Persamaan Diferensial Biasa (PDB) Orde 2
- 1. PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA (PDB) ORDE 2 A. PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR ORDE 2 HOMOGEN Bentuk Umum : 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2 + 𝑝 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑞𝑦 = 0 … (1) Penyelesaian persamaan (1) sebagai berikut : 𝑑𝑢 𝑑𝑥 + 𝑘𝑦 = 0 ⇔ ∫ 𝑑𝑦 𝑦 = − ∫ 𝑘𝑑𝑥 𝑙𝑛 𝑦 = −𝑘𝑥 + 𝑐 𝑦 = 𝑐𝑒−𝑘𝑥 𝑦 = 𝑐𝑒 𝑚𝑥 Misal : 𝑦 = 𝑒 𝑘𝑥 𝑦′ = 𝑘𝑒 𝑘𝑥 𝑦" = 𝑘2 𝑒 𝑘𝑥 } … (2) Subsitusikan persamaan (2) ke persamaan (1) sehingga diperoleh : 𝑘2 𝑒 𝑘𝑥 + 𝑝𝑘𝑒 𝑘𝑥 + 𝑞𝑒 𝑘𝑥 = 0 (𝑘2 + 𝑝𝑘 + 𝑞)𝑒 𝑘𝑥 = 0 𝑘2 + 𝑝𝑘 + 𝑞 = 0 … (3) Persamaan (3) disebut persamaan karakteristik. Jika 1k dan 2k adalah akar-akar dari persamaan kuadrat, maka ada 3 kemungkinan untuk 1k dan 2k a. Jika 𝑘1 ≠ 𝑘2 (akar-akar rill dan berbeda), maka penyelesaian umum dari (1) adalah 𝑦 = 𝑐1 𝑒 𝑘1 𝑥 + 𝑐2 𝑒 𝑘2 𝑥 b. Jika 𝑘1 = 𝑘2 = 𝑘 (akar-akar kembar), maka penyelesaian umum dari (1) adalah 𝑦 = 𝑐1 𝑒 𝑘𝑥 + 𝑐2 𝑒 𝑘𝑥 = (𝑐1 + 𝑐2)𝑒 𝑘𝑥 c. Jika 𝑘1 dan 𝑘2 akar-akar kompleks konjugat (𝑘1 = 𝛼 + 𝛽𝑖 , 𝑘2 = 𝛼 − 𝛽𝑖), maka penyelesaian umum dari (1) adalah 𝑦 = 𝑐1 𝑒 𝑘1 𝑥 + 𝑐2 𝑒 𝑘2 𝑥 𝑦 = 𝑐1 𝑒(𝛼+𝛽𝑖)𝑥 + 𝑐2 𝑒(𝛼−𝛽𝑖)𝑥 𝑦 = 𝑒 𝛼𝑥 (𝑐1 𝑒 𝛽𝑖 𝑥 + 𝑐2 𝑒−𝛽𝑖 𝑥 ) 𝑦 = 𝑒 𝛼𝑥 (𝑐1(𝑐𝑜𝑠 𝛽 𝑥 + 𝑖 𝑠𝑖𝑛 𝛽 𝑥) + 𝑐2(𝑐𝑜𝑠 𝛽 𝑥 − 𝑖 𝑠𝑖𝑛 𝛽 𝑥)) 𝑦 = 𝑒 𝛼𝑥{(𝑐1 + 𝑐2) 𝑐𝑜𝑠 𝛽 𝑥 + (𝑐1 − 𝑐2)𝑖 𝑠𝑖𝑛 𝛽 𝑥} 𝑦 = 𝑒 𝛼𝑥{𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝛽 𝑥 + 𝐵 𝑠𝑖𝑛 𝛽 𝑥}
- 2. Contoh : Tentukan penyelesaian umum dari : 1. 𝑦" + 3𝑦' + 2𝑦 = 0 𝑦" + 3𝑦' + 2𝑦 = 0 … (1) Misal : 𝑦 = 𝑒 𝑘𝑥 𝑦' = 𝑘𝑒 𝑘𝑥 𝑦" = 𝑘2 𝑒 𝑘𝑥 } … (2) Subsitusi persamaan (2) ke (1) 𝑘2 𝑒 𝑘𝑥 + 3𝑘𝑒 𝑘𝑥 + 2𝑒 𝑘𝑥 = 0 (𝑘2 + 3𝑘 + 2)𝑒 𝑘𝑥 = 0 𝑘2 + 3𝑘 + 2 = 0 (𝑘 + 2)(𝑘 + 1) = 0 𝑘 = −2 ∨ 𝑘 = −1 ∴ 𝑦 = 𝑐1 𝑒−2𝑥 + 𝑐2 𝑒−𝑥 2. 𝑦" + 4𝑦' + 4𝑦 = 0 𝑦" + 4𝑦' + 4𝑦 = 0 … (3) Misal : 𝑦 = 𝑒 𝑘𝑥 𝑦' = 𝑘𝑒 𝑘𝑥 𝑦" = 𝑘2 𝑒 𝑘𝑥 } … (4) Subsitusi persamaan (3) ke (4) 𝑘2 𝑒 𝑘𝑥 + 4𝑘𝑒 𝑘𝑥 + 4𝑒 𝑘𝑥 = 0 (𝑘2 + 4𝑘 + 4)𝑒 𝑘𝑥 = 0 𝑘2 + 4𝑘 + 4 = 0 (𝑘 + 2)2 = 0 𝑘1 = 𝑘2 = 𝑘 = −2 ∴ 𝑦 = (𝑐1 + 𝑐2 𝑥)𝑒−2𝑥 3. 4𝑦" + 9𝑦 = 0 4𝑦" + 9𝑦 = 0 … (5) Misal : 𝑦 = 𝑒 𝑘𝑥 𝑦' = 𝑘𝑒 𝑘𝑥 𝑦" = 𝑘2 𝑒 𝑘𝑥 } … (6) Subsitusi persamaan (5) ke (6)
- 3. 4𝑘2 𝑒 𝑘𝑥 + 9𝑒 𝑘𝑥 = 0 (4𝑘2 + 9)𝑒 𝑘𝑥 = 0 𝑘2 = − 9 4 𝑘 = ± 3 2 𝑖 ∴ 𝑦 = 𝐴 𝑐𝑜𝑠 3 2 + 𝐵 𝑠𝑖𝑛 3 2 ⇔ 𝑦 = (𝑐1 + 𝑐2) 𝑐𝑜𝑠 3 2 + (𝑐1 − 𝑐2)𝑖 𝑠𝑖𝑛 3 2 Latihan Soal Tentukan penyelesaian umum dari: 1. 𝑦" + 𝑦' − 6𝑦 = 0 2. 4𝑦" + 4𝑦' = 0 3. 4𝑦" − 4𝑦' − 3𝑦 = 0 4. 𝑦" − 16𝑦 = 0
- 4. B. PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR ORDE 2 NON HOMOGEN Bentuk Umum : 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2 + 𝑝 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑞𝑦 = 𝑟(𝑥) … (1) Penyelesaian persamaan (1) adalah 𝑦 = 𝑦ℎ + 𝑦𝑝 … (2) dimana 𝑦ℎ adalah penyelesaian homogen dan 𝑦𝑝 adalah penyelesaian partikulir. 𝑦ℎ dicari dari 𝑎 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2 + 𝑏 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑐𝑦 = 0 … (3) 𝑦𝑝 dicari dari 𝑎 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2 + 𝑏 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑐𝑦 = 𝑟(𝑥) … (4) Penyelesaian umum untuk (1) akan memiliki banyak kasus tergantung dari fungsi 𝑟(𝑥) di ruas kanan. Berikut tabel untuk mencari 𝑦𝑝. No 𝒓(𝒙) 𝒚 𝒑 1 5 𝑦𝑝 = 𝐴 2 5𝑥 + 7 𝑦𝑝 = 𝐴𝑥 + 𝐵 3 3𝑥2 − 2 𝑦𝑝 = 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑥 + 𝐶 4 𝑥3 − 𝑥 + 1 𝑦𝑝 = 𝐴𝑥3 + 𝐵𝑥2 + 𝐶𝑥 + 𝐸 5 sin 4𝑥 𝑦𝑝 = 𝐴 sin 4𝑥 + 𝐵 cos 4𝑥 6 cos 4𝑥 𝑦𝑝 = 𝐴 cos 4𝑥 + 𝐵 sin 4𝑥 7 𝑒5𝑥 𝑦𝑝 = 𝐴𝑒5𝑥 8 (9𝑥 − 2)𝑒5𝑥 𝑦𝑝 = (𝐴𝑥 + 𝐵)𝑒5𝑥 9 𝑥2 𝑒5𝑥 𝑦𝑝 = (𝐴𝑥2 + 𝐵𝑥 + 𝐶)𝑒5𝑥 10 𝑒3𝑥 sin 4𝑥 𝑦𝑝 = 𝐴𝑒3𝑥 sin 4𝑥 + 𝐵𝑒3𝑥 cos 4𝑥 11 5𝑥2 sin 4𝑥 𝑦𝑝 = (𝐴𝑥2 + 𝐵𝑥 + 𝐶) sin 4𝑥 + (𝐸𝑥2 + 𝐹𝑥 + 𝐺) cos 4𝑥 12 (2𝑥 + 3)𝑒3𝑥 sin 2𝑥 𝑦𝑝 = (𝐴𝑥 + 𝐵)𝑒3𝑥 sin 2𝑥 + (𝐸𝑥 + 𝐹)𝑒3𝑥 cos 2𝑥 Contoh: 1. Bila ruas kanan 𝑟(𝑥) adalah polynomial. 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2 + 5 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 6𝑦 = 2𝑥2 − 3𝑥 + 6 Penyelesaian: 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2 + 5 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 6𝑦 = 2𝑥2 − 3𝑥 + 6 … (1)
- 5. Mencari 𝑦ℎ 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2 + 5 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 6𝑦 = 0 … (2) Misal : 𝑦 = 𝑒 𝑘𝑥 𝑦′ = 𝑘𝑒 𝑘𝑥 𝑦" = 𝑘2 𝑒 𝑘𝑥 } … (3) Subsitusi persamaan (3) ke persamaan (2) 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2 + 5 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 6𝑦 = 0 𝑘2 𝑒 𝑘𝑥 + 5𝑘𝑒 𝑘𝑥 + 6𝑒 𝑘𝑥 = 0 (𝑘2 + 5𝑘 + 6)𝑒 𝑘𝑥 = 0 (𝑘2 + 5𝑘 + 6) = 0 (𝑘 + 2)(𝑘 + 3) = 0 𝑘1 = −2 ⋁ 𝑘2 = −3 ∴ 𝑦ℎ = 𝑐1 𝑒−2𝑥 + 𝑐2 𝑒−3𝑥 Mencari 𝑦𝑝 Misal : 𝑦 = 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑥 + 𝐶 𝑦′ = 2𝐴𝑥 + 𝐵 𝑦" = 2𝐴 } … (4) Subsitusi persamaan (4) ke persamaan (1) 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2 + 5 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 6𝑦 = 2𝑥2 − 3𝑥 + 6 2𝐴 + 5(2𝐴𝑥 + 𝐵) + 6(𝐴𝑥2 + 𝐵𝑥 + 𝐶) = 2𝑥2 − 3𝑥 + 6 2𝐴 + 10𝐴𝑥 + 5𝐵 + 6𝐴𝑥2 + 6𝐵𝑥 + 6𝐶 = 2𝑥2 − 3𝑥 + 6 6𝐴𝑥2 + (10𝐴 + 6𝐵)𝑥 + 2𝐴 + 5𝐵 + 6𝐶 = 2𝑥2 − 3𝑥 + 6 ∴ 𝑦𝑝 = 1 3 𝑥2 − 19 18 𝑥 + 191 108 • 6𝐴𝑥2 = 2𝑥2 𝐴 = 1 3 • (10𝐴 + 6𝐵)𝑥 = −3𝑥 10𝐴 + 6𝐵 = −3 10 ( 1 3 ) + 6𝐵 = −3 𝐵 = − 19 18 • 2𝐴 + 5𝐵 + 6𝐶 = 6 2 ( 1 3 ) + 5 (− 19 18 ) + 6𝐶 = 1 3 𝐶 = 191 108
- 6. Penyelesaian Umum: 𝑦 = 𝑦ℎ + 𝑦𝑝 ∴ 𝑦 = 𝑐1 𝑒−2𝑥 + 𝑐2 𝑒−3𝑥 + 1 3 𝑥2 − 19 18 𝑥 + 191 108 2. Bila ruas kanan 𝑟(𝑥) adalah fungsi eksponensial. 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2 + 5 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 6𝑦 = 7𝑒4𝑥 Penyelesaian: 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2 + 5 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 6𝑦 = 7𝑒4𝑥 … (5) Mencari 𝑦ℎ 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2 + 5 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 6𝑦 = 0 … (6) ∴ 𝑦ℎ = 𝑐1 𝑒−2𝑥 + 𝑐2 𝑒−3𝑥 (penyelesaian 𝑦ℎ sama seperti contoh nomor 1) Mencari 𝑦𝑝 Misal : 𝑦 = 𝑚𝑒4𝑥 𝑦′ = 4𝑚𝑒4𝑥 𝑦" = 16𝑚𝑒4𝑥 } … (7) Subsitusi persamaan (7) ke persamaan (5) 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2 + 5 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 6𝑦 = 7𝑒4𝑥 16𝑚𝑒4𝑥 + 5(4𝑚𝑒4𝑥 ) + 6(𝑚𝑒4𝑥 ) = 7𝑒4𝑥 16𝑚𝑒4𝑥 + 20𝑚𝑒4𝑥 + 6𝑚𝑒4𝑥 = 7𝑒4𝑥 42𝑚𝑒4𝑥 = 7𝑒4𝑥 𝑚 = 7 42 = 1 6 ∴ 𝑦𝑝 = 𝑚𝑒4𝑥 = 1 6 𝑒4𝑥 Penyelesaian Umum: 𝑦 = 𝑦ℎ + 𝑦𝑝 ∴ 𝑦 = 𝑐1 𝑒−2𝑥 + 𝑐2 𝑒−3𝑥 + 1 6 𝑒4𝑥 3. Bila ruas kanan 𝑟(𝑥) adalah fungsi trigonometri. 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2 + 5 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 6𝑦 = 3 sin 4𝑥
- 7. Penyelesaian: 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2 + 5 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 6𝑦 = 3 sin 4𝑥 … (8) Mencari 𝑦ℎ 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2 + 5 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 6𝑦 = 0 … (9) ∴ 𝑦ℎ = 𝑐1 𝑒−2𝑥 + 𝑐2 𝑒−3𝑥 (penyelesaian 𝑦ℎ sama seperti contoh nomor 1) Mencari 𝑦𝑝 Misal : 𝑦 = 𝐴 sin 4𝑥 + 𝐵 cos 4𝑥 𝑦′ = 4𝐴 cos 4𝑥 − 4𝐵 sin 4𝑥 𝑦" = −16𝐴 sin 4𝑥 − 16𝐵 cos 4𝑥 } … (10) Subsitusi persamaan (10) ke persamaan (8) 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2 + 5 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 6𝑦 = 3 sin 4𝑥 −16𝐴 sin 4𝑥 − 16𝐵 cos 4𝑥 + 5(4𝐴 cos 4𝑥 − 4𝐵 sin 4𝑥) + 6(𝐴 sin 4𝑥 + 𝐵 cos 4𝑥) = 3 sin 4𝑥 −16𝐴 sin 4𝑥 − 16𝐵 cos 4𝑥 + 20𝐴 cos 4𝑥 − 10𝐵 sin 4𝑥 + 6𝐴 sin 4𝑥 + 6𝐵 cos 4𝑥 = 3 sin 4𝑥 … (11) (−10𝐴 − 20𝐵) sin 4𝑥 + (20𝐴 − 10𝐵) cos 4𝑥 = 3 sin 4𝑥 … (11) Dari persamaan (11) diperoleh: (−10𝐴 − 20𝐵) sin 4𝑥 = 3 sin 4𝑥 −10𝐴 − 20𝐵 = 3 … (12) dan 20𝐴 − 10𝐵 = 0 … (13) Selanjutnya mencari nilai A dan B menggunakan subsitusi dari persamaan (12) dan (13) 20𝐴 − 10𝐵 = 0 𝐴 = 1 2 𝐵 Subsitusi nilai A ke persamaan (12) −10𝐴 − 20𝐵 = 3 −10 ( 1 2 𝐵) − 20𝐵 = 3 𝐵 = − 3 25 𝐴 = 1 2 𝐵 = 1 2 (− 3 25 ) = − 3 50
- 8. 𝑦𝑝 = − 3 50 sin 4𝑥 − 3 25 cos 4𝑥 Penyelesaian Umum: 𝑦 = 𝑦ℎ + 𝑦𝑝 ∴ 𝑦 = 𝑐1 𝑒−2𝑥 + 𝑐2 𝑒−3𝑥 − 3 50 sin 4𝑥 − 3 25 cos 4𝑥 Latihan Soal Tentukan penyelesaian umum dari: 1. 𝑦" − 10𝑦' + 25𝑦 = −5𝑥 + 12 2. 4𝑦" + 9𝑦 = 15 3. 𝑦" − 2𝑦' + 3𝑦 = 6𝑥𝑒2𝑥 4. 𝑦" − 9𝑦' + 14𝑦 = 3𝑥2 − 5 sin 2𝑥 + 7𝑥𝑒6𝑥
- 9. C. PERSAMAAN EULER - CAUCHY ORDE 2 Bentuk Umum : 𝑥2 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2 + 𝑝𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑞𝑦 = 0 … (1) Penyelesaian: Misalkan : 𝑦 = 𝑥 𝑚 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑚𝑥 𝑚−1 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2 = (𝑚2 − 𝑚)𝑥 𝑚−2 } … (2) Subsitusikan persamaan (2) ke persamaan (1) sehingga diperoleh 𝑥2 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2 + 𝑝𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑞𝑦 = 0 𝑥2 (𝑚2 − 𝑚)𝑥 𝑚−2 + 𝑝𝑥𝑚𝑥 𝑚−1 + 𝑞𝑥 𝑚 = 0 (𝑚2 − 𝑚)𝑥 𝑚 + 𝑝𝑚𝑥 𝑚 + 𝑞𝑥 𝑚 = 0 (𝑚2 − 𝑚 + 𝑝𝑚 + 𝑞)𝑥 𝑚 = 0 𝑚2 + (𝑝 − 1)𝑚 + 𝑞 = 0 … (3) Persamaan (3) disebut persamaan karakteristik. Jika 𝑚1 dan 𝑚2 adalah akar-akar dari persamaan kuadrat, maka ada 3 kemungkinan untuk 𝑚1 dan 𝑚2, antara lain: a. Jika 𝑚1 ≠ 𝑚2 adalah akar-akar dari persamaan (3) real dan berbeda maka penyelesaian umum dari (1) adalah 𝑦 = 𝑐1 𝑥 𝑚1 + 𝑐2 𝑥 𝑚2 b. Jika 𝑚1 = 𝑚2 = 𝑚 adalah akar-akar dari persamaan (3) akar-akar kembar maka penyelesaian umum dari (1) adalah 𝑦 = 𝑐1 𝑥 𝑚 + 𝑐2 𝑥 𝑚 ln 𝑥 𝑦 = (𝑐1 + 𝑐2 ln 𝑥)𝑥 𝑚 c. Jika 𝑚1 = 𝛼 + 𝛽𝑖 dan 𝑚2 = 𝛼 − 𝛽𝑖 adalah akar-akar kompleks konjugat maka penyelesaian umum dari (1) adalah 𝑦 = 𝑐1 𝑥 𝑚1 + 𝑐2 𝑥 𝑚2 𝑦 = 𝑐1 𝑥 𝛼+𝛽𝑖 + 𝑐2 𝑥 𝛼−𝛽𝑖 𝑦 = 𝑥 𝛼 (𝑐1 𝑥 𝛽𝑖 + 𝑐2 𝑥−𝛽𝑖) 𝑦 = 𝑥 𝛼 (𝑐1(𝑐𝑜𝑠 𝛽 ln 𝑥 + 𝑖 𝑠𝑖𝑛 𝛽 ln 𝑥) + 𝑐2(𝑐𝑜𝑠 𝛽 ln 𝑥 − 𝑖 𝑠𝑖𝑛 𝛽 ln 𝑥)) 𝑦 = 𝑥 𝛼{(𝑐1 + 𝑐2) 𝑐𝑜𝑠 𝛽 ln 𝑥 + (𝑐1 − 𝑐2)𝑖 𝑠𝑖𝑛 𝛽 ln 𝑥} 𝑦 = 𝑥 𝛼{𝐴 𝑐𝑜𝑠 𝛽 ln 𝑥 + 𝐵 𝑠𝑖𝑛 𝛽 ln 𝑥}
- 10. Contoh : Tentukan penyelesaian umum dari : 1. 𝑥2 𝑦" + 5𝑥𝑦′ + 8𝑦 = 0 Penyelesaian: 𝑥2 𝑦" + 5𝑥𝑦′ + 8𝑦 = 0 … (1) Misal : 𝑦 = 𝑥 𝑚 𝑦′ = 𝑚𝑥 𝑚−1 𝑦" = (𝑚2 − 𝑚)𝑥 𝑚−2 } … (2) Subsitusi persamaan (2) ke (1) 𝑥2 𝑦" + 5𝑥𝑦′ + 8𝑦 = 0 𝑥2 (𝑚2 − 𝑚)𝑥 𝑚−2 + 5𝑥𝑚𝑥 𝑚−1 + 8𝑥 𝑚 = 0 ((𝑚2 − 𝑚) + 5𝑚 + 8)𝑥 𝑚 = 0 𝑚2 − 6𝑚 + 8 = 0 (𝑚 − 4)(𝑚 − 2) = 0 𝑚1 = 4 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑚2 = 2 ∴ 𝑦 = 𝑐1 𝑥4 + 𝑐2 𝑥2 2. 𝑥2 𝑦" − 3𝑥𝑦′ + 4𝑦 = 0 Penyelesaian: 𝑥2 𝑦" − 3𝑥𝑦′ + 4𝑦 = 0 … (3) Misal : 𝑦 = 𝑥 𝑚 𝑦′ = 𝑚𝑥 𝑚−1 𝑦" = (𝑚2 − 𝑚)𝑥 𝑚−2 } … (4) Subsitusi persamaan (3) ke (4) 𝑥2 𝑦" − 3𝑥𝑦′ + 4𝑦 = 0 𝑥2 (𝑚2 − 𝑚)𝑥 𝑚−2 − 3𝑥𝑚𝑥 𝑚−1 + 4𝑥 𝑚 = 0 ((𝑚2 − 𝑚) − 3𝑚 + 4)𝑥 𝑚 = 0 𝑚2 − 4𝑚 + 4 = 0 (𝑚 − 2)(𝑚 − 2) = 0 𝑚1 = 𝑚2 = 2 ∴ 𝑦 = (𝑐1 + 𝑐2 ln 𝑥)𝑥2 3. 𝑥2 𝑦" + 𝑥𝑦′ + 4𝑦 = 0 Penyelesaian:
- 11. 𝑥2 𝑦" + 𝑥𝑦′ + 4𝑦 = 0 … (5) Misal : 𝑦 = 𝑥 𝑚 𝑦′ = 𝑚𝑥 𝑚−1 𝑦" = (𝑚2 − 𝑚)𝑥 𝑚−2 } … (6) Subsitusi persamaan (5) ke (6) 𝑥2 𝑦" + 𝑥𝑦′ + 4𝑦 = 0 𝑥2 (𝑚2 − 𝑚)𝑥 𝑚−2 + 𝑥𝑚𝑥 𝑚−1 + 4𝑥 𝑚 = 0 ((𝑚2 − 𝑚) + 𝑚 + 4)𝑥 𝑚 = 0 𝑚2 + 4 = 0 (𝑚 + 2𝑖)(𝑚 − 2𝑖) = 0 𝑚1 = −2𝑖 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑚2 = 2𝑖 ∴ 𝑦 = 𝑐1 cos(2𝑙𝑛𝑥) + 𝑐2 sin(2𝑙𝑛𝑥)