Pemodelan 2 species

Pemodelan 2 species

• 1.
  Tugas Kelompok Pemodelan Matematika DosenPengampu Mohammad Soleh M.sc PEMODELAN MATEMATIKA DUA SPECIES MODEL MANGSA - PEMANGSA KELOMPOK IV ILFADILAH (11154203228) JUWITA SARI (1115420) NURAFNI (11154201774) JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SULTAN SYARIF KASIM RIAU 2013/2014
• 2.
  KATA PENGANTAR Assalamualaikum wrwb… Puji dan syukur kehadirat Allah SWT yang mana dengan rahmat dan hidayah-Nya kami kelompok IV bisa menyelesaikan makalah Pemodelan Matematika ini dengan judul PEMODELAN MATEMATIKA DUA SPECIES MODEL MANGSA - PEMANGSA atas izin-Nya tepat pada waktunya. Dan tak lupa penulis mengucapkan terima kasih kepada dosen pengampu karena telah memberi bimbingan dalam menyelesaikan makalah ini. Penulis berharap semoga makalah ini bermanfaat bagi para pembaca dan dapat menambah wawasan kita terutama penulis dalam materi ini. “TAK ADA GADING YANG TAK RETAK” demikian juga dengan makalah ini. Oleh karena itu, penulis ,mengharapkan kritik dan saran yang membangun, agar makalah selanjutnya yang penulis buat lebih baik dari yang sebelumnya. Atas kritik dan sarannya, penulis ucapkan terima kasih. Wassalamu’alaikum wr.wb… Pekanbaru, 12 November 2013 PENULIS
• 3.
  DAFTAR ISI KATA PENGANTAR.................................................................................... i DAFTAR ISI................................................................................................... ii BAB I. PENDAHULUAN .............................................................................. 1.1 Latarbelakang ................................................................................ BAB II. PEMBAHASAN ............................................................................... 2.1 Hasil Akhir ..................................................................................... BAB III. PENUTUP ....................................................................................... 3.1 Kesimpulan ................................................................................... DAFTAR ISI................................................................................................... iii
• 4.
  BAB I PENDAHULUAN A. JUDUL Adapunjudul nya adalah PEMODELAN MATEMATIKA UNTUK DUA SPECIES MODEL MANGSA - PEMANGSA B. LATAR BELAKANG Ekologi merupakan cabang ilmu dalam biologi yang mempelajari tentang hubungan makhluk hidup dengan habitatnya. Dalam ekologi, dikenal istilah rantai makanan. Rantai makanan merupakan lintasan konsumsi makanan yang terdiri dari beberapa spesies. Bagian paling sederhana dari rantai makanan berupa interaksi antara spesies mangsa (prey) dengan pemangsa (predator) Makhluk hidup dibumi ini sangat beraneka ragam, yang terdiri dari campuran populasi dari berbagai species yang hidup bersama atau disebut komunitas. Hal ini menunjukkan pada hakikatnya makhluk hidup dibumi ini tidak dapat hidup sendiri secara normal, tetapi akan saling berinteraksi dengan berbagai species yang ada. Pada umumnya terdapat dua atau lebih spesies yang saling berinteraksi, sehingga keadaan suatu spesies dipengaruhi oleh keadaan spesies lain yang berinteraksi dengannya. Interaksi yang terjadi dapat berupa predasi (makan dimakan), kompetisi (persaingan) maupun simbiosis (persekutuan hidup).
• 5.
  Model mangsa pemangsadapat dimanfaatkan pada Taman Nasional dimana mangsa dan pemangsa dapat hidup bersama. Mangsa yang harus dilestarikan dapat dilindungi dari pemangsa dengan menciptakan batasan atau tempat penampungan yang akan membagi habitat menjadi dua wilayah yaitu wilayah yang dilindungi dan wilayah bebas. Adapun yang dimaksud dengan wilayah yang dilindungi adalah dimana spesies pemangsa tidak diperbolehkan masuk kedalam wilayah tersebut, kemudian yang dimaksud dengan wilayah bebas adalah dimana ada percampuran dari spesies mangsa pemangsa pada wilayah tersebut. Banyak faktor yang mempengaruhi jumlah populasi suatu spesies, selain kematian alami, yaitu predasi, pemanenan, pencemaran, dsb. Predasi merupakan salah satu faktor yang sering dibahas dalam interaksi antar spesies. Kehadiran predator memberikan pengaruh pada jumlah prey. Oleh karena itu, pada interaksi tiga spesies, kehadiran predator kedua berpengaruh pada jumlah predator pertama dan prey sehingga dalam rantai makanan tiap komponennya saling memberikan pengaruh. Model yang mendiskripsikan interaksi dua spesies yang terdiri dari prey dan predator adalah model rantai makanan dua spesies, sedangkan model yang mendiskripsikan interaksi tiga spesies yang terdiri dari prey, predator pertama, dan predator kedua adalah model rantai makanan tiga spesies. Model ini terdiri dari model laju perubahan populasi predator dan model laju perubahan populasi prey. Menurut Holling (1959), model perubahan populasi predator dikelompokkan menjadi tiga tipe renspon fungsional, yaitu tipe linear, hiperbolik, dan sigmoidal. Model linear dianggap tidak akurat karena tidak mungkin laju pertumbuhan dianggap konstan (linear) untuk waktu tak terbatas sedangkan pada model hiperbolik, predator tidak memiliki sumber makanan alternatif lain, sehingga cocok untuk model rantai makanan tiga spesies, dan pada model sigmoidal,
• 6.
  predator memiliki sumbermakanan alternatif lain, sehingga kurang cocok untuk model rantai makanan tiga spesies karena akan melibatkan lebih dari tiga spesies. Model perubahan populasi prey didapat dari model pertumbuhan logistik yang kemudian dikombinasikan dengan tipe hiperbolik (Holling Tipe II) selanjutnya dari model rantai makanan dua spesies dan tiga spesies ini akan dicari 3 solusi kesetimbangan dan dianalisis perilaku dari sistem yang dapat ditentukan dengan menganalisis kestabilan dari solusi kesetimbangan. C. MANFAAT Adapun manfaat nya sebagai berikut: 1. Menambah wawasan dan kemampuan dalam mengaplikasikan ilmu-ilmu matematika, dalam bidang biologi yaitu tentang keseimbangan interaksi antar makhluk hidup khususnya model predator-prey. 2. Memberikan informasi tentang keseimbangan suatu ekosistem khususnya model predator-prey. 3. Dapat digunakan untuk memprediksi seberapa besar populasi predator dan populasi prey agar terjadi keseimbangan ekosistem. BAB II PEMBAHASAN
• 7.
  Model mangsa-pemangsa yangbanyak dikenal adalah model Lotka-Voltera. Model ini disusun berdasarkan asumsi-asumsi berikut: 1. Dalam keadaan tanpa pemangsa, lingkungan hidup populasi mangsa sangat ideal sehingga perkembangannya tak terbatas. 2. Pertumbuhan pemangsa juga ideal, kecuali terdapat kendala makanan. 3. Laju pemangsaan proporsional dengan laju pertemuan antara mangsa dan pemangsa. 4. Laju kematian pemangsa adalah konstan, tidak terpengaruh terhadap kepadatan dan umur pemangsa. 5. Efisiensi pemangsaan tidak tergantung umur pemangsa dan mangsa. 6. Efisiensi penggunaan mangsa sebagai makanan pemangsa untuk bereproduksi adalah konstan dan tidak tergantung umur dan kepadatan pemangsa. 7. Gerakan dan kontak mangsa dan pemangsa berlangsung secara acak. Setiap individu mangsa memiliki peluang yang sama untuk dimangsa. 8. Waktu yang digunakan pemangsa untuk memangsa diabaikan. 9. Kepadatan mangsa tidak mempengaruhi peluang pemangsaan. 10. Kepadatan pemangsa tidak mempengaruhi peluang pemangsa untuk memangsa. 11. Keadaan lingkungan adalah homogen. Diberikan 2 (dua) spesies, sebutlah pemangsa (predator) dan mangsa (prey), hidup dalam suatu habitat yang sama dan bersifat tertutup. Selama perjalanan hidupnya, kedua spesies tersebut saling berinteraksi. Hubungan interaksinya adalah sebagai berikut : 1. Pemangsa
• 8.
  Dalam hal inipemangsa memakan mangsa, tetapi mangsa memakan makanan lain. Tanpa adanya mangsa, populasi menurun dan lama kelamaan akan musnah. 2. Mangsa Dalam hal ini mangsa dimakan oleh pemangsa. Mangsa memakan makanan lain yang ada di alam dalam habitat tempat hidupnya. Tanpa adanya pemangsa, populasinya tumbuh terus secara tak terbatas. Dalam hal ini dianggap bahwa sumberdaya pendukung pertumbuhan (makanan) tersedia secara takterbatas. Dari sifat hubungannya dan keadaan populasi kedua spesies tersebut, maka kita akan memperkirakan bagaimana populasi kedua spesies diwaktu yang akan datang. Apabila populasi pemangsanya lebih sedikit dibanding dengan populasi mangsa, maka populasi mangsanya berkembang lebih cepat. Hal ini akan mengakibatkan sumber daya alam yang dimakan oleh mangsa akan lebih cepat berkurang daripada kecepatan pertumbuhannya. Sebaliknya apabila populasi pemangsanya jauh lebih besar dibanding dengan populasi mangsa, maka populasi mangsanya semakin cepat berkurang (dibanding pertumbuhannya), bahkan lama-kelamaan akan menunju kepunahan. Ini akan berakibat pula populasi pemangsanya akan berkurang juga dan juga lama kelamaan akan punah. Sebagai masalah lebih lanjut adalah bagaimanakah kita harus menjaga (mengurangi atau menambah) populasi kedua jenis spesies tersebut agar keduanya tidak punah dengan tetap menjaga kelestarian alam sekitarnya. Hal ini merupakan salah satu kajian dalam ekologi. Sebagai contoh 2, (dua) spesies yang interaksi kehidupannya dipandang sebagai pemangsa dan mangsa adalah serigala dan kelinci, ular dan tikus sawah, cicak dan nyamuk, ikan dan plankton (lumut), dan sebagainya.
• 9.
  Pada Gambar diatasdiberikan serigala dan kelinci yang hidup dalam suatu habitat tertutup. Untuk kelangsungan hidupnya serigala memakan mangsa, sedangkan kelinci memakan makanan lain yang ada di alam sekitarnya (misal rumput-rumputan) MENENTUKAN PARAMETER Misalkan: 1. : populasi mangsa pada saat t 2. : populasi pemangsa pada saat t a. Dari sisi mangsa: Asumsi : - Tanpa adanya pemangsa: Tanpa adanya pemangsa, populasinya tumbuh cepat tak terbatas. Dalam hal ini, laju pertumbuhan populasinya sebanding populasi pada saat yang sama. Secara matematis : Dalam hal ini, a = tetapan kesebandingan atau tetapan pertumbuhan mangsa
• 10.
  - Dengan adanya pemangsa Denganadanya pemangsa maka akan terjadi interaksi antara mangsa dan pemangsa, yaitu mangsa dimakan pemangsa. Dengan demikian populasi mangsa akan berkurang (meluruh). Dalam hal ini, laju peluruhan populasi mangsa sebanding dengan interaksi antara keduanya. Secara matematis, Dalam hal ini, b = tetapan interaksi antara mangsa dan pemangsa Gabungan antara kedua hal di atas memberikan laju pertumbuhan populasi mangsa. Secara matematis dapat dinyatakan sebagai : dihambat Hal ini menyatakan bahwa walaupun populasi mangsa tumbuh tetapi laju pertumbuhan populasi nya dihambat oleh interaksinya dengan pemangsa. menyatakan laju pertumbuhan mangsa menyatakan populasi mangsa menyatakan interaksi populasi mangsa dan pemangsa Tanda ‘-‘ menyatakan bahwa laju pertumbuhan mangsa dihambat (berkurang) karena adanya interaksi mangsa dan pemangsa Selanjutnya perhatikan, Dalam hal y = 0 (tidak ada pemangsa), maka diperoleh persamaan diferensial (1), yang berarti bahwa populasi mangsa tumbuh secara tak terbatas.
• 11.
  b. Dari sisipemangsa - Tanpa adanya mangsa : Tanpa adanya mangsa, populasinya akan meluruh menuju kepunahan. Dalam hal ini, laju peluruhan populasinya sebanding populasi pada saat yang sama. Secara matematis : c = tetapan keseimbangan atau tetapan peluruhan pemangsa - Dengan adanya mangsa Dengan adanya mangsa maka akan terjadi interaksi antara pemangsa dan mangsa, yaitu pemangsa akan makan mangsa. Dengan demikian akan menyebabkan bertumbuhnya populasi populasi pemangsa. Dalam hal ini, Laju pertumbuhan populasi pemangsa sebanding dengan interaksi antara pemangsa dan mangsa. Secara matematis : Gabungan antara kedua hal diatas memberikan laju pertumbuhan populasi pemangsa. Hal ini menyatakan bahwa Laju pertumbuhan populasi pemangsa didorong karena adanya interaksi dengan mangsa tetapi dihambat oleh kelangkaan mangsa. Oleh karena mangsa dan pemangsa hidup dalam habitat yang sama, maka model matematis dari masalah pemangsa dan mangsa, yaitu : … (5)
• 12.
  Sesuai dengan observasiyang dilakukan, pada awal observasi ditentukan populasi mangsa dan pemangsa : Populasi awal dari hasil observasi ini merupakan syarat awal dari (5), yaitu …(5*) Dilihat dari bentuknya, (5) merupakan suatu sistem persamaan diferensial (atau secara lengkap disebut dengan sistem persamaan diferensial) non linear orde satu (dengan koefisien tetapan) Di sini dikatakan non linear karena adanya suku non linear, yaitu dan . Dan pers. (5*) disebut dengan persamaan differensial dengan syarat awal. Sistem persamaan diferensial (5) di atas disebut juga dengan Model Matematis Masalah Pemangsa dan Mangsa (Predator and Prey) atau singkatnya Model Pemangsa – Mangsa atau dapat juga disebut Model Mangsa – Pemangsa. Sistem persamaan diferensial (5) tersebut sering disebut juga dengan persamaan Lotka- Volterra. MODEL MATEMATIS PENYELESAIAN MASALAH Penyelesaian dari (5) merupakan 2 fungsi terhadap t, yaitu x(t) dan y(t). Jadi apabila diberikan (5) kita harus mencari x(t) dan y(t) yang keduanya memenuhi (5). Dalam memeriksa hubungan perilaku pertumbuhan populasi mangsa dan pemangsa, kita cari dahulu titik kritis dari sistem persamaan (5). (1)Titik kritis Nyatakan sistem persamaan (5) sebagai :
• 13.
  Yang dalam halini memberikan : Dari (i) dan (ii) diperoleh titik kritisnya yaitu Jenis Titik Kritis : Kita ketahui bahwa matriks Jacobian dari (6) adalah :
• 14.
  Nilai eigen matrikstersebut adalah a dan –c, yaitu dua bilangan real berbeda tanda. Dalam hal ini titik kritis (0,0) berjenis titik pelana, bersifat tak stabil. Nilai eigen matriks tersebut adalah dan , yaitu berupa dua bilangan kompleks (dengan bagian real yang sama) berbeda tanda. Dalam hal ini titik kritis (c/d, a/b) berjenis pusat, bersifat stabil Yang dipertimbangkan selanjutnya adalah titik kritis kedua yaitu yang memberikan kestabilan sistem. Untuk memeriksa secara visual perilaku pertumbuhan populasi mangsa dan pemangsa dapat digunakan trayektori pada bidang fase. (2) Trayektori pada bidang fase Dari sistem persamaan (5) kita nyatakan dalam hal ini,
• 15.
  Selanjutnya, kita nyatakansebagai kedua ruas di integralkan, Memberikan, tetapan pengintegralan. Persamaan terakhir memberikan penyelesaian (implisit) yaitu : …(7) Persamaan (7) di atas disebut dengan trayektori (atau disebut juga potret) dari x(t) dan y(t) pada bidang fase xy. Trayektori pada bidang fase tersebut menggambarkan hubungan pertumbuhan x(t) dan y(t) untuk setiap t. Contoh . Dengan x(t) : populasi kelinci (sebagai mangsa) y(t) : populasi serigala (sebagai pemangsa) dan pada awalnya terdapat 80 ekor kelinci dan 100 ekor serigala. Dengan melihat kembali (5), maka dalam contoh ini kita ketahui bahwa a = 0,5 ; b = 0,01 ; c = 0,5 ; d = 0,01 Kita ketahui dari contoh 1, titik kritis pertama adalah (0,0) sedangkan titik kritis kedua adalah (50, 50). (1) Fungsi pertumbuhan Pertumbuhan serigala dan kelinci untuk setiap saat t, diberikan dalam bentuk kurva pertumbuhan seperti yang diberikan pada gambar 3 di bawah ini.
• 16.
  Gambar 3 .kurva pertumbuhan populasi kelinci dan serigala, padaawalnya terdapat 80 ekor kelinci dan 100 ekor serigala. Pada Gambar 3 di atas terlihat bahwa pertumbuhan x(t) (yaitu kelinci) dan y(t) (yaitu serigala) mengikuti pertumbuhan sinusoidal secara periodik. Hal ini karena matriksnya adalah mempunyai nilai eigen bilangan kompleks. Pada pertumbuhannya, baik populasi kelinci maupun populasi serigala mencapai populasi maksimal dan minimal yang sama. Dalam hal ini populasi maksimalnya adalah 112 ekor dan populasi minimalnya adalah 16 ekor. Dapat dilihat pada gambar tersebut, (i) populasi kelinci pada awalnya 80 ekor menurun menuju populasi minimal, yaitu 16 ekor. Pada saat yang sama populasi serigala adalah 49 ekor. Kemudian populasi kelinci naik mencapai populasi maksimal yaitu 112 ekor (pada saat yang sama, populasi serigala adalah 51 ekor). Demikian seterusnya populasinya menurun dan naik secara periodik. (ii) Sedangkan populasi serigala pada awalnya 100 ekor, naik mencapai populasi maksimal 112 ekor (pada saat yg sama populasi kelinci adalah 48 ekor). Selanjutnya turun sampai mencapai 16 ekor (pada saat yang sama populasi kelinci adalah 51 ekor). Kemudian naik lagi sampai mencapai populasi maksimal 112 ekor. Demikian seterusnya populasinya menurun dan naik secara periodik.
• 17.
  (2). Perilaku pertumbuhan populasiSelanjutnya, dari gambar 3 di atas dapat dilihat bahwa pada waktu setelah saat awal : (I) Populasi kelinci menurun, populasi serigala naik. Kemudian, (II) Populasi kelinci menurun, populasi serigala menurun Selanjutnya (III) populasi kelinci naik, populasi serigala turun Selanjutnya, (IV) Populasi kelinci naik, populasi serigala naik Demikian seterusnya perilaku pertumbuhan kedua populasi tersebut. Secara lebih jelas perilaku pertumbuhan tersebut dapat dilihat dalam diagram bidang fase sebagai berikut: Lengkungan (di sini disebut dengan trayektori) tertutup dalam gambar 4 di atas merupakan potret hubungan pertumbuhan populasi kelinci dan populasi serigala yang disajikan dalam bidang fase. Pada bidang fase tsb, sumbu mendatar menyatakan populasi kelinci, sedangkan sumbu tegak menyatakan populasi serigala. Berdasarkan titik kritis yang diperoleh yaitu (50,50), bidang fase tersebut terbagi menjadi 4 daerah atau kuadran, yaitu kuadran I, II, III, dan IV. Terlihat pada Gambar 4 di atas, dengan melihat arah panah dan kurvanya dapat diperiksa bahwa pada, Kuadran I : populasi kelinci menurun, populasi serigala naik, Kuadran II : populasi kelinci dan populasi serigala menurun
• 18.
  Kuadran III :populasi kelinci naik, populasi serigala menurun Kuadran IV : populasi kelinci dan populasi serigala naik. BAB III PENUTUP 3.1 KESIMPULAN Makhluk hidup pada hakekatnya tidak dapat hidup sendirian, sehingga diperlukan adanya suatu interaksi antar berbagai populasi dan berbagai spesies yang hidup secara bersamaan. Pada populasi tersebut akan terjadi suatu interaksi antar spesies, di mana kedua spesies berinteraksi dalam suatu rantai makanan. Dari sifat hubungannya dan keadaan populasi kedua spesies tersebut, maka kita akan memperkirakan bagaimana populasi kedua spesies diwaktu yang akan datang. Apabila populasi pemangsanya lebih sedikit dibanding dengan populasi mangsa, maka populasi mangsanya berkembang lebih cepat. Hal ini akan mengakibatkan sumber daya alam yang dimakan oleh mangsa akan lebih cepat berkurang daripada kecepatan pertumbuhannya. Sebaliknya apabila
• 19.
  populasi pemangsanya jauhlebih besar dibanding dengan populasi mangsa, maka populasi mangsanya semakin cepat berkurang (dibanding pertumbuhannya), bahkan lama-kelamaan akan menunju kepunahan. Ini akan berakibat pula populasi pemangsanya akan berkurang juga dan juga lama kelamaan akan punah. Sebagai masalah lebih lanjut adalah bagaimanakah kita harus menjaga (mengurangi atau menambah) populasi kedua jenis spesies tersebut agar keduanya tidak punah dengan tetap menjaga kelestarian alam sekitarnya. Hal ini merupakan salah satu kajian dalam ekologi.