Persamaan diferensial biasa: persamaan diferensial orde-kedua

Persamaan diferensial biasa: persamaan diferensial orde-kedua

• 1.
  Persamaan diferensial biasa: Persamaandiferensial orde-kedua Dwi Prananto June 5, 2015 Daftar isi 1 Persamaan diferensial homogen orde-kedua 1 1.1 Persamaan diferensial linier homogen dengan koefisien konstan . . . . . . . . . . 2 2 Operator diferensial 6 2.1 Solusi persamaan diferensial non-homogen orde-kedua dengan operator D . . . . 8 1 Persamaan diferensial homogen orde-kedua Persamaan diferensial orde-kedua dinyatakan dalam bentuk umumnya sebagai y + p(x)y + q(x)y = r(x). (1) Jika sisi kanan dari persamaan tersebut sama dengan nol, persamaan diferensial tersebut dise- but sebagai persamaan diferensial homogen y + p(x)y + q(x)y = 0. (2) Solusi persamaan diferensial homogen dinyatakan dalam bentuk kombinasi linier dari dua solusi, y1 dan y2, y = c1y1 + c2y2. (3) Bukti bahwa bentuk kombinasi linier dari y1 dan y2 adalah benar solusi dari persamaan diferen- sial homogen dapat dipeoleh dengan cara mensubstitusikan persamaan (3) ke dalam persamaan (2) (c1y1 + c2y2) + p(x)(c1y1 + c2y2) + q(x)(c1y1 + c2y2) = 0 (4) c1y1 + c2y2 + p(x)c1y1 + p(x)c2y2 + q(x)c1y1 + q(x)c2y2 = 0 (5) c1(y1 + p(x)y1 + q(x)y1) + c2(y2 + p(x)y2 + q(x)y2) = 0. (6) Dengan memperhatikan kembali persamaan (2), maka diperoleh sisi kanan dan kiri persamaan (6) sama dengan nol, yang berarti persamaan (3) memenuhi persamaan (2). Solusi persamaan diferensial orde-kedua dapat dinyatakan ke dalam dua bentuk yaitu: 1. Solusi umum Jika koefisien c1 dan c2 berupa sembarang konstanta. 2. Solusi partikuler Jika koefisien c1 dan c2 berupa angka spesifik. 1
• 2.
  1.1 Persamaan diferensiallinier homogen dengan koefisien konstan Persamaan diferensial linier homogen orde-kedua dinyatakan dalam bentuk y + ay + by = 0, (7) dimana a dan b adalah konstanta. Solusi dari persamaan (7) adalah persamaan diferensial orde-pertama y + ky = 0, dengan k adalah konstan. Persamaan ini sendiri memiliki solusi berupa fungsi eksponensial y = e−ky . Sehingga solusi dari persamaan (7) adalah berupa fungsi eksponensial. Jika kita ambil solusi persamaan (7) sebagai y = eλx , (8) dan turunannya adalah: y = λeλx dan y = λ2 eλx , substitusi ke dalam persamaan (7) menghasilkan λ2 eλx + aλeλx + beλx = 0 (λ2 + aλ + b)eλx = 0 atau λ2 + aλ + b = 0. (9) Persamaan (9) disebut sebagai persamaan karakteristik, dengan λ sebagai solusinya. Karena λ adalah solusi dari persamaan karakteristik, fungsi eksponensial y = eλx adalah solusi dari persamaan diferensial linier homogen orde-kedua dengan koefisien konstan. Akar-akar persamaan karakteristik dapat dicari dengan λ12 = −a ± √ a2 − 4b 2 . (10) Dengan ini solusi persamaan (7) adalah y1 = eλ1x dan y2 = eλ2x . (11) Lebih lanjut, dalam aljabar persamaan kuadrat, ada tiga macam kemungkinan akar persamaan kudrat tergantung dari nilai diskriminan a2 − 4b. Oleh karena itu, akan ada tiga kemungkinan akar-akar persamaan karakteristik yang dapat muncul, yaitu: Kasus I : dua akar real λ1 dan λ2. Jika a2 − 4b > 0 Kasus II : akar tunggal real λ1 = λ2. Jika a2 − 4b = 0 Kasus III : akar kompleks konjugat (memiliki komponen real dan imajiner). Jika a2 − 4b < 0 Ketiga kasus di atas akan dibahas dalam subseksi berikut 2
• 3.
  Kasus I: Duaakar real (λ1 dan λ2) Jika diskriminan a2 − 4b nilainya lebih besar dari nol, persamaan karakteristik akan memiliki dua akar yang berbeda λ1 dan λ2, sehingga solusi persamaan diferensial adalah kombinasi linier y1 dan y2, y = c1eλ1x + c2eλ2x . (12) Contoh Jika diketahui sebuah persamaan diferensial linier homogen orde-kedua y + y − 2y = 0, y(0) = 4, y (0) = −5, solusi persamaan diferensial tersebut dapat dicari dengan mengambil solusi y = eλx , dan turunan pertama dan keduanya adalah y = λeλx dan y = λ2 eλx . Substitusi ke dalam persamaan diferensial menghasilkan λ2eλx + λeλx − 2eλx = 0 (λ2 + λ − 2)eλx = 0, sehingga persamaan karakteristik dinyatakan sebagai λ2 + λ − 2 = 0. Akar-akar persamaan karakteristik dapat dicari dengan pemfaktoran secara langsung atau menggunakan persamaan (10). Diperoleh akar-akar λ1 = 1 dan λ2 = −2, sehingga solusi umum persamaan diferensial dituliskan sebagai y = c1ex + c2e−2x . Selanjutnya solusi partikuler dapat dicari dengan menggunakan solusi umum dan kondisi inisial y(0) = 4 dan y (0) = −5 y(0) = c1 + c2 = 4 y (0) = c1 − 2c2 = −5. Dengan cara eliminasi konstanta c dan substitusi diperoleh c1 = 1 dan c2 = 3, sehingga solusi partikuler persamaan diferensial adalah y = ex + 3e−2x . 3
• 4.
  Kasus II: Akartunggal real (λ = −a/2) Jika diskriminan a2 − 4b = 0, hanya akan ada satu akar λ = λ1 = λ2 = −a/2., sehingga solusi y1 = e−(a/2)x (13) dan y2 dapat dicari dengan mengambil y2 = uy1 untuk kemudian menurunkannya sampai didapat turunan ke-dua y2 = uy1 + y1u , turunan ke-dua y2 = uy1 + y1u + y1u + u y1 y2 = uy1 + 2y1u + y1u . Substitusi turunan pertama dan kedua dari y2 menghasilkan (uy1 + 2y1u + y1u ) + a(uy1 + y1u ) + buy1 = 0, dan mengumpukan u , u , dan u menghasilkan u y1 + u (2y1 + ay1) + u(y1 + ay1 + by1) = 0. Dikarenakan y1 + ay1 + by1 = 0 dan 2y1 = −ae−(a/2)x = −ay1, maka akan tersisa u y1 = 0 atau u = 0. Integrasi akan menghasilkan u = c1 u = c1x + c2. Jika diambil c1 = 1 dan c2 = 0, u = x. Dengan ini didapatkan bahwa y2 = xy1 = xe−(a/2)x (14) Solusi umum dari persamaan diferensial biasa linier homogen dengan akar persamaan karak- teristik tunggal adalah kombinasi linier dari y1 (persamaan (13)) dan y2 (persamaan (14)) y = (c1 + c2x)e−(a/2)x (15) Contoh Tentukan solusi partikuler dari persamaan diferensial linier homogen orde- kedua y + y + 0, 25y = 0, y(0) = 3, 0, y (0) = −3, 5. 4
• 5.
  Solusi Persamaan diferensialtersebut memiliki persamaan karakteristik λ2 + λ + 0, 25 = 0. Dapat kita lihat dari persamaan karakteristik, diskriminan a2 − 4b = 0, sehingga akar-akar persamaan karakteristik λ = −1 2 . Dari persamaan (15), solusi umum persamaan diferensial adalah y = (c1 + c2x)e−0,5x . Selanjutnya koefisien c1 dan c2 dapat dicari dengan menurunkan solusi umum dan meng- gunakan kondisi inisial y(0) = 3, 0 dan y (0) = −3, 5. Diperoleh c1 = 3, 0 dan c2 = −2, 0, sehingga solusi partikuler dari persamaan diferensial linier homogen orde-kedua tersebut adalah y = (3 − 2x)e−0,5x . Kasus III: Akar kompleks konjugat (λ1 = −1 2 + iω dan λ2 = −1 2 − iω) Jika diskriminan a2 − 4b < 0, akar-akar persamaan karakteristik λ12 = 1 2 (−a ± √ a2 − 4b) = 1 2 (−a) ± 1 2 √ a2 − 4b = 1 2 (−a) ± 1 2 −(4b − a2) = 1 2 (−a) ± −(b − a2 4 ) = 1 2 (−a) ± i b − a2 4 λ12 = 1 2 (−a) ± iω, dimana ω = b − 1 4 a2. Akar-akar persamaan karakteristik dalam kasus ini dinyatakan sebagai λ1 = − 1 2 + iω dan λ2 = − 1 2 − iω. (16) y1 dan y2 dapat dicari dengan pertama-tama mendefinisikan eλ1x dan eλ2x , eλ1x = e−(a/2)x+iωx = e−(a/2)x eiωx . Dengan menggunakan identitas Euler untuk trigonometri diperoleh eλ1x = e−(a/2)x (cos ωx + i sin ωx). (17) Sedangkan eλ2x = e−(a/2)x (cos ωx − i sin ωx). (18) Menjumlahkan persamaan (17) dan persamaan (18) dan mengalikan hasil penjumlahan dengan 1 2 menghasilkan y1 = e−(a/2)x cos ωx. (19) 5
• 6.
  Selanjutnya, mengurangkan persamaan(17) dan persamaan (18) dan mengalikan hasil pengu- rangan dengan 1 2i menghasilkan y2 = e−(a/2)x sin ωx. (20) Solusi umum persamaan diferensial untuk kasus ini yang merupakan kombinasi linier dari y1 dan y2 dinyatakan dalam y = e−(a/2)x (A cos ωx + B sin ωx). (21) Contoh Tentukan solusi persamaan diferensial y + 0, 4y + 9, 04y = 0, y(0) = 0, y (0) = 3, 0. Solusi Persamaan karakteristik dari persamaan diferensial orde-kedua tersebut adalah λ2 + 0, 4λ + 9, 04 = 0, dan akar-akarnya adalah λ12 = −0, 2 ± i3. Dengan ini solusi umum persamaan diferensial adalah y = e−0,2x (A cos 3x + B sin 3x). Solusi partikuler diperoleh dengan menurunkan solusi umum dan menggunakan kondisi inisial y(0) = 0 dan y (0) = 3, 0. Diperoleh A = 0 dan B = 1, sehingga solusi partikuler persamaan diferensial adalah y = e−0,2x sin 3x. Ketiga kasus tersebut di atas dirangkumkan dalam tabel berikut Table 1: Rangkuman kemungkinan solusi umum persamaan diferensial linier homogen orde- kedua Kasus Diskriminan Solusi Umum I a2 − 4b > 0 y = c1eλ1x + c2eλ2x II a2 − 4b = 0 y = (c1 + c2x)e−(a/2)x III a2 − 4b < 0 y = e−(a/2)x (A cos ωx + B sin ωx) 2 Operator diferensial Ada beberapa metode yang dapat digunakan untuk memperoleh solusi dari persamaan diferen- sial biasa, salah satu metode yang yang relatif cukup mudah untuk digunakan adalah dengan menggunakan operator diferensial, biasa disebut juga operator D. Teknik yang digunakan dalam metode ini adalah menggantikan diferensial dengan sebuah operator yang diwakili den- gan huruf D. d dx = D, d2 dx2 = D2 , d3 dx3 = D3 , dan seterusnya. (22) Dalam menyelesaikan persamaan operator D (F(D)) ada beberapa sifat yang dapat digu- nakan, antara lain 6
• 7.
  1. Sifat I F(D){eax }= F(a)eax (23) Contoh (2D2 + 3D + 4)(e3x ) = [2(3)2 + 3(3) + 4]e3x = 31e3x 2. Sifat II F(D2 ){cos ax} = F(−(a2 )) cos ax (24) F(D2 ){sin ax} = F(−(a2 )) sin ax (25) Contoh 1 D2 {cos 3x} = −9 cos 3x Contoh 2 (D2 + 2D){cos 3x} = −4 cos 2x − 4 sin 2x 3. Sifat III Jika v adalah sebuah fungsi, D[eax v] = eax Dv + aveax = eax [D + a]v. Sehingga F(D){eax v} = eax [D + a]v (26) Contoh (D2 + 3D + 2)ex x = ex [(D + 1)2 + 3(D + 1) + 2]x = ex [D2 + 2D + 1 + 3D + 3 + 2]x = ex [D2 + 5D + 6]x. Karena D tidak lain adalah diferensial/turunan, maka (D2 + 5D + 6)x = D2 x + 5Dx + 6x = 0 + 5 + 6x. Sehingga (D2 + 3D + 2)ex x = ex (5 + 6x) Selain dengan menggunakan ketiga sifat tersebut, adakalanya persamaan operator D yang berbentuk pecahan dapat diselesaikan dengan mengubahnya menjadi deret dengan cara mem- baginya. 7
• 8.
  Contoh 1 5 + D {x2 }= 1 5 − 1 25 D + 1 125 D2 + . . . x2 = x2 5 − 2 25 x3 + 2 125 2.1 Solusi persamaan diferensial non-homogen orde-kedua dengan operator D Secara umum bentuk persamaan diferensial linier non-homogen orde-kedua adalah a d2 y dx2 + b dy dx + cy = r(t), (27) dimana a, b, dan c adalah konstanta. Solusi persamaan diferensial non-homogen dapat dicari salah satunya dengan menggunakan operator D. Dalam operasi pencarian solusi persamaan diferensial dengan menggunakan operator Dakan diperoleh dua macam solusi yaitu solusi kem- plementer dan solusi partikuler. Solusi komplementer diperoleh dengan mengubah persamaan diferensial non-homogen menjadi persaman diferensial homogen a d2 y dx2 + b dy dx + cy = 0, dan menyelesaikannya dengan menggunakan metode yang sama dengan cara pencarian solusi persamaan diferensial homogen. Persamaan karakteristik dari persamaan (27) adalah aD2 + bD + c = 0, akar-akar persamaan karakteristik dapat diperoleh dengan cara yag sama dengan yang ada di sub-bab 2, begitu pula solusi persamaan diferensialnya yK = c1y1 + c2y2 Solusi partikuler diperoleh dengan menggunakan persamaan diferensial non-homogen apa adanya untuk kemudian diubah menjadi fungsi operator D (aD2 + bD + c)y = r(t). Solusi partikuler dapat diperoleh dengan menyelesaikan fungsi operator D yP = 1 aD2 + bD + c r(t). Solusi umum persamaan diferensial non-homogen adalah gabungan antara solusi komple- menter dan solusi partikuler y = yK + yP (28) 8
• 9.
  Contoh Tentukan solusiumum dari persamaan diferensial orde-kedua d2 y dx2 + 5 dy dx + 6y = 20e2x . Solusi • Solusi komplementer Persamaan karakteristik dari persamaan diferensial tersebut adalah D2 + 5D + 5 = 0. Akar-akar persamaan karakteristik diperoleh dengan pemfaktoran langsung (D + 3)(D + 2) − 0, sehingga akar akarnya adalah D1 = −3 dan D2 = −2. Solusi komplemeter dinyatakan sebagai yK = c1e−3x + c2e−2x • Solusi partikuler Transformasi operator D dari persamaan adalah (D2 + 5D + 6)y = 20e2x , dan solusi partikuler dinyatakan sebagai yP = 1 D2 + 5D + 6 20e2x = 1 (2)2 + (5)(2) + 6 20e2x yP = e2x Dari kedua solusi tersebut maka solusi umum dari persamaan diferensial adalah y = yK + yP y = c1e−3x + c2e−2x + e2x . Referensi [1] E. Kreyszig, Advanced engineering mathematics, (John Willey & Sons, Inc., USA, 2011) 9