Pembahasan Makalah Perpotongan Garis Geometri Analitik

Pembahasan Makalah Perpotongan Garis Geometri Analitik

• 1.
  Perpotongan Garis-Garis 1 BABI PENDAHULUAN A. Latar Belakang Garis adalah salah satu objek elementer dalam matematika, khususnya geometri. Karena merupakan objek elementer, garis biasanya tidak didefinisikan. Garis lurus adalah garis yang menghubungkan dua titik dengan jarak yang terdekat. persamaan garis lurus merupakan persamaan dimana variable x dan y memiliki pangkat tertinggi yaitu satu. Adapun bentuk umum persamaan garis lurus yaitu 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0. Dalam sebuah system koordinat, jika terdapat dua buah garis, maka terdapat tiga kemungkinan yaitu garis tersebut sejajar, berimpit ataupun berpotongan dimana masing-masing dari ketiga hal tersebut memiliki ciri tersendiri. Dalam materi geometri analitik sebelumnya telah dijelaskan tentang cara menggambar sebuah grafik yaitu dengan memisalkan sebarang nilai x dari berbagai titik untuk mencari titik koordinat yang selanjutnya akan dihubungkan menjadi sebuah garis lurus yang mana telah kita ketahui sbelumnya bahwa garis tersebut merupakan hasil dari kumpulan titik-titik yang tak hingga batas. Namun terkadang dengan metode tersebut kita sering kesulitan untuk mencari titi potong dari garis tersebut. Adapun untuk memahami lebih lanjut tentang materi garis lurus, pada makalah ini kami akan membahas materi kelanjutan dari garis lurus yaitu mengenai Perpotongan Garis-Garis. B. Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang diatas, rumusan masalanya yaitu: 1. Apa yang dimaksud dengan perpotongan garis? 2. Bagaimana cara menentukan titik potong dari perpotongan garis? C. Tujuan Makalah ini betujuan untuk memenuhi tugas mata kuliah geometri analitik sekaligus memberikan informasi mengenai perpotongan gari-garis pada sebuah garis lurus.
• 2.
  Perpotongan Garis-Garis 2 BABII PEMBAHASAN A. Perpotongan Garis-Garis Titik potong antar dua garis, berarti titik itu terletak pada garis pertama maupun pada garis kedua. Mencari koordinat titik potong antara dua garis adalah mencari penyelesaian dari sistem persamaan linier dengan dua variable[1]. Tinjau dua persamaan linier 𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 + 𝑐1 = 0, dan 𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 + 𝑐2 = 0 dengan 𝑎1, 𝑎2, 𝑏1, 𝑏2 ≠ 0. Tiap persamaan linier ini mewakili sebuah garis pada bidang[2]. Namakanlah garis-garis tersebut l1 dan l2. Karena sebuah titik (x,y) terletak pada sebuah garis jika dan hanya jika bilangan-bilangan x dan y memenuhi persamaan garis tersebut, maka pemecahan sistem persamaan tersebut akan bersesuaian dengan titik perpotongan dari garis l1 dan l2 [3]. Adapun dua buah garis kita katakan bepotongan apabila garis tersebut terletak pada satu bidang datar dan kedua garis tersebut berpotongan disalah satu titiknya. Ada tiga kemungkinan: a. Garis l1 mungkin sejajar dengan garis l2, dimana di dalam kasus ini tidak ada perpotongan, dan sebagai konsekuensinya maka tidak ada pemecahan untuk sistem tersebut. b. Garis l1 mungkin berpotongan dengan garis l2 di hanya satu titik, dimana dalam kasus ini kedua garis tersebut mempunyai satu titik potong sehingga sistem persamaan tersebut mempunyai satu pemecahan. c. Garis l1 mungkin berimpit dengan garis l2, dimana dalam kasus ini terdapat tak terhingga banyaknya titik perpotongan, dan sebagai konsekuensinya maka tak terhingga banyaknya pemecahan untuk sistem tersebut. Hal tersebut digambarkan dalam grafik berikut[4]: (a) (b) (c) x y x y x y l1 l2 l1 l1 l2l2
• 3.
  Perpotongan Garis-Garis 3 Gambar1 (a) Tidak ada pemecahan, (b) Satu Pemecahan, (c) Tak terhingga banyaknya pemecahan. B. Menentukan Titik Potong Garis Menurut aljabar ada beberapa cara untuk menyelesaikan sistem persamaan linier, antara lain dengan metode subtitusi, eliminasi, matriks, dan determinan[5]. 1. Menggunakan Metode Subtitusi: Untuk mencari titik potong terhadap kedua garis menggunakan metode subtitusi dilakukan dengan cara menyatakan salah satu variabel ke dalam variabel lainnya pada salah satu persamaan, kemudian mensubtitusikannya ke persamaan lain. Contoh 1: Tentukan titik potong dari persamaan berikut: 3𝑥 − 𝑦 = 10 𝑥 − 2𝑦 = 0 Penyelesaian: Misalkan, 3𝑥 − 𝑦 = 10… … …… … … ( 𝑖) 𝑥 − 2𝑦 = 0 …… … …… … . (𝑖𝑖)  Cara 1 (mensubtitusi y) Pada persamaan (i) nyatakan variable y ke dalam variable x: 3𝑥 − 𝑦 = 10 𝑦 = 3𝑥 − 10… … .. (𝑖𝑖𝑖) Subtitusikn persamaan (iii) ke persaman ke persamaan (ii): 𝑥 − 2𝑦 = 0 → 𝑥 − 2(3𝑥 − 10) = 0 ↔ 𝑥 − 6𝑥 + 20 = 0 ↔ −5𝑥 + 20 = 0 ↔ −5𝑥 = −20 ↔ 𝑥 = −20 −5 ↔ 𝑥 = 4 Subtitusikan x = 4 ke persamaan ke (iii):
• 4.
  Perpotongan Garis-Garis 4 𝑦= 3𝑥 − 10 → 𝑦 = 3(4) − 10 ↔ 𝑦 = 12 − 10 ↔ 𝑦 = 2 𝑗𝑎𝑑𝑖,titik potong kedua garis tersebut yaitu (4,2)  Cara 2 (Mensubtitusi x): Pada persamaan (ii), nyatakan variable x ke dalam variable y: 𝑥 − 2𝑦 = 0 𝑥 = 2𝑦 …… … …(𝑖𝑣) Subtitusikan (iv) ke (i), sehingga menjadi: 3(2𝑦) − 𝑦 = 10 ↔ 5𝑦 = 10 ↔ 𝑦 = 2 Subtitusikan y = 2 ke (iv): 𝑥 = 2𝑦 ↔ 𝑥 = 2(2) ↔ 𝑥 = 4 Jadi, diperoleh titik potong kedua garis tersebut yaitu (4,2) 2. Menggunakan Metode Eliminasi: Untuk mencari titik potong terhadap kedua garis menggunakan metode eliminasi dilakukan dengan cara menghilangkan salah satu variabelnya. Contoh 2: Tentukan titik potong dari persamaan berikut: 3𝑥 − 𝑦 = 10 𝑥 − 2𝑦 = 0 Penyelesaian: Misalkan, 3𝑥 − 𝑦 = 10… … …… … … ( 𝑖) 𝑥 − 2𝑦 = 0 …… … …… … . (𝑖𝑖) Mengeliminasi/menghilangkan x:
• 5.
  Perpotongan Garis-Garis 5 3𝑥− 𝑦 = 10 × 1 3𝑥 − 𝑦 = 10 𝑥 − 2𝑦 = 0 × 3 3𝑥 − 6𝑦 = 0 5𝑦 = 10 𝑦 = 2 Mengeliminasi/menghilangkan y: 3𝑥 − 𝑦 = 10 × 2 6𝑥 − 2𝑦 = 20 𝑥 − 2𝑦 = 0 × 2 𝑥 − 2𝑦 = 0 5𝑥 = 20 𝑥 = 4 Jadi, diperoleh titik potong kedua garis tersebut yaitu (4,2) 3. Matriks Matriks dapat digunakan untuk menyelesaikan suatu sistem persamaan linear. Cara menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel dengan matriks yaitu mengubah bentuk persamaan ke dalam bentuk matriks[6]. Selanjutnya matriks tersebut di selesaikan untuk mencari titik (x,y) dimana pada metode matriks ini juga menggunakan invers pada matriks. Berikut langkah-langkah untuk mencari titik potong garis dalam sebuah sistem persamaan menggunakan metode matriks. Bentuk umum persamaan linear: 𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 + 𝑐1 = 0 → 𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 = −𝑐1 𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 + 𝑐2 = 0 → 𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 = −𝑐2 Di ubah dalam bentuk matriks menjadi; ( 𝑎1 𝑏1 𝑎2 𝑏2 ) ( 𝑥 𝑦 ) = ( −𝑐1 −𝑐2 ) Pada matriks, jika A = ( 𝑎1 𝑏1 𝑎2 𝑏2 ) maka: 𝐴−1 = 1 det 𝐴 ( 𝑏2 −𝑏1 −𝑎2 𝑎1 ) = 1 𝑎1 𝑏2−𝑎2 𝑏1 ( 𝑏2 −𝑏1 −𝑎2 𝑎1 ) Sehingga diperoleh: ( 𝑥 𝑦 ) = 1 𝑎1 𝑏2−𝑎2 𝑏1 ( 𝑏2 −𝑏1 −𝑎2 𝑎1 ) (−𝑐 −𝑐 ) [7] Contoh Selesaikan system persamaan linear berikut dengan matriks! { 3𝑥 − 𝑦 = 10 𝑥 − 2𝑦 = 0 [
• 6.
  Perpotongan Garis-Garis 6 Penyelesaian: Kitanyatakan dulu system persamaan tersebut dalam bentuk matriks, yaitu: ( 3 −1 1 −2 )( 𝑥 𝑦 ) = ( 10 0 ) Sehingga: ⇔ ( 𝑥 𝑦 ) = 1 3(−2)− 1 − (−1) ( −2 1 −1 3 ) ( 10 0 ) ⇔ ( 𝑥 𝑦 ) = 1 −6 + 1 ( −2 1 −1 3 )( 10 0 ) ⇔ ( 𝑥 𝑦 ) = 1 −5 ( −2(10)+ 1(0) −1(10)+ 3(0) ) ⇔ ( 𝑥 𝑦 ) = 1 −5 ( −20 −10 ) ⇔ ( 𝑥 𝑦 ) = ( 4 2 ) Diperoleh nilai x = 4 dan y = 2, sehingga koordinat titik pototng kedua persamaan garis tersebut yaitu (4,2) 4. Determinan Selain menggunakan sifat invers pada matriks (metode ke-3) dalam mencari titik potong dari suatu sistem persamaan garis juga dapat diselesaikan dengan determinan. Bentuk umum persamaan garis yaitu: 𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 + 𝑐1 = 0 𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 + 𝑐2 = 0 , maka: 𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 = −𝑐1 𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 = −𝑐2 , Jika diselesaikan dengan metode eliminasi, maka di dapat: Eliminasi y: 𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 = −𝑐1 × 𝑏2 → 𝑎1 𝑏2 𝑥 + 𝑏1 𝑏2 𝑦 = −𝑐1 𝑏2 𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 = −𝑐2 × 𝑏1 → 𝑎2 𝑏1 𝑥 + 𝑏1 𝑏2 𝑦 = −𝑐2 𝑏1
• 7.
  Perpotongan Garis-Garis 7 ⇔𝑎1 𝑏2 𝑥 − 𝑎2 𝑏1 𝑥 = −𝑐1 𝑏2 + 𝑐2 𝑏1 ⇔ 𝑥(𝑎1 𝑏2 − 𝑎2 𝑏1) = −𝑐1 𝑏2 + 𝑐2 𝑏1 ⇔ 𝑥 = 𝑐2 𝑏1 − 𝑐1 𝑏2 𝑎1 𝑏2 − 𝑎2 𝑏1 Diperoleh 𝑥 = 𝑐2 𝑏1−𝑐1 𝑏2 𝑎1 𝑏2−𝑎2 𝑏1 , atau dapat dituliskan dengan 𝑥 = | −𝑐1 𝑏1 −𝑐2 𝑏2 | | 𝑎1 𝑏1 𝑎2 𝑏2 | dimana | −𝑐1 𝑏1 −𝑐2 𝑏2 | = 𝑐2 𝑏1 − 𝑐1 𝑏2 yang tidak lain merupakan determinan dari ( −𝑐1 𝑏1 −𝑐2 𝑏2 ). Eliminasi x: 𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 = −𝑐1 × 𝑎2 → 𝑎1 𝑎2 𝑥 + 𝑏1 𝑎2 𝑦 = −𝑐1 𝑎2 𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 = −𝑐2 × 𝑎1 → 𝑎2 𝑎1 𝑥 + 𝑎1 𝑏2 𝑦 = −𝑐2 𝑎1 ⇔ 𝑏1 𝑎2 𝑦 − 𝑎1 𝑏2 𝑦 = −𝑐1 𝑎2 + 𝑐2 𝑎1 ⇔ 𝑦( 𝑏1 𝑎2 − 𝑎1 𝑏2) = −𝑐1 𝑎2 + 𝑐2 𝑎1 ⇔ 𝑦 = 𝑎1 𝑐2 − 𝑎2 𝑐1 𝑎2 𝑏1 − 𝑎1 𝑏2 ⇔ 𝑦 = 𝑎2 𝑐1 − 𝑎1 𝑐2 𝑎2 𝑏1 − 𝑎1 𝑏2 Diperoleh 𝑦 = 𝑎2 𝑐1−𝑎1 𝑐2 𝑎2 𝑏1−𝑎1 𝑏2 , atau dapat dituliskan dengan 𝑦 = | 𝑎1 −𝑐1 𝑎2 −𝑐2 | | 𝑎1 𝑏1 𝑎2 𝑏2 | dimana | 𝑎1 −𝑐1 𝑎2 −𝑐2 | = 𝑎2 𝑐1 − 𝑎1 𝑐2 yang tidak lain merupakan determinan dari ( 𝑎1 −𝑐1 𝑎2 −𝑐2 ). [7] Contoh Selesaikan sistem persamaan linear berikut dengan determinan! { 3𝑥 − 𝑦 − 10 = 0 𝑥 − 2𝑦 = 0
• 8.
  Perpotongan Garis-Garis 8 Penyelesaian: 𝑥= | −𝑐1 𝑏1 −𝑐2 𝑏2 | | 𝑎1 𝑏1 𝑎2 𝑏2 | , maka: ⇔ 𝑥 = | −(−10) −1 −(0) −2 | | 3 −1 1 −2 | = 0(−1)− (10)(−2) 1(−1)− 3(−2) = 20 5 = 4 𝑦 = | 𝑎1 −𝑐1 𝑎2 −𝑐2 | | 𝑎1 𝑏1 𝑎2 𝑏2 | , maka: ⇔ 𝑦 = | 3 −(−10) 1 −(0) | |3 −1 1 −2 | = 1(10) − 3(0) 1(−1) − 3(−2) = 10 5 = 2 Diperoleh koordinat titik potong dari sistem persamaan tersebut yaitu (4,2) Gambar 2 Pasangan x dan y adalah koordinat titik potong dari garis l1 dan l2. Kita tinjau berbagai kemungkinan. [8] Perhatikan contoh berikut: Contoh 1. Carilah koordinat titik potong antara 𝑔1: 2𝑥 − 𝑦 + 3 = 0 dan garis 𝑔2: 𝑥 + 3𝑦 − 4 = 0. Secara determinan: 1 1 (0,0) (2,1) (4,2) (0,10/3) x-2y=0 3x-y-10=0
• 9.
  Perpotongan Garis-Garis 9 Penyelesaian: 2𝑥− 𝑦 + 3 = 0 𝑥 + 3𝑦 − 4 = 0 𝑥 = | −3 −1 4 3 | | 2 −1 1 3 | = −9 + 4 6 + 1 = − 5 7 𝑦 = | 2 −3 1 4 | | 2 −1 1 3 | = 8 + 3 6 + 1 = 11 7 Jadi titik potong 𝑔1 dan 𝑔2 adalah titik (− 5 7 , 11 7 ) Gambar 3 Terlihat | 𝑎1 𝑏1 𝑎2 𝑏2 | = 𝑎1 𝑏2 − 𝑎2 𝑏1 ≠ 0 atau | 2 −1 1 3 |= 6 + 1 = 7, 𝑑𝑎𝑛 𝑎1 𝑎2 ≠ 𝑏1 𝑏2 𝑎𝑡𝑎𝑢 2 1 ≠ 11 7 dan kedua garis tersebut perpotongan pada satu titik yaitu (− 5 7 , 11 7 ). Contoh 2: Diketahui persamaan garis berikut: { 3𝑥 − 𝑦 − 5 = 0 6𝑥 − 2𝑦 − 4 = 0 Tentukan titik potong serta sketsakan grafiknya! Penyelesaian: 𝑥 = | −𝑐1 𝑏1 −𝑐2 𝑏2 | | 𝑎1 𝑏1 𝑎2 𝑏2 | maka: Kesimpulannya yaitu: Jika | 𝑎1 𝑏1 𝑎2 𝑏2 | = 𝑎1 𝑏2 − 𝑎2 𝑏1 ≠ 0, 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑎1 𝑎2 ≠ 𝑏1 𝑏2 maka dua garis tersebut berpotongan di satu titik. [9] 1 1 (-5/7,11/7) (1,1) (0,3) (1,5) (4,0) 2x-y+3=0 x+3y-4=0
• 10.
  Perpotongan Garis-Garis 10 ⇔𝑥 = | −(−5) −1 −(−4) −2 | | 3 −1 6 −2 | = 4(−1)− 5(−2) 6(−1)− 3(−2) = −4 + 10 −6 + 6 = 6 0 = ∞ 𝑦 = | 𝑎1 −𝑐1 𝑎2 −𝑐2 | | 𝑎1 𝑏1 𝑎2 𝑏2 | , maka: ⇔ 𝑦 = | 3 −(−5) 6 −(−4) | | 3 −1 6 −2 | = 6(5)−3(4) 6(−1)−3(−2) = 30−12 −6+6 = 18 0 = ∞ Gambar 4 Terlihat | 𝑎1 𝑏1 𝑎2 𝑏2 | = 𝑎1 𝑏2 − 𝑎2 𝑏1 = 0 atau | 3 −1 6 −2 |= 6(−1)− 3(−2) = 0, 𝑑𝑎𝑛 𝑎1 𝑎2 ≠ 𝑏1 𝑏2 𝑎𝑡𝑎𝑢 3 6 = −1 −2 dan kedua garis tersebut tidak memiliki titik potong. Contoh 3. Diketahui persamaan garis berikut: { 3𝑥 − 𝑦 − 5 = 0 6𝑥 − 2𝑦 − 10 = 0 Tentukan titik potong serta sketsakan grafiknya! 1 1 (1,-2) (0,-5) (0,-2) (1,1) 6x-2y-4=0 3x-y-5=0 Kesimpulannya yaitu: Jika | 𝑎1 𝑏1 𝑎2 𝑏2 | = 𝑎1 𝑏2 − 𝑎2 𝑏1 = 0, 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑎1 𝑎2 = 𝑏1 𝑏2 𝑑𝑎𝑛 𝑎1 𝑎2 = 𝑏1 𝑏2 ≠ 𝑐1 𝑐1 maka garis tersebut sejajar (dianggap tidak berpotongan). [10]
• 11.
  Perpotongan Garis-Garis 11 Penyelesaian: 𝑥= | −𝑐1 𝑏1 −𝑐2 𝑏2 | | 𝑎1 𝑏1 𝑎2 𝑏2 | maka: ⇔ 𝑥 = | −(−5) −1 −(−10) −2 | | 3 −1 6 −2 | = 10(−1)− 5(−2) 6(−1)− 3(−2) = −10 + 10 −6 + 6 = 0 0 = ∞ 𝑦 = | 𝑎1 −𝑐1 𝑎2 −𝑐2 | | 𝑎1 𝑏1 𝑎2 𝑏2 | , maka: ⇔ 𝑦 = | 3 −(−5) 6 −(−10) | | 3 −1 6 −2 | = 6(5) − 3(10) 6(−1) − 3(−2) = 30 − 30 −6 + 6 = 0 0 = ∞ Terlihat bahwa kedua persamaan garis tersebut memiliki tak hingga banyak titik koordinat yang berpotongan diantara kedua garis tersebut. Meskipun pada contoh 2 diperoleh titik (x,y) = (∞,∞) namun pendefinisiannya berbeda. Pada contoh 2 kedua garis tersebut sejajar (tidak ada titik perpotongan) sedangkan pada contoh ini kedua garis tersebut berpotongan pada semua titik atau garis itu sendiri. Hal itu dapat dilihat pada grafik dibawah ini. Gambar 5 1 1 6x-2y-10=0 (0,-5) (1,-2) (2,1) 3x-y-5=0
• 12.
  Perpotongan Garis-Garis 12 Kesimpulannyayaitu: Jika | 𝑎1 𝑏1 𝑎2 𝑏2 | = | 𝑎1 𝑐1 𝑎2 𝑐2 | = | 𝑐1 𝑏1 𝑐2 𝑏2 | atau 𝑎1 𝑎2 = 𝑏1 𝑏2 = 𝑐1 𝑐1 maka kedua garis tersebut berimpit (titik potongnya banyak sekali, yaitu garis itu sendiri) [11] .
• 13.
  Perpotongan Garis-Garis 13 BABIII PENUTUP A. Kesimpulan Dari pembahasan diatas dapat disimpulkan bahwa, Dua buah garis kita katakan bepotongan apabila garis tersebut terletak pada satu bidang datar dan kedua garis tersebut berpotongan, atau ada titik yang dilewatinya secara bersama.. Setiap persamaan mewakili sebuah garis pada bidang, adapun tiga kemungkinan yaitu, garis tersebut akan sejajar, berimpit atau berpotongan. Untuk mencari penyelesaian atau titik potong dari persamaan grafik itu sendiri yaitu ada 4 cara, yakni; metode subtitusi, eliminasi, matriks maupun determinan. B. Saran Semoga makalah yang kami buat ini dapat bermanfaat bagi teman-teman dan saran kami supaya makalah ini dibaca dan dipelajari agar dapat membantu teman- teman dalam.
• 14.
  Perpotongan Garis-Garis 14 DAFTARPUSTAKA Anton, Howard. 1983. .Aljabar Linier Elementer Edisi Ke-3. Jakarta: Erlangga Suherman, Maman.1986. Buku Materi Pokok Geometri Analitik Datar 1-3. Jakarta: Karunika Jakarta Waluyo, Slamet dkk. 2006. Matematika 2 SMA/MA. Jakarta: Bumi Aksara [1], [2] Suherman, Maman.1986. Buku Materi Pokok Geometri Analitik Datar 1-3. Jakarta: Karunika Jakarta, Hlm 2.33 [3] Anton, Howard. 1983. .Aljabar Linier Elementer Edisi Ke-3. Jakarta: Erlangga, Hlm 3 [4] Anton, Howard. 1983. .Aljabar Linier Elementer Edisi Ke-3. Jakarta: Erlangga, Hlm 4 [5] Suherman, Maman.1986. Buku Materi Pokok Geometri Analitik Datar 1-3. Jakarta: Karunika Jakarta, Hlm 2.33 [6] Waluyo, Slamet dkk. 2006. Matematika 2 SMA/MA. Jakarta: Bumi Aksara, Hlm 140 [7] Waluyo, Slamet dkk. 2006. Matematika 2 SMA/MA. Jakarta: Bumi Aksara, Hlm 141 [8], [9], [10], [11], Suherman, Maman.1986. Buku Materi Pokok Geometri Analitik Datar 1- 3. Jakarta: Karunika Jakarta, Hlm 2.33