Pd6

Pd6

• 1.
  Bentuk umum persamaanDifferensial Orde Dua adalah : d2y dy a +b + cy = f(x) (1) dx 2 dx Jika f(x) = 0, maka am2 + bm + c = 0, menghasilkan m = m1 dan m = m2 dengan penyelesaian umum y = A e m1 x + B e m 2 x , jika disubtitusi ke persamaan (1), akan membuat sisi kiri sama dengan nol. Oleh karena itu harus ada satu suku tambahan dalam penyelesaian yang membuat sisi kiri sama dengan f(x) dan bukan nol. Sehingga penyelesaian lengkapnya berbentuk : y = A e m1 x + B e m 2 x + X, dengan X adalah fungsi tambahan yang akan dicari. y = A e m1 x + B e m 2 x , disebut Fungsi Komplementer (FK) y = X (fungsi dari x) disebut Integral Khusus (IK) sehingga penyelesaian lengkapnya diperoleh dari : Penyelesaian Umum = Fungsi komplementer + Integral Khusus d2y dy Untuk menyelesaikan persamaan, a +b + cy = f(x) dx 2 dx (1) Fungsi Komplemnter (FK) diperoleh dari menyelesaikan persamaan f(x) = 0, Yang menghasilkan beberapa tipe penyelesaian berikut : (a) y = A e m1 x + B e m 2 x (b) y = e m1 x (A +Bx) (c) y = e α x (A cos βx + B sin βx) (d) y = A cos nx + B sin nx (e) y = A cosh nx + B sinh nx (2) Integral Khusus (IK), diperoleh dengan menggunakan bentuk umum dari fungsi ini pada sisi kanan persamaan, dengan subtitusi ke dalam persamaan, dan menyamakan koefisien – koefisiennya. Contoh 42 d2y dy Selesaikanlah –5 + 6y = x2 dx 2 dx Penyelesaian (1) Untuk mendapatkan FK, selesaikan sisi kiri = 0, sehinga persamaan karakteristiknya adalah : m2 – 5m + 6 = 0 (m1 – 3)(m2 – 2) = 0 ∴ m1 = – 3 dan m2 = – 2 ∴Penyelesaiaan FK, adalah y = A e 3x + B e 2x 54
• 2.
  (2) Untuk mendapatkanIK, digunakan bentuk umum dari sisi kanan, yang merupakan suatu fungsi derajat dua. Misalkan y = Cx2 + Dx + E, maka dy d2y = 2Cx + D, dan = 2C dx dx 2 dengan mensubtitusi ke persamaan awal maka, d2y dy –5 + 6y = x2 dx 2 dx 2C – 5(2Cx) + 6(Cx2 + Dx + E) = x2 2C – 10Cx + 6Cx2 + 6Dx + 6E = x2 atau 6Cx2 – (6D – 10C)x + (2C – 5D + 6E) = x2 dengan menyamakan koefisien dari pangkat x, akan diperoleh : 1 [x2] 6C = 1 ∴C = 6 10 5 5 [x1] 6D – 10C = 0 ∴6D = = ∴D = 6 3 18 25 2 19 19 [ x0 ] 2C – 5D + 6E = 0 ∴6E = – = ∴E = 18 6 18 108 x2 5x 19 Jadi Integral khususnya (IK) adalah y = + + 6 18 108 Penyelesaian lengkapnya = FK + IK , Sehingga penyelesaian umumnya adalah x2 5x 19 y = A e 3x + B e 2x + + + 6 18 108 Berikut beberapa asumsi bentuk umum fungsi persamaan yang digunakan dalam menghitung Integral Khusus (IK) : Jika f(x) = k … … Asumsikan y=C f(x) = kx … … y = Cx + D f(x) = kx2 … … y = Cx2 + Dx + E f(x) = k sin x atau k cos x y = C cos x + D sin x f(x) = k sinh x atau k cosh x y = C cosh x + D sinh x f(x) = ekx y = Cekx Contoh : 1. f(x) = 2x – 3 Bentuk IK : y = Cx + D 2. f(x) = e5x y = Ce5x 55
• 3.
  3. f(x) =sin 4x y = C cos 4x + D sin 4x 4. f(x) = 3 – 5x2 y = Cx2 + Dx + E 5. f(x) = 27 y=C 6. f(x) = 5 cosh 4x y = C cosh 4x + D sinh 4x Contoh 43 d2y dy Selesaikanlah –5 + 6y = 24 dx 2 dx Penyelesaian (1) Untuk mendapatkan FK, selesaikan sisi kiri = 0, sehinga persamaan karakteristiknya adalah : m2 – 5m + 6 = 0 (m1 – 3)(m2 – 2) = 0 ∴ m1 = – 3 dan m2 = – 2 ∴Penyelesaiaan FK, adalah y = A e 3x + B e 2x (2) Untuk mendapatkan IK, digunakan bentuk umum dari sisi kanan, yang merupakan suatu fungsi derajat dua. Misalkan y = C, maka dy d2y = 0, dan =0 dx dx 2 dengan mensubtitusi ke persamaan awal maka, 0 – 5(0) + 6C = 24 ⇒ C = 4 ∴IKnya adalah y = 4 Jadi penyelesaian umumnya adalah y = A e 3x + B e 2x + 4 Contoh 44 d2y dy Selesaikanlah –5 + 6y = 2 sin 4x dx 2 dx Penyelesaian (1) Untuk mendapatkan FK, selesaikan sisi kiri = 0, sehinga persamaan karakteristiknya adalah : m2 – 5m + 6 = 0 (m1 – 3)(m2 – 2) = 0 ∴ m1 = – 3 dan m2 = – 2 ∴Penyelesaiaan FK, adalah y = A e 3x + B e 2x 56
• 4.
  (2) Untuk mendapatkanIK, digunakan bentuk umum dari sisi kanan, yang merupakan suatu fungsi derajat dua. Misalkan, y = C cos 4x + D sin 4x dy = – 4C sin 4x + 4D cos 4x dx d2y = – 16C cos 4x – 16D sin 4x dx 2 dengan mensubtitusi ke persamaan awal maka, d2y dy –5 + 6y = 2 sin 4x dx 2 dx –16C cos 4x–16D sin 4x–5[– 4C sin 4x+4D cos 4x]+6[C cos 4x+D sin 4x] = 2 sin 4x (20C – 10D) sin 4x – (10C +20D) cos 4x = 2 sin 4x 20C – 10D = 2 ⇒ 40C – 20D = 4 2 1 50 C = 4 ∴C = dan D = − 10C + 20D = 0 ⇒ 10C + 20D = 0 25 25 1 ∴IKnya adalah y = (2 cos 4x – sin 4x) 25 Jadi penyelesaian umumnya adalah 1 y = A e 3x + B e 2x + (2 cos 4x – sin 4x) 25 Contoh 45 d2y dy Selesaikanlah + 14 + 49y = 4e5x dx 2 dx Penyelesaian (1) Persamaan karakteristiknya adalah : m2 + 14m + 49 = 0 (m1 + 7)(m2 + 7) = 0 ∴ m1 = – 7 dan m2 = – 7 ∴Penyelesaiaan FK, adalah y = e -7x (A + Bx) (2) Untuk mendapatkan IK, misalkan y = Ce5x dy = 5Ce5x dx d2y 2 = 25 Ce5x dx dengan mensubtitusi ke persamaan awal maka, 57
• 5.
  d2y dy + 14 + 19y = 4e5x dx 2 dx 25 Ce5x + 14(5Ce5x) + 19 Ce5x = 4e5x dengan membagi e5x kedua sisinya, maka 1 25C + 70C + 49C = 4 ⇒ ∴ C = 36 e 5x ∴IKnya adalah y = 36 -7x e 5x Jadi penyelesaian umumnya adalah y = e (A + Bx) + 36 Contoh 46 d2y dy Selesaikanlah +6 + 10y = 2 sin 2x dx 2 dx Penyelesaian (1) Persamaan karakteristiknya adalah : m2 + 6m + 10 = 0 -6 ± 36 - 40 - 6 ± - 4 m12 = = = –3 ± i 2 2 ∴Penyelesaiaan FK, adalah y = e -3x (A cos x + B sin x) (2) Untuk mendapatkan IK, misalkan y = C cos 2x + D sin 2x dy = – 2C sin 2x + 2D cos 2x dx d2y = – 4C cos 2x – 4D sin 2x dx 2 dengan mensubtitusi ke persamaan awal maka, d2y dy +6 + 10y = 2 sin 2x dx 2 dx –4C cos 2x–4D sin 2x+6[–2C sin 2x+2D cos 2x]+10[C cos 2x+D sin 2x] = 2 sin 2x (6C + 12D) cos 2x + (6D – 12C) sin 2x = 2 sin 2x 6C + 12D = 0 ⇒ C = – 2D 1 2 6D – 12C = 2 ⇒ 6D + 24D = 2 ∴30D = 2⇒ D = dan C = − 15 15 1 IKnya adalah y = ( sin 2x – 2 cos 2x) 15 1 Jadi Penyelesaian Umumnya adalah y = e -3x (A cos x+B sin x)+ ( sin 2x–2 cos 2x). 15 58
• 6.
  Contoh 47 d2y dy Selesaikanlah –3 + 2y = x2 dx 2 dx Penyelesaian (1) Persamaan karakteristiknya adalah : m2 – 3m + 2 = 0 (m – 1)(m – 2)= 0 ∴ m1 = 1 atau m2 = 2 ∴Penyelesaiaan FK, adalah y = A e x + B e 2x (2) Untuk mendapatkan IK, misalkan y = Cx2 + Dx + E dy d2y ∴ = 2Cx + D dan = 2C dx dx 2 d2y dy –3 + 2y = x2 dx 2 dx 2C – 3(2Cx) + 2(Cx2 + Dx + E) = x2 2Cx2 + (2D – 6)x + (2C – 3D + 2E = x2 1 2C = 1 ⇒ C = 2 3 7 7 2D – 6C = 0 ⇒ D = dan 2C – 3D + 2E = 0⇒ 2E = 3D – 2C = ∴E = 2 2 4 x 2 3x 7 1 IKnya adalah y = + + = (2x2 + 6x + 7) 2 2 4 4 1 Jadi penyelesaian umumnya adalah y = A e x + B e 2x + (2x2 + 6x + 7). 4 Contoh 48 d2y dy 5 dy 1 Selesaikanlah +4 + 5y = 13e 3x, jika x = 0, y= dan = dx 2 dx 2 dx 2 Penyelesaian (1) Persamaan karakteristiknya adalah : m2 + 4m + 5 = 0 -4± 16 - 20 - 4 ± - 4 m12 = = = –2 ± i 2 2 ∴Penyelesaiaan FKnya, adalah y = e -2x (A cos x + B sin x) dy d2y (2) IKnya, misalkan y = Ce3x, = 3Ce3x dan = 9Ce3x dx dx 2 d2y dy +4 + 5y = 13e 3x dx 2 dx 59
• 7.
  9Ce3x + 4(3Ce3x)+ 5Ce3x = 13e 3x 1 26C = 13 ⇒ C = 2 e 3x IKnya adalah y = 2 e 3x 5 Jadi penyelesaian umumnya adalah y = e -2x (A cos x + B sin x) + ; x = 0 dan y = 2 2 5 1 e 3x ∴ = A + ⇒ A = 2 ∴ y = e (2 cos x + B sin x) + -2x 2 2 2 dy -2x -2x e 3x = e (– 2 sin x + B cos x) – 2e (2 cos x + B sin x) + 3 dx 2 dy 1 1 3 x = 0, = ∴ =B–4+ ⇒B=3 dx 2 2 2 -2x e 3x Jadi penyelesaian khususnya adalah y = e (2 cos x + 3 sin x) + 2 Contoh 49 d2y dy Selesaikanlah –2 – 8y = 3e -2x dx 2 dx Penyelesaian (1) Persamaan karakteristiknya adalah : m2 – 2m – 8 = 0 (m + 2)(m – 4) = 0⇒ m1 = – 2 dan m2 = 4 ∴Penyelesaiaan FKnya, adalah y = A e 4x + B e -2x (2) Bentuk umum IKnya, misalkan y = Ce-2x, tapi karena suku e-2x sudah ada dalam FK, maka pemisalan IKnya menjadi y = Cx e -2x dy = Cx(– 2Ce-2x) + Ce-2x = Ce-2x(1 – 2x) dx d2y dan 2 = Ce-2x(–2) – 2Ce-2x(1 – 2x) = Ce-2x(4x – 4) dx sehingga, d2y dy –2 – 8y = 3e -2x dx 2 dx Ce-2x(4x – 4) – 2[Ce-2x(1 – 2x)] – 8[Cx e -2x ] = 13e 3x (4C + 4C – 8C)x – 4C – 2C = 3 1 – 6C = 3 ⇒ C = − 2 60
• 8.
  1 -2x IKnya adalah y = − xe 2 1 -2x Jadi penyelesaian umumnya adalah y = A e 4x + B e -2x − xe 2 Contoh 50 d2y dy Selesaikanlah + – 2y = ex dx 2 dx Penyelesaian (1) Persamaan karakteristiknya adalah : m2 + m – 2 = 0 (m + 2)(m – 1) = 0⇒ m1 = – 2 dan m2 = 1 ∴Penyelesaiaan FKnya, adalah y = A e -2x + B e x (2) Bentuk umum IKnya, misalkan y = Cex, tapi karena suku ex sudah ada dalam FK, maka pemisalan IKnya menjadi y = Cx e x dy = Cx(ex) + Cex = Cex(1 +x), dx d2y dan = Cex + Cxex+Cex = Cex(x + 2) dx 2 sehingga, d2y dy + – 2y = ex dx 2 dx Cex(x + 2) + Cex(1 + x) – 2[Cx e x ] = ex C(x + 2) + C(x + 1) – (2Cx) = 1 1 3C = 1 ⇒ C = 3 1 x IKnya adalah y = xe 3 1 x Jadi penyelesaian umumnya adalah y = A e x + B e -2x + xe 3 Kesimpulan d2y dy 1. Penyelesaian dari persamaan yang berbentuk a +b + cy = 0 dx 2 dx (a) Persamaan karakteristik : am2 + bm + c = 0 (b) tipe penyelesaian : - Akar – akar riil yang berbeda : m = m1 dan m = m2 y = A e m1 x + B e m 2 x 61
• 9.
  - Akar –akar riil yang sama : m = m1 dan m = m2 y = e m1 x (A + Bx) - Akar – akar kompleks : m = α ± iβ y = e α x (A cos βx + B sin βx) d2y 2. Persamaan berbentuk 2 + n2y = 0 dx y = A cos nx + B sin nx d2y 3. Persamaan berbentuk 2 – n2y = 0 dx y = A cosh nx + B sinh nx d2y dy 4. Penyelesaian umum dari persamaan berbentuk a 2 + b + cy = f(x) dx dx y = fungsi komplementer + integral khusus d2y dy 5. (a) Dengan menyelesaikan FK, a 2 + b + cy = 0 dx dx (b) Dengan menyelesaikan IK, yang disesuaikan dengan sisi kanan persamaan f(x). 62
• 10.
  I. Latihan Selesaikanlah : d2y dy d2y 1 – – 2y = 8 2. – 4y = 10e3x dx 2 dx dx 2 2 d y dy -2x d2y 3 +2 +y=e 4. + 25 y = 25x2 + x dx 2 dx dx 2 2 d y dy 2 d y dy dy 5. –2 + y = 4 sin x 6. +4 +5y = 2e-2x, jika x=0, y=1 dan = –2 dx 2 dx dx 2 dx dx d2y dy d2y dy 7. 3 2 – 2 – y = 2x – 3 8. –6 + 8y = 8e4x dx dx dx 2 dx Jawaban : 1. y = Ae-x + Be2x – 4 2. y = Ae2x + Be-2x – 2e3x 1 3. y = e-x(A + Bx) – 2e-2x 4. y = A cos 5x + B sin 5x + 125 (25x2 + 5x – 2) 5. y = ex(A + Bx) + 2cos x 6. y = e-2x(2 – cos x) 7. y = Aex + Be-x/3– 2x + 7 8. y = Ae2x + Be4x + 4xe4x Tugas VI (Dikumpulkan Sebelum UTS) II. Selesaikanlah : d2y dy d2y dy 1. –5 +6y=100sin4x 2. + – 2y = 2 cosh 2x dx 2 dx dx 2 dx d2y dy d2y dy 3. +4 + 4y = 2 cos2 x 4. –2 + 3y = x2 – 1 dx 2 dx dx 2 dx d2y dy d2y dy 5. –6 + 9y = 54x +16 6. –4 + 3y = x + e2x dx 2 dx dx 2 dx 2 d y 7. 2 – 9y = e3x + sin 3x dx 8. Selesaikanlah persamaan d2x dx dx +4 +3x = e –3t, jika diketahui t = 0, x = ½ dan =–2 dt 2 dt dt 9. Tentukan penyelesaian umum dari persamaan d2y dy +4 + 3y = 6 sin t dt 2 dt dan tentukan juga amplitudo dan frekuensi dari fungsi keadaan tunaknya. 10. Selesaikanlah persamaan d2x dx –3 + 2x = sin t dt 2 dt dx jika diketahui t = 0, x = 0 dan =0 dt 63