − 4
] = ( 𝜆 − 2)2
(𝜆 − 8)
Maka didapatkan nilai 𝜆 = 2 𝑑𝑎𝑛 𝜆 = 8
Lalu carilah basis ruangan pada matriks A, maka akan mendapatkan:
Basis ruang yang bersepadanan dengan 𝜆 = 2 adalah :
𝑢1= [
−1
1
0
] 𝑑𝑎𝑛 𝑢2= [
−1
0
1
]
Lalu, terapkan proses Gram Schmidt pada {u1 dan u2} agar dapar menghasilakn
vector eigen yang orthogonal berikut :
𝑣1 =
[
−1
√2
1
√2
0 ]
𝑑𝑎𝑛 𝑣2 =
[
−1
√6
−1
√6
2
√6]
Sedangkan basis ruang yang bersepadanan dengan 𝜆 = 8 adalah 𝑢3 = [
1
1
1
]
Lalu, terapkan proses Gram Schmidt pada u3, didapat : 𝑣3 =
[
1
√3
1
√3
1
√3]

14
Sehingga = [ 𝑣1, 𝑣2, 𝑣3] =
[
−1
√2
−1
√6
1
√3
1
√2
−1
√6
1
√3
0
2
√6
1
√3]
, maka dapat dibuktikan bahwasanya
P mendiagonalkan A secara orthogonal.

15
BAB III
PENUTUP
3.1 Kesimpulan
Jika A matriks 𝑛 × 𝑛, maka vektor x yang tidak nol di Rn disebut vektor
eigen (eigen vector) dari A jika Ax adalah kelipatan skalar dari x, yaitu Ax = λ x
untuk suatu skalar λ. Skalar λ dinamakan nilai eigen (eigen value) dari A.
Persamaan det (λ I – A) = 0 dengan λ sebagai variabel disebut persamaan
karakteristik dari matriks A. Akar-akar atau skalar-skalar yang memenuhi persamaan
ini adalah nilai-nilai eigen (nilai-nilai karakteristik) dari matriks A. Det(λ I – A) ≡ f(λ)
yaitu berupa polinom dalam λ yang dinamakan polinom karakteristik
Suatu matriks persegi (matriks bujursangkar) A dinamakan dapat didiaginalkan
(dapat didiagonalisasi) jika ada suatu matriks P yang invertibel sedemikian rupa
sehingga P-1 A P adalah suatu matriks diagonal, matriks P dikatakan mendiagonalkan A
(mendiagonalisasi) matriks A.
Untuk memeriksa bahwa P adalah matriks yang mendiagonalisasi matriks A
dapat dilakukan dengan menentukan matriks diagonal D = P-1AP dengan unsur-unsur
diagonal utamanya adalah nilai-nilai eigen dari matriks A yang urutannya adalah nilai-
nilai eigen dari matriks A yang urutannya sesuai urutan vektor-vektor kolom matriks P.
Matriks A yang berukuran 𝑛 × 𝑛 dikatakan dapat didiagonalisasi secara
ortogonal jika terdapat matriks P yang ortogonal, dan matriks Pdikatakan
mendiagonalisasi A secara orthogonal, Jika A adalah suatu matriks simetris, maka
vektor-vektor eigen dari ruang eigen yang berbeda akan orthogonal.

16
DAFTAR PUSTAKA
Anton Howard, (1987), Elementary Linear Algebra, 5th Edition New York:
John Wiley & Sons.
Larry Smith. (1998). Linear Algebra. Gottingen: Springer.
Raisinghania & Aggarwal, R.S, (1980), Matrices, New Delhi: S.Chan &
Company Ltd.
Roman Steven (1992). Advanced Linear Algebra, New York, Berlin,
Herdelberg, London, Paris, Tokyo, Hongkong, Barcelona, Budapest:
Springer-Velag.
Seymour Lipschutz. (1981). Linear Algebra, Singapore: Schaum’s Outline,
Mc-Graw Hill Book Company.

nilai eigen dan vektor eigen

More Related Content

What's hot (20)

Similar to nilai eigen dan vektor eigen (20)

Recently uploaded (20)

nilai eigen dan vektor eigen