Downloaded 895 times
![11
A =111 dan B = 1005 maka AB + 1 = 111556 = 3342
Konjektur :
A =
11 . . .1 dan B =
2008 angka
50. . . 001
2009angka
AB + 1 =
33
. . . 43 2007angka
c. Menyusun dan Menguji Konjektur
Contoh :
Misalkan A =
11 . . .1 dan B =
2008 angka
50. . . 001
2009angka
Perlihatkan bahwa AB + 1 merupakan bilangan bentuk kuadrat
Jawab :
Proses Induktif :
A = 1 dan B = 15 maka AB + 1 = 16 = 42
A =11 dan B = 105 maka AB + 1= 1156 = 342
A =111 dan B = 1005 maka AB + 1 = 111556 = 3342
Konjektur :
A =
1. . . 11 dan B =
2008 angka
1 0 0 . . . 0 5
2009angka
AB + 1 = 3 3 . . . 3
4
2007angka
Bukti konjektur
Perhatikan kasus A = 111 dan B = 1005 maka AB + 1 = 111556 = 3342
3342 = (333 + 1)2
= [3(111) + 1]2
= 111 [9(111) + 6] + 1
= 111 . 1005 + 1
= AB + 1
Dengan proses mundur dengan mudah dapat ditunjukkan masalah itu.
AB + 1 = 11 . .
.1 x
2008 angka
1 0 0 . . . 0 5 + 1
2009 angka](https://image.slidesharecdn.com/makalahpenalaranmtk-141029235533-conversion-gate01/75/Penalaran-Matematika-11-2048.jpg)
Uploaded byNailul Hasibuan
Penalaran Matematika
Dokumen ini membahas pentingnya penalaran matematika dalam pendidikan, dengan fokus pada kemampuan berpikir siswa dan analisis kemampuan belajar matematika. Terdapat tiga tingkatan kemampuan berpikir matematika yang dijelaskan, yaitu reproduksi, koneksi, dan analisis, yang menjadi dasar untuk meningkatkan pembelajaran matematika di kelas. Serta, penalaran matematika dianggap sebagai elemen kunci dalam mengembangkan keterampilan matematika yang dapat dimanfaatkan dalam kehidupan sehari-hari.
More Related Content
Similar to Penalaran Matematika
![Drilling Soal [Pertemuan 34] - Kilas Balik Transformasi Geometri.pptx](https://cdn.slidesharecdn.com/ss_thumbnails/drillingsoalpertemuan34-kilasbaliktransformasigeometri-251116155823-49d1da6c-thumbnail.jpg?width=640&height=640&fit=bounds)
Penalaran Matematika
- 1. 1 Tugas MataKuliah : Arah kecendrungan dan Isu Dalam Matematika Dosen Pembimbing : Prof. Dr. Hasratuddin, M.Pd r easoning (penalar an) makalah oleh: kelompok II 1. Ahmad Rahmatika 2. Anni H.M Sitanggang 3. Febri Ronald Marpaung 4. Jasinta Tasleky 5. Nurcahaya Hutasoit PROGRAM PASCASARJANA PENDIDIKAN MATEMATIKA UNIVERSITAS NEGERI MEDAN 2014
- 2. 2 DAFTAR ISI BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah ..................................................................1 B. Rumusan Masalah ..........................................................................2 C. Tujuan Penulisan .............................................................................3 BAB II PEMBAHASAN A. Pengertian Penalaran Matematika ...................................................4 B. Masalah-maslaah Penalaran Matematika ........................................9 C. Penalaran Induktif dan Deduktif ...................................................14 D. Rubrik dan Soal Penalaran Matematika .........................................21 BAB III KESIMPULAN .................................................................................24 DAFTAR PUSTAKA ......................................................................................25
- 3. 3 BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah Matematika merupakan disiplin ilmu yang mempunyai sifat khas jika dibandingkan dengan disiplin ilmu yang lain. Karena itu kegiatan belajar dan mengajar matematika seyogyanya tidak disamakan begitu saja dengan ilmu yang lain, karena peserta didik yang belajar matematika itupun berbeda-beda pula kemampuannya, maka kegiatan belajar mengajar haruslah diatur sekaligus memperhatikan kemampuan yang belajar. Pelajaran matematika diberikan di setiap jenjang pendidikan dengan bobot yang kuat, menunjukkan bahwa matematika adalah salah satu pelajaran yang mempunyai peranan yang sangat penting. Dalam kondisi tersebut, seharusnya hasil belajar matematika peserta didik menunjukkan hasil yang cukup baik, akan tetapi hal tersebut sangat bertolak belakang dengan keadaan yang terjadi di lapangan. Ada banyak faktor yang mengakibatkan hasil belajar peserta didik rendah, diantaranya perilaku-perilaku negatif siswa dalam belajar matematika yang memungkinkan siswa tidak bergairah dalam belajar matematika. Kegiatan pembelajaran di sekolah biasanya hanya menekankan pada transformasi informasi faktual, guru cenderung menuliskan definisi atau teorema beserta buktinya di papan tulis dilanjutkan contoh penerapan teorema tersebut dalam penyelesaian soal, siswa mencatat apa yang dijelaskan guru dan contoh penyelesaian soal yang ditulis. Selain itu, guru menuliskan soal-soal di papan tulis dan siswa diminta mengerjakan, serta guru meminta siswa untuk menuliskan hasil pekerjaannya di papan tulis.
- 4. Perbaikan hasil pembelajaranmatematika perlu dilakukan melalui perbaikan kondisi yang mendukung peningkatan kecerdasan/kemampuan peserta didik, perubahan sikap siswa terhadap matematika serta kemampuan dan kemauan guru dalam mengubah paradigma pendidikan. Tujuan pembelajaran matematika harus dipahami dengan baik oleh guru sebagai agar proses pembelajaran sesuai dengan apa yang diharapkan. Menurut Syaban “tujuan yang ingin dicapai pada pembelajaran matematika yaitu (1) kemampuan pemecahan masalah (problem solving); (2) kemampuan berargumentasi (reasonning); (3) Kemampuan berkomunikasi (communication); (4) Kemampuan membuat koneksi (connection) dan (5) Kemampuan representasi (representation)”. 4 B. Rumusan Masalah 1. Apa itu penalaran? 2. Bagaimana cara mengetahui kemampuan penalaran peserta didik? C. Tujuan Penulisan Bertitik tolak dari permasalahan di atas, yang menjadi tujuan penulisan ini adalah untuk mengetahui kemampuan matematika apa saja yang harus dimiliki oleh peserta didik di masa sekarang dan masa yang akan datang, khususnya kemampuan “ Penalaran Matematika” demi tercapainya tujuan pembelajaran matematika.
- 5. 5 BAB II PEMBAHASAN A. Pengertian Penalaran Matematika Penalaran matematika adalah salah satu proses berfikir yang dilakukan dengan cara menarik suatu kesimpulan dimana kesimpulan tersebut merupakan kesimpulan yang sudah valid atau dapat dipertanggung jawabkan (Nurahman:2011). Penalaran matematika merupakan hal yang sangat penting untuk mengetahui dan mengerjakan permasalahan matematika. Fondasi dari matematika adalah penalaran (reasoning). Ross (dalam Lithner, 2000) menyatakan bahwa salah satu tujuan terpenting dari pembelajaran matematika adalah mengajarkan kepada siswa penalaran logika (logical reasoning). Menurut kami logika adalah argumen-argumen, yang mempelajari metode-metode dan prinsip-prinsip untuk menunjukkan keabsahan (sah atau tidaknya) suatu argumen, khususnya yang dikembangkan melalui penggunaan metode-metode matematika dan simbol-simbol matematika dengan tujuan untuk menghindari makna ganda dari bahasa yang biasa kita gunakan sehari-hari. Bila kemampuan bernalar tidak dikembangkan pada siswa, maka bagi siswa matematika hanya akan menjadi materi yang mengikuti serangkaian prosedur dan meniru contoh-contoh tanpa mengetahui maknanya. Banyak penelitian yang dilakukan para psikolog dan pendidik berkaitan dengan penalaran. Penalaran yang mula-mula dikenalkan oleh Aristotles adalah penalaran silogisme yang idenya muncul ketika orang ingin mengetahui “apa yang terjadi dibenak” dalam memecahkan masalah yang memuat logika. Lebih dari 2000 tahun yang lalu Aristotles mengenalkan suatu sistem penalaran atau validasi argumen yang disebut silogisme. Silogisme memuat tiga urutan argumen: sebuah premis utama (a major premise); sebuah premis minor (a minor premise); dan sebuah kesimpulan (a conclusion). Suatu kesimpulan yang dicapai berdasarkan penalaran silogisme dinilai “benar” atau “valid”, jika premis-
- 6. premisnya merupakan pernyataanyang benar dan disusun dalam bentuk yang benar. Aplikasi penalaran sering ditemukan meskipun tidak secara formal disebut 6 belajar bernalar. Beberapa contohnya adalah: Untuk menentukan hasil 7 + 8, berdasarkan pengetahuan yang sudah dimiliki siswa yaitu 7 + 7 =14,maka siswa diharapkan dapat menyimpulkan bahwa 7 + 8 adalah sama dengan 14 + 1 atau sama dengan 15 Untuk menentukan hasil dari 7 + 8, berdasarkan pengetahuan yang sudah dimiliki yaitu 7 + 3 = 10 dan 8 = 3 + 5, para siswa diharapkan dapat menyimpulkan bahwa 7 + 8 adalah sama dengan 7 + 3 + 5 = 10 + 5 = 15 Untuk menentukan hasil dari 6 x 7, berdasar pengetahuan yang sudah dimiliki para siswa yaitu 5 x 7 = 35, maka para siswa diharapkan dapat menyimpulkan 6 x 7 = 35 + 7 = 42 Untuk menentukan hasil dari 998 + 1236, para siswa dapat mengambil 2 dari 1236 untuk ditambahkan ke 998 sehingga menjadi 1000. Dengan demikian, para siswa dapat dilatih untuk menyimpulkan bahwa 998 + 1236 sama nilainya dengan 1000 + 1234 atau sama dengan 2234. Dengan demikian, didapat kesimpulan bahwa 998 + 1236 = 1000 + 1234 = 2234 Jika besar dua sudut pada suatu segitiga adalah 60o dan 100o maka sudut yang ketiga adalah 180o - ( 100o + 60o) = 20o. hal ini didasarkan pada teori matematika yang menyatakan bahwa jumlah besar sudut-sudut suatu segitiga adalah 180o. Jika (x – 1) (x + 10) = 0 maka x = 1 dan x = -10 Sejalan dengan contoh-contoh diatas, telah terjadi proses penarikan kesimpulan dari beberapa fakta yang telah diketahui siswa, seperti yang dikemukakan oleh (Shadiq, 2004) penalaran (jalan pikiran atau reasoning) merupakan “Proses berfikir yang berusaha menghubung-hubungkan fakta-fakta atau evidensi-evidensi yang diketahui menuju kepada suatu kesimpulan”. Menurut kami proses berfikir dalam penalaran itu selalu dihubungkan dengan kehidupan sehari-hari guna mendapat kesimpulan yang dapat dipertangggung
- 7. jawabkan. Sebagai contoh,dari persamaan kuadrat 푥 2 + 9푥 − 10 = 0 yang diketahui, dapat disimpulkan ataupun dibuat pernyataan lain bahwa x = 1 atau x = -10. Dari pengetahuan tentang besar dua sudut suatu segitiga yaitu 60o dan 100o maka dapat disimpulkan ataupun dibuat pernyataan lain bahwa besar sudut ketiga pada segitiga itu adalah 20o. Pada intinya, penalaran merupakan suatu kegiatan, suatu proses atau aktivitas berfikir untuk menarik kesimpulan atau membuat pernyataan baru yang benar berdasarkan pada beberapa pernyataan yang kebenarannya telah dibuktikan atau diasumsikan sebelumnya. Untuk dapat meningkatkan kemampuan berpikir matematika siswa, perlu diketahui tingkatan kemampuan berpikir matematika. Shefer dan Foster (1997) mengajukan tiga tingkatan kemampuan berpikir matematika, yaitu tingkatan reproduksi, tingkatan koneksi, dan tingkatan analisis. Masing-masing tingkatan terdiri atas komponen-komponen sebagai indikatornya, yaitu sebagai berikut: 7 Tingkatan I Reproduksi Mengetahui fakta dasar Menerapkan algoritma standar Mengembangkan keterampilan teknis Tingkatan II Koneksi Mengintegrasikan informasi Membuat koneksi dalam dan antar domain matematika Menetapkan rumus yang akan digunakan untuk menyelesaikan masalah Memecahkan masalah tidak rutin Tingkatan III Analisis Matematisasi situasi Melakukan analisis Melakukan interpretasi Mengembangkan model dan strategi baru Mengembangkan argumen matematika Membuat generalisasi.
- 8. Menurut kami tingkatankemampuan matematika di atas dapat digunakan selain untuk mengevaluasi penekanan proses pembelajaran yang selama ini dilakukan, juga menyusun instrumen (soal tes) yang dimaksudkan untuk mengetahui tingkatan kemampuan matematika siswa. Setelah kita dapat mengidentifikan tingkat kemampuan siswa, maka upaya-upaya meningkatkan kemampuan berpikir matematik dapat dilakukan dengan berpedoman pada komponen kemampuan pada tingkatan berikutnya. Depdiknas(2002:6) menyatakan bahwa “ Materi matematika dan penalaran matematika merupakan dua hal yang tidak dapat dipisahkan, yaitu materi matematika dipahami melalui penalaran matematika dan penalaran matematika dipahami melalui belajar matematika “ Menurut kami memang materi itu harus dipahami dengan penalaran matematika akan tetapi tidak semua materi harus dihubungkan dengan penalaran matematika, selanjutnya penalaran matematika dipahami melalui proses belajar memgajar dengan mengaitkan materi dengan kehidupan sehari-hari. Pola pikir yang dikembangkan dengan penalaran matematika adalah melibatkan pemikiran yang kritis, sistematis, logis serta kreatif, kemampuan dan keterampilan bernalar dibutuhkan para siswa ketika mempelajari matematika maupun dalam interaksi pada masyarakat langsung Daya matematika siswa seyogyanya dapat diwujudkan dalam berbagai dimensi supaya mampu memunculkan berbagai metode matematika yang nantinya dapat membantu siswa dalam memecahkan masalah tidak rutin dan dapat dijadikan panduan dalam menghadapi perubahan kehidupan dalam masyarakat yang bergantung pada kemajuan ilmu, teknologi dan informasi. Penalaran matematika dalam sudut pandang aktivitas dinamik melibatkan keragaman mode berpikir, dan daya matematika dipandang sebagai komponen integral dari berpikir matematika. Khususnya berpikir matematika yang melibatkan keragaman matematika dalam keterampilan berpikir untuk memahami ide-ide, menemukan hubungan antar ide-ide, dan mendukung gambaran atau kesimpulan tentang ide-ide dan hubungan-hubungannya, dan memecahkan masalah-masalah yang melibatkan ide-ide tersebut (O’Daffer dan Thornquist). Penalaran matematika 8
- 9. memiliki peran yangamat penting dalam proses berpikir seseorang. Penalaran matematika meliputi mengumpulkan bukti-bukti, membuat konjektur-konjektur, menetapkan generalisasi-generalisasi, membangun argumen-argumen, dan menentukan (dan validasi) kesimpulan-kesimpulan logis berdasar ide-ide dan hubungan-hubungannya. Untuk mencapai daya matematika berbagai mode penalaran matematika dilibatkan misalnya induktif (inductive), deduktif (deducttive), bersyarat (conditional), perbandingan (proporsional), grafik (graphical), keruangan (spatial) dan penalaran abstrak (abstract reasoning). Peressini dan Webb (1999) di samping memandang penalaran matematika sebagai konseptualisasi dinamik dari daya matematika (mathematically powerful) siswa, juga memandang penalaran matematika sebagai aktivitas dinamik yang melibatkan keragaman mode berpikir. Daya matematika sebagai suatu integrasi dari berikut ini: 9 (a) suatu kecenderungan positip kepada matematika; (b) pengetahuan dan pemahaman terhadap sifat-sifat matematika, meliputi konsep-konsep, prosedur-prosedur dan keterampilan-keterampilan; (c) kecakapan melakukan analisis dan beralasan secara matematis; (d) kecakapan menggunakan bahasa matematika untuk mengkomunikasikan ide-ide; dan (e) kecakapan menerapkan pengetahuan matematika untuk memecahkan masalah-masalah dalam berbagai konteks dan disiplin ilmu (NCTM, 1989 dalam Perissini dan Webb, 1999). Penalaran Matematika yang mencakup kemampuan untuk berpikir secara logis dan sistematis merupakan ranah kognitif matematik yang paling tinggi. Sumarno (2002) memberikan indikator kemampuan yang termasuk pada kemampuan penalaran matematika, yaitu sebagai berikut: Membuat analogi dan generalisi Memberikan penjelasan dengan menggunakan model Menggunakan pola dan hubungan untuk menganalisis situasi matematika
- 10. 10 Menyusundan menguji konjektur Memeriksa validitas argumen Menyusun pembuktian langsung Menyusun pembuktian tidak langsung Memberikan contoh penyangkal Mengikuti aturan enferensi Menurut kami indikator diatas sangat membantu untuk meningkatkan kemampuan penalaran peserta didik karena memilki alur yang membantu guru dalam menyusun strategi belajar unutk siswa. Di bawah ini akan diberikan contoh masalah dalam matematika yang menuntut kemampuan penalaran matematika. B. Masalah-Masalah Penalaran Matematika a. Membuat Analogi Contoh : Tentukan nilai dari A = 1 x x x x 1 2009 2010 ... 1 3 4 1 2 3 1 2 Jawab: Suku ke-k dari deret itu adalah 1 k k ) 1 ( Sekarang perhatikan bahwa : 1 1 1 1 ( 1) k k k k Dengan demilian nilai A adalah : 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A = 2010 2009 2009 2008 ... 4 3 3 2 2 1 = 2009 2010 1 1 2010 b. Menyusun dan Menguji Konjektur Proses Induktif : A = 1 dan B = 15 maka AB + 1 = 16 = 42 A =11 dan B = 105 maka AB + 1= 1156 = 342
- 11. 11 A =111dan B = 1005 maka AB + 1 = 111556 = 3342 Konjektur : A = 11 . . .1 dan B = 2008 angka 50. . . 001 2009angka AB + 1 = 33 . . . 43 2007angka c. Menyusun dan Menguji Konjektur Contoh : Misalkan A = 11 . . .1 dan B = 2008 angka 50. . . 001 2009angka Perlihatkan bahwa AB + 1 merupakan bilangan bentuk kuadrat Jawab : Proses Induktif : A = 1 dan B = 15 maka AB + 1 = 16 = 42 A =11 dan B = 105 maka AB + 1= 1156 = 342 A =111 dan B = 1005 maka AB + 1 = 111556 = 3342 Konjektur : A = 1. . . 11 dan B = 2008 angka 1 0 0 . . . 0 5 2009angka AB + 1 = 3 3 . . . 3 4 2007angka Bukti konjektur Perhatikan kasus A = 111 dan B = 1005 maka AB + 1 = 111556 = 3342 3342 = (333 + 1)2 = [3(111) + 1]2 = 111 [9(111) + 6] + 1 = 111 . 1005 + 1 = AB + 1 Dengan proses mundur dengan mudah dapat ditunjukkan masalah itu. AB + 1 = 11 . . .1 x 2008 angka 1 0 0 . . . 0 5 + 1 2009 angka
- 12. 12 = 11 . . .1 9 11. . .1 6 1 2008 angka 2008 angka = 9 11 . . .1 6 11. . .1 1 2008 2 2008 angka angka = 2 3 11. . .1 1 2008 angka = 33 . . . 43 2008angka Masalah : Susun suatu konjektur untuk menunjukkan bahwa bilangan 1. . . 1152. . . 22 angka 2 007 2008 angka merupakan bentuk kuadrat d. Memberi Penjelasan dengan Menggunakan Model Contoh: Panjang jalan tol Bogor – Jakarta 60 km. Pada pukul 12.00 mobil A berangkat daripintu tol Bogor menuju Jakarta dengan kecepatan rata-rata 80 km/jam. Pada saat yang sama mobil B berangkat dari pintu tol Jakarta menuju Bogor dengan kecepatan rata - rata 70 km/jam. Kedua mobil tersebut akan berpapasan pada pukul . . . .
- 13. 13 Jawab Modeldari masalah di atas dapat digambarkan sebagai berikut: Bogor 60 km Jakarta V0=80 km/jam P V0=70 km/jam x (60 – x) km Misalkan di titik P mobil A dan mobil B berpapasan, maka B S t t A B V B A A S V x x (60 ) 70 80 x 32km Sehingga tA = 32/80 = 2/5 jam = 24 menit Dengan demikian, mobil A dan mobil B berpapasan pada pukul 12.24 e. Menggunakan Pola untuk Menganalisis Situasi Matematik Contoh: Ucok bermain menyusun batang-batang korek api seperti tampak pada gambar di bawah ini. Apabila susunan batang korek api yang dibuat Ucok dilanjutkan, tentukan banyak batang korek api yang diperlukan untuk membuat susunan ke-20.
- 14. 14 f. MemeriksaValiditas Argumen Contoh 1: Periksa setiap langkah di bawah ini Misalkan a = b Kalikan dengan a a2 = ab Kurangkan dengan b2 a2 – b2 = ab – b2 Faktorkan (a + b)(a – b) = b(a – b) Bagi dengan a – b a + b = b Substitusi untuk a 2b = b Bagi dengan b 2 = 1 Contoh 2: Periksa setiap langkah di bawah ini: (1) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = -1 g. Melakukan Pembuktian Secara Langsung Contoh : Misalkan a bilangan ganjil. Tunjukkan bahwa a2 bilangan ganjil. Bukti: a bilangan ganjil a = 2k + 1 , k bilangan bulat a2 = (2k + 1)2 = 4k2 + 4k + 1 = 2(2k2 + k) + 1 Dengan demikian, a2 = 2p dengan p = 2k2 + k Ini artinya, a2 merupakan bilangan ganjil. Masalah : Perhatikan persegi di bawah ini:
- 15. S P R Q a 2 , a dan b bilangan bulat yang tidak memiliki faktor persekutuan. Dengan 15 1 cm 1 cm 1 cm 3 cm Tunjukkan bahwa segiempat PQRS merupakan persegi, kemudian tentukan luas daerahnya. h. Melakukan Pembuktian Tidak Langsung Contoh : Buktikan bahwa 2 merupakan bilangan rasional Bukti Andaikan 2 meruapakan bilangan raisonal, maka 2 dapat dituliskan dengan b 2 a demikian, 2 a 2 2b 2 a 2 bilangan genap a bilangan genap . 2 b Misalkan a = 2p dengan p bilangan bulat. Maka a2 = (2p)2 = 4p2 4p2 = 2b2 b2 = 2p2 b bilangan genap Dengan demikian, a dan b merupakan bilangan genap. Ini menunjukkan bahwa a dan b memiliki faktor persekutuan 2. Hal ini kontradiksi dengan asumsi awal. Jadi, 2 bukan bilangan rasional. C. Penalaran Deduktif dan Penalaran Induktif Penalaran dalam matematika terbagi dua yaitu penalaran induktif dan penalaran deduktif. Dalam belajar matematika memerlukan penalaran induktif dan deduktif. Penalaran induktif digunakan bila dari kebenaran suatu kasus khusus kemudian disimpulkan kebenaran untuk semua kasus. Penalaran
- 16. deduktif digunakan berdasarkankonsistensi pikiran dan konsistensi logika yang digunakan. Jika premis-premis dalam suatu silogisme benar dan bentuknya (format penyusunannya) benar, maka kesimpulannya benar. Proses penarikan kesimpulan seperti ini dinamakan deduktif atau sering disebut penalaran deduktif. 16 1. Penalaran induktif Penalaran induktif menurut Shurter dan Pierce (dalam Shofiah, 2007 : 14) penalaran induktif adalah cara menarik kesimpulan yang bersifat umum dari kasus-kasus yang bersifat khusus. Lalu menurut Suriasumantri (dalam Shofiah, 2007 :15) penalaran induktif adalah suatu proses berpikir yang berupa penarikan kesimpulan yang umum atau dasar pengetahuan tentang hal-hal yang khusus. Artinya,dari fakta-fakta yang ada dapat ditarik suatu kesimpulan. Menurut kami Kesimpulan umum yang diperoleh melalui suatu penalaran induktif ini bukan merupakan bukti. Hal tersebut dikarenakan aturan umum yang diperoleh dari pemeriksaan beberapa contoh khusus yang benar, belum tentu berlaku untuk semua kasus. Aspek dari penalaran induktif adalah analogi dan generalisasi. Menurut Jacob (dalam Shofiah, 2007 :15), hal ini berdasarkan bahwa penalaran induktif terbagi menjadi dua macam, yaitu generalisasi dan analogi. Analogi adalah proses penyimpulan berdasarkan kesamaan data atau fakta. Analogi dapat juga dikatakan sebagai proses membandingkan dari dua hal yang berlainan berdasarkan kesamaannya, kemudian berdasarkan kesamaannya itu ditarik suatu kesimpulan. Generalisasi adalah pernyataan yang berlaku umum untuk semua atau sebagian besar gejala yang diminati generalisasi mencakup ciri – ciri esensial, bukan rincian. Dalam pengembangan karangan, generalisasi dibuktikan dengan fakta, contoh, data statistik, dan lain-lain. Contoh penalaran induktif Premis 1 : Kuda Sumba punya sebuah jantung Premis 2 : Kuda Australia punya sebuah jantung
- 17. 17 Premis 3: Kuda Amerika punya sebuah jantung Premis 4 : Kuda Inggris punya sebuah jantung Konklusi : Setiap kuda punya sebuah jantung Contoh lain penalaran induktif tunjukkan bahwa jumlah besar sudut-sudut segitiga adalah 180o. Jika penyelesaiaannya secara penalaran induktif, maka caranya sebagai berikut Siswa diminta untuk: membuat model segitiga sembarang dari kertas, menggunting sudut-sudut segitiga tersebut, menghimpitkan potongan sudut-sudut yang telah dipotong Dari setiap siswa yang melakukan dengan benar kegiatan tersebut akan mendapatkan hasil yang sama yaitu ketiga sudut segitiga tersebut jika dihimpitkan akan membentuk satu garis lurus yang menurut pengetahuan yang sudah dipelajari sebelumnya bahwa besarnya 1800. Kasus tersebut dapat digambarkan dalam bentuk diagram sebagai berikut: Jumlah besar sudut segitiga ke-1 = 1800 Jumlah besar sudut segitiga ke-2 = 1800 Jumlah besar sudut segitiga ke-3 = 1800 Jumlah besar sudut segitiga ke-n = 1800 Jadi, jumlah besar sudut setiap segitiga adalah 1800
- 18. Pernyataan bahwa jumlahbesar sudut setiap segitiga adalah 180o tersebut terkategorikan bernilai benar, karena tidak ada satupun segitiga yang jumlah besar sudut-sudutnya bukan 180o. 18 2. Penalaran deduktif Penalaran deduktif Menurut Shurter dan Pierce (dalam Shofiah, 2007 : 14) Penalaran deduktif adalah cara menarik kesimpulan khusus dari hal-hal yang bersifat umum. Penalaran Deduktif adalah proses penalaran untuk manarik kesimpulan berupa prinsip atau sikap yang berlaku khusus berdasarkan atas fakta-fakta yang bersifat umum. Proses penalaran ini disebut Deduksi. Menurut kami Kesimpulan deduktif dibentuk dengan cara deduksi. Yakni dimulai dari hal-hal umum, menuku kepada hal-hal yang khusus atau hal-hal yang lebih rendah proses pembentukan kesimpulan deduktif tersebut dapat dimulai dari suatu dalil atau hukum menuju kepada hal-hal yang kongkrit. Contoh : Masyarakat Indonesia konsumtif (umum) dikarenakan adanya perubahan arti sebuah kesuksesan (khusus) dan kegiatan imitasi (khusus) dari media-media hiburan yang menampilkan gaya hidup konsumtif sebagai prestasi sosial dan penanda status social. Contoh lain penalaran deduktif Pernyataan generalisasi: Pernyataan khusus: Kesimpulan:
- 19. Cara lain untukmembuktikan bahwa jumlah besar sudut-sudut suatu segitiga secara deduktif yakni dengan melibatkan teori atau rumus matematika lainnya yang sebelumnya sudah dibuktikan kebenarannya secara deduktif juga, yaitu: “Jika dua garis sejajar dipotong garis lain, maka sudut-sudut dalam bersebrangan adalah sama,”, seperti yang ditunjukkan gambar berikut Pada gambar di atas ∠A1 = ∠B2 dan ∠A2 = ∠B1 karena garis m dan n merupakan dua garis sejajar dan dipotong garis ketiga, sehingga sudut-sudut dalam berseberangan akan sama besar, yaitu ∠A1 = ∠B2 dan ∠A2 = ∠B1. Perhatikan ABC di bawah ini, dimana melalui titik C telah dibuat garis m yang sejajar dengan garis n, sehingga sudut-sudut dalam berseberangan akan sama besar, yaitu ∠A1 = ∠C1 dan ∠B3 = ∠C3 19 n m A 1 2 1 2 B k p q 1 2 B C 1 3 A 3 m n Dengan demikian berdasarkan gambar di samping, ∠A1 = ∠C1 ∠B3 = ∠C3 ∠C2 = ∠C2 ∠A1+∠B3+∠C2 = ∠C1+∠C3+∠C2 Karena ∠C1+∠C3+∠C2 = 1800, maka: ∠A1+∠B3+∠C2 = ∠A+∠B+∠C = 1800 Contoh di atas menunjukkan bahwa pada penalaran deduktif, suatu rumus, teorema, atau dalil tentang jumlah besar sudut-sudut suatu segitiga adalah 1800, telah dibuktikan dengan menggunakan teori atau rumus sebelumnya yang sudah dibuktikan kebenarannya secara deduktif juga. Sedangkan teori maupun rumus matematika yang digunakan sebagai dasar pembuktian tersebut telah dibuktikan
- 20. berdasarkan teori maupunrumus matematika sebelumnya lagi. Begitu seterusnya. Disamping itu, pembuktian tentang jumlah besar sudut-sudut suatu segitiga adalah 180o telah melibatkan atau menggunakan definisi yang sudah ditetapkan sebelumnya, seperti pengertian sudut lurus besarnya 180o. prosesnya dapat digambarkan dengan diagram berikut: 20 Jumlah besar sudut suatu segitiga adalah 180o Pengertian lain Sudut lurus besarnya 180o Pengertian atau definisi Pengertian atau definisi lainnya Jika dua garis sejajar dipotong garis lain maka sudut-sudut dalam bersebrangan sama besar Dalil atau teorema lainnya Dalil atau teorema lainnya lagi Beberapa cara pembuktian deduktif dapat dikemukakan sebagai berikut: 1. Pembuktian langsung a. Aturan dasar (p q) ^ q q disebut modus ponendo ponens merupakan tautology atau ditulis Hipotesis (1) p q Hipotesis (2) p Kesimpulan q Misalnnya, telah diketahui bahwa segitiga sama kaki, maka kedua sudut alasnya kongruen. Bila diketahui pula bahwa segitiga itu samakaki, maka dapat disimpulkan bahwa kedua sudut alasnya kongruen. Penjelasan logikannya sebagai berikut. Pengertian pangkal Aksioma
- 21. Suatu teorema menyatakan“Jika suatu segitiga itu sama kaki (p) maka kedua sudut alasnya kongruen (q). Simbol logikanya Hipotesis (1) p q sebagai teorema 21 Hipotesis (2) p sebagai diketahui Kesimpulan q yang menyatakan bahwa kedua sudut alasnya segitiga samakaki kongruen. b. Implikasi transitif (p q) ^ (p r) merupakan tautology atau ditulis: Hipotesis (1) p q Hipotesis (2) q r Misalnya dibuktikan bahwa di dalam himpunan bilangan cacah, kuadrat bilangan ganjil adalah ganjil Simbol logikannya: untuk x {푏푖푙푎푛푔푎푛 푐푎푐푎ℎ}, (∀푥) (푥 푔푎푛푗푖푙 x2 ganjil). Proses pembuktiannya adalah sebagai berikut: Hipotesis (1): x ganjil ada n bilangan cacah sehingga x = 2n + 1 Hipotesis (2) x = 2n +1 x2 = (2n+1)2 = 2(2n2+ 2n) + 1 adalah ganjil Kesimpulan: x ganjil x2 ganjil 2. Pembuktian tidak langsung a. Ada kalanya kita sulit membuktikan p q secara langsung. Dalam keadaan demikian kita dapat membuktikan kontra positifnya, yaitu membutikan kontra positifnya, yaitu membuktikan kebenaran –q -p sebab kedua pernyataan tersebut ekuivalen atau (p q) (-q -p) merupakan tautology
- 22. Misalnya, harus membuktikanproposisi berikut. Jika hasil kali dua bilangan asla a dan b ganjil (p), maka kedua bilangan tersebut ganjil (q) yang disimbolkan p q Untuk membuktikan proposisi tersebut, kita dapat membuktikan kontra positifnya yang berbunyi “Jika bilangan asli a dan b kedua-duannya tidak ganjil (-q) maka a.b tidak ganjil (-p) yang disimbolkan (-q -p). Andaikata salah satu dari a atau b tidak ganjil (yang berarti genap), n bilangan asli. a = 2n a.b = (2n)b 22 = 2(nb) genap (tidak ganjil) Pembuktian dengan kontra postitif ini juga dapat diubah menjadi (p q) ^ -q -p merupakan tautologi yang disebut modus tollendo tollens. b. Bila kita ingin membuktikan proposisi p, maka kita pandang negasinya p ialah -p. kita harus membuktikan, dengan –p terjadi kontradiksi, misalnya q ^ -q salah maka pemisalan –p menjadi salah. Dengan demikian –(-p) menjadi benar atau karena –(-p) p maka p benar. Dengan perkataan lain, kita tunjukkan bahwa –(-q^-p) -(-q) suatu tautologi. D. Rubrik dan soal penalaran matematika MENGERTI Bukti menunjukkan siswa pada dasarnya memiliki konsep atau ide yang ditargetkan. BELUM MENGERTI Siswa menunjukkan kesalahan besar, konsep atau prosedur yang salah atau kegagalan menangani tugas. 4 Bagus: Pencapaian Penuh 3 Pandai: Pencapaian Pokok 2 Kecil: Pencapaian Sebagian 1 Tak Memuaskan: Pencapaian sedikit Siswa menunjukkan penalaran yang lengkap untuk mendukung aturan tertentu untuk kedua situasi. Siswa menunjukkan penalaran yang memadai untuk mendukung setidaknya satu aturan atau siswa mampu memberikan penalaran yang lengkap untuk mendukung peraturan Siswa menunjukkan penalaran tentang aturan-aturan melalui kata-kata atau instrumen tetapi alasan lemah - tes yang tidak memadai berbagai situasi dan siswa hanya memiliki satu atau dua aturan Siswa menunjukkan penalaran tentang aturan-aturan melalui kata-kata atau instrumen tetapi alasannya rusak - itu menggunakan logika yang salah atau pernyataan tidak masuk akal dalam
- 23. 23 tertentu untukkedua situasi. khusus dan tidak menunjukkan kedua situasi. konteks masalah atau alasan hanya siswa melalui salah satu aturan tertentu. Contoh Butir Soal Penalaran Matematika Soal 1 Tentukan turunan fungsi dari f(x) = x2 + 5x – 6. Ada dua cara penyelesaian siswa, yaitu dengan menggunakan konsep limit yang dihafalkan atau menggunakan rumus turunan. Jika siswa menggunakan konsep limit, ia mengingat rumus turunan fungsi, f(x) = lim ℎ→0 푓(푥+ℎ)−푓 (푥) ℎ jika siswa menggunakan rumus turunan fungsi pangkat untuk n bilangan real, ia mengingat: Jika f(x) = axn, dengan: a = konstantan real tidak nol, dan n = bilangan real. Maka, turunan fungsi f(x), adalah: f’(x) = anxn-1 hasil dari kedua cara penyelesaian diatas adalah f’(x) = 2x+5. Soal 2 Diketahui suku banyak f(x) = x4 + 3x3 – px2 + (p + 2)x + 3 dibagi dengan (x + 2) mengahasilkan sisa 15. Hitunglah nilai p ? Untuk menjawab soal tersebut siswa harus memahami algoritma teorema sisa. Menurut teorema sisa dikatakan bahwa “jika suku banyak f(x) berderajat n dibagi dengan (x – k) maka sisanya ditentukan oleh S = f(k).” Selanjutnya siswa dapat menghubungkan nilai konstanta 15 dengan variable p yang dinyatakan. Penyelesaian dari soal diatas adalah sebagai berikut:
- 24. f(x) = x4+ 3x3 – px2 + (p + 2)x + 3 dibagi dengan (x + 2) maka sisanya adalah 15. S = f(1 –2) = (-2)4+3(-2)3-p(-2)+(p+2)(-2)+3 = -6p-9, karena sisanya sama 24 dengan 15, maka –6p – 9 = 15, sehingga diperoleh p = –4. Soal 3 Suatu daerah berbentuk persegi panjang. Di tengah area terdapat kolam renang berbentuk persegi panjang dengan luas 180 m2. Selisih panjang dan lebar kolam adalah 3 m dan lebar jalan disekeliling kolam adalah 4 m. Tentukan luas jalan itu! Untuk menyelesaikan soal tentang aplikasi persamaan kuadrat dalam konteks kolam renang dan jalan sebagaimana diminta dalam soal, siswa memerlukan pemahaman konsep luas persegi panjang yang dikaitkan dengan konsep persamaan kuadrat. Siswa diharapkan mampu memisalkan panjang dan lebar kolam dengan menggunakan variabel tertentu, misalnya panjang kolam dengan variabel x dan lebar kolam dengan variabel y, juga memisalkan panjang area dengan variabel p dan lebar area dengan variabel l, kemudian siswa dapat menghubungkan variabel x dan p serta menghubungkan variabel y dan l, serta menghubungkan keempat variabel tersebut untuk menentukan luas jalan yang ditanyakan. Hubungan variabel-variabel tersebut adalah : x.y = 180 ……….(1) x – y = 3, atau x = y + 3 ………(2) siswa dapat mensubstitusikan pers. (2) ke pers. (1) sehingga terbentuk: (y + 3)y = 180 atau y2 + 3y – 180 = 0 → (y + 15)(y – 12) = 0 Nilai y yang memenuhi adalah 12, sehingga x = 15. Selanjutnya nilai y dan x disubstitusikan pada hubungan p = (x + 4) dan
- 25. 25 l =y + 4 sehingga diperoleh p = 19 dan l = 16 Luas Jalan adalah = pl – xy = (19)(16) – (180) = 124 m2 Soal 4 Sebuah bilangan berupa pecahan, jika pembilangnya ditambah 2, maka nilai pecahan itu menjadi dan jika penyebutnya dikurangi 5, maka nilai pecahan itu menjadi . Tentukan jumlah nilai pembilang dan penyebut bilangan pecahan tersebut! Penyelesaian soal dapat dilakukan siswa dengan cara : 1. Memisalkan bilangan pecahan tersebut dengan 푥 푦 Jika pembilang ditambah 2 dan nilainya menjadi 1 4 , dapat ditulis 푥+2 푦 = 1 4 diperoleh 4x – y + 8 = 0 atau y = 4x + 8 ……….(1) Jika penyebutnya ditambah 5 maka nilai pecahan tersebut menjadi 1 5 , sehingga dapat dinyatakan 푥 푦− 5 = 1 5 , diperoleh 5x – y +5 = 0 .........(2). 2. Substitusi pers. (1) ke pers. (2) atau dengan cara eliminasi, maka diperoleh x = 3 ; y = 20. Maka diperoleh hasil penjumlahan pembilang dan penyebut adalah x + y =23. Soal 5 Tinjau persamaan kuadrat yang berbentuk x2 + bx + c = 0. Berapa banyakkah persamaan demikian yang memiliki akar-akar real jika koefisien b dan c hanya boleh dipilih dari himpunan {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Supaya system persamaan x2 + bx + c = 0 memiliki akar-akar real, diskriminannya haruslah tidak negative. Dengan demikian, b2 – 4ac ≥ 0. Karena a = 1 maka, b2 – 4c ≥0 . Kita cacah bilangan-bilangan b dan c dalam himpunan {1, 2, 3, 4, 5, 6} yang memenuhi hubungan tersebut. Untuk c = 1 haruslah b2 ≥ 4, sehingga b salah satu dari 2, 3, 4, 5, atau 6. Untuk c = 2, nilai b adalah 3, 4, 5, atau 6. Untuk nilai c = 3 dan c = 4, nilai b salah satu dari 4, 5, atau 6. Untuk c = 5 dan 6, nilai b 5 atau 6. Jadi, banyaknya persamaan yang memenuhi persyaratan yang diberikan adalah 5 + 4 + 3 + 3 + 2 + 2 = 19.
- 26. 26 BAB III KESIMPULAN 1. Penalaran adalah suatu proses berfikir untuk mengambil suatu kesimpulan berdasarkan pemahaman atau pengetahuan yang telah difahami atau diketahui dimana kesimpulan yang diketahui dapat dipertanggung jawabkan. 2. Indikator Penalaran a. Membuat analogi dan generalisasi b. Memberikan penjelasan dengan menggunakan model c. Menggunakan pola dan hubungan untuk menganalisis situasi matematika d. Menyusun dan menguji konjektur e. Memeriksa validitas argumen f. Menyusun pembuktian langsung g. Menyusun pembuktian tidak langsung h. Memberikan contoh penyangkal i. Mengikuti aturan enferensi 3. Jenis Penalaran a. Penalaran deduktif merupakan penalaran yang berlangsung dari hal-hal yang umum (generalisasi) ke hal-hal yang khusus b. Penalaran Indutif merupakan penalaran yang berlangsung dari hal-hal yang Khusus ke hal-hal yang umum
- 27. 27 DAFTAR PUSTAKA Depdiknas. 2004. Kurikulum 2004 Mata Pelajaran Matematika. Fajar. Shadiq. 2004, Pemecahan Masalah, Penalaran dan Komunikasi, Widyaiswara PPPG Matematika Yogyakarta Http/radar.ee.itb.ac.id/suksmono/lectures/el 2009/ppt/penalaran matematika/pdf Http/file.upi.edu/D/FMIPA/Jur/Pend. Matematia/kusnaidi/Penalaran Matematika smp/pdf Http/educ2. Hku.ak/download 15 oktober 2010 Lither.k.2000. Mathematical Reasoning in task solving/educational studies in mathematics 41 : 165- 190. 2000. Netherland: kluwer Academic Publisher. Marsigit, 2006. Matematika SMP Kelas VII. Jakarta: Yudistira. Nurahman, Iman.. (2011). “Pembelajaran Kooperatif Tipe Team-Accelerated Instruction (TAI) Untuk Meningkatkan Kemampuan Penalaran dan Komunikasi Matematika Siswa SMP”. Pasundan Journal of Mathematics Education Jurnal. 1, (1), 96-130. Shofiah,S.M. (2007). Pembelajaran Matematika Melalui Pendekatan Konstruktivisme dalam Upaya Meningkatkan Kemampuan Penalaran Induktif Siswa. Skripsi Jurusan Pendidikan Matematika FPMIPA UPI Bandung: Tidak Diterbitkan. Suherman, Erman, dkk (2001). Strategi Pembelajran Matematika Kontemporer. Bandung : JICA - UPI