Numeros reales
- 1. República Bolivariana de Venezuela Ministerio del Poder Popular para la Educación Universidad Politécnica Territorial Andrés Eloy Blanco Barquisimeto – Estado Lara Números Reales Alumna: Cindy Camacho Sección: 0406 CI: 26.556.401
- 2. Definición de Conjuntos Es una colección de objetos o entes cualesquiera. Para indicar que un elemento pertenece a un conjunto, se escribe ala signo ∈. Para indicar que un elemento no pertenece a un conjunto, se escribe el mismo signo ∈, pero cruzado por una raya ∉. Ejemplos: Los días de la semana forman un conjunto donde domingo ∈ a los días de la semana Lunes ∈ a los días de la semana. Enero ∉ a los días de la semana. Reloj ∉ a los días de la semana. Los conjuntos se representan por letras mayúsculas y los elementos por letras minúsculas. Cuando se escribe a ∈ A, se indica que a es un elemento del conjunto A. En matemáticas, los conjuntos de los números más importantes se designan con determinadas letras: -N representa al conjunto de los números naturales: 0, 1, 2, 3, 4, 5…. -Z representa al conjunto de los números enteros: -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4… -Q representa al conjunto de los números racionales: (enteros y fraccionarios): 1 / 2, 3 / 5, 5 / 7, 2, 27… -I representa al conjunto de los números irracionales: √2, √3 , 𝜋, e… -R representa al conjunto de los números reales, que engloba a todos a los anteriores. -C representa al conjunto de los números complejos, que son los de la forma: a + bi, siendo a y b números reales e i un numero imaginario, tal que i2 = -1:3 + 2i, 1 –i… Operaciones con conjuntos Existen varias operaciones básicas que pueden realizarse, partiendo de ciertos conjuntos dados, para obtener nuevos conjuntos:
- 3. Unión: (símbolo ∪) La unión de dos conjuntos A y B, que se representa como A ∪ B, es el conjunto de todos los elementos que pertenecen al menos a uno de los conjuntos A y B. Ejemplo Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5,6,7,} y B={8,9,10,11} la unión de estos conjuntos será A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente: Intersección: (símbolo ∩) La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B de los elementos comunes a A y B. Ejemplo Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la intersección de estos conjuntos será A∩B={4,5}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente: Diferencia: (símbolo ) La diferencia del conjunto A con B es el conjunto A B que resulta de eliminar de A cualquier elemento que esté en B.
- 4. Ejemplo Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la diferencia de estos conjuntos será A-B={1,2,3}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente: Complemento: El complemento de un conjunto A es el conjunto A∁ que contiene todos los elementos que no pertenecen a A, respecto a un conjunto U que lo contiene. Ejemplo Dado el conjunto Universal U={1,2,3,4,5,6,7,8,9} y el conjunto A={1,2,9}, el conjunto A' estará formado por los siguientes elementos A'={3,4,5,6,7,8}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente: Diferencia simétrica: (símbolo Δ) La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto A Δ B con todos los elementos que pertenecen, o bien a A, o bien a B, pero no a ambos a la vez.
- 5. Ejemplo Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la diferencia de estos conjuntos será A-B={1,2,3}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente: Producto cartesiano: (símbolo ×) El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto A × B de todos los pares ordenados (a, b) formados con un primer elemento a perteneciente a A, y un segundo elemento b perteneciente a Números Naturales Son el conjunto de números sobre los que estudian las matemáticas, ya que son todos los números que pueden ser representados en una recta numérica. Como conjunto, los números reales contiene a los siguientes subconjuntos: Los números enteros (Z), que a su vez está compuesto por: Los números naturales (N): Son todos los números enteros positivos. Lo números negativos. El cero. Los números racionales (Q), que son todos los que se representan por un cociente o fracción, o por números decimales exactos o periódicos. Se dividen en: Las fracciones, que expresan el cociente entre dos cantidades. Los decimales, que expresan el resultado de un cociente fraccionario. Los números irracionales (I), son los que expresan resultados numéricos cuyo resultado decimal no es periódico y se extiende al infinito. Los números Trascendentes (T), son un subconjunto de los números irracionales y algunos racionales, que expresan relaciones matemáticas muy importantes, como la relación entre la circunferencia y el radio, el número pi (π). Generalmente el conjunto de los números reales es representado por la letra “R”, y se les
- 6. aplican las operaciones y las diferentes propiedades de operación estudiadas en aritmética y en álgebra: Los números reales en conjunto se representan por la letra R pero hay una subdivisión que contiene las dos siguientes: 1. Números reales positivos = R+ 2. Números reales negativos = R- Representando R+ a los números reales positivos, que en la recta numérica corresponden al positivo y que generalmente están a la derecha. Representando R- a los números negativos, que en la recta numérica corresponden al negativo y que generalmente están a la izquierda. Ejemplo de números reales: Números naturales (enteros positivos): 1 3 7 9 15 Números enteros negativos: – 1 – 3 – 7 – 9 – 15 – 45 Números racionales: Números fraccionarios:
- 7. ½ – ¼ 14/35 2/7 5/9 Números decimales: .25 0.999, 0.625 0.3333333…. 0.1234512345… 0.625 0.11111 0.512 0.99 0.000001 0.0000000002 0.15348 0.000000000000000024 0.000100040002 0.5248 Números Trascendentales: π = 3.14159265358979323846… (pi); φ = 1.618033988749894848204586834365638117720309… (fi o número áureo) ε = 2.7182818284590452353602874713527… (Número de Euler) Números irracionales: √5 √2 √3 3√3 5√2 √7 √11 √101 4√4 3√122 Propiedad de los Números Reales
- 8. Propiedad Operación Definición Que dice Ejemplo Conmutativa Suma Multiplicación A + b = b + a ab = ba El orden al sumar o multiplicar reales no afecta el resultado. 2+8 = 8+2 5(-3) = ( -3)5 Propiedad Operación Definición Que dice Ejemplo Asociativa Suma Multiplicació n a+(b + c)=(a+b)+c a(bc) = (ab)c Puedes hacer diferentes asociaciones al sumar o multiplicar reales y no se afecta el resultado. 7+(6+1)=(7+6)+1 -2(4x7)= (-2x4)7 Propiedad Operación Definición Que dice Ejemplo Identidad Suma Multiplicación a + 0 = a a x 1= a Todo real sumado a 0 se queda igual; el 0 es la identidad aditiva. Todo real multiplicado por 1 se queda igual; el 1 es la identidad multiplicativa. -11 + 0 = -11 17 x 1 = 17 Propiedad Operación Definición Que dice Ejemplo Inversos Suma Multiplicación a + ( -a) = 0 La suma de opuestos es cero. El producto de recíprocos es 1. 15+ (-15) = 0
- 9. DESIGUALDADES DE PRIMER GRADO EN UNA VARIABLE La expresión a ≠ b significa que " a " no es igual a " b”. Según los valores particulares de a y de b , puede tenerse a > b , que se lee “ a mayor que b ”, cuando la diferencia a − b es positiva y a < b que se lee “ a menor que b ”, cuando la diferencia a − b es negativa. La notación a ≥ b , que se lee “ a es mayor o igual que b ”, significa que a > b o que a = b pero no ambos. Por su parte, la notación a ≤ b que se lee “a es menor o igual que b”, significa que a < b o que a = b pero no ambos. Una desigualdad se obtiene al escribir dos expresiones numéricas o algebraicas relacionadas con alguno de los símbolos >, <,> o <. Ejemplos de desigualdades: 1) 4 > 3 2) a < 10 3) b ≥ 5 4) x2 ≤ 1 Lo mismo que en las igualdades, en toda desigualdad, los términos que están a la izquierda del signo mayor o menor, forman el primer miembro de la desigualdad, y los términos de la derecha, forman el segundo miembro. De la definición de desigualdad, se deduce que: • Todo número positivo es mayor que cero • Si dos números son negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto • Si a > b entonces b < a. Propiedad Operación Definición Que dice Ejemplo Distributiva Suma respecto a Multiplicación a(b+c) = ab + ac El factor se distribuye a cada sumando. 2(x+8) = 2(x) + 2(8)
- 10. Los signos > o < determinan dos sentidos opuestos en las desigualdades, dependiendo si el primer miembro es mayor o menor que el segundo. Se dice que una desigualdad cambia de sentido, cuando el miembro mayor se convierte en menor o viceversa. Existen dos clases de desigualdades: las absolutas y las condicionales • Desigualdad absoluta es aquella que se verifica para cualquier valor que se atribuya a las literales que figuran en ella. Por ejemplo: x +1 > x • Desigualdad condicional es aquella que sólo se verifica para ciertos valores de las literales. Por ejemplo: 3x −15 > 0 que solamente satisface para x > 5 . En este caso se dice que 5 es el límite de x. Las desigualdades condicionales se llaman inecuaciones Sean a, b ∈ R y a ≠ 0, una desigualdad de primer grado en una variable x se define como: Ax + b> 0 Ax + b> 0 Ax + b< 0 Ax + b< 0 Propiedades de las desigualdades: Sean a, c, b a tres números reales. I. Una desigualdad no cambia de sentido cuando se añade o se resta un mismo número a cada miembro Esto es, si a > b, entonces se cumple que a + c > b + c Ejemplos: Si a la desigualdad 7 > 3 se le suma 2 a ambos miembros, entonces, se cumple que 7 + 2 > 3 + 2, ya que: 9 > 5 II. Una desigualdad no cambia de sentido cuando se multiplican sus dos miembros por un mismo factor positivo, o se dividen por un mismo divisor, también positivo. Esto es, dado un número c > 0, si a > b entonces se cumple que a ⋅ c > b ⋅ c y que 𝑎 𝑐 > 𝑏 𝐶 Ejemplos. Si a la desigualdad 5 > 2 se multiplica por 3 a ambos miembros, entonces, se cumple que 5⋅3 > 2 ⋅3, ya que 15 > 6
- 11. III. Una desigualdad cambia de sentido cuando se multiplican sus dos miembros por un mismo factor negativo, o se dividen por un mismo divisor, también negativo. Esto es, dado un número c < 0, si a > b entonces se cumple que a ⋅ c < b ⋅ c y que 𝑎 𝑐 < 𝑏 𝑐 Ejemplos. Si a la desigualdad 6 > 3 se multiplica por − 4 a ambos miembros, entonces, se cumple que 6(− 4) < 3(− 4), ya que − 24 < −12 INECUACIONES ENTERAS Las inecuaciones son desigualdades entre expresiones algebraicas. A diferencia de las ecuaciones, que sólo se verifican para algunos valores de la variable, las inecuaciones tienen infinitas soluciones. El procedimiento para resolverlas es similar al de las ecuaciones, sólo que deben tenerse en cuenta las propiedades de las desigualdades. Para resolver una inecuación de primer grado se transponen los términos (pasar los términos de un miembro a otro cambiando el signo equivale a aplicar la propiedad I) para que aquellos que contienen a la incógnita queden en el primer miembro y los términos independientes en el otro. Finalmente, para despejar la incógnita se divide por el valor del coeficiente, teniendo en cuenta la segunda o tercera propiedad de las desigualdades, según el signo del coeficiente. Ejemplo 4x + 6 > 2x – 8 Solución. Se transponen términos: 4x − 2x > −8 – 6 Se reducen los términos semejantes: 2x > −14 Dividiendo por 2: x > −14 2 ⇒ x > -7 INECUACIONES FRACCIONARIAS Para resolver una inecuación fraccionaria de primer grado, se multiplican sus dos miembros por el mínimo común múltiplo de los denominadores con el objeto de eliminarlos y se reduce para convertirla en una inecuación entera. Cuando el denominador contiene la incógnita, tiene que analizarse cuando es tanto positiva como negativa. Para ambos casos
- 12. debe obtenerse la respectiva intersección de las restricciones. La solución de la inecuación, es la unión de los dos intervalos obtenidos. Ejemplo Resolver las siguientes inecuaciones fraccionarias: 𝟐 𝟓 + 𝟏 𝟑 x > 𝟒 𝟓 x - 𝟕 𝟑 Se multiplican ambos miembros por el mínimo común múltiplo de los denominadores, que es 15: 15( 2 5 + 1 3 𝑥)> 15( 4 5 𝑥 − 7 3 ) Se efectúan las operaciones para cada término: 6 + 5x >12x – 35 Se transponen términos: 5x −12x > −35 – 6 Se reducen los términos semejantes: − 7x > −41 Dividiendo por − 7 y aplicando la tercera propiedad, la desigualdad cambia de sentido: X< −41 −7 ⇒ < 41 7 DESIGUALDADES DE SEGUNDO GRADO EN UNA VARIABLE Una desigualdad de segundo grado o desigualdad cuadrática, tiene la forma: ax2 + bx + c > 0 o ax2 + bx + c ≥ 0 o ax2 + bx + c < 0 o ax2 + bx + c ≤ 0 Donde a, b y c son números reales y a ≠ 0 . Su solución generalmente representa un intervalo o la unión de dos intervalos de números reales. Para resolver una desigualdad cuadrática se usan los conceptos de número crítico y número de prueba. Un número crítico de la desigualdad mencionada es una raíz real de la ecuación cuadrática Ax2+ bx + c = 0. Ejemplo X2 -9 < 0 X2 = 9
- 13. x = ± √9 x = ±3 Los números críticos son: r1 = 3 y r2 = - 3 Definición de Valor absoluto El valor absoluto representa la distancia desde el origen o cero de una recta numérica hasta un número o un punto. Geométricamente los valores absolutos de |x| son números reales de x y es un valor geométrico sin tener en cuenta su signo, sea este positivo (+) o negativo (-). Así, por ejemplo, 5 es el valor absoluto de +5 y de -5. Los valores absolutos están representados por dos líneas verticales, tales como |x| (el cual se lee como módulo de x). El valor absoluto se define como: Desigualdades de valor absoluto Una desigualdad de valor absoluto es una desigualdad que tiene un signo de valor absoluto con una variable dentro. Desigualdades de valor absoluto (<): La desigualdad | x | < 4 significa que la distancia entre x y 0 es menor que Así, x > -4 Y x < 4. El conjunto solución es {x|-4 <x <4} Cuando se resuelven desigualades de valor absoluto, hay dos casos a considerar. Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
- 14. Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa. La solución es la intersección de las soluciones de estos dos casos. En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b, si | a | < b , entonces a < b Y a > - b Ejemplo A: | x – 7| < 3 Para resolver este tipo de desigualdad, necesitamos descomponerla en una desigualdad compuesta. x – 7 < 3 Y x – 7 > –3 –3 < x – 7 < 3 Sumo 7 en cada expresión. -3 + 7 < x - 7 + 7 < 3 + 7 4 < x <10 La gráfica se vería así: Desigualdades de valor absoluto (>): La desigualdad | x | > 4 significa que la distancia entre x y 0 es mayor que 4. Así, x < -4 O x > 4. El conjunto solución es {x | x < -4 o x >4} Cuando se resuelven desigualdes de valor absoluto, hay dos casos a considerar. Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva. Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa. En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b, si | a | > b , entonces a > b O a < - b .
- 15. Ejemplo B : | X + 2| ≥ 4 Separe en dos desigualdades. X + 2 ≥ 4 o x + 2 ≤ -4 Resto 2 de cada lado en cada desigualdad. X ≥ 2 O X ≤ -6 La gráfica se vería así: Ejercicio resuelto en (Cafetería virtual: 2(x + 3) –4(x –2) < x +5 2x + 6 – 4x + 8 < x + 5 2x – 4 x –x < 5 – 6 – 8 –3x < –9 X < –𝟗 –𝟑 X < + 3 Ejercicio para resolver en (Cafetería virtual) 2(x-5)>3
- 16. Bibliografía https://es.scribd.com/document/480905894/Numeros- Reales#download&from_embed https://es.scribd.com/document/480906795/Inecuaciones-y- Desigualdades#from_embed https://es.scribd.com/document/480906474/Propiedades-de-Los-Numeros- Reales#from_embed https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/aritmetica/reales/los- numeros-reales.html https://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP -9-14_RESOURCE/U10_L3_T2_text_final_es.html