Numeros reales y_plano_numerico1.1_compressed

República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
Universidad Politécnica Territorial Andrés Eloy Blanco
Barquisimeto, Lara
NÚMEROS REALES
PLANO NUMÉRICO
ESTUDIANTE:
Antonela Santana
Matera: Matemáticas
Sección: #0201
Grupo “B”

1. Conjuntos:
Son elementos diferenciados entre sí pero que poseen en común ciertas propiedades o
características, y que pueden tener entre ellos, o con los elementos de otros conjuntos,
ciertas relaciones.
Un conjunto puede tener un número finito o infinito de elementos, en matemáticas
es común denotar a los elementos mediante letras minúsculas y a los conjuntos por
letras mayúsculas, así por ejemplo: C = {a, b, c, d, e, f, g, h}
En ocasiones un conjunto viene expresado por la propiedad (o propiedades) que
cumplen sus elementos, por ejemplo: C = { 𝑥 ∈ 𝑅, 1 ≤ 𝑥 ≤ 2}.
2. Operaciones con conjuntos:
Estas nos permiten realizar operaciones sobre los conjuntos para obtener un
nuevo conjunto. Tenemos 3 tipos:
a) Unión: nos permite unir dos o más conjuntos para formar otro conjunto
que contendrá a todos los elementos que queremos unir pero sin que se
repitan. Ejemplo:
Dados los conjuntos A {1,2,5,8} y B {3,4,7,9} la unión entre ellos será:
𝐴 𝖴 𝐵 {1,2,3,4,5,7,8,9}
Dados los conjuntos A{-1,5,7,9} y B{-3,0,2,6}, la unión entre ellos
será:
𝐴 𝖴 𝐵 {−3, −1, 0,2,5,6,7,9}
b) Intersección: Es la operación que nos permite formar un conjunto, sólo
con los elementos comunes involucrados en la operación. Ejemplo:

Dados los conjuntos A{1,6,8,5,9} y B {2,5,7,8,10}, entonces su
intersección será:
𝐴 ∩ 𝐵 {5,8}
Dados los conjuntos A{-2,-1,1,3} y B= {-1,1,4,5} su resultado será:
𝐴 𝖴 𝐵 {−1,1}
c) Diferencia de conjuntos: Es la operación que nos permite formar un
conjunto, en donde de dos conjuntos el conjunto resultante es el que
tendrá todos los elementos que pertenecen al primero pero no al
segundo. Ejemplo:
Dados los conjuntos A{-5,-3,-1,5} y B{1,2,3,4}, entonces su resultado es:
𝐴 − 𝐵{−5, −3, −1,5}
Dados los conjuntos A{5,7,9,10} y B{1,2,4,6}, tendrá como diferencia
𝐵 − 𝐴{1,2,4,6}
d) Diferencia simétricas de conjuntos: Es la operación que nos permite
formar un conjunto, en donde de dos conjuntos el conjunto resultante
es el que tendrá todos los elementos que no sean comunes a ambos
conjuntos. Ejemplo:
Dados los conjuntos A{1.,2,3,5} y B{8,6,1,3}; su resultado es:
𝐴 ∆ 𝐵{2,5,6,8}
Dados los conjuntos A{6,7,1,2} y B{1,2,6,8}; su diferencia asimétrica
será:
𝐴 ∆ 𝐵 {7,8}

3. Números Reales:
Es la operación que nos permite formar un conjunto, en donde de dos conjuntos el
conjunto resultante es el que tendrá todos los elementos que no sean comunes a
ambos conjuntos.
a) Números naturales ( Ν ) : son todos los números (1,2,3,…)
b) Números Enteros ( Ζ ) : son los naturales, más el 0 y todos los negativos
(-3,-2,-1,0,1,2,3).
c) Números Fraccionarios: Se expresan mediante fracción 𝑎 con a y b
𝑏
enteros. B ≠0
d) Números algebraicos: Vienen de la solución de alguna ecuación
algebraica. Ej: √3
e) Números trascendentales: No se representan mediante un número
finito. Vienen de las funciones trascendente como las logarítmicas,
trigonométricas y exponenciales. Ej: “ ℇ “ (Euler)
Los números reales tienen propiedades como por ejemplo:
Propiedad Conmutativa
Propiedad Asociativa
Propiedad Identidad

Propiedad Inversa
Propiedad Distributiva
Propiedad Reflexiva
Propiedad Simétrica
Propiedad Transitiva
Propiedad Uniforme
Propiedad Cancelativa
4. Desigualdades:
Es encontrar el conjunto de todos los números reales que la hacen verdadera. En
contraste con una ecuación, cuyo conjunto solución, en general, consta de un número
o quizás un conjunto finito de números, el conjunto solución de una desigualdad
comúnmente consta de un intervalo completo de número o, en algunos casos, la unión
de tales intervalos.
Tenemos intervalos abiertos tales como (a,b) que son todos los incluidos entre ellos
pero a su vez sin incluirlos; mientras que los intervalos cerrados como [a,b] que son
aquellos que tienes los incluido entre ellos incluyendo los extremos.
Para resolver desigualdades hay que transformar la desigualdad un paso cada vez
hasta que el conjunto sea obvio. Las herramientas para este caso son las propiedades
y estas se deben realizar sin cambiar el conjunto solución, algunas de estas opciones
son:
a) Se puede ajadir el mismo número a ambos miembros de una
desigualdad
b) Se pueden multiplicar ambos miembros de una desigualdad por un
número positivo.
c) Se pueden multiplicar ambos miembros de una desigualdad por un
número negativo, pero aquí se debe invertir el signo de desigualdad.

4.1) Propiedades de las desigualdades
Ley de tricotomía: a = b ; a < b ; a > b
Ley de transitividad: 𝑎 < 𝑏 𝑦 𝑏 < 𝑐 ⟹ 𝑎 < 𝑐
Ley aditiva: 𝑎 < 𝑏 ⟹ 𝑎 + 𝑐 < 𝑏 + 𝑐 , ∀ 𝑐 ∈ ℝ
Ley multiplicativa: 𝑎 < 𝑏 ⟺ 𝑎𝑐 < 𝑏𝑐, ∀ 𝑐 > 0
𝑎 < 𝑏 ⟺ 𝑎𝑐 > 𝑏𝑐, ∀ 𝑐 < 0
0 < 𝑎 < 𝑏 ó 𝑎 < 𝑏 < 0 ⟹
1
>
1
𝑎 𝑏
5. Valor absoluto:
Es el valor real que tiene un número más allá de su signo. En otras palabras el valor
absoluto de x que se designa mediante |x| y se define como:
|x| = X; si x ≥ 0
|x| = -X; si x ≤ 0
 Ejemplo #1: Si tenemos |4|, entonces
|4| = 4 o |4| = -4
 Ejemplo #2: Si tenemos |x – y| , entonces
|x – y| = |x| - |y|
6. Desigualdades con valor absoluto:
Para resolver desigualdades con valor absoluto es necesario aplicar las
propiedades del valor absoluto para poder eliminar dicho valor, estás son:
|𝑥| < 𝑎 ⟺ −𝑎 < 𝑥 < 𝑎
|𝑥| > 𝑎 ⟺ 𝑥 < −𝑎 𝑜 𝑥 > 𝑎
 Ejemplo #1:
Resolver la inecuación | 2x – 3 | < 5

-5 < 2x -3 < 5
-5 + 3 < 2x < 5 + 3
-2 < 2x < 8
−2
< x <
8 -1 4
2 2
−1 < x < 4
7. Plano numérico:
Es la representación gráfica matemática donde dos líneas numeradas se interceptan
en un punto llamado “origen”. Estas rectas nos permiten establecer una correspondencia
entre los puntos P del plano y los pares ordenados (x, y). Al eje (x) se le llama eje de
las abscisas mientras al eje (y) se le conoce como el eje de las ordenadas.
A partir de acá podemos medir distintos puntos en la recta entre ellos:
7.1) Distancia: Para buscar la distancia entre dos puntos del plano
debemos seguir la siguiente fórmula:

𝑑(𝑃1, 𝑃2) = √( 𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 −𝑦1)2
 Ejemplo: Encontrar la distancia y probar que son vértices de un triángulo
rectángulo:
A = (1, 1) ; B = (3, 0) ; C = (4, 7)
Solución: Se calculará la solución de los lados del triángulo mediante la fórmula de
distancia
d (A,B) = √(3 − 1)2
+ (0 − 1)2
= √22
+ 12
= √5
d (A,C) = √(4 − 1)2
+ (7 − 1)2
= √32
+ 62
= √45
d (B, C) = √(4 − 3)2
+ (7 − 0)2
= √12
+ 72
= √50
Como cumple que:
: . El triángulo debe ser rectángulo según el teorema de Pitágoras.
d ( A,B) 2 + d (A,C)2 = 5 + 45 = 50 = d (B,C)2

7.2) Punto Medio: Es aquel segmento de la recta que va desde P( x1 , y1 )
hasta Q( x2 – y2 ) . La fórmula utilizada para este caso es:
M =
𝑥1+ 𝑥2
2
,
𝑦1+ 𝑦2
2
 Ejemplo: Hallar el punto medio del segmento de la recta de extremos: (-3, 0) y
(1, 2)
Solución:
−3+1
M =
2
,
0+2
2
=
−2
,
2
=
2 2
8. Representación de cónicas:
Se denomina sección cónica (o simplemente cónica) a todas las curvas resultantes de
las diferentes intersecciones entre un cono y un plano; si dicho plano no pasa por el
vértice, se obtienen las cónicas propiamente dichas. Se clasifican en cuatro tipos:
elipse, parábola, hipérbola y circunferencia.
8.1) Circunferencia: es el lugar geométrico de los puntos de un plano que
equidistan de otro punto fijo y coplanario llamado centro en una cantidad
constante que se denomina radio.
 Su ecuación general es: Ax 2 + By 2 + Cx + Dy + E = 0
 La circunferencia de centro C = (h, k) y radio ( r ). Esta se utilizará cuando sea
trasladada y tiene por ecuación
( x – h ) 2 + ( y – k ) 2 = r 2
( -1 , 1 )

 En particular si el centro es el origen:
x 2 + y 2 = r 2
8.2) Parábolas: se le llama así al gráfico de cualquiera de las dos ecuaciones
siguientes, donde a, b y c son constantes con a ≠ 0.
 Ecuación general: Ax 2 + Bx + Cy + D = 0
 Su ecuación canónica:
Abre hacia arriba: ( 𝑥 − ℎ) 2
= 4𝑝 (𝑦 − 𝑘 ) Abre
hacia abajo: ( 𝑥 − ℎ) 2
= −4𝑝 (𝑦 − 𝑘 ) Abre hacia
la derecha: ( 𝑦 − 𝑘) 2
= 4𝑝 (𝑥 − ℎ )
Abre hacia la izquierda: ( 𝑦 − 𝑘) 2
= −4𝑝 (𝑥 − ℎ)

2 2
8.3) Elipse: Se trata de una circunferencia achatada que se caracteriza porque la
suma de las distancias desde cualquiera de sus puntos P hasta otros dos puntos
denominados focos (F y F ' ) es siempre la misma.
 Su ecuación general es: Ax 2 +By 2 + Cx + Dx + C = 0
A x B > 0
 Ecuación canónica: 𝑋
2
+
𝑌2
𝑎 𝑏
8.4) Hipérbola: Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de
distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.
 Su ecuación general es: Ax 2 +By 2 + Cx + Dx + C = 0
A x B < 0
 Ecuación canónica: 𝑥
2
𝑎
−
𝑦2
= 1 ( si abre en x )
𝑏
𝑦2
𝑎2 −
𝑥2
𝑏2
= 1 ( si abre en y )

Valores Y
6
5
4
3
2
1
0
0 1 2 3 4
E J E R C I C I O S:
1) Ejercicio de desigualdad con valor absoluto:
| 3𝑥 + 1 | < 15
⟹ −15 < 3𝑥 + 1 < 15
⟹ −15 − 1 < 3𝑥 < 15 − 1
⟹ −16 < 3𝑥 < 14
2) Ejercicio de distancia y punto medio:
Hallar la distancia entre los pares de puntos P y Q , y encontrar el punto
medio:
P= ( 1 , 3)
Q= (3 , 5)
Para encontrar la distancia usaremos la fórmula:
(𝑃1, 𝑃2) = √( 𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 −𝑦1)2
Sustituimos:
𝑑(𝑃𝑄) = √( 3 − 1)2 + (5 − 3)2
𝑑(𝑃𝑄) √22
+ 22
(Q)
(P )
−16 14
⟹ < 𝑥 <
3 3

𝑑(𝑃𝑄) = √4 + 4
𝑑(𝑃𝑄) = 2√2
Una vez hallada la distancia, procedemos a encontrar el punto medio:
M =
𝑥1+ 𝑥2
2
,
𝑦1+ 𝑦2
2
M =
1+ 3
2
M = 4
2
,
3+ 5
2
,
8
2
M = (2 , 4)
: . El resultado para éste ejercicio es: 2√2 , (2,4)

Referencias Bibliográficas
 Purcell E. y Varberg D (1993) Calculo con geometría analítica 6ta edición.
 Ayres, F. (1971) Calculo diferencial e integral. Teoría y 1175 ejercicios
 Saenz J. (2005) Calculo diferencial para ingeniería. 2da edición
 Bricejo Y. (S/F) Números Reales
 Bricejo Y. (S/F) Propiedades de Los Números Reales
 Bricejo Y. (S/F) Inecuaciones y Desigualdades

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